Apresentação do PowerPoint - professortenani.com.brprofessortenani.com.br/wp-content/uploads/2014/02/Professor-Tenani... · OBJETIVOS • Aprender como números reais e complexos

Capítulo 02Princípios

Básicos do MATLAB

OBJETIVOS

• Aprender como números reais e complexos são atribuídos a variáveis,

• Aprender como atribuir valores a vetores e a matrizes utilizando a atribuiçãosimples, o operador dois-pontos e as funções linspace e logspace.

• Entender as regras de prioridade para construir expressões matemáticas.

• Compreender o que são funções nativas e aprender mais sobre elas com osrecursos de ajuda do MATLAB

• Aprender como usar vetores para gerar um gráfico simples com base em umaequação.

Professor Tenani wwww.professortenani.com.br

Objetivo: Estimar o coeficiente de arraste medindo avelocidade final de vários saltadores de massa conhecida.

2dcdvg v

dt m

9,81 /g m s

VOCÊ TEM UM PROBLEMABUNGEE JUMPING

20 dt

cg v

m

t

d

gmv

c


VOCÊ TEM UM PROBLEMA

t

d

gmv

c

No item anterior vimos que a velocidade final pode ser Expressa na forma:

Isolando o coeficiente de arrasto, temos:

2d

t

mgc

v

Massa e velocidades terminais para vários saltadores


O AMBIENTE MATLAB


O AMBIENTE MATLAB

O MATLAB usa 3 tipos de janelas principais.

• Command Window ( Janela de comandos)Usada para entrar comandos e dados.

• Graphics window(s) (Janela Gráfica)Usada para mostrar gráficos.

• Edit window (Janela de Edição)

Usada para criar e editar arquivos M (programas)


Modo de Calculadora

• A janela de comandos pode ser usada como umacalculadora para escrever comandos linha porlinha.

>> 55 - 16

ans = 39

• Sempre que um calculo é feito, o MATLAB atribui o resultado para a variável ans>> ans + 11

ans = 50Professor Tenani wwww.professortenani.com.br

Variáveis MATLAB

• A variável ans pode ser útil em cálculos rápidos, mas ela é pouco útil na utilização de programas.

• MATLAB permite atribuir valores para variáveis definidas pelo usuário.

• MATLAB pode armazenar valores individuais e matrizes, sendo que esses valores podem ser numéricos ou texto.

• MATLAB não exige que você pré-inicialize variáveis. Se ela não existe, será criada para você.


Escalares

• Para atribuir um valor para uma variávelsimplesmente digite o nome da variável, o sinalde = seguido do valor:

>> a = 4

a = 4

• Observe que a nome da variável deve começarcom uma letra.

• Observe que após a atribuição, o nome e o valorda variável são impressos na tela para confirmaro que foi feito.


Escalares

• Você pode suprimir essa mensagem finalizando a linha de comando com um ponto e vírgula (;).

• Você pode perguntar ao MATLAB para mostrar valores armazenados em uma variável digitando seu nome:>> a

a = 4


IMPORTANTÍSSIMO

O MATLAB é sensível a maiúsculas e minúsculas. Isto é, a variável a não é o mesmo que a variável A.

>> a = 4;

a = 4

>> A

Undefined function or variable 'A'.

Did you mean:

>> a


Escalares

• É possível digitar vários comandos na mesma linha separando-os com vírgula ou com ponto e vírgula.

>> a=4,A=6;x=1;

a = 4


Números Complexos

• É possível atribuir valores complexos às variáveis usandoa variável i (ou j) para representar a unidadeimaginária.

>> x=2+i*4x = 2.000000000000000 + 4.000000000000000i

• Existem diversas variáveis pré-definidas, por exemplo: pi>> pians = 3.141592653589793


Formato de Exibição

• Você pode solicitar ao MATLAB para retornar os valoresusando vários formatos diferentes usando o comandoformat.

