aula 17 - regressão linear

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 17: Regresso linear e anlise de varincia

da regresso

1. REGRESSO LINEAR ........................................................................................................................ 2

1.1. Entendendo a relao verificada na populao .................................................................................... 2 1.2. Estimadores dos parmetros do modelo de regresso .......................................................................... 4

1.3. Hipteses do modelo ............................................................................................................................. 7

1.4. Visualizando os desvios ......................................................................................................................... 7

1.5. Igualdades envolvendo somatrio ....................................................................................................... 13

1.6. Calculando a reta de regresso .......................................................................................................... 14

1.7. Reta de regresso passando pela origem ............................................................................................ 33 2. ANLISE DE VARINCIA DA REGRESSO ...................................................................................... 35

2.1. Somas de quadrados ........................................................................................................................... 35

2.2. Quadrados mdios e estatstica F ....................................................................................................... 38 2.3. Coeficiente de determinao ............................................................................................................... 39

3. OUTROS EXERCCIOS .................................................................................................................... 49

4. RESUMO ..................................................................................................................................... 54

5. QUESTES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 56

6. GABARITO ..................................................................................................................................... 70



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1. REGRESSO LINEAR

Na correlao linear, estvamos interessados em ver se duas variveis X e Y tinham uma relao linear forte ou no.

Pois bem, considerem que X e Y tenham uma relao linear forte. Ou seja, a relao entre ambas quase uma reta. Neste caso, que reta seria essa? Qual a reta que melhor descreve a relao linear entre X e Y?

justamente isso que a regresso linear vai nos dizer.

1.1. Entendendo a relao verificada na populao

Sejam X e Y duas variveis. Um modelo de regresso linear que as relaciona da seguinte forma:

iii XY ++= Neste modelo, e so constantes e uma varivel aleatria de mdia zero. Mas o que significa este modelo?

Para entender melhor, vamos a um exemplo. Vamos dar valores.

Sejam X e Y duas variveis aleatrias que modelam duas caractersticas de uma populao. Poderiam ser peso e altura dos indivduos de um pas. Ou ento lucro bruto e gastos com propaganda de empresas de um dado setor. Ou qualquer outra coisa. Considere o seguinte modelo de regresso:

iii XY ++= 25 , onde tem desvio padro igual a 2.

Neste modelo, 5= e 2= . E uma varivel aleatria de mdia zero e desvio padro igual a 2.

O que significa o modelo?

Para ver seu significado, vamos considerar o caso em que X igual a 1.

Quando X vale 1, o valor de Y fica:

+=++= 725Y Y igual a 7 mais alguma coisa.

Quando X for igual a 1, Y uma varivel aleatria que assume valores ao redor de 7. Y uma varivel aleatria de mdia 7 e desvio padro igual a 2 ( o mesmo desvio padro da varivel ).

Simulei no Excel 40 valores para uma varivel aleatria normal de mdia 7 e desvio padro igual a 2.

Quadro 1 Amostra de 40 valores de Y quando X vale 1



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6,593141232 9,006039634 7,529331787 8,790447066

7,852422253 7,316731652 5,709223237 1,517279637

7,371164634 8,337094106 8,492395516 4,537325404

7,192761653 7,710131408 4,163608098 6,193114621

9,048459033 7,557574931 6,200254493 7,898396375

7,347612528 6,111238398 7,921807047 7,114042863

7,86536918 4,804578704 6,595492192 7,695790475

10,32428016 6,267005594 6,12221455 6,72314475

7,59146052 6,939884906 7,191285009 6,939555013

8,697223503 6,689966794 8,674250951 7,633455534

Podemos considerar que a populao de onde retiramos os 40 valores acima tem mdia 7 e desvio padro igual a 2.

Ou seja, podemos considerar que existe uma populao de valores de Y correspondente a X igual a 1. Esta populao tem mdia 7 e desvio padro igual a 2.

Quando X for igual a 2, Y fica:

+=++= 9225Y Agora Y igual a 9 mais alguma coisa. Esse alguma coisa a varivel aleatria , de mdia zero e desvio padro igual a 2.

Portanto, Y uma varivel aleatria de mdia 9 e desvio padro igual a 2. Assim, quando X for igual a 2, temos outra populao de valores Y, desta vez com mdia 9. Um exemplo de amostra dessa segunda populao, tambm com 40 valores, seria:

Quadro 2 Amostra de 40 valores de Y quando X vale 2

6,53861127 9,678841758 10,18699647 12,04425824

6,235802132 9,645271814 7,816967558 7,710536605

6,628522819 11,58429767 7,855252513 7,904572561

8,955476207 10,5235668 10,29363849 6,979009116

12,78643385 7,361538895 9,911730171 8,295251334

9,423242246 6,951347174 8,884513449 9,189919391

8,588672066 8,72768786 12,15872381 9,237865804

9,438625799 10,71337193 8,195035187 9,452390476

3,332867904 13,24592769 9,393588155 6,613649783

7,937743916 10,38333066 9,099585603 9,034490197

O mesmo vale quando X for igual a qualquer outro valor.

Nosso modelo iii XY ++= 25 representa simultaneamente inmeras populaes de valores de Y. Para cada valor de X, ns temos uma populao de valores de Y de tal modo que sua mdia igual a X25 + .



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Os valores de Y variam em torno deste valor mdio graas varivel , aleatria. Podemos pensar que Y e X guardam uma relao quase linear. A relao s no perfeitamente linear devido presena dessa varivel , que representa todas as demais interferncias no valor de Y que no so explicadas pela varivel X.

A varivel pode ser vista como o erro que se comete quando se aproxima a relao entre X e Y por uma reta. Muitas vezes acaba sendo chamada, realmente, de erro.

Assim, se o modelo de regresso iii XY ++= 25 representar adequadamente o conjunto formado por todas as populaes de valores de Y, sabemos que, para cada valor de X, temos como calcular a mdia da correspondente populao de valores de Y.

Repetindo: a relao entre X e Y praticamente uma reta. Os pares ordenados (X,Y) s no se comportam exatamente como uma reta por causa da varivel aleatria .

Deste modo, os pares ordenados (X,Y) vo se situar em torno da reta ii XY 25 +=

Considere que X assuma apenas os valores 1, 2, 3, 4, 5. Considere ainda que o modelo

iii XY ++= 25 (onde tem desvio padro igual a 2) descreva bem a populao de valores de Y.

Podemos pensar que esta populao , na verdade, dividida em 5 populaes menores. Uma para o caso em que X igual a 1. Outra para o caso em que X igual a 2. E assim por diante, at X igual a 5.

Abaixo detalhamos as cinco populaes de valores de Y:

= 1X Y tem mdia 7 e desvio padro igual a 2.

= 2X Y tem mdia 9 e desvio padro igual a 2.

= 3X Y tem mdia 11 e desvio padro igual a 2. = 4X Y tem mdia 13 e desvio padro igual a 2.

= 5X Y tem mdia 15 e desvio padro igual a 2. Ok. Ento nosso modelo representa adequadamente toda a populao (composta pelas cinco sub-populaes acima). Ou seja, tendo acesso a toda a populao, podemos verificar que, para cada valor de X, os valores de Y correspondentes giram em torno da reta dada por

XY 25 +=

1.2. Estimadores dos parmetros do modelo de regresso

Continuemos com o modelo de regresso do exemplo anterior. Sabemos que na populao, verifica-se que X e Y se relacionam por:

iii XY ++= 25

Ou seja, os pares ordenados ( )ii YX , giram em torno da reta ii XY 25 += graas varivel aleatria i .



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Entretanto, comum que no tenhamos acesso a toda a populao. Conhecemos apenas uma amostra. Ora, se temos acesso apenas a uma amostra, como saber qual a reta que representa adequadamente a relao existente na populao inteira?

Suponha que fizemos uma amostragem de 42 pares de valores de (X,Y), conforme tabela abaixo:

Quadro 3 Amostra com 42 pares (X,Y)

Y X Y X Y X

7,063739369 2 13,00534171 3 9,94831727 3

11,95962905 5 9,82060755 2 12,55329724 4

10,86307743 2 5,144500964 1 14,78463119 5

9,717082904 3 12,88447035 5 10,67968811 3

10,06782671 2 14,46402381 4 5,624151428 3

14,90233153 4 9,778894668 3 8,989367058 2

9,246338915 2 7,114699575 2 17,07556754 5

12,38290526 4 10,05856893 3 11,80226689 3

15,98044467 3 15,58187542 5 12,87295011 4

6,626939124 2 9,415041267 2 8,836479018 3

11,73251019 3 9,513621757 2 4,243240553 1

14,69927599 4 9,472612778 3 5,20115496 1

12,31403234 4 12,09695304 3 14,88629319 5

5,7256837 2 15,04573598 4 11,74230544 3

O problema que geralmente surge na regresso linear o seguinte. No sabemos qual a reta que representa adequadamente toda a populao. Neste exemplo que estamos trabalhando, se conhecssemos toda a populao, saberamos que ela pode ser

representada por ii XY 25 += . Entretanto, se no conhecermos toda a populao, no temos como saber que a reta ii XY 25 += representa a relao entre as variveis estudadas.

