Geodesia Geomtrica y Geodesia Fsica Objetivo y Aplicaciones
CURSOS DE ENSEANZAS PROPIAS. UNIVERSIDAD DE ALMERA
NDICE CONTENIDO Definicin, divisin y objetivo de la Geodesia 1.
Qu es la Geodesia? 3 3 4 5 2. Problemas de la Geodesia
.......................................................................................
3. Divisin de la Geodesia
..........................................................................................
4. Datos histricos y tcnicos. La red geodsica espaola
.......................................... Aplicaciones de la
Geodesia Geomtrica 5. Resolucin de pequeos tringulos
..........................................................................
6. Determinacin de distancias
....................................................................................
7. Determinacin de ngulos
.......................................................................................
8. Transformacin de coordenadas y cambio de dtum Aplicaciones de la
Geodesia Fsica 9. Relacin entre los observables fsicos y la
Geodesia ................................................. 9. El
campo de gravedad terrestre. Superficies de nivel. El geoide
............................. 10. Ondulacin del geoide y desviacin
de la vertical ...................................................
11. Ondulacin del geoide y alturas ortomtricas. Mtodo GPS-Nivelacin
................ 12. Clculo gravimtrico del geoide
..............................................................................
13. Componentes de la desviacin de la vertical y modelo
geopotencial ...................... 14. Componentes de la desviacin
de la vertical y geoide
.............................................. Bibliografa
Bibliografa bsica
..........................................................................................................
Bibliografa de consulta 19 20 24 27 30 39 40 9 1 3 1 5 1 6 PG.
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Definicin, divisin y objetivo de la Geodesia
1. Qu es la Geodesia? La palabra Geodesia literalmente expresa
divisin de la Tierra, sin embargo, diversos autores notables
establecen distintas definiciones de este concepto. Para unos
existe una clara diferencia entre la Geodesia Terica y la Geodesia
Prctica, indicando que la primera estudia la forma y dimensiones de
la Tierra, en cambio la segunda establece los procedimientos para
la medida de porciones terrestres. Para otros autores esta
diferencia no es tan clara, por ello se refieren a la Geodesia como
una ciencia cuyo objetivo es el de proporcionar un armazn o
estructura geomtrica precisa para el apoyo de los levantamientos
topogrficos. Actualmente la Geodesia se define brevemente como la
ciencia que resuelve los problemas relacionados con la figura y
dimensiones de la Tierra , y como veremos ms adelante esta ciencia
puede dividirse en varias disciplinas, atendiendo al mtodo seguido
para llevar a cabo este objetivo. Podemos concluir este apartado
diciendo que la Geodesia es una ciencia, que desde la antigedad, se
ha dedicado al estudio de la medida y forma del globo terrqueo,
adatndose a las necesidades de la poca para aplicarse a problemas
prcticos, como son bsicamente la confeccin de mapas nacionales e
internacionales, as como la preparacin de cartas para aplicaciones
especficas como las geolgicas e hidrogrficas, entre otras. Pudiendo
afirmar que la Geodesia se ha necesitado y seguir siendo necesaria
mientras se proyecten obras humanas que requieran precisiones cada
vez mayores. 2. Problemas de la Geodesia Sabiendo que la principal
tarea cientfica de la Geodesia es el estudio de la figura de la
Tierra, podemos dividir los problemas cientficos de la Geodesia en:
Determinacin del tipo de superficie matemtica que represente
suficientemente bien la figura de la Tierra en su totalidad. A este
respecto se considera como tal superficie la de un elipsoide de
revolucin ligeramente aplanado, ste se denomina elipsoide
terrestre. El estudio de la verdadera figura de la Tierra y su
campo de gravedad, entendiendo por verdadera figura de la Tierra,
la superficie fsica de la misma. El estudio de la verdadera figura
de la Tierra consiste en determinar las magnitudes geodsicas, que
caracterizan las desviaciones de sta con respecto a la superficie
establecida por el elipsoide terrestre. El estudio del campo de
gravedad terrestre es fundamental, debido tanto a su influencia en
la forma de la Tierra, como a la influencia que ejerce en las
medidas que se llevan a cabo de la misma (por ejemplo mediante
satlites artificiales).
Los problemas cientfico-tcnicos derivados de los anteriores son
mltiples, aqu citaremos slo los ms relevantes. Medicin de la
aceleracin de la gravedad. 3
Determinaciones astronmicas de las latitudes y longitudes
terrestres. Observaciones de los satlites artificiales. Elaboracin
de modernos mtodos e instrumentos para la ejecucin de mediciones y
observaciones de alta precisin. Desarrollo de mtodos topogrficos
con los que se estudia detalladamente la forma de la superficie
terrestre. Levantamiento cartogrfico de grandes territorios, es
decir, representacin de la superficie terrestre sobre un plano.
Interpretados a grandes rasgos, los problemas cientficos y
cientfico-tcnicos de la Geodesia, estn recprocamente enlazados, y
por eso, la solucin de los problemas cientficotcnicos exige el
control de requisitos deducidos de la solucin de los problemas
cientficos. En el apartado siguiente veremos como la bsqueda de
soluciones a los problemas fundamentales de la Geodesia, conduce a
una divisin de la misma en tres ramas principales. 3. Divisin de la
Geodesia De la definicin de la Geodesia dada anteriormente, parece
deducirse que la misma se dedica slo a la solucin de problemas de
tipo geomtrico, pero no debemos olvidar que para llegar a definir
la forma de la Tierra, ser preciso considerar a nuestro planeta en
un contexto ms general. En efecto, dentro del marco de la Mecnica
Clsica, la Tierra es un cuerpo inmerso en el sistema solar, que se
encuentra sometido a una rotacin diaria y a la atraccin del Sol y
de los dems cuerpos del sistema solar. En estas condiciones la
Tierra describe una rbita que compensa en cierto modo tales
atracciones, por ello, podemos considerar que un punto sobre la
superficie terrestre queda sometido, casi exclusivamente, a la
atraccin de nuestro planeta y a la fuerza centrfuga derivada de su
rotacin. As pues, idealizado el problema y prescindiendo del
movimiento orbital terrestre, vemos que tiene sentido estudiar las
figuras de equilibrio que adoptar una masa aislada, cuyas partculas
se atraen segn la ley de gravitacin universal de Newton. En esta
situacin de aislamiento, sucede que la esfera es una figura de
equilibrio para una masa homognea en reposo, siendo el nico
movimiento posible para una masa homognea que se mueve como un
slido, el de una rotacin uniforme alrededor de uno de sus ejes
principales de inercia. Ambas conclusiones, unidas al hecho de que
una pequea rotacin produce un achatamiento de la forma esfrica, nos
lleva a considerar que la Tierra tiene una figura de equilibrio
dada por un elipsoide de revolucin, ligeramente achatado en los
polos, que gira alrededor de un eje que pasa aproximadamente por
los polos. Conviene sin embargo recordar, que la Tierra no es un
cuerpo rgido y homogneo, por tanto este modelo terico est muy
simplificado. Otra simplificacin importante que se ha indicado
consiste en ignorar los efectos gravitatorios de los dems cuerpos
del sistema solar, incluido el Sol, sobre la superficie terrestre.
Es un fenmeno bien conocido la existencia de mareas tanto ocenicas
como terrestres y atmosfricas, todas stas son debidas a la atraccin
gravitatoria que ejercen 4
sobre la superficie terrestre, principalmente el Sol por su gran
masa y la Luna por su cercana a la Tierra. No obstante, en lo
sucesivo vamos a considerar como superficie de equilibrio o
equipotencial la que determinan los ocanos, prescindiendo del
efecto perturbador de las mareas. Denominaremos entonces geoide a
la superficie dada por el nivel medio de los ocanos, siendo esta
superficie la que utilizaremos como referencia para definir la
altitud de un punto sobre la Tierra. Sin duda, la introduccin del
geoide como superficie de nivel tiene un gran sentido fsico, aunque
su determinacin resulte ser uno de los problemas ms complejos de la
Geodesia. Nos encontramos as con dos superficies fundamentales de
referencia, el elipsoide y el geoide, las cuales provienen de dos
concepciones distintas de la Geodesia, determinando en consecuencia
la divisin de la Geodesia en dos ramas principales, Geodesia
Geomtrica o Elipsoidal y Geodesia Fsica o Dinmica. Adems de estas
ramas y debido al desarrollo de la interferometra lser, las nuevas
tcnicas de radar y el lanzamiento de satlites artificiales, las
cuales hacen posible determinar la posicin de un punto sobre la
Tierra, de forma independiente de cualquier modelo previo adoptado;
nace una nueva rama de la Geodesia que incluye procedimientos de
medida tan diversos, sta se llama Geodesia Espacial o Geodesia por
satlite. Finalmente sealaremos, que atendiendo a su aspecto ms
operativo o prctico, la Geodesia puede dividirse en tres categoras:
La Geodesia Global, que responde a la definicin general citada al
principio de este captulo, y que necesita para su desarrollo la
cooperacin internacional. La Geodesia Regional, que es practicada
por cada pas con el fin de resolver los problemas planteados por la
Cartografa y la Geografa, entre otras. La Geodesia Topogrfica, que
trata de precisar detalles de una cierta superficie de pequeas
dimensiones, para ello la considera una superficie plana o esfrica
segn sean sus dimensiones.
4. Datos histricos y tcnicos. La red geodsica espaola Llegados a
este punto, hay que recordar que desde la antigedad el hombre se ha
preocupado por la medida de la Tierra, pero es Aristteles el primer
autor que nos habla de la medida de la misma, indicando que los
matemticos de la poca fijaron el permetro de sta en 400 000
estadios, siendo un estadio aproximadamente 166 m. Sin embargo, es
Eratstenes el primer gemetra cuyo procedimiento de medida es
conocido; su mtodo, el cual es utilizado todava en nuestra era,
consiste en la medida lineal y angular de un arco terrestre; la
medida lineal se realizaba de forma directa, a pasos, la medida
angular se llevaba a cabo mediante mtodos celestes. El
procedimiento que este geodesta llev a cabo 2 siglos a. C. es como
sigue. Primero observ el da del ao en que el Sol estaba en la
vertical de la ciudad de Siene (actual Assun). Al ao siguiente el
mismo da y a la misma hora observo la inclinacin del Sol en
Alejandra, tal como se indica en la figura 1, 5
obteniendo el valor 1/50 parte de un crculo (7 12'). Entonces,
dado que la distancia entre Alejandra y Siene era bien conocida en
la poca (5.000 estadios), pudo hallar el radio medio de la Tierra y
el permetro aproximado de la Tierra unos 252.000 estadios (1
estadio de esa poca era aproximadamente 160 m actuales).
