CAPÍTULO I Preliminares - MATEMATICANDO · Se a Análise surgiu do estudo dos números e funções reais, sua abrangência cresceu de forma a estudar os números complexos, bem como

Professor Cícero José – Anhanguera Uniban 2012

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CAPÍTULO I Preliminares

1. O que é Análise? Análise é o ramo da Matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo Cálculo

Diferencial e Integral, tendo surgido justamente da necessidade de prover formulações rigorosas às

ideias intuitivas do Cálculo. Hoje é uma disciplina muito mais ampla, e tais tópicos são tratados em

uma subdivisão chamada análise real.

Se a Análise surgiu do estudo dos números e funções reais, sua abrangência cresceu de forma a

estudar os números complexos, bem como espaços mais gerais, tais como os espaços métricos, espaços

normados e os espaços lineares topológicos (ELT).

Embora seja difícil definir exatamente o que seja Análise Matemática e delinear

precisamente seu objeto de estudo, pode-se dizer grosseiramente que a Análise se dedica ao

estudo das propriedades topológicas em estruturas algébricas.

A análise é pode ser dividida em:

Análise real, a que lida com o corpo dos números reais;

Análise complexa, a dedicada ao estudo do corpo dos números complexos;

Análise funcional, a aplicada ao estudo do comportamento das funções;

Análise harmônica, a que se ocupa da composição de funções a partir das componentes

harmônicas;

Análise numérica, o estudo de algoritmos e técnicas de cálculo numérico aplicados aos

problemas de matemática contínua.

2. A contribuição da Análise Matemática na formação de professores As disciplinas introdutórias de Análise, que costumam integrar os currículos de Bacharelado e

Licenciatura em Matemática, em geral são totalmente dedicadas a uma apresentação rigorosa do

Cálculo. Assim, tal disciplina apresenta excelente oportunidade para desenvolver no estudante de

Licenciatura e futuro professores do Ensino Básico aquela habilidade tão necessária no trato com

definições, teorema, demonstrações, que são o embasamento lógico de toda a Matemática. (Geraldo

Ávila, 2006).

Diante disso, a Análise Matemática objetiva o desenvolvimento do raciocínio algébrico abstrato e

a habilidade de compreender simbologias, nomenclaturas, definições e teoremas; ou seja, fornece ao

professor as ferramentas necessárias para que este possa pesquisar, compreender e questionar o que é

dito nos livros. (Carine B. Loureiro)


2

O estudo da Análise Matemática está direcionado aos formalismos utilizados em Matemática e às

demonstrações dos resultados estudados nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. Elon Lima

(LIMA, 2002), um importante matemático brasileiro, autor de alguns dos principais livros desta área

adotados em cursos de Matemática, diz que um livro de Matemática não deve ser lido como se lê uma

novela; no primeiro caso deve-se se ter lápis e papel na mão para reescrever com suas próprias palavras

cada definição ou enunciado de teoremas.

Uma vez que o professor de matemática tem conhecimento sobre os teoremas e demonstrações,

ele se sente mais seguro ao ensinar os conteúdos, pois assim ele tem certeza da veracidade do que será

transmitido ao aluno. Faltando tal conhecimento ao professor, o mesmo poderá se sentir inseguro sobre

o conteúdo e assim poderá omitir certas informações que poderiam facilitar a explicação para a melhor

compreensão por parte do aluno, prejudicando o desenvolvimento intelectual do mesmo.

3. Um pouco de história A Matemática sempre representou uma atividade humana e, em todas as épocas, mesmo nas mais

remotas, a ideia de contar sempre esteve presente. Um clássico exemplo da noção intuitiva de

contagem era a correspondência entre ovelhas de um rebanho e pedrinhas contidas em pequenos sacos,

ou marcas em pedaço de osso ou de madeira, ou ainda por meio de nós em cordões, utilizados pelos

incas.

Muitos anos ainda se passaram até que se iniciasse o desenvolvimento teórico do conceito de

número que, embora hoje nos pareça natural, foi lento e complexo, envolvendo diversas civilizações.

Os registros históricos nos mostram a utilização de vários sistemas de numeração, por exemplo,

os povos babilônios de 2000 a.C., que desenvolveram o sistema de numeração sexagesimal e

empregaram o princípio posicional; os egípcios, que já usavam sistema decimal (não posicional); os

romanos, que fizeram história através do uso simultâneo do princípio da adição e do raro emprego do

princípio da subtração; e os gregos antigos, povos que utilizavam diversos sistemas de numeração.

Quase quatro mil anos separam as primeiras manifestações de numeração escrita da construção

do sistema de numeração posicional decimal que utilizamos, munido do símbolo denominado zero.

Esse símbolo foi criado pelos hindus nos primeiros séculos da era cristã. A concepção do zero foi

ignorada, durante milênios, por civilizações matematicamente importantes como a dos gregos e dos

egípcios.

A invenção do zero foi um passo decisivo para a consolidação do sistema de numeração indo-

arábico, devido à sua eficiência e funcionalidade em relação aos demais sistemas de numeração. Sem o

zero, tornaria se impossível efetuar 385 x 908 usando os algarismos romanos.


3

Um marco importante na história dos números e da matemática se deu no século VI a.C., na

Escola Pitagórica. Em seus estudos, os pitagóricos envolviam-se de um certo misticismo, pois

acreditavam que existia uma harmonia interna no mundo governada pelos números naturais.

Desde Pitágoras pensava-se que, dados dois segmentos de reta quaisquer, AB e CD, seria sempre

possível encontrar um terceiro segmento EF, contido um número inteiro de vezes em AB e um número

inteiro de vezes em CD. Expressamos essa situação dizendo que EF é um submúltiplo comum de AB

e CD ou que AB e CD são comensuráveis.

Essa ideia nos permite comparar dois segmentos de reta da seguinte maneira: dados dois

segmentos, AB e CD, dizer que a razão AB/CD é o número racional m/n, significa que existe um

terceiro segmento EF, submúltiplo comum desses dois, satisfazendo: AB é m vezes EF e CD é n vezes

EF.

Era natural imaginar que, para dois segmentos AB e CD dados, era sempre possível tomar EF

suficientemente pequeno para caber um número inteiro de vezes simultaneamente em AB e em CD.

Para os pitagóricos, dois segmentos de reta eram sempre comensuráveis, sendo, portanto, os números

naturais suficientes para expressar a razão entre eles e, de modo mais geral, a relação entre grandezas

da mesma natureza.

O reinado dos números naturais, na concepção pitagórica, foi profundamente abalado por uma

descoberta originada no seio da própria comunidade pitagórica e que se deu, em particular, numa figura

geométrica comum e de propriedades aparentemente simples, o quadrado. Trata-se da

incomensurabilidade entre a diagonal e o lado de um quadrado.

De fato, ao considerarmos a diagonal e o lado de um quadrado comensuráveis, teremos, a

diagonal como medida nt e o lado com medida mt. Pelo teorema de Pitágoras, temos que:

n2t2 = m2t2 + m2t2 � n2t2 = 2m2t2 � n2 = 2m2 o que é absurdo, pois em n2 há uma quantidade par de fatores de primos e, em 2m2, uma quantidade

par de fatores primos, em contradição com a unicidade da decomposição de um número natural em

fatores primos, como mostra o Teorema Fundamental da Aritmética. (Todo número inteiro positivo

n > 1 é igual a um produto de fatores primos).

Essa situação só foi contornada através do matemático e astrônomo ligado à Escola de Platão,

Eudoxo de Cnidos (408 a.C – 355 a.C.), que criou a Teoria das Proporções para tratar as grandezas

incomensuráveis através da Geometria, que apesar do progresso, contribuiu para a desaceleração do

desenvolvimento da aritmética e da álgebra por muitos séculos.

O coroamento da fundamentação matemática do conceito de número ocorreu somente no final do

século XIX, principalmente através dos trabalhos propostos por Richard Dedekind (1831–1916), Georg


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Cantor (1845–1918) e Giuseppe Peano (1858–1932). Esses estudos foram motivados pelas demandas

teóricas que surgiram a partir do volume de conhecimento matemático adquirido a partir do cálculo

diferencial e integral de Isaac Newton (1643–1727) e Gottfried Leibniz (1646–1716), no século XVII.

É interessante estudar como o processo histórico da conceituação de número assemelha-se à

nossa própria formação desse conceito. Antes de iniciarmos nossa vida escolar, admitimos os números

naturais como fruto do processo de contagem, da mesma forma que a humanidade os admitiu até o

século XIX. Entre os gregos da época de Euclides, números eram os que hoje escrevemos como 2, 3, 4,

5 etc., ou seja, os números naturais maiores do que 1. O próprio 1 era concebido como a unidade básica

a partir da qual os números, as quantidades, eram formadas. O zero, como vimos, foi uma concepção já

dos primeiros séculos da era cristã, criada pelos hindus, para a numeração escrita. Para uma criança

aprendendo a contar, este ato só faz sentido a partir da quantidade 2, senão contar o quê? Ela só admite

o zero depois de ter passado alguns anos experimentando os números “de verdade”, isto é, contando e

adquirindo experiência, o que se dá no início de sua aprendizagem da numeração escrita.

As frações eram admitidas pelos gregos não como números, mas como razão entre números (2, 3,

4, etc.). Da mesma forma, os números negativos, inicialmente utilizados para expressar dívidas,

débitos e grandezas que são passiveis de serem medidas em sentidos opostos, só receberam o status de

números séculos após serem utilizados na matemática e em suas aplicações. Aqui nota-se a semelhança

com a nossa experiência pessoal em matemática.

A existência de grandezas incomensuráveis e a ausência de um tratamento eficiente para

expressá-las, isto é, o desconhecimento de uma fundamentação teórica para o conceito de número real,

não impediu o progresso de ramos da matemática do século XVI ao século XIX. No entanto, a

complexidade dessa matemática conduziu a problemas para cuja compreensão e solução o

entendimento intuitivo não era suficiente. É mais ou menos deste modo que formamos o nosso

conceito de número real: apesar de ouvirmos falar de números reais desde o Ensino Fundamental,

concretamente só trabalhamos com números racionais. Isso ocorre até mesmo no Ensino Superior.

Os números complexos apareceram no estudo de equações, no século XVI, com o matemático

italiano Girolamo Cardano (1501–1576), mas também só adquiriram o status de número a partir de

suas representações geométricas, dadas no século XVIII pelos matemáticos Carl Friedrich Gauss

(1777–1855) e Jean Robert Argand (1768–1822) e da sua álgebra, apresentada por W. R. Hamilton em

1833, na qual eles eram definidos como pares ordenados de números reais. Estes, por sua vez, foram

construídos rigorosamente a partir dos racionais, décadas depois, por R. Dedekind e G. Cantor. Aqui

também há um paralelo com a nossa educação escolar: supondo conhecidos os reais, não é tão

complicado concebermos os complexos. No entanto, o conceito rigoroso de número real só se aborda

no curso de Análise Matemática. Isso, porém, é feito de forma axiomática, isto é, o conjunto dos


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números reais é admitido por axioma como um corpo ordenado completo, e não construído a partir dos

racionais, como deve ser feito.

Por fim, os números racionais podem ser construídos rigorosamente a partir dos números inteiros

e esses a partir dos naturais. Mas, e os números naturais, os primeiros que são admitidos pela nossa

intuição? Assim se perguntaram alguns matemáticos do século XIX, na busca de completar o conceito

matematicamente rigoroso de número. Eles podem ser construídos a partir da Teoria dos Conjuntos ou

podem ser apresentados através de axiomas, como fez George Peano, em 1889.

Por fim, este curso pretende apresentar os conjuntos numéricos numa ordem logicamente

coerente – naturais, inteiros, racionais e reais – passando a limpo a conflituosa ordem histórica

apresentada.

4. Primeiras noções 4.1. Proposição É qualquer afirmação, verdadeira ou falsa, mas que faça sentido. Por exemplo, são proposições as

três afirmações seguintes:

A: Todo número primo maior que 2 é ímpar.

B: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.

C: Todo número ímpar é primo.

Observe que dessas três proposições, as duas primeiras são verdadeira, mas a terceira é falsa, pois

9, 15, 21, etc., são números ímpares que não são primos.

4.2. Teorema É uma proposição verdadeira do tipo “P implica Q”, onde P e Q são também proposições. Escreve-

se, simbolicamente, “P �Q”, que tanto se lê “P implica Q”, como “P acarreta Q” ou “Q é

consequência de P”. P é a hipótese e Q é a tese do teorema. Por exemplo, a proposição A acima é um

teorema, que pode ser escrito na forma D �E, onde D e E são as proposições seguintes:

D: n é um número primo maior do que 2. E: n é um número ímpar.

Observe que quando se enuncia um teorema A �B, não está se afirmando que a hipótese A é

verdadeira; apenas que, se for verdadeira, então B também será.


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4.3. Lema e Corolário Lema é um teorema preparatório para a demonstração de outro teorema. Corolário é um teorema

que segue como consequência natural de outro.

Muitos autores utilizam a palavra “proposição” para designar os teoremas de uma certa teoria,

reservando a palavra “teorema” para aqueles resultados que devem ser ressaltados como os mais

importantes.

Ao longo deste curso, os verbos “demonstrar”, “provar” e “mostrar” serão usados com o mesmo

significado. Antigamente, falava-se somente “demonstrar”, mas com a influência do inglês, os verbos

“provar” e “mostrar” foram tomando o lugar de “demonstrar”.

4.4. Axioma É uma proposição aceita como sendo verdade inicial, não sendo demonstrável pela sua evidência.

5. Relação de Equivalência Uma relação R em A diz-se relação de equivalência se possuir as seguintes propriedades:

i) reflexiva: a ~ a, para todo a ∈ A;

ii) simétrica: se a, b ∈ A e a ~ b, então b ~ a;

iii) transitiva: para a, b, c ∈ A, se a ~ b e b ~ c, então a ~ c.

6. Relação de Ordem Definição 10: Uma relação R sobre um conjunto E não vazio é chamada relação de ordem parcial

sobre E se, e somente se, R é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Ou seja, R deve cumprir

respectivamente as seguintes propriedades:

i) Se x ∈ E, então xRx

ii) Se x, y ∈ E, xRy e yRx, então x = y

iii) Se x, y, z ∈ E, xRy e yRz, então xRz


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CAPÍTULO II Construção dos Números Reais

Parte I – Números Naturais 1. Conjuntos Numéricos e suas representações nos diagramas Os números podem ser organizados em conjuntos.

Há uma simbologia convencionada para representar os principais conjuntos formados pelos

números. Vejamos:

Conjuntos dos números naturais

É representado por N. Então: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Conjuntos dos números inteiros

É representado por Z. Então: Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Conjuntos dos números racionais

É representado por Q. Então: Q = p

x / x = , sendo p e q inteiros, com q 0q

� �≠� �

� �.

A letra Q é a inicial da palavra quociente. Todo racional é o quociente da divisão de dois inteiros.

Conjuntos dos números reais

É representado por R. Então: R = {x / x é racional ou irracional} Todo número natural é número inteiro. Mas há números inteiros que não naturais (por exemplo:

–1, –2, –3).

Todo número inteiro é número racional. Mas há números racionais que não são inteiros

1 7 3por exemplo: , ,

2 3 10� − ��

.

Todo número racional é um número real. Mas há números reais que não racionais (são os

irracionais).

Num diagrama, podemos representar os conjuntos numéricos, respeitando as observações acima,

do seguinte modo:


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2. Definição Os números naturais chamam-se “naturais” justamente por surgirem “naturalmente” em nossa

experiência com o mundo físico, já nos primeiros anos da infância.

Intuitivamente, podemos dizer que números são medidas de grandezas. Considerando que as

grandezas podem ser discretas (que podem ser contadas) ou contínuas (que não podem ser contadas),

definimos os números naturais como sendo medidas de grandezas discretas; nas palavras de Leonard

Euler:

Número é o resultado da comparação de duas grandezas da mesma espécie, sendo uma

tomada como unidade. (L. Euler, Elements of Algebra, 1765)

Essa definição intuitiva de número natural é boa porque traduz em palavras nossa experiência

cotidiana de contagem, resumindo o que podemos dizer com base no senso comum; entretanto, a

definição não satisfaz os critérios de precisão e rigor, característicos da matemática contemporânea;

também não serve para desenvolvermos uma teoria dos números naturais no padrão axiomático-

dedutivo. Para a Matemática, interessa uma rigorosa teoria axiomática-dedutiva dos números naturais

porque isso significa tanto o aprofundamento de nossa compreensão quanto a organização lógica dos

conceitos e propriedades desses números, o que nos possibilita a investigação de propriedades sutis

(que não são evidentes ou são contraintuitivas) e também permite aplicações em contextos inusitados.

(Lúcio Fassarella, 2002)

N

Z

Q

I

R


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3. Representação gráfica

4. Propriedades Operatórias (N, +), (N, *) e (N, +, *) Os números naturais são munidos de duas operações internas: a adição (+) e multiplicação (*).

A1 – Para todos a e b em N tem-se: a + b pertence a N.

(Propriedade do fechamento) A2 – Para todos a, b e c em N tem-se: (a + b) + c = a + (b + c)

(Propriedade associativa da adição) A3 – Existe um elemento 0 ∈ N tal que para todo a ∈ N tem-se: 0 + a = a + 0 = a

(Propriedade do elemento neutro da adição) A4 – Para todos a, b ∈ N tem-se: a + b = b + a.

(Propriedade comutativa da adição) M1 – Para todos a e b em N tem-se: a � b pertence a N.

(Propriedade do fechamento) M2 – Para todos a, b e c em N tem-se: a � (b � c) = (a � b) � c

(Propriedade associativa da multiplicação) M3 - Existe um elemento 1 ∈ N tal que para todo a ∈ N tem-se a � 1 = 1 � a = a

(Propriedade do elemento neutro da multiplicação) M4 - Para todos a, b ∈ N tem-se: a � b = b � a

(Propriedade comutativa da multiplicação) D1 – Para todos a, b e c em N tem-se: a � (b + c) = a � b + a � c

(Propriedade distributiva à esquerda da multiplicação em relação à adição) D2 - Para todos a, b e c em N tem-se: (a + b) � c = a � c + b � c

(Propriedade distributiva à direita da multiplicação em relação à adição)


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5. Princípio da Indução Finita (PIF) ou Princípio da Boa Ordem 5.1. Introdução O Princípio da Indução Finita é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes

aos números naturais. Por isso deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante

também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o

Princípio da Indução Finita é praticamente o mesmo que entender os números naturais.

Apresentamos abaixo uma breve exposição sobre os números naturais, onde o Princípio da

Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado na lista de exercícios

propostos ao final.

5.2. A Sequência dos Números Naturais Os números naturais constituem um modelo matemático, uma escala padrão, que nos permite a

operação de contagem. A sequência desses números é uma livre e antiga criação do espírito humano.

Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal é o processo que torna mais precisa a

noção de quantidade; esse processo (a contagem) pressupõe, portanto o conhecimento da seqüência

numérica. Sabemos que os números naturais são 1, 2, 3, 4, 5,… A totalidade desses números constitui

um conjunto, que indicaremos com o símbolo N e que chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto

N = {1, 2, 3, 4, 5,…}.

Evidentemente, o que acabamos de dizer só faz sentido quando já se sabe o que é um número

natural. Façamos de conta que esse conceito nos é desconhecido e procuremos investigar o que há de

essencial na sequência 1, 2, 3, 4, 5… .

Deve-se a Giussepe Peano (1858 – 1932) a constatação de que se pode elaborar toda a teoria dos

números naturais a partir de quatro fatos básicos, conhecidos atualmente como os axiomas de Peano.

Noutras palavras, o conjunto N dos números naturais possui quatro propriedades fundamentais, das

quais resultam como consequências lógicas, todas as afirmações verdadeiras que se podem fazer sobre

esses números. Os axiomas de Peano são:

P1: Se a é um número natural, então a tem um único sucessor que também é um número natural. P2: Zero não é sucessor de nenhum número natural. P3: Dois números naturais que têm sucessores iguais são, eles próprios, iguais. P4: Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo

número está em S.


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5.3. Elemento Mínimo Definição: Seja A um conjunto de naturais. Chama-se elemento mínimo de A um elemento a ∈ tal

que a ≤ x para todo x ∈ A. Notação: a = min A.

min A = a se, e somente se, (a ∈ A e ∀ x ∈A, então a ≤ x).

Teorema: Se a é elemento mínimo de A, então este elemento é único. 5.4. Indução Matemática Teorema: Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz às duas

seguintes condições:

1) P(1) é verdadeira. 2) Para todo inteiro k, se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira. Nestas condições, a

proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n.

5.5. Princípio da Indução Finita (PIF). Teorema: Seja S um subconjunto do conjunto N dos inteiros positivos (S ⊂ N) que satisfaz as duas

seguintes propriedades:

1) 1 pertence a S (1 ∈ S). 2) Para todo inteiro positivo k, se k ∈ S, então (k + 1) ∈ S; 3) Nestas condições, S é o conjunto N dos inteiros positivos: S = N. Vejamos três exemplos:

Exemplo 1: Prove 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)

2 para todo n ≥ 1.

Resolução: i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 1

L.D. = 1 (1 + 1) 2

= 2 2

� = 1

Portanto, é verdadeiro para n = 1.


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ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).

1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)

2 (H.I.)

iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

2

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)

2

Pela hipótese de indução temos que 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)

2. Substituindo, temos:

k(k + 1)

2+ (k + 1) =

k(k + 1)2

+ (k + 1) =

= k(k + 1) + 2(k + 1)

2 =

(k + 1) (k + 2)2

que é igual ao L.D.

Portanto: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)

2, ∀ n ≥ 1.

Exemplo 2: Prove que 1 + 4 + 9 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)


i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 1

L.D. = 1 (1 + 1) (2 1 + 1) 1 2 3 6

= = 6 6 6

� � � � � = 1

Portanto, é verdadeiro para n = 1. ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).

1 + 4 + 9 + ... + k2 = k(k + 1)(2k + 1)

6 (H.I.)