Exemplos>> format short; pi

ans =

3.1416

>> format long; pi

ans =

3.14159265358979

>> format short eng; pi

ans =

3.1416e+000

>> pi*10000

ans =

31.4159e+003


Arranjos, Vetores e Matrizes

• Um arranjo é uma coleção de valoresrepresentados por um único nome de variável.Podem ser de dois tipos:

• Arranjos de uma dimensão são chamadosvetores.

• Arranjos bidimensionais são chamados matrizes.

• Para se inserir arranjos : usa-se colchetes

• Entradas em uma linha são separadas porespaço.

• Linhas são separadas por ponto e vírgula


Exemplos de vetores>> a = [1 2 3 4 5 ]

a =

1 2 3 4 5

>> b = [2;4;6;8;10]

b =

2

4

6

8

10

• Matriz transposta

>> b = [2 4 6 8 10]’


Exemplo de matrizes

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Também é possível utilizar a tecla ENTER para separar as linhas.

A = [1 2 3

4 5 6

7 8 9]


Exemplo de matrizes

>>A = [[1 2 3]’ [4 5 6]’ [7 8 9]’]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Finalmente, a mesma matriz pode ser construída concatenando ( juntando) os vetores que representam cada coluna.


Comando who

• O comando who irá mostrar uma lista de todas asvariáveis correntes.

>> who

Your variables are:

A a ans b x


Comando who - Detalhes

>> whos

Name Size Bytes Class Attributes

A 1x1 8 double

a 1x5 40 double

ans 5x1 40 double

b 5x1 40 double

x 1x1 16 double complex


Acessando elementos

• Elementos individuais de uma matrizes podem ser lidos ou definidos individualmente usando o índice de localização de linha e coluna.

>> b= [2;4;6;8;10]b =

2

4

6

8

10

>> b(4)

• ans = 8


Acessando elementos

>> A = [[1 2 3]' [4 5 6]' [7 8 9]']

A =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

>> A(2,3)

ans = 8

>> A(3,3)

ans = 9

>> A(4,3)

Index exceeds matrix dimensions.


Criação de Matrizes - funções

• Existem algumas funções que auxiliam a criação de matrizes:– zeros(r,c) cria uma matrizes de r linhas e c

colunas contendo apenas zeros

– zeros(n) cria uma matrizes de n linhas e n

colunas contend zeros

– ones(r,c) cria uma matrizes de r linhas e c

colunas contendo apenas 1’s

– ones(n) cria uma matrizes de n linhas e n

colunas contendo apenas 1’s.


Exercícios em Sala01) Determine o tamanho das seguintes matrizes. Verifique suas respostas criando as

matrizes no MATLAB e utilizando o comando whos se necessário. Observe que as

últimas matrizes podem depender das definições de matrizes definidas

anteriormente neste exercício.

a. [10 20 10 20]u

b. [ 1;20;3]v

c. [1 0 9;2 2 0;1 2 3]w

d. [ ' ]x u v

e. (3,3) 7y

f. [ 4,1 4,1 1,4 ']z zeros ones zeros

g. 4 2,1v x

02) Qual o valor de 2,1w ?

03) Qual o valor de 2,1x ?

04) Qual o valor de 2,1y ?

05) Qual o valor de 3v após a execução da declaração (g)? Professor Tenani wwww.professortenani.com.br

Operador : (dois pontos)

• O operador dois-pontos (:) é útil em vários contextos.

• Se dois-pontos são usados para separar dois números, o MATLAB gera um conjunto de números entre eles usando um incremento unitário.

>> t = 1:5

t = 1 2 3 4 5


Operador : ( dois pontos)

• Se dois-pontos são usados para separar três números, o MATLAB gera um conjunto de números entre o primeiro e o terceiro utilizando um incremento igual ao segundo número.

