Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Analízis I. VizsgatételsorProgramtervező Informatikus szak
2008-2009. 2. félév
Készítette: Szabó Zoltán
SZZNACI.ELTE
v1.0.6 RC 1004
Forrás:
Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-1/2
1
1. A Bernoulli-egyenlőtlenség.
Def.: Ha ≥ 1 és ℎ ≥ −1, akkor (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎ. Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül,ha = 1 vagy ℎ = 0.
Bizonyítás: Teljes indukcióval.= 1: 1 + ℎ = 1 + ℎ
Tfh.: (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎBizonyítsuk + 1-re:(1 + ℎ) ≥ 1 + ( + 1)ℎMivel ℎ ≥ −1 ⇒ 1 + ℎ ≥ 0:(1 + ℎ) (1 + ℎ) ≥ (1 + ℎ)(1 + ℎ) = 1 + ℎ + ℎ + ℎ
= 1 + (1 + )ℎ + ℎ ≥ 1 + ( + 1)ℎ
Egyenlőség: ha = 1 vagy ℎ = 0, akkor 1 + ℎ ≥ 1 + ℎ illetve 1 ≥ 1 + 0.Az ellenkező irány bizonyításához tegyük fel, hogy (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎ valamely
∈ ℕ és ℎ ∈ [−1, +∞) esetén. Tegyük fel még azt is, hogy ≥ 2. Azt kelligazolnunk, hogy ekkor h csak 0-val lehet egyenlő. Mivel(1 + ℎ) = 1 + ℎ ⟺ ℎ((1 + ℎ) + (1 + ℎ) + ⋯ + 1) = ℎezért ℎ > 0 nem lehet, mert ekkor (1 + ℎ) + (1 + ℎ) + ⋯ + 1 > .Viszont ℎ < 0 sem lehet, mert ebben az esetben 0 ≤ (1 + ℎ) ++(1 + ℎ) + ⋯ + 1 < .Ezzel az egyenlőtlenséget bizonyítottuk.
2. A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség.
Def.: Minden ∈ ℕ+-ra és a1…an≥ 0 valós számokra:
a ∙∙∙ a ≤+ +. . . +
Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a1 = a2 =….= an.
Bizonyítás: Teljes indukcióval.= 1 esetén egyenlőség.
Tfh.: √a a ∙∙∙ a ≤ ... ∶=
Bizonyítás + 1-re:
=+ ⋯ + +
+ 1=
++ 1
=
=( + 1) + −
+ 1= +
−+ 1
=
= 1 +−
( + 1)
Ha = 0 ⇒ 0 = = ⋯ = egyébként ≠ 0 ekkor:
ℎ ∶=−
( + 1)≥ −1
2
ugyanis − ≥ −( + 1) ⇒ ≥ −
Erre a h-ra alkalmazzuk a Bernoulli egyenlőtlenséget
1 +−
( + 1) ≥ 1 + ( + 1)−
( + 1) =
∙+ −
= (az indukciós feltevés miatt) =
= ∙ ≥ ∙ … ∙ ∙
Ha = ⋯ = , akkor egyenlőség van.Ha egyenlőség van az ( + 1)-dikben, akkor h=0, azaz
−( + 1) = 0 ⟹ =
Feltehető, hogy ≥ max { , … , } ≥ , ekkor:= max{ , … , } = = ⋯ = ⟹ = ∎
3. A valós számok Dedekind-féle axiómarendszere (testaxiómák, rendezési axiómák,tel-jességi (vagy Dedekind-féle) axióma). A természetes számok halmaza (ℕ).A teljes indukció elve
3.1. Testaxiómák:1. Összeadás ℝ-en:
- kommutatív + = + ∀ , ∈ ℝ, - asszociatív ( + ) + = + ( + ) ∀ , , ∈ ℝ, - létezik null elem, azaz ∃0 ∈ ℝ: + 0 = , ∀ ∈ ℝ,
- létezik ellentett, azaz ∀ ∈ ℝ-re: ∃(− ) ∈ ℝ: + (− ) = 0.2. Szorzás ℝ-en: - kommutatív = ∀ , ∈ ℝ, - asszociatív ( ) = ( ) ∀ , , ∈ ℝ, - létezik egység elem, azaz ∃1 ∈ ℝ (1 ≠ 0): ∙ 1 = , ∀ ∈ ℝ,
- létezik reciprok, azaz ∀ ∈ ℝ-re ( ≠ 0): ∃ ∈ ℝ: = 1.3. Disztributivitás: - ( + ) = + ∀ , , ∈ ℝ,
3.2. Rendezési axiómák:1. Létezik ≤ lineáris rendezés (∀ , ∈ ℝ ≤ vagy ≥ ):
≤≤ é ≤ , akkor =≤ é ≤ , akkor ≤
Ha ezek teljesülnek akkor ℝ test
2. Műveletek és rendezés közötti összefüggés:≤ ⇒ + ≤ + , , , ∈ ℝ, ≥ 0≤ ⇒ ≤ , , , ∈ ℝ, ≥ 0 Ha ezek teljesülnek akkor ℝ rendezett test
3.3. Teljességi (Dedekind-féle) axióma:Ha , ⊂ ℝ, ≠ 0, ≠ 0 és ∀ ∈ , ∀ ∈ : ≤ , ekkor:∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ , ∀ ∈ -re ≤ ≤ .
3
3.4. Természetes számok:ℝ összes induktív halmazainak metszetét természetes számok halmazának nevezzük.Jelölése: ℕ és ℕ ∶= { ∈ ℕ: > 0}.
