Christian JUTTEN

Systmes asservis non linaires

Universit Joseph Fourier - Polytech Grenoble

Cours de troisime anne du dpartement 3i

Options Automatique

Aot 2006

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Table des matires

1 Introduction 3

1.1 Limitations des mthodes linaires . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Systmes non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Non-linarits dans les systmes asservis . . . . . . . . . . . . 41.4 Systmes asservis possdant un seul lment non linaire . . . 61.5 Exemples de rduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Mthodes dtudes des systmes asservis non linaires . . . . 91.7 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9 Plan du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Mthode du premier harmonique 11

2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Condition de validit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Fonction de transfert gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Elment NL statique ou sans inertie . . . . . . . . . . 13

2.4 Calculs de gains complexes quivalents . . . . . . . . . . . . . 132.4.1 Principe de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.2 Gain complexe quivalent de la saturation . . . . . . . 152.4.3 Gain complexe quivalent dun relais avec hystrsis . 182.4.4 Gain complexe quivalent dun systme NL quelconque 232.4.5 Tableau rcapitulatif de gains complexes quivalents . 24

2.5 Stabilit des systmes asservis non linaires . . . . . . . . . . 262.5.1 Conditions ncessaires dauto-oscillations . . . . . . . . 262.5.2 Stabilit des auto-oscillations . . . . . . . . . . . . . . 272.5.3 Auto-oscillations dans un asservissement relais . . . 29

1

2.5.4 Exemple : dtermination mathmatique des auto-oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6 Auto-oscillation dissymtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.2 Exemple : cas dun relais symtrique avec une entre

x0 + x1 sint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6.3 Exemple : cas dun relais hystrsis dissymtrique . . 402.6.4 Principe de dtermination des auto-oscillations . . . . 432.6.5 Exemple dun asservissement relais avec perturba-

tion lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Asservissement plusieurs non linarits . . . . . . . . . . . . 48

2.7.1 Systme tudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7.2 Non linarit quivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7.3 Calcul du gain complexe quivalent . . . . . . . . . . . 502.7.4 Dtermination des auto-oscillations . . . . . . . . . . . 52

2.8 Conclusions sur la mthode du premier harmonique . . . . . . 53

3 Mthode du plan de phase 55

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Fondements mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.1 Principe gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.2 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.3 Cas dune quation diffrentielle dordre 2 . . . . . . . 573.2.4 Stabilit en un point singulier . . . . . . . . . . . . . . 573.2.5 Rappel sur la rsolution dun systme diffrentiel linaire 583.2.6 Nature des points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.7 Segments singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.8 Cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Etude dasservissements relais . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.1 Solutions dans le plan de phase . . . . . . . . . . . . . 723.3.2 Etude de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.3 Reprsentation des trajectoires . . . . . . . . . . . . . 743.3.4 Trajectoire pour = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3.5 Calcul du temps le long dune trajectoire . . . . . . . . 753.3.6 Etude pour un relais idal . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.7 Etude pour un relais avec hystrsis . . . . . . . . . . 793.3.8 Relais avec seuil et retard de commutation . . . . . . . 823.3.9 Systme avec correction tachymtrique . . . . . . . . . 84

3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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Chapitre 1

Introduction

1.1 Limitations des mthodes linaires

Commenons par rappeler la dfinition dun systme linaire. Au sens desmathmatiques, un systme est linaire si on peut y appliquer le principe desuperposition. Dun point de vue physique, la dfinition, plus restrictive, estla suivante.

Dfinition 1.1.1 Un systme est linaire sil est dcrit par des quationsdiffrentielles linaires dordre fini coefficients constants.

Lorsque cette dfinition sapplique, on peut associer au systme, laidede la transforme de Laplace, une transmittance H(p) qui est une fractionrationnelle en p = j. En automatique, on complte frquemment la dfini-tion de linarit avec la transmittance associe au retard pur, cest--dire unterme de la forme exp(p), o est une constante de temps.

Les mthodes dtude des systmes linaires sont trs puissantes en raisondes outils disponibles (algbre linaire, quations diffrentielles et systmesdiffrentiels linaires, etc.). Malgr tout, se cantonner aux systmes linairesprsente plusieurs limitations :

Aucun systme physique nest compltement linaire. Les mthodeslinaires ne sont donc appliquables que dans un domaine de fonction-nement restreint.

Certains sytmes sont impossibles modliser, mme localement, des systmes linaires. Un exemple simple est le relais, que ce soit soussa forme lectro-magntique ancienne ou sous sa forme lectronique(transistor en commutation, thyristor, etc.).

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Certains phnomnes ne peuvent pas tre dcrits par des modles etmthodes linaires. Par exemple,

1. la prcision limite due au seuil alors que la thorie classique pr-voit une prcision parfaite si le systme comporte un intgrateurpur,

2. le phnomne de pompage caractris par des oscillations prio-diques, alors que la thorie linaire ne prvoit que des tats stablesou instables.

1.2 Systmes non linaires

Par dfinition, un systme non linaire est un systme qui nest pas li-naire, cest--dire (au sens physique) qui ne peut pas tre dcrit par desquations diffrentielles linaires coefficients constants.

Cette dfinition, ou plutt cette non-dfinition explique la complexit etla diversit des systmes non linaires et des mthodes qui sy appliquent. Ilny a pas une thorie gnrale pour ces systmes, mais plusieurs mthodesadaptes certaines classes de systmes non linaires.

On se limitera dans ce cours ltude des systmes asservis non linaires,cest--dire dasservissements qui contiendront un (voire plusieurs) lmentsnon linaires. Ces lments devront en outre appartenir des types biendfinis de non-linarits.

1.3 Non-linarits dans les systmes asservis

La caractristique entre/sortie dun systme prsente frquemment desdistortions dues aux non-linarits du systmes. Par exemple, un amplifica-teur prsente une saturation, un pont de redressement prsente des seuils enraison des seuils des diodes qui le composent (Fig. 1.1)

Ces cinq non-linarits de base peuvent se combiner pour former des non-linarits plus complexes, comme le montre la Fig. 1.2.

Ces cinq non-linarits et leurs combinaisons permettent de reprsenter peu prs tous les types de non-linarits rencontrs dans les systmes as-servis. Remarquons cependant que ces caractristiques sont statiques : elles

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se

courbure

s s

e e

saturation seuil

s

e

s

e

hystrsis (jeu) commutateur toutourien

Fig. 1.1 Exemple de non linarits.

s s

e e

s

e

s

e

s

e

courbure avec hystrsis relais avec seuil seuil avec saturation

relais avec seuil et hystrsis relais avec hystrsis

Fig. 1.2 Combinaisons de non linarits.

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L(p)swe

non linaire

Fig. 1.3 Systme asservi non linaire canonique.

ne modlisent pas les phnomnes dynamiques comme des temps de com-mutation (relais ou transistor) ou des diffrences de comportement selon lesfrquences.

On peut classer les non-linairits en plusieurs catgories selon leurs pro-prits :

des non-linarits continues (courbures) ou discontinues (relais), des non-linarits avec ou sans mmoire (toutes celles avec hystrsis), des non-linarits accidentelles, cest--dire dues aux imperfections descomposants (saturation dun amplificateur, jeu), ou essentielles, cest--dire lies la nature mme du composant (relais).

1.4 Systmes asservis possdant un seul lment

non linaire

Dans de nombreux cas, un seul lment non linaire, et lon peut gn-ralement le sparer (hypothse de sparabilit) des autres lments linairesdu systme. On peut montrer que ltude de tels systmes un lment nonlinaire sparable peut toujours se ramener ltude dun systme non li-naire canonique, constitu dans la chane directe dun lment non linaireisol (bloc avec la double bordure) suivi dun systme linaire not L(p) (quiregroupe lensemble des termes linaires), et dun retour unitaire (Fig. 1.3).

1.5 Exemples de rduction

1.5.1 Exemple

Ainsi, il est facile de montrer que le systme de la figure 1.4 se rduit la forme de la figure 1.5. Pour cela, on procde par dplacement des blocslinaires en prenant garde de conserver le gain devant llment non linaire.Par exemple, lorsque lon dplace le bloc H(p), on le met la fois avant le

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+eH(p)

G(p)

F(p)s

Fig. 1.4 Systme asservi non rduit.

+FGH

e1/GHH(p)

s

Fig. 1.5 Systme asservi sous forme canonique.

sommateur et dans la boucle de retour. De cette faon, llment non linairedevient le premier bloc de la chane directe et, en entre de ce bloc, le signalprovenant de lentre e comme de la boucle de retour nest pas modifi.

Attention aux transformations interdites : on ne doit pas intervertir unbloc linaire avec un bloc non linaire, car la rponse de llment non linairedpend de lamplitude. Ainsi, le schma de la figure 1.4 ne peut pas tretransform dans le schma de la figure 1.6.

H(p)F(p)

+e

G(p)

s

Fig. 1.6 Transformation interdite de la figure 1.4.

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F G H

J

K

e s+ +

Fig. 1.7 Systme asservi rduire.

1.5.2 Exercice

Rduire la forme canonique le systme asservi de la figure 1.7.

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1.6 Mthodes dtudes des systmes asservis non

linaires

Dans ce cours, nous proposons deux mthodes dtude des systmes as-servis non linaires.

La mthode du premier harmonique est une gnralisation de la mthodeharmonique classique utilise pour les systmes linaires. Le principe consiste raliser une linarisation dans le domaine frquentiel afin de gnraliser lanotion de fonction de transfert au cas NL. Cest une mthode approche quisapplique pour des systmes une non-linarit sparable et qui supposeque la partie linaire du systme asservi se comporte comme un filtre passe-bas.

La mthode du plan de phase est un cas particulier (dimension 2) de lamthode trs gnrale de lespace de phase. Cette mthode est rigoureuseet permet dtudier des sytmes non linaires quelconques. En revanche,il est souvent difficile de trouver les solutions de faon analytique. Lintrtactuel de cette mthode est li la puissance des calculateurs, qui permettentdintgrer numriquement les quations et de calculer soit numriquementsoit graphiquement les solutions.

1.7 Notations

Dans ce document, la variable p est utilise comme variable de Laplace.Autrement dit, p = j o j est le nombre imaginaire pur, tel que j2 = 1,et reprsente une pulsation.

Le module et largument dun nombre complexe z seront nots |z| et zrespectivement. Les parties relle et imaginaire seront notes (z) et (z),respectivement.

On utilisera souvent les abbrviations suivantes : NL pour non linaire, SA pour systmes asservis.

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1.8 Rfrences

De nombreux ouvrages ont t crits sur les asservissements non linaires.Quelques rfrences sont disponibles la bibliothque universitaire, et en par-ticulier une rfrence franaise dont ce cours sest fortement inspir :

Christian Mira, Systmes asservis non linaires. : aspects continus et dis-crets, Herms, Paris, 1990

1.9 Plan du document

Outre cette introduction, ce cours est constitu de 2 parties. La premireest consacre la mthode du premier harmonique, la seconde la mthodedu plan de phase.

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Chapitre 2

Mthode du premier

harmonique

2.1 Principe

Lide consiste gnraliser la mthode de lanalyse harmonique utilisepour ltude de systmes linaires.

Pour un systme linaire, une excitation sinusodale de pulsation :x(t) = x1 sin(t) est associe une rponse sinusodale de mme pulsation :s(t) = s1 sin(t+ ).

