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Aula 10Sistemas Não-lineares e o
Método de Newton.MS211 - Cálculo Numérico
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática AplicadaInstituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Introdução
Nas próximas aulas, estaremos interessados na resolução desistemas não-lineares da seguinte forma:
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0,f2(x1, x2, . . . , xn) = 0....fn(x1, x2, . . . , xn) = 0,
em que x1, x2, . . . , xn são as incógnitas e fi : D ⊆ Rn → R, parai = 1, . . . ,n, é um campo escalar.
Exemplo 1
O sistema não-linear {x2 + y2 = 2,
x2 − y2
9 = 1.
pode ser escrito como{f1(x1, x2) = x2
1 + x22 − 2 = 0,
f2(x1, x2) = x21 −
x229 − 1 = 0.
Exemplo 1
Geometricamente, desejamos encontrar os quatro pontos quepertencem à ambas as curvas x2
1 + x22 = 2 e x2
1 − x22/9 = 1.
Exemplo 2
O sistema não-linear {x2 − y = 0.2,x − y2 = 1.
pode ser escrito como{f1(x1, x2) = x2
1 − x2 − 0.2 = 0,f2(x1, x2) = x1 − x2
2 − 1 = 0.
Exemplo 2
Observe que as curvas y = x2 − 0.2 e x = 1 + y2 não seinterceptam.
Logo, esse sistema não admite solução!
NotaçãoDenotaremos
x =
x1x2...
xn
e F(x) =
f1(x1, x2, . . . , xn)f2(x1, x2, . . . , xn)
...fn(x1, x2, . . . , xn)
.Desta forma, o sistema não-linear
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0,f2(x1, x2, . . . , xn) = 0,...fn(x1, x2, . . . , xn) = 0,
pode ser escrito comoF(x) = 0.
Formulação do Problema e Hipóteses
Resolução de Sistema Não-Linear
Dada uma função F : D ∈ Rn → Rn, determine ξ ∈ D tal que
F(ξ) = 0.
Em geral, assumiremos a existência da solução ξ ∈ D.Assumiremos também que o domínio D de F é um conjuntoaberto e F possui derivadas contínuas nesse conjunto.
Exemplo 3 (Sistema Linear)
Tem-se um sistema linear quando
F(x) = Ax− b,
com A ∈ Rn×n e b ∈ Rn.
Vetor Gradiente
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O vetor das derivadas parciais de fi , denotado por
∇fi(x) =
∂fi∂x1
(x)∂fi∂x2
(x)...
∂fi∂xn
(x)
,é chamado vetor gradiente de fi .
Matriz JacobianaDefinição 5 (Matriz Jacobiana)
A matriz das derivadas parciais de F, denotada por
J(x) =
∂f1∂x1
(x) ∂f1∂x2
(x) . . . ∂f1∂xn
(x)∂f2∂x1
(x) ∂f2∂x2
(x) . . . ∂f2∂xn
(x)...
.... . .
...∂fn∂x1
(x) ∂fn∂x2
(x) . . . ∂fn∂xn
(x)
.é chamada matriz Jacobiana de F.
Aproximação Linear
A aproximação linear L de uma função não-linear F em umponto a é dada pela equação
L(x) = F(a) + J(a)(x− a).
Exemplo 6
Determine a matriz Jacobiana da função F do sistema:
F(x) =[x3
1 − 3x1x22 + 1
3x21 x2 − x3
2
]=
[00
].
Exemplo 6
Determine a matriz Jacobiana da função F do sistema:
F(x) =[x3
1 − 3x1x22 + 1
3x21 x2 − x3
2
]=
[00
].
Resposta: A matriz Jacobiana de F é
J(x) =[3x2
1 − 3x22 −6x1x2
6x1x2 3x21 − 3x2
2
]
Exemplo 7 (Tridiagonal de Broyden)
Determine a matriz Jacobiana da função F do sistema:
F(x) =
−2x2
1 + 3x1 − 2x2 + 1...
−xi−1 − 2x2i + 3xi − 2xi+1 + 1
...−2x2
n + 3xn − xn−1
=
0...0...0
.