3.5. Teljes indukció elve:Def.: Tegyük fel, hogy ( )∀ ∈ ℕ-re egy állítás úgy , hogy:
1. (0) igaz,2. ha ( ) igaz ⟹ ( + 1) is igaz.
Ekkor ( ) igaz ∀ ∈ ℕ.
Bizonyítás: Jelölje ∶= {∀ ∈ ℕ: ( ) igaz}Így ≠ ∅, mivel 0 ∈ , és ha ∈ ⟹ ( + 1) ∈ . Tehát S induktív halmaz. Mivelinduktív halmazok metszete is induktív ezért ⊂ ℕ, de ℕ ⊂ , mivel ℕ a legszűkebbinduktív halmaz. Tehát = ℕ.
4. A szuprémum elv: számhalmaz maximuma, minimuma, korlátossága, a szuprémumelv, a szuprémum definíciója, ekvivalens átfogalmazás, a teljességi axiómaekvivalens a szuprémum elvvel, infimum.
4.1 Maximum:∅ ≠ ⊂ ℝ halmaznak maximuma van, ha létezik ∈ , minden ∈ -ra ≤ .
4.2 Minimum:∅ ≠ ⊂ ℝ halmaznak minimuma van, ha létezik ∈ , minden ∈ -ra ≥ .
4.3 Szuprémum elv:Def.: Ha ∅ ≠ ⊂ ℝ halmaz felülről korlátos, ekkor ∃ min{ ∈ ℝ: felsőkorlátja −nak}.
Bizonyítás: Legyen ∶= { ∈ ℝ: felsőkorlátja − nak}, ekkor:∀ ∈ , ∀ ∈ : ≤A teljességi axióma miatt: ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ , ∀ ∈ -re ≤ ≤ . Tehátfelső korlátja A-nak, így ∈ , de ≤ , (∀ ∈ ). Azaz = min .
4.4 Szuprémum:∅ ≠ ⊂ ℝ halmaz felülről korlátos halmaz. A legkisebb felső korlátot a halmazszuprémumának nevezzük.Jelölés: sup ∶= min{ ∈ ℝ: felső korlátja − nak}.
4.5 Ekvivalens átfogalmazás: ∅ ≠ ⊂ ℝ halmaz felülről korlátos halmaz, ekkor:1. = ⟺ ∀ ∈ , ≤ és ha felső korlát ⇒ ≥2. = ⟺ ∀ ∈ , ≤ és ha < ⇒ ∃ ∈ : > .
4.6 A teljességi axióma ekvivalens a szuprémum elvvel:Bizonyítás: A szuprémum elv következik a teljességi axiómából, hiszen így bizonyítottuk
azt be. Így elegendő a visszafele irányt belátni.Legyen , ⊂ ℝ, ≠ ∅, ≠ ∅, hogy ∀ ∈ , ∀ ∈ : ≤ .Tehát felülről korlátos (és -ben felső korlátok vannak).Azaz: ∃ = sup ⇒ ∀ ∈ : ≤ .De a szuprémum elv miatt a legkisebb felső korlát.Azaz: ∀ ∈ : ≤ .
4
4.7 Infimum:∅ ≠ ⊂ ℝ halmaz alulról korlátos halmaz. A legnagyobb alsó korlátot a halmazinfimumának nevezzük.Jelölés: inf ∶= max{ ∈ ℝ: alsó korlátja − nak}.
5. Az archimédeszi tulajdonság és a Cantor tulajdonság.
5.1. Archimédeszi tulajdonság:Def.: ∀ , ∈ ℝ : ∃ ∈ ℕ: <
Bizonyítás: IndirektTfh.: ∃ , ∈ ℝ : ∀ ∈ ℕ: ≥ .Legyen ∶= { : ∈ ℕ}.Ekkor felülről korlátos, és egy felső korlát. Tehát:
∃ = supÍgy:
≥ (∀ ∈ ℕ)De legkisebb felső korlát, tehát ( − ) már nem felső korlát.Tehát
∃ ∈ ℕ: > −azaz
∃ ∈ ℕ: ( + 1) >ami ellentmond az indukciós feltevésnek.
5.2. Cantor tulajdonság:Def.: Tfh.: ∀ ∈ ℕ: [ , ] egy zárt intervallum ( ≤ ) úgy, hogy [ , ] ⊂[ , ]. Ekkor ezen intervallumok metszete nem üres azaz:
[ , ] ≠ 0∞
Bizonyítás: ∶= { : ∈ ℕ} és ∶= { : ∈ ℕ}.Ekkor
∀ , ∈ ℕ: ≤Ugyanis
ha ≤ ⟹ ≤ ≤ha > ⟹ ≤ ≤
A teljességi axióma miatt:∃ ∈ ℝ: ≤ ≤ (∀ , ∈ ℕ) ⇒
⇒ ≤ ≤ (∀ ∈ ℕ) ⇒
⇒ ∃ ∈ [ , ](∀ ∈ ℕ) ⇒
⇒ ∈ [ , ]∞
6. Halmazok, relációk és függvények.
5
7. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdonságok. Konvergens és divergens sorozatok.Sorozat határértéke. A határérték definíciójának egyszerű következményei.
7.1 Számsorozat:Az : → ℝ függvényt valós sorozatnak nevezzük. Az sorozat ( ) helyettesítésiértéke a sorozat n-edik tagja ( ∈ ℕ), n az sorozat indexe.