En notation complexe, on peut crire x(t) = x0 exp(jt) et s(t) =s1 exp[j(t+)]. En notant p = j, la fonction de tranfert H(p) du systmelinaire est alors gale au rapport complexe :

H(p) =s(t)

x(t)=

s1x1

exp(j), (2.1)

que lon peut caractriser par le module :

|H(p)| = s(t)x(t)

= s1x1, (2.2)

et la phase :

H(p) = arg( s1x1

exp(j))= . (2.3)

Pour un systme NL, une excitation sinusodale de pulsation : x(t) =x1 sin(t) est associe une rponse priodique de priode T = 2/, mais

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non sinusodale. La rponse s(t) tant priodique, on peut la dvelopper ensries de Fourier. En supposant que la moyenne s0 de s(t) est nulle, on a :

s(t) = s1 sin(t+ 1) + s2 sin(2t+ 2) + . . .+ sk sin(kt+ k) + . . . (2.4)

Lapproximation du premier harmonique consiste conserver uniquementle premier terme en :

s(t) s1 sin(t+ 1), (2.5)les autres termes, en 2, 3, etc. tant supposs filtrs par le reste du sys-tme.

Par analogie au cas linaire, on peut introduire une fonction de trans-fert gnralise ou quivalente, note N(x1, ), qui dpend en particulier delamplitude du signal dentre. Le gain complexe quivalent scrit alors :

N(x1, ) =s1 exp[j(t+ 1)]

x1 exp(jt), (2.6)

et il est caractris par son module :

|N(x1, )| = s1x1, (2.7)

et sa phase :N(x1, ) = 1. (2.8)

Cette approche prsente deux diffrences essentielles par rapport lafonction de fransfert utilise pour les systmes linaires :

il sagit dune approximation dont il faudra vrifier le bien-fond, le gain complexe quivalent dpend de la pulsation et aussi de lampli-tude x1 de lexcitation.

2.2 Condition de validit

Il faut vrifier deux conditions pour pouvoir appliquer la mthode dupremier harmonique un systme asservi non linaire :

1. Condition de sparabilit : le SA possde un seul bloc NL quil estpossible disoler. Les autres lments sont supposs linaires, au moinsapproximativement.

2. Condition de filtrage : la partie linaire du SA, note globalement L(p),est un filtre passe-bas qui filtre les termes en 2 3, etc. ce qui rendacceptable lapproximation au premier harmonique (2.5) dans le calculdu dveloppement en sries de Fourier.

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Cette dernire condition est qualitative, mais de sa pertinence dpend laqualit de lapproximation.

2.3 Fonction de transfert gnralise

2.3.1 Reprsentation graphique

On considre la fonction de transfert gnralise N(x1, ) associe unlement NL. N(x1, ) peut tre reprsente graphiquement par une famillede lieux de tranfert gradus selon , chacun des lieux tant associ unevaleur de x1. Gnralement, puisque N(x1, ) est complexe, on la reprsentedans le plan de Nyquist ((N),(N)) ou dans le plan de Black (N, |N |dB).

2.3.2 Elment NL statique ou sans inertie

Le trac et lutilisation de la fonction de transfert gnralise est complexedans le cas gnral, car celle-ci est une fonction de 2 variables. On peutsouvent considrer que llment NL est statique (on dit aussi sans inertie)ne dpend pas de la pulsation . On peut alors crire :

N(x1, ) = N(x1). (2.9)

Cette simplification est possible pour les non-linarits prsentes danslIntroduction. La fonction de transfert gnralise est alors appele fonctiondamplitude ou gain complexe quivalent. Ce gain complexe quivalentN(x1)se reprsente par un lieu unique (et non plus une famille), gradu en x1, maison considre plutt le lieu critique C(x1) = 1/N(x1), pour des raisons quideviendront videntes lorsque nous aborderons les problmes de stabilit.

2.4 Calculs de gains complexes quivalents

On se propose de calculer les gains complexes quivalents de quelquesnon-linarits usuelles. La mthode gnrale de calcul est le dveloppementen sries de Fourier. On supposera que la non-linarit est statique et sy-mtrique (mais pas forcment impaire) par rapport 0. On suppose que lanon-linarit est excite par un signal de priode T = 1/f = 2/ de laforme : x(t) = x1 sin(t).

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2.4.1 Principe de calcul

Les coefficients de Fourier seront nots an pour les termes en cosinusdharmonique n, et bn pour les termes en sinus dharmonique n. En pra-tique, on se limitera bien entendu au calcul des termes dharmonique 1.

Proprits La symtrie de la non-linarit par rapport 0 implique quela moyenne est gale 0 :

a0 =1

T

T0

s(t)dt = 0 (2.10)

Dune faon gnrale, si la non-linarit est impaire, le dveloppement ensries de Fourier ne comporte pas de termes pairs, cest--dire de termes encosinus : an = 0, n.

Si la non-linarit est sans mmoire et symtrique, elle est impaire et parconsquent an = 0, n.

Dfinition des coefficients Les coefficients des termes a1 et b1 sont d-finis par :

a1 =2

T

T0

s(t) cos(t)dt (2.11)

et :

b1 =2

T

T0

s(t) sin(t)dt. (2.12)

En rponse x(t) = x1 sin(t), on obtient une rponse s(t) dont lap-proximation du premier harmonique vaut :

s(t) s1(x1) sin[t+ (x1)], (2.13)dans laquelle on a crit s1(x1) et (x1) pour insister sur le fait que lam-plitude et la phase du premier harmonique dpendent de lamplitude x1 delexcitation x(t). Dans la suite, pour allger les notations, on notera simple-ment s1 et 1, et on remplacera par =. En dveloppant (2.13), on a :

s(t) = s1

(sin(t) cos1 + cos(t) sin1

)= (s1 sin1) cos(t) + (s1 cos1) sin(t). (2.14)

On a finalement : {a1 = s1 sin1b1 = s1 cos1

(2.15)

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xs

x M- x M

- k x M

k x M

Fig. 2.1 Saturation. Pour |e| xM , la rponse est s = ke, avec k R+.

Gain complexe quivalent En notation complexe, on a{s(t) = s1 exp[j(t+ 1)]x(t) = x1 exp(jt)

(2.16)

do le gain complexe quivalement :

N(x1) =s(t)

x(t)=

s1x1

exp(j1) =s1x1

(cos1 + j sin1). (2.17)

En utilisant le rsultat (2.15), on a la formule :

N(x1) =b1x1

+ ja1x1. (2.18)

2.4.2 Gain complexe quivalent de la saturation

On dsire calculer le gain complexe quivalent de la saturation (Fig. 2.1).On fera le calcul pour k = 1.

On applique lentre une excitation sinusodale x(t) = x1 sin(t). Tantque |x(t)| xM , la sortie est gale lentre, cest--dire s(t) = x(t). Pour|x(t)| > xM , la saturation agit et on a s(t) = xM (Fig. 2.1)

Calcul

La saturation est une fonction impaire. On a donc a0 = a1 = 0. Il suffitde calculer le coefficient b1 du terme en sin(t) :

b1 =2

T

T0

x(t) sin(t)dt. (2.19)

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Mx

tT / 21t

Fig. 2.2 Rponse de la saturation une excitation sinusodale.

En raison des symtries, lintgrale peut tre calcule dans lintervalle [0, /4] :

b1 =8T

T/40 x(t) sin(t)dt

= 8T

[ t10 x1 sin

2(t)dt+ T/4t1

xM sin(t)dt] (2.20)

o t1 est tel que x1 sint1 = xM . En crivant sin2 u = (1 cos 2u)/2 et en

intgrant, on a :

b1 =8T

[ t10 x1

(1cos 2t)2 dt+

xM cost|

T/4t1

]= 4x1T (t1 sint1 cost1 ) + 8xMT cost1,

(2.21)

car T/4 = 2/4 = /2. En utilisant la dfinition de t1, on dduit sint1 =xM/x1 et t1 = arcsin(xM/x1)/. De lidentit cos

2 u + sin2 u = 1, on tirecost1 =

1 (xM/x1)2. Or langle t1 ]0, /2[, on dduit que cost1 >

0 et on choisit la dtermination positive : cost1 = +

1 (xM/x1)2. Ainsi,le coefficient b1 devient :

b1 =2x1

[arcsin (

xMx1

) +xMx1

1

(xMx1

)2]. (2.22)

Finalement, le gain complexe quivalent est gal :

N(x1) =b1x1

=2

[arcsin

(xMx1

)+xMx1

1 (xM

x1)2], (2.23)

pour x1 > xM (sinon le systme est linaire et N(x1) = 1).

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1x

)( 1xN

Fig. 2.3 Gain complexe quivalent de la saturation (xM = 2).

Trac du gain complexe quivalent

Il est facile de voir que le gain complexe vaut 1 pour x1 xM . En drivantN par rapport x1, on trouve :

dN

dx1= 4

xMx21

1

(xMx1

)2. (2.24)

On voit que la drive est ngative, par consquent le gain complexe qui-valent est une fonction dcroissante. On calcule ensuite la limite pour x1 xM :

limx1xM

N(x1) = 1, (2.25)

et pour x1 :lim

x1N(x1) = 0. (2.26)

Il est aussi facile de calculer le comportement asymptotique deN(x1), lorsquex1/xM 1 :

N(x1) 4

xMx1

, (2.27)

est une hyperbole.

Finalement, le trac est donn la figure 2.3 pour xM = 2.

Lieu critique

En pratique, ltude de lexistence dauto-oscillations et de la stabilitsappuie sur le lieu critique C(x1) = 1/N(x1) plutt que sur le gain com-plexe quivalent. Le gain complexe quivalent tant une fonction dcroissante

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1x ) )(( 1xC) )(( 1xCc r o i s s a n t

Fig. 2.4 Lieu critique C(x1) de la saturation.

x

w+ M

- M

- h / 2 + h / 2

Fig. 2.5 Relais sans seuil et avec hystrsis.

vrifiant 0 < N(x1) 1, le lieu critique est une fonction galement dcrois-sante comprise dans lintervalle ],1]. La valeur C(x1) = 1 est obtenuepour N(x1) = 1, et C(x1) lorsque x1 +. On trace usuellementle lieu critique dans un plan complexe (plan de Black ou Nyquist). La figure2.4 donne le trac de C(x1) dans le plan de Nyquist.

2.4.3 Gain complexe quivalent dun relais avec hystrsis

On dsire calculer le gain complexe quivalent du relais sans seuil et avechystrsis dont la caractristique est donne la figure 2.5.

On applique lentre une excitation sinusodale x(t) = x1 sin(t). Onsuppose que lon part avec w(t) = M . Tant que x(t) h/2, la sortiedu relais ne change pas. La commutation, M +M , se produit pourx(t) = h/2. Ensuite, tant que x(t) > h/2, la sortie de relais reste +M .La commutation, M M , se produit x(t) = h/2. Le relais reste danscette position tant que lentre natteint pas +h/2 (Fig. 2.6).

Calcul

En raison de lhystrsis, la sortie w(t) est dphase sur lentre x(t), cequi implique que les coefficients a1 et b1 sont non nuls.

Calculons dabord a1, qui vaut par dfinition :

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x ( t )

w ( t )

t

Mh / 2

- h / 2

t 1

Fig. 2.6 Rponse w(t) du relais hystrsis une excitation sinusodalex(t).

a1 =2

T

T0

w(t) cost dt,

=4

T

T/20

w(t) cost dt, (2.28)

car les deux fonctions w(t) et cost tant opposes sur les intervalles [0, T/2]et [T/2, T ], lintgrale totale est gale deux fois lintgrale sur le premier in-tervalle. Soit t1 la date de la commutation M +M , on peut dcomposerlintgrale :

a1 =4

T

[ t10

w(t) cost dt+

T/2t1

w(t) cost dt],

=4

T

[ t10

(M) cost dt+ T/2t1

M cost dt],

=4

T

[ M

sint1 +

M

(sin(T/2) sint1)

],

= 8MT

sint1,

car sinT/2 = sin = 0.Au temps t1, on a x(t1) = x1 sint1 = h/2, cest--dire sint1 =

h/(2x1) ; de plus, T = 2, puisque T est la priode associe la pulsa-tion . Finalement, on a :

a1 = 2Mhx1

. (2.29)

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Calculons maintenant b1 :

b1 =2

T

T0

w(t) sint dt,

=4

T

T/20

w(t) sint dt, (2.30)

car les deux fonctions w(t) et sint tant opposes sur les intervalles [0, T/2]et [T/2, T ], lintgrale totale est gale deux fois lintgrale sur le premierintervalle. En notant toujours t1 la date de la commutation M +M , onpeut crire :

b1 =4

T

[ t10

w(t) sint dt+

T/2t1

w(t) sint dt],

=4

T

[ t10

(M) sint dt+ T/2t1

M sint dt],

=4

T

[+M

(cost1 1) + M

( cos(T/2) + cost1)

],

=8M

Tcost1,

car cosT/2 = cos = 1.Il reste calculer cost1. Au temps t1, on a vu que sint1 = h/(2x1).

