o NÚMEROS RELATIVOS

Cuando se fija un punto de referencia es posible determinar dos ser't =u orientaciones. Las cantidades que indican una posición con respecto =:punto de referencia se denominan números relativos.

IDEAS CLAVE• posición relativa• números con

signo• sentidos opuestos El signo "más" [+ l se utiliza para designar situaciones como: a la derec-

de, encima de y sobre el nivel del mar; y el signo "menos" [-l, para refer ~s·a situaciones como: antes de, a la izquierda de, bajo cero, entre otras.

~ACTIVIDAD RESUELTA

• Para u¡,evento del colegio, cada estudiante del curso 702 debe dar "=:cuota mínima de $ 20000. Lucía registró los aportes de algunossus compañeros en la tabla 1.1. ¿Qué significado tienen las cantida __ubicadas en la columna "Estado de cuenta"?

APORTE ESTADO DE CUENTA

Felipe $ 18000 - $ 2000

Javier $ 23000 + $ 3000

Mariana $ 15000 - $ 5000

Valeria $ 20000 O

Gabriel $ 17000 - $ 3000

Juliana $ 21 000 + $ 1000

TEN EN CUENTA

Una posición relativa esel lugar que ocupa un ob-jeto con relación a un pun-to de referencia. Se utili-zan expresiones como:

• izquierda - derecha

• arriba - abajo

• atrás - adelante

• sobre - debajo

Tabla 1.1

SOLUCiÓN: Si se considera como punto de referencia el valor de la cuota, .csnúmeros con signo positivo indican que el estudiante ha aportado más de _:que corresponde y los números con signo negativo indican que al estudia-veaún le hace falta para completar la cuota.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. EJERCITACIÓN. Representa con números relativoscada temperatura.al 12°C sobre cero .bl 20°C bajo ceroel 8 °C sobre cerodl 65°C sobre cero .el 40°C bajo cerofl 24°C bajo cero

2. RAZONAMIENTO. Relaciona cada número relativocon la situación que representa. En tu cua-derno escribe el punto de referencia en cadacaso.al -50 mel +$ 50[[

bl -$ 50d] +50 m

l Mónica me dio cincuenta pesos.l El pájaro se encuentra a cincuenta metros

de altura.l El buzo está a cincuenta metros de pro-

fundidad.l Debo cincuenta pesos a Mónica.

3. RAZONAMIENTO. Representa la distribución de la:balotas con respecto a la roja, si:

00 OOF;.al La balota azul se ubica dos puestos ar :e

de la roja.b] La balota amarilla se ubica un puesto ces

pués de la roja.el La balota verde se ubica dos puestos es

pués de la roja.d] La balota violeta se ubica un puesto ar-=

de la roja.ARGUMENTA

4. COMUNICACiÓN. Escribe una situación que se pue _representar con cada uno de los siguien ES

números relativos.al -500 mbl 123 añosel 34 cmd] -5 horas

PROYECTO APRENDER JUNTOS © ElJOO",.c"

- 7 - AMIENTO. Identifica a cada una de las chi-:25 de la foto, de acuerdo con su ubicación-2specto a Patricia.

Figura 1.2

_ María está dos lugares a la derecha dePatricia.

_ Juliana está tres lugares a la izquierda.- ~ola está un lugar a la derecha.- Cristina está un lugar a la izquierda._ Francy está dos lugares a la izquierda.

i.. · .. · .. · .. · ···· .. · · · .. · .. · .. ·· .. · · .. · ·1

II

__ "CTACIÓN. Representa con números enteros2S cantidades indicadas, tomando como

: ~-ito de referencia el cero._ Cuatro unidades a la derecha .- Cinco unidades a la izquierda .- Ocho unidades a la derecha ._ Siete unidades a la izquierda ._ Doce unidades a la derecha .