Exemplo 7 (Tridiagonal de Broyden)
Determine a matriz Jacobiana da função F do sistema:
F(x) =
−2x2
1 + 3x1 − 2x2 + 1...
−xi−1 − 2x2i + 3xi − 2xi+1 + 1
...−2x2
n + 3xn − xn−1
=
0...0...0
.
Resposta: A matriz Jacobina de F é
J(x) =
−4x1 + 3 −2 0 . . . 0 0−1 −4x2 + 3 −2 . . . 0 0...
......
. . ....
...0 0 . . . −1 −4xn + 3
,que é uma matriz tridiagonal.
Método de Newton
O método de Newton é um dos principais métodos usadospara a resolução de um sistema não-linear.
Vimos anteriormente que o método de Netwon determina, acada iteração, a solução da aproximação linear da função.
Dessa forma, conhecida uma aproximação x(k), o método deNewton define x(k+1) como sendo a solução do sistema linear
L(x) = F(x(k)) + J(x(k))(x− x(k)) = 0,
ou seja, x(k+1) é tal que
J(x(k))(x(k+1) − x(k)) = −F(x(k)).
Tomando s(k) = x(k+1) − x(k), conhecido por passo deNewton, temos que a nova aproximação é
x(k+1) = x(k) + s(k),
em que s(k) é a solução do sistema linear
J(x(k))s(k) = −F(x(k)).
Resumindo, dado uma aproximação inicial x(0), o método deNewton a sequência {x(k)} através dos seguintes passos:
I Resolve J(x(k))s(k) = −F(x(k)).I Define x(k+1) = x(k) + s(k).
Exemplo 8
Efetue uma iterações do método de Newton, com x(0) = [1,5]T ,para determinar a solução dos sitema não-linear:
F(x , y) =[
x + y − 3x2 + y2 − 9
]=
[00
],
cujas soluções são ξ(1) = [3,0]T e ξ(2) = [0,3]T .
Exemplo 8
Efetue uma iterações do método de Newton, com x(0) = [1,5]T ,para determinar a solução dos sitema não-linear:
F(x , y) =[
x + y − 3x2 + y2 − 9
]=
[00
],
cujas soluções são ξ(1) = [3,0]T e ξ(2) = [0,3]T .
Resposta: A matriz Jacobiana do sistema é
J(x , y) =[
1 12x 2y
].
O passo s(0) = [−13/8,−11/8]T é determinado resolvendo osistema linear [
1 12 10
]s(0) =
[−3−17
].
Logo, temos x(1) = [−5/8,29/8]T .
Critério de Parada
Dada uma aproximação inicial x(0), efetuamos as iterações dométodo de Netwon até não detectarmos alteraçõessignificativas de uma iteração para a outra:
‖x(k+1) − x(k)‖∞ ≤ τ, com τ > 0,
ou, até encontrarmos F(x(k+1)) próximo do vetor nulo:
‖F(x(k+1))‖∞ ≤ ε, com ε > 0,
ou até atingirmos um número máximo de iterações!
Algoritmo do Método de Newton
Entrada: Função não-linear F e sua matriz Jacobiana J;Aproximação da solução x.
Dados: Número máximo de interações kmax ; tolerâncias τ e ε.Inicialize: k = 0, Fx = F(x) e Er = τ + 1.enquanto k ≤ kmax , ‖Fx‖∞ > ε e Er > τ faça
1. Atualize: k = k + 1.2. Resolva: J(x)s = −Fx.3. Atualize: x = x + s.4. Calcule: Er = ‖s‖∞.5. Avalie: Fx = F(x).
fimSaída: Aproximação para a solução é x.
Considerações Finais
Observe que cada iteração do método de Newton requer:1. Avaliação da matriz Jacobiana.2. Resolução de um sistema linear.
Logo, o método de Newton é computacionalmente caro!
A vantagem é que, sob certas condições sobre aaproximação inicial x(0), a função F e a matriz Jacobiana J, asequência {x(k)} produzida pelo método de Newton convergepara a solução de F(x) = 0 com taxa quadrática.