Apontamentos de Comportamento Mecânicode Materiais I

(2ª parte)

Pedro AreiasDepartamento de Engenharia Mecânica

18 de outubro de 2021

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Figura 1: Método da linha-de-prumo para determinação de um centróide.

2 Geometria de massas

Centróide e centro de massa

Imagine que pretende identificar o ponto por onde pode segurar uma figura plana de forma a que ela nãorode. Se efectuar o exercício de «pendurar» a figura por vários pontos, irá obter várias posições de equilíbrio.O resultado da intersecção das linhas verticais para cada posição de equilíbrio coincide com o centróide, cf.Figura 1. Este método, dito da linha-de-prumo, tem valor apenas didáctico.

Para uma figura plana Ω, o centróide x pode ser determinado recorrendo ao integral de área, i.e.

2

x = ∫Ω xdA/A (1)

em que A = ∫Ω dA. Na definição (1), x = x, y é a posição de cada partícula pertencente à figura plana e

x = x, y. Em essência, (1) é uma média de posições que pertencem à figura plana. Algumas propriedadesdo centróide são:

• Para figuras planas convexas, o centróide pertence à figura.

• Para uma linha, o domínio de integração no numerador de (1) é uma linha e o denominador é ocomprimento da linha.

• Para uma figura com volume, o mesmo se passa. Há no entanto uma extensão desta média no caso deincluirmos a densidade de massa ρ(x). Temos nesse caso o denominado centro de massa:

x = ∫Ω ρ(x)xdV/m (2)

em que m = ∫Ω ρ (x) dV .

• É atribuída ao numerador de (1) a nomenclatura «primeiros momentos de área»:

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– Qy = ∫Ω xdA

– Qx = ∫Ω ydA

Nada substitui um exercício como forma de compreendermos melhor este conceito. É de salientar que, ocálculo do centróide por integração raramente é pedido em provas de avaliação.

Determine por integração os centróides das linhas e das figuras planas representadas na Figura 2.

Como caso particular do sector circular, temos o quarto-de-círculo e o semicírculo, representados na Figura3. Recorre-se ao resultado deduzido acima para o sector circular.

No caso de uma figura composta, podemos utilizar os resultados acima deduzidos para determinar o centróideatravés de uma média pesada com as áreas. Para efeitos de cálculo, assume-se que a área das cavidades énegativa, i.e. se existir um furo de raio R, então a sua «área» é πR2.

Como exemplo, apresenta-se o exercício resolvido da Figura 4.

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O B

R

OA

Cy

y

αα

H

W

y

Arco de circunferência:

Larco = 2Rα, yarco = 12Rα

∫ +α

−αR2 cos θdθ = R sinα

α

Triângulo:

Atriângulo = HW/2, ytriângulo = 2HW

∫ H

0yW (1− y/H) dy = 2

H

(H2

2 −H3

3H

)= H

3Sector circular:

Asector = αR2, y = 1αR2

∫ +α

−α

(∫ R

0r2 cos θdr

)dθ = 2

3R sinαα

Figura 2: Determinação, por integração, da cota y para cada uma das figuras representadas.

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Figura 3: Centróides: casos particular do sector circular. Quarto de círculo: A = πR2/4, x = 4R3π , y = 4R

3π ,

semicírculo: A = πR2/2 , x = 0, y = 43Rπ .

Para sólidos, a Tabela 1 apresenta os centróides e volumes de alguns casos comuns.

O seguinte exercício pode ser resolvido recorrendo à Tabela 1.

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Figura A?i xi yi

Rectângulo 0.0096 0.06 0.04Triângulo 0.0036 0.04 −0.02Semicírculo 0.00565 0.06 0.10546Círculo −0.005027 0.06 0.08Total ∑

Ai = 0.013823 1A

∑Aixi = 0.054791 1

A

∑Aiyi = 0.03658

Figura 4: Figura composta: cálculo do centróide por média pesada.

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Figura 5: Determine as coordenadas dos centróides das figuras planas. Caso II: x, y = a(3−4 sinα)6(1−α) , 0

Teorema de Pappus-Guldinus

Este teorema permite determinar áreas e volumes de objectos de revolução a partir das suas propriedadesno plano.

• Uma superfície de revolução é gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo.

• Um corpo de revolução é gerado pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo.

8

1. A área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geradora peladistância percorrida pelo centróide na geração da superfície.Asup = L× 2π × y

2. O volume de um corpo de revolução é igual ao produto da área da figura geradora pela distânciapercorrida pelo centróide na geração do corpo.Vcorpo = A× 2π × y

Estas propriedades são aplicadas nos seguintes problemas.

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Figura 6: Sabendo que a massa do varão por unidade de comprimento tem o valor 4.73 kg/m , determine aforça que o cabo BA exerce sobre o ponto B e a reacção no ponto C. R: FBA = 125.3 N e RC = 137 N.

