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Apprendre à partir de la RESOLUTION DE PROBLEMES. A quelles conditions ?. Les enjeux vus par le socle. Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul . - PowerPoint PPT Presentation
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Roland Charnay
1A QUELLES CONDITIONS ?
APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES
Septembre 2012
Roland Charnay 2
LES ENJEUX VUS PAR LE SOCLEIl est nécessaire de créer aussi tôt que possible à
l'école primaire des automatismes en calcul.Il faut aussi comprendre des concepts et des
techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser.
La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.
Septembre 2012
Roland Charnay 3
LA RÉSOLUTION DE PROBLEMESDes faiblesses reconnues (enquête PISA)
"Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants".
Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles".
Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006
Septembre 2012
Roland Charnay 4
UN PROBLÈME CLASSIQUEEvaluation Sixième
Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.a) Combien y a-t-il de pages complètes ?b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?
Il y a ……… pages complètes. 54 %Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %
Septembre 2012
Roland Charnay 5
DE NOMBREUSES PROCÉDURES POSSIBLES
• Division par 6• Division (étudiée depuis le CE2)
• Encadrement par deux multiples de 6• Table de multiplication (étudiée depuis le CE2)
• Addition ou soustraction de 6 en 6• Addition ou soustraction (étudiée depuis le CE1)
• Schématisation des pages et des photos• Dénombrement (étudiée depuis le CP)
Septembre 2012
50 photos6 photos par page
Roland Charnay 6
LE CONSTAT ET LA QUESTION
Réussite par division ou multiplication Très peu de solutions originales Beaucoup de calculs sans signification
Pourquoi les élèves ne pensent pas, n’osent pas ou ne se croient pas autorisés à mobiliser des solutions originales ?
Septembre 2012
Roland Charnay 7
PISTES D’EXPLICATION
Septembre 2012
Connaissances- en lecture- sur le contexte- mathématiques- sens des notions- raisonnement- calcul
Connaissances- sur ce qui est attendu- sur ce qui est permis- sur ce qui marche souvent- sur "l'accueil" des erreurs
Roland Charnay 8
A LA BONNE PLACE
Septembre 2012
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.
367 582 309
300 400 500 600
300 309 400 367 500 582 600
Roland Charnay 9Septembre 2012
APPRENDRE À CHERCHERCHERCHER POUR APPRENDRE
DEUX P ISTES DE TRAVAIL
Roland Charnay 10Septembre 2012
APPRENDRE A CHERCHER
Roland Charnay 11
LES DEUX SENS DU MOT CHERCHER
Deux exemples
150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes.
Combien y a-t-il d’équipes ?
150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?
Septembre 2012
Roland Charnay 12
LES DEUX SENS DU MOT CHERCHER
Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées
Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur
Septembre 2012
Roland Charnay 13Septembre 2012
CHERCHER POUR APPRENDRE
Roland Charnay 14Septembre 2012
LES NOMBRES POUR GARDER LA MÉMOIRE DES QUANTITÉS
UN EXEMPLE DE LA PS AU CP…
Roland Charnay 15
UNE SITUATION DE RÉFÉRENCE
Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille.
Septembre 2012
Roland Charnay 16
COLLECTIONS ASSEZ NOMBREUSES ET PROCHESPlacer les bouchons : respect de la contrainte
Septembre 2012
- Activité pratique (possibilité de placer un bouchon à côté de chaque bouteille)
- Pas d’activité mathématique
Roland Charnay 17
JUSQU'À 10 BOUTEILLES, BOUCHONS PROCHESPréparer les bouchons sur un plateau avant de les placer
Vérifier ensuite par un placement effectif
Septembre 2012
- Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités
- Procédures- Correspondance un à un ou par paquets- Utilisation du nombre (globalement pour 3
bouteilles, par comptage pour plus de 4 ou 5 bouteilles)
- Variable : bouteilles déplaçables ou pas
Roland Charnay 18
COLLECTIONS ÉLOIGNÉESAller chercher les bouchons en plusieurs, puis en une seule
foisVérifier ensuite par un placement effectif
Septembre 2012
- Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités
- Procédures- Utilisation d’une quantité intermédiaire (dessin,
doigts…)- Utilisation du nombre (cf. précédemment)
- Variable : nombre d’essais autorisés
Roland Charnay 19
JUSTE CE QU'IL FAUT DE GOMMETTES POUR RÉPARER LE ROBOTUn problème de référence à l’articulation GS-CP (D’après Cap maths CP)
Septembre 2012
• Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles)
• Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot
• Les demander oralement• Les commander par écrit
Roland Charnay 20
ANTICIPER / VALIDER : UN ASPECT ESSENTIEL DE CE TYPE DE SITUATION
Septembre 2012
RéelIl favorise
l’appropriation de la situation et du
problème
Anticipation
Incite à l'expérience mentale
Il Permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des procédures
Roland Charnay 21Septembre 2012
COMPLÉMENT ET SOUSTRACTION
UN EXEMPLE AU CE1-CE2
Roland Charnay 22
DES PROBLÈMES DE DIFFICULTÉ DIFFÉRENTE
Un problème réussi précocementPierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques.
