Apunte Ley de Corte

DEPARTAMENTO INGENIERIA MINAS

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FORMANDO PROFESIONALES PARA LA MINERIA DESDE 1918

RESUMEN DE TESIS

“ IMPLEMENTACION DE UNA POLITICA DE LEY DE CORTE“

ALUMNO: Jaime Alberto Trillo Vásquez

AÑO 2012

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1. INFORMACION GENERAL

2. TITULO DE MEMORIA

2.1 TESIS: IMPLEMENTACION DE UNA POLITICA DE LEY DE CORTE.

2.2 ORIGEN DEL TEMA:

El desarrollo de esta investigación surge bajo la necesidad de mostrar un mayor

potencial económico (VPN) en la evaluación del proyecto minero Antapaccay,

debido a que este proyecto en su momento compitió por la aprobación de un

presupuesto contra otros proyectos para su construcción.

Con el desarrollo de este estudio se logró ganar mayor confianza de los

accionistas y hoy el proyecto es una realidad.

2.3 EMPRESA EN LA QUE SE DESARROLLÓ EL TEMA:

Este trabajo de investigación se desarrollo para el proyecto minero Antapaccay el

cual es de propiedad en su totalidad de la empresa mineras Xstrata Copper, es

necesario resaltar que por motivos de confidencialidad los datos utilizados (leyes,

costos, precios) no representan la realidad del yacimiento minero.

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3. DESARROLLO DE TESIS

3.1 LEY DE CORTE:

La ley de corte es generalmente definida como la mínima cantidad de producto

económico o cantidad de metal que una tonelada métrica de material debe

contener para ser enviada a un proceso metalúrgico. Esta definición es usada para

distinguir el material que no debe ser minado o que es desmonte.

Las leyes de corte también son utilizadas para decidir el destino de un material

minado cuando dos o más procesos están disponibles tales como lixiviación y

flotación, también es utilizada para decidir si un material debe ser almacenado en

un stock para un futuro proceso o ser procesado inmediatamente.

El cálculo de una ley de corte puede realizarse con el manejo de un grupo

reducido de variables o con el manejo de un gran grupo de variables. En un

escenario geológico y metalúrgico simple un solo numero tal como el contenido

de metal es suficiente para seleccionar una ley de corte, esto no es muy común, en

la mayoría de situaciones los costos, recuperaciones varían por lo tanto sucede lo

mismo con la ley de corte, el contenido de metal es usualmente el factor más

importante pero no el único.

La ley de corte define la rentabilidad de una explotación minera así como también

la vida de la mina. Una alta ley de corte puede usarse para aumentar la

rentabilidad a corto plazo y el valor presente neto de un proyecto, por

consiguiente posiblemente realzando el beneficio para los accionistas y otros

interesados, incluyendo al gobierno y comunidades locales. Sin embargo,

aumentar la ley de corte tiene también la probabilidad de disminuir la vida de la

mina. Una vida más corta de la mina puede reducir oportunidades dependientes

del tiempo, como las ofrecidas por ciclos de precio, también puede dar como

resultado un gran impacto socio-económico con la reducción de empleos a largo

plazo y los beneficios disminuidos para los empleados y las comunidades locales.

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3.2 GENERALIDADES:

3.2.1 Formulación matemática:

La ley de corte está directamente relacionada a la ecuación de beneficio, si

tomamos en cuenta solo costos e ingresos relacionados al minado,

procesamiento, y venta del producto tenemos lo siguiente:

Beneficio = Ley x Recuperación x (Precio – CVenta) – (CMina + CProceso + CFijo)

En esta ecuación, representa la pérdida o ganancia directa que será obtenida de

procesar una tonelada métrica de material, considerando un beneficio nulo:

Ley = (CMina + CProceso + CFijo) / Recuperación x (Precio – CVenta)

3.2.2 Relación entre ley de corte y tonelaje – ley

La ley de corte está muy relacionada con el tonelaje y la ley media de los

materiales que serán entregado a algún proceso, por consiguiente también tiene

una relación directa con la cantidad de producto (metal fino) a vender, y con la

cantidad de material minado que se definirá como material estéril o desmonte.

En la figura 1 se muestra una curva característica de Tonelaje-Ley, donde

representaremos la relación de las variables antes mencionadas.

0

50

100

150

200

250

300

350

0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.90 1.000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

Ore

(Mto

ns)

Ley de Corte Cu%

Ley

Med

ia C

u%

Curva Tonelaje - Ley

Ley Media Mt Mineral

Figura 1: Curva de Tonelaje - Ley

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Para mejorar la lectura y la aplicación del grafico consideremos el siguiente

ejemplo:

Si Considerando una ley de corte de 0.30% de contenido de cobre, nuestro

tonelaje de mineral considerado es 287 Mt, con una ley media de 0.76% de

contenido de cobre, entonces el contenido metálico de esta cantidad de mineral

es:

287 x 0.76% = 2.18 Mt de cobre

Si Considerando una ley de corte de 0.25% de contenido de cobre, nuestro

tonelaje de mineral considerado es 311 Mt, con una ley media de 0.72% de

contenido de cobre, entonces el contenido metálico de esta cantidad de mineral

es:

311 x 0.72% = 2.24 Mt de cobre

Del grafico deducimos las siguientes afirmaciones:

- La curva “Mt Mineral”, corresponden a la cantidad de mineral por encima de

la ley de corte ubicada en el eje x, esta cantidad tiene un comportamiento

inverso a la ley de corte, ya que si incrementamos la ley de corte el tonelaje

del mineral deberá disminuir.

- La curva “Ley Media”, corresponde a la ley media contenida en la cantidad de

mineral que se entregara a proceso, este valor tiene un comportamiento

similar al de la ley de corte, si esta incrementa la ley media deberá hacerlo

también.

