Aula 14 - Estimadores Pontuais e Intervalos de Confiança

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 14: Estimadores pontuais e intervalos de

confiana

1. ESTIMADORES PONTUAIS .............................................................................................................. 2

1.1. Estimador para a mdia ........................................................................................................................ 4

1.2. Estimador para a varincia .................................................................................................................. 5

1.3. Estimador para uma proporo .......................................................................................................... 10 2. INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA ................................................................................. 11

2.1. como uma varivel aleatria ........................................................................................................... 11 2.2. Esperana e varincia de ................................................................................................................ 13 2.3. Intervalo de confiana para a mdia .................................................................................................. 22 2.4. Intervalo de confiana para a mdia quando a varincia da populao no conhecida ................. 33

3. INTERVALO DE CONFIANA PARA PROPORES ......................................................................... 38

3.1. como uma varivel aleatria ........................................................................................................... 38 3.2. Intervalo de confiana para uma proporo ...................................................................................... 41

4. INTERVALO DE CONFIANA E TAMANHO DA AMOSTRA ............................................................. 44

5. CARACTERSTICAS DOS ESTIMADORES ........................................................................................ 57

5.1. Estimador no tendencioso ................................................................................................................. 57

5.2. Estimador de varincia mnima. ......................................................................................................... 59

5.3. Estimador de mnimos quadrados ....................................................................................................... 60

5.4. Estimador de mxima verossimilhana ............................................................................................... 61 6. RESUMO ..................................................................................................................................... 65

7. QUESTES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 65

GABARITO ............................................................................................................................................. 75



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1. ESTIMADORES PONTUAIS

Considere uma pesquisa salarial envolvendo alguns moradores de um bairro.

Esta pesquisa resultou no seguinte conjunto (dados em R$ 1.000,00).

Salrio dos moradores do bairro amostra com dez salrios:

R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00,

R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00.

O conjunto dos salrios de todos os moradores a nossa populao. Qualquer subconjunto no vazio da populao uma amostra.

Queremos descobrir o salrio mdio dos moradores do bairro. A grandeza de interesse (mdia salarial) se refere populao. Ou seja, estamos interessados no salrio mdio de todos os moradores. A mdia populacional o nosso parmetro.

Parmetro qualquer caracterstica populacional.

Se, por algum motivo, no pudermos realizar um censo, ns faremos uma amostragem. Ao longo do curso, trabalharemos basicamente com a amostragem aleatria simples.

Podemos, por exemplo, calcular a mdia da amostra. A mdia amostral , como o prprio nome diz, uma caracterstica da amostra. chamada de estatstica.

Parmetro: uma caracterstica da populao

Estatstica: uma caracterstica da amostra

Muito bem. Selecionamos uma amostra de dez pessoas. Se voc calcular a mdia para a amostra acima indicada, obter R$ 3.600,00.

A mdia amostral de R$ 3.600,00.

A partir desta amostra, vamos estimar a mdia da populao. Usamos a mdia amostral (=R$ 3.600,00) como um estimador da mdia populacional, desconhecida.

Dizemos que R$ 3.600,00 a mdia estimada, a partir da amostra feita. uma estimativa por ponto.

Estamos dizendo que uma estimativa para a mdia populacional R$ 3.600,00. Ou seja, usamos a mdia amostral como estimador da mdia populacional.



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A mdia amostral, considerada como uma frmula (soma dos valores da amostra, dividida por n), ou seja, considerada como uma funo dos valores amostrais, chamada de estatstica.

Ou seja, estatstica uma funo dos valores da amostra.

Um valor especfico que a estatstica assume, chamado de estimativa.

Ento:

= a estatstica. Isso porque se trata de uma funo dos valores amostrais.

J o valor 3.600,00, que uma realizao numrica de , a estimativa.

A estimao por ponto se contrape estimao por intervalo. Nesta ltima, no definimos um valor nico para a estimativa; sim um intervalo de valores. Um exemplo so aquelas pesquisas eleitorais de inteno de voto. Lembram quando se diz que os candidatos esto tecnicamente empatados?

Se o candidato A tem entre 30% e 34% das intenes de voto, e o candidato B tem entre 28% e 32% das intenes de voto, no d para afirmar quem vai ganhar. A o William Bonner diz que eles esto tecnicamente empatados.

Nesse segundo caso, a partir de uma amostra, procurou-se estabelecer um intervalo de valores provvel para as intenes de voto de cada candidato. Para o candidato A, o intervalo de 30% a 34%. Dizemos que se trata de uma estimativa por intervalo.

Por enquanto, vamos nos concentrar na estimativa por ponto.

O motivo de se fazer uma amostragem o fato de haver alguma dificuldade em analisar toda a populao. Pode ser muito caro, muito demorado. Ou pode ser invivel. Seria o caso de ver qual a tenso mxima que um material suporta. Se tivermos que submet-lo a tenses cada vez maiores, at que ele arrebente, ento no podemos analisar todos os objetos, sob pena de destruirmos todos e no sobrar mais nenhum.

Se fosse possvel analisar a populao inteira, conseguiramos com exatido saber sua mdia e seu desvio padro (estes valores reais so nossos parmetros).

Quando fazemos uma amostragem, conseguimos apenas saber a mdia e o desvio padro da amostra feita. Nosso objetivo, portanto, , a partir dos valores de mdia e desvio padro da amostra, estimar quais os valores de mdia e desvio padro da populao. Nosso objetivo estimar o valor do parmetro desconhecido.

Claro que poderamos estar interessados em outros parmetros que no a mdia e o desvio padro. Mas, em concursos, na grande maioria das questes, so cobrados apenas esses dois parmetros (alm da varincia, intimamente relacionada com o desvio padro, e da proporo, que veremos nesta aula).



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Quando escolhemos um estimador, podemos estar interessados em diversas caractersticas. Alguns tipos de estimadores so:

No tendenciosos (ou no viciados)

De mxima verossimilhana

De varincia mnima

De mnimos quadrados

Por enquanto, ns no veremos com detalhes cada uma destas caractersticas. Falamos mais sobre isso ao final da aula.

1.1. Estimador para a mdia

Usamos a mdia amostral () para estimar a mdia populacional ()

Neste ponto, importante padronizarmos nossa linguagem.

H dois smbolos usualmente empregados para a mdia. A partir de agora, importante saber diferenci-los, pois eles vo aparecer juntos em uma mesma questo.

Quando temos uma varivel aleatria, a mdia desta varivel designada por . s vezes podemos modelar uma populao como uma varivel aleatria. Ento, sempre que quisermos nos referir mdia de uma varivel aleatria, ou mdia de uma populao, vamos usar o smbolo . Seja X a varivel aleatria que designa o resultado do lanamento de um dado. J vimos que a mdia desta varivel aleatria (= esperana) de 3,5.

= 3,5 Podemos pensar que 3,5 a mdia da varivel aleatria X. Ou ento, se pensarmos em uma populao formada por todos os resultados que poderiam ser obtidos quando se lana o dado infinitas vezes, dizemos que a mdia dessa populao 3,5.

Pegamos o dado de seis faces e lanamos trs vezes, obtendo: 6, 2, 3.

Estes trs lanamentos so uma amostragem dos infinitos resultados que poderiam ocorrer.

Se quisermos nos referir mdia de uma amostra, vamos utilizar o smbolo X (X barra):

= 6 + 2 + 33 = 113 Resumindo:

Falou em mdia populacional: o smbolo Falou em mdia de varivel aleatria: o smbolo (pois variveis aleatrias so

usadas para modelar populaes)

Falou em mdia amostral: smbolo X



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Nosso objetivo , a partir de uma amostra, estimar qual o parmetro populacional. Partindo da amostra das dez pessoas acima, estimamos a mdia populacional em R$ 3.600,00.

O valor da mdia da amostra ( X ) um estimador da mdia populacional ( ). um estimador no tendencioso, de varincia mnima, de mnimos quadrados e, se a varivel aleatria for normal, tambm um estimador de mxima verossimilhana.

Ao final da aula falaremos sobre estas caractersticas dos estimadores.

Exemplos

Exemplo 1

De uma populao foi extrada uma amostra com os seguintes valores: 4, 6, 8, 8. Qual a estimativa para a mdia da populao?

Resoluo.

No sabemos a mdia da populao ( ). Neste caso, vamos utilizar a mdia da amostra ( X) para estimar a mdia da populao.

A estimativa da mdia da populao fica:

5,64

8864=

+++=X

Estimamos a mdia populacional em 6,5.

1.2. Estimador para a varincia

Usamos a varincia da amostra (s2) para estimar a varincia da populao (). A varincia amostral pode ser calculada de duas maneiras.

Se o exerccio pedir o estimador no-viciado, usamos n-1 no denominador:

= 1 Se o exerccio pedir o estimador de mxima verossimilhana e a varivel for normal, usamos n no denominador:

= Vamos padronizar a simbologia. Quando quisermos nos referir varincia populacional ou

varincia de uma varivel aleatria, vamos usar o smbolo 2 . Ou ento, podemos usar o smbolo V(X). Outro smbolo possvel nos exerccios Var(X).

Quando quisermos nos referir varincia de uma amostra, usamos 2s .

Varincia da populao (ou da varivel aleatria): )()(2 XVarXV ==



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Varincia da amostra: 2s

Para varincia, o estimador que vamos usar geralmente :

( )1

2

2

=

n

XXs

i,

que a mesma frmula vista na estatstica descritiva.

Na estatstica descritiva, quando se estuda a frmula da varincia amostral, aprende-se que o denominador 1n em vez de n. Quando queremos estimar a varincia da populao, um dos fatores que tem influncia nesse denominador justamente a caracterstica desejada para o estimador. Para que o estimador tenha certa caracterstica de tal forma que ele possa ser enquadrado como no tendencioso, necessrio que o denominador seja 1n .