Ou ainda: no sabemos que os pares ordenados vo se situar em torno da reta ii XY 25 += .

O que pretendemos justamente determinar qual a reta em torno da qual os pontos (X, Y) esto situados. Isto, baseando-nos apenas na amostra do Quadro 3.

Um mtodo para encontrar a melhor reta de regresso chamado de mtodos de mnimos quadrados. A funo de primeiro grau que pretendemos encontrar da forma:

ii bXaY +=

Onde a uma estimativa de , b uma estimativa de e Y uma estimativa de Y . diferena entre Y e sua estimativa, chamamos desvio. O desvio dado por:

YYe =

Pelo mtodo de mnimos quadrados, tentamos obter uma reta de tal modo que a soma dos quadrados dos valores de e (desvio) seja mnima.



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possvel demonstrar que os valores de a e b (estimadores de e ), obtidos a partir da considerao de que a soma dos quadrados dos desvios seja mnima, so:

( ) ( )[ ]( )2

=

XX

YYXXb

i

ii

XbYa = Ou seja, a partir dos valores de X e Y pertencentes amostra, obtemos os valores de a e b

descritos acima. A partir deles, construmos a reta ii bXaY += .

Executando este procedimento no excel para a amostra do Quadro 3, obtemos:

71,3=a

33,2=b

O grfico abaixo representa os resultados obtidos:

Figura 1 Regresso linear entre variveis X e Y

Os pontos em azul escuro so os dados observados na amostra. So os pares ordenados correspondentes amostra do Quadro 3. A reta laranja corresponde reta real. a reta

que representa a populao inteira. Trata-se da reta ii XY 25 += .

S que esta reta ns no conhecemos. No conhecemos toda a populao. Estamos procurando por uma reta que simbolize a relao entre X e Y. O ideal seria chegar realmente na reta laranja, que representa adequadamente toda a populao.



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Contudo, tendo disponvel apenas uma amostra de 42 pares (X,Y), a reta de regresso que calculamos, de tal forma que os desvios de estimativa cometidos se comportem segundo a condio de mnimos quadrados, foi a reta azul.

1.3. Hipteses do modelo

Agora, alguns comentrios adicionais, que ficaram implcitos ao longo do exemplo.

O modelo de regresso linear faz algumas consideraes. So elas:

0)( =iE

2)( =iV 0),cov( =ji , para ji

Na primeira considerao, temos que o erro (varivel aleatria ) tem mdia zero. Esta condio um pouco mais fcil de entender.

Basta imaginar a situao em que a varivel erro no tem mdia zero. Significa que j se espera que, em mdia, se cometa um erro diferente de zero. J se sabe que a regresso tem um vis (que pode ser positivo ou negativo). Ou seja, o modelo no est muito adequado. melhor reformular o modelo.

A segunda considerao nos diz que a varincia do erro constante. Este fato denominado homocedasticia. Isto foi utilizado quando dissemos que havia cinco populaes de valores de Y (com mdias 7, 9, 11, 13 e 15). Em todas elas, o desvio padro era o mesmo (portanto, a varincia tambm). Isto s possvel se a varivel tiver varincia constante. Ou seja, se ela tiver sempre a mesma varincia, independente de qual o valor de X.

A terceira condio nos diz que os erros cometidos no so correlacionados.

Pergunta: Professor, preciso me preocupar com estas hipteses?

Resposta: no, em concursos abertos a candidatos de todas as reas, no h maiores cobranas sobre tais hipteses. O exerccio simplesmente diz que elas foram atendidas e pronto. Nosso trabalho s aplicar as frmulas para achar a e b . S as mencionei porque, se a questo falar qualquer coisa a respeito, a vocs no precisam ficar preocupados, achando que uma coisa de outro mundo. s calcular normalmente os coeficientes a e b, e pronto.

1.4. Visualizando os desvios

Considere o diagrama de disperso abaixo, relacionando peso e altura de um certo grupo de indivduos.

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Figura 2 Diagrama de disperso peso x altura

Considere que esta seja apenas uma amostra contendo pesos e alturas para um certo nmero de pessoas pesquisadas. Vimos que o coeficiente de correlao indica que existe certa relao linear para as variveis peso e altura.

Na regresso linear, estamos interessados em saber que relao essa. Encontrar a funo de primeiro grau que represent

Seja Y o peso. Seja X a altura.

O modelo de uma regresso linear simples :

Relembrando. Neste modelo,

ii XY += , a teramos efetivamente uma funo de primeiro grau. A relao entre peso e altura seria exatamente uma reta. Mas no o que acontece. A relao no exatamente uma reta.

Estamos considerando que, alm da componente linear

depende de uma parcela aleatria. Trata

Esta varivel aleatria que responsvel pelo fato dos pontos se dispersarem em torno da reta que representa a relao linedeterminar. A varivel aleatria regresso.

Suponha que a reta laranja da figura abaixo seja a reta de regresso (ou seja, a reta querepresenta a relao linear existente na populao de valores (


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Diagrama de disperso peso x altura

Considere que esta seja apenas uma amostra contendo pesos e alturas para um certo o de pessoas pesquisadas. Vimos que o coeficiente de correlao indica que existe

certa relao linear para as variveis peso e altura.

Na regresso linear, estamos interessados em saber que relao essa. Encontrar a funo de primeiro grau que representa a relao entre peso e altura.

O modelo de uma regresso linear simples :

iii XY ++= Relembrando. Neste modelo, e so constantes. Assim, se o modelo fosse apenas

, a teramos efetivamente uma funo de primeiro grau. A relao entre peso

e altura seria exatamente uma reta. Mas no o que acontece. A relao no exatamente

Estamos considerando que, alm da componente linear iX + , o valor do peso ainda depende de uma parcela aleatria. Trata-se da varivel aleatria .

Esta varivel aleatria que responsvel pelo fato dos pontos se dispersarem em torno da reta que representa a relao linear entre X e Y. Reta esta que ns estamos querendo determinar. A varivel aleatria pode ser vista como um erro em torno da reta de

Suponha que a reta laranja da figura abaixo seja a reta de regresso (ou seja, a reta querepresenta a relao linear existente na populao de valores (X,Y)).



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Considere que esta seja apenas uma amostra contendo pesos e alturas para um certo o de pessoas pesquisadas. Vimos que o coeficiente de correlao indica que existe

Na regresso linear, estamos interessados em saber que relao essa. Encontrar a funo

so constantes. Assim, se o modelo fosse apenas

, a teramos efetivamente uma funo de primeiro grau. A relao entre peso

e altura seria exatamente uma reta. Mas no o que acontece. A relao no exatamente

, o valor do peso ainda

Esta varivel aleatria que responsvel pelo fato dos pontos se dispersarem em torno da . Reta esta que ns estamos querendo

pode ser vista como um erro em torno da reta de

Suponha que a reta laranja da figura abaixo seja a reta de regresso (ou seja, a reta que



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Figura 3 Reta de regresso

Considere que a equao da reta de regresso seja:

106100 = XY E esta reta ns no conhecemos, pois no temos acesso a toda a populao. Ns queremos justamente encontrar esta reta, a partir da amostra fornecida.

Vamos nos fixar na reta 106100 = XY Vamos tomar o valor de altura igual a 1,86m.

Figura 4 Reta de regresso: destaque para X = 1,86

Vamos calcular Y para o caso em que 86,1=X m

106100 = XY 80106186 ==Y

O peso correspondente 80 ( 80=Y ). Assim, a reta de regresso passa pelo ponto (1,86; 80).



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Para a nossa amostra (pontos azuis da figura acima), observe que h diversos valores de peso para a altura igual a 1,86.

Assim, no nosso grupo de pessoas pesquisadas, h cinco com altura de 1,86m. Uma delas tem peso 70,67 kg. A outra tem 71,01 kg (estes dois primeiros valores esto sobrepostos na figura acima). Uma terceira tem 79,91 kg. A quarta tem 76,79 kg. E a quinta tem 83,69.

Com nosso modelo de regresso linear, queremos dizer que, para cada valor de X (altura), os valores de Y correspondentes (peso) giram em torno da reta de regresso. Deste modo, considerando todas as pessoas com altura 1,86 m, elas tm, em mdia, um peso de 80 kg.

Para uma dada amostra, obteremos pontos que no necessariamente ficam sobre a reta de regresso. Eles podem perfeitamente cair fora da reta de regresso por causa de um erro aleatrio ( ). De fato, para o exemplo acima, nenhuma das cinco pessoas com altura de 1,86 tinha peso exatamente igual a 80 kg. A reta de regresso s nos informa valores mdios, em torno dos quais giram os valores da populao.

Dizendo de outro modo: o que a reta de regresso indica, no caso de 86,1=X que, se tivssemos acesso a toda a populao de pessoas com 1,86 m de altura, o peso de tais

pessoas teria mdia 80 kg e varincia igual a 2 .

