Arreglo Factorial

Experimentos Factoriales

ARREGLO FACTORIALEn un cultivo de papa se estudian los siguientes factores:

N = Nitrgeno

K = Potasio

n0 = sin nitrgenon1 = 150 Kgs. de nitrgeno por Hak0 = sin potasiok1 = 100 Kgs. de potasio por Han2 = 200 Kgs. de nitrgeno por Ha

NOMENCLATURAFACTOR : primeras letras maysculas del alfabeto A (Nitrgeno), B (Potasio), C (Mtodo de siembra)

NIVELES DE UN FACTOR: minsculas con subndice Ejemplo: Factor A (a1, a2, a3)

TIPOS DE FACTORES: cuantitativos y cualitativos Cuantitativos ( A y B ) Cualitativo ( C )

TIPO DE EXPERIMENTO FACTORIAL: 3Ax2B 3x2

CROQUIS DE LA PARCELACION

Las u.e. son parcelas de 100 m2 de rea y la variable respuesta son los rendimientos de papa en unidades de 20 Kgs. por parcela.

n0k12n1k05n0k03n1k114n0k04n1k17n0k11n1k06n1k07n0k13n1k19n0k05

CUADRO DE TOTALES

Ejemplo: n0ko =3 + 4 + 5 = 12

n0n1TotalY.j.k0121830k163036TotalYi..184866

CUADRO DE PROMEDIOS

Ejemplo: celda n0k0

(3 + 4 + 5) = 12 = 4 3 3

n0n1 _Y.j.k0465k12106 _Yi..385.5

EFECTOS

Efecto Principal: Es una medida de cambio en los niveles de un factor, en promedio sobre los niveles de otro factor

Efecto Simple: Es una medida de cambio en los niveles de un factor, manteniendo constante uno de los niveles del otro factor

Efecto de Interaccin:Est dado por la variacin entre los efectos simples de un factor a diferentes niveles del otro factor

Efecto Cruzado:Est dado por las combinaciones cruzadas de dos factores

Ejemplo 1:

b1b2Promedioa1504045.0a2456052.5Promedio47.550.0

TIPOS DE EFECTOSEfectos Simples:De A en b1:ES(A(b1)) = a2b1 a1b1= 45 50 = -5De A en b2:ES(A(b2)) = a2b2 a1b2 = 60 40 = 20De B en a1:ES(B(a1)) = a1b2 a1b1 = 40 50 = -10De B en a2:ES(B(a2)) = a2b2 a2b1 = 60 45 = 15Efectos Principales:De A:EP(A) = De B:EP(B) =

De A:EP(A) = 52.5 45.0 = 7.5 De B:EP(B) = 50.0 47.5 = 2.5

Efecto de Interaccin:de AB:EI(AB) = ES(A(b2)) - ES(A(b1)) = 20 (-5) = 25 EI(AB) = ES(B(a2)) - ES(B(a1)) = 15 (-10) = 25

Efectos Cruzados:

Entre a1b1y a2b2: EC(a1b1y a2b2) = a1b1 a2b2= 54 56 = -2

Entre a1b2y a2b1: EC(a1b2y a2b1) = a1b2 a2b1= 38 45 = -7

La interaccin entre dos factores puede tambin analizarse grficamente. El grfico de la interaccin se plotean las medias de los niveles de un factor en cada uno de los niveles del otro.

En los grficos cada lnea corresponde a un efecto simple, y la interaccin entre los factores puede presumirse cuando las lneas se cruzan (pendientes diferentes)

Ejemplo 2: Ausencia de interaccin

Hoja1

Factor B

b1b2

Factor Aa12030

a24052

Hoja2

Hoja3

Grfico1

2030

4052

b1

b2

Factor A

Arreglo Factorial sin Interaccin

Hoja1

b1b2

a12030

a24052

Hoja1

00

00

b1

b2

Factor A

Arreglo Factorial sin Interaccin

Hoja2

Hoja3

Ejemplo 3: Presencia de interaccin

Hoja1

Factor B

b1b2

Factor Aa12040

a25012

Hoja2

Hoja3

Grfico2

2040

5012

b1

b2

Factor A

Arreglo Factorial con Interaccin

Hoja1

b1b2

a12040

a25012

Hoja1

00

00

b1

b2

Factor A

Arreglo Factorial con Interaccin

Hoja2

Hoja3

Modelo Aditivo Lineal pxq en un DCA = efecto de la media generali = efecto del i-simo nivel del factor Aj = efecto del j-simo nivel del factor B()ij = es el efecto de la interaccin en el i-simo nivel del factor A con el j-simo nivel del factor Bp = nmero de niveles del factor Aq = nmero de niveles del factor Brij = nmero de repeticiones en el i-simo nivel del factor A, j-simo nivel del factor BDonde:

