APLICACIONES A UN SOLO CUERPO

CASO 1: PLANO HORIZONTAL

Caso 1.1: Fuerza paralela al plano y superficie sin roceCaso 1.2: Fuerza paralela al plano y superficie con roceCaso 1.3: Fuerza no paralela al plano y superficie sin roceCaso 1.4: Fuerza no paralela al plano y superficie con roce

Caso 1.1:Un bloque que pesa 20 N se encuentra en reposo sobre una

superficie horizontal sin roce.

a) ¿Cuál es la fuerza necesaria que debe aplicarse para que al cabo de 10 s recorra 400 m?

b) ¿ Qué valor posee la normal?

N

F

mga) Acudiendo a las ecuaciones cinemáticas tenemos que :x = v0t + 1/2 a t2. Para las condiciones dadas x= 1/2 a t2. Despejando la aceleración y reemplazando en F = m•a, se obtiene : F = m• 2x/ t2.Así F = 16 N

b) N = mg = 20 N

Caso 1.2:Un bloque que pesa 20 N se encuentra en reposo sobre una

superficie horizontal. El coeficiente estático de rozamiento entre el

bloque y la superficie es 0,40 y el coeficiente dinámico de rozamiento es 0,20:

a) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento dinámico ejercida sobre el bloque?

B) ¿Cuál será la fuerza de rozamiento si se ejerce una fuerza horizontal de 50N sobre l bloque?

C) ¿Cuál es la fuerza mínima que pondrá al bloque en movimiento?

D) ¿Cuál es la fuerza mínima que mantendrá al movimiento del bloque, una vez iniciado?

E) Si la fuerza horizontal es de 10 N, ¿cuánto valdrá la fuerza de rozamiento ( dinámico)?

Fk

N

F

mg

Solución:

A) Si el bloque está en reposo, se tendrá fk = 0

B) Si sobre el bloque se ejerce una fuerza horizontal F = 50N, su fuerza de rozamiento estático es fe = ue N = ue mg = 0,40 (20) = 8N. Como se puede observar, F debe ser un poco mayor que 8N para que así se inicie el movimiento.C) F mínima que pone el bloque en movimiento es:F = fe

D) La fuerza mínima que mantiene en movimiento al bloque será:

F = fk = uk N= uk mg= 0,20(20) = 4N

E) fk = 0,20 (20) = 4N. Como la fuerza aplicada es paralela a la superficie, la fuerza de roce dinámico no depende del valor aplicado. Si la fuerza aplicada tuviera inclinación respecto de la superficie, la normal ya no posee módulo igual al peso y por tanto fk varía.

1.- Fx = P cos = ma

2.- Fy = P sen + N - mg = 0

mg

PN

Caso 1.3: ¿Qué fuerza P, que forma un ángulo “” por encima del horizontal, es necesaria para arrastrar una caja que pesa “ mg” kg, con una aceleración constante “a” sobre un suelo sin roce. Determine el valor de la normal.

Reemplazando este valor en la ecuación 2 y despejando:

N = m•g - m•a tg

De la ecuación 1: P = ma / cos

1.- Fx = P cos - fk = 0

2.- Fy = P sen + N - mg = 0

3.- sustituyendo fk = k · N

PN

mg

fk

Caso 1.4: ¿Qué fuerza P, que forma un ángulo por encima del horizontal, es necesaria para arrastrar una caja que pesa mg kg, a una velocidad constante sobre un suelo horizontal, si el coeficiente dinámico de rozamiento entre la caja y el suelo es k?

Tenemos el sistema de ecuaciones. Multiplicamos la segunda ecuación por y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, resulta: P cos + P sen = W. Despejando la fuerza P:

P = W

cos + sen

CASO 2:PLANO INCLINADO

Caso 2.1.- Fuerza paralela al plano y superficie sin roceCaso 2.2.- Fuerza paralela al plano y superficie con roceCaso 2.3.- Fuerza no paralela al plano y superficie sin roceCaso 2.4.- Fuerza no paralela al plano y superficie con roce

Caso 2.1: ¿Qué fuerza P, paralela a la superficie sin rozamiento de un plano inclinado 30º, será capaz de empujar un bloque de 20kg. A una velocidad constante sobre dicho plano?

b) ¿Qué fuerza horizontal a la base del plano inclinado lo subirá , a velocidad constante?

c) ¿Qué fuerza inclinada 20º más respecto de la fuerza anterior producirá el mismo efecto?

d) ¿Cuál es la fuerza normal ejercida por el bloque sobre el plano, en cada ejemplo?