7.2 Korlátosság:: → ℝ sorozat, ekkor:
1. ha ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ ℕ: ≤ , akkor felülről korlátos2. ha ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ ℕ: ≥ , akkor alulról korlátos3. ha ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ ℕ: | | ≤ , akkor korlátos
7.3 Monotonitás: → ℝ sorozat, ekkor:
1. ha < : ≤ akkor monoton nő2. ha < : ≥ akkor monoton fogy3. ha < : < akkor szigorúan monoton nő4. ha < : > akkor szigorúan monoton fogy
7.4 Környezet:( ) = { ∈ ℝ: | − | ≤
7.5 Konvergencia definíciója: → ℝ sorozat konvergens, ha létezik ∈ ℝ, hogy -nak bármely környezetén kívül
a sorozatnak legfeljebb véges tagja van.Azaz ∃ ∈ ℝ: ∀ > 0: { : ∉ ( )} legfeljebb véges.
7.6 Divergens sorozatHa az ( ): ℕ → ℝ sorozat nem konvergens, akkor divergens.Azaz ∀ ∈ ℝ, ∃ > 0, ∀ ∈ ℕ, ∃ ≥ : | − | ≥ .
7.7 A határérték definíciójának egyszerű következményei.
8. A rendezés és a limesz kapcsolata. Monoton sorozat határértéke.
8.1. A rendezés és limesz kapcsolata:Tegyük fel, hogy ( ) és ( ) konvergens és lim = lim = . Ha ∀ ∈ ℕ: ≤
≤ akkor ( ) is konvergens és lim = (rendőr elv)
Biz.:A feltétel alapján tudjuk, hogy 0 ≤ − ≤ − ∀ ∈ ℕNyilvánvaló, hogy ( − ) nullsorozat.Ekkor a nullsorozatok tulajdonságaiból adódik, hogy ( − ) is nullsorozat. Végül anullsorozatokra vonatkozó műveleti tételek alapján kapjuk, hogy a ( ) sorozat, amelyaz ( ) konvergens és ( − ) nullsorozat összege, maga is konvergens és
lim = lim( ) + 0 = lim( ).
8.2. Monoton sorozat határértéke
6
8.2.1. Tétel.Tegyük fel, hogy az ( ) sorozat monoton növekedő és felülről korlátos, ekkorkonvergens, és lim = sup { | ∈ ℕ} ∈ ℝ
Biz.:∀ ∈ ℕ: ≤ sup( ) és ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: > sup( ) −( ) monoton nő, ekkor
≥ ha ≥ ⟹⟹ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : sup( ) − < ≤ ≤ sup( ) ⟹
⟹ ∀ ≥ : | − sup( )| < ⟹ lim = sup( )
8.2.2. TételTegyük fel, hogy az ( ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, ekkorkonvergens, és lim = inf { | ∈ ℕ} ∈ ℝ
Biz.:∀ ∈ ℕ: ≥ inf ( ) és ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: > inf ( ) +( ) monoton csökken, ekkor
≤ ha ≥ ⟹⟹ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : inf( ) + ≥ ≥ ≥ inf( ) ⟹
⟹ ∀ ≥ : | − inf( )| < ⟹ lim = inf( )
9. Nullsorozatok. Műveletek nullsorozatokkal. Műveletek konvergens sorozatokkal.
9.1. NullsorozatAz ( ): ℕ → ℝ sorozat nullsorozat, ha ( ) konvergens és lim = 0. Azaz:
∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : | − 0| <
9.2. Műveletek nullsorozatokkal(1.) Ha ( ) és ( ) is nullsorozat, akkor ( + ) is nullsorozat.(2.) Ha ( ) nullsorozat és ( ) korlátos sorozat, akkor ( ∙ ) is nullsorozat
Biz.:Lemma:Ha ( ) nullsorozat, akkor (| |) is nullsorozat.Biz.:A bizonyításhoz írjuk fel a nullsorozat definícióját:
lim| | = 0 ⟺ ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : || | − 0| = | | <ami azt jelenti, hogy lim = 0.
(1.):Tegyük fel, hogy lim = 0. Ekkor:
∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : | | <2
és legyen lim = 0, ekkor:
∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : | | <2
Legyen = max{ , }, ekkor a háromszög-egyenlőtlenség miatt
∀ > : | + | ≤ | | + | | <2
+2
=
Tehát ( + ) sorozat konvergens.
7
(2.):A bizonyításhoz tegyük fel, hogy ( ) sorozat nullsorozat. Ekkor:
∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : | | <Tegyük fel, hogy ( ) korlátos. Ekkor ∃ > 0: ∀ ∈ ℕ: | | < .Ezért ∀ ∈ ℕ: | | ∙ | | ≤ ∙ | | < ∙ . Tehát ( ∙ ) nullsorozat.
9.3. Műveletek konvergens sorozatokkalHa ( ) és ( ) sorozatok konvergensek és lim ∶= ∈ ℝ, lim ∶= ∈ ℝ, akkor:(1.) ( + ) sorozat is konvergens és lim ( + ) = +(2.) ( ∙ ) sorozat is konvergens és lim( ∙ ) = ∙(3.) ( ∙ ) sorozat is konvergens és lim ( ∙ ) = ∙(4.) ha ( ) ≠ 0 ( ∈ ℕ) és ≠ 0 is teljesül, akkor az sorozat is konvergens és
lim = .
Biz.:(1.):A bizonyításához elegendő azt belátnunk, hogy ( + − − ) nullsorozat.Ekkor:
( + − − ) = ( − ) + ( − )de ( − ) nullsorozat, hiszen lim = , ugyanígy ( − ) is nullsorozat, hiszen lim ∶= . A 9.2.1.-es tétel miatt lim + = + . Ezzel beláttuk 9.3.1.-et.
(2.):A bizonyításhoz azt kell belátnunk, hogy ( − ) is nullsorozat.Ekkor ( − ) = ( − ) nullsorozat mivel egy konstans és lim = ezért( − ) nullsorozat.Ebből követezik, hogy lim = . Ezzel a 9.3.2.-t beláttuk.