>> t = 1:0.5:3

t = 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000

>> t = 1:0.7:3

t = 1.0000 1.7000 2.4000



• O Incremento também pode ser negativo

>> t = 10:-1:5

t = 10 9 8 7 6 5

• Qual o resultado do comando abaixo:

>> t=10:-1:15



• O operador : também serve para selecionarmos elementos de arranjos

A = 1 4 7

2 5 8

3 6 9

>> A(2,:)

ans = 2 5 8


Operador : ( dois pontos)O operador : também serve para selecionarmos elementos de arranjos

>> t = 10 9 8 7 6 5

>> t(2:4)

ans = 9 8 7


Comandos – linspace • O comando é utilizado para criação de um vetor linha com um

número específico de pontos entre dois extremos.

linspace(x1, x2, n)

• Irá criar um vetor de n pontos entre x1 e x2

>>linspace(0, 1, 6)

ans = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000

• Se o n é omitido, são criados 100 pontos.

• Para gerar um vetor coluna podemos usar:

>> linspace(0,1,6)'


Comandos – logspace• O comando é utilizado para criação de um vetor linha de pontos

logaritmicamente espaçados.

logspace(x1, x2, n)

que gera n pontos logaritmicamente espaçados entre e

>>logspace(-1, 2, 4)

ans =0.1000 1.0000 10.0000 100.0000

>> logspace(1,2,4)

ans =

10.0000 21.5443 46.4159 100.0000

• Se o n é omitido, são criados 50 pontos.

110x 210x


Caracteres (Strings) & Reticências• Conteúdo alfanumérico (string) é envolto por apóstrofe(')

>> f = ‘Gilberto ';

>> s = ‘Tenani‘

• Unindo duas strings

>> x = [f s]

x = Gilberto Tenani

• Podemos usar reticências (...) para continuar linhas muito longas

>> a = [1 2 3 4 5 ...

6 7 8]

a = 1 2 3 4 5 6 7 8


Caracteres (Strings) & Reticências• Não podemos usar reticências para continuar uma string. Mas

podemos juntar pedações de strings usando reticências

>> texto = [‘Qualquer idiota pode fazer uma regra,' ...

' e qualquer idiota a seguirá']

texto = Qualquer idiota pode fazer uma regra, e qualquer

idiota a seguirá


Operações Matemáticas

• Operações matemáticas em MATLAB podem serrealizadas com escalares ou matrizes.

• O operadores mais comuns são:

^ Potenciação 4^2 = 8

- Negação -8 = -8

*

/

Multiplicação e

Divisão

2*pi = 6.2832

pi/4 = 0.7854

\ Divisão à

esquerda

6\2 = 0.3333

+

-

Adição e

Subtração

3+5 = 8

3-5 = -2


Ordem das operações

• A ordem das operações é definida primeiro pelo parênteses, e então pela ordem padrão:

y = -4 ^ 2 resulta y = -16

desde que a potenciação acontece primeiro, mas

y = (-4) ^ 2 resulta y = 16


Números Complexos• Todas as operações vistas até agora podem ser feitas

com números complexos.

>> x = 2+i*4; (ou 2+4i, ou 2+j*4, ou 2+4j)

>> y = 16;

>> 3 * xans = 6.0000 +12.0000i

>> x+yans = 18.0000 + 4.0000i

>> x'ans = 2.0000 - 4.0000i


Adição e Subtração de Arranjos>> A=[8 5 4]; B= [10 2 7];

>> C = A + B

C = 18 7 11

>> A =[5 -3 8; 9 2 10]; B =[10 7 4; -11 15 1];

>> C = A + B

C = 15 4 12

-2 17 11

>> C - 8

ans =

7 -4 4

-10 9 3


Multiplicação de Arranjos (*)• Se A e B são duas matrizes, a operação A*B tem sentido se, e

somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao númerode linhas da matriz B. O resultado é uma matriz que possui omesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas deB.

>> A = [1 4 3; 2 6 1; 5 2 8];

>> B = [5 4; 1 3; 2 6];

>> A*B

ans =

15 34

18 32

43 74

>> B*A

Error using *

Inner matrix dimensions must agree.


