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Anexo complementario
PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA EXÁMENES DE INGRESO A LA
EDUCACIÓN SUPERIOR. EDUCACIÓN DE ADULTOS
Tema 1 "Dominios numéricos” Objetivos:
Identificar las propiedades fundamentales y relaciones de los dominios numéricos y fundamentar sus limitaciones sobre la base de la teoría de conjuntos.
Aplicar las operaciones de cálculo aritmético y los cálculos estimados en distintas situaciones sobre la base de una comprensión más profunda de los significados de los números y de las operaciones, así como de los procedimientos que se emplean para realizarlas.
Realizar ejercicios formales y con texto que requieran del cálculo con radicales sobre la base como generalización del concepto de potencia y donde se apliquen sus propiedades.
Calcular logaritmos a partir del dominio de la equivalencia entre ac=b y logab = c, del conocimiento de las propiedades de las potencias y de los logaritmos, la utilización de la tabla de logaritmos decimales y la aplicación correcta de las reglas de cálculo aproximado.
Contenidos 1.1. Teoría de conjuntos Conjunto. Elemento. Relación de pertenencia. Inclusión de conjuntos. Formas de definir un conjunto. Notación tabular y constructiva. Operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia y su caso particular, la complementación). 1.2. Dominios numéricos (N, Z, Q+, Q y R) Relaciones entre los dominios numéricos. Fundamentación de sus limitaciones. Comparación y orden. Operaciones de cálculo. Relaciones y propiedades de las operaciones. Potencias de exponente entero, fraccionario y racional. Raíz n-ésima de un número real. Resolución de problemas donde se combinen las diferentes operaciones, el tanto por ciento y tanto por mil y el trabajo con cantidades de magnitud. 1.3. Radicales Propiedades de los radicales. Su interpretación como casos particulares de la potenciación. Simplificación de radicales. Reducción de radicales a un mismo
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índice. Radicales semejantes. Adición, sustracción, multiplicación y división de radicales. Racionalización de denominadores monomios y binomios. 1.4. Logaritmos.
logarítmica. Cálculo de logaritmos aplicando la definición. Propiedades de los logaritmos. Tema 2 “Trabajo algebraico” Objetivos:
Aplicar los diferentes métodos de descomposición factorial a la resolución de ecuaciones cuadráticas y de ejercicios sobre operaciones combinadas con polinomios y fracciones algebraicas.
Contenidos
2.1 Operaciones con polinomios Adición, sustracción y multiplicación (se incluyen los productos notables: (a b)2, (a +b) (a - 3, (x + a) (x + b). Descomposición factorial: factor común, factor común por agrupamiento, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, , trinomios de la forma x2 + px + q y de la forma mx2 + px + q con División de polinomios. Regla de Ruffini o Horner. Descomposición de
Suma y diferencia de cubos. Ejercicios combinados de descomposición en factores. 2.2 Fracciones algebraicas Concepto de fracción algebraica. Cambios de signos en una fracción que garantizan que su valor permanezca invariante. Simplificación de fracciones algebraicas. Multiplicación y división de fracciones algebraicas. Adición y sustracción de fracciones algebraicas. Operaciones combinadas con fracciones algebraicas. Tema 3 “Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones” Objetivos:
Aplicar las operaciones fundamentales con variables a la representación de situaciones propias de la actividad práctica y a la interpretación de información dada de manera simbólica.
Plantear ecuaciones que satisfagan determinadas condiciones sobre la base del dominio de los conceptos ecuación, dominio básico de una ecuación, ecuación equivalente, solución y conjunto solución de una ecuación.
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Interpretar geométricamente las soluciones de las inecuaciones lineales o cuadráticas en una variable, así como de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Resolver problemas de la vida práctica de carácter político ideológico, económico- social y científico - ambiental, que se modelen con los recursos de la aritmética o con las ecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias y los sistemas de ecuaciones.
Contenidos
3.1. Ecuaciones e inecuaciones Definición de ecuación, dominio básico de una ecuación, solución de una ecuación, conjunto solución. Ecuaciones equivalentes, transformaciones que pueden realizarse en una ecuación. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones lineales, cuadráticas, fraccionarias, con radicales, exponenciales y logarítmicas. Despeje en fórmulas. Resolución de problemas. Definición de inecuación, dominio básico de una inecuación, solución de una inecuación, conjunto solución. Inecuaciones equivalentes, transformaciones que pueden realizarse en una inecuación. Resolución de inecuaciones lineales, cuadráticas, fraccionarias, exponenciales y logarítmicas y aplicaciones. 3.2 Sistemas de ecuaciones Definición de sistemas de ecuaciones lineales, solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Transformaciones que pueden realizarse en un sistema. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables. Sistemas cuadráticos. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas. Tema 4 “Funciones” Objetivos:
Describir mediante gráficos o ecuaciones funcionales el comportamiento de situaciones de la realidad que se modelan mediante funciones lineales o cuadráticas, aplicando sus propiedades.
Interpretar informaciones sobre situaciones de la realidad que se modelan mediante funciones lineales y cuadráticas, logarítimicas y exponenciales dados sus gráficos, sus ecuaciones funcionales o sus propiedades.
Sistematizar las propiedades (monotonía, paridad, inyectividad, sobreyectividad, biyectividad) de las funciones lineales, cuadráticas, logarítmicas y exponenciales y de proporcionalidad inversa, así como de las funciones racionales.
Determinar el dominio, imagen, ceros, composición e inversa de funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa.
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Representar gráficamente funciones lineales, cuadráticas, logarítmicas y exponenciales y de proporcionalidad inversa.
Transferir de una representación a otra de las funciones, es decir, de sus propiedades a su representación analítica, gráfica o descriptiva (en el lenguaje común) y viceversa, aplicando estos conocimientos a situaciones sencillas de la práctica y otras ciencias.
Contenidos 4.1 Definición de función. Análisis de correspondencias dadas en distintas formas para decidir si son o no funciones. Variable independiente y dependiente. Cálculo de valores funcionales. Determinación de propiedades globales de las funciones numéricas: dominio de definición, valor máximo, valor mínimo, imagen, ceros, monotonía, simetría, periodicidad, paridad, signo, inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de funciones lineales, cuadráticas, potenciales, con radicales, exponenciales y logarítmicas a partir de su ecuación o su gráfico. Función compuesta. Concepto y determinación de funciones compuestas. Función inversa. Concepto y determinación de funciones inversas. 4.2 Representación de situaciones a través de funciones y viceversa, extracción de conclusiones a partir de la representación brindada, aplicando funciones racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Tema 5 “Geometría y trigonometría” Objetivos:
Resolver ejercicios de estimación y determinación de cantidades de magnitud en situaciones geométricas, prácticas o de otras áreas del conocimiento o la técnica, aplicando los conocimientos sobre las figuras y cuerpos geométricos, la igualdad y semejanza de triángulos, el grupo de teoremas de Pitágoras y la resolución de triángulos rectángulos.
Esbozar figuras y cuerpos geométricos que cumplan las condiciones dadas en un enunciado y construir las figuras geométricas fundamentales y las rectas y puntos notables a partir de sus propiedades esenciales, como condición previa para poder inducir la(s) vía(s) de solución de muchos problemas intra- y extramatemáticos.
(Re)descubrir proposiciones matemáticas mediante la demostración o refutación de: el paralelismo o la perpendicularidad de rectas, la igualdad de amplitudes de ángulos, la igualdad o proporcionalidad de longitudes de segmentos, perímetros, áreas o volúmenes, la igualdad o semejanza de figuras geométricas, la posición relativa de rectas y las relaciones entre longitudes y áreas de figuras geométricas, aplicando conceptos y relaciones de la geometría plana, la ecuación general de la recta y las fórmulas para el cálculo de la distancia entre dos puntos, la pendiente de
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una recta, la distancia de un punto a una recta y las coordenadas del punto medio de un segmento.
Calcular razones trigonométricas de ángulos cualesquiera en el sistema sexagesimal y circular de medida de ángulos, aplicando sus definiciones, las relaciones fundamentales entre ellas, el conocimiento de las razones trigonométricas de los ángulos notables y axiales, las fórmulas de reducción, las tablas trigonométricas y las reglas para el cálculo aproximado.
Resolver identidades y ecuaciones trigonométricas aplicando lo aprendido sobre la generalización del concepto de ángulo para calcular razones trigonométricas de ángulos cualesquiera y otros recursos algebraicos y trigonométricos como las identidades trigonométricas fundamentales, las fórmulas de adición y del ángulo duplo.
Resolver ejercicios de aplicación que requieran hallar ecuaciones de rectas, determinar sus posiciones relativas e interceptos (de ser el caso), calcular longitudes de segmentos o amplitudes de ángulos en figuras dadas o averiguar las propiedades que estas poseen.
Reconocer las posiciones relativas de dos rectas en el espacio y las propiedades que caracterizan y determinan un plano, así como determinarlas aplicando los criterios estudiados y así aplicarlas al reconocimiento de planos y demostraciones sencillas.
Aplicar al cálculo y a demostraciones sencillas los conceptos de perpendicular, oblicua y proyección de una oblicua sobre un plano, así como la relación entre la perpendicular y las oblicuas.
Calcular el área lateral, total y volumen de un cuerpo, aplicando de forma integradora los elementos precedentes de geometría plana y del espacio y la trigonometría.
