Embed Size (px)
Citation preview
Assingment 1 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ สมการเชงิอนพัุนธอันดับหนึง่ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 1 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงแสดงวา y =1 + cet
1− cetเมือ่ c เปนคาคงตัวไมเจาะจง เปนผลเฉลยทัว่ไปของสมการ
dy
dt=
1
2(y2 − 1)
และหาผลเฉลยเฉพาะของสมการดังกลาวเมือ่ y(0) = 0
ขอ 2-4 จงหาผลเฉลยทัว่ไปของสมการ2. (x2 + 1)y′ + y2 + 1 = 0
3. 2xydx+ (x2 + y2)dy = 0
4. (ey + yex)dx+ (ex + xey)dy = 0
1
เฉลย Assingment 1 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ สมการเชงิอนพัุนธอันดับหนึง่ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 1 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงแสดงวา y =1 + cet
1− cetเมือ่ c เปนคาคงตัวไมเจาะจง เปนผลเฉลยทัว่ไปของสมการ
dy
dt=
1
2(y2 − 1)
และหาผลเฉลยเฉพาะของสมการดังกลาวเมือ่ y(0) = 0วธิทีำ จะเห็นวา
dy
dt=
(1− cet)cet − (1 + cet)(−cet)
(1− cet)2
=cet − c2e2t + cet + c2e2t
(1− cet)2
=2cet
(1− cet)2
พิจารณา
1
2(y2 − 1) =
1
2
[(1 + cet
1− cet
)2
− 1
]
=1
2
[1 + 2cet + c2e2t
1− 2cet + c2e2t− 1
]=
1
2
[1 + 2cet + c2e2t − (1− 2cet + c2e2t)
1− 2cet + c2e2t
]=
1
2
[4cet
(1− cet)2
]=
2cet
(1− cet)2=
dy
dt
ดังน้ัน y =1 + cet
1− cetเปนผลเฉลยทัว่ไปของสมการนี้ จาก y(0) = 0 จะไดวา
0 = y(0) =1 + c
1− c
0 = 1 + c
c = −1
ดังน้ัน y =1− et
1 + etเปนผลเฉลยเฉพาะของสมการนี้
2
2. (x2 + 1)y′ + y2 + 1 = 0วธิทีำ
(x2 + 1)dy
dx+ y2 + 1 = 0
(x2 + 1)dy = −(y2 + 1)dx
1
y2 + 1dy = − 1
x2 + 1dx∫
1
y2 + 1dy =
∫− 1
x2 + 1dx
arctan(y) = − arctan(x) + c
ดังน้ันผลเฉลยของสมการนี้คอื arctan(y) + arctan(x) = c #
3. 2xydx+ (x2 + y2)dy = 0
วธิทีำ ให M(x, y) = 2xy และ N(x, y) = x2 + y2
วธิทีี ่ 1. พิจารณา
M(kx, ky) = 2(kx)(ky) = 2k2xy = k2(2xy) = k2M(x, y)
N(x, y) = (kx)2 + (ky)2 = k2x2 + k2y2 = k2(x2 + y2) = k2N(x, y)
จะไดวาสมการนี้ เปนสมการเอกพันธุ ให y = vx จะไดวา dy = vdx+ xdv นัน่คอื
2x(vx)dx+ (x2 + v2x2)(vdx+ xdv) = 0
2x2vdx+ x2vdx+ x3dv + v3x2dx+ v2x3dv = 0
(2x2v + x2v + v3x2)dx+ (x3 + v2x3)dv = 0
x2(3v + v3)dx+ x3(1 + v2)dv = 0
1
xdx = − 1 + v2
3v + v3dv∫
1
xdx =
∫− 1 + v2
3v + v3dv
lnx = −∫
1
3v + v3d(v +
1
3v3)
lnx = −1
3
∫1
3v + v3d(3v + v3)
lnx = −1
3ln(3v + v3) + c
lnx = −1
3ln(3y
x+(yx
)3)+ c #
หรอื − 3 lnx = ln(3y
x+(yx
)3)− 3c
x−3 =
(3y
x+(yx
)3)e−3c
x−3e3c =3y
x+
y3
x3
c1 = 3x2y + y3 เมือ่ c1 = e3c
ดังน้ัน 3x2y + y3 = c1 หรอื lnx = −1
3ln(3y
x+(yx
)3)+ c เปนผลเฉลยของสมการนี้
3
วธิทีี ่ 2. พิจารณา∂M
∂y= 2x =
∂N
∂x
ดังน้ันสมการอนพัุนธนี้ เปนสมการแมนตรง มีผลเฉลยเปน F (x, y) = c โดยที่
F (x, y) =
∫M(x, y)dx =
∫2xydx = x2y + c(y)
จาก ∂F
∂y= N(x, y) จะไดวา
x2 + c′(y) = x2 + y2
c′(y) = y2
c(y) =1
3y3 + c1
ดังน้ัน F (x, y) = x2y + 13y3 + c1 สรปุไดวาผลเฉลยของสมการนี้คอื x2y + 1
3y3 = c2 #
4. (ey + yex)dx+ (ex + xey)dy = 0
วธิทีำ ให M(x, y) = ey + yex และ N(x, y) = ex + xey พิจารณา∂M
∂y= ex + ey และ ∂N
∂x= ex + ey
จะเห็นวา ∂M
∂y=
∂N
∂xสรปุไดวาเปนสมการแมนตรง มีผลเฉลยคอื F (x, y) = c โดยที่
F (x, y) =
∫M(x, y)dx =
∫ey + yexdx = xey + yex + c(y)
จาก ∂F
∂y= N(x, y) จะไดวา
xey + ex + c′(y) = ex + xey
c′(y) = 0
c(y) = c1
ดังน้ัน F (x, y) = xey + yex + c1 สรปุไดวาผลเฉลยของสมการนี้คอื xey + yex = c2 #
4
Assingment 2 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ สมการเชงิเสนอันดับหนึง่ และผลเฉลยเดยีว คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 2 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาผลเฉลยทัว่ไปของสมการ y(1 + x2y)dx− xdy = 0
2. จงหาผลเฉลยทัว่ไปของสมการ 2(y − 3 sinx) cos xdx+ sinxdy = 0
3. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ x2 dy
dx− 2xy = 3y4 เมือ่ y(1) = 1
4. จงหาผลเฉลยเดยีวของสมการ y′′ − 2y′ + y = 0 เมือ่ y(0) = 1 และ y′(0) = 2
โดยที่ ex, xex เปนผลเฉลยของสมการดังกลาว
5
เฉลย Assingment 2 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ สมการเชงิเสนอันดับหนึง่ และผลเฉลยเดยีว คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 2 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาผลเฉลยทัว่ไปของสมการ y(1 + x2y)dx− xdy = 0
วธิทีำ ให M(x, y) = y + x2y2 และ N(x, y) = −x จะไดวา∂M
∂y= 1 + 2x2y และ ∂N
∂x= −1
จะไดวา
g(y) =1
M
(∂N
∂x− ∂M
∂y
)=
1
y(1 + x2y)(−1− (1 + 2x2y)) =
1
y(1 + x2y)· (−2)(1 + x2y) = −2
y
ดังน้ันµ = e
∫g(y)dy = e
∫− 2
ydy = e−2 ln y = y−2
พิจารณาy−2y(1 + x2y)dx− y−2xdy = 0
y−1dx+ x2dx− y−2xdy = 0
(y−1dx− y−2xdy) + x2dx = 0
d(y−1x) + x2dx = 0
y−1x+x3
3= c
ดังน้ัน y−1x+ x3
3= c เปนผลเฉลยของสมการนี้ #
2. จงหาผลเฉลยทัว่ไปของสมการ 2(y − 3 sinx) cos xdx+ sinxdy = 0วธิทีำ
2(y − 3 sinx) cos x+ sinxdy
dx= 0
2y cosx− 6 sin x cos x+ sinxdy
dx= 0
sin xdy
dx+ (2 cos x)y = 6 sinx cosx
dy
dx+ (2 cot x)y = 6 cos x
ให P (x) = 2 cotx และ Q(x) = 6 cos x จะไดวาµ = e
∫2 cotxdx = e2 ln sinx = sin2 x
ดังน้ันผลเฉลยของสมการนี้คอื
y =1
sin2 x
(∫sin2 x(6 cosx)dx+ c
)= csc2 x
(6
∫sin2 xd sinx+ c
)= csc2 x
(2 sin3 x+ c
)#
6
3. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ x2 dy
dx− 2xy = 3y4 เมือ่ y(1) = 1
วธิทีำ จัดรปูสมการใหมไดเปนdy
dx− 2
xy =
3
x2y4
จะเห็นวาสมการนี้ เปนสมการแบรนลูลโีดยที่ n = 4 ให z = y4−1 = y−3 จะไดวา
P (x) = −2
xและ Q(x) =
3
x2
แลวµ = e
∫(1−n)P (x)dx = e
∫6xdx = e6 lnx = x6
ดังน้ันผลเฉลยทัว่ไปของสมการนี้คอื
z =1
µ
(∫(1− n)µQ(x) dx+ c
)y−3 =
1
x6
(∫(−3)x6 · 3
x2dx+ c
)= x−6
(∫−9x4dx+ c
)= x−6
(−9x5
5+ c
)
จาก y(1) = 1 จะไดวา
1 = 1
(−9
5+ c
)c =
14
5
ดังน้ันผลเฉลยเฉพาะของสมการนี้คอื
y−3 = x−6
(−9
5x5 +
14
5
)#
4. จงหาผลเฉลยเเดยีวของสมการ y′′ − 2y′ + y = 0 เมือ่ y(0) = 1 และ y′(0) = 2
โดยที่ ex, xex เปนผลเฉลยของสมการดังกลาววธิทีำ เนือ่งจาก ex, xex เปนผลเฉลยของสมการ ดังน้ัน y = c1e
x + c2xex เปนผลเฉลยทัว่ไปของสมการนี้ดวย
โดยเงือ่นไขทีก่ำหนดใหจะไดวา
1 = y(0) = c1 + 0
ดังน้ัน c1 = 1 และ y′ = c1ex + c2e
x + c2xex จะไดวา
2 = y′(0) = 1 + c2
แลว c2 = 1 สรปุไดวา y = ex + xex เปนผลเฉลยเดยีวของสมการนี้ #
7
Assingment 3 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ อสิระเชงิเสน และสมการชวย คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 3 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงตรวจสอบวา f1, f2, f3 เปนอสิระเชงิเสนตอกันหรอืไม เมือ่ f1(t) = 1, f2(t) = sin2 t, f3(t) = cos2 t
2. จงใชฟงกชัน e2x, xex, x2, x+ 1 หาผลเฉลยบรบูิรณของสมการ (2x+ 1)y′′ − (4x+ 4)y′ + 4y = 0
3. จงหาผลเฉลยบรบูิรณของสมการ(a) y′′ − 4y′ − 5y = 0
(b) 4y′′ + 4y′ + y = 0
(c) y′′′ − 3y′′ + y′ + 5y = 0
4. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการy′′′ − 3y′′ + 4y = 0
เมือ่ y(0) = 1, y′(0) = −8 และ y′′(0) = −4
8