Multiplicação de Arranjos (^)• Se A for uma matriz quadrada podemos usar o símbolo ^ para

multiplicar A por ela mesmo um certo número de vezes.

• Para que essa operação tenha sentido é necessário que A sejauma matriz quadrada.

>> A = [1 2; -2 3];

>> A^2

ans =

-3 8

-8 5


Multiplicação de Arranjos (^)• Se A for uma matriz quadrada podemos usar o símbolo ^ para

multiplicar A por ela mesmo um certo número de vezes.

• Para que essa operação tenha sentido é necessário que A sejauma matriz quadrada.

>> A = [1 2; -2 3];

>> A^3

ans =

-19 18

-18 -1

>> A*A*A

ans =

-19 18

-18 -1


Multiplicação de Arranjos (*)• Dois vetores podem ser multiplicados um pelo outro somente se

possuírem o mesmo número de elementos e se um dos vetoresfor um arranjo linha e o outro vetor um arranjo coluna. Oresultado é um arranjo 1x1, ou seja, um escalar. Por isso esseproduto também é chamado de produto escalar.

>> L = [2 5 1]

L = 2 5 1

>> C = [3; 1; 4]

C =

3

1

4

>> L*C

ans = 15


Multiplicação de Arranjos (*)• O MATLAB possui uma função nativa dot(a,b) que calcula o

produto escalar de dois vetores independente de serem linha oucoluna.

>> C*L

ans =

6 15 3

2 5 1

8 20 4

>> dot(C,L)

ans = 15


Operações elemento por elemento

• Quando usamos * e ^ em arranjos, as operações matemáticasseguem rigorosamente as regras da álgebra linear.

• As vezes, nós queremos realizar um cálculo item por item em uma matriz ou vetor.

• MATLAB define .* e .^ (observe os pontos) como umamultiplicação ou potenciação elemento por elemento. ( Ambas asmatrizes devem ser de mesma dimensão ou uma delas deve ser1x1)


Operações elemento por elemento>> A = [2 6 3; 5 8 4];

>> B = [1 4 10;3 2 7];

>> A.*B

ans =

2 24 30

15 16 28

>> A.^3

ans =

8 216 27

125 512 64

>> A*B

Error using *

Inner matrix dimensions must agree.Professor Tenani wwww.professortenani.com.br

Operações elemento por elemento>> X=[-2:2:10]

X = -2 0 2 4 6 8 10

>> Y=X.^2-4*X

Y = 12 0 -4 0 12 32 60

>> Z = cos(X)

Z = -0.4161 1.0000 -0.4161 -0.6536 0.9602

-0.1455 -0.8391


Operações elemento por elemento>> Z = [1:2:15]

Z = 1 3 5 7 9 11 13 15

>> Y = (Z.^3+5*Z)./(4*Z.^2-10)

Y =

-1.0000 1.6154 1.6667 2.0323 2.4650

2.9241 3.3964 3.8764


Vetorização>> D = [1 4 9; 16 25 36; 49 64 81]

D =

1 4 9

16 25 36

49 64 81

>> R = sqrt(D)

R =

1 2 3

4 5 6

7 8 9Professor Tenani wwww.professortenani.com.br

Nossa equação tanh d

d

gcgmv t t

c m

>> t=[0:2:20]';

>> g=9.81; m = 68.1; cd = 0.25;

>> v= sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t)

v =

0

18.7292

33.1118

42.0762

46.9575

49.4214

50.6175

51.1871

51.4560

51.5823

51.6416


Funções Nativas Para Arranjos• Existem várias funções nativas que você pode usar para cálculos

envolvendo arranjos.

>> A = [ 5 9 2 4]

A = 5 9 2 4

>> mean(A)

ans = 5

• Se A é um vetor, mean(A)retorna o valor médio dos elementos do vetor.


Funções Nativas Para Arranjos


Funções Nativas Para Arranjos


Pedindo Ajuda

• Existem várias funções nativas que você pode usar para criar e manipular dados.