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Tabela 1: Centróides de alguns sólidos.

Figura x V

3a8

23πa

3

h4

13πa

2h

h4

13abh

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Figura 7: Para o sólido representados, determine as coordenadas do centróide. x = 0.015

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(a) Superfícies de revolução

(b) Corpos de revolução

Figura 8: Superfícies de revolução e corpos de revolução.

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Figura 9: Determine a área da superfície gerada pela revolução do arco de circunferência em torno do eixodos yy (como na figura) e também em torno de xx.

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Figura 10: Determine o volume do sólido representado, sabendo que o diâmetro do cilindro é 6 mm e R = 10mm, L = 30 mm.

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Forças em superfícies submersas

Se considerarmos um líquido dentro de um recipiente, a pressão no fundo desse recipiente será o peso dolíquido a dividir pela área A do fundo:

p = ρgV

A= ρgh

em que V é o volume, A a área e h a altura de líquido dentro do recipiente. A massa volúmica do líquidoé aqui identificada pela letra Grega ρ. No caso da água, ρ = 1000 kg/m3. Sendo assim, se estivermos aobservar parte de uma superfície submersa, com pressão entre os valores p0 e p1, a resultante horizontal dapressão é R = p0+p1

2 hw em que w é a largura da parede e h a sua altura, cf. Figura 11.

Nos seguintes exercícios aplica-se este conceito a barragens.

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p0

p1y = h( 1

3+ p0

6p1)

h

R = hw p0+p12

(a) Parede vertical: acção do fluido sobre a parede (b) Diagrama de corpo livre (DCL) para uma pa-rede curva. Estão representadas as acções sobreo volume de controlo

Figura 11: Resultante da pressão numa parede vertical e diagrama de corpo livre para uma parede curva.

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Figura 12: Considerando uma largura w = 1 m e uma massa volúmica do lodo igual a ρs = 1.76× 103 kg/m3

, determine o aumento de força sobre a barragem resultante de uma profundidade de lodo de 2 m. R: 6.98%

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Figura 13: Considerando uma largura w = 30 m, determine a força resultante na barragem e a sua linha deacção.

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Segundos momentos de área e momentos de inércia

Surgem naturalmente, em mecânica dos materiais, os denominados segundos momentos de área. Em dinâmicado corpo rígido uma generalização deste conceito é o denominado momento de inércia. Essencialmente, omomento de inércia «mede» a resistência à aceleração angular de um objecto.

Comecemos pelos segundos momentos rectangulares de área:

Ix =∫Ay2dA

Iy =∫Ax2dA

Por exemplo, para o triângulo utilizado anteriormente, e num referencial com origem no vértice inferioresquerdo do triângulo, temos

Ix4 =∫ H0 y2Wdy −

∫ H0 y3W

Hdy = WH3

12Para um rectângulo de lado W e altura H , recorrendo a um referencial centrado no centróide do rectângulo,temos:

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Ix = WH3

12Iy = HW 3

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Para além dos momentos rectangulares, podemos também determinar o momento polar, que pode serinterpretado como «medindo» a resistência à aceleração angular da figura plana em torno de um eixo normalao plano.

Recorrendo a coordenadas polares, r2 = x2 + y2 e temos:

J =∫Ar2dA = Ix + Iy

Como exemplo de cálculo manual de J, Ix e Iy, considere-se um círculo e um semicírculo, recorrendo aosreferenciais representados na Figura 14.

Recorrendo a eixos centrais, i.e. com a origem no centróide, o teorema dos eixos paralelos permite relacionaros segundos momentos de área entre dois sistemas de eixos distintos.

Utiliza-se a notação Ix,Iy e J para os segundos momentos de área num referencial central e Ix, Iy e J para

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x

y

ρ

θ

R

x

y

ρ

θ

R

Iy = Ix =∫ R0

∫ 2π0 ρ3 cos2 θdθdρ = πR4

4 = π4

64J = π4

32IyJ = IxJ = πR4

8JJ = πR4

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Figura 14: Segundos momentos de área: caso do círculo e semicírculo. Para o semicírculo, são utilizadoseixos não-centrais.

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um referencial não-central.

A relação entre as quantidades é clara e resulta da própria definição:

Ix = Ix + A (y − y)2

Iy = Iy + A (x− x)2

J = J + A∆r2

em que ∆r2 = (x− x)2 + (y − y)2. São propostos exercícios de aplicação para os segundos momentos deárea.

Para além destes segundos momentos de área, há a considerar o produto de área, definido como:

Ixy =∫AxydA

relativamente ao qual a translação da origem resulta em:

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Figura 15: Determine os segundos momentos de área relativamente aos eixos dos xx e dos yy. Primeirafigura: Ixx = 45.9× 10−6 m4,segunda Figura Ixx = 0.390× 10−6 m4, Iyy = 0.0643× 10−6 m4.