30º mg

Base del plano inclinado

P

30º

P

N

mg sen 60ºmg cos 60º

XY

Diagrama de fuerzas del cuerpo libre

1.- Fx = P - 200 cos 60º = 0N

2.- Fy = N - 200 sen 60º = 0N

Entonces P = 100 N y la normal N = 173,2 N

30º

P

mg

Diagrama de las fuerzas aplicadas

Base del plano inclinado

a)

b) Diagrama de fuerzas

30º

30ºmg

P

Diagrama del cuerpo libre

N

Mg cos 60º Psen30º

Mg sen 60º

30º

Pcos30º

30º

P

XY

Las ecuaciones para este caso son:

1) Fx = P cos 30° - 200 cos 60° = 0N

2) Fy = N - P sen 30° - 200 sen 60° = 0N

De 1) resulta P = 115,4. Sustituyendo este valor en 2), obtenemos para N = 230,9N

c) Diagrama de fuerza

50°mg

30°

P

Entonces para este caso:

1) Fx = P cos 50° - 200 cos 60° = 0N

2) Fy = N - P sen 50° - 200 sen 60° = 0N

De la primera ecuación P = 155,5 N, y sustituyendo este valor en la segunda, resulta que la fuerza normal vale 292,3 N

Diagrama del cuerpo libre:

N

mgcos60º

Psen50º

Mgsen 60º

50º

Pcos50º

P

Y

X

Caso 2.2: Se tiene un bloque apoyado sobre una superficie con coeficiente de roce dinámico 0,4. Sobre el bloque se aplica una fuerza F paralela a la superficie inclinada. Determinar el valor de esa fuerza para que el bloque de masa 20kg suba con una velocidad constante.

b) ¿Qué fuerza horizontal a la base del plano inclinado lo subirá con velocidad constante?

c) ¿Cuál es la fuerza normal ejercida por el bloque sobre el plano, en cada ejemplo?

30ºmg

Base del plano inclinado

P

¡Ahora inténtalo tú ¡

APLICACIÓN A UN SISTEMA DE CUERPOS

CASO 1: PLANO HORIZONTAL

Caso 1.1 Sin roce y en contacto Caso 1.2 Con roce y en contacto Caso 1.3 Sin roce y unidos por cuerda con masa despreciable Caso 1.4 Con roce y unidos por cuerda con masa despreciable Caso 1.5 Sin roce y unidos por cuerda con masa apreciable Caso 1.6 Con roce y unidos por cuerda con masa apreciable

Caso 1.1:Los bloques A, B y C, de masas 5; 2 y 3 kg respectivamente, están sobre una superficie horizontal, sin roce. Si se aplica una fuerza, constante y horizontal, de 20 N. Determinar el valor de la fuerza que ejerce B sobre C

Caso 1.2: Ahora los bloques A, B y C, de masas 5; 2 y 3 kg respectivamente,están sobre una superficie horizontal, con coeficiente de roce dinámico igual a 0,3. Si se aplica una fuerza, constante y horizontal, de 20 N. Determinar el valor de la fuerza que ejerce B sobre C

Caso 1.3: Se tienen tres bloques de masas m a, m b, m c respectivamente, unidos por cuerdas inextensibles y de masa despreciable sobre una superficie libre de roce . Se aplica una fuerza F sobre el primero de ellos. Determine el valor de las tensiones T1, T2 , T3 y T4 .

T1 T2 T3 T4

Caso 1.4: Se tienen tres bloques de masas m a, m b, m c respectivamente, unidos por cuerdas inextensibles y de masa despreciable sobre una superficie con coeficiente de roce dinámico . Se aplica una fuerza F sobre el primero de ellos. Determine el valor de las tensiones T1, T2 , T3 y T4 .

