astroastro: cuerpo (luminoso o no) aislado en el espacio: cuerpo (luminoso o no) aislado en el espacio

universouniverso: conjunto : conjunto de todos los astros de todos los astros más el espaciomás el espacio

astronomía: estudio de los astrosastronomía: estudio de los astros

ramas de la astronomía: ramas de la astronomía:

●●astronomía de posición:astronomía de posición: estudia la posición estudia la posición de los astros y describe sus movimientosde los astros y describe sus movimientos

●●mecánica celeste:mecánica celeste: interpreta los movimientos interpreta los movimientosde los astros de los astros

●●astrofísica:astrofísica: estudia la composición, estructura estudia la composición, estructura física y la evolución de los astrosfísica y la evolución de los astros

●●cosmología:cosmología: estudia el origen y la evolución del estudia el origen y la evolución del universo en su conjuntouniverso en su conjunto

el cielo se convierte en el reloj y el calendarioel cielo se convierte en el reloj y el calendario para el hombre antiguopara el hombre antiguo

el hombre descubre la regularidad en los el hombre descubre la regularidad en los fenómenos celestesfenómenos celestes

la sucesión de los la sucesión de los días y las nochesdías y las noches

la sucesión de la sucesión de las estacioneslas estaciones

comienza a tomar registros de lo que observacomienza a tomar registros de lo que observa

puede predecir los fenómenos puede predecir los fenómenos

nace la astronomíanace la astronomía

comienzos de la astronomíacomienzos de la astronomía

arqueoastronomía:arqueoastronomía: disciplina que estudia los restos disciplina que estudia los restos arqueológicos relacionados con el estudio de la arqueológicos relacionados con el estudio de la astronomía astronomía

lala arqueoastronomía arqueoastronomía evidenció el desarrollo de la evidenció el desarrollo de la astronomía por el hombre desde muy antiguoastronomía por el hombre desde muy antiguo

calendarios grabados en hueso (8000ac?)calendarios grabados en hueso (8000ac?)

Stonehenge (3300ac,Stonehenge (3300ac,Wiltshire, Inglaterra Wiltshire, Inglaterra ))

Pirámides (2500ac, meseta de Gizeh, Egipto)Pirámides (2500ac, meseta de Gizeh, Egipto)

cielo en Gizeh en 2500accielo en Gizeh en 2500ac

Templo del Sol, ruinas de Palenque Templo del Sol, ruinas de Palenque (100ac, Chiapas, México)(100ac, Chiapas, México)

el 21 de junio el 21 de junio (solsticio de verano) (solsticio de verano) el sol naciente entra el sol naciente entra por una ventana en la por una ventana en la fachada del edificiofachada del edificio

Hiparco (Nicea, 130ac): catálogo con 850 estrellas Hiparco (Nicea, 130ac): catálogo con 850 estrellas

Tolomeo (Grecia, 130dc): catálogo con 1022 estrellas Tolomeo (Grecia, 130dc): catálogo con 1022 estrellas (Almagesto), probablemente basado en el de Hiparco. (Almagesto), probablemente basado en el de Hiparco.

sólo posiciones de los astros!!sólo posiciones de los astros!!

en una esfera con centro en el observador donde en una esfera con centro en el observador donde aparentemente están ubicados los astros aparentemente están ubicados los astros

esfera celesteesfera celestetodos los astros están ubicados en la cara interna de todos los astros están ubicados en la cara interna de la esfera celeste a la misma distancia del observadorla esfera celeste a la misma distancia del observador

visual a un astrovisual a un astro: línea : línea recta que une el recta que une el observador y el astroobservador y el astro

distancia angular entre distancia angular entre dos astrosdos astros: ángulo : ángulo formado por las visuales formado por las visuales dirigidas a los dirigidas a los respectivos astrosrespectivos astros

