Aturan_rantai__Turunan_Berarah__dan_Fungsi_Implisit_6

1

FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN,

DIFERENSIAL TOTAL,

ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH, DAN

FUNGSI IMPLISIT

MAKALAH

Dosen Pengampu: Dra. Emi Pujiastuti, M.Pd

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2010

KELOMPOK 6

1. Eli Primahanani 4101409101

2. M. Gani Rohman 4101409106

3. Wilda Yulia Rusyida 4101409109

4. Intan Hidayati 4101409092

2

BAB I

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Makalah ini akan menyajikan materi tentang keterdiferensialan dan diferensial total

fungsi skalar, aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit. Dalam

keterdiferensialkan akan dibahas 6 masalah beserta penyelesaiannya.

Makalah ini akan membahas secara detail materi- materi yang disebutkan diatas. Tidak

hanya definisi atau penjelasannya saja yang akan dibahas, tetapi makalah ini juga akan

memberikan beberapa contoh dan penyelesaiannya serta beberapa latihan sehingga pembaca

dapat paham betul tentang materi tersebut.

B. Prasyarat

Materi prasyarat yang dibutuhkan agar dapat memahami makalah ini adalah sebagai

berikut :

1. Kalkulus 1

2. Kalkulus 2

3. Aljabar Linear Elementer

4. Geometi Dasar

C. Kompetensi dan Indikator

Kompetensi :

1. Memahami konsep dan penyelesaian masalah pada keterdiferensialan serta diferensial

total fungsi skalar.

2. Memahami konsep aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit.

3. Mengidentifikasi matriks jacobi.

Indikator :

1. Dapat menjelaskan kembali tentang konsep keterdiferensialan dan diferensial total fungsi

skalar.

2. Dapat menjelaskan kembali konsep aturan rantai,turunan berarah, dan turunan fungsi

implisit.

3. Dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan keterdiferensialan, diferensial total,

aturan rantai, matriks jacobi, turunan berarah, dan turunan fungsi implisit.

3

D. Tujuan Pembelajaran

1. Mahasiswa dapat menjelaskan kembali definisi serta konsep keterdiferensialan dan

diferensial total fungsi skalar.

2. Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan keterdiferensialan

dan diferensial total fungsi skalar.

3. Mahasiswa mampu menjelaskan dan mendefinisikan konsep aturan rantai, turunan

berarah, serta turunan fungsi implisit.

4

BAB II

PEMBAHASAN

FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN DAN DIFERENSIAL TOTAL

A. PENGANTAR

Dalam kalkulus, kita ingat kembali bahwa fungsi real yang terdefinisi pada selang

buka yang memuat disebut terdeferensialkan di jika ada.

Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai Dengan

menyamakan penyebut dari bentuk fungsi yang diambil limitnya diperoleh,

Kita akan menyajikan konsep turunan secara lain, untuk itu tulislah

maka diperoleh dengan

.

Situasi fungsi satu peubah yang terdeferensialkan di satu titik diperlihatkan pada gambar 1.

Y

f

f(x)=f(a + x )

fxfy )( (a)

f (a)

g x

s X

a x a + x

x- a

Fungsi Skalar Terdiferensialkan Kelompok 6

5

Dengan cara mengganti oleh , yang mengakibatkan dapat diganti oleh

, diperoleh bahwa fungsi real terdeferensialkan di jika

.

Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai .

Dengan menyamakan penyebut dari bentuk fungsi yang diambil limitnya, diperoleh

.

Kemudian dengan menuliskan maka diperoleh

dengan . Dari analisis di atas, kita sampai pada suatu kesimpulan berikut yang

dapat juga digunakan sebagai definisi keterdeferensialan dari satu peubah.

Definisi 3.2.1

Misalkan fungsi satu peubah real terdefinisi pada selang terbuka yang memuat .

1. Fungsi dikatakan terdeferensialkan di jika ada dan terdapat

sehingga memenuhi dengan

. Di sini, diferensial fungsi f di a didefinisikan sebagai

.

2. Fungsi dikatakan terdeferensialkan di jika ada dan terdapat yang

memenuhi dengan . Di

sini diferensial fungsi di didefinisikan sebagai .

Pada konsep diferensial fungsi satu peubah, kita telah mempelajari bahwa untuk

yang cukup kecil, diferensial merupakan suatu hampiran yang

cukup baik untuk , hal ini disebabkan karena .

B. FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN

Pada pasal ini akan diperkenalkan konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan di

satu titik pada suatu daerah. Kemudian, konsep keterdiferensialkan fungsi skalar dengan dengan

peubah di m dibahas sebagai perumuman dari hasil yang diperoleh. Kita mempunyai fungsi dua


6

peubah real ),( yxfu yang terdefinisi pada daerah 2D dengan fungsi turunan parsial

pertama xf dan yf kontinu di titik .),( Dba . Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata

(TNR) untuk turunan fungsi real, pertambahan u dari peubah tak bebasnya dapat dituliskan dalam

bentuk

),(),( bafybxafu

)],(),([),(),(( bafybafybafybxaf

),(),( 21 ybafxybxaf yx

Dimana dan besarnya bergantung pada . ydanx

Selanjutnya, kekontinuan fungsi di (a,b) mengakibatkan

).,(),(lim ),(),( bafyxf xxbayx Misalkan dan yby , maka

),(),()0,0(),( bayxyx , sehingga ),(),(lim 11)0,0(),( bafybxaf xxyx

Atau .0),(lim ),(1)0,0(),( baxxyx fybxaf

Kemudian sebutlah ),() ,(),( 111 bafybxafyx xx , maka

11 ),() ,( bafybxaf xx dengan 0),(lim 1)0,0(),( yxyx . Dengan cara yang

sama kekontinuan fungsi ),( di baf y mengakibatkan adanya ),(22 yx yang memenuhi

22 ),() ,( bafybaf yy dengan 0),(lim 2)0,0(),( yxyx .

Kita tuliskan kesimpulan dari proses ini dalam rumus berikut, yang dikenal sebagai rumus

dasar pertambahan.

Teorema (3.2.2) Rumus Dasar Pertambahan

Jika fungsi ),( yxfu mempunyai turunan parsial pertamayang kontinu di titik pada

daerah2D , maka pertambahan ),() ,( bafybxafu . Dapat ditulis dalam bentuk

),(),(),(),( 21 yxyxybafxbafu yx

Dengan 0),(limdan 0),(lim 2)0,0(),(1)0,0(),( yxyx yxyx .

Hasil ini memberikan gagasan pada rancangan keterdeferensialan fungsi dua peubah di satu

titik dan pada suatu daerah yang lengkapnya sebagai berikut.


7

Definisi

Misalkan fungsi dua peubah ),( yxfu mempunyai turunan parsial pertama di titik ),( ba

yang terletak pada daerah 2D .

Fungsi dikatakan keterdeferensialan di Dba ),( jika terdapat fungsi ),(11 yx dan

),(22 yx sehingga pertambahan ),() ,( bafybxafu dapat ditulis sebagai

),(),(),(),( 21 yxyxybafxbafu yx dengan

0),(limdan 0),(lim 2)0,0(),(1)0,0(),( yxyx yxyx .

1. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan pada daerah 2D jika fungsi f terdeferensialkan

di setiap titik pada daerah .

2. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan secara kontinu di ),( ba fungsi f terdeferensialkan di

),( ba dengan fungsi turunan parsial xf dan yf kontinu di titik itu.

3. Fungsi dikatakan terdiferensialkan secara kontinu pada daerah 2D jika fungsi f

terdeferensialkan secara kontinu di setiap titik pada daerah .

Dari proses diperolehnya rumus dasar pertambahan dan definisi keterdiferensialan fungsi dua

peubah di ),( ba kita mempunyai rumus penting berikut.

Teorema 3.2.4

Jika fungsi ),( yxfu mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di titik ),( ba

pada daerah 2D , maka fungsi f terdiferensialkan secara kontinu di titik ),( ba .

Selanjutnya kita dapat menuliskan definisi fungsi dua peubah yang terdiferensialkan tanpa

notasi y danx , untuk itu tulislah b-yy danaxx maka fungsi ),( yxfu

terdiferensialkan di ),( ba jika pertambahan ),(),( bafyxfu dapat dituliskan sebagai

)()())(,())(,( 21 byaxbybafaxbafu yx di mana 1 dan 2 dari

bdan ,, ayx dengan 0limdan 0lim 2),(),(1),(),( bayxbayx .

Syarat terakhir dapat ditulis dalam bentuk

)()())(,())(,(),(),( 21 byaxbybafaxbafbafyxf yx dengan 1 dan 2

mendekati nol untuk ),(),( bayx .


8

Perhatikan bahwa pada bentuk ini ))(,())(,(),(),( bybafaxbafbafyxf yx

adalah persamaan bidang singgung di titik )),(,,( bafbaP pada permukaan ),( yxfu . Hasil ini

merupakan perumuman dari situasi serupa untuk fungsi satu peubah yang terdiferensialkan di , yaitu

)())((')()( axaxafafxf dengan mendekati nol untuk x mendekati a. Di sini

))((')()( axafafxf adalah persamaan garis singgung pada kurva )(xfy di titik (a,f(a)).

Seperti pada fungsi real, setiap fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di suatu titik itu.

Berikut ini adalah rumus penting tersebut beserta pembuktiannya.

Teorema 3.2.5

Jika fungsi dua peubah ),( yxfu terdiferensialkan di ),( baf pada daerah ,

maka fungsi kontinu di ),( ba .

Bukti:

Karena fungsi f terdiferensialkan di titik ),( ba , maka

yyxxyxybafxbafu yx ),(),(),(),( 21 dengan

0),(lim 1)0,0(),( yxyx dan 0),(lim 2)0,0(),( yxyx . Ini mengakibatkan

. 0lim )0,0(),( uyx

Karena ),,(),( bafybxafu maka dari bentuk limit ini diperoleh

),(),()0,0(, bayxyx yang langsung membawa kita sampai pada hasil

.),(),(lim ),(),( bafyxfbayx .

Ini berarti bahwa fungsi f kontinu di ),( ba , dengan demikian terbuktilah yang

diinginkan.■

Catatan Kebalikan Teorema 3.2.5 tidak benar lagi, sebagai contoh pengangkal, fungsi

),( yxf =22 yx kontinu di )0,0( tetapi tidak terdiferensialkan di titik itu karena f x )0,0( dan

f y )0,0( tidak ada.

Ikhtisar keterdiferensialan fungsi dua peubah yang didasarkan pada Rumus Dasar

Pertambahan diberikan dalam diagram berikut.

Fungsi u = f(x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di (a,b) yang terletak

pada daerah D 2 .


9

dan

Dan

RDP: Rumus Dasar Pertambahan

C. KETERDIFERENSIALAN FUNGSI VEKTOR DI RM

Konsep keterdiferensialan fungsi dua peubah yang telah dibahas dapat diperumum untuk

fungsi skalar u = f (X), X suatu titik pada daerah D ≤ Rm. Keterdiferensialan fungsi tiga peubah u = f

(x,y,z) yang mempunyai turunan parsial di titik (a,b,c) pada daerah D ≤ R3 didefinisikan sebagai

berikut. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan di (a,b,c) jika terdapat fungsi skalar

2211 ),,,( zyx

sehingga pertambahan

Dapat ditulis sebagai

dengan

),( yxfu f kontinu

di (a,b)

f kontinu pada D

f terdiferensialkan di (a,b)

f terdiferensialkan di D

xf

kontinu di (a,b)

yf ada

di (a,b)

xf ada

di (a,b)

yf

kontinu di (a,b)

RDP

f terdiferensialkan secara kontinu di (a,b)

f terdiferensialkan secara kontinu di D


10

Keterdiferensialan fungsi skalar u = f (X), X = (x1,x2,…,xm) yang mempunyai turunan parsial

di A = (a1,a2,…,am) pada daerah D ≤ Rm

didefinisikan sebagai berikut. fungsi f dikatakan

terdiferensialkan di A є D jika terdapat fungsi skalar

sehingga perubahan

)

dapat ditulis sebagai

dengan memenuhi

Sifat keterdiferensialan fungsi dua peubah berlaku juga untuk fungsi skalar yang umum. pada

fungsi skalar u = f(X), X ≤ D ≤ Rm, D suatu daerah di R

m kita juga mempunyai sifat bahwa setiap

fungsi skalar yang terdiferensialkan secara kontinu di suatu titik akan terdiferensialkan di titik itu dan

setiap fungsi skalar yang terdiferensialkan di suatu titik akan kontinu di titik itu.

Masalah I

Keterdeferensialan fungsi langsung dari definisinya.

Contoh 3.10. Selidiki keterdeferensialan fungsi f(x,y) = x 2 + y 2 pada D f = 2 langsung

dengan menggunakan definisinya.

JAWAB

Di sini D f = 2 dan fungsi f kontinu pada D f (jelaskan mengapa!). misalkan (a,b)

titik sebarang pada D f , akan diselidiki apakan fungsi f terdeferensialkan di (a,b). Untuk

fungsi ini, turunan parsial pertama dan nilainya di (a,b) adalah

f x (x,y) = 2x, f x (a,b) = 2a dan f y (x,y) = -2y , f y (a,b) = -2b

sehinggan pertambahannya adalah

u = f (a+ x,b+ y) – f(a,b) = ((a+ x) 2 -(b+ y) 2 ) – (a 2 -b 2 )

= 2a x – 2b y + x 2 - y 2

Selanjutnya akan dicari ε 1 = ε 1 ( x, y) dan ε 2 = ε 2 ( x, y) yang memenuhi

11

u = f x (a,b) x + f y (a,b) y + ε 1 ( x, y) x + ε 2 ( x, y) y

dengan

)0,0(),(lim

yx ε 1 ( x, y) = 0 dan

)0,0(),(lim

yx ε 2 ( x, y) = 0

Gantikan hasil yang diperoleh sebelumnya pada bentuk pertambahan u, diperoleh

2a x – 2b y + x 2 - y 2 = 2a x – 2b y + ε 1 ( x, y) x + ε 2 ( x, y) y

sehingga

ε 1 ( x, y) x + ε 2 ( x, y) y = ( x) x + (- y) y

Ambillah

ε 1 ( x, y) = x dan ε 2 ( x, y) = - y

maka ε 1 dan ε 2 memenuhi rumus dasar pertambahan dengan

)0,0(),(lim

yx ε 1 ( x, y) =

)0,0(),(lim

yx x = 0

dan

)0,0(),(lim

yx ε 2 ( x, y) =

)0,0(),(lim

yx (- y) = 0

Jadi fungsi f terdiferensialkan di (a,b) D f = 2 ; dan karena (a,b) sebarang pada

D f , maka fungsi f terdiferensialkan pada D f .