Par consquent, cos2 t1 = 1 sin2 t1, ce qui conduit aux deux solutions :

cost1 =

1( h2x1

)2. (2.31)

En ralit, puisque 0 < t1 < /2, cost1 > 0, et on ne conserve que lasolution positive, do finalement :

b1 =4M

1

( h2x1

)2. (2.32)

Trac du gain complexe quivalent

Le gain complexe quivalent scrit alors :

N(x1) =b1 + ja1

x1

=4M

x1

1

( h2x1

)2 j 2Mh

x21,

20

R eI m

+ 1x

2/1 hx 0

- 1

x 1 c r o i s s a n t

0 , 5

Fig. 2.7 Gain complexe quivalent du relais hystrsis dans le plan deNyquist.

=4M

x1

[1

( h2x1

)2 j h

2x1

]. (2.33)

On remarque facilement que le terme entre crochet est un nombre com-plexe de module unit. On en dduit facilement le module et largument dugain complexe quivalement :

|N(x1)| = 4Mx1

, (2.34)

N(x1) = arcsin( h2x1

). (2.35)

Remarquons que largument pourrait aussi tre exprim partir de larc-tangente, mais cela donnerait une expression plus complexe. On remarqueque largument prvoit un dphasage retard, ce qui se comprend intuitive-ment sur la figure 2.6 o la sortie du relais, w(t), est retarde (de (t1)) parrapport lentre x(t).

Lieu critique

Par dfinition, le lieu critique sexprime C(x1) = 1/N(x1). La forme ex-ponentielle complexe de N(x1) est ici particulirement intressante utiliseret conduit :

21

d BxC )( 1

e n )( A r g 1xCFig. 2.8 Lieu critique du relais hystrsis dans le plan de Black.

|C(x1)| = x14M

, (2.36)

C(x1) = + arcsin( h2x1

). (2.37)

Lexpression complexe est aussi trs simple. A partir de (2.36), on dduit :

C(x1) = x14M

[1

( h2x1

)2+ j

h

2x1,]

= x14M

1

( h2x1

)2 j h

8M. (2.38)

Le trac du lieu critique est trs simple dans le plan de Black (moduleen dB en fonction de la phase) comme dans le plan de Nyquist. Dans le plande Nyquist, on remarque notamment que la partie imaginaire est constante,gale h/8M , et que la partie relle, toujours ngative, tend vers lorsque x1 crot. Les tracs dans les deux reprsentations sont donnes auxfigures 2.8 et 2.9.

22

R e

I m

Mh8p

-

+ 1x2/1 hx

Fig. 2.9 Lieu critique du relais hystrsis dans le plan de Nyquist.

2.4.4 Gain complexe quivalent dun systme NL quelconque

Le gain complexe quivalent consiste calculer lapproximation du pre-mier harmonique. La mthode gnrale consiste calculer le dveloppementen srie de Fourier. Parfois, il est possible de calculer le terme du premier har-monique par un calcul trigonomtrique direct. Cest souvent le cas lorsque lanonlinarit est continue et sexprime sous la forme dune expression simple,notamment polynomiale.

Exercice : NL dfinie par une expression

On considre la nonlinarit telle que w(x) = kx(1 + x2). Montrer quele gain complexe quivalement est gal N(x1) = k(1 +

34x

21). On tracera

le gain complexe et le lieu critique en discutant selon les valeurs de .

23

xs

x M- x M

- k x M

k x M

+ M

- M

x

w

+ D / 2- D / 2

x

s

D / 2- D / 2

p e n t e k

x

s

D / 2- D / 2

p e n t e k

x M- x M

k ( x M - D / 2 )

x

s

h / 2- h / 2

p e n t e k

S a t u r a t i o n S e u i l S e u i l e t s a t u r a t i o n

H y s t r s i s

x

s

P l u s o u m o i n s

M

- MP l u s o u m o i n sa v e c s e u i l

x

s

P l u s o u m o i n sa v e c h y s t r s i s

M

- M

- h / 2 h / 2x

s

P l u s o u m o i n sa v e c s e u i l e t h y s t r s i s

M

- M

22h

-

D

22h

+

D

x

s

p e n t e k 1

N o n l i n a i r ep a r m o r c e a u x

p e n t e k 2

x M

k 1 x M

Fig. 2.10 Non-linarits usuelles dont les gains complexes quivalents sontdonns dans le tableau rcapitulatif.

2.4.5 Tableau rcapitulatif de gains complexes quivalents

Pour viter les calculs, on pourra utiliser la table ci-dessous, dont lesnotations sont les suivantes :

le gain complexe quivalent scrit N(x1) = NP (x1)+ jNQ(x1), o NPet NQ sont les composantes en phase et en quadrature,

x1 est lamplitude de lentre de la forme x(t) = x1 sin(t) la fonction f dsigne la fonction saturation dfinie par :

f(u) =

1 , pour u 12pi

[arcsinu+ u

1 u2

], pour |u| < 1

+1 , pour u 1(2.39)

Le tableau ci-dessous donne les gains complexes correspondant aux ca-ractristiques de la figure 2.10.

24

Non-linarit Gain complexe quivalent

NP = kf(xMx1

)Saturation

NQ = 0

NP = k[1 f

(2x1

)]Seuil

Nq = 0

NP = k[1 f

(xMx1

) f

(2x1

)]Seuil et saturation

NQ = 0

NP =k2

[1 + f

(1 hx1

)]Hystrsis

NQ = 2khpix1(1 h2x1

)NP =

4Mpix1

Plus ou moins

NQ = 0

Plus ou moins NP =4Mpix1

1

(2x1

)2avec seuil

NQ = 0

Plus ou moins NP =4Mpix1

1

(h2x1

)2avec

hystrsis NQ = 2Mhpix21

Plus ou moins NP =2Mpix1

[1

(+h2x1

)2+

1

(h2x1

)2]avec

seuil et hystrsis NQ = 2Mhpix21

Non linaire NP = (k1 k2)f(xMx1

)+ k2

par

morceaux NQ = 0

Tab. 2.1 Tableau rcapitulatif des gains complexes quivalents de non-linarits usuelles

25

2.5 Stabilit des systmes asservis non linaires

2.5.1 Conditions ncessaires dauto-oscillations

Dans le cas dun systme asservi possdant un seul lment non linaire,sparable, sans inertie et filtr, on peut se ramener au modle canonique(Fig. 1.3).

Dans ce modle, llment non linaire est remplac par son gain complexequivalent N(x1). En boucle ferme, la fonction de transfert gnralise peutscrire :

S

E=

N(x1)L(j)

1 +N(x1)L(j). (2.40)

Quelle que soit lentre e, la stabilit du systme dpend de la valeurdu dnominateur. On obtient la condition ncessaire dauto-oscillation enannulant le dnominateur de la fonction de tranfert (2.40) :

1 +N(x1)L(j) = 0. (2.41)

Chaque solution mathmatique de cette quation donne la pulsation 0et lamplitude (x1)0 dune auto-oscillation. On peut encore crire :

L(j) = 1N(x1)

= C(x1). (2.42)

Cette dernire relation, facile rsoudre graphiquement, montre que cessolutions sont les intersections entre les courbes reprsentatives de la partielinaire L(j) et du lieu critique C(x1). Le lieu critique C(x1) est de faonvidente une gnralisation de la notion de point critique, telle quelle estprsente dans ltude des systmes linaires.

Si les deux courbes, L(j) et C(x1), se coupent en un pointM(0, (x1)0)(voir Figure 2.11), la condition ncessaire dauto-oscillation est vrifie aupoint dintersection : il existe peut-tre une auto-oscillation de pulsation 0et damplitude (x1)0.

Pourquoi peut-tre ?

Parce que cette auto-oscillation, pour tre observable physiquement, nedoit pas tre fugitive. Cest--dire que si on modifie un peu lamplitude et/oula pulsation de lauto-oscillation, on doit revenir vers les solutions, 0 et(x1)0. On dit alors que lauto-oscillation est stable.

26

R eI m

0

x 1 c r o i s s a n t

L ( j w )

w c r o i s s a n t

C ( x 1 )

Fig. 2.11 Une auto-oscillation est dtermine par la solution de lqua-tion L(j) = C(x1), qui correspond graphiquement lintersection des deuxcourbes L(j) et C(x1).

2.5.2 Stabilit des auto-oscillations

On se place en un point dintersection, ((x1)0, 0), des deux courbesL(j) et C(x1). Sous lhypothse du premier harmonique, lauto-oscillationse rduit une oscillation sinusodale pure dexpression complexe x(t) =(x1)0 exp(j0t). Supposons qu linstant t = 0, on perturbe lauto-oscillationpar une petite variation de pulsation, , et par une petite variation dam-plitude, x1. Pour t > 0, on peut alors crire :

x(t) = ((x1)0 +x1) exp (j(0 +)t) exp(t), (2.43)o est un terme damortissement. Si > 0, lamplitude dcrot lorsque tcrot ; rciproquement, si < 0, lamplitude crot lorsque t crot. Par cons-quent, lauto-oscillation sera stable si lorsque t crot, x(t) revient vers lauto-oscillation initiale. Pour cela, dans (2.43), la perturbation damplitude, x1,et lamortissement, , doivent donc tre de mme signe.

Condition mathmatique gnrale

Puisque la fonction de transfert et le gain complexe quivalent sont desfonctions complexes, la condition de stabilit, L(j)N(x1) + 1 = 0 peutscrire :

X(, x1) + jY (, x1) = 0, (2.44)

o X(, x1) et Y (, x1) sont deux fonctions relles de deux variables relles.Finalement, la condition dauto-oscillation devient :{

X(, x1) = 0,Y (, x1) = 0.

(2.45)

27

Au voisinage du point ((x1)0, 0), on peut crire que la condition de stabilitreste satisfaite, cest--dire :

X(0++ j, (x1)0+x1)+ jY (0++ j, (x1)0+x1) = 0. (2.46)

En dveloppant au premier ordre au voisinage du point, et en tenantcompte du fait que X(0, (x1)0) = 0 et Y (0, (x1)0) = 0, on arrive auxquations :

X

( + j) +

X

x1x1 + j

Y

( + j) + j

Y

x1x1 = 0. (2.47)

En regroupant entre eux les termes rels et imaginaires, on arrive finale-ment au systme : {

X +

Xx1

x1 Y = 0Y +

Yx1

x1 +X = 0

(2.48)

En multipliant la premire quation par Y/ et la seconde parX/,puis en sommant les deux quations, on limine et il reste :(X

x1

Y

X

Y

x1

)x1 =

[(X

)2+(Y

)2]. (2.49)

De faon vidente, le terme de droite entre crochets est positif. Pour quela condition de stabilit soit satisfaite, puisque x1 et doivent tre demme signe, on doit donc satisfaire la condition :

X

x1

Y

X

Y

x1> 0. (2.50)

Condition pratique dans le plan de Nyquist

Nous avons vu que la dtermination des auto-oscilations peut se fairetrs simplement de faon graphique. Nous proposons ici de chercher unecondition pratique de stabilit. Nous nous plaons dans le plan de Nyquistet nous posons : {

L(j) = U() + jV ()C(x1) = P (x1) + jQ(x1).