เฉลย Assingment 3 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ อสิระเชงิเสน และสมการชวย คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 3 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงตรวจสอบวา f1, f2, f3 เปนอสิระเชงิเสนตอกันหรอืไม เมือ่ f1(t) = 1, f2(t) = sin2 t, f3(t) = cos2 tวธิทีำวธิทีี ่ 1. พิจารณา
c1f1(t) + c2f2(t) + c3f3(t) = c1 + c2 sin2 t+ c3 cos2 t = 0
เลอืก c1 = −1, c2 = c3 = 1 จะไดวา
−1 + sin2 t+ cos2 t = −1 + 1 = 0
ดังน้ัน f1, f2, f3 ไมเปนอสิระเชงิเสนตอกันวธิทีี ่ 2. เนือ่งจาก f ′
2(t) = 2 sin t cos t = sin 2t และ f ′3(t) = −2 cos t sin t = − sin 2t และพิจารณา∣∣∣∣∣∣
1 sin2 t cos2 t0 sin 2t − sin 2t0 2 cos 2t −2 cos 2t
∣∣∣∣∣∣ = 1
∣∣∣∣ sin 2t − sin 2t2 cos 2t −2 cos 2t
∣∣∣∣= −2 sin 2t cos 2t+ 2 sin 2t cos 2t = 0 ทกุ ๆ t ∈ R
ดังน้ัน f1, f2, f3 ไมเปนอสิระเชงิเสนตอกัน2. จงใชฟงกชัน e2x, xex, x2, x+ 1 หาผลเฉลยบรบูิรณของสมการ (2x+ 1)y′′ − (4x+ 4)y′ + 4y = 0
วธิทีำ ให y1 = e2x และ y2 = x+ 1 จะไดวา y′1 = 2e2x, y′′1 = 4e2x, y′2 = 1 และ y′′2 = 0 จะไดวา
(2x+ 1)y′′1 − (4x+ 4)y′1 + 4y1 = (2x+ 1)(4e2x)− (4x+ 4)(2e2x) + 4e2x
= 8xe2x + 4e2x − 8xe2x − 8e2x + 4e2x = 0
(2x+ 1)y′′2 − (4x+ 4)y′2 + 4y2 = (2x+ 1)(0)− (4x+ 4)(1) + 4(x+ 1)
= −4x− 4 + 4x+ 4 = 0
ดังน้ัน y1, y2 เปนคำตอบของสมการ และ∣∣∣∣ e2x x+ 12e2x 1
∣∣∣∣ = e2x − (x+ 1)2e2x = −2xe2x − e2x = −1 เมือ่เลอืก x = 0
นัน่คอื y1, y2 เปนอสิระเชงิเสนตอกัน สรปุไดวาผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอื y = c1e2x + c2(x+ 1) #
3. จงหาผลเฉลยบรบูิรณของสมการ(a) y′′ − 4y′ − 5y = 0
วธิทีำ สมการชวยคอื m2 − 4m− 5 = (m− 5)(m+ 1) = 0 จะไดวา m = −1, 5
ดังน้ันผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอื y = c1e−x + c2e
5x #(b) 4y′′ + 4y′ + y = 0
วธิทีำ สมการชวยคอื 4m2 + 4m+ 1 = (2m+ 1)2 = 0 จะไดวา m = −1
2,−1
2
ดังน้ันผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอื y = c1e− 1
2x + c2xe
− 12x #
9
(c) y′′′ − 3y′′ + y′ + 5y = 0วธิทีำ สมการชวยคอื m3 − 3m2 +m+ 5 = 0 จะไดวา
(m+ 1)(m2 − 4m+ 5) = 0
(m+ 1)[(m− 2)2 + 1] = 0
m = −1, 2± i
ดังน้ันผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอื y = c1e−x + e2x[c2 cosx+ c3 sinx] #
4. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการy′′′ − 3y′′ + 4y = 0
เมือ่ y(0) = 1, y′(0) = −8 และ y′′(0) = −4วธิทีำ สมการชวยคอื m3 − 3m2 + 4 = 0 จะไดวา
(m+ 1)(m2 − 4m+ 4) = 0
(m+ 1)(m− 2)2 = 0
m = −1, 2, 2
ดังน้ันผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอื y = c1e−x + c2e
2x + c3xe2x จะไดวา
y′ = −c1e−x + 2c2e
2x + c3e2x + 2c3xe
2x
y′′ = c1e−x + 4c2e
2x + 4c3e2x + 4c3xe
2x
จากเงือ่นไข y(0) = 1, y′(0) = −8 และ y′′(0) = −4 จะไดวา
y(0) = c1 + c2 = 1 .............(1)y′(0) = −c1 + 2c2 + c3 = −8 .............(2)y′′(0) = c1 + 4c2 + 4c3 = −4 .............(3)
(1) + (2) : 3c2 + c3 = −7 .............(4)(2) + (3) : 6c2 + 5c3 = −12 .............(5)2× (4) : 6c2 + 2c3 = −14 .............(6)
(5)− (6) : 3c3 = 2 .............(7)
จะได c3 = 2
3แลวแทน c3 ในสมการ (4) และแทน c2 ในสมการ (1)
3c2 +2
3= −7
3c2 = −7− 2
3= −23
3
c2 = −23
9
c1 −23
9= 1
c1 = 1 +23
9=
32
9
ดังน้ันผลเฉลยเฉลยเฉพาะของสมการนี้คอื
y =32
9e−x − 23
9e2x +
2
3xe2x #
10
Assingment 4 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ตัวดำเนนิการ และการหาผลเฉลยโดยใชตัวดำเนนิการ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 4 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาผลคณูของตัวดำเนนิการ (D − 1)(D2 − xD + 1)
2. จงหานพิจนตอไปนี้ (xD2 +D − 2)(ex + x cosx)
3. จงหาผลเฉลยของสมการตอไปนี้ โดยใชตัวดำเนนิการ(a) 25y′′′ + y′ = 0
(b) (D5 − 16D)(D2 + 2D + 5)2y = 0
4. จงหาผลเฉลยของสมการตอไปนี้ โดยใชตัวดำเนนิการ(a) y′′′ − 4y′′ + 5y′ = 0
(b) (D − 1)2(D2 + 1)2(D2 − 1)y = 0
11
เฉลย Assingment 4 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ตัวดำเนนิการ และการหาผลเฉลยโดยใชตัวดำเนนิการ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 4 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาผลคณูของตัวดำเนนิการ (D − 1)(D2 − xD + 1)
วธิทีำ พิจารณา(D − 1)(D2 − xD + 1)f = (D − 1)(D2f − xDf + f)
= D(D2f − xDf + f)− (D2f − xDf + f)
= D3f −D(xDf) +Df −D2f + xDf − f
= D3f − (Dx)Df − xD(Df) +Df −D2f + xDf − f
= D3f −Df − xD2f +Df −D2f + xDf − f
= D3f − (x+ 1)D2f + xDf − f
= (D3 − (x+ 1)D2 + xD − 1)f
ดังน้ัน (D − 1)(D2 − xD + 1) = D3 − (x+ 1)D2 + xD + 1 #
2. จงหานพิจนตอไปนี้ (xD2 +D − 2)(ex + x cosx)วธิทีำ จะไดวา
(xD2 +D − 2)(ex + x cos x) = xD2(ex + x cos x) +D(ex + x cosx)− 2(ex + x cosx)= xD(Dex +D(x cos x)) +Dex +D(x cos x)− 2ex − 2x cos x= xD(ex + cos x− x sinx) + ex + cos x− x sinx− 2ex − 2x cosx= x(Dex +D cos x−D(x sinx))− ex + cos x− x sinx− 2x cos x= x(ex − sin x− sinx− x cos x)− ex + cos x− x sinx− 2x cos x= xex − 2x sinx− x2 cos x− ex + cos x− x sin x− 2x cosx= xex − ex − 3x sinx− x2 cos x+ cos x− 2x cosx #
3. จงหาผลเฉลยของสมการตอไปนี้ โดยใชตัวดำเนนิการ(a) 25y′′′ + y′ = 0
วธิทีำ ให D =d
dxจะไดวา
(25D3 +D)y = 0
D(25D2 + 1)y = 0
D
[D2 +
1
25
]y = 0
ดังน้ันผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอื y = c1 + c2 cos(15x) + c3 sin(1
5x) #
(b) (D5 − 16D)(D2 + 2D + 5)2y = 0
วธิทีำ พิจารณาD(D4 − 16)[(D + 1)2 + 4]2 = 0
D(D2 − 4)(D2 + 4)[(D + 1)2 + 4]2 = 0
D(D − 2)(D + 2)(D2 + 4)[(D + 1)2 + 4]2 = 0
ดังน้ันผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอืy = c1 + c2e
2x + c3e−2x + c4 cos 2x+ c5 sin 2x+ (c6 + c7x)e
−x cos 2x+ (c8 + c9x)e−x sin 2x #
12
4. จงหาผลเฉลยของสมการตอไปนี้ โดยใชตัวดำเนนิการ(a) y′′′ − 4y′′ + 5y′ = 0
วธิทีำ ให D =d
dxจะไดวา
(D3 − 4D2 + 5D)y = 0
D(D2 − 4D + 5)y = 0
D[(D − 2)2 + 1]y = 0
ดังน้ันผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอื y = c1 + e2x(c2 cos x+ c3 sinx) #(b) (D − 1)2(D2 + 1)2(D2 − 1)y = 0
วธิทีำ พิจารณา
(D − 1)2(D2 + 1)2(D − 1)(D + 1)y = 0
(D − 1)3(D + 1)(D2 + 1)2y = 0
ดังน้ันผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอื
y = c1ex + c2xe
x + c3x2ex + c4e
−x + (c5 + c6x) cosx+ (c7 + c8x) sin x #
13
Assingment 5 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ วธิีการเทยีบสัมประสทิธิ์ และตัวดำเนนิการผกผัน และการหาผลเฉลยโดยใชตัวดำเนนิการ คะแนน10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 5 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาหาผลเฉลยบรบูิรณของ y′′ − y′ = 4ex โดยใชวธิเีทยีบสัมประสทิธิ์
2. จงหาหาผลเฉลยบรบูิรณของ y′′ − 2y′ − 15y = 130 sinx โดยใชวธิเีทยีบสัมประสทิธิ์
3. จงหารปูแบบปรพัินธเฉพาะของสมการ y′′ − 3y′ + 2y = 1 + xex + xex cosx
4. จาหาปรพัินธเฉพาะของสมการ y′′ − y = ex + x2 + x โดยใชตัวดำเนนิการผกผัน5. จาหาปรพัินธเฉพาะของสมการ y′′ − y = ex(x2 − 1) โดยใชตัวดำเนนิการผกผัน
14
เฉลย Assingment 5 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ วธิกีารเทยีบสัมประสทิธิ์ และการหาผลเฉลยโดยใชตัวดำเนนิการ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 5 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