1 + 4 + 9 + ... + k2 + (k + 1)2 = (k + 1)(k + 1 + 1)[2(k + 1) + 1]

6


13

1 + 4 + 9 + ... + k2 + (k + 1)2 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6

Pela hipótese de indução temos que 1 + 4 + 9 + ... + k2 = k(k + 1)(2k + 1)


k(k + 1)(2k + 1)

6+ (k + 1)2 =

= 2k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)

6 =

(k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]6

=

= 2(k + 1)(2k + k + 6k + 6)

6 =

2(k + 1)(2k + 7k + 6)6

= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6


Portanto: 1 + 4 + 9 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6, ∀ n ≥ 1.

Exemplo 3: Prove que 1 + 8 + 27 + ... + n3 = 2 2n (n + 1)



L.E. = 1

L.D. = 2 21 (1 + 1) 1 4

= 4 4

� � = 1 2

Portanto, é verdadeiro para n = 1. ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).

1 + 8 + 27 + ... + k3 = 2 2k (k + 1)

4 (H.I.)


1 + 8 + 27 + ... + k3 + (k + 1)3 = 2 2(k + 1) (k + 2)4

Pela hipótese de indução temos que 1 + 8 + 27 + ... + k3 = 2 2k (k + 1)


2 2k (k + 1)

4+ (k + 1)3 =


14

= 2 2 3k (k + 1) + 4(k + 1)

4 =

2 2(k + 1) [k + 4(k + 1)]4

=

= 2 2(k + 1) (k + 4k + 4)

4 =

2 2(k + 1) (k + 2)4


Portanto: 1 + 8 + 27 + ... + n3 = 2 2n (n + 1)

4, ∀ n ≥ 1.

Exercícios 1) Prove por indução finita, para todo n � 1. a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n – 2) = 2n2

b) 4 + 10 + 16 + ... + (6n – 2) = n(3n + 1)

c) 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1)

d) 1 + 5 + 9 + ... + (4n – 3) = n(2n – 1)

e) 1 + 3 + 6 + ... + n(n + 1)

2 =

n(n + 1)(n + 2)6

f) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2

g) 13 + 23 + 33 + … + n3 = 2 2n (n + 1)

4

h) 1 � 2 + 2 � 3 + 3 � 4 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

3

i) 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 = 2n(n + 1)(2n + 1)

3

j) 1 � 2 + 3 � 4 + 5 � 6 + … + (2n – 1) �2n = n(n + 1)(4n 1)

3−


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Parte II – Números Inteiros 1. Origens Os algarismos que usamos hoje em dia surgiram da Índia, no século VII, e sua difusão pelo

mundo se deve, em grande parte, aos árabes. Daí a designação “indo-arábicos” atribuída a eles. A

maneira de grafar esses símbolos foi se modificando ao longo do tempo, e a forma moderna mal se

assemelha à original. Importa, porém, que foi a partir da Índia, quando o Ocidente estava mergulhando

na estagnação e no obscurantismo da primeira fase do período medieval, que o sistema de numeração

posicional decimal começou a se tornar padrão. Inclusive o zero, que mesmo entre os gregos do

período alexandrino era usado apenas para indicar “ausência” (o que já era um avanço em relação a

outras épocas e outros povos), com os hindus ganhou “status” pleno de número.

Coube também aos hindus a introdução na matemática dos números negativos. O objetivo era

indicar débitos. O primeiro registro do uso de números negativos de que se notícia foi feito pelo

matemático e astrônomo hindu Brahmagupta (598–?), que já conhecia inclusive as regras para as

quatro operações com números negativos. Bhaskara (séc. XII), outro matemático e astrônomo hindu,

assinalou que todo número positivo tem duas raízes quadradas, uma negativa e outra positiva, e

salientou também a impossibilidade de se extrair a raiz quadrada de um número negativo.

Ao introduzirem os números negativos, os hindus não tinham nenhuma preocupação de ordem

teórica. Na verdade, os progressos matemáticos verificados na Índia, por essa época, ocorreram quase

que por acaso e em boa parte devido ao descompromisso com o rigor e a formalidade.

Mas a aceitação e o entendimento pleno dos números negativos foi um processo longo. Basta ver

algumas designações que receberam: Stigel (1486–1567) os chamava de números absurdos; Cardano

(1501 – 1576), de números fictícios. Descartes (1596–1650) chamavam de falsas as raízes negativas de

uma equação. Outros, como François Viète (1540–1603), importante matemático francês,

simplesmente rejeitavam os números negativos.



16

3. Propriedades Operatórias (Z, +, *) Os números inteiros são munidos de duas operações internas: a adição (+) e multiplicação (*).

A1 – Para todos a e b em Z tem-se: a + b pertence a Z.

(Propriedade do fechamento) A2 – Para todos a, b e c em Z tem-se: (a + b) + c = a + (b + c)

(Propriedade associativa da adição) A3 – Existe um elemento 0 ∈ Z tal que para todo a ∈ Z tem-se: 0 + a = a + 0 = a

(Propriedade do elemento neutro da adição) A4 – Para todo elemento a ∈ Z, existe um elemento, denotado por –a, tal que: a + (–a) = –a + a = 0.

(Propriedade do elemento oposto da adição) A5 – Para todos a, b ∈ N tem-se: a + b = b + a.

(Propriedade comutativa da adição) M1 – Para todos a e b em N tem-se: a � b pertence a N.

(Propriedade do fechamento) M2 – Para todos a, b e c em N tem-se: a � (b � c) = (a � b) � c

(Propriedade associativa da multiplicação) M3 - Existe um elemento 1 ∈ Z tal que para todo a∈ Z tem-se: a � 1 = 1 � a = a

(Propriedade do elemento neutro da multiplicação) M4 - Para todos a, b ∈ Z tem-se: a � b = b � a

(Propriedade comutativa da multiplicação) D1 – Para todos a, b e c em N tem-se: a � (b + c) = a � b + a � c

(Propriedade distributiva à esquerda da multiplicação em relação à adição) D2 - Para todos a, b e c em N tem-se: (a + b) � c = a � c + b � c


4. Construção dos números inteiros Pretende-se aqui dar um sentido matemático a todas as expressões do tipo a – b, para quaisquer a,

b ∈ N, de maneira a poder tratar como entes do mesmo conjunto tanto aquelas como 7 – 3, 5 – 1 e

4 – 0 quanto aquelas como 3 – 7, 1 – 3 e 0 – 2, por exemplo. Nesse sentido convém observar primeiro


17

que subjacente a cada “diferença” a – b está o par ordenado (a, b) ∈ N x N. Além disso é fácil ver que,

por exemplo, a igualdade em N

5 – 3 = 9 – 7 equivale a 5 + 7 = 9 + 3. De uma maneira geral, se a, b, c, d ∈ N, a � b e c � d, vale a equivalência: a – b = c – d ⇔ a + d = b + c Essas considerações, aliadas ao fato de que o conjunto dos inteiros a ser construído, deve ser uma

“ampliação” de N.

No conjunto N x N consideremos a relação ~ definida da seguinte maneira: para quaisquer (a, b)

e (c, d) em N x N,

(a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c Para a relação ~ valem as propriedades: • Reflexiva, pois, como para todo (a, b) ∈ N x N, se verifica a + b = b + a, então (a, b) ~ (b, a);

• Simétrica, ou seja, se (a, b) ~ (c, d), temos a + d = b + c. Temos que a + d = b + c � b + c =a + d,

e pela propriedade comutativa temos c + b = d + a e, portanto: então (c, d) ~ (a, b)

• Transitiva, pois, se (a, b) ~ (c, d) e (c, d) ~ (e, f), então a + d = b + c e c + f = d + e. Daí temos que

a + d + f = b + c + f e c + f + b = e + d + b, o que implica a + d + f = e + d + b e, portanto a + f = e

+ b, ou seja: (a, b) ~ (e, f)

Vejamos um exemplo envolvendo os números inteiros:

Exemplo: Mostre que 3 7 + 5 2 + 3 7 5 2− é um número inteiro.

Resolução:

3 7 + 5 2 + 3 7 5 2− = x Elevando ambos os membros ao cubo, vem:

( )33 37 + 5 2 + 7 5 2− = x3

Desenvolvendo temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 33 3 3 3 3 37 + 5 2 + 3 7 + 5 2 7 5 2 + 3 7 + 5 2 7 5 2 + 7 5 2− − −� � � � = x3


18

3 3 3 3

x7 + 5 2 + 3 7 + 5 2 7 5 2 7 + 5 2 + 7 5 2 + 7 5 2

� − − − � �

� � � � �� = x3

( )( )314 + 3 7 + 5 2 7 5 2 x−� � = x3

314 + 3x 49 25 2−� � = x3

314 + 3x 1−� = x3

14 – 3x = x3

x3 + 3x – 14 = 0 As possíveis raízes da equação polinomial são: { ± 1, ± 2, ± 7, ± 14}.

Testando as raízes temos: x = 1 � 13 + 3 � 1 – 14 = 1 + 3 – 14 = –10 � 0. Portanto, 1 não é raiz.

x = –1 � (–1)3 + 3 � (–1) – 14 = –1 – 3 – 14 = –18 � 0. Portanto, –1 não é raiz.

x = 2 � (2)3 + 3 � 2 – 14 = 8 + 6 – 14 = 0. Portanto, 2 é raiz.

Portanto, 3 7 + 5 2 + 3 7 5 2− é um número inteiro. Exercícios

2) Mostre que é inteiro o número 310

2 + 39

+ 310

2 39

− .

3) Classifique as proposições abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F):

a) 0 ∈ N

b) 0 ∉ Z

c) –10 ∉ Z

d) Z+ ⊃ N

e) (2 – 3) ∈ Z

f) N ⊂ Z

g) O conjunto dos números naturais é finito.

4) Classifique as sentenças abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F), sendo m, n e p números naturais

distintos e não nulos:

a) [(m + n) � p] ∈ N

b) [m � (n – p)] ∈ Z

c) (m + n) � (p + n) > 0

d) (mp – m) ∈ N


19

Parte III – Números Racionais 1. Origens Sempre que a divisão de um inteiro por outro não era exata, os egípcios antigos, já por volta do

ano 2000 a.C., usavam frações para exprimir o resultado. E usavam também frações para operar com

seu sistema de pesos e medidas.

Contudo, por razões difíceis de explicar, com exceção das frações 23

e 34

, às vezes, os egípcios

usavam apenas frações unitárias, ou seja, frações cujo numerador é 1. Por exemplo, no problema 24

do papiro Rhind (cerca de 1700 a.C.) no qual o escriba pede que se efetue a divisão de 19 por 8, a

resposta é dada, usando a nossa notação, por:

1 1

2 + + 4 8

Embora os egípcios não adotassem sempre o mesmo procedimento, pode-se mostrar que toda

fração entre 0 e 1 é a soma de frações unitárias, o que representa uma garantia teórica para essa opção.

Aliás, o uso das frações unitárias, além de não ficar confinado ao Egito antigo, se estendeu por

vários séculos. Basta dizer que Fibonacci, no seu já citado Líber abaci, escrito no século XIII d.C., não

só as usava como fornecia tabelas de conversão das frações comuns para unitárias. É que, embora uma

das finalidades dessa obra fosse divulgar os numerais indo-arábicos e a notação decimal posicional,

Fibonacci não chegou a perceber a grande vantagem deste sistema: sua aplicabilidade para exprimir

frações. Por exemplo:

14

= 0,25

Mas convém registrar que os babilônios, 2 000 anos antes de Cristo, apesar de algumas

ambiguidades, decorrentes de não contarem com um símbolo para o zero e outro para separatriz,

conseguiram estender o princípio posicional às frações no seu sistema de base 60. Por exemplo, o

numeral que representa o inteiro 1 + 1 � 60 = 61, também poderia ser uma representação de

1

1 + 60

Na verdade, o uso da forma decimal para representar frações, tal como em 14

= 0,25, somente

começaria a vingar após a publicação, em 1585m de um pequeno texto de Simon Stevin (1548–1620)


20

intitulado De thiende (O décimo). Embora a essa altura a forma decimal já não constituísse uma

novidade para os especialistas, esse trabalho de Stevin alcançou grande popularidade e conseguiu seu

intento, que era ensinar a “como efetuar, com facilidade nunca vista, todos os cálculos necessários

entre os homens, por meio de inteiros sem frações”. A notação inicialmente usada por Stevin acabou

sendo melhorada com o emprego da vírgula ou do ponto como separatriz decimal, conforme sugestão

de John Napier (1550–1617), feita em 1617.


Podemos notar que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais e

também que entre dois racionais quaisquer há infinitos racionais. Por exemplo, entre os racionais 12

=

0,5 e 23

= 0,6 , podemos encontrar os racionais 59

= 0,5 , 35

= 0,6 e 61

100 = 0,61, entre outros.

Um procedimento comum para achar um número compreendido entre outros dois é calcular a

média aritmética entre eles; no caso, temos:

1 2 +

2 32

=

3 + 462

=

762

= 7

12 ou

0,5 + 0,62

= 1,16

2 = 0,583 =

712


21

3. Propriedades Operatórias (Q, +, *) Os números racionais são munidos de duas operações internas: a adição (+) e multiplicação (*).

A1 – Para todos a e b em Q tem-se: a + b pertence a Q.

(Propriedade do fechamento) A2 – Para todos a, b e c em Q tem-se: (a + b) + c = a + (b + c)

(Propriedade associativa da adição) A3 – Existe um elemento 0 ∈ Q tal que para todo a ∈ Z tem-se: 0 + a = a + 0 = a

(Propriedade do elemento neutro da adição) A4 – Para todo elemento a ∈ Q, existe um elemento, denotado por –a, tal que: a + (–a) = –a + a = 0.

(Propriedade do elemento oposto da adição) A5 – Para todos a, b ∈ Q tem-se: a + b = b + a.

(Propriedade comutativa da adição) M1 – Para todos a e b em Q tem-se: a � b pertence a N.

(Propriedade do fechamento) M2 – Para todos a, b e c em Q tem-se: a � (b � c) = (a � b) � c

(Propriedade associativa da multiplicação) M3 - Existe um elemento 1 ∈ Q tal que para todo a ∈ Z tem-se a � 1 = 1 � a = a

(Propriedade do elemento neutro da multiplicação) M4 - Para todos a, b ∈ Q tem-se: a � b = b � a

(Propriedade comutativa da multiplicação) M5 – Para todo elemento não nulo a de Q, existe um elemento, denotado por a–1, tal que a � a–1 =

a–1 � a = 1

(Propriedade do elemento inverso da multiplicação) D1 – Para todos a, b e c em Q tem-se: a � (b + c) = a � b + a � c

(Propriedade distributiva à esquerda da multiplicação em relação à adição) D2 - Para todos a, b e c em Q tem-se: (a + b) � c = a � c + b � c



22

4. A divisão em Q Sejam a, b ∈ Z, b � 0. Se a é múltiplo de b, então existe um único c ∈ Z de maneira que a = bc.

Este elemento c é chamado quociente de a por b e costuma ser indicado por:

c = ab

ou c = a : b

A operação que a cada par (a, b), nas condições expostas, associa c = a : b é a divisão em Z.

Portanto, a divisão em Z só está definida em

{(a, b) ∈ Z x Z : b � 0 e b / a} 5. Construção dos números racionais Consideremos o conjunto Z x Z* = {(a, b) / a ∈ Z e b ∈ Z*}. Definamos nele a relação: (a, b) ~

(c, d) quando ad = bc.

Para a relação ~ valem as propriedades: • Reflexiva, pois, como para todo (a, b) ∈ N x N, se verifica ab = ba, então (a, b) ~ (a, b);

• Simétrica, ou seja, se (a, b) ~ (c, d), temos ad = bc. Temos que ad = bc �bc = ad. Pela

propriedade comutativa, temos cb = da. Temos então (c, d) ~ (a, b).

• Transitiva, pois, se (a, b) ~ (c, d) e (c, d) ~ (e, f), então a � d = b � c e c � f = d � e. Daí temos que

a � d � f = b � c � f e c � f � b = e � d � b, o que implica a � d � f = e � d � b e, portanto

a � f = e � b, ou seja: (a, b) ~ (e, f)

Temos, então: a) (1, 2) ~ (2, 4) ~ (–31, –62) b) (5, 1) ~ (–10, –2)

Vejamos alguns exemplos envolvendo números racionais: Exemplo 1: Prove que a soma de dois números racionais é um número racional.

Resolução:

Sejam m = ab

, com a ∈ Z*, b ∈ N* e m ∈ Q; e n = cd

, com c ∈ Z*, d ∈ N* e n ∈ Q. Quer se

provar que m + n ∈ Q.

Então, m + n = ab

+ cd

= adbd

+ bcbd

= ad + bc

bd.


23

Como a ∈ Z*, b ∈ N*, c ∈ Z* e d ∈ N*, temos então que ad + bc e bd são números inteiros, pois

o produto de dois números inteiros é um número inteiro, e a soma de dois números inteiros é um

número inteiro. Portanto:

m + n = ab

+ cd

∈ Q. (c.q.d.)

Exemplo 2: Prove que a divisão de dois números racionais é um número racional.

Resolução:

Sejam m = ab

, com a ∈ Z*, b ∈ N* e m ∈ Q; e n = cd

, com c ∈ Z*, d ∈ N* e n ∈ Q. Quer se

provar que m : n ∈ Q.

Entendemos por divisão em Q, a operação Q x Q* em Q definida por (a, b) � ab–1, onde b–1 é o

elemento inverso de b.

Então, m : n = ab�

1cd

−� ��

= ab�

dc

= adbc

.

Como a ∈ Z*, b ∈ N*, c ∈ Z* e d ∈ N*, temos então que ad e bc são números inteiros, pois o

produto de dois números inteiros é um número inteiro. Portanto:

m : n ∈ Q. (c.q.d.)

Exemplo 3: Mostre que 1 5153 333

= 1533

.

Resolução:

Temos que 1 5153 333

=1500 + 153300 + 33

= 15 100 + 1533 100 + 33�

� =

15 (100 + 1)33 (100 + 1)�

� =

1533

Exemplo 4: Determine r ∈ Z de maneira que a fração ordinária 10r

2r 1− represente números inteiros.

Resolução:

Efetuando a divisão temos:

10r 2r 1

10r + 5 5 5

−−

Temos, então, que: 10r

2r 1− = 5 +

52r 1−

.


24

Para que a fração represente um número inteiro, 2r – 1 deve ser múltiplo de 5, ou seja: 2r – 1 = 1 � 2r = 2 � r = 1

2r – 1 = –1 � 2r = 0 � r = 0

2r – 1 = 5 � 2r = 6 � r = 3

2r – 1 = –5 � 2r = –4 � r = –2

Portanto, para a fração representar um número inteiro, r deve assumir os seguintes valores: –2, 0, 1, 3.

6. Determinação da fração geratriz de dízimas periódicas Denomina-se dízima periódica os números decimais que são formados por números que se

repetem infinitamente. Os algarismos que se repetem são chamados de algarismos periódicos.

Caso a dízima periódica possuir após a vírgula algarismos que não se repetem, estes são

chamados de não periódicos.

Exemplos:

a) 0,555..... a parte periódica é o 5.

b) 0,132132132.... a parte periódica é 132.

c) 0,002500250025... a parte periódica é 0025.

d) 0,32777... a parte não periódica é 32 e a periódica é 7.

e) 0,023858585... a parte não periódica é 023 e a periódica 85.

Quando temos uma parte inteira diferente de zero, devemos ver este número como a soma da

parte inteira com a parte fracionária.

Exemplos:

a) 4,315315315... = 4 + 0,315315315....

b) 1,710979797... = 1 + 0,710979797...

Regras para determinação de uma fração geratriz a) Simples:

Em uma dízima periódica simples, o período se apresenta imediatamente após a vírgula, como,

por exemplo, 0,4444... ou 2,5555... ou, ainda, 2,343434...

Para obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos tratá-la como uma

incógnita, como x, por exemplo.


25

x = 0,4444... Em seguida, multiplicamos os dois termos da igualdade por uma potência de 10 cujo expoente

é igual à quantidade de numerais do período da dízima.

x = 0,4444... 10x = (0,444...) � 10 10x = 4,444... Subtraindo uma expressão da outra, isto é, fazendo: (10x – x) = 4,444... – 0,444... obtemos:

9x = 4 � x = 49

Assim, a geratriz da dízima 0,444... é a fração 49

.

b) Composta Em uma dízima periódica composta, entre o período e a vírgula há um ou mais numerais que não

fazem parte do período, como, por exemplo, 0,23333... ou 1,03242424...

De modo semelhante ao que foi feito anteriormente, nomearemos a dízima de x.

x = 0,2333... Visto que o período é formado apenas por um algarismo, multiplicaremos toda a expressão por

10, para separar a parte periódica da não periódica.

x = 0,2333 10x = 2,333... Em seguida, multiplicamos os dois termos da igualdade por uma potência de 10 cujo expoente

é igual à quantidade de numerais do período da dízima. 100x = 23,333... Subtraindo as duas últimas expressões, temos: (100x – 10x) = 23,333... – 2,333... obtemos:

90x = 21 � x = 2190

Assim, a geratriz da dízima 0,2333... é a fração 2190

.


26

Dos dois exemplos visto anteriormente, generalizando, foram criada as seguintes regras:

Regra 1: A fração geratriz de uma dízima periódica simples tem como numerador o número formado

pela parte periódica. O denominador, tantos noves quantos forem os algarismos que formam a parte

periódica.

Exemplos:

a) 0,7777... = 97

b) 0,676767... =9967

c) 0,001001001...= 999

1

Regra 2: A fração geratriz de uma dízima periódica composta tem como numerador o número

formado pela junção das partes não periódica e periódica menos o número formado pela parte não

periódica. O denominador tantos noves quantos forem os algarismos da parte periódica acrescidos de

tantos zeros quantos forem os não periódicos.

Exemplos:

a) 0,13555.. = 900122

90013135 =−

b) 0,4113113113...= 99904109

999044113 =−

7. Dízimas periódicas e cíclicas O que será que acontece se o denominador de uma fração irredutível contiver algum fator primo

diferente de 2, 3 e 5? Consideremos o exemplo da conversão de 5/7 em decimal, ilustrada abaixo. Na

primeira divisão (de 50 por 7), obtemos o resto 1; depois, nas divisões seguintes, vamos obtendo,

sucessivamente, os restos 3, 2, 6, 4 e 5. No momento em que obtemos o resto 5, que já ocorreu antes,

sabemos que os algarismos do quociente voltarão a se repetir, resultando no período 714285. Essa

repetição acontecerá certamente, pois os possíveis restos de qualquer divisão por 7 são 0, 1, 2, 4, 5 e 6.