½ ° ½ ° el diámetro angular el diámetro angular de la luna y el diámetro de la luna y el diámetro

angular del sol son angular del sol son aproximadamente igualesaproximadamente iguales

diámetro angular o diámetro aparente de un astro: diámetro angular o diámetro aparente de un astro: ángulo entre las visuales dirigidas tangentes a los ángulo entre las visuales dirigidas tangentes a los

bordes de un astrobordes de un astro

dd

RR

sen(sen(αα/2/2)=)=RR//ddαα

el diámetro angular de un astro depende del diámetro el diámetro angular de un astro depende del diámetro lineal y de la distancia a la cual se encuentra el astrolineal y de la distancia a la cual se encuentra el astro

el sol es aproximadamente 400 veces mas grande el sol es aproximadamente 400 veces mas grande que la luna pero se encuentra 400 veces mas lejosque la luna pero se encuentra 400 veces mas lejos

diámetro angular ≠ 0 diámetro angular ≠ 0 objeto extensoobjeto extenso

las estrellaslas estrellas

●●mantienen por muchos años la misma distancia mantienen por muchos años la misma distancia

angular entre ellas angular entre ellas → → constelaciones constelaciones

●●no tienen diámetro aparente!no tienen diámetro aparente!

los planetaslos planetas

●●varía la distancia angular entre ellos y con varía la distancia angular entre ellos y con respecto a las estrellasrespecto a las estrellas

●●tienen diámetro aparente!tienen diámetro aparente!

diámetro angular = 0 diámetro angular = 0 objeto puntualobjeto puntual

astrolabio (200ac ?)astrolabio (200ac ?)

instrumentos astronómicos antiguosinstrumentos astronómicos antiguos

alidada (1300)alidada (1300)

tan(A)=tan(A)= BCBCACAC

cuadrante (1590)cuadrante (1590)

sextante (1750)sextante (1750)

en el siglo XVII aparece el telescopio (Lippershey ?)en el siglo XVII aparece el telescopio (Lippershey ?)

pero ...pero ...

la astronomía sigue la astronomía sigue siendo sólo de siendo sólo de posición hasta posición hasta

principios del siglo principios del siglo XX , cuando XX , cuando

comienza a usarse comienza a usarse la espectroscopía la espectroscopía

astronomía astronomía de de

posición posición

registro de las posiciones de los astrosregistro de las posiciones de los astros

definir un definir un sistema de coordenadassistema de coordenadas o o marco de referenciamarco de referencia

1) todos los objetos ubicados sobre una línea 1) todos los objetos ubicados sobre una línea

2) todos los objetos ubicados sobre un plano 2) todos los objetos ubicados sobre un plano

3) todos los objetos ubicados en el espacio 3) todos los objetos ubicados en el espacio

el el sistema de coordenadassistema de coordenadas será definido según: será definido según:

universo unidimensional!universo unidimensional!

1) todos los objetos ubicados sobre una línea 1) todos los objetos ubicados sobre una línea

con un número o coordenada se localiza un objetocon un número o coordenada se localiza un objeto

origenorigenoo

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

punto elegido punto elegido arbitrariamentearbitrariamente

se elige un punto sobre la línea como el origen del se elige un punto sobre la línea como el origen del sistema de coordenadas y se adopta una escalasistema de coordenadas y se adopta una escala

2) todos los objetos ubicados sobre un plano 2) todos los objetos ubicados sobre un plano

origenorigen

oo

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

a)a) ●se eligen 2 rectas de referencia que se cortan en ●se eligen 2 rectas de referencia que se cortan en el origen del sistema de coordenadas y se adopta el origen del sistema de coordenadas y se adopta una escala para cada ejeuna escala para cada eje

θθ sistema desistema de coordenadas cartesianas coordenadas cartesianas

eje de abscisas eje de abscisas

eje de ordenadaseje de ordenadas

●●P P (x,y)(x,y)=P(2,3)=P(2,3)

●●para cada punto se trazan líneas desde él hasta para cada punto se trazan líneas desde él hasta cada eje, respectivamente paralelas al otro ejecada eje, respectivamente paralelas al otro eje

sistema de coordenadas sistema de coordenadas cartesianas rectangularescartesianas rectangulares

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

θθ=90°=90°

eje de abscisas eje de abscisas

eje de ordenadaseje de ordenadas

●●P P (1,2)(1,2)

si si θθ=90° =90°

universo bidimensional!universo bidimensional!

con dos números o coordenadas (x e y) con dos números o coordenadas (x e y) se localiza un objetose localiza un objeto

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

3 3

22

11

00

-1-1

-2-2

-3-3

construcción de un sistema de construcción de un sistema de coordenadas cartesianas rectangularescoordenadas cartesianas rectangulares