จงหาผลเฉลยบรบูิรณของสมการตอไปนี้ โดยใชวธิเีทยีบสัมประสทิธิ์1. y′′ − y′ = 4ex
วธิทีำ พิจารณาผลเฉลยสมการ y′′−y′ = 0 นั ่นคอื (D2−D)y = D(D−1)y = 0 ดังน้ัน yc = c1+ c2ex เนือ่งจาก
(D − 1)(4ex) = 0 จะไดวา(D − 1)D(D − 1)y = (D − 1)4ex
(D − 1)2Dy = 0
ผลเฉลยของสมการนี้คอื y = c1 + c2ex + Axex แลว yp = Axex จะไดวา
y′p = Aex + Axex
y′′p = 2Aex + Axex
ดังน้ันy′′p − y′p = 4ex
(2Aex + Axex)− (Aex + Axex) = 4ex
Aex = 4ex
จะได A = 4 ผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอืy = c1 + c2e
−x + 4xex #
2. y′′ − 2y′ − 15y = 130 sinx
วธิทีำ พิจารณาผลเฉลยสมการ y′′ − 2y′ − 15 = 0 นั ่นคอื (D2 − 2D − 15)y = (D − 5)(D + 3)y = 0
ดังน้ัน yc = c1e5x + c2e
−3x เนือ่งจาก (D2 + 1)(130 sinx) = 0 จะไดวา(D2 + 1)(D − 5)(D + 3)y = (D2 + 1)130 sinx = 0
ผลเฉลยของสมการนี้คอื y = c1e5x + c2e
−3x + A cos x+B sinx แลว yp = A cosx+B sinx จะไดวาy′p = −A sinx+B cos x และ y′′p = −A cos x−B sinx
ดังน้ันy′′p − 2y′p − 15yp = 130 sinx
(−A cos x−B sin x)− 2(−A sin x+B cos x)− 15(A cos x+B sinx) = 130 sinx
(−16A− 2B) cos x+ (−16B + 2A) sinx = 130 sinx
จะได −16A− 2B = 0 หรอื B = −8A และ −16B + 2A = 130 นัน่คอื−16(−8A) + 2A = 130
130A = 130
A = 1
แลว B = −8(1) = −8 สรปุไดวาผลเฉลยบรบูิรณของสมการนี้คอืy = c1e
5x + c2e−3x + cos x− 8 sinx #
15
3. จงหารปูแบบปรพัินธเฉพาะของสมการ y′′ − 3y′ + 2y = 1 + xex + xex cosxวธิทีำ พิจารณาสมการ (D2 − 3D + 2)y = 1 + xex + xex cos x นัน่คอื
(D − 2)(D − 1)y = 1 + xex + xex cosx
จะไดวา yc = c1ex + c2e
2x แลวD(D − 1)2[(D − 1)2 + 1]2(D − 2)(D − 1)y = D(D − 1)2[(D − 1)2 + 1]2(1 + xex + xex cos x) = 0
ฉะน้ัน y = c1ex + c2e
2x + A+Bxex + Cx2ex + ex(E cos x+ F sin x) + ex(Gx cos x+Hx sin x) ดังน้ันyp = A+Bxex + Cx2ex + ex(E cos x+ F sinx) + ex(Gx cosx+Hx sinx) #
4. จาหาปรพัินธเฉพาะของสมการ y′′ − y = ex + x2 + x โดยใชตัวดำเนนิการผกผันวธิทีำ
(D2 − 1)y = ex + x2 + x
yp =1
D2 − 1ex +
1
D2 − 1(x2 + x)
= ex1
(D + 1)2 − 11− 1
1−D2(x2 + x)
= ex1
D2 + 2D1− (1 +D2)(x2 + x)
= ex1
D(D + 2)e0x − (x2 + x)− 2
= ex1
D
[1
D + 2e0x]− x2 − x− 2
= ex1
D
[1
2
]− x2 − x− 2
=1
2xex − x2 − x− 2
5. จาหาปรพัินธเฉพาะของสมการ y′′ − y = ex(x2 − 1) โดยใชตัวดำเนนิการผกผันวธิทีำ
(D2 − 1)y = ex(x2 − 1)
yp =1
D2 − 1ex(x2 − 1)
= ex1
(D + 1)2 − 1(x2 − 1) = ex
1
D2 + 2D(x2 − 1)
= ex1
(D + 2)D(x2 − 1) = ex
1
D + 2
[1
D(x2 − 1)
]= ex
1
D + 2
[1
3x3 − x
]= ex
1
2(1 + D2)
[1
3x3 − x
]=
1
2ex
(1− D
2+
(D
2
)2
−(D
2
)3)[
1
3x3 − x
]=
1
2ex[1
3x3 − x− 1
2x2 +
1
2+
1
2x− 1
2
]= ex
[1
6x3 − 1
4x2 − 1
4x
]#
16
Assingment 6 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ตัวดำเนนิการผกผัน (ตอ) และการแปรพารามิเตอร คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 6 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
ขอ 1-4 จงหาปรพัินธเฉพาะของสมการตอไปนี้ โดยใชตัวดำเนนิการผกผัน1. (D2 + 2D + 2)y = x2 + ex sinx
2. D2(D − 2)2y = 48e2x + ex cosx
3. (D2 + 1)y = x sinx
4. (D2 + 1)y = x cos x
5. จงหาผลเฉลยโดยการแปรพารามิเตอร xy′ + 2y = cosx
6. จงหาผลเฉลยโดยการแปรพารามิเตอร y′′ + y = tanx
17
เฉลย Assingment 6 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ตัวดำเนนิการผกผัน (ตอ) และการแปรพารามิเตอร คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 6 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. (D2 + 2D + 2)y = x2 + ex sinxวธิทีำ จะไดวา
yp =1
D2 + 2D + 2x2 +
1
D2 + 2D + 2ex sinx
=1
2
[1
1 + D2+2D2
x2
]+ ex
1
(D + 1)2 + 2(D + 1) + 2sinx
=1
2
[1−
(D2 + 2D
2
)+
(D2 + 2D
2
)2]x2 + ex
1
D2 + 4D + 5sin x
=1
2
[1− D2
2−D +
(D4 + 4D3 + 4D2
4
)]x2 + ex
1
−12 + 4D + 5sinx
=1
2
[1− D2
2−D +D2
]x2 + ex
1
4D + 4sinx
=1
2
[1 +
D2
2−D
]x2 + ex(D − 1)
1
4(D2 − 16)sinx
=1
2
[x2 +
D2x2
2−Dx2
]+ ex(D − 1)
1
4(−12 − 1)sinx
=1
2
[x2 + 1− 2x
]− 1
8ex(D − 1) sinx
=1
2
[x2 − 2x+ 1
]− 1
8ex(cos x− sin x) #
2. D2(D − 2)2y = 48e2x + ex cosxวธิทีำ จะไดวา
yp = 481
D2(D − 2)2e2x +
1
D2(D − 2)2ex cos x
= 48e2x1
(D + 2)2D21 + ex
1
(D + 1)2(D − 1)2cosx
= 48e2x1
D2
[1
(D + 2)2e0x]+ ex
1
[(D + 1)(D − 1)]2cos x
= 48e2x1
D2
[e0x
1
(0 + 2)2
]+ ex
1
(D2 − 1)2cos x
= 48e2x1
D2
[1
4
]+ ex
1
(−12 − 1)2cosx
= 48e2x1
D
[1
D
1
4
]+ ex
1
4cosx
= 48e2x1
D
[1
4x
]+
1
4ex cos x
= 48e2x[1
8x2
]+
1
4ex cos x
= 6x2e2x +1
4ex cos x #
18
3. (D2 + 1)y = x sinxวธิทีำ
yp =1
D2 + 1x sinx = Im
(1
D2 + 1eixx
)= Im
(eix
1
(D + i)2 + 1x
)= Im
(eix
1
D2 + 2iDx
)= Im
(eix
1
D(D + 2i)x
)= Im
(eix
1
D + 2i
1
Dx
)= Im
(eix
1
D + 2i
1
2x2
)= Im
(eix
1
2i(1 + D2i)
1
2x2
)
= Im(eix
1
4i
(1− D
2i+
(D
2i
)2)x2
)
= Im(eix
1
4i
(x2 − 2x
2i+
2
−4
))= Im
(eix(−1
4x2i+
x
4+
1
8i
))= Im
((cos x+ i sin x)
(−1
4x2i+
x
4+
1
8i
))=
x
4sinx+
(−1
4x2 +
1
8
)cosx #
เนือ่งจาก sinx เปนผลเฉลยมูลฐานของสมการ y′′ + y = 0 ดังน้ัน
yp =x
4sinx− 1
4x2 cosx #
19
4. (D2 + 1)y = x cos xวธิทีำ
yp =1
D2 + 1x sinx = Re
(1
D2 + 1eixx
)= Re
(eix
1
(D + i)2 + 1x
)= Re
(eix
1
D2 + 2iDx
)= Re
(eix
1
D(D + 2i)x
)= Re
(eix
1
D + 2i
1
Dx
)= Re
(eix
1
D + 2i
1
2x2
)= Re
(eix
1
2i(1 + D2i)
1
2x2
)
= Re(eix
1
4i
(1− D
2i+
(D
2i
)2)x2
)
= Re(eix
1
4i
(x2 − 2x
2i+
2
−4
))= Re
(eix(−1
4x2i+
x
4+
1
8i
))= Re
((cos x+ i sinx)
(−1
4x2i+
x
4+
1
8i
))=
(1
4x2 − 1
8
)sin x+
x
4cos x #
เนือ่งจาก cos x เปนผลเฉลยมูลฐานของสมการ y′′ + y = 0 ดังน้ัน
yp =1
4x2 sinx+
x
4cos x #
20
5. จงหาผลเฉลยโดยการแปรพารามิเตอร xy′ + 2y = cosxวธิทีำ หา yc จากสมการ xy′ + 2y = 0 ดังน้ัน
xdy
dx= −2y
1
ydy = −2
xdx∫
1
ydy =
∫−2
xdx
ln |y| = −2 ln |x|+ c
y = e−2 lnx + c = elnx−2 · ec = c1x−2 เมือ่ c1 = ec
ดังน้ัน yp = ux−2 แลวy′p = u′x−2 − 2x−3u
จะไดวาxy′p + 2yp = tanx
x(u′x−2 − 2x−3u) + 2ux−2 = cosxx−1u′ − 2x−2u+ 2ux−2 = cosx
x−1u′ = cosxu′ = x cos x
u =
∫x cos x dx = x sinx+ cosx By part
ดังน้ันผลเฉลยบูรณของสมการy = c1x
−2 + x−2(x sinx+ cos x) #
6. จงหาผลเฉลยโดยการแปรพารามิเตอร y′′ + y = tanx
วธิทีำ หา yc จากสมการ y′′ + y = 0 หรอื (D2 + 1)y = 0 ดังน้ันyc = c1 cos x+ c2 sinx
ให y1 = cosx และ y2 = sinx แลว
W (y1, y2;x) =
∣∣∣∣ cos x sinx− sinx cosx
∣∣∣∣ = 1
ดังน้ัน yp = u1y1 + u2y2 โดยที่
u1 = −∫
y2W (y1, y2; x)
tanx
1dx = −
∫ sinx
1tanx dx
= −∫ sin2 x
cos x dx =
∫ cos2 x− 1
cosx dx
=
∫cos x− secx dx
= sin x− ln | secx+ tanx|และ
u2 =
∫y1
W (y1, y2;x)
tanx
1dx =
∫ cosx1
tanx dx =
∫sinx dx = − cosx
ดังน้ันผลเฉลยบรบูิรณคอืy = c1 cos x+ c2 sin x+ (sinx− ln | secx+ tanx|) cos x− cos x sinx #
21
Assingment 7 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ระบบสมการเชงิอนพัุนธ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 9 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
กำหนดให D =d
dtจงหาคำตอบของระบบสมการตอไปนี้
1.{
Dx = y
Dy = x
2.{
x′ = 2x− y − 12
y′ = x′ + y + 4et
3.
