Embed Size (px)
DESCRIPTION
modelos de concreto en OpenSEES
Citation preview
Tercera Jornada de Investigación Científica Desde las Aulas
ESTUDIO COMPARATIVO DE MODELOS DE FIBRAS CON DIFERENTES MATERIALES DE TIPO HORMIGÓN USADOS EN OPENSEES
Pablo Caiza (1), Diego Sosa (2)
(1)CEINCI, Universidad de las Fuerzas [email protected]
(2) CEINCI, Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE [email protected]
RESUMEN
Se describen diferentes materiales uniaxiales que trabajan a compresión, presentes en OpenSEES, para modelar el comportamiento ante cargas cíclicas de la conexión de un pilote con una losa, utilizada en puertos. Los materiales uniaxiales considerados son: Concrete01, Concrete02, Concrete04 y Concrete07.
La curva fuerza-porcentaje de deriva obtenida en OpenSEES se la compara con resultados experimentales obtenidos en la Universidad de Washington. Los parámetros considerados en esta comparación son: energía histerética, módulo secante, desprendimiento mínimo, ductilidad en daño moderado, desprendimiento substancial y ductilidad en daño severo.
ABSTRACT
Describes various materials uniaxial compressive working, used in OpenSEES, to model the behavior in cyclic loading of the connection of a pile with a slab used in container wharves. Uniaxial materials considered are: Concrete01, Concrete02, and Concrete07 Concrete04.
The force-drift percentage obtained in OpenSees is compared with experimental results obtained at the University of Washington. The parameters considered in this comparison are: hysteretic energy, secant modulus, minimum spalling, moderate damage ductility, substancial spalling and severe damage ductility.
1. INTRODUCCIÓN
A lo largo del tiempo se ha podido observar el comportamiento de las estructuras portuarias formadas por losas macizas soportadas en pilotes ante movimientos sísmicos, lo que ha permitido identificar los elementos más vulnerables de este tipo de estructuras. La conexión pilote-losa de aquellos pilotes más cercanos a la costa generalmente sufren grandes daños después de un movimiento sísmico fuerte, por esta razón se realizan estudios experimentales y analíticos del comportamiento de estos elementos para poder comprender su mecanismo de falla y poder generar soluciones a este problema.
Pablo Caiza, Diego Sosa
El presente es un estudio de tipo analítico, que busca comparar resultados experimentales de una conexión pilote-losa, con resultados obtenidos con el programa OpenSEES.
OpenSEES tiene una gran variedad de rutinas para realizar análisis de tipo no lineal, en este estudio se va a enfocar únicamente a la variación de los resultados al utilizar diferentes modelos de hormigón ante cargas cíclicas, para poder identificar los puntos fuertes y débiles de estos modelos propuestos en OpenSEES.
2. DESCRIPCIÓN DEL MODELO
La estructura real representa la conexión pilote-losa a través de un cantiléver, que se observa a la izquierda de la Figura 1. Nótese que éste espécimen está cabeza abajo por facilidad de instrumentación y experimentación. Este espécimen forma parte de un grupo de ensayos realizados en la Universidad de Washington en 2007.
Figura 1: Modelo analítico propuesto por Pablo Caiza utilizado en OpenSEES.Fuente: Caiza, 2013
El modelo analítico consta de 8 elementos, cada elemento tiene propiedades diferentes de hormigón y de acero de refuerzo, las propiedades de hormigón dependen de los armados transversales presentes a lo largo del cuerpo de la pila, mientras que la variación de las propiedades del acero longitudinal dependen de la longitud de desarrollo y anclaje. Se presenta a continuación las secciones transversales y propiedades del hormigón que constituye a cada elemento considerado en el modelo propuesto en OpenSEES.
2
Pablo Caiza, Diego Sosa
Tabla 1: Descripción de las propiedades generales del hormigón Propiedad Valor Descripción
Ec 5978,21 Ksi Módulo de elasticidad del hormigón a compresiónEt 770 Ksi Módulo de elasticidad del hormigón a tensiónft 1,54 Ksi Resistencia del hormigón a tensiónet 0.0002 Deformación unitaria en la resistencia del hormigón a tensión
Tabla 2: Descripción de las propiedades del hormigón en cada elemento
Sección No.Hormigón
ModeloConfinado (Núcleo)
No Confinado (Recubrimiento)
3 in
24,7 in
Armado longitudinal
E7
fc= -16.13 Ksiec= -0.005126fcu= -3.23 Ksiecu= -0.035
fc= -11 Ksiec= -0.0035fcu= 0.00 Ksiecu= -0.008
E6 fc= -14.55 Ksiec= -0.00437fcu= -2.91 Ksiecu= -0.0224E5
E4 fc= -12.80 Ksiec= -0.00364fcu= -2.56 Ksiecu= -0.0141E3
Armado longitudinalVarillas T de conexión
E2
fc= -14.55 Ksiec= -0.00437fcu= -2.91 Ksiecu= -0.0224
E1
fc= -16.13 Ksiec= -0.005126fcu= -3.23 Ksiecu= -0.035
Varillas T de conexión
E8
fc= -11 Ksiec= -0.0035fcu= -7.6 Ksiecu= -0.0049
Las propiedades descritas en la Tabla 2 son:fc: Resistencia máxima a la compresión del hormigón en Ksi.ec: Deformación unitaria correspondiente a fc.fcu= Esfuerzo residual del hormigón en Ksi.ecu= Deformación unitaria correspondiente a fcu.
3
Pablo Caiza, Diego Sosa
Se puede observar en la Figura 2 a las variables descritas en la Tabla 1 y Tabla 2, adicionalmente se destaca el hecho de que la curva esfuerzo-deformación del hormigón pueden ser definida a partir de tres pares ordenados como son resistencia máxima a tensión y su deformación (et,ft), resistencia máxima a compresión y su deformación (ec,fc) y esfuerzo residual y su deformación (ecu,fcu).
-0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Deformación unitaria
Esfu
erz
o [K
si]
(et , ft)
(ec , fc)
(ecu , fcu)
Figura 2: Significado gráfico de las propiedades físicas del hormigón
3. CARGAS UTILIZADAS
El modelo presenta dos tipos de carga, una carga inicial vertical constante de 450 kips, y una carga posterior lateral cíclica que consta de 15 ciclos. Cada uno de estos ciclos está constituido por un grupo de subciclos y la forma de cargar al modelo es en función del desplazamiento. En la siguiente figura se presenta la carga por desplazamientos que se aplicó sobre el modelo, se ha dividido en grupos debido a que las escalas de los ciclos iniciales y finales son muy diferentes.
0 20 40 60 80 100 120-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08CICLO 1 AL 4
INSTANTE
DE
SP
LA
ZA
MIE
NT
O [
in]
ciclo 1
ciclo 2ciclo 3
ciclo 4
0 500 1000 1500 2000 2500 3000-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8CICLO 5 AL 7
INSTANTE
DE
SP
LA
ZA
MIE
NT
O [
in]
ciclo 5
ciclo 6ciclo 7
2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500-3
-2
-1
0
1
2
3CICLO 8 AL 11
INSTANTE
DE
SP
LA
ZA
MIE
NT
O [
in]
ciclo 8
ciclo 9ciclo 10
ciclo 11
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
x 104
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10CICLO 12 AL 15
INSTANTE
DE
SP
LA
ZA
MIE
NT
O [
in]
ciclo 12
ciclo 13ciclo 14
ciclo 15
Figura 3: Carga cíclica
4
Pablo Caiza, Diego Sosa
El desplazamiento se considera positivo cuando este tiene dirección hacia el lado izquierdo, mientras que el desplazamiento es negativo cuando tiene sentido hacia el lado derecho. En la Figura 4 se puede observar la ubicación del sentido izquierdo o derecho de la sección analizada.
4. CURVAS ESFUERZO-DEFORMACIÓN
Las curvas esfuerzo-deformación en el modelo de fibras se las puede obtener en diferentes posiciones de una sección transversal, para un material previamente especificado. Las curvas esfuerzo-deformación de nuestro interés son las correspondientes al material tipo hormigón no confinado (hormigón de recubrimiento) y al material tipo hormigón confinado (núcleo de la sección). La ubicación más crítica del hormigón no confinado es la fibra más externa del hormigón de recubrimiento, mientras que la fibra crítica del hormigón confinado es la fibra más cercana al refuerzo transversal.
Los resultados experimentales se obtuvieron a nivel de la interface de unión del pilote con la losa, por lo que los resultados analíticos con el programa OpenSEES, se los va a obtener del elemento E1. Adicionalmente, nótese que como el modelo se encuentra bajo una carga cíclica y la sección transversal no es simétrica, los resultados varían ligeramente del lado derecho y lado izquierdo, razón por la cual se debe identificar qué valor es el más crítico.
fibra más externa de hormigón
de recubrimiento en lado izquierdo
fibra más crítica de hormigón
confinado en lado izquierdo
fibra más externa de hormigón
de recubrimiento en lado derecho
fibra más crítica de hormigón
confinado en lado derecho
Figura 4: Puntos críticos para obtener curvas esfuerzo-deformación del hormigón
En el programa OpenSEES, se presenta una gran variedad de modelos para poder representar las propiedades físicas del hormigón en el rango no lineal, a continuación se va a detallar las características de los modelos de hormigón utilizados tanto para hormigón no confinado como para el hormigón confinado.
4.1 Hormigón no confinado y confinado
El hormigón no confinado es aquel cuyas propiedades físicas como resistencia y deformación, no se ven afectadas por el refuerzo transversal. En un corte transversal de una sección el hormigón no confinado corresponde al hormigón de recubrimiento.
El hormigón confinado es aquel cuyas propiedades físicas como resistencia y deformación son mayores a las del no confinado debido a la presencia de refuerzo transversal. En un corte transversal de una sección el hormigón confinado corresponde al hormigón del núcleo dentro del refuerzo transversal.
Se presenta en las tablas siguientes las curvas esfuerzo-deformación de las fibras del lado derecho para hormigón confinado y no confinado de los diferentes modelos que se utilizaron para este estudio y que se encuentra disponibles en OpenSEES.
5
Pablo Caiza, Diego Sosa
Tabla 3: Modelos de Hormigón no confinado ante cargas cíclicas en elemento E1
Material Curva esfuerzo-deformación Observaciones Referencias
concrete01
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
x 10-3
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del recubrimiento en fibra extrema derecha
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.008018 , 0)
(-0.003491 , -11)
Eo=5100.492 El concreto 01 es
un material que considera que el hormigón solo trabaja a compresión.
La curva envolvente tiene un primer tramo parabólico y luego una línea recta.
Los ciclos de carga y descarga son de tipo lineal.