Esta forma de medir arcos y distancias de forma ms bien directa
se utiliz hasta el ao 1620, fecha en la que el abate Picard, nacido
en Francia, mide un arco de meridiano, por medio de una
triangulacin compuesta de 13 tringulos. Las latitudes extremas se
determinaron empleando crculos graduados de tres metros de radio,
junto con observaciones astronmicas.
Fig. 1. Mtodo usado por Eratstenes para medir el permetro de la
Tierra.
Durante siglos Francia mantuvo su primaca en asuntos geodsicos,
pero desde principios del siglo XIX es Alemania el pas que da a la
Geodesia un empuje formidable, siendo Estados Unidos, durante el
siglo XX, el pas en el que se llevan a cabo los trabajos geodsicos
de ms relevancia. Las medidas francesas de los siglos XVII y XVIII
sirvieron para calcular los elipsoides de Bessel y de Clarke,
mientras que las medidas Norteamericanas se utilizaron para
calcular el elipsoide de Hayford.
Fig. 2. Mapa de la Red Geodsica Nacional.
6
En lo que se refiere a nuestro pas, desde la mitad del siglo XIX
hasta la mitad del siglo XX, se fueron desarrollando los trabajos
destinados a extender una red geodsica formada por cadenas de
tringulos, los cuales corren sensiblemente a lo largo de los
meridianos, paralelos y costas (ver figura 2). Forman parte de esta
red las cadenas de enlace del Archipilago Balear con la Pennsula,
as como los grandes cuadrilteros que ligan nuestra costa con
Argelia y Marruecos. El Archipilago Canario posee su propia red que
liga las islas entre s, y stas con el continente africano (ver
figura 2). Los trabajos geodsicos cuyo objetivo fue la formacin del
mapa nacional en escala 1:50.000, se iniciaron en 1858 finalizndose
en su conjunto hacia 1930. El punto fundamental de la red geodsica
nacional o dtum est en el Observatorio Astronmico de Madrid, cuyo
meridiano ha sido utilizado tambin como origen de longitudes. Sin
embargo, la red geodsica de las Canarias por ser independiente
tiene su propio dtum, el cual se halla en el vrtice denominado Pico
de las Nieves, en la isla de Gran Canaria. Ms recientemente y
gracias al desarrollo de nuevas tecnologas como GPS, todas las
redes europeas se han podido unificar para formar una sola red de
precisin. Esta unificacin ha permitido unir toda el rea ibrica con
Europa, mediante una red de alta precisin que nos proporciona
actualmente medidas de gran precisin para ciertos puntos, que
pueden usarse como vrtices de referencia para realizar tareas
cientficas o tcnicas. Esta unificacin ha sido posible gracias al
desarrollo de la red EUREF (ver figura 3), la cual est formada por
estaciones GPS permanentes. Esta red de estaciones permanentes
proporciona coordenadas de alta precisin para diversas aplicaciones
tanto cientficas como tcnicas.
Fig. 3. Mapa de la red de estaciones GPS permanentes que forman
la red EUREF. Con el desarrollo de la red EUREF y la realizacin de
otros trabajos geodsicos, desarrollados con la financiacin de
proyectos europeos, en los cuales cada pas de Europa ha colaborado
aportando sus medidas y realizando nuevas y ms precisas mediciones,
se ha conseguido unificar las redes de nivelacin europeas, para
formar una nica red de nivelacin 7
con una precisin centimtrica. Esta red de nivelacin que recibe
el nombre de UELN (United European Levelling Network) est
representada en la figura 4(a). (b)
(a) Fig. 4. (a) Mapa de la red de UELN formada por la unificacin
de todas las redes de nivelacin europeas. (b) Mapa de la red
vertical europea EVRS (European Vertical Reference System). Fig. 5.
Mapa con los vrtices de la red vertical europea EVRS en Iberia.
Durante la realizacin de esta red de nivelacin unificada para
toda Europa (la red UELN), formada por todas las redes de nivelacin
de los pases europeos, se puso tambin de manifiesto la necesidad de
unificar estas redes de nivelacin no slo entre ellas sino tambin
con la red EUREF, de tal forma que se pudiera disponer de una red
GPSnivelacin unificada para toda Europa. Esta nueva red conseguida
como consecuencia de todos los esfuerzos y proyectos anteriores,
cuyo nombre es EVRS (European Vertical Reference System), est
representada en la figura 4(b). Esta red constituye un marco de
referencia fundamental para la medicin de alturas con precisin
centimtrica. En el rea ibrica esta red posee los vrtices de
precisin mostrados en la figura 5. Las coordenadas y alturas de
estos puntos, junto con los datos de los otros puntos situados
por
toda Europa, pueden descargarse desde internet en la direccin:
http://crs.bkg.bund.de/evrs/tabelle_neu.html
8
Aplicaciones de la Geodesia Geomtrica
5. Resolucin de pequeos tringulos (a) En las campaas geodsicas,
como las mencionadas anteriormente, se suelen determinar los ngulos
sobre la superficie terrestre, tras lo cual el problema consiste en
calcular las longitudes de los lados, para cada tringulo de la red.
Segn este procedimiento, si conocemos un lado de la triangulacin y
determinamos todos los ngulos existentes en dicha red, es posible
hallar las dimensiones de la red completa (ver figura 1(a)). Por
otra parte, la triangulacin es tambin necesaria en muchos casos,
para pasar de una base medida a una base mayor o ampliada, debido a
las dificultades que puede presentar el terreno, para efectuar
medidas de distancias sobre el mismo, medidas que seran necesarias
para determinar la base ampliada directamente (ver figura 1(b)).
Fig. 1. (a) Red geodsica entre dos puntos A y B. (b) Red geodsica
de ampliacin de base. En consecuencia, es necesario llevar a cabo
algn procedimiento que nos permita resolver los tringulos
planteados en una red geodsica. Para ello, existen diversos mtodos
de los cuales vamos a comentar los ms relevantes, como son el mtodo
de Legendre y el mtodo de los aditamentos. Comenzando por el
primero, hay que decir que su nombre proviene del teorema que se
aplica, teorema de Legendre, este teorema permite asociar a cada
tringulo geodsico como el mostrado en la figura 2(a), un tringulo
plano como el mostrado en la figura 2(b), de tal forma que las
distancias (a, b, c) en ambos tringulos son las mismas. (b)
(a)
(b)
Fig. 2. (a) Tringulo geodsico. (b) Tringulo plano asociado al
anterior.
9
En consecuencia, nos planteamos el problema de calcular la
diferencia que existe entre los ngulos (A, B, C) del tringulo
geodsico, y los ngulos del tringulo plano asociado (A 1, B1, C1),
porque si conocemos estas diferencias, podemos establecer una
relacin entre ambos tringulos, de tal forma, que es posible aplicar
las conocidas y sencillas frmulas de trigonometra plana, a los
tringulos geodsicos de la red considerada. Por otra parte, hay que
tener en cuenta que los tringulos de una red geodsica, poseen unos
lados cuyas longitudes rara vez superan los 100 km, en este caso
podemos considerar los tringulos geodsicos como tringulos esfricos,
para los cuales es vlida la ley de los cosenos. Aplicando esta ley
al tringulo de la figura 2(a) tenemos cos a R = cos bc cos RR + sen
bc sen cosA RR
donde R es el radio de la esfera sobre la que se construye el
tringulo esfrico. Despejando en la frmula anterior cos A, podemos
escribir cosA cos bc - cos cos R RR bc sen sen RR a
si aplicamos ahora el desarrollo en serie de Taylor de las
funciones trigonomtricas, que aparecen en esta expresin, se
tiene
cosA 2R2
+
6R3y 24R4 b R 2R2
+ c R
4 24R4yV c3 ^ 2R2
+
4 24R4y
c R
despreciado los trminos de quinto grado y superiores, en las
cantidades As, despus de multiplicar y agrupar trminos obtendremos
2 2 2 4 4 4 + b +c -a 2bc 2 2 22 2 2 a + b + c - 2ab - 2a c - 2cb
24R2bc
,
y
ab habiendo RR
cosA
Ahora bien, para el tringulo plano de la figura 2(b), aplicando
la ley de los cosenos, podemos escribir a2 = b2 + c2 - 2bc cos A1
de donde cos A1 b2 + c2 - a2 2bc
10
22 A - A 2A - a4 - b4 - c4 + 2a2b2 + bcsen 2a2c22A + 2c2b2 1 1
cosA - cosA sen =-A 2 1 = 11-sen cos A1 = -(A - A1)sen A1 = 22 2 4b
c Entonces, combinando las expresiones obtenidas, con la frmula
anteriormente escrita para el cos A, deducimos que bcsen2 A 1 cosA
= cosA1 2 6R y sabiendo que A -A A+A cosA - cosA = - 2 s e n 1 s e
n 1 1 22 dado que la cantidad A-A1 es muy pequea comparada con A,
podemos escribir dentro de la precisin aceptada
1
2 bcsen A 1 6R2
2
11
6R2
concretamente, la diferencia de ngulos buscada A-A1 podr
escribirse como A - A1= = (rea del tringulo plano)/3R2
recordando que el exceso esfrico de un tringulo esfrico, es
precisamente el rea del tringulo dividida por R2, notamos que la
correccin a considerar es la tercera parte del exceso esfrico.