Dx − 6y = 0
x − Dy + z = 0
x + y − Dz = 0
4.
Dx = 2y
Dy = 2z
Dz = 2x
22
เฉลย Assingment 7 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ระบบสมการเชงิอนพัุนธ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 9 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
กำหนดให D =d
dtจงหาคำตอบของระบบสมการตอไปนี้
1.{
Dx = y
Dy = x
วธิทีำ จัดรปูสมการไดดังนี้ {Dx− y = 0
−x+Dy = 0
จะไดวา ∣∣∣∣D −1−1 D
∣∣∣∣x =
∣∣∣∣0 −10 D
∣∣∣∣(D2 − 1)x = 0
(D − 1)(D + 1)x = 0
ดังน้ัน x = c1et + c2e
−t เนือ่งจาก y = Dx ดังน้ันy = D(c1e
t + c2e−t) = c1e
t − c2e−t
ดังน้ันผลเฉลยของระบบสมการนี้คอืx(t) = c1e
t + c2e−t
y(t) = c1et − c2e
−t
2.{
x′ = 2x− y − 12
y′ = x′ + y + 4et
วธิทีำ จัดรปูสมการไดดังนี้ {(D − 2)x + y = −12
−Dx + (D − 1)y = 4et
จะไดวา ∣∣∣∣D − 2 1−D D − 1
∣∣∣∣x =
∣∣∣∣−12 14et D − 1
∣∣∣∣[(D − 2)(D − 1) +D]x = (D − 1)(−12)− 4et
(D2 − 2D + 2)x = 12− 4et
[(D − 1)2 + 1]x = 12− 4et
ดังน้ัน xc = et(c1 cos t+ c2 sin t) + xp โดยที่
xp =1
D2 − 2D + 2(12− 4et) = 12
1
D2 − 2D + 2e0t − 4et
1
12 − 2(1) + 2= 6− 4et
23
จะไดวา x = et(c1 cos t+ c2 sin t) + 6− 4et เนือ่งจาก x′ = 2x− y − 12 ดังน้ัน
y = 2x− 12− x′
= 2(et(c1 cos t+ c2 sin t) + 6− 4et)− 12−D(et(c1 cos t+ c2 sin t) + 6− 4et)
= 2et(c1 cos t+ c2 sin t) + 12− 8et − 12− et(c1 cos t+ c2 sin t)− et(−c1 sin t+ c2 cos t) + 4et
= et[(c1 − c2) cos t+ (c1 + c2) sin t]− 4et
ดังน้ันผลเฉลยของระบบสมการนี้คอื
x(t) = et(c1 cos t+ c2 sin t) + 6− 4et
y(t) = et[(c1 − c2) cos t+ (c1 + c2) sin t]− 4et
3.
Dx − 6y = 0
x − Dy + z = 0
x + y − Dz = 0
วธิทีำ จะไดวา ∣∣∣∣∣∣D −6 01 −D 11 1 −D
∣∣∣∣∣∣x =
∣∣∣∣∣∣0 −6 00 −D 10 1 −D
∣∣∣∣∣∣(0− 1
∣∣∣∣D −61 1
∣∣∣∣−D
∣∣∣∣D −61 −D
∣∣∣∣)x = 0
[−(D + 6)−D(−D2 + 6)]x = 0
(D3 − 7D − 6)x = 0
(D + 1)(D2 −D − 6)x = 0
(D + 1)(D − 3)(D + 2)x = 0
ดังน้ัน xc = c1e−t + c2e
3t + c3e−2t เนือ่งจาก Dx = 6y ดังน้ัน
6y = D(c1e−t + c2e
3t + c3e−2t)
6y = −c1e−t + 3c2e
3t − 2c3e−2t
นัน่คอื y = −16c1e
−t + 12c2e
3t − 13c3e
−2t เนือ่งจาก z = Dy − x ดังน้ัน
z = D
(−1
6c1e
−t +1
2c2e
3t − 1
3c3e
−2t
)− (c1e
−t + c2e3t + c3e
−2t)
=1
6c1e
−t +3
2c2e
3t +2
3c3e
−2t − c1e−t − c2e
3t − c3e−2t
= −5
6c1e
−t +1
2c2e
3t − 1
3c3e
−2t
ดังน้ันผลเฉลยของระบบสมการนี้คอื
x(t) = c1e−t + c2e
3t + c3e−2t
y(t) = −1
6c1e
−t +1
2c2e
3t − 1
3c3e
−2t
z(t) = −5
6c1e
−t +1
2c2e
3t − 1
3c3e
−2t
24
4.
