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Aula 1_3Campo ElétricoCarga Distribuída
Física Geral e Experimental III
Prof. Cláudio GraçaCapítulo 2
Campos Elétricos de distribuições contínuas de carga elétrica
• Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição)
Campos Elétricos de distribuições contínuas de carga elétrica
• Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição)
Tipos de distribuição contínua de carga:
Campos Elétricos de distribuições contínuas de carga elétrica
• Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição)
• Exemplos: carga volumétrica; superficial; linear
++++++++++++++++++++++++++
rE(r) = ?• Linha de carga infinita
Campos Elétricos de distribuições contínuas de carga elétrica
• Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição)
permanecem os mesmos.
• Mudanças:
• Outro Exemplo: Anel de carga
∑ ∫⇒
Densidade de Carga• Como representar uma carga “q” distríbuida em um objeto?
Carga totalq
Elementos de cargadq
• Superfície de carga:σ = carga/m2 dq = σ dA
• Linha de carga:λ = carga/m dq = λ dx
• Volume de carga:ρ = carga/m3 dq = ρ dV
Geometria para o cálculo do campo
∫∫∫ −−=
v
dv"r'r"r'r)r(kE 3rr
rrrρ
dv)r(dq ρ=
∫∫∫=v
dvrr)r(kE 2r
rρ
dvrr)r(Ed 2r
rρ=
22
11'''
'''
'''
'''
rrr
rrrrr
rrr
rr
rr
rr
rrr
−=
−−=
−=
Geometria para o cálculo do campo
∫∫∫=v
dvrr)r(kE 2r
rρ
22
11'''
'''
''''''
rrr
rrrrr;rrr
rrr
rr
rrrrr
−=
−−=−=
Substituindo teremos:
32
1'''
'''
'''
'''
''' rrrr
rrrr
rr rr
rr
rr
rr
rr −−=
−−
−∫∫∫
−−=
v'''
'''
dvrrrr)r(kE 3rr
rrrρ
Exemplos: Distribuição contínua de carga
++++++++++++++++++++++++++r
E(r) = ?Fundamentos: principio da superposição“somar o campo elétrico produzido por cada elemento de carga, utilizando o principio a superposição para obter o campo final”
Aplicar:• Utilizar a Lei de Coulomb para calcular o campo dE produzido por cada elemento de carga• Planeje a integracão ao longo da linha usando os limites…• x: {de -∞ a +∞} ou θ: {de - π/2 a +π/2}
• Procure as simetrias ? Isto pode ajudar com simplificações.
++++++++++++++++++++++++++++θ
x
dE
dq
-∞ +∞
Densidade de carga = λ
Linha de carga
Devemos somar todas as contribuições dE de cada segmento dx para o campo total.
dx"r'r"r'rkEd 3rr
rrr
−−λ=
jY'rix"r
==
r
r
23
22 Yx
)ixjY(dxkEd+
−= λr
++++++++++++++++ x
y
rθdE
dxix"r =r
jY'r =r
Densidade de carga = λ
Linha de carga
Devemos somar todas as contribuições dE de cada segmento dx para o campo total.
