5/26/2018 Aufgabenblatt3_v3
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bung zu Theoretische Physik II (SS 2014) bungsblatt 3
Denis Vasilyev und Klemens Hammerer
ausgeteilt: Montag, 28.4.2014
zu bearbeiten bis: Montag, 5.5.2014
7. Doppelter Delta-Potentialtopf (Molekl): Der Hamiltonoperator
eines Teilchens sei
H= 2
2md2
dx2 [(x) + (x a)] , (1)
mit >0 einer positiven reellen Zahl. Dies beschreibt zwei
Potentialtpfe bei x = 0 und x = a mit Breite lund Tiefe V0 im
Grenzfall l 0 und V0 wobei lV0 = >0 konstant gehalten wird.
(a) (2 Punkte) Wie lauten die Stetigkeits- und
Unstetigkeitsbedingungen an die Wellenfunktion und ihreAbleitung an
den Stellen der Potentialtpfe?
(b) (4 Punkte) Wir suchen nach gebundenen Zustnden, d.h. wir
suchen nach Lsungen der zeitunabhn-gigen Schrdingergleichung fr
Energien E E1existiert. Skizzieren Sie die zugehrige Wellenfunktion
qualitativ.Welche Symmetrieeigenschaften besitzt sie?
(f) (2 Punkte) Wir knnen dieses Potential als ein einfaches
Modell fr ein H+2 -Molekl verwenden: Die
Bewegung des Elektrons im Potential der Kerne an den festen
Positionen x= 0 und x= a wird durchden Hamiltonoperator (2)
beschrieben. Wie variiert die Energie des elektronischen
Grundzustandesmit dem Abstand a der Kerne (qualitativ)? Betrachten
Sie die Grenzflle a 0 und a . Wasist die Gesamtenergie des Systems,
wenn Sie die (Coulomb)Abstossung der Kerne hinzunehmen? Wievariiert
die die Gesamtenergie mit a (qualitativ)? Erklren Sie, wie damit
das Prinzip einer chemischenVerbindung und der
Gleichgewichtsabstand der Kerne in einem Molekl verstanden werden
kann (ineinemSatz).
8. Transmission und Reflexion an einer doppelten
Delta-Barriere:Der Hamiltonoperator eines Teilchens sei
H= 2
2m
d2
dx2
+ [(x) + (x a)] , (2)
mit > 0 einer positiven reellen Zahl. Dies beschreibt zwei
Potentialschwellen bei x = 0 und x = a mitBreitel und Hhe V0 im
Grenzfall l 0 und V0 wobei lV0 = >0 konstant gehalten wird.
(a) (6 Punkte) Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und Eigenwerte
des Hamiltonoperators. Beschrnken Siesich auf von links einfallende
Wellen.
(b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Reflexions- und
Transmissionskoeffizienten.
(c) (2 Punkte) Diskutieren Sie die Abhngigkeit der Reflexions-
und Transmissionskoeffizienten vom Ab-standa der Potentialschwellen
und der Energie Edes Teilchens (qualitativ). Gibt es Resonanzen?
Wenn
ja, wo?
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9. Skalarprodukt in L2
Im Raum L2(Rn) der quadratintegrablen Funktionen lsst sich ein
Skalarprodukt definieren. Jedem Paar, L2 ordnen wir eine komplexe
Zahl (, ) C zu
(, ) =
dnx (x)(x)
(a) (6 Punkte) Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften des
Skalarproduktes:
(i) (, ) = (, )(ii) (, + ) = (, ) + (, )
(iii) (+ ,) = (, ) + (, )
(b) (4 Punkte) Fr das Skalarprodukt gilt die Cauchy - Schwartz -
Ungleichung
|(, )|
(, )
(, ).
Zeigen Sie damit, dass L2 ein Vektorraum ist, d.h. falls , L2
und, C dann ist auch
+ L2
2