Contenidos
5.1 Geometría plana Conceptos primarios de la geometría plana (punto, recta y plano). Axiomas o postulados. Ángulos. Ángulos opuestos por el vértice, adyacentes, de lados respectivamente paralelos o perpendiculares y entre paralelas. Polígonos y sus propiedades. Rectas y puntos notables del triángulo. Circunferencia y círculo Relaciones métricas en la circunferencia. Ángulos en la circunferencia: central, inscrito y semiinscrito. Demostración de posiciones relativas entre rectas, de igualdad de longitudes de segmentos y de amplitudes de ángulos. Criterios de igualdad de triángulos. Teoremas de las transversales. Criterios de semejanza de triángulos. Grupo de Teoremas de Pitágoras. Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas. 5.2 Trigonometría Cálculo de razones trigonométricas de ángulos cualesquiera en el sistema sexagesimal y circular de medida de ángulos: signos de las razones
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trigonométricas en los distintos cuadrantes. Fórmulas de reducción. Uso de las tablas trigonométricas. Funciones trigonométricas y sus propiedades: dominio de definición, valor máximo, valor mínimo, imagen, ceros, monotonía, simetría, periodicidad, paridad, signo, Cálculo de valores funcionales. Ecuaciones trigonométricas. Identidades trigonométricas fundamentales y su aplicación a la demostración de identidades y a la resolución de ecuaciones. Resolución de triángulos rectángulos y triángulos cualesquiera. Ley de los senos y de los cosenos. Expresión del área de un triángulo en función de las medidas de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre estos. 5.3 Geometría del espacio Axiomas y teoremas para la geometría del espacio. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Ángulo entre rectas. Paralelismo de recta y plano. Criterio de paralelismo de recta y plano. Perpendicular y oblicua a un plano. Criterio de perpendicularidad de recta y plano. Relación entre las perpendiculares y las oblicuas. Distancia de un punto a un plano. Proyección de una oblicua sobre un plano, ángulo entre recta y plano. Teorema de las tres perpendiculares y su recíproco. Aplicaciones al cálculo. Cuerpos geométricos (prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera). Elementos. Cálculo del área lateral, total y volumen, aplicando de forma integradora los contenidos precedentes de geometría plana, del espacio y la trigonometría. 5.4 Geometría analítica de la recta. Distancia entre dos puntos. Pendiente de una recta determinada por dos puntos y su relación con el ángulo de inclinación. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas en función de sus pendientes. Fórmulas para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento. Aplicaciones geométricas de esta fórmula. Ecuación general de la recta, casos particulares. Punto de intersección de dos rectas. Distancia de un punto a una recta. Aplicaciones geométricas. Algunas indicaciones metodológicas:
En el desarrollo del programa debe lograrse que los alumnos recuperen y sistematicen los conocimientos estudiados además de propiciar la integración de las diferentes áreas del conocimiento. De este modo se puede lograr que el alumno se apropie de un cuadro integral de la Matemática. Esta sistematización debe ser activa, a partir de la formulación y resolución de ejercicios y problemas, los cuales serán el medio esencial para organizar de forma sistémica los contenidos en torno a las siguientes clases de problemas:
Problemas de descripción de una masa de datos y de análisis de sus propiedades generales.
Problemas de estimación y determinación de cantidades (cantidades de magnitud) y de relaciones entre ellas, así como de parámetros e incógnitas en expresiones matemáticas.
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Problemas de representación de situaciones mediante modelos analíticos y gráficos y viceversa, de interpretación de sistemas de la realidad a partir de modelos dados.
Problemas de demostración o refutación de proposiciones matemáticas.
Las tareas propuestas para el trabajo independiente deben incluir actividades de búsqueda bibliográfica donde el estudiante tenga que fichar y comparar definiciones y teoremas, enunciar proposiciones, formular problemas, hacer resúmenes, cuadros sinópticos o esquemas de conceptos, teoremas, procedimientos, estrategias, así como comunicar y debatir sus ideas, presentar informes, mediante trabajo individual o construcciones en común con otros estudiantes del aula.
Los problemas deben ser discutidos de forma colectiva en clase, lo que facilita que los alumnos reflexionen sobre el modo en que fueron resueltos. Un lugar esencial de este análisis debe ser la discusión de diferentes vías de solución para el mismo problema, el análisis de los errores más frecuentes, la posibilidad de transferencia de los conocimientos y modos de la actividad mental y los mecanismos de regulación y control que se pueden poner en marcha. Es importante que ellos aprendan a determinar los conocimientos y habilidades particulares y los modos y estrategias generales de pensamiento que les han sido útiles en la resolución de un ejercicio y/o problema dado Se recomienda que el estudiante tome nota en sus cuadernos de los obstáculos y errores más frecuentes que se tienden a producir en el trabajo con un concepto, proposición o procedimiento dado. Este modo de actuación contribuye a que los estudiantes vayan conformando de forma individual, con la intervención colectiva, el procedimiento generalizado para resolver problemas.
En el tema 1 se reactivarán al inicio los conocimientos y habilidades estudiados anteriormente sobre los dominios numéricos y el trabajo con variables y los conceptos de potencia y sus propiedades. A partir de la definición de potencia de exponente racional y sus propiedades se deben obtener las propiedades de los radicales. Es importante que en la ejercitación se integren estas propiedades y se logre el dominio de las mismas, ya que son la base para todo el trabajo posterior con los radicales.
Se reactivarán las propiedades de las potencias de base y exponente real y se analizará la relación de igualdad entre dos potencias y la monotonía de la potenciación, sobre cuya base se introducirá el concepto de ecuación e inecuación exponencial. Se analizarán los casos cuando la base es mayor que uno o está entre cero y uno.
Estas ecuaciones e inecuaciones se resolverán a partir de los conocimientos y habilidades relacionados con las propiedades de las potencias y los procedimientos de resolución de los otros tipos de ecuaciones e inecuaciones estudiadas hasta el momento.
De igual forma se introducirá la logaritmación como otra operación inversa de la potenciación y se analizará la definición de logaritmo de base a y las identidades
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fundamentales que se derivan de ella. Se resolverán ejercicios de cálculo de logaritmos aplicando la definición y sus propiedades. También aquí se analizará la monotonía de la logaritmación y se diferenciarán los casos cuando la base es mayor que uno o está entre cero y uno y se compararán logaritmos.
En la parte relativa al trabajo con variables se deben sistematizar las operaciones con polinomios a partir de la necesidad de resolver determinado tipo de ecuaciones, por ejemplo, cuadráticas. En este sentido es importante aprovechar el momento de la resolución de ecuaciones cuadráticas cuyo discriminante es menor que cero, para llamar la atención acerca de que estas son resolubles en el dominio de los números complejos. Se sugiere que el método de Ruffini se introduzca a partir de un problema. Después de estudiado el procedimiento, este debe integrarse a las otras formas de factorización estudiadas, como un recurso más para resolver ejercicios y problemas.
Se debe establecer la analogía que existe entre los procedimientos con fracciones algebraicas y con números fraccionarios. No se debe sobredimensionar el trabajo relacionado con las operaciones con fracciones algebraicas. Asimismo, debe evitarse en lo posible que se trabaje por separado con problemas que conducen a ecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias.
Debe tenerse en cuenta que a partir de la comprensión de la definición de ecuación con radicales, se identificarán estas ecuaciones y se resolverán algunas sencillas donde aparecen raíces cuadradas que contienen una variable y requieran una o dos elevaciones al cuadrado. Este trabajo debe permitir sistematizar los distintos tipos de ecuaciones estudiadas; se deben incluir casos que se reduzcan a ecuaciones de segundo grado donde sea necesario la utilización de la fórmula general de la resolución de las ecuaciones de segundo grado. Posteriormente se resolverán ecuaciones donde se eleve una vez al cubo u otra potencia que no conduzca al desarrollo de binomios. Si bien la resolución de ecuaciones con radicales donde se eleve a una potencia n > 2 no es objetivo, se deben mostrar como generalización del algoritmo. En algunas ocasiones resulta ventajoso determinar primero el dominio de definición de la ecuación con radicales para lo cual e puede proponer un ejercicio como el siguiente:
Determina el dominio básico de solución de la ecuación 4x32x .
Sean D1 y D2 los dominios de definición de 2x y 4x3 respectivamente y
D, el dominio básico de solución de la ecuación. Entonces:
2x Está definida si y solo si ,
Luego si ≥
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Por tanto se cumple :Rx1D
4x3 Está definida si y solo si ,
Luego si ≥
Por tanto se cumple :Rx2D
Entonces :Rx2D1DD
Las ecuaciones e inecuaciones logarítmicas se resolverán aplicando los conocimientos y habilidades precedentes. Las inecuaciones que se trabajen deben ser sencillas. En particular en el caso de las logarítmicas resulta conveniente en muchos casos que se determinen primeramente el dominio de definición o el conjunto de valores admisibles de la inecuación.
En el Tema 4 se profundizará en el concepto de función como correspondencia y en su interpretación como conjunto de pares ordenados, comenzando por la reactivación de los conocimientos previos estudiados sobre la función lineal y la cuadrática, la proporcionalidad directa e inversa.
En general, en el tratamiento de todas las clases de funciones se tratará de revelar su importancia desde el punto de vista intra- y extra matemático, priorizando aquellos problemas de carácter político - ideológico, económicos y científicos - ambientales, con datos de la actualidad que reflejen la obra económica, política y social de la Revolución y que permitan fundamentar la superioridad del sistema socialista cubano sobre el capitalista.
En el estudio de este tema los alumnos deben poder pasar de una forma de representación de una función a otra, es decir, de sus propiedades a su representación analítica y gráfica y viceversa. En particular deben ser capaces de realizar inferencias acerca de los fenómenos y procesos de la realidad estudiados y de poner ejemplos de otros que se comportan de acuerdo con una ley determinada, además de poder hallar parámetros de una ecuación empírica. Al trabajar con las funciones cuadráticas deben poder resolver problemas sencillos de optimización que no sean sólo de naturaleza geométrica.
Debe trabajarse con un enfoque que tenga en consideración la enorme importancia que ellas tienen en la modelación de numerosos procesos y fenómenos de la realidad objetiva. Este trabajo deberá desarrollarse realizando el tratamiento del concepto de función como correspondencia y como una relación de dependencia entre dos magnitudes, como es el caso en el siguiente ejemplo:
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El gráfico describe el comportamiento de la temperatura de una sustancia en función del tiempo.
T (C)
a) ¿Cuál fue la temperatura inicial
De la sustancia?
b) ¿Cuál era su temperatura a los
6 minutos?
c) Durante cuántos minutos estuvo
Descendiendo la temperatura?
d) ¿A los cuántos minutos alcanzó 0
los 0 C?. t(min)
e) ¿Qué temperatura tenía la sustancia a los
2 minutos y 30 segundos?