(3.):A bizonyításához elegendő azt igazolni, hogy ( − ) nullsorozat. Ekkor
( − ) = ( − + − ) = ( − ) + ( − )mivel ( ) konvergens, ezért korlátos is és ( − ) nullsorozat. Mivel lim =ebből következik, hogy ( − ) nullsorozat.Az ( − ) szintén nullsorozat mivel ( − ) nullsorozat és 9.3.2. miatt ( − )szintén nullsorozat.Tehát ( − ) nullsorozat, ezértlim ( ) = .
(4.):
Mielőtt a belátnánk, bizonyítsuk be, hogy lim = , ≠ 0, akkor korlátos.
Bizonyítás: legyen = | | ekkor ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | − | <
| | = | − + | = | − ( − )| ≥ | | − | − | > | | −| |2
=| |2
Ha ≥ , akkor:
∀ ∈ ℕ: ≥ :1
<2
⇒1
< max1
| |,
1| |
, ,2
| |⇒
1| |
korlátos.
8
(4.)-es bizonyításához, elég belátnunk, hogy − nullsorozat. Ekkor
− = − + − =1
( − ) +1
−1
=
=1
( − ) + ( − )
korlátos az előbb bizonyított tétel miatt és ( − ) nullsorozat, és
( − ) is nullsorozatok.
( − ) + ( − ) nullsorozat a 9.2-es tétel miatt. Ezért lim = .
10. Rendezés és műveletek az ℝ halmazon. A műveletek és a határérték kapcsolata.
10.1. MűveletekTegyük fel, hogy ( ) és ( ) sorozatok tágabb értelemben konvergensek és lim ∶= ∈ ℝ, lim ∶= ∈ ℝ, ekkor:(1.) ( + ) tágabb értelemben konvergens és lim ( + ) = + , ha +értelmes(2.) ( ∙ ) tágabb értelemben konvergens és lim ( ∙ ) = ∙ , ha ∙
értelmes
(3.) ha ( ) ≠ 0 ( ∈ ℕ) és ≠ 0 is teljesül, akkor az tágabb értelemben
konvergens és lim = ha értelmes.
Biz.:Ha , ∈ ℝ, akkor a műveletek konvergens sorozatokra vonatkozó tétel miatt igaz.(1.):A bizonyításhoz tegyük fel, hogy: = ∞ ⇒ ∈ ℝ vagy = 0Ha ∈ ℝ: ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | − | <Mivel − < + és ∶= −
∀ < : ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >Ha = ∞: ∀ ∈ ℝ: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >Mivel : = ∞: ∀ − > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : > −Összeadva az utolsó két egyenlőtlenséget, kapjuk:
∀ > 0: ∃ ∶= max{ , }: ∀ ≥ : + >Tehát lim ( + ) = ∞. Hasonlóan = −∞-re.
(2.):A bizonyításhoz szintén tegyük fel, hogy: = ∞ és > 0.A határérték értelmezéséből következik, hogy
∀ < : ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >továbbá
∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >
Összeszorozva a két egyenlőtlenséget, kapjuk:∀ > 0: ∃ ∶= max{ , }: ∀ ≥ : >
Ez azt jelenti, hogy ( ∙ ) konvergens és l lim ( ∙ ) = ∞. A másik három állításthasonlóan lehet belátni.
9
(3.):Az állítás a szorzatra és a reciprokra vonatkozó tétel következménye. Éppen ezért elég
azt megmutatni, hogy ha ∈ {−∞, +∞}, akkor → 0.
=1
Tegyük fel, hogy = ∞:
∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >1
Ebből következik, hogy
∀ ≥ :1
<
Másrészről > 0, ha ≥ . Tehát
∀ > 0: ∃ ∶= max{ , }:1
<
Tehát lim = 0. Ezt akartuk megmutatni. A többi eset hasonlóan bizonyítható.
10.2. Műveletek és határérték kapcsolata
11. Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bolzano-Weierstrass-félekiválasztási tétel.
11.1. RészsorozatHa : ℕ → ℝ sorozat és : ℕ → ℕ indexsorozat, akkor az ∘ : ℕ → ℝ sorozatot azrészsorozatának nevezzük.
11.2. Minden sorozatnak van monoton részsorozatMinden : ℕ → ℝ sorozatnak van monoton részsoroazata.
Biz.:A bizonyításhoz vezessük be a csúcs fogalmát.Csúcs: ∈ ℕ az ( ) sorozat csúcsa, ha ∀ > -ra < .1. eset: végtelen sok csúcsa van -nak:Legyen a csúcsok szigorúan monoton növekedő sorozata. Ekkor csúcs, hiszen
∀ > : > ⇒ >ugyanis > , tehát is csúcs. Így
∀ > : > ⇒ >ugyanis > . Ezt az eljárást folytatva:
> > …Tehát ∘ szigorúan monoton fogy.2. eset: véges sok csúcsa van -nak:Ekkor legyen a legnagyobb csúcs .Ha nem csúcs, akkor ∃ ≥ : ≤ .Legyen = + 1 = ez nem csúcs, tehát:
∀ > + 1 = : ≤ ≤Így nem csúcs, ekkor ∃ = : > és ≤ .Ezt az eljárást folytatva kapjuk : ℕ → ℕ indexsorozat, hogy:
10
≤ ≤ …Tehát ∘ monoton nő.