23
22 Yx
)ixjY(dxkEd+
−= λr
jYx
YdxkEd
iYx
xdxkEd
y
x
23
22
23
22
+=
+−=
λ
λ
r
r
++++++++++++++++ x
y
rθdE
dxix"r =r
jY'r =r
Linha de carga
jYx
YdxkEd
iYx
xdxkEd
y
x
23
22
23
22
+=
+−=
λ
λ
r
r
∫∫
∫∫
+==
+−==
xyy
xxx
Yx
YdxkEdE
Yx
xdxkEdE
23
22
23
22
λ
λ
x
x
r
r
( )
( )∫
∫
+=
+−=
xy
xx
Yx
dxYkE
Yx
xdxkE
23
22
23
22
λ
λ
Linha de carga
( ) ( )
( ) θ
θYcos
Yx
uuudu
Yx
xdx
Yx
xdx
x
uuuxx
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−==+
=+
∫∫∫
2122
21
21
23
23
2223
22
1
1221
212
21
( ) 2223223
23
22
11Ysencosd
Y)(coscosYd
YYx
dxx
θθθθθ
θθ θ
===+
∫ ∫∫ −
Fazendo xdxdu,Yxu 222 =+=
Fazendo θ
θθθθθθ
θ 221
cosYdd)tan(Ydtan
ddYdx;tan
Yx =+===
Como 22 Yx
xsen+
=θ( ) x
x )Yx(Yx
Yx
dx2
122223
22 +=
+∫
Linha de carga
( )
θ
θ
θλλ
θλλ
cosYk
)Yx(YxkE
senYk
YxYkE
x
xy
x
x
=+
=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=
2122
2122
Linha de carga
2
1
2
1
θ
θ
θ
θ
θλ
θλ
cosYkE
senYkE
y
x
=
= Linha Infinita:
Semi-infinita
finita { }21
20
22
θθθ
πθ
ππθ
;
;
;
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
Linha Infinita:
Semi-infinita
finita
YkE;
YkE yx
λλ =−=
( ) ( )11 ; θθλθθλ coscosYkEsensen
YkE yx −=−= 22
YkE;E yx
λ20 ==
Linha de cargaLinha infinita:
Semi-infinitaYkE;
YkE
YkE;E
yx
yx
λλ
λ
=−=
== 20
++++++++++++++++ x
y
rθE
dx+++++++++++++++++++++++++
x
y
Linha de carga infinita
++++++++++++++++ x
y
dx
rY
θ
dEUsamos a Lei de Coulomb para obter dE:
Mas x e θ não são independentes!x = Y tanθ
dx = Ysec2θ dθ
220 Yx
dq4
1dE+πε
=
Posição r em função de x e Y?
Yd
41dE
0
θλπε
=
Carga dq em função de dx?
dxdq λ=
θ=+=
cosY)Yx(r 2/122
( )20 cos/Y
dx4
1dEθ
λπε
=
Portanto,
2
2
0 Ydxcos
41dE θλπε
=
x
Linha de carga Infinita• Componentes:
• Integração:
2
2
2
2
2
2
2
2
41
41
41
41
π
π
π
π
θ
θ
+
−
+
−
+
−
+
−
===
=−==
∫ ∫
∫ ∫
senYλ
πεθcos
Yλdθ
πεdEE
Ycosλ
πεsenθ
Yλdθ
πεdEE
o
π/
π/ oyy
o
π/
π/ oxx
Exθθλπε
−= sinYd
41dE
0x
++++++++++++++++ x
y
dx
rYθ
dEθ
Ey
θθλπε
+= cosYd
41dE
0y
• Solução:
• Conclusão:
O campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga:– é perpendicular a todos os pontos da linha– é proporcional à densidade de carga– diminui com 1/r.
++++++++++++++++++x
y
dx
rY
θdE
0sin2/
2/=∫
+
−θθ
π
πd
2cos2/
2/=∫
+
−θθ
π
πd Y
24
1E0
yλ
πε=
0=xE
Linha de carga infinita
• Conclusão:
O campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga:– é perpendicular a todos os pontos da linha– é proporcional à densidade de carga– diminui com 1/r.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++x
r
Linha de carga infinita
Campo de um plano infinito de cargaO campo elétrico devido a uma linha Infinita de carga vale:
rdyk
rkdE σλ 22 ==
• λ é a densidade linear [C/m] e• σ é a densidade superficial [C/m2]
θθθθθ
dsecZdy;tanZy;secZcosZr 2====
Portanto: θθσθ
θθσ dsecksecZ
dsecZkdE 22 2
==
Utilizando os argumentos de simetria conclui-se que : Ex=0; Ey=0
∫−
===
===2
22
22
22π
π εσσπθσ
θσθθθσθ
oz
z
kdkE
dkcosdseckcosdEdE
Portanto o campo é constante e Independente de Z.