3.3 LEYES DE CORTE MINIMAS:

Las leyes de corte mínimas son aquellas donde solo consideraremos los costos

operativos directos y donde las restricciones de capacidad serán ignoradas. Los

flujos de caja no son descontados y los costos de oportunidad no son tomados en

consideración.

Todos los cálculos realizados estarán en función de la ecuación de beneficio.

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3.3.1 Ley de corte entre mineral y desmonte:

Consideremos que una tonelada de material ha sido minada, y debemos decidir si

la enviamos a proceso metalúrgico o si la enviamos al botadero de desmonte.

Para este caso consideremos las siguientes ecuaciones de beneficio:

Destino Proceso Metalúrgico:

Beneficio (mineral) = Ley Media x Recuperación x (Precio – CVenta) –

(CMina1 + CProceso + CFijo)

Destino Botadero:

Beneficio (desmonte) = - (CMina2)

Entonces la ley de corte mínima es el valor donde el beneficio de enviar 1

tonelada al proceso es igual al beneficio producido cuando esta tonelada es

enviada al botadero de desmonte o material estéril.

Beneficio (mineral) = Beneficio (desmonte)

Ley x Recuperación x (Precio – CVenta) – (CMina1 + CProceso + CFijo) = - (CMina2)

Ley de Corte = (CMina1 – CMina2 + CProceso + CFijo) / Recuperación

(Precio – CVenta)

Esta ley de corte se aplica al material que es extraído de la mina, algunas veces se

le denomina "ley de corte interna”.

Si los costos de minado para mineral y desmonte son iguales, el cálculo de la ley

de corte está en función a los costos de proceso, esta ley de corte comúnmente se

le conoce como ley de corte para proceso (mill cutoff grade, leach cutoff grade).

La figura 2, muestra la representación de esta ley de corte:

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|

Consideremos los siguientes datos y realicemos el cálculo de ley de corte para

definir el destino de una tonelada de material minado:

CMina1: 1 $/t (mineral) CMina2: 0.8 $/t (desmonte)

CProceso: 5 $/t CFijo: 1 $/t

Recuperación: 90% Precio Cu: 2 $/lb

CVenta: 0.4 $/Lb

Reemplazando en la ecuación:

Ley de Corte = (1 – 0.8 + 5 + 1) $/t / 90% x (2 – 0.4) $/lb x 2204.623 lb/t

Ley de Corte = 0.20% Cu

MILL

Prof

it (

$/t)

Proc

. Co

st (

$/t)

Cut-OffGrade

Material Desmonte

Material Proceso

Figura 2: Ley de Corte Mineral - Desmonte

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3.3.2 Ley de Corte de Equilibrio:

Consideremos para este caso que el límite final de pit de una mina está siendo

minado en la zona de fondo del pit, entonces el material ya se encuentra expuesto,

por lo tanto tenemos dos alternativas:

- No minar el material

- Minar el material y procesarlo

Para decidir que alternativa tomar consideremos las siguientes ecuaciones de

beneficio:

Destino Botadero: ya que el material ha sido expuesto y si decidiéramos no

minarlo, entonces el beneficio es igual a cero:

Beneficio (No Minar) = 0

Destino Proceso Metalúrgico: si la decisión tomada es minar este material esta

debe incluir el proceso metalúrgico de este material, entonces la ecuación de

beneficio se representa:

Beneficio (minar y procesar) = Ley Media x Recuperación x (Precio – CVenta) – (CMina1 + CProceso + CFijo)

Entonces la ley de corte de equilibrio es el valor donde el beneficio de minar y

enviar 1 tonelada al proceso es igual a cero.

Ley de Corte de Equilibrio = (CMina + CProceso + CFijo) / Recuperación (Precio – CVenta)

A esta ley de corte algunas veces se le denomina "Ley de Corte de Mina”.

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La figura 3 representa a la ley de corte de equilibrio:


definir si es conveniente minar el material:

CMina: 1 $/t (mineral) CFijo: 1 $/t

CProceso: 5 $/t Precio Cu: 2 $/lb

Recuperación: 90% CVenta: 0.4 $/Lb


Ley de Corte = (1 + 5 + 1) $/t / 90% x (2 – 0.4) $/lb x 2204.623 lb/t


3.3.3 Ley de Corte para selección de Proceso:

Bajo el supuesto que un material tenga la posibilidad de ser enviado a dos

procesos, debemos decidir el valor de ley de corte donde la decisión de enviar el

material a un determinado proceso genere un mayor valor económico para

nuestra empresa, consideremos las siguientes ecuaciones de beneficio:

Prof

it (

$/t)

Proc

. Co

st (

$/t)

Cut-Off

Grade

Material Desmonte

Material Proceso

Figura 3: Ley de Corte de Equilibrio

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Destino Proceso Metalúrgico 01:

Beneficio (Proceso 01) = Ley Media x Recuperación1 x (Precio – CVenta1) – (CMina1 + CProceso1 + CFijo1)

Destino Proceso Metalúrgico 02:

Beneficio (Proceso 02) = Ley Media x Recuperación2 x (Precio – CVenta2) – (CMina2 + CProceso2 + CFijo2)

Entonces la ley de corte que delimitara el envío de material a diferentes procesos,

es el valor donde el beneficio de enviar el material al proceso 1 es igual al

beneficio de enviar el material al proceso 2.