● ● se adoptan dos conjuntos de líneas paralelas se adoptan dos conjuntos de líneas paralelas entre si, mutuamente perpendiculares entre si, mutuamente perpendiculares

● ● de cada conjunto de cada conjunto se elige una como se elige una como referencia: ejes referencia: ejes coordenadoscoordenados

● ● se adopta como se adopta como origen del sistema origen del sistema el punto de el punto de intersección de los intersección de los ejes coordenadosejes coordenados

equivalentemente …equivalentemente …

b)b) ●se elige una semirrecta de referencia y un ●se elige una semirrecta de referencia y un sentido de giro a partir de ellasentido de giro a partir de ella

sentido positivosentido positivo

O O

●●PP ((rr,,θθ))

r=OPr=OP

θθ

sistema de sistema de coordenadas coordenadas polarespolares

●●para cada punto se traza una línea desde él para cada punto se traza una línea desde él hasta el origen de la semirrecta hasta el origen de la semirrecta

con dos números o coordenadas (con dos números o coordenadas (r r yy θθ) ) se localiza un objetose localiza un objeto

construcción de un sistema de coordenadas polaresconstrucción de un sistema de coordenadas polares● ● se adoptan un conjunto de semirrectas con origen se adoptan un conjunto de semirrectas con origen

común y un conjunto de circunferencias concéntricas común y un conjunto de circunferencias concéntricas con centro en dicho origen con centro en dicho origen

● ● del conjunto de del conjunto de semirrectas se elige semirrectas se elige una como referenciauna como referencia

● ● se adopta como origen se adopta como origen del sistema el punto del sistema el punto origen de la semirrectasorigen de la semirrectas

90°90°

30°30°

0°0°

rr==22rr==33

equivalentemente …equivalentemente …

la semirrecta y la la semirrecta y la circunferencia que pasan circunferencia que pasan

por un dado punto del por un dado punto del plano son ortogonalesplano son ortogonales

● ● P(x,y)P(x,y)

θθrr

P(r,P(r,θθ))

xx

yyx=r cos(x=r cos(θθ) )

y=r sen(y=r sen(θθ) )

tg(tg(θθ)=y/x)=y/x

r=r=√√x² + y² x² + y²

relación entre coordenadas relación entre coordenadas cartesianas y polarescartesianas y polares

3) todos los objetos ubicados en el espacio 3) todos los objetos ubicados en el espacio

sistema de sistema de coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas

a)a) ●se eligen 3 rectas de referencia que se cortan en ●se eligen 3 rectas de referencia que se cortan en el origen del sistema de coordenadas y se adopta el origen del sistema de coordenadas y se adopta una escala para cada ejeuna escala para cada eje● ● cada punto del espacio es proyectado trazando cada punto del espacio es proyectado trazando líneas respectivamente paralelas a los distintos líneas respectivamente paralelas a los distintos ejesejes

●●PP

P(x,y,z)P(x,y,z)=P(3,2,5)=P(3,2,5)o equivalentemente o equivalentemente

con tres números o coordenadas (x, ycon tres números o coordenadas (x, y y y z) z) se localiza un objetose localiza un objeto

universo tridimensional!universo tridimensional!

zz

b)b) ●se elige una semirrecta de referencia, un ●se elige una semirrecta de referencia, un sentido de giro a partir de ella en un plano y una sentido de giro a partir de ella en un plano y una

recta perpendicular al plano recta perpendicular al plano

r cte r cte cilindrocilindro

P P ●●

r r θθ

zz

●●se proyecta el punto sobre dicho plano y luegose proyecta el punto sobre dicho plano y luegoidem coordenadas polares en el planoidem coordenadas polares en el plano

sistema de sistema de coordenadas cilíndricascoordenadas cilíndricas

tg(tg(θθ)=y/x)=y/x

r=r=√√x² + y² x² + y²

z=zz=z

x=r cos(x=r cos(θθ) )

y=r sen(y=r sen(θθ) )

z=zz=z P P ●●

r r θθ

zz

relación entre coordenadas relación entre coordenadas cartesianas y cilíndricascartesianas y cilíndricas

sistema de sistema de coordenadas esféricascoordenadas esféricas

r cte r cte esferaesfera

c)c) ●se eligen dos semirrectas con un origen común ●se eligen dos semirrectas con un origen común mutuamente perpendiculares de referencia, y el mutuamente perpendiculares de referencia, y el

sentido de giro a partir de cada una de ellassentido de giro a partir de cada una de ellas

