INSTITUTO TECNOLOGICO DE MATAMOROSCALCULO VECTORIALUnidad 3Aplicacin de las funciones vectoriales de variable escalar.

Alumno: Perla Marielena Ramrez CequedaCARRERA: INGENIERIA QUIMICACATEDRTICO: JOSE GUADALEPE GARCIA CASTILLO H. MATAMOROS, TAM. 10 DE ABRIL DEL 2014DEFINICIN DE FUNCIN VECTORIAL

Una funcin vectorial es una regla de transformacin tal que a cada punto de un dominio le corresponde un vector. Si se tiene una sola variable independiente se dice que es una funcin vectorial de variable escalar (real).Si hay ms de una variable independiente (dos o ms), se dice que es una funcin vectorial de variable vectorial.Para hacer referencia a una funcin vectorial de , se utiliza la siguiente notacin . Donde la notacinindica que el dominio A de la funcin es en general un subconjunto de .

Los siguientes son algunos ejemplos de funciones vectoriales.Ecuacin vectorial de la recta en el espacio.

Donde es un punto de la recta con direccin del vector

Ecuacin vectorial del plano. Donde es un punto del plano y Son dos vectores no paralelos contenidos en el plano.

Ecuacin vectorial de una curva en el espacio.

Donde son funciones escalares de variable escalar.

Ecuacin vectorial de una superficie.

Donde son funciones escalares de variable vectorial.

Es importante observar que un caso particular de funciones vectoriales de variable vectorial, se tiene cuando las dimensiones del dominio y recorrido de la funcin son iguales, cuando esto sucede, a las funciones se les llama campos vectoriales. Un campo vectorial en , es una funcin vectorial de variable vectorial que asocia un vector a cada punto de un dominio. Se denota porLos ejemplos fsicos que se presentaron de funciones vectoriales, son ejemplos tambin de campos vectoriales. Algunos otros ejemplos de campos vectoriales son los siguientes.

EJEMPLOS DE CAMPOS VECTORIALESLa velocidad en cada punto de un disco circular giratorio. Si se desea conocer la velocidad lineal en cada punto de un disco circular, por ejemplo un disco compacto, se tiene un vector de velocidad en para cada punto de.La fuerza de atraccin de la Tierra sobre un cuerpo. El campo de fuerza gravitacional, modelado de acuerdo con la ley de Newton es un campo vectorial en .

REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES VEC TORIALES DE VARIABLE ES CALAR

Al igual que las funciones estudiadas en los cursos de CI, CII, y el primer captulo de este curso, las funciones vectoriales pueden representarse de manera grfica. Por ejemplo, la funcin vectorial

Representa un familia de vectores que parten del origen, con direccin variable y mdulo constante de tres unidades. Algunos de estos vectores se encuentran trazados en el siguiente dibujo.Puede observarse, que las puntas y de los vectores describen una curva.Esta es una de las aplicaciones de las funciones vectoriales, donde dichas funciones pueden representar el movimiento de una partcula a lo largo de una curva, o bien pueden representar la grfica de una curva. Por ejemplo, la funcin anterior describe una circunferencia con centro en el origen y radio tres.Esta ltima representacin para funciones vectoriales de variable escalar es la ms comn, y por ello, como ejemplo de funcin vectorial se mencion la ecuacin vectorial de una recta en el espacio, as como la ecuacin vectorial de una curva en el espacio.Entonces, una funcin que va de puede representar, en general, una curva b) en el espacio. Por ejemplo la funcin

Representa una porcin de hlice.

Ejemplo 2.1Obtener la grfica de las siguientes funciones vectoriales

Resoluciona) Igualando Finalmente

b) Entonces Finalmente

REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES VECTORIALESSi la funcin vectorial proporciona el vector de posicin de un punto en , entonces la funcin puede representar, en general, una superficie en el espacio. Por ejemplo, la funcin vectorial Representa un paraboloide hiperblico rotado 45

REPRESENTACIN GRFICA DE CAMPOS VECTORIALES

Los campos vectoriales se representan de una manera muy particular, pero antes de estudiar su representacin es conveniente observar la tabulacin y dibujo de algunos vectores de un campo. Por ejemplo, si se desea conocer la grfica del campo vectorial se puede realizar una tabulacin para distintos puntos y posteriormente dibujarlos.

Ntese que los campos vectoriales no representan vectores de posicin.En la grfica anterior se puede observar que los vectores dibujados presentan una tendencia, y es precisamente esa tendencia de los vectores la que se dibuja. Los campos vectoriales se representan a travs de lneas de campo. Las lneas de campo son aquellas en las cuales los vectores de campo vectorial son tangentes.Sea un campo vectorial. Una lnea de campo o lnea de flujo de es una trayectoria tal que es Para el campo anterior, las lneas de campo son trayectorias que describen circunferencias concntricas con centro en el origen y orientadas en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Es importante aclarar que las lneas de campo son lneas imaginarias, no existen en realidad, es decir, slo ayudan a obtener una aproximacin de la grfica de un campo vectorial, y no son la funcin en s; sin embargo, para que las lneas de campo representen una funcin, no deben nunca tocarse ni cruzarse.

DOMINIO, LMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES VECTORIALESAntes del clculo de lmites, es necesario identificar la forma en la que se obtiene el dominio de una funcin vectorial. El dominio de una funcin vectorial, es la interseccin de los dominios de cada una de las funciones escalares que la componen.Ejemplo 2.2Determinar el dominio de las siguientes funciones vectoriales de variable escalar.

