Auditorne vježbe # 1titan.fsb.hr/~bskugor/NEIZRAZITO I DIGITALNO UPRAVLJANJE/NDU AUDITORN… · Auditorne vježbe # 1 Z-transformacija i vremenski diskretna prijenosna funkcija

Auditorne vježbe # 1 Z-transformacija i vremenski diskretna prijenosna funkcija.

Povezivanje Laplaceove s i z domene.

Utjecaj položaja polova i nula prijenosne funkcije u z području na brzinu odziva (dominantni i nedominantni polovi i nule).

Prigušenje odziva vremenski diskretnog sustava.

Važnost primjene antialiasing filtra.

Svi efekti biti će ilustrirani na releventnim primjerima mehatroničkihsustava:

elektronički upravljana zaklopka (ventil) za dovod zraka u usisni kolektor Ottovog motora,

pojednostavljeni linearizirani model Ottovog motora,

dvomaseni sustav s elastičnom vezom.Autor: Dr. sc. Danijel Pavković

Z transformacija i prijenosna funkcija u z-području

Definicija Z-transformacije polazi od Laplaceove transformacije niza uzoraka (vremenski diskretnog signala)

0

** )()()(k

kTsekTxsXtxL

Uvodi se nova kompleksna varijabla z = esT s = ln(z)/T.

Odavde se definira Z-transformacija kao:

0

)()(:)(k

kzkTxkTxZzX

Teoremi Z-transformacije: Linearnost )(,,)()()()( 2121 tfbazbXzaXkTbxkTaxZ

Vremenski pomak

Prigušenje u vremenskom području )()( aTakT zeXekTxZ

Teorem o početnoj i konačnoj vrijednosti

)()1(lim)(lim

)(lim)0(

1zXzkTx

zXx

zk

z

0

)()()(

)()(1

0

dzhTxzXzTdkxZ

zXzTdkxZd

h

hd

d

Autor: Dr. sc. Danijel Pavković

Prijenosna funkcija linearnog vremenski-diskretnog sustava određuje se primjenom Z-transformacije na težinsku funkciju g(t) vremenski kontinuiranog sustava opisanog prijenosnom funkcijom G(s).

)(* tx)(tx )(tgT

)()( 1 sGtg L

)(ty )(* tyT kTtsGZtgZzG

)(L)()( 1

Radi jednostavnosti najčešće se zapisuje kao:

)()( sGZzG

G(z) se može izvesti ili odrediti primjenom usporednih tablica Laplaceove i Z-transformacije (pogledati npr. T. Šurina: “Automatska regulacija”).

U slučaju vremenski-diskretnog sustava regulacije na ulazu procesa (objekta upravljanja) potrebno je imati ekstrapolator (npr. ekstrapolator nultog reda – ZOH).

sesG

sT

F

1)( )(sG)(sU )(* sUT T

)(sY )(* sY)(sU F

Prijenosna funkcija G(z) procesa sa ekstrapolatorom nultog reda na ulazu tada glasi:

ssGZ

zz

zUzYzG )(1

)()()(


Veza između polova i nula u s-području i z-području

Veza između polova i nula vremenski kontinuiranog i vremenski diskretnog sustava:

Polovi vremenski kontinuiranog i odgovarajućeg mu vremenski diskretnog sustava povezani su (kompleksnom) jednadžbom z = esT.

Isto ne vrijedi za nule.

Tzez

TjTez

eeezjs

T

T

TjTTj

)arg(,||

)sin(cos

)(

Polovi se preslikavaju na sljedeći način:

z = f() je periodična funkcija s periodom2/T = s (jedan pol iz z-ravnine preslikava se u više polova u s-ravnini)

Preslikavanjem karakterističnih pravaca iz s – ravnine u z – ravninu može se ilustrirati preslikavanje karakterističnih dijelova s – ravnine u z – ravninu.