P P

●●para cada punto se traza una línea desde él para cada punto se traza una línea desde él hasta el origen de las semirrectas hasta el origen de las semirrectas

relación entre coordenadas relación entre coordenadas cartesianas y esféricascartesianas y esféricas

P P

tg(tg(φφ)=y/x)=y/x

r=r=√√x² + y² + z²x² + y² + z²

x=r sen(x=r sen(θθ) cos() cos(φφ) )

y=r sen(y=r sen(θθ) sen() sen(φφ) )

z=r cos(z=r cos(θθ))

tg(tg(θθ)=√x² + y² / z )=√x² + y² / z

ubicar a los astros en la ubicar a los astros en la esfera celeste requiere esfera celeste requiere sólo dos coordenadas! sólo dos coordenadas!

una superficie → dos dimensiones una superficie → dos dimensiones

ubicar al observador ubicar al observador sobre la superficie sobre la superficie

terrestre requiere sólo terrestre requiere sólo dos coordenadas! dos coordenadas!

sistemas de sistemas de coordenadas coordenadas celestescelestes

sistema de sistema de coordenadas coordenadas geográficasgeográficas

círculos máximos:círculos máximos: intersección de la esfera con intersección de la esfera con planos que pasan por el centro de la esferaplanos que pasan por el centro de la esfera

círculos menores:círculos menores: intersección de la esfera con intersección de la esfera con planos que NO pasan por el centro de la esferaplanos que NO pasan por el centro de la esfera

●●cc

distancia mas corta distancia mas corta entre dos puntos entre dos puntos en un plano: línea en un plano: línea rectarecta

distancia mas corta distancia mas corta entre dos puntos entre dos puntos en una superficie en una superficie esférica: arco de esférica: arco de círculo máximocírculo máximo

cc●●

●●

●●oo●● rr

RR

r r < < R R

A A

B B

por dos puntos dados, A por dos puntos dados, A y B, sobre la superficie y B, sobre la superficie de una esfera, pasan de una esfera, pasan infinitos arcos de infinitos arcos de circunferencias de circunferencias de diferentes radios. diferentes radios.

de todas ellas de todas ellas la de mayor la de mayor

radio es la de radio es la de menor menor

curvaturacurvatura

distancia mas distancia mas corta entre A y Bcorta entre A y B

arco de arco de circunferencia circunferencia

máximamáximaarco de arco de circunferencia circunferencia

menormenor

rr R R

construcción de un sistema de coordenadas sobre construcción de un sistema de coordenadas sobre una superficie esféricauna superficie esférica

equivalente a la construcción de un sistema de equivalente a la construcción de un sistema de coordenadas polares en un planocoordenadas polares en un plano

● ● se reemplaza el conjunto de semirrectas con se reemplaza el conjunto de semirrectas con origen común por un conjunto de origen común por un conjunto de circunferencias máximas que pasan todas por un circunferencias máximas que pasan todas por un dado punto dado punto ● ● se reemplaza el conjunto de se reemplaza el conjunto de circunferencias concéntricas circunferencias concéntricas por un conjunto de por un conjunto de circunferencias menores, circunferencias menores, ortogonales a las ortogonales a las anterioresanteriores

●●de cada conjunto se elige una de cada conjunto se elige una circunferencia de referenciacircunferencia de referencia

porción de superficie esférica porción de superficie esférica limitada por arcos de limitada por arcos de

circunferencias máximas circunferencias máximas menores a una menores a una

semicircunferenciasemicircunferencia

triángulo esféricotriángulo esférico

geometría esférica ≠ de la geometría euclidianageometría esférica ≠ de la geometría euclidiana

aabb

cc

A A

B B

C C

los lados en medidas angulares!los lados en medidas angulares!