Resoluciona) Puesto que estudiamos funciones reales de variable real, la funcin logaritmo natural slo est definida, en los nmeros reales, para valores positivos, entonces: b) Puesto que las funciones escalares de las componentes tiene como dominio a todos los reales, entonces

Ejemplo 2.3 Determinar el dominio de las siguientes funciones vectoriales de variable vectorial.

Resolucion: a) Si , puesto que no est definida la divisin entre cero, se tiene Si entonces Finalmente el dominio dees la interseccin de los dominios de

b) Para la componente en i:

Para la componente en J:

Para la componente en k:

Finalmente

Para la obtencin de lmites se analizarn primero las funciones vectoriales de variable escalar. Sea una funcin vectorial de variable escalar, definida en un entorno del punto, excepto posiblemente en. Entonces es el vector lmite de cuando se aproxima a y se expresa como Si y slo si, para cada existe un correspondiente tal que siempre queObsrvese que tiende al vector en la medida en que t tiende a cierto valor t0, y debe recordarse que no es necesario que la funcin vectorial est definida en el instante o valor al que t se aproxima.La definicin anterior no es til para obtener el lmite, slo sirve para comprobar si el vector corresponde al lmite de cuando t tiende a . Para obtener lmites de manera prctica es necesario establecer la siguiente definicin. Sea una funcin vectorial tal que entonces siempre y cuando los lmites de las funciones existan cuando.La definicin anterior se presenta para funciones vectoriales (en el espacio), pero es igualmente til para funciones (en el plano), considerando que no existe componente en la direccin, y puede generalizarse para funciones vectoriales. Como puede observarse, para que el lmite de la funcin vectorial exista, debe existir el lmite de cada una de las funciones escalares. Si no existe el lmite de alguna funcin escalar, entonces no existe el lmite de la funcin vectorial. La definicin de continuidad en un instante (o en un punto) para una funcin vectorial es similar a la definicin de continuidad para funciones escalares.Una funcin vectorial es continua en siRetomando la definicin dada para el lmite de una funcin vectorial puede concluirse que una funcin vectorial es continua en un valor si y slo si, las funciones escalares de cada componente son continuas en ese mismo valor (instante).

Ejemplo 2.4Obtener, si existe, el lmite de las siguientes funciones vectoriales.

Resolucion:a) Puesto que se presentan indeterminaciones en las funciones de la primera y ltima componentes, se aplica la regla de L'Hopital, de la siguiente manera

Aplicando la regla de L'Hopitalb) Para este lmite tambin se aplica la regla de L'Hopital en la tercera componente.

Ejemplo 2.5Analizar la continuidad de la siguiente funcin vectorial

ResolucinPara evaluar que aparece en las tres componentes, se debe cumplir la condicin o bien . Para la componente en i , se tiene que es continua si . Para la componente en j , la funcin es continua si , y para la componente en k, basta que se cumpla. Finalmente, la interseccin de las condiciones anteriores se da cuando o bien, Por lo que se concluye que la funcin slo describe un punto.:Al igual que para las funciones escalares, tambin es posible definir funciones vectoriales utilizando ms de una regla de correspondencia, como lo muestra el siguiente ejemplo.Ejemplo 2.6

Determinar si la funcin es continua en Resolucin:

Por otro lado:

Formulas de Frenet-Serret y el vector torsinEnla geometra diferencial, lasfrmulas de Frenet-Serretdescriben las cinemticaspropiedades de una partcula que se mueve a lo largo de un continuo, diferenciablecurvaen tres dimensionesdel espacio euclidianoR3, o las propiedades geomtricas de la curva en s independientemente de cualquier movimiento.Ms especficamente, las frmulas se describen los derivadosde la llamadatangente, normal y bi normalvectores unitariosen trminos de uno al otro.Las frmulas son el nombre de los dos matemticos franceses que los descubrieron de forma independiente:Jean Frdric Frenet, en su tesis de 1847, yJoseph Alfred Serreten 1851.Vector notacin y lgebra lineal se utiliza actualmente para escribir estas frmulas an no estaban en uso en el momento de su descubrimiento.

La tangente, vectores normales y binormal unidad, a menudo llamadoT,NyB, o colectivamente elmarco Frenet-Serretomarco TNB, juntos forman unabase ortonormalque abarcaR3, y se definen como sigue:Tes el vector unitariotangentea la curva, apuntando en la direccin del movimiento.Nes lanormalidadvector unitario, la derivada deTcon respecto al parmetro de longitud de arcode la curva, dividido por su longitud.Bes el vector unitario binormal, elproducto cruzadodeTyN.Las frmulas de Frenet-Serret son:

donded/dses la derivada con respecto a la longitud de arco, es lacurvaturay es latorsinde la curva.Los dosescalares y definen efectivamente la curvatura y torsin de una curva en el espacio.La coleccin asociada,T,N,B, , y se llama elaparato de Frenet-Serret.Intuitivamente, las medidas de la curvatura de la insuficiencia de una curva a una lnea recta, mientras que la torsin mide el fracaso de una curva a ser plana.

Sea la funcin vectorial: Obtener para cualquier valor de s:

Resolucin:

BIBLIOGRAFA:PAG 889,891,894,895,907,908,913,914,915,916,,918,922,923 y 924Calculo de Louis Leithol 7ehttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm