LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespershomepages.ulb.ac.be/~efjesper/coursenotes1.pdf · 2013. 9. 23. · 1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra2. Matrix Algebra3. Determinanten4. Vectorruimten5

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvectoren

LINEAIRE ALGEBRA

Eric JespersVrije Universiteit Brussel


Referentie:

David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition,Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859

verplicht materiaal en online registreren, zie uitleg op pointcare bijwpo


Evaluatie

I 20%: taak (weken 8 en 12), moet online geregistreerd worden,een deel wordt elektronisch afgelegd

I 80% examen: vooral schriftelijk, begrijpen van concepten entechnische vaardigheden

I WPO: verplicht deelname (telkens deelname bevestigen)


Inhoud Cursus

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra

2. Matrix Algebra

3. Determinanten

4. Vectorruimten

5. Eigenwaarden en Eigenvectoren


Inhoud Cursus


2. Matrix Algebra

3. Determinanten

4. Vectorruimten



Inhoud Cursus


2. Matrix Algebra

3. Determinanten

4. Vectorruimten



Inhoud Cursus


2. Matrix Algebra

3. Determinanten

4. Vectorruimten



Inhoud Cursus


2. Matrix Algebra

3. Determinanten

4. Vectorruimten



1.1 Systeem van Lineaire Vergelijkingen

Definitie

Lineaire Vergelijking in veranderlijken x1, x2, . . . , xn:

a1x2 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

met b en de coefficienten a1, . . . an ∈ R of in C.

Definitie

Systeem van lineaire vergelijkingen, (lineair systeem) is eencollectie van lineaire vergelijkingen.


Definitie

Een oplossing van een lineair systeem is een n-tal (s1, . . . sn) datvoldoet aan elke lineaire vergelijking. De verzameling die bestaatuit alle mogelijke oplossingen noemt men deoplossingenverzameling.

Voorbeelden:{x1 − 2x2 = −1

−x1 + 3x2 = 3 + x2

{x1 − 2x2 = −1

−x1 + 3x2 = 3 + x2

{x1 − 2x2 = −1−x1 + 2x2 = 1

Niet lineaire voorbeelden:

4x1 − x2 = x1x2 x2 −√

x1 = 7


Mogelijk Aantal Oplossingen:

1. geen, inconsistent systeem

2. exact een, consistent systeem

3. oneindig veel consistent systeem


Voorbeeld{x1 + x2 = 10−x1 + x2 = 0

{x1 − 2x2 = −32x1 − 4x2 = 8

{x1 + x2 = 3

−2x1 − 2x2 = −6

twee snijdende rechten twee parallelle rechten twee gelijke rechten


Analoog in de ruimte R3: drie vlakken (drie lineaire vergelijkingenin 3 veranderlijken) snijden in 1 punt, oneindig veel punten (eenrechte of een vlak) of geen enkel punt.


Coefficientenmatrix van een lineair systeem en Uitgebreide Matrixvan een lineair systeemVoorbeeld:

x1 − 2x2 + x3 = 02x2 − 8x3 = 8

−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9 1 −2 10 2 −8−4 5 9

en

1 −2 1 00 2 −8 8−4 5 9 −9

Een m× n-matrix is een rechthoekige lijst van getallen met m-rijenen n-kolommen.


Oplossen van een stelsel en elementaire rij operaties: Gausseliminatie

1. Vervang een rij door een veelvoud van een andere rij erbijop te tellen (rij operatie)

2. Verwissel twee rijen.

3. Vermenigvuldig een rij met een niet-nul constante.Twee matrices zijn rij equivalent als de ene uit de andereverkregen wordt door opeenvolgende rijoperaties.

Eigenschap

Als de uitgebreide matrices van twee lineaire stelsels dezelfde zijndan hebben beide stelsels dezelfde oplossing.


Voorbeeld: stelsel en matrixnotatie{x1 − 2x2 = −1−x1 + 3x2 = 3{

x1 − 2x2 = −1x2 = 2 (R2 → R2 + R1){x1 = 3 (R1 → R1 + 2R2)x2 = 2

[1 −2 −1−1 3 3

]−→

[1 −2 −10 1 2

](R2 → R2 + R1)

[1 0 30 1 2

](R1 → R1 + 2R2)









1.2 Rijreductie en echalonvorm

Definitie

Een matrix is in (rij) echelonvorm als er voldaan is aan de volgendevoorwaarden:

1. alle niet nul rijen staan boven volledige nul rijen

2. elke kop positie (d.w.z. de eerste niet nul positie in een rij)in een rij is in een kolom rechts van de kop positie van de rijerboven.

3. alle posities in een kolom beneden een kop positie zijn nul



Definitie

De matrix is in gereduceerde echalonvorm als er bovendien voldaanis aan

4. de kop positie in elke rij is 1

5. elke kop positie is de enige niet nul positie in een kolom.


Stelling

Een matrix is rij equivalent met precies een gereduceerde echalonmatrix.

Spil (pivot) positie van een matrix A: eerste niet nul (en dus een)plaats in een rij.Spil (Pivot) kolom van een matrix A: een kolom van A die een spil(pivot) positie bevat


Rijreductie algorithme

vijf stappen om een matrix A om te vormen in een geruduceerderijechalonvorm via rijoperaties:

1. Begin met de meest linkse niet nul kolom (spilkolom)

2. Kies een spil (pivot) element in de spil (pivot) kolom endoor rijen te verwisselen breng het in de spilpositie.

3. Gebruik rij operaties om alle posities onder de spil nul temaken.

4. Vergeet de rij (en alle erboven) die de een spilpositie bevat.Pas stappen 1-3 toe op de overblijvende matrix.

5. Beginnende met de meest rechtse spil maak alle positiesboven de spil nul (door rij operaties; en herhaal dit procesdoor naar links op zoek te gaan naar de volgende spil. Als eenspil niet 1 is maak het dan 1 door een rij met een scalair tevermenigvuldigen.








Oplossen van een lineair stelsel

Via rijreductie van de uitgebreide matrix. Gevolg ( basisveranderlijken en vrije veranderlijken): een parametrischebeschrijving van de oplossingenverzameling.


Stelling

Een lineair systeem is consistent als en slecht als meeste rechtsekolom van de uitgebreide matrix is geen spil (pivot) kolom. D.w.z.de uitgebreide matrix heeft GEEN rij van de vorm

[0 0 · · · 0 b] met b 6= 0.