ángulo diedroángulo diedro ángulo formado por dos ángulo formado por dos semiplanos con una semiplanos con una arista comúnarista común

medida del ángulo diedromedida del ángulo diedromedida del ángulo formado medida del ángulo formado

por por dos semirrectasdos semirrectas obtenidas obtenidas por la intersección con los por la intersección con los

semiplanos de un plano semiplanos de un plano perpendicular a la aristaperpendicular a la arista

aristaarista

formado por dos formado por dos semicírculos máximossemicírculos máximos

θθ´ ´

θθ

l´l´

llθθ´=´=θθ

l´≠ l l´≠ l

arco de arco de circunferencia circunferencia

menormenor

arco de arco de circunferencia circunferencia

máximamáxima

ángulo diedro en una esferaángulo diedro en una esfera

medidas de arcos de circunferencias medidas de arcos de circunferencias expresadas en medidas angulares !expresadas en medidas angulares !

en unidades de longituden unidades de longitud

l´= l l´= l

θθ

ll

r r O O

A A B B

r r

sector circular sector circular

r r O O

A A

B B

θθ ll

r r

360°=2360°=2ππ rad. rad. 2 2 ππ r r θθ°=°=θθ rad. rad. l l l = l = θθ r r

expresado en radianes!expresado en radianes!

θθll

O O

A A

B B r r r r

θθ es la medida del es la medida del ángulo diedro ángulo diedro

formado formado por P1 y P2por P1 y P2

P1 P1 P2 P2

P1 P1 P2 P2

θθ NONO es la medida es la medida del ángulo diedro del ángulo diedro

formado formado por P1 y P2por P1 y P2

arco de arco de circunferencia circunferencia

menormenor

arco de arco de circunferencia circunferencia

máximamáxima

●●

llθθ

θθ

R R

l´ l´ rr

l = l = θθ R R

l´ = l´ = θθ r r l´ = l r / R l´ = l r / R

R R

φφ

rr

cos cos φφ = r / R = r / R

l´ = l cos l´ = l cos φφ

en un triángulo esférico las medidas de los lados en un triángulo esférico las medidas de los lados en unidades angulares son las de los ángulos de en unidades angulares son las de los ángulos de los sectores circulares correspondienteslos sectores circulares correspondientes

en un triángulo esférico las en un triángulo esférico las medidas de los ángulosmedidas de los ángulos son son las de los ángulos diedros las de los ángulos diedros

correspondientescorrespondientes

aa

bbcc

A A

B B

C C

se pueden visualizar sobre se pueden visualizar sobre arcos de círculos máximosarcos de círculos máximos

relaciones trigonométricas en un triángulo esféricorelaciones trigonométricas en un triángulo esférico

cos(a)=cos(b) cos(c)+sen(b)sen(c)cos(A)

sen(a)sen(A)

sen(b)sen(B)

sen(c)sen(C)= =

sen(a)cos(B)=cos(b)sen(c)-sen(b)cos(c)cos(A)

2) fórmula del coseno:2) fórmula del coseno:

1) fórmula del seno:1) fórmula del seno:

3) fórmula de los 5 elementos:3) fórmula de los 5 elementos:

c

b

a

C

ABB

cos(b)=cos(c) cos(a)+sen(c)sen(a)cos(B)cos(c)=cos(a) cos(b)+sen(a)sen(b)cos(C)

sen(b)cos(C)=cos(c)sen(a)-sen(c)cos(a)cos(B) sen(c)cos(A)=cos(a)sen(b)-sen(a)cos(b)cos(C)sen(a)cos(C)=cos(c)sen(b)-sen(c)cos(b)cos(A)sen(b)cos(A)=cos(a)sen(c)-sen(a)cos(c)cos(B)sen(c)cos(B)=cos(b)sen(a)-sen(b)cos(a)cos(C)

forma y dimensiones de la tierraforma y dimensiones de la tierra

1) plana1) planaevolución histórica de la forma evolución histórica de la forma

la forma casi esférica de la tierra fue aceptada mucho la forma casi esférica de la tierra fue aceptada mucho antes que los movimientos de rotación y traslación antes que los movimientos de rotación y traslación

αα = 7°12’ = 7°12’

d/c = 7°12’/360°d/c = 7°12’/360°

Rt= 6267kmRt= 6267km

dd

2) esférica2) esférica método de los arcosmétodo de los arcosEratóstenes (276-194 ac) Eratóstenes (276-194 ac)