Anlogamente, para los dems ngulos podremos escribir expresiones
similares, de tal forma que la correccin buscada para los ngulos
del tringulo de la figura 2(a), determinados sobre el terreno, ser
en cada caso restar un tercio del exceso esfrico, que como sabemos
puede calcularse mediante = A + B + C - 180 En consecuencia, las
ecuaciones A -A=B1-B=C1-C=1 3 3 3 expresan el contenido del teorema
de Legendre, para pequeos tringulos geodsicos (cuyos lados no
sobrepasen los 100 km). No obstante, debemos notar que las
ecuaciones anteriores, permiten resolver tringulos geodsicos, es
decir, calcular todas los lados de los tringulos geodsicos que
forman una red, aplicando correcciones a los ngulos determinados
sobre el terreno. sta es una forma vlida de operar, pero tambin es
posible aplicar correcciones a los lados, de tal forma que el
resultado sea, directamente, las distancias buscadas, es decir, los
lados del tringulo geodsico. Este mtodo operacional, recibe el
nombre de mtodo de los aditamentos, siendo el objetivo final del
mismo, determinar las correcciones o aditamentos, que es necesario
aplicar a los lados de un tringulo, cuyos ngulos sean los
determinados sobre el terreno (A, B, C), con el objeto de
convertirlo en un tringulo plano, al que podemos aplicar la
trigonometra plana para determinar sus lados. Para desarrollar el
mtodo de los aditamentos partimos de la ley de los senos
1 1
sen b - sent senB R ^R^senA donde aplicamos, como hicimos antes,
los desarrollos en serie de las funciones trigonomtricas,
considerando despreciables los trminos de grado cuarto y
superiores, en las cantidades y , teniendo en consecuencia R R b a
sen B
RA
3
6R2J"R1
3 JsenA 6R 2 b3 b - = b - A = b' 6R 2 b b' = a'senB sen A
si designamos a3 = a - A = a' 6R 2 a podemos escribir
anlogamente para el lado c, tendremos , sen C c =a--------sen A
De esta forma, introducimos una cantidad As (donde s designa el
lado considerado), llamada aditamento del lado s. Notando que las
expresiones anteriores nos permiten escribir ahora a' b' c'
senAsenBsenC Estas expresiones constituyen la conocida ley de los
senos, de la trigonometra plana; llevando nuestro problema, como
consecuencia de ello, a la resolucin de un tringulo plano. Para
llevar a cabo la resolucin de una red de tringulos, siguiendo el
mtodo de los aditamentos, operamos como sigue: 1. Conocido un lado
del mismo, por ejemplo el lado a, obtenemos a' = a - A a ya que, el
aditamento Aa se puede obtener conocidos a y R. 15. Con el valor
hallado a se calculan b y c, empleando para ello la ley de los
senos.
16. Obtenindose a continuacin los aditamentos Ab y Ac. Para
ello, introducimos en la expresin de los mismos, los valores b y c,
considerando que b'3 = b3 c'3 = c3
debido a que la diferencia b - b es muy pequea frente a b. 4.
Con los valores de los aditamentos obtenidos, podemos escribir
finalmente los valores de los lados buscados (b, c), en la forma
12
b = b + Ab 6. Determinacin de distancias
c = c + Ab
En cualquier campaa de triangulacin, como las mencionadas
anteriormente, se suelen medir bases sobre el terreno, siguiendo
para ello, un mtodo que consiste en medir con precisin una pequea
distancia, y a continuacin, mediante una red de ampliacin de base,
se obtiene la distancia entre los dos vrtices correspondientes.
Este procedimiento fue mencionado en el apartado anterior, como una
aplicacin bsica de la geodesia geomtrica. Llegados a este punto es
conveniente especificar cmo es posible hallar una distancia sobre
la superficie de la Tierra, considerada en este caso como la
superficie del elipsoide de referencia utilizado durante esa
campaa. En primer lugar, hay que decir que la forma de llevar a
cabo las medidas directas que conlleva el clculo de una base, ha
cambiado mucho desde la antigedad hasta nuestros das. Esta evolucin
es continua, y por tanto, sigue sucediendo en actualmente, de tal
forma que los mtodos a seguir estarn siempre sujetos a una continua
revisin, para incorporar los recientes avances habidos en este
tema. Para ser conscientes de esta evolucin, basta recordar que la
medida de bases con precisin no fue realizada hasta el siglo XIX,
fecha en la que se comenzaron a utilizar las reglas bimetlicas, que
fueron inventadas por Borda en 1792. El mtodo que se utilizaba con
estas reglas, consista en colocar cada regla, una y otra vez, a
continuacin de la otra. De esta forma, podan medirse distancias de
10 km, como mucho, con una precisin de 10 -6. El problema de este
mtodo est en lo laborioso del mismo y en la necesidad de conocer
con precisin la longitud de la regla empleada. Con respecto a esto
ltimo, la precisin con la que se conoce la longitud de la regla
empleada y cmo cambia esta longitud durante el proceso de medida de
bases, hay que recordar que esta longitud puede conocerse de forma
precisa, gracias a que la regla bimetlica est constituida por dos
reglas de diferentes metales, sujetas por un extremo, siendo el
otro extremo libre. De esta forma, puede medirse el desplazamiento
relativo de una de ellas respecto de la otra, gracias a una regleta
graduada colocada en la regla inferior. Entonces, la alteracin de
las longitudes habidas por la distinta dilatacin trmica de estas
reglas, puede medirse con precisin, hallndose tambin la verdadera
longitud de la regla bimetlica empleada mediante la frmula b = A +
B donde A y B son constantes conocidas, b es la longitud de la
regla bimetlica en metros (aproximadamente 4 m) y es la lectura
tomada en la regleta en mm. En una versin posterior de este mtodo,
empleada por primera vez en 1885 por el sueco Jderin, las reglas
bimetlicas fueron sustituidas por los hilos de invar, estos hilos
se colocan entre dos soportes y se tensan mediante dos pesas. Los
hilos de invar estn compuestos de un material llamado invar, cuya
composicin es 36 % de nquel y 64 % de acero; su longitud es de unos
24 m, con una seccin recta de 1.65 mm de dimetro. Debido a su
composicin, estos hilos presentan la ventaja de variar muy poco de
longitud por efecto de los cambios de temperatura, as las
correcciones a efectuar por este efecto son siempre muy pequeas.
Otra ventaja que presenta el uso de estos hilos, reside en que con
ellos medimos las distancias de 24 en 24 metros, mientras que con
las reglas bimetlicas las distancias se miden de 4 en 4 metros. Con
todo, el mtodo sigue siendo muy laborioso, ya que, es necesario que
no se produzca una desalineacin, cuando se coloca el patrn una y
otra vez, delante de la 13
posicin anterior. Esto ha hecho que estos mtodos antiguos hayan
sido gradualmente descartados, en favor de mtodos ms modernos de
medida basados en la interferometra, o tambin en la medida de los
tiempos de retraso de una seal enviada y recibida por una misma
estacin de registro. Actualmente, los teodolitos dotados de
distancimetros pticos (estaciones totales), son una herramienta muy
til para llevar a cabo las medidas que conlleva una triangulacin,
ya que, con ellos pueden medirse tanto ngulos como distancias, sin
cambiar de instrumento, resultando cmodos y precisos. Generalmente,
son instrumentos fciles de manejar para el tcnico que debe realizar
las medidas, haciendo que una campaa de este tipo resulte menos
costosa, en tiempo y esfuerzo. En consecuencia, con los
instrumentos mencionados o utilizando un distancimetro, podemos
calcular la distancia entre dos puntos en lnea recta, a esta
distancia se le llama en geodesia la cuerda. Pero debemos notar que
la distancia buscada es la medida sobre la superficie de
referencia, es decir, el arco (utilizando la terminologa de la
geodesia). Por ello, es necesario relacionar ambas, para obtener el
arco a travs de la medida directa de la cuerda.
Fig. 3. (a) Representacin de las secciones normales recprocas
correspondientes a los puntos A y B. (b) Representacin de la lnea
geodsica que une los puntos A y B. La figura 3(a) representa este
problema, en ella vemos que para dos puntos dados sobre la
superficie de referencia, la cuerda es la lnea representada por un
trazo recto discontinuo. En cambio, la verdadera distancia entre
tales puntos considerados, debe calcularse siguiendo la lnea
geodsica (curva de mnima distancia entre dos puntos, medida sobre
la superficie) representada en la figura 3(b), como puede verse
esta lnea est situada dentro de las secciones normales recprocas,
representadas por las curvas AaB y BbA. La seccin normal AaB es una
curva que se define mediante la interseccin de la superficie de
referencia considerada (un elipsoide de revolucin achatado por los
polos), con el plano definido por la direccin normal a dicha
superficie de referencia en el punto A (direccin na) y el punto B.
As, el corte de este plano y la superficie de referencia, es la
curva AaB. De forma similar definimos BbA intercambiando los
papeles que juegan los puntos A y B.
14
Cuando consideramos distancias AB menores de 500 km, podemos
aceptar que la medida del arco sAB sobre la lnea geodsica, es
aproximadamente igual a la media de las medidas sobre las secciones
normales recprocas, es decir sAB = (sA + sB) / 2 obteniendo las
cantidades sA y sB mediante el desarrollo en serie (Cid y Ferrer,
1997) s = c 1 + ^c2-c 3 + c (15K4-16K'2-24KK''+8KV) + ... 24 24
1152 donde c es la cuerda, s es la distancia sA o sB segn se
considere la seccin normal AaB o BbA, K es la curvatura y r es la
torsin (que por tratarse de una curva plana es cero). Los valores
de la curvatura y sus derivadas respecto del arco (denotadas con
prima), pueden hallarse aplicando el teorema de Euler (Cid y
Ferrer, 1997). As, realizadas todas las operaciones la expresin
anterior nos dar la distancia buscada. Debemos notar que cuando los
puntos A y B sean muy prximos, la cuerda y el arco sern
prcticamente la misma cantidad. Esta situacin suele ser frecuente
en la medida directa de bases sobre el terreno, donde las
distancias consideradas no superan los 15 o 20 km. 7. Determinacin
de ngulos Tal como puede verse en la figura 3(a), cuando nos
situamos con un instrumento en el punto A, observando el punto B, o
al contrario, cuando observamos el punto A desde el B; estamos
determinando secciones normales recprocas, de tal forma, que las
medidas de los ngulos, llevadas a cabo en una triangulacin estarn
falseadas en una cantidad 8, como la representada en la figura 4,
en la que podemos ver un tringulo geodsico ABC y las secciones
normales recprocas, correspondientes a las observaciones realizadas
en sus vrtices.