Beneficio (Proceso 01) = Beneficio (Proceso 02)

Ley de Corte = {(CMina1 – CMina2) + (CProceso1 – CProceso2) + (CFijo1 – CFijo2)} / {(Recuperación 1 x (Precio – CVenta1)) – ((Recuperación2 x (Precio – CVenta2)}

La figura 4 representa la ley de corte para selección de proceso:

Grade 1

Cut-

Off

2G

rade

2

Ore to Process

Waste

Cut-Off 1

Ore to Process

Ore to Process

Prof

it (

$/t)

Proc

. Co

st (

$/t)

Cut-Over

Mill Cut-Off

Leach Cut-Off

Grade

Ore to Mill

Ore toLeach

Figura 4: Ley de Corte para Selección de Proceso

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definir el valor que limitara el envío de material al proceso 1 del proceso 2:

Proceso 01 Proceso 02

CMina: 1 $/t CMina: 1.2 $/t

CProceso: 5 $/t CProceso: 3 $/t

CFijo: 1 $/t CFijo: 0.3 $/t

Recuperación: 90% Recuperación: 70%

Precio Cu: 2 $/lb Precio Cu: 2 $/lb

CVenta: 0.4 $/Lb CVenta: 0.22 $/Lb


Ley de Corte = {(1 – 1.2) + (5 – 3) + (1 – 0.3)} / {(90% x (2 – 0.4) x 2204.623) -

(70% x (2 – 0.22) x 2204.623)


Entonces para materiales con leyes a partir de 0.58% de contenido de Cobre,

generarían un mayor beneficio si la enviamos a proceso 01.

3.3.4 Ley de Corte entre Desmonte y Stock Pile:

Consideremos que se ha establecido que el desarrollo de un plan de minado

utilice la “Ley de Corte de Mina” como el valor mínimo de contenido metálico

para el primer quinquenio de minado, y para los siguientes años utilizara “Ley de

Corte de Proceso”, esto hace suponer que material con valor económico

favorable puede ser enviado al botadero durante el primer quinquenio, debido a

este escenario deberemos definir una nueva ley de corte que permita definir que

material deberá ser depositado en un stock para luego ser recuperado, procesado

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y genere valor económico favorable . Para este caso consideremos las siguientes

ecuaciones de beneficio:

Destino Stock:

Beneficio (stock) = Ley Media x Recuperación Ajustada x (Precio –

CVenta) – (CMina1 + CRemanejo + CProceso + CFijo)

Destino Botadero:

Beneficio (desmonte) = - (CMina2)

Entonces la ley de stock es el valor donde el beneficio de enviar 1 tonelada al

Stock es igual al beneficio producido cuando esta tonelada es enviada al botadero

de desmonte o material estéril.

Beneficio (stock) = Beneficio (desmonte)

Ley x Recuperación Ajustada x (Precio – CVenta) – (CMina1 + CRemanejo + CProceso + CFijo) = - (CMina2)

Ley de Corte = (CMina1 – CMina2 + CRemanejo + CProceso + CFijo) / Recuperación (Precio – CVenta)


definir el destino de una tonelada de material minado:

CMina1: 1 $/t (mineral) CMina2: 0.8 $/t (desmonte)

CProceso: 5 $/t CFijo: 1 $/t

Recuperación: 90% Precio Cu: 2 $/lb

Recuperación Ajustada: 89%

CVenta: 0.4 $/Lb

CRemanejo: 0.5 $/t

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Ley de Corte Stock = (1 – 0.8 + 0.5 + 5 + 1) / 89% x (2 – 0.4) x 2204.623

Ley de Corte Stock = 0.21% Cu

Leyes de Corte para el Plan de Minado:

Ley de Corte Mina o Equilibrio = (1 + 5 + 1) / 90% x (2 – 0.4) x 2204.623

Ley de Corte Mina o Equilibrio = 0.22% Cu

Ley de Corte Proceso o Interna = (1 – 0.8 + 5 + 1) / 90% x (2 – 0.4) x 2204.623

Ley de Corte Proceso o Interna = 0.20% Cu

3.3.5 Ley de Corte en Depósitos Polimetálicos:

Para el escenario de un yacimiento polimetálico donde más de un metal

contribuya económicamente al beneficio económico, la decisión de enviar o no

una tonelada métrica, ya no solo estará basada en la cantidad de un metal en

particular de un metal, si no de la evaluación de los diferentes metales en cada

posible proceso.

Para este cálculo, ya no nos referiremos al valor de una ley de corte, e

introduciremos el uso de un nuevo término “Net Smelter Return”, que refiere al

pago realizado por las fundiciones a las compañías mineras por sus concentrados

(NSR, Lewis et aI., 1978; Huss, 1984; Werner & J81ak.iraman, 1980), depende de

la cantidad de factores y del precio del metal.

Para este caso consideremos las siguientes ecuaciones de beneficio:

Destino Proceso Metalúrgico:

Beneficio (Proceso Cu, Mo) = NSR (Cu, Mo) – (CMina1 + CProceso +

CFijo)

NSR (Cu, Mo) = (Ley Cu x Recuperación Cu – Deducción Cu) Pagable

Cu x Precio Cu + (Ley Mo x Recuperación Mo – Deducción Mo) Pagable

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Mo x Precio Mo – Costo Fundición/Ratio de Concentración – Costo Transporte/Ratio Concentración

Destino Botadero:

Beneficio (Botadero Cu, Mo) = - (CMina2)

NSR (Cu, Mo) – (CMina1 + CProceso + CFijo) = - (CMina2)

NSR = (CMina1 + CProceso + CFijo) - (CMina2)

Considerando criterios similares a los de ley de corte tenemos:

Ley de corte interna o ley de corte de proceso NSR:

NSR (p) = (CMina1 + CProceso + CFijo) - (CMina2)

Ley de corte de equilibrio o ley de corte de mina NSR:

NSR (m) = (CMina1 + CProceso + CFijo)

Consideremos los siguientes datos y realicemos el cálculo de NSR para definir el

destino correcto de una tonelada de material:

Proceso 01 Desmonte

CMina: 1 $/t CMina: 0.8 $/t

CProceso: 5 $/t

CFijo: 1 $/t

Recuperación Flotación Cu: 90%

Recuperación Fundición Cu: 96.5%

Precio Cu: 2 $/lb

Cargo Fundición Cu: 170 $/Ton Conc.