Estimacin de Efectos

Aplicando el mtodo de mnimos cuadrados y las restricciones:

p q p q i = j = ()ij = ()ij = 0

Se tiene: _ _ _ _ _ = Y... ; i = Yi.. Y... ; j = Y.j. Y...

_ _ _ _()ij = Yij. Yi.. Y.j. + Y...

Hallar: ijk

HiptesisModelo IPara el efecto principal de A H0: i = 0 i H1: i 0 para al menos algn iPara el efecto principal de B H0: j = 0 j H1: j 0 para al menos algn jPara el efecto interaccin AB H0: ()ij = 0 i, j H1: ()ij 0 para al menos algn i, j

Modelo IIPara el efecto principal de A H0: = 0 i H1: > 0 para al menos algn i

Para el efecto principal de B H0: = 0 j H1: > 0 para al menos algn j

Para el efecto interaccin AB H0: = 0 i, j H1: > 0 para al menos algn i, j

Ejemplo: DCA

Con el fin de estudiarlos efectos de la concentracin de la Colchicina y su tiempo de remojo sobre la semilla de quinua, se experiment un arreglo factorial conducido en un DCA. Los resultados del experimento se expresaron en nmero de cromosomas:

a1 (0.05m) a2(0.10m)Repeticin b1 (2h) b2 (5h) b1 (2h) b2 (5h) 1 22 32 42 44 2 26 32 44 43 3 22 31 41 43 4 22 30 40 44

CUADRO DE TOTALES

Para el clculo de la suma de cuadrados se sigue el siguiente procedimiento:

a1a2TotalY.j.b192167259b2125174299TotalYi..217341558

TC = Y2... / pqb = (558)2 / 2x2x4 = 19460.25

SC Total = Y2ijk TC = 20588 19460.25 = 1127.75

SC A = Y2i.. / qb TC = 2172/8 + 3412/8 19460.25 = 961

SC B = Y2.j. / pb TC = 2592/8+2992/8 19460.25 = 100

SC Comb AB = Y2ij. /b TC = 922/4+1672/4+ ... + 1742/4 19460.25 = 1103.25

SC AB = SC Comb AB SC A SC B = 1103.25 961 100 = 42.25

SC E = SC Total SC A SC B SC AB

SC E = 1127.75 961 100 42.25 = 24.5

Otra forma de hallar la SC E es la siguiente:

SC E = SC Total SC Comb. AB

SC E = 1127.75 1103.25 = 24.5

CUADRO ANALISIS DE VARIANCIA***Como la prueba de hiptesis de la interaccin result significativa,entonces, se procede al Anlisis de los Efectos Simples

FVGLSCCMFcalF0.05ABAxBE. ExpTotal1111215961.00100.00 42.2524.501127.75961.00100.0042.252.04471.0849.0220.714.754.754.75

Anlisis de Efectos SimplesEste anlisis debe ser efectuado en caso que la interaccin resulte significativa y consiste en evaluar a cada factor en cada uno de los niveles del otro

Para el efecto simple de A en el j-simo nivel de B:H0: H1: Al menos un es diferente.

Para el efecto simple de B en el i-simo nivel de A:H0: H1: Al menos un es diferente.

Los grados de libertad para cada efecto simple sern iguales a los grados de libertad del correspondiente efecto principal.