Als een lineair systeem consistent is dan (1) is er een uniekeoplossing als er geen vrije veranderlijken zijn of (2) er zijn oneindigveel oplossingen wanneer er tenminste een vrije veranderlijke is.


1.3 Vectorvergelijkingen

Vectoren in Rn

Een kolomvector (een vector) v is een n × 1-matrix met posities inR. (Dus een geordend n-tal in kolomvorm.)De nulvector 0 is de nulkolom.gelijkheid van vectoren

v =

v1

v2...vn

= u =

u1

u2...

un

⇐⇒v1 = u1

v2 = u2...

vn = un


Bewerkingen met vectoren

I SOM

v + u ==

v1

v2...vn

+

u1

u2...

un

=

v1 + u1

v2 + u2...

vn + un

I SCALAIR VEELVOUD, c ∈ R,

cv =

cv1

cv2...

cvn


In handgeschreven teksten schrijven wij

v

alsv

of als−→v


Stelling

Voor alle u, v,w ∈ Rn en alle scalairen c , d ∈ R:

u + v = v + u commutatief c(u + v) = cu + cv

(u + v) + w = u + (v + w) associatief (c + d)u = cu + du

u + 0 = 0 + u = u c(du) = (cd)u

u + (−u) = −u + u = 0 1u = u

met −u = (−1)u. Notatie: u + (−1)v = u− v.


Meetkundige Interpretatie

punt in het vlak (a, b) = vector

[ab

]in R2 = pijl van (0, 0) naar

(a, b).


scalair veelvoud cu= vector op zelfde rechte als u.



som van vectoren= parrallellogram eigenschap


punt in ruimte (a, b, c) =vector in R3 =pijl in R3.


Lineaire combinatie van vectoren

v1, v2, . . . , vp ∈ Rn en c1, c2, . . . , cp ∈ R:

y = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp

is een lineaire combinatie van v1, . . . , vp met gewichten (ofcoefficienten) c1, c2, . . . , cp.



Oefening

Zij

a1 =

103

, a2 =

42

14

, a3 =

36

10

en b =

−18−5

Bepaal of b een lineaire combinatie is van a1, a2 en a3.



Definitie v1, v2, . . . , vp ∈ Rn.

Span{v1, v2, . . . , vp}

deelverzameling van Rn voorgebracht door v1, v2, . . . , vp. Dus alleelementen van de vorm

c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvp,

met c1, c2, . . . , cp ∈ R.






De volgende voorwaarden zijn equivalent:

I y ∈ Span{v1, v2, . . . , vp}I de vectorvergelijking

x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn = y

heeft een oplossing voor x1, x2, . . . , xn.

I het lineaire systeem met uitgebreide matrix[v1 v2 · · · vn y

]heeft een oplossing.


1.4 Matrixvergelijkingen

Definitie

Het product van A en x is

Ax =[

a1 a2 · · · an

]

x1

x2...xn

= x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan



Stelling

A =[

a1 a2 · · · an

]een m × n-matrix, b ∈ Rm.

De oplossingen van de matrixvergelijking

Ax = b

en de vectorvergelijking

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = b

en het lineair systeem met uitgebreide matrix[a1 a2 · · · an y

]zijn dezelfde.


Stelling

A =[

a1 a2 · · · an

]een m × n-matrix. De volgende

eigenschappen zijn equivalent:

1. voor elke b ∈ Rm heeft de vergelijking Ax = b eenoplossing

2. Elke b ∈ Rn is een lineaire combinatie van de kolommenvan A.

3. De kolommen van A zijn voortbrengers voor Rm.

4. A heeft een spilelement in elke rij.







Rij=kolom vermenigvuldiging voor berekenen van Ax

Als Ax gedefinieerd is dan is het element in de i-de plaats van Axde som van producten van de corresponderende elementen in dei-de rij van A met de vector x.


Voorbeeld 2 3 4 x1

x2

x3

=

[2x1 + 3x2 + 4x3

]

Stelling 5

A een m × n-matrix, u en v vectoren in Rn, c een scalair. Devolgende rekenregels gelden:

I A(u + v) = Au + Av;

I A(cu) = c(Au).


1.5 Oplossingverzameling van een lineair stelsel

Definitie

Homogeen lineair systeem

Ax = 0

Triviale oplossing: 0A0 = 0

Niet Triviale Oplossing Is een oplossing die niet 0 is.

Eigenschap

De homogene vergelijking Ax = 0 heeft een niet-triviale oplossing(is consistent) als en slechts als de vergelijking minstens een vrijeveranderlijke heeft.


Parametrische Vectorvorm van Oplossing

De oplossingen van Ax = 0 schrijven als lineaire combinaties vaneen eindig aantal oplossingen (zoveel als er vrije veranderlijkenzijn). Voorbeeld:

x = su + tv ∈ Span{u, v},

met u, v oplossingen van Ax = 0.









Stelling: Oplossingen van een niet-homogene vergelijking

Veronderstel dat de vergelijking Ax = b consistent is en zij

p een oplossing.

De oplossingverzameling van Ax = b bestaat uit alle vectoren vande vorm

w = p + vh

met vh een oplossing van de homogene vergelijking Ax = 0.


Algoritme voor de oplossingverzameling in parametrische vormvan een consistent lineair systeem

1. Rij reduceer de uitgebreide matrix naar gereduceerdeechalon vorm.

2. Schrijf elke basis-veranderlijke als een lineaire combinatievan de vrije veranderlijken plus eventueel een constante.

3. Schrijf elke oplossing x als een vector waarvan de positiesafhankelijk zijn van de vrije veranderlijken.

4. Schrijf x als een lineaire combinatie van vectoren (metnumerische waarden) door gebruik te maken van de vrijeveranderlijken als parameters.





1.6 Toepassingen van lineaire stelsels

VoorbeeldenEconomieChemische VergelijkingenNetwork flow


1.7 Lineaire Onafhankelijkheid

Definitie

Een verzameling vectoren {v1, . . . , vp} is lineair onafhankelijk alsde vectorvergelijking

x1v1 + x2v2 + · · ·+ xpvp = 0

alleen de triviale oplossing heeft.Een verzameling vectoren {v1, . . . , vp} is lineair afhankelijk als ergewichten c1, c2, . . . , cp, niet allen nul, zodat

c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp = 0

(een lineaire afhankelijksrelatie).