Cargo Refinería Cu: 0.065 $/Lb

Ratio de Concentración: 58

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Recuperación Flotación Mo: 66%

Recuperación Fundición Mo: 98%

Precio Mo: 10 $/lb

Costo Venta Mo: 1.95 $/Lb

NSR (Cu, Mo) = Cu x 90% x 96.5% x (2 – 0.065) + Mo x 66% x 98% x (10 –

1.95) – 170/58

NSR (Cu, Mo) = 1.68 Cu + 5.21 Mo – 2.93

Entonces el valor de NSR para una tonelada de mineral con una ley media de

cobre de cobre y molibdeno de 0.62% y 0.03% es:

NSR (Cu, Mo) = 23.48 $/ton

Ley de corte interna o ley de corte de proceso NSR

NSR (p) = (1 + 5 + 1) - (0.8)

NSR (p) = 6.2 $/ton

Ley de corte de equilibrio o ley de corte de mina NSR

NSR (m) = (1 + 5 + 1)

NSR (m) = 7 $/ton

La figura 5 muestra la relación entre el valor de NSR y leyes de elementos que

generan valor económico.

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3.4 OPTIMIZACION DE LEY DE CORTE (ALGORITMO DE LEY)

Hemos definido que el criterio para discriminar entre el material considerado

como desmonte y el considerado como mineral es mediante el uso de la ley de

corte; que los ingresos que se producirán en el desarrollo del plan minero son

directamente afectados por la elección de ley de corte que utilicemos, esto

acotado al objetivo de maximizar el valor presente neto de nuestra operación nos

lleva sin duda a la búsqueda de la ley de corte que represente claramente nuestros

objetivos, la cual es estimada atraves del uso del algoritmo de Lane.

3.4.1 Modelo Económico:

El propósito de un modelo económico de una operación, es proveer de una

herramienta con la cual podamos entender el efecto que generan los cambios de

algunas variables en este. En nuestro caso es necesario conocer los efectos que

pudieran tener las variaciones de leyes de corte, costos, etc, en los flujos de caja.

El modelo económico propuesto por Lane para la aplicación del algoritmo de

optimización considera básicamente tres procesos:

Grade 1

Gra

de 2

Waste

Ore to Process

NSR (Ley Corte Equilibrio)

NSR (Ley Corte Proceso)

Figura 5: Ley de Corte para Depósitos Polimetálicos (NSR)

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- MINA

- PROCESO

- MARKETING

Cada una de estas etapas posee capacidades máximas dadas y costos unitarios

constantes en el tiempo, se tienen además costos fijos, precios de venta de

producto final y una recuperación metalúrgica global, la figura 6 representa el

modelo propuesto por Lane.

La descripción de las variables consideradas en el modelo es la siguiente:

Capacidad Máxima

M (ton/año): Capacidad máxima de producción de material por período.

Recordando que se entiende por material tanto desmonte como mineral dentro

del depósito minero.

C (ton/año): Capacidad máxima de proceso por período. Recordando que se

entiende por mineral como el material enviado al concentrador. El concentrado

producido a considera con una ley fija.

R (lb/año): Máxima cantidad de producto final a comercializar por período de

operación.

Figura 6: Modelo Económico de Lane

Mina Proceso MarketingPerforacion Chancado FundicionVoladura Molienda RefineriaCarguio Flotación TransporteAcarreo Espesador/Filtro Comercializacion

Capacidad Maxima M (ton/año) C (ton/año) R (lb/año)Costos Unitarios m ($/ton) c ($/ton) r ($/lb)

Costos Fijos f ($/year)Venta s ($/lb)Recuperacion Global y (%)

Periodo T (year)Material a Minar Qm (ton/year)Mineral a Procesar Qc (ton/year)Producto Qr (lb/year)

Otros Factores

Cantidades a Minar

MODELO DE LANE

17 | P a g e

Costos

m ($/ton): Costo mina por unidad explotada. Se entiende que son los costos

unitarios que provienen de la explotación del material (Desmonte y Mineral). Para

nuestro caso los costos unitarios de minado son aquellos originados de las

operaciones básicas de método que son la perforación, voladura, carguío, acarreo

c ($/ton): Costos de proceso, costos por unidad de mineral. Los costos unitarios

incluyen todos los costos adicionales incurridos por el mineral. Para nuestro caso

incluyen el chancado, molienda, flotación, espesamiento, filtrado, etc.

r ($/lb): Costo de venta, costo por unidad de producto. Los costos unitarios del

producto, incluyen aquellos costos en que se ha incurrido en las etapas de

producto y venta, tales como fundición, refinación, fletes, seguros, etc.

f ($/año): Costos fijos por período. Los costos fijos incluyen aquellos costos

producidos por la venta, administración, mantención de caminos y edificios, que

son independientes de los niveles de producción. Existen también otros costos de

tipo económicos, como depreciaciones, seguros que no están incluidos.

s ($/lb): Precio de venta por unidad de producto. Este precio es una cifra total,

siempre y cuando incluya a todos los cargos por venta al costo por unidad del

producto. Si no son así estos deben ser deducidos del precio de venta del

producto.

y (%): Recuperación metalúrgica del proceso. La recuperación es una cifra global

para el concentrado y la refinería.

Cantidades

T: duración del periodo de producción considerado (1 año).

Qm (ton/año): cantidad de material a minar en un periodo de producción.

Qc (ton/año): cantidad de mineral a procesar en un periodo de producción.

Qr (lb/año): cantidad de producto actualmente producido para un periodo de

producción.