Distribuição esférica de carga
Modelo de Dalton Modelo de ThomsonModelo atômico deRutherford
DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE SIMÉTRICA
• Condutor
• Isolante
Campo de uma distribuição casca esférica de carga
θθπσ
θθπσπ
σ
dsenR
Rd)Rsen(σdAdq;Rq
Aq
2
2
2
24
=
====
αθθπσα cosr
dsenRkcosrkdqdEx 2
2
2
2==
xrRrxcoscosxrrxR
xRrdrsenθen
dxRsenrdrcosxRRxr
22
222
222222
222
−+=∴−+=
=
=∴−+=
αα
θθθ
dr)rRx(
xRk
xrRrx
xRrdr
rRkdEx 2
22
2
222
2
2
12
2 −+=−+= σππσ
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+−−−−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=−+=+
−
+
−∫ RxRxRxRxRx
xRk
rRxr
xRkdr)
rRx(
xRkE
Rx
Rx
Rx
Rxx
111 222
22
22
22
2
σπσπσπ
Campo de uma distribuição esférica de carga
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
22
2
2
222
222
22
22
22
2
4
22
2
11
1
xqkE;
xRk
RRxRk
RxRx)Rr()Rr(RxR
xRk
RxRxRxRxRx
xRk
rRxr
xRkdr)
rRx(
xRkE
x
Rx
Rx
Rx
Rxx
==
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
+−−−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+−−−−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=−+=+
−
+
−∫
πσ
σπ
σπ
σπ
σπσπ
Consequentemente o campo de uma casca é idêntico ao de uma carga pontual no centro da caca.
Para o campo no interior da casca, deve-se alterar os limites de integração:
022
2=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=+
−
Rx
xRx r
RxrxRkE σπ
Blindagem eletrostática
Campo por uma esfera maciça de carga
2rkqdq
rkEn
r == ∫
O campo de uma esfera, pode ser calculado pela soma dos campos de ncascas de espessura infinitesimal, portanto
Para campos no interior da esfera, a carga que entra no cálculo, é devidaàs cascas no interior do ponto:
rRkq
rkqE
Rqrr
R
qrq
rRr
r
32
3
33
3
3
34
343
4
==
===
<
π
πρ
Resumo:Distribuições de campo elétrico
Dipolo ~ 1 / r3
Carga pontual ou esférica ~ 1 / r2
Linha infinitade carga ~ 1 / r
Quadrupolo 1/ r4
Plano infinito de carga 1 / r0 constante
Problema • Considere um anel circular com densidade
uniforme de carga (λ C/m) . A carga total do anel é +Q.
• Qual é o valor do campo elétrico na origem?+
(a) zero Rπλ
πε2
41
0(b) 2
041
RRλπ
πε(c)
• Relembre que o campo total, na origem, é SOMA VETORIAL de todas as contribuições dos elementos de carga.
• Se a soma fosse ALGÉBRICA o resultado correto seria a opção (b) faça esse exercício.
• Cada contribuição de um elemento de carga é anulada pela contribuição do elemento oposto!!
+
• Portanto, a SOMA VETORIAL, de todas as contribuições será ZERO!
+++++
+++ + + +
+
+
R
++
+
+
+
+
+
Campo criado por um anel de carga
2/122
c3
c2
)az("r'rjasenicosajyix"r
kz'r
dl"r'r"r'rkrd
"r'rdqkE
),z,0,0(P
+=−θ+θ=+=
=
−−λ=
−=
=
∫∫
rr
r
r
rr
rr
rrr
a.r" raio de anel um por :ponto No
( ) kazkqzE
EE
/z
y
x
2322
00
+=
==
r( ) θ+
θ−θ−λ= ∫π
adaz
jasenicosakzkE2
02/322
r Por simetria
Campo criado por um anel de carga
( )
. zkq a;z para
como,
2≅>>
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
≅
+−≅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=+
=
==
z
22
z
2
2/32
2/323
2/322z
y
x
E
,
za
231z
kqE
...)z/a(231
za1
k
za1z
kqzkaz
kqzE
0E0E
r
O anel se comporta como um monopolo de carga
Campo criado por um disco de carga
{ } { }
( )
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=
+=
=+
=
==
==
====
∫
∫∫
21220
2322
02322
2
0
22
122
020
/
a
/
a
/z
z
azzk
bzbdbak
bzbdbdzkE
a;b;;bz
rdbd"rkcos
rdAkdE
bdθdlbr"bd.dbdAdAdq
πσπσ
θσ
πθ
θσασθ
σ
π
e onde onde
O campo se torna constanteo2
k2E,a
;0, E0z
εσ=πσ→∞→
==
finito, z mantendo para e
simetria de argumentos pelos só para
Disco de carga com raio “a”
Limitações da Lei de Coulomb
0r quando →∞⇒= 2rQkE
Ou seja o cálculo do campo não pode incluir o domínio da carga!!! Como se enfrenta este problema?