Los alumnos deben poder elaborar por sí mismos una sucesión de indicaciones de carácter cuasi - algorítmico para hacer el análisis de las propiedades globales de las funciones que se estudian en este tema. Debe atenderse al rigor en el estudio de esta problemática, por ejemplo, los alumnos deben percatarse de las diferencias entre funciones definidas por una misma regla en conjuntos distintos, deben diferenciar entre la monotonía en un intervalo y en todo el dominio, deben tener claridad que las operaciones con funciones están definidas en la intersección de los dominios de las funciones con que se operan, deben saber cuándo existe la inversa de una función, etc.
Entre los ejercicios deben incluirse aquellos que apliquen las propiedades de las funciones y los tipos de ecuaciones estudiadas, por ejemplo, para hallar los puntos donde la función corta a los ejes coordenados o buscar los puntos donde se cortan dos o más funciones. Debe tenerse en cuenta la necesidad de repasar
el concepto de módulo antes de estudiar la función f: RR+ 0 con f(x) =
x. Para calcular los ceros de esta función en algunos casos se revolverán
ecuaciones modulares sencillas del tipo x+a=b.
A través de ejemplos de la práctica se presentarán las funciones exponencial y logarítmica. Se reactivará el concepto de función inversa para obtener la función de ecuación y = 10x. Se resolverán ejercicios sobre la representación gráfica de las funciones exponencial y logarítmica y el análisis de sus propiedades, además, de ejercicios donde se obtengan funciones compuestas y la inversa de una función logarítmica o exponencial dada. En todos los casos se valorará
-4
-4
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5 8
11
el efecto de la variación de los parámetros de la ecuación funcional en su gráfico.
En el tema 5 se reactivarán las razones trigonométricas y la resolución de triángulos rectángulos. De igual forma se repasarán los contenidos relativos al sistema sexagesimal de medidas de ángulos y se introducirá el sistema circular.
Un punto culminante en esta unidad es la generalización del concepto de ángulo, que permitirá extender el cálculo trigonométrico a ángulos cualesquiera en ambos sistemas de medidas de ángulos, así como los conceptos de ecuación e identidad trigonométrica. Debe lograrse que los alumnos comprendan la deducción de las identidades fundamentales y las fórmulas en el círculo trigonométrico, a partir de la relación pitagórica en el triángulo rectángulo determinado por las coordenadas del punto P(x; y) y el radio.
En el trabajo con las ecuaciones trigonométricas se deben resolver ejercicios que conduzcan a la resolución de ecuaciones de los tipos que se estudiaron con anterioridad, incluyendo las ecuaciones con radicales, como una forma de sistematizar los contenidos aprendidos. También deben resolverse ecuaciones con dominio restringido. Se demostrarán las fórmulas del seno y el coseno de la suma y diferencia de dos ángulos. A partir de las fórmulas de adición se obtendrán las fórmulas del ángulo duplo. Se deben repasar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos notables al realizar ejercicios de cálculo con radicales. También se deben repasar los contenidos de la geometría sintética del plano, que el diagnóstico preliminar de los alumnos indique necesario reactivar. Deben incluirse en el repaso sobre triángulos las rectas y puntos notables.
Se reactivará el grupo de Teoremas de Pitágoras y se introducirán las leyes de los senos y los cosenos, los que se aplicarán a la geometría plana, a otras ciencias y al cálculo de cuerpos. Para ello se repasarán los conceptos de polígono (convexo, no convexo), polígono regular, y los cuerpos geométricos estudiados con anterioridad. Debe quedar bien claro en los estudiantes que conocido el número de lados de un polígono regular y otro elemento cualquiera, es posible siempre hallar los restantes (el cálculo se reduce al cálculo en un triángulo isósceles y por ende al de un triángulo rectángulo).
Es importante que los alumnos comprendan las ventajas del método de coordenadas en la geometría y aprecien cómo algunos ejercicios pueden resolverse de manera más fácil por esta vía. Deben proponerse ejercicios de cálculo y demostración que permitan resolverse por varias vías y que integren lo que se va tratando paulatinamente con las propiedades de las figuras planas.
Se ampliará por ejemplo el concepto de pendiente como la tangente del ángulo de inclinación de la recta respecto al semieje positivo de las x y se utilizará en el análisis de la posición relativa de rectas. Como aspecto central de la unidad se tratará la ecuación cartesiana de la recta. La posición relativa de rectas se abordará también al tratar de calcular el punto de intersección de ellas, en caso de que exista, mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones. Estos conocimientos se deben aplicar a la clasificación de cuadriláteros y triángulos,
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exigiendo previamente a los alumnos que hagan el esbozo de las figuras geométricas que cumplan las condiciones dadas en un enunciado.
En el estudio de la geometría de espacio es importante mostrar a los alumnos cómo a partir de ciertas proposiciones de partida que describen las propiedades más esenciales de las rectas y los planos en el espacio se han ido demostrando nuevos teoremas, lo cual es característico del método axiomático.
Es necesario también aprovechar las posibilidades que brindan estos contenidos para que los alumnos aprecien las formas que tiene la matemática de asegurar sus conocimientos, mediante la resolución de ejercicios en que se apliquen diferentes métodos de demostración. Los alumnos que hayan elegido carreras de Ciencias Técnicas, Naturales y Matemática serán sometidos a una mayor exigencia en relación con la demostración de propiedades.
Es imprescindible desarrollar en esta tema habilidades en el esbozo de figuras y cuerpos geométricos, en particular, utilizando la perspectiva caballera, con el fin de ilustrar las situaciones dadas en los ejercicios y problemas.
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Auto exámenes
AUTOEXAMEN # 1
1. Determina los ceros de la función xxxxf cos2
22cossen)( 2 en el
intervalo
22
3 x
2. En la figura ABCD es un cuadrado, O es su centro. con centro en A se ha trazado el arco CE y con centro en O se ha trazado el arco CB. A, B y E
puntos alineados, cmAB 23 .
a) Calcula el área sombreada.
b) Prueba que: OBDCADOA . 3. Determina los puntos de intersección entre las siguientes curvas, cuyas
ecuaciones son:
xy 93 log1)1(log y 772 yx .
4. El perímetro de un triángulo es 12m y la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre sus lados es 50 2m . Calcule los lados de dicho triángulo si
estos forman un número de tres cifras que restado a otro con cifras iguales pero en orden inverso da como resultado 198. ¿Cuántos triángulos de estos son necesarios para cubrir una superficie de120 m2? 5. Halla la diferencia entre los volúmenes de una pirámide de base hexagonal regular de 16 cm de lado base y 20 cm de altura y el cono cuya base está inscrita en la base de la pirámide. ¿ Qué por ciento representa el volumen del cono con respecto al volumen de la pirámide?
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AUTOEXAMEN #2
1. Dada la expresión
5634
86
49
7223
2
2
2
xxx
xxx
x
xxxA
a) Determine para qué valor de x se cumple que: 093 2 x
A
2. En la figura AB CD , AD ABEC ; cmAB 16
;10cmCD 4
3BCEtan ; AC diagonal.
a) Calcula el área de la parte sombreada.
b) Demuestre que el EBF es isósceles de
base EF si BCFB5
3 .
3. En un número de tres cifras se conoce que la cifra de las centenas y las decenas son iguales. La suma de la cifra de las unidades y las decenas es igual al cuadrado de la cifra de las centenas. Determina el 22,5% de dicho número si la suma de sus cifras básicas es 12.
4. Determine el dominio de la función:
2log36
2510)(
2
2
x
x
x
xxxf
5. En una pirámide recta de base cuadrada las diagonales miden 6,4 dm y la
altura forma con una cualquiera de las aristas laterales un ángulo de 30°. Calcula la longitud de las aristas laterales de la pirámide y el volumen del cuerpo que resulta de extraer dicha pirámide de un prisma de igual base e igual altura.
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AUTOEXAMEN #3
1. Dada las funciones: 22
1)(
23
3
xxx
xxf y
232
12)(
2
2
xx
xxxg
a) Halla
3
1f .
b) Determina la función j(x) tal que: )()()( xfxjxg
2. En la figura ABCD , ABC es rectángulo en C, BAC=60°,
cmAB 0,6 .
Calcula el perímetro del CDB. 3. Determine los valores de t para los cuales se cumple que:
024 211 tt 4. E la provincia Granma existió una matrícula en el curso 1994 -1995 de 2196 estudiantes en 12mo. Grado. Entre los municipios Bartolomé Masó, Jiguaní y Río Cauto la matrícula es de 560 alumnos. El 40% de los alumnos que hay en Masó sumado con el 20% de los había
en Jiguaní es igual a 140. La diferencia entre el 30% de los estudiantes de Masó y el 60% de los de Río Cauto es igual a 12. Determine la matrícula de cada municipio.
5. Halla en el eje de las ordenadas un punto un punto M cuya distancia al punto N(-8;5) sea igual a 10 (M está por debajo del eje x). Escriba la ecuación cartesiana de la
recta r1 perpendicular a MN y que pasa por su punto medio y determine su relación
de posición con la recta r2: 028
15 yx .
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AUTOEXAMEN # 4
1. Halla todos valores de x , con 0 x 360 que satisfacen la ecuación :
xx sen2cos16log 64410
2. En la circunferencia de centro O y
perímetro 62,8cm se han trazado
los diámetros AB y CD perpendiculares entre si. Conocemos que los arcos DE y GB son iguales, el punto F está en
la prolongación de AB ,
DF corta a la circunferencia en G y ABE = 30°.
a) Pruebe que EBDF .
b) Calcula la longitud de OF . 3. Resuelve la siguiente desigualdad:
37log 2
12
xx
2
4. Un hombre nació en Puerto Rico y cuando había transcurrido la tercera parte
de su vida se trasladó a República Dominicana, donde permaneció el 20% de los años que vivió. Luego se trasladó a Venezuela por el resto de su vida donde vivió 48 años menos que la edad en que murió. ¿Cuántos años tenía cuando viajó a Venezuela?
5. La figura muestra lo que quedó de un prisma recto de base cuadrada que fue truncada en su parte superior por el plano EFGH. Se cumple que
cmEDAF 10 , cmCHBG 15 y que el área del cuadrado ABCD es de 144 cm2. a) Calcula el volumen y el área lateral de la figura.
