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Apontamentos de matemática – 6.º ano Sólidos Geométricos
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Poliedros
Poliedros são sólidos limitados apenas por superfícies planas.
As pirâmides e os prismas são alguns dos poliedros.
Por exemplo, a esfera e o cone não são poliedros.
Faces, vértices e arestas são os elementos de um poliedro.
Prismas
Prismas são poliedros limitados por duas superfícies iguais situadas em planos paralelos
(bases). As restantes faces são a faces laterais e são paralelogramos.
Um prisma reto tem as arestas laterais perpendiculares às arestas das bases e as faces laterais
são retângulos.
São retos o segundo, quarto e quinto prismas a contar da esquerda.
Um prisma oblíquo é aquele que não é reto.
São oblíquos o primeiro e terceiro prismas a contar da esquerda
Um prisma reto é regular quando as bases são polígonos regulares
É reto o quinto prisma a contar da esquerda
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Pirâmides
Pirâmides são poliedros com uma base (polígono) e com as faces laterais triangulares que se
unem num vértice.
Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e as faces laterais são iguais.
Classificação dos prismas e das pirâmides
Os prismas e as pirâmides classificam-se de acordo com o número de lados do polígono da
base.
Polígono da base Nome do prisma ou pirâmide
Triângulo triangular
Quadrilátero quadrangular
Pentágono pentagonal
Hexágono hexagonal
Heptágono heptagonal
Octógono octogonal
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Exercícios
Observe as representações dos seguintes sólidos geométricos.
a) Indique, usando as letras, todos os sólidos que são:
Poliedros ________________________ Não poliedros ____________________
Prismas ________________________ Pirâmides _______________________
b) Escreva o nome dos sólidos:
E) _________________________________ F) ___________________________________
G) _________________________________
c) Complete a tabela seguinte relativa aos sólidos representados.
Sólido Nome do sólido Número
de faces
Número
de arestas
Número
de vértices Polígono da base
A
B
C
D
d) Suponha que vai construir o sólido D. Para isso irá recortar, em cartolina, as faces que
formam esse sólido, e que têm a forma de polígonos. Indique quantos e quais os polígonos
precisas de recortar.
_____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
e) Indique (usando as letras) um sólido que tenha:
Uma base triangula _____ Duas superfícies circulares _____
Bases quadradas _____ Oito faces _____
Cinco vértices _____ Dez arestas_____
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Resolução
a) Poliedros: A, B, Cm D, F e G Não poliedros: E
Prismas: A, D, e F Pirâmides: B, C e G
b) E) Cilindro F) Prisma quadrangular G) Pirâmide pentagonar
c)
Sólido Nome do sólido Número
de faces
Número
de arestas
Número
de vértices Polígono da base
A Prisma quadrangular 6 12 8 Quadrilátero
B Pirâmide triangular 4 6 4 Triângulo
C Pirâmide quadrangular 5 8 5 Quadrilátero
D Prisma hexagonal 8 18 12 Hexágono
d) São necessários dois hexágonos e seis quadriláteros
e) Uma base triangular: B Duas superfícies circulares: E Bases quadradas: F
Oito faces: D Cinco vértices: C Dez arestas: G
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Relação entre os elementos dos prismas e das pirâmides e o polígono da base
Num prisma, o número de:
- vértices é igual ao dobro do número de lados do polígono da base;
- arestas é igual ao triplo do número de lados do polígono da base;
- faces é igual ao número de lados do polígono da base mais dois.
Numa pirâmide, o número de:
- vértices é igual ao número de lados do polígono da base mais um;
- arestas é igual ao dobro do número de lados do polígono da base;
- faces é igual ao número de lados do polígono da base mais um;
- vértices é igual ao número de faces.
Nota: As relações anteriores devem ser compreendidas com base na observação de sólidos
geométricos.
Relação de Euler
Num poliedro convexo 2A V F , sendo
A – número de arestas, V – número de vértices, F - número de faces
Exemplo: Um cubo tem 12 arestas, 8 vértices e 6 faces.
Podemos verificar que 𝐴 + 12 = 8 + 6
Poliedros convexos e côncavos
Um poliedro diz-se convexo quando qualquer segmento que reta que une quaisquer dos seus
pontos está nele contido. Se não for convexo, o poliedro diz-se côncavo.
Os sólidos B e C são convexos. Os sólidos A e D não são convexos (são côncavos)
Os sólidos B e C são convexos. Os sólidos A e D não são convexos (são côncavos)
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Exercícios
1. O triângulo representado é a base de uma pirâmide.
a) Indique:
O nome da pirâmide _______________________________________
O número de: faces _____; arestas _____ ; vértices _____
b) Explique como determinou o número de arestas.