11.3. Monoton sorozatok konvergenciája11.3.1.:Tegyük fel, hogy ( ) monoton nő és felülről korlátos, ekkor ( ) konvergens éslim = sup
Biz.:∀ ∈ ℕ: ≤ sup ( ) és ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ: > sup( ) −
( ) monoton nő, ekkor:≥ ha ≥ ⟹
⟹ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : sup( ) − < ≤ ≤ sup( ) ⟹⟹ ∀ ≥ : | − sup( )| < ⟹ lim = sup( )
11.3.2.:Tegyük fel, hogy ( ) monoton csökken és alulról korlátos, ekkor ( ) konvergens éslim = inf
Biz.:∀ ∈ ℕ: ≥ inf ( ) és ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ: > inf( ) −
( ) monoton csökken, ekkor:≤ ha ≥ ⟹
⟹ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : inf( ) + ≥ ≥ ≥ inf( ) ⟹⟹ ∀ ≥ : | − inf( )| < ⟹ lim = inf( )
11.4. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel.Ha ( ) korlátos akkor ∃ indexsorozat, hogy ∘ konvergens.
Biz.:∃ indexsorozat, hogy ( ) ∘ monoton.De ( ) ∘ korlátos is (alulról és felülről), ezért a monoton sorozatok konvergenciájáravonatkozó tétel miatt ( ) ∘ is konvergens.
12. Cauchy-féle konvergencia kritériumCauchy-sorozat:Az ( ): → ℝ sorozat Cauchy-sorozat, ha ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ és ∀ , ≥ ∶ | − | <
.
Cauchy-féle konvergencia kritérium:Az ( ): → ℝ sorozat konvergens akkor és csak akkor ha Cauchy-sorozat.Biz.:
Ha ( ) konvergens és ∶= lim , akkor
∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ > : | − | <2
ekkor ∀ , ≥ :| − | = | − + − | ≤ | − | + | − | <
2+
2Tehát
11
∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ , > : | − | <Ezzel az "oda" irányt beláttuk. Nézzük a vissza irányt.Ehhez tegyük fel, hogy ( ) Cauchy sorozatIgazoljuk, hogy ( ) korlátos!A Cauchy sorozat definíciójából ∶= 1 választás mellett azt kapjuk, hogy
∃ ∈ ℕ: ∀ , > : | − | < 1Ekkor legyen = esetén:
| | = | − + | ≤ | − |+| | < | | + 1következik. Ekkor legyen
∶= max {| |, | |, … , , , + 1}Ekkor ∀ ∈ ℕ indexre | | < , tehát ( ) korlátos.A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel szerint ( )-nek van egy ∘ konvergensrészsorozata.Legyen ∶= lim ∘Igazoljuk, hogy lim = .A határérték értelmezése alapján:
∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ > : − <2
Továbbá, mivel ( ) Cauchy-sorozat:
∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ > : − <2
Ekkor a háromszög egyenlőtlenség miatt| − | = − + − ≤ | − | + | − |
Tehát ∶= { , }, ekkor
∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ > : | − | <2
+2
=Más szóval az ( ) konvergens, és határértéke .
13.
14. A geometriai sorozat határértéke. Az e szám bevezetése az + ∈ ℕsorozattal.
14.1. Geometriai sorozat:
lim→
=
0, | | < 11, = 1∞, > 1
∄, ≤ −1Biz.:Először igazoljuk a | | < 1 esetet:
Nyílván| |
> 1, így
1| |
= 1 +1
| |− 1
Alkalmazzuk 0 < ℎ ∶=| |
− 1-re a Bernoulli-egyenlőtlenséget:
1| |
= (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎ
Ekkor
0 ≤ | | ≤1
1 + ℎA rendőr elv alapján lim| | = 0 ⇒ lim = 0.Ha| | > 1, akkor
| | = 1 + (| | − 1)
12
Ismét alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlőtlenséget ℎ ∶= | | − 1-re:| | = (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎ
Ekkor lim| | = ∞.Ha > 1, akkor lim = ∞.Ha = −1, akkor a (−1) sorozatot kapjuk, ami divergens.Ha < −1, akkor a sorozat váltakozó előjelű, és nem korlátos sem alulról, sem felülről,tehát divergens.
14.2. Tétel: ∀ ∈ ℕ: ≥ 1, ekkor:
1 +1
< 1 +1+ 1
Biz.:Használjuk a számtani mértani közép közötti összefüggést a következő számokra
1 +1
, 1 +1
, … 1 +1
, 1
összesen db 1 + van.
Ekkor
1 +1
∙ 1 <1 + 1 + 1
+ 1
Egyenlőség nem lehet, mert a számok nem egyenlőek.
1 +1
<+ 2+ 1
= 1 +1+ 1
14.3. Tétel: ∀ ∈ ℕ: ≥ 1, ekkor:
2 ≤ 1 +1
< 4
Biz.:
A Bernoulli-egyenlőtlenséget alkalmazzuk ℎ ∶= -re, így
1 +1
≥ 1 +1
= 2
Felső korlát bizonyításához alkalmazzuk a számtani és mértani közép közöttiösszefüggést a következő számokra:
1 +1
, … 1 +1
,12
,12
összesen db 1 + van. Ekkor
1 +1
∙12
∙12
<+ 1 + 1
2 + 12
+ 2=
+ 2+ 2
= 1
Egyenlőség nem lehet, mert a számok nem egyenlőek. Így szorozzuk be 4-gyel, ekkor
1 +1
< 4
kapjuk, ami a bizonyítandó állítás.
14.4. Az e szám bevezetése:Láttuk, hogy
1 +1
sorozat monoton nő és korlátos. Tehát a sorozat konvergens és létezik valóshatárértéke. Legyen ez a határérték az . Azaz:
13
∶= lim 1 +1
.