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3.4.2 Leyes de Corte Económicas o de Máxima Utilidad

En función de conocer la influencia de las leyes de corte en el flujo de caja de la

operación, definimos la siguiente expresión de beneficio:

Considerando que cada uno de los procesos genere una restricción de

producción, entonces podemos calcular una ley de corte para cada caso de

limitante, y basados en las siguientes características de nuestro proceso:

Capacidades: M = 100 ton/año C = 50 ton/año R = 40 lb/año

Costos Fijos: m = 1 $/ton c = 2 $/ton r = 5$/lb

Costo Fijo: f = 300 $/año Precio: s = 25 lb/ton Recuperación:

y=100%

Costo Total Tc = mQm + cQc + rQr + f * T

Ecuación de Costo

Ingreso R = sQr

Ecuación de Ingresos

Beneficio

Beneficio P = (s-r) * Qr - cQc - mQm - f * T

P = R - Tc = sQr - (mQm + cQc + rQr + f * T)

Ecuación de Beneficio

Grade (lb/ton) Ton Grade (lb/ton) Cutoff (lb/ton) Ton Acum Average (lb/ton)0.0 - 0.1 100 0.05 0 1,000 0.500.1 - 0.2 100 0.15 0.1 900 0.550.2 - 0.3 100 0.25 0.2 800 0.600.3 - 0.4 100 0.35 0.3 700 0.650.4 - 0.5 100 0.45 0.4 600 0.700.5 - 0.6 100 0.55 0.5 500 0.750.6 - 0.7 100 0.65 0.6 400 0.800.7 - 0.8 100 0.75 0.7 300 0.850.8 - 0.9 100 0.85 0.8 200 0.900.9 - 1.0 100 0.95 0.9 100 0.95

Reserves Inventary

Tabla 1: Inventario de Reservas

19 | P a g e

Tenemos:

3.4.2.1 Capacidad de Mina Limita la Operación

Asumiendo que la restricción de nuestro sistema se genera debido a la

capacidad máxima de minado (M), la ley de corte que representa esta

situación es:

3.4.2.2 Capacidad de Proceso Limita la Operación

Esta restricción es el caso que comúnmente se presenta en diferentes

operaciones mineras.

Asumiendo que la restricción de nuestro sistema se genera debido a la

capacidad máxima de procesamiento (C), la ley de corte que representa esta

situación es:

3.4.2.3 Capacidad de Marketing Limita la Operación

Por lo general esta restricción de capacidad se produce debido a algún

contrato exclusivo de ventas, o debido a la capacidad limitante de nuestro

sistema (mineroducto, fundición, refinería). Asumiendo que la restricción de

nuestro sistema se genera debido a la capacidad máxima de procesamiento

(R), la ley de corte que representa esta situación es:

En

Ley de Corte - Restricción Mina

Ley de Corte - Restricción Proceso

Ley de Corte – Restricción Marketing

g = c / (s-r) * y

g = (c + f/C) / ((s-r) * y)

g = c / (y * (s-r - f/R))

20 | P a g e

resumen para cada operación que fue considerada como una restricción, se

tiene su óptima ley de corte:

gm = 0.10 lb/ton gc = 0.40 lb/ton gr = 0.16 lb/ton

3.4.3 LEYES DE CORTE DE EQUILIBRIO

De las tres leyes de cortes definidas en la anterior sección, ninguna es

necesariamente la ley de corte óptima a utilizar, esto debido a que nuestra

operación no necesariamente está limitada por un proceso solamente, algunas

veces puede estar limitado por dos procesos, y ocasionalmente por los tres

procesos.

Los factores que determinan la utilización relativa de las capacidades de un

sistema son la distribución de leyes del material que está siendo minado y la ley de

corte utilizada.

Si consideramos una ley de corte mínima, implica que la mayor cantidad del

material que está siendo minado es considerado mineral, por lo que el

aprovechamiento de las reservas es alto pero la ley media de alimentación a planta

es baja por consecuencia la producción de metal también será mínima, por el

contrario si consideramos una ley de corte elevada, implica altos ratios de

minado, la recuperación del mineral es menor que el caso anterior pero la ley

media y la producción de metal es elevada, pero si consideramos una ley de corte

intermedia, es aproximarnos a utilizar una ley donde dos capacidades son

ampliamente utilizadas.

Ley de Corte R. Mina ($) R. Proceso ($) R. Refineria ($)0.00 4,000 1,000 3,2500.10 4,100 1,700 3,3880.16 4,064 2,024 3,4100.20 4,000 2,200 3,4000.30 3,700 2,500 3,2880.40 3,200 2,600 3,0500.50 2,500 2,500 2,6880.60 1,600 2,200 2,2000.70 500 1,700 1,5880.80 -800 1,000 8500.90 -2,300 100 -13

Tabla 2: Ley de Corte Óptima (01 Restricción)

21 | P a g e

Estas leyes de corte pueden ser directamente calculadas desde la distribución de

leyes del material minado, como se muestra en las tablas siguientes:

100 0 100100 0.1 90100 0.2 80100 0.3 70100 0.4 60100 0.5 50100 0.6 40100 0.7 30100 0.8 20100 0.9 10

Cantidad a Minar Qm (ton)

Ley de Corte Planta gc (lb/ton)

Cantidad a Procesar Qc (ton)

Tabla 3: Equilibrio Mina - Proceso

50 0 0.50 25.050 0.1 0.55 27.550 0.2 0.50 25.050 0.3 0.65 32.550 0.4 0.70 35.050 0.5 0.75 37.550 0.6 0.80 40.050 0.7 0.85 42.550 0.8 0.90 45.050 0.9 0.95 47.5

Cantidad a Refinar Qr (lb)

Ley de Concentrado gc


Ley de Corte Planta gc (lb/ton)