Kent-Scott-Park
Karsan, I. D. Jirsa, J. O.
concrete02
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
x 10-3
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del recubrimiento en fibra extrema derecha
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.008023 , 0)
(-0.003493 , -11)
Eo=5123.725
El concreto 02 es similar al concreto01, pero adicionalmente considera tensión.
Como el elemento E1 tiene gran daño se consideró que no trabaja a tensión, pero el resto de elementos si trabajan a tensión.
Los ciclos de carga son lineales y los de descarga son bilineales.
Mohd Hisham Mohd Yassin
concrete04
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
x 10-3
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del recubrimiento en fibra extrema NORTE
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.00829 , 0)
(-0.003502 , -11)
Eo=5544.282
El concreto 04 también considera tensión.
Presenta una forma parabólica tanto en el tramo previo como en el posterior a alcanzar la resistencia máxima.
Los ciclos de carga y descarga son de tipo lineal.
Popovics, S.
Karsan, I. D. Jirsa, J. O.
concrete 07
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
x 10-3
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del recubrimiento en fibra extrema NORTE
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.008102 , 0)
(-0.00349 , -11)
Eo=4415.672
El concreto 07 también considera tensión.
Los ciclos de carga son curvas y los de descarga trilineales
Chang, G.A.Mander, J.B
Waugh, J.
6
Pablo Caiza, Diego Sosa
Tabla 4: Modelos de Hormigón confinado ante cargas cíclicas en elemento E1
Material Curva esfuerzo-deformación Observaciones Referencias
concrete01
-0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del núcleo en fibra extrema NORTE
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.03532 , -3.23)
(-0.005058 , -16.13)
(-0.02262 , -8.575)
Eo=5284.14 La curva envolvente tiene un primer tramo parabólico y luego una línea recta, hasta llegar al esfuerzo residual, a partir del cual tiene una línea horizontal
Los ciclos de carga y descarga son de tipo lineal.
Kent-Scott-Park
Karsan, I. D. Jirsa, J. O.
concrete02
-0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del núcleo en fibra extrema NORTE
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.03508 , -3.23)
(-0.005045 , -16.13)
(-0.02264 , -8.569)
Eo=5282.568 El concreto 02 es
muy similar al concreto 01 en todas sus características, la única diferencia es que considera adicionalmente la resistencia a tensión del hormigón.
Los ciclos de carga son lineales y los de descarga son bilineales.
Mohd Hisham Mohd Yassin
concrete04
-0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del núcleo en fibra extrema NORTE
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.03507 , 0)
(-0.005225 , -16.13)
(-0.03239 , -4.293)
Eo=5630.082 La envolvente presenta una forma curva tanto en el tramo previo como en el posterior a alcanzar la resistencia máxima.
Luego del esfuerzo residual la envolvente cae a un valor de esfuerzo de 0.
Popovics, S.
Karsan, I. D. Jirsa, J. O.
concrete 07
-0.1 -0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del núcleo en fibra extrema NORTE
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.09852 , 0)
(-0.005158 , -16.13)
Eo=5634.772
La envolvente presenta una forma curva tano en el tramo previo como en el posterior a alcanzar la resistencia máxima.
Se observa que la forma de la envolvente es diferente a los modelos anteriores ya que luego de alcanzar el esfuerzo máximo la curva no llega a un esfuerzo residual.
Chang, G.A.Mander, J.B
Waugh, J.
7
Pablo Caiza, Diego Sosa
En la Tabla 3, se puede observar que el comportamiento de las curvas envolventes de hormigón no confinado de los modelos concrete01, concrete02 y concrete07, son muy similares, a diferencia del modelo concrete04, en donde el tramo de la curva envolvente luego de alcanzar la resistencia máxima del hormigón no representa el comportamiento esperado para hormigón no confinado. En la Tabla 4, las curvas envolventes de hormigón confinado para los modelos de concrete01 y concrete02 son muy similares, estas curvas se caracterizan por ser simplificadas con respecto a la forma experimental. Los modelos concrete04 y concrete07 tratan de representar de mejor manera la forma experimental de la envolvente.
De la Tabla 3 y Tabla 4, los modelos correspondientes a concrete07 tiene la característica de poseer esfuerzos de compresión ante deformaciones positivas, estas zonas están identificadas con recuadros rojos en el siguiente gráfico.
Concrete07Hormigón no confinado Hormigón confinado
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
x 10-3
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del recubrimiento en fibra extrema NORTE
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.008102 , 0)
(-0.00349 , -11)
Eo=4415.672
-0.1 -0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del núcleo en fibra extrema NORTE
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.09852 , 0)
(-0.005158 , -16.13)
Eo=5634.772
Figura 5: concreto07 y esfuerzos de compresión ante deformaciones positivas
El comportamiento descrito en la Figura 5 se debe a que el modelo concrete07 considera la última posición deformada por tensión antes de invertir la carga y a partir de esta posición final se inicia el conteo de los esfuerzos a compresión. Se presenta a continuación un ejemplo gráfico de lo descrito anteriormente.
long
itud
inic
ial
última posición deformada por tensión
elementono deformado
elementono deformadoa tensión
elementodeformado
elementodeformadoa compresión
long
itud
final
desp
laza
mie
nto
posi
tivo
Figura 6: Ejemplo de esfuerzos de compresión ante deformaciones positivas
8
Pablo Caiza, Diego Sosa
5. CURVAS FUERZA-PORCENTAJE DE DERIVA
El comportamiento histerético de la estructura estudiada se lo puede observar claramente en las curvas fuerza-porcentaje de deriva, estas curvas se obtienen al grabar el historial de la carga cíclica y los desplazamientos que esta carga produce en cada instante, con los desplazamientos se expresa la deriva en porcentaje y se grafica el historial de la fuerza cíclica versus su porcentaje de deriva correspondiente.
En la siguiente figura se presenta la curva fuerza-porcentaje de deriva de los ensayos experimentales del espécimen 9 realizado por A. Jellin 2008 y las curvas obtenidas al utilizar OpenSEES. De las curvas analíticas, se presentan solo las correspondientes al modelo con concrete01, concrete04 y concrete07, ya que la forma del concrete02 es muy similar a la forma del concrete01.
-10 -5 0 5 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
Experimental
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
Concrete01
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
Concrete04
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
Concrete07
Figura 7: Curvas fuerza-porcentaje de deriva
Las curvas fuerza-porcentaje de deriva a simple vista parecen ser muy similares a los resultados experimentales. Pero para poder cuantificar cual modelo se aproxima de mejor manera se van a utilizar parámetros como: energía histerética y módulo secante.
9
Pablo Caiza, Diego Sosa
5.1 Disipación de energía
La energía disipada de forma histerética para un ciclo es el área encerrada en la curva fuerza-deformación de dicho ciclo, a continuación se presenta la expresión utilizada para determinar la energía disipada en un ciclo determinado.
E=∑i
j F i+1+F i2
∗(∆ i+1−∆i ) (1)
Donde:
F: Carga cíclica.
i: Primer punto de interés.
j: Último punto de interés.
∆ : Desplazamiento de la pila.
Figura 8: Cálculo de energía disipada en un ciclo (A. Jellin 2008)
A partir de las curvas fuerza-porcentaje de deriva se pueden obtener las curvas fuerza-desplazamiento, a las curvas fuerza-desplazamiento se las identifica por ciclo y se determina que cantidad de energía disipan en cada ciclo, posteriormente se suma la energía disipada en cada ciclo y se determina la energía total disipada.
Del historial de carga indicado en la Figura 3 se puede observar que cada ciclo está formado por un grupo de subciclos. En la Figura 9 se presenta el área encerrada en las curvas fuerza-desplazamiento para los dos subciclos del ciclo 8 de los datos experimentales y el área encerrada en las curvas fuerza-desplazamiento para los dos subciclos del ciclo 8 correspondientes al modelo concrete02. De igual forma en la Figura 10 se presenta el área encerrada por cada subciclo correspondiente al ciclo 14 de los datos experimentales y de los datos considerando el modelo concrete07. No se presenta todas las gráficas de los 5 casos y sus respectivos 15 ciclos, ya que nuestro interés es la cantidad de energía total disipada por cada modelo.
(a) Experimental (b) OpenSEES (concrete02)
-1 -0.5 0 0.5-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
1001er CICLO 8
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(50.0343Ksi-in)
-1 -0.5 0 0.5-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
1002do CICLO 8
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(38.8638Ksi-in)
-0.5 0 0.5 1-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
1001er CICLO 8
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FUE
RZO
[Ksi
]
(41.8586Ksi-in)
-0.5 0 0.5 1-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
1002do CICLO 8
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FUE
RZO
[Ksi
]
(26.8735Ksi-in)
10
Pablo Caiza, Diego Sosa
Figura 9: Área encerrada en la curva fuerza-desplazamiento para el ciclo 8, de datos experimentales y obtenidos en OpenSEES
(a) Experimental (b) OpenSEES (concrete07)
-5 0 5-60
-40
-20
0
20
40
601er CICLO 14
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
-5 0 5-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
502do CICLO 14
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(1108.6587Ksi-in) (1067.6308Ksi-in)
-5 0 5-60
-40
-20
0
20
40
601er CICLO 14
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FUE
RZO
[K
si]
-5 0 5-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
402do CICLO 14
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FUE
RZO
[K
si]
(1071.2584Ksi-in) (836.8537Ksi-in)
Figura 10: Área encerrada en la curva fuerza-desplazamiento para el ciclo 14, de datos experimentales y obtenidos en OpenSEES
Se presenta a continuación la energía disipada para los datos experimentales y para los datos obtenidos en OpenSEES con el modelo concrete01, concrete02, concrete 04 y concrete07.
Tabla 5: Energía total disipada para los diferentes modelos
ModeloEnergía Total Disipada
[ksi.in] Error %Experimental 7015,69
OpenSEES concrete01 6439,95 8,21OpenSEES concrete02 6765,53 3,57OpenSEES concrete04 6268,76 10,65OpenSEES concrete07 6753,59 3,74
En la Tabla 5 se toma como valor de referencia a la energía total disipada obtenida a través de los datos experimentales, se puede observar que los modelo concrete02 y concrete07 son los que dan valores más cercanos a los experimentales, mientras que el concrete 04 es el valor que más se aleja.
5.2 Módulo secante
A partir de las curvas fuerza-desplazamiento se puede determinar un nuevo parámetro para verificar el comportamiento de los modelos, para lo cual se debe identificar dos pares coordenados, el primer par es deformación mínima y fuerza mínima, mientras que el segundo par es deformación máxima y fuerza máxima, la pendiente formada por estos dos pares ordenados corresponde a la rigidez secante.
La rigidez secante se obtiene para cada ciclo, pero como un ciclo determinado está formado por varios subciclos, en primer lugar se debe determinar un ciclo promedio que
11
Pablo Caiza, Diego Sosa
represente a todos los subciclos y en este nuevo ciclo representativo se determina los dos pares ordenados para posteriormente determinar la rigidez secante.