Vemos também que o período terá no máximo seis algarismos.

5,00000000 7 10 0,71428571... 30 20 60 40 50 10


27

No caso da divisão de 41 por 23, podemos garantir que a repetição de um resto parcial ocorrerá

no máximo até a 23ª casa decimal. De fato, para a fração 4123

, a dízima é a seguinte:

1,78260869565217391304347826086956521739130434... ou seja, ela apresenta um período enorme, formado por um “pacote” de 22 casas decimais.

Portanto, ao efetuarmos a divisão da fração irredutível mn

, os únicos restos possíveis serão

{1, 2, 3, 4, 5, ..., n – 1}. Assim, o processo de divisão que gera uma dízima periódica recomeça no

enésimo passo ou antes dele. O desenvolvimento decimal de mn

será periódico e seu período terá, no

máximo, n – 1 algarismos.

No caso do exemplo acima, a fração 4123

tem por período seu “comprimento” máximo: n – 1 =

23 – 1 = 22 algarismos.

Exercícios 5) Explique porque não consideramos como números:

a) 00

b) 10

6) 3 n pode ser um número racional? Explique.

7) 1 + 5

2 é um número racional? Explique.

8) Mostre que o número x = 19 + 8 3 + 19 8 3− é racional. 9) Prove que 0,9999... é igual a 1.

10) Mostre que x = 12 + 6 3 + 12 6 3− é racional. 11) Classifique as proposições abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

a) 45

∈ Q b) 2

13

− ∉ Q c) 13

− ∈ Q – Z

d) 0,333... ∈ Q e) 1,9 ∈ Z f) 1511

− ∉ Q

12) Escreva dois números racionais que estão entre:

a) 0 e 35

b) 1 e 94

c) 34

− e 15


28

13) Calcule:

a) 2,33333... � 1,75 b) 1,25555... � 4,44444... c) 0,757575... : 0,66666...

d) 0,666... – 0,6 e) 0,23 : 0,2333... f) –0,1777... + 0,1

14) Um professor encontrou entre os cálculos de seus alunos quatro diferentes formas de efetuar a

adição de duas frações:

Aluno A: 1 2 +

2 5 = 0,5 + 0,4 = 0,9 Aluno B: 1 2

+ 2 5

=5 4

+ 10 10

= 9

10

Aluno C: 1 2 +

2 5 =

37

Aluno D: 1 2 +

2 5 =

5 + 410

= 9

10

Analise e justifique as respostas dos alunos.

15) Determine as frações geratrizes das dízimas periódicas usando a regra prática.

a) 0,1515...

b) 0,416416...

c) 2,111...

d) 20,2020...

e) 8,1212...

f) 0,1555...

g) 1,155...

h) – 2,01717...

i) 2,007777...

j) 100,0777...

l) 4,0757575...

16) Se a = 0, 4 e b = 0,3 , então b a é igual a:

a) 19

b) 29

c) 59

d) 79

17) (XXI OBM 1999 – Primeira fase – Nível 2) Qual o 1999º algarismo após a vírgula na

representação decimal de 4

37?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 7 e) 8

18) Mário estava fazendo esta divisão:

9 7 20 1,285714 60 40 50 10 30 2

Cansado, não quis mais continuar.

Marisa olhou e disse:

– Na verdade, você não precisa continuar!

Assim já dá para perceber qual é o resultado.

Marisa tem razão. Explique por que e depois

apresente o quociente da divisão.


29

Parte IV – Números Reais e Irracionais 1. Definição Os números reais são os alicerces da Análise Matemática. Número real é todo número que é

racional ou irracional. Observa-se que os números naturais e os números inteiros são casos

particulares de números racionais, de forma que quando dizemos um número é racional, fica aberta a

possibilidade de ele ser um número inteiro (positivo ou negativo) ou simplesmente um número natural.

A totalidade dos números racionais, juntamente com os irracionais é o chamado conjunto dos

números reais.

2. Representação gráfica Retomemos a reta numerada, com alguns números racionais (inteiros ou não) já assinalados:


30

3. Propriedades Operatórias (R, +, *) Os números reais são munidos de duas operações internas: a adição (+) e multiplicação (*). A1 – Para todos a e b em R tem-se: a + b pertence a Q.

(Propriedade do fechamento) A2 – Para todos a, b e c em R tem-se: (a + b) + c = a + (b + c)

(Propriedade associativa da adição) A3 – Existe um elemento 0 ∈ R tal que para todo a ∈ Z tem-se: 0 + a = a + 0 = a

(Propriedade do elemento neutro da adição) A4 – Para todo elemento a ∈ R, existe um elemento, denotado por –a, tal que: a + (–a) = –a + a = 0.

(Propriedade do elemento oposto da adição) A5 – Para todos a, b ∈ R tem-se: a + b = b + a.

(Propriedade comutativa da adição) M1 – Para todos a e b em R tem-se: a � b pertence a N.

(Propriedade do fechamento) M2 – Para todos a, b e c em R tem-se: a � (b � c) = (a � b) � c

(Propriedade associativa da multiplicação) M3 - Existe um elemento 1 ∈ R tal que para todo a ∈ Z tem-se a � 1 = 1 � a = a

(Propriedade do elemento neutro da multiplicação) M4 - Para todos a, b ∈ R tem-se: a � b = b � a

(Propriedade comutativa da multiplicação) M5 – Para todo elemento não nulo a de R, existe um elemento, denotado por a–1, tal que a � a–1 =

a–1 � a = 1

(Propriedade do elemento inverso da multiplicação) D1 – Para todos a, b e c em R tem-se: a � (b + c) = a � b + a � c

(Propriedade distributiva à esquerda da multiplicação em relação à adição) D2 - Para todos a, b e c em R tem-se: (a + b) � c = a � c + b � c

(Propriedade distributiva à direita da multiplicação em relação à adição


31

4. Grandezas incomensuráveis Historicamente, a primeira evidência da necessidade dos números irracionais ocorre com a ideia

de “incomensurabilidade”. Na Grécia Antiga, os únicos números reconhecidos como tais eram os

números naturais 2, 3, 4, etc. O próprio 1 não era considerado número, mas a “unidade”, a partir da

qual se formavam os números. As frações só apareciam indiretamente, na forma de razão de duas

grandezas, como, por exemplo, quando dizemos que o volume de uma esfera está para o volume do

cilindro reto que a circunscreve assim como 2 está para 3.

A descoberta de grandezas incomensuráveis foi feita pelos próprios pitagóricos; e representou um

momento de crise da Matemática.

Devemos lembrar que Pitágoras notara certas relações numéricas envolvendo o comprimento de

uma corda musical e o som por ela emitido. Ao que parece, ele fez observações semelhantes com

relação a outros fenômenos, intuindo daí que o número fosse de fato a essência de todos os fenômenos,

permeando a Natureza inteira. Sendo assim, era de se esperar que a razão de dois segmentos de reta

pudesse sempre ser expressa como a razão de dois números (naturais).

Dizer que a razão de dois segmentos A e B é a fração m/n significa dizer que existe um segmento

c tal que A = mc e B = nc. Ora, com a descoberta dos incomensuráveis, ficou claro que isso nem seria

possível.

5. Números irracionais Podemos conceber números cuja representação decimal não é nem finita nem periódica. Esses

são os chamados números irracionais.

É fácil produzir números irracionais, basta inventarmos uma regra de formação que não permita

aparecer período. Podemos conseguir isso, por exemplo, utilizando dois algarismos quaisquer, como 5

e 0, colocando o 5 seguido de um zero, depois o 5 seguido de dois zeros, etc. Assim, temos:

0,50 500 5000 50000... Outros três números irracionais importantes e conhecidos são: o � (lê-se: pi), o ϕϕϕϕ (lê-se: fi) e o e (número neperiano). Temos, respectivamente, os três números com suas 300 primeiras casas decimais: Número �

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998

6280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841

0270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120

1909145648566923460348610454326648213393607260249141273...


32

Número ϕϕϕϕ

1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902449

7072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333890

8659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104321626954862

6296313614438149758701220340805887954454749246185695364...

Número e

2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594

5713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323

2862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146

0668082264800168477411853742345442437107539077744992069...

Os três pontos utilizados nos números irracionais não têm o mesmo significado das dízimas

periódicas, por exemplo. Aqui significa que os algarismos se sucedem indefinidamente, sem nenhuma

lei de formação explicitada.

As raízes quadradas dos números naturais que são quadrados perfeitos (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...),

as raízes cúbicas de cubos perfeitos (0, 1, 9, 27, 64, ...) e assim por diante, são números naturais.

0 = 1

4 = 2

9 = 3

16 = 4

3 0 = 0

3 8 = 2

4 16 = 2

5 32 = 2

As raízes quadradas dos números naturais que não são quadrados perfeitos, cubos perfeitos e

assim por diante; são números irracionais.

3 = 1,732050808...

10 = 3,16227766...

61 = 7,810249676...

3 6 = 1,817120593...

6. Representação geométrica dos números irracionais Apesar de os irracionais não poderem ser escritos na forma de fração não é correto dizer que eles

não têm valor exato. Esse assunto foi objeto de preocupação entre os matemáticos da Escola pitagórica,

por volta séc. V a. C. Conta-se que Hippaso de Metaponto, filósofo grego, em uma embarcação


33

marítima, comprovou, geometricamente, que os números irracionais tinham um valor exato,

contradizendo as ideias dos pitagóricos fanáticos da época. Por esse motivo foi lançado ao mar.

Impossível de se verificar algebricamente, é verdade, mas de fácil visualização geométrica. Com

os números reais em mãos, situaremos cada um deles sobre uma reta, de modo que cada ponto da reta

representará um número real. Esse ponto será chamado imagem do número. Reciprocamente o número

será chamado de abscissa do ponto.

Para construí-la procedemos da seguinte forma:

1º passo: Marcamos, no eixo real, dois pontos para serem imagem de 0 e 1 respectivamente. Note que

AB = 1.

2º passo: Construímos um segmento BC, congruente a BA, com origem em B e que forma um ângulo

reto com o eixo. Observe:

3º passo: Ligamos os pontos A e C para formar o segmento AC. Pelo teorema de Pitágoras, descobrimos que AC tem medida igual a 2 .

4º passo: Giramos no sentido horário o segmento AC, em torno do ponto A, com o auxílio de um compasso, até se sobrepor ao eixo. Pronto! O local onde o ponto C tocou o eixo (C’) é a imagem de

2 . Observe:

A B 0 1

A B 0 1

C

1

1

A B 0 1

C

1

1 2

A B 0 1 2 2

C

1

1 2

C’


34

O tamanho da hipotenusa (segmento AC) fornece o valor exato de 2 . (Nesse caso não

consideramos imprecisões nos aparelhos de medida que dispomos). Devemos considerar réguas ideais,

embora não existam de fato.

Esse processo é válido para qualquer número irracional. Com esse raciocínio fica provado que, ao

contrário do que parece, os irracionais têm valor exato. Embora números desse tipo possuam infinitas

casas decimais com algarismos que nunca repetem (indício de não possuir valor exato), podemos

visualizar geometricamente (através de uma figura) que há um “tamanho” bem determinado para 2 ,

é igual a medida do segmento AC’. Esse um valor exato. Como todos os irracionais têm segmentos

cujo tamanho é igual ao seu valor, fica provado que qualquer número irracional tem valor exato,

embora a primeira vista pareça o contrário.

Veja, por exemplo, como representamos os números irracionais 2 , 3 e 2− na reta:

A construção que se segue é bastante sugestiva para a representação precisa dos números 2 ,

3 , 4 , 5 , ..., n , ... sobre a reta:


35

7. Provando que 2 é um número irracional Antes de provar a irracionalidade da 2 , devemos provar antes o seguinte:

Enunciado 1: Se um número é par, então o quadrado também é par. e Enunciado 2: Se o quadrado de um número é par, então esse número é par.

Em linguagem simbólica, temos: Se a é par, então a2 é par ⇔ Se a2 par, então a é par.

Vamos provar o enunciado 1: Pela hipótese, temos que o número é par. Façamos então, m = 2x, com x ∈ Z. Elevando ao

quadrado, temos:

m2 = (2x)2 = 4x2 = 2 . 2x2 Como x é inteiro, 2x2 também é. Qualquer número multiplicado por 2 é par. Portanto, o quadrado

de qualquer número par é par. (c.q.d.)

Vamos provar agora o enunciado 2, a recíproca do enunciado 1: Por hipótese, temos que o número é par. Vamos supor então que esse número seja ímpar.

Façamos então, m = 2x + 1, com x ∈ Z. Elevando ao quadrado, temos:

m2 = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 = 2(2x2 + 2x) + 1 Como x é inteiro, 2x2 + 2x também é. Mas qualquer número multiplicado por 2 e somado com 1

é sempre ímpar, o que contradiz a hipótese de que o número é par. Logo, temos um absurdo. Portanto,

se o quadrado do número é par, então esse número é par. (c.q.d.)

Agora, podemos provar a irracionalidade do número 2 .

I. Vamos supor, por absurdo, que 2 seja racional, isto é, que 2 possa ser escrito na forma ab

, com

a ∈ Z e b ∈ Z*, de modo que ab

seja irredutível (a e b são primos entre si). Temos, então, 2 = ab

.


36

II. Elevando os dois membros ao quadrado, obtemos 2 = 2

2

ab

, ou a2 = 2b2. Isso significa que a2 é par,

logo, a é par.

III. Por outro lado, como a fração ab

é irredutível e a é par, então b tem que ser ímpar.

IV. Se a é par, existe um número inteiro m tal que a = 2m. Substituindo em a2 = 2b2, temos:

(2m)2 = 2b2 � 4m2 = 2b2 � b2 = 2m2

Ou seja, se b2 é par, então b também é par. V. Essa última dedução é um absurdo, pois em III concluímos que b deveria ser ímpar e um número

não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo. E também, porque a e b devem ser primos entre si.

Por isso, concluímos que a hipótese de 2 ser racional é falsa e que, portanto, 2 é irracional.

Vejamos alguns exemplos envolvendo números reais. Exemplo 1: Prove que 2 + 3 não pode ser racional.

Resolução:

Seja x = 2 + 3 . Elevando ambos os membros ao quadrado temos: x2 = 2 + 2 6 + 3 Reagrupando, temos: x2 – 5 = 2 6 Elevando ao quadrado novamente, temos: x4 – 10x2 + 25 = 24 Reagrupando, temos: x4 – 10x2 + 1 = 0 As únicas raízes racionais possíveis desta equação são –1 e 1. Substituindo x por –1 e por 1,

nenhum desses dois valores satisfazem a equação. De modo que 2 + 3 , que satisfaz a equação, não

pode ser racional.


37

Exemplo 2: Indique um número irracional entre 223

e 233

.

Resolução:

Seja a o número procurado: 223

< a < 233

.

Como 223

e 233

são números positivos maiores que 1, então:

2

223

� ��

< a2 < 2

233

� ��

Logo, 4849

< a2 < 529

9.

Podemos atribuir a a2 qualquer fração que esteja entre 4849

e 529

9. Por exemplo, a2 =

4959

.

Logo, 4849

< 4959

< 529

9; então,

4849

< 55 < 529

9.

Extraindo a raiz de todos os membros dessa desigualdade, temos:

4849

< 55 < 5299

223

< 55 < 233

Assim, 55 está entre as duas frações dadas. 8. Para além dos complexos Uma pergunta natural, neste ponto, seria: os conjuntos numéricos param por aí? Ou seja, C

pode ser imerso propriamente em algum outro conjunto de números? A resposta é sim!

Hamilton estudou as equações do tipo x2 + y2 + 1 = 0 e criou o conjunto dos hiper-complexos,

também chamados de quarténions, no final do século XIX. Os hiper-complexos é uma duplicação dos

complexos e é representado por:

H = {z + w . l / z, w ∈ C, l2 = –1} O conjunto dos números complexos pode ser imerso no anel dos quatérnions de Hamilton que,

no entanto, não tem mais a estrutura algébrica de corpo porque a multiplicação deixa de ser

comutativa. Os quatérnios são hoje utilizados em robótica, computação gráfica e em outras áreas da

ciência.

Por sua vez, os quatérnions podem ser imersos nos octônions, no qual a multiplicação não é mais

associativa. Os octônions têm importantes aplicações em ramos da Física como relatividade especial e


38

teoria das cordas, além de ser relacionarem com outras estruturas matemáticas como os chamados

grupos de Lie excepcionais. É representado como:

O = {m + n . t / m, n ∈ H, t2 = –1}

Esse processo de imersão em conjuntos maiores pode prosseguir ad infinitum através da

chamada Construção de Cayley-Dickson. Um resultado algébrico fundamental, devido a Frobenius

(1848–1917), garante, no entanto, que as únicas álgebras com divisão finita sobre o corpo dos reais

são os reais, os complexos, os quatérnions e os octônions. Depois vem os sedenions.

Na Matemática e em suas aplicações, as estruturas de corpo ordenado completo dos reais e de

corpo algebricamente fechado dos complexos são importantes por várias razões, em especial, por

serem os corpos de escalares dos espaços vetoriais presentes em muitas áreas da Matemática.

Exercícios 19) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode se dizer que:

a) x • y é irracional;

b) y • y é irracional;

c) x + y é racional;

d) x – y + 2 é irracional;

e) x + 2y é irracional.

20) Classifique as sentenças em verdadeiras ou falsas e apresente um exemplo que confirme sua

afirmação.

a) O produto de dois números irracionais pode ser um racional.

b) A soma de um racional com um irracional é sempre um irracional

c) A soma de dois irracionais é sempre um número irracional.

d) Se x e y são racionas, então x + y é sempre racional.

e) 5 • x, se x é racional, esse número pode ser racional.

f) y3, se y é irracional, esse número pode ser racional.

21) Prove que a soma de dois números pares é sempre um número par. 22) Prove que a soma de dois números ímpares é sempre um número par. 23) Prove que o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar. 24) Prove que 3 é irracional. 25) Prove que p é irracional, onde p > 1 é um número primo qualquer.


39

26) Decida se cada uma das frases dadas é verdadeira (V) ou falsa (F). Não é preciso provar, basta

justificar a escolha feita.

a) Um número real com infinitas casas decimais não nulas é irracional.

b) Uma dízima periódica composta é um número irracional.

c) 0,9999... = 1

d) Entre os números 1,23456 e 1,23457 não existe nenhum número irracional.

e) Entre os números 1,23456 e 1,23457 não existe nenhum número racional.

f) A soma de dois números racionais pode ser um número irracional.

g) A soma de dois números irracionais pode ser um número racional.

h) A soma de dois números irracionais é um número irracional.

i) O produto de dois números irracionais é um número irracional.

j) Um número irracional elevado a um número racional pode dar um número racional.

27) Prove que 3 2 é um número irracional 28) Prove que os números abaixo são irracionais: a) 4 5 2− b) 3 2− c) 2 + 3 + 5

29) Coloque em ordem crescente os números reais: 1920

, 2 , 3 , 1, 5 e 1,2 .

30) Disponha em ordem decrescente os números: 2

2,

33

, 1, 2120

, 5

5 e 0,8 .

31) Observe os seguintes números: I. 2,212121...

II. 3,212223... III.

�

5

IV. 3,1416

V. 4−

Assinale a alternativa que identifica os números irracionais:

a) I e II b) I e IV c) II e III d) II e V e) III e V

32) Classifique as afirmações abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

a) –3 ∈ N b) 0 ∈ Z+ c) 3 ∈ Q

d) 30

∈ R e) 3− ∈ R f) 0,123123... ∈ Z


40

33) Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas:

a) Se x ∈ N, então x ∈ Z

b) Se x ∈ Z, então x ∈ N

c) Se x ∈ Q, então x ∈ R

d) Se x ∈ N, então x ∈ Q

34) Sendo y = 1 : 0,1 e x = 2 : 0,1, mostre que A = xy

e B = x(y 1)

y−

são irracionais, mas que A . B

é racional. 35) Identifique a afirmação verdadeira entre as seguintes:

a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos os

outros.

b) O número real 2 pode ser representado sob a forma pq

, sendo p e q inteiros, q � 0.

c) O número real representado por 0,37222... é um número racional.

d) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.

e) O quadrado de qualquer número real é um número racional.

36) Sejam a, b e c números reais quaisquer. Identifique a afirmação verdadeira:

a) a > b ⇔ a2 > b2

b) a > b ⇔ ac > bc

c) 2 2a + b � a

d) c c c

= + a + b a b

e) a2 = b2 ⇔ a = b

37) Escreva um número:

a) natural

b) inteiro negativo

c) racional que não inteiro

d) real e não racional

38) Localize os números 5 , 6 , 7 , 8 e 9 na reta real geometricamente.

39) Mostre que o número x = 2 + 2 + 2 + 2 + ... é racional. (Sugestão: eleve ao quadrado os

dois membros.)


41

Parte V – Fundamentos Axiomático dos números reais 1. Enumerabilidade Diz-se que um conjunto é enumerável quando seus elementos podem ser postos em

correspondência biunívoca com os números naturais.

Por exemplo, os números pares 2, 4, 6, ..., constituem um conjunto enumerável, como se vê a

seguir:

Números pares 2 4 6 8 � � � � Números naturais 1 2 3 4 Um dos primeiros fatos surpreendentes que surge na consideração de conjuntos infinitos diz

respeito à possibilidade de haver equivalência entre um conjunto e um seu subconjunto próprio. Por

exemplo, a correspondência n → 2n, que ao 0 faz corresponder 0, ao 1 faz corresponder 2, ao 2 faz

corresponder 4, etc., estabelece equivalência entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos

números pares positivos. Veja: o conjunto dos números pares positivos é um subconjunto próprio do

conjunto N; no entanto, tem a mesma cardinalidade que N, ou seja, o mesmo número de elementos.

Este fenômeno é uma peculiaridade dos conjuntos infinitos e em nada contradiz o que já sabemos

sobre conjuntos finitos.

1.1. A enumerabilidade em Q O conjunto dos números racionais é enumerável. Se eu tiver “etiquetas” com os números 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, ... eu consigo dar uma “etiqueta” para cada número racional.

A enumerabilidade não precisa preservar a ordem de valores dos números.