Combien en a-t-il maintenant ?
Septembre 2012
Deux problèmes réussis plus tardivementPierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis.
Combien a-t-il d’images de tennis ?
Pierre a reçu 14 images de Jacques. Il en en a maintenant 23. Combien en avait-il avant ?
Roland Charnay 23Septembre 2012
Un problème mal réussi, même tardivementPierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à
l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ?
Roland Charnay 24
LA DÉLICATE QUESTION DU « SENS » DES OPÉRATIONS(exemple de la soustraction)
Septembre 2012
Schématiquement, 3 niveaux de sens
Sens « primitif »Résultat d’une
diminution
Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ?
Sens « appris »
Complément, état avant
augmentation, valeur d’une
comparaison…Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il d’images de tennis ?
Raisonnement
Autres problèmesPierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ?
Roland Charnay 25
LE PASSAGE À LA 2e CATÉGORIE DE SENS SE HEURTE À UN OBSTACLE
• La soustraction est d’abord pensée comme donnant la valeur d’un reste après une diminution.• Une situation de type « complément » est
d’abord reliée à une addition « à trou ».• Comment aider les élèves à accepter et
comprendre qu’un problème de type « recherche d’un complément » peut se résoudre à l’aide d’une soustraction ?
Septembre 2012
Roland Charnay 26
LE PROBLÈME CHOISICombien de points cachés ?
Septembre 2012
MATERIEL DE L'ENSEIGNANT
une feuille de points
(nombre de points connu des élèves)
une feuille cache
Roland Charnay 27
LA QUESTION
Septembre 2012
34 points sur la feuille
Combien de points sont cachés ?
Roland Charnay 28
DÉBAT ET CONFLIT ÉVENTUEL ENTRE ÉLÈVES
A propos de réponses et de procédures différentes, par exemple : 40, obtenu par addition (34 + 6) 28, obtenu par complément (dessin,
surcomptage, addition à trou) 28, obtenu par soustraction Autres réponses, à cause d’erreurs de calcul
A propos d’arguments 40 c’est impossible : il ne peut pas y en avoir
plus de 34 ! Pourquoi tu soustrais, on en a pas enlevé 6…
Septembre 2012
Roland Charnay 29
CONTRADICTION ET CONFLIT AVEC LA RÉALITÉ
Si on compte les jetons cachés après avoir enlevé le cache, on trouve 28 jetons, pas 40 !
La réponse par addition ne convient donc pas.
Mais pourquoi, la soustraction fournit-elle la bonne réponse ?
Septembre 2012
Roland Charnay 30
POURQUOI LA SOUSTRACTION ?
Nouveau problème : Feuille avec 34 points.
11 points visibles.
Une question avant comptage des points cachés :
Comment faire pour n’avoir sur la feuille que les points cachés ?
Septembre 2012
Roland Charnay 31
D’UNE QUESTION A UNE AUTRESuggestions :
Il faut cacher ceux qu’on voitIl faut couper la partie visible…
Septembre 2012
Question :Il y avait 34 points sur la feuille.
Pour savoir combien sont cachés, on supprime ceux qui sont visibles. Quel calcul permet de connaître ce nombre de points ?
Réponse : On a enlevé 11 points.Il faut calculé 34 -11….
Roland Charnay 32
UNE SYNTHÈSE NÉCESSAIRE
Septembre 2012
On cherche ce qui manque à 11 pour avoir 34. ce qu’il faut ajouter à 11 pour avoir 34 ce qui conduit à calculer 11 + … = 34
On peut remplacer la question initiale par une autre question
Pour savoir combien il y a de points cachés, on peut imaginer qu’on enlève ceux qui sont visibles
ce qui conduit à calculer 34 – 11 =
La situation des points cachés pourra être utilisée comme situation de référence pour d’autres problèmes de recherche de complément.
Roland Charnay 33Septembre 2012
CARACTERISTIQUES DE L’APPRENTISSAGE À PARTIR DE PROBLÈMES
Un apprentissage marqué par 4 interact ions
Roland Charnay 34
CONFRONTATION ELÈVE PROBLÈME
Un problème qui permet à l’élève d’investir ses connaissances anciennes.
Un problème qui résiste à ces connaissances, car insuffisantes ou partielles.
Une situation qui est « répondante » : l’élève peut vérifier la validité de ses procédures ou de ses réponses.
Une situation qui est « explicative » : l’élève peut s’appuyer sur la situation pour comprendre la nouvelle connaissance.