15. Az √ , ∈ ℕ , √ , ∈ ℕ , , ∈ ℕ , ( !⁄ , ∈ ℕ), ( ! ,⁄ ∈ ℕ)sorozat határértéke.
15.1. √ , ∈ ℕ határértéke √ =Biz.:Először lássuk be > 1-re:A számtani és mértani közép közti összefüggést felhasználva adódik, hogy:
1 ≤ √ = √ ∙ 1 … 1 ≤( − 1) +
= + 1 −1
A rendőr elv miatt lim √ = 1.Ha = 1, akkor triviális.
Ha < 1, akkor > 1. Erre alkalmazva az előzőleg bebizonyított állítást kapjuk, hogy
1→ 1 ⟹
1√
→ 1 ⟹ √ → 1. ∎
15.2. √ , ∈ ℕ határértéke √ =Biz.:Alkalmazzuk itt is a számtani és mértani közép közti összefüggést, így:
1 ≤ √ = √ ∙ √ ∙ 1 … 1 ≤√ + √ + ( − 2)
=2
√+ 1 −
2
a rendőrelv miatt itt is lim √ = 1.
15.3. , ∈ ℕ határértéke =Ha | | < 1, ∈ ℕ és , rögzítettek, akkor:
lim→
= 0
Biz.:
Legyen| |
= 1 + ℎ. Ekkor:
1| |
= (1 + ℎ) = 1 + 1 ℎ + 2 ℎ + ⋯ + ℎ ≥ + 1 ℎ
vegyük mindkét oldal reciprokát
| | ≤1
+ 1 ℎSzorozzuk be mindkét oldalt -nal:
0 ≤ | | ≤ !( + 1)! ( − + 1)! ℎ
=( + 1)!
ℎ∙
!( − ) − ( − 1) …
=( + 1)!
ℎ∙
1
1 − 1 − − 1 … 1 − 1
A nevezőben + 1 tényező van.A rendőrelv miatt lim = 0.
14
15.4. ( !⁄ , ∈ ℕ) határértéke ! =⁄∀ ∈ ℝ, lim
!= 0.
Biz.:
0 ≤| |
!=
| | ∙ | | … | | … | |1 ∙ 2 … …
≤| |1
∙| |2
…| |
…| |
ugyanis, ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | | ≤ 1. Ilyen például a ( ∶= [| |] + 1).
Ekkor a rendőrelvet felhasználva, kapjuk, hogy lim | |!
= 0.
15.5. ( ! ,⁄ ∈ ℕ) határértéke ! =⁄
Biz.:!
=1
∙2
… ≤1
→ 0 ⟹
lim ! = 0.
16. Végtelen sor fogalma, konvergenciája, összege. Cauchy-féle konvergenciakritérium.A konvergencia egy szükséges feltétele.
16.1. Végtelen sorDef.: Az ( , ∈ ℕ) sorozat által meghatározott = + +. . . + sorozatot (az
által generált) végtelen sornak nevezzük. Jelölés: ∑ . a sorozat n-edikrészletösszege.
16.2. Végtelen sor konvergenciájaDef.: ∑ sor konvergens, ha az sorozat konvergens.
Ha -nek létezik határértéke, akkor a ∑ sor összege ez a határérték, azaz∑ = lim .
16.3. Végtelen sor összegeDef.: ∑ sor konvergens, ekkor a lim → (∑ ) ∈ℕ = lim számot a
végtelen sor összegének nevezzük.Jelölés: (∑ ) = lim
16.4. Cauchy-féle konvergenciakritériumDef.: ∑ akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ , ≥ , > :
|∑ | < .
Biz.:∑ konvergens, akkor és csak akkor, ha ( ) konvergens
⟺ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ, ∀ , ≥ , > : | − | <De
| − | = < . ∎
16.5. A konvergencia egy szükséges feltételeDef.: Ha ∑ konvergens, akkor lim = 0.
15
Biz.:Tegyük fel, hogy ∑ konvergens, ekkor:
> 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ , ≥ , > : <
Legyen ∶= + 1, így | | <Tehát
> 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ , ≥ : | | <Ez az jelenti, hogy az sorozat a 0-hoz tat.
17. Nevezetes sorok: a geometriai sor, teleszkópikus sor, a ∑ sor, a harmonikus sor.
17.1. Geometriai sorDef.: ∈ ℝ, ekkor ∑∑ akkor és csak akkor konvergens, ha | | < 1 és ekkor az összege.
Biz.:
= = 1 + + ⋯ + =+ 1, ℎ = 1 (1. )
1 −1 −
, é é (2. )
(1.) eset: ekkor ∑ divergens(2.) eset: ekkor sorozat konvergens ⟹ | | < 1, ekkor lim = 0.Ekkor
= lim =1
1 −
17.2. Teleszkópikus sor
Def.: ∑( )
konvergens és ∑( )
= 1.
Biz.:
=1
1 ∙ 2+
12 ∙ 3
+ ⋯ +1
( + 1)
( ) felírható parciális törtként:
( )= −
Ekkor:
=11
−12
+12
−13
+13
−14
+ ⋯ +1
−1+ 1
= 1 −1+ 1
→ 1 ⟹
⟹1
( + 1)= 1
17.3. ∑ sor
Def.: ∑ konvergens és ∑ ≤ 2.