(2.51)

Avec ces notations, la condition dauto-oscillation, L(j) = C(x1), scrit

U() P (x1) + j[V ()Q(x1)

]= 0. (2.52)

28

En identifiant avec lquation (2.44), on a :{X(, x1) = U() P (x1)Y (, x1) = V ()Q(x1). (2.53)

On peut maintenant calculer des drives partielles qui interviennent dansla condition de stabilit (2.50) qui devient alors :

Q

x1

U

V

P

x1> 0. (2.54)

En pratique, on reprsente les points (U, V ) et (P,Q) du plan complexecomme des vecteurs (U, V, 0)T et (P,Q, 0)T dun espace trois dimensions.Les tangentes aux courbes L(j) et C(x1) sont respectivement colinairesaus vecteurs :

tL =

UV0

et tC = x1

PQ0

. (2.55)La condition de stabilit (2.54) peut alors tre vue comme la condition

vectorielle sur les vecteurs tangentes :

tL tC > 0, (2.56)

cest--dire que les vecteurs tangente (tL,

tC) sont dans le sens direct.

Condition pratique dans le plan de Black

On ne fera pas les calculs dans le plan de Black. De faon similaire, onpourrait montrer que, dans le plan de Black, la condition est loppose celledu plan de Nyquist, cest--dire que les vecteurs tangente (

tL,

tC) sont dans

le sens rtrograde.

2.5.3 Auto-oscillations dans un asservissement relais

Si llment non linaire est un asservissement relais avec seuil et hyst-rsis, il peux exister plusieurs intersections entre la courbe reprsentative dulieu critique et celle de L(j). Cest le cas de la figure 2.12, o il existe deuxpoints dintersection M et M . En appliquant le critre de stabilit des auto-oscillations du paragraphe prcdent, on vrifie que le point M correspond une auto-oscillation stable, tandis que le point M est associ une auto-oscillation instable. Ceci signifie que lauto-oscillation associe M nest

29

R eI m

0x 1 c r o i s s a n t

L ( j w )

w c r o i s s a n t C ( x 1 )

M

M 'A

Fig. 2.12 Lexistence de deux intersections est possible selon la forme dela courbe C(x1). Dans ce cas, lune des intersections (M) correspond uneauto-oscillation stable, lautre (M ) une instable.

pas observable : en effet, sil existe une petite perturbation (amplitude oupulsation), on ne revient pas au point M , mais vers le point A (disparitionde lauto-oscillation) ou vers le point M (lauto-oscillation stable).

Si maintenant, le gain k de la partie linaire L(j) = kL(j) (k R)varie, les points dintersection se dplacent et peuvent disparatre (ou appa-ratre). A la figure 2.13, si k augmente, lintersectionM glisse vers la gaucheet peut disparatre. Il ny a plus quune auto-oscillation stable. Au contraire,si le gain k diminue, les deux points M et M se rapprochent, finissent partre confondus puis par disparatre pour k < kC , o kC est un gain critique.Selon les variations du gain, on observe que le comportement du systmepeut changer considrablement : ainsi kC correspond une frontire dangeu-reuse de stabilit car on passe brutalement de labsence dauto-oscillation une auto-oscillation stable.

Pour dautres types de nonlinarits (Figure 2.14), il nexiste quune in-tersection associe une auto-oscillation stable et la variation du gain modifiecontinuement les paramtres (amplitude et pulsation) de lauto-oscillation.Lorsque k < kc il ny a pas dauto-oscillation, lorsque k > kc lauto-oscillationapparat et ses paramtres varient progressivement lorsque k augmente : onparle alors de frontire non dangereuse de stabilit.

30

R eI m

0x 1 c r o i s s a n t

L * ( j w )

w c r o i s s a n t C ( x 1 )

M

M 'A

k L * ( j w )( k < 1 )

k L * ( j w )( k > 1 )

Fig. 2.13 Existence de deux auto-oscillations. Lorsque le gain k varie, lesauto-oscillations peuvent disparatre ou apparatre, et parfois brutalement.

R eI m

0

x 1 c r o i s s a n t

L * ( j w )

w c r o i s s a n tC ( x 1 )M

Ak L * ( j w )( k < 1 )

k L * ( j w )( k > 1 )

Fig. 2.14 Existence dune auto-oscillation. Lorsque le gain k varie, lauto-oscillation peut disparatre ou apparatre, mais ses paramtres varient pro-gressivement.

31

pTk11

1 + )1( 22pTp

k+

+ ++ + R e l a i s i d a l

k

- -

ee sr x w

Fig. 2.15 Asservissement non linaire. Le relais est idal : il commute auxpassages 0 vers les valeurs M .

x

w

- M

+ M

Fig. 2.16 La non linarit est un relais idal.

2.5.4 Exemple : dtermination mathmatique des auto-

oscillations

On considre lasservissement de la figure 2.15, dans lequel llment nonlinaire isol est un relais idal dont la caractristique est donne la figure2.16. On veut dterminer sil existe des auto-oscillations et si oui, quellessont leurs caractristiques.

Avant tout calcul, il faut justifier lutilisation de la mthode du premierharmonique : il ny a quun seul lment non linaire, spar, la condition defiltrage est a priori satisfaite par les blocs linaires passe-bas. Ceci tant, onpeut procder calculer les auto-oscillations :

graphiquement, aprs avoir mis lasservissement sous forme canonique(Fig. 2.17), calcul le gain complexe quivalent du relais et tudi lesintersections des courbes reprsentatives C(x1) et L(j).

analytiquement, en calculant les solutions mathmatiques de lquationL(j) = C(x1) et en tudiant leur stabilit.

32

+

++

kpTk

pTpk

11

22

1)1(++ R e l a i s i d a l

-

e sx wpTk11

1 + kpTk

+

+ 11

1

Fig. 2.17 Forme canonique de lasservissement non linaire de la figure2.15.

Dtermination analytique des solutions partir de la forme cano-

nique

La forme canonique montre clairement que les conditions dapplicationde la mthode du premier harmonique sont satisfaites :

llment non linaire est sparable, la partie linaire se comporte globalement comme un filtre passe-basdordre deux : la condition de filtrage est vrifie.

A partir de la reprsentation canonique, on crit la condition dauto-oscillationL(j)N(x1) + 1 = 0. Lexpression L(j) apparat directement sur la figure2.17 ; lexpression de N(x1) se calcule aisment par dveloppement en s-ries de Fourier (en observant, compte tenu de la forme impaire de la ca-ractristique, que le terme a1 = 0. Aprs un calcul simple

1, on arrive N(x1) = 4M/x1.

La condition dauto-oscillation scrit donc :

4M

x1

k2p(1 + T2p)

( k11 + T1p

+ k)+ 1 = 0. (2.57)

Aprs un calcul algbrique simple, on peut mettre cette expression sousla forme dune quation polynomiale en p :

T1T2p3 + (T1 + T2)p

2 +(1 + kk2T1

4M

x1

)p+ k2(k1 + k)

4M

x1= 0. (2.58)

En posant p = j, on peut crire cette quation sous la forme :

jT1T23 (T2 + T1)2 + j(1 + 4Mx1

k2kT1) +4M

x1k2(k1 + k) = 0. (2.59)

1on pourrait aussi trouver ce rsultat en faisant h/2 = 0 dans la relation (2.38)

33

En rassemblant les termes rels et imaginaires, on arrive la forme tho-rique X(, x1) + jY (, x1) = 0 :[4Mx1

k2(k1+k) (T2+T1)2]+ j[(1+

4M

x1k2kT1)T1T23

]= 0. (2.60)

On doit donc rsoudre le systme :{X(, x1) =

4Mpix1

k2(k1 + k) (T2 + T1)2 = 0Y (, x1) = (1 +

4Mpix1

k2kT1) T1T23 = 0 (2.61)

dont les solutions sont les couples (, x1) associs aux auto-oscillations. Onpeut liminer en multipliant la premire quation par T1T2 et la secondepar (T1 + T2)/, puis en sommant les deux, ce qui donne :

4Mx1

k2(k1 + k)T1T2 + (1 +4M

x1k2kT1)(T1 + T2) = 0,

4Mx1

k2k1T1T2 + (T1 + T2) +4M

x1k2kT

21 = 0,

4Mx1

k2T1(k1T2 kT1) + (T1 + T2) = 0.

On trouve alors :

(x1)0 =4M

k2T1(k1T2 kT1)T1 + T2

. (2.62)

En reportant la solution en x1 dans la premire quation2 de (2.61), on

trouve la solution en :

4M

[ 4M

T1 + T2k2T1(k1T2 kT1)

]k2(k1 + k) (T2 + T1)2 = 0, (2.63)

cest--dire, aprs simplification :

0 =

k1 + k

T1(k1T2 kT1) . (2.64)

Ces solutions mathmatiques ont un sens si les deux quantits x1 et sont positives, cest--dire si 0 < k < k1T1/T2.

2on choisit la plus simple

34

Dtermination analytique directe des solutions

On peut aussi procder analytiquement sans mettre lasservissement sousforme canonique. Les quations du systme sont :

r = k1s1+T1px = r ksw = (x)

s = k2wp(1+T2p) .

(2.65)

La troisime quation de (2.65) peut donc scrire :

w =4M

x1x. (2.66)

En calculant w en fonction de x laide des autres quations de (2.65),on trouve successivement :{

w = sp(1+T2p)k2x =

(k1s

1+T1p ks

).

(2.67)

Puis en combinant les deux quations de (2.67), on arrive :

w =4M

x1x = p(1 + T2p)

k2

1 + T1p

k1 + k + kT1px. (2.68)

Enfin, en simplifiant par x, on a :

4M

x1

k2(k1 + k + kT1p)

p(1 + T1p)(1 + T2p)= 1, (2.69)

qui est de la forme N(x1)L(j) = 1 (avec p = j) et identique lquation(2.57) trouve prcdemment.

Stabilit de lauto-oscillation

De plus, il faut vrifier que la solution mathmatique trouve au para-graphe prcdent a une ralit physique, cest--dire dire quelle est obser-vable ou stable au sens o nous lavons dfini prcdemment. Pour cela, onva vrifier si la condition de stabilit (2.50) de lauto-oscillation est satisfaite.Calculons dabord les drives partielles des parties relles et imaginaires de(2.61) par rapport x1 et :

X(,x1)x1

= 4Mpix2

1

k2(k1 + k) ;X(,x1)

= 2(T1 + T2)Y (,x1)

x1= 4M

pix21

k2kT1 ;Y (,x1)

= 1 +4Mpix1

k2kT1 3T1T22(2.70)

35

On calcule maintenant la condition CO :

CO(, x1) = X(,x1)x1Y (,x1)

X(,x1) Y (,x1)x1= 4M

pix21

k2(k1 + k)[1 + 4Mpix1k2kT1 32T1T2

]22(T1 + T2) 4Mpix1k2kT1

= k2 4Mpix21

[2T1(2kT1 3k1T2 kT2) + (k1 + k)

+ 4Mpix1k2kT1(k1 + k)].

(2.71)

Puisque lon tudie la condition au point solution de la condition dauto-oscillation, dans la dernire quation on remplace x1 et par les valeurstrouves (2.62) et (2.64) :

CO(0, (x1)0) = k2 4Mpix21

[k1+k

T1(T2k1T1k)T1(2kT1 3k1T2 kT2)

+(k1 + k) +T1+T2

k2T1(T2k1T1k)k2kT1(k1 + k)

]= k2 4Mpix2

1

[(k1 + k)

(2(kT1k1T2)T2(k1+k))(T2k1T1k)

+(k1 + k) +k(k2+k)(T1+T2)

(T2k1T1k)

]= k2 4Mpix2

1

[ (k1 + k) T2(k1+k)

2

(T2k1T1k)+ k(k1+k)(T1+T2)(T2k1T1k)

]= 4Mk2(k1+k)

pix21(T2k1T1k)

[ (T2k1 T1k)

T2(k1 + k) + k(T1 + T2)]

= 8Mk2(k1+k)pix2

1

= pik2(k1+k)(T1+T2)2

2M(T2k1T1k)2> 0

(2.72)On remarque que CO(0, (x1)0) est toujours positif. La condition de sta-

bilit est donc satisfaite. Lauto-oscillation dfinie par le couple (0, (x1)0)est stable.