Une situation qui est « exemplaire » : elle peut être utilisée comme référence pour traiter d’autres problèmes.
Septembre 2012
Roland Charnay 35
CONFRONTATION ELÈVE ELEVES
La mise en œuvre permet la coopération des élèves pour élaborer une réponse.
La mise en œuvre permet la confrontation, le débat, l’argumentation entre élèves à propos des réponses et des procédures.
Septembre 2012
Roland Charnay 36
CONFRONTATION ELÈVE ENSEIGNANT
Septembre 2012
L’enseignant intervient peu pendant la phase de résolution.
L’enseignant gère les échanges, les focalise sur les points essentiels.
L’enseignant synthétise les nouvelles connaissances, les reformule, les exemplifie, apporte des éléments de langage (vocabulaire, schémas…).
L’enseignant met en évidence ce qui peut être généralisé, utile pour résoudre d’autres problèmes.
Roland Charnay 37
CONFRONTATION ELÈVE AUTRES SITUATIONS
Exercices d’entraînement, de consolidation.Autres problèmes pour conforter le recours à
la nouvelle connaissance.Evaluation.
Septembre 2012
Roland Charnay 38
EXEMPLES D’ENTRAÎNEMENT ET DE CONSOLIDATION
Septembre 2012
Roland Charnay 39
RENFORCEMENT PAR LE CALCUL MENTALEquivalence complément-soustraction
Septembre 2012
2 pour aller à 47 plutôt soustraction
36 pour aller à 40 plutôt complément
20 pour aller à 50 plutôt ?
52 – 4 plutôt soustraction
61 – 58 plutôt complément
60 – 35 plutôt ?
Roland Charnay 40Septembre 2012
UN EXEMPLE AU CM1-CM2Les nombres décimaux
Roland Charnay 41
UN APPRENTISSAGE DIFFICILE(exemples d’erreurs)
Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6
Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième… Dans 234,57 3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des
dixièmes
Calcul 2,3 x 10 = 20,3 ou 2,30 ou 20,30 entrée en Sixième : 64% de
réussite 35,2 x 100 = 3500,2 ou 3500,200 ou 352 entrée en Sixième :
47% de réussite
Septembre 2012
Roland Charnay 42
DIFFICULTÉS, OBSTACLES La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants" Symétrie due à une mauvaise interprétation de la virgule
Elle est destinée à signaler l’unité (pas à séparer le nombre en 2 parties) Une notation comme 234567 assurerait la symétrie de dizaine (10 unités)
et dixième (1/10 d’unité), ce que la virgule masque 234,567234567234,567
Idée de "nombre" suivant valide pour les entiers ne l’est pas pour les décimaux
Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes
Usage social : 3,25 € pour 3€ 25cSeptembre 2012
Roland Charnay 43
LE CAS DE LA MULTIPLICATION PAR 10, 100…
Septembre 2012
Les élèves cherchent les réponses par deux.Éventuellement, un groupe témoin doit réaliser la réponse avec le matériel.
Roland Charnay 44
RECENSEMENT DES RÉPONSES ET DÉBAT
Réponses erronées utilisant la « règle des 0 »0,40 argument : c’est 0,4 !00,4 argument : les 0 à gauche ne comptent pas. c’est 0,4 !0,04 argument : c’est plus petit que 0,4, ce n’est donc pas 0,4
pris 10 fois !00,40 argument : c’est 0,4 !
Réponses correctes obtenues par addition répétée de 0,4 (dix fois)
Réponses correctes obtenues par raisonnement0,4 c’est 4 dixièmes0,4 x 10, c’est 10 fois 4 dixièmes, donc 40 dixièmes10 dixièmes, c’est 1 donc 40 dixièmes c’est 4
Septembre 2012
0,4 x 10
Roland Charnay 45
VERS L’APPRENTISSAGE(mise en commun)
Inventaire des réponses et procédures.Les réponses erronées sont démenties
par des arguments par une procédure reconnue comme imparable : l’addition répétée (mais
longue à mettre en oeuvre, donc il faut en trouver une autre) Par la réponse obtenue à l’aide du matériel qui illustre la procédure « par
raisonnement »
Septembre 2012
0,4 x 10
0,4 ou 4 dixièmes
Un dixième pris 10 fois
Roland Charnay 46
EN SYNTHÈSEPremier élément de synthèse
La « règle des 0 » ne s’applique pas avec les nombres décimaux.Deuxième élément de synthèse
Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur dix fois plus grande. (ce qui est vrai aussi pour les nombres entiers !)
Illustration du raisonnement à l’aide du matériel (pour la multiplication par 100, le matériel ne pourra être qu’évoqué)
Troisième élément de synthèseLe raisonnement traduit dans le tableau de numération.
Septembre 2012
La virgule ne change pas de place !!!
milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes
millièmes
004
4
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