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AUTOEXAMEN #5
1. Sean las funciones f(x) = xx 72log 2 , g(x) = x
1log y h(x) =
2log x
a) Determine el conjunto de valores de x para los cuales se cumple que:
2f(x) 2g(x) = 4h(x) 2. En la figura A, D, B y E son puntos de la circunferencia de centro O,
BD = EB , ACE = 30 , A, O, B y C
son puntos alineados, EC es tangente en el punto E.
a) Demuestre que OCE ABD.
b) Pruebe que OE 2 =2
OCBD
3. A la hora de entrar a un cine los mayores pagan 60 centavos y los niños 40 centavos. Entran 250 personas al cine y en total se recaudan $128.00. ¿Cuántos mayores y cuántos niños entraron en el cine?
4. Sean las funciones f(x) = xx
x
cossen
cos21 2
y g(x) = xtanx cot
a) Demuestre para todos los valores admisibles de la variable que f(x)=g(x).
5. En la figura se representa un cilindro recto de 4,0cm de diámetro, O1 y O2 centro de sus circunferencias bases, dicho cilindro ha sido perforado por su base inferior por una semiesfera cuyo diámetro coincide con el del cilindro, además por su parte superior también se perforó al cilindro por un cono circular recto cuya base coincide con la del mismo. Conociendo que el ángulo formado por la generatriz del cono y el segmento
SO2 punto de la semiesfera es de 30 siendo S vértice
del cono y un punto de la semiesfera. Calcula el volumen del cuerpo resultante.
Datos
sen30=0,500 ; cos30=0,866 ; tan30=0,577
18
AUTOEXAMEN #6
1. Determine los valores de xR para los cuales la función x3 – 7x – 6 f(x) = toma valores negativos. x2+ x – 2
2. En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado Cuyos lados miden 3,0 cm.
a) Demuestra que FEG DEC. b) Si CE = 6,2cm y EG = 3,1cm, calcula el área del cuadrilátero DCGF. C
3. Resuelve la siguiente ecuación sabiendo que 0 x /2. cos2x + senx = 1 4. La suma de los valores absolutos de las tres cifras de un número es
14. La cifra de las decenas es igual a la suma de las cifras de las centenas y unidades. La diferencia entre la cifra de las decenas y la cifra de las centenas es 3. ¿Cuál es el número?
5. Un pedazo de madera de forma cilíndrica se ha
perforado en su parte superior formándose un cono y en su parte inferior formándose una semiesfera, como se muestra en la figura. Si el radio O1A = 3,0cm y la altura del cilindro
O1 O2 = 10cm. Calcula el volumen del cuerpo resultante.
19
Diferentes pruebas de ingresos aplicadas en años anteriores 1. EXAMEN DE INGRESO MATEMATICA 87-88 1. Dados:
babaxRxxPxxM 3264129 22
1423 223 xQxxN
a) Descomponga en factores cada una de las expresiones dadas. b) Calcule y simplifique: ( 2x2/N - 1/M ) : Q/P 2. Dados los puntos A(-3;5) B(5;-1) C(-5;-6)
a) Represente el ABC en un sistema de coordenadas rectangulares. b) Halle la ecuación paramétrica de la recta "r1" que pasa por los puntos A y B. c) Halle la ecuación de la recta "r2" que pasa por el vértice C y es perpendicular a "r1". d) Determine las coordenadas del punto de intersección de "r1" y "r2".
3. Del ABC se conoce ABC = 71 y BCA = 64 y en el HIJ, HIJ = 64 y
JHI = 45.
a) Pruebe que ABC y HIJ son semejantes. b) Exprese la proporcionalidad de los lados de ambos triángulos. 4. Resuelva la ecuación:
01232 xx
5. Dada la función 172154 23 xxxxf
a) Analice su monotonía. b) Determine los valores de x para los cuales f(x) tiene un extremo local, hallando en cada caso el tipo de extremo.
20
2.EXAMEN DE INGRESO MATEMATICA (1988-1989) 1.Dados:
1532737949 222 xxCxxBxA
14194158 232 xxxExxD
a) Descomponga completamente en factores cada una de las expresiones anteriores. b) Calcula y simplifica ( 1/B - 6/A ) . C/D 2. Dados A(-4;-1) y B(-8;-5) a) Escriba una ecuación no paramétrica de la recta que pasa por A y B. b) Halla las coordenadas de los puntos de intersección de la recta AB con la circunferencia x2 + y2 = 17 3. En la figura: ABC rectángulo en B D pertenece al segmento AC M es el pie de la perpendicular trazada desde D hasta AB
a) Pruebe que ABC ADM y escriba la proporcionalidad entre sus lados homólogos. b) Si sabemos que AB = 9,0cm y AC = 15 cm y el área del AMD es 13 cm2, calcula la longitud de BC y el área del cuadrilátero MBCD. 4. Resuelva la ecuación:
cos 2x - 1/2 cosx + sen2x = 0 para 0 x 2
5.- Dada 1+x
1+2x-x = f(x)
2
a) Determina el dominio de f. b) Analiza la monotonía de f para x > 1. Justifica. c) Determina los valores de x para los cuales la función tiene extremos locales y halla las imágenes correspondientes.
D
C
B M A
21
3.EXAMEN DE INGRESO MATEMATICA CURSO 88-89
1. Compruebe que:
4
13:
x
x
D
C
B
A
Si A = 9x2 - 1 B = x2 + x - 20 C = 3x2 + 14x – 5 D = x2 + 10x + 25 2. Dadas las rectas: r1 : 3x - 4y = 10 r2 : 2x - y =-5 a) Calcule el punto de intersección de r1 y r2. b) Diga si son o no perpendiculares. Justifique. 3. Determine el área de la región sombreada, sabiendo que:
AC = 12,0 cm BC = 5,00 cm
4. Resuelva: 015cos2 2 xsenx
5. Sea 1+x4
4-x = f(x)
2
2
a) Determine los ceros de f. b) Analice la monotonía de f. c) Determine los extremos de f. Justifique.
d) Diga si existe algún xR tal que f(x) 1/4
A B
C
O
22
4.EXAMEN DE INGRESO MATEMATICA CURSO 89-90
1. Dados: xx
xxB
x
xxA
64
3612
36
18922
2
2
2
a) Calcule y simplifique A . B b) Halle el valor de x para el cual el valor numérico del resultado del inciso a) es -1. 2. Resuelve la siguiente ecuación:
2cos32cos 2 xsenxx
3. Dados los puntos A(-1;-8) y B(3;8) a) Halle una ecuación no paramétrica de la recta "r" que pasa por B y A b) Determine las coordenadas de los puntos de intersección de "r" con y2 - 8x = 0.
4. En la circunferencia de centro O y diámetro AC, B punto de la circunferencia,
CBOD, OC DC
a) Pruebe que ABC y OCD son semejantes b) Si OD = 13 cm y CD = 5,0 cm. Calcule el área del círculo. 5. Dada la función:
22 23 xxxxf
a) Calcule sus ceros. b) Determine en qué intervalos la función es creciente y en cuál es decreciente. c) Halle los valores de x para los cuales la función tiene extremos locales. d) Especifica, según el caso, si hay máximo o mínimo local.
O A
B
C
D
23
5.EXAMEN DE INGRESO MATEMATICA.(90-91)
1.-Sean: 42045
5112 2
23
2
xBy
xxx
xxA
Verifica que la expresión A . B + x2 se hace cero para un único valor de x 2. En la figura aparece el cuadrado MNPQ inscrito en la circunferencia. MQ = 7,0 cm. M, R y N puntos alineados. a) Calcula la longitud de la diagonal NQ b) Calcula la razón A /B donde A: área del círculo
B: área del PQR
3.Sean las funciones: 44133 2 xxhyxxxf
a) Determina el dominio de f. b) Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de los lados gráficos de las funciones f y h. 4.En el triángulo ABC rectángulo en A se conoce que B(1;1) y que las rectas que contienen a los lados BC y AC son rBC: 3x - y - 2 = 0 rAC: x - 2y + 11 = 0 Halla las coordenadas de los vértices A y C. 5. En la figura aparecen un esbozo del
gráfico de la función 233 xxxf
rectángulo PQRS, cuyo lado PS está contenido en el eje X. Si los puntos P y S pertenecen al gráfico de f y las rectas que contienen a los segmentos PS y QR son tangentes a la curva.Calcula el área del rectágulo.
R
P S O
Q
M N R
P Q
24
6.EXAMEN DE INGRESO MATEMATICA ( 91-92 ) 1. Halle los valores de x que satisfacen la ecuación:
5 = 3 - 9)1+x()1+x+
2
1( 39 loglog
2. Calcule el área de la región sombreada, conociendo que la circunferencia de centro O dada en la figura tiene radio de longitud 1,0 m; OABC, es un cuadrado, B y D son puntos de la circunferencia y A pertenece a OD. 3. La función f cuyo dominio es R, satisface la ecuación:
2 cos2f(x) + 3 senf(x) = 3 y para todo x R se cumple que /2 < f(x) < . Verifique que f es una función constante. 4. Una empresa tiene un terreno rectangular de 1500 m2 de superficie. Por necesidad de una obra social le piden que done una parte del mismo en una de las siguientes opciones: 30m La empresa escogió la primera variante ya que así cedía 50m2 menos. Determine las dimensiones originales del terreno. 5. En la figura ABCDEFGH es un cubo, M y N son puntos medios de AD y CD respectivamente. Si el área total del cubo es 24 dm2. Calcula el volumen de la pirámide MNDH.
20m
A B
C
G H
E F
M
N
D
B
D O
C
A
25
7.EXAMEN DE INGRESO MATEMATICA (91-92)
1. Resuelva: 4 = 2 . 22)+(x7)+(2xx logloglog
2. Un terreno tiene forma de trapecio rectangular. Calcule el perímetro y el área del terreno si: MQ = 3 dm MN = 12 dm
NP = 5 dm
3.- Sea : 4-x
4+x3-x = A(x)
2
23
Determine el conjunto de los números reales no negativos para los cuales se
cumple que A(x)0. 4. El promedio de las notas de un estudiante en Matemática, Física y Química es 88 puntos. Si hubiera obtenido 100 puntos en Matemática, el promedio sería 92 pero si en lugar de obtener 100 en Matemática lo hubiera obtenido en Química sería 94 el promedio. ¿Qué promedio hubiera obtenido si los 100 puntos los hubiera obtenido en Física? 5. El ortoedro ha sido intersecado por un plano que pasa por los puntos B,D,H,F como muestra la figura. El volumen del
prisma ABDEFH es 34,6 m3, su altura es 10 m y DBA = 60. Calcule las dimensiones del ortoedro ABCDEFGH.