_____________________________________________________________________________
c) Se o triângulo representado fosse a base de um prisma, quantas arestas teria? ___________
Mostre como chegou à resposta
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Na figura está representada a superfície lateral de um prisma.
a) Qual é o polígono da base do prisma?
_______________________________
b) Qual é o nome do prisma?
________________________________
c) Mostre que uma pirâmide não pode ter o mesmo número de arestas que esse prisma tem.
_________________________________________________________________________
3. Qual é o polígono da base de:
a) Um prisma com 18 arestas? _______________________________
b) Um prisma com 10 vértices? _______________________________
c) Um prisma com 6 faces? ___________________________________
d) Uma pirâmide com 12 arestas? _____________________________
e) Uma pirâmide com 6 vértices? ______________________________
f) Uma pirâmide com 4 faces? _________________________________
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4. Responda às questões seguintes apresentando a explicação de como chegou à resposta.
Nota: As questões seguintes referem-se a prismas e pirâmides
a) Que sólido geométrico tem duas bases e nove arestas?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
b) Pode existir um sólido com oito vértices e doze arestas?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
c) Quantas arestas tem um sólido geométrico com cinco vértices?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
d) Qual é o sólido cujas faces laterais são quadriláteros e tem dez vértices?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
5. Pode existir:
a) Um prisma com 4 faces? ______________________________________________
b) Um prisma com 9 vértices? ____________________________________________
c) Uma pirâmide com 14 arestas? _________________________________________
d) Uma pirâmide com 17 arestas? _________________________________________
e) Um prisma com 21 arestas? ____________________________________________
6. Mostre que um poliedro convexo com 150 arestas e 100 vértices tem 52 faces.
7. A tabela refere-se a poliedros convexos. Complete-a e mostre como chegou aos resultados.
Faces Vértices Arestas
Sólido 1 7 10
Sólido 2 10 26
Sólido 3 31 60
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Resolução
1. O triângulo representado é a base de uma pirâmide.
a) Pirâmide triangular. Tem 4 faces, 6 arestas e 4 vértices.
b) Três arestas na e base e três laterais,
Ou, o número de arestas é o dobro de número de lados da base: 3 × 2 = 6
c) Teria 9 arestas, três em cada base e três laterais.
Ou, o número de arestas é o triplo de número de lados do polígono da base: 3 × 3 = 9
2. Na figura está representada a superfície lateral de um
prisma.
a) Pentágono.
b) Prima pentagonal.
c) O prisma tem 15 arestas e o número de arestas de uma pirâmide é par, logo não há
pirâmides com 15 arestas.
3. Qual é o polígono da base de:
a) Hexágono. Seis arestas em cada base e seis laterais
b) Pentágono. Cinco vértices em cada base.
c) Quadrilátero. Tem duas bases e quatro faces laterais.
d) Hexágono. Seis arestas na base e seis laterais.
e) Pentágono. Cinco vértices na base mais um.
f) Triângulo. Uma base e três faces laterais.
4. Responda às questões seguintes apresentando a explicação de como chegou à resposta.
Nota: As questões seguintes referem-se a prismas e pirâmides
a) Se tem duas bases é um prisma. Das nove arestas, são três em cada base e três laterais.
Então o polígono da base é um triângulo. É um prisma triangular.
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b) Sim, é o prisma quadrangular.
c) O número mínimo de vértice de um prisma é seis, logo o sólido é uma pirâmide com quatro
vértices na base e um oposto à base. É a pirâmide pentagonal que tem cinco arestas na base e
cinco laterais. R: 10 arestas.
d) Se as faces laterais são quadriláteros é um prisma e se tem dez vértices são cinco em cada
base, que é um pentágono. R: Prisma pentagonal.
5. Pode existir:
a) Não, o número mínimo de faces de um prisma é cinco, no prisma triangular.
b) Não, o número de vértices de um prisma é par.
c) Sim, é a pirâmide heptagonal.
d) Não, o número de arestas de uma pirâmide é par.
e) Sim, o prisma heptagonal.
6. Usando a relação de Euler, 𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉
150 + 2 = 100 + 52
152 = 152
7. A tabela refere-se a poliedros convexos. Complete-a e mostre como chegou aos resultados.
Usa-se a relação de Euler, 𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉
Sólido 1
𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉
𝐴 + 2 = 7 + 10
𝐴 + 2 = 17
𝐴 = 17 − 2
𝐴 = 15
Sólido 2
𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉
26 + 2 = 10 + 𝑉
28 = 10 + 𝑉
𝑉 = 28 − 10
𝑉 = 18
Sólido 3
𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉
60 + 2 = 𝐹 + 31
62 = 𝐹 + 31
𝐹 = 62 − 31
𝐹 = 31
Faces Vértices Arestas
Sólido 1 7 10 15
Sólido 2 10 18 26
Sólido 3 31 31 60