Preslikavanje polova iz s – područja u z – područje.

a) Preslikavanje osnovnog segmentaimaginarne osi [-js, js] (s = j):

TzzTjTez Tj

)arg(1,||sincos

b) Preslikavanje pravca konstantnog gušenja (s = 0 + j):

Tzez

TjTeeezT

TTjT

)arg(1,||

)sin(cos0

00

c) Preslikavanje graničnih pravacaosnovnog pojasa (s = + j/T):

0)1()arg(,||

zzez

eeezT

TjT

d) Preslikavanje negativne realne poluosi (s = ):

0)arg(,||

1)0(;

zez

zezT

T

e) Preslikavanje pravca = konst:

Tzez

eez

js

T

TjT

)arg(,||

1||

2

2

1||

1||

2

Polovi na ovim lokacijama uzrokuju pojavu prigušenih

oscilacija u odzivu (period = 2T)Područje konstantnog

prigušenja

Slobodni odziv sustava asimptotski teži nuli

j

sj

sj

a)

0 0

a)

jediničnakružnica

z

zj

1

sTez

j

sj

sj

a)b)

0 0

a)

jediničnakružnica

Te|z| 0b)

z

zj

1

sTez

j

sj

sj

a)b)

c)

0 0

a)

jediničnakružnica

Te|z| 0b)

c)

z

zj

1

sTez

j

sj

sj

a)b)

d)

c)

0 0d)

a)

jediničnakružnica

Te|z| 0b)

c)

z

zj

1

sTez

j

sj

sj

a)b)

e)

d)

c)

0 0d)

a)

jediničnakružnica

Te|z| 0b)

c)

e)

z

zj

1

sTez


Veza između položaja polova u z-ravnini i dinamike procesa (polova u s-području)

)ln( pp z

TT

0

2

eqT

j

0 0z

zj

1

sTez )Re( pz)Im( pz

j

0 0z

zj

1

sTez pT/1 pz

0

20 1 j

22 )Im()Re(ln

))ln(Re(

pp

p

zz

z

22 )Im()Re(ln1pp zz

T


Elektronički upravljana zaklopka za zrak Ottovog motora

• Zakopka se sastoji od malog DC motora (cca. 50W), relativno jeftinog reduktora, potenciometra za mjerenje položaja zaklopke, te dvojne povratne opruge.

32

2221

)()()(

sKK

JTsKKJs

KKKKKT

KKKKK

sussG

ls

a

lsls

vtaa

ls

tach

p

• Linearna dinamika se opisuje sljedećom prijenosnom funkcijom (Ks – koeficijent krutosti povratne opruge u linearnom režimu rada):

Fotografija i blokovski dijagram nelinearnog modela zaklopke.

sTK

a

a

1 Js1

s1

lK+

+

vK

+ - m m mm

sm

auemfu

tKai

LH

fm

-

+

-Lm

chKu

lK LHM

SMCM

s

Trenje

Povratne opruge (tzv.limp-home nelinearnost)


• Model procesa može se pojednostaviti uvođenjem nekih realnih pretpostavki (Ta 0, te relativno neizražena dinamička povratna veza po momentu opruge, KlKs 0):

• Pojednostavljeni modeli mogu naći praktičnu primjenu pri pojektiranju regulatora položaja zaklopke

aKs1

lK

lKsK

+

-

tav KKK

m m mm

sm

autK

aichK

u

Js1

-

2221)(

)()(s

KKJs

KKKKK

KKKKK

sussG

lsls

vta

ls

tach

p

aKJs1

s1

lK+

tav KKK

m m mmautK

aichK

u-

ssKKK

JKKK

ssTK

sussG

tva

vlch

em

pp

1

/)1()(

)()(

a

b

Pojednostavljeni linearni modeli zaklopke: uz zanemarenje armaturne vremenske konstante (a), te uz zanemarenje povratne veze po momentu opruge (b).