En la Figura 11 se puede observar que el ciclo 7 consta de 4 subciclos, a partir de los cuales se determinó un ciclo representativo correspondiente a su promedio, finalmente, a partir del ciclo promedio se determinaron los pares (mínimo desplazamiento, mínima fuerza) y (máximo desplazamiento, máxima fuerza). El módulo secante es la pendiente entre estos dos pares coordenados.
(a) Subciclos correspondientesal ciclo 7
(concrete07)
(b) Ciclo 7 promedio representativo y suMódulo secante
(concrete07)
-0.5 0 0.5-100
-50
0
50
1001er CICLO 7
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
-0.5 0 0.5-100
-50
0
50
1002do CICLO 7
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
-0.5 0 0.5-100
-50
0
50
1003er CICLO 7
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
-0.5 0 0.5-100
-50
0
50
1004to CICLO 7
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(22.1516Ksi-in) (13.125Ksi-in)
(11.8713Ksi-in) (11.8307Ksi-in)
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100CICLO 7
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-0.6316 , -81.3)
(0.7347 , 87)(14.7446Ksi-in)
Esec = (123.1662Ksi/in)
Figura 11: Determinación del módulo secante para el ciclo 7 considerando el modelo concrete07
Al igual que en ejemplo anterior la Figura 12 representa la forma como se calculó el módulo secante para el ciclo 15 considerando el modelo concrete04. Se puede identificar que el ciclo 15 consta de dos subciclos.
(a) Subciclos correspondientesal ciclo 15
(concrete04)
(c) Ciclo 15 promedio representativo y su Módulo secante
(concrete04)
-5 0 5-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
401er CICLO 15
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
-5 0 5-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
302do CICLO 15
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(1058.0537Ksi-in) (632.1409Ksi-in)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30CICLO 15
DESPLAZAMIENTO [in]
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
(-9.062 , -44.3)
(8.534 , 25.7)(845.0973Ksi-in)
Esec = (3.9774Ksi/in)
Figura 12: Determinación del módulo secante para el ciclo 15 considerando el modelo concrete04
12
Pablo Caiza, Diego Sosa
Se presenta los módulos secantes obtenidos en cada ciclo promedio para los datos experimentales y también para cada tipo de hormigón utilizado en la modelación. Adicionalmente se determina un error en porcentaje tomando como valor de referencia el módulo secante de los datos experimentales, finalmente se identifica en cada ciclo cual es el tipo de hormigón que más se aproxima.
Tabla 6: Módulo secante por ciclo y tipo de hormigón
Ciclo
Experimental concrete01 concrete02 concrete04 cocnrete07
Modelo con menor errorEsec Esec Error Esec Error Esec Error Esec Error
[kip/in] [kip/in
] % [kip/in
] % [kip/in
] % [kip/in
] %
1 486,66 311,96 35,90 311,96 35,90 295,28 39,32 292,10 39,98conc01 conc02
2 479,10 314,68 34,32 314,68 34,32 295,73 38,27 295,01 38,42conc01 conc02
3 448,59 314,47 29,90 314,47 29,90 295,69 34,08 294,78 34,29conc01 conc02
4 373,79 306,87 17,90 306,87 17,90 291,83 21,93 288,22 22,89conc01 conc02
5 186,90 183,26 1,95 196,81 -5,30 190,42 -1,88 186,16 0,40 concrete07
6 147,80 183,28-
24,00 196,89 -33,21 190,24-
28,71 186,06-
25,89 concrete01
7 121,11 122,00 -0,74 126,42 -4,39 123,90 -2,30 123,17 -1,70 concrete01
8 98,13 90,71 7,56 92,44 5,80 91,34 6,92 90,87 7,40 concrete02
9 79,06 72,74 7,99 73,26 7,33 72,92 7,77 72,70 8,04 concrete02
10 65,61 60,48 7,82 60,73 7,44 60,53 7,75 60,41 7,92 concrete02
11 33,78 31,37 7,14 30,66 9,26 32,92 2,54 30,46 9,83 concrete04
12 16,40 16,89 -3,00 16,68 -1,72 18,87-
15,07 16,44 -0,26 concrete07
13 9,08 10,74-
18,39 10,45 -15,18 11,47-
26,39 9,96 -9,74 concrete07
14 6,83 6,28 8,16 5,97 12,66 6,74 1,35 5,65 17,37 concrete04
15 4,31 3,08 28,53 3,41 20,83 3,98 7,63 4,09 5,09 concrete07
13
Pablo Caiza, Diego Sosa
0 2 4 6 8 10 12 14 160
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Experimental concrete01 concrete02 concrete04 concrete07
ciclo
Esec
[kip
/in]
Figura 13: Módulo secante por cicloSe puede observar en la última columna de la Tabla 6 que el modelo que se aproxima
en más número de ciclos a los resultados experimentales es el modelo concrete02, ya que presenta mayor aproximación en 6 de 15 ciclos, en segundo lugar está el modelo concrete01 con 5 de 15 ciclos, en tercer lugar el modelo concrete07 con 4 de 15 ciclos y finalmente el modelo concrete04 con 2 de 15 ciclos. En general a partir del ciclo 5 los diferentes modelos se aproximan de forma adecuada a los resultados experimentales, como se puede observar en la Figura 13.