Este estimador acima o mais utilizado. Ele no tendencioso. Contudo, no caso da varivel normal, ele no o estimador de mxima verossimilhana. O estimador de mxima verossimilhana :

( )n

XXs

i =

2

2

Se por acaso o exerccio der uma amostra de uma varivel normal e pedir para calcular o estimador de mxima verossimilhana da varincia utilizamos n no denominador (em vez de

1n ). Mas acho que improvvel que isto ocorra. O que deve vai cair mesmo com o denominador 1n . improvvel, mas no impossvel, conforme veremos em alguns exerccios de concursos durante a aula.

Exemplo 2

Considere a seguinte amostra de uma varivel aleatria normal:

1, 2, 3.

Calcule:

a) o estimador no tendencioso da varincia populacional

b) o estimador de mxima verossimilhana da varincia populacional

Resoluo

a) O estimador no tendencioso aquele em que temos 1n no denominador. Fica assim:

( )1

2

2

=

n

XXs

i



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( ) 113

101 2222=

++=s

b) O estimador de mxima verossimilhana aquele com n no denominador.

( )n

XXs

i =

2

2

( ) 3/23

101 2222=

++=s

Questo 1 SEFAZ RJ 2008 [FGV]

Considere uma Amostra Aleatria Simples de n unidades extradas de uma populao na

qual a caracterstica, X, estudada tem distribuio Normal com mdia e varincia 2 , ambas desconhecidas, mas finitas. Considere, ainda, as estatsticas mdia da amostra, X =

=

n

iiX

n 1

1, e varincia da amostra ( )

=

=

n

ii XX

ns

1

22 1 . Ento, correto afirmar que:

(A) X e 2S so, ambos, no tendenciosos para a estimao da mdia e da varincia da populao, respectivamente.

(B) X no-tendencioso, mas 2S tendencioso para a estimao da mdia e da varincia da populao, respectivamente.

(C) X tendencioso, mas 2S no-tendencioso para a estimao da mdia e da varincia da populao, respectivamente.

(D) X e 2S so, ambos, tendenciosos para a estimao da mdia e da varincia da populao, respectivamente.

(E) X e 2S so, ambos, no-tendenciosos para a estimao da mdia e da varincia da populao, mas apenas X consistente.

Resoluo:

Nesta questo, temos:

- a mdia aritmtica da amostra como um estimador da mdia populacional: vimos que a mdia da amostra um estimador no-tendencioso.

- a varincia da amostra como um estimador da varincia populacional: vimos que, quando se usa n no denominador, o estimador tendencioso.

Gabarito: B

Resumindo: h diversos tipos de estimadores. Por hora, ainda no sabemos exatamente o que eles significam.

S sabemos que, no caso de estimarmos a varincia da populao a partir de uma amostra, o denominador pode ser 1n ou n.



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Se o exerccio no falar nada, utilize 1n . Este o estimador mais utilizado. Ele no tendencioso.

Se o exerccio pedir o estimador de mxima verossimilhana e a distribuio for normal, utilize n.

Questo 2 CGU 2008 [ESAF]

Qual o estimador de mxima verossimilhana da varincia de uma varivel X normalmente distribuda obtido a partir de uma amostra aleatria simples X1, X2, X3, ..., Xn, desta varivel,

sendo nXm i /= o estimador de mxima verossimilhana da mdia?

a) 1

)( 2

n

mX i

b) 2

)( 2

n

mX i

c)

5,02

1)(

n

mX i

d) 2)( mX i

e) n

mX i 2)(

Resoluo.

O enunciado est usando a letra m para indicar a mdia amostral.

Vimos que o estimador de mxima verossimilhana da varincia para a distribuio normal aquele que apresenta n no denominador.

Gabarito: E.

Questo 3 SEFAZ SP 2009 [ESAF]

(Dados da questo anterior: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.)

Considerando que as observaes apresentadas na questo anterior constituem uma amostra aleatria simples X1, X2, ..., Xn de uma varivel aleatria X, determine o valor mais prximo da varincia amostral, usando um estimador no tendencioso da varincia de X.

Considere que:

38823

1=

=iiX



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867623

1

2=

=iiX

a) 96,85

b) 92,64

c) 94,45

d) 90,57

e) 98,73

Resoluo.

A mdia fica:

23388

23

23

1==

=i

iXX

A mdia dos quadrados das observaes fica:

2386762

=X

A varincia (com n no denominador), dada por:

22 XX

= 2

23388

238676

Para o estimador no tendencioso (ou no viciado, ou no enviesado), ns usamos 1n no denominador. Portanto, precisamos ajustar o denominador.

O resultado acima considera uma diviso por 23 (= n). Precisamos multiplicar por 23, para cancelar esta diviso.

Em seguida, dividimos por 22, para que o denominador seja igual a 1n .

O estimador no tendencioso da varincia fica:

=22232s

2

23388

238676

=2s

2223388

228676 2

= 394,36 297,52 = 96,84

Gabarito: A



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1.3. Estimador para uma proporo

Usamos a proporo amostral () para estimar a proporo populacional (p)

Considere que a proporo de moradores de uma cidade que pretendem votar num candidato A de 40%. um valor que se refere populao inteira. um parmetro. Vamos padronizar. Sempre que nos referirmos proporo da populao, usamos o smbolo p .

%40=p

Suponha que ns no conhecemos esta proporo referente populao (40%) e, para estim-la, entrevistamos 10 pessoas. Destas, 5 pretendem votar no candidato A.

A proporo verificada na amostra 50%. Chamamos de p .

%50 =p

Vamos usar p como estimador de p .

Resumindo:

Proporo da populao: p

Proporo amostral: p

Exemplo 3

Para uma pesquisa de intenes de voto para a Prefeitura de uma cidade, foram entrevistadas 100 pessoas. Verificou-se que, nesta amostra, 30 eleitores pretendem voltar no candidato A. Qual a estimativa da proporo populacional de intenes de voto do candidato A?

Resoluo.

No sabemos qual a proporo populacional (ou seja, referente a todos os eleitores da cidade). Vamos usar a proporo verificada na amostra para estimar a proporo populacional.

Na amostra temos:

3,0%30 ==p

Dizemos que a estimativa da proporo populacional de 30%.



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Estimadores pontuais

- Usamos a mdia amostral para estimar a mdia populacional ( X um estimador de ); - Usamos a varincia amostral para estimar a varincia populacional. Se o estimador for no-viciado (ou no-tendencioso) usamos 1n no denominador. Se o estimador for de mxima verossimilhana e a varivel for normal, usamos n no denominador.

- Usamos a proporo amostral para estimar a proporo populacional.

2. INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA

2.1. como uma varivel aleatria Muitas populaes podem ser modeladas segundo uma varivel aleatria. Como exemplo, considere a temperatura de um local, medida com nosso termmetro mgico de infinitas casas aps a vrgula.

Nosso objetivo estimar a temperatura mdia do local em um dado dia. Para tanto, consideramos que a temperatura se comporta como uma varivel aleatria X.

Deste modo, encontrar a temperatura mdia do local o mesmo que encontrar a esperana de X.

?)( == XE Num dado dia, vamos l nesse local e, em dez instantes diferentes, medimos a temperatura. Agora temos uma amostragem de tamanho 10 para a temperatura no local.

Suponha que esta mdia tenha sido 21 =X C.

Neste ponto, no custa nada lembrar a simbologia que padronizamos.

X a mdia de uma amostra

a mdia da populao ( o valor que pretendemos estimar) S que os instantes em que realizamos a amostragem foram aleatoriamente escolhidos. Se, por acaso, outros instantes tivessem sido escolhidos, cada uma das medies poderia ser

ligeiramente diferente. Seria possvel ter obtido uma segunda mdia igual a 1,22 =X C.

Ou tambm seria possvel ter obtido uma terceira mdia 051,23 =X C.

Quando nos referimos a uma nica amostra, X representa um nmero, a mdia aritmtica daquela amostra.



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Mas tambm podemos nos referir a X de forma diferente. Podemos pensar em inmeras amostras, com X assumindo valores diferentes em cada uma delas. Assim, X seria uma varivel.

pode ser vista como uma varivel aleatria Quando nos referimos a como uma varivel aleatria, porque estamos pensando em todas as diferentes amostras que poderiam ter sido extradas. Nesse caso, vista apenas como uma frmula, um mtodo de clculo: somamos todos os valores da amostra e dividimos por n. Nesse caso, dizemos que uma estatstica. Por outro lado, quando nos referimos a uma amostra em particular, que fornece um nico valor para a mdia amostral, nesse caso, assumir um valor nico, fixo. Por exemplo, = 2. Nesta situao, quando nos referimos a como algo fixo, dizemos que = 2 uma estimativa da mdia populacional.

Na verdade, esses nomes estatstica, estimativa, parmetro, tudo isso no cai em prova. At hoje no vi uma questo s explorando as diferenas conceituais de um nome para o outro, ok?

De todo esse bl bl bl acima, s o que importa : pode ser vista como algo que varia (caso estejamos pensando em todas as possveis amostras) ou pode ser vista como algo fixo (quando pensamos em uma amostra em particular).

Questo 4 TJ PI 2009 [FCC]

Seja uma populao constituda pelos valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Todas as amostras com tamanho 2, sem reposio, so selecionadas. A probabilidade de que a mdia amostral seja superior a 5 de

(A) 1/4

(B) 1/6

(C) 2/3

(D) 1/3

(E) 1/15

Resoluo:

Vejam como o exerccio explora como uma varivel aleatria. A cada possvel amostra de tamanho 2, assume um valor diferente.



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Exemplo: se a amostra for (1, 3), a mdia amostral ser 2.

Se a amostra for (1, 5), a mdia amostral ser 3.

Ou seja, se pensarmos em todas as possveis amostras de tamanho 2, varia, uma varivel aleatria.