Assim, quando a altura (= X) vale 1,86, os valores de peso giram em torno de 80. No caso desta amostra, eles foram iguais a 70,67; 71,01; 79,91 76,79; 83,69. Os valores de peso esto dispersos em torno de 80 kg.

Quando afirmamos que a varivel tem varincia constante, queremos dizer que, se pudssemos analisar toda a populao de pessoas com altura de 1,86 m, os pesos destas

pessoas teria mdia 80 kg e varincia 2 .

Mudemos de ponto. A reta de regresso passa pelo ponto (1,90; 84). Ou seja, 84=Y kg quando 90,1=X m.

Assim, quando 90,1=X m, temos que os valores de Y vo girar em torno de 84 kg. Eles estaro dispersos em torno de 84 kg, tambm com varincia 2 (pois a varincia considerada constante). Tendo acesso toda a populao de pessoas com altura 1,90 m,

verificaramos que o peso destas pessoas tem mdia 84 kg e varincia 2 .

E assim por diante. Ou seja, para qualquer valor de X que adotarmos, os valores de Y

correspondentes tero varincia 2 e mdia dada pela reta de regresso.

O problema que, em geral, temos acesso apenas a uma amostra. No conhecemos a real reta de regresso. No conhecemos a reta laranja da Figura 3. Neste caso, tentaremos encontrar uma reta que, considerando apenas a amostra que temos disposio, seja a melhor estimativa para a reta real de regresso. Para tanto, voltemos ao nosso diagrama de disperso.



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Figura 5 Retas para representar a relao linear

Desenhei duas retas (uma verde e uma vermelha) que poderiam representar a relao linear entre peso e altura. Qual delas escolher? A verde? A vermelha? Nenhuma? Ser que existe outra reta que representa melhor a relao linear entre peso e altura?

Lembrem-se de que estamos procurando, a partir da amostra conhecida (valores dos pontos azuis da figura acima), encontrar uma estimativa para a reta de regresso.

O mtodo que estamos estudando para encontrar a melhor reta de regresso chamado de mtodos de mnimos quadrados. A funo de primeiro grau que pretendemos encontrar da forma:

ii bXaY +=

Onde a uma estimativa de , b uma estimativa de e Y uma estimativa de Y . Suponhamos que a reta vermelha da Figura 5 seja a reta que representa melhor a relao linear, obtida a partir do mtodo de mnimos quadrados. Ela a nossa reta calculada, a partir da amostra.

Como obt-la? Basta pegar os valores de X e Y da amostra e calcular:

( ) ( )[ ]( )2

=

XX

YYXXb

i

ii

XbYa =



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Figura 6 Reta de regresso obtida por mnimos quadrados

Lembrem-se de que a reta laranja (Figura 3) a reta de regresso que ns no conhecemos e que representa adequadamente a populao. A reta vermelha da Figura 6 a reta obtida, a partir dos valores pesquisados (pontos azuis da mesma Figura 6), numa tentativa de aproximar a real reta de regresso (reta laranja). Elas podem ser iguais ou no.

Vamos identificar todos os elementos a que temos nos referido. Para tanto, vamos nos concentrar no ponto em que a altura vale 1,98 (ponto destacado, na Figura 6, com o crculo vermelho).

Na figura abaixo, temos apenas este ponto:

Figura 7 Ponto (1,98; 97,41) e reta obtida por mnimos quadrados

Para a altura 1,98 m (X=1,98), o peso obtido de 97,41 kg. Este o valor de Y.

41,9798,1 == YX

Para este valor de X (1,98) nossa reta de regresso calculada (reta vermelha) indica que a estimativa do valor de Y 92,90 kg.



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Ou seja, a estimativa de Y :

90,92 =Y

diferena entre Y e sua estimativa, chamamos desvio. O desvio, neste caso, fica:

51,490,9241,97 === YYe

Pelo mtodo de mnimos quadrados, tentamos obter uma reta de tal modo que a soma dos quadrados dos valores dos desvios seja mnima.

Repetindo: possvel demonstrar que os valores de a e b (estimadores de e ), obtidos a partir da considerao de que a soma dos quadrados dos desvios seja mnima, so:

( ) ( )[ ]( )2

=

XX

YYXXb

i

ii

XbYa = Ou seja, a partir dos valores de X e Y da amostra, obtemos os valores de a e b descritos

acima. A partir deles, construmos a reta ii bXaY += , que a reta vermelha da Figura 6.

1.5. Igualdades envolvendo somatrio

Para resolver alguns problemas de regresso linear, pode ser til conhecer algumas igualdades envolvendo somatrios, resumidas no quadro abaixo:

Quadro 4 Igualdades envolvendo somatrio

Transformaes importantes:

( ) ( )[ ] ( ) YXnYXYYXX ni

ii

n

iii =

== 11

( ) ( ) 21

2

1

2XnXXX

n

ii

n

ii =

==

( ) ( ) 21

2

1

2YnYYY

n

ii

n

ii =

==

Alguns livros tentam simplificar um pouco a escrita. Para tanto, eles representam por letra minscula a diferena entre uma varivel e sua mdia.

Exemplo:

= =



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Com isso, as transformaes do quadro acima podem ser reescritas:

=

=

=

E as frmulas para e ficam:

= =

1.6. Calculando a reta de regresso

At aqui dei resultados prontos, s para que pudssemos entrar em contato com os conceitos envolvidos na regresso. Agora vamos, de fato, fazer contas.

Para praticar, vamos calcular a reta de regresso para o caso dos quatro alunos que fizeram as provas de fsica e matemtica (exemplo utilizado no tpico de correlao). Vamos considerar que estes 4 alunos so uma amostra de um conjunto maior de estudantes que se submeteram tal prova.

As notas desses alunos so:

Aluno Nota de matemtica ( )X

Nota de fsica ( )Y

1 2 6

2 6 7

3 8 7

4 10 8

Mdia 6,5 7

Estamos supondo que a populao de notas de fsica da qual foram tiradas as notas acima pode ser descrita segundo o seguinte modelo:

iii XY ++= Ou seja, estamos supondo que existe uma relao entre as notas de matemtica e fsica. A parcela um erro aleatrio. Engloba todas outras variveis (distintas da nota em matemtica) que influenciam na nota de fsica.

A partir destes valores de notas, construmos o quadro abaixo:



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Aluno X Y XX YY ( ) XX ( )YY ( )2XX ( )2YY 1 2 6 -4,5 -1 4,5 20,25 1

2 6 7 -0,5 0 0 0,25 0

3 8 7 1,5 0 0 2,25 0

4 10 8 3,5 1 3,5 12,25 1

TOTAL 8 35 2

Vamos calcular os coeficientes a e b .

( ) ( )[ ]( )2

=

XX

YYXXb

i

ii

23,0358

=b

XbYa =

51,55,63587 =a

E a reta de regresso estimada (calculada) fica:

XY 23,051,5 +=

Repare que no sabemos se esta a real reta de regresso. Mas, a partir dos valores de nossa amostra, esta a nossa estimativa para a reta de regresso. uma reta tal que a soma dos quadrados dos desvios mnima. Lembrando que o desvio corresponde

diferena entre valor observado (Y ) e sua estimativa (Y ).

A tabela abaixo mostra os valores estimados da nota de fsica, dados os valores da nota de matemtica.

Aluno Nota de matemtica ( )X

Nota de fsica observada ( )Y

Nota de fsica estimada ( )Y 1 2 6 5,97

2 6 7 6,89

3 8 7 7,34

4 10 8 7,80

Plotando estes valores num grfico, ficamos com:



AFRFB e AFT


Figura 8 Reta de regresso estimada

A reta em vermelho tal que a soma dos quadrados dos desvios em relao s notas de fsica realmente obtidas mnima. a nossa reta estimada (calculada).

O modelo de regresso :

iii XY ++= Como no temos acesso populao inteira, no sabemos quais os valores de e . Temos condies apenas de estim-los (obtendo a e b ) Com isso, a reta de regresso estimada :

ii bXaY +=

Ou seja, a e b so estimadores para e . So estimadores no viciados. Isto porque, obedecidas algumas condies (aquelas que indicamos anteriormente: 0)( =iE ;

2)( =iV e 0),cov( =ji , para ji ), possvel demonstrar que: =)(bE e =)(aE

Questo 1 PETROBRAS 2008/2 [CESGRANRIO]

Na estimativa de uma regresso linear, o problema da heterocedasticidade ocorre quando

(A) os dados so transversais.

(B) h autorrelao dos resduos.

(C) h correlao positiva entre as variveis independentes.

(D) a varincia dos erros no constante.

(E) as variveis independentes so negativas.



AFRFB e AFT


Resoluo.

Vimos que uma das hipteses do modelo que a varincia dos erros seja constante (homocedasticia). Se a varincia dos erros no constante, temos a heterocedasticidade.

