ANTOLOGÍA DEL CURSO DE MATEMÁTICAS I

ELABORÓ: PROFR. MARCOS EFRAÍN LÓPEZ ORTIZ

PRESENTACIÓN:

El presente trabajo es un apoyo didáctico en tu formación como profesional técnico y tiene por objeto facilitar tu aprendizaje en ésta asignatura.

La resolución de sus ejercicios y problemas, así como la lectura de cada una de sus lecciones te ayudarán a comprender mejor los temas que abordan tus profesores en el aula.

Te deseamos mucha suerte en el comienzo de ésta nueva etapa de tu superación y te aseguramos una cosa: Las matemáticas no son difíciles, pero sí son bastante interesantes y no existe un área de estudio que pueda prescindir de ellas.

Así pues, los retos dentro del campo de las matemáticas son muy variados, pero ninguno tiene por objeto frustrar el entusiasmo de alguna persona por aprender. Te invitamos a sentir confianza en tu capacidad y a enfrentar éstos retos que sin duda te dejarán gratamente satisfecho –y posiblemente sorprendido- una vez que los superes.

Felicidades por la elección que tomaste de estudiar en el Instituto Benito Juárez. Cuando concluyas tu carrera técnica estarás preparado para enfrentar los retos de la vida y con la posibilidad de ocupar un puesto de trabajo bien remunerado y de ingresar a una Institución de Educación Superior para continuar con tu formación y con ello te procures un mejor futuro.

I UNIDAD.

BLOQUE: LÓGICA Y CONJUNTOS

OBJETIVO: Que el alumno desarrolle un razonamiento lógico mediante la aplicación de la Lógica y la teoría de Conjuntos en la resolución y análisis de variados problemas, donde potenciará su capacidad de análisis, identificando alternativas de solución, evaluando la información de que dispone, separando lo fundamental de lo irrelevante y teniendo una mayor eficiencia en la toma de decisiones.

TEMA I: GENERALIDADES

1.1. DEFINICIÓN DE CONJUNTO: Es la colección de objetos, elementos o números que se encuentran agrupados bajo una regla o norma.

Ejemplos:

a) El conjunto de los números enteros.b) El conjunto de bienes de un inventario.c) Estudiantes de 3° de Secundaria.

La colección de objetos debe estar siempre bien definida. Esto quiere decir que al hacernos la pregunta: ¿Esto pertenece al conjunto? La respuesta debe ser clara: Un “sí” ó “no”.

Existen conjuntos que al no ser correctamente definidos, no son conjuntos matemáticos. Por ejemplo: “El conjunto de los tres mejores cantantes del mundo”. Porque podrá haber personas que defiendan el derecho de tres cantantes a pertenecer a éste conjunto; mientras que otras, alegarán que pertenece a otros tres ese privilegio o dirán que algún cantante no debe pertenecer a ése conjunto, etc...

Un conjunto puede representarse con una letra mayúscula cualquiera: A, B, C .... y el orden de los elementos que pertenecen a él no es importante.

Ejemplo: A={vocales} Leemos lo anterior de la siguiente manera: “El conjunto A es el que contiene a las vocales” y sus elementos deben ser representados con letras minúsculas. Con éste mismo ejemplo tendríamos que, el Conjunto A sería:

A = { a, e, i, o, u } o también A = { i, e, a, u, o } ya que, como dijimos antes, el orden de

los elementos no es importante.

Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto, usamos una letra griega llamada

épsilon, que se escribe así: ε que es muy parecida a la letra “E”, pero se lee: “pertenece a...”

Por ejemplo: a ε A

“La letra a pertenece al conjunto A” puesto que A es el conjunto de las vocales.

También e ε A; u ε A; i ε A .....

Existen distintas formas de especificar a un conjunto:

1) Por listado. Se le puede llamar también método de “ennumeración”, de “extensión” o “de listado”.

Por ejemplo: C = {Atlas, Necaxa, Cruz Azul, Pumas}

2) Por extensión, donde tenemos que proporcionar una regla. También le podemos llamar método “descriptivo” o “de comprensión” Al utilizar ésta forma se adopta la notación: C = { x/x --------------} que se entiende de la siguiente manera: “C es el conjunto de los elementos “x” tales que “x” cumplan con la condición que describimos”. Ejemplos:

C = { x/x sea una letra} D = {x/x sea un animal} N= {x/x sea un número par}

1.2. CONJUNTO UNIVERSO: Este conjunto es una colección fija de elementos a los que se les puede referir una situación. Ninguno de los elementos que cumplan con esa regla o norma descrita debe quedar fuera del conjunto Universo. El conjunto Universo puede ser indicado con la letra U (así en mayúscula) o con la letra griega omega que es Ω.

En un Diagrama de Venn podemos representar conjuntos y dentro de éste diagrama siempre consideramos incluido al conjunto Universo.