Masalah 2

Keterdeferensialan fungsi dari kekontinuan

turunan parsial pertamanya

Contoh 3.11. Selidiki apakah fungsi

(a) f (,x,y) = tan 1 xy (b) g(x,y) = e2yx

terdeferensialkan pada daerah definisinya.

12

JAWAB

(a) Fungsi f kontinu pada D f = 2 (jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial

pertamanya terhadap x dan y adalah

f x (x,y) = 221

1

yx dan f x (x,y) =

221

1

yx

Karena fungsi f x dan f y kontinu pada 2 (jelaskan mengapa), maka fungsi f

terdiferensialkan pada 2 .

(b) Fungsi g kontinu pada D g = 2 (jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial

pertamanya terhadap x dan y adalah

g x (x,y) = e2yx dan g x (x,y) = 2ye

2yx

Karena fungsi g x dan g y kontinu pada 2 (jelaskan mengapa), maka fungsi g

terdiferensialkan pada 2 .

Masalah 3

Ketak-terdeferensilan fungsi di suatu titik dari

ketak-kontinuan fungsinya di titik itu

Contoh 3.12. Tunjukkan fungsi

f(x,y) =

)0,0().(,0

)0,0(),(,42

2

yx

yxyx

xy

tidak terdeferensialkan di (0,0).

JAWAB

Fungsi f terdefinisi pada D f = 2 dengan (0,0) suatu titik-titik dari D f . Kita akan

menyelidiki kekontinuan fungsi f di titik itu.

Misalkan (x,y) (0,0) sepanjang sumbu Y (garis x = 0), maka

13

f(0,y) = 42

2

0

.0

y

y

= 0

sehingga di sepanjang garis ini

)0,0(),(limyx

f(x,y) =)0,0(),(

limyx 42

2

yx

xy

=

0limy

0 = 0

Misalkan (x,y) (0,0) sepanjang kurva x = y 2 , maka

f(y 2 ,y) = 44

22 .

yy

yy

=

4

2

2y

y=

2

1

sehingga di sepanjang garis ini

)0,0(),(limyx

f(x,y) =)0,0(),(

limyx 42

2

yx

xy

=

0limy 2

1=

2

1

Karena sepanjang garis x = 0 dan sepenjang kurva x = y 2 limit fungsi f untuk (x,y) (0,0)

berbeda, maka

)0,0(),(limyx

f(x,y) tidak ada

Jadi fungsi f tidak kontinu di (0,0), karena itu berdasarkan kontra posisi teorema 3.2.5,

fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0).

Masalah 4

Ketak-tederferensialkan fungsi di suatu titik dari

titik terdapatnya turunan parsial di titik itu

Contoh 3.13. Tunjukkan fungsi f(x,y) = x (y-1) tidak terdeferensialkan di (0,0).

JAWAB

Fungsi f pada D f = 2 karena merupakan perkalian dari dua fungsi kontinu, yaitu

g(x,y) = x dan h(x,y) = y-1 . Pada situasi ini, f x (0,0) harus ditentukan dari definisi turunan

parsial karena aturan

14

yxf x , = (y-1)dx

d( x ) = (y-1)

x

x

tidak menjangkau (0,0). Turunan parsial fungsi f terhadap y adalah f y (x,y) x , sehingga

.0)0,0( yf

Karena

)0,0(xf = 0

limx 0

)0,0()0,(

x

fxf=

0limx x

x

dengan limit terakhir tidak ada (jelaskan mengapa), maka fungsi f tidak terdeferensialkan di

(0,0).

Masalah 5

Ketak-terdeferensialkan fungsi kontinu di suatu titik

langsung dari definisinya


f(x,y) =

)0,0(),(,0

)0,0(),(,22

yx

yxyx

xy

kontinu dan mempunyai turunan parsial di (0,0) tetapi tidak terdeferensialkan di titik itu.

JAWAB

Fungsi f terdefinisi pada D f = 2 dengan (0,0) suatu titik-limit dari D f , akan

ditunjukkan )0,0(),(

limyx

f(x,y) = f(0,0).

Karena

022 yx

xy

22

22

2222

2

.yx

yx

yxyx

yx

yx

y

dengan

15

)0,0(),(limyx

0 = 0 = )0,0(),(

limyx

22 yx

maka berdasarkan prinsip apit,

)0,0(),(limyx 22 yx

xy

= 0

Dari sini diperoleh

)0,0(),(limyx

f(x,y) = )0,0(),(

limyx 22 yx

xy

= 0 = f(0,0)

Ini mengakibatkan fungsi f kontinu di (0,0).

Turunan parsial pertama dari fungsi f di (0,0) adalah

f x (0,0) = 0

limx 0

)0,0()0,(

x

fxf=

0limx x

0=

0limx

0 = 0

f y (0,0) = 0

limy 0

)0,0(),0(

y

fyf=

0limy y

0=

0limy

0 = 0

Ini berarti bahwa fungsi f mempunyai turunan parsial di (0,0).

Kita tinggal menunjukkan bahwa fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0) dengan cara

kontradiksi. Andaikan fungsi f terdiferensialkan di (0,0), maka terdapat fungsi

1 = 1 ( yx , ) dan 2 = 2 ( yx , )

yang memenuhi

yxyfxffyxff yx 21)0,0()0,0()0,0(),(

dengan

0),(lim 1)0,0(),(

yxyx

dan 0),(lim 2)0,0(),(

yxyx

Jika kita mempunyai fungsi

16

yxyxf 21),(

Khususnya untuk xy diperoleh fungsi

xxyxf .))((),( 21

Tetapi menurut definisi fungsi f yang diketahui,

xxx

x

xx

xyxf

.2

2

12

2

1

2),(

2

22

2

Dari kedua hasil terakhir kita sampai pada kesamaan

xxx .22

1.))(( 21

22

121 x

Karena 0lim 10

xx

dan 0lim 20

xx

, maka

22

12

2

1limlim0

021

0

xxx

yang merupakan suatu kontradiksi. Kontradiksi ini disebabkan oleh pengandaian bahwa suatu

fungsi f terdeferensialkan di (0,0). Dengan demikian kesimpulannya haruslah fungsi f tidak

terdiferensialkan di (0,0).

Masalah 6

Keterdiferensialan fungsi di suatu titik tetapi tidak

terdiferensialkan secara kontinu di titik itu


0),(,0

)0,0(),(,1

sin, 22

2

yx

yxyx

xyxf

17

terdiferensialkan di titik (0,0), tetapi tidak terdiferensialkan secara kontinu di titik itu. (Fungsi

turunan parsial pertama xf dan yf tidak kontinu di titik (0,0)).