Lineaire afhankelijkheid van matrixkolommen

De kolommen van een matrix A =[

a1 a2 · · · an

]zijn lineair

onafhankelijk als en slecht als de vergelijking Ax = 0 slechts detriviale oplossing heeft.


Karakterisatie van lineair onafhankelijke verzamelingen

{v1, . . . , vp} is lineair afhankelijk als en slechts als

vj is lineair afhankelijk van v1, . . . , vj−1

(voor een j > 1).

Opmerking Als vj = 0 dan lineair afhankelijk.Bekijk het geval met p = 1 of 2.

Stelling

Als een verzameling meer vectoren bevat dan er posities zijn in devectoren dan is de verzameling lineair afhankelijk.Een verzameling {v1, . . . , vp} in Rn is lineair afhankelijk als p > n(meer vectoren bevat dan posities).


1.8 Lineaire Transformaties

Definition

Een transformatie (of functie of afbeelding)

T : Rn → Rm

laat met elke x ∈ Rn precies een vector T (x) in Rm overeenkomen.domein van T is Rn

codomein van T is Rm.T (x) is het beeld van x onder Tbeeld van T is T (Rn): de verzameling van alle beelden T (x).



Matrixtransformaties

Definitie Matrixtransformatie

A een m × n-matrix.

Rn → Rm : x 7→ Ax

Het beeld is alle lineaire combinaties van de kolommen van A.

Voorbeelden

projectie : A =

1 0 00 1 00 0 0

Dan

R3 → R3 :

x1

x2

x3

7→ x1

x2

x3

=

1 0 00 1 00 0 0

x1

x2

0

=

x1

x2

0


afschuiving (shear) Voorbeeld: A =

[1 30 1

]en

T : R2 → R2 : x 7→ Ax


Definitie

Een transformatie T is lineair als voldaan is aan de volgendevoorwaarden voor alle u, v in het domein van T en alle scalairen c:

1. T (u + v) = T (u) + T (v)

2. T (cu) = cT (u).

(T bewaart de bewerking van som en scalaire vermenigvuldiging)Voorbeeld: een matrixtransformatie

Eigenschap

T een lineaire transformatie. Dan

I T (0) = 0

I T (cu + dv) = cT (u) + dT (v)

I T (c1u1 + · · ·+ cpup) = c1T (u1) + · · ·+ cpT (up)


rotatie

T

([10

])=

[01

]T

([01

])=

[−10

]T

([11

])= T

([10

])+ T

([01

])=

[01

]+

[−10

]


Beschouw de volgende transformaties:

1. T : R→ R : x 7→ 5x

2. f : R→ R : x 7→ 5x + 4

Zijn T en f lineair?

1. T is lineair

2. f is niet lineair


1.9 Matrix van een lineaire transformatie

Stelling

Zij T : Rn → Rm een lineaire transformatie. Dan bestaat eenunieke matrix A (de standaard matrix van T ) zodat, voor allex ∈ Rn,

T (x) = Ax.

BovendienA =

[T (e1) · · · T (en)

]met

e1 =

10...0

, . . . , en =

0...01


Zij T : R2 → R3 een lineaire transformatie zodat

T (e1) =

123

en T = (e2) =

−375

Zonder enige andere informatie, bereken het beeld T (x) van eenwillekeurige x in R2.

x =

[x1

x2

]= x1

[10

]+ x2

[01

]= x1e1 + x2e2

T (x) = x1T (e1)+x2T (e2) = x1

123

+x2

−375

=

x1 − 3x2

2x1 + 7x2

3x1 + 5x2

Dus

T (x) = Ax met A =

1 −32 73 5

=[

T (e1) T (e2)]


Meetkundige Lineaire Transformaties in R2

spiegeling (reflectie)



samentrekking (contractie), uitzetting (expansie);schaalverandering


afschuiving (horizontaal, vertikaal)


projectie (op x1-as, op x2-as)


Definitie

Zij T : Rn → Rm een functie.

I T is surjectief (onto) als elke b ∈ Rm het beeld is vanminstens een x ∈ Rn.

I T is injectief (one-to-one) als elke b ∈ Rm het beeld is vanten hoogste een x ∈ Rn.

I T is bijectief als elke b ∈ Rm het beeld is van precies eenx ∈ Rn.

Stelling

Zij T : Rn → Rm een lineaire transformatie met standaardmatrixA.

I T is injectief ⇐⇒ T (x) = 0 heeft alleen de triviale oplossing⇐⇒ de kolommen van A zijn lineair onafhankelijk.

I T is surjectief ⇐⇒ de kolommen van A zijn voortbrengersvoor Rm.


blz 110Opstellen van een DieetElektrische NetwerkenDifference Vergelijkingen


2.1 Matrices en Matrixbewerkingen

Een m × n-matrix (met coefficienten aij , of componenten)

A =

a11 · · · a1j · · · a1n

......

...ai1 · · · aij · · · a1n...

......

am1 · · · amj · · · amn


Gelijkheid van matricesa11 · · · a1j · · · a1n

......

...ai1 · · · aij · · · a1n...

......

am1 · · · amj · · · amn

=

b11 · · · b1j · · · b1n

......

...bi1 · · · bij · · · b1n...

......

bm1 · · · bmj · · · bmn

als en slechts als

aij = bij voor alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ jn.

De elementen a11, a22, a33, . . . (diagonaalelementen) vormen dehoofddiagonaal.


Nulmatrix

0 =

0 · · · 0 · · · 0...

......

0 · · · 0 · · · 0...

......

0 · · · 0 · · · 0

Diagonaalmatrix Is een n × n-matrix met nullen buiten thehoofddiagonaal:

A =

a11 · · · 0 0 · · · 00 · · · a22 0 · · · 0...

......

...0 · · · 0 0 · · · ann


Definitie: som van m × n-matrices (som van kolommen)

A + B =[

a1 a2 · · · an

]+[

b1 b2 · · · bn

]=

[a1 + b1 a2 + b2 · · · an + bn

]Definitie: scalair veelvoud van een matrix

c[

a1 a2 · · · an

]=[

ca1 ca2 · · · can

]


Stelling

Zij A,B,C m × n-matrices, en zij r , s scalairen. De volgenderekenregels gelden.