PT2 model:

IT1 model:


• Parametri modela procesa:

Ka = 0.556 A/V

Ta = 0.61 ms

Kt = 1.83.10-2 Nm/A

Kv = 1.83.10-2 Vs/rad

J = 4.10-6 kgm2

Ks = 5.543.10-2 Nm/rad

Kl = 5.899.10-2

Kch = 2.4 V/V

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

t [s]

[ra

d]

PT2 modelIT1 model

-50 -40 -30 -20 -10 0-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

j

PT2 modelIT1 model

Nedominantnipolovi

Dominantnipolovi

Odzivi na skokovitu pobudu (a), te položaji nedominantnih i dominantnih polova (b) PT2 i IT1 modela zaklopke.

a b

• Za dani izbor parametara PT2 model ima realne polove:JKK

JK

JK

s lsdd22

2,1 22

vtad KKKK • Gdje je:Autor: Dr. sc. Danijel Pavković

)1)(1()(

21

2

sTsTK

sGpp

pp

• PT2 model procesa može se prikazati na sljedeći način:

JKK

JK

JK

Tlsdd

p221

22

1

JKK

JK

JK

Tlsdd

p222

22

1

Nedominantna vremenska konstanta Dominantna vremenska konstanta

• Tražimo Z transformaciju modela procesa s ekstrapolatorom nultog reda (ZOH) na ulazu:

ssGZ

zz

zUzYzG )(1

)()()(

)1)(1()(

21

2

sTsTsK

ssG

pp

pp

• Prvo odredimo prijenosnu funkciju Gp(s)/s:

sTC

sTB

sA

pp 21 11

Svođenje na standardne tablične oblike

Rastav na parcijalne razlomke

21221 )1()1()1)(1( ppppp KsTCssTBssTsTA Tvori sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice

0

0)(

1221

21

2

pppp

pp

p

CTBTTAT

CBTTA

KANakon sređivanja

21

22

221

21

22pp

pp

pp

ppp TT

TKC

TTT

KBKA


• Z transformacije osnovnih oblika (prema tablicama): aTezz

aszz

s

11

1

• Stoga uvodimo sljedeću substituciju:

1

11 1

111

1

p

pp

Ts

TsT

21 /21

1/

21

12 1

/)(pp TT

pp

pTT

pp

ppp

ez

zTT

T

ez

zTT

Tz

zKssGZ

• Z transformacija prijenosne funkcije Gp(s)/s glasi:

• Nakon sređivanja dobije se Z transformacija modela procesa sa ZOH na ulazu kako slijedi:

))(()(

21 //01

2pp TTTTpp

ezez

bzbKzG

21

/2

21

/1//

0

21

/2

21

/1

1

1221

21

1

pp

TTp

pp

TTpTTTT

pp

TTp

pp

TTp

TTeT

TTeT

eeb

TTeT

TTeT

b

pppp

pp

• Alternativno se Z transformacija modela procesa sa ZOH na ulazu može dobiti primjenom Matlab funkcije c2dm.m.

Preslike polova –1/Tp1 i –1/Tp2


• Za IT1 model procesa postupak je sličan kao i u slučaju PT2 modela. Konačni rezultat Z transformacije glasi:

))(1(])1([])1([

)( /

///

em

ememem

TT

TTTTem

TTem

pp ezzTeeTzTeT

KzG

Preslike polova sp1 = 0 i sp2 = –1/Tem

Nule!!

-50 -40 -30 -20 -10 0-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

j

s-domain poles

PT2 modelIT1 model

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Real(z)

Imag

(z)

s-domain poles and zeros

PT2 model polesPT2 model zerosIT1 model polesIT1 model poles

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

t [s]

[ra

d]

continuous-time modeldiscrete-time model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

t [s]

[rad]

continuous-time modeldiscrete-time model

Položaji nedominantnih i dominantnih polova (a) i usporedni odzivi na skokovitu pobudu (b) vremenski kontinuiranih i vremenski diskretnih PT2 i IT1 modela zaklopke.

a b


Usrednjeni model dinamike Ottovog motora

Usrednjeni model Ottovog motora (Mean Value Engine Model, MVEM) obuhvaća sve bitne statičke i dinamičke aspekte vladanja motora, no ne uključuje visokofrekvencijsku dinamiku taktnog rada.