Exemplos:
• Campo no centro do disco:
• Campo devido a uma linha de carga infinita:
( )
( ) ( ) ( )!!zero! realmente é agora o,r para limite cujo →
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−πσ=
+πσ=
=+
θσ=
∫
∫∫≠
π
2/1222/122
a
r2/322
a
0r2/322
2
0z
rzz1
azz1k2
rzrdr2ak
rzrdrdzkE
Y2
41E
0y
λπε
=
0=xE As duas componentes para um ponto no infinito, tenderiam a zero, o que é uma incoerência pois existe carga lá, lembre-se a linha é infinita.... A lei de Coulomb não se aplica a pontos onde exista carga, pois E ⇒ ∞
Campo criado por um plano de carga
o2k2E,a
0, E0z
εσ=πσ→∞→
→=
para e
para
O campo se torna constante
++++++++++++++++++++++++++ o2εσE =
Campo criado por dois planos de carga
o2k2E,a
0, E0z
εσ=πσ→∞→
→=
para e
para
O campo se torna constante
++++++++++++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
E=0
E=0
o
Eεσ=
Movimento de cargas elétricas em campos elétricos
• Relembre a definição do campo elétrico EqFrr
=
• Relembre da Física I
• Considere partículas com carga e massa movendo-se no campo elétrico.
Observe que uma partícula movendo-se num campo elétrico, ésemelhante ao movimento de projéteis…
ax = 0 ay = constantevx = vox vy = voy + atx = xo + voxt y = yo + voyt + 1/2 at2
EmqaamFrrrr
=⇒=
• Considere o seguinte campo elétrico, com um elétron colocado na posição indicada.
++++++++++++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -e-
Qual será a velocidade do elétron quando ele atingir a placa positiva?
d = 10 cm, E = 100 N/C, e = 1.6 x 10-19 C, m = 9.1 x 10-31 kg
Movimento de cargas elétricas em campos elétricos
d
++++++++++++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -e-
vo = 0, yo = 0vf
2 – vo2 = 2aΔx
ou,
smxv f /109.1 6=
( )( ) ( )mkgx
CNCxv f 1.0101.9
/100106.12 31
192
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= −
−
xmqEv f Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 22
Movimento de cargas elétricas em campos elétricos
++++++++++++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
e+
222
o
xK4
eExmeE
v21y
meEgpara
=−=
<<
22
o
22o
y
0ooox
x)gmeE(
v21y
2t)g
meE(
2aty
tvx
t)gmeE(t
mmgeEatv
0x;0y;vv
+−=
+−==
=
+=+==
===
Movimento de cargas elétricas em campos elétricos
Voxe+ Vox
Vy
e+
y
x
Aplicações TecnológicasPrecipitação Eletrostática
Aplicações Tecnológicas: Jato de tinta
1. Carga: Material fotocondutor, é um semi-condutor que fica condutor quando exposto àluz.
2. Exposição à luz; partes expostas à luz perdem a carga, e as não expostas permanecem com a carga.’
3. Revelação da imagem: o toner positivo éatraído para as partes com carga do tambor.
4. Transferência de imagem: O toner étransferido para o papel com a carga negativa do tambor.
Aplicações Tecnológicas: Máquina Copiadora Xerox
O propulsor se ioniza na fonte de íons S e éexpulso como feixe de íons positivos com uma velocidade que depende da diferença de potencial V existente entre S e o anel acelerador B. Para evitar que o foguete se carregue, são injetados elétrons no feixe mediante o filamento F. O feixe éfocado mediante o anel A.
A força de empuxo será dada por:
dtdmv
dtdpF ==
Aplicações Tecnológicas: Motor Iônico