Fig. 4. Representacin de un tringulo geodsico y las secciones
normales recprocas que corresponden a sus vrtices. La curva de
trazo grueso que une dichos vrtices es la lnea geodsica que pasa
por ellos. Para corregir estas medidas angulares se debe obtener,
en primer lugar, el ngulo A que forman dos secciones normales
recprocas en un vrtice, por ejemplo, el ngulo que
15
forman las curvas AaB y BbA, en el punto A o en el B. En segundo
lugar, debemos relacionar este ngulo con la pequea cantidad que
constituye la correccin. Para hallar el ngulo A tenemos en cuenta
que ste ser siempre una cantidad muy pequea, entonces, obteniendo
su tangente mediante la expresin (Cid y Ferrer, 1997) 'l+. tgA s2 2
KT + s|-K'T-KT'
donde r denota en este caso la torsin geodsica (que es distinta
de cero). De esta frmula y tras despreciar trminos de grado s3 y
superiores, podemos deducir (Cid y Ferrer, 1997) 2 2 A= 4a cos
24)sen 2A donde es la latitud del vrtice para el que se calcula A,
e es la excentricidad del elipsoide de referencia, a es su semieje
mayor y A es el acimut de la seccin normal directa. Conocido A,
obtendremos 8 mediante la suma de una progresin geomtrica cuyo
valor es la tercera parte de A. Esta progresin geomtrica, proviene
de un procedimiento matemtico descrito con detalle por Zakatov
(1981). 8. Transformacin de coordenadas y cambio de dtum En algunas
ocasiones podemos encontrarnos con la necesidad de convertir
coordenadas geodsicas medidas en distintos dtum, a un nico dtum
para poder utilizar todas estas medidas conjuntamente. Este
problema puede surgir cuando recibimos mediciones realizadas por
otros investigadores o tcnicos, que trabajan habitualmente en un
sistema de referencia distinto al que nosotros utilizamos. Para
llevar a cabo esta transformacin debemos tener en cuenta que esos
otros sistemas de referencia pueden no ser geocntricos. Esta
situacin est ilustrada en la figura 5(a), en la cual tenemos las
coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P (medidas en un
sistema no geocntrico con origen O), relacionadas con sus
coordenadas cartesianas (x, y, z) (medidas en un sistema geocntrico
con origen O), a travs de la suma vectorial r = ro+(1 + k)Rr' (sy 1
donde k es un factor de escala cuyo valor suele ser del orden de
10- 6 y R es la matriz de z sx rotacin que define la transformacin
de coordenadas que relaciona ambos sistemas, dada 1 1 por (Torge,
1991) (8.1) + (1 + k) Sy -Sx \zJ J vzoy vz J donde los ngulos (sx,
Sy, Sz) expresan las rotaciones indicadas en la figura 5(a). Estos
ngulos suelen tener un valor muy pequeo, por eso se expresan
habitualmente en segundos de arco. Es importante notar que la
ecuacin (8.1) expresa una relacin entre coordenadas cartesianas. No
obstante, en muchas ocasiones no trabajamos con las coordenadas
cartesianas (x, y, z) de un punto P, sino con sus coordenadas
geodsicas (, X, h), donde es la latitud geodsica (medida en grados
norte), X es la longitud geodsica (medida en grados este) y h es la
altura elipsoidal (medida en metros) ilustrada en la figura 5(b).
16
(a)
(b)
Fig. 5. (a) Representacin del sistema de referencia no
geocntrico xyz, con respecto al sistema de referencia geocntrico
XYZ. (b) Posicin de un punto P medida sobre un sistema de
coordenadas cartesiano y sobre el elipsoide de referencia.
Entonces, nos damos cuenta de que es necesario poder convertir las
coordenadas geodsicas (, X, h) en coordenadas cartesianas (x, y, z)
y viceversa. Para ello, podemos recurrir de nuevo a una suma
vectorial, como la representada en la figura 5(b) r = rQ + hN donde
los vectores estn dados por (Cid y Ferrer, 1997) rQ = (pN cos^cos^,
pN cos^) sen^, (1 -e 2 )pN sen^) siendo (Cid y Ferrer, 1997) PN=
1^2sen2? 2 a2-b2 e~ ~ a 2 ~ N = (cos^cos^, cos^sen^, sen^)
el valor del semieje menor b puede calcularse fcilmente, pues
son siempre conocidos los valores del semieje mayor a y del
aplanamiento del elipsoide de referencia f, teniendo entonces que a
b f = => b = aaf a En consecuencia, podemos escribir las
ecuaciones (Hofmann-Wellenhof and Lichtenegger, 1994) x =
(pN+h)cos^cos^ y = (pN+h)cos^sen^ (8.2) z = ((1-e2)pN + h) sen^ que
nos permiten convertir las coordenadas geodsicas (, X, h) en
coordenadas cartesianas (x, y, z). Para realizar la transformacin
contraria, es decir, para convertir coordenadas cartesianas (x, y,
z) en coordenadas geodsicas (, X, h), tenemos que invertir la
relacin
(8.2). Esto puede hacerse de forma sencilla tal como indican
Hofmann-Wellenhof y Lichtenegger (1994), mediante un proceso
analtico y numrico que se puede realizar rpidamente en un
ordenador.
1 7
Llegados a este punto, tenemos ya las herramientas necesarias
para abordar el problema de transformacin de coordenadas planteado
al principio de este apartado, as como, algunos otros problemas
implicados en el mismo. Entonces, dependiendo de los problemas de
transformacin de coordenadas que tengamos planteados, podemos optar
por aplicar una u otra frmula, de las anteriormente obtenidas.
Concretamente, los problemas que podemos resolver con las frmulas
(8.1), (8.2) o sus inversas; son los siguientes: 17. Transformacin
de coordenadas geodsicas (, A h) en coordenadas cartesianas (x y,
z), dadas en el mismo dtum. Para resolver este problema recurrimos
a aplicar directamente la frmula (8.2). 18. Transformacin de
coordenadas cartesianas (x y, z) en coordenadas geodsicas (, A h),
dadas en el mismo dtum. Para resolver este problema aplicamos la
frmula inversa de (8.2), que puede ser computada fcilmente de forma
analtica y numrica. 19. Transformacin de coordenadas cartesianas
(x, y, z) dadas en el dtum1 a coordenadas cartesianas (x, y, z)
dadas en el dtum2. Para resolver este problema operamos en
distintas etapas: a) Aplicamos la frmula (8.1) para convertir
coordenadas cartesianas (x, y, z), dadas en el dtum 1, en
coordenadas cartesianas geocntricas (x, y, z). Para ello,
necesitamos establecer los valores de los parmetros (k, xo, yo, zo,
sx, Sy, Sz), correspondientes al datum1. Estos valores pueden
obtenerse desde varias fuentes. Por ejemplo, Torge (1991) ha
establecido los valores de estos parmetros, para transformar
coordenadas desde algunos de los dtum ms utilizados al sistema
geocntrico WGS84 (el que se utiliza con GPS). b) Aplicamos la
inversa de la frmula (8.1) para convertir las coordenadas
cartesianas geocntricas (x, y, z), obtenidas en el paso anterior,
en las coordenadas cartesianas (x, y, z) dadas en el dtum2. Para
ello, necesitamos establecer los valores de los parmetros (k, xo,
yo, zo, sx, Sy, Sz), correspondientes ahora al datum2. La inversa
de la frmula (8.1) puede realizarse fcilmente, programando las
ecuaciones (8.1) de forma matricial en un ordenador, en ese caso
todo el problema se reduce a invertir una matriz. Este problema de
invertir una matriz es muy conocido y es fcil de resolver. 4)
Transformacin de coordenadas geodsicas (, A h) dadas en el dtum1 a
coordenadas geodsicas (, A h) dadas en el dtum2. Para resolver este
problema podemos dividirlo en tres problemas ms simples que ya
hemos resuelto antes: 20. Transformar primero las coordenadas
geodsicas (, X, h) en coordenadas cartesianas (x, y, z), para el
dtum1 en el que estn dadas . Para resolver este problema aplicamos
directamente la frmula (8.2), tal como en el problema (1)
anteriormente resuelto. 21. Transformar las coordenadas cartesianas
(x, y, z), obtenidas en el paso anterior, a coordenadas cartesianas
(x, y, z) dadas en el dtum2. Para resolver este problema operamos
como se ha indicado antes en el problema (3). 22. Finalmente,
transformamos las coordenadas cartesianas (x, y, z), obtenidas en
el paso anterior, en coordenadas geodsicas (, X, h). Para resolver
este problema aplicamos la frmula inversa de (8.2), tal como se ha
indicado en el problema (2) anteriormente resuelto.
18
Aplicaciones de la Geodesia Fsica
9. Relacin entre los observables fsicos y la Geodesia Como ya se
ha dicho antes, en las campaas geodsicas se llevan a cabo medidas
directas, tales como, determinacin de distancias o de ngulos. Estas
medidas estn referidas al horizonte local, cuya direccin
perpendicular es la lnea de la plomada, es decir, la direccin del
vector aceleracin de la gravedad, en el punto en el que se ubica el
instrumento. Es obvio entonces, que magnitudes fsicas, como la masa
y el campo de gravedad, juegan un papel importante en la geodesia,
ya que, cuando colocamos un instrumento sobre el terreno no lo
referimos a la direccin normal al elipsoide de referencia (que en
ese momento es desconocida para nosotros), sino a la lnea de la
plomada. En este sentido, el importante papel que juega el campo de
gravedad terrestre, queda todava ms claro, si tenemos en cuenta que
cuando el topgrafo representa la altura de un punto de la
superficie de la Tierra, no son las alturas referidas al elipsoide
de referencia las que tienen sentido, sino las alturas referidas al
geoide (alturas ortomtricas H). As, el conocimiento de las alturas
de los puntos de la superficie terrestre, determina el relieve que
el topgrafo debe representar en los mapas topogrficos. En
consecuencia, altura ortomtrica H de los puntos de la superficie
terrestre, es una de las coordenadas que determinan la figura de la
Tierra, junto con las coordenadas geodsicas latitud y longitud,
siendo esta altura H una cantidad que requiere el conocimiento del
campo de gravedad terrestre para su determinacin. Adems, el valor
preciso de las diferencias de alturas en los distintos puntos de la
superficie terrestre, es absolutamente necesario para proyectar y
construir diferentes instalaciones, as como, para la realizacin de
clculos en los cuales hay que tomar en cuenta la posicin de los
puntos en el espacio. Por ejemplo, cuando se desea disear
correctamente grandes canales para la distribucin de agua, o para
la retirada de aguas residuales, es necesario saber dnde es mayor o
menor el potencial de la gravedad terrestre. Para ello, es
necesario determinar con precisin las alturas respecto al geoide.
Como consecuencia de todo lo dicho, es necesario dedicar un tiempo
suficiente al estudio y comprensin, de todo lo relativo al campo de
gravedad terrestre y al geoide. Precisamente el estudio riguroso de
estos temas es competencia de la Geodesia Fsica, disciplina que
comienza a desarrollarse en el siglo XIX y que alcanza su mxima
expansin con el lanzamiento de los satlites artificiales en nuestro
siglo, de cuyo seguimiento obtenemos la informacin ms precisa del
campo de gravedad global creado por toda la masa de la Tierra. En
este apartado dedicado a la Geodesia Fsica y sus aplicaciones,
vamos a procurar sobre todo referirnos a las aplicaciones,
concretamente, a las topogrficas y geodsicas, enviando al lector a
referencias especializadas (listadas al final de este tema) para
obtener una descripcin ms completa de aspectos ms tericos,
relacionados con el campo de gravedad y su potencial asociado.