Biz.:
≤ ( ) , ekkor:
16
= 1 +1
2+
13
+ ⋯ +1
≤ 1 +1
1 ∙ 2+
12 ∙ 3
+ ⋯ +1
( − 1)= 1 + 1 −
1=
= 2 −1
⟶ 217.4. Harmonikus sor
Def.: ∑ sor divergens és ∑ = ∞
Biz.:-hez válasszuk meg -t úgy, hogy:
2 ≤ ≤ 2
= 1 +12
+13
+14
+15
+ ⋯ +18
+ ⋯ +1
2 + 1+ ⋯ +
12
∙
+1
2 + 1+ ⋯ +
1
Minden zárójeles rész ≥ 2 ⟹ ≥
→ ∞ ⟹ → ∞ ⟹2
→ ∞ ⟹ ( ) → ∞
18. Az -re vonatkozó = ∑! előállítás. Az irracionális szám , < < 2,8.
18.1. Def.:
∶= 1 +1
18.2. Tétel:
(1.) = ∑!
(2.) − ∑!
<∙ !
∀ ≥ 1(3.) ∉ ℚ
Biz.:(1.):A bizonyításhoz alkalmazzuk a binomiális tételt, ekkor
1 +1
=1
=!
( − )! !∙
1=
=1!
∙( − + 1)( − + 2) …
!=
=1!
1 −− 1
1 −− 2
… 1 −1
∙ 1 <1!
<1!
mivel a hányados kritérium miatt ∑! konvergens.
Ha ∑! akkor a definíció miatt
∶= 1 +1
≤1!
De rögzített ∈ ℕ-re ∀ ≥ :
1!
1 −− 1
1 −− 2
… 1 −1
∙ 1 ≥
17
≥1!
1 −− 1
1 −− 2
… 1 −1
∙ 1
Ekkor ∀ ∈ ℕ
= lim→
1 +1
≥1!
Az előző kettő miatt = ∑!
(2.):
A bizonyításhoz bontsuk ki: − ∑! ekkor:
−1!
=1!
−1!
=1!
=1
( + 1)!+
1( + 2)!
+1
( + 3)!+. . =
=1
( + 1)!1 +
1+ 2
+1
( + 2)(+3+ ⋯ <
<1
( + 1)!1 +
1+ 1
+1
( + 1) + ⋯ =1
( + 1)!1+ 1
=
=1
( + 1)!∙
1
1 − 1+ 1
=1
( + 1)!∙
+ 1=
1∙ !
Ezzel beláttok az állítást.
(3.):Indirekt bizonyítjuk: tegyük fel, hogy ∈ ℚ, ekkor ∈ , , , ∈ ℕ legyen =
∑!
0 < − <1∙ !
0 < − <1∙ !
0 < ∙ ! − ∙ ! <1
De
∙ ! = ( − 1)! ∈ ℕ ∙ ! = ! ∙1!
∈ ℕ
előző miatt
∙ ! − ∙ ! ∈ ℤ
0 < ∙ ! − ∙ ! <1
Viszont ez ellentmondás mivel < 1 (∀ ∈ ℕ ) azaz 0 és 1 között találtunk egész
számot, ami nem lehetséges.
18
19. Pozitív tagú sorok konvergenciája. Az összehasonlító kritérium.
19.1. Pozitív tagú sorok konvergenciájaDef.:A ∑ pozitív tagú sor konvergens, akkor és csak akkor,ha ∶= ∑sorozat konvergens
Biz.:≤ (∀ ∈ ℕ), hiszen = + és ≥ 0.
Ekkor∑ konvergens ⟺ ( ) konvergens ⟺ ( ) korlátos.
19.2. Összehasonlító kritériumDef.:Legyenek ∑ és ∑ nemnegatív tagú sorok és létezik ∈ ℕ, hogy 0 ≤ ≤minden ≥ -re. Ekkor:(1.) ha∑ konvergens, akkor ∑ is konvergens.(2.) ha ∑ divergens, akkor ∑ is divergens.
Biz.:Jelölje:
∶= ∶=
ekkor ≤ (∀ ≥ ).A (1.)-es bizonyításához tegyük fel, hogy ∑ konvergens, akkor ∑ iskonvergens. Ekkor ( ) korlátos. De ekkor ( ) is korlátos. Az előző tétel miatt a∑ konvergens. Mivel a sorozat nem függ az első "néhány" tagtól, ezért ∑is konvergens.A (2.)-es bizonyításához induljunk ki abból, hogy ∑ divergens. Ekkor ∑ isdivergens, azaz az ( ) nem korlátos. Ekkor azonban ( ) sem korlátos, így ∑divergens, tehát ∑ is divergens.
20. A gyök- és hányadoskritérium
20.1. GyökkritériumDef.:Tegyük fel, hogy létezik lim | |. Ekkor:
(1.) Ha lim | | < 1, akkor a ∑ sor abszolút konvergens.
(2.) Ha lim | | > 1, akkor a ∑ sor divergens.
Biz.:Legyen ∶= lim | |.(1.)-ben feltettük, hogy < 1. Ekkor ∃ ∈ ℝ: < < 1. Ekkor
∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | | < ⟹ | | <De ∑ konvergens, ha < 1. Az összehasonlító kritérium miatt ∑| |konvergens, azaz ∑ abszolút konvergens.
A (2.) bizonyítása hasonlóan történik. > 1 ⟹ ∃ ∈ ℝ: 1 < < . Tehát∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | | > ⟹ | | >
19
Ekkor ( ) divergens (hiszen 1 < ), így az összehasonlító kritérium miatt ∑divergens.
20.2. HányadoskritériumDef.:
Tegyük fel, hogy ≠ 0 ( ∈ ℕ) és létezik lim | || |
.
(1.) ha lim | || |
< 1, akkor a∑ sor abszolút konvergens.
(2.) ha lim | || |
> 1, akkor a ∑ sor divergens.