El módulo secante nos permite ver como varía la rigidez de la estructura conforme se aplican los ciclos de carga. Por esta razón los módulos secantes en un inicio tienen valores altos ya que ante las cargas iniciales que son bajas la estructura es más rígida, pero con el aumento de cargas y daño en la estructura esta se va flexibilizando como se puede observar en los módulos secantes de los ciclos finales ya que presentan valores pequeños.
6. DUCTILIDAD
Para determinar la ductilidad de la estructura modelada se requiere utilizar algunos de los parámetros descritos en el tema 5 y 4 del este documento, es decir que se van a utilizar conjuntamente a las curvas esfuerzo-deformación de la sección analizada y a las curvas fuerza-porcentaje de deriva de la estructura modelada .A continuación se detalla la forma de obtener los parámetro que nos van a permitir dar una estimación de la ductilidad tanto para daño moderado como para daño severo.
6.1 Primera fluencia del hormigón
Se considera que la primera fluencia del hormigón se produce cuando la fibra más externa del hormigón de recubrimiento alcanza una deformación unitaria de 0.002 (Priestley et al 2007), por esta razón se debe recurrir a las curvas esfuerzo-deformación del hormigón no confinado e identificar en la envolvente el instante en que se produce la deformación unitaria más cercana a 0.002, una vez determinado este instante se lo ubica en la curva fuerza-porcentaje de deriva.
14
Pablo Caiza, Diego Sosa
(a) Curva esfuerzo-deformación del hormigón no confinado (concrete01)
(b) Curva fuerza-porcentaje de deriva de la estructura modelada (concrete01)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
x 10-3
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Curva esfuerzo-deformación del recubrimiento en fibra extrema derecha
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
instante i
-10 -5 0 5 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
instante i
Figura 14: Instante de primera fluencia del hormigón
6.2 Primera fluencia del acero
Se considera que la primera fluencia del acero se produce cuando las varillas de conexión (varillas con cabeza tipo T) más externas de acuerdo a la línea de acción de la carga (Figura 15) alcanzan un esfuerzo cercano al 95% del esfuerzo de fluencia, por esta razón se debe recurrir a las curvas esfuerzo-deformación del acero de conexión e identificar en la envolvente el instante en que se produce el esfuerzo más cercano al 95% del esfuerzo de fluencia, una vez determinado este instante se lo ubica en la curva fuerza-porcentaje de deriva. No se considera el 100% del esfuerzo de fluencia ya que se observó de los resultados analíticos obtenidos en OpenSEES, que cuando se trabaja con carga cíclicas el esfuerzo de fluencia del acero se reduce aproximadamente al 95%.
Línea de acción de la carga
Varilla de conexión lado derecho
Varilla de conexión lado izquierdo
Figura 15: Varillas críticas para determinar curvas esfuerzo-deformación
(a) Curva esfuerzo-deformación del acero correspondiente a la varilla de conexión
(b) Curva fuerza-porcentaje de deriva de la estructura modelada (concrete01)
15
Pablo Caiza, Diego Sosa
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
instante j
-10 -5 0 5 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
instante j
Figura 16: Instante de primera fluencia del acero correspondiente a la varilla de conexión.
6.3 Desprendimiento mínimo
Se considera que el desprendimiento mínimo del recubrimiento se produce cuando la fibra más externa del hormigón de recubrimiento alcanza su resistencia máxima. Por esta razón se debe recurrir a las curvas esfuerzo-deformación del hormigón no confinado e identificar en la envolvente el instante en que se alcanza la resistencia máxima del hormigón. Una vez determinado este instante se lo ubica en la curva fuerza-porcentaje de deriva.
(a) Curva esfuerzo-deformación del hormigón no confinado (concrete01)
(b) Curva fuerza-porcentaje de deriva de la estructura modelada (concrete01)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
x 10-3
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
instante k
-10 -5 0 5 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
instante k
Figura 17: Instante de desprendimiento mínimo del hormigón de recubrimiento.
6.4 Desprendimiento substancial
Se considera que el desprendimiento substancial se produce cuando la fibra más externa del hormigón confinado alcanza la resistencia residual, por esta razón se debe recurrir a las curvas esfuerzo-deformación del hormigón confinado e identificar en la envolvente el instante en que se alcanza la resistencia residual, una vez determinado este instante se lo ubica en la curva fuerza-porcentaje de deriva.