Gabarito: D

Questo 2 BACEN 2006 [FCC]

Uma empresa, com finalidade de determinar a relao entre gastos anuais com propaganda (X), em R$ 1.000,00 e o lucro bruto anual (Y), em R$ 1.000,00, optou por utilizar o modelo

linear simples iii XY ++= , em que iY o valor do lucro bruto auferido no ano i e i o erro aleatrio com as respectivas hipteses consideradas para a regresso linear simples ( e so parmetros desconhecidos). Considerou, para o estudo, as seguintes informaes referentes s observaes nos ltimos 10 anos da empresa:

10010

1=

=iiY ; 60

10

1=

=iiX ; 650= ii YX ; ( ) 400

10

1

2=

=iiX ; ( ) 1080

10

1

2=

=iiY

Utilizando a equao da reta obtida pelo mtodo dos mnimos quadrados, tem-se que, caso haja um gasto anual com propaganda de 80 mil reais, a previso do lucro bruto anual, em mil reais, ser de:

a) 84

b) 102,5

c) 121

d) 128,4

e) 158

Resoluo.

As hipteses que o enunciado disse que foram obedecidas so aquelas que indicamos

anteriormente - 0)( =iE ; 2)( =iV e 0),cov( =ji , para ji . Para calcular a previso, precisamos encontrar os valores de a e b do modelo de regresso.

( ) ( )[ ]( )2

=

XX

YYXXb

i

ii

( )( ) 22 XnX

YXnYXb

i

ii

=

261040010610650

=b



AFRFB e AFT


25,14050

360400600650

==

=b

E o valor de a fica:

XbYa =

5,25,710106025,1

10100

===a

Portanto, o modelo de regresso :

ii bXaY +=

ii XY 25,15,2 +=

Quando 80=iX , a estimativa do lucro bruto fica:

5,1028025,15,2 =+=iY

Gabarito: B.

Outra questo bem parecida:


Uma empresa, com finalidade de determinar a relao entre gastos anuais em pesquisa e desenvolvimento (X), em milhares de reais, e o acrscimo anual nas vendas (Y), tambm em

milhares de reais, optou por utilizar o modelo linear simples iii XY ++= , em que iY o acrscimo nas vendas no ano i e i o erro aleatrio com as respectivas hipteses

consideradas para a regresso linear simples ( e so parmetros desconhecidos). Considerou, para o estudo, as seguintes informaes referentes s observaes nos ltimos 10 anos da empresa:

16010

1=

=iiY ; 100

10

1=

=iiX ; 1900= ii YX ; ( ) 1200

10

1

2=

=iiX ; ( ) 3060

10

1

2=

=iiY

Utilizando a equao da reta obtida pelo mtodo dos mnimos quadrados, obteve-se, para um determinado gasto em pesquisa e desenvolvimento, uma previso de acrscimo nas vendas no valor de 19 mil reais. O valor que se considerou para o gasto com pesquisa e desenvolvimento, em mil reais, foi:

a) 14

b) 13,75

c) 13,0

d) 12,4

e) 12,0



AFRFB e AFT


Resoluo.

Para calcular a previso, precisamos encontrar os valores de a e b do modelo de regresso.

( ) ( )[ ]( )2

=

XX

YYXXb

i

ii

( )( ) 22 XnX

YXnYXb

i

ii

=

5,1200300

1010200.1101610900.12 ==

=b

E o valor de a fica:

XbYa =

11516101005,1

10160

===a

Portanto, o modelo de regresso :

ii bXaY +=

ii XY 5,11 +=

Quando 19 =iY , o valor de iX :

iX+= 5,1119

125,1

18==iX

Gabarito: E.

Questo 4 SEFAZ SP 2006 [FCC]

Em um determinado pas, deseja-se determinar a relao entre a renda disponvel (Y), em bilhes de dlares, e o consumo (C), tambm em bilhes de dlares. Foi utilizado o modelo

linear simples iii YC ++= , em que Ci o consumo no ano i, Yi o valor da renda disponvel no ano i e i o erro aleatrio com as respectivas hipteses para a regresso

linear simples, e so parmetros desconhecidos, cujas estimativas foram obtidas atravs do mtodo dos mnimos quadrados. Para obteno desta relao considerou-se ainda as seguintes informaes colhidas atravs da observao nos ltimos 10 anos:



AFRFB e AFT


=

=

10

190

iiC ,

=

=

10

1100

iiY ,

=

=

10

1100.1

iiiCY ,

=

=

10

1

2 250.1i

iY , =

=

10

1

2 010.1i

iC

Para o clculo do coeficiente de correlao de Pearson (r), usou-se a frmula:

)()(),cov(

CDPyDPCY

r

= em que ),cov( CY a covarincia entre Y e C, )(YDP o desvio padro de Y e )(CDP o desvio padro de C. Ento:

a) obtendo para um determinado ano uma previso para o consumo de 10 bilhes de dlares, significa que a renda disponvel considerada foi de 12,5 bilhes de dlares.

b) o valor da estimativa encontrado para o parmetro igual a 0,4 c) o valor da estimativa encontrado para o parmetro igual a 10.

d) o coeficiente de explicao r2 correspondente 64%.

e) utilizando a equao da reta obtida pelo mtodo dos mnimos quadrados, tem-se que, em um ano, caso a renda disponvel seja igual a 15 bilhes de dlares, o consumo ser igual a 13 bilhes de dlares.

Resoluo.

Vamos encontrar os valores de a e b.

( ) ( )[ ]( )2

=

XX

YYXXb

i

ii

( )( ) 22 XnX

YXnYXb

i

ii

=

S que aqui, no lugar de X temos Y. E no lugar de Y temos C.

( )( ) 22 YnY

YCnCYb

i

ii

=

8,0250200

1010250.110910100.12 ==

=b

Assim, a estimativa para o parmetro igual a 0,8. A letra B est errada. XbYa =

S que aqui, em vez de X temos Y e em vez de Y temos C.

YbCa = 1108,09 ==a

A estimativa do parmetro igual a 1. A letra C est errada.



AFRFB e AFT


Se para um determinado ano a previso de consumo for de 10 bilhes, ento a renda considerada foi:

bYaC += Y8,0110 +=

( ) 25,118,0

110=

=Y

A letra A tambm est errada.

Caso a renda disponvel seja de 15 bilhes, o consumo ser:

bYaC += 13158,01 =+=C

A letra E est correta.

Gabarito: E.

Questo 5 TCE/MG 2007 [FCC]

Um estudo realizado em uma empresa sobre a relao entre o lucro bruto anual (Y), em milhares de reais, e os gastos anuais com propaganda (X), tambm em milhares de reais,

indica que uma boa opo a utilizao do modelo linear simples iii XY ++= , em que iY o lucro bruto no ano i, iX representa os gastos com propaganda no ano i, i o

erro aleatrio com as respectivas hipteses consideradas para a regresso linear e e so parmetros desconhecidos. por meio do mtodo dos mnimos quadrados obteve-se o valor de 150 para a estimativa do parmetro , considerando as seguintes informaes obtidas pelas observaes nos ltimos 10 anos:

500.210

1=

=iiY 400

10

1=

=iiX

Utilizando a equao da reta obtida pelo mtodo dos mnimos quadrados, caso a empresa almeje obter em um determinado ano um lucro bruto de 450 mil reais, deve apresentar um total de gastos com propaganda, em mil reais, de:

a) 60

b) 80

c) 120

d) 160

e) 200

Resoluo.



AFRFB e AFT


Podemos calcular as mdias de X e Y.

25010500.2

10

10

1===

=i

iYY

4010400

10

10

1===

=i

iXX

Sabemos que a estimativa de dada por:

XbYa =

XbY =150 5,240250150 == bb

A reta de regresso fica:

ii bXaY +=

ii XY += 5,2150

Para obter um lucro de 450 mil reais, temos:

1205,2150450 =+= ii XX

Gabarito: C.

Questo 6 SEAD/PM Santos/2005 [FCC]

Para resolver questo seguinte, considere que foi realizado um estudo em um pas com a finalidade de se determinar a relao entre a Renda Disponvel (Y), em milhes de dlares, e o consumo (C), tambm em milhes de dlares.

Sabe-se que foi utilizado o modelo linear simples iii ebYaC ++= , em que Ci o consumo no ano i, Yi a renda disponvel no ano i e ie o erro aleatrio com as respectivas hipteses

consideradas para a regresso linear simples.

Este estudo apresentou as seguintes informaes colhidas atravs da observao nos ltimos 10 anos:

80010

1=

=iiC 000.1

10

1=

=iiY 600.83

10

1=

=iiiCY 000.105

10

1

2=

=iiY 240.67

10

1

2=

=iiC

A equao da reta ajustada pelo mtodo dos mnimos quadrados encontrada foi:

a) ii YC += 60,020

b) ii YC += 70,010

c) ii YC += 72,08

d) ii YC += 74,06



AFRFB e AFT


e) ii YC += 76,04

Resoluo.