Biz.:
Legyen = lim | || |
(1.)-ben feltettük, hogy < 1. Ekkor ∃ ∈ ℝ: < < 1. Ekkor:
∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | | < ⟹| |
| |<
azaz ha ∈ ℕ:| | ≤ | |
Ha a kapott első egyenlőtlenséget összeszorozzuk, akkor:
∙ … ≤ ∙ ∙ … | |egyszerűsítés után
| | ≤ | | ∙De ∑ konvergens, ha < 1. Az összehasonlító kritérium miatt ∑| |konvergens, azaz ∑ abszolút konvergens.
A (2.) bizonyítása hasonlóan történik. > 1 ⟹ ∃ ∈ ℝ: 1 < < . Tehát
∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ :| |
| |> > 1
Az előző részhez hasonlóan, most is szorozzuk össze az első egyenlőtlenséget,majd egyszerűsítés után kapjuk:
> | | ∙De ∑ divergens, így az összehasonlító kritérium miatt ∑ divergens.
21.
22. Abszolút konvergens sorok.
22.1. Def.:A ∑ abszolút konvergens, ha ∑ | | konvergens.
22.2. TételTegyük fel, hogy ∑ abszolút konvergens, ekkor ∑ konvergens is.
Biz.:∑ abszolút konvergens, alkalmazzuk a Cauchy-kritériumot, azaz:
20
∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : > : | | <
De a háromszög-egyenlőtlenséget felhasználva kapjuk, hogy
≤ | |
Azaz
∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : > : <
Tehát ∑ konvergens.
23. Tizedes törtek
23.1. Def.:: ℕ → {0,1,2, … ,9}, akkor a ∑ sor konvergens és ∑ ∈ [0,1]
Biz.:
10≤
910
⟹10
≤9
10
De9
10=
910
110
konvergens, mert geometriai sor. De ennek ki tudjuk számolni az összegét is
910
=9
101
10=
910
∙1
1 − 110
= 1
0 ≤10
≤ 1
23.2. TételDef.:Ha ∈ [0,1] akkor létezik ( ): ℕ → {0,1,2, … ,9}, hogy = ∑ .
Biz.:Osszuk fel [0,1]-et 10 egyenlő részre.Ekkor ∃ intervallum, hogy ∈ és
=10
,+ 1
10Majd 10 egyenlő részre osztjuk -et is. Ekkor
∃ ⊂ , ∈ : =10
+10
,10
++ 1
10Ezt az eljárást folytatva ∃ : ℕ ⟶ {0,1,2, … ,9}, hogy
=10
+10
+ ⋯ +10
≤ ≤10
+10
+ ⋯ ++ 1
10
21
Ekkor = , + és
∈ ⟹ | − | <1
10⟶ 0
Azaz
lim | − | = 0 ⟹ lim = 0 ⟹10
=
Jelölés: = 0, …
23.3. EgyértelműségAz előállítás nem egyértelmű, hiszen 0,1=0,09999… ugyanis:
0,09999 … =9
10=
910
110
=9
10∙
1
1 − 110
=1
10
23.4. Def.: A 0, … véges tizedes tört, ha ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : = 0.
23.5. Állítás: Igazolható, hogy a véges tizedes törteknek nem egyértelmű a felbontása.A nem véges (végtelen) tizedes törtek egyértelműen írhatók fel.
23.6. Def.: A 0, … … … … tizedes törtet végtelen szakaszos tizedes törtneknevezzük.
23.7. Állítás: Igazolható, hogy ha ∈ [0,1] ∩ ℚ, akkor véges tizedes tört, vagy végtelenszakaszos tizedes tört.
24.25.26. Végtelen sorok szorzása
26.1. Def.:∑ és ∑ végtelen sorok. Akkor ezek:(1.) téglányszorzata:
× =
={ , }
(2.) Cauchy-szorzata:
× =
=
(3.) Sorösszeg-szorzata:
× =
22
=
(4.) Oszlopösszeg-szorzata:
× =
=
26.2. TételTegyük fel, hogy ∑ és ∑ konvergens és ∑ = és ∑ = . Ekkor ezek:(1.) téglányszorzata,(2.) sorösszeg-szorzata(3.) oszlopösszeg-szorzata is konvergensek és a sorösszeg AB.Biz.:(1.)Írjuk fel a téglányszorzat definícióját:
={ , }
Ekkor a szorzat részletösszege
=( , )
= →
tehát ∑ konvergens és
=
(2.) bizonyítása hasonlóan:
= = = ∙ →
tehát ∑ konvergens és
=
(3.) bizonyítása hasonlóan:
= = = ∙ →
tehát ∑ konvergens és
=
26.3. Def.:Ha ∑ és ∑ abszolút konvergens sorok és ∑ = , ∑ = , akkor ezekCauchy szorzata, téglányszorzata, sorösszeg szorzata és oszlopösszeg szorzata isabszolút konvergens és összegük AB.
23
Biz.:Legyen ∅ ≠ ⊂ ℕ ∶= ℕ × ℕ. Ha -ek diszjunktak, és ⋃ = ℕ .Tekintsük a
( , )∈sort. Legyen:
= | |( , )∈
Nyilván sorozat monoton nő.Igazoljuk, hogy ( ) felülről korlátos.Jelölje az -ben lévő legnagyobb indexet. Ekkor:
≤ | | ∙ | | ≤ | | ∙ | | ≤ ∞
Tehát az felülről korlátos, ekkor ( ) konvergens.De ekkor ∑ ∑ | |( , )∈ konvergens, azaz ∑ ∑( , )∈ abszolútkonvergens.DE: minden átrendezésnek ugyanaz az összege. Tudjuk viszont, hogy ∑ = azelőző tétel miatt. Tehát az összeg mindig AB. Azaz
( , )∈
=
Ebből következik, hogy mind a négy szorzatsor abszolút konvergens.
27.