19
10. El campo de gravedad terrestre. Superficies de nivel. El
geoide El geoide como superficie de referencia fundamental, es una
superficie cuya forma refleja la distribucin de masas en la Tierra.
Por ello, debemos empezar recordando cul es la fuerza gravitatoria
producida por una cierta distribucin de masa y su potencial
asociado, para entender cmo surge de estos conceptos y del concepto
de superficie equipotencial, una definicin de superficie de
referencia, tal como es la definicin de geoide. As, debemos
comenzar recordando que cuando consideramos dos masas puntuales,
separadas una distancia s, la fuerza con la que cada una atrae a la
otra es km1m2 (Ley de gravitacin de Newton) donde k denota la
constante de gravitacin, cuyo valor es 66.7x10-9 cm3g-1seg-2. Si
consideramos la masa atrada m2 con valor unidad, la ecuacin
anterior puede escribirse como km F= 2 donde hemos denotado con m
la masa atrayente. La representacin de esta fuerza en un sistema de
coordenadas cartesiano, es la que puede verse en la figura 1(a). A
la vista de esta figura es fcil notar que el vector F se puede
descomponer en la forma F = - F (cos a, cos p, cos y) donde s = V(x
- Q2 + (y - r\)2 + (z - Q2 km fx- y-ri z-C s2
(a)
(b)
Fig. 1. (a) Fuerza de atraccin gravitatoria debida a una masa
puntual. (b) Fuerza centrfuga debida a la rotacin de la Tierra en
punto P de la misma. 20
Tambin debemos recordar que el campo gravitatorio es un campo
conservativo, por ello puede obtenerse a travs del gradiente de un
campo escalar, es decir grad V = ,, = F donde V es su funcin
potencial asociada, el potencial gravitatorio, que en el caso de
considerar una masa puntual adopta la forma km V =----s Cuando
consideramos una distribucin de masas puntuales, la expresin
anterior se podr generalizar mediante la aplicacin del
sumatorio
km
5>ZM
V- kmi
obviamente, para una distribucin continua de masa M, el
sumatorio debe ser reemplazado por la integral, escribiendo
=k
J s ffl
V=k M s
dm pdv V s
donde p denota la densidad de masa y V denota el volumen del
cuerpo considerado. En el caso de que este cuerpo sea la Tierra,
debemos tener en cuenta que la misma no est en reposo, sino rotando
con una velocidad angular de 0.7297x10- 4 seg-1. En este caso para
poder considerar que la Tierra est en reposo y aplicar la ecuacin
anterior, debemos incluir una fuerza de inercia conocida como
fuerza centrfuga, de tal forma que para cualquier punto P sobre la
superficie de la Tierra debemos considerar una fuerza f, como la
representada en la figura 1(b). Dicha fuerza puede escribirse como
f =ca2 p = (ca2 x,ca2 y, 0) = grad^=^,^,^l ,, * = 12 (x 2 + y 2 )
\dx dy dz) 2 donde/; es un vector distancia, paralelo al plano
ecuatorial, que va desde el eje de rotacin de la Tierra hasta el
punto P. Esto nos lleva a una definicin de potencial gravitatorio
del tipo
fff ed v + 12(x2 + y2) JJJV s 2
W(x, y, z) = V + t=k d v + 1 suma del potencial gravitatorio
terrestre V y el potencial centrfugo . A este potencial obtenido
como suma de los anteriores se le llama potencial de la gravedad,
siendo su fuerza asociada conocida con el nombre de gravedad. sta
puede ser obtenida mediante
grad W =,, = g l dx dy dz) El mdulo de este vector, o magnitud
de la gravedad, se suele expresar en gales siendo 1 gal = 1
cm/seg2. La magnitud de este vector se incrementa sobre la
superficie de la Tierra cuando vamos desde el ecuador hacia los
polos, debido a que disminuye la fuerza centrfuga. Concretamente,
la gravedad en el ecuador es 978 gal y en los polos 983 gal,
aproximadamente.
21
En lo referente a W, el potencial de la gravedad, hay que
recordar que la superficie para la cual ste es constante, es decir,
W(x, y, z) = W0, se denomina superficie equipotencial o superficie
de nivel, siendo el geoide la superficie de equipotencial del campo
de gravedad terrestre que coincide con el nivel medio de los
ocanos. La figura 2(a) nos muestra la relacin que existe entre las
superficies de nivel y la lnea de la plomada, notando que estas
superficies son normales a la lnea de la plomada.
(a) Fig. 2. (a) Superficies equipotenciales del campo de
gravedad terrestre y lnea de la plomada en un punto P. (b) Gravedad
sobre una superficie equipotencial. Las lneas de la plomada o
normales a las superficies equipotenciales, son curvas de radio de
curvatura finito y torsin no nula. Estas curvas son muy importantes
en la geodesia, pues sirven para medir la altura de un punto P con
respecto al geoide, a esta altura se le llama altura ortomtrica.
Esta altura no debe ser confundida con la altura sobre el nivel del
mar, debido a que el geoide no es una superficie de ocano ideal.
Por ello, el geoide no coincide exactamente con el nivel del mar.
En este sentido, uno de los objetivos de la geodesia es encontrar
la separacin de la superficie del ocano y el geoide. Centrndonos
ahora en el concepto de altura ortomtrica, podemos notar que el
desplazamiento elemental dr, ser paralelo a la lnea de la plomada,
en cada punto de la misma, por tanto dW = g.dr = g dH cos (g, dr) =
g dH cos 180 = - g dH resultando obvio, que la gravedad no puede
ser constante en la misma superficie equipotencial, debido a que
estas superficies no son ni regulares ni concntricas, con respecto
al centro de masas de la Tierra. Esta situacin est bien ilustrada
en la figura 2(b), en la que podemos observar que dW = -g1dH1 =
-g2dH2 g1 g2 por ser dH1 dH2 . Tambin hay que notar que esta
definicin de altura, en la que la superficie de referencia es el
geoide, nos lleva a establecer un sistema de alturas en el que
obtenemos la altura de un punto P en la forma
22
C H=
W
dC 0 g donde C=W - W0 es denomi nado nmer o geopot encial. L le
ga d os a es te p u nt o ca be pr eg u nt ar se q u re la ci n ex
ist e en tr e es te si st e m a
W g= J
de al tu ra s y la s al tu ra s de te r m in ad as so br e el el
ip so id e de re fe
esta cuesti n puede verse bien ilustrad a en la figura 3(a), en
la que represe ntamos para un punto P, sus alturas asociad as,
tanto la elipsoi dal h como la ortom trica H, existie ndo la
sencilla relaci n
h = (b) Fig. 3. (a) Altura ortom trica y elipsoi dal en un punto
P. (b) Elipsoi de de referen cia. E n consec uencia, determ inada h
o H, obtener la otra altura es sencill o si se
H
re nc ia . L a re sp ue st a a
entr e amb as altur as.
conoce N, la ondula cin del geoide. ste es uno de los proble mas
princip
ales de sea lo ms la cercano a la geodes figura de la ia Tierra,
prctic tomando por a o ello un aplicad elipsoide de a, la revolucin
determ ligeramente inacin aplanado de las por los alturas polos.
Este del elipsoide geoide vendr sobre definido un entonces por
elipsoi dos de de parmetros, referen su semieje cia mayor a
ast ro n mi ca de un pu nt o P. (b) De svi
dado. (aproximada aci Para mente el n resolve radio r este
ecuatorial de proble terrestre) y la ma su hemos aplanamient ve de
o f definido rti fijar, por en f= a cal -b primer a en lugar, ( el
un b) Fig. elipsoi pu de de 4. (a) nt referen Latitud cia que o
P. 23
donde b es el semieje menor. La figura 3(b) muestra las
coordenadas elipsoidales de un punto P, sobre el elipsoide de
referencia elegido. Estas coordenadas (, X, h) no son obviamente
las coordenadas que determinamos en una campaa geodsica. En una
campaa geodsica realizada con instrumentos tradicionales (es decir,
sin GPS) determinamos las coordenadas naturales (O, A, H). Esto es
debido a que cuando situamos un instrumento sobre el terreno, la
vertical es para nosotros la direccin de la lnea de la plomada, tal
como puede verse en la figura 4(a), siendo la latitud y longitud
del lugar, la latitud y longitud astronmicas. La separacin que
existe entre la lnea de la plomada y la normal al elipsoide de
referencia en el punto P, punto en el que situamos el instrumento,
est representada en la figura 4(b). A partir de esta figura pueden
obtenerse las relaciones = , la ondulacin del geoide) a juega X),
enpartir de datos gravimtricos. Debemos notar tambin que la el la
ngul esfera ecuacin integral de Stokes es el vnculo fundamental
entre o y. de el campo de gravedad terrestre y la figura de la
Tierra, Fig. radio confirmando la afirmacin 5. (a) unida
realizada al principio de este captulo, cuando se deca que Notac d.
para avanzar hacia una figura iones de la Tierra ms precisa que
segui un elipsoide de revolucin, era das a necesario considerar el
campo para frmu de gravedad que crea la masa obten la de Stoke de
la Tierra. Vemos ahora er la totalmente claro el papel tan s frmu
public importante que juega el la deada estudio y determinacin del
Stoke por lcampo de gravedad terrestre, s. (b)en en la obtencin
precisa de la Relac 1849, figura de la Tierra, ya que, si in es
ladisponemos una coleccin de entre expre datos suficiente
(consistente las sin en anomalas de la gravedad coord mate enada
mtic 25 a ms s polare impor s (y,tante de la a) y Geod las esia
coord Fsica enada , s debid
determinadas por toda la Tierra, entre otros datos) podemos
obtener la ondulacin del geoide, tal como se indica en las figuras
6(a) y 6(b).
(a) (b) Fig. 6. (a) Mapa de la ondulacin del geoide sobre un
elipsoide de revolucin. (b) Imagen del geoide en 3D mostrando los
detalles de la forma del geoide, a una escala en la que se han
exagerado los valores de la ondulacin para ver mejor dichos
detalles. No obstante, hay que sealar algunas limitaciones en la
aplicacin de la frmula de Stokes, debidas a las hiptesis realizadas
para la obtencin de la misma. Concretamente, debemos notar que: 23.