JAWAB

Fungsi f terdefinisi pada 2fD yang memuat (0,0). Turunan parsial pertama dari

fungsi f terhadap x dan y di (0,0) adalah

x

xx

x

fxff

xxx

1sin

lim0

)0,0()0,(lim)0,0(

2

00

01

sinlim0

x

xx

dan

00lim00

lim0

)0,0(),0(lim)0,0(

000

yyyy

yy

fyff

Kita akan menunjukkan fungsi f terdiferensialkan di (0,0) dengan cara mencari

yx ,11 dan yx ,22 sehingga memenuhi rumus dasar pertambahan

yxyfxffyxff yx 21)0,0()0,0()0,0(),(

dengan

0),(lim 1)0,0(),(

yxyx

dan 0),(lim 2)0,0(),(

yxyx

Gantikan semua informasi yang diketahui pada rumus dasar pertambahan, diperoleh

yxyxyx

xyxff

2122

2 .0.01

sin),(

Ini mengakibatkan

18

Ambillah

kemudian tunjukkan

Dari ketaksamaan

dengan

Maka berdasarkan prinsip apit diperoleh

Akibatnya,

Secara otomatis, karena , maka

Jadi rumus dasar pertambahan untuk fungsi f di (0,0) dipenuhi; dengan demikian kita

telah menunjukkan bahwa fungzi f terdiferensialkan di (0,0).

Sekarang kita tunjukkan bahwa fungsi turunan parsial pertama fx dan fy tidak kontinu

di titik (0,0), tentukan dahulu persamaan fungsinya kemudian tunjukkan bahwa limitnya di

(0,0) tidak ada. Setelah bentuk fungsi turunan parsial pertamanya disederhanakan diperoleh

dan

Kita tunjukkan bahwa fungsi fx dan fy keduanya tidak mempunyai limit di (0,0).

19

Sepanjang garis x = 0:

Sepanjang garis y = 0:

Limit di sepanjang garis y = 0 ini tidak (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi fx tidak kontinu

di (0,0).

Sepanjang garis x = 0

Sepanjang garis y = x:

Limit di sepanjanggaris y = 0 ini tidak ada (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi fx tidak

kontinu di (0,0).

D. DIFERENSIAL TOTAL FUNGSI SKALAR

Kita akan mempelajari konsep diferensial dari fungsi dua peubah, yang dikenal sebagai

diferensial total. Untuk ini perhatikan kembali konsep garis singgung pada fungsi real xfu yang

terdiferensialkan secara kontinu di titik ax pada selang terbuka D. konsep ini menyatakan bahwa

persamaan garis singgung di titik afbba ,, pada kurva adalah

axafby '

Pada situasi ini diferensial dari fungsi f di ax didefinisikan sebagai

axdx dan axafdy ' Atau xdx dan dxafdy '

Berdasarkan definisi kita menuliskan

xxafafxafafxfy .'

Dengan 0 x untuk 0x . Karena xafdy ' maka dy merupakan

suatu hampiran yang cukup baik untuk pertambahan y bila x cukup kecil. Gagasan konsep

diferensial fungsi real adalah penghampiran nilai fungsi xf atau xaf oleh nilai fungsinya

Diferensial Total Kelompok 6

20

pada garis singgung di titik afbba ,, . Dengan perkataan lain, kurva f di sekitar

ax dihampiri oleh garis lurus yang menyinggung kurvanya di titik ba, .

Konsep diferensial fungsi dua peubah real dirancang dengan cara yang sama dan hasilnya

dapat diperumum untuk fungsi skalar lainnya. Kita ingat kembali persamaan bidang singgung pada

permukaan yxfuS ,: di titik Scba ,, , fungsi f terdiferensialkan secara kontinu di titik

ba, adalah yxXAXbafcz ,,., dan ba,

atau dalam bentuk komponennya bybafaxbafcz y ,,

Tulislah axx dan byy , maka persamaan bidang singgung pada permukaan S

di titik bafccba ,,,, adalah ybafxbafbafz yx ,,,

Bandingkan hasil ini dengan syarat keterdiferensialan secara kontinu dari fungsi

yxfz , di titik ba, pada daerah 2RD ,

yxybafxbafbafyxff yx 21,,,,

fx dan fy kontinu di yxba ,,, 11 dan yx ,22 dengan

dan

Keterdiferensialan secara kontinu menjamin adanya bidang singgung pada permukaan S di

titik cba ,, . Di sini kita melihat bahwa ruas kanan persamaan bidang singgung merupakan suatu

hampiran yang cukup baik untuk ∆f karena pada rumus dasar pertambahan berlaku 01 untuk

0,0, yx . Berdasarkan kenyataan ini kita mendefinisikan konsep diferensial total fungsi dua

peubah sebagai berikut:

Definisi

Misalkan fungsi dua peubah yxfu , terdiferensialkan secara kontinu di titik ba, pada

daerah 2RD f .

1. Diferensial dari peubah bebas x dan y , ditulis dx dan dy , didefinisikan sebagai xdx dan

ydy .

2. Diferensial (diferensial total) dari peubah tak bebas u, ditulis badu , atau badf , ,

didefinisikan sebagai dybafdxbafbadf yx ,,,


21

Pada definisi ini, diferensial total dari fungsi f di titik fDyx , adalah

dyyxfdxyxfyxdf yx ,,, atau disingkat dyfdxfdf yx

Dari konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan secara kontinu di titik (x,y) pada

daerah D, diperoleh yxdff 21 dengan untuk )0,0(),( yx . Ini berarti bahwa df

merupakan suatu penaksir yang baik untuk f .

Konsep diferensial total dari fungsi dua peubah dapat diperumum untuk fungsi scalar

mRDXXfu ),( yang terdiferensialkan secara kontinu pada daerah D. diferensial total dari

fungsi tiga peubah u = f(x,y,z) yang terdiferensialkan secara kontinu di titik ),,( cbaX pada daerah

D didefinisikan sebagai mxmxx dxfdxfdxfdf ...2211

Pada contoh berikut dibahas beberapa contoh tentang diferensial total dari fungsi dua peubah

dan diferensial total sebagai suatu hampiran.

Contoh : Diketahui fungsi xxyyxf 2),( 2

(a). Hitunglah Δf dan df.

(b). Hitunglah Δf dan df di (4,3) dengan Δx = 0,01 dan Δy = 0,02.

(c). Tanpa menghitungnya secara langsung, taksirlah f (5,12;6,85) dengan diferensial kemudian

bandingkan dengan nilai eksaknya.

JAWAB

(a). Fungsi f terdefinisi pada R2, fungsi turunan parsial pertama dari f terhadap peubah x dan y

adalah

2),( 2 yyxf x dan xyyxf y 2),(

Karena fungsi turunan parsial pertama fx dan fy kontinu pada R2 maka fungsi f terdiferensialkan

secara kontinu pada R2.

Pertambahan dari fungsi fdi titik (x,y) є R2 adalah

),(),( yxfyyxxff

)2()(2))(( 22 xxyxxyyxx


22

yyxxyxyyxyxy )2()()2()2( 22

Diferensial total dari fungsi f di titik (x,y) є R2 adalah

dyxydxydf )2()2( 2

(b). Untuk x=4, y=3, x=-0,01 dan y=0,02 diperoleh

)3,4()02,3;99,3()3,4()02,03;01,04( ffff

= 410396,0)4,23,4()99,3(2)02,3)(99,3( 22 dan

41,0)02.0)(3,4,2()01,0)(23( 2 df

Perhatikan bahwa di sini df merupakan suatu hampiran untuk f karena x dan y cukup

kecil.