Dx = 2y
Dy = 2z
Dz = 2x
วธิทีำ จัดรปูสมการไดดังนี้ Dx − 2y = 0
Dy − 2z = 0
−2x + Dz = 0
จะไดวา ∣∣∣∣∣∣D −2 00 D −2−2 0 D
∣∣∣∣∣∣x =
∣∣∣∣∣∣0 −2 00 D −20 0 D
∣∣∣∣∣∣(D3 − 8)x = 0
(D − 2)(D2 + 2D + 4)x = 0
(D − 2)[(D + 1)2 + 3
]x = 0
ดังน้ัน x = c1e2t + e−t
(c2 cos
√3t+ c3 sin
√3t) เนือ่งจาก 2y = Dx ดังน้ัน
2y = D(c1e
2t + e−t(c2 cos
√3t+ c3 sin
√3t))
2y = 2c1e2t − e−t
(c2 cos
√3t+ c3 sin
√3t)+ e−t
(−√3c2 sin
√3t+
√3c3 cos
√3t)
y = c1e2t + e−t
[1
2
(√3c3 − c2
)cos
√3t− 1
2
(√3c2 + c3
)sin
√3t
]เนือ่งจาก 2z = Dy จะไดวา
2z = Dc1e2t +D
(e−t
[1
2
(√3c3 − c2
)cos
√3t− 1
2
(√3c2 + c3
)sin
√3t
])2z = 2c1e
2t − e−t
[1
2
(√3c3 − c2
)cos
√3t− 1
2
(√3c2 + c3
)sin
√3t
]+ e−t
[−√3 · 1
2
(√3c3 − c2
)sin
√3t−
√3 · 1
2
(√3c2 + c3
)cos
√3t
]2z = 2c1e
2t + e−t
[1
2
(−√3c3 + c2
)cos
√3t+
1
2
(√3c2 + c3
)sin
√3t
]+ e−t
[1
2
(−3c3 +
√3c2
)sin
√3t− 1
2
(3c2 +
√3c3
)cos
√3t
]z = c1e
2t + e−t
[1
2(−
√3c3 − c2) cos
√3t+
1
2(−c3 +
√3c2) sin
√3t
]
ดังน้ันผลเฉลยของระบบสมการนี้คอื
x(t) = c1e2t + e−t
(c2 cos
√3t+ c3 sin
√3t)
y(t) = c1e2t + e−t
[1
2
(√3c3 − c2
)cos
√3t− 1
2
(√3c2 + c3
)sin
√3t
]z(t) = c1e
2t + e−t
[1
2(−
√3c3 − c2) cos
√3t+
1
2(−c3 +
√3c2) sin
√3t
]
25
Assingment 8 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ สมการโคช-ีออยเลอร จดุสามัญและจดุเอกฐาน คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 10 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาผลเฉลยของสมการ(a) x2y′′ + xy′ − y = 0
(b) xy′′′ + y′′ = x
2. จงหาผลเฉลยของสมการ(a) x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0
(b) xy(4) + 6y′′′ = x
3. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ x2y′′ + xy′ + y = 5x2 เมือ่ y(1) = 1, y′(1) = 2
4. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ (x− 1)2y′′ − 5(x− 1)y′ + 9y′ = 0 เมือ่ y(2) = y′(2) = 1
5. จงหาจดุสามัญ จดุเอกฐานปรกติ และจดุเอกฐานไมปรกติ ของสมการ (x2 − x4)y′′ − 2y′ + 9xy = 0
26
เฉลย Assingment 8 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ สมการโคช-ีออยเลอร จดุสามัญและจดุเอกฐาน คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 10 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาผลเฉลยของสมการ(a) x2y′′ + xy′ − y = 0
วธิทีำ เห็นไดชัดวาสมการนี้ เปนสมการโคช-ีออยเลอร ให z = lnx และ D = ddz
จะไดวา[D(D − 1) +D − 1]y = 0
(D2 − 1)y = 0
(D − 1)(D + 1)y = 0
จะไดวา y = c1ez + c2e
−z เนือ่งจาก ez = x ดังน้ันผลเฉลยของสมการนี้คอื y = c1x+ c21x
#(b) xy′′′ + y′′ = x
วธิทีำ เขียนสมการใหมไดเปน x3y′′′ + x2y′′ = x3 ดังน้ันสมการนี้ เปนสมการโคช-ีออยเลอร ให z = lnx และD = d
dzจะไดวา
[D(D − 1)(D − 2) +D(D − 1)]y = e3z
D(D − 1)(D − 1)y = e3z
D(D − 1)2y = e3z
จะไดวา yc = c1 + c2ez + c3ze
z และ
yp =1
D(D − 1)2e3z = e3z
1
3(3− 1)2=
1
12e3z
แลว y = c1 + c2ez + c3ze
z + 112e3z เนือ่งจาก ez = x ดังน้ันผลเฉลยของสมการนี้คอื
y = c1 + c2x+ c3x lnx+1
12x3 #
2. จงหาผลเฉลยของสมการ(a) x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0
วธิทีำ เห็นไดชัดวาสมการนี้ เปนสมการโคช-ีออยเลอร ให z = lnx และ D = ddz
จะไดวา[D(D − 1) + 5D + 4]y = 0
(D2 + 4D + 4)y = 0
(D + 2)2y = 0
จะไดวา y = c1e−2z + c2ze
−2z เนือ่งจาก ez = x ดังน้ันผลเฉลยของสมการนี้คอื y = c11x2 + c2
1x2 lnx #
(b) xy(4) + 6y′′′ = x
วธิทีำ เขียนสมการใหมไดเปน x4y(4) +6x3y′′′ = x4 ดังน้ันสมการนี้ เปนสมการโคช-ีออยเลอร ให z = lnx และD = d
dzจะไดวา
[D(D − 1)(D − 2)(D − 3) + 6D(D − 1)(D − 2)]y = e4z
D(D − 1)(D − 2)(D + 3)y = e4z
27
จะไดวา yc = c1 + c2ez + c3e
2z + c4e−3z และ
yp =1
D(D − 1)(D − 2)(D + 3)e4z = e4z
1
4(3)(2)(7)=
1
168e4z
แลว y = c1 + c2ez + c3e
2z + c4e−3z + 1
168e4z เนือ่งจาก ez = x ดังน้ันผลเฉลยของสมการนี้คอื
y = c1 + c2x+ c3x2 + c4
1
x3+
1
168x4 #
3. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ x2y′′ + xy′ + y = 5x2 เมือ่ y(1) = 1, y′(1) = 2
วธิทีำ เห็นไดชัดวาสมการนี้ เปนสมการโคช-ีออยเลอร ให z = lnx และ D = ddz
จะไดวา
[D(D − 1) +D + 1]y = 5e2z
(D2 + 1)y = 5e2z
จะไดวา yc = c1 cos z + c2 sin z และ
yp =1
D2 + 15e2z = 5e2z
1
22 + 1= e2z
เนือ่งจาก ez = x ดังน้ัน
y = c1 cos(lnx) + c2 sin(lnx) + x2 −→ y(1) = c1 + 1 = 1
y′ = −1
xc1 sin(lnx) +
1
xc2 cos(lnx) + 2x −→ y′(1) = c2 + 2 = 2
จะไดวา c1 = c2 = 0 ดังน้ันผลเฉลยเฉพาะของสมการนี้คอื y = x2 #
4. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ (x− 1)2y′′ − 5(x− 1)y′ + 9y′ = 0 เมือ่ y(2) = y′(2) = 1
วธิทีำ เห็นไดชัดวาสมการนี้ เปนสมการโคช-ีออยเลอร ให z = ln(x− 1) และ D = ddz
จะไดวา
[D(D − 1)− 5D + 9]y = 0
(D2 − 6D + 9y = 0
(D − 3)2y = 0
จะไดวา y = c1e3z + c2ze
3z เนือ่งจาก z = ln(x+1) จะไดวา y = c1(x− 1)3 + c2(x− 1)3 ln(x− 1) จากเงือ่นไขy(2) = y′(2) = 1 จะไดวา
y(2) = c1 = 1
y′(x) = 3c1(x− 1)2 + 3c2(x− 1)2 ln(x− 1) + c2(x− 1)2
y′(2) = 3c1 + c2
1 = 3(1) + c2
−2 = c2
ดังน้ันผลเฉลยเฉพาะของสมการนี้คอื
y = (x− 1)3 − 2(x− 1)3 ln(x− 1) #
28
5. จงหาจดุสามัญ จดุเอกฐานปรกติ และจดุเอกฐานไมปรกติ ของสมการ (x2 − x4)y′′ − 2y′ + 9xy = 0
วธิทีำ จัดรปูสมการใหมจะไดวา
y′′ − 2
x2(1− x)(1 + x)y′ +
9
x(1− x)(1 + x)y = 0
ให P (x) = − 2
x2(1− x)(1 + x)และ Q(x) =
9
x(1− x)(1 + x)
จะเห็นไดวาทกุจดุ x เปนจดุสามัญ ยกเวนจดุ x = 0, 1,−1 เปนจดุเอกฐานพิจารณาจดุ x = 0 จะไดวา
xP (x) = − 2
x(1− x)(1 + x)ไมเปนฟงกชันวเิคราะหทีจ่ดุ x = 0
x2Q(x) =9x
(1− x)(1 + x)เปนฟงกชันวเิคราะหทีจ่ดุ x = 0
ดังน้ัน x = 0 เปนจดุเอกฐานปรกตไิมปรกติพิจารณาจดุ x = 1 จะไดวา
(x− 1)P (x) =2
x2(1 + x)เปนฟงกชันวเิคราะหทีจ่ดุ x = 1
(x− 1)2Q(x) = − 9
x(1 + x)เปนฟงกชันวเิคราะหทีจ่ดุ x = 1
ดังน้ัน x = 1 เปนจดุเอกฐานปรกติพิจารณาจดุ x = −1 จะไดวา
(x+ 1)P (x) = − 2
x2(1− x)เปนฟงกชันวเิคราะหทีจ่ดุ x = −1
(x+ 1)2Q(x) =9
x(1− x)เปนฟงกชันวเิคราะหทีจ่ดุ x = −1
ดังน้ัน x = −1 เปนจดุเอกฐานปรกติ
29
Assingment 9 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ผลเฉลยในรปูอนกุรมรอบจดุสามัญ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 11 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
จงหาผลเฉลยในรปูอนกุรมกำลังรอบจดุกำเนดิของสมการ1. y′′ + y′ + (x− 1)y = 0
2. (1 + x)y′′ + y = 0
30
เฉลย Assingment 9 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ผลเฉลยในรปูอนกุรมรอบจดุสามัญ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 11 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาผลเฉลยในรปูอนกุรมกำลังรอบจดุกำเนดิของสมการ y′′ + y′ + (x− 1)y = 0
วธิทีำ จะเห็นไดชัดวาทกุจดุ x เปนจดุสามัญ ให y =∞∑n=0
anxn เปนผลเฉลยของสมการ จะได
y′ =∞∑n=1
nanxn−1 และ y′′ =
∞∑n=2
n(n− 1)anxn−2
ดังน้ัน∞∑n=2
n(n− 1)anxn−2 +
∞∑n=1
nanxn−1 + (x− 1)
∞∑n=0
anxn = 0
∞∑n=2
n(n− 1)anxn−2 +
∞∑n=1
nanxn−1 +
∞∑n=0
anxn+1 −
∞∑n=0
anxn = 0
ตอไปทำใหแตละอนกุรมเปน xn−1 โดยการเปลีย่นคา n ดังนี้∞∑n=1
(n+ 1)nan+1xn−1 +
∞∑n=1
nanxn−1 +
∞∑n=2
an−2xn−1 −
∞∑n=1
an−1xn−1 = 0
จากน้ันทำใหอนกุรมเริม่ตนทีจ่ดุเดยีวกันคอื n = 2 นัน่คอื
2a2 + a1 − a0 +∞∑n=2
(n+ 1)nan+1xn−1 +
∞∑n=2
nanxn−1 +
∞∑n=2
an−2xn−1 −
∞∑n=2
an−1xn−1 = 0
(2a2 + a1 − a0) +∞∑n=2
[(n+ 1)nan+1 + nan + an−2 − an−1]xn−1 = 0
สมการดังกลาวจะเปนจรงิก็ตอเมือ่2a2 + a1 − a0 = 0
(n+ 1)nan+1 + nan + an−2 − an−1 = 0 เมือ่ n = 2, 3, 4, ...
จะไดวา a2 = −1
2a1 +
1
2a0 สำหรับ n ≥ 2 จะไดวา สตูรเวยีนเกดิ (recurrence formula)
an+1 =an−1 − an−2 − nan
n(n+ 1)
เมือ่แทนคา n = 2, 3, 4, ... จะไดวา
n = 2 : a3 =a1 − a0 − 2a2
2 · 3=
a1 − a0 + (a1 − a0)
2 · 3= −1
3a0 +
1
3a1
n = 3 : a4 =a2 − a1 − 3a3
3 · 4=
−12a1 +
12a0 − a1 + (a0 − a1)
3 · 4=
1
8a0 −
5
24a1
n = 4 : a5 =a3 − a2 − 4a4
4 · 5=
−13a0 +
13a1 +
12a1 − 1
2a0 − 1
2a0 +
56a1
4 · 5= − 1
15a0 +
5
3a1
...... .....................................