Ns temos representado os parmetros do modelo por e . E representamos suas estimativas por a e b . Pois bem, neste exerccio os parmetros esto sendo chamados de a e b . Vamos chamar suas estimativas de a e b .

Outra mudana nos nomes a que segue. Geralmente chamamos a varivel independente de X e a dependente de Y. Aqui elas foram trocadas, respectivamente, por Y e C.

( ) ( )[ ]( )2

=

YY

CCYYb

i

ii

( )( ) 22 YnY

CYnCYb

i

ii

=

72,010010000.105

8010010600.83

2 =

=b

E com isso j d para marcar a letra C.

De todo modo, vamos encontrar a estimativa de a

810072,080 === YbCa

A reta de regresso fica:

ii YC += 72,08

Gabarito: C.

Questo 7 TJ PAR 2009 [FCC]

Em uma determinada empresa realizado um estudo sobre a relao entre os gastos com publicidade, em R$ 1.000,00, e o acrscimo no faturamento anual, em R$ 1.000,00. Foi escolhido para anlise o modelo linear simples Yi = + Xi + i, sendo que Yi o acrscimo no faturamento do ano i, Xi representa os gastos com publicidade no ano i e i o erro aleatrio com as respectivas hipteses consideradas para a regresso linear simples ( e so parmetros desconhecidos ). Para obteno das estimativas de e utilizou-se o mtodo dos mnimos quadrados com base nas informaes dos ltimos 10 anos da empresa, ou seja:



AFRFB e AFT


18010

1=

=iiY ; 100

10

1=

=iiX ; 912.1

10

1=

=

ii

iYX ; 080.110

1

2=

=iiX ; 440.3

10

1

2=

=iiY

Utilizando a equao da reta obtida pelo mtodo dos mnimos quadrados, tem-se que se a empresa almejar um acrscimo no faturamento, em um determinado ano, de R$ 25.000,00 dever apresentar, neste perodo, um total em gastos com publicidade de

(A) R$ 20.000,00.

(B) R$ 18.000,00.

(C) R$ 17.000,00.

(D) R$ 16.000,00.

(E) R$ 15.000,00.

Resoluo:

Vamos mais rapidamente?

4,11000108018001912

=

=b

4104,118 ==a

Modelo:

XY 4,14 +=

154,1425 =+= XX

Gabarito: E

Questo 8 TJ PI 1009 [FCC]

Considere que foi obtido atravs do mtodo dos mnimos quadrados o ajustamento do

modelo iii XY ++= , em que i corresponde a i-sima observao, e so parmetros desconhecidos e i o erro aleatrio, com as respectivas hipteses consideradas

para a regresso linear simples. Foi utilizada uma amostra aleatria com 100 pares de

observaes (Xi, Yi), i = 1, 2, 3, . . . , 100; obtendo-se para a estimativa de o valor de 2,5. O valor da mdia das observaes Xi foi igual a 30 e de Yi igual a 100.

O valor encontrado da estimativa de foi igual a

(A) 70.

(B) 50.

(C) 40.

(D) 25.

(E) 20.



AFRFB e AFT


Resoluo:

=

= 100 2,5 30

= 100 75 = 25

Gabarito: D

Questo 9 TJ PI 1009 [FCC]

Considere que foi obtido atravs do mtodo dos mnimos quadrados o ajustamento do

modelo iii XY ++= , em que i corresponde a i-sima observao, e so parmetros desconhecidos e i o erro aleatrio, com as respectivas hipteses consideradas

para a regresso linear simples. Foi utilizada uma amostra aleatria com 100 pares de

observaes (Xi, Yi), i = 1, 2, 3, . . . , 100; obtendo-se para a estimativa de o valor de 2,5. O valor da mdia das observaes Xi foi igual a 30 e de Yi igual a 100.

Utilizando a equao da reta obtida pelo mtodo dos mnimos quadrados, tem-se que para um valor estimado de 115 para Y, o valor correspondente de X

(A) 24.

(B) 36.

(C) 46.

(D) 48.

(E) 52.

Resoluo:

No exerccio anterior vimos que a estimativa de 25.

Assim, a reta obtida pelo mtodo dos mnimos quadrados fica:

= +

Para Y estimado em 115, temos:

115 = 25 + 2,5

115 25 = 2,5

=90

2,5= 36

Gabarito: B

Questo 10 SEFAZ SP 2009 [FCC]

O grfico abaixo demonstra a evoluo da receita tributria anual no estado de So Paulo desde 1999, com os valores arrecadados em bilhes de reais.



AFRFB e AFT


Para estimar a receita tributria em um determinado ano com base no comportamento

sugerido pelo grfico, adotou-se o modelo tt tY ++= ; t = 1, 2, 3 ..., sendo )ln( tt RTY = Yt = ln (RTt), em que RTt a receita tributria no ano (1998+t) em bilhes de reais e ln o logaritmo neperiano ( eln = 1). e so parmetros desconhecidos e t o erro aleatrio com as respectivas hipteses consideradas para o modelo de regresso linear simples. Utilizando o mtodo dos mnimos quadrados, com base nas observaes de 1999 a 2008,

obteve-se para a estimativa de o valor de 0,12, sabendo-se que:

0,3910

1=

=ttY

A previso da receita tributria para 2009, em bilhes de reais, em funo da equao obtida pelo mtodo dos mnimos quadrados igual a

(A) e4,58

(B) e4,56

(C) e4,44

(D) e4,32

(E) e4,20

Resoluo:

A mdia de Y pode ser calculada a partir do somatrio fornecido:

=39

10= 3,9

A mdia de t igual a 5,5 (mdia dos nmeros naturais de 1 at 10).



AFRFB e AFT


= 5,5

Logo:

=

= 3,9 0,12 5,5

= 3,24

Portanto:

= +

= 3,24 + 0,12 11 = 4,56

Sabemos que:

= ln

Logo:

=

Portanto, a estimativa da receita tributria ser:

,

Gabarito: B

Questo 11 MP RO 2005 [CESGRANRIO]

Considere os dados amostrais de um estudo da relao entre o nmero de anos que os candidatos a empregos em um determinado banco comercial estudaram ingls na faculdade e as notas obtidas em um teste de proficincia nessa lngua.

Com base nessas informaes, a reta de mnimos quadrados que melhor explica a relao entre o nmero de anos de estudo e a nota do teste de ingls igual a:

(A) y = 1,33 + 3,56x

(B) y = 2,25 + 1,32x



AFRFB e AFT


(C) y = 6,97 + 3,56x

(D) y = 35,32 + 10,9x

(E) y = 254,56 + 13,3x

Resoluo.

Nas questes anteriores, o enunciado sempre fornecia diversos somatrios, para facilitar o trabalho braal. Isto no aconteceu nesta questo. Ou seja, para calcular a reta de regresso, precisaramos fazer todas as contas na mo, o que toma muito tempo.

Talvez por este motivo a questo apresente alternativas muito diferentes entre si.

Observem que, para qualquer valor de x entre 2 e 5, y no supera 10. J podemos descartar as alternativas C, D, E, que prevem valores altos para y (muito superiores a 10), mesmo quando x baixo.

Para se ter uma idia, considere a letra E. Se fizermos x igual a 1, y ser aproximadamente igual a 270, algo totalmente incompatvel com a tabela fornecida.

Ficamos entre as alternativas A e B. Para escolher entre ambas, vamos trabalhar com os valores extremos de x. Quando x igual a 2, as retas das letras A e B prevem os seguintes valores para y:

Letra A: 8,45

Letra B: 4,89

Observem que o valor da Letra B muito mais prximo dos valores que y realmente assume, quando x igual a 2. J d para marcar letra B.

Se voc ainda ficar em dvida, pode fazer o mesmo teste para x igual a 5. Neste caso, as estimativas seriam:

Letra A: 19,13

Letra B: 8,85

Novamente, a estimativa da letra B foi bem melhor.

Gabarito: B

Questo 12 PETROBRAS 2008 [CESGRANRIO]

A tabela abaixo mostra as demandas que ocorreram numa determinada produo.



AFRFB e AFT


Com base nos conceitos de Regresso Linear Simples, quantas unidades compem a demanda para julho?

(A) 4.000

(B) 5.000

(C) 6.000

(D) 7.000

(E) 8.000

Resoluo.

Outra questo que no forneceu somatrios. A vantagem agora que os nmeros envolvidos so pequenos (isto no evita o trabalho braal, mas pelo menos deixa as contas um pouquinho mais tranqilas).

Vamos dar nmeros para os meses do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, e assim por diante).

Para facilitar ainda mais nossos clculos, vamos indicar a demanda em mil unidades.