(c). Kita akan menentukan nilai ),( yyxxf untuk 12,5 xx dan 85,6 yy .

Pilihlah 7,12,0,5 yxx dan 15,0y maka nilai taksiran dari )85,6;12,5(f

dengan konsep diferensial adalah )7,5()7,5()85,6;12,5( dfff

)15,0)(70()12,0)(47(235

14,13068,4235

Nilai eksak di titik )0032,230()85,6;12,5(

E. MATRIKS JACOBI

Kita akan menyajikan konsep keterdiferensialan fungsi skalar dengan menggunakan

transformasi linear, hasil yang diperoleh akan diperumum untuk membahas konsep keterdiferensialan

fungsi vektor dengan peubah vektor. Untuk ini perhatikan kembali konsep keterdiferensialan fungsi

skalar di satu titik pada suatu daerah.

Fungsi skalar mxxxXXfu ,,,, 21 yang mempunyai turunan parsial di

maaaA ,,, 21 pada daerah mD dikatakan terdiferensialkan di A jika terdapat fungsi

mhhh ,,,1 211 , mt ,,2,1 sehingga pertambahan f dapat ditulis sebagai

mmmxxmmm hhhAfhAfaaafhahaffma

1112111 ,,,,,

dengan 01 bila mihhh m ,,2,1,0,,0,0,,, 21


23

Kita tuliskan syarat keterdiferensialan ini dengan notasi vektor. Misalkan mhhhH ,,, 21 ,

maka mm hahaHA ,,11 , sehingga syaratnya dapat dituliskan dalam bentuk

mmhhHAfAfHAf 11 dengan

01 bila mihhh m ,,2,1,0,,0,0,,, 21

syarat keterdiferensialan terakhir dapat diganti dengan syarat yang lebih kuat, yaitu mengambil

Hm ,1 dan mengganti 1h oleh H , sehingga diperoleh

HHHAfAfHAf dengan

0

0lim

H

H

Perhatikan bahwa syarat yang terakhir selalu mengakibatkan syarat yang di atasnya juga berlaku. Jadi

sekarang kita sampai pada hasil berikut.

Definisi

Fungsi skalar DRDf ,: daerah XfuRm , dikatakan terdiferensialkan di DA

jika terdapat vektor V dan suatu fungsi skalar mhhhHH ,,,, 21 yang memenuhi

HHHVAfHAf dengan

0

0lim

H

H

Pada definisi ini vektor V adalah gradien dari fungsi f di A, yaitu

AfAfAfAfVmxxx ,,,

21

Dengan menggunakan sifat aljabar linear, maka untuk vektor V yang diketahui terdapat suatu

transformasi linear L sehingga HVHL . Jadi konsep keterdiferensialan fungsi skalar di satu

titik pada suatu daerah dapat ditampilkan dalam bentuk berikut.

Definisi

Fungsi skalar DRDf ,: daerah XfuRm , dikatakan terdiferensialkan di DA jika

terdapat transformasi linier RRL m : dan suatu fungsi skalar mhhhHH ,,,, 21

yang memenuhi


24

HHHLAfHAf dengan

0

0lim

H

H

Pada definisi ini matriks transformasi linear L yang mempunyai ukuran m1 adalah vektor

gradiennya. Jadi L dapat ditulis dala bentuk

m

xxx

h

h

h

AfAfAfHAfHLmx

2

1

,,,2

Transformasi linear L dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lainnya seringkali ditulis tanpa

kurung, yaitu HL ditulis LH . Dengan cara penulisan seperti ini, syarat keterdiferensialan dari

fungsi skalar menjadi

HHLHAfHAf dengan

0

0lim

H

H

Bentuk terakhir dapat ditulis sebagai

HHHADfAfHAf dengan

0

0lim

H

H atau,

HHHAfAfHAf ' dengan

0

0lim

H

H

Dalam penulisan seperti ini, ADf atau Af ' dinamakan turunan fungsi skalar f di A.

Perumuman dari hasil yang sedang kita pelajari akan digunakan untuk memperkenalkan

konsep keterdiferensialan dari fungsi vektor dengan peubah vektor yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi

Fungsi vektor dengan peubah vektor DRDF n ,: daerah mR , 1

1

1 eXfXfUn

i

dikatakan terdiferensialkan di DA jika terdapat transformasi linear nm RRL : dan suatu

fungsi vektor m

n

i

hhhHeHHEE ,,,, 211

1

1

yang memenuhi

HEHLHAFHAF dengan

0

0lim

H

HE


25

Seperti halnya pada fungsi scalar, jika terdapat tranformasi linear yang berkaitan dengan

fungsi F di A, maka kita menyatakan tranformasi tersebut dengan DF(A) atau F’(A). dengan cara

penulisan ini syarat keterdiferensialan dari fungsi vector dengan peubah vector dapat ditampilkan

dalam bentuk

)()()()( HEHHADFAFHAF dengan atau,

)()(')()( HEHHAFAFHAF dengan

Pada situasi ini, vektor F(A+H), F(A) dan E(H) dapat dipandang sebagai matriks berukuran n

X 1, matrika transformasi L berukuran n X m dan vector H sebagai matriks berukuran m X 1. baris

ke-i dari matriks tranformasi L adalah vektor gradien dari komponen fungsi fi(x) di A,

yaitu niAf ,...,2,1),(1 . Dalam bentuk matriks, syarat keterdiferensialan untuk fungsi vektor

dengan peubah vektor dapat ditulis sebagai

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

)(

)(

(

2

1

2

1

222

111

2

1

2

1

21

21

21

H

H

H

H

h

h

h

AfAfAf

AfAfAf

AfAfAf

Af

Af

Af

HAf

HAf

HAf

nnnxnxnx

xxx

xxx

nn m

m

m

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

nX1 nX1 nXm mX1 nX1

matriks tranformasi L

Matriks transformasi L dinamakan matriks Jacobi dari fungsi F dan ditulis dengan lambang JF(A).

Jadi matriks Jacobi dari fungsi F adalah

A

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

A

fff

fff

fff

Ax

fAJ

m

nnn

m

m

nxnxnx

xxx

xxx

j

i

F

m

m

m

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

222

111

21

21

21

)()(

Perhatikan beberapa contoh berikut tentang menentukan matriks Jacobi dari suatu fungsi

vektor dengan peubah vektor.


26

Contoh : Tentukan matriks Jacobi dari fungsi vektor dengan peubah vector

xy

xyxyxFF

1

2

22

tan

2),(,: di titik (1,1).

JAWAB : Komponen fungsi vektor dari F adalah xyxyxf 2),( 2

1 dan xyyxf 1

2 tan),(

Matriks Jacobi dari fungsi F di titik (x,y) 2 adalah

xx

y

xyx

y

f

x

f

y

f

x

f

yxJ F 1

222

11

tan1

222

),(

Sehingga matriks Jacobi dari fungsi F di titik (1,1) adalah

4

1

2

120

1,1FJ

SOAL LATIHAN 1

1. Selidiki apakah yxeyxf 2

),( terdiferensialkan pada daerah definisinya!