2.6 Auto-oscillation dissymtrique

2.6.1 Gnralits

Les auto-oscillations dissymtriques se produisent si : llment nonlinaire est dissymtrique (Figure 2.18), il existe des perturbations avec une composante continue (ou quasi-continue), mme avec un lment non linaire symtrique.

36

+ M

- a M

x

w

Fig. 2.18 En raison des imperfections du composant, le relais est dissy-mtrique : les valeurs de commutation du relais ne sont pas opposes, maisvalent +M et M ( 6= 1). La sortie du relais comporte alors une compo-sante continue non nulle.

Dans les deux cas, la sortie w de llment non linaire prsente unevaleur moyenne non nulle. On peut lui associer le modle dentre suivant :

x(t) = x0 + x1 sint. (2.73)

Si llment non linaire est sans inertie (cest--dire si la caractristiquene dpend pas de ), on peut calculer lapproximation du premier harmo-nique de la sortie w(t) = (x0 + x1 sint) :

w(t) w0(x0, x1) + b1((x0, x1) sint+ a1((x0, x1) cost, (2.74)avec :

w0(x0, x1) =1T

T0 (x0 + x1 sint) dt,

b1(x0, x1) =2T

T0 (x0 + x1 sint) sint dt,

a1(x0, x1) =2T

T0 (x0 + x1 sint) cost dt.

(2.75)

2.6.2 Exemple : cas dun relais symtrique avec une entre

x0 + x1 sint

Llment non linaire est un relais seuil symtrique (Fig. 2.19) dontlentre comporte une composante continue : x(t) = x0 + x1 sint. La sortiedu relais w(t) suit la courbe de la figure 2.20 dont les instants de commutationsatisfont :

x0 + x1 sint1 =

2, avec 0 < t1 < T/4,

x0 + x1 sint2 =

2, avec T/4 < t2 < T/2,

37

+ M

- M

x

w

+ D / 2- D / 2

Fig. 2.19 Caractristique non linaire du relais seuil symtrique.

x0 + x1 sint3 = 2, avec T/2 < t3 < 3T/4,

x0 + x1 sint4 = 2, avec 3T/4 < t4 < T.

En tenant compte des symtries et en utilisant la dtermination princi-pale de la fonction arcsin, on a les relations :

t1 = arcsin( 2x0

2x1

),

t2 = t1,t3 = + arcsin

(+ 2x02x1

),

t4 = 2 arcsin(+ 2x0

2x1

).

Calculons maintenant lapproximation du premier harmonique de la sor-tie du relais, en commenant par la valeur moyenne w0(x0, x1) :

w0(x0, x1) =1

T

T0

w(t) dt,

=1

T

[ t2t1

M dt+

t4t3

(M) dt],

=M

T(t2 t1 t4 + t3),

=M

T

[ 2 arcsin

( 2x02x1

) + 2arcsin

(+ 2x02x1

)],

=M

[arcsin

(+ 2x02x1

) arcsin

( 2x02x1

)].

38

+ M

- M

t

w ( t )

x ( t )

t

+ D / 2

- D / 2T / 2 T1t 2t3t 4t

T / 2 T1t 2t3t 4t

0x

Fig. 2.20 Sortie du relais seuil symtrique en rponse un signal de laforme x0 + x1 sint.

39

+ M

x

w

D

D - hFig. 2.21 Caractristique du relais hystrsis non symtrique.

Compte tenu de la symtrie de la sortie sur chaque alternance, le coeffi-cient du terme en cost est nul : a1(x0, x1) = 0.

Calculons le coefficient b1(x0, x1) :

b1(x0, x1) =2

T

T0

w(t) sint dt,

=2

T

[ t2t1

M sint dt+

t4t3

(M) sint dt],

=2M

T( cost2 + cost1 + cost4 cost3),

=M

[2

1

( 2x02x1

)2+ 2

1

(+ 2x02x1

)2],

=2M

[1

( 2x02x1

)2+

1

(+ 2x02x1

)2].

Le calcul des cosinus partir des sinus exige de tenir compte de la d-termination. Pour t1 et t2, les sinus sont gaux : sint1 = sint2, et lescosinus valent : costi =

1 (sinti)2. Or les cosinus sont opposs :

cost1 = cost2, avec cost1 > 0. Il faut donc choisir la bonne dtermi-nation (signe) de chaque racine carre.

2.6.3 Exemple : cas dun relais hystrsis dissymtrique

Considrons maintenant le relais hystrsis de la Figure 2.21 dont lasortie prend les valeurs 0 ou M .

En raison de la dissymtrie du relais, lentre x(t) comprend une com-posante continue et sous lhypothse du premier harmonique peut scrire :x(t) = x0 + x1 sint. En rponse ce signal, la sortie w(t) est reprsente la figure 2.22. La commutation 0M a lieu au temps t1 tel que :

x0 + x1 sint1 = , (2.76)

40

+ Mt

w ( t )

x ( t )

tD - h

T / 2 T1t 2t

1t 2t

0x

D

Fig. 2.22 Rponse du relais non symtrique.

avec 0 < t1 < /2, do lon dduit :

sint1 = x0x1

, (2.77)

cost1 = +

1

( x0x1

)2, (2.78)

t1 = arcsin( x0

x1

)(2.79)

La commutation M 0 a lieu au temps t2 tel que :x0 + x1 sint2 = h, (2.80)

avec /2 < t2 < , do lon dduit :

sint2 = h x0

x1, (2.81)

cost2 =

1( h x0

x1

)2, (2.82)

t2 = arcsin( h x0

x1

). (2.83)

41

Calculons dabord la valeur moyenne w0(x0, x1) :

w0(x0, x1) =1

T

T0

w(t) dt,

=1

T

t2t1

M dt,

=M

T(t2 t1),

=M

T

[ arcsin

( h x0x1

) arcsin

( x0x1

)],

=M

2

[ arcsin

( h x0x1

) arcsin

( x0x1

)].

Calculons maintenant le coefficient b1(x0, x1) :

b1(x0, x1) =2

T

T0

w(t) sint dt,

=2

T

t2t1

M sint dt,

=2M

T( cost2 + cost1),

=M

[1

( h x0x1

)2+

1

( x0x1

)2].

Calculons enfin le coefficient a1(x0, x1) :

a1(x0, x1) =2

T

T0

w(t) cost dt,

=2

T

t2t1

M cost dt,

=2M

T(sint2 sint1),

=M

( h x0x1

x0x1

),

= Mhx1

.

42

+ +++

R e l a i s i d a l-

+e x w s)()(pQpR

)()(pQpS

g

Fig. 2.23 Asservissement avec perturbation.

2.6.4 Principe de dtermination des auto-oscillations

Les perturbations lentes sont modlises par un signal g trs bassefrquence, filtr par S(p)/Q(p)3. Le modle est reprsent la figure 2.23.

On peut donc crire les relations :x = e s,w = (x),

s = R(p)Q(p)w +S(p)Q(p)g,

(2.84)

qui donnent :Q(p)x+R(p)(x) = Q(p)e S(p)g. (2.85)

Pour tenir compte de la composante continue, on pose :

x = x0 + x, (2.86)

o x0 est le terme continu ou variation lente, et x est le terme harmonique

de la forme x = x1 sint. De plus, sous lhypothse du premier harmonique,la sortie de llment non linaire scrit :

(x) = w0(x0, x1) +N(x0, x1)x. (2.87)

Avec ces notations, lquation gnrale de lasservissement scrit :

Q(p)(x0 + x) +R(p)(w0(x0, x1) +N(x0, x1)x

)= Q(p)e S(p)g. (2.88)

3On peut toujours mettre ce filtre sous cette forme, avec le dnominateur Q(p) commun la partie linaire L(p) = R(p)/Q(p)

43

Elle peut alors tre dcompose en deux quations, lune correspondantaux termes continus (cest--dire pour p = j = 0), lautre aux termesharmoniques (p 6= 0) :{

Q(0)x0 +R(0)w0(x0, x1) = Q(0)e S(0)g,Q(p)x +R(p)N(x0, x1)x

= 0,(2.89)

car e et g, variations trs lentes, nont pas de composante harmonique. Onremarque que ces deux quations dpendent des 3 variables x0, x1 et . Lapremire quation dcrit les variations lentes de x0 et w0 en fonction de e etg ; la seconde dcrit les auto-oscillations (x1, ) autour de x0.

En regroupant les termes rels et les termes imaginaires, on peut crirela seconde quation sous la forme X(x0, x1, ) + jY (x0, x1, ) = 0, ce quirevient rsoudre le systme de deux quations trois inconnues :{

X(x0, x1, ) = 0,Y (x0, x1, ) = 0.

(2.90)

En rsolvant, on peux exprimer deux des variables en fonction de la troisime,par exemple : {

x1 = x1(x0), = (x0).

(2.91)

En reportant dans lexpression de w0(x0, x1) on obtient une fonction nedpendant plus que de la variable x0, que nous noterons w0(x0, x1) = F (x0).La premire quation peut alors scrire :

Q(0)x0 +R(0)F (x0) = Q(0)e S(0)g, (2.92)

qui ne dpend plus que de la variable x0. Aprs rsolution, on obtient doncles solutions sous la forme de triplets (x0, x1, ).

2.6.5 Exemple dun asservissement relais avec perturba-

tion lente

Reprenons lexemple du paragraphe 2.5.4 dans lequel nous ajoutons uneperturbation continue constante g(t) = g0 = cte filtre par 1/(p(1 + T2p))(Figure 2.24). Lentre est une rampe e(t) = e0t, o e0 est une constante.

44

pTk11

1 + )1( 22pTp

k+

+ ++ + R e l a i s i d a l

k

- -

ee sr x w +++

)1(12 pTp +

g 0

Fig. 2.24 Exemple dasservissement avec perturbation.

Equations

Ecrivons le systme dquations qui dcrit lasservissement : = e s,

(1 + T1p)r = k1,x = r ksw = (x),

p(1 + T2p)s = k2w + g0.

(2.93)

Des deux premires quations de (2.93), on limine :

r =k1(e s)1 + T1p

, (2.94)

et de la dernire, on tire :

s =k2w + g0p(1 + T2p)

. (2.95)

En reportant dans la troisime quation, on peut liminer r et s et ex-primer x uniquement en fonction de e et de g0 :

x =k1e

1 + T1p)(k +

k11 + T1p

) k2w + g0p(1 + T2p)

, (2.96)

que lon met sous la forme :

p(1+T2p)(1+T1p)x+k2(k+k1+kT1p)w = k1p(1+T2p)e(k+k1+kT1p)g0.(2.97)

45

La rampe dentre e(t) = e0t vrifie pe = e0 = cte. Ainsi, en posantx = x0 + x

, w = w0(x0, x1) +N(x0, x1)x, on dcompose lquation (2.97)

en deux quations, lune correspondant aux termes continus (p = 0) et lautreaux termes harmoniques (p 6= 0) :{

k2(k + k1)w0(x0, x1) k1e0 + (k + k1)(k2g0) = 0,p(1 + T2p)(1 + T1p)x

+ k2(k + k1 + kT1p)N(x0, x1)x = 0.