),( pWi +

-

VsRT ),( pWo ),( oWM sTde

Is1

+

-MbM

oWiW p

p

Zaklopka Usisni kolektorRazvijanje okretnog

momentaInercijamotora

Usrednjeni model Ottovog motora.

Tri trodimenzionalne nelinearne statičke mape.

1sT

K

m

m p M

bM

tK +

11sTd Is

1-

pK

+

-

Linearizirani model Ottovog motora.

Dvije varijable stanja (brzina vrtnje motora i tlak zraka u usisnom kolektoru p). Mrtvo vrijeme razvijanja okretnog momenta Td. Radi jednostavnosti pretpostavlja se da je temperatura zraka u usisnom kolektoru konstantna (izotermni model).

Za potrebe sinteze regulatora brzine vrtnje motora usrednjeni model se linearizira, a mrtvo vrijeme razvijanja momenta Td se aproksimira P1 članom.

Dinamička povratna veza po brzini vrtnje se smije zanemariti ako je Kp << .


0 0.5 1 1.5 20

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

t [s]

[m

in-1

]PT3 modelIT2 model

-20 -15 -10 -5 0-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

j

PT3 modelIT2 model

Manje dominantnipolovi

Dominantnipolovi

Model (prijenosna funkcija) uz prisutnu povratnu vezu po brzini vrtnje (PT3 model):

32)(1

/1)()()(

sKKK

TJTsKKKTTJs

KKKJ

KsssG

ptm

dm

ptm

dm

ptm

pp

Model (prijenosna funkcija) uz zanemarenu povratnu vezu po brzini vrtnje (IT2 model):

)1)(1()()()(

sTsTJsKK

sssG

dm

tmp


Km = 6,621105 Pa

Kt = 4,99910-4 Nm/Pa

Kp = 3,05110-4 s

Tm = 0.101 s

Td = 0.075 s

J = 0.0636 kgm2

Odzivi na skokovitu pobudu (a), te položaji polova (b) PT3i IT2 modela Ottovog motora.

a b


-20 -15 -10 -5 0-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

j

s-domain poles

IT2 model PT3 model PT3 model w/ 20xKp

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Real(z)

Imag

(z)

z-domain poles

IT2 model poles PT3 model poles PT3 model poles w/ 20xKp

Polovi koji odgovaraju aperiodskomvladanju (realna os s –ravnine, s < 0) preslikavaju se na realnu os unutar jedinične kružnice u z – ravnini (0 < z < 1).

Preslike brzih konjugirano-kompleksnih relativno slabo prigušenih polova također pokazuju svojstva slabe prigušenosti u z -području.

Položaji nedominantnih i dominantnih polova vremenski kontinuiranih ivremenski diskretnih PT3 i IT2 modela Ottovog motora.

Granica dobre prigušenosti ( = 0.707)


Dvomaseni sustav s elastičnom vezom

M

1m

m

1 1

c

dm

2m

2 2

1J 2J

dcm

mmmJ

mmJ

f

21

222

2

11

1

1

1

1J

d

c+-

+- +

+

-

+1m

m

1 m

2m

2

2

2J

Mehanički sustavi industrijskih elektromotornih pogona mogu se za potrebe projektiranja upravljačkog sustava opisati modelom dvomasenog sustava s elastičnom vezom.