Abaixo temos todas as amostras possveis, de tamanho 2, sem reposio:

1, 2 1, 3 1,4 1,5 1,6

2,3 2,4 2,5 2,6 3,4

3,5 3,6 4,5 4,6 5,6

So quinze amostras possveis.

Em um nico caso a mdia maior que 5. Trata-se da amostra (5,6).

Temos um caso favorvel em quinze possveis. A probabilidade de que a mdia seja maior que 5 de:

= 115 Gabarito: E

Destaco que no era necessrio escrever todas as amostras para contar quantas so. Poderamos usar anlise combinatria para tanto.

No caso das amostras possveis, queremos formar conjuntos de dois elementos, a partir dos seis valores disponveis. Temos combinao de 6, tomados 2 a 2.

, = 6!4! 2! = 15 No caso dos casos favorveis, temos um nico caso favorvel (5, 6).

Dividindo o nmero de casos favorveis pelo nmero de casos possveis, temos:

= 115 2.2. Esperana e varincia de tem esperana igual a e varincia igual a .

" = # =

Alm disso, aproximadamente normal. A aproximao ser tanto melhor quanto maior for o tamanho da amostra.

Como exemplo, considere um tetraedro regular. Nas suas faces temos os nmeros 1, 2, 3, 4.

Lanamos o tetraedro sobre uma mesa. X representa o valor da face que fica em contato com a mesa.



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Vamos realizar um estudo dos possveis resultados deste lanamento. Para tanto, lanamos duas vezes (amostra de tamanho 2).

Saram os resultados 1 e 3.

Para esta amostra em particular a mdia amostral foi:

22

31=

+=X

Ok, fizemos uma nica amostra. Neste caso, X um nmero. simplesmente a mdia aritmtica dos valores pertencentes amostra.

Acontece que no estamos interessados em uma amostra especfica, que fornece um valor

nico para X . Estamos interessados na varivel aleatria X .

O resultado do lanamento do dado aleatrio. Seria possvel que tivssemos obtido outras amostras. Se o tetraedro for homogneo, as possveis amostras seriam:

1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 e 4

2 e 1 2 e 2 2 e 3 2 e 4

3 e 1 3 e 2 3 e 3 3 e 4

4 e 1 4 e 2 4 e 3 4 e 4

Seriam 16 amostras possveis, todas elas com a mesma probabilidade de ocorrer. O valor da mdia amostral em cada uma dessas amostras seria:

Valores da amostra X 1 e 1 1

1 e 2 1,5

1 e 3 2

1 e 4 2,5

2 e 1 1,5

2 e 2 2

2 e 3 2,5

2 e 4 3

3 e 1 2

3 e 2 2,5

3 e 3 3

3 e 4 3,5

4 e 1 2,5

4 e 2 3

4 e 3 3,5

4 e 4 4

Repare que X pode ser visto como uma varivel aleatria que assume diversos valores.

A mdia de todos os possveis valores de X fica:

)45,335,25,335,2235,225,15,225,11(161)( +++++++++++++++=XE



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5,2)( =XE Vamos agora calcular a mdia da varivel aleatria X.

A varivel aleatria X assume os valores 1, 2, 3, 4, cada um com probabilidade 1/4.

Portanto:

4413

412

411

41)( +++== XE

5,2= Concluindo: a esperana da mdia amostral igual esperana da populao. Isto significa que, se fosse possvel fazer um nmero muito grande de amostras, a mdia de todas as mdias amostrais seria igual mdia da populao.

X pode ser vista como uma varivel aleatria com esperana . Ou seja, a mdia das mdias amostrais a mdia da populao

Ainda no estudamos as diversas caractersticas dos estimadores. Mas podemos falar sobre uma delas: o estimador no tendencioso (ou no viciado, ou no viesado).

O fato da mdia de X ser igual mdia da populao nos permite classificar X como estimador no tendencioso (ou no viciado). Usando esse estimador, em mdia (considerando as inmeras amostras que poderiam ser feitas), ns estamos realmente acertando o valor do parmetro desconhecido.

Sempre que a esperana de um estimador for igual ao parmetro estimado, estamos diante de um estimador no tendencioso.

=)(XE : A mdia de X igual ao parmetro estimado; se fizssemos inmeras amostragens, em mdia, acertaramos a mdia populacional.

Sabendo que X pode ser vista como uma varivel aleatria, possvel calcular a sua varincia.

Seja 2 a varincia da populao.

possvel demonstrar que, sendo n o tamanho das amostras, a varincia de X fica:

nXV

2

)( =

Um outro smbolo possvel para a varincia de X seria: 2X . Portanto:



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nX

22 =

A varincia da mdia amostral igual varincia da populao dividido por n.

Por consequncia, o desvio padro da mdia amostral :

nX

=

Ou seja, o desvio padro de X igual ao desvio padro da populao dividido por raiz de n.

Estas frmulas da varincia e desvio padro s so vlidas se a varivel aleatria tiver populao infinita (ou seja, assume infinitos valores, como no caso de uma varivel aleatria contnua).

Caso a populao seja finita (como foi o caso do lanamento do tetraedro), o resultado continua valendo, desde que a amostragem seja feita com reposio.

Caso a populao seja finita e a amostragem seja feita sem reposio, as frmulas devem ser adaptadas (aplicamos o fator de correo para populaes finitas, assunto que no abordaremos).

X pode ser vista como uma varivel aleatria com esperana e varincia n

2 (e,

consequentemente, desvio padro n

).

Ou seja, a mdia de X igual mdia da populao. E a varincia de X igual varincia da populao dividida por n. O desvio padro de X igual ao desvio padro da populao dividido por raiz de n.

Agora vem o grande detalhe. Pelo teorema do limite central possvel demonstrar que a

varivel aleatria X tem distribuio aproximadamente normal. A aproximao melhor quanto maior o tamanho das amostras (quanto maior o valor de n). Isto vale mesmo que a varivel X no seja normal.

Caso a varivel X seja normal, a varivel X tambm ser normal (a j no aproximao).

Ou seja, para a varivel X ns podemos utilizar a tabela de reas para a varivel normal. Isto de extrema utilidade na determinao dos chamados intervalos de confiana.



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X pode ser vista como uma varivel aleatria normal (ou aproximadamente normal), com

mdia , varincia n

2 e desvio padro

n

.

A aproximao vale mesmo que X no seja normal. Quanto maior o tamanho das amostras, melhor a aproximao.

Questo 5 TRF 1 Regio/2001 [FCC]

Para responder questo seguinte, considere a tabela abaixo, referente distribuio normal padro.

z )(zF 1,20 0,885

1,60 0,945

1,64 0,950

Uma mquina de empacotar leite em p o faz segundo uma normal com mdia e desvio padro 10g. O peso mdio deve ser regulado para que apenas 5,5% dos pacotes tenham menos do que 1000 g. Com a mquina assim regulada, a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 4.040 g :

a) 0,485

b) 0,385

c) 0,195

d) 0,157

e) 0,115

Resoluo.

A questo poderia ter sido mais clara, explicitando o que significa F(z).

muito comum utilizarmos o smbolo F(z) para representar a funo distribuio de probabilidade (FDP).

Relembrando o significado da FDP, ela nos fornece probabilidades para a varivel aleatria Z, normal, de mdia 0 e desvio padro unitrio.

Assim, na primeira linha da tabela temos que F(1,2) = 0,885.

Isto significa que a probabilidade de Z assumir valores menores que 1,2 de 88,5%.



AFRFB e AFT


Analogamente, da segunda linha temos que a probabilidade de Z assumir valores menores que 1,6 de 94,5%.

Por fim, da terceira linha temos que a probabilidade de Z assumir valores menores que 1,64 de 95%.

Da tabela acima, conclumos que a rea verde da figura abaixo igual a 94,5%.

Uma vez que a rea total igual a 1, conclumos que a rea vermelha igual a 5,5%. Como o grfico simtrico, sabemos que a rea amarela abaixo tambm igual a 5,5%.

Seja X a varivel aleatria que indica o peso dos pacotes de leite em p.

A transformao para encontrar a varivel reduzida :

=

XZ

Sabemos que 5,5% dos valores de Z so menores ou iguais a -1,6.

Sabemos que 5,5% dos valores de X so menores ou iguais a 1.000 g.



AFRFB e AFT


Logo, quando Z vale -1,6, X vale 1.000.

101610001610

10006,1 ===

Encontramos o peso mdio dos pacotes.

Os pesos dos pacotes se comportam como uma varivel normal de mdia 1016 e desvio padro de 10 gramas.

A pergunta : qual a probabilidade de o peso total de uma amostra de 4 pacotes ser inferior a 4040g?

Lembrando que 10104

4040= , temos que essa pergunta equivale a:

Qual a probabilidade de o peso mdio de uma amostra de 4 pacotes ser inferior a 1010 g?

Seja X a varivel aleatria que designa o peso mdio em amostras de 4 pacotes. X tem distribuio normal. Sua mdia dada por:

1016][ == XE Sua mdia igual mdia da populao.

Seu desvio padro dado por:

52

10][ ====n

XVX

X uma varivel aleatria com mdia 1016 e desvio padro igual a 5.

Queremos saber a probabilidade de X ser inferior a 1010g. Precisamos consultar a tabela de reas fornecida na prova. Para tanto, precisamos achar o valor da varivel normal reduzida Z que corresponde a 1010.

E agora cuidado!

A varivel aleatria em estudo X . Na hora de obter a varivel Z, temos que fazer uma subtrao e uma diviso.

Subtramos a mdia da varivel X (no caso, 1016). E dividimos pelo desvio padro de X (no caso, 5).

X

XZ

=

Quando X vale 1010, Z vale:

2,15

10161010=

=Z

Vamos achar a probabilidade de Z ser menor que -1,2.

A tabela fornecida nos diz que a rea verde da figura abaixo de 0,885.