(2.98)

Solutions

En posant p = j, la seconde quation du systme (2.99) peut se mettresous la forme complexe X(x0, x1, ) + jX(x0, x1, ) = 0, et est quivalenteau systme :{

X(x0, x1, ) = (T1 + T2)2 + k2N(x0, x1)(k + k1) = 0,Y (x0, x1, ) = T1T23 +

(1 + kk2T1N(x0, x1)

)w = 0.

(2.99)

En liminant les termes en , on tire :

N(x0, x1) =T1 + T2

k2T1(k1T2 kT1) . (2.100)

De plus, le calcul du gain complexe quivalent du relais idal en prsence duterme continue x0 est gal :

N(x0, x1) =4M

x1)

[1

(x0x1

)2]1/2. (2.101)

En reportant dans lquation prcdente, on a alors lquation :

4M

x1

[1

(x0x1

)2]1/2=

T1 + T2k2T1(k1T2 kT1) , (2.102)

qui ne fait intervenir que x0 et x1. On peut donc calculer la solution x1(x0).Pour cela, posons :

x1 =4Mk2T1(k1T2 kT1)

(T1 + T2), (2.103)

(x1 correspond la solution pour x0 = 0), lquation (2.102) scrit :[1

(x0x1

)2]1/2=x1x1. (2.104)

46

En levant au carr et en dveloppant, on a :(x0x1

)2+(x1x1

)2= 1(x1

x1

)4(x1x1

)2+(x0x1

)2= 0. (2.105)

En posant (x1/x1)2 = U et (x0/x1)

2 = C > 0, on a lquation bicarre :

U2 U + C = 0, (2.106)dont les solutions relles sont :

U =11 4C

2, (2.107)

pourvu que le discriminant soit positif : = 1 4C > 0, ou de faon qui-valente |x0/x1| < 1/2.

On utilise maintenant le calcul de la valeur moyenne :

w0(x0, x1) =2M

arcsin

(x0x1

), (2.108)

dans laquelle on doit liminer la valeur de x1 partir du rsultat prcdent.Pour que le relais change dtat, il faut que x1 > |x0|. En utilisant lqua-

tion (2.105), posons alors sin(/2) = x0/x1 et cos(/2) = x1/x1. En effet,lidentit sin2(/2) + cos2(/2) = 1 est identique lquation (2.105) :(x0

x1

)2+(x1x1

)2= 1. (2.109)

Calculons alors sin :

sin = 2 sin(/2) cos(/2)

= 2x0x1

x1x1,

=2x0x1

. (2.110)

En reportant dans lexpression de w0(x0, x1) (2.108), on trouve :

w0(x0, x1) =2M

arcsin(sin(/2)),

=M

,

=M

arcsin(sin),

=M

arcsin

(2x0x1

). (2.111)

47

+ M / 2x 0

w 0

- M / 22/1x

2/1x-

Fig. 2.25 Valeur moyenne w0 en fonction de la perturbation continue x0.

++ R e l a i s i d a l-

e sx w)1( 1 pTp

k+

++-

R e l a i s s e u i l

1 / py

z

Fig. 2.26 Asservissement deux non linarits.

Cette formule est valable pour |x0| x1/2. Pour |x0| > x1/2 (discrimi-nant de lquation bicarre ngatif), le relais ne peut pas changer dtat etil ny a plus dauto-oscillations. Lallure de la fonction w0(x0, x1) est donne la figure 2.25.

2.7 Asservissement plusieurs non linarits

Il ny a pas de mthode gnrale pour tudier les systmes plusieursnon linarits. Lide consiste essayer de fusionner les lments non linairesafin de se ramener un systme canonique. Nous allons illustrer cette idesur un exemple.

2.7.1 Systme tudi

Considrons lasservissement de la figure 2.26 qui possde deux lmentsnon linaires dont les caractristiques sont prcises la figure 2.27. Lesvaleurs de commutation du relais idal sont M . Le relais seuil commutede 0 vers M lorsque lentre atteint /2.

48

xy

- M

+ M + M

- M

w

z

+ D / 2- D / 2

Fig. 2.27 Caractristiques des deux relais du systme 2.26.

2.7.2 Non linarit quivalente

On se place sous lhypothse du premier harmonique4, cest--dire quelexcitation x est suppose de la forme x(t) = x1 sint. Lobjectif est detrouver la non-linarit quivalente au bloc entour en pointill.

La sortie y du relais idal est donc un signal carr dont les commutationsse font au passage par zro de x.

Devant lintgrateur, on a alors y z = y si z = 0, cest--dire tant que|w(t)| < /2. La sortie w vaut alors :

w(t) =

y(t)dt = Mt+ cte, (2.112)

le signe dpendant de la sorite y du relais idal.

Lorsque |w(t)| = /2, la sortie z du relais seuil passe M . De faonplus prcise,

si le relais idal est y = +M , la sortie de lintgrateur vaut w(t) =+Mt + cte jusqu w(t) = +/2 qui entrane la commutation z =+M . Lentre de lintgrateur vaut alors y z = 0 si bien que la sortiede lintgrateur w reste constante : w(t) = +/2, jusquau changementdtat du relais idal. Lorsque celui-ci commute M , lentre delintgrateur vaut (pendant un trs bref instant) y z = M M =2M , la sortie de lintgrateur diminue et z commute vers 0 et entraney z = M .

4La partie linaire se comporte comme un filtre passe-bas dordre 2 : la condition defiltrage est satisfaite

49

tx , y e t w

- M

+ M+ D / 2

- D / 2

xyw

t 1

Fig. 2.28 Caractristique quivalente w(t) (trait plein) des deux relais etde lintgrateur du systme 2.26. Lexcitation x(t) est en pointill, la sortiey du relais est en tirets.

si le relais idal est y = M , la sortie de lintgrateur vaut w(t) =Mt + cte jusqu w(t) = /2 qui entrane la commutation z =M . Lentre de lintgrateur vaut alors (pendant un trs bref instant)y z = 0 si bien que la sortie de lintgrateur w reste constante :w(t) = /2, jusquau changement dtat du relais idal. Lorsquecelui-ci commute +M , lentre de lintgrateur vaut y z = +M (M) = +2M , la sortie de lintgrateur augmente et z commute vers0 entranant y z = +M .

On remarque quen raison de lintgrateur, le signal w(t) dpend de lapulsation de lexcitation. De plus, on voit facilement que w(t) est dphaspar rapport x(t). Le gain complexe quivalent est donc complexe et de laforme N(x1, ).

2.7.3 Calcul du gain complexe quivalent

En raison de la symtrie, la valeur moyenne de w(t) est nulle. Calculonsles termes b1 et a1.

b1 =2

T

T0

sin(t)w(t) dt,

50

=4

T

T/20

sin(t)w(t) dt,

=4

T

[ t10

sin(t) (Mt/2) dt+ T/2t1

sin(t) (/2) dt],

=4

T

[M

t10

t sin(t) dt (/2) t10

sin(t) dt+ (/2)

T/2t1

sin(t) dt],

=4

T

[M

[ t cost

]t10+M

t10

cos(t) dt

+

2

[cost

]t10

2

[cost

]T/2t1

],

=4

T

[ M

t1 cost1 +

M

2sint1 +

cost1

],

=4

T

M

2sint1,

=2M

sint1. (2.113)

Dans la suite, on posera sint1 = sin(2), et on utilisera :

b1 =2M

sin 2. (2.114)

De faon similaire, on calcule a1 :

a1 =2

T

T0

cos(t)w(t) dt,

=4

T

T/20

cos(t)w(t) dt,

=4

T

[ t10

cos(t) (Mt/2) dt+ T/2t1

cos(t) (/2) dt],

=4

T

[M

T/20

t cos(t) dt (/2) t10

cos(t) dt+ (/2)

T/2t1

cos(t) dt],

=4

T

[M

[t sint

]t10 M

t10

sin(t) dt

2

[sint

]t10+

2

[sint

]T/2t1

],

=4

T

[Mt1 sint1 +

M

2(cost1 1)

sint1

]. (2.115)

En remarquant quau temps t1, on a w(t1) = /2 = Mt1/2, cest--dire t1 = /M , on peut simplifier la dernire relation :

51

a1 =4

T

M

2(cost1 1),

=2M

(cos 2 1),

= 4M

sin2 . (2.116)

Le gain complexe quivalent du bloc pointill scrit donc :

N(x1, ) =b1 + ja1

x1,

=2M

x1(sin 2 2j sin2 ). (2.117)

2.7.4 Dtermination des auto-oscillations

Les auto-oscillations sont les couples (x1, ) satisfaisant lquation L(j) =1/N(x1, ) :

k

j(1 + jT1)= x1

2M(sin 2 2j sin2 ) . (2.118)

Or = t1/2 = /2M , on arrive lquation complexe :

2kM(sin 2 2j sin2 ) + 2Mx1

(j T12) = 0(sin 2 x12T1

k

)+ j(x1

k 2 sin2

)= 0, (2.119)

qui est quivalent au systme :{sin 2 = x1

2 piT1k

2 sin2 = x1pik .

(2.120)

En utilisant sin 2 = 2 sin cos, on a :{2 sin cos = x1

2 piT1k

2 sin2 = x1pik ,

(2.121)

puis en divisant la seconde quation par la premire :

tan =

2MT1. (2.122)

52

wp / 2

t g w1 / w

V a l e u r s s u c c e s s i v e s c a l c u l e s p a r t i r d el a v a l e u r i n i t i a l e w = p / 4 . O n p r e n d r a c o m m e s o l u t i o n : w = 0 , 8 6 .

w 1 / w A r c t g ( 1 / w )0 , 7 8 1 , 2 7 0 , 9

0 , 9 1 , 1 0 6 0 , 8 3 6

0 , 8 3 6 1 , 1 9 6 0 , 8 7 5

0 , 8 7 5 1 , 1 4 3 0 , 8 5 2

0 , 8 5 2 1 , 1 7 4 0 , 8 6 5

0 , 8 6 5 1 , 1 5 6 0 , 8 5 8

0 , 8 5 8 1 , 1 6 6 0 , 8 6 2

0 , 8 6 2 1 , 1 6 0 , 8 5 9

0 , 8 5 9 1 , 1 6 4 0 , 8 6 1

0 , 8 6 1 1 , 1 6 2 0 , 8 6

Fig. 2.29 Rsolution idrative de lquation tan = 1/.

Cette quation peut tre rsolue graphiquement ou itrativement (Fig.2.29). Avec les valeurs numriques T1 = 1s, k = 3, 14, M = 1 et = 2,lquation (2.123) se rduit :

tan =1

, (2.123)

dont la solution est = 0, 86 rd/s. On en dduit ensuite x1 en reportantdans une des deux quations du systme (2.121) :

x1 =4 sin2

2= 3, 11. (2.124)

Il faudrait ensuite vrifier (ce que lon admettra) que cette auto-oscillationest stable.

2.8 Conclusions sur la mthode du premier harmo-

nique

La mthode du premier harmonique est une mthode applicable lacondition que les parties non linaire et linaire de lasservissement soient

53

sparables et que la partie linaire se comporte comme un filtre passe-bas.

Cest une mthode approche, puisquelle nglige les termes harmoniquesdordre suprieur 1, mais elle est malgr tout prcise si ces conditions sontvrifies.

54

Chapitre 3

Mthode du plan de phase

3.1 Introduction

La mthode du plan de phase est un cas particulier de la mthode delespace de phase, dans le cas o lespace est de dimension 2. Cette mthodesapplique de faon trs gnrale tout systme dcrit par un ensembledquations diffrentielle. En revanche, il nexiste pas toujours de solutionsanalytiques aux trajectoires calcules dans lespace des phase. Cette m-thode, connue depuis longtemps, connat un regain dintrt li aux perfor-mances des calculateurs actuels qui rendent possible le calcul des trajectoiressolutions par intgration numrique. Dans le cadre des systmes asservis nonlinaires, cette mthode est exacte et ne suppose pas de condition particu-lire, contrairement la mthode du premier harmonique.Ce chapitre est organise en deux parties principales. La premire prsenteles fondements mathmatiques. La seconde partie propose une tude appro-fondie dans le cas dasservissements relais.