LOS DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Un diagrama de Venn es una forma gráfica de representar conjuntos dentro de un rectángulo. El conjunto Universo es precisamente toda el área del Rectángulo y dentro del universo o del rectángulo se representan (con circunferencias) a todos los conjuntos que se quiera.

Hay dos circunstancias que se deben tomar en cuenta:

a) El conjunto Universo no es único; depende del problema que se esté tratando puede cambiar o no.b) Aún para el mismo problema, el conjunto universo o universal no está definido en forma única,

sino que podemos elegirlo a nuestra conveniencia con relativa libertad.

Ω

1.3. CONJUNTO VACÍO: Es el conjunto que carece de elementos. Se denomina conjunto vacío o

Conjunto nulo y se indica con el símbolo: Φ

Ejemplos: A = {x/x sea una persona mayor de 400 años}E = {x/x sea un océano de agua dulce}M= {x/x sea un número par sin divisores}

Nota: Es importante subrayar que el símbolo Φ es diferente al 0 (cero) porque el cero es considerado como un elemento en algunos conjuntos. Por ejemplo:

R = {x/x sea dígito} y si proponemos como elemento al 0 es correcto. El cero es un elemento que pertenece al conjunto R y se puede simbolizar así: 0 ε R

1.4. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS: En un conjunto no vacío, el número de elementos puede ser finito o infinito. Un conjunto es finito cuando se puede listar exhaustivamente sus elementos en algún orden, y en consecuencia, poder contarlos uno a uno hasta alcanza el último. En caso contrario, si el conjunto no posee un último elemento, se dirá que es un conjunto infinito.

EJEMPLOS DE CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS:

CONJUNTOS FINITOS: Los alumnos de una escuela, los granos de arena de la playa de Acapulco, las gotas de agua que caen en un segundo por las Cataratas del Niágara, etc...

CONJUNTOS INFINITOS: Los números enteros, las rectas que pasan por un punto, los múltiplos de 2, etc...

1.5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:

1.5.1. IGUALDAD Y DESIGUALDAD: Se dice que dos conjuntos A y B son iguales y se expresa esa igualdad así: A = B solo si poseen exactamente los mismos elementos. Si un conjunto tiene un elemento que no pertenece al otro, entonces no son iguales, sino que son distintos y lo expresamos de ésta otra forma: A ≠ B

A=B ↔ a ε A → a ε B y b ε B → b ε A

Lo anterior puede leerse o entenderse de la siguiente forma: El conjunto A es igual al conjunto B; por lo tanto los elementos que pertenecen a ese conjunto, también pertenecen al conjunto B; y los elementos que pertenecen al conjunto B también pertenecen a A.

La relación de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva.

1.5.2. INCLUSIÓN. SUBCONJUNTOS: Para dos subconjuntos cualesquiera A y B, se dice que A es un subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B. Se simboliza la pertenencia de ésta manera:

a ε A → a ε BEjemplos:

1.- Si M = {21,27,30} y N = {21,30,27,40}

ya que cada elemento de M pertenece al conjunto N.

2.- Si E = {Ecuatorianos) y S = {Sudamericanos} → ya que e ε E → e ε S

3- Si V = {Vocales} y L = {Letras del Abecedario} entonces V L

Si un conjunto pertenece a otro y ese conjunto no es igual al otro entonces se llama subconjunto propio.

Si S T y S ≠ T entonces S es subconjunto propio de T. En éste caso, se entiende que existe al menos un elemento de T que no es elemento de S.

Si S es subconjunto de T, y no existen en T elementos que no pertenezcan a S, se dice que la relación de inclusión es impropia y se simboliza así: S T (S es subconjunto impropio de T).

M N

E S

Ejercicios:

1.- Dar 3 ejemplos de dos conjuntos A y B tales que A sea un subconjunto de B y B no lo sea de A.

2.- Dar 3 ejemplos de dos conjuntos C y D tales que C no sea un subconjunto de D y D tampoco lo sea de C.

3.- Encuentre 5 subconjuntos diferentes de S = {a,b,c,d}

4.- Sea A = {2,4,}, B = {1,3,5,} y C = {1,2,3,4,5}. Escribir los símbolos: ε ε que corresponda en cada uno de las siguientes proposiciones:

a) A ______ B c) {2} ______ A e) 4 ______ B

b) A ______ C d) B _______ C f) 5 _____ C

5.-   Cuáles son los elementos de:  a) El conjunto de los dias de la semana

  b) El conjunto de las estaciones del año  c) Los números impares menores de 11  d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20  e) Los números primos menores de 156.-   Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso  

  a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( )

  b) y { o, p, q, x } ( )

  c) x { o, p, q, y } ( )

  d) Perú { países de Europa } ( )

  e) Amazonas { ríos de América } ( )

3)   ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos?  

  a) A = { x / x es día de la semana} . . . . .

  b) B = { vocales de la palabra vals} . . . . .

  c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} . . . . .

  d) D = { x / x es un habitante de la luna} . . . . .

  e) E = { x N / x < 15} . . . . .

  f) F = { x N y 5 < x < 5 } . . . . .

  g) G = { x N y x > 15} . . . . .

  h) H = { x N y x = x} . . . . .

  i) I = { x / x es presidente del Océano Pacífico} . . . . .

  j) J = { x / x es número de total de habitantes del Perú } . . . . .

