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Per una rotazione intorno ad un qualsiasi asse z , vale la relazione:. “Assi principali di inerzia”. L // w. In generale ossia non vale la relazione vettoriale :. Gli assi di rotazione per i quali il momento angolare è parallelo all’asse di rotazione - PowerPoint PPT Presentation
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U.Gasparini, Fisica I 1
Per una rotazione intorno ad un qualsiasi asse z , vale la relazione:
zOz IL In generale
ossia non vale la relazione vettoriale:L //
L IO z Gli assi di rotazione per i quali il momento angolare è parallelo all’asse di rotazionesi dicono “assi principali di inerzia”
Esempio:
dL
L dL
L z z
z è un asse principale di inerzia z non è un asse principaledi inerzia
r v
Si dimostra che un qualsiasi corpo possiede almeno tre assi principali di inerzia
mutuamente perpendicolari.
“Assi principali di inerzia”
2
Per una rotazione intorno ad un asse generico, la relazione tra il momento angolare L
e la velocità angolare è data dal “tensore di inerzia” (o “matrice di inerzia”) :
L Ij jk kk
1
3
(j= 1, 2, 3 )
L
L
L
I I I
I I I
I I I
I I I
I I I
I I I
x
y
z
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
x
y
z
xx x xy y xz z
yx x yy y yz z
zx x zy y zz z
dove :I y z dm Ixx x
corpo
( )2 2
I x z dm Iyy y
corpo
( )2 2 I x y dm Izz z
corpo
( )2 2
I I xydmxy yx
corpo
I I xzdmxz zx
corpo
I I yzdmyz zy
corpo
gli elementi diagonali della matrice di inerzia sono i momenti d’inerzia del corpo rispetto agli assi coordinati ; inoltre, per gli elemnti non diagonali:
la matrice d’inerzia è simmetrica
momento d’inerzia del corporispetto all’asse x
“Tensore di inerzia”
U.Gasparini, Fisica I 3
L r v dm r r dmO ( ) [ ( )]
( ) [( ) ( ) ( ) ]xu yu zu z y u x z u y x u dmx y z y z x z x y x y z
L y y x z x z dmx x y z x [ ( ) ( )]
L y z dm xydm xzdmx x y z ( )2 2
L I I Ix xx x xy y xz z
e analoghe espressioni per L y , Lz .
r
dm
ux
uy
uz
asse di rotazione r xu yu zux y z
x x y y z zu u u
x
z
y
Gli elementi della matrice d’inerzia
U.Gasparini, Fisica I 4
L
L
L
I I I
I I I
I I I
x
y
z
xx x xy y xz z
yx x yy y yz z
zx x zy y zz z
Dato un asse di rotazione, è possibile scegliere un’asse coordinato (ad es. l’asse z) lungo la direzione di rotazione; in questo caso:l’espressione per il momento angolare:
( , , )0 0
si semplifica :L Ix xz
L Iy yz L I Iz zz z
componente delmomento angolarelungo l’asse di rotazione
Tuttavia, essendo in generaleil momento angolare ha componenti lungo gli assi x,y
perpendicolari all’asse di rotazione, ossia L //
I Ixz yz 0 0, ,
Se I Ixz yz 0 , l’asse z e’ un asse principale di inerzia.