ANALISIS DE LOS EFECTOS SIMPLES

Sumas de Cuadrados

SC A(b1) = Y2i1. /b Y2.1./pb = (922 + 1672) / 4 2592 / 2x4 = 703.125

SC A(b2) = Y2i2. /b Y2.2./pb = (1252 + 1742) / 4 2992 / 2x4 = 300.125

SC B(a1) = Y21j. /b Y21../qb = (922 + 1252) / 4 2172 / 2x4 = 136.125

SC B(a2) = Y22j. /b Y22../qb = (1672 + 1742) / 4 3412 / 2x4 = 6.125

CUADRO ANVA DE EFECTOS SIMPLES***ns

FVGLSCCMFcalF0.05A(b1)A(b2) B(a1)B(a2)E.Exp.111112703.125300.125 136.1256.12524.500703.125300.125 136.1256.1252.040344.669147.12066.7283.0024.754.754.754.75

Ejemplo 1: DCACinco muestras de plancton fueron sacadas de cada un o de dos lugares en un lago durante el mes de mayo. Utilizando los mismos lugares, este proceso fue repetido a comienzos de agosto. Los datos expresados en miles de plancton por litro se presentan a continuacin:

RepeticinLugar 1 (L1)Lugar 2 (L2)Mayo (M1)Agosto (M2)Mayo (M1)Agosto (M2)110897111106211396116110311997120116410998111105511299113111Total561487571548Total10481119

Ejemplo 2: DBCACinco muestras de plancton fueron sacadas de cada uno de dos lugares en un lago durante el mes de mayo. Utilizando los mismos lugares, este proceso fue repetido a comienzos de agosto. Los datos se expresan en miles de plancton por litro y son los que se presentan a continuacin:

RepeticinLugar 1 (L1)Lugar 2 (L2)Mayo (M1)Agosto (M2)Mayo (M1)Agosto (M2)110897111106211396116110311997120116410998111105511299113111Total561487571548Total10481119

EXPERIMENTO FACTORIAL 2AX2B EN UN DBCA

Modelo Estadstico PoblacionalYijk = + i = j + ()ij + k + ijk i = 1,2, ... , p j = 1,2, ... , q k= 1,2, ... , b

SupuestosAdems de los supuestos usuales del DBCA se tiene:ijk NI(0, 2) p q p q2) Modelo I: i = j = ()ij = ()ij

3) Modelo II: i NI(0, 2 ) ; j NI(0, 2) ; ()ij NI(0, 2)

Estimacin de Efectos

Aplicando el mtodo de mnimos cuadrados y las restricciones:

p q p q bi = j = ()ij = ()ij = 0 , k = 0

Se tiene: _ _ _ _ _ _ _ = Y... ; k = Y..k Y... ; i = Yi.. Y... ; j = Y.j. Y...

_ _ _ _()ij = Yij. Yi.. Y.j. + Y...

Hallar: ijk

Anlisis de VarianciaVariabilidad(Total) = Variabilidad(Tratamientos) +Variabilidad(Bloques) + Variabilidad(Error)

Var(Factor A) + Var(Factor B) + Var(Interaccin AB)

Fuentes de Variacin

Grados de Libertad (GL)

Sumas de Cuadrados (SC)

Cuadrados Medios (CM)

Fc

Bloques

b 1

SC(Bloques)

A

p 1

SC(A)

B

q 1

SC(B)

AB

(p 1)(q-1)

SC(AB)

Error Experimental

(pq 1)( b 1)

SC(Error)

Total

pqb 1

SC(Total)

_1114954331.unknown

_1114954367.unknown

_1114954374.unknown

_1114954380.unknown

_1114954342.unknown

_1110963307.unknown

_1114954303.unknown

_1110032431.unknown


Sumas de Cuadrados

a) Suma de Cuadrados Total SC Total = Y2ijk Y2... / pqb donde: TC = Y2... / pqb

b) Suma de Cuadrados de Bloques

SC Bloq. = Y2..k / pq TC

c) Suma de Cuadrados del Combinado AB

SC Comb. AB = Y2ij. / b TC


d) Suma de Cuadrados del Factor A SC A = Y2i.. / qb TC

e) Suma de Cuadrados del Factor B SC B = Y2.j. / pb. TC

f) Suma de Cuadrados de la Interaccin AB

SC AB = SC Comb. AB SC A SC B

g) Suma de Cuadrados del Error Experimental

SC E = SC Total SC Boq. SC A SC B SC AB


Grados de Libertad

a) Total GL Total = pqb - 1 b) Bloques GL Bloq. = b - 1

c) Factor A GL A = p 1

d) Factor B GL B = q 1

e) Interaccin AB GL AB = (p-1) (q 1)

f) Error Experimental GL E = (pq 1) (b 1)