• O comando help pode fornecer informação a respeito de uma função específica ou uma classe help elmat irá listatodas as funções elementares que trabalham com

matrizes.

help elfun listará todas funções matemáticas elementares, incluindo trigonometria, exponencial, complexos e outras.

• Você pode usar o comando lookfor para procurer nos arquivos de ajuda ocorrências de texto e pode ser útil se você não sabe o nome de uma função.


Gráficos

• MATLAB tem um grande arsenal de funções nativas que manipulam gráficos.

• Duas dessas funções são plot (para gráficos 2-D ) e plot3 (para gráficos 3-D).

• Em adição, você pode fazer anotações no gráfico usando comandos como title, xlabel, ylabel, e legend.


Exemplo>> t=[0:2:20]';

>> g=9.81; m = 68.1; cd = 0.25;

>> v= sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t);

>> plot(t,v)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60


Exemplo de anotações>> grid on;

>> title ('Gráfico de v por t');

>> xlabel('Valores de x');

>> ylabel('Valores de y');

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60Gráfico de v por t

Valores de x

Valo

res d

e y

Comando plot• Caso o usuário decida plotar cada ponto com um

símbolo pode incluir um especificador delimitado poraspas simples no comando plot.

>> t=[0:2:20]'; g=9.81; m = 68.1; cd = 0.25;

>> v= sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t);

>> plot(t,v,'o')

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

Comando plot• Também é possível controlar a largura da linha, cor, tipo

de marcador>> plot(t,v,'--dc', 'LineWidth',2,'MarkerSize',10,...

'MarkerEdgeColor', 'k', 'MarkerFaceColor','m');

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

Comando plotCORES

Azul b

Verde g

Vermelho r

Ciano c

Magenta m

Amarelo y

Preto K

Branco w

Tipos de linha

Sólida -

Pontilhada :

Traço-ponto -.

Tracejada --

Símbolos

Ponto .

Círculo o

Símbolo X x

Mais +

Estrela *

Quadrado s

Diamante d


Comando plot• O MATLAB permite exibir mais de um conjunto de dados

no mesmo gráfico.plot(t,v, t,2*v,'o');

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

20

40

60

80

100

120

Comando plot• Os gráficos anteriores são apagados toda vez que um

novo comando plot é executado.

• O comando hold on é usado para manter o gráficoanterior.

• O comando hold off retorna ao modo padrão.

>> plot(t,v)

>> hold on

>> plot (t,v,'o');


Comando subplot(m,n,p)• Permite dividir a janela do gráfico em subjanelas.

• Divide a janela do gráfico em uma matriz mxn eseleciona o p-ésimo gráfico como corrente.

>> subplot(1,2,1)

>> subplot(1,2,1);

>> plot(t,v);

>> axis square;

>> title 'gráfico 01';

>> subplot(1,2,2);

>> plot(t,v,'o');

>> title ('Outro gráfico');

0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

60gráfico 01

0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

60Outro gráfico


Comando plot3(x,y,z)• Permite gerar gráficos tridimensionais.

>> t=0:pi/50:10*pi;

>> plot3(sin(t),cos(t),t);

>> grid on;

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

10

20

30

40



t

d

gmv

c

No item anterior vimos que a velocidade final pode ser Expressa na forma:

Isolando o coeficiente de arrasto, temos:

2d

t

mgc

v

Massa e velocidades terminais para vários saltadores



2d

t

mgc

v

>> m=[83.6 60.2 72.1 91.1 92.9 65.3 80.9];>> vt=[53.4 48.5 50.9 55.7 54 47.7 51.1];>> g=9.81;>> cd = g*m./vt.^2

cd = 0.2876 0.2511 0.2730 0.2881 0.3125 0.2815 0.3039

>> cd_medio = mean(cd)

cd_medio = 0.2854

>> cd_minimo=min(cd)

cd_minimo = 0.2511

>> cd_max = max(cd)cd_max = 0.3125


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