31
ดังน้ันผลเฉลยของสมการนี้คอืy = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x3 + a4x
4 + a5x5 + · · ·
= a0 + a1x+
(−1
2a1 +
1
2a0
)x2 +
(−1
3a0 +
1
3a1
)x3 +
(1
8a0 −
5
24a1
)x4 +
(− 1
15a0 +
5
3a1
)x5 + · · ·
= a0
(1 +
1
2x2 − 1
3x3 +
1
8x4 − 1
15x5 + · · ·
)+ a1
(x− 1
2x2 +
1
3x3 − 5
24x4 +
5
3x5 + · · ·
)#
2. จงหาผลเฉลยในรปูอนกุรมกำลังรอบจดุกำเนดิของสมการ (1 + x)y′′ + y = 0
วธิทีำ จัดรปูสมการใหมจะไดวา
y′′ +1
1 + xy′ +
1
1 + xy = 0
จะเห็นไดวาทกุจดุ x เปนจดุสามัญ ยกเวนจดุ x = −1 เปนจดุเอกฐาน ให y =∞∑n=0
anxn เปนผลเฉลยของสมการ จะได
y′ =∞∑n=1
nanxn−1 และ y′′ =
∞∑n=2
n(n− 1)anxn−2
ดังน้ัน
(1 + x)∞∑n=2
n(n− 1)anxn−2 +
∞∑n=0
anxn = 0
∞∑n=2
n(n− 1)anxn−2 +
∞∑n=2
n(n− 1)anxn−1 +
∞∑n=0
anxn = 0
ตอไปทำใหแตละอนกุรมเปน xn โดยการเปลีย่นคา n ดังนี้∞∑n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2xn +
∞∑n=1
(n+ 1)nan+1xn +
∞∑n=0
anxn = 0
จากน้ันทำใหอนกุรมเริม่ตนทีจ่ดุเดยีวกันคอื n = 1 นัน่คอื
2a2 + a0 +∞∑n=1
(n+ 2)(n+ 1)an+2xn +
∞∑n=1
(n+ 1)nan+1xn +
∞∑n=1
anxn = 0
(2a2 + a0) +∞∑n=1
[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + (n+ 1)nan+1 + an]xn = 0
สมการดังกลาวจะเปนจรงิก็ตอเมือ่2a2 + a0 = 0
(n+ 2)(n+ 1)an+2 + (n+ 1)nan+1 + an = 0 เมือ่ n = 1, 2, 3, ...
จะไดวา a2 = −1
2a0 สำหรับ n ≥ 1 จะไดวา สตูรเวยีนเกดิ (recurrence formula)
an+2 = −(n+ 1)nan+1 + an(n+ 1)(n+ 2)
เมือ่แทนคา n = 1, 2, 3, ... จะไดวา
32
n = 1 : a3 = −2a2 + a12 · 3
= −−a0 + a16
=1
6a0 −
1
6a1
n = 2 : a4 = −6a3 + a23 · 4
= −(a0 − a1)− 1
2a0
12= − 1
24a0 +
1
12a1
n = 3 : a5 = −12a4 + a34 · 5
= −−1
2a0 + a1 +
16a0 − 1
6a1
20=
1
60a0 −
1
24a1
...... .....................................
ดังน้ันผลเฉลยของสมการนี้คอื
y = a0 + a1x+ a2x2 + a3x
3 + a4x4 + a5x
5 + · · ·
= a0 + a1x+
(−1
2a0
)x2 +
(1
6a0 −
1
6a1
)x3 +
(− 1
24a0 +
1
12a1
)x4 +
(1
60a0 −
1
24a1
)x5 + · · ·
= a0
(1− 1
2x2 +
1
6x3 − 1
24x4 +
1
60x5 + · · ·
)+ a1
(x− 1
6x3 +
1
12x4 − 1
24x5 + · · ·
)#
33
Assingment 10 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ฟงกชันแกมมาและฟงกชันบีตา คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 12 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผูช วยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย
สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาคาตอไปนี้ โดยใชฟงกชันพิเศษ
(a)∫ ∞
0
e−xx5dx
(b)∫ ∞
0
e−x2
x3dx
(c)∫ 1
2
0
x√1− 2x
dx
2. จงหาคาตอไปนี้ โดยใชฟงกชันพิเศษ
(a)∫ ∞
0
e−xx7dx
(b)∫ ∞
0
e−3xx3dx
(c)∫ 1
4
0
√x(1− 4x)dx
3. จงหาคาของ∫ π
2
0
sin5 2θ cos θdθ
4. จงใชอปุนัยเชงิคณติศาสตร พิสจูนวา
Γ
(n+
1
2
)=
(2n− 1)!√π
22n−1(n− 1)!เมือ่ n ∈ N
34
เฉลย Assingment 10 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ฟงกชันแกมมาและฟงกชันบีตา คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 12 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผศ. ดร.ธนัชยศ จำปาหวาย สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาคาตอไปนี้ โดยใชฟงกชันพิเศษ
(a)∫ ∞
0
e−xx5dx
วธิทีำ ∫ ∞
0
e−xx5dx =
∫ ∞
0
e−xx6−1dx = Γ(6) = 5! = 120 #
(b)∫ ∞
0
e−x2
x3dx
วธิทีำ ให u = x2 จะไดวา du = 2xdx ดังน้ัน∫ ∞
0
e−x2
x3dx =
∫ ∞
0
e−x2
x21
2(2xdx)
=1
2
∫ ∞
0
e−uudu
=1
2
∫ ∞
0
e−uu2−1du
=1
2Γ(2)
=1
21! =
1
2#
(c)∫ 1
2
0
x√1− 2x
dx
วธิทีำ ให u = 2x จะไดวา du = 2dx และ u(0) = 0, u(12) = 1 ดังน้ัน∫ 1
2
0
x√1− 2x
dx =
∫ 1
0
u2√
1− u
du
2
=1
4
∫ 1
0
u(1− u)−12du
=1
4
∫ 1
0
u2−1(1− u)12−1du
=1
4B
(2,
1
2
)=
1
4·Γ(2)Γ
(12
)Γ(2 + 1
2
)=
1! ·√π
4 · 32· 12
√π
=1
3#
35
2. จงหาคาตอไปนี้ โดยใชฟงกชันพิเศษ
(a)∫ ∞
0
e−xx7dx
วธิทีำ ∫ ∞
0
e−xx7dx =
∫ ∞
0
e−xx8−1dx = Γ(8) = 7! = 5040 #
(b)∫ ∞
0
e−3xx3dx
วธิทีำ ให u = 3x จะไดวา du = 2dx ดังน้ัน∫ ∞
0
e−3xx3dx =
∫ ∞
0
e−u(u3
)3 du3
=1
81
∫ ∞
0
e−uu3du
=1
81
∫ ∞
0
e−uu4−1du
=1
81Γ(4)
=1
813! =
2
27#
(c)∫ 1
4
0
√x(1− 4x)dx
วธิทีำ ให u = 4x จะไดวา du = 4dx, u(0) = 0 และ u(14) = 1 แลว
∫ 14
0
√x(1− 4x)dx =
1
4
∫ 14
0
√x√1− 4x(4dx) =
1
4
∫ 1
0
√u
4
√1− udu
=1
8
∫ 1
0
u12 (1− u)
12du =
1
8
∫ 1
0
u32−1(1− u)
32−1du
=1
8B
(3
2,3
2
)=
1
8·Γ(32
)Γ(32
)Γ(32+ 3
2
)=
1
8·Γ(32
)Γ(32
)Γ (3)
=1
8·
12
√π · 1
2
√π
2!=
π
64#
36
3. จงหาคาของ∫ π
2
0
sin5 2θ cos θdθ
วธิทีำ ∫ π2
0
sin5 2θ cos θdθ =
∫ π2
0
(2 sin θ cos θ)5 cos θdθ
= 32
∫ π2
0
sin5 θ cos6 θdθ
= 16
(2
∫ π2
0
sin2(3)−1 θ cos2( 72 )−1 θdθ
)
= 16B
(3,
7
2
)= 16
Γ(3)Γ(72
)Γ(3 + 7
2
)= 16 ·
2!Γ(72
)Γ(132
) =32 · 5
2· 32· Γ(12
)112· 92· 72· 52· 32Γ(12
)=
256
693#
4. จงใชอปุนัยเชงิคณติศาสตร พิสจูนวา
Γ
(n+
1
2
)=
(2n− 1)!√π
22n−1(n− 1)!เมือ่ n ∈ N
บทพิสจูน . ให P (n) แทนขอความ Γ
(n+
1
2
)=
(2n− 1)!√π
22n−1(n− 1)!จะเเห็นไดวา
Γ
(1 +
1
2
)= Γ
(3
2
)=
1
2
√π =
1!√π
21(0)!=
(2(1)− 1)!√π
22(1)−1(1− 1)!
ดังน้ัน P (1) เปนจรงิสมมตวิา P (k) เปนจรงิ เมือ่ k ∈ N นัน่คอื Γ
(k +
1
2
)=
(2k − 1)!√π
22k−1(k − 1)!ทำใหได
Γ
(k + 1 +
1
2
)=
(k +
1
2
)Γ
(k +
1
2
)=
2k + 1
2· (2k − 1)!
√π
22k−1(k − 1)!
=(2k + 1)(2k)(2k − 1)!
√π
2 · 22k−1(2k)(k − 1)!
=(2k + 1)!
√π
22k · 2 · k(k − 1)!
=(2k + 1)!
√π
22k+1 · k!
=(2(k + 1)− 1)!
√π
22(k+1)−1 · (K + 1− 1)!
ดังน้ัน P (k + 1) เปนจรงิโดยหลักอปุนัยเชงิคณติศาสตรสรปุไดวา
Γ
(n+
1
2
)=
(2n− 1)!√π
22n−1(n− 1)!ทกุ ๆ n ∈ N
37
Assingment 11 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ผลการแปลงลาปลาซ สมบัตเิชงิเสน สมบัตกิารเลือ่น และการคณู tn คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 13 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผศ.ดร. ธนัชยศ จำปาหวาย สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงพิสจูนโดยใชนยิามวา L{sin bt} =b
s2 + b2เมือ่ s > 0
2. จงหา(a) L{sin2 3t cos2 5t}
(b) L−1
{s+ 2
s2(s+ 1)
}3. จงหา
(a) L{1 + sin t+ sin2 t+ sin3 t}
(b) L−1
{5
s(9s2 + 6s+ 5)
}4. จงหา
(a) L{t2 sin2 2t}
(b) L−1
{2s
(s2 − 4)2
}
38
เฉลย Assingment 11 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ผลการแปลงลาปลาซ สมบัตเิชงิเสน สมบัตกิารเลือ่น และการคณู tn คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 13 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผศ.ดร. ธนัชยศ จำปาหวาย สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงพิสจูนโดยใชนยิามวา L{sin bt} =b
s2 + b2เมือ่ s > 0
บทพิสจูน .