Ejemplo: DBCA

En un centro experimental se llev a cabo un experimento en peces ornamentales, especficamente en la especie Caracius auratus (Gold Fish). En dicho experimento se midi el incremento de peso en gramos de los peces machos y hembras en los diferentes tipos de salinidad de 0%, 4% y 8%. Los resultados se presentan a continuacin:

Machos HembrasBloques0%4%8%0%4%8% I2.43.82.52.02.82.8 II2.23.52.62.12.52.6 III2.33.82.71.82.62.9 IV2.13.22.61.72.42.7

Solucin:

Cuadro de Totales Cuadro de Promedios a1a2 a1a2b1 9.0 7.6 16.6 b1 2.25 1.90b2 14.3 10.3 24.6 b2 3.58 2.58b3 10.4 11.0 21.4 b3 2.60 2.75 33.7 28.9 62.6

TC = Y2... / pqb = (62.5)2 / 2x3x4 = 162.7604

SC Total = Y2ijk TC = 170.1800 162.7604 = 6.8983

SC A = Y2i.. / qb TC = 33.72/12 + 28.92/12 162.76.04 = 0.96

SC B = Y2.j. / pb TC = 16.62/8+24.62/8+21.42/8 162.7604 = 4.0533

SC Comb AB = Y2ij. /b TC = 92/4+7.62/4+ ... + 112/4 162.7604 =6.3433

SC AB = SC Comb AB SC A SC B = 6.3433 0.96 4.0533 = 1.33

SC Bloq. = 16.32/6 + 15.52/6 + 16.22/6 + 14.72/6 162.7604 =0.2583

SC E = SC Total SC A SC B SC AB SC Bloq.

SC E = 6.8983 0.96 4.0533 1.33 0.2583 = 0.2967

Otra forma de hallar la SC E es la siguiente:

SC E = SC Total SC Comb. AB SC Bloq.

SC E = 6.8983 6.3433 0.2583 = 0.2967

CUADRO ANALISIS DE VARIANCIA****Como la prueba de hiptesis de la interaccin result significativa,entonces, se procede al Anlisis de los Efectos Simples

FVGLSCCMFcalF0.05Bloq.ABAxBE. ExpTotal312215230.25830.96004.05331.3300 0.29676.89830.08610.96002.02670.66500.01984.348548.4848102.358633.58593.244.543.683.68

ANALISIS DE LOS EFECTOS SIMPLES

Sumas de Cuadrados

SC A(b1) = Y2i1. /b Y2.1./pb = (92+7.62)/4 16.62/8 = 0.245

SC A(b2) = Y2i2. /b Y2.2./pb = (14.32+10.32)/4 24.62/8 = 2.000

SC A(b3) = Y2i3. /b Y2.3./pb = (10.42+11.02)/4 21.42/8 = 0.045

SC B(a1) = Y21j. /b Y21../qb = (92+14.32+10.42)/4 33.72/12 = 1.612

SC B(a2) = Y22j. /b Y22../qb = (7.62+10.32+112)/4 33.72/12 = 0.297

CUADRO ANVA DE EFECTOS SIMPLES***ns

FVGLSCCMFcalF0.05A(b1)A(b2) A(b3)B(a1)B(a2)E.Exp.11122150.2452.0000.0453.7721.6120.2970.2452.0000.0451.8860.8060.019812.38101.112.27595.3440.744.544.544.543.683.68

Ejemplo 1: DBCA

a1a2Camposb1b2b3b1b2b3Y..k11.91.82.71.82.93.014.122.32.12.42.22.73.214.932.02.42.92.03.22.915.442.12.92.82.43.53.417.1Total8.39.210.88.412.312.528.333.2Y.j.16.721.523.3

Ejemplo 2: DBCACinco accesiones de camote fue sembrado en 3 bloques en la localidad de Chanchamayo (San Ramn), durando el ensayo 135 das. En algunas parcelas se hizo cortes cada 45 das y en otras un solo corte a los 135 das. Al final del ensayo se encontr que la SC (error) = 377.7 y la SC (Combinado) = 3235.188 El objetivo es dar recomendaciones sobre los sistemas de corte y accesiones.

Totales del Combinado

Accesin45 das135 das1111.3114.02166.8141.93145.5146.4464.5101.4583.489.4

Pruebas de comparacin de medias de efectos principalesPruebas de comparacin de medias de efectos simples

PruebaFactor AFactor Bt y DLSTukey

PruebaFactor A en bjFactor B en ait y DLSTukey

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