A + B = B + A r(A + B) = rA + rB

(A + B) + C = A + (B + C ) (r + s)A = rA + sA

A + 0 = A = 0 + A r(sA) = (rs)A


Definitie

Zij A een m × n-matrix en B =[

b1 b2 · · · bp

]een

n × p-matrix. Dan is het product van A en B de m × p-matrix

AB = A[

b1 b2 · · · bp

]=[

Ab1 Ab2 · · · Abp

]




Opgelet



Rij-Kolom Regel voor de Vermenigvuldiging

Zij A een m × n-matrix en B een n × p-matrix. Zij (AB)ij de(i , j)-de positie van AB. Dan

(AB)i ,j = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj =∑

1≤k≤n

aikbkj .




Stelling: Rekenregels

Zij A,B,C matrices zodat alle volgende sommen en producten zinhebben. De volgende regels gelden.

A(BC ) = (AB)C associativiteit

A(B + C ) = AB + BC links distributiviteit

(B + C )A = BA + CA rechts distributiviteit

r(AB) = (rA)B = A(rB) voor elke scalair r

ImA = A = AIm

met Im =

1 0 · · · 0 00 1 · · · 0 0...

...

0 0... 0 1

, de identiteitsmatrix van graad m.


Definitie: Machten

Zij A een n × n-matrix en k een positief geheel getal. Dan is

Ak = A · · ·A (k keer).

OokA0 = In.

Er volgt, voor k, l positieve gehele getallen:

Ak+l = AkAl en (Ak)l = Akl .


commuterende matrices

Zij A en B matrices. Als AB = BA dan zegt men dat A en Bcommuteren.

Waarschuwing

I In het algemeen AB 6= BA.

I In het algemeen mag je NIET vereenvoudigen. D.w.z. uitAB = AC volgt in het algemeen niet dat B = C .

I In het algemeen volgt uit AB = 0 NIET dat A = 0 of B = 0.


Definitie: getransponeerde van een matrix

De getransponeerde matrix van een n ×m-matrix A, genoteerdAT , is de matrix waarvan de kolommen de rijen van A zijn. Dus(wij verwisselen rijen en kolommen)

(AT )ij = Aji .

Rekenregels

Zij A en B matrices zodat de volgende sommen en producten zinhebben. Er gelden

I (AT )T = A

I (A + B)T = AT + BT

I (ra)T = rAT , voor elke scalair r

I (AB)T = BTAT .




2.2 De inverse van een matrix

Definite: inverteerbare matrix

Een n × n-matrix A is inverteerbaar als er een n × n-matrix Cbestaat zodat

CA = In = AC .

Men noemt C een inverse van A en als deze bestaat dan is dieuniek en wordt genoteerd

A−1.

DusA A−1 = In = A−1 A.

Een matrix die NIET inverteerbaar is noemt men singulier en eeninverteerbare matrix noemt men niet singulier.


Stelling

Zij

[a bc d

]een 2× 2-matrix. Als ad − bc 6= 0 dan is A

inverteerbaar en

A−1 =1

ad − bc

[d −b−c a

]Als ad − bc = 0 dan is A singulier.Men noemt ad − bc de determinant van A, en men noteert

det(A) = ad − bc.


Stelling: rekenregels

1. Als A een inverteerbare matrix is dan is ook A−1 eeninverteerbare matrix en

(A−1)−1 = A.

2. Als A en B inverteerbare n × n-matrices zijn, dan is ABinverteerbaar en

(AB)−1 = B−1A−1.

3. Als A een inverteerbare matrix is dan is ook AT

inverteerbaar en(AT )−1 = (A−1)T .


Stelling

Zij A een inverteerbare n × n-matrix. Dan heeft voor elke b ∈ Rn

de vergelijking Ax = b een unieke oplossing

x = A−1b.


Elementaire Matrices

Definitie

Een elementaire matrix is een matrix verkregen uit deidentitietsmatrix door er een elementaire rij operatie op uit tevoeren. Er zijn drie types. Voorbeelden:

E1 =

1 0 00 1 0−7 0 1

, E2 =

0 1 01 0 00 0 1

, E3 =

1 0 00 −5 00 0 1

Als men EiA berekent dan voert men op A dezelfde elementaire rijoperatie als men op In gedaan heeft om Ei te verkrijgen.Een elementaire matrix E is inverteerbaar. De inverse E−1 is vanhetzelfde type als E (het vormt E om in In).



Stelling

Zij A een n× n-matrix. Dan, A is inverteerbaar als en slechts als Arij equivalent is met In.In dit geval, elementaire rij operaties die A omvormen tot Inhervormen ook In tot A−1.

Algoritme voor het berekenen van A−1

Zij A een n × n-matrix. Rij-reduceer de uitgebreide matrix

[A In] .

Als A rijequivalent is met In dan is [A In] rijequivalent met[In A−1

]. Anders is A niet inverteerbaar.




De inverteerbare matrix stelling

Zij A een n × n-matrix. Zijn equivalent:

I A is inverteerbaar

I A is rij equivalent met InI A heeft n spil (pivot) posities

I de vergelijking Ax = 0 heeft slechts de nul oplossing

I de kolommen van A zijn lineair onafhankelijk

I de lineaire transformatie x 7→ Ax is injectief

I de vergelijking Ax = b heeft een unieke oplossing voor allb ∈ Rn

I Rn is voortgebracht door de kolommen van A

I de lineaire transformatie x 7→ Ax is surjectief

I er bestaat een matric C zodat CA = InI er bestaat een matrix D zodat AD = InI AT is inverteerbaar


Definitie

Een lineaire transformatie Rn → Rn is inverteerbaar als er eenfunctie S : Rn → Rn bestaat zodat

S(Tx) = x en T (S(x)) = x

voor alle x ∈ Rn.

Stelling

Zij T : Rn → Rn een lineaire transformatie met standaardmatrix A.Dan is T inverteerbaar als en slechts als A is een inverteerbarematrix.In dit geval is S : Rn → Rn met S(x) = A−1x de enige functie dievoldoet aan

S(Tx) = x en T (S(x)) = x

voor alle x ∈ Rn.


2.4 Matrixpartities

Matrix in blokvorm A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n...

...

Am1 Am2... Amn

met elke Aij zelf een matrix


Voorbeeld: blokvorm bovendriehoesmatrixA11 A12 · · · A1n

0 A22 · · · A2n...

...

0 0... Ann

Een blokvorm diagonaal matrix

A11 0 · · · 00 A22 · · · 0...

...

0 0... Ann

Men kan rekenregels gebruiken voor blokvorm zoals voor gewonematrices (zolang de betrokken sommen en producten zin hebben).


