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Resolucion de Ecuaciones ParabolicasBidimensionales Mediante la Descomposicion
del Operador Diferencial
Alvaro M. Naupay [email protected]
Universidad Nacional de Ingenierıa
Resumen
En el presente trabajo se aplica una tecnica de descomposiciondel operador diferencial dado por la EDP, en operadores diferencia-les lineales respecto a cada variable independiente, con la finalidad dedesarrollar un metodo recursivo que defina una serie de funciones detal modo que esta converja a la solucion. Emplearemos este metodoen la solucion de la ecuacion del calor en el caso bidimensional ho-mogeneo con condicion inicial C∞. Este metodo es una alternativamoderna y practica en comparacion al metodo clasico de separacionde variables, ya que no se utiliza las series de Fourier en ningun mo-mento y el cual puede ser extendible a la resolucion de otros tipos deEDP’s.
Palabras Clave: Operador, operador seudo inverso, convergencia,
serie de Taylor.
1. Introduccion
Iniciaremos con un ejemplo concreto.Sea la siguiente EDP con valores iniciales y de frontera
EDP ut = uxx + uyy ,0 < x, y < π , t > 0 ,
Condiciones de contorno u(0, y, t) = u(π, y, t) = 0 ,u(x, 0, t) = u(x, π, t) = 0 ,
Conidiciones iniciales u(x, y, 0) = senx sen y .
(1)
1
Solucion : Escribiendo en forma de operadores la EDP de (1) tenemos
Ltu = Lxu+ Lyu (2)
donde
Lt(·) =∂(·)∂t
, Lx(·) =∂2(·)∂x2
, Ly(·) =∂2(·)∂y2
.
A cada uno de estos operadores les asociamos los siguientes seudo operadoresinversos respectivamente
L−1t (·) =
∫ t
0
(·) dt , L−1x (·) =
∫ x
0
∫ x
0
(·) dxdx , L−1y (·) =
∫ y
0
∫ y
0
(·) dydy .
Esto implica
L−1t Ltu(x, y, t) =
∫ t
0
ut dt = u(x, y, t) − u(x, y, 0) . (3)
Luego, aplicando L−1t a (2) tenemos
L−1t Ltu = L−1t (Lxu+ Lyu) . (4)
De (3), (4) y aplicando la condicion inicial de (1) tenemos que u(x, y, t) es
u(x, y, t) = senx sen y + L−1t (Lxu+ Lyu) . (5)
El metodo define la solucion de (1) como
u(x, y, t) =∞∑n=0
un(x, y, t) . (6)
Reemplazando (6) en (5) tenemos
∞∑n=0
un = senx sen y + L−1t
(Lx
(∞∑n=0
un
)+ Ly
(∞∑n=0
un
)).
Luego por la linealidad de los operadores tenemos que
∞∑n=0
un = senx sen y +∞∑n=0
L−1t (Lx (un) + Ly (un)) .
2
El metodo sugiere construir la siguiente relacion de recursividad para un,suponiendo que u0 no esta afectado por el operador L−1t , es decir
u0(x, y, t) = senx sen y ,un+1(x, y, t) = L−1t (Lxun + Lyun) , n ≥ 0 .
(7)
Luego de (7) y teniendo en cuenta el valor de los operadores tenemos que
u1(x, y, t) =
∫ t
0
(∂2u0∂x2
+∂2u0∂y2
)dt =
∫ t
0
(− senx sen y − senx sen y) dt
= −2t senx sen y .(8)
De manera analoga para u2, u3 y u4 tenemos que
u2(x, y, t) =
∫ t
0
(∂2u1∂x2
+∂2u1∂y2
)dt =
∫ t
0
(2t senx sen y + 2t senx sen y) dt
=t2
24 senx sen y =
(2t)2
2!senx sen y .
u3(x, y, t) =
∫ t
0
(−(2t)2
2!senx sen y − (2t)2
2!senx sen y
)dt
= −(2t)3
3!senx sen y .
u4(x, y, t) =
∫ t
0
((2t)3
3!senx sen y +
(2t)3
3!senx sen y
)dt
=(2t)4
4!senx sen y .