3) elipsoide de revolución de dos ejes3) elipsoide de revolución de dos ejes

4) geoide4) geoide

Newton (1643-1727)Newton (1643-1727)rotación achatamiento en los polosrotación achatamiento en los polos

eje menor ≡ eje de rotacióneje menor ≡ eje de rotación

superficie normal en cada punto superficie normal en cada punto a la dirección de la gravedada la dirección de la gravedad

forma real de la tierraforma real de la tierra

eje mayor eje mayor

distribución no homogénea de la masa de la tierradistribución no homogénea de la masa de la tierra

elipsoide ≠ geoideelipsoide ≠ geoidelínea normal al línea normal al

elipsoide (superficie elipsoide (superficie teórica) en el punto teórica) en el punto

línea normal al geoide línea normal al geoide en el punto (dirección en el punto (dirección

de la gravedad)de la gravedad)

dirección del dirección del hilo de la hilo de la plomada plomada en el lugaren el lugar

vertical astronómica del lugarvertical astronómica del lugar

se determina prácticamente, se determina prácticamente, independientemente de la forma de la tierraindependientemente de la forma de la tierra

suponiendo la tierra homogénea y esférica definimos:suponiendo la tierra homogénea y esférica definimos:

Z: zenitZ: zenit●●

N: N: nadirnadir

●●

vertical del lugar vertical del lugar (dirección de la gravedad)(dirección de la gravedad)

eje de eje de rotación rotación terrestreterrestre

polo norte polo norte celesteceleste

polo norte polo norte geográficogeográfico

polo sur polo sur celestecelestepolo sur polo sur

geográficogeográfico

●●

●●

●●

●●

eje de eje de los poloslos polos

ecuador ecuador terrestre terrestre

horizonte horizonte del lugardel lugar

ecuador ecuador celeste celeste

horizontehorizonte: plano perpendicular a la vertical del : plano perpendicular a la vertical del lugar que pasa por el centro de la esfera celestelugar que pasa por el centro de la esfera celeste intersectándola en un círculo máximo llamado intersectándola en un círculo máximo llamado

círculo del horizontecírculo del horizonte

vertical del lugarvertical del lugar: línea que pasa por el centro de la : línea que pasa por el centro de la esfera celesteesfera celeste según la dirección de la aceleración según la dirección de la aceleración de la gravedad en el lugar y corta a la esfera en el de la gravedad en el lugar y corta a la esfera en el

zenit y el nadirzenit y el nadir

esfera celesteesfera celeste: esfera imaginaria con centro en el : esfera imaginaria con centro en el observador y radio arbitrario donde, aparentemente, observador y radio arbitrario donde, aparentemente,

se encuentran ubicados los astros se encuentran ubicados los astros

zenitzenit: punto de la esfera celeste directamente : punto de la esfera celeste directamente por encima de la cabeza del observadorpor encima de la cabeza del observador

eje polar o línea de los poloseje polar o línea de los polos: línea paralela al eje de : línea paralela al eje de rotación de la tierra, que pasa por el centro de la rotación de la tierra, que pasa por el centro de la esfera celeste y la corta en los polos norte y sur esfera celeste y la corta en los polos norte y sur

celestescelestes

ecuador celesteecuador celeste: plano perpendicular al eje polar: plano perpendicular al eje polar que pasa por el centro de la esfera celeste que pasa por el centro de la esfera celeste

intersectándola en el intersectándola en el círculo del ecuador celestecírculo del ecuador celeste

eje de rotación terrestreeje de rotación terrestre: línea con respecto a la cual : línea con respecto a la cual rota la tierra y cuya superficie intersecta en los rota la tierra y cuya superficie intersecta en los

polos norte y sur geográficospolos norte y sur geográficos

polo nortepolo norte: polo desde el cual la rotación de la : polo desde el cual la rotación de la tierra tiene lugar en sentido directo (antihorario) tierra tiene lugar en sentido directo (antihorario)

ecuador terrestreecuador terrestre: plano perpendicular al eje de : plano perpendicular al eje de rotación terrestrerotación terrestre que pasa por el centro de la tierra que pasa por el centro de la tierra

intersectándola en el intersectándola en el círculo del ecuador terrestrecírculo del ecuador terrestre