Matrixontbinding (Matrixfactorisatie)

LU Factorisatie

Veronderstel dat A een m × n-matrix is die kan gereduceerdworden tot echalonvorm door rijoperaties die een veelvoud van eenrij bij een andere rij beneden deze rij optellen (dus GEENrijverwisselingen) dan bestaan er (eenheids-benedendriehoeks)elementaire matrices E1, . . . ,Ep (m ×m-matrices) zodat

(Ep · · ·E1)A = U ( rijechalonvorm van A)

A = LU

met L een eenheids-benedendriehoeksmatrix en U eeneenheids-bovendriehoekmatrix.


Algoritme

[A | Im] −→ [U | M]

en[M | Im] −→ [Im | L] −→ A = LU


2.6 en 2.7 Toepassingen


DOELI Een nieuw criterium voor de inverteerbaarheid van een

vierkante matrix A,

I een formule voor A−1 en A−1b,

I een meetkundige interpretatie van een determinant.


3.1 Determinanten

Determinant van 2× 2 en 3× 3-matrices.Herinner

det

([a11 a12

a21 a22

])= a11a22 − a12a21


Zij

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Veronderstel a11 6= 0. Dan

A ∼

a11 a12 a13

a11a21 a11a22 a11a23

a11a31 a11a32 a11a33

∼

a11 a12 a13

0 a11a22 − a12a21 a11a23 − a13a21

0 a11a32 − a12a31 a11a33 − a13a31

veronderstel (2, 2)-positie is niet nul (anders werk met(3, 3)-positie).


A ∼

a11 a12 a13

0 a11a22 − a12a21 a11a23 − a13a21

0 0 ∆

met ∆ =

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31

= a11 det

[a22 a23

a32 a33

]− a12 det

[a21 a23

a31 a33

]+ a13 det

[a21 a22

a31 a32

]= a11 det A11 − a12 det A12 + a13 det A13

met Aij verkregen uit A door de i-de rij en j-de kolom te schrappen.


Definitie

Zij A = [aij ] een n × n-matrix. De determinant van A is

det A = a11 det A11 − a12 det A12 + · · ·+ (−1)1+na1n det A1n

=n∑

j=1

(−1)1+ja1j det A1j

Men noemtCij = (−1)i+j det Aij

de (i , j)-de cofactor van A. Dus

det A = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n,

de cofactor expansie volgens de eerste rij van A .


Stelling

Zij A een n × n-matrix. Dan

det A = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin

cofactor expansie volgens i-de rij

= a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj

cofactor expansie volgens j-de kolom


Stelling

Zij A een triangulaire matrix, dan is

det A = a11a22 · · · ann,

het product van de diagonaal elementen.


andere notatie voor determinant

A =

a11 a12 · · · a1n...

......

an1 an2 · · · ann

det A =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

......

...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣



3.2 Eigenschappen van Determinanten

Stelling

Zij A een vierkante matrix.

1. Zij B verkregen uit A door bij een rij van A een aantal keereen andere rij van A op te tellen. Dan det B = det A.

2. Zij B verkregen uit A door twee rijen te verwisselen. Dandet B = − det A.

3. Zij B verkregen uit A door een rij van A tevermenigvuldigen met een scalair c dan det B = c det A.



Stelling

Zij A en B vierkante n × n matrices dan

1. A een inverteerbare matrix als en slechts det A 6= 0.

1. 2. det A = det AT

2. det(AB) = (det A) (det B)

3. T : Rn → R met

x 7→ T (x) = det([

a1 · · · aj−1 x aj+1 · · · an

])is lineair, d.w.z.

T (x + y) = T (x) + T (y) en T (cx) = cT (x).


3.3 Regel van Cramer, Volume en Lineaire Transformaties

Stelling: De regel van Cramer

Zij A een inverteerbare n × n-matrix. Voor b ∈ Rn is de enigeoplossing van Ax = b gegeven door

xi =det Ai (b)

det A(i = 1, . . . n)

metAi (b) =

[a1 · · · ai−1 b ai+1 · · · an

]


Stelling: Formule voor de inverse

Zj A een inverteerbare n × n-matrix. Dan

A−1 =1

det AadjA

met

adj A =

C11 C21 · · · Cn1

C12 C22 · · · Cn2...

......

C1n C2n... Cnn

en Cij = (−1)i+j det Aij

de adjunct matrix van A (adjoint matrix).


Oppervlakte en volume

Stelling

De oppervlakte van het parallellogram bepaald door a1 = (a, c) ena2 = (b, d) is

|det [a1 a2]| =

∣∣∣∣det

[a bc d

]∣∣∣∣Bovendien

|det [a1 a2]| = |det [a1 a2 + ca1]|

(voor c 6= 0).Zij A een 3× 3-matrix. Het volume van het parallellopipedumbepaald door de kolommen is

|det A| .


Stelling

Zij T : R2 → R2 : x 7→ Ax een lineaire transformatie. Zij S eenparallellogram in R2. Dan

{ oppervlakte van T (S)} = |detA| {oppervlakte van S}

Zij T : R3 → R3 : x 7→ Ax een lineaire transformatie. Zij S eenparallellopipedum in R3. Dan

{ volume van T (S)} = |detA| {volume van S}


4.1 Vectorruimten en deelruimten

Een vectorruimte V is een niet-lege verzameling objecten(vectoren) met twee operaties (optelling en vermenigvuldiging metscalairen) die voldoen aan 10 voorwaarden (voor alle vectoren u, ven w in V en alle scalairen c , d)

1. som van u en v, genoteerd u + v, is in V

2. u + v = v + u

3. (u + v) + w = u + (v + w)

4. er bestaat een nul vector 0 in V zodat 0 + u = u

5. voor elke v ∈ V bestaat een −v ∈ V zodat v + (−v) = 0

6. voor elke scalair c en voor elke v ∈ V is cv ∈ V

7. c(u + v) = cu + cv

8. (c + d)v = cv + dv

9. c(dv) = (cd)v

10. 1v = v


Eigenschap

Voor elke v in een vectorruimte V en elke scalair c geldt:

0v = 0

c0 = 0

−v = (−1)v


Voorbeelden

1. M2,2 = {[

a bc d

]| a, b, c , d ∈ R}, alle 2× 2-matrices. De

nulvector is de nulmatrix.

2. de verzameling van alle m × n-matrices.