0 1/2 1 1 2 3


42

3

2

4

5

6

7

1

1.2. Como enumerar os racionais?

0 1 12

13

14

15

...

2 23

25

27

29

2

11 ...

3 32

34

35

37

38

...

4 � Nessa matriz infinita, estão gerados todos os números racionais. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números ímpares positivos.

Resolução: n � 2n + 1

Exemplo 2: Demonstre que o conjunto dos números racionais, entre 0 e 1 inclusive, é enumerável.

Resolução:

Basta escrever todas as frações de denominador 2, 3, ... considerando só uma vez as frações

equivalentes como 12

, 24

, 36

, ... Então, pode-se estabelecer a correspondência biunívoca com os

números naturais como segue:

Números racionais 0 1 12

13

23

14

34

15

25

...

� � � � � � � � � Números naturais 0 1 2 3 4 5 6 7 8 De modo que o conjunto dos números racionais, entre 0 e 1 inclusive, é enumerável. Exemplo 3: Prove que o conjunto de todos os reais em [0, 1] não é enumerável.

Resolução:

Todo real em [0, 1] admite uma representação decimal 0, a1, a2, a3 ..., onde a1, a2, ..., são

quaisquer algarismos 0, 1, 2, ..., 9.

Admitimos que os números cuja representação decimal seja finita, tais como 0,7324, se escrevam

0,73240000..., e que essa representação é equivalente a 0,73239999...


43

Se os reais em [0, 1] formam um conjunto enumerável, podemos colocá-los em correspondência

biunívoca com os números naturais, como se segue abaixo:

1 � 0, a11 a12 a13 a14 ...

2 � 0, a21 a22 a23 a24 ...

3 � 0, a31 a32 a33 a34 ...

� �

Formemos, agora, o número b = 0, b1, b2, b3, b4 ..., onde b1 � a11, b2 � a22, b3 � a33, b4 � a44, ... e

onde, acima de uma certa ordem, os b não são todos iguais a 9. Um tal número, que pertence a [0, 1], é

diferente de todos os números do quadro acima, não figurando, assim, no mesmo, o que contraria a

hipótese de que todos os números de [0, 1] tenham sido incluídos.

Essa contradição mostra que os reais em [0, 1] não podem ser colocados em correspondência

biunívoca com os números naturais, portanto, o conjunto dos reais em [0, 1] não é enumerável.

2. Conjuntos densos Sejam os conjuntos A = {x ∈ Z / –2 � x � 2} e B = {x ∈ R / –2 � x < 2}.

Enquanto podemos enumerar os elementos do conjunto A, A = {–2, –1, 0, 1, 2}, o mesmo não

ocorre para B, pois seus elementos são infinitos números reais que se situam entre o –2 e o 2.

Por isso, o conjunto B é chamado conjunto denso.

No entanto, é possível representar B desenhando seus elementos na reta real:

• Marcamos as extremidades do conjunto dado. • Como –2 é elemento de B, indicamos esse ponto com uma bola cheia; como 2 não é elemento de

B, indicamos com uma bola vazia

• Como x é um número maior ou igual a –2 e menor que 2, sombreamos a reta neste intervalo.

–2 2

–2 2

–2 2


44

3. Distâncias e Vizinhanças Ao número real não negativo d(x, y) = x y− chama-se distância entre os números reais x e y .

São imediatas as seguintes propriedades:

P1: d(x, y) = 0 ⇔ x = y; P2: d(x, y) = d(y, x) (simetria); P3: d(x, y) � d(x, z) + d(z, y) (desigualdade triangular).

Dado o real a ∈ R e sendo � > 0 ao conjunto (intervalo), chama-se uma vizinhança de a com raio

�, ao conjunto:

{x / d(x, a) < �} = {x / x a− < �} = ]a – �, a + �[ ,

4. Extremos Se, para todos os números x de um conjunto C de números reais, existe um M tal que x � M, o

conjunto diz-se limitado à direita ou limitado superiormente, e M é uma cota superior ou majorante.

Analogamente, se x � m, ou seja, m � x, o conjunto é limitado à esquerda ou limitado

inferiormente, e m é uma cota inferior ou minorante. Se tivermos, para todo x, m � x � M, o conjunto

diz-se limitado.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente, mas não superiormente. Logo,

não é limitado.

Exemplo 2: O conjunto dos números racionais menores do que 8 é limitado superiormente, mas não

inferiormente. Logo, não é limitado.

Exemplo 3: O conjunto dos números reais x tais que x2 � 10 é limitado, tanto à direita como à

esquerda; tal conjunto é o mesmo que o intervalo fechado 10, 10� �−� �, isto é,

10, 10� �−� � = { }2 x R / x 10∈ ≤ = { }x R / 10 x 10∈ − ≤ ≤

Um conjunto como este último, que é limitado à direita e à esquerda ao mesmo, é dito,

simplesmente, conjunto limitado. É também limitado qualquer intervalo de extremos finitos a e b.


45

Quando um conjunto é limitado superiormente, ele pode ter um elemento que seja o maior de

todos, o qual é chamado o máximo do conjunto. Por exemplo, o conjunto dos números racionais x tais

que x � 10 tem 10 como seu máximo.

Exemplo 4: O conjunto A = 1 2 3 n

, , , ..., , ...2 3 4 n + 1

� ��

não tem máximo, embora seja limitado

superiormente. Os elementos desse conjunto, como vemos, são frações dispostas de maneira crescente:

1 2 3 n

< < < ... < < ...2 3 4 n + 1

Nenhuma dessas frações é maior do que todas as outras. Pelo contrário, qualquer delas é superada

pela que vem logo a seguir, isto é, n n + 1

< n + 1 n + 2

.

4.1. Máximo e Mínimo Máximo é o majorante (ou cota superior) que pertence ao conjunto.

Mínimo é o minorante (ou cota inferior) que pertence ao conjunto.

Por exemplo, o conjunto A = [1, 5[ = {x ∈ R / 1 � x < 5} é limitado superiormente (pelo 5 ou

qualquer real maior que 5) e limitado inferiormente (pelo 1 ou qualquer real menor que 1), mas não

tem máximo, pois 5 é o MENOR dos majorantes e não pertence ao intervalo.

Entretanto, o conjunto A tem mínimo, pois 1 ∈ A e o 1 é o MAIOR dos minorantes.

4.2. Supremo e Ínfimo

Definição: A menor cota superior de um conjunto A, quando existe, denomina-se supremo de A e indica-se

por sup A.

A maior cota inferior de um conjunto A, quando existe, denomina-se ínfimo de A e indica-se

por inf A.


( ) A

maior dos menor dos minorantes majorantes


46

Exemplo 5: No conjunto A = [1, 5[, 5 é o supremo de A e 1 é o ínfimo de A. Temos, então:

5 = sup A e 1 = inf A

Exemplo 6: No conjunto A = {1, 2, 3}, temos:

a) 1 é o mínimo de A, 1 = min A; 3 é máximo de A, 3 = max A.

b) 3, 103

, 100 são cotas superiores de A.

c) 1, 0, 12

− são cotas inferiores.

Exemplo 7: Seja o conjunto A = *12 + , n N

n� �∈� ��

. Verifique se:

a) A é limitado superiormente? Tem sup A? Tem máximo?

b) A é limitado inferiormente? Tem inf A? Tem mínimo?

c) É limitado?

Resolução:

a) Temos que A = {2; 2,1; 2,2; ...; 3}, portanto A = ]2, 3].

É limitado superiormente pelo 3, pelo 5,2 etc. Temos que 3 = sup A = max A.

b) É limitado inferiormente pelo 2, pelo 0 etc.

Temos que 2 = inf A e não existe min A.

c) É limitado.

Exemplo 8: Seja o conjunto A = { }2x R / x 5x + 6 > 0∈ − . Verifique se:



c) É limitado?

Resolução:

x2 – 5x + 6 > 0

x2 – 5x + 6 = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

x = 2 e x = 3 A = ]–�, 2[ ]3, +�[

x < 2 ou x > 3

2 3


47

a) Não é limitado superiormente. Não existe sup A e nem máx. A. b) Não é limitado inferiormente. Não existe inf A e nem min. A. c) Não é limitado.

Exercícios

40) Seja o conjunto A = *23 , n N

n� �− ∈� ��

. Verifique se:



c) É limitado?

41) Seja o conjunto A = *52 , n N

n� �− ∈� ��

. Verifique se:



c) É limitado?

42) Seja o conjunto A = { }2x R / 2x 5x > 0 e 1 x 0∈ − − ≥ . Verifique se:



c) É limitado?

43) Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números quadrados perfeitos. 44) Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números cubos perfeitos. 45) Em nossa vida, lidamos com conjuntos que têm a qualidade de serem densos. Um exemplo disso é

o tempo: qual é o instante que é sucessor das 10 horas? É impossível se definir, assim como

percebemos que entre dois instantes de tempo há uma infinidade de instantes. Pense em outras duas

situações que envolvam conjuntos densos.

46) Classifique em verdadeira ou falsa as expressões matemáticas a seguir.

a) N ⊂ Z b) R – I = Q d) Z Q = Q d) Q I = Q

47) A intersecção dos três conjuntos R C, (N Z) Q e N (Z Q) é: a) N

b) ∅

c) Q

d) R

e) Z


48

5. Números algébricos e transcendentes Chama-se número algébrico um número x que é solução da equação polinomial a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1 x + an = 0 onde a0 � 0, os ai são inteiros e n é um inteiro positivo (grau da equação).

Número transcendente é aquele que não pode ser raiz de nenhuma equação polinomial de

coeficientes inteiros.

Por exemplo, 23

e 2 , que são soluções de 3x – 2 = 0 e de x2 – 2 = 0, respectivamente, são

números algébricos.

Os números � e e são números transcendentes. Ainda não é possível determinar se um número

tal como e � é algébrico ou não.

O conjunto dos números algébricos é infinito enumerável, mas o conjunto dos números

transcendentes é infinito não-enumerável.


Exemplo 1: Prove que 2 + 3 é um número algébrico.

Resolução:

Para provar que um número algébrico, basta provar que o número é raiz de uma equação

polinomial com coeficientes inteiros.

Seja x = 2 + 3 . Mediante duas quadraturas consecutivas, é possível livrar-se dos radicais.

Então, temos:

x2 = 2 + 3

x2 – 2 = 3

x4 – 4x2 + 4 = 3

x4 – 4x2 + 1 = 0

Como se trata de uma equação polinomial com coeficientes inteiros, segue-se 2 + 3 , que é

solução, é um número algébrico.


49

Exemplo 2: Prove que 3 2 + 3 é um número algébrico.

Resolução:

Seja x = 3 2 + 3 . Então, x – 3 = 3 2 . Elevando ao cubo e simplificando, temos:

x3 – 3x2 3 + 3x . 3 + 33 = 2

x3 – 3x2 3 + 9x + 3 3 = 2

Reorganizando, temos: x3 + 9x – 2 = 3x2 3 – 3 3

x3 + 9x – 2 = 3 3 (x2 + 1)

Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando, temos: x6 + 81x2 + 4 + 18x4 – 4x3 – 18x = 9 . 3 (x4 + 2x2 + 1)

x6 + 18x4 – 4x3 + 81x2 – 18x + 4 = 27 (x4 + 2x2 + 1)

x6 + 18x4 – 4x3 + 81x2 – 18x + 4 = 27x4 + 54x2 + 27

x6 + 18x4 – 4x3 + 81x2 – 18x + 4 – 27x4 – 54x2 – 27 = 0

x6 – 9x4 – 4x3 + 27x2 – 18x – 23 = 0

Como se trata de uma equação polinomial com coeficientes inteiros, segue-se 3 2 + 3 , que é


Exercícios 48) Prove que os números abaixo são algébricos:

a) 3 23 + 2

−

b) 2 + 3 + 6

49) Prove que 1 + i 3− é um número algébrico.

50) Mostre que o número 5 3 1 + 2− é algébrico. 51) Demonstre que 2 é um número algébrico de grau 2. 52) Demonstre que 3 3 é um número algébrico de grau 3.

53) Mostre que 4 + 2 3 = 1 + 3 .

54) Mostrar que existem a e b inteiros positivos tais que 18 8 2− = a + b 2 .


50

55) Se todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica, então será sempre possível

representar um racional como uma soma de infinitas frações. Por exemplo, no caso dos racionais 45

e

76

, essas somas seriam:

45

= 0,8 = 0,7999... = 2 3 4

7 9 9 9 + + + + ...

10 10 10 10

76

= 1,1666... = 2 3 4

1 6 6 61 + + + + + ...

10 10 10 10

Usando essa mesma ideia, escreva as frações a seguir como soma de infinitas frações:

a) 38

b) 73

c) 75

d) 109

56) Prove que 32 + 2 é irracional. 57) Determine, caso existam, o máximo, mínimo, supremo e ínfimo.

a) A = {x ∈ R / –3 � x � 4}

b) A = {x ∈ R / –3 < x < 4}

c) A = {x ∈ R / x < 5}

d) A = {x ∈ R / x � 2}

e) A = { }x R / 3x 1 > 1∈ −

f) A = {–3, –1, 0, 2, 1}

g) A = n

/ n Nn + 1

� �∈� ��

58) Em relação ao exercício 58, quais conjuntos são limitados superiormente e quais são limitados inferiormente?

59) A = 2

2

x / x R

1 + x� �

∈� ��

é limitado superiormente? Por quê?


51

CAPÍTULO III Sequência ou sucessão numérica

1. Definição Uma sequência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma ordem definida:

a1, a2, a3, a4, ..., an, ... O número a1 é chamado primeiro termo, a2 é o segundo termo e, em geral, an é o n-ésimo

termo. Podemos lidar exclusivamente com sequências infinitas e, assim, cada an terá um sucessor an + 1.

Note que, para cada inteiro positivo n, existe um número correspondente an e, dessa forma, uma

sequência pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. Mas

geralmente escrevemos an em vez da notação de função f(n) para o valor da função no número n.

NOTAÇÃO: A sequência {a1, a2, a3, ...} é também denotada por:

{an} ou { }n n = 1

a ∞

Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Algumas sequências podem ser definidas dando uma fórmula para o n-ésimo termo. Nos

exemplos a seguir, damos três descrições da sequência: uma usando a notação anterior, outra

empregando a fórmula da definição e uma terceira escrevendo os termos da sequência. Note que

n não precisa começar em 1.

a) n = 1

nn + 1

∞� ��

n

na =

n + 1

1 2 3 4 n, , , , ..., , ...

2 3 4 5 n + 1� ��

b) n

nn = 1

( 1) (n + 1)3

∞� �−� ��

n

n n

( 1) (n + 1)a =

3−

n

n

2 3 4 5 ( 1) (n + 1), , , , ..., , ...

3 9 27 81 3� �−− −� ��

c) { }n = 3

n 3∞

− na = n 3, n 3− ≥ { }0, 1, 2, 3, ..., n 3, ...−

d) n = 0

n�cos

6

∞� ��

n

n�a = cos , n 0

6>

3 1 n�, , 0, ..., cos , ...

2 2 6

� ��


52

Exemplo 2: Ache uma fórmula para o termo geral an da sequência 3 4 5 6 7

, , , , , ...5 25 125 625 3 125� �− −� ��

assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.

Resolução:

Nos é dado que: a1 = 35

a2 = 4

25− a3 =

5125

a4 = 6

625− a5 =

73 125

Observe que os numeradores dessas frações começam com 3 e são incrementados por 1 à medida

que avançamos para o próximo termo. O segundo termo tem numerador 4; o terceiro, numerador 5;

generalizando, o n-ésimo termo terá numerador n + 2. Os denominadores são potências de 5, logo an

tem denominador 5n. Os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo, assim precisamos

multiplicar por uma potência de –1.

No exemplo 1(b) o fator (–1)n significa que começamos com um termo negativo. Neste exemplo,

queremos começar com um termo positivo e assim usamos (–1)n – 1 ou (–1)n + 1. Portanto,

n 1n n

n + 2a = ( 1)

5−−

Exemplo 3: Vejamos algumas sequências que não tem uma equação de definição simples.

a) A sequência {pn}, onde pn é a população do mundo no dia 1º de janeiro do ano n.

b) Se fizermos an ser o dígito da n-ésima cada decimal do e, então {an} é uma sequência bem

definida cujos primeiros termos são {7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, ...}

c) A sequência de Fibonacci {fn} é definida recursivamente pelas condições: f1 = 1, f2 = 1,

fn = fn – 1 + fn – 2, com n � 3. Cada termo é a soma dos dois termos precedentes. Os primeiros termos

são: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...}

Essa sequência surgiu quando o matemático italiano conhecido como Fibonacci resolveu, no

século XIII, um problema envolvendo a reprodução de coelhos.

Quando a sequência não possuir lei de formação, denota-se por sequência “randômica”

(aleatório).


53

2. Limite de uma sequência O limite de uma sequência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A mesma dá

uma definição rigorosa à ideia de uma sequência que converge até um ponto chamado limite. De forma

intuitiva, supondo que se tem uma sequência de pontos (por exemplo, um conjunto infinito de pontos

numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objeto matemático (por exemplo,

os números reais ou um espaço vetorial) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de “todos os

pontos dentro de uma certa distância de um dado ponto fixo”). Um ponto L é o limite da sequência se

para toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da sequência (com a possível exceção de um

número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houvesse um conjunto

de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em L, e para qualquer destas esferas, só

existiria um número finito de números fora dela.

A sequência n

na =

n + 1 pode ser desenhada plotando-se seus termos em uma reta, como na

figura 1, ou plotando-se seu gráfico, como na figura 2. Note que, como uma sequência é uma função

cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos, seu gráfico consiste em pontos isolados com

coordenadas:

(1, a1) (2, a2) (3, a3) ... (n, an) ...

Figura 1 – Plotagem dos termos de uma sequência em uma reta

Figura 1 – Plotagem dos termos de uma sequência no plano cartesiano


54

Observando as figuras 1 e 2, é possível notar que os termos da sequência n

na =

n + 1 estão ser

aproximando de 1 quando n se torna grande. De fato, a diferença:

n

n + 1 =

n + 1 1n + 1 n + 1

− = 1

1n + 1

−

pode ser tão pequena quanto se desejar tomando-se n suficientemente grande. Indicamos isso

escrevendo:

n

nlim

n + 1→∞ = 1

Em geral, a notação nnlim a = L

→∞, significa que os termos da sequência {an} aproxima-se de L

quando n torna-se grande. Note que a seguinte definição precisa do limite de uma sequência é muito

parecida com a definição de um limite de uma função no infinito.

Definição 1: Uma sequência {an} tem o limite L e escrevemos

nn

lim a = L→∞

ou na L→ quando n → ∞

se podemos fazer os termos an tão perto de L quanto se queira ao se fazer n suficientemente grande. Se

nnlim a

→∞ existir, dizemos que a sequência converge (ou é convergente). Caso contrário, dizemos que a

sequência diverge (ou é divergente).

A figura 3 ilustra a definição 1 mostrando os gráficos de duas sequências que têm limite L.

Figura 3. Gráfico de duas sequências com →∞n

lim a = Ln


55

Uma versão mais precisa da definição 1 é a seguinte: Definição 2: Uma sequência {an} tem o limite L e escrevemos nn

lim a = L→∞

ou na L→ quando n → ∞

se para cada � > 0 existir um correspondente inteiro N tal que na L < �− sempre que n > N.

A definição 2 é ilustrada pela figura 4, na qual os termos a1, a2, a3, ... são plotados em uma reta.

Não importa quão pequeno um intervalo (L – � , L + � ) seja escolhido, existe um N tal que todos os

termos da sequência de aN + 1 em diante devem estar naquele intervalo.

Figura 4. Definição 2

Outra ilustração da definição 2 é dada na figura 5. Os pontos no gráfico de {an} devem estar entre

as retas horizontais y = L + � e y = L – � se n > N. Esse desenho deve ser válido não importa quão

pequeno � seja escolhido, mas geralmente � menor requer N maior.

Figura 5. Definição 2

Se an se tornar grande n se tornar grande, usaremos a notação nn

lim a = →∞

∞ . Temos:

Definição: nn

lim a = →∞

∞ significa que para cada número positivo M existe um inteiro N tal que an > N

sempre que n > M.

Se nn

lim a = →∞

∞ , então a sequência {an} é divergente. Dizemos que {an} diverge para ∞ .


56

3. Propriedades sobre limites de sequência

Se {an} e {bn} forem sequências convergentes e c for uma constante, então:

( )n n n nn n nlim a b = lim a lim b

→∞ →∞ →∞± ± n nn n

lim ca = c lim a→∞ →∞

�

nlim c = c

→∞ ( )n n n nn n n

lim a b = lim a lim b→∞ →∞ →∞

�

nnn

nn nn

lim aalim =

b lim b→∞

→∞→∞

( )n

pp

nn nlim a = lim a

→∞ →∞ se p > 0 e an > 0

O Teorema do Confronto também pode ser adaptado para sequências.

Se an � bn � cn para n � n0 e n nn nlim a = lim b = L

→∞ →∞, então nn

lim b = L→∞

.

Figura 6. Teorema do Confronto

As sequências {bn} está entre as sequências {an} e {cn}.

Outro fato útil sobre limites de sequências é dado pelo seguinte teorema.

n nn nlim a = 0, então lim a = 0

→∞ →∞



57

Exemplo 1: Verifique se a sequência n

na =

n + 1 é convergente ou divergente. Se ela convergir,

encontre o limite.

Resolução: Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de n e usando as

propriedades dos limites temos:

lim an = n

nlim

n + 1→∞ =

n

1lim

11 +

n→∞

= n

n n

lim1

1lim1 + lim

n

→∞

→∞ →∞

= 1

1 + 0 = 1

Portanto, a sequência n

na =

n + 1 é convergente e converge para 1.