 

1.6. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:

1.6.1. UNIÓN. La unión de cualquier par de conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al Conjunto A o pertenecen al conjunto B.

A U B = { x│x A ó x B}

Ejemplo: A= {1,2,3,4,5,6} y B = {1,2,3} → A U B = A

La unión de conjuntos queda representada en el Diagrama de Venn por la región sombreada:

Ω A B

1.6.2. INTERSECCIÓN. La intersección de cualquier par de conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B.

A ∩ B = {X│x A y x B}

La intersección de conjuntos queda representada en el Diagrama de Venn por la región sombreada:

Ejemplo: A = {1,2,3,4,5,6} y B = {1,2,3} → A ∩ B = B Porque todos los elementos que pertenecen al conjunto B están también en el conjunto A; con otras palabras, los elementos 1,2 y 3 son elementos del conjunto A y del conjunto B.

1.6.3. CONJUNTO COMPLEMENTO. El complemento de un conjunto es aquel formado por todos los elementos que no pertenecen a dicho conjunto.

Ac = {x│x A y x Ω } Lo cual se puede leer de la siguiente manera: El conjunto complemento de A está formado por todos los elementos tales que no pertenezcan al conjunto A, y que pertenezcan al Universo.

El conjunto complemento queda representado en un Diagrama de Venn por la región sombreada:

Ejemplos: Si A = {1,3,5,7,9} y Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} → Ac = {2,4,6,8}

Si R = {consonantes} y Ω = {abecedario} → Rc = {vocales}

ΩA

1.6.4. DIFERENCIA. La diferencia de un conjunto A menos un conjunto B es en conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.

A – B = { X│X A y X B} B – A = { X│X B y X A}

En diagramas de Venn-Euler, éstas operaciones las representaríamos de la siguiente manera:

A – B B – A

Ejemplos de Diferencias entre conjuntos:

1) A = {1,2,3,4,5,6} y B = {1,2,3} → A – B = {4,5,6} y B – A = Φ

2) U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y A = {3,6,9} → Ω – A = { 1,2,4,5,7,8} = AC

En éste último ejemplo podemos ver que si al Universo le restamos los elementos que pertenecen a determinado conjunto, tendremos el complemento de éste conjunto.

EJERCICIOS:

a) Obtener la Unión y la Intersección de los conjuntos siguientes y representarlo en Diagramas de Venn:A = {ARTURO, ALMA, DIEGO, PEDRO, ESTEBAN} B = {ALMA, CARLOS, MARTIN, ESTEBAN}

PARA LOS EJERCICIOS DEL NÚM. 1 AL NÚM. 35 CONSIDERAR QUE:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}; A = {1,3,5,7,9}; B = {2,4,6,8} y C = {1,2,3,4,5}

b) Escriba la lista de los elementos de:

1) A ∩ B 2) A U B 3) A ∩ C 4) A U C

5) B U C 6) B ∩ C 7) A U Φ 8) B U Φ

9) A ∩ Φ 10) AC 11) BC 12) Φ C

13) A – B 14) B – C 15) C – B 16) A – C

17) Ω – A 18) Ω – B 19) Ω – C 20) Ω – Φ

c) Escriba uno de los símbolos , , =, ≠, U Ó ∩ en el espacio en blanco de cada enunciado, para que sea verdadero:

21) A ∩ B _____ Φ 22) A U B _____ Φ 23) A _____ B = Φ

24) B _____ C = {2,4} 25) 3 ___ A∩B 26) 3 ___ A ∩ C

27) 4 _____ B∩C 28) 8 ____ B U C 29) B ___ C = { 1,2,3,4,5,6,8}

30) A ____ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

d) Determina si es Falso o Verdadero cada enunciado. Justifique cada respuesta:

31) 2 A 32) 3 C 33) 6 , B 34) B ≠ C 35) {2,3} C

36) B C 37) B Φ

PARA LOS EJERCICIOS DEL NÚM. 36 AL NÚM. 55 CONSIDERAR QUE:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; A = {1,3,5}; B = {3,5,7,9} y C = {4,6,8,10}

e) Encontrar lo siguiente:

36) A U B 37) A ∩ B 38) A U C 39) A ∩ C

40) B ∩ C 41) BC 42) B U C 43) AC U BC

44) (A U B)C 45) A ∩ BC 46) (A ∩ B)C 47) (A U C) ∩ B

48) (B ∩ C) U A 49) B ∩ (A U B) 50) A – B 51) B – A

52) (A – B) U C 53) B ∩ (A U C) 54) (A – B) ∩ C 55) (A U B) U C

f) Si P y Q son dos conjuntos cualesquiera, ¿Bajo qué condiciones es cierto lo siguiente?