Un sistema di coordinate nel quale la matrice di inerzia è diagonale costituisce un sistema di assi principali di inerzia
Momento anolare e matrice d’inerzia
5
Il momento d’inerzia I z’ rispetto ad un generico asse z’ di rotazione passante per un punto O e individuato dal versore
è esprimibile in funzione del tensore di inerzia Ijk :
u u u ux y z( , , )
I I u I u I u I u u I u u I u uz xx x yy y zz z xy x y xz x z yz y z' ( ) 2 2 2 2
z’
x y
z
u u u ux y z( , , )
R r
R r r u sin
O
I R dm r u dmz ' ( ) 2 2
I yu zu xu zu xu yu dmz z y z x y x' [( ) ( ) ( ) ] 2 2 2
dm
y u z u yzu uz y z y2 2 2 2 2 x u z u xzu uz x z x
2 2 2 2 2 x u y u xyu uy x x y
2 2 2 2 2
[ ( ) ( ) ( )
]
u y z u x z u x y
yzu u xzu u xyu u dm
x y z
y z x z x y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
u y z dm u x z dm u x y dm
u u yzdm u u xzdm u u xydm
x y z
y z x z x y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
Ixx Iyy
Izz
Teorema di Poinsot
U.Gasparini, Fisica I
I I u I u I u I u u I u u I u uz xx x yy y zz z xy x y xz x z yz y z' ( ) 2 2 2 2
L’equazione che esprime il momento d’inerzia:
può essere riscritta, dividendo ambo i membri per :
I X I Y I Z I XY I XZ I YZxx yy zz xy xz yz2 2 2 2 2 2 1
con :
I z '
XI
u YI
u ZI
uz
xz
yz
z 1 1 1
' ' '
, ,
(1)
la (1) è l’equazione di un ellissoide, detto “ellissoide di inerzia” del corpo rispetto
al generico punto O del corpo: essa individua la superficie i cui punti
Il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse z’ passante per un punto O del corpo è individuato dall’intersezione P dell’asse z’ con l’ellissoide d’inerzia del corpo
mediante la relazione:
P X Y ZI
u u uz
x y z ( , , ) ( , , )'
1
sono a distanzaOPI z
1
'
dal punto O
coseni direttori dell’asse z’
IOP
z ' 1
2
O
P
XY
Zz’
OPI z
1
'
(“Teorema di Poinsot”)
Ellissoided’inerzia
“Ellissoide di inerzia”
U.Gasparini, Fisica I 7
Dato un generico punto O del corpo, la forma ed orientazione nello spazio dell’ellissoide d’inerzia rispetto ad O e’ caratteristica del corpo e non dipende dagli assi coordinati ; solo il valore degli elementi della matrice d’inerzia
dipende da questa scelta I jk
O
P
X
Y
z’
OPI z
1
'
Ellissoided’inerzia
O
P
X’
Y’
z’Z’
equazione dell’ellissoide:
Z
I X I Y I Z
I XY I XZ I YZ
xx yy zz
xy xz yz
2 2 2
2 2 2 1
I X I Y I Z
I X Y I X Z I Y Z
x x y y z z
x y x z y z
' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' '
' ' '
' ' ' ' ' '
2 2 2
2 2 2 1
I Ixx x x ' ' I Iyy y y ' ', , … ecc .E’ sempre possibile “diagonalizzare” la matrice d’inerzia, ossia trovare un sistema di assi coordinati per il quale sia:
I
I
I
I
xx
yy
zz
0 0
0 0
0 0
XY
ZI X I Y I Zxx yy zz
2 2 2 1 equazione dell’ellissoide:
X,Y,Z “assi principali d’inerzia”: per rotazioni intorno ad essi:
L I jj (j=x,y,z)
Ellissoide d’inerzia e assi principali
U.Gasparini, Fisica I 8
i) ellissoide d’inerzia di una sfera di raggio R:
corpo sferico omogeneo
R
1 1
25
2IMR
l’ ellissoide d’inerzia è una sfera
ii) ellissoide d’inerzia di un cilindro di lunghezza e raggio r :
I MRz 2
52
IM
z 2
12
IM
x 2
12
IMr
y 2
2
x
y
z
r
corpo cilindrico
1 122/ /M
1 22/ /Mr
ellissoide d’inerzia
Esempi di ellissoide d’inerzia:
U.Gasparini, Fisica I 9
Rototraslazione di un corpo rigido di sezione circolare (disco,cilindro,sfera) su di un piano, per il quale il punto P (o i punti) di contatto tra il corpo ed il piano è fermo
rispetto a questo ( non vi è strisciamento )
x
y
z
vGG
P
Condizione cinematica: vP 0
v v vP P G ' 0
velocità relativadi P rispetto al CM
velocità del CM
v vP G'
v v RG P '
R
velocità angolaredi rotazione
a RG accelerazione angolare
Moto di “puro rotolamento”
Derivando rispetto al tempo:
U.Gasparini, Fisica I 10
xzaG
G
P
R
y
Se una forza F viene applicata in G, nel punto di contatto P si sviluppa una reazione vincolare f che ha una componente lungo il piano: si ha cioè una forza d’attrito staticoperchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento il piano d’appoggio deveessere scabro.Ciò è evidente dalla equazione del momento angolare rispetto al CM :
fF
dL
dtM GP fG
GE
( )
Proiettando lungo l’asse z :
dL
dtI GP f GP f RfGzGz
z
y x x
f x 0
è la forza d’attrito statico in P (l’unica che ha un momento rispetto a G) ad essere responsabile dell’accelerazione angolare del sistema
richiesta perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento. a RG /
Moto di puro rotolamento (II)
U.Gasparini, Fisica I 11
Una forza d’attrito statico che agisce in un unico punto geometrico di contatto tra superfici indeformabili è una schematizzazione; in realtà si ha una deformazione dellesuperfici di contatto, lungo le quali si sviluppano reazioni vincolari la cui risultante ha una componente lungo la direzione del moto, detta “attrito volvente”:
aCM aCMf
x
G F
Ma R F mg fCME
( )Dal teorema del moto del CM:
proiettando lungo la direzione del moto (asse x ) :Ma M R F fCMx z x
f R Ix Gz/
( si noti:a RCMx z )
z
v RCMx z
F f MR Ix Gz1 2 / fF
MR Ix
Gz
1 2 / < 0.