3. Pn alle veeltermen van graad ten hoogste n:

r0 + r1X + · · ·+ rnXn,

met r0, . . . , rn ∈ R.


Definitie

Een deelruimte van een vectorruimte V is een deelverzameling Hvan V zodat volgende eigenschappen gelden:

1. De nulvector 0 van V behoort tot H.

2. Voor elke u en v in H geldt: u + v ∈ H.

3. Voor elke v ∈ H en elke scalair c geldt: cv ∈ H.


Voorbeeld

H =

a

0c

| a, c ∈ R


Voorbeeld van een niet deelruimte

H =

a

0a + 1

| a ∈ R


Zij V een vectorruimte, v1, v2, . . . , vp ∈ V , c1, c2, . . . , cp ∈ R. Danis

c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp

een lineaire combinatie.

Span{v1, v2, . . . , vp}

is de verzameling van alle lineaire combinaties van v1, v2, . . . , vp.Dit is een deelruimte van V , genoemd de deelruimte voortgebrachtdoor v1, v2, . . . , vp.Zij H een deelruimte van V . Men zegt dat H voortgebracht is doorw1,w2, . . . ,wp ∈ V als Span{w1,w2, . . . ,wp} = H.



4.2 Nulruimten, Kolomruimten en Lineaire Transformaties

Definitie

De Nulruimte Nul(A) van een m × n-matrix A is

Nul(A) = {x | x ∈ Rn en Ax = 0}.

Eigenschap

Nul(A) is een deelruimte van Rn.


Definitie

De Kolomruimte Col(A) van een m × n-matrixA =

[a1 a2 · · · an

]is

Col(A) = Span{a1, a2, . . . , an} = {b | b = Ax, x ∈ Rn}.

Dit is een deelruimte van Rm. Bovendien, Col(A) = Rm als enslechts als Ax = b heeft een oplossing voor elke b ∈ Rm.


Voorbeeld Bereken Nul(A) voor A =

[3 6 6 3 96 12 13 0 3

]. Dus

wij zoeken x zodat Ax = {0}.Oplossing:[

3 6 6 3 9 06 12 13 0 3 0

]∼[

3 6 6 3 9 00 0 1 −6 −15 0

]

∼[

1 2 2 1 3 00 0 1 −6 −15 0

]∼[

1 2 0 13 33 00 0 1 −6 −15 0

]

x1

x2

x3

x4

x5

=

−2x2 − 13x4 − 33x5

x2

6x4 + 15x5

x4

x5


x1

x2

x3

x4

x5

=

−2x2 − 13x4 − 33x5

x2

6x4 + 15x5

x4

x5

= x2

−21000

+ x4

−13

0610

+ x5

−33

01501

Dus

Nul(A) = Span{u, v,w},

evenveel generatoren als vrije veranderlijken en deze vectoren zijn(via deze methode) ook onafhankelijk.


Definitie

Een lineaire transformatie T : V →W is een functie (d.w.z. eenregel die met elke vector v ∈ V een unieke x ∈W associeert)zodat

1. T (u + v) = T (u) + T (v), voor alle u, v ∈ V ;

2. T (cv) = cT (v), voor alle v ∈ V en scalairen c .


Kern

De kern van T is

kern(T ) = {v | v ∈ V en T (v) = 0}= Nul(A) (als A de geassocieerde matrix is van T ).

Dit is een deelruimte van V .Het beeld (range) van T is

T (V ) = {T (v) | v ∈ V } = Col(A),

als A de geassocieerde matrix is van T .


4.3 Lineair Onafhankelijke Verzamelingen en Basis

Definitie

Een stel vectoren v1, v2, . . . , vp in een vectorruimte V is lineaironafhankelijk als de enige oplossing van de vergelijking

c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp = 0 (een lineaire afhankelijkeidsrelatie)

de nuloplossing is, d.w.z. c1 = c2 = · · · = cp = 0.Als er niet-nulle oplossing bestaat dat noemt men het stel lineairafhankelijk.

Een verzameling die de nulvector 0 bevat is lineair afhankelijk.

Een verzameling met twee vectoren is lineair afhankelijk als eenvan de twee vectoren een veelvoud is van de andere vector.


Voorbeeld In P2 beschouw

p1 = x

p2 = 2x2

p3 = x + 4x2

Danp3 = p1 + 2p2

Dus {p1,p2,p3} is lineair afhankelijk.


Stelling

Een geındexeerde verzameling {v1, v2, . . . , vp} (met p ≥ 2 env1 6= 0) is lineair afhankelijk als en slechts als vj een lineairecombinatie is van zijn voorgangers v1, . . . , vj−1, voor een j > 1.


Definitie

Zij H een deelruimte van een vectorruimte V . Een verzamelingvectoren B = {b1,b2, . . . ,bp} in V is een basis van H als

1. B is lineair onafhankelijk,

2. H = SpanB

Een basis is een efficiente voortbrengende verzameling, het bevatgeen “onnodige vectoren”.


VoorbeeldZij H het vlak in volgende figuur.

Dan

I Span{v1, v2} = H.

I Span{v1, v3} = H.

I Span{v2, v3} 6= H.

I Span{v1, v2, v3} = H.


Stelling

Zij S = {v1, v2, . . . , vp} een deelverzameling van een vectorruimteV en zij H = SpanS .

1. Als vk een lineaire combinatie is van de andere vectoren inS , dan is H = Span(S \ {vk}).

2. Als H 6= {0} dan is er een deelverzameling van S die eenbasis is van H.


Voorbeelden

I de standaard basis van R3 is

{e1, e2, e3}

met

e1 =

100

, e2 =

010

, e3 =

001

I de standaard basis van Pn is {1, x , . . . , xn}.


Voorbeeld Is

{v1 =

120

, v2 =

011

, v3 =

103

}een basis voor R3?Oplossing Stel A = [v1 v2 v3] Dan

A ∼

1 0 12 1 00 1 3

∼ 1 0 1

0 1 −20 1 3

∼ 1 0 1

0 1 −20 0 5

Dus is {v1, v2, v3} een basis.


is geen basis vanR3

is geen basis vanR3


Stelling: bases voor Nul(A) en Col(A)

I Elementaire rijoperaties op een matrix hebben geen invloed opde lineaire afhankelijkheid van de kolommen.

I De spil (pivot) kolommen van A vormen een basis van Col(A).