Exemplo 2: Verifique se a sequência 2

n 2

3n n 2a =

8n + 4n + 1− −

é convergente ou divergente. Se ela

convergir, encontre o limite.



lim an = 2

2n

3n n 2lim

8n + 4n + 1→∞

− − =

22

n 22

1 2n 3

n nlim4 1

n 8 + + n n

→∞

� − − ��

= 2n n n

2n n n

1 2lim 3 lim lim

n n4 1

lim8 + lim + limn n

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

− − =

= 3 0 0

8 + 0 + 0− −

= 38

Portanto, a sequência 2

n 2

3n n 2a =

8n + 4n + 1− −

é convergente e converge para 38

.


n 2

4n + 2n 2a =

2n + 5n + 1−

é convergente ou divergente. Se ela

convergir, encontre o limite.



lim an = 3

2n

4n + 2n 2lim

2n + 5n + 1→∞

− =

32 3

n 32 3

2 2n 4 +

n nlim2 5 1

n + + n n n

→∞

� − ��

= 2 3n n n

2 3n n n

2 2lim 4 + lim lim

n n2 5 1

lim + lim + limn n n

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

− =


58

= 4 + 0 00 + 0 + 0

− =

40

= ∞

Portanto, a sequência 3

n 2

4n + 2n 2a =

2n + 5n + 1−

é divergente.

Exemplo 4: Verifique se a sequência n

ln na =

n é convergente ou divergente.

Resolução: Note que numerador e denominador se aproximam do infinito quando n → ∞ . Não

podemos empregar a Regra de L’Hôpital diretamente, porque ela não se aplica a sequências, mas sim a

funções de uma variável real. Contudo, podemos usar a Regra de L’Hôpital para a função relacionada

f(x) = ln x

x. Assim, temos:

x

ln xlim

x→∞ =

x

1xlim1→∞

= 01

= 0

Portanto, n

ln nlim

n→∞ = 0.

Exemplo 5: Determine quando a sequência an = (–1)n é convergente ou divergente.

Resolução: Se escrevemos os termos da sequência, obteremos: {–1, 1, –1, 1, –1, 1, –1, ...} O gráfico dessa sequência é exibido na figura 7. Como os termos oscilam entre 1 e –1 infinitamente, an não se aproxima de número algum. Então, ( )n

nlim 1

→∞− não existe; isto é, a sequência

{(–1)n} é divergente.

Figura 7. Exemplo de sequência divergente


59

Exemplo 6: Avalie ( )n

n

1lim

n→∞

− se ele existir.

Resolução: Temos que ( )n

n

1lim

n→∞

− =

n

1lim

n→∞ = 0.

Assim, temos que ( )n

n

1lim

n→∞

− = 0.

Figura 8. Exemplo de sequência convergente

Exemplo 7: Para que valores de r a sequência {rn} é convergente?

Resolução: Dada a função exponencial f(x) = ax, sabemos que os gráficos das funções exponenciais

são crescentes quando a > 1 e decrescentes quando 0 < a < 1. Portanto, temos que:

x

xlim a =

→∞∞ para a > 1 e x

xlim a = 0

→∞ para 0 < a < 1.

Fazendo a = r, temos:

n

n

se r > 1lim r =

0 se 0 < r < 1→∞

∞��

É óbvio que n

nlim1 = 1

→∞ e n

nlim 0 = 0

→∞.

Se –1 < r < 0, então 0 < r < 1, assim:

n

nlim r

→∞ = n

nlim r

→∞ = 0

e portanto n

nlim r

→∞ = 0. Se r � –1, então {rn} diverge como no Exemplo 5. A figura 9 mostra os gráficos

para vários valores de r. (O caso r = –1 é mostrado na figura 7.)


60

Figura 9. A sequência an = rn

Os resultados do Exemplo 7 estão resumidos a seguir: A sequência {rn} é convergente se –1 < r � 1 e divergente para todos os outros valores de r.

n

n

0 se 1 < r < 1lim r =

1 se r = 1→∞

−��

Exercícios 60) O que é uma sequência? 61) O que significa dizer que nn

lim a = 8→∞

?

62) O que significa dizer que nn

lim a = →∞

∞ ?

63) O que é uma sequência convergente? Dê dois exemplos. 64) O que é uma sequência divergente? Dê dois exemplos. 65) Liste os cinco primeiros itens das sequências abaixo:

a) ( )nna = 1 0,2−

b) n

n + 1a =

3n 1−

c) ( )n

n

3 1a =

n!−

d) n

n�a =sen

2

e) a1 = 3, an + 1 = 2an – 1

f) a1 = 4, an + 1 = n

n

aa 1−

g) an = 3n – 1


61

66) Encontre uma fórmula para o termo geral an das sequências abaixo, assumindo que o padrão dos

primeiros termos continua.

a) {2, 9, 16, 23, ...}

b) {8, 27, 64, 125, ...}

c) {–3, 9, –27, 81, ...}

d) 7 49 343

, , , ...3 5 7

� �−� ��

e) {1, 7, 25, 54, ...}

f) 3 9 27 81

, , , , ...2 4 8 16

� ��

g) {2, 5, 10, 17, ...}

h) {2, 8, 18, 162, ...}

i) {1, 8, 27, 64, ...}

j) {2, 9, 28, 65, ...}

k) 3 9 27 81

, , , , ...2 4 6 8

� �− −� ��

l) 1 2 3 4

, , , , ...3 4 5 6� ��

m) 2 3 4 5

, , , , ...4 9 14 19

� ��

n) 2 4 8 16

, , , , ...9 27 81 243� ��

o) 25 125 625 3125

, , , , ...8 16 32 64

� �− −� ��

p) 1 1 1 1

, , , , ...25 125 625 3125

� ��

q) 1 1 1 1

, , , , ...5 7 9 11� ��

r) 1 1 1 1

, , , , ...5 7 11 19� ��

s) 1 1 3 5

, , , , ...7 10 13 16

� �−� ��

t) 1 4 9 16

, , , , ...2 3 4 5

� �− −� ��

u) 2 4 5 6

, , , , ...7 8 9 10

� �− −� ��

v) 1 2 3 4

, , , , ...2 5 10 17

� ��

x) {1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000, ...}

w) {2, 16, 512, 65 536, ...}

y) {16, 32, 64, 128, ...}

z) {4, 9, 16, 25, ...}

67) Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se ela convergir, encontre o limite.

a) a = n(n 1)n −

b) n + 1

a = n 3n 1−

c) 2

2

3 + 5na = n n + n

d) n

a = n 1 + n

e) n

n + 1

2a = n 3

f) n

a = n 1 + n

g) n

a = cosn 2� ��

h) 2

a = cosn n� ��

i) ( )( )

2n 1 !a = n 2n + 1 !

� �−� ��

j) 2n 3

a = n 3n + 7−

k) 5 2

7 3

2n 4na = n 3n + n 10

−−


62

68) Se R$ 1 000,00 forem investidos a uma taxa de juros de 6%, compostos anualmente, depois de n

anos, o investimento valerá an = 1 000(1,06)n reais.

a) Encontre os cinco primeiros termos da sequência {an}.

b) A sequência é convergente ou divergente? Explique.

69) Calcule o limite da sequência 2, 2 2 , 2 2 2 , ...� ��

4. Sequências monótonas crescente e decrescente

Uma sequência {an} é denominada crescente se an < an + 1 para todo n � 1, isto é, a1 < a2 < a3 < ...

Uma sequência {an} é denominada decrescente se an > an + 1 para todo n � 1.

É dita monotônica se for crescente ou decrescente.



a = n n + 5 é decrescente.

Resolução: Para a sequência ser decrescente, devemos ter an > an + 1. Então:

3

n + 5 >

3(n + 1) + 5

3

n + 5 >

3n + 6

Multiplicando cruzado vem: 3(n + 6) > 3(n + 5)

3n + 18 > 3n + 15

18 > 15

18 > 15 é verdadeiro para todo n � 1. Portanto, an > an + 1, e assim {an} é decrescente.


63

Exemplo 2: Mostre que a sequência an = 2n é crescente.

Resolução: Para a sequência ser crescente, devemos ter an < an + 1. Então: 2n < 2n + 1

2n < 2n . 2 Para todo n � 1, temos que 2n é positivo, logo podemos dividir ambos os lados por 2n que a

desigualdade permanecerá. Então:

1 < 2

1 < 2 é verdadeiro para todo n � 1. Portanto, an < an + 1, e assim {an} é crescente.


na = n n + 1

é decrescente.

Resolução: Devemos mostrar que an > an + 1, isto é:

2

nn + 1

> 2

n + 1(n + 1) + 1

2

nn + 1

> 2

n + 1n + 2n + 2

Essa desigualdade é equivalente àquela que obtivemos pela multiplicação cruzada. n(n2 + 2n + 2) > (n2 + 1)(n + 1)

n3 + 2n2 + 2n > n3 + n2 + n + 1

2n2 + 2n > n2 + n + 1

n2 + n > 1

É óbvio que para todo n � 1, é verdadeiro para n2 + n > 1. Portanto, an > an + 1, e assim {an} é

decrescente.


64

Exemplo 4: Verifique se a sequência an = en + e–n é crescente ou decrescente.

Resolução: Vamos verificar se sequência é crescente, ou seja, an < an + 1. Caso contrário será

decrescente. Temos então:

en + e–n < en + 1 + e–(n + 1)

en + e–n < en + 1 + e–n – 1

en – en + 1 < e–n – 1 – e–n

en – en . e < e–n . e–1 – e–n

en (1 – e) < e–n (e–1 – 1)

n

n

11e e <

e 1 e−

−

− � e2n <

1 ee

1 e

−

− �

e2n < 1 e 1

. e 1 e−

− � e2n <

1e

� e2n < e–1

Como e > 0, temos então: 2n < –1, o que é falso, pois para todo n � 1, 2n é sempre positivo. Portanto, assim {an} é decrescente.

Definição:

Se an é monótona crescente, então a sequência é limitada inferiormente pelo seu primeiro

termo. Ou seja, se existir um número m de forma que m � an para todo n � 1.

Analogamente, se a sequência for monótona decrescente, ela será limitada superiormente.

Ou seja, se existir um número M de forma que an � M para todo n � 1.

Se ela for limitada superiormente e inferiormente, então an é uma sequência limitada.

Teorema da Sequência Monotônica: Toda sequência limitada, monotônica, é convergente. Uma sequência que é crescente e limitada superiormente é convergente. Do mesmo modo, uma

sequência decrescente que é limitada inferiormente é convergente. Esse fato é usado muitas vezes para

lidar com séries infinitas, assunto que veremos no 2º semestre.


65

Exercícios 70) Determine se as sequências abaixo são crescente, decrescente ou não monotônica.

a) n

1a = n 5

b) 1

a = n 2n + 3

c) 2n 3

a = n 3n + 4−

d) n1 e

a = n n1 + e−

e) n ne e

a = n n ne + e

−

−

−

f) 2n + 2n 3

a = n 2n 1−

−

g) 2

2

3n 2a = n 5n + 1

−

71) Verifique se as sequências do exercício 70 são limitadas. 72) Suponha que você saiba que an é uma sequência decrescente e que todos os termos estão entre os

números 5 e 8. Explique por que a sequência tem um limite. O que você pode dizer sobre o valor do

limite?

5. Funções contínuas O limite de uma função quando x tende a a pode muitas vezes ser encontrado simplesmente

calculando-se o valor da função em a. As funções com essa propriedade são chamadas contínuas em a.

A definição matemática de continuidade correspondente estreitamente ao significado da palavra

continuidade na linguagem do dia-a-dia. (O processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem

interrupções ou mudanças abruptas.)

Definição 1: Uma função f é contínua em número a se

x alim f(x)

→ = f(a).

Observe que a Definição 1 implicitamente requer três coisas para a continuidade de f. (Ver

figura 10).

1) f(a) está definida (isto é, a está no domínio de f)

2) x alim (x)f

→ existe

3) x alim (x)f

→ = f(a)


66

Figura 10. Continuidade no ponto a

A definição diz que f é contínua em a se f(x) tender a f(a) quando x aproxima-se de a. Assim,

uma função contínua f tem a propriedade que uma pequena variação em x produza apenas uma

pequena modificação em f(x). De fato, a alteração em f(x) pode ser mantida tão pequena quanto

desejarmos mantendo a variação em x suficientemente pequena.

Se f está definida próximo de a (em outras palavras, f está definida em um intervalo aberto

contendo a, exceto possivelmente em a), dizemos que f é descontínua em a, ou que f tem uma

descontinuidade em a, se f não é contínua em a.

Os fenômenos físicos são geralmente contínuos. Por exemplo, o deslocamento ou a velocidade de

um veículo varia continuamente com o tempo, como a altura das pessoas. Mas a descontinuidade

ocorre em situação tal como a corrente elétrica.

Geometricamente, podemos pensar em uma função contínua em todo número de um intervalo

como sendo uma função cujo gráfico não se quebra. O gráfico pode ser desenhado sem remover sua

caneta do papel.


Exemplo 1: A figura seguinte mostra o gráfico de uma função f. Em quais números f é descontínua?

Por quê?


67

Resolução: Parece haver uma descontinuidade quando a = 1, pois aí o gráfico tem um buraco. A razão

reconhecida para f ser descontínua em 1 é que f(1) não está definida.

O gráfico também tem uma quebra em a = 3, mas a razão para a descontinuidade é diferente.

Aqui f(3) está definida, mas x 3lim (x)f

→ não existe (pois o limite esquerdo e o direito são diferentes).

Logo f é descontínua em 3.

E sobre a = 5? Aqui f(5) está definida, e x 5lim (x)f

→existe (pois o limite esquerdo e o direito são

iguais). Mas x 5lim (x)f

→ � f(5). Logo f é descontínua em 5.

Exemplo 2: Onde cada uma das seguintes funções é descontínua?

a) f(x) = 2x x 2x 2− −

−

Resolução: Note que f(2) não está definida; logo, f é descontínua em 2.

b) f(x) = 2

1 se x 0

x 1 se x = 0

� ≠��

Resolução: Aqui f(0) = 1 está definida, mas x 0lim (x)f

→ � 2x 0

1lim

x→ não existe. Logo f é descontínua em 0.


68

c) f(x) =

2x x 2 se x 2

x 2 1 se x = 2

� − − ≠�−�

��

Resolução: Aqui f(2) está definida e

x 2lim (x)f

→ �

2

x 2

x x 2lim

x 2→

− −−

= x 2

(x 2)(x + 1)lim

x 2→

−−

= x 2lim(x + 1)

→ = 3

existe. Porém, x 2lim (x)f

→� f(2). Logo, f não é contínua em 2.

A figura 11 mostra os gráficos das funções no Exemplo 2. Em cada caso o gráfico não pode ser

feito sem levantar a caneta do papel, pois um buraco, uma quebra ou pulo ocorrem no gráfico. As

descontinuidades ilustradas nas partes (a) e (c) são chamadas removíveis, pois podemos removê-las

redefinindo f somente no número 2.

Figura 11. Gráficos das funções do Exemplo 2

Definição 2: Uma função f é contínua à direita em um número a se +x a

lim (x)f→

= f(a) e f é contínua à

esquerda em a se x alim (x)f

−→= f(a).

Definição 3: Uma função f é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do

intervalo. (Se f for definida somente de um lado do extremo do intervalo, entendemos continuidade no

extremo como continuidade à direita ou à esquerda.)


69

Vejamos mais um exemplo:

Exemplo 3: Mostre que a função f(x) = 21 1 x− − é contínua no intervalo [–1, 1].

Resolução: Se –1 < a < 1, então, usando as propriedades dos limites, temos:

x alim (x)f

→ = ( )2

x alim 1 1 x

→− − = ( )2

x a x alim1 lim 1 x

→ →− −

x alim (x)f

→ = 1 – ( )2

x alim 1 x

→− = 1 – 21 a−

x alim (x)f

→ = f(a)

Assim, pela Definição 1, f é contínua em a se –1 < a < 1. Cálculos análogos mostram que

x 1lim (x)f

+→− = 1 = f(–1) e

x 1lim (x)f

−→− = 1 = f(1)

logo, f é contínua à direita em –1 e contínua à esquerda em 1. Consequentemente, de acordo com a

Definição 3, f é contínua em [–1, 1].

O gráfico de f está esboçado na figura 12. É a metade inferior do círculo.

Figura 12. Gráfico da função f(x) = − − 21 1 x

Em lugar de sempre usar as Definições 1, 2 e 3 para verificar a continuidade de uma função como

feito no Exemplo 3, muitas vezes é conveniente usar o próximo teorema, que mostra como construir as

funções contínuas complicadas a partir das simples.


70

6. Teoremas sobre continuidade Teorema 1

Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções são contínuas,

também, em a:

1) f + g

2) f – g

3) cf

4) fg 5)

gf

se g(a) � 0

Teorema 2

a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em R = ( ), −∞ ∞ .

b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é contínua em seu

domínio.

O conhecimento de quais funções são contínuas nos capacita a calcular muito rapidamente alguns

limites, como os dos exemplos a seguir.

Exemplo 4: Encontre 3 2

x 2

x + 2x 1lim

5 3x→−

−−

.

Resolução: A função f(x) = 3 2x + 2x 1

5 3x−

− é racional; assim, pelo Teorema 1, é contínua em seu

domínio, que é 5

x / x 3

� �≠� ��

. Portanto:

3 2

x 2

x + 2x 1lim

5 3x→−

−−

= x 2lim (x)f→−

= f(–2)

3 2

x 2

x + 2x 1lim

5 3x→−

−−

= ( ) ( )

( )

3 22 + 2 2 15 3 2

− − −− −

= 1

11−

Teorema 3

As funções abaixo são contínuas em todos os números de seus domínios:

polinômio funções racionais funções raízes

funções trigonométricas funções trigonométricas inversas

funções exponenciais funções logarítmicas


71

Exemplo 5: Onde a função f(x) = 2

ln x + arc tg xx 1−

é contínua?

Resolução: Sabemos do Teorema 3 que a função y = ln x é contínua para x > 0 e que y = arc tg x é

contínua em R. Assim, pela parte 1 do Teorema 1, y = ln x + arc tg x é contínua em ( )0, ∞ . O

denominador y = x2 – 1 é um polinômio, portanto é contínuo sempre. Assim, pela parte 5 do Teorema

1, f é contínua em todos os números positivos x, exceto onde x2 – 1 = 0. Logo, f é contínua nos

intervalos abertos ( )0, 1 e ( )1, ∞ .

Exercícios 73) Prove que f(x) = x2 é contínua em x = 2.

74) A função f(x) = 4 3 22x 6x + x + 3

x 1−

− é contínua em x = 1?

75) Prove que f(x) = 2x3 + x é contínua em todo ponto x = x0. 76) Para que valores de x no domínio de definição as funções abaixo são contínuas?

a) f(x) = 2

xx 1−

b) f(x) = 1 + cos x3 + sen x

c) f(x) = 4

110 + x

d) f(x) = 2

1(x 3)10

−− e) f(x) =

21

(x 3)10 , se x 3 0 , se x = 3

−−

�� ≠��

f) f(x) = x x

x−

g) f(x) = x x

, se x < 0x

2 , se x = 0

� −��

h) f(x) = x cossec x =

xsen x

77) Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função f é contínua no número 4. 78) Se f é contínua em ( ), −∞ ∞ , o que você pode dizer sobre seu gráfico?

79) Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda a parte, exceto em x = 3 e é contínua à esquerda em 3. 80) Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeira hora, ou parte dela, e R$ 2,00 por hora sucessiva,

ou parte, até o máximo de R$ 10,00.

a) Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido.

b) Discuta as descontinuidades da função e sua significância para alguém que use o estacionamento.

81) Se f e g forem funções contínuas, com f(3) = 5 e [ ]

x 3lim 2 (x) g(x)f

→− = 4, determine g(3).


72

82) Seja o gráfico abaixo:

a) Estabeleça os números nos quais f é descontínua e explique por quê.

b) Para cada um dos números estabelecidos no item a, determine se f é contínua à direita ou à

esquerda, ou nenhum deles.

83) Explique por que a função é descontínua no número dado. Faça o esboço do gráfico da função.

a) f(x) = ln x 2− a = 2

b) f(x) = x

2

e , se x < 0

x , se x 0

��

≥�� a = 0

c) f(x) =

2x x 12, se x 3

x + 3 5 , se x 3

� − − ≠ −�� − = −�

a = –3

84) Para quais valores da constante c a função f(x) = 2

3

cx + 2x, se x < 2

x cx, se x 2

��

− ≥�� é contínua em ( ), −∞ ∞ ?

85) Quais as seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade for

removível, encontre uma função g que é igual a f para x � a e é contínua em R.

a) f(x) = 2x 2x 8

x + 2− −

, a = –2

b) f(x) = x 7x 7

−−

, a = 7

c) f(x) = 3x + 64x + 4

, a = –4

d) f(x) = 3 x9 x−−

, a = 9


73

7. Teorema de Bolzano Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a, b], tal que, f(a) . f(b) < 0. Então a função f(x)

possui pelo menos uma raiz no intervalo [a, b].

Podemos enunciar também: Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e se f(a) e f(b) tiverem

sinais contrários, então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = 0.

Podemos verificar este teorema graficamente:

Figura 13. Teorema do Anulamento

Pesquisar as raízes reais de uma equação polinomial P(x) = 0 é localizar (onde? quantos?) os

pontos em que o gráfico cartesiano da função y = P(x) intercepta o eixo das abscissas (y = 0).

Assim, o teorema de Bolzano comporta uma interpretação geométrica baseada, em resumo, no

seguinte:

a) sinal de P(a) � sinal de P(b) � número ímpar de raízes



74

b) sinal de P(a) = sinal de P(b) � número par de raízes


Exemplo 1: Seja a função f(x) = x � ln(x) – 3,2. Podemos calcular o valor de f(x) para valores

arbitrários de x, como mostrado na tabela abaixo:

x 1 2 3 4

f(x) –3,20 –1,81 0,10 2,36 Resolução:

Pelo teorema de Bolzano, concluímos que existe pelo menos uma raiz real no intervalo [2, 3].

Exemplo 2: Verifique que o polinômio P(x) = x4 – 3x – 1 admite uma raiz real no intervalo [1, 2].

Resolução: Temos que f(1) = 14 – 3 � 1 – 1 = 1 – 3 – 1 = –3 e f(2) = 24 – 3 � 2 – 1 = 16 – 6 – 1 = 10.

Pelo teorema de Bolzano, concluímos que existe pelo menos uma raiz no intervalo [1, 2], pois

f(1) � f(2) < 0.

Exercícios 86) Dada a função polinomial f(x) = x3 + 2x + 1, será possível f(x) = 0 em [–1, 4]?

87) Determine o valor de a de modo que a equação x3 + x2 + 5x + a = 0, tenha ao menos uma raiz no

intervalo [–2, 0].