3.2 Fondements mathmatiques

3.2.1 Principe gnral

On considre un systme physique dcrit par le systme dquations dif-frentielles de la forme :

dxi(t)

dt= Xi(x1, x2, . . . , xn), 1 i n, (3.1)

avec n conditions initiales xi(0) = xi0.

55

Lespace de dimension n rapport aux variables xi est appel espace dephase. Dans cet espace, les conditions initiales correspondent un point M0,et la solution pour t > 0 est de la forme M(t) = (x1(t), . . . , xn(t))

T : cestune trajectoire dans lespace de phase.

La dtermination de cette trajectoire est une mthode rigoureuse dtudede systmes non linaires. Elle est particulirement simple mettre en oeuvrelorsquil sagit dasservissements non linaires dcrits par des quations dif-frentielles non linaires dordre 2 : dans ce cas, lespace des phase se rduit un espace de dimension 2 : le plan de phase.

Les fonctions Xi(x1, x2, . . . , xn) sont en gnral non linaires et le calculanalytique de M(t) est souvent impossible. Cependant, les calculateurs ac-tuels permettent de rsoudre ces quations par intgration numrique. Dansla suite, on restreindra ltude au cas n = 2.

3.2.2 Points singuliers

On considre dans cette partie un systme physique, par exemple unsystme asservi, dcrit par un systme diffrentiel de forme canonique :{

x1(t) = X1(x1, x2),x2(t) = X2(x1, x2).

(3.2)

Dans le plan de phase lquation des trajectoires est la solution de lqua-tion diffrentielle du premier ordre :

dx2dx1

=X2(x1, x2)

X1(x1, x2), (3.3)

avec deux conditions initiales.

Dfinition de point singulier

Lquation (3.3) prcise de faon unique la tangente en chaque point dela trajectoire, sauf aux points singuliers. Do la dfinition :

Dfinition 3.2.1 Etant donn le systme canonique (3.2), (x10, x20) est unpoint singulier si {

X1(x10, x20) = 0,X2(x10, x20) = 0.

(3.4)

56

En effet, en un tel point, le rapport dx2dx1 nest pas dfini.

On montre lunicit de la tangente dans un domaine (D) si : X1(x1, x2) etX2(x1, x2) sont uniformes, bornes et continues dans (D), leurs drives partielles sont bornes dans ce domaine sauf aux pointssinguliers (conditions de Lipschitz1).

Les points singuliers sont des positions dquilibre du systme. En effet,{X1(x1, x2) = x1(t) = 0 = la vitesse de x1 est nulleX2(x1, x2) = x2(t) = 0 = la vitesse de x2 est nulle. (3.5)

Ce point singulier sera stable si toutes les trajectoires de phase concourentvers ce point, instable dans le cas contraire, cest--dire si certaines (il ensuffit dune) trajectoires sen cartent.

3.2.3 Cas dune quation diffrentielle dordre 2

Soit un systme dcrit par une quation diffrentielle dordre 2, de laforme :

d2x

dt2+A(x)

dx

dt+B(x)x = F (x). (3.6)

Il est facile de montrer que cette quation se met sous la forme canonique(3.2). En effet, posons y = dx/dt, lquation (3.7) devient :

dy

dt+A(x)y +B(x)x = F (x). (3.7)

Lquation est donc quivalente au systme canonique :{ dxdt = ydydt = A(x)y B(x)x+ F (x).

(3.8)

Dans ce cas, le plan de phase est le plan de coordonnes (x, y) avecy = dx/dt.

3.2.4 Stabilit en un point singulier

Soit (x10, x20) un point singulier. Nous choisissons ce point singuliercomme nouvelle origine du plan. On peut alors crire :{

x1 = x10 + x1x2 = x20 + x2.

(3.9)

1Rudolf Lipschitz : mathmaticien allemand 1832 1903

57

De plus, nous supposons que X1(x1, x2) et X2(x1, x2) sont continuementdrivables au voisinage du point singulier. Sous cette hypothse, on peutlinariser le systme canonique au voisinage du point singulier, en faisant undveloppement au premier ordre :{

d(x10+ex1(t))dt = X1(x10, x20) +

X1x1

x1 +X1x2

x2 +O(x1, x2)d(x20+ex2(t))

dt = X2(x10, x20) +X2x1

x1 +X2x2

x2 +O(x1, x2).(3.10)

Puisque (x10, x20) est un point singulier,X1(x10, x20) = X2(x10, x20) = 0.De plus, x10 et x20 tant des constantes, on a d(x10 + x1(t)/dt = dx1(t)/dtet d(x20 + x2(t)/dt = dx2(t)/dt. A partir de ces remarques et en ngligeantles termes dordre suprieur, le systme ci-dessus se simplifie :{

dex1(t)dt =

X1x1

x1 +X1x2

x2dex2(t)dt =

X2x1

x1 +X2x2

x2.(3.11)

En notant X = (x1, x2)T et en introduisant la matrice Jacobienne J :

J =

(X1x1

X1x2

X2x1

X2x2

), (3.12)

on peut mettre lquation (3.11) sous forme vectorielle :

dX

dt= JX. (3.13)

Le systme (3.13) est un systme diffrentiel linaire coefficients constantqui dcrit le comportement du systme au voisinage du point singulier (x10, x20).

3.2.5 Rappel sur la rsolution dun systme diffrentiel li-

naire

Rappelons brivement la mthode de rsolution dun systme difrentiellinaire coefficients constants, de la forme :

dX

dt=MX, (3.14)

o M est une matrice carre.

On cherche des solutions de la forme :

X = exp(t), (3.15)

58

o et sont respectivement un vecteur et un scalaire dterminer. Aveccette forme de solution, on dduit :

dX

dt= exp(t). (3.16)

En reportant dans le systme (3.14), cette solution doit satisfaire (t) larelation :

exp(t) =M exp(t), (3.17)

cest--dire :(M I) = 0, (3.18)

o I reprsente la matrice identtit. Cette quation a une solution non triviale(diffrente de = 0) si et seulement si det(M I) = 0.

Les solutions et sont donc les vecteurs et valeurs propres de la ma-trice M.

Pour les calculer, dterminons dabord partir de lquation caract-ristique (dveloppe ici dans le cas o M est de dimension 2) :

det(M I) = 0 m11 m12m21 m22 = 0

(m11 )(m22 )m12m21 = 02 (m11 +m22)+ (m11m22 m12m21) = 0.

(3.19)

Cette quation polynomiale de degr 2 coefficients rels possde 2 solutionsdans C, que nous noterons 1 et 2. En reportant chacune de ces valeurs idans lquation (3.18), on calcule les vecteurs propres i associs, solutionsde :

(M iI) = 0. (3.20)Les solutions du systme sont alors de la forme :

X(t) = C11 exp(1t) + C22 exp(2t), (3.21)

o C1 et C2 sont deux constantes arbitraires.

3.2.6 Nature des points singuliers

En rsolvant le systme diffrentiel (3.13), dont les solutions sont lesvaleurs et vecteurs propres de la matrice Jacobienne J, on trouve donc lasolution :

X(t) = C11 exp(1t) + C22 exp(2t), (3.22)

59

qui dcrit les trajectoires solutions au voisinage du point singulier. Pour quele point singulier soit stable, il faut quasymptotiquement, cest--dire pourt +, toute trajectoire revienne au point initial, cest--dire X(t) 0.Cette condition est vrifie si et seulement si les valeurs propres 1 et 2ont des parties relles ngatives. Ltude des valeurs propres permet ainsi decaractriser lallure gnrale des trajectoires autour dun point singulier.

Les valeurs propres sont relles et ngatives

On suppose pour la discussion que 1 < 2 < 0. On sait que toutes lestrajectoires convergent vers le point : le point singulier est un point dqui-libre stable du systme.

Pour tudier de faon plus prcise lallure des trajectoires, supposons quelon choisisse la trajectoire telle que C2 = 0 :

X(t) = C11 exp(1t), (3.23)

que lon peut crire :

x1(t) = C1(1)1 exp(1t),

x2(t) = C1(1)2 exp(1t), (3.24)

o (j)i est la composante i du vecteur propre j . Dans le plan de phase,la trajectoire est porte par la droite

x2 =(1)2(1)1

x1, (3.25)

et converge vers le point singulier lorsque t crot.

Avec un calcul similaire, pour la condition C1 = 0, on trouve que latrajectoire est porte par la droite :

x2 =(2)2(2)1

x1, (3.26)

et converge aussi vers le point singulier, lorsque t crot.On remarque que ces deux droites sont colinaires aux deux vecteurs

propres 1 et 2.

60

Considrons maintenant une trajectoire quelconque (C1 et C2 sont dif-frents de zro). Initialement, cest--dire pour t , on a exp(1t) exp(2t) et par consquent :

x1(t) C1(1)1 exp(1t),x2(t) C1(1)2 exp(1t), (3.27)

cest--dire que les trajectoires partent de la direction asymptotique du vec-teur propre 1 :

x2 =(1)2(1)1

x1. (3.28)

Avec un raisonnement similaire, pour t +, on a exp(2t) exp(1t)et par consquent :

x1(t) C2(2)1 exp(2t),x2(t) C2(2)2 exp(2t), (3.29)

cest--dire que les trajectoires tendent vers la direction asymptotique duvecteur propre 2 lorsque t + :

x2 =(2)2(2)1

x1. (3.30)

Un tel point est appel un noeud stable. Lallure des trajectoires en untel point est indique la figure 3.1.

Les valeurs propres sont relles et positives

On suppose pour la discussion que 1 > 2 > 0. On sait que toutes lestrajectoires divergent : le point singulier est un point dquilibre instable dusystme.

Pour tudier de faon plus prcise lallure des trajectoires, considrons latrajectoire telle que C2 = 0 :

X(t) = C11 exp(1t), (3.31)

que lon peut crire :

x1(t) = C1(1)1 exp(1t),

x2(t) = C1(1)2 exp(1t), (3.32)

61

d i r e c t i o nd e L

2

d i r e c t i o nd e L

1

Fig. 3.1 Toutes les trajectoires dun noeud stable concourrent vers le pointsingulier.

o (j)i est la composante i du vecteur propre j . Dans le plan de phase,la trajectoire est porte par la droite

x2 =(1)2(1)1

x1, (3.33)

et sloigne du point singulier lorsque t crot.Avec un calcul similaire, pour la condition C1 = 0, on trouve que la

trajectoire est porte par la droite :

x2 =(2)2(2)1

x1, (3.34)

et sloigne aussi du point singulier lorsque t crot.

Considrons maintenant une trajectoire quelconque (C1 et C2 sont dif-frents de zro). Initialement, cest--dire pour t , on a exp(2t) exp(1t) et en ngligeant les termes en exp(1t), on a :

x1(t) C2(2)1 exp(2t),x2(t) C2(2)2 exp(2t), (3.35)

cest--dire que les trajectoires partent de la direction asymptotique :

x2 =(2)2(2)1

x1. (3.36)

62

d i r e c t i o nd e L

2

d i r e c t i o nd e L

1

Fig. 3.2 Les trajectoires dun noeud instable sloignent du point singulier.

Avec un raisonnement similaire, pour t +, on a exp(1t) exp(2t)et par consquent :

x1(t) C1(1)1 exp(1t),x2(t) C1(1)2 exp(1t), (3.37)

cest--dire que les trajectoires suivent la direction asymptotique du vecteurpropre 1 lorsque t + :

x2 =(1)2(1)1

x1. (3.38)

Un tel point est appel noeud instable. Lallure des trajectoires en un telpoint est indique la figure 3.2.