2. Tunjukkan bahwa yxxeyxf y 2),( dapat didiferensialkan dimanapun

3. Tentukan , ),,( zyxfDy dan jika

dan temukan pula differensial totalnya.


27

ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH DAN

FUNGSI IMPLISIT

A. PENGANTAR

Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua

pembaca. Jika ))(( txfy , dengan f dan x keduanya fungsi yang dapat dideferensialkan, maka

dx

du

du

dy

dx

dyy ' .

B. ATURAN RANTAI

Teorema Aturan Rantai I

Jika fungsi x=x(t) dan y=y(t) terdiferensialkan di Dt dan fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan

di (x,y)=(x(t),y(t)) fD , maka fungsi z=g(t)=f(x(t), y(t)) juga terdiferensialkan di t dengan

aturan : dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz..

dimana y

z

x

z

, dihitung di (x,y)= (x(t),y(t)).

Aturan rantai I dapat ditampilkan dalam bentuk diagram pohon berikut

x t

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz..

2 peubah

Bukti :

Karena fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)Df, maka :

yxyy

zx

x

zz 21..

x

z

y

z

dt

dx

dt

dyz t

Aturan Rantai Kelompok 6

28

Dimana ),,(11 yx ),(22 yx , dengan

0),(lim 1)0,0(),(

yxyx

dan 0),(lim 2)0,0(),(

yxyx

untuk 0t berlaku 21.. t

x

t

x

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

,

karena )()( txttxx dan )()( tyttyy maka

)0,0(),(0 yxt

Akibatnya 1 dan 2 adalah fungsi dari t dengan

,0lim)(lim 1)0,0(),(

10

yxt

t dan

.0lim)(lim 2)0,0(),(

20

yxt

t

Juga untuk 0t , diperoleh

dt

dx

t

x

t

0lim dan

dt

dy

t

y

t

0lim .

Dengan menggunakan semua hasil ini pada bentuk

21

00..limlim

t

y

t

x

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

tt

diperoleh dt

dy

y

z

dt

dx

t

z

dt

dz

….. terbukti

Pada rumus di atas, z dipandang sebagai fungsi satu peubah terhadap t untuk dt

dzdan

dipandang sebagai fungsi duua peubah terhadap x dan y untuk x

z

dan

y

z

.

Teorema aturan rantai I dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks

dt

dx

dt

dyy

z

x

z

dt

dz


29

Jika dimisalkan

y

z

x

zXftytxtXXftgz )(')),(),(()(),()(

Maka aturan rantai I dapat ditulis sebagai

,)(').('' tXXfdt

dzz sama dengan bentuk aturan rantai pada fungsi real.

Contoh : Andaikan z=x3y, dimana x=2t dan y=t

2 tentukan

dt

dz !

Dengan menggunakan aturan rantai I diperoleh :

=(3x2y)(2)+(x

3)(2t)

=3(2t)2(t

2)2+(2t)

32t

=24t4+16t

4

=40t4

Aturan rantai I untuk 3 peubah

Jika fungsi x=x(t), y=y(t), dan z=z(t) terdiferensialkan di t pada daerah D dan fungsi

u=f(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) Df maka u sebagai fungsi dari t.

u=g(t)=f(x(t),y(t),z(t)) terdiferensialkan di t D dengan aturan :

dt

dz

z

u

dt

dy

y

u

dt

dx

x

u

dt

du

.

Contoh : Andaikan w=x2y+y+xz dimana x=cos t, y= sin t dan z=

2t . Tentukan !

Penyelesaian : Jelas dt

dz

z

w

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw


30

.cos2coscossinsin.cos2

cos2cos)1(cos)sin)(sin.cos2(

)2(cos)1()sin)(2(

322

22

2

tttttttt

tttttttt

txtxtzxy

Teorema Aturan Rantai 2

Jika fungsi ),( yxuu dan ),( yxvv terdiferensialkan di titik 00 , yx pada daerah Df

dan fungsi ),( vutz terdiferensialkan di 00 , yx pada daerah Df dengan

),( 000 yxuu dan ),( 000 yxvv , maka fungsi )),(),,((),( yxvyxufyxgz

terdiferensialkan di titik ),( 00 yx dengan aturan :

Dalam bentuk diagram pohon dapat digambarkan, sebagai berikut:

x

u y

dv

dz

dx

dv

dy

dv

Bukti :

Untuk z terhadap x.

Buatlah y tetap, tulis y=yo, maka u dan v hanyalah fungsi dari x, yaitu u=u(x,yo) dan v=v(x,yo).

Dipunyai fungsi u dan v terdiferensialkan di xo dengan aturan

),(),(

),( 00

00

00 yxx

uyxu

yxdx

dux

x

u

u

z

y

u

z

v x


31

),(

),(),( 00

00

00 yxx

vyxv

yxdx

dvx

Gantikan hasil ini pada fungsi z=g(x,y) yang diketahui kemudian gunakan aturan rantai 1 di

titik )( 0,0 vu dan )( 0,0 yx maka diperoleh :

))(),((),( 000 yxufyxgz dan

),(),( 0000 yxxu

ufyx

xu

uf

dx

dg

dx

dz

xv

vf

xu

uf

( Terbukti )

Dalam bentuk perkalian matriks, aturan rantai 2 dapat ditulis

y

u

x

u

y

v

x

vy

z

u

z

y

z

x

z

Misalkan

)),(),,((,)(),( yxvyxuUUfyxgz ,maka :

')(',)(' zdan

y

u

x

u

y

v

x

v

XUv

z

u

zUf

y

z

x

z

Sehingga

)(').('' xUUfz

Bentuk ini persis sama dengan aturan rantai pada fungsi real.

Contoh :

Jika xyzyxw 222 dimana x=st, y=s-t, dan z=s+2t, tentukan !


32

( purcel jilid 2, hal: 282 )

Penyelesaian :

Dipunyai

tsz

tsy

stx

xyzyxw

2

222

Jelas t

z

z

w

t

y

y

w

t

x

x

w

t

w

tsststs

tssttsststs

tssttsstsst

zxysyx

10222

84222

2)2(2)1()()(2)()()(2

22)1()2()2(

22

22

Jelas s

z

z

w

s

y

y

w

s

x

x

w

s

w

tststst

tssttststst

tssttsttsst

zxytyx

4422

42222

1)2(21)()(2)()(2

121)2()2(

22

22

Jadi tsststst

w10222 22

dan tststst

s

w4422 22

( purcel jilid 2, hal: 282 )


33

Teorema Aturan Rantai 3

Misalkan , D daerah di dan , E daerah di sehungga

Jika fungsi F terdiferensialkan di dan fungsi G terdiferensialkan di

maka fungsi komposisi terdiferensialkan di X dengan aturan

( )’ dimana,

.

Dalam bentuk matriks Jacobi, rumus terakhir ditulis sebagai

Diagram panah dari komposisi

G(F(X))

X

F(X)

m PnF G


34

Dengan cara seperti aturan rantai 1 dan 2 , kita dapat menyajikan aturan rantai ini dalam

diagram pohon, yang penggunaanya cukup praktis.