AFRFB e AFT


Como a rea total igual a 1, a rea vermelha igual a 0,115 (=1-0,885). Uma vez que o grfico simtrico, a rea amarela da figura abaixo tambm de 0,115.

A probabilidade de Z ser menor que -1,2 de 0,115. Consequentemente, a probabilidade de

X ser menor que 1010 tambm de 0,115.

Gabarito: E.

Questo 6 MPU/2007 [FCC]

Se retirarmos uma amostra aleatria de 1200 observaes de uma populao com

distribuio uniforme no intervalo [17; 29], a distribuio da mdia amostral X ser, aproximadamente,

a) uniforme com mdia 23 e varincia 12

b) normal com mdia 23 e desvio padro 0,1

c) uniforme com mdia 23 e varincia 1

d) normal com mdia 23 e desvio padro 12.



AFRFB e AFT


e) normal com mdia 23 e desvio padro 1.

Resoluo.

Quando a populao tem distribuio normal, X tambm uma varivel aleatria normal. Quando a populao no for normal, X ser aproximadamente normal. A aproximao ser tanto melhor quanto maior for a amostra.

Nesse caso, em que X uniforme, X aproximadamente normal. Note que a amostra bem grande (n = 1200).

Estudamos na aula passada que, para calcular a mdia de uma varivel aleatria uniforme, basta pegar o ponto mdio do intervalo em que ela diferente de zero. Neste caso, a esperana de X fica:

232

1729][ =+=XE

A mdia de X coincide com a mdia populacional.

23][ == XE Para terminar a questo, ainda falta achar o desvio padro da mdia amostral. Para tanto, precisamos da varincia da populao (no informada).

Vimos na aula passada que, se uma varivel aleatria uniforme no intervalo [a, b], sua varincia fica:

12)()(

2abXV =

Neste caso, a varivel uniforme no intervalo entre 17 e 29.

# = 29 1712 = 12

12 = 12 Sabendo que X tem varincia 12, temos:

01,01200

1222===

nX

1,0=X

Portanto, X tem distribuio aproximadamente normal, com mdia 23 e desvio padro 0,1.

Gabarito: B.

Questo 7 PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO]

A distribuio de probabilidades da varivel aleatria X tal que X = -1 com 50% de probabilidade ou X = 1 com 50% de probabilidade. A mdia, , de quatro realizaes de X, sucessivas e independentes, uma varivel aleatria de mdia e desvio padro, respectivamente, iguais a



AFRFB e AFT


(A) 0 e 2

(B) 0 e 1

(C) 1 e 0.5

(D) 1 e 0

(E) 0 e 0.5

Resoluo

Primeiro calculamos a mdia de X:

" = 1 = 1 + 1 = 1 " = 1 0,5 + 1 0,5 = 0

Agora calculamos a varincia de X:

" = 1 = 1 + 1 = 1 = 1 0,5 + 1 0,5 = 1 # = " " = 1 0 = 1

Logo:

= '# = 1 uma varivel aleatria com mdia igual mdia de X. Logo, tem mdia 0. uma varivel aleatria com desvio padro dado por: = 14 = 0,5 tem mdia 0 e desvio padro 0,5. Gabarito: E

2.3. Intervalo de confiana para a mdia

O intervalo de confiana para a mdia dado por:

*+ , Onde Z0 o valor para a distribuio normal reduzida que delimita a rea fixada pelo nvel de confiana.

Acima j vimos o resultado final, aquilo que voc tem que saber para resolver as questes. Se estiver satisfeito em decorar isso, blz, j d para ir diretamente para os exerccios.

A seguir, ou apenas mostrar um exemplo, para entendermos melhor do que se trata o assunto.

Por enquanto, no se preocupem em fazer contas. No se preocupem em decorar ou gravar qualquer coisa. S quero que entendam a ideia geral.



AFRFB e AFT


Depois, nos exerccios de concurso, a veremos o passo a passo da construo do intervalo de confiana. Ou seja, posteriormente que nos concentraremos em como resolver as questes. Neste momento, no se preocupem com isso.

Seja X uma varivel aleatria que representa uma populao infinita com varincia

conhecida ( 2 ). Este infinita s para ser rigoroso. Caso a populao seja finita, os resultados que veremos s se aplicam se a amostragem for feita com reposio.

Pois bem, ento X nossa varivel aleatria com varincia conhecida ( 2 ). X representa nossa populao. Apesar de conhecermos sua varincia, no conhecemos sua mdia ( ). Nosso objetivo ser obter uma amostra e, a partir dela, definir o chamado intervalo de confiana para . Vamos supor que a varincia da populao seja de 16.

16)( 2 == XV A mdia da populao, esta ns no conhecemos. Vamos cham-la de .

?)( == XE Vamos obter uma amostra de tamanho 4.

4=n

A mdia de uma amostra de tamanho 4 X .

Antes de efetivamente fazer uma amostragem (o que nos fornecer um valor especfico

para X ), vamos pensar em todas as amostras que poderiam ser obtidas (com tamanho 4). Em cada uma delas, X assume um valor diferente. Conforme visto no comeo da aula, X pode ser vista como uma varivel aleatria normal (ou aproximadamente normal) de mdia .

Sabemos tambm que X tem uma varincia dada por:

nXV

2

)( =

44

16)( ==XV

Portanto, o desvio padro da varivel X dado por:

24 ==X

Vamos criar a seguinte varivel transformada:

X

XZ

=

A varivel Z, conforme j estudado na aula anterior, tem mdia zero e desvio padro unitrio. a nossa varivel normal reduzida.



AFRFB e AFT


Sabemos que Z tem mdia zero e desvio padro unitrio. E Z tambm uma varivel normal.

Para a varivel Z ns podemos consultar a tabela da varivel normal reduzida. Vamos determinar o intervalo, centrado na mdia, que contm 95% dos valores de Z.

Fiquem ento com a informao de que, para a normal padro, o intervalo de 0 a 1,96 contm 47,5% dos valores. Portanto, o intervalo de -1,96 a 0 tambm contm 47,5% dos valores.

Juntando os dois, temos que 95% dos valores esto entre -1,96 e 1,96 (rea verde abaixo).

Isto quer dizer que 95% dos valores de Z esto entre -1,96 e 1,96.

Mas quem Z?

Lembrando:

X

XZ

=

Ou seja, se fizssemos vrias amostras e para cada uma delas obtivssemos um valor para

X , em 95% dos casos o valor X

X

estaria entre -1,96 e 1,96.

Portanto, a probabilidade de X

X

assumir valores entre -1,96 e 1,96 de 95%.

Ok. Agora ns pegamos e realmente fazemos uma amostra com 4 valores. Esta amostra resultou em:

1, 5, 3, 1.

Para esta amostra especfica, o valor de X foi 2,5. Com base nesta amostra especfica, temos um valor especfico para X . Se considerarmos apenas esta amostra, X no mais varivel. um valor nico (2,5).



AFRFB e AFT


E para esta amostra especfica o valor de Z :

25,2

=Z .

A probabilidade de este valor estar no intervalo de -1,96 a 1,96 no mais 95%. Isto porque a expresso acima no assume mais valores diversos, aleatrios. um valor nico.

2,5 um nmero, uma constante.

O valor de tambm um nmero, constante. desconhecido. Mas constante. A mdia da populao um nmero, um valor nico.

E, por fim, o denominador 2 tambm constante.

Fazendo a conta 25,2

, obtemos um valor que pode ou no estar no intervalo -1,96 a

1,96.

Quando substitumos a varivel X por um valor obtido para uma dada amostra especfica, no falamos mais em probabilidade.

errado afirmar que, com probabilidade de 95%, o valor 25,2

estar entre -1,96 e 1,96.

Mas, supondo que este valor esteja entre -1,96 e 1,96, ficamos com:

96,125,296,1

92,35,292,3 5,292,392,35,2

42,142,6 42,642,1

Este intervalo entre -1,42 e 6,42 chamado de intervalo de 95% de confiana para a mdia da populao.

Repare que no temos certeza de que a mdia da populao ( ) esteja neste intervalo. Nem podemos dizer que a probabilidade de ela estar neste intervalo seja de 95%.

Tentando explicar de outra forma o que foi feito.

Em 95% dos casos, X est distante menos de 1,96 desvios padro da mdia .

Como o desvio padro de X 2, temos que em 95% dos casos X dista menos que 3,92 da mdia .

Ou seja, em 95% dos casos X est entre 92,3 e 92,3+ .



AFRFB e AFT


Fazemos a amostragem. Obtemos um especfico valor para X (=2,5). Este valor pode estar ou no no intervalo entre 92,3 e 92,3+ . Se fizssemos inmeras amostragens, em 95% delas o valor de X de fato estaria contido no referido intervalo. Para este valor em particular (2,5), no temos como saber.

Vamos supor que este valor esteja neste intervalo. Se isto for verdade, qual o intervalo que contm ?

O valor encontrado para X de 2,5. Este valor pode tanto estar esquerda de quanto direita. Vamos fazer os dois casos extremos.

Se X estiver esquerda de , o caso mais extremo seria justamente quando:

92,3= X 92,35,2 =

Este caso extremo ocorreria se

42,6=

Se X estiver direita de , o caso mais extremo seria justamente quando:

92,3+= X 92,35,2 +=

Este caso extremo ocorreria se:

42,1=

Resumindo, supondo que o valor encontrado para X dista menos de 1,96 desvio padro de , os valores extremos que pode assumir so -1,42 e 6,42. Portanto, com 95% de confiana, est neste intervalo. Esta estimativa da mdia da populao por vezes chamada de estimativa por intervalo. No estamos lhe atribuindo um valor nico, mas uma faixa de valores.



AFRFB e AFT


No comeo desta aula vimos como fazer a estimativa por ponto. Na estimativa por ponto no determinvamos uma faixa de valores. Sim um valor nico. Estimvamos o valor de com o valor de X .