(a) Curva esfuerzo-deformación del hormigón confinado (concrete01)
(b) Curva fuerza-porcentaje de deriva de la estructura modelada (concrete01)
16
Pablo Caiza, Diego Sosa
-0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
DEFORMACIÓN
ES
FU
ER
ZO
[K
si]
instante h
-10 -5 0 5 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
instante h
Figura 18: Instante de desprendimiento substancial
6.5 Parámetros para estimar ductilidad en daño moderado y daño severo
Se presenta a continuación la ubicación de los parámetros descritos anteriormente para determinar la ductilidad en daño moderado y severo, tanto para el lado izquierdo como para el derecho y para los diferentes modelos de hormigón considerados en este estudio. En los gráficos se identifica el orden en que se producen los parámetros y sus coordenadas como se muestra a continuación:
Orden de ocurrencia ( deriva [%] , fuerza [kip] )
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
5(-1.76 , -85)
6(1.52 , 88.1)
7(-4.68 , -62)
8(4.46 , 69.9)
2(-0.565 , -78)
4(0.58 , 81.2)
3(0.557 , 79.8)
1(-0.546 , -76.9)
Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
AnalíticoDesprendimiento mínimo
Desprendimiento substancial
1er fluencia hormigón
1er fluencia acero
Figura 19: Parámetro considerados para determinar la ductilidad en daño moderado y severo considerando concrete01
17
Pablo Caiza, Diego Sosa
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
5(-1.52 , -85.4)
6(1.47 , 87)
7(-4.47 , -63.1)
8(4.2 , 70.9)
2(-0.46 , -78.3)
4(0.479 , 82.8)
3(0.457 , 80.8)
1(-0.45 , -77.5)
Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
5(-1.52 , -85.4)
6(1.47 , 87)
7(-4.47 , -63.1)
8(4.2 , 70.9)
2(-0.46 , -78.3)
4(0.479 , 82.8)
3(0.457 , 80.8)
1(-0.45 , -77.5)
AnalíticoDesprendimiento mínimo
Desprendimiento substancial
1er fluencia hormigón
1er fluencia acero
Figura 20: Parámetro considerados para determinar la ductilidad en daño moderado y severo considerando concrete02
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
5(-1.85 , -84.9)
6(1.89 , 88.8)
7(-5.67 , -55.4)
8(5.35 , 62.1)
2(-0.546 , -79.2)
4(0.568 , 83)
3(0.535 , 80.9)
1(-0.517 , -77.4)
Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
AnalíticoDesprendimiento mínimo
Desprendimiento substancial
1er fluencia hormigón
1er fluencia acero
Figura 21: Parámetro considerados para determinar la ductilidad en daño moderado y severo
considerando concrete04
18
Pablo Caiza, Diego Sosa
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
6(-1.37 , -84.8)
5(1.38 , 91.7)
8(-4.22 , -61.9)
7(3.98 , 68.5)
1 2(-0.498 , -75.9)
3 4(0.513 , 79)3 4(0.513 , 79)
1 2(-0.498 , -75.9)
Fuerza Vs Deriva
Deriva [%]
Fue
rza
[Kip
]
AnalíticoDesprendimiento mínimo
Desprendimiento substancial
1er fluencia hormigón
1er fluencia acero
Figura 22: Parámetro considerados para determinar la ductilidad en daño moderado y severo considerando concrete07
Recordando que los desplazamientos positivos son hacia el lado izquierdo y los negativos hacia el derecho, se puede observar una clara tendencia en el orden de ocurrencia de los resultados presentados en la Figura 19 a la Figura 21, en donde primero ocurre la fluencia del acero de conexión del lado izquierdo (desplazamiento hacia lado derecho), segundo ocurre la fluencia del hormigón de recubrimiento del lado derecho (desplazamiento hacia lado derecho), tercero ocurre la fluencia del acero de conexión del lado derecho (desplazamiento hacia lado izquierdo), cuarto ocurre la fluencia del hormigón de recubrimiento del lado izquierdo (desplazamiento hacia lado izquierdo), quinto ocurre el desprendimiento mínimo del hormigón de recubrimiento del lado derecho (desplazamiento hacia lado derecho), sexto ocurre el desprendimiento mínimo del hormigón de recubrimiento del lado izquierdo (desplazamiento hacia lado izquierdo), séptimo ocurre el desprendimiento substancial de las fibras de hormigón del lado derecho (desplazamiento hacia lado derecho) y finalmente ocurre el desprendimiento substancial de las fibras de hormigón del lado izquierdo (desplazamiento hacia lado izquierdo).
El orden de ocurrencia de los resultados presentados en la Figura 22, correspondientes al modelo que considera concrete07, es diferente al resto de casos, ya que en primer y segundo lugar coinciden la fluencia del acero de conexión del lado izquierdo con la fluencia del hormigón de recubrimiento del lado derecho, en tercer y cuarto lugar coinciden la fluencia del acero de conexión del lado derecho con la fluencia del hormigón de recubrimiento del lado izquierdo, en quinto lugar ocurre el desprendimiento mínimo del hormigón de recubrimiento del lado izquierdo, en sexto lugar ocurre el desprendimiento mínimo del hormigón de recubrimiento del lado derecho, en séptimo lugar ocurre el desprendimiento substancial de las fibras de hormigón del lado derecho y finalmente ocurre el desprendimiento substancial de las fibras de hormigón del lado izquierdo.
A partir de los datos obtenidos presentados en la Figura 19 a la Figura 22 nos permiten estimar la ductilidad en daño moderado y en daño severo, como se presenta en los temas siguientes.
19
Pablo Caiza, Diego Sosa
6.6 Ductilidad en daño moderado
La ductilidad en daño moderado considera las variable D1 y D2 presentadas en siguiente ecuación.
μdaño moderado=D1D2
Donde:D 1: Deriva correspondiente al desprendimiento mínimo.D 2: La menor deriva entre la deriva de primera fluencia del acero y deriva de primera fluencia del hormigón.
Tabla 7: Ductilidad en daño moderado
TipoExperimental concrete 01 concrete 02 concrete 04 concrete 07 modelo con
menor erroru u error
%u error
%u error
%u error
%deriva
negativa2,88 3,11 -7,76 3,3
0-14,55 3,39 -17,45 2,76 4,34 concrete07
deriva positiva
2,68 2,72 -1,70 3,21
-19,75 3,53 -32,04 2,68 -0,17 concrete07
De los resultados presentados en la Tabla 7 se concluye que el modelo que se acerca más a los resultados experimentales de ductilidad en daño moderado es el modelo concrete07.
6.7 Ductilidad en daño severo
La ductilidad en daño severo considera las variable D3 y D2 presentadas en siguiente ecuación.