Bukti:

Karena fungsi F terdiferensialkan di maka terdapat suatu transformasi linear

dari ke dari fungsi vektor yang memenuhi

F(X+H)= F (X) + F (X)H+ 0)(lim)( 101 ! HEdenganHEH

h

Karena fungsi G terdiferensialkan di , maka terdapat suatu

transformasi linear dari ke dan fungsi vektor E(H) yang

memenuhi

Kita akan menentukan suatu transformasi linear dari ke dan suatu fungsi

vektor E(H) yang memenuhi

0)(lim)()())(())((0

HEdenganHEHHXJXFGHXFGHFG

Misalkan : )()(')(_)()( 1 HEHHXFXFHXFHKK , maka

)())(('))(())(())(( 2 KEKKXFGXFGKXFGHXFG

Dengan menggunakan G’(F(X)) linear kita sampai pada kesimpulan

)()())((')('))((('))((

)()())((')('))((('))()(()((

21

21

KEH

KHEXFGHHXFXFGXFG

KEH

KHHEXFGHHXFXFGXFFGHXFG

Ambillah

)('))((')( XFXFGXJ FG , dan )()())((')( 21 KE

H

KHEXFGHE

Kemudian buktikan 0)(lim0

HEh

Dengan menggunakan lemma 3-3-3 yang berbunyi:


35

Jika L:nm suatu transsformasi Linear maka XbLXb Diperoleh

)()())((' 11 HEbHEXFGb

Karena 0)(lim 10

HE

H, maka 0)(lim 10

HEH

Dari kedua hasil diperoleh 0)())(('lim 10

HEXFG

H, Dari definisi K=K(H) diperoleh

)()(' 1 HEXFH

K , akibatnya

H

K terbatas. Ini berarti c

H

Kc 0 yang

mengakibatkan HK .Dari sini diperoleh 00 KH , sehingga kita sampai

pada ini memberikan 0)(lim 20

KE

h.

Kemudian, karena ,0)()()( 20H

22 lim

KEdenganKEcKEH

Kmaka

.0)(20

lim

KEH

K

H

Karena itu,

.000)()())((')( 20

100

limlimlim

KEH

KHEXFGHE

HHH

Dengan demikian terdapat transformasi linear )('))((' XFXFG dan fungsi skalar E(H)

sehingga memenuhi

)())('))(('())(())(( HEHHXFXFGXFGHXFG dengan

0)(lim0

HEH

Ini membuktikan bahwa terdiferensialkan di X dan

)('))((')()'( XFXFGXFG ( Terbukti ).


36

C. TURUNAN BERARAH

Definisi 3.3.5:

Misalkan fungsi ),( yxfz terdefinisi pada daerah 2RD dan ),( vuu suatu vektor

satuan di R2. Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u ditulis

),(),,( yxu

zyx

u

f

. ),( yxDu atau ),( yxDu

didefinisikan sebagai ,),(),(

lim),(0 h

yxfhvyhuxfyx

u

f

h

bila limit ini ada.

Catatan :

1. Jika vektor satuan 2Ru ditulis dalam bentuk

).,(),sin,(cos posxsbuu ,

maka turunan berarah dari ),( yxfz di ),( yxX dalam arah vektor satuan u dapat

didefinisikan sebagai :

h

yxfhyhxfyx

u

f

h

),(sin,cos(lim),(

0

.

2. Jika ),( yxX , maka ,),( huXhvyhux sehingga turunan berarah dari fungsi

),( yxfz di ),( yxX dalam arah vektor satuan u dapat didefinisikan sebagai:

h

XfhuxfX

u

f

h

)()(lim

0

.

3. Sesuai dengan definisi 3.3.5, turunan berarah dari fungsi ),( yxfz di ),( baA pada

daerah 2RD dalam arah vektor satuan u didefinisikan sebagai

h

bafhvbhuafba

u

f

h

),(),(lim,

0

, bila limit ada.

4. Konsep turunan berarah didesain dengan menggunakan limit fungsi satu peubah.

Turunan Berarah Kelompok 6

37

Cara menghitung turunan berarah

Turunan berarah dari fungsi ),( yxfz di titik ),( yx pada suatu daerah D dalam arah

vektor satuan ),( vuu dapat dihitung dengan salah satu cara berikut :

a. Misal, g(t)=(x+tu,y+tv), maka

)0('0

)0()(lim),(

0g

h

ghgyx

u

f

h

, bila limit ini ada.

b. Dalam kasus fungsi f terdefinisikan di titik ),( yx 2RD , aturan rantai dengan r = r(t )=

x + tu dan s = s(t) = y + tv memberikan

vs

fu

x

fu

r

f

dt

ds

s

f

dt

dr

r

f

.

karena untuk t = 0 berlaku r = x dan s = y, maka

uyxfvy

fu

x

fgyx

u

f),()0('),(

2.. Teorema 3.3.6 Menghitung Turunan Berarah dengan Vektor Gradien

Jika fungsi ),( yxfz terdiferensialkan di titik ),( yx pada daerah 2RD maka turunan

berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u di titik ),( yx :

.),(),( uyxfyxu

f

dimana jyxfiyxfyxf yx ),(),(),(

3. Turunan berarah dan bidang singgung permukaan

Syarat terdapatnya bidang singgung pada permukaan ),(: yxfzs di titik ),,( cba

memuat ),( ba . Syarat ini memberikan terdapatnya turunan berarah di titik ),,( cba untuk

sebarang vektor satuan u.

4. Turunan berarah sepanjang suatu kurva

Definisi 3.3.7

Misal fungsi z=f(x,y) terdefinisi pada daerah 2RD yang memuat titik A. Turunan berarah

dari fungsi f sepanjang kurva 2RC yang melalui A didefinisikan sebagai turunan berarah di A

dalam arah vektor singgung satuannya.


38

Berdasarkan definisi ini, turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C yang melalui A

adalah )(Au

f

, dimana u vektor singgung satuan dari kurva C di titik A.

5. Turunan berarah dari fungsi scalar lainnya

Definisi 3.3.8

1. Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah 3RD dan u=(u,v,w) vektor

satuan di R3, turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u, ditulis

),,( zyxu

f

didefinisikan sebagai

0

lim),,(

hzyx

u

f

h

zyxfhwzhvyhuxf ),,(),,( bila limit ini ada.

2. Misalkan fungsi skalar w=f(x), X= mxxx ,...,, 21 terdefinisi pada daerah mRD dan

muuuU ,...,, 21 vektor satuan di R3

Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u ditulis )(xu

f

, didefinisikan

,)(

lim0 h

huXfx

u

f

h

bila limit ada.

3. Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah 3RD yang memuat A dan

kurva C di R3 melalui A.

Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai Au

f

,

dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.

4. Misalkan fungsi skalar w=f(x), X= mxxx ,...,, 21 terdefinisi pada daerah mRD yang

memuat titik maaaA ,...,, 21 dan kurva C di Rm melalui titik A.

Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai Au

f

,

dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.

Teorema 3.3.9 Menghitung turunan berarah dari fungsi skalar dengan vektor gradien.