Reden: Lineair afhankelijkheid van de kolommen van een matrix Ais bepaald door oplossingen van Ax = 0. Dus als A en Brij-equivalent zijn dan zijn de oplossingen van Ax = 0 and Bx = 0dezelfde.


Vind een basis voor Col(A) met

A = [a1 a2 a3 a4] =

1 2 0 42 4 −1 33 6 2 224 8 0 16

Oplossing

[a1 a2 a3 a4] ∼

1 2 0 40 0 1 50 0 0 00 0 0 0

Dus

b2 = 2b1, a2 = 2a1;

b4 = 4b1 + 5b3, a4 = 4a1 + 5a3

DusCol(A) = Span{a1, a2, a3, a4} = Span{a1, a3}.

{a1, a3} is een basis voor Col(A)


4.4 Coordinaatsystemen

Stelling

Zij B = {b1,b2, . . . ,bn} een basis van een vectorruimte V enx ∈ V . Dan bestaan unieke scalairen c1, c2, . . . , cn zodat

x = c1b1 + c2b2 + · · ·+ cnbn.

Men noemt c1, c2, . . . , cn de coordinaten (gewichten) van x t.o.v.de basis B. Notatie:

[x]B =

c1

c2...cn

,de B-coordinaatvector van x.






Matrix van coordinaatwissel

Zij B een basis van Rn. Stel

PB =[

b1 b2 · · · bn

],

de coordinaatverandering matrix van B naar de standaardbasis inRn. Dan de is de vectorvergelijking x = c1b1 + c2b2 + · · ·+ cnbn

hetzelfde alsx = PB [x]B

Merk op dat PB inverteerbaar is omdat de kolommen van PB eenbasis vormen van Rn.De functie

Rn → Rn : x 7→ P−1B x = [x]B

is een injectieve en surjectieve lineaire transformatie (eenisomorfisme tussen Rn en Rn).


De coordintaatafbeelding

Zij B = {b1, . . . ,bn} een basis van een vectorruimte V . Decoordintaatafbeelding

V → Rn : x 7→ [x]B

is een bijectieve lineaire transformatie.


Coordinaatfuncties laten ons toe om coordinaten in te voeren voor“ongewone” vectorruimten.

Standardbasis voor P2 is B = {p1,p2,p3} = {1, x , x2}.Veeltermen in P2 “gedragen” zich als R3 omdat

a + bx + cx2 = ap1 + bp2 + cp3

[a + bx + cx2

]B =

abc

P2 → R3 : a + bx + cx2 7→

abc

is een isomorfisme.



Dus c1 = 3 en

c2 = 4 en [x]B =

[34

]



4.5 De dimensie van een vectorruimte

Stelling

Zij V een vectorruimte met een basis B = {b1,b2, . . . ,bn}. Dan

I Elke verzameling in V met meer dan n elementen is lineairafhankelijk.

I Elke basis van V heeft exact n elementen. Men noemt n dedimensie van V ; notatie dim V = n.

dim{0} = 0. Een vectorruimte die een eindige basis (eindigevoortbrengende verzameling heeft) noemt men eindig dimensionaal.In het ander geval noemt men die oneindig dimensionaal.


Stelling

Zij V een eindig dimensionale vectorruimte en H een deelruimte.Zij B′ een lineair onafhankelijk deel van H, dan bestaat er eenbasis B van H met B′ ⊆ B. Ook

dim H ≤ dim V .

Basis Stelling

Zij V een n-dimensionale vectorruimte. Elke lineair onafhankelijkedeelverzameling van V met n elementen is een basis van V .Elke deelverzameling B van V met n elementen en zodatSpanB = V is een basis van V .

dim Rn = ndim Pn = n + 1



Deelruimten H van R3

I dim H = 0, H = {0}.I dim H = 1, H is een rechte door de oorsprong 0.

I dim H = 2, H is een vlak door de oorsprong.

I dim H = 3, H = R3.



Eigenschap

Zij A een n ×m-matrix. Dan

I dim Nul(A) = aantal vrije veranderlijken in de vergelijkingAx = 0.

I dim Col(A) = het aantal spil (pivot) kolommen in A.




4.6 Rang van een Matrix

Definitie en Stelling

Zij A een m × n-matrix. De verzameling van alle lineairecombinaties van de rij vectoren van A noemt men rijruimte van A,genoteerd Row(A).

Row(A) = Col(AT ).

Als de matrices A en B rijequivalent zijn dan

Row(A) = Row(B).

Als B in echelonvorm is dan vormen de niet nul rijen van B eenbasis van Row(A).


Definitie en Stelling

Zij A een m × n-matrix. De rang van een matrix A is

rank(A) = dim Col(A).

Bovendien

I rank(A) = dim Col(A) = dim Row(A) =aantal spil (pivot) kolommen in A.

I dim Nul(A) = aantal niet spil kolommen van A =aantal vrije veranderlijken.

I rank(A) + dim Nul(A) = n.


Probleem Een wetenschapper lost een homogeen lineair systeem opvan 50 vergelijkingen in 54 onbekenden en ontdekt dat er 4 vrijeveranderlijken zijn. Kan de wetenschapper er zeker van zijn dat elkgeassocieerd niet-homogeen lineair systeem (met dezelfdecoefficienten) een oplossing heeft? Oplossing Zij A decoefficientenmatrix. Dan

rank(A) = dim col(A) = #spilkolommen

dim Nul(A) = #aantal vrije veranderlijken = 4

Dusrank (A) + 4 = 54

ofrank (A) = 50 = #vergeljkingen

Dus elk systeem Ax = b heeft een oplossing.


De inverteerbare matrix stelling

Zij A een n × n-matrix. De volgende eigenschappen zijnequivalent.

I A is inverteerbaar.

I de kolommen van A vormen een basis voor Rn.

I Col(A) = Rn

I dim Col(A) = n

I rank(A) = n

I Nul(A) = {0}I dim Nul(A) = 0


4.7 Verandering van Basis

Stelling

Zij B = {b1,b2, . . . ,bn} en C = {c1, c2, . . . , cn} basissen van eenvectorruimte V . Dan bestaat er een unieke matrix PC←B(verandering van coordinaten matrix van B naar C) zodat

[x]C = (PC←B) [x]B .

Bovendien

PC←B =[

[b1]C [b2]C · · · [bn]C]

Voorbeeld in R2.