Ma FMR I
FMR I
MR ICMxG
G
G
1
1
1 12
2
2/
/
/
aF M
I MRCMx
G
/
/1 2 < F / M
“Attrito volvente”
12
Esempio:
momento di inerzia rispetto all’asse z passante per G:
x
z
aG
G
P
R
y
fF
2
2
1MRIG
3/1 2
F
IMR
Ff
Gx
aF M
I MR
F MCMx
G
/
/
/
/1 1 1 22a
F
MCMx 2
3
F f
Mx
L’accelerazione aCM è inferiore a quella che si avrebbe per un punto materiale di massa M soggetto alla stessa forza F.
Il lavoro compiuto dalla forza F in un tratto x :W F x E Mv I
MvF k G G G
1
2
1
2
1
2
3
22 2 2
determina un aumento di energia cinetica sia di traslazioneche di rotazione, mentre per un punto materiale:
v RG /
F x Mv 1
22
moto di puro rotolamento di un disco omogeneo di raggio R e massa M
U.Gasparini, Fisica I 13
La rotazione può essere considerata come
xzaG
G
P
R
y
fF
dL
dtM PG FP
PE
( )
Il teorema del momento angolare (calcolato rispetto al punto fisso P ), dà:
dL
dtI PG F RFPzPz z
z
con :2
2
2
3MR
MRII GP
Ciò permette di calcolare immediatamente a CM :
MR
F
I
RF
Pz 3
2 a R
F
MCM 2
3
e quindi f x : f Ma FF
x CM 3 , come già trovato.
rotazione istantanea intorno al punto fisso di contatto P :
U.Gasparini, Fisica I 14
La forza d’attrito statico fx non sempre è opposta al moto; ad esempio, se la forza
‘motrice’ F è applicata nel punto A sulla sommità del disco:
xzaG
G
P
R
y
f
F
RFFPAIdt
dL
zzP
Pz 2
A
2
2
3MRIP
MR
F
I
RF
Pz 3
42 a R
F
MCM 4
3
f Ma FF
x CM 3
0.
Forza d’attrito statico nel puro rotolamento
con:
U.Gasparini, Fisica I 15
“Giroscopio” : corpo rigido rotante con un punto mantenuto fisso da un sistema di vincoli; l’asse di rotazione, passante per il punto fisso, in generale varia la sua orientazione ed il moto risultante può risultare molto complicato.
Se il punto fisso è il centro di massa e non esistono forze esterne aventi momento risultante diverso da zero rispetto ad esso:
MG
E( ) 0 ( le reazioni vincolari che sostengono il giroscopio hanno momento nullo rispetto al CM )
il momento angolare rimane costante: L G=costante
Se l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia: =costante
la direzione di rotazione rimane costante in un sistema inerziale :
“bussola giroscopica”“giunto cardanico”massa rotante
asse di rotazione(fisso in un sistemainerziale)
x ’
y’z ’
z
Giroscopio
U.Gasparini, Fisica I 16
Se al giroscopio viene applicato un momento esterno si ha un “moto di precessione”
del momento angolare e dell’asse di rotazione del giroscopio :
z PG
M GP FdL
dtGG
F
LGdLG
moto diprecessione
Se M G(E) = 0 ma l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia ( )
l’asse di rotazione ruota intorno alla direzione costante di L : moto di “nutazione”
L / /
Esempio: moto della Terra:l’asse di rotazione compie un motodi nutazione con periodo di 19 anni(l’angolo tra L ed è comunque molto piccolo)
LG
S
N
Precessione e nutazione
U.Gasparini, Fisica I 17
Sotto l’ azione della forza peso:
LO
d
dLO
moto di precessione
O Omg
G
dL L dO O sin dL
dtL
d
dtL M mg OGO
O O O
sin sin sin
“velocità angolare di precessione”
mg OG
LO
mgOG
Ila velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale alla velocità
angolare di rotazione della trottola
Esempio: moto di precessione di una trottola