Vamos fazer mais um exemplo. Desta vez vou colocar o passo a passo, para gente comear a fixar como fazer.

Questo 8 INFRAERO 2009 [FCC]

Em um determinado ramo de atividade, os salrios dos empregados so considerados normalmente distribudos com uma mdia e uma varincia populacional igual a 1.600 (R$)2. Uma amostra aleatria com 100 destes empregados apresentou uma mdia de R$ 1.000,00 para os salrios. Deseja-se, com base nesta amostra, obter um intervalo de confiana para a mdia com um nvel de confiana de 95%, considerando a populao de tamanho infinito e a informao da distribuio normal padro (Z) que a probabilidade P (z > 2) = 0,025. O intervalo, com os valores em R$, igual a

(A) [960,00; 1.040,00]

(B) [992,00; 1.008,00]

(C) [994,00; 1.006,00]

(D) [996,00; 1.004,00]

(E) [920,00; 1.080,00]

Resoluo:

Para determinao do intervalo de confiana, seguimos 4 passos.

Primeiro passo: precisamos determinar o intervalo, para a varivel normal reduzida (Z), que contm 95% dos valores (pois este o nvel de confiana solicitado no enunciado). Chamamos este valor de Z0 associado a 95% de confiana.

O exerccio disse que este valor igual a 2.

Vejam:

* > 2 = 2,5% Logo:

* < 2 = 2,5% Portanto:

2 < * < 2 = 100% 2,5% 2,5% = 95% Logo, 95% dos valores de Z esto no intervalo de -2 at 2.

Por isso, o valor de Z0 procurado 2. *+ = 2



AFRFB e AFT


Segundo passo: determinar o valor especfico de para a amostragem feita. = 1.000fornecidopeloenunciado

Terceiro passo: determinar o desvio padro de . A amostra tem tamanho 100. (n = 100)

O desvio padro de fica: # = = 1.600100 = 16 , = 16 = 4

Quarto passo: determinar o intervalo de confiana.

Para tanto, sabemos que em 95% dos casos o valor de Z estar entre -2, e 2.

*+ * *+ Vamos substituir Z:

*+ , *+ Isolando a mdia populacional:

*+ , + *+ ,

O que isto significa? Significa que a probabilidade de a mdia populacional estar no intervalo acima definido de 95%.

Adotando a abordagem frequentista da probabilidade, temos o seguinte. Se fosse possvel realizar, inmeras vezes, uma amostragem de tamanho n, em 95% das vezes o intervalo acima definido conteria a mdia populacional.

Muito bem. A a gente pega e faz uma nica amostra, obtendo um nico valor para a mdia amostral. Com isso, obtemos:

1.000 2 4 1.000 + 2 4 992 1.008

Agora no falamos mais em probabilidade. errado dizer que a probabilidade de a mdia populacional estar no intervalo acima de 95%. Isto porque, acima, no temos mais nenhuma varivel.

992 um nmero, 1.008 outro nmero, um nmero (desconhecido, mas constante, fixo).

Quando substitumos a varivel pelo seu valor especfico obtido para a amostra feita, falamos em confiana. Dizemos que, com 95% de confiana, a mdia populacional est contida no intervalo entre 992 e 1.008

Gabarito: B



AFRFB e AFT


Vocs podem guardar que o intervalo de confiana ser sempre da forma

*+ , + *+ ,

E, para memorizar, s pensar assim.

Ns obtemos a mdia da amostra (no caso 1.000). Ns queremos achar um intervalo que contenha a mdia da populao. razovel supor que a mdia da populao seja prxima de 1.000.

Ento, para achar esse intervalo, ns andamos um pouco para esquerda e um pouco para a direita, ao longo da reta real. Ou seja, a mdia populacional deve estar no seguinte intervalo:

1.000? Ns partimos de 1.000 (mdia amostral). A partir deste nmero, ns vamos andar um pouquinho para esquerda (vamos subtrair alguma coisa) e um pouquinho para direita (vamos somar alguma coisa). E que coisa essa?

Ns vamos andar um certo nmero de desvios-padro para um lado e para o outro.

1.000 , ? 1.000 4 ? E quantos desvios-padro ns vamos andar?

O exerccio que vai dizer o quanto vamos andar para um lado e para o outro. Isto ser dito pelo nvel de confiana. Ns vamos andar Z0 desvios-padro. 1.000 4 2 O intervalo de confiana nos permite determinar uma faixa de valores em que se pode estar a mdia populacional. uma estimativa por intervalo, pois no atribui mdia populacional um valor nico, sim um intervalo real.

Clculo do intervalo de confiana para a mdia da populao

1 Passo: Achar o valor de Z0 associado ao nvel de confiana dado no exerccio.

2 Passo: Encontrar o valor especfico de X para a amostra feita.

3 Passo: Encontrar o desvio padro de X . Utilizar a frmula: n

X

=

4 Passo: Determinar o intervalo de confiana:

XX ZXZX + 00



AFRFB e AFT


Questo 9 CGU 2008 [ESAF]

Construa um intervalo de 95% de conana para a mdia de uma populao normal a partir dos dados de uma amostra aleatria simples de tamanho 64 desta populao, que forneceu uma mdia de 48 e um desvio-padro amostral de 16, considerando que F(1,96) = 0,975, onde F(z) a funo de distribuio de uma varivel aleatria normal padro Z.

a) 44,08 a 51,92.

b) 41,78 a 54,22.

c) 38,2 a 57,8.

d) 35,67 a 60,43.

e) 32,15 a 63,85.

Resoluo:

Repare que no conhecemos a varincia da populao. Sempre que isso acontece, ns devemos adotar os seguintes procedimentos:

- utilizamos a varincia da amostra no lugar da varincia da populao

- consultamos a tabela da distribuio T, em vez da tabela da distribuio normal.

Ns falaremos um pouco mais sobre isso no prximo tpico que vamos estudar.

Dito isso, conclumos que o certo seria utilizar a distribuio T. Contudo, o exerccio no forneceu a tabela da distribuio T. Forneceu apenas alguns valores da funo distribuio de probabilidade da varivel normal reduzida (= varivel normal padro).

No temos sada, teremos que utilizar os valores da varivel reduzida. O mais exato seria resolver o exerccio considerando a distribuio T. Mas no vamos brigar com o enunciado. Se o enunciado s deu informaes sobre a varivel normal, vamos usar a varivel normal.

Vamos considerar que essa amostra j razoavelmente grande, de forma que a diferena entre usar a distribuio normal no lugar da distribuio T no to grande.

Primeiro passo: determinando o valor de Z0 associado a 95% de confiana.

Se F(1,96) = 0,975, isto significa que a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais a 1,96 de 97,5%.

Ou seja, a rea verde da figura abaixo de 97,5%.



AFRFB e AFT


Sabemos que a rea inteira da figura acima igual a 1 (a probabilidade de Z assumir um valor qualquer de 100%).

Portanto, a rea amarela de 2,5%. Como o grfico simtrico, a rea esquerda de -1,96 tambm de 2,5%. Deste modo, a rea verde da figura abaixo de 95%.

Os valores -1,96 e 1,96 delimitam o intervalo de confiana de 95% para a varivel reduzida Z. Ou seja, o valor de Z0 associado a 95% 1,96.

96,10 =Z

Segundo passo: determinar o valor de X especfico para a amostra feita.

48=X

Terceiro passo: determinar o desvio padro de X .

A amostra tem tamanho 64 (n = 64).

O desvio padro de X dado pela frmula:

nX

=



AFRFB e AFT


No conhecemos o desvio padro da populao. Estamos considerando que a amostra muito grande a tal ponto que a sua varincia seja um excelente estimador da populao. Vamos considerar que a varincia amostral igual varincia da populao. Portanto, o desvio padro da populao tambm igual ao desvio padro da amostra (=16).

16=

264

16==

X

Quarto: determinar o intervalo de confiana.

O intervalo de confiana da forma: XX ZXZX + 00

Substituindo os valores:

XX ZXZX + 00

296,148296,148 + 92,34892,348 +

92,5108,44 Gabarito: A.

Questo 10 TRT 2 Regio 2008 [FCC]

A vida das lmpadas fabricadas por uma empresa apresenta uma distribuio normal com uma varincia populacional igual a 400 (horas)2 . Extrai-se uma amostra de 64 lmpadas e verifica-se que a respectiva vida mdia igual a 1.200 horas. Considerando a populao de tamanho infinito e a informao da distribuio normal padro (Z) que a probabilidade P(Z

> 2) = 2,5%, tem-se que o intervalo de confiana de 95% para a vida mdia das lmpadas

(A) [1.160 , 1.240]

(B) [1.164 , 1.236]

(C) [1.180 , 1.220]

(D) [1.184 , 1.216]

(E) [1.195 , 1.205]

Resoluo:

Primeiro passo:

*+ = 2 Segundo passo:

= 1200 Terceiro passo:



AFRFB e AFT


, = = 2064 = 208 = 2,5 Quarto passo:

, *+ 1.200 2,5 2 1.200 5 @1.195; 1.205B

Gabarito: E

2.4. Intervalo de confiana para a mdia quando a varincia da populao

no conhecida

Grande parte dos exerccios de concurso sobre intervalo de confiana no so resolvidos por meio da distribuio normal. Eles envolvem o conhecimento da distribuio T de Student. A grande vantagem que a forma de se resolverem os exerccios de intervalo de confiana por meio da distribuio T exatamente a mesma daquela vista acima, para a distribuio normal. A nica coisa que muda a tabela em que fazemos a consulta. No final da aula h duas tabelas. A nica coisa que vai mudar que vamos consultar a tabela II, em vez da tabela I.

Sabemos que X pode ser visto como uma varivel aleatria normal (ou aproximadamente normal). Portanto, para X podemos utilizar a tabela de reas da varivel normal.

