Application du couplage mécano-fiabiliste aux …...Club Cast3M - 1 20/11/06 Application du couplage mécano-fiabiliste aux structures navales corrodées Mikaël Cazuguel & Jean-Yves

1Club Cast3M - 20/11/06

Application du couplage mécano-fiabiliste aux

structures navales corrodées

Mikaël Cazuguel & Jean-Yves Cognard

Financement : bourse DGA-CNRS

Collaboration : IFREMER et Université de Nantes

Contact : [email protected]

>

2DGA - 20/11/062Club Cast3M -

Plan de la présentation

1 – Problématique et objectifs

2 – Les outils de la fiabilité

3 – Prise en compte des effets de corrosion en

éléments finis non-linéaires 2D

4 – Couplage mécano-fiabiliste dépendant du temps

5 – Conclusions & perspectives

>


1 – Problématique & objectifs

Efficacité et robustesse des

méthodes fiabilistes

Modélisation de structures

complexes par analyse éléments finis

Contexte

Design réaliste : Prise en compte du comportement non-linéaire matériau

Problèmes non-linéaires dépendant du temps coûteux

Adapter l’analyse non-linéaire aux parties les plus sollicitées

>


1 – Problématique & objectifs

Efficacité et robustesse des

méthodes fiabilistes

Modélisation de structures

complexes par analyse éléments finis

Contexte

Etude de la durabilité des structures marines :

Pas de solutions analytiques

=> Analyse éléments finis

non-linéaire requise

Corrosion, soudage, fatigue,… :

phénomènes stochastiques

=> Méthodes de fiabilité fonction

du temps requise

>


1 – Introduction & objectifs

Objectifs de la thèse

Etre capable d’appliquer une approche fiabiliste fonction du

temps à des structures industrielles à comportement non-linéaire,

dépendant du temps, etc… modélisées par éléments finis

But du couplage mécano-fiabiliste dépendant du temps :

évaluer plus précisément la durabilité d’une structure tout au long

de sa durée de vie, et fournir des méthodes d’optimisation des

facteurs de sécurité

>


2 – Les outils de la fiabilité indépendante du temps

Étapes d’une étude fiabiliste

1 - Définir le modèle mécanique ;

2 - Définir les données probabilistes, ou variables de conception : ),( tX3 - Choisir le scénario de défaillance (dimensionnant pour la structure)

définition de la fonction de performance :

Surface d’état-limite

Domaine de sûreté Ds

Domaine de défaillance Df

4 - Effectuer les calculs ;

5 - Analyser les résultats.

0)),(,( ttG X

0)),(,( ttG X

0)),(,( ttG X

)0)),(,(()(, TTGprobTP if X

)),(,( ttG X

Failure

domain

x2*

x2

x1

x1*

P*

0)( ixG

0

>



Méthode d’approximation FORM/SORM

Espace

physique Espace

normé

Tiso

Domaine de

défaillance

x2*

x2

x1

x1*

P*

0)( ixG

0

Hyperplan tangent

Domaine de

défaillance

u2*

u2

u1

u1*

P*

β

0)( iuH

α

0

i

jixGuH

HL xTOPji

2

0

T

0

* min.min distance uu

>



)(, ifP

α : cosinus directeurs

u* : coordonnées du point de conception P*

β : indice de fiabilité

Φ : fonction de répartition de la loi normale centrée réduite


Espace

physique Espace

normé

Tiso

Domaine de

défaillance

x2*

x2

x1

x1*

P*

0)( ixG

0

Hyperplan tangent

Domaine de

défaillance

u2*

u2

u1

u1*

P*

β

0)( iuH

α

0

>


1,E-09

1,E-08

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

0 1 2 3 4 5 6

indice β

Pro

bab

ilit

é

Pf

3103 fP

5,00 fP


)(, ifP


>

10DGA - 20/11/0610Club Cast3M -

2 – Les outils de la fiabilité fonction du temps

Probabilité de défaillance instantanée et probabilité de défaillance cumulée

0,,Prob111,

ttGtPif

X

0),(, que tel,,Prob),( 1010, ttGtttttP cf X

Fiabilité indépendante

du temps

t0 t1 temps

Probabilité de

défaillance à t1

Fiabilité dépendante

du temps

t0 t1 temps

Probabilité de

défaillance sur [t0,t1]