88) Mostre que no intervalo �

0, 2

� ��

existe, pelo menos, uma raiz da equação cos x − 5 sen x = 0.


75

89) A função dada por y = 1x

, em R*, possui f(–1) = –1 < 0 e f(1) = 1 > 0, mas não possui raiz entre –1

e 1. Por que “falhou” o teorema de Bolzano? 90) Determine o valor de a de modo que a equação x3 + x2 + 5x + a = 0, tenha ao menos uma raiz no

intervalo [–3, –1].

91) Justifique que a função f(x) = cos�(x + 1)

8 + 0,148x – 0,9062 possui uma raiz no intervalo [−1, 0]

e outra no intervalo [0, 1]. 92) Justifique que a equação 4x − ex = 0 possui uma raiz no intervalo [0, 1] e outra no intervalo [2, 3]. 93) Dada a função polinomial f(x) = x3 + 2x + 1, será possível f(x) = 0 em [–1, 4]? 94) Quais as seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade for

removível, encontre uma função g que é igual a f para x � a e é contínua em R.

a) f(x) = x 2x 2

−−

, a = 2

b) f(x) = x + 4x + 4

, a = –4

c) f(x) = 22x 3x

2x 3−−

, a = 32

8. Teorema do Valor Intermediário Se f for contínua em [a, b] e se for um real compreendido entre f(a) e f(b), então existirá pelos

menos um c em [a, b] tal que f(c) tal que f(c) = .

Figura 16. Teorema do Valor Intermediário

Observe que o teorema do anulamento é um caso particular do teorema do valor intermediário.


76

9. Teorema de Weierstrass Se f for contínua em [a, b], então existirão x1 e x2 em [a, b] tais que f(x1) � f(x) � f(x2) para todo x

em [a, b].

Figura 17. Teorema de Weierstrass

O teorema de Weierstrass nos conta que, se f for contínua em [a, b], então existirão x1 e x2 em

[a, b] tais que f(x1) é o valor mínimo de f em [a, b] e f(x2) o valor máximo de f em [a, b].

Ou de outra forma: se f for contínua em [a, b], então f assumirá em [a, b] valor máximo e valor

mínimo. Chamamos sua atenção para o fato de a hipótese de f ser contínua no intervalo fechado [a, b]

ser indispensável; por exemplo, f(x) = 1x

, x ∈]0, 1], é contínua em ]0, 1] mas não assume, neste, valor

máximo.


77

Respostas

Capítulo II Construção dos Números Reais

Parte I – Números Naturais 1a) i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 2 L.D. = 2 . 12 = 2 Portanto, é verdadeiro para n = 1.

ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) = 2k2 (H.I.)

iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) + [4(k + 1) – 2] = 2(k + 1)2

2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) + (4k + 2) = 2(k + 1)2 Pela hipótese de indução temos que 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) = 2k2. Substituindo, temos: 2k2 + 4k + 2 = 2(k2 + 2k + 1) = 2(k + 1)2 que é igual ao L.D. Portanto: 2 + 6 + 10 + ... + (4n – 2) = 2n2, ∀ n ≥ 1. b) i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 4 L.D. = 1 . (3 + 1) = 4 Portanto, é verdadeiro para n = 1.

ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) = k(3k + 1) (H.I.)

iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) + [6(k + 1) – 2] = (k + 1) [3(k + 1) + 1]

4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) + 6k + 4 = (k + 1) (3k + 4)


78

Pela hipótese de indução temos que 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) = k(3k + 1). Substituindo, temos: k(3k + 1) + 6k + 4 = 3k2 + k + 6k + 4

= 3k2 + 7k + 4 = (k + 1) (3k + 4) que é igual ao L.D. Portanto: 4 + 10 + 16 + ... + (6n – 2) = n(3n + 1), ∀ n ≥ 1. c) i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 2 L.D. = 1 . (1 + 1) = 2 Portanto, é verdadeiro para n = 1.

ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 2 + 4 + 6 + ... + (2k) = k(k + 1) (H.I.)

iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 2 + 4 + 6 + ... + (2k) + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 2) Pela hipótese de indução temos que 2 + 4 + 6 + ... + (2k) = k(k + 1). Substituindo, temos: k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 2) que é igual ao L.D. Portanto: 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1), ∀ n ≥ 1. d) i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 1 L.D. = 1 . (2 – 1) = 1 Portanto, é verdadeiro para n = 1.

ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) = k(2k – 1) (H.I.)

iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) + [4(k + 1) – 3] = (k + 1) [2(k + 1) – 1]

1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) + (4k + 1) = (k + 1) (2k + 1)


79

Pela hipótese de indução temos que 1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) = k(2k – 1). Substituindo, temos:

k(2k – 1) + (4k + 1) = 2k2 – k + 4k + 1

= 2k2 + 3k + 1 = (k + 1) (2k + 1) que é igual ao L.D. Portanto: 1 + 5 + 9 + ... + (4n – 3) = n(2n – 1), ∀ n ≥ 1. e) i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 1 L.D. = 1 2 3 6

= 6 6� �

= 1 Portanto, é verdadeiro para n = 1.


1 + 3 + 6 + ... + k(k + 1)

2 =

k(k + 1)(k + 2)6

(H.I.)


1 + 3 + 6 + ... + k(k + 1)

2 +

(k + 1)(k + 2)2

= (k + 1)(k + 2)(k + 3)

6

Pela hipótese de indução temos que 1 + 3 + 6 + ... + k(k + 1)

2 =

k(k + 1)(k + 2)6

. Substituindo,

temos:

k(k + 1)(k + 2)

6+

(k + 1)(k + 2)2

=

= k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)

6 =

(k + 1)(k + 2)(k + 3)6

=


Portanto: 1 + 3 + 6 + ... + n(n + 1)

2 =

n(n + 1)(n + 2)6

, ∀ n ≥ 1.


80

f) i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 1 L.D. = 12 = 1 Portanto, é verdadeiro para n = 1.

ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2 (H.I.)

iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 Pela hipótese de indução temos que 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2. Substituindo, temos: k2 + 2k + 1 = (k + 1)2, que é igual ao L.D. Portanto: 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2, ∀ n ≥ 1. g)


L.E. = 13 = 1 L.D. = 2 21 (1 + 1) 1 4

= 4 4

� = 1 Portanto, é verdadeiro para n = 1.


13 + 23 + 33 + ... + k3 = 2 2k (k + 1)

4 (H.I.)


13 + 23 + 33 + ... + k3 + (k + 1)3 = 2 2(k + 1) (k + 2)4

Pela hipótese de indução temos que 13 + 23 + 33 + ... + k3 = 2 2k (k + 1)


2 2k (k + 1)

4 + (k + 1)3 =

2 2 3k (k + 1) + 4(k + 1)4

= 2 2(k + 1) [k + 4(k + 1)]

4 =

= 2 2(k + 1) (k + 4k + 4)

4 =

2 2(k + 1) (k + 2)4


Portanto: 13 + 23 + 33 + … + n3 = 2 2n (n + 1)

4, ∀ n ≥ 1.


81

h) i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 1 . 2 = 2 L.D. = 1 . 2 = 2 Portanto, é verdadeiro para n = 1.


1 � 2 + 2 � 3 + 3 � 4 + … + k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2)

3 (H.I.)


1 � 2 + 2 � 3 + 3 � 4 + … + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

3

Pela hipótese de indução temos que 1 � 2 + 2 � 3 + 3 � 4 + … + k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2)

3.

Substituindo, temos:

k(k + 1)(k + 2)

3 + (k + 1)(k + 2)

= k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)

3 =

(k + 1)(k + 2)(k + 3)3

, que é igual ao L.D.

Portanto: 1 � 2 + 2 � 3 + 3 � 4 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

3, ∀ n ≥ 1.

i) i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 22 = 4 L.D. = 2 . 2 . 3

3 Portanto, é verdadeiro para n = 1.


22 + 42 + 62 + … + (2k)2 = 2k(k + 1)(2k + 1)

3 (H.I.)


22 + 42 + 62 + … + (2k)2 + [2(k + 1)]2 = 2(k + 1)(k + 2)[2(k + 1) + 1]

3

22 + 42 + 62 + … + (2k)2 + 4(k + 1)2 = 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

3


82

Pela hipótese de indução temos que 22 + 42 + 62 + … + (2k)2 = 2k(k + 1)(2k + 1)

3. Substituindo,

temos:

2k(k + 1)(2k + 1)

3 + 4(k + 1)2

= 22k(k + 1)(2k + 1) + 12(k + 1)

3 =

2(k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1)]3

=

= 22(k + 1)(2k + k + 6k + 6)3

= 22(k + 1)(2k + 7k + 6)

3 =

2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3


Portanto: 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 = 2n(n + 1)(2n + 1)

3, ∀ n ≥ 1.

j) i) Provar que é verdadeira para n = 1.

L.E. = 1 . 2 = 2 L.D. = 1 . 2 . 3

3 = 2 Portanto, é verdadeiro para n = 1.


1 � 2 + 3 � 4 + 5 � 6 + … + (2k – 1) �2k = k(k + 1)(4k 1)

3−

(H.I.)


1 � 2 + 3 � 4 + 5 � 6 + … + (2k – 1) � 2k + [2(k + 1) – 1] . 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)[4(k + 1) 1]

3−

1 � 2 + 3 � 4 + 5 � 6 + … + (2k – 1) � 2k + (2k + 1) . 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)(4k + 3)

3

Pela hipótese de indução temos que 1 � 2 + 3 � 4 + 5 � 6 + … + (2k – 1) �2k = k(k + 1)(4k 1)

3−

.

Substituindo, temos:

k(k + 1)(4k 1)

3−

+ 2(2k + 1)(k + 1)

= k(k + 1)(4k 1) + 6(2k + 1)(k + 1)

3−

= (k + 1)[k(4k 1) + 6(2k + 1)]

3−

= 2(k + 1)(4k k + 12k + 6)

3−

= 2(k + 1)(4k + 11k + 6)3

= (k + 1)(k + 2)(4k + 3)

3


Portanto: 1 � 2 + 3 � 4 + 5 � 6 + … + (2n – 1) �2n = n(n + 1)(4n 1)

3−

, ∀ n ≥ 1.


83

Parte II – Números Inteiros 2)

3 310 10

2 + 3 + 2 39 9

− = x

Elevando ambos os membros ao cubo, vem:

3

3 310 10

2 + 3 + 2 39 9

� − � �

� = x3


3 2 2 3

3 3 3 3 3 310 10 10 10 10 10

2 + 3 + 3 2 + 3 2 3 + 3 2 + 3 2 3 + 2 39 9 9 9 9 9

� � � � � � − − − � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

= x3

3 3 3 3

x

10 10 10 10 10 102 + 3 + 3 2 + 3 2 3 2 + 3 + 2 3 + 2 3

9 9 9 9 9 9

� �− − − � ��

� � ��

= x3

4 + 310 10

14 + 3 2 + 3 2 3 x9 9

� � − � ��

� � = x3

2

2310

4 + 3x 2 39

� − ��

� = x3

x3 = 4 + 3x 3100 3

481

− ��

x3 = 4 + 3x 3100

427

−�

x3 = 4 + 3x 38

27

�

x3 = 4 + 3x 2

3�

x3 = 4 + 2x

x3 – 2x – 4 = 0 As possíveis raízes da equação polinomial são: { ± 1, ± 2, ± 4}.


84

Testando as raízes temos: x = 1 � 13 – 2 � 1 – 4 = 1 – 2 – 4 = –5 � 0. Logo, 1 não é raiz.

x = –1 � (–1)3 – 2 � (–1) – 4 = –1 + 2 – 4 = –3 � 0. Logo, –1 não é raiz.

x = 2 � (2)3 – 2 � 2 – 4 = 8 – 4 – 4 = 0. Logo, 2 é raiz.

Portanto, 3 310 10

2 + 3 + 2 39 9

− é um número inteiro.

3a) V b) F c) F d) V e) V f) V g) F

4a) V b) V c) V d) F, será verdadeira somente se p > 1

Parte III – Números Racionais 5a) Se definirmos a/b como o número (se existir) tal que bx = a, então 0/0 é o número x tal que 0x = 0.

Mas, como isso é verdade para todos os números, vemos que não existe um número único representado

por 0/0, expressão que consideramos, por isso, indeterminada.

b) Como em (a), se definirmos 1/0 como o número x (se existir) tal que 0x = 1, concluiremos que tal

número não existe. Assim, a divisão por zero não tem sentido.

6) Sim. Basta n assumir valores que sejam cubos perfeitos. Exemplos: 8, –27, 18

− .

7) Não é racional. Para um número do tipo ab

ser racional, devemos ter a e b números inteiros

(com b � 0). Neste caso, temos que 2 é inteiro, mas 1 + 5 não é inteiro. 8) 1º modo:

19 + 8 3 + 19 8 3− = x

Elevando ambos os membros ao quadrado, vem:

( )2

19 + 8 3 + 19 8 3− = x2


( ) ( ) ( ) ( )2 2

19 + 8 3 + 2 19 + 8 3 19 8 3 + 19 8 3− −� � = x2


85

19 + 8 3 + 2 19 + 8 3 19 8 3 + 19 8 3− −� � = x2

( )( )38 + 2 19 + 8 3 19 8 3−� = x2

38 + 2 361 64 3−� � = x2

38 + 2 169� = x2

x2 = 38 + 26

x2 = 64

x = 8

Portanto, 19 + 8 3 + 19 8 3− é um número racional. 2º modo:

Podemos resolver pensando no conceito de soma e produto das raízes da equação do 2º grau. Temos, então:

x = 19 + 8 3 + 19 8 3−

x = 19 + 2 4 3 + 19 2 4 3−� �

Introduzindo os fatores 4 no radical temos:

x = 2 219 + 2 4 3 + 19 2 4 3−� �

x = 19 + 2 48 + 19 2 48−

Devemos ter dois números cuja soma seja 19 e produto 48. Os números procurados são 3 e 16. Então: x = ( ) ( )16 + 3 + 16 3−

x = 16 + 3 + 16 3−

x = 2 16

x = 8

9) 1º modo:

Podemos tratar o número como uma progressão geométrica.

0,9999... = 2 3

9 9 9 + + + ...

10 10 10


86

Temos uma P.G. com a1 = 9

10 e q =

110

. Então:

0,9999... = 2 3

9 9 9 + + + ...

10 10 10 =

910

11

10−

=

9109

10

= 1

Portanto, 0,9999... é igual a 1.

2º modo:

Podemos tratar o número como uma dízima periódica. Em seguida, multiplicamos os dois termos da igualdade por uma potência de 10 cujo expoente

é igual à quantidade de numerais do período da dízima.

x = 0,9999...

10x = (0,999...) . 10

10x = 9,9999... Subtraindo uma expressão da outra, isto é, fazendo: (10x – x) = 9,9999... – 0,9999... obtemos:

9x = 9 � x = 99

� x = 1

Assim, a geratriz da dízima 0,9999... é o número inteiro 1.

3º modo:

0,9999... > 1? Não. Vamos supor que 0,9999... < 1. Então deve existir outro número entre

0,9999... e 1. Representando graficamente temos:

Absurdo.

Portanto, 0,9999... = 1.

0,999 0,9999... 1

0,99999... Contradição


87

10) 1º modo:

x = 12 + 6 3 + 12 6 3−

Elevando ambos os membros ao quadrado, vem:

( )2

12 + 6 3 + 12 6 3− = x2


x2 = ( ) ( ) ( ) ( )2 2

12 + 6 3 + 2 12 + 6 3 12 6 3 + 12 6 3− −� �

x2 = ( )( )12 + 6 3 + 2 12 + 6 3 12 6 3 + 12 6 3− −�

x2 = 24 + 2 144 36 3−� �

x2 = 24 + 2 36

x2 = 24 + 12

x2 = 36

x = 6

Portanto, 12 + 6 3 + 12 6 3− é um número racional. 2º modo:

Podemos resolver pensando no conceito de soma e produto das raízes da equação do 2º grau.

Temos, então:

x = 12 + 6 3 + 12 6 3−

x = 12 + 2 3 3 + 12 2 3 3−� �

Introduzindo os fatores 2 no radical temos:

x = 2 212 + 2 3 3 + 13 2 3 3−� �

x = 12 + 2 27 + 12 2 27−

Devemos ter dois números cuja soma seja 12 e produto 27. Os números procurados são 3 e 9.

Então:


88

x = ( ) ( )9 + 3 + 9 3−

x = 9 + 3 + 9 3−

x = 2 9

x = 6

11a) V b) F c) V d) V e) F f) F

12) Resposta pessoal

13a) 23 2 175

9 100−� =

21 175

9 100� =

7

21

39

7

175 �

4100

= 4912

b) 125 12 44 4

90 9− −

� = 113 40

90 9� =

9

11390

4

40 �

9 =

45281

c) 75 6

99 9

: = 75 9

99 6� =

25

75

1199

1

9 �

26

= 2522

d) 6 69 10

− = 60 5490 90

− = 6

90 =

115

e) 23 23 2

100 90

: −=

23 90

100 21� =

23 90

100 21� =

6970

f) 17 1 1

+ 90 10

−− = 16 1

+ 90 10

− = 16 9

+ 90 90

− = 7

90−

14) Aluno A: Correto. O aluno escreveu as frações em notação decimal e, depois, efetuou a adição.

Aluno B: Correto. Esse aluno trocou as frações 12

e 25

por frações equivalentes de mesmo

denominador (10) e, depois, efetuou a adição. Aluno C: Errado. Aqui o aluno adicionou os numeradores das parcelas e os denominadores das

parcelas, encontrando, assim, erroneamente o numerador e o denominador do total.

Aluno D: Correto. O aluno substituiu as duas frações por outras equivalentes com o mesmo

denominador 10 e adicionou os numeradores.


89

15a) 1599

= 533

b) 416999

c) 21 2

9−

= 199

d) 2020 20

99−

= 200099

e) 812 8

99−

= 80499

= 26833

f) 15 1

90−

= 1490

= 745

g) 115 11

90−

= 10490

= 5245

h) 2017 20

990−− =

1997990

−

i) 2007 200

900−

= 1807900

j) 10 007 1 000

90−

= 9007

90

l) 4075 40

990−

= 4035990

= 26966

16) Temos que a = 0, 4 = 49

e b = 0,3 = 39

= 13

. Então: 1 4 1 2 2

b a = = = 3 9 3 3 9

� .

Resposta: Alternativa B

17) Temos que 4

37 = 0,108108... é uma dízima periódica com um período de 3 números. A divisão de

1999 por 3 deixa resto 2, e o segundo número da parte decimal é 0.

Portanto, o 1999º algarismo da parte decimal é o número 0.

Resposta: Alternativa A

18) O resto acabou de repetir: deu 2 pela segunda vez. Agora, o quociente vai se repetir também,

originando uma dízima periódica. O quociente é 1,285714 .

Parte IV – Números Reais e Irracionais 19a) V b) F c) F d) F e) V 20a) V b) V c) F d) V e) F f) V 21) Sejam m = 2x1 e n = 2x2, com x1 ∈ Z e x2 ∈ Z. Então: m + n = 2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2). Como x1 e x2 são inteiros, então x1 + x2 também é inteiro. Portanto, m + n é par.


90

22) Sejam m = 2x1 + 1 e n = 2x2 + 1, com x1 ∈ Z e x2 ∈ Z. Então: m + n = 2x1 + 1 + 2x2 + 1= 2x1 + 2x2 + 2 = 2(x1 + x2 + 1) Como x1 e x2 são inteiros, então x1 + x2 + 1 também é inteiro. Portanto, m + n é par.

23) Sejam m = 2x + 1 com x ∈ Z. Então: m2 = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 = 2 ( )2

x´

2x + 2x��

+ 1

Portanto, m2 é ímpar.

24) Vamos supor, por absurdo, que 3 seja racional, isto é, que 3 possa ser escrito na forma ab

,

com a ∈ Z e b ∈ Z*, de modo que ab

seja irredutível (a e b são primos entre si). Temos, então, 3 =

ab

.

Elevando os dois membros ao quadrado, obtemos 3 = 2

2

ab

, ou a2 = 3b2. Isso significa que a2 é

múltiplo de 3, significa que a também é múltiplo de 3. Seja a = 3m. Substituindo vem: (3m)2 = 3b2

9m2 = 3b2

b2 = 3m2

Se b2 é múltiplo de 3, significa que b também é múltiplo de 3, o que é um absurdo, pois a e b

devem ser primos entre si.

Por isso, concluímos que a hipótese de 3 ser racional é falsa e que, portanto, 3 é irracional.

25) A resolução deste exercício utiliza o mesmo raciocínio do texto de 2 . Se p fosse racional,

teríamos p = mn

, com m e n primos entre si. Então, p = 2

2

mn

, donde m2 = pn2. Isso mostra que m2 é

divisível por p; logo, m também é divisível por p, ou seja, m = rp, com r inteiro. Daqui e de m2 = pn2

segue-se r2p2 = pn2, donde n2 = pr2, significando que n também é divisível por p. Mas isto é absurdo,

senão m e n seriam ambos divisíveis por p e mn

não seria uma fração irredutível. O absurdo a que

chegamos é consequência da hipótese inicial de que p fosse racional. Somos assim forçados a afastar

esta hipótese e concluir que p é irracional.


91

26a) falso

b) falso

c) verdadeiro

d) falso

e) falso

f) falso

g) verdadeiro

h) falso

i) falso

j) falso

27) Vamos supor, por absurdo, que 3 2 seja racional, isto é, que 3 2 possa ser escrito na forma ab

,

com a ∈ Z e b ∈ Z*, de modo que ab

seja irredutível (a e b são primos entre si). Temos, então, 3 2 =

ab

.

Elevando os dois membros ao cubo, obtemos 2 = 3

3

ab

, ou a3 = 2b3. Se a3 é par, então a também é

par. Seja a = 3m. Substituindo vem:

(2m)3 = 2b3

8m3 = 2b3

b3 = 4m3

b3 = 2 � (2m3)

Se b3 é par, então b também é par. Isto é absurdo, pois devemos ter a e b primos entre si.

Por isso, concluímos que a hipótese de 3 2 ser racional é falsa e que, portanto, 3 2 é irracional.