5.1 Eigenwaarden en eigenvectoren



Definitie

Een eigenvector van een n × n-matrix A is een niet-nulle vectorx ∈ Rn zodat

Ax = λx,

voor een scalair λ.λ noemt men een eigenwaarde.De verzameling van alle x die oplossingen zijn van

(A− λIn)x = 0

is de nulruimte van de matrix A− λIn is een deelruimte van Rn,genoemd de eigenruimte van A corresponderend met λ.


Voorbeeld Zij A =

2 0 0−1 3 1−1 1 3

en λ = 2 is een eigenwaarde.

Bereken de eigenruimte van λ = 2.


Oplossing



Oefening Zij λ een eigenwaarde van een matrix A. Bepaal eeneigenwaarde van A2 en A3. Algemeen, wat is een eigenwaarde vanAn. Oplossing Zij x een eigenvector met eigenwaarde λ.


Eigenschap

De eigenwaarden van een triangulaire matrix zijn de diagonaalelementen.Als v1, . . . , vr eigenvectoren zijn met corresponderendeverschillende eigenwaarden λ1, . . . , λr van een n × n-matrix A danzijn v1, . . . , vr lineair onafhankelijk.


Eigenschappen van determinanten

Zij A en B n × n-matrices. Dan

I A is inverteerbaar als en slechts als det A 6= 0.

I det(AB) = det A det B

I det AT = det A.

I Als A triangulair is dan is det A het produkt van dediagonaalelementen.

I Een rij vervangen door een veelvoud van een andere rij op tetellen verandert de determinant niet. Een rijverwisselingverandert de determinant van teken. Een rij van A veranderendoor een c veelvoud verandert de determinant in c det A.


5.2 De karakteristieke vergelijking

Stelling

Zij A een n× n-matrix en zij U een echelon vorm van A (verkregendoor rijverwisselingen en veelvouden van rijen bij andere rijen op tetellen; GEEN rijen vermenigvulidigen met een scalair). Dan

det A =

(−1)r (produkt van spil elementen in U) als

A inverteerbaar is

0 anders

Dus het produkt van pivot elementen is uniek, terwijl deechelonvorm niet uniek is.


Stelling

Zij A een n × n-matrix. Dan zijn equivalent

I A is inverteerbaar

I 0 is geen eigenwaarde van A

I det A 6= 0.


Stelling

Een scalair λ is een eigenwaarde van een n × n-matrix A als enslechts als λ voldoet aan de karakteristieke vergelijking

det(A− λIn) = 0.

Dit geeft een vergelijking van graad n in λ. De multipliciteit van λis de multipliciteit van λ als een nulpunt (wortel) van dezevergelijking.

Eigenschap

Zij A en B n × n-matrices. Men noemt A en B equivalent als ereen inverteerbare matrix P bestaat zodat P−1AP = B.In dit geval, det A = det B.





5.3 Diagonalisatie

Definitie

Een vierkant matrix A noemt men diagonaliseerbaar als Aequivalent is met een diagonaalmatrix. D.w.z. A = PDP−1, vooreen inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D.

Dit is nuttig om bv gemakkelijk Ak te bereken voor een vierkantematrix A.



Oefening Zij A =

[6 −12 3

]. Veronderstel dat

A = PDP−1 metD =

[5 00 4

]en P =

[1 11 2

]

Oplossing: P−1 =

[2 −1−1 1

]


Diagonalisatiestelling

Zij A een n × n-matrix. Dan is A diagonaliseerbaar als en slechtsals A n lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. Men noemt diteen eigenbasis.Bovendien A = PDP−1 (met D een diagonaalmatrix) als en slechtsals de kolommen van P zijn n lineair onafhankelijke eigenvectorenvan A. In dit geval zijn de diagonaalelementen van D deeigenwaarden van A die corresponderen met de respectievelijkekolommen.



Diagonaliseer indien mogelijk de matrix

A =

2 0 01 2 1−1 0 1

.




Stelling

Een n × n-matrix met n verschillende eigenwaarden isdiagonaliseerbaar.


Stelling

Zij A een n× n-matrix met verschillende eigenwaarden λ1, . . . , λp.

I De dimensie van de eigenruimte van λi is kleiner dan of gelijkaan de multipliciteit van λ.

I De matrix A is diagonaliseerbaar als en slechts als de som vande dimensies van de eigenruimten gelijk is aan n. Dit gebeurtslechts als de dimensie van de eigenruimte behorende bij elkeλk gelijk is aan de multipliciteit van λ.

I Als A diagonaliseerbaar is en Bk is een basis van deeigenruimte behorende bij λk (voor elke k) dan is

B1 ∪ · · · ∪ Bk

een basis van Rn.




5.4 Eigenvectoren en lineaire transformaties

Zij V en W vectorruimten met dim V = n en dim W = m. ZijT : V →W een lineaire transformatie. Zij B = {b1, . . . ,bn} eenbasis van V en C een basis van W . Zij x ∈ V . Dan

[x]B ∈ Rn

en[T ([x])]C ∈ Rm.

Schrijfx = r1b1 + · · ·+ rnbn

dan

[x]B =

r1...rn


en

T (x) = T (r1b1 + · · ·+ rnbn) = r1T (b1) + · · ·+ rnT (bn)

en dus[T (x)]C = r1 [T (b1)]C + · · ·+ rn [T (bn)]C

Bijgevolg[T (x)]C = M [x]B

metM =

[[T (b1)]C [T (b2)]C · · · [T (bn)]C

]Men noemt

M de matrix van T relatief t.o.v. de basissen B en C(of transitiematrix)


5.5 Complexe eigenwaarden

Beschouw de matrix A =

[0 −11 0

]. De karakteristieke

vergelijking isλ2 + 1 = 0

Deze heeft geen reele nulpunten. Maar wel complexe nulpunten: ien −i .Elke n-de graadsveelterm heeft n nulpunten in de complexegetallen C = R + Ri .De theorie van matrixeigenwaarden en eigenvectoren is uiteengezetvoor Rn, maar blijft gelden voor Cn.Dus men noemt een complex getal λ een eigenwaarde van A alsdet(A− λI ) = 0. Dit is equivalent met het bestaan van een nietnulvector x ∈ Cn zodat Ax = λx.




5.8 Iteratieve schattingen voor eigenwaarden

Documents

LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespershomepages.ulb.ac.be/~efjesper/coursenotes1.pdf · 2013. 9. 23. · 1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra2. Matrix Algebra3. Determinanten4. Vectorruimten5