X Y XY

1 11 11

2 21 42

3 17 51

4 14 56

5 7 35

6 5 30

total 21 75 225

Temos:

= 21iX

=+++++= 913625169412

iX

225= XY

5,3621

==X



AFRFB e AFT


==

675Y 12,5

Logo:

( ) ( )[ ]( )2

=

XX

YYXXb

i

ii

14,25,3691

5,125,36225222

=

=

=

XnX

YXnXYb

XbYa = =+= 5,314,25,12a 20

Deste modo, quando 7=X , a estimativa da demanda fica:

== 714,220Y 5,02

Gabarito: B

Questo 13 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

Considere o modelo de regresso linear

++= ii XY , i = 1, 2, ..., 25 Onde os iY representam observaes da varivel resposta Y, os iX representam observaes da varivel exgena X, e os i so erros no correlacionados com distribuio

comum normal com mdia zero e varincia 9. Em repetidas amostras do modelo, dado iX , assinale a opo que d a proporo esperada de observaes de Y que diferem em valor absoluto de sua mdia por no mximo 1,5. Em sua resposta faa uso da tabela da funo de distribuio )(X da normal padro dada abaixo.

X )(X 0,40 0,655

0,50 0,691

1,00 0,841

1,50 0,933

a) 0,650

b) 0,950

c) 0,933

d) 0,382

e) 0,975



AFRFB e AFT


Resoluo.

Para um dado valor iX , iY dado por:

++= ii XY A esperana de Yi fica:

( ) ( ) )()()( EXEEXEYE iii ++=++= Como a esperana de igual a zero e os demais termos so constantes, ficamos com:

ii XYE +=)( Isto equivale a dizer que a mdia de Y est justamente sobre a reta de regresso.

Para um dado valor de iX , a varincia de Yi fica:

++= ii XY ( ) ( ) ( ) VXVVYV ii ++=)(

A varincia de igual a 9 (dada no exerccio). Os demais termos so constantes (varincia zero).

( ) 9)( == VYV i Isto equivale a dizer que a varincia de Y, para um valor de X dado, igual varincia da varivel .

Assim, a varivel Yi gira em torno de sua mdia com varincia 9. Como o exerccio disse que tem distribuio normal, os valores de Yi giram em torno de sua mdia segundo uma distribuio normal de varincia 9.

Gostaramos de saber o percentual de valores de Y que est a uma distncia de, no mximo, 1,5 da mdia. Precisaramos consultar a tabela de reas da varivel normal para o valor

++ iX 1,5. Contudo, a tabela fornecida no exerccio s para a varivel reduzida (= padro).

Precisamos utilizar a varivel reduzida:

)( ii YEYZ =

Sabemos que a varincia 9.

392 ==

5,035,1

35,1

==

+++=

ii XXZ

Portanto, consultamos a tabela para o valor 0,5.

Da tabela, temos que 69,10% dos valores de Z so menores ou iguais a 0,5.



AFRFB e AFT


Portanto, 30,90% dos valores so superiores a 0,5. Como a varivel normal tem funo densidade de probabilidade simtrica, 30,90% dos valores so inferiores a -0,5.

Figura 9 rea verde: percentual de valores da varivel Z entre -0,5 e 0,5

Resulta que 38,2% dos valores esto entre -0,5 e 0,5.

A proporo esperada de valores de Z que distam no mximo 0,5 de sua mdia igual a 38,2%.

O mesmo se aplica aos valores de Y que lhes so correspondentes. 38,2% dos valores de Y distam no mximo 1,5 de sua mdia.

Gabarito: D.

Questo 14 MPOG 2006 [ESAF]

Com o objetivo de estimar-se o modelo Y = + X, foi retirada uma amostra com cinco pares de observaes (X,Y), obtendo-se os seguintes resultados:

Desse modo,

a) Y = 2 2X

b) Y = 2 2X

c) Y = 2X

d) Y = 2 + 2X



AFRFB e AFT


e) Y = 2 + 2X

Resoluo:

( )( ) 210

204555120140

3555835140

222==

=

=

=

XnX

YXnYX

i

ii

2328 === XbY

Assim, Y = + X=2+2x Gabarito: D

1.7. Reta de regresso passando pela origem

H outro modelo de regresso ligeiramente diferente do que vimos at aqui, em que se faz com que a reta passe pela origem. Este segundo modelo usado em casos excepcionais, quando h alguma razo terica que nos indique ser esse o modelo mais adequado.

Vamos ver como ficaria este segundo modelo, por meio do exerccio a seguir.

Questo 15 TCU/2008 [CESPE]

Uma agncia de desenvolvimento urbano divulgou os dados apresentados na tabela

a seguir, acerca dos nmeros de imveis ofertados (X) e vendidos (Y) em determinado municpio, nos anos de 2005 a 2007.

Ano Nmero de imveis

Ofertados (X) Vendidos (Y)

2005 1.500 100

2006 1.750 400

2007 2.000 700

Considerando as informaes do texto, julgue o item subseqente.

A estimativa do valor do coeficiente da reta de regresso XY = , em que Y representa o nmero esperado de imveis vendidos para uma quantidade X de imveis ofertados, superior a 0,23 e inferior a 0,26.

Resoluo.



AFRFB e AFT


Seja a a estimativa de . Seja Y a estimativa de Y . Dados os valores de X , as estimativas de Y ficam:

aXY =

O desvio fica:

YYe =

aXYe =

Somando os quadrados de todos os desvios, num conjunto de n observaes:

=22 )( aXYe

E queremos achar o valor de a que minimiza esta soma. possvel demonstrar que a estimativa de a que minimiza a soma dos quadrados dos desvios dada por:

= )(

)(2X

XYa

TOME NOTA!!!

Reta de regresso passando pela origem

Modelo: += XY

A estimativa de dada por:

= )(

)(2X

XYa

Esta a frmula que temos que usar.

Ano X Y YX 2X 2005 1.500 100 150.000 2.250.000

2006 1.750 400 700.000 3.062.500

2007 2.000 700 1.400.000 4.000.000

TOTAL 5.250 1200 2.250.000 9.312.500

= )(

)(2X

XYa

242,0500.312.9000.250.2

=a

Item correto.

Gabarito: certo



AFRFB e AFT


Questo 16 MP RONDNIA 2005 [CESGRANRIO]

No modelo de regresso += XY , o estimador de mnimos quadrados de :

Resoluo.

Aqui, o coeficiente de angular da reta de regresso est sendo chamado de (quando, no exerccio anterior, foi chamado de ).

Trata-se de aplicao direta da frmula estudada.

Gabarito: C

2. ANLISE DE VARINCIA DA REGRESSO

Um teste de hipteses muito comum aquele que testa a hiptese nula de que o coeficiente da reta de regresso nulo. Caso a hiptese nula seja verdadeira, temos que a reta de regresso horizontal.

Relembrando o significado da reta de regresso. Para cada valor de X ns temos uma sub-

populao de valores de Y, com mdia dada pela reta de regresso e varincia 2 .

Se a reta horizontal, ento todas as sub-populaes tero a mesma mdia.

Aula passada ns vimos uma ferramenta para testar se a mdia de diferentes populaes so iguais entre si. Esta ferramenta era a anlise de varincia.

Como testar a hiptese de ser igual a zero equivale a testar a hiptese de as varais populaes tm a mesma mdia, ento podemos usar a anlise de varincia para isso. Vamos ver como fica.

2.1. Somas de quadrados

Quando utilizamos a regresso linear, obtemos iY , que uma estimativa para Y . A diferena entre estas duas grandezas o desvio.

iii YYe =



AFRFB e AFT


Rearranjando os termos:

iii YeY +=

Subtraindo Y dos dois lados:

YYeYY iii +=

Elevando ao quadrado:

( ) ( )22 YYeYY iii += ( ) ( ) ( )YYeYYeYY iiiii ++= 2 222

Somando as parcelas acima para todos os valores de i:

( ) ( ) ( )[ ] ++= YYeYYeYY iiiii 2 222 possvel demonstrar que ( ) 0][ = YYe ii . Portanto:

( ) ( ) += 222 YYeYY iii E o que que temos a em cima? Temos somas de quadrados.

Cada uma destas parcelas recebe um nome especial:

( ) 2YYi soma de quadrados total (S.Q.Total)

2ie soma de quadrados dos resduos (S.Q.Resduos)

( ) 2 YYi soma de quadrados do modelo de regresso (S.Q.Regresso) corresponde Soma de quadrado de tratamentos, vista na aula passada.

Portanto:

siduosSQgressaoSQSQTotal ReRe += possvel demonstrar que:

( )( )[ ] = YYXXbgressaoSQ Re Onde b a estimativa do coeficiente angular da reta de regresso.

TOME NOTA!!!

Resumo das somas de quadrados

siduosSQgressaoSQSQTotal ReRe +=

( )( )[ ] = YYXXbgressaoSQ Re



AFRFB e AFT


Vamos calcular cada um destes valores para aqueles 4 alunos que fizeram as provas de fsica e matemtica.