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Ixy = Ixy + A (x− x) (y − y)

É possível rodar o referencial x− y de forma a que Ix′y′ = 0. Se o ângulo interno entre x e x′ for θ, talcomo representado na Figura 16, então o resultado é:

θ = 12 arctan

2IxyIx − Iy

e os momentos principais de área são determinados recorrendo à conhecida fórmula dos valores próprios deuma matriz simétrica 2× 2:

I1,2 = Ix + Iy2 ±

√√√√√√Ix − Iy

2

2+ I2

xy

No caso da incluirmos a massa volúmica ρ, temos o denominado tensor de inércia,

I =

Ix −Ixy −Ixz

−Ixy Iy −Iyz

−Ixz −Iyz Iz

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Figura 16: Eixos principais a partir dos valores Ix,Iy e Ixy.

em que:

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Figura 17: Para as duas figuras planas, determine o produto de área e os eixos principais centrais.

Ix =∫Ω ρ

(y2 + z2

)dV

Iy =∫Ω ρ

(x2 + z2

)dV

Iz =∫Ω ρ

(x2 + y2

)dV

Ixy =∫Ω ρxydV

Ixz =∫Ω ρxzdV

Iyz =∫Ω ρyzdV

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A mudança de origem do referencial segue a regra dos eixos paralelos, em que m é a massa do corpo Ω:

I = I + m

(y − y)2 + (z − z)2 − (x− x) (y − y) − (x− x) (z − z)

− (x− x) (y − y) (x− x)2 + (z − z)2 − (y − y) (z − z)

− (x− x) (z − z) − (y − y) (z − z) (x− x)2 + (y − y)2

Alguns momentos de inércia comuns estão representados na Figura 18. Para placas finas, verifica-se umarelação que pode ser muito útil:

Imassa = ρhIarea

em que h é a espessura da placa e ρ a massa volúmica do material considerado.

Alguns exercícios de cálculo de momentos de inércia são seguidamente propostos.

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Diagramas de esforços para vigas em flexão

Para vigas em flexão, no caso bidimensional, é necessário determinar as forças internas (especificamenteesforço normal e esforço transverso) para além do momento flector. Utiliza-se a designação «esforço» em vezde «força» para identificar estas forças como sendo internas ao próprio corpo.

Para o efeito , segue-se uma convenção estabelecida para os sentidos positivos do momento flector e doesforço transverso. A metodologia adoptada para estabelecer os diagramas de esforços é a seguinte:

1. Estabelecer o diagrama de corpo livre (DCL) e utilizar a estática para definir o sistema de equilíbrio.Se o problema for estaticamente determinado, então podem calcular-se nesta fase as reacções deligação com o exterior.

2. Dividir a viga em troços, separados por suportes, forças ou momentos pontuais ou ainda mudanças decarregamento distribuído q(x).

3. Calcular o esforço transverso V (x) de acordo com a convenção.

4. Calcular o momento flector M(x) de acordo com a convenção.

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A convenção adoptada está representada na Figura 22. A metodologia é representada graficamente naTabela 2.

É necessária alguma experiência para traçarmos de forma expedita os diagramas de esforços. É apresentadauma série de exercícios exclusivamente dedicados aos diagramas de esforços.

A relação entre a carga q(x) e o esforço transverso estabelece-se por equilíbrio de forças na direcçãotransversal:

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V ′(x) = −q(x)

e, do equilíbrio de momentos resulta:

M ′(x) = V (x)

A Figura 26 mostra o diagrama de corpo livre de um troço infinitesimal da viga.

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Figura 18: Momentos de inércia em sólidos comuns.

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Figura 19: Cálculo do tensor de inércia no sistema de eixos representado, sabendo que h = 0.004 m eρ = 7850 kg/m3.

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Figura 20: Sabendo que ρ = 7850 kg/m3, determine o tensor de inércia para o corpo representado para osistema de eixos da figura.

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Figura 21: Determine, sabendo que ρ = 7850 kg/m3, o tensor de inércia no centro de massa do corporepresentado.

Figura 22: Convenção adoptada para o esforço transverso positivo e momento flector positivo.

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Tabela 2: Metodologia adoptada na determinação do esforço transverso V (x) e momento flector M(x)

0-Figura no enunciado: 1-Diagrama de corpo livre:

2-Divisão por troços

3-Esforço transverso V (x) 4-Momento flector M(x)

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Figura 23: Determine V (x) e M(x), assim como os máximos e mínimos absolutos dessas funções.

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Figura 24: Determine V (x) e M(x), assim como os máximos e mínimos absolutos dessas funções.

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Figura 25: Determine V (x) e M(x), assim como os máximos e mínimos absolutos dessas funções.

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Figura 26: Equilíbrio de um troço infinitesimal da viga.

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Figura 27: Determine V (x) e M(x), assim como os máximos e mínimos absolutos dessas funções.

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