La frmula presentada para la ondulacin del geoide ha sido obtenida
considerando que el elipsoide de referencia (superficie U(x, y, z)
= U0), tiene el mismo potencial que el geoide (U0 = W0). Adems,
esta superficie debe encerrar en su interior una masa que sea
numricamente igual a la de toda la Tierra. 24. El elipsoide de
referencia debe tener su centro en el centro de la Tierra. 25. El
potencial anmalo o potencial perturbador debe ser armnico fuera del
geoide, es decir, T(x, y, z) puede ser desarrollado en armnicos
esfricos. Esto significa que el efecto de las masas por encima del
geoide, debe ser eliminado aplicando adecuadas reducciones a los
valores de la gravedad determinados. De lo contrario, no ser
posible aplicar la expresin integral de Stokes. En consecuencia, la
determinacin prctica del geoide, tal como se muestra en la figura
6(a), requerir modificar la frmula de Stokes para poder utilizar un
elipsoide de referencia arbitrario. De tal forma que podamos
emplear en el clculo del geoide, una superficie de referencia U(x,
y, z) = U0 para la que no se requiera que U0 = W0, condicin que en
la prctica puede ser muy difcil de conseguir, limitando mucho los
posibles elipsoides a emplear. Por otra parte, el clculo por este
mtodo gravimtrico de la ondulacin del geoide, nos obligar a
eliminar el efecto de las masas por encima del geoide, adoptando
para ello diversas hiptesis que podemos encontrar desarrolladas con
detalle en la bibliografa ms bsica de la Geodesia Fsica (Heiskanen
y Moritz, 1985; Vancek y Krakiwsky, 1986). Llegados a este punto
cabe preguntarse si existe alguna expresin parecida a la frmula de
Stokes, que nos permita calcular la desviacin de la vertical en un
punto P del geoide. La respuesta es afirmativa, existen unas
frmulas parecidas a dicha frmula que nos permiten hallar las
componentes (, ) de la desviacin de la vertical, a partir de un
conjunto 26
de anomalas de la gravedad distribuidas por toda la Tierra.
Estas frmulas son debidas a Vening Meinesz y fueron obtenidas por
este geodesta en 1928, su expresin es (Heiskanen y Moritz,
1985)
Ll
1 4*G
2na=0 v=0
n
dS( ) rcosa] Ag(\|/,a)^N senydyda dW [sena
donde a y y son las coordenadas polares sobre la esfera de radio
unidad, tal como se indica en la figura 5(b), siendo da = sen y
d\|/ da y S(\|/) la funcin de Stokes, cuya expresin ha sido dada
anteriormente. 12. Ondulacin del geoide y alturas ortomtricas.
Mtodo GPS-Nivelacin Despus de todo lo dicho en el apartado
anterior, cuando volvemos a la sencilla frmula h = H +N notamos que
al obtener la cantidad N, tal como se ha indicado antes, siguiendo
el mtodo gravimtrico, podemos escribir H=h-N de donde, conocida la
altura elipsoidal h del punto P considerado y determinado N
mediante la integral de Stokes, puede hallarse la altura ortomtrica
H de ese punto. Cabe ahora preguntarse si es posible determinar
tambin H, mediante los valores de la gravedad medida en la
superficie de la Tierra, porque en caso afirmativo podramos
calcular la altura del geoide en un punto P, sin necesidad de
recurrir a la integral de Stokes, la cual requiere para su solucin
una coleccin suficiente de medidas de la gravedad distribuidas por
toda la Tierra. En efecto, puede hallarse con precisin la altura
ortomtrica H de un punto sin tener conocimiento del geoide, o al
menos sin un conocimiento detallado o muy preciso del mismo. El
procedimiento que se sigue para calcular las alturas ortomtricas
directamente sobre el terreno se llama nivelacin de precisin. A
continuacin vamos a describir este proceso con cierto detalle. En
principio, el procedimiento de nivelacin geomtrica es bien conocido
por los topgrafos, consiste en medir la diferencia de altura entre
dos puntos A y B, como los representados en la figura 7(a),
mediante la observacin de la diferencia de lecturas sobre dos miras
verticales situadas en los puntos considerados. La diferencia de
altura entre los dos puntos resulta ser entonces, la diferencia de
las lecturas l1 y l2, observadas con el nivel (instrumento de
nivelacin), es decir 5HAB = l1 - l2 = AA - BB siendo 5HAB la
diferencia de altura geomtrica entre los puntos A y B. Cuando este
procedimiento se repite una y otra vez, siguiendo un circuito de
nivelacin, es decir, una lnea de nivelacin cerrada, la suma
algebraica de los incrementos de nivelacin o diferencias de altitud
medidas, no es exactamente cero, como cabra esperar si realizamos
estas medidas con gran precisin. Este error, que se conoce como
error de cierre de un circuito de nivelacin, nos indica que el
procedimiento de nivelacin exacto, es algo ms complicado que la
simple determinacin de las diferencias de altura.
27
(a) geoide (b) Fig. 7. (a) Esque ma del proced imient o de
nivelac in geom trica. (b) Difere ncias de alturas ortom tricas
debida s al no paralel ismo de las superfi cies de nivel. P ara
entend er lo que sucede basta consid erar
dos puntos A y B, suficie ntemen te alejado s, de tal manera que
el proces o mostra do en la figura 7(a), debe ser aplicad o repetid
as veces. Esta situaci n es la que est represe ntada en la figura
7(b), en esta figura la diferen cia de altitud nivelad a 8n, es
distinta al increm ento 5HB en la lnea
de la plomad a que pasa por B. Ello es debido al no paraleli smo
de las superfi cies de nivel, tal como se ve en la figura, en
consec uencia, si design amos por 5W el increm ento del potenci al
de la graved ad, tenemo s -8W = g5n = g5HB donde g es la graved ad
en la estaci n de nivelac in y g es la
graved ad sobre la lnea de la ploma da de B en 5HB. La relaci n
anterio r implic a que 5HB = g 5n * 5 n no habien do relaci n geomt
rica directa entre el resulta do de la nivelac in geomt rica y la
diferen cia del alturas ortom trica. Esta consec uencia es inmedi
ata si notam
os que la combi nacin de medida s geomt ricas con la graved ad,
nos propor ciona la diferen cia de potenci al 5W, de tal forma que
B WB - WA = -^ g5n A A s, la nivelac in combi nada con medida s de
la graved ad nos propor ciona diferen cias de potenci al, esto es,
cantida des fsicas no geomt ricas con
una ventaja aadid a, la diferen cia de potenci al entre dos
puntos es indepe ndiente del camino que se siga, obteni ndose el
mismo resulta do con indepe ndenci a de los itinerar ios que se
sigan, por ello, si medim os a lo largo de un circuit o de nivelac
in (segui mos un trayect o cerrad o) sucede que WA
WA
= 0 = donde hemos cambia do el sumato rio por la integra l por
ser terica mente ms riguros o. Este resulta do es imposi ble, en
general , si consid eramos slo medida s geomt ricas, ya que, la
suma de increm entos de nivelac in depend e de la trayect oria,
esto es
A g d A n
-
28
AnAB = B5n ,, A A
dn = error de cierre Fig. 8. Altura ortomtrica de un punto P
sobre la superficie de la Tierra.
Como consecuencia de todo lo dicho, las diferencias de potencial
son bsicas en toda teora de altitudes, concluyendo que la nivelacin
sin medidas de gravedad, que en la prctica puede aplicarse a
pequeas distancias (para las que las superficies de nivel son
prcticamente paralelas), no tiene significado desde un punto de
vista riguroso, llevando a contradicciones como es el error de
cierre. Todo esto hace que se considere, en trabajos geodsicos de
gran precisin como es la nivelacin de precisin, la diferencia de
altura ortomtrica HAB en lugar de la diferencia de altura geomtrica
nAB, ya que, tal como puede verse en la figura 7(b), las alturas de
los
puntos A y B sobre el geoide HA y HB, son siempre las mismas con
independencia del trayecto de nivelacin que se siga entre ambos,
debido a que la definicin de altura ortomtrica es consecuencia de
principios fsicos, no una cantidad obtenida de un sumatorio.
Hg = 0
g dH
es el valor medio de la gravedad sobre la lnea de la plomada
entre P y P0. La expresin anterior nos permite obtener la altura
ortomtrica del punto P en la forma
Quedando g claro qu sistema de H= alturas debe usarse para
obtener una gran esta ecuacin no es precisin, el una tautologa, es
problema planteado realmente una es la realizacin de frmula de
utilidad esta medida de altura, prctica, debido a es decir, el que
la gravedad procedimiento g no operativo que debe media seguirse
para calcular depende la altura ortomtrica fuertemente con la de un
punto P. Para altura ortomtrica. ello, vamos a En consecuencia,
considerar un punto P sin un sobre la superficie de conocimiento la
Tierra, tal como se preciso de la altura indica en la figura 8, del
punto P sobre el designando por P0 la geoide, es decir, interseccin
con el con un valor inicial geoide de la lnea de de H la plomada
que pasa suficientemente por P. Entonces, a la recordando la
cercano verdadera altura definicin de nmero ortomtrica,
geopotencial, podemos abordar el podemos escribir clculo de la
gravedad g . En este sentido, d H H podemos encontrar W= H 0
expresiones 0 g aproximadas de g - d en diversos libros WH de
geodesia (Heiskanen y == H Moritz, 1985). C 0
I
Por otra parte, si se quiere aplicar la sencilla frmula anterior
es necesario hallar, adems de g , el nmero geopotencial de P
designado por C. Para ello, un procedimiento que
29
puede seguirse es elegir un punto O al nivel del mar (es decir,
sobre el geoide), eligiendo un punto apropiado sobre la costa.