1) P U Q = P 2) P ∩ Q = P 3) P ∩ Φ = P 4) P ∩ Q = Φ

5) P U Q = Φ 6) P ∩ Q = Q ∩ P 7) P U Q = Q U P

g) En Diagramas de Venn-Euler sombrea la región que represente cada uno de los siguientes conjuntos:

1) (A ∩ B) ∩ C 2) A ∩ (B ∩ C)

3) (A U B) ∩ C 4) (A ∩ B) U (A ∩ C)

5) (A ∩ B) U C 6) A U (B ∩ C)

A B

C Ω

A B

C Ω

A B

C Ω

A B

C ΩA B

C Ω

A B

C Ω

7) (A U B) ∩ (A U C)

TEMA II: LÓGICA

A B

C Ω

2.1 PROPOSICIONES. Se le llama proposición a todo enunciado respecto del cual se disponga algún criterio que nos permita afirmar que su contenido es verdadero ( v ) o falso ( f ).

Esto quiere decir que a toda proposición se le puede asignar uno de los dos valores: verdadero ( v ) o falso ( f ).

Ejemplos:

a) Juan es hermano de Pedro. (Nótese que éste enunciado puede ser verdadero o falso y constituye por lo tanto, una proposición).

b) El día está soleado.

c) Los chicos de la clase son puntuales. (Éste enunciado puede ser verdadero para algunos chicos y falso para otros; o bien, verdadero para todos o falso para todos. Para expresar éstas tres circunstancias se emplean, como se verá enseguida, los cuantificadores).

d) X2 + 4 = 10 (ésta también es una proposición y se puede calificar como falsa o como verdadera).

2.2. CUANTIFICADORES. Se entiende por cuantificadores a los distintos símbolos que se utilizan para expresar si una proposición se cumple o no.

Existen tres tipos de cuantificadores: Universal, existencial y nulo.

2.2.1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL.- Se representa mediante el símbolo " que se lee “para todo” y expresa que la proposición se cumple en todos los casos, es decir, que es verdadera para todos los sujetos a que se refiere.

Ejemplo 1: En la proposición que anotamos anteriormente: “Los chicos de la clase son puntuales”; si se cumple que esta proposición “p” es verdadera, para todos los chicos, y denominando al conjunto de los chicos de la clase por la letra “C”, se puede expresar éste hecho utilizando el cuantificador universal del siguiente modo:

"x, x ε C => p; Ésto lo podemos leer de la siguiente manera: “Para todo x, siendo x perteneciente al conjunto C, se cumple que la proposición es verdadera”.

El símbolo => significa implicación y se lee: “se cumple”.

Ejemplo 2: En el conjunto de los números naturales (enteros y positivos) siempre se cumple la proposición “Todo número natural multiplicado por 2 es siempre múltiplo de 2” Esto expresado mediante el cuantificador universal quedaría así: "x, x ε N => 2x es múltiplo de 2. Se lee: “Para todo x, siendo x perteneciente al conjunto de los números naturales (N), se cumple que éste número x multiplicado por 2 es un múltiplo de 2.

2.2.2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.- Se representa mediante el símbolo $ y se lee: “existe

algún”. Con esto expresamos que la proposición solo se cumple en algunos casos, es decir, que la proposición sólo será verdadera para algunos de los sujetos a los que se refiere.

Ejemplo 1: En la proposición que nos ha servido de ejemplo anteriormente: “Los chicos de la clase son puntuales”; y se da la circunstancia de que solo algunos chicos son puntuales, es decir, que ésta

proposición “p” solo es cierta para algunos chicos, y denominados al conjunto de los chicos de la clase mediante la letra “C”, podemos expresar esa circunstancia del modo siguiente:

$ x, x ε C => p; que puede leerse así: “Existe algún elemento x perteneciente al conjunto C donde la proposición es verdadera

El símbolo $ seguido de un * colocado en la parte superior derecha como si fuera un exponente ($*) significa que sólo existe un elemento que cumple con la proposición.

Ejemplo 2: $* x, x ε N => x + 3 = 5 Lo cual, significaría lo siguiente: “Existe un elemento x tal que ese elemento x pertenece al conjunto de los naturales y es el único que cumple con la condición expresada: x + 3 = 5” Por supuesto que ese único elemento al que se refiere la afirmación es el número 2.

2.2.3 CUANTIFICADOR NULO. Se representa con el símbolo que se lee: “No existe algún elemento”, y expresa que la proposición no es verdadera en ningún caso; es decir, no se cumple en ningún sujeto a los que se refiere.