Q P
N M
A B
C
G H
E F
D
26
8. EXAMEN DE INGRESO DE MATEMATICA (1992-1993)
1. Halla los valores de x para los cuales las funciones f(x) = 3 - 3 cos2x y g(x) = 10 senx - 7 alcanzan el mismo valor. 2.- En la siguiente figura el punto C pertenece a AD y equidista de los vértices del
BAD;
CE es la altura correspondiente al lado DB del CDB. a) Demuestra que CDE y ADB son semejantes.
b) Calcula el área del CDE si se conoce
que el área del ADB es 216 cm2 3.- Dos ciclistas se entrenaban para una competencia y en ese momento la suma de los cuadrados de sus pesos era igual a 6100 kg. Se conoce que uno de los ciclistas pesaba 10 kg más que el otro. Finalmente uno de los ciclistas no pudo participar en la competencia. Durante el evento el ciclista participante bajó de peso la misma cantidad de kilogramos que aumentó el ciclista que no participó, alcanzando así ambos el mismo peso. Calcula el peso de los ciclistas después de celebrada la competencia.
4. Sean 3-x
1 = g(x)y
5+x
5-2x = f(x)
Determina para qué valores de x se cumple : 3f(x) 3g(x) 5. Una pieza metálica, cuya forma es un prisma recto de base triangular, se rebaja en un torno hasta obtener una pieza cilíndrica, como se muestra en la figura. Calcula el volumen de esta pieza cilíndrica si - las bases del prisma son triángulos equiláteros, cuyos lados tienen 2,0 dm de longitud; - la altura del prisma es 60 cm; - las bases del cilindro están inscritas en las bases del prisma.
Datos: 14,324,2573,1341,12
D A
B E
C
27
9. EXAMEN DE INGRESO SEGUNDA CONVOCATORIA 92-93
1. Halla los valores de x para los cuales se cumple:
3
f(x) + 10 = f(x) siendo 43 xxf
2. En la figura A, B y C son puntos de la circunferencia de
centro O y radio r; OBC, AB = r, BD bisectriz del <ABC y E es el punto de intersección de BD con AC. Calcule EO en función del radio r. 3. Resuelva la ecuación:
049log21316log 7
2
3 xxx
4. Dos fábricas producen el mismo tipo de piezas. Juan trabaja en una de ellas y David en la otra. Entre ellos tiene lugar el siguiente diálogo: Juan: Si mi fábrica lograse aumentar su producción diaria en 19 piezas, entonces produciría cada día el doble de lo que tu fábrica produce diariamente. David: ¿Tú conoces la producción diaria del país? Juan: Sí, es de 87 piezas. David: Pues si tu fábrica produjese diariamente 2 piezas menos, entonces el cuadrado de esa producción sumado con lo que el país produce diariamente sería 8 veces lo que nuestras dos fábricas juntas producen al día en estos momentos. ¿Cuántas piezas producen diariamente cada fábrica?
5.-En la figura se representa un cuerpo
que se obtuvo de un cubo de madera al que se le dió un corte de manera que: . O1 y O2 centros de las bases del cubo. El cuadrilátero AFO1O2 pertenece al plano que contiene a O1O2 y que es paralelo al que pertenece la cara JIDE . El cuadrilátero JEO1O2 pertenece al plano que contiene las aristas HC y JE. Sabiendo que ED =2, 0 cm. Calcula el área total del cuerpo representado.
B O
C
D E A
C
B A
O2
E
D
I H
G
O1
F J
28
10. EXAMEN DE MATEMATICA (1a. Convocatoria) 1993- 1994
1.- Demuestre la siguiente identidad para los valores admisibles de la variable x
senxsenxxsenx 21211tan1 22
2.-El cuerpo ABCDEFGH que se muestra en la figura es un prisma recto de base cuadrada. KM es la intersección con una base del prisma de un plano que pasa por la diagonal HF de la
otra base , (KM DB) .
Demuestra que KDH = MBF
3.- Sea: 1+x = f(x)
Halla todos los valores de t para los que se cumple f (2t) – f (t-1) = f (t-4) 4.- De un trapecio de 49 cm2 de área se conoce que la base menor mide 4,0 cm y que la base mayor excede en 3,0 cm a la altura. Calcula el área que tendría el trapecio si la base mayor fuese 2,0 cm más corta. 5.- El cuadrilátero PQRS se encuentra situado en el plano XY y es la base de una pirámide recta cuyo vértice superior se encuentra sobre la parte positiva del eje z de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio. Los vértices P y R son simétricos respecto al origen de coordenadas y lo mismo sucede con los vértices Q y S. Se conoce que P(0,-3,0) y S(-5,0,0) y que el volumen de la pirámide es de 90 u3. Calcula las coordenadas del vértice superior.
E
A
M B
C
G H
F
K
D
29
11. EXAMEN DE MATEMATICA (93-94) SEGUNDA CONVOCATORIA
1. Resuelve la ecuación:
3 4-x 3 = ) 1+x+1 ( loglog
2. En la figura aparece representado un cuerpo formado
por un cilindro circular recto y un cono circular recto, cuyas bases tienen igual radio.La altura total del cuerpo es 18 cm. Halle la altura que tiene que tener el cono para que se cumpla:
2
3
conodelVolumen
cilindrodelVolumen
3. Sean las funciones: xsenxxf
2cos32)( y g(x) =3x-4
Determine los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=g(4).
4. Las tres cifras de un número suman 13. Si del número se resta 270 se obtiene otro número de tres cifras en el cual resultan intercambiadas la cifra de las centenas y de las decenas, pero se conserva la cifra de las unidades. El número de dos cifras formado por la cifra de las decenas y la de las unidades del número original es igual a 6 veces la cifra de las centenas. ¿Cuál es el número?
5. En la figura A, C y D son puntos de la circunferencia de centro O y radio r = 12 cm. El cuadrilátero ABDO
es un trapecio isósceles y ODC=60.
Calcula el área sombreada.
18 cm
B C D
O
A
30
12. EXAMEN DE MATEMATICA ( 94-95) PRIMERA CONVOCATORIA 1.- Resuelva la ecuación: xxxxsen cos32coscot22
2.- En la figura los arcos AB y BC son iguales y RS BC , AC y BD son diámetros de la circunferencia de centro O. R es un punto de AC y S es un punto de BD, AB/RO = 3/2.
Demuestre que (Area del ROS )/( Area del ABC)= 4/9 3.- Un terreno rectangular tiene 30 m de ancho y 50 m de largo. ¿En cuántos metros debe disminuirse el ancho y en cuántos aumentarse el largo para que el perímetro aumente en 30 m sin cambiar el área?
4.- Sean: 1-x
1 = By
8+x
1-x+x-x = A
4
23
Halle el mayor número entero negativo x para el cual se cumple AB 0. 5.- En la figura se tiene un prisma recto de base cuadrada en el cual se ha inscrito un cono. El área total del prisma es 112 dm2 y el ángulo
que forma la generatriz del cono con la altura es = 21, 8º. Calcule el volumen del cono.
Datos:
14,324,2573,1341,12
sen 21,8=0,371 cos 21,8= 0,928 tan 21,8 = 0,40
D
R
B
C
S
O A
31
13. EXAMEN DE MATEMATICA ( 94-95) SEGUNDA CONVOCATORIA 1.- Resuelve la ecuación:
13log1113log 1
2
1
2 xx
2.- En un sistema de coordenadas en el plano se ha representado el rectángulo ABCD. Se conoce que A(0,-1), B(3,-2) y C(4,1). a) Demuestra que ABCD es un cuadrado. b) Escribe una ecuación de la recta AD.
c) Halla las coordenadas del vértice D. 3.- Con dos cuadrados se forma una figura de seis lados como se muestra en el dibujo. Calcula las longitudes de los lados de los cuadrados sabiendo que la figura obtenida tiene 233 cm2 de área y 68 cm de perímetro.
4.- Halla todos los pares (x,y) con 0 x /2 ; /2 y que satisfacen el sistema y- 2x = 0 seny - cosy = 1 5.- En la figura AO es radio de la esfera de centro O y es perpendicular al plano que pasa por O y que está determinado por los puntos B,P y D de
la esfera. C es un punto de BD, OCBD y BAC = 30. Demuestre que:
3
34,
ABCdelArea
DyPBprpasaquecirculodelArea
B
A
C D
P
32
14. EXAMEN DE MATEMATICA ( 95-96) 1a.CONVOCATORIA 1. Demuestra la siguiente identidad para los valores admisibles de la variable:
2
1coscos
1cos22cos
xx
xx
2. En la figura A,B y C son puntos de la circunferencia de centro O.
AB es diámetro y ODCB en E. DB es tangente a la circunferencia en B.
a) Demuestra que ABC y DBO son semejantes b) Demuestra que CB . OB = AC . DB
3. Sean las funciones:
2loglog72log164
2
xxxxxgyxf
Determina los valores de x para los cuales ambas funciones alcanzan el mismo valor. 4. Dos fábricas debían producir entre ambas 360 bicicletas, según sus respectivos planes de producción. La primera de ellas cumplió su plan al 112% y la segunda al 110% y entre las dos produjeron 400 bicicletas. a) ¿Cuál era el plan de producción de cada fábrica? b) ¿Cuántas bicicletas produjo cada fábrica? 5. En la figura se representa un cuerpo formado por un cilindro circular recto de altura H, un cono de altura h y una semiesfera de radio r. Las bases del cilindro son las bases del cono y la semiesfera respectivamente. El vértice del cono es un punto de la semiesfera. El volumen del cilindro es 471 cm3. La generatriz del cono y la altura
forman un ángulo = 78,7. Calcula el volumen del cono. Datos:
2= 1,41 3=1,73 5=2,24 =3,14
sen 78,7=0,981 cos 78,7= 0,196 tan 78,7 = 5,00
A O
B
D C
E
33
15. EXAMEN DE MATEMATICA (95-96) SEGUNDA CONVOCATORIA 1. Resuelva la ecuación:
1 = x-16+4x
2. En la figura A,B,C y D puntos de la circunferencia.
DB diámetro y AC BE.
a)Demuestre que BCD ABE b) Demuestre que AB . DC = BD . AE
3.Halle los valores de x ( 0 x ) que satisfacen la ecuación:
25cos722coslog cos xxsenxxsenx
4.En un taller de piezas de repuesto había en total 120 piezas de dos tipos. Una empresa adquirió la mitad de las piezas del tipo I y tres cuartos de las piezas del tipo II. Si lo que quedó es el 40% de las piezas que había inicialmente, calcula cuántas piezas de cada tipo había al principio.