Aluno Nota de matemtica

( )X Nota de fsica

( )Y 1 2 6

2 6 7

3 8 7

4 10 8

Mdia 6,5 7

Nesta aula fizemos o modelo de regresso linear para, a partir das notas de matemtica, estimar as notas de fsica. O resultado foi:

Aluno Nota de matemtica

( )X Nota de fsica

( )Y Nota de fsica estimada ( )Y

1 2 6 5,97

2 6 7 6,89

3 8 7 7,34

4 10 8 7,80

A partir dos valores acima, podemos montar o quadro abaixo:

Nota de fsica

( )Y Nota de fsica estimada ( )Y ( )

22YYe = ( )2 YY ( )2YY

6 5,97 0,0009 1,0609 1

7 6,89 0,0121 0,0121 0

7 7,34 0,1156 0,1156 0

8 7,80 0,04 0,64 1

TOTAL 0,1686 1,8286 2

Da ltima linha da tabela, temos:

2=SQTotal 8286,1Re =gressaoSQ 1686,0Re =siduosSQ

Note que:

( ) ( ) += 222 YYeYY iii Ou ainda:



AFRFB e AFT


siduosSQgressaoSQSQTotal ReRe += Na verdade, substituindo os valores, obtemos:

9972,12 =

A diferena se deve aos arredondamentos (os valores apresentados para as notas de fsica estimada esto arredondados).

2.2. Quadrados mdios e estatstica F

A anlise de varincia, aplicada reta de regresso, serve para testar a hiptese de que igual a zero.

Vimos que, para cada valor de X, ns temos uma populao de valores de Y que gira em torno da reta de regresso. Caso a reta seja horizontal, todas as populaes de valores de Y giraro em torno do mesmo valor. Todas elas tero a mesma mdia.

Logo, as somas de quadrados de desvios, acima definidas, podem ser usadas para testar a hiptese de que o coeficiente igual a zero. A hiptese nula ( 0= ) nada mais que supor que a reta de regresso horizontal. Ou seja, a hiptese de que todas as sub-populaes de Y provm, na verdade, de uma nica populao (ou seja, apresentam mesma mdia e mesma varincia). E vimos na aula passada que a anlise de varincia pode ser utilizada justamente para isso. Basta calcular a estatstica F, com base nos quadrados mdios.

No caso da regresso linear, temos:

( ) 2YYi SQTotal 1n graus de liberdade

2ie siduosSQ Re 2n graus de liberdade

( ) 2 YYi gressaoSQ Re 1 grau de liberdade

E os quadrados mdios ficam assim.

Quadrado mdio total: 1

=

n

SQTotalQMTotal

Quadrado mdio dos desvios: 2

ReRe

=

n

siduosSQsiduosQM

Quadrado mdio do modelo de regresso: 1

ReRe gressaoSQgressoQM =

Para o caso dos alunos que fizeram as provas de fsica e matemtica, temos:

32

142

=

=QMTotal



AFRFB e AFT


=

=

241686,0Re siduosQM 0,0843

8286,11

8286,1Re ==gressaoQM

E a estatstica F fica:

===

0842,08286,1

ReRe

_

siduosQMgressaoQM

testeF 21,71

2.3. Coeficiente de determinao

As somas de quadrados servem para definir uma grandeza conhecida como coeficiente de determinao da regresso linear.

Ele dado por:

SQTotalgressaoSQ

rRe2

=

Esta grandeza, no caso do modelo iii XY ++= , igual ao quadrado do coeficiente de correlao linear, estudado na aula passada.

Se a soma dos quadrados dos resduos for pequena, de tal forma que 2r se aproxime de 1,

isto significa que as diferenas entre os valores observados ( iY ) e a mdia (Y ) so quase totalmente explicados pela reta de regresso.

Se a soma dos quadrados dos resduos for grande, de tal forma que 2r se aproxime de zero, isto significa que a reta de regresso pouco explica sobre as diferenas entre os valores observados e a mdia. Ou seja, perca de tempo ficar calculando reta de regresso se ela um estimador ruim.

Como o coeficiente de correlao (r) assume valores entre -1 e 1, ento o coeficiente de determinao (r2) assume valores entre 0 e 1.


Uma empresa, com finalidade de determinar a relao entre gastos anuais com propaganda (X), em R$ 1.000,00 e o lucro bruto anual (Y), em R$ 1.000,00, optou por utilizar o modelo

linear simples iii XY ++= , em que iY o valor do lucro bruto auferido no ano i e i o erro aleatrio com as respectivas hipteses consideradas para a regresso linear simples ( e so parmetros desconhecidos). Considerou, para o estudo, as seguintes informaes referentes s observaes nos ltimos 10 anos da empresa:

10010

1=

=iiY ; 60

10

1=

=iiX ; 650= ii YX ; ( ) 400

10

1

2=

=iiX ; ( ) 1080

10

1

2=

=iiY



AFRFB e AFT


Montando o quadro de anlise de varincia, tem-se que:

a) a variao explicada, fonte de variao devido regresso, apresenta um valor igual a 80;

b) dividindo a variao residual pela variao total, obtemos o correspondente coeficiente de determinao;

c) o valor da estatstica F necessria para o teste da existncia de regresso igual ao coeficiente da diviso da variao explicada pela variao residual

d) a variao residual apresenta um valor igual a 17,5

e) a variao total apresenta um valor igual a 62,5.

[Observao: considere que voc j sabe que os coeficientes a e b so dados por: 5,2=a ; 25,1=b , conforme clculos da Questo 2]

Resoluo.

Em vez de utilizar o termo soma de quadrados, a questo est utilizando variao. Assim, fazendo a correspondncia dos termos da questo com aqueles que ns vimos:

- Soma de quadrados total: variao total

- Soma de quadrados dos resduos: variao residual

- Soma de quadrados da regresso: variao explicada (ou seja, a parte da variao total que explicada pelo modelo de regresso).

A variao total fica:

( ) = 2YYSQTotal i Utilizando a transformao que vimos:

( ) 222 YnYYYSQTotal ii == 801010080.1 2 ==SQTotal

Portanto a letra E est errada.

A variao explicada (=variao do modelo = Soma de Quadrados da Regresso) fica:

( )( )[ ] = YYXXbgressaoSQ Re Utilizando as transformaes vistas:

( )( )YXnXYbgressaoS = Re ( )( ) = YXnXYbgressaoS Re

( ) 5,625025,11061065025,1Re ===gressaoSQ Deste modo, a letra A est errada.



AFRFB e AFT


A varincia residual (=Soma de Quadrados de Resduos) igual a:

5,175,6280ReRe === gressoSQSQTotalsiduosSQ E a letra D est correta.

Vamos checar a alternativa B.

Vimos que:

SQTotalgressaoSQ

rRe2

=

A letra B pretende dizer que SQTotal

siduosSQr

Re2= , o que est errado.

Por fim, vejamos a letra C. A estatstica F dada por:

)2/(Re1/Re

ReRe

_

==

nsiduosSQgressaoSQ

siduosQMgressaoQM

testeF

A alternativa C est errada, pois afirma que a estatstica F dada por siduosSQ

gressaoSQRe

Re,

ignorando as divises pelos graus de liberdade.

Gabarito: D.

Questo 18 SEAD/PM SANTOS 2005 [FCC]

Para resolver questo seguinte, considere que foi realizado um estudo em um pas com a finalidade de se determinar a relao entre a Renda Disponvel (Y), em milhes de dlares, e o consumo (C), tambm em milhes de dlares.

Sabe-se que foi utilizado o modelo linear simples iii ebYaC ++= , em que Ci o consumo no ano i, Yi a renda disponvel no ano i e ie o erro aleatrio com as respectivas hipteses

consideradas para a regresso linear simples.

Este estudo apresentou as seguintes informaes colhidas atravs da observao nos ltimos 10 anos:

80010

1=

=iiC 000.1

10

1=

=iiY 600.83

10

1=

=iiiCY 000.105

10

1

2=

=iiY 240.67

10

1

2=

=iiC

O coeficiente de correlao r de Pearson entre as variveis Y e C obtido pela frmula:

)()(),cov(

CDPYDPYC

r

= em que:

Cov(C,Y) a covarincia entre C e Y;

DP(Y) o desvio padro de Y



AFRFB e AFT


DP(C) o desvio padro de C.

Tem-se que o valor do correspondente de determinao 2r igual a:

a) 60%

b) 72%

c) 76%

d) 80%

e) 90%

Resoluo:

Ns temos representado os parmetros do modelo por e . E representamos suas estimativas por a e b . Pois bem, neste exerccio os parmetros esto sendo chamados de a e b . Vamos chamar suas estimativas de a e b .