Ejemplo 1: Si seguimos ejemplificando con la misma proposición: “Los chicos de la clase son puntuales”, y se da la circunstancia de que ninguno lo sea, entonces la proposición “p” no será verdadera en ningún caso. Si se denomina a los chicos de la clase como conjunto “C” igual que en párrafos anteriores,

podemos expresar lo dicho en éste ejemplo de la siguiente manera: x, x ε C => P Eso se lee así: “No existe algún elemento tal, que perteneciendo al conjunto C (chicos de la clase), haga que la afirmación sea verdadera” y eso se daría porque todos los chicos no son puntuales.

Ejemplo 1: Si se considera la proposición: x3 + 4 = 0, dentro del conjunto de los números naturales (enteros positivos) se observa que no existe ningún número natural que una vez elevado al cubo, y sumándole 4 nos resulte un total de 0. Por lo tanto, ésa condición se puede expresar así haciendo uso de éste

cuantificador: x, x ε N => x3 + 4 = 0

LÓGICA PROPOSICIONAL:

Vamos a citar algunos ejemplos de proposiciones, para de ahí pasar a las distintas operaciones que podemos realizar con ellas (Cálculo proposicional)

a) Carmen es prima de José (Este enunciado puede ser en efecto, falsa o verdadera.b) Rosalía está cansada. (Como en el ejemplo anterior, podría ser un enunciado verdadero o falso).c) Los niños necesitan jugar.d) La cultura es fundamental para la humanidad.e) X2 + 4 = 8 (Nótese que dependiendo del valor que adopte X, podríamos tener un enunciado

verdadero o falso)

Tenemos que para todos los ejemplos antes citados, existe una calificación de Falso o Verdadero, dependiendo del caso específico que estemos tratando.

Existen otro tipo de expresiones que no constituyen proposiciones y que por lo tanto no podemos asignar uno de los dos valores (F ó V). En general, las frases interrogativas, imperativas o exclamativas no constituyen proposiciones.

Ejemplos:

a) ¡Pásate de inmediato!

b) ¿Cuándo saldremos de vacaciones?

c) Coloca el libro en la estantería.

d) ¡Quítate del camino!

Ninguna de las frases anteriores constituyen una proposición porque ninguna de las preguntas, exclamaciones u órdenes expresadas podemos calificarla como Falsa o Verdadera.

2.3. OPERACIONES CON PROPOSICIONES: En la práctica es muy poco frecuente encontrar enunciados constituidos por una única proposición, como en los ejemplos de la página anterior:

a) Carmen es prima de José.b) Rosalía está cansada.c) Los niños necesitan jugar.d) La cultura es fundamental para la humanidad.e) X2 + 4 = 8

Lo normal es que aparezcan enunciados formados por varias proposiciones elementales enlazadas mediante partículas gramaticales tales como “y”, “o”, “si”, “no” ... resultando de éste modo proposiciones compuestas, formadas por una o varias proposiciones simples llamadas componentes y que están enlazadas mediante partículas gramaticales.

Algunos ejemplos de proposiciones compuestas son los siguientes:

1. Si Luis viene pronto y Luis no está cansado, iremos al Cine.2. Llegué y no vi a nadie y me marché.3. O practicas algún deporte o tu salud se deteriorará. 4. El día está nublado y está lloviendo.5. Si no pagas impuestos a tiempo o vas a la cárcel o tendrás que pagar una multa muy elevada.

2.3.1. IMPLICACIÓN:

En una implicación o proposición compuesta, a la primera componente se le llama antecedente ó hipótesis; y a la segunda componente se le llama consecuente ó tesis.

En el ejemplo “el día está nublado y está lloviendo” tenemos que “el día está nublado” sería el antecedente o hipótesis; y “está lloviendo” sería el consecuente o tesis.

De igual manera, podemos formar una implicación con dos proposiciones simples; ejemplo:

a) 6 es un dígito.b) Los dígitos tienen un valor menor de 10.

Tendremos la proposición: “El 6 es un dígito y es menor a 10 ”

En el ejemplo tenemos que la hipótesis sería “El 6 es un dígito ” y la tesis: “6 es menor que 10 ”.

Notación.- Si las componentes de una implicación se simbolizan con las letras p y q, la implicación de ellas se indica con la siguiente notación: p => q ; lo anterior se lee: “ Si p, entonces q” o bien, “p implica q”.

Podemos eliminar la palabra “entonces” al formular un a implicación sin alterarla. Ejemplo:

“Si llueve, entonces llevaré paraguas” ó “Si llueve, llevaré paraguas”“Si un ángulo mide 40°, entonces es agudo” ó “Si un ángulo mide 40°, es agudo”

Ejercicios:

Formular la implicación entre cada una de las proposiciones dadas, tomando la primera de ellas como hipótesis:

1) a = Hay una corriente eléctrica.b = Puede encenderse un foco.