5.La pirámide ABCDE es de base cuadrada de lado a y altura h. P y Q son puntos medios
de AB y DC respectivamente, se conoce que <EPQ=68,2 y que el triángulo PQE tiene un área de 90,0 cm2 Calcule el volumen de la pirámide. Datos:
24,2573,1341,12
sen 68,2=0,928 cos 68,2= 0,371 tan 68,2 = 2,50
A P
E
Q D
B
C
E A O
C B
D
34
16.EXAMEN DE MATEMATICA (1996-1997) 1ra CONVOCATORIA
1.- Si la función definida por 52
1 xxf
Halle los valores de x para los cuales se cumple: 12 xfxf
2.- A,B.C y D puntos de la circunferencia de centro O y radio r = 4, 0 cm.
AD CB y EFAD
a) Demuestre que BEO = DFO
b) Calcule el àrea del DFO si AD = 6,4cm 3.-Resuelve la siguiente inecuación:
2
3
72
3
3
3 5log5log5log2
xxx
4.-Un número de cuatro cifras es mayor que 1000 pero menor que 2000.La cifra de las unidades es igual a la cifra de las decenas disminuida en 2.La cifra de las centenas es igual a la cifra de las unidades aumentada en 2.La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las centenas es igual a la cifra de las unidades aumentada en 11.¿Cuúl es el número? 5.-Sean A,B.C y D puntos de la circunferencia de la base del cono de altura S.La oblicua SE forma con su proyección OE sobre el plano de la base
del cono el SEO = 450 . La cuerda AC es perpendicular al diámetro BD en el punto E.
AC = 4, 0 cm y AOC = 600
Halla el volúmen del cono. Datos:
14,34,276,524,2573,1314,12
E
A
C
B
D
F
O
B
A O
S
C
E D
35
17.EXAMEN DE INGRESO DE MATEMATICA (1996-1997) 2da. Convocatoria.
1.-Sean: xxsenxf tan22
13 y senxxg 1
a) Calcula
4
f
b) Halla los valores de x para los cuales se cumple que xgxf
2.- En la figura A,B y C son puntos de la circunferencia de centro O y radio r = 1,0 cm A punto de intersección de las rectas CE y BD. O punto de la recta BD
ED BD
ABE es isósceles de base BE
a) Demuestre que ABC = ADE b) Calcule el área sombreada sabiendo que DE = 1,6 cm 3.-Se tienen dos planchas una de zinc y otra de aluminio, de igual área y se recorta un cuadrado en cada plancha de manera tal que sobran 4 m2 en la plancha de zinc y 11m2 en la de aluminio. Si la longitud del lado del cuadrado recortado en la plancha de aluminio es igual al 75% de la longitud del lado del cuadrado que se recortó en la plancha de zinc ¿Cuál es el área de cada cuadrado recortado? 4.-Halle los valores de a para los cuales x = 18 es solución de la ecuación:
2 aax
5.-Sea SABCD un pirámide de base cuadrada, la altura SP de la cara lateral SDC forma con su proyección QP sobre el plano de la base
el SPQ = 600. En la pirámide está inscrita una esfera
de centro O y volumen 3
3
32cmVesfera
Se traza el segmento OE perpendicular a la cara SDC de tal manera que el punto E pertenece a la altura SP de esta cara. La altura SQ de la pirámide forma con OE
el SOE = 600.Halle el volúmen de la pirámide.
C
A D
E
B
O
A D
Q P
C E
S
B O
36
18.EXAMEN DE INGRESO DE MATEMATICA (97-98) 1a. Convocatoria
1.Halla la abscisa x (0 < x < /2 ) del punto donde se cortan los gráficos de las
funciones dadas por las ecuaciones: xxgyxxf cos3)(cos2
910)(
2. La circunferencia de centro O y radio OE=4,0 cm se ha inscrito en el cuadrado ABCD de modo que AD es tangente a la circunferencia en E.
a) Demuestre que ABC y AEO son semejantes. b) Calcula el área de la parte sombreada.
3. En cierto país, el precio que hay que pagar por enviar un telegrama se
calcula de la siguiente manera: Si el telegrama tiene 10 palabras o menos se paga un precio fijo. Si tiene más de 10 palabras, entonces se paga el precio fijo (por las primeras diez palabras) más una cierta cantidad extra por cada palabra adicional.
Un telegrama de 15 palabras cuesta 11,65 pesos y untelegrama de 19 palabras cuesta 14,57 pesos. ¿Cuál es el precio fijo y cuál es la cantidad extra por cada palabra adicional?
4. Sea la función definida por 103.3log)( 2 xx Axf
a) Halla el valor de A para el cual se cumple f(1) = 0. b) Considerando que A = 10, halla todos los valores de x que satifacen la
ecuación f(x) = 0. 5.En la figura el triángulo equilátero ABC está inscrito en una de las bases del cilindro circular recto. Los puntos O y S son los centros de las bases del cilindro. E es punto medio de AB y EB = 3,0 cm y
OSB = 79,1°. Calcula el volumen del cilindro.
Datos:
14,324,2573,1314,12
sen 79,1°=0,982 cos 79,1°=0,189 tan 79,1°=5,19
A
E
B
S
O
C
E
D C
B A
O
37
19.EXAMEN DE INGRESO DE MATEMATICA (97-98) 2a. Convocatoria
1. Resuelve la ecuación: 312 xx
2. En la circunferencia de centro O y diámetro
AC = 4,0 cm. B y D son puntos de la circunferencia
AC BD y E punto medio de DC.
a) Pruebe que : ADE y BCE son iguales. b) Halle el área de la parte sombreada.
3. En un centro escolar hay dos terrenos de forma cuadrada para desarrollar las
actividades de Educación Física, la suma de sus áreas es igual a 41 unidades cuadradas y la mitad del perímetro del terreno más grande excede en 6 unidades al lado del otro terreno. ¿Qué longitud total de cerca metálica se necesita para cercar los terrenos?
4. Sea A un número real dado. Considera la ecuación: cos x +cos 2x +A = 0 a) Resuelve la ecuación para A = -2.
b) ¿Para qué valores de A una de las soluciones de la ecuación es x = 3/2? 5. La base de un cono circular recto está inscrita
en la base cuadrada ABCD de un prisma recto, como se muestra en la figura. Los puntos S y O son los centros de los bases del prisma, S es el vértice del cono y P es el punto en el cual AD es tangente a la circunferencia de la base del cono.
La diagonal BD mide 6,0 cm, SPO = 75,3°. Calcule el volumen del cono. B A
O
S
C D
P
A B
C E D
O
38
20.EXAMEN DE INGRESO DE MATEMATICA (98-99) 1a. Convocatoria
1.- Dadas las expresiones: 28336 22 xxByxA
Determina para qué valores de x están definidas simultáneamente ambas expresiones.
2.- El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia
de centro O y diámetro AB=8,0 cm. EO BC ,
OF AC y AC=AO. a) Calcula la razón
Area del rectángulo EOFC Area del círculo de centro O y diámetro AB
b) Determine la amplitud del ángulo ABC. 3.- Dos grupos de estudiantes de un IPUEC están recogiendo papas. Al inicio de la jornada se le entregó a cada uno cierta cantidad de sacos vacíos. La tercera parte de los sacos entregados al grupo B excede en 4 a la cuarta parte de los entregados al grupo A. Al terminar la sesión de campo, entre los dos grupos lograron llenar todos los sacos pero el grupo A, llenó 30 sacos menos que los que le habían sido entregados y la cantidad de sacos que logró llenar el grupo B excede en dos al duplo de los que llenó el grupo A. ¿Cuántos sacos vacíos se entregaron al inicio de la jornada a cada grupo?
4.- Sea xA
xAxgy
Ax
Axsenxf
tan1
tan1
cos
1
a) Demuestre que si A=2, la igualdad f(x)=g(x) es una identidad para todos los
valores admisibles de la variable x. b) Considera A=1 y resuelve la ecuación f(x) = -1. 5.- En la figura ABCDS es una pirámide recta de base cuadrada de 4,0 cm de lado. El punto O es la proyección
de S sobre la base, SAP = 60 y P punto medio de AB. Calcula el volumen de la pirámide.
A O B
F
C
E
S
A P B
C
0
D
39
21.EXAMEN DE INGRESO DE MATEMATICA (98-99) 2a. Convocatoria
1.- Resuelve la inecuación 2094
1
5 2
xx
x
xx
x
2.- En la figura A, E y C están alineados
BAD = 90 , BCA = 80 , CDE = BAC = 40 ,
EDA = 10. a) Demuestra que los triángulos ABC y DEC son iguales. b) Calcula la amplitud del ángulo ABE. 3.- En un centro deportivo hay 400 atletas varones más que hembras. Se decidió trasladar para otro centro al 70% de los varones y al 20% de las hembras, quedando en el centro inicial 100 hembras más que varones. ¿Cuántos atletas de cada sexo se quedaron en el centro deportivo?
4.- Dada la igualdad xAx
xAcot
2sen
2cos2
a) Demuestre que para A = 1 la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los valores admisibles de la variable x.
b) En la igualdad toda considera A = ½ y resuelve la ecuación obtenida. 5.- Sea ABCS una pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero ABC. El punto O es la proyección de S sobre la base. OP es perpendicular a AB . Las aristas laterales miden 5,0 cm y sus proyecciones respectivas miden 4,0 cm. Calcule el volumen de la pirámide.