Radi jednostavnosti pretpostavlja se da su trenje i zračnost u prijenosnom mehanizmu zanemarivi, pa se proces može opisati linearnim modelom.

ab

cDvomaseni sustav s elastičnom vezom: principna shema (a), matematički model u prostoru stanja (b) i

blokovski dijagram modela procesa (c).Autor: Dr. sc. Danijel Pavković

0 0.1 0.2 0.30

1

2

3

4

5

6

7

8

t [s]

2 [r

ad/s

]

-1.2 -0.8 -0.4 0-120

-80

-40

0

40

80

120

j

Slabo priguseni polovi ( = 0.01)

Promatra se model procesa (prijenosna funkcija) G21(s) = 2(s)/m1(s):

2

200

21

02

2

1

221

121)(

21

)()()(

sssJJ

s

smssG

21

210 JJ

JJc

cd

20

202 J

c

cd

202

2


J1 = 0,02 kgm2

J2 = 0,02 kgm2

c = 104,2 Nm/rad

d = 0.02 Nms/rad

Odzivi na skokovitu pobudu (a), i položaji polova (b) dvomasenog sustava s elastičnom vezom.

a b


-1.5 -1 -0.5 0-150

-100

-50

0

50

100

150

j s-domain poles

-0.4 0 0.4 0.8 1.2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real(z)

Imag

(z)

z-domain poles and zeros

poles (T = 2 ms) zeros (T = 2 ms) poles (T = 10 ms)zeros (T = 10 ms)

= 0.707

= 0.707

Slabo prigušeni polovi nalaze se vrlo blizu jedinične kružnice (ruba stabilnosti).

Položaji polova vremenski kontinuiranog modela dvomasenogsustava s elastičnom vezom i vremenski diskretnih modela za

različite iznose vremena uzorkovanja.

S porastom vremena uzorkovanja polovi i nule se pomiču prema lijevom dijelu jedinične kružnice.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Real(z)

Imag

(z)

z-domain poles and zerospoles (T = 2 ms) zeros (T = 2 ms) poles (T = 10 ms)zeros (T = 10 ms)poles (T = 30 ms)zeros (T = 30 ms)


Utjecaj aliasinga na kvalitetu regulacije Aliasing – pojava izobličenja osnovnog spektra vremenski diskretnog signala nastala

uslijed uzorkovanja signala nedostatnom frekvencijom uzorkovanja)( jX

spektar kontinuiranogsignala )(tx

11

0X

TX /0)(* jXspektar diskretnog

signala osnovnispektar

1 12

s2

ss s

1 1s s

)(* jX

1k1k

0k

0k1k2k

s2s2

komplementarnispektri

Razmjerno velika frekvencija uzorkovanja (s > 21) – očuvan je osnovni spektar.

Amplitudni spektri vremenski kontinuiranog signala i odgovarajućih vremenski diskretnih signala uzorkovanih s razmjerno velikom i

razmjerno malom frekvencijom uzorkovanja s = 2/T.

Razmjerno mala frekvencija uzorkovanja (s < 21) – osnovni spektar nije očuvan te dolazi do preklapanja s pokrajnjim spektrima.


Izbor frekvencije uzrokovanja s (vremena uzorkovanja T) je kompromis između: Zahtjeva na izbjegavanje aliasinga, naročito ako se spektar signala rasprostire na

širokom rasponu frekvencija (npr. uslijed značajnog šuma u signalu), te realnih zahtjeva na izvođenje upravljačkog algoritma (vrijeme izvršavanja).

Kako bi se uklonio visokofrekvencijski šum, mjerni signali se prije uzorkovanja filtriraju analognim filtrima čija je granična frekvencija manja ili jednaka Shannonovoj frekvenciji uzorkovanog signala sh = /T.

Primjer: potrebno je usporediti vladanje regulacijskog sustava na slici u prisustvu visokofrekvencijskog šuma sa i bez primjene antialiasing filtra (T = 100 ms).