Para utilizar esta tabela, precisamos encontrar a varivel normal reduzida Z:

X

XZ

= .

Onde X

o desvio padro da varivel X . Sua frmula : n

X

= .

Entretanto, se no soubermos a varincia da populao ( 2 ), no temos como calcular X

.

Nestes casos, utilizamos a varincia da amostra no lugar da varincia da populao. Em problemas assim, na verdade, ns estamos estimando duas grandezas ao mesmo tempo. Estamos estimando a mdia e a varincia da populao.

Como no temos certeza nem sobre o valor da mdia nem sobre o valor da varincia da populao, nosso intervalo de confiana tem que ser maior que aquele que seria obtido

caso conhecssemos o valor de 2 , para mantermos o mesmo nvel de confiana. exatamente esta a ideia da distribuio T.

Para ilustrar, seguem alguns grficos gerados com o excel.



AFRFB e AFT


As curvas em azul e vermelho indicam as distribuies T com 2 e 4 graus de liberdade. Por hora, apenas fiquem com a informao de que o nmero de graus de liberdade tem relao com o tamanho da amostra. Quanto maior o tamanho da amostra, maior o nmero de graus de liberdade.

Quando a amostra pequena (como o exemplo da curva azul, com 2 graus de liberdade), o grfico diferente da curva normal (em verde).

medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuio T se aproxima da normal. Notem que a curva em vermelho j est mais prxima da curva verde. Isto at intuitivo. Se a amostra for muito grande, ento conhecer a varincia da amostra praticamente o mesmo que conhecer a varincia da populao. como se estivssemos caindo novamente num problema em que a varincia populacional conhecida.

Portanto, se no problema no soubermos a varincia da populao, as nicas coisas que mudam so:

Utilizamos a varincia da amostra no lugar da varincia da populao.

Em vez de consultar a tabela de reas da varivel reduzida normal, consultamos a tabela da distribuio T, que dada pela prova.

No caso da distribuio T, o grfico de fdp muito parecido com o da distribuio normal. Ele continua sendo simtrico, em um formato que lembra o de um sino.

Para consultar a tabela, temos que saber o nmero de graus de liberdade.

O nmero de graus de liberdade igual a C D, onde n o tamanho da amostra.

Questo 11 PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO]

Um levantamento realizado a respeito dos salrios recebidos por uma determinada classe profissional utilizou uma amostra de 100 destes profissionais, na qual foram observados uma mdia de R$ 2.860,00 e um desvio padro de R$ 786,00. Qual ser, em reais, o desvio padro da distribuio das mdias amostrais dos salrios desta classe de profissionais?

(A) 3,64



AFRFB e AFT


(B) 7,86

(C) 78,60

(D) 786,00

(E) 7.860,00

Resoluo.

Quando o desvio padro da populao conhecido, normal com mdia igual a e desvio padro

EF. Se o desvio padro da populao desconhecido, substitumos este valor por sua estimativa.

O desvio padro amostral (= s) um estimador do desvio padro da populao (). Ou seja, como desconhecido, substitumos este valor por s, que seu estimador. Consequentemente, ter distribuio T de Student, com mdia igual a e desvio padro GF. = 786100 = 78610 = 78,6 Gabarito: C

Alguns alunos confundem estas varincias que surgiram. Cuidado para no confundir! Relembrando:

1 - a varincia da populao. Tomamos cada valor da populao. Subtramos da mdia populacional, obtendo os desvios em relao mdia. Em seguida, calculamos a mdia dos quadrados dos desvios. Isto a varincia populacional.

2 s2 a varincia da amostra. um estimador de . Tomamos cada valor da amostra. Subtramos da mdia amostral, obtendo os desvios. Em seguida, calculamos a mdia dos quadrados dos desvios. Isto a varincia amostral.

3 , a varincia de . Tomamos todos os possveis valores de .Subtramos da mdia desta varivel aleatria, obtendo os desvios. Calculamos a mdia dos quadrados dos desvios, obtendo a varincia de . J estudamos que , = EHF

4 - , a estimativa da varincia de . obtida substituindo, na frmula acima indicada, a varincia populacional pela amostral.



AFRFB e AFT


, =

Questo 12 IPEA 2004 [ESAF]

Deseja-se estimar o gasto mdio efetuado por grupos de 4 pessoas, num restaurante, por meio de um intervalo de confiana com coeficiente de 95%. Uma amostra de 16 grupos produziu os valores R$ 150,00 e R$ 20,00 para a mdia e o desvio padro amostrais, respectivamente. Assinale a opo que corresponde ao intervalo procurado. Use a hiptese de normalidade da distribuio dos gastos e a tabela abaixo da funo de distribuio de Student (Tr) para a escolha do quantil apropriado aos clculos.

= )( xTP r

r

0,900 0,950 0,975 0,990

14 1,345 1,761 2,145 2,625

15 1,341 1,753 2,131 2,603

16 1,337 1,746 2,120 2,584

17 1,333 1,740 2,110 2,567

a) [139,34; 160,66]

b) [139,40; 160,60]

c) [141,23; 158,77]

d) [141,19; 158,81]

e) [140,00; 160,00]

Resoluo.

O ndice r, na simbologia usada no enunciado, indica o nmero de graus de liberdade. Creio que isso poderia ser dito expressamente para evitar quaisquer dvidas.

No conhecemos a varincia da populao. Vamos usar, portanto, os valores da distribuio t. Como a amostra tem tamanho 16, temos 15 graus de liberdade. Devemos consultar, portanto, a linha em que r = 15.

Primeiro passo: obter o valor de t0 associado a 95% de confiana.

Da tabela, temos que a probabilidade de t ser menor ou igual a 2,131 de 0,975.

A rea verde da figura abaixo de 0,975.



AFRFB e AFT


Como a rea total igual a 1, ento a rea vermelha de 0,025. Conclumos que a probabilidade de t ser maior que 2,131 de 2,5%.

Como o grfico da fdp simtrico, a probabilidade de t ser menor que -2,131 tambm de 2,5%. Assim, cada uma das duas reas vermelhas da figura abaixo igual a 0,025.

Como a rea total igual a 1, a rea amarela de 0,95.

Portanto, a probabilidade de t assumir valores entre -2,131 e 2,131 de 95% (=100% - 2,5% - 2,5%)

Desta forma, os valores que delimitam o intervalo centrado em zero que contm 95% dos valores, so -2,131 e 2,131.

131,20 =t

Segundo passo: obter o valor especfico de X .

150=X (fornecido no enunciado).

Terceiro passo: obter o desvio padro de X .



AFRFB e AFT


Como no temos a varincia da populao, na verdade vamos obter a estimativa do desvio

padro de X :

516

20===

n

ss

X

Quarto passo: obter o intervalo de confiana.

O intervalo de confiana da forma:

XX stXstX + 00

5131,21505131,2150 + 655,10150655,10150 +

655,160345,139 O intervalo mais prximo o fornecido na letra A.

Gabarito: A.

3. INTERVALO DE CONFIANA PARA PROPORES

3.1. I como uma varivel aleatria Seja a proporo de casos favorveis em uma populao e a proporo de casos favorveis em uma amostra. Vimos que um estimador para . Para ficar mais claro, vamos analisar o exemplo do dado que lanado trs vezes. Consideramos caso favorvel quando sai um mltiplo de 3.

Na populao (formada por todos os possveis resultados do lanamento do dado), a proporo de casos favorveis igual a 1/3. Por esse motivo, a probabilidade de sucesso em um nico lanamento igual a 1/3. Assim, a proporo de casos favorveis na populao igual probabilidade de sucesso em um lanamento.

Ficamos com:

3/1=p (proporo de casos favorveis na populao = probabilidade de sucesso em um lanamento)

3/2=q (proporo de casos desfavorveis na populao = probabilidade de fracasso em um lanamento).

Lanamos o dado trs vezes. Obtemos os seguintes resultados: 1, 3, 6.

Na amostra de tamanho 3, a proporo de casos favorveis foi de 2/3.

3/2 =p



AFRFB e AFT


Usamos a proporo amostral para estimar a proporo da populao. Caso no soubssemos que o dado tem 1/3 de faces com mltiplos de 3, a partir do resultado obtido na amostragem acima, estimaramos esta proporo em 2/3.

Quando temos uma nica amostra, p um valor, um nmero, fixo, constante.

Mas podemos pensar em p de forma diferente. Podemos pensar em inmeras amostras possveis. Se lanssemos o dado trs vezes novamente, obtendo outra amostra, p poderia assumir outros valores. Quando consideramos as inmeras amostras possveis, p uma varivel aleatria.

Neste exemplo do dado, as amostras de tamanho 3 possveis seriam:

Todas essas amostras so equiprovveis. Podemos montar o seguinte quadro:

p Probabilidade 0 64/216

1/3 96/216

2/2 48/216

3/3 8/216

A esperana de p fica:

3/12168

33

21648

32

21696

31

216640)(

=+++== ppE

A esperana da proporo amostral igual esperana da proporo da populao.

A varincia de p fica:

272

2168

311

21648

31

32

21696

31

31

21664

310

22222

=

+

+

+

=p

Sabendo que a proporo amostral pode ser vista como uma varivel, importante ver um meio mais rpido para calcular sua mdia e sua varincia.