Tabla 4: Equilibrio Proceso - Marketing

100 0 100 0.50 50.0100 0.1 90 0.55 49.5100 0.2 80 0.50 40.0100 0.3 70 0.65 45.5100 0.4 60 0.70 42.0100 0.452 54.8 0.73 40.0100 0.5 50 0.75 37.5100 0.6 40 0.80 32.0100 0.7 30 0.85 25.5100 0.8 20 0.90 18.0100 0.9 10 0.95 9.5


Cantidad a Minar Qm (ton)

Ley de Corte Mina gm (lb/ton)

Ley de Concentrado gc (lb/ton)

Cantidad a Refinar Qr (lb)

Tabla 5: Equilibrio Mina - Marketing

22 | P a g e

Hasta este punto se han definido tres leyes de corte que representan el óptimo

bajo las condiciones consideradas (capacidades de 2 procesos, distribución de

leyes del material minado):

gmc = 0.50 lb/ton gcr = 0.60 lb/ton gmr = 0.45 lb/ton

Y en el punto anterior se definieron otras tres leyes de corte basadas en la

capacidad de un solo proceso, costos y precios:

gm = 0.10 lb/ton gc = 0.40 lb/ton gr = 0.16 lb/ton

3.4.4 LEY DE CORTE OPTIMA GLOBAL

El objetivo es encontrar la ley de corte la cual produzca el mayor beneficio global

considerando las diferentes restricciones. Los óptimos locales para cada par de

operaciones han sido considerados, el correspondiente óptimo para cada par se

selecciona utilizando las siguientes reglas:

La Ley de Corte Optima Global Gmcr es igual al valor intermedio de los tres

valores inter-etapas entonces:

Gmcr = 0.40 lb/ton

gm si gmc <= gmGmc = gc si gmc >= gc

gmc otra opcion

gr si grc <= grGrc = gc si grc >= gc

grc otra opcion

gm si gmr <= gmGmr = grc si gmr >= gr

gmr otra opcion

Gmc = 0.40

Grc = 0.40

Gmr = 0.16

Reglas Ley de Corte Óptima

Ley de Corte Optima Efectiva Global = Mid (Gmc, Gmr, Grc) Ley de Corte Óptima Global

23 | P a g e

3.4.5 MAXIMIZACION DEL VALOR PRESENTE NETO

En los puntos anteriores se ha considerado la selección de leyes de corte con el

objetivo de maximizar la utilidad, mas no maximizar el valor del VPN del

proyecto.

En esta sección utilizaremos el modelo de Lane para estimar la ley de corte que

nos permita lograr nuestro objetivo, para esto consideremos la siguiente

formulación matemática:

El valor presente (V) del plan de minado tiene 2 componentes:

- PVp: originado por las ganancias producidas en el tiempo T, y al minado Qm

- PVw: originado por las ganancias producidas después del tiempo T, de las

reservas remanentes.

V = PVp + PVw (01)

Las diferencias del valor de las reservas remanentes en un tiempo 0 y T,

representa el valor del primer periodo de minado

v = V – W (02)

La ecuación 01 se representa más detalladamente:

V = P / (1 + d)T + W / (1 + d)T

V (1 + d)T = P + W (03)

Figura 7: Representación del Cálculo de VPN

24 | P a g e

Aplicación del binomio

(1 + d)T = 1 + Td + T (T - 1) d2 / 2! + T (T - 1) (T - 2) d3 / 3! + ……….. (04)

Consideremos un valor de tasa de descuento mínimo:

(1 + d)T = 1 + Td (05)

Combinando las ecuaciones 03 y 05

V (1 + d)T = P + W

V + V T d = P + W

V - W = P - V T d (06)

Comparando las ecuaciones 02 y 06

v = P - V T d (07)

En nuestros anteriores cálculos definimos que la ganancia para el periodo T

considerando una capacidad de minado de Qm según la ecuación siguiente

beneficio:

P = (s-r) * Qr - cQc - mQm - f * T (08)

Combinando las ecuaciones 07 y 08

v = (s-r) * Qr - cQc - mQm - f * T - V T d

v = (s-r) * Qr - cQc - mQm - T (f + V d) (09)

Considerando esta nueva ecuación, las nuevas ecuaciones para las leyes de corte

de equilibrio son:

3.4.5.1 Capacidad de Mina Limita la Operación

gm = c / [(s-r) * y]Ecuación 4. 1: Ley de Corte - Restricción Mina (dV)

25 | P a g e

3.4.5.2 Capacidad de Proceso Limita la Operación

3.4.5.3 Capacidad de Marketing Limita la Operación

De estas ecuaciones, dos de las leyes de corte no son inicialmente conocidas

(proceso y marketing) ya que dependen de un valor presente neto global

conocido, el cual depende a su vez de la ley de corte.

Debido a que el valor de “V” es un valor desconocido, se hace necesario el

uso de un proceso iterativo para aproximarnos al valor de ley óptima.

Como primera iteración consideremos el VPN generado con la ley de corte

óptima efectiva global. A partir de esta iteración nuevamente habremos

obtenido 6 leyes de corte optimas, las cuales mediante el uso de las reglas

mencionadas en el punto 4.5 elegiremos la optima global y por consiguiente

un nuevo valor de VPN, esta metodología se seguirá aplicando hasta el

momento en que la ley de corte obtenida por la iteración de cómo resultado

un mismo valor o por el contrario genere un valor menor al obtenido en una

iteración anterior. No debemos olvidar que realizada la iteración esta deberá

respetar las capacidades máximas del sistema, por lo cual es posible que

debamos ajustar las cantidades (Qm, Qc, Qr), para no exceder dicha

capacidad.