L{f(t)} = L{sin bt} =
∫ ∞
0
e−st sin bt dt = limr→∞
∫ r
0
e−st sin bt dt
= limr→∞
[1
De−st sin bt
]r0
เมือ่ D =d
dt
= limr→∞
[e−st 1
D − ssin bt
]r0
= limr→∞
[e−st(D + s)
1
D2 − s2sin bt
]r0
= limr→∞
[e−st(D + s)
1
−b2 − s2sin bt
]r0
= limr→∞
[− e−st
s2 + b2(b cos bt+ s sin bt)
]r0
= limr→∞
[− e−sr
s2 + b2(b cos br + s sin br) +
b
s2 + b2
]=
b
s2 + b2เมือ่ s > 0
ดังน้ัน
L{sin bt} =b
s2 + b2เมือ่ s > 0
2. จงหา(a) L{sin2 3t cos2 5t}
วธิทีำ จะไดวา
L{sin2 3t cos2 5t} = L{1− cos 6t
2· 1 + cos 10t
2
}=
1
4L{(1− cos 6t)(1 + cos 10t)}
=1
4L{(1− cos 6t+ cos 10t− cos 6t cos 10t)}
=1
4L{1− cos 6t+ cos 10t− 1
2(cos 4t− cos 16t)
}=
1
4L{1− cos 6t+ cos 10t− 1
2cos 4t+ 1
2cos 16t
}=
1
4
(1
s− s
s2 + 36+
s
s2 + 100− s
2(s2 + 16)+
s
2(s2 + 256)
)#
39
(b) L−1
{s+ 2
s2(s+ 1)
}วธิทีำ พิจารณา
s+ 2
s2(s+ 1)=
A
s+
B
s2+
C
s+ 1
s+ 2 = As(s+ 1) +B(s+ 1) + Cs2
จะไดวา
s = 0 : 0 + 2 = 0 +B + 0 −→ B = 2
s = −1 : −1 + 2 = 0 + 0 + C −→ C = 1
s = 1 : 1 + 2 = 2A+ 2B + C −→ A = −1
ดังน้ัน
L−1
{s+ 2
s2(s+ 1)
}= L−1
{−1
s+
2
s2+
1
s+ 1
}= −1 + 2t+ e−t #
3. จงหา(a) L{1 + sin t+ sin2 t+ sin3 t}
วธิทีำ จะไดวา
L{1 + sin t+ sin2 t+ sin3 t} = L{1 + sin t+
1
2(1− cos 2t) + 1
4(3 sin t− sin 3t)
}= L
{3
2+
7
4sin t− 1
2cos 2t− 1
4sin 3t
}=
3
2s+
7
4(s2 + 1)− s
2(s2 + 4)− 3
4(s2 + 9)#
(b) L−1
{5
s(9s2 + 6s+ 5)
}วธิทีำ พิจารณา
5
s(9s2 + 6s+ 5)=
A
s+
Bs+ C
9s2 + 6s+ 5
5 = A(9s2 + 6s+ 5) + (Bs+ C)s
จะไดวา
s = 0 : 5 = 5A −→ A = 1
s = −1 : 5 = 8A+B − C = 8(1) +B − C −→ B − C = −3 ....(1)
s = 1 : 5 = 20A+B + C = 20(1) +B + C −→ B + C = −15 ....(2)
(1) + (2) : 2B = −18
B = −9
แทน B ในสมการ (2) − 9 + C = −15 −→ C = −6
40
ดังน้ัน
L−1
{1
s(9s2 + 6s+ 5)
}= L−1
{1
s+
−9s− 6
9s2 + 6s+ 5
}= L−1
{1
s+
−9(s+ 23)
9(s+ 13)2 + 4
}= L−1
{1
s+
−9(s+ 23)
9((s+ 13)2 + 4
9)
}= L−1
{1
s−
s+ 23
(s+ 13)2 + 4
9
}= L−1
{1
s−
(s+ 13) + 1
3
(s+ 13)2 + 4
9
}= L−1
{1
s
}− L−1
{s+ 1
3
((s+ 13)2 + 4
9)
}− L−1
{ 13
((s+ 13)2 + 4
9)
}= 1− L−1
{s+ 1
3
((s+ 13)2 + 4
9)
}− 1
2L−1
{ 23
((s+ 13)2 + 4
9)
}= 1− L−1
{s
(s2 + 49)
}s→s+ 1
3
− 1
2L−1
{ 23
(s2 + 49)
}s→s+ 1
3
= 1− e−13t cos
(2
3t
)− 1
2e−
13t sin
(2
3t
)#
4. จงหา(a) L{t2 sin2 2t}
วธิทีำ จะไดวา
L{t2 sin2 2t} = (−1)2d2
ds2L{
sin2 2t}
=d2
ds2L{1
2(1− cos 4t)
}=
d2
ds21
2
[1
s− s
s2 + 16
]=
1
2
d
ds
[− 1
s2− 16− s2
(s2 + 16)2
]=
1
2
[2
s3− 2s3 − 96s
(s2 + 16)3
]=
32(3s4 + 24s2 + 128)
s3(s2 + 16)3#
41
(b) L−1
{2s
(s2 − 4)2
}วธิทีำ พิจารณา
2s
(s2 − 4)2=
2s
(s− 2)2(s+ 2)2
=1
4
[1
s2 − 4s+ 4− 1
s2 + 4s+ 4
]=
1
4
[1
(s− 2)2− 1
(s+ 2)2
]จะไดวา ดังน้ัน
L−1
{2s
(s2 − 4)2
}=
1
4L−1
{1
(s− 2)2− 1
(s+ 2)2
}=
1
4L−1
{1
(s− 2)2
}− 1
4L−1
{1
(s+ 2)2
}=
1
4L−1
{1
s2
}s→s−2
− 1
4L−1
{1
s2
}s→s+2
=1
4e2tt− 1
4e−2tt #
42
Assingment 12 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ผลการแปลงลาปลาซ ของอนพัุนธ และปรพัินธ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 14 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผศ.ดร. ธนัชยศ จำปาหวาย สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาผลการแปลงลาปลาซ(a) L{(1 + t+ t2 + · · · t100)et}
(b) L{1− et
t
}
2. จงหาลาปลาซผกผัน L−1
{arctan
(1
s+ 1
)}3. จงหาคาของ
∫ ∞
0
te−t sin2 t dt โดยใชผลการแปลงลาปลาซ
4. จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริม่ตน โดยใชผลการแปลงลาปลาซ
(a) y′′ − 2y′ + y = 1 + t เมือ่ y(0) = 0 และ y′(0) = 0
(b) y′′ − 6y′ + 9y = te2t เมือ่ y(0) = 0 และ y′(0) = 0
43
เฉลย Assingment 12 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ ผลการแปลงลาปลาซ ของอนพัุนธ และปรพัินธ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 14 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผศ.ดร. ธนัชยศ จำปาหวาย สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงหาผลการแปลงลาปลาซ(a) L{(1 + t+ t2 + · · · t100)et}
วิธีทีำ จะไดวา
L{(1 + t+ t2 + · · · t100)et} = (1−D +D2 −D3 + · · ·+D100)L{et}
= (1−D +D2 −D3 + · · ·+D100)1
s− 1
=1
s− 1+
1
(s− 1)2+
2!
(s− 1)3+
3!
(s− 1)4+ · · ·+ 100!