1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 11 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 21 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 31 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6 1 41 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 51 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 61 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 11 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 21 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 31 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 41 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 51 2 6 2 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 61 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 11 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 21 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 31 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 3 4 6 3 41 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 51 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6

1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 11 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6 4 21 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6 4 31 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6 4 41 4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 51 4 6 2 4 6 3 4 6 4 4 6 5 4 6 6 4 61 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 5 5 1 6 5 11 5 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 6 5 21 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 5 31 5 4 2 5 4 3 5 4 4 5 4 5 5 4 6 5 41 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 6 5 51 5 6 2 5 6 3 5 6 4 5 6 5 5 6 6 5 61 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 1 5 6 1 6 6 11 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6 2 5 6 2 6 6 21 6 3 2 6 3 3 6 3 4 6 3 5 6 3 6 6 31 6 4 2 6 4 3 6 4 4 6 4 5 6 4 6 6 41 6 5 2 6 5 3 6 5 4 6 5 5 6 5 6 6 51 6 6 2 6 6 3 6 6 4 6 6 5 6 6 6 6 6



AFRFB e AFT


Nesse exemplo do lanamento do dado, seja X o nmero de casos favorveis em n lanamentos. Vimos na aula passada que X uma varivel binomial com mdia e varincia dadas por:

npX =

npqX =2

Onde n o nmero de experimentos, p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso. Nesse exemplo, n = 3; p = 1/3; q = 2/3.

Ficamos com:

1== npX

3/22 == npqX

X tem mdia 1 e varincia 2/3. Isso significa que, em trs lanamentos, esperamos 1 caso favorvel (e dois desfavorveis). Ou seja, se fosse possvel fazer infinitos conjuntos de trs lanamentos do dado, o nmero mdio de casos favorveis seria igual a 1.

Seja p a proporo de casos favorveis verificada numa dada amostra de tamanho n. A varivel p pode ser obtida a partir de X.

n

Xp =

Para ficar mais claro, suponhamos um conjunto de lanamentos em particular. Lanamos o dado trs vezes, obtendo: 1, 3, 6.

Nessa situao, o nmero de casos favorveis igual a 2 (X = 2). E a proporo de casos favorveis fica:

n

Xp =

32

=p

Em dois teros dos casos, tivemos sucesso.

Fcil, n? Para achar a proporo de casos favorveis na amostra, basta pegar a varivel X e dividir por n.

Sabemos como calcular a mdia e a varincia da varivel binomial. Sabemos que a varivel

p , que indica a proporo de casos favorveis na amostra, pode ser obtida por: n

Xp = .

Para obtermos p , dividimos a varivel X por uma constante n.

Quando dividimos uma varivel por uma constante, a mdia tambm fica dividida por essa constante. A mdia de p :

pn

npn

Xp ===



AFRFB e AFT


Conclumos que a esperana de p justamente a probabilidade de sucesso em um experimento.

Quando lanamos o dado trs vezes (obtendo uma nica amostra de tamanho 3), teremos um determinado valor para a proporo amostral ( p ). Esse valor pode ser igual a 1/3 ou no. No exemplo acima (com resultados 1, 3 e 6), inclusive, foi diferente.

Mas, se fosse possvel repetir infinitas vezes o conjunto de trs lanamentos, obtendo para cada amostra um valor de p , teramos que a mdia de p seria igual a 1/3.

Vejamos agora a varincia de p . Quando dividimos uma varivel por uma constante, a varincia sofre a variao ao quadrado.

n

pqn

npqnn

Xp Xp ==== 222

2

E seu desvio padro fica:

n

pqp =

Ento o que importa para gente saber isso. Se p for a varivel que indica a proporo de casos favorveis na amostra, ento p tem mdia e desvio padro dados por:

pp =

n

pqp =

Proporo de casos favorveis na amostra

Pode ser vista como uma varivel com mdia e desvio padro dados por:

pp =

n

pqp =

Onde p a proporo de casos favorveis na populao e q a proporo de casos desfavorveis na populao.

3.2. Intervalo de confiana para uma proporo

Quando estudamos intervalo de confiana para uma mdia, queramos justamente estimar um intervalo para a mdia de uma populao ( ).



AFRFB e AFT


Agora queremos estimar uma proporo (p). O procedimento ser anlogo.

Vimos que o intervalo de confiana para a mdia da varivel X dado por:

XX ZXZX + 00

O intervalo de confiana para a proporo muito semelhante. Onde tinha mdia amostral, colocamos a proporo amostral. Onde tinha mdia populacional, colocamos a proporo populacional.

E o intervalo de confiana para uma proporo da seguinte forma:

pp ZppZp 00 +

Ento para gente o que importa isso. Interessa saber qual o intervalo de confiana para a proporo.

Intervalo de confiana para a proporo

pp ZppZp 00 +

Questo 13 SEFAZ SP 2009 [FCC]

Em uma pesquisa de tributos de competncia estadual, em 2008, realizada com 400 recolhimentos escolhidos aleatoriamente de uma populao considerada de tamanho infinito, 80% referiam-se a determinado imposto. Deseja-se construir um intervalo de confiana de 95,5% para a estimativa dessa proporo. Considerando normal a distribuio amostral da frequncia relativa dos recolhimentos desse imposto e que na distribuio normal padro a probabilidade P (2 Z 2) = 95,5%, o intervalo

(A) [0,70; 0,90]

(B) [0,72; 0,88]

(C) [0,74; 0,86]

(D) [0,76; 0,84]

(E) [0,78; 0,82]

Resoluo:

Primeiro passo: determinar o valor de Z0. O enunciado disse que: *+ = 2



AFRFB e AFT


Segundo passo:

= 0,8 KL = 1 0,8 = 0,2 Terceiro passo:

ML = N KL ML = N0,8 0,2400 = N0,16400 = 0,420 = 0,02

Quarto passo: encontrando o intervalo de confiana.

*+ ML 0,8 2 0,02 0,8 0,04 @0,76; 0,84B

Gabarito: D

Questo 14 TRT 4 REGIO 2009 [FCC]

Se Z tem distribuio normal padro, ento:

P (Z > 1,64) = 0,05; P(Z > 2) = 0,02; P(0< Z < 1,75) = 0,46

Deseja-se estimar a proporo (p) de processos julgados por um tribunal regional do trabalho durante o perodo de 2000 at 2008. Uma amostra aleatria de 10.000 processos, selecionada da populao (suposta infinita) de todos os processos, revelou que 5.000 foram julgados no referido perodo. Um intervalo de confiana, com coeficiente de confiana de 90% para p, baseado nessa amostra, dado por

(A) 0,5 0,005

(B) 0,5 0,0062

(C) 0,5 0,0065

(D) 0,5 0,0082

(E) 0,5 0,01

Resoluo:

Primeiro passo: determinar o valor de Z0.

Temos:

* > 1,64 = 5% * < 1,64 = 5% Logo:

1,64 < * < 1,64 = 100% 5% 5% = 90%



AFRFB e AFT


Conclumos que:

*+ = 1,64 Segundo passo:

= 5.00010.000 = 0,5 KL = 1 = 1 0,5 = 0,5 Terceiro passo:

ML = N KL ML = N0,5 0,510.000 = 0,5100 = 0,005

Quarto passo: encontrando o intervalo de confiana.

*+ ML 0,5 1,64 0,005 0,5 0,0082

Gabarito: D

4. INTERVALO DE CONFIANA E TAMANHO DA AMOSTRA

So comuns alguns tipos de exerccios em que se pede o tamanho que deve ter a amostra para que se consiga uma determinada amplitude do intervalo de confiana.

Antes de vermos esse tipo de exerccio, bom termos uma noo da relao entre a amplitude do intervalo de confiana e o erro da estimativa.

Exemplo 4

Considere o intervalo de confiana de 90,10% para a mdia de uma populao normal com varincia 16, construdo a partir da seguinte amostra: 2, 6, 6, 10. Qual o erro mximo cometido na estimativa da mdia populacional? (Dado: *+ = 1,65).

Resoluo.

A mdia amostral :

= 2 + 6 + 6 + 104 = 6 O desvio padro da mdia amostral :



AFRFB e AFT


, = 164 = 2 O intervalo de confiana fica:

6 1,65 2 Os limites do intervalo so:

[2,7 ; 9,3]

Com 90,10% de confiana, a mdia populacional est entre 2,7 e 9,3.

Qual o maior erro que cometemos quando usamos a mdia amostral para estimar a mdia populacional? Isso, claro, considerando um coeficiente de confiana de 90,10%.

A mdia amostral est bem no meio do intervalo de confiana. Logo, o erro ser maior se a mdia populacional estiver em uma das extremidades do intervalo de confiana. O erro ser mximo se a mdia populacional for igual a 2,7 ou se ela for igual a 9,3.

No primeiro caso, o erro cometido fica:

= Xerro 3,37,26 ==erro

No segundo caso, o erro cometido :

3,33,96 ==erro

Em qualquer um desses dois casos, o mdulo do erro de 3,3. comum que os exerccios ignorem a palavra mdulo e digam apenas erro. Desse modo, dizemos que, nos dois casos acima, o erro cometido foi de 3,3.

Ento, quando o exerccio se referir a erro mximo cometido, ele quer que a gente suponha que a mdia populacional est justamente na extremidade do intervalo de confiana.

Note que o erro mximo sempre metade da amplitude do intervalo de confiana. Nesse exemplo, o intervalo de confiana era [2,7 ; 9,3]

Sua amplitude :

6,67,23,9 ==Amplitude

E a metade da amplitude :

3,326,6

2==

Amplitude

Erro mximo cometido, para determinado nvel de confiana:

Corresponde metade da amplitude do intervalo de confiana



AFRFB e AFT


No caso do intervalo de confiana para a mdia, quando a varincia da populao conhecida, temos:

XX ZXZX 00 +

A amplitude do intervalo de confiana :

( ) ( )XXX ZZXZXAmplitude 000 2=+=

Logo, o erro, que igual metade da amplitude, expresso por:

XZerro 0max_ =

No caso do intervalo de confiana para a mdia, quando a varincia da populao desconhecida, os clculos so anlogos. Ficamos com:

Xsterro 0max_ =

Por fim, no caso do intervalo de confiana para a proporo, o erro mximo :

psZerro 0max_ =

Erro mximo cometido

Estimao da mdia, com varincia populacional conhecida:

XZerro 0max_ =

Estimao da mdia, com varincia populacional desconhecida:

Xsterro 0max_ =

Estimao da proporo:

psZerro 0max_ =

Sabendo disso, vamos aos exerccios de concurso.