*Para mayor detalle de la aplicación del modelo de Lane, refiérase al archivo

“KLane_Model.xls”, el cual es parte del desarrollo del estudio.

gc = [c + (f + d*V)/C] / [y (s - r)]

gr = c / [ s -r - (f + d*V)/R ] y

Ecuación 4. 2: Ley de Corte – Restricción Proceso (dV)

Ecuación 4. 3: Ley de Corte – Restricción Marketing (dV)

26 | P a g e

4. ANÁLISIS DE RESULTADOS

El negocio minero tiene por objetivo fundamental maximizar el beneficio económico del

proyecto a desarrollar, por lo general para medir la rentabilidad de los proyectos se hace

uso del análisis financiero y en particular del indicador “valor presente neto”.

Para nuestro caso en particular también aplicaremos esta metodología, sin embargo

compararemos las diferentes características de los planes de minados propuestos, con el

fin de responder nuestras preguntas de investigación y resaltar las principales diferencias

entre ambos casos.

4.1 VALOR PRESENTE NETO:

Por definición el valor presente neto, es la suma algebraica de los valores actualizados de

los ingresos y de los costos generados por el proyecto durante su horizonte de valuación.

La Tasa Mínima Atractiva de Retorno (k), también llamada tasa de actualización o de

descuento, es igual al costo de capital del inversionista. Es el costo que el inversionista

tendría que pagar para disponer de recursos marginales que invertir.

VAN = ∑ +−

nkCB)1(

Donde: B = Ingresos actualizados

C = Costos actualizados

k = Costo de oportunidad

n = Horizonte de evaluación del proyecto

27 | P a g e

La figura 8 muestra el resultado final de valores presentes obtenidos en el análisis de los

dos casos estudiados, donde se ha considerado una tasa de descuento de 10%:

Como resultado final observamos que debido a la implementación de una política de ley

de corte variable, se ha podido incrementar la rentabilidad del proyecto (Tabla 6):

4.2 ANALISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis de sensibilidad es un procedimiento que evalúa individualmente el efecto que

tienen ciertos factores o variables que son fuentes de incertidumbres en proyectos.

Para fines prácticos mediremos la sensibilidad de nuestros casos propuestos modificando

una variable mientras las otras se mantienen constantes y analizaremos los efectos

producidos en el valor presente neto de los casos analizados. El análisis de sensibilidad

Figura 8: Comparación de VPN

Tabla 6: Comparación de VPN

1,070,386

1,173,215

1,000,000

1,050,000

1,100,000

1,150,000

1,200,000

1

US

$ ( x

100

0)

Comparación de VPN

Valor Presente Neto (Caso Base) Valor Presente Neto (Caso Optimizado)

Caso Unid VPN Incremento (000 US$) Incremento (%)

Valor Presente Neto (Caso Base) 000 US$ 1,070,386 - -

Valor Presente Neto (Caso Optimizado) 000 US$ 1,173,215 102,829 10%

28 | P a g e

nos permite identificar los componentes críticos de nuestro modelo financiero, y nos

permite determinar que variables tienen pequeños o significativos impactos en el valor de

nuestro proyecto. En el siguiente cuadro se resume el análisis realizado, donde cada

variable ha sido afectada en -20% y +20% (Figura 9 y Tabla 7):

4.3 PLAN DE MINADO

Una comparación muy importante entre los dos casos es resaltar las diferentes

características entre planes de minado con diferente estrategia de leyes de corte.

-800 -400 - 400 800

Precio de Plata

Precio de Oro

Tasa de Descuento

Ley de Cobre

Precio Cobre

Analisis de Sensibilidad

Figura 9: Análisis de Sensibilidad

Tabla 7: Análisis de Sensibilidad

Variable -20% VPN Real (Caso Base) 20%Precio Cobre 349,884 1,070,386 1,790,888 Ley de Cobre 367,177 1,070,386 1,773,596 Tasa de Descuento 786,737 1,070,386 1,418,509 Precio de Oro 1,009,924 1,070,386 1,130,848 Precio de Plata 1,066,651 1,070,386 1,074,121

Variable -20% VPN Real (Caso Optimizado) 20%Precio Cobre 424,999 1,173,215 1,921,431 Ley de Cobre 442,957 1,173,215 1,903,474 Tasa de Descuento 893,360 1,173,215 1,512,416 Precio de Oro 1,110,983 1,173,215 1,235,448 Precio de Plata 1,169,490 1,173,215 1,176,941

29 | P a g e

4.3.1 Material Minado

Bajo la lógica de construcción de los planes estos se han desarrollado considerando el

mismo diseño de fases de minado y pit final, por lo que el resultado esperado es que

ambos planes de minado tengan iguales cantidades de material minado (Figura 10) y

(Tabla 8).

-

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

140,000

160,000

180,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

KTO

N

Material Minado

Material Minado (Caso Base) Material Minado (Caso Optimizado)

Caso Unid\ Periodo Total

Material Minado (Caso Base) KTON 1,407,259

Material Minado (Caso Optimizado) KTON 1,407,259

Figura 10: Comparación de Material Minado

Tabla 8: Comparación de Material Minado

30 | P a g e

4.3.2 Material Movido

La diferencia encontrada entre el material movido entre los planes analizados, se produce

debido al material enviado a de stock, el cual posteriormente es remanejado y enviado a

proceso, esto ocurre específicamente para el caso optimizado (Ley de Corte Variable),

(Figura 11) y (Tabla 9)

-

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

140,000

160,000

180,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

KTO

N

Material Movido

Material Minado (Caso Base) Material Minado (Caso Optimizado)


Material Minado (Caso Base) KTON 1,407,259

Material Minado (Caso Optimizado) KTON 1,430,984

Figura 11: Comparación de Material Movido

Tabla 9: Comparación de Material Movido

31 | P a g e

4.3.3 Mineral Procesado

Esta comparación quizás sea una de las más relevantes, ya que podremos conocer si es

que por motivo de acelerar el procesamiento de materiales con mayor ley en los primeros

periodos de operación, produciremos algún impacto negativo en el total de reservas

económicas del yacimiento (Figura 12)

Como resultado final observamos que el plan de minado con leyes de corte variables ha

generado una disminución en la cantidad de mineral que inicialmente fue considerado

como reserva (Tabla 10).