Pf,i (t1) Pf,c (t0,t1)

Cas d’égalité entre probabilité de défaillance instantanée et cumulée :

décroissance de la fonction d’état-limite G sur l’intervalle d’étude [0,T]

>

11DGA - 20/11/0611Club Cast3M -


L’approche par taux de franchissements

G(t,Xi(t,ω1))

G(t,Xi(t,ω2))

G(t,Xi(t,ω3))

G(t,Xi(t,ω))

0 temps

Franchissement

sortant

Franchissement

rentrant

N+(t1, t2) : nombre de franchissements sortant sur l’intervalle [t1, t2]

1,lim

0

ttNPt

Encadrement de Pf,c [Shinozuka 1964, Bolotin 1981] :

T

ifcfifTt

dttPTPtP0

,,,0

)()0(),0()]([max

>

12DGA - 20/11/0612Club Cast3M -


Méthodologie de la méthode PHI2 (en utilisant FORM)

Approche système (ne nécessite que des outils de calcul de Pf,i) pour

l’évaluation de la probabilité dans la définition du taux de franchissements :

α(t)

Domaine de

défaillance

u2*(t)

u2

u1

u1*(t)

P*(t)

β(t)

0)),(( tuH i

0

α(t+Δτ)

u2*(t+Δτ)

u2

u1

u1*(t+Δτ)

P*(t+Δτ)

β(t+Δτ)

0)),(( tuH i

0

Domaine de

défaillance

)().(),( ttttGG αα

- 1ère analyse

FORM :

- 2ème analyse

FORM :

- Corrélation entre A et B:

=> Evaluation au 1er ordre du

taux de franchissements PHI2

[Renaud & Lemaire 2002] :

tttt

t GG

PHI

,,,2

2

α(t)

Domaine de

défaillance

u2*(t)

u2

u1

u1*(t)

P*(t)

β(t)

0)),(( tuH i

0

α(t+Δτ)

u2*(t+Δτ)

u2

u1

u1*(t+Δτ)

P*(t+Δτ)

β(t+Δτ)

0)),(( tuH i

0

Domaine de

défaillance

Amélioration [Sudret 2005] : tttttPHI'''new,

2 ..

>

13DGA - 20/11/0613Club Cast3M -

Dans la littérature (mécano-fiabiliste) :

Nombreux modèles de propagation de la corrosion

3 – Prise en compte des effets de corrosion en EF NL 2D

[Paik & Thayamballi 2002]

>

14DGA - 20/11/0614Club Cast3M -



Peu de modélisations E.F. prenant en compte les effets de corrosion

(perte d’épaisseur en cas de corrosion généralisée, aspérités si piqures…)

[Paik et al. 2004]


>

15DGA - 20/11/0615Club Cast3M -

Modèles EF difficiles à utiliser dans notre cas : re-maillage de la structure à

chaque pas de temps pour traiter les variations d’épaisseurs =>

approximations numériques dues au transfert d’information entre maillages






>

16DGA - 20/11/0616Club Cast3M -

Approche proposée en EF 2D à comportement non-linéaire :

Modélisation 2D compatible avec de multiples sites de corrosion

Dans un premier temps, utilisation d’un modèle classique d’évolution

temporelle (pas de temps de transition, progression linéaire de la corrosion)

Début de

corrosion

Structure age (years)

Co

rro

sio

n d

ep

th (

mm

)

MgtftMC .,

ans 15 corr. Prof.

corr. Prof.