RK

1zz

TTK

IR

P

I

+

+

ZOH

se sT1

-

+

ProcesT T

)(se)(syR

)(sy

)(su )(sy

200

2

20

2

ss

+

+)(sn

PI regulator

Anti-aliasing filtar

3)12(1s

Vremenski diskretni regulacijski sustav s PI regulatorom.Autor: Dr. sc. Danijel Pavković

Svojstva šuma mjerenja (a) i frekvencijska karakteristika antialiasing filtra (b).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

Šum

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

f [Hz]

Spe

ktar

šum

a

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

-20

-15

-10

-5

0

100 101 102-180

-135

-90

-45

0

fg = 1/(2T) = 5 Hz

a b

Shannonova frekvencija:fg = 1/(2T) = 5 Hz

Frekvencija uzorkovanja:fo = 1/T = 10 Hz


Odzivi regulacijskih sustava s PI regulatorom za slučaj kada se ne koristi odnosno koristi antialiasing filtar.

0 10 20 30 40 50 600

0.4

0.8

1.2y

Reference yref y (with antialiasing filt.) y (without antialiasing filt.)

0 10 20 30 40 50 600

0.4

0.8

1.2

1.6

t [s]

u Antialisaing filtrom izbjegava se pojava

niskofrekvencijskih oscilacija u odzivu (a koje su posljedica malog iznosa Shannonove frekvencije).

Također se bitno smanjuje razina viskofrekvencijskog šuma u upravljačkom signalu (antialiasig filtar je niskopropusnifiltar).


Analogni filtri se često projektiraju prema prototipskim prijenosnim funkcijama. Koriste se sljedeći tipovi realizacija analognih filtara:

Besselov filtar (filtar s približno linearnom faznom karakteristikom)

Butterworthov filtar (maksimalno ravna amplitudno frekvencijska karakteristika u području propuštanja)

Čebiševljevi filtri:

Tip 1 (dopuštena određena valovitost A() u području propuštanja)

Tip 2 (dopuštena određena valovitost A() u području gušenja)

Eliptični filtar (dopuštena određena valovitost A() u području propuštanja i u području gušenja)

Svaki filtar se može projektirati kao niskopropusni (NP), visokopropusni(VP), pojasno propusni (PP) ili kao pojasna brana (PB, engl. “notch” filtar).

Osnovni parametri filtra su granična frekvencija (frekvencije), red filtra N i valovitost frekvencijske karakteristike


100

101

102

-60-50-40-30-20-10

010

Am

plitu

da [d

B]

Butterworthov filtarCebisevljev filtar

100

101

102

-540

-450

-360

-270

-180

-90

0

f [Hz]

Faza

[°]

USPOREDBA BUTTERWORTHOVOG I ČEBIŠEVLJEVOG NP FILTRA

Zahtjevi na filtar (T = 1 ms): Širina propusnog opsega: 0-20 Hz Gušenje na granici propusnog opsega: -3 dB Gušenje na frekvenciji 30 Hz: -40 dB Dopuštena valovitost u području propuštanja (Čebišev.): 0.5 dB

Butterworthov filtar: N = 12

Čebiševljev filtar: N = 6 Ima znatno manje fazno kašnjenje uz sličnu amplitudnu karakteristiku u području propuštanja i bitnom dijelu područja gušenja (0 A –30 dB).


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.25

0.5

0.75

1

1.25O

dziv

na

step Butterworthov filtar (N = 12)

Cebisevljev filtar (N = 6)

t [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Zasumljen signal Butterworthov filtar (N = 12)Cebisevljev filtar (N = 6)

t [s]

Čebiševljev filtar (N = 6) postiže praktički jednako gušenje šuma u interesantnom području frekvencija kao i složeniji Butterworthov filtar (N = 12).

No njegovo efektivno kašnjenje odziva je znatno manje (posljedica manjih iznosa faznog kašnjenja).


Documents

Auditorne vježbe # 1titan.fsb.hr/~bskugor/NEIZRAZITO I DIGITALNO UPRAVLJANJE/NDU AUDITORN… · Auditorne vježbe # 1 Z-transformacija i vremenski diskretna prijenosna funkcija