T1 T2 T3 T4

Caso 1.5: Se tienen tres bloques de masas m a, m b, m c respectivamente, unidos por cuerdas de masas m1 y m2 respectivamente. La superficie está libre de roce. Se aplica una fuerza F sobre el primero de ellos. Determine el valor de las tensiones T1, T2 , T3 y T4 .

T1 T2 T3 T4

Caso 1.6: Se tienen tres bloques de masas m a, m b, m c respectivamente, unidos por cuerdas de masas m1 y m2 respectivamente. La superficie posee un coeficiente de roce dinámico igual a . Se aplica una fuerza F sobre el primero de ellos. Determine el valor de las tensiones T1, T2 , T3 y T4 .

T1 T2 T3 T4

Problema N°3:

Un bloque de 30 kg. es arrastrando a velocidad constante sobre la superficie lisa de un plano inclinado, por la acción de un peso de 10 kg. pendiente de una cuerda atada al bloque y que pasa por una polea sin rozamiento, colocada en lo alto de dicho plano. Calcular:

a) El ángulo de inclinación del plano

b) La tensión de la cuerda

c) La fuerza normal ejercida sobre el bloque por el plano

Solución:

A) Diagrama de fuerzas

α

TT

P

Diagrama del cuerpo libre:

α

TT

P Mgcos αmgsen α

NY

XLas ecuaciones del sistema son:

1) Fx = T - mg sen α = 0N

2) Fy = N - mg cos α = 0N

De 1) resulta α = 19,3°

B) La tensión T de la cuerda es la misma magnitud que el peso P pendiente, o sea que T = 100N

C) La fuerza normal ejercida por el plano sobre el bloque, la calculamos a partir de la segunda ecuación de equilibrio, donde N = 283 N

Solución:Designado por F la fuerza con la cuál se arrastra al bloque y por f la fuerza de rozamiento correspondiente, tenemos:

A) Si el bloque está en reposo, se tendrá Fk =0N B) Si sobre el bloque se ejerce una fuerza horizontal F = 50N, su fuerza de rozamiento estático es Fe = ue N = ue mg = 0,40 (20) =8N . Como se puede observar, F es mayor igual que 8n para que así se inicie el movimiento.

C) La fuerza F mínima que pone el bloque en movimiento es:

F = fk = ue N= ue mg= 0,40(20) = 8N D) La fuerza mínima que mantiene en movimiento al bloque será:

F = f = uk N= uk mg= 0,20(20) = 4N

E) Si la fuerza F = 10N, la fuerza de rozamiento:

fk = uk N = 0,20 (20) = 4N

Como puede verse, si la fuerza aplicada sobre el cuerpo no tiene componente vertical, la fuerza de roce depende, en este caso, del coeficiente uk y de la normal N.

Problema N°5:

El bloque A, de la figura, pesa 40N y descansa sobre un bloque B que pesa 80N. Los bloques están unidos por una cuerda que pasa alrededor de una polea sin rozamiento. El coeficiente dinámico de rozamiento entre los bloques A y B y entre B y la superficie, es 0,25. Calcular la fuerza P necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante.

B

A

Solución:

Tomando el sistema formado por el bloque A, sus ecuaciones son:

1) Fx = T - f = 0N

2) Fy = N - mg = 0N

De 2) resulta que N = mg = 40N

De 1) resulta T = f = u N = 10N

Ahora tomando el sistema formado por los bloques A y B tenemos:

Mag + Mbg

T1 F1k

N1

P 3) Fx = F1k + T1 - P = 0N

Fy = N - (Mag + Mbg) = 0N

De 4) resulta: N1 = Mag + Mbg = 120n y para T1 = 2T = 20n, puesto que la cuerda del bloque B, o sea, porque el rozamiento de los bloques es el doble a ambos bloques A y B; obtenemos que la fuerza P necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante se encuentra mediante la ecuación 3):

P = f1k + T1 = u N + T1 = 0,25 (120) + 20 = 50N

Problema N°6:

Qué fuerza de roce debe generarse entre la superficie inclinada y la del bloque, de manera que una fuerza P de 860N, paralela a la superficie de un plano inclinado 20°, empuje el bloque de 120 kg.. Hacia arriba y a velocidad constante. Determine además el coeficiente de roce dinámico.