39

Jika fungsi skalar fungsi skalar w=f(x), X= mxxx ,...,, 21 terdiferensialkan di titik X pada

daerah mRD dan muuuU ,...,, 21 vektor satuan di U

m, maka turunan berarah dari fungsi f

di titik DX dalam arah vektor satuan u adalah

n

i

iexffuxfxu

f

1

, .

Arti Geometri Turunan Berarah

Arti geometri dari turunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di A=(a,b) dalam arah vektor satuan u

adalah gradient garis singgung di titik P(a,b,f(a,b)) pada kurva C yang merupakan perpotongan

antara permukaan s=z=f(x,y) dengan bidang r yang dibentang oleh garis (k,u) dan melalui titik P.

Contoh soal :

Tentukan turunan bararah dari fungsi 22 32, yyxyxf dalam arah vektor satuan yang

membentuk sudut 6

1 dengan sumbu X positif di titik (x,y) dan di titik (1,-1)!

Penyelesaian : Vektor satuan : )sin,(cos v

.2

1,3

2

1

2

1,3

2

1

ji


40

Cara kedua :

Turunan parsial pertama dari fungsi f terhadap peubah x dan y adalah

yxyxfdanxyyxf yx 62,4, 2

Berdasarkan teorema 3.3.6 diperoleh turunan bararah dari fungsi f di (x,y)2RD f adalah

2

1,3

2

162,4,, 2 yxxyuyxfyx

u

f

.3322 yxyx

Sehingga turunan berarah dari fungsi f di (1,-1) adalah .322)1,1(

u

f

D. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Dipunyai persamaan berbentuk f(x,y)=0, menyatakan :

o y sebagai fungsi implisit dari x, dan

o x sebagai fungsi implisit dari y.

Fungsi yang disajikan dengan y=f(x), variabel x dan y terpisah di ruas yang berbeda. Fungsi yang

disajikan seperti ini disebut fungsi eksplisit. Fungsi yang tidak demikian disebut fungsi implisit.

y sebagai fungsi implisit dari x

Bila fungsinya dituliskan sebagai y=f(x), maka diperoleh F(x,f(x)) = 0. Fungsi F

terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh

0

dx

dy

y

f

dx

dx

x

f

.0),(,),(

),(

),(),(

0),(),(

yxFyxF

yxF

dx

dy

yxFdx

dyyxF

dx

dyyxFyxF

y

y

x

xy

yx

Turunan Fungsi Implisit Kelompok 6

41

x sebagai fungsi implisit dari y

Bila fungsinya dituliskan sebagai x=g(y), maka diperoleh F(g(y),y) = 0. Fungsi F

terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh

0

dy

dy

y

f

dy

dx

x

f

.0),(,),(

),(

),(),(

0),(),(

yxFyxF

yxF

dy

dx

yxFdy

dxyxF

yxFdy

dxyxF

x

x

y

yx

yx

Atau melalui diferensial total

F(x,y)=0 maka d F(x,y)=0

.),(

),(

),(

),(

),(),(

0),(),(

yxF

yxF

dx

dy

yxF

yxF

dy

dx

dyyxFdxyxF

dyyxFdxyxF

y

x

x

y

yx

yx

Turunan fungsi implisit dari fungsi 2 peubah termuat secara implisit dalam fungsi 3 peubah.

Misalkan u=F(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z) pada 3RD , dan diketahui F(x,y,z)=0, maka

ada tiga kasus.

1). Kasus z = f(x,y)

Diperoleh persamaan F(x,y,f(x,y)) = 0 diperoleh


42

0,

0

z

F

z

Fx

F

x

z

x

F

x

z

z

F

x

z

z

F

x

F

x

z

z

F

x

F

x

F

dan

0,

0

z

F

z

F

y

F

y

z

y

F

y

z

z

F

y

z

z

F

y

F

y

z

z

F

y

F

y

F

Atau dapat dituliskan

,),,(

),,(),(

),,(

),,(),(

zyxF

zyxFyxFdan

zyxF

zyxFyxF

z

y

y

z

x

x

dengan 0),,( zyxFz

2). Kasus y = f(x,z)

Diperoleh persamaan F(x, f(x,z),z) = 0 diperoleh

0,

0

y

F

y

Fx

F

x

y

x

F

x

y

y

F

x

y

y

F

x

F

x

y

y

F

x

F

x

F

dan

0,

0

y

F

y

Fz

F

z

y

z

F

z

y

y

F

z

y

y

F

z

F

z

y

y

F

z

F

z

F


,),,(

),,(),(

),,(

),,(),(

zyxF

zyxFzxFdan

zyxF

zyxFzxF

y

zy

y

xx

dengan 0),,( zyxFy

3). Kasus x = f(y,z)

Diperoleh persamaan F(f(y,z),y,z) = 0 diperoleh


43

0,

0

x

F

x

F

y

F

y

x

y

F

y

x

x

F

y

x

x

F

y

F

y

x

x

F

y

F

y

F

dan

0,

0

x

F

x

Fz

F

z

x

z

F

z

x

x

F

z

x

x

F

z

F

z

x

x

F

z

F

z

F


,),,(

),,(),(

),,(

),,(),(

zyxF

zyxFyxFdan

zyxF

zyxFzyF

x

zy

x

y

y

dengan 0),,( zyxFx

Contoh Soal

Jika persamaan 42433 26398 xzxyzyx secara implicit mendefinisikan fungsi z=f(x,y) ,

y=g(x,z) , dan x=h(y,z). tentukan turunan parsial fx, fy, gx, gz, hy, hz!

turunan parsial pertama dari fungsi F terhadap peubah x, y, dan z adalah

fx (x,y,z) = 24x2+6y

2+2z

4

fy (x,y,z) = 27y2+12xy

fz (x,y,z) = 12z3+8xz

3

untuk fungsi yang mendefinisikan z=f(x,y), maka

33

2

33

422

812

1227

,,

,,,

812

2624x

,,

,,,

xzz

xyy

zyxF

zyxFyxf

xzz

zy

zyxF

zyxFyxf

z

y

y

z

x

x

untuk fungsi yang mendefinisikan y=g(x,z) , maka


44

xyy

xzz

zyxF

zyxFzxg

xyy

zy

zyxF

zyxFzxg

y

zz

y

xx

1227

812

,,

,,,

1227

2624x

,,

,,,

2

33

2

22

untuk fungsi yang mendefinisikan x=h(y,z), maka

zy

xzz

zyxF

zyxFzyh

zy

xyy

zyxF

zyxFzyh

x

zz

x

y

y

2624x

812

,,

,,,

2624x

1227

,,

,,,

22

33

22

32

SOAL LATIHAN 2

1. Dipunyai

sty

tx

ew yx

sin

sin

22

. tentukan t

w

dan

s

w

2. tentukan turunan berarah dari 2),,( zxyzyxf pada titik (1,1,1) dalam arah ke (5,-

3,3).

3. jika persamaan 032 323 zyxyzyx mendefinisikan secara implisit fungsi

),( yxfz . Tentukan turunan parsial xf dan yf


45

DAFTAR PUSTAKA

Martono, Koko.1992. Kalkulus Lanjut 1. Bandung: ITB.

Purcell J, dkk. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama.

Purcell J, dkk. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama.

Documents

Aturan_rantai__Turunan_Berarah__dan_Fungsi_Implisit_6