· · · = · · ·(9)
Y ası sucesivamente. Tomando los resultados de (7), (8), (9) y factorizandosenx sen y tenemos que
u(x, y, t) = sen x sen y
(1 − 2t+
(2t)2
2!− (2t)3
3!+
(2t)4
4!− · · ·
)(10)
3
Pero lo que esta entre parentesis es el desarrollo en series de Taylor de unafuncion exponencial, e−2t, entonces finalmente tenemos la solucion explıcita
u(x, y, t) = e−2t senx sen y .
�En este caso a partir de (7) se pudo obtener (10) en donde la expresion entreparentesis es el desarrollo de Taylor de una funcion conocida, en el caso deno tener esto, la exactitud de la solucion estara determinada por la cantidadde terminos que se puedan obtener de (7).
La idea del esquema (7) es inspirada en el metodo de Picard de aproxi-maciones sucesivas.
Desventaja: La condicion de contorno esta predeterminada por las con-diciones iniciales.
Ventaja: Esta se encuentra en la simpleza de calcular la solucion.
2. Resultados
Ahora veamos el caso general en la ecuacion de calor
EDP ut = k(uxx + uyy) ,0 < x, y < π , t > 0 ,
Conidiciones iniciales u(x, y, 0) = f(x, y).(1)
Con f(x, y) C∞ y k es una constante arbitraria diferente de cero. Escribiendola EDP en forma diferencial, tenemos
Ltu = k(Lxu+ Lyu) (2)
donde
Lt(·) =∂(·)∂t
, Lx(·) =∂2(·)∂x2
, Ly(·) =∂2(·)∂y2
.
Los operadores seudo inversos asociados son
L−1t (·) =
∫ t
0
(·) dt , L−1x (·) =
∫ x
0
∫ x
0
(·) dxdx , L−1y (·) =
∫ y
0
∫ y
0
(·) dydy .
Luego esto implica que
L−1t Ltu(x, y, t) =
∫ t
0
ut dt = u(x, y, t) − u(x, y, 0) . (3)
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Por otra parte, aplicando L−1t en (2) tenemos
L−1t Ltu(x, y, t) = kL−1t (Lxu+ Lyu) (4)
igualando (3), (4), despejando u y reemplazando la condicion inicial tenemos
u(x, y, t) = f(x, y) + kL−1t (Lxu+ Lyu) (5)
el metodo define la solucion de (1) en forma de serie
u(x, y, t) =∞∑n=0
un(x, y, t)
reemplazando esto en (5) y teniendo presente la linearidad de los operadorestenemos
un(x, y, t) = f(x, y) + k∞∑n=0
L−1t (Lxun + Lyun)
con esto definimos de manera recursiva la serie de la siguiente forma
u0 = f(x, y)
un+1 = kL−1t (Lxun + Lyun) n ≥ 0(6)
Esta es la idea fundamental del metodo luego la serie
u =∞∑n=0
un
converge a una solucion de la EDP, ver ([1]), la presicion de la soluciondependera de la cantidad de terminos con que se desarrolle la serie, esto encaso no se llegue a una solucion como en el ejemplo de la seccion anterior.
Comentarios: En la actualidad este metodo es conocido como el metodode descomposicion de Adomian(Adomian Decomposition Method, ADM),quien fue el creador a mediados de 1980.
Este metodo se puede aplicar tanto para EDP’s como para EDO’s, linealesy no lineales, en el caso no lineal es necesario el uso de los llamados polinomiosde Adomia, gracias a estos es posible resolver las ED no lineales .
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Referencias
[1] Cherruault, Y., convergence of Adomian’s Method, Kybernetes,18(2): 31-38, 1989.
[2] Adomian, George, Solving frontier Problems of Physics: The Decom-position Methods, Kluwer Academis Publishers, 1994.
[3] Wazwaz, Abdul-Majid, Partial differential Equation and SolitaryWave, Springer-Verlag, 2009.
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