FI-UAEMex. Calculo 2, grupo 02. Ejercicios 01. Funciones
vectoriales y derivadas de Iunciones vectoriales.1. Dibuje la curva
representada por la Iuncion vectorial r (t )=2cos3(t )i +2sen3(t
)f,yde la orientacion dela curva.Respuesta. La curva se muestra en
la figura 1, es una astroide que comien:a en la parte positiva del
efe X v 'avan:a hacia` la parte positiva del efe Y. La ecuacion
cartesiana de esta astroide es.x2/3+v2/ 3=22/ 3.2. Dibuje la curva
representada por la Iuncion vectorial r (t )=(-t +1)i +( 4t +2)f +(
2t+3) k, y de la orientacion de la curva.Respuesta. La curva, una
recta, se muestra en la figura 2. Dos planos que contienen a la
recta son (es decir, una representacion bisuperficial de la recta).
4 x+v-6=0 2 x+:-5=0Figura 1 Figura 23. Dibuje la curva
enelespaciorepresentada por la interseccion de las
superIiciesx2+v2=4:=x2. Despues represente la curva por medio de
una Iuncion vectorial usando el parametro x=2 sen(t ) .Respuesta.
Usando la parametri:acion propuesta para x, una funcion vectorial
que proporciona la curva es.f (t )=( 2sen(t ) , 2cos(t ) , 4 sen2(t
)). Puesto que se trata de una curva cerrada, se puede buscar el
dominio de la funcion con el que la curva se dibufe una ve:, por
simple inspeccion, tal intervalo es. t -| 0,2n . En la figura 3 se
muestran las superficies dadas, v la curva de interseccion.4.
Dibuje la curva plana representada por la Iuncion vectorial r (t
)=(1+t )i +t3fy dibujar los vectores r (t0) r (t0) , para t0=1.
Coloque los vectores de manera que el punto inicial de r (t0) este
en el origen y el punto inicial de r (t0) este en el punto Iinal de
r (t0) .Que relacion hay entre r (t0) y la curva?Respuesta. En la
figura 4 se muestra la curva descrita por r (t ) . Ademas, r (1)=2i
+f. Derivando la funcion r (t ) se obtiene r (t )=i +3t2f, asi que,
r (1)=i +3 f. En la misma figura se muestra los vectores anteriores
tal v como se piden (se puede observar que el vector r (t0)
'parece` tangente a la curva en el punto que corresponde con r (t0)
).Figura 3 Figura 4Jose Luis Nuez Mejia. Abulico IA pag.1 de
2FI-UAEMex. Calculo 2, grupo 02. Ejercicios 01. Funciones
vectoriales y derivadas de Iunciones vectoriales.5. Para la Iuncion
r (t )=(cos(t )+t sen(t ) , sen(t )-t cos( t ) , t ) , halle r (t )
r (t )r (t ) .Respuesta. r (t )=( t cos(t ) , t sen(t ) , 1), r (t
)=( cos(t )-t sen(t ) , sen(t )+t cos(t ) , 0)v, de los dos
resultados anteriores, r (t )r (t )=t .6. Halle el (los) intervalo
(s) abierto (s) en que la curva dada por la Iuncion r (t )=2t8+t3 i
+2t28+t3 f es suave.Respuesta. Para cumplir con las condiciones de
curva suave. el intervalo de variacion de t (para que la funcion
tenga componentes en los numeros reales) debe ser cualquiera que no
contenga a las raices, reales, del termino8+t3, esto es t =-2,
ademas,se tiene que cumplir |r (t )|=0, lo cual lleva a la misma
condicion ( t =-2).7. Use las propiedades de la derivada para
encontrar lo siguiente: a) r (t ) b) r (t ) c) Dt( r (t )u(t ))d)
Dt( 3r (t )-u(t )) e) Dt( r (t )u(t )) I) Dt(|r (t )|) , t >0.
Si las Iunciones vectoriales son:r (t )=ti +2 sen(t )f +2cos(t )k
u(t )=1t i +2 sen(t )f +2cos(t )kRespuesta. a)r (t )=(1 , 2cos(t )
,-2 sen(t )) b)r (t )=(0 ,-2 sen(t ) ,-2cos(t ))c) Dt( r (t )u(t
))=0d) Dt( 3r (t )-u(t ))=(3+1t2 , 4cos(t ) ,-4 sen(t ))e)Dt( r (t
)u(t ))= 1t2 (0,( 2t3-2t ) sen(t )+(-2t2-2)cos(t ) , (2t2+2) sen(t
)+( 2t3-2t ) cos(t ))f)Dt(|r(t )|)=t.4+t2.Los archivos, en Winplot,
de las Iiguras 3 y 4 estan aqui.Algunas de la operaciones, en
Maxima, que se hicieron para resolver los problemas estan aqui.Jose
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