2) c = Hace calor.d = Me daré un baño.

3) e = Hago la tarea.f = Iré al cine.

4) g = Es una figura geométrica de 4 lados.h = Es un cuadrilátero.

5) i = 8 es un número par.j = 8 es múltiplo de 2

6) k = 12 es mayor que 10l = 12 no es un dígito.

7) m = 15 es menor que 5 x 4n = 15 es menor que 5 x 5

2.3.2. INCLUSIÓN:

Consideremos al conjunto de los habitantes de la tierra como conjunto Universo y en él, las siguientes proposiciones abiertas:

p = x/x es habitante de Argentina.q = x/x es habitante de América.

Como sabemos que Argentina es un país americano, podemos formar la implicación: “Si x es habitante de Argentina, entonces x es habitante de America”. p => q

Lo anterior podemos representarlo en diagramas de Venn, llamando p y q a los conjuntos que corresponden a las proposiciones abiertas del mismo nombre y tenemos:

p = {Habitantes de Argentina}q = {Habitante de América}

En el diagrama anterior podemos advertir con claridad que todo habitante de Argentina es necesaria-mente habitante de América. Es decir, que todo elemento del conjunto p es elemento de q.

Esto coincide con lo afirmado en la implicación: “Si x es habitante de Argentina, entonces x es habitante de América”. O sea, p => q Expresado de otro modo: x p => x q

La verdad de un antecedente, verifica al consecuente. Si “x es elemento de p” es verdad, entonces se verifica que “x es elemento de q”

Cuando todos los elementos de un conjunto A pertenecen también a un conjunto B, se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B; o bien, que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B.

p q

La notación anterior se lee, como recordaremos del estudio de conjuntos: “ p es un subconjunto de q” o también, “p está incluido en q”.

En general, si la implicación entre dos proposiciones es válida, origina una inclusión entre los

conjuntos correspondientes esas proposiciones. Empleando diagramas de Venn, se puede determinar si una implicación es válida o no y, por lo tanto, si existe o no la inclusión respectiva entre los conjuntos correspondientes.

Otros ejemplos:

a = x es un polígono.b = x es un pentágono.

Formando los conjuntos correspondientes y los diagramas tendríamos:

A = {polígonos}B = {Pentágonos}

Ahora veamos otro ejemplo, donde la implicación no es válida y en consecuencia, tampoco existe la inclusión:

p = x es un batracio.q = x es un pez.

Implicación formulada: “Si x es un batracio, x es un pez”

Formando los conjuntos correspondientes y los diagramas para este caso tendríamos:

P = {Batracios}Q = {Peces}

p q p => q

2.3.3. EQUIVALENCIA:

Consideremos las proposiciones siguientes:

p = 16 es el doble de 8q = 8 es la mitad de 16

Formulemos la implicación, p => q ; Si 16 es el doble de 8, entonces 8 es la mitad de 16. Formulemos ahora la implicación en sentido contrario: q => p; Si 8 es la mitad de 16, entonces 16 es el doble de 8.

Observemos que las dos implicaciones son verdaderas. p => q (V) q => p (V)

Cuando esto ocurre, se dice que las dos proposiciones son equivalentes.

La equivalencia entre dos proposiciones se expresa uniendo ambas mediante el conectivo: “si y solamente si” o también: “si y sólo si”. Por ejemplo, para expresar que existe una equivalencia entre las dos proposiciones anteriormente consideradas decimos:

“16 es el doble de 8 si y solamente si 8 es la mitad de 16”

NOTACIÓN: Para simbolizar la equivalencia entre dos proposiciones p y q, se emplea esta anotación:

p ↔ q

Que se lee: “p es equivalente a q” ó “p si y sólo si q”

2.4. VALOR DE VERDAD DE UNA EQUIVALENCIA: Consideremos los siguientes ejemplos:

1) U = {Números naturales}p = x es divisor de 20q = 20 es múltiplo de x

y su equivalencia p ↔ q, “ X es divisor de 20 si y sólo si 20 es un múltiplo de X ”

En éste primer caso, si es verdad que el número (x) es divisor de 20, será verdad que 20 es un múltiplo de ése número. Por consiguiente, si es falso que ese número (x) es divisor de 20, también será falso que 20 sea múltiplo de x.

2) U = {Números enteros}m = x es mayor que – 10 n = – 10 es menor que x.

m ↔ n

Si es cierto que X es mayor que – 10, entonces será cierto que – 10 es menor que X; pero si es falso que X es mayor que – 10, también será falso que – 10 sea menor que X.

Si la primera proposición es cierta, la segunda debe serlo también, es decir, la segunda no puede ser falsa. De igual forma, al ser falsa la primera afirmación, automáticamente la segunda también será falsa, es decir, no puede ser cierta cuando la primera resultó falsa. (tanto para éste segundo ejemplo como para el primero).

De lo anterior podemos concluir que:

Una equivalencia es verdadera si y sólo si las dos proposiciones son verdaderas, o si las dos proposiciones son falsas.

TEMA III: TABLAS DE VERDAD

3.1 DEFINICIÓN. Se le llama tabla de verdad al conjunto de todas las combinaciones posibles de una serie de variables, así como el resultado de una cierta operación entre ellas.

Negación (¬) Éste conector proposicional es el único que actúa sobre una única proposición y consiste, dada una proposición, en su negación.

Ejemplo: Dada la proposición p = “Hoy llueve”. Su negación será la proposición: “Hoy no llueve”. Esa

negación se puede representar indistintamente con los símbolos: ¬ , ¯ , ┐, N, ˜, aunque en mayor proporción se utilizan los dos primeros. Así pues, la proposición p = “Hoy no llueve” se puede simbolizar:

P , ¬ P , ┐P , NP ó ˜ P

Como es natural, los valores de negación de una proposición, son los contrarios a los valores que adopte la proposición P. La tabla de valor correspondiente sería la siguiente:

p ¬ p

V F

F V

Disyunción . En inglés, se lee “or”, ( O ) y es la disyunción o suma.

La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.

Ejemplo:

U = { Números naturales }

p = x es un múltiplo de 2.

q = x es un múltiplo de 5.

Imagine algunos números pertenecientes a los naturales, ej: 2, 5, 7, 15, 20.

p q p \/ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Conjunción . En inglés, se lee “and”, ( & )

La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas. Con el mismo ejemplo, U = { Números naturales }

p = x es un múltiplo de 2.

q = x es un múltiplo de 5.

Con los mismos números pertenecientes a los naturales: 2, 5, 7, 15, 20; sólo el número 20 cumple con hacer la proposición p (V) y (&) a la proposición q (V)

p q p /\ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Condicional (→)

Es una conectiva definida por:

p → q = ¬ p q

Esto Significa que para calificar la implicación como verdadera, debemos observar que ocurra la negación de p ó ( ) q. La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es verdadero p entonces lo es q.

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo: Supongamos la implicación 

La implicación está compuesta de las proposiciones:

p: apruebo

q: te presto el libro

Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación, en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir: no apruebo el examen; quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.

Si p es verdadera, es decir, si apruebo el examen y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición es verdadera pues el compromiso se cumple.

Bicondicional (↔, si y sólo si)

La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.

La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla de (p q) (q p), como vemos en seguida:

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ejemplo: Sea la implicación a = b si y sólo si a2 = b2

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: a = b

q: a2 = b2

Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.

p q p q q p (p q) (q p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

II UNIDAD.

BLOQUE: ARITMÉTICA

OBJETIVO: Que el alumno reafirme sus conocimientos respecto a los sistemas de numeración, sus derivaciones y usos.

TEMA I: SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO

1.1. GENERALIDADES:

Los Sistemas de numeración son aquellos que permiten representar una cantidad de unidades de cualquier tipo. Un sistema muy interesante y que todavía se utiliza es el Sistema de los números romanos.

En este sistema, para crear un número, basta con agrupar de manera adecuada estos símbolos y así se obtiene la representación del número deseado.

I = 1II = 2III = 3IV = 4V = 5

VI = 6X = 10L = 50

C = 100M = 1000

1.2. REGLAS PARA LA FORMACIÓN DE CANTIDADES EN EL SISTEMA ROMANO:

Las reglas para construir los números romanos usando los símbolos permitidos son complejas. En el sistema de numeración romano los símbolos se clasifican en tipo 1 {I, X, C y M} y tipo 5 {V, L y D}.

Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor. El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la

siguiente excepción. Si un símbolo de tipo 1 está a la izquierda de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor

del primero. Ej. IV=4, IX=9 Los símbolos de tipo 5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.

Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1. Si un símbolo de tipo 1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un símbolo de mayor valor.

En este caso no se debe repetir el símbolo que resta, salvo las excepciones que se indican en reglas siguientes.

Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo 1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. En este caso está permitida la repetición del mismo símbolo sumando y restando. Ejemplos:

- el símbolo I sólo puede restar a V y a X - el símbolo X sólo resta a L y a C. - el símbolo C sólo resta a D y a M.

No se permiten dos símbolos consecutivos restando. Para evitarlo está permitido repetir un símbolo sumando y restando.

Se permiten dos símbolos que aparezcan restando si no son consecutivos. No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5, su duplicado es una letra de tipo 1. Un guión encima de un símbolo multiplica el valor del símbolo por 1000. Este método permitía

escribir cantidades elevadas. Ejemplos:

Se puede ver que es un sistema bastante fácil de entender, pero no es muy práctico para números grandes.