Entonces, puede determinarse el nmero geopotencial de P aplicando
la integral C = W0 W = 0Pg dn siendo como ya sabemos independiente
del itinerario de nivelacin utilizado para relacionar los puntos P
y O. El nmero geopotencial se mide en unidades geopotenciales (u.
g. p.). Estas unidades estn derivadas de las unidades de la
gravedad y de la altura, mediante la relacin 1 ugp = 1 kgal.m =
1000 gal.m como g es aproximadamente 0.98 kgal, tenemos que C es
aproximadamente igual a 0.98H. Los procedimientos descritos para el
clculo de los nmeros geopotenciales y el valor de la gravedad media
g , introducen un error muy pequeo en la determinacin de la altura
ortomtrica. De tal forma, que las altitudes ortomtricas pueden
obtenerse con una precisin muy alta. Este hecho es fundamental en
la geodesia, pues podemos emplearlas como un sistema de alturas muy
preciso, pudiendo introducirlas como dato de gran precisin, en
cualquier clculo que requiera la altura de los puntos sobre la
superficie de la Tierra. Concretamente, al retomar la frmula
presentada al principio de este apartado h=H+N si H puede ser
obtenida con gran precisin siguiendo mediante nivelacin de precisin
y h puede tambin ser obtenida con gran precisin, por ejemplo,
empleando para ello un sistema de posicionamiento como GPS, resulta
como consecuencia que la determinacin del geoide mediante estas dos
cantidades, tendr una precisin tan alta como la que poseen las
medidas de alturas elipsoidales y ortomtricas. Esta tcnica es muy
empleada en la actualidad para obtener las alturas del geoide sobre
el elipsoide de referencia, en trabajos geodsicos de gran precisin,
basta mencionar como ejemplo el proyecto ALGESTAR (Brki and Marti,
1990), cuyo objetivo fue llevar a cabo la computacin de un nuevo
geoide para Suiza, comprobando al mismo tiempo la fiabilidad de las
medidas GPS en una zona muy montaosa. Para ello, se obtuvieron las
ondulaciones del geoide aplicando la ecuacin N=h-H donde h fue
obtenida a partir de observaciones GPS y H a partir de la
computacin de los nmeros geopotenciales (nivelacin de precisin),
siguiendo las lneas de nivelacin de la Red Nacional de Nivelacin
que une los 40 vrtices geodsicos de la Red Suiza de Triangulacin.
El resultado de este proyecto fue la obtencin de las ondulaciones
geoide para Suiza con una gran precisin. 13. Clculo gravimtrico del
geoide En el apartado 9 indicamos que los receptores GPS permiten
calcular las alturas elipsoidales, pero es necesario obtener las
alturas respecto al nivel del mar (alturas ortomtricas), para
muchos fines prcticos. Entonces, las alturas elipsoidales se deben
convertir en alturas ortomtricas restando la altura del geoide.
Para ello, es necesario computar las alturas del geoide, al menos
con la misma precisin que la altura elipsoidal, para 30
la latitud y longitud del punto considerado. En este aspecto se
centra una de las principales aplicaciones de la geodesia fsica,
puesto que permite obtener la altura del geoide para cualquier
punto de la Tierra. Estas alturas del geoide se refieren,
generalmente, al Sistema Geodsico de Referencia de 1980 (GRS80).
Los modelos geopotenciales pueden servir para calcular la ondulacin
del geoide. No obstante, las alturas del geoide provenientes de un
modelo geopotencial no son, en general, suficientemente precisas.
Por ello, es necesario determinar una correccin a las mismas. Esta
correccin se determina a partir de las anomalas de la gravedad
medidas sobre el terreno, para computar as un modelo de geoide ms
preciso. Debido a que las anomalas observadas sobre el terreno,
estn dadas en un rea limitada y no pueden por tanto utilizarse para
resolver la longitud de onda larga del campo de gravedad terrestre,
es necesario considerar un modelo geopotencial para la computacin
de tales longitudes de onda. Como veremos a continuacin, la
contribucin de esta longitud de onda larga corresponde a una
aproximacin suave del geoide, para la regin bajo estudio. El clculo
gravimtrico de una altura del geoide muy precisa, para una regin
dada, tendr una gran utilidad prctica directa e inmediata para toda
la comunidad de usuarios de GPS (Kaula, 1987). Estos resultados
permitirn incorporar modelos ms realsticos a los algoritmos de
clculo de las alturas ortomtricas, reportando una mejora en la
precisin de las alturas mencionadas, lo que conllevar evidentes
beneficios para la geo-referenciacin, la fotogrametra o el control
geomtrico de obras. En suma, sern beneficiarios de tales resultados
aquellos cientficos y tcnicos, interesados en una localizacin ms
precisa sobre el terreno. Puesto que, usando medidas de posicin con
el sistema GPS obtendrn a la vez una precisin suficiente en
planimetra, junto con una altura ortomtrica precisa, hallada a
partir de un modelo de geoide (cuya ondulacin sea precisa) y la
altura elipsoidal dada por GPS, pudiendo realizar medidas precisas
de alturas ortomtricas sin nivelacin (Schwarz et al., 1987). En
relacin con lo dicho en el prrafo anterior, algunas de las
aplicaciones concretas en las que se puede usar directamente un
modelo de geoide local son: Fotogrametra. Tener un modelo de
geoide, supone poder tomar puntos de apoyo sin necesidad de
apoyarse en las redes geodsicas, que es lo que se hace actualmente
para calibrar la altura elipsoidal (la obtenida con GPS), a altura
ortomtrica en la zona de trabajo (la que se necesita para la
orientacin absoluta del modelo estereoscpico). Para ello, suponemos
que elipsoide y geoide son paralelos en esa zona, cosa que no es
rigurosamente cierta. La limitacin del trabajo de apoyo en campo en
Fotogrametra, ya slo estara limitada por la capacidad de los
equipos empleados y se elevara el rendimiento de stos, puesto que
no habra que inmovilizar equipos GPS para las calibraciones. Adems
de lo mencionado anteriormente, si se dispusiese de un marco de
referencia comn entre los puntos sobre el terreno y el centro de
proyeccin de las cmaras areas, se simplificara todava ms el trabajo
de apoyo de campo. Topografa. Disponer de un modelo de geoide
supondra poder realizar topografa de obras con GPS, cosa que hasta
ahora est limitada a control planimtrico. Con GPS el control
geomtrico se abarata pues el nmero de operarios mnimos necesarios
se reduce a la mitad.
31
Caracterizacin agronmica y medioambiental. La posibilidad de
determinar la altitud sobre el nivel del mar de forma rpida y
eficaz, permitira aadir la altitud como variable de estudio en los
SIG (Sistemas de Informacin Geogrfica), para su inclusin en los
posteriores anlisis con las dems variables geogrficas. Control
hidrogrfico, aforo de cuencas y temas hidrulicos en general . Estos
temas se veran especialmente beneficiados, ya que, tambin se
abaratara el coste de estas actuaciones al poder ser realizadas con
GPS, que de no disponer de modelo de geoide no se podran realizar.
El agua circula en el sentido de los potenciales gravitatorios
decrecientes y el sentido de los potenciales gravitatorios
(altimetra obtenida por nivelacin clsica) puede deducirse con el
modelo de geoide y la altura elipsoidal. Vista la importancia que
tiene usar un modelo de geoide preciso, vamos a ver aqu cul es el
procedimiento operacional para obtenerlo. Para comenzar, hay que
decir que las tcnicas que vamos a describir a continuacin, se han
mostrado herramientas eficaces a la hora de indagar la ondulacin
del geoide, en distintas regiones de la Tierra (Kearsley, 1988;
Forsberg and Kearsley, 1989; Torge et al., 1989; Yun, 1994). Estas
tcnicas pretenden evitar el problema que conlleva la obtencin de
anomalas de la gravedad en un rea limitada, puesto que con estos
datos no podemos resolver las largas longitudes de onda del campo
gravitatorio terrestre. Por ello, necesitamos considerar un modelo
geopotencial con el que podemos obtener estas longitudes de onda
larga. As, en un paso previo de computacin, obtendremos las
anomalas aire-libre referidas al modelo geopotencial, computando la
diferencia con las anomalas predichas por este modelo, estas
diferencias sern usadas en un procedimiento de integracin con la
FFT (Schwarz et al., 1990), para obtener finalmente la ondulacin
del geoide, la cual en un proceso de computacin posterior ser
aadida a la ondulacin del geoide predicha por el modelo
geopotencial considerado. En suma, el proceso a seguir consta de
las etapas que a continuacin sern descritas (Corchete et al.,
2005). Interpolacin de los datos de gravedad. En primer lugar, hay
que saber que si queremos aplicar tcnicas basadas en la
Transformada de Fourier Rpida (FFT), es necesario pasar de la
distribucin irregular de puntos, dada por la localizacin geogrfica
de nuestras medidas de anomalas aire-libre de la gravedad, a una
distribucin regular de puntos en forma de una rejilla de puntos
equidistantes. Como ejemplo, podemos ver en la figura 9(a) los
datos de gravedad disponibles para calcular un modelo de geoide
para el rea ibrica. A la vista de esta figura notamos que estos
puntos no estn distribuidos de forma regular, hay zonas con muchos
puntos y otras reas que tienen muy pocos. Con esta distribucin de
valores no podemos aplicar las tcnicas basadas en la FFT, pues
estas tcnicas requieren una distribucin regular de puntos en forma
de una rejilla de puntos equidistantes, como muestra la figura
9(b). Por otra parte, antes del proceso de interpolacin es
necesario reducir los valores de estas anomalas de la gravedad, con
el objeto de trabajar con una coleccin de puntos cuyos valores sean
lo ms parecidos entre ellos que sea posible, para facilitar el
trabajo de la interpolacin y obtener entonces tras este proceso la
mejor rejilla de valores posible. Para ello, antes de la
interpolacin es muy conveniente eliminar los efectos de corta
longitud de onda debidos a la topografa y la batimetra. Esta
correccin se llama correccin RTM (Forsberg and Tscherning, 1997) y
nos permite obtener un campo de anomalas aire-libre suavizado, muy
adecuado para la interpolacin a una rejilla regular. Esta correccin
suele ser aplicada junto con una correccin de onda larga, obtenida
restando las anomalas de la gravedad predichas por un modelo
geopotencial, a los valores de las anomalas aire-libre observadas.
En suma, la correccin total que debemos aplicar a los valores de
anomalas aire-libre mostrados en la figura 9(a) est dada por 32
Agpretds = Agfprtese-27ikp(h-href)pts + cpts-AgGptMs
(13.1)
donde el superndice pts denota cada punto distribuido sobre el
rea de estudio de forma aleatoria, Agfree es la anomala aire-libre
determinada en ese punto (figura 9(a)), k es la constante de
gravitacin de Newton, p es la densidad de la topografa (2.67 g/cm3)
para la correccin RTM en tierra o la densidad de la topografa menos
la densidad del agua marina (2.67 - 1.03 = 1.64 g/cm3) para la
correccin RTM marina, h es la elevacin, href denota la elevacin de
la superficie de referencia, c es la correccin del terreno
computada para puntos terrestres y marinos y AgGM es la anomala de
la gravedad computada desde un modelo geopotencial (esta computacin
ser luego descrita).