A D
C B
A E
C
A B
0
P
S
A
40
Temario de ingreso. 1999-2000
1. Determina los valores de x que satisfacen la ecuación:
26)32()2( )27
1(9.3
22 xxx
2. En la figura:
ABCD y CDFG son cuadrados
Ángulo FDB = 60o
H es la intersección de BD y CG. a) Calcula la amplitud del ángulo BHC b) Prueba que ΔEFD = ΔBCD
3. Sean las funciones f y g
2
123)1()(
x
xxxxf xxg )(
Halla el dominio de la función f Encuentra los valores reales de x para los cuales se cumple la ecuación
f(x) = g(x)
4. Alejandro hizo dos llamadas de larga distancia desde La Habana, una a Santiago de Cuba y la otra a Matanzas. La operadora al final le informa que habló en cada ocasión más de 3 minutos y que en total estuvo conversando 15 minutos, por lo que debe pagar $7,40. Más tarde, Alejandro consultó la siguiente tabla para saber lo que le cobraron por cada llamada:
Desde la ciudad a los siguientes territorios
Tres minutos Minuto adicional
Pinar del Río, Isla de la Juventud, Matanzas
1,00 0,25
Las Tunas Holguín, Granma, Stgo de Cuba, Guantánamo
2,40 0,60
a. ¿Cuántos minutos estuvo hablando Alejandro con cada provincia? b. ¿Cuánto pagó por cada llamada?
41
5. En la figura aparecen representados un prisma de base cuadrada, de lado a, y una pirámide recta cuya base coincide con una de las bases del prisma. Se sabe que:
El área del prisma es: A = 28,8 cm2
La longitud de la altura del prisma es h1 =0,4 dm
La longitud de la altura de cada cara de la pirámide es: c = 2,6 cm
La amplitud del ángulo formado por esa altura c y su proyección sobre la base de la pirámide es α = 69,8o
a. Calcula el volumen de la pirámide b. ¿En qué proporción deberán estar h1 y h2 (altura de la pirámide) para
que: 3
2
prisma
pirámide
V
V ?
41,12 44,25 sen 69,8o =
0,938 cos 69,8o = 0,345 tan 69,8o = 2,718
42
TEMARIO DE INGRESO 1999 – 2000 II CONVOCATORIA
1. ¿Para qué valores reales de x se cumple que: 49 x - x = 2 ?
2. En la figura:
A, B, C y D son puntos de la circunferencia de centro O y radio ____
OA .
y son ángulos inscritos; es un ángulo central.
E es la intersección de ____
AC y ____
BD .
El triángulo AOB es equilátero ___
AB = 3,5 cm.
a. Calcula el perímetro del triángulo AOB.
b. Calcula la amplitud del ángulo . c. Demuestra que los triángulos AED y BEC
son semejantes. 3. Resuelve la siguiente ecuación:
3 – cos 2x = 5 sen x 0 ≤ x ≤ 2 4. Necesidades de ahorro asociadas con el riego han obligado a los
trabajadores y estudiantes de un instituto preuniversitario en el campo a modificar la superficie de su “área agrícola experimental”, la cual tenía originalmente una forma rectangular.
Con la modificación se ha reducido el largo en 20 m y se ha aumentado el ancho en 10 m la forma continúa siendo rectangular y el área de la superficie se mantiene igual a 0,4 hectárea (1 hectárea = 10 000 m2 )
El perímetro de la región modificada, es igual a las 14
13 partes del perímetro
de la región original. ¿Cuáles eran el largo y el ancho original del “área agrícola experimental”?
43
5. En la figura aparecen representados un cubo de aristas (a) y un triángulo. El triángulo está determinado por: la diagonal (d) de una de las bases del cubo, la mitad de la arista que es perpendicular a esa base en uno de los extremos de la diagonal, y el segmento (m) que une al punto medio de la arista con el otro extremo de la diagonal.
Se conoce que el área lateral del cubo es AL = 24 cm 2
a. Halle el área del triángulo (A Δ)
b. Compruebe que el área total del cubo AT = 12 2 A Δ
2 = 1,41 3 = 1,73
6 = 2,45 12 = 3,46
X
0 6
4
3
2
3 2
0 30 45 60 90 180 270
Sen x 0 ½ 2
2
2
3 1 0 - 1
Cos x 1 2
3
2
2 ½ 0 - 1 0
Tan x 0 3
3 1 3 - 0 -
44
EXAMEN DE INGRESO DE MATEMÁTICA CURSO 2000/2001 (1ra Conv) 1. Dadas las funciones f y g definidas por:
xxf 46)( ; 33)( 23 xxxxg .
a) Halla el dominio de la función f. b) Determina los valores reales de x, tales que f(x)-g(x)=0. 2. En la figura.
El rombo ABCD tiene sus vértices D y B sobre la circunferencia de centro O y
diámetro
EF
A y C son puntos de
EF
O es un punto de
BD
BD =32 cm y
AC = 24 cm. a) Calcule el perímetro del rombo
ABCD.
b) Calcula el área de la región sombreada.
3. Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación.
1
222
CosxSenxxSen
SenxSenx
4. 4 Una empresa de la industria electrónica produce teclados y pantallas para
calculadoras gráficas en dos plantas A y B. En la planta A se producen 14 teclados y 9 pantallas por hora, se desechan por falta de calidad dos teclados y dos pantallas (como promedio) en cada jornada de 8 horas. En la planta B, de más moderna tecnología, se producen 55 teclados y 55 pantallas por hora. Cuántas jornadas de ocho horas debe trabajar cada planta para producir exactamente 1210 teclados y 1090 pantallas?
5. En el interior de una esfera de radio R=1,6 cm, está situado un cono truncado, resultante de haber realizado un corte transversal paralelo a su base de radio precisamente R, mientras que el radio de la circunferencia resultante del corte es r=9,2 cm. La distancia que separa a ésta de la base del cono es ht=0,6 cm.
a) Halla la altura (h) del cono original. b) Calcula el volumen del cono truncado (Vt) sombreado en la figura. (π =3,14)
45
46
EXAMEN DE INGRESO DE MATEMÁTICA CURSO 2000/2001 (2da Conv) 1. Dadas las funciones f y g definidas por:
12
12)(
2
2
xx
xxxf ;
1
1)(
2
2
x
xxg
a) Halla el dominio de la función g. b) Determina los valores reales de x, tales que f(x).g(x)>0 2. En la figura:
El triángulo ABC es equilátero e inscrito en la circunferencia de centro
O y diámetro
BG
CD
AB ,
AB =4 cm y
CD = cm32
E punto medio de
CB
D Є
AB a)Demuestra que los triángulos BAG y BDC son semejantes.
b)Calcula la longitud del segmento
GA
(Sen 030 = 2
1; Cos
2
3300 ;
Tan 3
3300 ; 73,13 )
3. Determina el conjunto solución de la siguiente ecuación.
22 12242 CosxxSenxCos
4. Una empresa citrícola debe utilizar simultáneamente dos tipos de fertilizantes
A y B en una plantación de naranjas. En la composición de cada saco intervienen nitrógeno y ácido fosfórico, además de otros componentes. En la siguiente tabla aparecen las cantidades de kilogramos de nitrógeno y ácido fosfórico que hay en cada saco. Utilizando los dos tipos de fertilizantes A y B, ¿cuántos sacos de cada uno debe usar la empresa para emplear exactamente 360 Kg de ácido fosfórico que son los que necesita la plantación de naranjas?
47
Nitrógeno Acido Fosfórico
Fertilizante tipo A 4 kg 2 kg
Fertilizante tipo B 3 kg 3 kg
5. Dada una pirámide recta de base cuadrada y altura h en la que:
La arista lateral a de la pirámide mide 20 mm.
La amplitud del ángulo que forma la arista a y la diagonal de la base
denotada por d, es = 072
La longitud de cada uno de los lados de la base es l = 8,8 cm. a) Calcula el área del triángulo rayado (Ts) determinado por dos aristas
laterales a de la pirámide y la diagonal d. b) Prueba que: cualesquiera sean los valores reales positivos d y de l se
cumple que el perímetro de la sección rayada es mayor que el de cualquiera de las caras laterales de la pirámide.
(
)31,072;72,045;95,072;71,045;193,361;4,128,154 0000 CosCosSenSen
48
Prueba de Ingreso de Matemática 2007-2008 1ra Convocatoria
1. Se tiene la expresión A(x) = 5x
4x
.
a) Resuelve la ecuación 4A(X) = 16X.
b) Determina para qué valores reales de la variable x se cumple que A(x) x.
2. En la figura aparece ABCD que es un
trapecio isósceles de bases AB y CD ;
BC =13cm; AB =4,0 dm; E y F puntos de AB
con CE AB y CE DF La altura de ABCD es de 5,0 cm.
a) Prueba que CEB = AFD . b) Halla el área del trapecio BCDF.
3. Sean p y q funciones reales con p() =cos2 + sen + cot y q() =
cot + 1 a) Determina el dominio de la función q. b) Halla, si existen las coordenadas de los puntos donde se cortan los gráficos
de las funciones p y q en el intervalo 0 2.
4. En los Concursos Nacionales de Matemática, Física, Química e Informática las provincias que obtuvieron los tres primeros lugares, en ese orden, fueron: Ciudad de La Habana con 105 puntos, Las Tunas con 74 puntos y Villa Clara con 65 puntos. En Matemática y Física la provincia ganadora resultó ser Ciudad de La Habana con 34 puntos en cada asignatura; en Matemática, Villa Clara logró 15 puntos y Las Tunas 5, pero en Física Las Tunas alcanzó 32 puntos y Villa Clara, 3 puntos. En Informática la provincia ganadora fue Villa Clara con 4 puntos más que Las Tunas y esta 4 puntos más que Ciudad de La Habana. Si el total de puntos de estas tres provincias en Informática fue de 57 puntos, determina cuántos puntos obtuvo cada una de estas tres provincias en Informática y en Química. 5- En la figura se tiene un cilindro circular recto donde O y P representan los centros de los círculos bases. AB diámetro de la circunferencia de centro O,
.5
315 OPBsenycmBP
a) Calcula el área total del cilindro. b) Si al cilindro se le hace una perforación y se le extrae el cono de diámetro AB y altura OP, halla el volumen del cuerpo resultante.