TEMA II: SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL POSICIONAL

2.1. GENERALIDADES:

Éste sistema de numeración se llama decimal porque utilizamos diez símbolos llamados dígitos para la escritura de cualquier cantidad, por grande o pequeña que éste sea y es posicional porque depende del lugar en la cifra donde sea ubicado un dígito para que éste tome un determinado valor. Así, por ejemplo, si escribimos la cantidad:

480,284 Tenemos que, el cuatro que se encuentra en el extremo derecho de la cifra tiene un valor distinto al que está en el extremo izquierdo. Lo mismo sucede con el otro dígito que se repite (el 8). Tienen valores distintos, porque uno se encuentra más alejado que el otro de la posición que ocupa el punto decimal.

El punto decimal es un elemento que existe en cualquier cantidad aunque en las cantidades enteras no lo veamos escrito.

A partir del punto decimal y hacia la izquierda, los dígitos que se escriban toman valores cada vez mayores. En cambio, los dígitos que se escriban a la derecha del punto decimal tienen valores cada vez menores.

¿De qué depende el valor que debe tener un dígito en una cifra? Es decir, si vemos el ejemplo de la

cifra 480,284 sabemos que el 4 de la izquierda vale 400,000 mientras que el cuatro del extremo derecho sólo vale 4 unidades. El dígito 8 que está a la izquierda de la coma que separa a los millares, tiene un valor de 80,000 mientras que el 8 que está a la derecha de dicho separador de millares sólo vale 80.

Pues bien, ese valor depende de la posición que está ocupando en la cifra, porque a cada posición le corresponde una potencia de diez que al multiplicarse por el dígito nos arroja el valor que a él le corresponde. Ejemplo:

4 8 0, 2 8 4Ahora vamos a comprender por qué el primer dígito de la derecha (4) sólo vale cuatro unidades,

mientras que el del extremo izquierdo vale 400,000:

La primera potencia de la derecha (100 ) equivale a la unidad (1); ya que toda base, que se eleva al

exponente 0, da como resultado la unidad. Pues bien, si ese símbolo o dígito 4 lo multiplicamos por la unidad, da como resultado el valor que tiene en esa posición (4 unidades).

La segunda potencia (de derecha a izquierda) es 101 y cuando se desarrolla, da como resultado 10;

porque toda base que se eleva a la primera potencia, da como resultado la misma base (que en este caso es 10). Pues bien; ese símbolo ó dígito (8) multiplicado por 10 (que es el resultado de la potencia que está en esa posición arroja el valor de 80.

Enseguida, a la tercera posición (siempre contando de derecha a izquierda) corresponde a la potencia 102 y su desarrollo es 100; por lo tanto el dígito 2 multiplicado por 100 es 200 (valor que tiene en la posición

105 104 103 102 101 100 POTENCIAS

que ocupa). A la cuarta posición corresponde la potencia 103, que desarrollada es 1,000; por lo tanto cualquier dígito en esa posición multiplicado por 1,000 nos mostraría su valor en la cifra.

A la 4ª posición de izquierda a derecha le corresponde la potencia 104, que equivale a 10,000 y, multiplicando el dígito 8 por 10,000 sabremos que su valor es 80,000. Finalmente, a la 6ª posición (en el extremo izquierdo de esa cantidad) le corresponde la potencia 105, que equivale a 100,000; por eso, el dígito 4 en esa cifra vale 400,000 (Al multiplicar 4 X 100,000)

Así pues, podríamos determinar el valor de todos los dígitos en una cifra, multiplicándolos por las potencias que corresponden a la posición que ocupan. Pero… ¿Qué sucede con los dígitos que se ubican a la derecha del punto decimal? Pues a esas posiciones, también les corresponde una potencia. Si para la izquierda, los exponentes de la base 10 iban incrementándose, a la derecha del punto, irán disminuyéndose:

Y, ¿de dónde toman su nombre las posiciones decimales en una cifra? Precisamente del valor que corresponde al desarrollo de esas potencias.

Veamos: Recordemos primeramente que al elevar una base a una potencia negativa, tendremos como resultado una fracción que tendrá siempre en el numerador a la unidad (1) y como denominador, llevará lo que resulta de desarrollar esa base al exponente que tenga. Así, al elevar 10 al exponente (-1) Tendremos como resultado 1/10 que se lee: “Un décimo”

103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 POTENCIAS

M C D U

Décimos·

Centésimos

Milésimos

Al elevar la misma base ( 10) al exponente -2 tendremos como resultado 1/100Al elevar 10 al exponente -3 tendremos como resultado 1/1000 … Etc ….Ya decíamos pues, que siempre en el numerador existirá la unidad (1) y en el denominador las

potencias de 10 que son: 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 …..Ya en el denominador leeríamos así:1/10 Décimos1/100 Centésimos1/1,000 Milésimos1/10,000 Diezmilésimos1/100,000 Cienmilésimos