28a) Seja x = 4 5 2− . Reagrupando temos: x + 2 = 4 5 Elevando ambos os lados à quarta potência, temos:

( )4x + 2 = ( )4

4 5

( )22

x + 2� ��

= 5

Desenvolvendo, vem:

( )22x + 2x 2 + 2 = 5

( ) ( )222 2 2x + 2x 2 + 4 + 2x 2x 2 + 2x 2 + 2 2x 2 2� � � � = 5

4 2 3 2x + 8x + 4 + 4x 2 + 4x + 8x 2 5 = 0−

4 2 3x + 12x 1 = 4x 2 8x 2− − −


92

( )4 2 2x + 12x 1 = 4x 2 x + 2− −

Elevando ao quadrado novamente, temos:

( ) ( ) ( )22 24 2 2x + 12x 1 = 4x 2 x + 2− −

( )8 4 6 4 2 2 4 2x + 144x + 1 + 24x 2x 24x = 32x x + 4x + 4− −

8 6 4 2 6 4 2x + 24x + 142x 24x + 1 32x 128x 128x = 0− − − −

8 6 4 2x 8x + 14x 152x + 1 = 0− −

As únicas raízes racionais possíveis desta equação são –1 e 1. Substituindo x por –1 e por 1,

nenhum desses dois valores satisfazem a equação. De modo que 4 5 2− , que satisfaz a equação, não

pode ser racional.

b) Seja x = 3 2− . Elevando ambos os membros ao quadrado temos:

x2 = 3 – 2 6 +2 Reagrupando, temos: x2 – 5 = –2 6 Elevando ao quadrado novamente, temos: x4 – 10x2 + 25 = 24 Reagrupando, temos: x4 – 10x2 + 1 = 0 As únicas raízes racionais possíveis desta equação são –1 e 1. Substituindo x por –1 e por 1,

nenhum desses dois valores satisfazem a equação. De modo que 3 2− , que satisfaz a equação, não

pode ser racional.

c) Seja x = 2 + 5 . Elevando ambos os membros ao quadrado temos:

x2 = 2 + 2 10 + 5 Reagrupando, temos: x2 – 7 = 2 10


93

Elevando ao quadrado novamente, temos: x4 – 14x2 + 49 = 40 Reagrupando, temos: x4 – 14x2 + 9 = 0 As raízes racionais possíveis desta equação são {–1, 1, –3, 3, –9, 9}. Substituindo x por esses

valores, nenhum deles satisfazem a equação. De modo que 2 + 5 , que satisfaz a equação, não pode

ser racional.

29) 1920

, 1, 1,2 , 2 , 3 , 5 30) 2120

; 1; 0,8 ; 2

2;

33

; 5

5

31) Alternativa C 32a) F b) V c) F d) F e) F f) F

33a) V b) F c) V d) V e) V

34) y = 1 : 0,1 = 1 : 1

10 = 1 �

101

= 10 x = 2 : 0,1 = 2 : 1

10 = 2 �

101

= 20

Temos, então:

A = xy

= 20

= 210

. Portanto, A é irracional.

B = x(y 1)

y−

= 20 9

10�

= 18 = 3 2 . Portanto, B é irracional.

A � B = 2 � . 3 2 = 3 � 2 = 6. Portanto, A � B é racional. 35) Somente a alternativa c é correta.

36) Somente a alternativa c é correta.

37) Resposta pessoal

38) Construção geométrica


94

39) Seja x = 2 + 2 + 2 + 2 + ... . Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

x2 = x

2 + 2 + 2 + 2 + ...��

x2 = 2 + x

x2 – x – 2 = 0

Soma: 1 Produto: –2 {2 ( 1)}−�

Portanto, 2 + 2 + 2 + 2 + ... = 2.

Parte V – Fundamentos Axiomáticos dos números reais

40a) A = [1, 3[. É limitado superiormente pelo 3, pelo 7,5 etc.

3 = sup A e não existe max. A. b) É limitado inferiormente pelo 1, pelo 0 etc.

1 = inf. A = min. A. c) É limitado

41a) A = [–3, 2[. É limitado superiormente pelo 2, pelo � , pelo 7,5 etc.

2 = sup A e não existe max. A. b) É limitado inferiormente pelo –3, pelo – � , etc.

–3 = inf. A = min. A. c) É limitado

42a) A = ] –�, 0[. É limitado superiormente pelo 0, pelo � , etc.

0 = sup A e não existe max. A. b) Não é limitado inferiormente. c) Não é limitado. 43) n � n2 44) n � n3 45) Resposta pessoal

46a) Verdadeira b) Verdadeira c) Falsa d) Falsa


95

47) R C = R (N Z) Q = N Q = Q N (Z Q) = N Z = Z Portanto, R Q Z = Z Resposta: Alternativa E

48a) Para provar que um número é algébrico, basta provar que o número é raiz de uma equação

polinomial com coeficientes inteiros.

Seja x = 3 2 3 2

3 + 2 3 2

− −−

� = 3 2 6 + 2

3 2−

− = 5 2 6− .

Elevando ao quadrado, temos:

x = 5 2 6−

x – 5 = 2 6−

x2 – 10x + 25 = 24

x2 – 10x + 1 = 0

x4 – 4x2 + 1 = 0

Como se trata de uma equação polinomial com coeficientes inteiros, segue-se 3 23 + 2

−, que é

solução, é um número algébrico. b) 2 + 3 + 6 Seja x = 2 + 3 + 6 . Então, x – 6 = 2 + 3 . Elevando ao quadrado e simplificando,

temos:

x2 – 2x 6 + 6 = 2 + 2 6 + 3

x2 + 1 = 2x 6 – 2 6

x2 + 1 = 2 6 (x + 1)

Elevando ao quadrado novamente e simplificando, temos: x4 + 2x2 + 1 = 24(x2 + 2x + 1)

x4 + 2x2 + 1 = 24x2 + 48x + 24

x4 + 2x2 + 1 – 24x2 – 48x – 24 = 0

x4 – 22x2 – 48x – 23 = 0

Como se trata de uma equação polinomial com coeficientes inteiros, segue-se 2 + 3 + 6 ,

que é solução, é um número algébrico.


96

49) Seja x = 1 + i 3− . Então: x + 1 = i 3 Elevando ao quadrado novamente e simplificando, temos: x2 + 2x + 1 = i2 � 3

x2 + 2x + 1 = –3

x2 + 2x + 1 + 3 = 0

x2 + 2x + 4 = 0

Como se trata de uma equação polinomial com coeficientes inteiros, segue-se 1 + i 3− , que é


50) Seja x = 5 3 1 + 2− . Mediante três quadraturas e simplificando, temos:

x2 = 5 3 1 + 2−

x2 – 5 = 3 1 + 2−

x2 – 10x2 + 25 = ( )9 1 + 2

x2 – 10x2 + 25 = 9 + 9 2

x2 – 10x2 + 16 = 9 2

x8 + 100x4 + 256 – 20x6 + 32x4 – 320x2 = 162

x8 – 20x6 + 132x4 – 320x2 + 94 = 0

Como se trata de uma equação polinomial com coeficientes inteiros, segue-se 5 3 1 + 2− ,

que é solução, é um número algébrico.

51) Seja x = 2 . Elevando ao quadrado e simplificando, temos: x2 = 2

x2 – 2 = 0

Como se trata de uma equação polinomial com coeficientes inteiros de grau 2, segue-se 2 , que

é solução, é um número algébrico de grau 2.


97

52) Seja x = 3 3 . Elevando ao cubo e simplificando, temos: x3 = 3

x3 – 3 = 0

Como se trata de uma equação polinomial com coeficientes inteiros de grau 3, segue-se 3 3 , que

é solução, é um número algébrico de grau 3.

53) Seja 4 + 2 3 = a + b 3 , com a e b inteiros positivos. Elevando ao quadrado e simplificando, temos:

( )2

4 + 2 3 = ( )2a + b 3

4 + 2 3 = 2 2a + 2ab 3 + 3b

4 + 2 3 = ( )2 2a + 3b + 2ab 3

Comparando, temos:

a2 + 3b2 = 4 (Equação 1) e 2ab = 2 (Equação 2) Da equação 2, temos:

ab = 1 � a = 1b

Substituindo a última expressão na equação 1, vem:

a2 + 3b2 = 4

2

1b

� ��

+ 3b2 = 4

2

1b

+ 3b2 = 4

1 + 3b4 = 4b2

3b4 – 4b2 + 1 = 0

Fazendo b2 = m, vem:

3m2 – 4m + 1 = 0 m = 1

1m = (não serve, pois b deve ser inteiro positivo)

3

��

Então: b2 = 1 � b = 1 (pois a deve ser inteiro positivo) Logo: a = 1


98

54) Seja 18 8 2− = a b 2− , com a e b inteiros positivos. Elevando ao quadrado e simplificando, temos:

( )2

18 8 2− = ( )2a b 2−

18 8 2− = 2 2a 2ab 2 + 2b−

18 8 2− = ( )2 2a + 2b 2ab 2 −

Comparando, temos:

a2 + 2b2 = 18 (Equação 1) e 2ab = 8 (Equação 2) Da equação 2, temos:

ab = 4 � a = 4b

Substituindo a última expressão na equação 1, vem: a2 + 2b2 = 18

2

4b

� ��

+ 2b2 = 18

2

16b

+ 2b2 = 18

16 + 2b4 = 18b2

2b4 – 18b2 + 16 = 0

b4 – 9b2 + 8 = 0

Fazendo b2 = m, vem:

m2 – 9m + 8 = 0 m = 1m = 8 (não serve, pois b deve ser inteiro positivo)��

Então: b2 = 1 � b = 1 (pois a deve ser inteiro positivo) Logo: a = 4

55a) 38

= 0,375 = 0,37444... = 2 3 4

3 7 4 4 + + + + ...

10 10 10 10

b) 73

= 2,333... = 2 3

3 3 32 + + + + ...

10 10 10

c) 75

= 1,4 = 1,3999... = 2 3 4

3 9 9 91 + + + + + ...

10 10 10 10


99

d) 109

= 1,111... = 2 3 4

1 1 1 11 + + + + + ...

10 10 10 10

56) Seja x = 32 + 2 . Reagrupando temos: x – 2 = 3 2 Elevando ambos os lados à terceira potência e desenvolvendo, temos:

( )3x 2− = ( )3

3 2

( ) ( )2 33 2x 3x 2 + 3x 2 2− −� � = 2

3 2x 3x 2 + 6x 2 2 2 = 0− − −

3 2x + 6x 2 = 3x 2 + 2 2−

( )3 2x + 6x 2 = 2 3x + 2−

( ) ( ) ( )22 23 2x + 6x 2 = 2 3x + 2−

Elevando ao quadrado, temos: x6 + 36x2 + 4 + 12x4 – 4x3 – 24x = 2(9x4 + 12x2 + 4)

x6 + 12x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 4 – 18x4 – 24x2 – 8 = 0

x6 – 6x4 – 4x3 – 12x2 – 24x – 4 = 0 As possíveis raízes racionais desta equação são: –1, 1, –2, 2, –4, 4. Substituindo esses valores,

nenhum satisfazem a equação. De modo que 32 + 2 , que satisfaz a equação, não pode ser racional.

Portanto, 32 + 2 é irracional.

57a) –3 = min A = sup A e 4 = max A = sup A b) 4 = sup A e –3 = inf A

c) 5 = sup A d) 2 = min A = inf A

e) Não existe nenhum item

f) –3 = min A = inf A e 1 = max A = sup A g) 0 = min A = inf A

58a) É limitado superiormente e inferiormente b) É limitado superiormente e inferiormente

c) É limitado superiormente d) É limitado inferiormente

e) Não é limitado superiormente e nem inferiormente

f) É limitado inferiormente g) É limitado inferiormente

59) Não, é limitado inferiormente. Neste conjunto 0 é o menor de todos os elementos.


100

Capítulo III Sequência ou sucessão numérica

60) Uma sequência é uma lista ordenada de números. Pode também ser definida como uma função cujo

domínio é o conjunto dos inteiros positivos. O contradomínio de uma sequência será considerado o

conjunto dos números reais, ou seja, f : N* � R.

A cada número inteiro positivo “n” corresponde um número real f(n).

n � f(n) / a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n)

Ou seja, um conjunto de números que obedecem a uma lei de formação, de modo que a passagem

ao seu sucessor imediato se faça segundo a mesma lei.

61) Significa que os elementos da sequência se aproximam de modo regular para o valor 8, de modo

fixo, sem contudo atingí-lo.

62) Significa que os elementos da sequência vão crescendo ilimitadamente, não se aproximando de um

valor fixo.

63) Se, quando n cresce, an se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se que a

sequência {an} tem limite L (ou converge para L) e se escreve: nx lim a

→∞= L.

Exemplos: an = 1

log 1 + n

� ��

e an = n

n2

.

64) Sequência divergente é quando os elementos crescem indefinidamente, sem se aproximar de um

valor, não existindo um limite. Exemplos: an = (–1)n e an = (–1)n �2n.

65a) a1 = 0,8, a2 = 0,96, a3 = 0,992, a4 = 0,9994, a5 = 0,99968

b) a1 = 1, a2 = 35

, a3 = 12

, a4 = 5

11, a5 =

617

c) a1 = –3, a2 = 32

, a3 = 12

− , a4 = 18

, a5 = 1

60−

d) a1 = 1, a2 = 0, a3 = –1, a4 = 0, a5 = 1

e) a1 = 3, a2 = 5, a3 = 9, a4 = 17, a5 = 33

f) a1 = 4, a2 = 43

, a3 = 4, a4 = 32

, a5 = 3

g) a1 = 2, a2 = 5, a3 = 8, a4 = 11, a5 = 14


101

66 a) na = 7n – 5 b) na = (n + 1)3

c) na = (–1)3 � 3n

d) ( )n

n + 1n

7a = 1

2n + 1− �

e) nna = 3 2−

f) n

n

3a =

2� ��

g) na = n2 + 1

h) na = 2n2

i) na = n3

j) na = n3 + 1

k) ( )n

nn

3a = 1

2n− �

l) n

na =

n + 2

m) n

n + 1a =

5n 1−

n) n

n n + 1

2a =

3

o) ( )n + 1

nn n + 2

5a = 1

2− �

p) n n + 1

1a =

5

q) n

1a =

2n + 3

r) n n

1a =

2 + 3

s) n

2n 3a =

3n + 4−

t) ( )2

nn

na = 1

n + 1− �

u) ( )nn

n + 1a = 1

n + 6− �

v) n 2

na =

n + 1

w) n + 2na = 10 ou n

na = 100 10�

x) 2n

na = 2

y) n + 3na = 2 ou n

na = 8 2�

z) na = (n + 1)2

67a) Diverge

b) Converge para 13

c) Converge para 5

d) Converge para 1

e) Converge para 0

f) Diverge

g) Diverge, entre –1 e 1

h) Converge para 1

i) Converge para 0

j) Converge para 23

k) Converge para 0

68a) 1060; 1123,60; 1191,02; 1262,48; 1338,23

b) Diverge, pois temos uma função exponencial de razão r = 1,06 > 1.


102

69) Temos que:

2 = 122

3

42 3 42 2 = 2 2 = 2 = 2�

( )7

2 8 82 3 3 6 74 4 82 2 2 = 2 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 = 2� � �

Temos então a sequência {122 ,

342 ,

782 }, cujo termo geral é na =

n

n2 1

22−

.

Calculando o limite vem:

n

n2 1

2

nlim 2

−

→∞ =

n

n n2 1

2 2

nlim 2

� − � �

�

→∞ =

n1

12

nlim 2

� − ��

→∞ =

n1

12

nlim 2

� − ��

→∞ = 21 = 2

Portanto, o limite da sequência 2, 2 2 , 2 2 2� ��

é 2.

70a) Verifiquemos se as sequências são crescentes, caso contrário serão decrescentes.

Para uma sequência ser crescente, deve-se ter an < an + 1. Então:

n

15

< n + 1

15

5n + 1 < 5n

5n � 5 < 5n

5 < 1

Para todo n � 1, a desigualdade é falsa. Portanto, a sequência n

1a = n 5

é decrescente.

b) 1

2n + 3 <

12(n + 1) + 3

1

2n + 3 <

12n + 5

2n + 5 < 2n + 3

5 < 3

Para todo n � 1, a desigualdade é falsa. Portanto, a sequência 1

a = n 2n + 3 é decrescente.

0


103

c) 2n 33n + 4

− <

2(n + 1) 33(n + 1) + 4

−

2n 33n + 4

− <

2n 13n + 7

−

(2n – 3)(3n + 7) < (3n + 4)(2n – 1)

6n2 + 14n – 9n – 21 < 6n2 – 3n + 8n – 4

26n + 5n 2 21 < 6n− 5n + 4−

–21 < –4

Para todo n � 1, a desigualdade é verdadeira. Portanto, a sequência 2n 3

a = n 3n + 4−

é crescente.

d) n

n

1 e1 + e

− <

n + 1

n + 1

1 e1 + e

−

(1 – en) (1 + en + 1) < (1 + en) (1 – en + 1)

1 + en + 1 – en – e2n + 1 < 1 – en + 1 + en – e2n + 1

1 n + 1 2n + 1n + e e e− − < 1 n + 1 2n + 1n e + ee− −

en + 1 + en + 1 < en + en

2en + 1 < 2en

en + 1 < en

en � e < en (en � 0 para todo n natural)

e < 1

Para todo n � 1, a desigualdade é falsa. Portanto, a sequência n

n

1 ea = n 1 + e

− é decrescente.

e) n n

n n

e ee + e

−

−

− <

n + 1 (n + 1)

n + 1 (n + 1)

e ee + e

−

−

−

(en – e–n) (en + 1 + e –n – 1) < (en + e–n) (en + 1 – e –n – 1)

e2n + 1 + e–1 – e – e–2n – 1 < e2n + 1 – e–1 + e – e–2n – 1

2n + 1e 1 2n 1+ e e e− −− − − < 2n + 1e 2n 11e + e e−− −− −

1e

+ 1e

< e + e

2e

< 2e

2 < 2e2 � 1 < e2

Para todo n � 1, a desigualdade é verdadeira. Portanto, a sequência n n

n n

e ea = n e + e

−

−

− é crescente.


104

f) 2n + 2n 3

2n 1−

− <

2(n + 1) + 2(n + 1) 32(n + 1) 1

−−

2n + 2n 3

2n 1−

− <

2n + 2n + 1 + 2n + 2 32n + 2 1

−−

2n + 2n 3

2n 1−

− <

2n + 4n2n + 1

(n2 + 2n – 3)(2n + 1) < (2n – 1) (n2 + 4n)

2n3 + n2 + 4n2 + 2n – 6n – 3 < 2n3 + 8n2 – n2 – 4n

32n 32 + 5n 4n n3 < 2− − 2+ 7n 4n−

25n 4n− 2 3 < 7n 4 n− −

5n2 – 7n2 < 3

– 2n2 < 3

Para todo n � 1, a desigualdade é verdadeira. Portanto, a sequência 2n + 2n 3

a = n 2n 1−

− é

crescente.

g) 2

2

3n 25n + 1

− <

2

2

3(n + 1) 25(n + 1) + 1

−

2

2

3n 25n + 1

− <

2

2

3(n + 2n + 1) 25(n + 2n + 1) + 1

−

2

2

3n 25n + 1

− <

2

2

3n + 6n + 15n + 10n + 6

(3n2 – 2)(5n2 + 10n + 6) < (5n2 + 1)(3n2 + 6n + 1)

15n2 + 30n3 + 18n2 – 10n2 – 20n – 12 < 15n4 + 30n3 + 5n2 + 3n2 + 6n + 1

415n 3 + 30n 2 42 + 18n 10n 20n 12 5n< 1− − − 3 + 30n 2 2 + 5n + 3n + 6n + 1

8n2 – 20n – 12 < 8n2 + 6n + 1

28n 2 20n 12 n < 8− − + 6n + 1

–26n < 13

Para todo n � 1, a desigualdade é verdadeira. Portanto, a sequência 2

2

3n 2a = n 5n + 1

− é crescente.

71a) nn

1lim

5→∞ = 0. Portanto, a sequência é limitada.

b) n

1lim

2n + 3→∞ =

n

1lim

3n 2 +

n

→∞ � ��

= 02

= 0. Portanto, a sequência é limitada.


105

c) n

2n 3lim

3n + 4→∞

− =

n

3n 2

nlim4

n 2 + n

→∞

� − ��

= 23

. Portanto, a sequência é limitada.

d) n

nn

1 elim

1 + e→∞

− =

nn

n nn

1e 1

elim1

e + 1e

→∞

� − ��

= –1. Portanto, a sequência é limitada.

e) n n

n nn

e elim

e + e

−

−→∞

− =

n2n

n n2n

1e 1

elim1

e 1 + e

→∞

� − ��

= 1. Portanto, a sequência é limitada.

f) 2

n

n + 2n 3lim

2n 1→∞

−−

=

22

n 22

2 3n 1 +

n nlim2 1

nn n

→∞

� − �� − ��

= 10

???. Portanto, a sequência não é limitada.

g) 2

2n

3n 2lim

5n + 1→∞

− =

22

n 22

2n 3

nlim1

n 5 + n

→∞

� − ��

= 35

. Portanto, a sequência é limitada.

72) Como {an} é uma sequência decrescente, temos que an > an + 1 para todo n � 1. Como todos

os termos variam entre 5 e 8, {an}, é uma sequência limitada. Pelo teorema da Sequência

Monotônica Limitada, {an} é convergente; isto é, {an} tem um limite L. L deve ser menor do

que 8, então {an} é decrescente. Então, 5 � L < 8.

73) Temos que

x 2lim (x)f

→ = f(2) = 4, logo f(x) é contínua em x = 2.

74) f(1) não existe, de modo que f(x) não é contínua. Definindo f(x) de modo que f(1) =

x 1lim (x)f

→ = –8,

se torna contínua em x = 1, isto é, x = 1 é uma descontinuidade removível.

75) Como f(x) = x é contínua para qualquer ponto x = x0, também o serão f(x) = x � x = x2,

f(x) = x2 � x = x3, f(x) = 2x3 e, finalmente, f(x) = 2x3 + x é contínua para qualquer ponto x = x0, pois a

soma e produto de funções contínuas também são funções contínuas.

76a) Para todo x exceto x = ± 1 (em que o denominador é zero)


106

b) Para todo x c) Para todo x > –10 d) Para todo x � 3 e) Para todo x, pois

x 3lim (x)f

→ = f(3)

f) Para todo x, exceto x = 0 g) Para todo x � 0 h) Para todo x, exceto x = �± , 2�± , 3�± , ...