Jiez unidades a la izquierda

: ICACIÓN. Determina la posición de cada uno-2 los árboles con respecto al pino._ bl el d]

I I-+Ir---a rn-~'¡~-Ei m--.j Figura 1.3

bl .dI

ICACIÓN. Toma como punto de referencia tu=-0 de nacimiento, escribe algunos sucesos: ..•e hayan ocurrido antes y después de esa·2cha. Utiliza números relativos.

PROPONE

9. COMUNICACiÓN. De acuerdo con el nivel de líquidoque indica la marca roja, expresa la canti-dad de unidades que hay en cada frasco, porencima o por debajo.

al bl cl dl el

Figura 1.4

al .clel

b] .

dl .

10. COMUNICACiÓN. La Segunda Guerra Mundial termi-nó en 1945. Determina cuántos años anteso después del fin de esa guerra transcurriócada acontecimiento.al Fundación del estado de Israel (1948)b] Primer hombre en la Luna (1969)el Revolución de octubre en Rusia (1917)dl Separación de Panamá (1903)el Guerra civil española (1934)

11. MODELACIÓN. Representa por medio de númerosrelativos.al Once pasos adelante .bl Quince pasos atrás .e] Doce pasos atrás .d] Diecisiete pasos adelante .el Veinte pasos atrás .fl Veintisiete pasos adelante .RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS

12.Ana María nació en el año 1985. Terminóla secundaria en el año 2002 y su carrerauniversitaria en el año 2007. Si se conside-ra como punto de referencia el año en queterminó la secundaria, ¿cuántos años antes

.• nació y cuántos años después terminó sucarrera universitaria? .

13. El pico Colón y el pico Bolívar son los más•• altos de Colombia, ambos con una altura de

5775 m sobre el nivel del mar. El Nevado delRuiz tiene una elevación máxima de 5400 my la ciudad de Bogotá se encuentra a unaaltura de 2600 m sobre el nivel del mar. Sise toma la altura del Nevado del Ruiz comopunto de referencia, ¿cuáles son las alturasde Bogotá, del pico Colón y del pico Bolívarcon respecto a la altura del Nevado del Ruiz?

-EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

IDEAS CLAVE• números positivos• números negativos• números opuestos

SABíAS QUE •••

En China se utilizaban losnúmeros negativos des-de el siglo 1,y en la India,desde el siglo VI. Sin em-bargo, en las matemáti-cas europeas no apare-

e _ cen sino hasta el siglo XV

!Ó :/'I.J o ~L

Fueron muchos los per-sonajes que se opusierona aceptar los númerosenteros como entes ma-temáticos. Sin embargo,la pasión con que fuerondefendidos por otros es-tudiosos ha permitidoque hoy en día se reco-nozca su importancia .

• ¿Qué cosas haces conpasión y crees quegracias a ella podríassuperar cualquier obs-táculo?

La unión de los enteros positivos [1"+], los enteros negativos [1"-] j

cero forman el conjunto de los números enteros y se simboliza

••• - -1- ---. - -

1" = 1"+ U 1"- U {O}

1" = { ... , -5, -4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4,5, .JEl número cero [01, no se considera ni positivo ni negativo.

Cada elemento del conjunto de los enteros positivos, tiene un opues E-

el conjunto ~e los enteros negativos y viceversa. El opuesto de unentero a, se representa como -a.Son muchas las situaciones en las que se utilizan los números en er:::;s-• En las tr!tlsacciones comerciales, el cero expresa la situación en ~~ --

se tiene ni se debe dinero, los valores positivos expresan saldo a ~a --los negativos, saldo en contra.

• En la medida de la temperatura, el O expresa la temperatura en ~~~.agua helada se funde. Los valores positivos expresan temperaturas s_:::-riores a esta, y los negativos, las inferiores .

• En la medida de la altitud terrestre, el O expresa el nivel del me 'alturas superiores son positivas, y las inferiores, negativas.

• En la medida del tiempo, el O representa el momento del nacrn ~--de Cristo. El tiempo posterior es representado con valores posit: S. 0:=

anterior, por negativos.