μdaño severo=D3D 2
Donde:D 3: Deriva correspondiente al desprendimiento substancial.D 2: La menor deriva entre la deriva de primera fluencia del acero y deriva de primera fluencia del hormigón.
Tabla 8: Ductilidad en daño severo
TipoExperimental concrete 01 concrete 02 concrete 04 concrete 07 modelo
con menor erroru u error
%u error
%u error
%u error
%deriva
negativa7,74 8,2
8-6,97 9,7
2-25,59 10,38 -34,18 8,4
6-9,37 concrete01
deriva positiva
7,72 7,99
-3,55 9,18
-18,90 10,01 -29,62 7,75
-0,40 concrete07
De los resultados presentados en la Tabla 8 se concluye que el modelo que se acerca más a los resultados experimentales de ductilidad en daño severo es el modelo concrete01 cuando se tiene deriva negativa, no obstante el valor considerando concrete07 también es muy cercano y en deriva positiva se tiene el modelo concrete07.
(2)
(3)
20
Pablo Caiza, Diego Sosa
7. Conclusiones
La curva esfuerzo-deformación del hormigón pueden ser definida a partir de tres pares ordenados como son resistencia máxima a tensión y su deformación (et,ft), resistencia máxima a compresión y su deformación (ec,fc) y esfuerzo residual y su deformación (ecu,fcu).
El modelo concrete01 es un material que considera que el hormigón solo trabaja a compresión, el resto de modelos consideran las propiedades del hormigón a tensión.
Los modelos concrete01, concrete02 y concrete07 representan de forma muy adecuada el comportamiento de la curva envolvente de esfuerzo-deformación del hormigón no confinado o también llamado de recubrimiento.
Las curvas envolventes de hormigón confinado para los modelos de concrete01 y concrete02 son muy similares, estas curvas se caracterizan por ser simplificadas con respecto a la forma experimental, los modelos concrete04 y concrete07 tratan de representar de mejor manera la forma experimental de la envolvente de hormigón confinado.
Los modelos correspondientes a concrete07 tiene la característica de poseer esfuerzos de compresión ante deformaciones positivas, esto se debe a que el modelo considera la última posición deformada por tensión antes de invertir la carga y a partir de esta posición final se inicia el conteo de los esfuerzos a compresión.
Considerando la disipación histerética de energía se concluye que los modelo concrete02 y concrete07 son los que dan valores más cercanos a los experimentales, mientras que el concrete 04 es el valor que más se aleja.
Considerando el modulo secante el modelo que se aproxima en más número de ciclos a los resultados experimentales es el modelo concrete02, en segundo lugar está el modelo concrete01, en tercer lugar el modelo concrete07 y finalmente el modelo concrete04. En general a partir del ciclo 5 los diferentes modelos se aproximan de forma adecuada a los resultados experimentales
El módulo secante nos permite ver como varía la rigidez de la estructura conforme se aplican los ciclos de carga, por esta razón los módulos secantes en un inicio tienen valores altos ya que ante las cargas iniciales que son bajas la estructura es más rígida, pero con el aumento de cargas y daño en la estructura esta se va flexibilizando como se puede observar en los módulos secantes de los ciclos finales ya que presentan valores pequeños.
El modelo que se acerca más a los resultados experimentales de ductilidad en daño moderado es el modelo concrete07.
El modelo que se acerca más a los resultados experimentales de ductilidad en daño severo es el modelo concrete01 cuando se tiene deriva negativa, no obstante el valor considerando concrete07 también es muy cercano y en deriva positiva se tiene que el modelo concrete07es el más cercano.
8. Referencias
1. Caiza, P. (2013). Seismic Modeling, Analysis and Design of Structural Concrete Pile-Deck Connections, Doctoral Thesis, University of Illinois, Illinois, USA.
2. Chang, G. and Mander, J. (1994). Seismic Energy Based Fatigue Damage Analysis of Bridge Columns: Part I- Evaluation of Seismic Capacity, NCEER Technical Report 94-0006, National Center for Earthquake Engineering and Research, State University of New York at Buffalo, NY, USA.
3. Jellin, A. (2008). Improved Seismic Connections for Pile-Wharf Construction, Master Thesis, University of Washington, Washington, USA.
4. Karsan, I. D., and Jirsa, J. O. (1969). "Behavior of concrete under compressive loading." Journal of Structural Division ASCE, 95(ST12).
21
Pablo Caiza, Diego Sosa
5. Mander, J. B., Priestley, M. J. N., and Park, R. (1988). "Theoretical stress-strain model for confined concrete." Journal of Structural Engineering ASCE, 114(8), 1804-1825.
6. Mander, J. B., Priestley, M. J. N. and Park, R. (1984). Seismic Design of Bridge Piers, Research Report No. 84-2, University of Canterbury, New Zealand.
7. Popovics, S. (1973). " A numerical approach to the complete stress strain curve for concrete." Cement and concrete research, 3(5), 583-599.
8. Priestley, M.J.N., Calvi, G.M. and Kowalsky, M.J. (2007). Displacement-Based Seismic Design of Structures, 720 pp., IUSS Press, Pavia, Italy.
9. Waugh, J., (2009) "Nonlinear analysis of T-shaped concrete walls subjected to multi-directional displacements", PhD Thesis, Iowa State University, IA.
10. Yassin, M.H.M. (1994). Nonlinear Analysis of Prestressed Concrete Structures under Monotonic and Cyclic Loads, Ph.D. dissertation, University of California, Berkeley, California, USA.
22