Solución:

P

fkmgsen α

α

A) Las ecuaciones de equilibrio son:

1) Fx = P - fk – mgcos(90- α) = 0N

2) Fy = N – mgsen(90- α) = 0N

De 1) fk = P - mgcos α = 450NDe 2) N = mgcos α = 1126,8N

Por lo tanto, el coeficiente de roce es: u = f/N = 0,398

Ejercicio nº 1:Ejercicio nº 1:

Se tiene un bloque de masa m sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación es el coeficiente de roce entre el bloque y el plano es . Determinar:1.- para que el bloque baje con V cte.2.- Determinar una fuerza F paralela al plano para que suba con V cte.

Desarrollo:Desarrollo:F=0NF=0Nmgsenmgsen - fk =0N - fk =0Nmgsenmgsen = fk = fkmgsenmgsenmgcosmgcossensen= cos= costgtg

1.2.-F = 0NF- mgsenF = mgsen

F = mgsenmgcosF = mg(sencos

Ejercicio nº 2:Ejercicio nº 2:Se tienen 3 bloques de masa m, como indica la figura. Determine la fuerza F, necesaria para mover el sistema con aceleración a. El angulo del plano inclinado es y el coeficiente de roce en la parte plana del plano es Luego determinar la tensión de la cuerda.

Desarrollo:

2.1.-

am

mgF

mamgF

mamgmgF

mamgfkF

MaF

2)sen(

2)sen(

2sen

2sen

2)sen(

sen2

sen

sen

mgFT

mgfkFT

fkTFmgT

mafkTF

mamgT2.2.-

Ejercicio nº 3:Ejercicio nº 3:Se tienen 2 bloques, de masa diferente unidos por una polea fija, como muestra la figura. El coeficiente de roce entre el bloque y el plano es ; Determinar:1.- La aceleración del sistema.2.- La masa del bloque A para que el sistema se mueva con V cte.3.- La Tensión de la cuerda.

amm

mmg

amm

gmgm

mmafkgm

amTgm

amfkT

ba

ab

ba

ab

bab

bb

a

)(

)(

)(

Desarrollo:4.1.-

4.2.-

ab

ab

a

mm

gmgm

gmT

fkT

NF

0

2)(

2

2

0

0

0

)1(0

ba

b

b

b

b

mmgT

gmfkT

gmfkT

Tgm

fkT

Tgm

fkT

4.3.-

Se tiene un bloque triangular y sobre éste un bloque de masa=72kg. Si al bloque A se le aplica una fuerza de 150N, determinar el coeficiente de roce entre el bloque B y el bloque triangular para que el bloque B no se mueva.

Ejercicio nº 4:Ejercicio nº 4:

Desarrollo:

Cálculo de la fuerza Normal al

bloque:

NN

NNN

mgNsenN

NFy

53,698

866,072075

30cos30150

0

Cálculo de k:

k

kN

N

NkNN

kNNNsen

fkFmgsen

NmgsenfkF

NFx

3294,0

53,698

1,230

53,6989.129360

30cos15030720

30cos30

03030cos

0

Ejercicio nº 5:Ejercicio nº 5:Como se observa en la figura, se tiene sobre un carro 2 bloque unidos por una cuerda que pasa por una polea fija sin roce. Al carro se le aplica una fuerza F. Determinar la masa m para que el sistema no se mueva.

Desarrollo:

Cálculo de la F Normal a 2m:

mgN

NFy

2

0

Cálculo de la F Normal a m:

cos

0

mgFsenN

NFy

FfkT

NFfkT

0

cos

0cos

fmgsenT

NmgsenFT

T=T

Entonces:

)2(sen)cos1(

)cos1()2(sen

cos2sen

cossen

cossen

kgF

m

Fkmg

FFmgkmg

kNFFmg

fkFFmg

Ejercicio nº 6:Ejercicio nº 6:Se tiene una masa colgando de un aparejo, si la masa es de 980N, determinar la fuerza que debe ejercerse sobre la cuerda para que acelere hacia abajo con 2,5m/s

Desarrollo:

NF

aF

aF

maRFmaF

RF

RF n

5,8314

)1(950

)1(9504

422 2

Según lo visto en clases, para este tipo de sistema, F = R/2n siendo n el nº de poleas móviles