77) x 4lim (x)f

→ = f(4)

78) O gráfico não tem buraco, pulo ou assíntota vertical.

79) O gráfico de y = f(x) deve ter uma descontinuidade em 3 e deve ter x 3lim (x)f

−→ = f(3).


107

80a)

b) É descontínua em t = 1, 2, 3 e 4. A pessoa que deixar seu carro no estacionamento deverá saber

que o valor cobrado mudará no começo de cada hora.

81)

x 3lim [2 (x) g(x)] = 4f

→−

Usando as propriedades operatórias dos limites vem:

x 3lim 2 (x)f

→–

x 3lim g(x)

→ = 4

x 3

2 lim (x)f→

� – x 3lim g(x)

→ = 4

2 � 5 – x 3lim g(x)

→ = 4

10 – 4 = x 3lim g(x)

→

x 3lim g(x)

→ = 6

Portanto, g(3) = 6.

82a) f(–4) não está definido e x alim (x)f

→ (para a = –2, 2 e 4) não existe.

b) –4, nenhum dos dois; –2, à esquerda; 2, à direita e 4, à direita.


108

83a) f(2) não está definido

b)

x 0lim (x)f

→ não existe

c)

x 3lim (x)f→−

� f(–3), pois x 3lim (x)f→−

= –7 e f(–3) = –5.


109

84) Para a função ser contínua no ponto x = 2, devemos ter x 2lim (x)f

→= f(2).

x 2lim (x)f

−→= c � 22 + 2 � 2 = 4c + 4

x 2lim (x)f

+→= f(2) = 23 – c � 2 = 8 – 2c

Logo: 4c + 4 = 8 – 2c 4c + 2c = 8 – 4 6c = 4

c = 23

85a) g(x) =

2x 2x 8, se x 2

x + 2 6 , se x = 2

� − − ≠ −�� − −�

b) A descontinuidade não é removível, pois x 7lim (x)f

+→= 1 e

x 7lim (x)f

−→= –1.

c) g(x) =

6x + 64, se x 4

x + 4 16 , se x = 4

�≠ −�

�� −�

d) g(x) =

3 x, se x 9

9 x1

, se x = 96

� − ≠�� −��

86) f(–1) = –2 e f(4) = 73. Pelo teorema de Bolzano, temos que f(–1) � f(4) < 0. Logo existe, pelo

menos, uma raiz entre [–1, 4].

87) Devemos ter f(–2) � f(0) < 0. f(–2) = –8 + 4 – 10 + a = –14 + a f(0) = a Então: (–14 + a) � a < 0

(–14 + a) � a = 0

a = 14 e a = 0 Portanto, o valor deve estar no intervalo 0 < a < 14.

0 – 14

+ +


110

88) f(0) = 1 e �

2f � ��

= –5. Como f(0) � �

2f � ��

< 0, há pelo menos 1 raiz em �

0, 2

� ��

.

89) Por que a função não é contínua em [–1, 1]. 90) Devemos ter f(–3) � f(–1) < 0. f(–3) = –27 + 9 – 15 + a = –33 + a f(–1) = –1 + 1 – 5 + a = –5 + a Então: (–33 + a) � (–5 + a) < 0

(–33 + a) � (–5 + a) = 0

a = 33 e a = 5 Portanto, o valor deve estar no intervalo 5 < a < 33.

91) O teorema de Bolzano é satisfeito, pois f(–1) � f(0) < 0 e f(0) � f(1) < 0.

92) Pelo teorema de Bolzano, temos que f(0) � f(–1) < 0 e f(2) � f(3) < 0. Portanto, a equação possui

raízes nos intervalos dados.

93) Sim, pois temos f(–1) � f(4) < 0, satisfazendo o teorema do anulamento. 94a) A descontinuidade não é removível, pois

x 2lim (x)f

+→= 1 e

x 2lim (x)f

−→= –1.

b) A descontinuidade não é removível, pois x 4lim (x)f

+→−= 1 e

x 4lim (x)f

−→= –1.

c) A descontinuidade não é removível, pois x 3/ 2lim (x)f

+→=

32

e x 3/ 2lim (x)f

−→=

32

− .

5 – 33

+ +


111

Referências bibliográficas AVILA, G. Análise Matemática para licenciatura. 3 ed. São Paulo: Blucher, 2006. DANTE, L. R. Matemática: Conceitos & Aplicações. 3 ed. São Paulo: Ática, 2004. GUIDORIZZI, H. L. Curso de Cálculo. vol. 2. Rio de Janeiro: 2001 FERREIRA, J. A construção dos números. 1 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010. FIGUEREIDO, D. G. Números Irracionais e Transcendentes. 3 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010. HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de

Janeiro, LTC, 2002

LIMA, E. L. Curso de Análise. vol. I. São Paulo: IMPA, 2001 LOUREIRO, C.; PERES, E. e GARCIA, M. A Contribuição da Análise Matemática na Formação

de Professores.

NAME, M. A. Tempo de Matemática. s.e. São Paulo: Editora do Brasil, 1996. SPIEGEL, M. R. Cálculo Avançado. 3 ed. São Paulo: McGraw Hill, 1974. STEWART, J. Cálculo. vol. I. 5 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. STEWART, J. Cálculo. vol. II. 5 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. THOMAS, G. B. Cálculo. vol. I São Paulo, Pearson, 2005.


112

Anexo I

O valor de � A primeira referência ao valor de � (pi) aparece na Bíblia, no Primeiro Livro dos Reis, 7,

versículo 23: “Fez mais o mar de fundição, de dez côvados, de uma borda até à outra borda, redondo

ao redor, e de cinco côvados ao alto; e um cordão de trinta côvados o cingia, em redor.” Aqui, o

valor de � é 3, bastante inexacto, portanto.

Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores

calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o

seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um

círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que

� = circunferência

diâmetro

em que o valor de � é constante. Note-se que o nome “pi”, usando a letra grega, só foi introduzido em

1706 por William Jones (1675-1749).

O valor exato de � desde cedo despertou o interesse dos matemáticos. Arquimedes de Siracusa

(287-212 a.C.) chegou ao valor de 227

ou seja 3,142857…

Só no século XVIII é que se provou que � é um número irracional, isto é que não pode ser

expresso como uma fração, própria ou imprópria. Em termos práticos, isso significa que o número de

casas decimais que � pode ter é infinito.

No século XIX, demonstrou-se que � é um número transcendental, isto é, não pode ser expresso

por uma equação algébrica com coeficientes racionais.

Como corolário, deve dizer-se que é impossível fazer a “quadratura do círculo”, isto é, desenhar

um quadrado com o mesmo perímetro de determinado círculo.

Podem apreciar-se na tabela a seguir os progressos feitos no cálculo do valor de �. Só no século

XX, nos anos 50, é que se começaram a utilizar computadores para o cálculo das casas decimais de �.

Os valores de � através dos séculos

Pessoas/Povo Ano Valor

Babilônia ~2000 B.C. 318

Egípcios ~2000 B.C. 2

169

� ��

= 3,1605

Chineses ~1200 B.C. 3


113

Antigo Testamento ~550 B.C. 3

Arquimedes ~300 B.C. encontra 3

1071

< � < 317

usa 211 87567 441

= 3,14163

Ptolomeu ~200 A.D. 377120

= 3,14166...

Chung Huing ~300 A.D. 10 = 3,16...

Wang Fau 263 A.D. 15750

= 3,14

Tsu Chung-Chi ~500 A.D. 3,1415926 < � < 3,1415929 Aryabhatta ~500 3,1416

Brahmagupta ~600 10 Al-Khwarizmi 820 3,1416 Fibonacci 1220 3,141818

Ludolph van Ceulen 1596 Calcula � até 35 casas decimais

Machin 1706 100 casas decimais Lambert 1766 Prova que � é irracional Richter 1855 500 casas decimais Lindeman 1882 Prova que � é transcendental Ferguson 1947 808 casas decimais Computador Pegasus 1957 7 840 casas decimais

IBM 7090 1961 100 000 casas decimais CDC 6600 1967 500 000 casas decimais

Eis algumas das fórmulas utilizadas para calcular o valor de � em computador:

François Viète (1540-1603) determinou que:

� = 2

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ...

2 2 2 2 2 2 2 2� � �

John Wallis (1616-1703) mostrou que � = 2 2 4 4 6 6...

21 3 3 5 5 7...� � � � �

� � � � �.

Euler (1707-1783) construiu a fórmula 2

21

� 1 =

6 n

∞

� .


114

Observações: 1 - Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, matemático árabe nascido em Bagdad, por volta

de 780, faleceu em 850. Do seu nome derivam as palavras “algarismo” em português e “guarismo” em

castelhano (guardamos sempre o artigo árabe nas palavras derivadas daquela língua). Para além disso,

escreveu um livro chamado “al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala” (traduzido para

inglês com o título “The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”. De Al

jabr, vem o nome Álgebra. Mais: sabe-se que Al-Khwarizmi escreveu um livro que desapareceu, mas

de que chegou até nós uma tradução latina com o título “Algoritmi de numero Indorum”, ou seja, “Al-

Khwarizmi sobre o modo Hindu de contar” e do nome latino que ali lhe deram derivou o termo

“algoritmo”.

2 – Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração (própria ou imprópria).

Fração própria é a que tem o numerador inferior ao denominador. Fração imprópria é aquela em que o

numerador é maior ou igual ao denominador. O numerador e o denominador são, evidentemente,

inteiros. Um número primo é um número maior do que 1, que não é divisível por nenhum número

inteiro positivo, que não seja 1 ou o próprio número. Um número composto é um número inteiro

positivo diferente de 1 e que não é número primo.

3 – Os números transcendentais não podem ser expressos como sendo a raiz de uma qualquer equação

algébrica, com coeficientes racionais. Isto significa que � não pode satisfazer com exatidão equações

do tipo 10,9�4 – 240�² + 1492 = 0. Este tipo de equações envolve sempre números inteiros para o valor

de �. O número � pode ser expresso através de uma fracção que não tem fim ou como o limite de uma

série infinita. A fração 355113

exprime o valor de � com exatidão até seis casas decimais.

Em 1882, o matemático alemão F. Lindemann provou que � é transcendental, acabando com

2500 anos de especulação. Com efeito, provou que � transcende o poder de a álgebra o representar na

sua totalidade. Não pode ser representado através de qualquer série finita de operações aritméticas ou

algébricas. Não pode ser escrito num pedaço de papel tão grande como o universo.

Site consultado http://www.arlindo-correia.com/040901.html acessado em julho de 2008


115

Anexo II

O número e, por quê? A noção de logaritmo quase sempre nos é apresentada, pela primeira vez, do seguinte modo: “o

logaritmo de um número y na base a é o expoente x tal que ax = y”.

Segue-se a observação: “os números mais frequentemente usados como base de um sistema de

logaritmos são 10, e o número e = 2,71828182...”; o que nos deixa intrigados.

De saída, uma pergunta ingênua: esta regularidade na sequência dos algarismos decimais desse

número e persiste? Não. Apenas uma coincidência no começo. Um valor mais preciso seria e =

2,718281828459...

Não se trata de uma fração decimal periódica. O número e é irracional, isto é, não pode ser obtido

como quociente e = p/q de dois inteiros. Mais ainda: é um irracional transcendente. Isto significa que

não existe um polinômio P(x) com coeficiente inteiros, que se anule para x = e, ou seja, que tenha e

como raiz.

Por que então a escolha de um número tão estranho como base de logaritmos? O que faz esse

número tão importante? Talvez a resposta mais concisa seja que o número e é importante porque é

inevitável. Surge espontaneamente em várias questões básicas.

Uma das razões pelas quais a Matemática é útil às Ciências em geral está no Cálculo (Diferencial

e Integral), que estuda a variação das grandezas. Um tipo de variação dos mais simples e comumente

encontrados é aquele em que o crescimento (ou decrescimento) da grandeza em cada instante é

proporcional ao valor da grandeza naquele instante. Este tipo de variação ocorre, por exemplo, em

questões de juros, crescimento populacional (de pessoas ou bactérias), desintegração radioativa, etc.

Em todos os fenômenos dessa natureza, o número e aparece de modo natural e insubstituível. Vejamos

um exemplo simples.

Suponhamos que eu empreste a alguém a quantia de 1real a juros de 100% ao ano. No final do

ano, essa pessoa viria pagar-me e traria 2 reais: 1 que tomara emprestado e 1 dos juros. Isto seria justo?

Não. O justo seria que eu recebesse e reais. Vejamos por que. Há um entendimento tácito nessas

transações, de que os juros são proporcionais ao capital emprestado e ao tempo decorrido entre o

empréstimo e o pagamento.

Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do empréstimo, eu receberia apenas 1

12

reais. Mas isto quer dizer que, naquela ocasião, ele estava com 1 ½ real meu e ficou com esse dinheiro

mais seis meses, à taxa de 100% ao ano; logo deveria pagar-me


116

21 1 1 1 1 1

1 + 1 = 1 1 = 1 + 2 2 2 2 2 2

� � � ��

� reais no fim do ano. Isto me daria 2,25 reais, mas, mesmo assim,

eu não acharia justo.

Eu poderia dividir o ano num número arbitrário n, de partes iguais. Transcorrido o primeiro

período de 1 ano

n, meu capital emprestado estaria valendo

11 +

n reais. No fim do segundo período de

1 anon

, eu estaria 2

11 +

n� ��

reais, e assim por diante. No fim do ano eu deveria receber n

11 +

n� ��

reais.

Mas, como posso fazer esse raciocínio para todo n, segue-se que o justo e exato valor que eu deveria

receber pelo meu real emprestado seria n

1lim 1 +

nn→∞

� ��

, que aprendemos nos cursos de Cálculo ser igual

ao número e. Um outro exemplo no qual o número e aparece.

Fonte: Adaptado do artigo de Elon Lages Lima


117

Anexo III

Provando que o logaritmo (base 10) é irracional O logaritmo de 2 na base 10 é um número irracional.

De fato, se log 2 fosse racional, teríamos log 2 = ab

, em que a ∈ Z e b ∈ N − {0}. Desta forma,

teríamos 2 = ab10 . Elevando ambos os lados da igualdade a b teremos:

2b = 10a = 2a � 5a. Como b é um número natural, diferente de zero, 2b é um número natural maior que 1. Por outro

lado, a igualdade 2b = 2a � 5a nos diz que 5 divide 2b. Um absurdo, pois os divisores de 2b são

potências de 2. Logo, log 2 não pode ser racional (lembre-se que log 2 é um número real) e portanto é

irracional.

Prove que os números abaixo são irracionais: 1) log 3


, em que a ∈ Z e b ∈ N − {0}. Desta forma,

teríamos 3 = ab10 . Elevando ambos os lados da igualdade a b teremos:



potências de 3. Logo, log 3 não pode ser racional e, portanto é irracional.

b) log 21


, em que a ∈ Z e b ∈ N − {0}. Desta

forma, teríamos 21 = ab10 . Elevando ambos os lados da igualdade a b teremos:



potências de 21. Logo, log 21 não pode ser racional e, portanto é irracional.


118

Anexo IV

As dízimas periódicas e a calculadora Em um concurso destinado principalmente a professores de Matemática, figurava a seguinte

questão: “Os números racionais a e b sao, representados, no sistema decimal, pelas dízimas periódicas:

a = 3,0181818... = 3,018 e b = 1,148148... = 1,148 Encontre, justificando, uma representação decimal de a – b”.

Como a e b são racionais, temos que a diferença a – b, também é racional e, portanto, sua

representação decimal também é periódica. Apesar de na prova ter sido permitido o uso da calculadora,

o período jamais seria descoberto com a certeza exigida pelo “justifique”. Além disso, o período

poderia ser maior do que o número de dígitos que a calculadora pudesse exibir no visor.

Um primeiro expediente que poderia ocorrer seria fazer a subtração por meio do esquema usado

habitualmente para decimais finitos. Isso funcionaria bem em casos mais simples.

Por exemplo:

0,444...4 3 1

0,333... , o que estaria correto, pois =9 9 9

0,111...

−

Mas, no caso em questão, o desencontro entre os períodos das duas dízimas apresentadas

dificultava o emprego dessa estratégia (a qual, aliás, precisaria ser discutida em termos conceituais).

Vejamos:

30,18181818...

1,148148148...

??

Como a subtração usual é feita da direita para a esquerda, não se sabe bem por onde se deveria

começar, antes de descobrir o período. Por conseguinte, o caminho natural seria calcular as geratrizes

de a e b, subtrair as frações correspondentes, e então encontrar uma representação decimal para essa

fração. Utilizando esse procedimento, teríamos:

10a = 30,18... 18

logo, 1000a 10a = 990a = 2988, ou a = 3+9901000a = 3000,18...

�� −��

.

1000b = 1148,148 ...; 1000b – b = 999b = 1147, ou b = 148

1+999

,


119

portanto

a – b = 18

3+990

– 148

1+999

� ��

= 1 + 12921485

= 27771485

.

Nesse ponto, o método mais usado por todo o mundo é dividir 2777 por 1485 (ou 1292 por 1485,

ganhando uma etapa), pelo algoritmo tradicional, e aguardar o primeiro resto que se repete. Desse

modo, obtém-se:

1 2 9 2 0 1485

1 0 4 0 0 0,8700336

5 0 0 0 5 4 5 0

9 9 5 0

1 0 4 0

Como se repetiu o resto 1040, a partir daí, os algarismos 7, 0, 0, 3, 3, 6 se repetiriam. Logo, a – b

= 1,8700336 .

Vamos agora fazer alguns comentários: 1. Algumas pessoas envolvidas no processo de aprendizagem da Matemática (alunos, professores, pais,

etc.) expressam às vezes a crença de que, com o advento da calculadora, nunca mais haverá ocasião de

usar o algoritmo tradicional da divisão. Alguns até usam isso como um argumento para proibir o uso

da calculadora em certas fases iniciais da aprendizagem: “é necessário primeiro que o aluno aprenda o

algoritmo tradicional, e só depois lhe será permitido usar a calculadora; senão, ele não terá motivação

para aprender tal algoritmo”.

Na realidade, o exemplo aqui tratado mostra que nós, professores, temos que exercer nossa

criatividade para criar problemas desafiadores, que coloquem em xeque até mesmo a calculadora,

deixando claras as suas limitações, em vez de proibir o seu uso, o que é uma atitude antipática,

repressora, e totalmente contrária ao que um aluno espera de um professor de Matemática. De fato,

para um leigo, ou um iniciante em Matemática, nada mais “matemático” do que uma calculadora, e ele

espera que um professor vá iniciá-lo ou ajudá-lo com essa ferramenta, e não proibi-lo de usá-la.

2. Existiria um outro método para encontrar uma representação decimal de 208297

(ou de 12921485

, mas já

vimos que basta o primeiro), que não fosse o algoritmo tradicional da divisão? A resposta é sim.

Basta tomar as sucessivas potências de 10, a saber: 10, 100, etc., até que encontremos uma que

deixe resto 1, quando dividida por 297. Não é difícil fazer isso, experimentando com a calculadora:


120

103 = 3 � 297 + 109 104 = 33 � 297 + 199

105 = 336 � 297 + 208 104 = 3367 � 297 + 1

A partir daí, obtém-se: 1

297 = 3367 � 6

110 1−

, e portanto:

208297

= 208 � 3367 � 6

110 1−

= 700336 � 6

6

110

11

10−

= 6

70033610 6 12

1 11 + + + ...

10 10� ��

= 0,700336700336700366... = 0, 700336 em que a última passagem vem da propriedade das progressões geométricas infinitas: 1 + q + q2 + ... =

11- q

, –1 < q < 1.

Observe que o período da dízima tem comprimento 6, que é o expoente da menor potência de 10

que deixa resto 1, quando dividida por 297.

Considerações finais Observemos que toda fração decimal finita como 0,125, por exemplo, é gerada por uma fração

cujo denominador é uma potência de 10:

0,125 = 125

1000 = 3

12510

= 3 3

1252 5�

.

Por outro lado, uma fração cujo denominador não tem outros fatores primos além do 2 e do 5

(poderia ser um deles apenas) sempre pode ser expressa por uma fração cujo denominador é uma

potência de 10 e, portanto, tem uma representação decimal finita. Por exemplo,

3

20 = 2

32 5�

= 2 2

3 52 5�

� = 2

1510

= 0,15.

Esse raciocínio permite concluir que uma fração ab

, na forma irredutível, tem representação

decimal infinita se, e somente se, b = b0 � 2m � 5n, com b0 > 1, m, n > 0 e mdc (b0, 10) = 1.

Isso posto, podem-se provar os seguintes resultados:


121

a) a representação decimal de ab

é periódica e pode apresentar ou não pré-período de tamanho

r = max {m, n} algarismos (por exemplo, 0,356212121... tem pré-período de três algarismos, 3, 5 e 6);

b) se m > 0 ou n > 0, então há um pré-período formado de r = max {m, n}. c) o período é formado de h algarismos, sendo h o menor inteiro positivo tal que 10h – 1 é múltiplo de

b0 (uma generalização da propriedade conhecida como teorema de Euler [1760] garante a existência de

h.)

Por exemplo:

• 521

não tem pré-período, pois 21 = 3 � 7 (notar a ausência de 2 e 5) e o período é formado de 6

algarismos, uma vez que 102 – 1 = 99, 103 – 1 = 999, 104 – 1 = 9999 e 105 – 1 = 99999 não são

múltiplos de 21, mas 106 – 1 = 999999 = 21 � 47619. De fato, 521

= 0,238095238095... =

0, 238095 .

• 9

140 tem pré-período formado por 2 algarismos (observar que 140 = 22 � 5 � 7 e que max {2, 1} =

2) e período formado de 6 algarismos, pois 6 é o menor expoente tal que 106 – 1 é múltiplo de 7.

De fato, 9

140 = 0,06428571428571... = 0,06 428571 .

Fonte: José Paulo Q. Carneiro, Coleção Explorando o Ensino da Matemática – Volume 3, pp. 31 a 35, 2004 (adaptado)

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CAPÍTULO I Preliminares - MATEMATICANDO · Se a Análise surgiu do estudo dos números e funções reais, sua abrangência cresceu de forma a estudar os números complexos, bem como