t

ttf

elliptique champMg

Modèles EF difficiles à utiliser dans notre cas : re-maillage de la structure à

chaque pas de temps pour traiter les variations d’épaisseurs =>

approximations numériques dues au transfert d’information entre maillages






>

17DGA - 20/11/0617Club Cast3M -

ee

S

tMFptMetMF ,..,,


Variation de l’épaisseur par modification de la procédure de résolution Cast3M®

e e

tMFptMF ,.,

e eeSS

tMFpetMFetMF ,.,.,

0

dSfNdVfNdVB stvt

i

tEquation d’équilibre (PPV) =>


>

18DGA - 20/11/0618Club Cast3M -



0

dSfNdVfNdVB stvt

i

t

Processus itératif

EF non-linéaire =>

linéaire-nonnt Comporteme

econvergenc deon Accélérati

fuKe

ee

S

tMFptMetMF ,..,,

e e

tMFptMF ,.,

e eeSS

tMFpetMFetMF ,.,.,

Equation d’équilibre (PPV) =>


>

19DGA - 20/11/0619Club Cast3M -



0

dSfNdVfNdVB stvt

i

t

S

i

t

i

tdSeBdVB

ee

S

tMFptMetMF ,..,,

e e

tMFptMF ,.,

e eeSS

tMFpetMFetMF ,.,.,

Equation d’équilibre (PPV) =>

Processus itératif

EF non-linéaire =>

linéaire-nonnt Comporteme

econvergenc deon Accélérati

fuKe


>

20DGA - 20/11/0620Club Cast3M -


Implémentation dans Cast3M® :

Epaisseur à un instant donné

Opérateur TIRE

permet de tirer d'un objet de type CHARGEMENT un objet

correspondant au chargement à un instant donné

MgtftMC ., Modélisation de la perte d’épaisseur

Fonction de l’espace et du temps

Opérateur CHAR utilisation d’un objet de type CHARGEMENT

possibilité de superposer plusieurs « couples de fonctions »

Prise en compte de la perte d’épaisseur dans le calcul

Procédures PASAPAS & INCREME

Sauvegarde des informations dans la TABLE de PASAPAS

Forces internes : multiplication du champ de contrainte par

l’épaisseur avant l’utilisation de BSIGMA

>

21DGA - 20/11/0621Club Cast3M -

Modèle mécanique étudié:

Géométrie déterministe : L = 5 mm, l = 2 mm,

a = 0.5 mm, b = 2.5 mm, ec = 0,5 mm

Maillage par EF quadrangulaire à 8 noeuds

Chargement P modélisé par un processus

stochastique (EOLE), moy.=400 MPa, e.t.=5%

Loi de comportement matériau simple : élasto-

plastique à écrouissage isotrope linéaire

Evolution spatiale et temporelle de la corrosion :

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15

Time (years)

f(t)

f(t)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0%

StrainS

tre

ss

(M

Pa

)

MgtftMC .,

ans 15 corr. Prof.

corr. Prof.

t

ttf

elliptique Champ Mg

P

a

b

l

L

ec


>

22DGA - 20/11/0622Club Cast3M -

Exemple de calcul non-linéaire avec variation de l’épaisseur :


>

23DGA - 20/11/0623Club Cast3M -

Pourquoi utiliser Cast3M® :

PHIMECA pilote le calcul EF pour un jeu de variables donné

(variables aléatoires et processus stochastiques)

Modèle mécanique entièrement paramétré

géométrie,

comportement,

chargement,

maillage…

Analyse des résultats

Assurer une discrétisation en espace « constante » dans les

zones fortement sollicitées (points de contrôle pour le maillage)

Assurer une discrétisation en temps compatible avec l’histoire en

temps du chargement (discrétisation en temps « adaptable »)

Possibilité de définir facilement des fonctions de performance

“complexes”


>

24DGA - 20/11/0624Club Cast3M -


Schéma d’implémentation du couplage

Variables aléatoires

Processus stochastiques

Modèle

mécanique

Cosinus directeurs α(t) Indice de fiabilité β(t)

Taux de

franchissements υ(t)

PHIMECA®

Pilotage A.E.F. &

analyse fiabiliste

CASTEM®

Analyse elements

finis (A.E.F.)

Tir

Probabilité de défaillance

cumulée Pf,c

Qualité du

maillage

insuffisante

Critères de

convergences

insuffisants

Données (variables)

Résultats E.F.

>

25DGA - 20/11/0625Club Cast3M -



Modèle

mécanique


Taux de


PHIMECA®

Pilotage A.E.F. &

analyse fiabiliste

CASTEM®

Analyse elements

finis (A.E.F.)

Tir


cumulée Pf,c

Qualité du

maillage

insuffisante

Critères de

convergences

insuffisants


Résultats E.F.


Définition du modèle

mécanique E.F. dont la

réponse durant l’analyse

fiabiliste sera évalué par

Cast3M


>

26DGA - 20/11/0626Club Cast3M -



Modèle

mécanique


Taux de


PHIMECA®

Pilotage A.E.F. &

analyse fiabiliste

CASTEM®

Analyse elements

finis (A.E.F.)

Tir


cumulée Pf,c

Qualité du

maillage

insuffisante

Critères de

convergences

insuffisants


Résultats E.F.