Caso Unid\ Periodo Total Total

Mineral Procesado (Caso Base) KTON 331,314 0.70

Mineral Procesado (Caso Optimizado) KTON 322,018 0.71

-

0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21

-

0.39 0.39

0.32

0.36

0.27

0.36

0.23

0.27

0.21 0.21 0.21 0.21

0.24

-

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

-

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

KTO

N

Mineral Procesado y Ley de Corte

Mineral Procesado (Caso Base) Mineral Procesado (Caso Optimizado)

Ley de Corte (Caso Base) Ley de Corte (Caso Optimizado)

Figura 12: Mineral Procesado

Tabla 10: Mineral Procesado

32 | P a g e

4.3.4 Equipo Minero:

Otra gran diferencia que podemos resaltar entre los planes analizados, es que en el caso

del plan de minado optimizado (Ley de Corte Variable), se hace necesario una mayor tasa

de extracción durante su desarrollo, esto repercute directamente en la mayor cantidad de

equipos mineros a utilizar, tal como se muestra en la siguiente tabla (Tabla 11).

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 CONCLUSIONES:

- Se ha demostrado que la aplicación de una política de ley de corte variable, calculada

mediante el modelo matemático de Lane ha generado un incremento del 10% en el

valor presente neto del plan minero optimizado en comparación con el plan de minado

base, que considero una ley constante para su desarrollo (Ley de corte interna).

- El plan minero optimizado ha reducido en 2.8% las reservas de mineral, esto como

resultado de la lógica de aprovechar el costo de oportunidad de procesar en los

primeros periodos material de mayor ley, lo cual genera que material entre la ley de

corte interna y la ley de corte para stocks sea considerado como desmonte en los

periodos en que la ley de corte este por encima de la ley de corte interna.

Caso Unid\ Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Electric Drills (Caso Base) N° 1 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 2 2Electric Drills (Caso Optimizado) N° 1 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 2 1 0PreSplit (Caso Base) N° 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1PreSplit (Caso Optimizado) N° 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 0


Rope Shovel (Caso Base) N° 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1Rope Shovel (Caso Optimizado) N° 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 1Front End Loader (Caso Base) N° 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1Front End Loader (Caso Optimizado) N° 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0


Acarreo (Caso Base) N° 4 14 14 19 19 32 33 35 39 43 56 61 22 16Acarreo (Caso Optimizado) N° 5 15 17 25 26 36 37 50 50 66 55 25 13 3

EQUIPO DE PERFORACIÓN

EQUIPO DE CARGUÍO

EQUIPO DE ACARRÉO

Tabla 11: Comparación de Flota

Caso Unid VPN

Valor Presente Neto (Caso Base) 000 US$ 1,070,386

Valor Presente Neto (Caso Optimizado) 000 US$ 1,173,215

33 | P a g e

- Debido al gran número de variables, a la necesidad de representar un plan minero con

las restricciones necesarias que hagan de nuestra estimación un plan realizable, y

además se cuente con un tiempo adecuado de respuesta, se hace necesario el uso de

diferentes herramientas informáticas para la construcción de planes mineros

optimizados.

- El plan minero optimizado se caracteriza por el requerimiento de mayor capacidad de

extracción en los primeros periodos del plan minero, lo cual se refleja en la mayor

cantidad de equipos a utilizar.

- Tanto para el cálculo de ley de corte y como para el análisis de sensibilidad del

proyecto las variables de mayor relevancia son respectivamente: el precio del cobre y la

ley de cobre.

5.2 RECOMENDACIONES:

- Cada mina engloban diferentes variables, lo que la hacen única, debido a esto antes de

considerar aplicar alguna forma de ley de corte debemos conocer y caracterizar cada

una de estas variables, de esta forma nos aseguramos que la ley de corte aplicada

representa de forma adecuada las necesidades y características de la mina.

- Si bien con la metodología aplicada optimizamos el valor económico del plan minero,

no debemos olvidar que el resultado final no solo se basa en la política de ley de corte

que utilicemos, si no está en el desarrollo correcto de cada una de las etapas de su

construcción.


Mineral Procesado (Caso Base) KTON 331,314

Mineral Procesado (Caso Optimizado) KTON 322,018

Modelo Geológico

Modelo Geotécnico

Modelo Financiero

Modelo Metalúrgico

Modelo Minero

Selección y Diseño de

Fases

Plan Minero

Base

Plan Minero Optimizado

34 | P a g e

6. BIBLIOGRAFIA

a. The Economic Definition of Ore, Kenneth Lane, 1997

b. Open Pit Mine Planning & Design, William Hustrulid, Mark Kuchta, 1998.

c. Curso Internacional de Optimización de Ley de Corte, Kadri Dagadelen, 2000.

d. Introduction to Comet, Brett King, 2004.

e. Cut Off Grade Optimization – MSVALP, Edwin Peralta, 2004.

f. Curso de Planeamiento Mina, Maestría Internacional en Ingeniería de Minas, José

Delgado Vega, 2008.

g. An Introduction to Cut Off Grade Estimation, Jean Michel Rendu, 2008.

h. Estudio de Factibilidad del proyecto Antapaccay, Xstrata Copper, 2009.

i. Entrenamiento en Comet, Metálica Consultores, 2010.

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Apunte Ley de Corte