A B O
P
A B
C
E F
D
49
Prueba de Ingreso de Matemática 2007-2008 2da Convocatoria
1. Dadas las funciones f y g definidas por sus ecuaciones
5x6x)x(f 2 y
g(x) = x + 3. a) Determina el dominio de definición de la función f.
b) ¿El valor 4y0 , pertenece al conjunto imagen de la función g?
Justifica. c) Halla, si existen, las coordenadas de los puntos de intersección entre las
gráficas de las funciones f y g.
3. Halla el conjunto solución de la ecuación:
2 cos 2x –1 = sen x – sen2x, si 0 x (x). 4. Si el mayor de los lados de un rectángulo fuera 9 cm más corto y el menor fuera 6 cm más largo, entonces la figura sería un cuadrado con igual área que el rectángulo. ¿Cuáles son las longitudes de los lados del rectángulo? 5. La figura muestra una pirámide regular
SABCD de base cuadrada y altura SO , la
cual ha sido cortada por el plano EFGH paralelo a su base. O y O’ puntos de intersección de las diagonales de los cuadrados ABCD y EFGH respectivamente. S, O’, O, puntos alineados. La altura del triángulo ABS referida al lado
AB , esSI=15 cm. SI corta a EF en J. La altura de la pirámide SEFGH es
'SO = 4,0 cm y JSO’ = 36,90.
a) Halla el volumen de la pirámide SEFGH.
b) Halla al área total de la pirámide truncada ABCDEFGH.
2. En la figura, ABCD rectángulo.
E y F puntos medios de CD y AB , respectivamente.
H y G puntos de FC y EF , respectivamente con GHFC .
AB = 6,0 cm; BC = 4,0 cm; y EC3
1GH .
a). Prueba que GHEFHFEC .
b). Calcula el área de la región sombreada.
50
Prueba de Ingreso de Matemática 2007-2008 3ra Convocatoria 1. Sean las funciones reales f y g, definidas por las
ecuaciones cbxlog)x(f 2 (b y c reales) y
g(x) = 1
1
2
x a) De la función f cuyo gráfico se muestra, determina: Dominio:__________________. Imagen:__________________.
Ceros: ____________. Los valores de b y c __________.
¿Para qué valores reales de x se cumple que 1)x(g ?
2. En la figura se muestra un semicírculo de
centro O y diámetro AB en el que se ha inscrito el
ADB. BC tangente en B al semicírculo, A, D y
C puntos alineados.
El perímetro del semicírculo es 10, 28 cm y BAC = 300.
a) Demuestra que ADB BDC. b) Halla el área de la región sombreada.
3. Como parte de las medidas de beneficio a la población, en un consejo popular de un municipio, dos brigadas de trabajadores sociales A y B se planificaron visitar entre ambas 330 viviendas. En un momento en que fue controlada la actividad, la brigada A había visitado las dos terceras partes de la cantidad de viviendas que se había propuesto visitar, mientas que la B, había visitado el 80% de las viviendas que se había planificado visitar. Si en ese momento solo faltaban por visitar 86 viviendas, ¿cuántas habían visitado cada brigada, hasta el momento en que fue controlada la actividad?
4. Sean 1 cos2
23
x
xsenA y )x
2cos(B
a) Determina los valores reales de x con 0 x para los que se cumple que: A – 1 = B.
b) Calcula el valor numérico de A2 para 3
5- x
.
5. En la figura se ha representado el prisma recto MNPQRSTU de base cuadrada situada
sobre el plano , donde se han trazado tanto la
diagonal interior RP como las diagonales MP y
RN sobre dos de sus caras; además en su interior se observa la pirámide oblicua MNPR. Si el área lateral del prisma es 62,28 cm2 y
RNM = 600. a) Calcula el volumen de la pirámide MNPR.
A
C
O B
D
R
M
U
S
T
N
P O
0
1 -3 x
y
51
b) Clasifica el triángulo RNP atendiendo a las longitudes de sus lados. Justifica tu respuesta
Prueba de Ingreso de Matemática 2007-2008 4ta Convocatoria
1. Halla todas las soluciones de la siguiente ecuación para < x 3.
cos2 x – 2
1sen 2x cos x – sen x = 1.
2. En la figura: ABCD paralelogramo
BEFO cuadrado de área igual a 16 cm2 D, O, C y F puntos alineados. A, B y E puntos alineados.
H punto del segmento AO , tal que
AOBH , y OAB = 300. a) Prueba que los triángulos ABO y
BHO son semejantes. b) Calcula el área de la región sombreada.
3. Sean las funciones reales f y g dadas por sus ecuaciones
f(x) = 4x+1 – 2 y
1
439log)(
2
x
xxxg .
a) De la función f determina: Imagen: _______________. Ceros: ________. b) Halla los valores de x para los cuales la función g está definida. c) Comprueba que g(31) = 1,5.
4. Con la finalidad de hacer un completamiento del uniforme (un pantalón y una camisa) de los trabajadores de una empresa, el administrador hizo una compra al almacén de 20 pantalones y 50 camisas por un valor de $ 1500.00. Posteriormente, por el mismo precio de cada pieza, se hizo una segunda compra de 5 pantalones y 4 camisas por un valor de $ 205.00. Si posteriormente llegaron a la empresa tres nuevos trabajadores, ¿cuánto debe pagar la administración por la compra de los tres últimos uniformes? 5. En la figura se observa una pieza formada por un cilindro circular recto con radio r, el cual se ha unido por su base inferior a una semiesfera de igual radio. O y O’ son los centros de las bases inferior y superior del cilindro respectivamente. B es un punto de la
circunferencia de centro O’ y BOO’= 14,040. La altura total de la pieza es 20 cm. c) Halla el área total de la superficie de la pieza. d) Halla el volumen de la pieza.
A
H
E B
D C O F
52
EXAMEN DE INGRESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR. MATEMÁTICA.
PRUEBA APLICADA A LOS ESTUDIANTES DE CURSO PARA
TRABAJADORES EL DÍA 7 DE SEPTIEMBRE DEL 2009.
1. Clasifique las siguientes proposiciones en verdaderas o falsas. Escriba V o
F en la línea dada. Justifique las que sean falsas.
a)_____ La correspondencia definida de N \ {0} en N, donde a cada
Nn \ {0} se le hace corresponder sus divisores es, una función.
b)_____ La función f definida en R por la ecuación xxf cos3)( es una
función par.
c)_____ La función real g definida en R por la ecuación 4
12)( xxg es
monótona creciente y negativa para todos los valores reales de x, tal que
x < 0.
d)____ los ceros de la función p cuya ecuación es 1log)( 2
2 xxp son
10 x y 11 x .
e)_____ El conjunto imagen de la función h cuya ecuación es
2
1)(
xxh es { 0: yRy } .
f)______ El dominio de la función t de ecuación 11
)( x
xt es { :Rx
x < 0 ó 1x }.
2. Lea detenidamente las preguntas y responda:
Seleccione la respuesta correcta marcando con una X en la línea dada.
Se puede afirmar que:
a) _____ — 3
1 Q+ b) _____ 5 N c) ____ R Q d)____ π =
3,14
Si ordenamos en forma ascendente las variables m; n y p para:
m = tan200 ; 3
1
)27(n y p = log0,5
4
1 se obtiene:
a)____p; m; n b)___n; p; m c) ____ m; p; n d)_____ n; m; p
Si la tercera parte de 7a es 2b, entonces la cuarta parte de 14a es:
53
a) ____3b b)____ 12b c)____4b d)___ b4
7
Los valores reales negativos para los cuales se cumple que la expresión
12
2
1
x
es menor o igual que la unidad son:
a) ____ x ≥ — 2
1 b)____ x ≤ —
2
1 c)____—
2
1 ≤ x < 0
d) ___ — 2
1 ≤ x ≤ 0
Complete los espacios en blanco de forma tal que obtenga una proposición
verdadera. De un triángulo ABC cuyos vértices son A(2;—3), B(5;—2) y C(4;1)
se puede afirmar que:
Según sus ángulos el triángulo ABC se clasifica como
_____________________.
La recta que contiene a la mediana relativa al lado AC interseca a este lado
en el punto de coordenadas________________.
3. Sea la expresión trigonométrica A = 12cos
cos32
senxx
xxsen
a). Determine los valores reales de x para los cuales la expresión A está
definida.
b). Pruebe que para x = — 3
5 se cumple que A — 1 = 0.
4. Tres trabajadores sociales María, Luis y José visitaron cierto número de
viviendas durante dos jornadas de trabajo con la finalidad de actualizar el cobro
de los efectos electrodomésticos entregados como parte de los proyectos de la
Revolución. Como resultado del trabajo realizado en la primera jornada se sabe
que fueron visitadas por los tres un total de 100 viviendas, y que María visitó 5
casas menos que las que visitó Luis, sin embargo en la segunda jornada con
respecto a la primera, la cantidad de viviendas visitadas por Luis disminuyó en
un 10 %, mientras que José aumentó en 5 la cantidad de viviendas visitadas. Si
en esta última jornada se visitaron por ellos dos el 77% del total de las
viviendas visitadas durante la primera jornada, ¿cuántas viviendas visitó Luis y
cuántas José en esta última jornada?
54
5. La figura muestra un prisma recto ABCDEFGH cuya base inferior es el
paralelogramo ABCD situado sobre el plano α.
En su interior se observa la pirámide ABCDH cuya base coincide con la del
prisma.
La cara ABH de la pirámide es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es HB .
Además, de la pirámide se conoce que:
El perímetro de su base es
14cm.
El volumen es de 12cm3.
AD < AB .
El ángulo que forma HA con su
proyección es de 450 .
a) Demuestre que la base de la
pirámide es un rectángulo.
b) Calcule el área total del prisma.
DATOS PARA EL ESTUDIANTE
x 0
6
4
3
2
2
3 2
00 300 450 600 900 1800 2700 3600
sen 0 21
22
23 1 0 -1 0
cos 1 2
3 2
2 2
1 0 -1 0 1
tan 0 3
3 1 3 — 0 — 0
cot — 3 1 3
3 0 — 0 —