Définition des variables

aléatoires et processus

stochastiques dans

PHIMECA, qui pilote

l’analyse fiabiliste par

couplage direct avec

Cast3M


>

27DGA - 20/11/0627Club Cast3M -



Modèle

mécanique


Taux de


PHIMECA®

Pilotage A.E.F. &

analyse fiabiliste

CASTEM®

Analyse elements

finis (A.E.F.)

Tir


cumulée Pf,c

Qualité du

maillage

insuffisante

Critères de

convergences

insuffisants


Résultats E.F.


Corrélation ρGG inappropriée

=> réévaluation des produits de

l’analyse fiabiliste :

- critères de convergence

plus stricts sur l’algorithme

fiabiliste ?

- meilleur modèle E.F. ?


>

28DGA - 20/11/0628Club Cast3M -



Modèle

mécanique


Taux de


PHIMECA®

Pilotage A.E.F. &

analyse fiabiliste

CASTEM®

Analyse elements

finis (A.E.F.)

Tir


cumulée Pf,c

Qualité du

maillage

insuffisante

Critères de

convergences

insuffisants


Résultats E.F.


Evaluation de la fiabilité

fonction du temps effectuée

par la méthode PHI2


>

29DGA - 20/11/0629Club Cast3M -

),(Sup)(,Plaque

max

MptptM

Fonction de performance Gε associée au scénario :

)()( maxlim tpptG

Conséquence de la décroissance de Gε :

],0[)(),0( ,, TPP ifcf

« la déformation plastique cumulée maximale pmax(t) dépasse

une déformation limite plim=1. 10-2 » avec

Choix d’un scénario de défaillance prenant en compte

le comportement non-linéaire du matériau :


P

a

b

l

L

ec

>

30DGA - 20/11/0630Club Cast3M -

Paramètres des variables aléatoires (distributions gaussiennes):

Cas du chargement aléatoire : 7 variables aléatoires

=> coût calcul d’une analyse fiabiliste ≈ 3h

Cas du chargement stochastique : 21 variables aléatoires

=> coût calcul d’une analyse fiabiliste ≈ 8h


P

a

b

l

L

ec

Type Variable Moy. E.T.

½ petit axe de l’ellipse a (mm) 0.5

½ grand axe de l’ellipse b (mm) 2.5

Profondeur de corrosion max. ec (mm) 0.5

10% Corrosion

Durabilité de la peinture Tc (years) 5 20%

Déf. plastique cumulée limite plim 1.E-2 10% Matériaux

Limite élastique initiale σy (MPa) 400 5%

Chargement aléatoire P (N) 800 5%

Chargement Chargement stochastique Moy. 800 N, E.T. 5%

)( i 0 1

>

31DGA - 20/11/0631Club Cast3M -

Méthodes et paramètres retenus pour les analyses FORM :

Analyses fiabilistes avec l’algorithme d’Abdo-Rackwitz [Abdo &

Rackwitz 1990] associée à une méthode “line-search” de 1er ordre

Critères de convergence : - fiabilité :

- E.F. : norme des forces résiduelles < 10-5

4

01 10)(/)(

xGxG k

3

1 10

kk


Paramètres des variables aléatoires (distributions gaussiennes):

Type Variable Moy. E.T.

½ petit axe de l’ellipse a (mm) 0.5

½ grand axe de l’ellipse b (mm) 2.5

Profondeur de corrosion max. ec (mm) 0.5

10% Corrosion

Durabilité de la peinture Tc (years) 5 20%

Déf. plastique cumulée limite plim 1.E-2 10% Matériaux

Limite élastique initiale σy (MPa) 400 5%

Chargement aléatoire P (N) 800 5%

Chargement Chargement stochastique Moy. 800 N, E.T. 5%

)( i 0 1

>

32DGA - 20/11/0632Club Cast3M -

Comparaison des chargements aléatoires et stochastiques :

Adéquation des évolutions avec l’intuition physique :

- plus on est proche de la fin de la protection de la peinture, moins la façon de

prendre en compte le chargement a une influence

- Hétérogénéités induites par la corrosion augmentées par les pics de chargement

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

9 11 13 15

Time (years)

Ins

tan

teo

us

pro

ba

bilit

y o

f fa

ilu

re

Pfi (T stochastic)

Pfi (T random)

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

9 10 11 12 13 14 15

Time (years)

Cu

mu

lati

ve

pro

ba

bilit

y o

f fa

ilu

re

Pfc (T stochastic)

Pfc (T random)


>

33DGA - 20/11/0633Club Cast3M -

Sur-évaluation d’environ 40% de Pf,c par rapport à Pf,i: Précision insuffisante

de la méthode ?