Questo 15 DNOCS 2010 [FCC]

Seja X uma varivel aleatria normalmente distribuda representando o salrio dos empregados em um determinado ramo de atividade. Uma amostra aleatria de 100 empregados foi selecionada e apurou-se um intervalo de confiana de 95% para a mdia de X como sendo [760,80; 839,20], supondo a populao de tamanho infinito e sabendo-se que o desvio padro populacional igual a R$ 200,00. Caso o tamanho da amostra tivesse sido



AFRFB e AFT


de 1.600 e obtendo-se a mesma mdia anterior, o intervalo de confiana de 95% apresentaria uma amplitude igual a

(A) R$ 78,40.

(B) R$ 39,20.

(C) R$ 49,00.

(D) R$ 58,80.

(E) R$ 19,60.

Resoluo:

A amplitude do intervalo de confiana dada por:

O = 2*+ , O = 2*+

Quando o tamanho da amostra 100, a amplitude :

839,20 760,80 = 78,4 Em seguida, o tamanho da amostra aumentado para 1600. Vou chamar este novo tamanho de amostra de P. O tamanho da amostra multiplicado por 16.

P = 16 A nova amplitude (O) fica:

OP = 2*+ P OP = 2*+ 16

OP = 2*+ 116 OP = R2*+ S 14

Entre parntesis, temos a amplitude original:

OP = 78,4 14 = 19,60 Gabarito: E

Resumindo o que fizemos:

O tamanho da amostra foi multiplicado por 16. Logo, foi multiplicado por 4. Como est no denominador, ento a amplitude foi dividida por 4.



AFRFB e AFT


Questo 16 TRE PI 2009 [FCC]

A durao de vida de um determinado equipamento apresenta uma distribuio normal com uma varincia populacional igual a 100 (dias)2. Uma amostra aleatria de 64 desses equipamentos forneceu uma mdia de durao de vida de 1.000 dias. Considerando a populao de tamanho infinito, um intervalo de confiana de ( 1 ) com amplitude de 4,75 dias para a mdia foi construdo. Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 400, obtendo-se a mesma mdia de 1.000 dias, a amplitude do intervalo de confiana de ( 1 ) seria de

(A) 0,950 dias.

(B) 1,425 dias.

(C) 1,900 dias.

(D) 2,375 dias.

(E) 4,750 dias.

Resoluo:

Aproveitando o raciocnio da questo anterior.

O tamanho da amostra saltou de 64 para 400. Ou seja, foi multiplicado por 6,25.

Logo, foi multiplicado por 2,5. Consequentemente, a amplitude ser dividida por 2,5 4,752,5 = 1,9 Gabarito: C

Questo 17 AFPS 2002 [ESAF]

Tem-se uma populao normal com mdia e varincia 225. Deseja-se construir, a partir de uma amostra de tamanho n dessa populao, um intervalo de confiana para com amplitude 5 e coeficiente de confiana de 95%. Assinale a opo que corresponde ao valor de n. Use como aproximadamente 2 o quantil de ordem 97,5% da distribuio normal padro.

a) 225

b) 450

c) 500

d) 144

e) 200

Resoluo:

Como a varincia de 225, ento o desvio padro 15 (= raiz quadrada de 225).



AFRFB e AFT


A amplitude do intervalo de confiana dada por:

O = 2 *+ Substituindo os valores fornecidos pelo enunciado:

5 = 2 2 15 = 2 2 15 5 = 12 = 12 = 144

Gabarito: D

Questo 18 MDIC 2002 [ESAF]

Deseja-se determinar, para uma populao com N elementos, em um esquema de amostragem aleatria simples, o tamanho de amostra n necessrio para estimar a mdia populacional do atributo X. Deseja-se que o erro em valor absoluto do procedimento no seja superior a 10% da mdia populacional, com probabilidade de 95%. De um estudo piloto obtm-se que a varincia de X tem o valor 80 e que a mdia tem o valor 20. Tomando como aproximadamente 2 o quantil de ordem 0,975 da distribuio normal padro, supondo que a mdia da amostra tem distribuio aproximadamente normal e desprezando a frao de amostragem n/N, assinale a opo que d o valor de n.

a) 1000

b) 100

c) 80

d) 200

e) 150

Resoluo:

O erro amostral igual a metade da amplitude do intervalo de confiana:

T = *+ , O erro mximo 10% da mdia amostral (10% 20 = 2).

2 = *+ , O valor de Z0 igual a 2 (dado no enunciado): 2 = 2 , O desvio padro da mdia amostral igual ao desvio padro amostral dividido por raiz quadrada de n:

2 = 2



AFRFB e AFT


2 = 2 80 = 80 = 80

Gabarito: C

Exemplo 5

Deseja-se estimar a proporo de eleitores de um municpio que votar no candidato A. Para tanto, busca-se que, com um coeficiente de confiana de 95%, o erro mximo cometido seja de 2% (para mais, ou para menos).

a) possvel, com os dados fornecidos, determinar o tamanho da amostra para que o erro mximo seja de 2%? Por qu?

b) supondo varincia mxima, qual o tamanho da amostra para que o erro mximo seja de 2%?

c) maximizando o valor de n, qual o tamanho da amostra para que o erro mximo seja de 2%?

d) supondo que a ltima pesquisa indicou 36% de votos para esse candidato, qual o tamanho da amostra para que o erro mximo seja de 2%

Resoluo.

Letra A.

A frmula do erro mximo :

psZerro 0max_ =

O erro mximo fixado igual a 0,02. O nvel de confiana de 95%, o que implica em Z0

igual a 1,96. E sabemos que n

qps p

= .

Substituindo todas essas informaes:

n

qp 96,102,0 =

Lembrando que: pq 1 = .

n

pp )1(96,102,0 =

Temos uma nica equao e duas variveis. Para descobrirmos o valor de n, precisamos do valor de p . Precisamos do valor da proporo amostral.

A ficou difcil. Ainda no fizemos a amostragem. Queremos justamente calcular que tamanho deve ter essa amostra para que o erro seja de, no mximo, 2% (para um



AFRFB e AFT


coeficiente de confiana de 95%). Depois que soubermos o tamanho da amostra, a sim fazemos a amostragem. S ento obteremos a proporo amostral.

Resumindo: para descobrir o tamanho de n, precisamos da proporo amostral. E s faremos a amostragem (obtendo a proporo amostral), depois que soubermos o valor de n.

Ficamos sem sada. No d para resolver o problema com o enunciado fornecido.

O que fazer?

Bom, h duas opes, listadas nas letras B, C e D.

Letras B e C.

Uma forma de resolver o problema listado na letra A a que segue.

A estimativa da varincia de p dada por:

n

ppp

)1(2

=

pn

pnn

ppp

1

1 222

+

=

=

Para um dado valor de n, que valor de p maximiza a varincia acima?

De outra forma: para um valor fixado de n, qual o valor de p que torna a varincia a maior possvel?

Podemos interpretar a equao acima como uma funo de segundo grau (o grfico uma parbola). Isto matria l do ensino mdio. L a gente estuda como encontrar o vrtice da parbola (que corresponde aos valores de mximo ou mnimo).

Considere uma funo de segundo grau do tipo:

cbxaxy ++= 2

O valor de x que maximiza (ou minimiza, dependendo do valor de a) a funo y :

abx 2/= Aplicando este resultado ao nosso caso, temos que o valor de p que maximiza a varincia :

5,0)/1(2/1

=

=

n

np

O caso em que a varincia a maior possvel ocorre quando a proporo populacional igual a 50%.

Vimos que: fixado n, a varincia ser mxima se 5,0 == qp .

Por outro lado, fixado o valor do erro, n ser mximo se 5,0 == qp .

Vejam:

psZerro 0max_ =



AFRFB e AFT


0max_ Zerro =n

qp

Logo:

22

0max)_(

erro

qpZn =

22

0max)_(

)1(erro

ppZn =

Para um dado valor de Z0, fixado o erro mximo, temos que n ser mximo quando maximizarmos o numerador )1( pp . Temos uma parbola, em que o vrtice ocorre justamente no ponto 0,5.

Ou seja, use 5,0 == qp se a questo disser:

- use n mximo;

- use varincia mxima

No clculo do tamanho da amostra para estimar uma proporo, supor que 5,0=p sempre que o exerccio disser:

- Considere varincia mxima

- Considere n mximo.

Quando fixamos a proporo em 0,5, para efeitos de determinao do tamanho da amostra, na verdade, estamos trabalhando com a hiptese mais conservadora. Esta a alternativa que maximiza o valor de n. Trabalhar com uma amostra maior sempre algo mais conservador.

Assim, um modo de fugir do problema listado na letra A supor que a proporo igual a 50%. Assim, trabalharemos com um valor de n grande.

Agora podemos achar o tamanho da amostra.

psZerro 0max_ =

n

pp )1(96,102,0 =

Supondo que 5,0 == qp , temos:



AFRFB e AFT


2401495,096,102,0 2 === nn

A amostra precisa ter tamanho 2401 (tanto na letra B quanto na letra C).

Letra D.

Outra sada para o problema listado na letra A fazer uma amostragem preliminar. Pode-se fazer uma amostragem menor, mais rpida, de modo a obter um valor de p . Ou ento usar alguma informao anterior disponvel. Obtido esse valor preliminar de p , podemos calcular o valor de n e, em seguida, fazer a amostragem para valer.

Na letra D, sabemos que a ltima pesquisa revelou que o candidato tem 36% das intenes de voto.

Vamos usar os dados dessa pesquisa anterior para calcularmos o valor de n. Vamos supor que p 36%. Desse modo, temos:

psZerro 0max_ =

n

64,036,09

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Aula 14 - Estimadores Pontuais e Intervalos de Confiança