(a) (b) Fig. 9. (a) Distribucin geogrfica de los valores de
anomalas aire-libre de la gravedad, medidos para el rea ibrica. (b)
Mapa de las anomalas de la gravedad interpoladas tras ser reducidas
mediante la frmula (13.1). En la frmula (13.1), la superficie de
referencia (cuya elevacin href es necesario calcular) se obtiene
mediante la aplicacin de un filtro pasa baja en 2D, con una
longitud de onda de corte de 60 minutos de arco. Este filtro se
aplica al campo de elevaciones proporcionado por el modelo digital
del terreno completado con la batimetra del rea de estudio
(Corchete et al., 2005). En la figura 10(a) podemos ver dicho campo
de elevaciones y en la figura 10(b) la superficie de referencia
obtenida con el filtrado 2D. Respecto a la correccin del terreno c,
es necesario calcularla en ambos dominios terrestre y martimo,
porque tenemos datos de gravedad tanto terrestres como marinos.
Esta correccin se calcula por integracin en cada punto representado
en la figura 9(a), por medio del procedimiento clsico de integracin
descrito por Torge (1989). En esta integracin se ha considerado la
densidad de las masas topogrficas 2.67 g/cm 3 y 1.03 g/cm3 la
densidad del agua marina, extendindose la computacin hasta una
distancia de 0.75 grados desde el punto considerado. Cuando hemos
obtenido las anomalas suavizadas mediante la aplicacin de (13.1),
podemos ya interpolarlas para obtener la distribucin regular de
anomalas mostrada en la figura 9(b). Esta interpolacin puede
realizarse con cualquier software comercial diseado a tal efecto,
pues la coleccin de valores a interpolar est tan suavizada que
cualquier software de calidad podr fcilmente realizar dicha
interpolacin.
33
(a) (b) Fig. 10. (a) Modelo de elevaciones del terreno
proporcionado por el modelo digital del terreno SRTM, completado
con la batimetra dada por ETOPO2. (b) Superficie de referencia
obtenida mediante el filtrado 2D del campo de elevaciones
representado en la figura 10(a). Finalmente, debemos restaurar en
estas anomalas interpoladas la informacin que hemos quitado antes
para suavizarlas, es decir, debemos incorporar el efecto RTM que
hemos quitado, pues de lo contrario nuestras anomalas habran
perdido gran parte de su informacin original. Para llevar a cabo
esta restauracin empleamos la frmula grid Ag Aggerdid + 2:rkp(h -
href )grid - cgrid (13.2) free donde el superndice grid denota cada
punto de la rejilla regular considerada, Agfree es la anomala
aire-libre de la gravedad representada en la figura 11 y Agred es
la anomala de la gravedad reducida por (13.1) e interpolada en una
rejilla regular (figura 9(b)). Hay que notar que2:rkp(h-href )y c
son computados en la misma forma que antes, pero ahora sobre la
rejilla regular de puntos considerada. La figura 12(a) muestra los
valores del trmino 2:rkp(h-href) y la figura 12(b) los valores de
la correccin del terreno c. Fig. 11. Anomalas de la gravedad
obtenidas tras la aplicacin de la frmula (13.2).
La correccin del terreno puede ser positiva o negativa cuando es
computada en reas marinas, dependiendo de la forma de la superficie
del fondo marino (Torge, 1989). Esto no es posible en reas
continentales en las que la correccin del terreno es siempre
positiva. Computacin del geoide. Cuando ya tenemos la rejilla de
las anomalas de la gravedad,
estamos en disposicin de aplicar las tcnicas basadas en la FFT,
para calcular el geoide. Este clculo se llevar a cabo sumando los
tres trminos siguientes N = N1 + N2 + N3 (13.3) donde N1 es trmino
de onda larga obtenido a travs de un modelo geopotencial, N 2 es la
contribucin del efecto indirecto originado por la reduccin de
Helmert y N 3 es el trmino de longitud de onda corta, obtenido de
la integracin de los datos de gravedad dados por (13.2),
34
siguiendo el segundo mtodo de condensacin de Helmert. A
continuacin se indicar cmo son computados los tres trminos de la
frmula (13.3).
(a) " " " " (b) Fig. 12. (a) Trmino 2:rkp(h-href) de la
correccin RTM. (b) Correccin del terreno de la frmula (13.2).
Contribucin de onda larga (trmino N1). Est contribucin se obtiene
mediante un modelo geopotencial a travs del desarrollo en serie de
armnicos esfricos dado por (Heiskanen y Moritz, 1985) ry k M N1 / /
Pnm(sin(p) [5Jnmcosm^ + 5Knmsin m^] + N0 \ r I 'H1 donde S es la
funcin de Stokes, F1 denota la transformada de Fourier discreta y
peridica y F1-1 es su inversa. Haagmans et al. (1993) han descrito
la forma correcta de llevar a cabo la computacin dada por (13.10),
por ello, siguiendo estas indicaciones podemos obtener el valor de
la ondulacin residual del geoide mostrada en la figura 15(b).
Validacin del geoide. Cuando sumamos los tres trminos dados por la
formula (13.3), obtenemos el modelo de geoide buscado, en este caso
es el geoide del rea ibrica mostrado en la figura 16(a). Para
chequear la validez del modelo obtenido, debemos comparar las
ondulaciones del geoide predichas por este modelo, con las
ondulaciones del geoide obtenidas de forma independiente a este
modelo. Estas medidas independientes deben haber sido calculadas
con gran precisin, para poder establecer entonces que las
diferencias, entre los valores predichos por el modelo y los
valores observados o medidos, son debidas nicas y exclusivamente al
error que tiene el modelo de geoide obtenido. Para ello, lgicamente
necesitamos utilizar una coleccin de medidas de gran precisin, pues
de lo contrario todo el proceso de validacin sera dudoso. En el rea
ibrica disponemos de tal coleccin de medidas gracias a la red
GPS-nivelacin que est desplegada para toda Europa, tal como se
explic en el apartado 4. Esta red cuyo nombre es EVRS (European
Vertical Reference System), constituye un marco de referencia
fundamental para la medicin de alturas con precisin centimtrica.
Concretamente, en el rea ibrica esta red posee los vrtices de
precisin mostrados en la figura 16(b). Cuando comprobamos el modelo
obtenido y representado en la figura 16(a), en los puntos de
precisin mostrados en la figura 16(b), obtenemos un error de 27.8
cm (Corchete et al., 2005). Este modelo no ha sido mejorado hasta
2008, fecha en la que han sido publicados los modelos del norte
(Corchete, 2008) y sur de Iberia (Corchete et al., 2008), cuyos
errores son de 12.6 y 17.0 cm, respectivamente.
38
(a) (b) Fig. 16. (a) Modelo de geoide obtenido para el rea
ibrica, mediante la suma de los tres trminos dados por (13.3). (b)
Red de puntos para los cuales es conocida la ondulacin del geoide
con gran precisin. 14. Componentes de la desviacin de la vertical y
modelo geopotencial En algunas aplicaciones prcticas es necesario
pasar de un horizonte geodsico local a uno astronmico y viceversa.
Este problema equivale a transformar las coordenadas geodsicas (,
X), en las coordenadas naturales o astronmicas (O, A). En cualquier
caso sabemos que (Heiskanen y Moritz, 1985): 0 = ^ + 4),, A =
r|/cos 4) + ?i donde (, X) son conocidas para el punto P
considerado, a travs de la observacin directa con medidas GPS.
Entonces, para determinar (0,A) es necesario conocer (,, r)) puesto
que determinamos sobre el terreno (, X). En este sentido, las
frmulas establecidas en el apartado 11 para hallar las componentes
de la desviacin de la vertical, no se aplican directamente para
este objetivo, pues bajo el punto de vista prctico, sera muy
laborioso realizar una integracin de las anomalas de la gravedad
para toda la Tierra, tal como indican las frmulas de Vening
Meinesz. Resulta ms adecuado escribir las componentes de la
desviacin de la vertical en la forma (Heiskanen y Moritz, 1985;
Schwarz et al., 1990): -- 1 dT q 1dT GRd GR cos ^ donde R es el
radio medio terrestre (6371 km), G es el valor medio de la gravedad
sobre la Tierra (979.8 gales) y T es el potencial anmalo terrestre.
Entonces, usando un modelo geopotencial para escribir el potencial
anmalo T, podemos poner (Heiskanen y Moritz, 1985; Schwarz et al.,
1990): _ 1 GR nmx 7 7 n [5Jnmcos(m?i) + 5K nm sen(mA)] #
n=2 m=0
39
nmx n n =-------------7 7 mPn (sen >)\- 8Jn sen(m?i) + 8Kn
cos(m^)l L GRcos^A^I J AI m m m n=2 m=0 obteniendo tambin las
componentes de la desviacin de la vertical a travs de un modelo
geopotencial, lo mismo que hacamos para obtener la ondulacin del
geoide o las anomalas de la gravedad, en el apartado anterior
(apartado 13). 15. Componentes de la desviacin de la vertical y
geoide En el apartado anterior hemos visto que resulta ms cmodo
calcular las componentes de la desviacin de la vertical (,, T|), a
partir de un modelo geopotencial mediante un desarrollo en serie.
No obstante, todava puede ser ms til obtenerlas desde la ondulacin
del geoide, pues hemos visto en el apartado 13 que los modelos de
gravimtricos de geoide (geoides locales), pueden ser mucho ms
precisos que el geoide derivado de un modelo geopotencial. Esto
tambin resulta ser vlido para las componentes de la desviacin de la
vertical, podemos obtener valores ms precisos de (, T)) si partimos
de modelos de geoide ms precisos. Para ello, debemos escribir (,,
T)) en la forma (Heiskanen y Moritz, 1985) , 1 dN 1 dN c
=---------,, n =-------------------------------(15.1) R ok|>
Rcos^) &k Las formulas (15.1) permiten ahora calcular los
valores de (, T|), siempre que se conozca previamente el modelo de
geoide que nos da los valores N(, X), entonces derivando
obtendramos las componentes de la desviacin de la vertical.
Llegados a este punto de precisin, hay que notar que los valores de
(,, T)) se miden en la prctica sobre un punto del terreno, no sobre
el geoide. Ello es debido a que las coordenada astronmicas (O, A),
son observadas o medidas sobre la superficie de la Tierra (no sobre
el geoide), entonces debido a la curvatura de la lnea de la
plomada, estas coordenadas naturales no son rigurosamente iguales a
sus valores sobre el geoide. Sucediendo que (Heiskanen y Moritz,
1985) Ogeoide = O terreno + SO A geoide = A terreno + 5A en
consecuencia, si tenemos que geoide = + Ageoide = Tl/cos