1,0E-09

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

8 9 10 11 12 13 14 15

Time (years)

Pro

bab

ilit

y o

f fa

ilu

re

Pfc (T stochastic)

Pfi (T stochastic)


Résultats obtenus avec chargement stochastique :

>

34DGA - 20/11/0634Club Cast3M -

Problèmes numériques induits par l’élasto-plasticité :

— char. constant 450MPa, — char. constant 400MPa, — trajectoire char. stochastique (moy 400MPa)


>

35DGA - 20/11/0635Club Cast3M -

5 – Conclusions & perspectives

Mise en oeuvre du couplage facilitée par l’utilisation de Cast3M®

Validation d’une nouvelle approche permettant de prendre en compte les

effets en temps et en espace de la corrosion, dans le cadre d’un couplage

entre fiabilité fonction du temps et éléments finis non-linéaires :

Re-maillage structure non nécessaire

Influence chargement stochastique / chargement aléatoire

Amélioration de la méthode en cours:

Modélisation stochastique plus réaliste des paramètres d’évolution

de la corrosion

Diminution du coût calcul

=> en adaptant la discrétisation temporelle à l’évolution de la

corrosion

=> en mettant à jour la matrice de rigidité en fonction de l’épaisseur

Prise en compte de multiples sites de corrosion…

>

36DGA - 20/11/0636Club Cast3M -

A1 – Méthode EOLE

Principe de discrétisation d’un processus stochastique par EOLE

(Expansion Optimal Linear Estimation, [Li & Der Kiureghian 1995] )

Intervalle de temps [0,T] discrétisé en N

points ti,i=1..N

mX: moyenne du processus

σX: écart-type

ξi(ω): variables aléatoires gaussiennes

centrées réduites indépendantes

(λi,Φi): valeurs propres et vecteurs propres

de la matrice de corrélation C

Ct,ti(t) = ρXX(t,ti),i=1..N

r: ordre d’expansion (r ≤ N)

r

i

tt

T

i

i

i

XX tCttmtXi

1

, )()(

).()(),(

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15

Time (years)

Lo

ad

(N

)

Mean of the process

A possible trajectory

>

37DGA - 20/11/0637Club Cast3M -

Résultats obtenus avec chargement aléatoire :

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

9 11 13 15

Time (years)

Ou

tcro

ss

ing

ra

te (

ran

do

m lo

ad

)

Nu (Old PHI2)

Nu (New PHI2)

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

9 11 13 15

Time (years)

Pro

ba

bilit

y o

f fa

ilu

re (

ran

do

m lo

ad

)

Pfc (Old PHI2)

Pfc (New PHI2)

Pfi

A2 – Couplage mécano-fiabiliste dépendant du temps

>

38DGA - 20/11/0638Club Cast3M -

Sur-évaluation de la probabilité de défaillance cumulée avec l’ancienne

méthode PHI2

tPtPmoy

tPtPterr

ifcf

ifcfPf

,,

,,

;

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

7 9 11 13 15

Time (years)

Re

lati

ve

err

or

(ra

nd

om

lo

ad

)

Old PHI2

New PHI2

A2 – Couplage mécano-fiabiliste dépendant du temps

Résultats obtenus avec chargement aléatoire :

>

39DGA - 20/11/0639Club Cast3M -



>

40DGA - 20/11/0640Club Cast3M -



>

41DGA - 20/11/0641Club Cast3M -



>

42DGA - 20/11/0642Club Cast3M -



>

43DGA - 20/11/0643Club Cast3M -



>

44DGA - 20/11/0644Club Cast3M -



>

45DGA - 20/11/0645Club Cast3M -



>

46DGA - 20/11/0646Club Cast3M -




>

47DGA - 20/11/0647Club Cast3M -




>

48DGA - 20/11/0648Club Cast3M -




>

49DGA - 20/11/0649Club Cast3M -




>

50DGA - 20/11/0650Club Cast3M -




>

51DGA - 20/11/0651Club Cast3M -




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