(s− 1)101#
(b) L{1− et
t
}วธิทีำ เนือ่งจาก
limt→0+
1− et
t= lim
t→0+
−et
1= −1 มีคา
และ F (s) = L{1− et} =1
s− 1
s− 1ดังน้ัน
L{1− et
t
}=
∫ ∞
s
F (r) dr
= limk→∞
∫ k
s
1
r− 1
r − 1dr
= limk→∞
[ln |r| − ln |r − 1|]ks
= limk→∞
[ln∣∣∣∣ r
r − 1
∣∣∣∣ks
= limk→∞
ln∣∣∣∣ k
k − 1
∣∣∣∣− ln∣∣∣∣ s
s− 1
∣∣∣∣= ln 1− ln
∣∣∣∣ s
s− 1
∣∣∣∣= ln
∣∣∣∣s− 1
s
∣∣∣∣ #
44
2. จงหาลาปลาซผกผัน L−1
{arctan
(1
s+ 1
)}วธิทีำ ให f(t) = L−1
{arctan
(1
s+ 1
)}นัน่คอื
L{f(t)} = F (s) = arctan(
1
s+ 1
)จะไดวา
L{tf(t)} = (−1)1d
dsF (s)
= − d
dsarctan
(1
s+ 1
)= − 1
1 + ( 1s+1
)2·(
1
s+ 1
)′
= − 1
1 + ( 1s+1
)2·(− 1
(s+ 1)2
)=
1
(s+ 1)2 + 1
tf(t) = L−1
{1
(s+ 1)2 + 1
}= L−1
{1
s2 + 1
}s→s+1
= e−t sin t
f(t) =e−t sin t
t=
sin t
tet
ดังน้ัน L−1
{arctan
(1
s+ 1
)}=
sin t
tet#
3. จงหาคาของ∫ ∞
0
te−t sin2 t dt โดยใชผลการแปลงลาปลาซ
วธิทีำ ให f(t) = t sin2 t และ F (s) = L{f(t)} จะเห็นวา
F (1) =
∫ ∞
0
te−t sin2 t dt = L{t sin2 t}|s = 1
เนือ่งจากF (s) = L{t sin2 t}
= (−1)1d
dsL{sin2 t}
= − d
dsL{1− cos 2t
2
}= −1
2
d
ds
(1
s− s
s2 + 4
)= −1
2
(− 1
s2− (s2 + 4)− s(2s)
(s2 + 4)2
)F (1) = −1
2
(−1− 5− 2
(5)2
)= −14
25
ดังน้ัน∫ ∞
0
te−t sin2 t dt = −14
25#
45
4. จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริม่ตน โดยใชผลการแปลงลาปลาซ(a) y′′ − 2y′ − 3y = 1 + t เมือ่ y(0) = 0 และ y′(0) = 0
วธิทีำL{y′′} − 2L{y′} − 3L{y} = L{1 + t}
s2Y (s)− sy(0)− y′(0)− 2(sY (s)− y(0))− 3Y (s) =1
s+
1
s2
(s2 − 2s− 3)Y (s) =s+ 1
s2
(s− 3)(s+ 1)Y (s) =s+ 1
s2
Y (s) =s+ 1
(s− 3)(s+ 1)s2
=1
(s− 3)s2=
1
s
[1
(s− 3)s
]=
1
3s
[1
s− 3− 1
s
]=
1
3s(s− 3)− 1
3s2
=1
9
[1
s− 3− 1
s
]− 1
3s2
ดังน้ันy(t) = L−1{Y (s)} =
1
9(e3t − 1)− 1
3t #
(b) y′′ − 6y′ + 9y = te2t เมือ่ y(0) = 0 และ y′(0) = 0
วธิทีำL{y′′} − 6L{y′}+ 9L{y} = L{te2t}
s2Y (s)− sy(0)− y′(0)− 6(sY (s)− y(0)) + 9Y (s) = (−1)1d
dsL{et}
(s2 + 6s+ 9)Y (s) =d
ds
1
s− 2
(s+ 3)2Y (s) =1
(s− 2)2
Y (s) =1
(s− 3)2(s− 2)2
=
[1
(s− 3)(s− 2)
]2=
[1
s− 3− 1
s− 2
]2=
1
(s− 3)2− 2
(s− 3)(s− 2)+
1
(s− 2)2
=1
(s− 3)2− 2
[1
s− 3− 1
s− 2
]+
1
(s− 2)2
=1
(s− 3)2− 2
s− 3+
2
s− 2+
1
(s− 2)2
ดังน้ันy(t) = L−1
{1
s2
}s→s−3
− 2e3t + 2e2t + L−1
{1
s2
}s→s−2
= te3t − 2e3t + 2e2t + te2t #
46
Assingment 13 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ สังวัฒนาการและระบบสมการเชงิอนพัุนธ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 15 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผศ.ดร. ธนัชยศ จำปาหวาย สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงใช สังวัฒนาการ (convolution) หาลาปลาซผกผันของ
(a) L−1
{1
s2(s2 + 2)
}(b) L−1
{s
(s2 + 1)2
}2. จงหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชผลการแปลงลาปลาซ{
x′′ − x+ y′ = t
−10x′ + y′′ − 4y = −3
เมือ่ x(0) = x′(0) = y(0) = y′(0) = 0
47
เฉลย Assingment 13 : MAP2405 สมการเชงิอนพัุนธสามัญหัวขอ สังวัฒนาการและระบบสมการเชงิอนพัุนธ คะแนน 10 คะแนนเวลา สัปดาหที ่ 15 ป การศกึษา 1/2562ผูสอน ผศ.ดร. ธนัชยศ จำปาหวาย สาขาวชิาคณติศาสตร คณะครศุาสตร มหาวทิยาลัยราชภัฏสวนสนัุนทา
1. จงใช สังวัฒนาการ (convolution) หาลาปลาซผกผันของ
(a) L−1
{1
s2(s2 + 2)
}วธิทีำ
L−1
{1
s2(s2 + 2)
}= L−1
{1
s2· 1
s2 + 2
}= L−1
{1
s2
}∗ L−1
{1
s2 + 2
}= t ∗ 1√
2sin
√2t
=1√2
∫ t
0
(t− x) sin√2x dx
=1√2
[− 1√
2(t− x) cos
√2x− 1
2sin
√2x
]x=t
x=0
=1√2
[−1
2sin
√2t+
1√2t
]= − 1
2√2
sin√2t+
1
2t #
(b) L−1
{s
(s2 + 1)2
}วธิทีำ
L−1
{s
(s2 + 1)2
}= L−1
{1
s2 + 1· s
s2 + 1
}= L−1
{1
s2 + 1
}∗ L−1
{s
s2 + 1
}= sin t ∗ cos t
=
∫ t
0
sin x cos(t− x) dx
=1
2
∫ t
0
sin t+ sin(2x− t) dx
=1
2
[x sin t− 1
2cos(2x− t)
]x=t
x=0
=1
2
[t sin t− 1
2cos t+ 1
2cos(−t)
]=
1
2t sin t #
48
2. จงหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชผลการแปลงลาปลาซ{x′′ − x+ y′ = t
−10x′ + y′′ − 4y = −3
เมือ่ x(0) = x′(0) = y(0) = y′(0) = 0
วธิทีำ ให X(s) = L{x} และ Y (s) = L{y} จะไดวา
L{x′′ − x+ y′} = L{t}
s2X(s)− sx(0)− x′(0)−X(s) + sY (s)− y(0) =1
s2
(s2 − 1)X(s) + sY (s) =1
s2......(1)
L{−8x′ + y′′ − 4y} = L{−3}
−10(sX(s)− x(0)) + s2Y (s)− sy(0)− y′(0)− 4Y (s) = −3
s
−10sX(s) + (s2 − 4)Y (s) = −3
s......(2)
จะไดวา [(s2 − 1) s−10s (s2 − 4)
] [X(s)Y (s)
]=
[1s2
−3s
]ดังน้ัน
X(s) =
∣∣∣∣ 1s2
s−3
s(s2 − 4)
∣∣∣∣∣∣∣∣(s2 − 1) s−10s (s2 − 4)
∣∣∣∣ =1s2(s2 − 4) + 3
(s2 − 1)(s2 − 4) + 10s2=
4s2 − 4
s2(s4 + 5s2 + 4)
=4s2 − 4
s2(s2 + 1)(s2 + 4)=
4(s2 + 1)− 8
s2(s2 + 1)(s2 + 4)
=4(s2 + 1)
s2(s2 + 1)(s2 + 4)− 8
s2(s2 + 1)(s2 + 4)
=4
s2(s2 + 4)− 8
s2
[1
(s2 + 1)(s2 + 4)
]=
1
s2− 1
s2 + 4− 8
3s2
[1
s2 + 1− 1
s2 + 4
]=
1
s2− 1
s2 + 4− 8
3
[1
s2(s2 + 1)− 1
s2(s2 + 4)
]=
1
s2− 1
s2 + 4− 8
3
[1
s2− 1
s2 + 1− 1
4
(1
s2− 1
s2 + 4
)]= − 5
3(s2 + 4)− 1
s2+
8
3(s2 + 1)
x(t) = −5
6sin 2t− t2 +
8
3sin t #
49
Y (s) =
∣∣∣∣(s2 − 1) 1s2
−10s −3s
∣∣∣∣∣∣∣∣(s2 − 1) s−10s (s2 − 4)
∣∣∣∣ =−3
s(s2 − 1) + 10
s
(s2 − 1)(s2 − 4) + 10s2=
−3s2 + 13
s(s4 + 5s2 + 4)
=−3s2 + 13
s(s2 + 1)(s2 + 4)=
−3(s2 + 1) + 16
s(s2 + 1)(s2 + 4)
=−3(s2 + 1)
s(s2 + 1)(s2 + 4)+
16
s(s2 + 1)(s2 + 4)
= − 3
s(s2 + 4)+
16
s
[1
(s2 + 1)(s2 + 4)
]= −3
4
[1
s− s
s2 + 4
]+
16
3s
[1
s2 + 1− 1
s2 + 4
]= − 3
4s+
3s
4(s2 + 4)+
16
3
[1
s(s2 + 1)− 1
s(s2 + 4)
]= − 3
4s+
3s
4(s2 + 4)+
16
3
[1
s− s
s2 + 1− 1
4
(1
s− s
s2 + 4
)]= − 16s
3(s2 + 1)+
25s
12(s2 + 4)+
13
4s
y(t) = −16
3cos t+ 25
12cos 2t+ 13
4#
3. จงหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชผลการแปลงลาปลาซ{(D − 1)x+ (D + 2)y = sin t
(D + 1)x+Dy = cos t
เมือ่ x(0) = 0 และ y(0) = −12
วธิทีำ ให X(s) = L{x} และ Y (s) = L{y} จะไดวา
L{(D − 1)x+ (D + 2)y} = L{sin t}L{x′ − x+ y′ + 2y} = L{sin t}
sX(s)− x(0)−X(s) + sY (s)− y(0) + 2Y (s) =1
s2 + 1
sX(s)−X(s) + sY (s) +1
2+ 2Y (s) =
1
s2 + 1
(s− 1)X(s) + (s+ 2)Y (s) =1
s2 + 1− 1
2=
−s2 + 1
2(s2 + 1)......(1)
L{(D + 1)x+Dy} = L{cos t}L{x′ + x+ y′} = L{cos t}
sX(s)− x(0) +X(s) + sY (s)− y(0) =s
s2 + 1
sX(s) +X(s) + sY (s) +1
2=
s
s2 + 1
(s+ 1)X(s) + sY (s) =s
s2 + 1− 1
2=
−s2 + 2s− 1
2(s2 + 1)......(2)
50
จะไดวา
[s− 1 s+ 2s+ 1 s
] [X(s)Y (s)
]=
−s2 + 1
2(s2 + 1)
−s2 + 2s− 1
2(s2 + 1)
ดังน้ัน
X(s) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−s2 + 1
2(s2 + 1)s+ 2
−s2 + 2s− 1
2(s2 + 1)s
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣s− 1 s+ 2s+ 1 s
∣∣∣∣ =s− 1
2(2s+ 1)(s2 + 1)
= − 3
10· 1
s+ 12
+3
10
s
s2 + 1+
1
10· 1
s2 + 1
x(t) = − 3
10e−
t2 +
1
10(3 cos t+ sin t) #
และ
Y (s) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣s− 1
−s2 + 1
2(s2 + 1)
s+ 1−s2 + 2s− 1
2(s2 + 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣s− 1 s+ 2s+ 1 s
∣∣∣∣ =−s2 − s
2(2s+ 1)(s2 + 1)
= − 3
10· 1
s+ 12
+3
5
1
s2 + 1− 1
5· s
s2 + 1
y(t) = − 3
10e−
t2 +
1
5(3 sin t− cos t) #
51