ACTIVIDADES RESUELTAS

A. Daniel retiró de su cuenta bancaria el lunes $ 23000, el martes e --signó $ 16000, el miércoles retiró $ 7500, el viernes depositó $ 18===Y finalmente, el sábado retiró $ 12000. Utiliza los números en e~rs .para representar los movimientos realizados en su cuenta.

SOLUCiÓN: Los movimientos realizados por Daniel se representan como e- _tabla 1.2.

DíA Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

RETIROS -23000 -7500 -12000

CONSIGNACIONES 16000 18000Tabla 1.2

B. Encuentra el opuesto del opuesto de cada numero:al -26 bl 78 el -69

SOLUCiÓN:

al El opuesto de -26 es 26, y el opuesto de 26 es -26.

b] El opuesto de 78 es -78, y el opuesto de -78 es 78.

el El opuesto del opuesto de -69 es -69.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. COMUNICACiÓN. Escribe el número entero que representa cada situación y a qué conjunto pertenece (;r- - =-al Hypatía de Alejandría, matemática egipcia, b] Alfred Nobel inventó la dinamita en el 2."':

nació en el año 370 a. C. 1886 d. C .

el El hombre llegó a la Luna, único satélite na-tural de la Tierra, en el año 1969 d. C .

d] El lago Victoria en África, segundo lagogrande del mundo, tiene una profundida __82 m .

PROYECTO APRENDER JUNTOS l.::tI "",~a:N~"

~:-ACIÓN. Completa las tablas 1.3 y 1.4.,c.::MERO OPUESTO

-=-5-6-1077-=-1-9-3-13

NÚMERO OPUESTO

-[+111

-[-181

-[+171

-[+151

-[-21)

-[-231

-[-481

-[+511Tabla 13 Tabla 1.4

~-;A~'¿=::·ACIÓN. Determina si cada afirmación es

ó:-dadera [V] o falsa [F]. Justifica.

_. ::L opuesto de un número entero es otro nú-l1ero entero. [ ]

-, ::L opuesto del opuesto de 15 es -15. [ ]- ::L opuesto de -20 es -20. [ ]

- Jos números enteros opuestos tienen dife-rente signo. [ ]

= "NICACIÓN. Escribe en el cuadro el número=_e hace verdadera cada igualdad.

_. -4 = -[-O]

-::::J = -[-[-2ll-' 7 = - [- [Oll-, -[O] = -[-2]

':ONAMIENTO. Indica el significado de los núme--:5 -2, + 1 Y +4 en cada una de las siguien-'::5 situaciones.

_ en un ascensor

- en un termómetro

PROPONE

7.IU;l4II.14;i¡I¡iM.!jj Reúnanse en grupos de tres inte-• grantes y desarrollen esta actividad.

Escriban un número que cumpla la condición.

a] Número entero negativo .

b] Opuesto de -11 .

el Opuesto del opuesto de -3 .• Describan cuáles fueron las ventajas y las

desventajas de trabajar en grupo.

RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS

8. ¿Cuáles son las palabras que completan las• frases? Ten en cuenta la figura 1.6.

T60 pies

1 JA-I20 pies

1

20~ies..e,..L~ __

e

B

Figura 1.6

a] El submarino O se encuentra a pies.

b] El submarino se encuentra a una pro-fundidad de -120 pies.

e] La profundidad del submarino E es de .pies.

dl El submarino A se encuentra a piesdel submarino C.

e] El submarino se encuentra a -120pies del submarino B.

9. Observa la figura 1.7 Y desarrolla cada activi-• dad en tu cuaderno.

.,

0 ©6 0©5©3 ©4©1 ©2©-1 ©o©-3 ©-2

o 0 Figura 17

J"IICACIÓN. Describe en tu cuaderno con frases:: posición de cada aviso, a partir del que

: ce: "Parque". Expresa la posición de cada '11_~o mediante un número entero.

a] ¿Cuál es el piso más alto? ¿Y el más bajo?

b] Calcula en cada caso el número de pisosque se recorren:

• Para ir del piso O al -3 .• Para ir del piso -1 al 2 .

• Para ir del piso 3 al -2 .