Les valeurs propres sont relles et de signes contraires

On suppose pour la discussion que 1 < 0 < 2. Puisquune des valeurspropres est positive, on sait que le point singulier est un point dquilibreinstable du systme.

Pour tudier de faon plus prcise lallure des trajectoires, considrons latrajectoire telle que C2 = 0 :

X(t) = C11 exp(1t), (3.39)

63

dont la trajectoire, porte par la droite :

x2 =(1)2(1)1

x1, (3.40)

converge (car 1 < 0) vers le point singulier lorsque t crot.

De mme, pour la condition C1 = 0, on trouve que la trajectoire estporte par la droite :

x2 =(2)2(2)1

x1, (3.41)

et sloigne (car 2 > 0) du point singulier lorsque t crot.

Considrons maintenant une trajectoire quelconque (C1 et C2 sont dif-frents de zro). Initialement, cest--dire pour t , on a exp(1t) exp(2t) et par consquent :

x1(t) C1(1)1 exp(1t),x2(t) C1(1)2 exp(1t), (3.42)

cest--dire que les trajectoires partent de la direction asymptotique :

x2 =(1)2(1)1

x1. (3.43)

Avec un raisonnement similaire, pour t +, on a exp(2t) exp(1t)et par consquent :

x1(t) C2(2)1 exp(2t),x2(t) C2(2)2 exp(2t), (3.44)

cest--dire que les trajectoires suivent la direction asymptotique du vecteur2 pour t + :

x2 =(2)2(2)1

x1. (3.45)

Un tel point (instable) est appel col ou selle. Lallure des trajectoiresest indique la figure 3.3.

64

d i r e c t i o nd e L

2

d i r e c t i o nd e L

1

Fig. 3.3 Les trajectoires dun col sloignent du point singulier.

Les valeurs propres sont complexes

Les coefficients de lquation caractristique tant rels, les racines sontcomplexes conjugues, cest--dire de la forme 1 = h+ j et 2 = h j.Les solutions scrivent : x1(t) = expht

[C1(1)1 exp(jt) + C2(2)1 exp(jt)

],

x2(t) = expht[C1(1)2 exp(jt) + C2(2)2 exp(jt)

].

(3.46)

En posant exp(jt) = cost+ j sint, ces quations deviennent : x1(t) = expht[C11 cost+ C12 sint

],

x2(t) = expht[C21 cost+ C22 sint

],

(3.47)

avec C11 = C1(1)1+C2(2)1, C12 = j(C1(1)1C2(2)1), C21 = C1(1)2+C2(2)2 et C22 = j(C1(1)2 C2(2)2).

Pour h < 0, la trajectoire est une spirale dont le rayon dcrot, cest--dire tend vers 0 : la trajectoire converge vers le point singulier (Fig. 3.4.a).Le point singulier est alors un foyer stable.

Pour h > 0, la trajectoire est une spirale dont le rayon crot, cest--diretend vers + : la trajectoire diverge du point singulier (Fig. 3.4.b). Le pointsingulier est alors un foyer instable.

65

a b

Fig. 3.4 Les trajectoires au voisinage dun foyer sont des spirales conver-gentes pour les foyers stables (a) ou divergentes pour les foyers instables(b).

Cas o h = 0

Dans ce cas, les trajectoires sont des ellipses centres autour du pointsingulier. Dun point de vue physique, la valeur h = 0 signifie que le systmeest sans perte (systme conservatif), ce qui nest pas possible. En ralit, onse trouve dans un cas critique de Liapunov qui est d au fait que lapproxi-mation du premier ordre au voisinage du point singulier nest pas suffisante.Il faudrait alors reprendre lcriture des quations avec un dveloppement lordre 2.

Autres cas

Dautres cas particuliers (une valeur propre nulle, valeurs propres iden-tiques, etc.) pourraient tre tudis, mais seront luds dans ce cours. Cesont notamment le cas o les deux valeurs propres sont identiques et celuio une des valeurs propres est nulle.

3.2.7 Segments singuliers

Si le systme, X1 = 0 et X2 = 0, admet pour solution un segment ou unaxe, ce lieu dtermine une infinit de points singuliers qui sont des pointsdquilibre, stables ou instables. Cette situation est tout fait usuelle dans lessystmes asservis non linaires, ds lors que la non-linarit prsente un seuilou un jeu. Nous allons illustrer cette situation par un exemple de mcanique.

Le systme et ses quations

On considre une masse M ancre par des ressorts de raideur k/2. Cettemasse peut se dplacer sur un seul axe, x. Elle glisse avec frottements secs

66

constants, de valeur f0, qui sopposent au mouvement. En appliquant lqua-tion fondamentale de la dymanique, iFi = Mx, on a :

Mx = kx signe(x)f0, (3.48)o signe(x) = +1 si x > 0 et 1 dans le cas contraire. Pour quil y aitmouvement, il faut que la force de rappel des ressorts soit suprieure auxfrottements, cest--dire |x| > f0/k. Pour des longations infrieures, le mo-bile reste fixe : le systme possde donc une infinit de position dquilibrecorrespondant au segment [f0/k, f0/k]. Ce segment est donc un segmentsingulier.

En posant y = x et x = x, on peut transformer cette quation diffren-tielle dordre 2 en un systme diffrentielle de deux quations :{

x = y

y = kM x f0M signe(y).(3.49)

Ce systme est non linaire dans la mesure o la seconde quation diffreselon le signe de y.

Solutions

Pour y > 0, signe(y) = +1 et le systme scrit :{x = y

y = kM x f0M .(3.50)

Puisque u = du/dt, en faisant le rapport des deux quations, on limine dtet on a :

dy

dx= k

M

x

y f0My

, (3.51)

qui est une quation diffrentielle variable sparable :

ydy +k

M(x+

f0k)dx = 0. (3.52)

En intgrant, on trouve :

y2

2+k(x+ f0k )

2

2M= cste. (3.53)

67

Les diffrents paramtres tant positifs, la constante est ncessairementpositive, et nous la noterons R2 :

y2 +k(x+ f0k )

2

M= R2. (3.54)

Dans le plan (xk/M, y), en posant h = f0/k, la solution (3.54) est

lquation dun cercle de centre (hk/M, 0) et de rayon R, qui dpend de

la condition initiale.

Pour y < 0, signe(y) = 1 et le systme scrit :{x = y

y = kM x+ f0M .(3.55)

Ce systme ne diffre de (3.50) que par le signe ngatif devant f0. Lessolutions sont donc similaires, au signe prs devant f0 :

y2 +k(x f0k )2

M= R2. (3.56)

Dans la plan xk/M, y, avec la notation h = f0/k, la solution (3.56) est

lquation dun cercle de centre (+hk/M, 0) et de rayon R, qui dpend de

la condition initiale.

Trajectoires

Dans la plan de phase (x, y), les trajectoires sont reprsentes la figure3.5, pour deux conditions initiales particulires, (xi, 0). Ces conditions dter-minent la valeur du rayon du cercle solution. A chaque croisement de laxedes x, il y a changement de signe de y, donc changement dquations et detrajectoires solutions : la constante de la solution est alors dtermine parcontinuit. On remarque que le mobile sarrte en un point quelconque dusegment singulier, dpendant notamment du point initial.

Le sens des trajectoires est dtermin par les coordonnnes du plan dephase : (x, y = dx/dt). Laxe des ordonnes correspond donc la variablevitesse de x. On doit donc avoir y > 0 lorsque x crot. Le sens des trajectoiresest donc obligatoirement celui des aiguilles dune montre. Le sens inverseserait absurde !

68

Calcul du temps de trajet le long dune trajectoire

En remarquant que y = dx/dt, une petite variation de temps associe un petit dplacemnt dx sexprime dt = dx/y. Par intgration on peutcalculer le temps T pour aller dune longation xi une longation xf :

T =

xfxi

dx

y. (3.57)

Dans chaque cas particulier, en utilisant lquation de la trajectoire, onpeut exprimer y = y(x) et intgrer.

Dans le cas particulier du mobile avec frottements secs, calculons le tempsmis pour parcourir le premier demi-cercle de la trajectoire (1). Cette trajec-toire correspond y < 0 et daprs lquation (3.56), on tire :

y = R2 k(x

f0k )

2

M, (3.58)

avec xi = +h+RM/k et xf = +hR

M/k.

En reportant dans lquation (3.57), on a lintgrale :

T = +hRM/k+h+R

M/k

dxR2 k(xh)2M

. (3.59)

Faisons le changement de variable (x h)k/M/R = U . La relationentre lments diffrentiels est dx = R

M/kdU , et les bornes de lintgrales

deviennent xi Ui = +1 et xf Uf = 1, do lintgrale :

T = Mk

1

+1

dU1 U2 . (3.60)

Posons maintenant U = cos , on dduit dU = sin d et les bornes Ui =1 i = 0 et Uf = 1 f = . On a finalement :

T =M

k

pi0d =

M

k. (3.61)

Bien sr, cette mthode permet de calculer le temps mis pour parcourirun segment quelconque de trajectoire : il suffit de dterminer les longationsinitiales et finales. Pour une trajectoire correspondant un angle au centre, on trouvera simplement T = Mk .

69

yMkxM

kh

Mkh-

( 2 )

( 1 )

Fig. 3.5 Dans le plan de phase, la trajectoire de la masse M est une suc-cession de demi-cercles. Le point darrt est un point quelconque du segmentsingulier, qui dpend du point initial.

3.2.8 Cycles limites

Dans le cas gnral, un cycle limite stable dans le plan de phase est as-soci une auto-oscillation (physiquement observable) de lasservissement.Ce cycle stable peut entourer un foyer instable, un noeud instable ou unsegment dquilibre instable.

Le cycle limite peut aussi tre instable : il est alors associ une auto-oscillation (non physiquement observable) de lasservissement. Un tel cycleentoure un foyer, un noeud ou un segment stable : pour une petite variationvers lintrieur, la trajectoire ne reste pas sur le cycle, mais va converger versle point ou le segment singulier.

Quelques situations de cycles limites stables et instables sont illustres la figure 3.6.

3.3 Etude dasservissements relais

On considre un asservissement de la forme canonique propose lafigure 3.7 dans lequel la non-linarit est un lment commutation : relaislectromcanique ou dispositif lectronique (transistor ou thyristor). Dans

70

yx

y

x

y

x

y

x

a b

c d

Fig. 3.6 Quelques exemples de cycles-limites stables (a et b) et instables(c et d).

)1( T ppk+

++ R e l a i s-

e xwe

Fig. 3.7 Asservissement relais.

le cas le plus gnral (relais avec seuil et hystrsis), la sortie peut prendre3 tats possibles : 0 et M . En notant w() = Mf() la sortie de la non-linarit attaque par une entre , la fonction f() peut alors prendre les3 valeurs 0 et 1. Dans cette partie, on considre e = 0, cest--dire quelentre du relais satisfait : = x.

Lasservissement satisfait les quations :

Tx + x = kMf(), (3.62)

o x = dx/dt.

71

Posons les nouvelles variables de temps et despace :

t =t

Tet u =

x

kMT, (3.63)

on en dduit :

v =du

dt=du

dx

dx

dt

dt

dt=

1

kMTxT =

x

kM

v =dv

dt=

dv

dxdx

dt

dt

dt=

1

kMxT =

xT

kM. (3.64)

Avec ces notations, lquation (3.65) devient :

u+ u = f(ukMT ), (3.65)o u = du/dt et u = d2u/dt2.

La fonction f(.) ne pouvant prendre que les trois valeurs 0 et 1, on voitque, pour chaque ltat du relais, lasservissement est dcrit par une quationdiffrentielle particulire. Ces quations ne diffrent que par une constante,et sont de la forme :

u+ u = , (3.66)

ou encorev + v = , (3.67)

avec = f(ukM) et v = u.

3.3.1 Solutions dans le plan de phase

En intgrant lquation (3.67), on a :

v(t) = C