( ) = 2CCSQTotal i = ( ) 2

1

2 CnCn

ii

=

Portanto:

=SQTotal ( ) 240.38010240.67 221

2==

=

CnCn

ii

( )( ) = CYnYCbgressaoSQ Re ( )8010010600.83Re = bgressaoSQ

L na Questo 6 ns vimos que 72,0 =b

Logo:

( ) 592.28010010600.8372,0Re ==gressaoSQ Por fim, chegamos a:

SQTotalgressaoSQ

rRe2

=

80,0240.3592.22

==r

Gabarito: D



AFRFB e AFT


Questo 19 TCE RO 2005 [CESGRANRIO]

Avaliaes de terrenos baseiam-se, geralmente, em modelos de regresso linear nos quais o preo de venda uma funo de algumas variveis tais como o tamanho do terreno, suas condies e localizao. Uma amostra de terrenos comercializados no ltimo ms coletou dados sobre o preo da venda, em R$ 1 000,00, o tamanho do terreno, em m2, e a distncia ao centro da cidade, em km. Primeiramente obteve-se o modelo com apenas a varivel tamanho do terreno, X1, como explicativa do preo de venda. Os principais quantitativos relativos a esse modelo foram calculados como:

Considerando o quadro acima, os valores de X, Y e Z, respectivamente, so:

(A) 2826, 121 e 3,65E-07

(B) 2178, 121 e 0,77

(C) 2178, 36 e 0,77

(D) 648, 36 e 60,5

(E) 32,4, 18 e 34,1

Resoluo.

O quadrado mdio dos resduos igual a 36 (dado no enunciado).

3618

ReRe == siduosSQsiduosQM

== 3618Re siduosSQ 648 Logo:

648=X Com isso j podemos marcar a letra D.

O quadrado mdio dos resduos 36 (dado no enunciado). Portanto, Y = 36.

Prof. Vtor Menezes

A soma de quadrados total de 2826 (dado enunciado). Portanto, a soma de quadrados da regresso :

SQSQ

A estatstica F fica:

=_ QMQM

testeF

Gabarito: D

Questo 20 CAPES 2008 [CESGRANRIO]

O Coeficiente de Correlao Linear de Pearson entre os desempenhos de determinados alunos em duas avaliaes nacionais igual ada variabilidade nos resultados de uma das avaliaes explicada pela relao linear entre elas

(A) 15,6%

(B) 39,4%

(C) 71,2%

(D) 84,4%

(E) 91,8%

Resoluo.

O coeficiente de determinao o quadrado do coef

==22 844,0r 0,712

Gabarito: C




A soma de quadrados total de 2826 (dado enunciado). Portanto, a soma de quadrados da

siduosSQSQTotalgressao ReRe = == 6482826Re gressaoSQ 2178

===

362178

361/Re

ReRe gressaoSQ

siduosQMgressaoQM

60,5

CAPES 2008 [CESGRANRIO]

O Coeficiente de Correlao Linear de Pearson entre os desempenhos de determinados alunos em duas avaliaes nacionais igual a 0,844. Nesse caso, conclui-se que a proporo da variabilidade nos resultados de uma das avaliaes explicada pela relao linear entre

O coeficiente de determinao o quadrado do coeficiente de correlao.



AFRFB e AFT

.com.br 44

A soma de quadrados total de 2826 (dado enunciado). Portanto, a soma de quadrados da

60,5

O Coeficiente de Correlao Linear de Pearson entre os desempenhos de determinados se que a proporo

da variabilidade nos resultados de uma das avaliaes explicada pela relao linear entre

iciente de correlao.



AFRFB e AFT


Questo 21 PETROBRAS 2008 [CESGRANRIO]

Um modelo de regresso linear simples de Y em X, com uma varivel explicativa e o termo constante, foi estimado com 32 observaes, gerando um r2 de 0,25. No teste de validade do modelo, o F-calculado ou F-observado igual a

(A) 10

(B) 11

(C) 12

(D) 13

(E) 14

Resoluo.

SQTotalgressaoSQ

rRe2

=

SQTotalgressaoSQ Re25,0 =

25,0Re = SQtotalgressaoSQ Lembrando que:

siduosSQgressaoSQSQTotal ReRe += Logo:

SQTotalsiduosSQ = 75,0Re A estatstica F fica:

1030/75,0

25,0)232/(Re

1/ReRe

Re_ =

=

==

SQTotalSQtotal

siduosSQgressaoSQ

siduosQMgressaoQM

testeF

Gabarito: A

Questo 22 BNDES 2008/2 [CESGRANRIO questo adaptada]

Um experimento foi realizado com o objetivo de estimar o preo de uma ao, dado o seu valor patrimonial, ambos em reais.

Uma amostra de aes negociadas recentemente forneceu dados sobre o preo e o valor patrimonial por ao. Aplicou-se o modelo de regresso linear simples ++= XY . Alguns resultados da tabela da anlise da varincia, obtida a partir dos dados dessa amostra, esto apresentados a seguir.



AFRFB e AFT


Julgue os itens abaixo:

I O coeficiente de determinao mostra que o modelo proposto explica aproximadamente 63% da variabilidade total.

II O valor da estatstica Fcalculado 100, e a concluso do teste que a varivel valor

patrimonial significativa, isto , deve-se rejeitar a hiptese nula 0:0 =H .

Resoluo.

Primeiro item.

1/ReRe gressaoQMgressaoSQ = 000.56Re =gressaoSQ

O coeficiente de determinao fica:

480.88000.56Re2

==

SQTotalgressaoSQ

r = 0,63

Portanto, 63% da variao explicada pela reta de regresso. Ou seja, o modelo de regresso explica 63% da variabilidade total. O primeiro item est certo.

Segundo item.

gressaoSQSQTotalsiduosSQ ReRe = 480.32000.56480.88Re ==siduosSQ

A estatstica F fica:

==

==

58/480.32000.56

)260/(Re1/Re

ReRe

_

siduosSQgressaoSQ

siduosQMgressaoQM

testeF 100

O segundo item tambm est certo.

Gabarito: Certo, certo

Embora esta informao no tenha sido necessria para resolver a questo, vamos falar sobre o Fsig, que aparece na tabela.

O valor de Fsig nada mais que o valor descritivo do teste de hipteses para 0= . Ou seja, a probabilidade de uma varivel com distribuio F, com 1 grau de liberdade no numerador e 58 no denominador, assumir valores maiores que 100 (que a estatstica teste).



AFRFB e AFT


Questo 23 SEFAZ SP 2009 [ESAF]

Uma amostra aleatria simples (X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn) de duas variveis aleatrias X e Y forneceu as seguintes quantidades:

( )=

=

n

ii XX

1

2414

( )=

=

n

ii YY

1

2359

( )=

=n

iii YXX

1345

Calcule o valor mais prximo do coeficiente de determinao da regresso linear de Y em X.

a) 0,88

b) 0,92

c) 0,85

d) 0,80

e) 0,83

Resoluo:

No caso do modelo usual de regresso linear, o coeficiente de determinao igual ao quadrado do coeficiente de correlao.

Aqui a questo explora outra igualdade envolvendo somatrios.

O numerador da frmula do coeficiente de correlao :

( ) ( )[ ]=

n

iii YYXX

1

Fazendo a multiplicao, ficamos com:

( ) ( )[ ]=

n

iiii YXXYXX

1

Separando o somatrio da diferena em diferena de somatrios:

= ( )[ ] ( )[ ]==

n

ii

n

iii YXXYXX

11

A mdia de Y constante e pode sair do somatrio:

= ( )[ ] ( )[ ]==

n

ii

n

iii XXYYXX

11

A soma dos desvios em relao mdia de X igual a zero:

= ( )[ ] 01

=

YYXXn

iii

Prof. Vtor Menezes

Logo, outra frmula para o coeficiente de correlao seria:

E, para esta frmula, o enunciado j deu todas as contas prontas:

Elevando o coeficiente ao quadrado:

Fazendo a primeira diviso, temos:

O 0,83 est sendo multiplicado por um nmerum nmero por outro que seja menor que 1, o nmero original diminui. Logo, a resposta procurada ser menor que 0,83. A nica opo a letra D.

Gabarito: D

Questo 24 FUNASA 2009 [CESGRANRIO

O estatstico de uma indstria dexistente entre a satisfao do clienteanos, e o nvel de ansiedade (Primeiramente estudou-se a relao entre a satisfao do paciente e a sua idade.

a) Considerando o modelo de regresso

da tabela da ANOVA.

Resoluo.

_ calculadoF




= ( )[ ]=

n

iii YXX

1

Logo, outra frmula para o coeficiente de correlao seria:

( ) ( )[ ]( ) ( )

= =

=

=n

i

n

iii

n

iii

YYXX

YXXr

1 1

22

1

E, para esta frmula, o enunciado j deu todas as contas prontas:

359414345

=r

Elevando o coeficiente ao quadrado:

359345

4143452 =r

Fazendo a primeira diviso, temos:

35934583,02 =r

O 0,83 est sendo multiplicado por um nmero menor que 1. Toda vez que multiplicamos um nmero por outro que seja menor que 1, o nmero original diminui. Logo, a resposta procurada ser menor que 0,83. A nica opo a letra D.

FUNASA 2009 [CESGRANRIO]

O estatstico de uma indstria de produtos dermatolgicos deseja estudar a relao existente entre a satisfao do cliente (Y), em uma escala de 0 a 100, a sua idade (anos, e o nvel de ansiedade (X2), em ndice. Para isso, foram selecionados 46 pacientes.

e a relao entre a satisfao do paciente e a sua idade.

erando o modelo de regresso ++= 110 XbbY , determine os valores de A e B

==== 366767Re

Re AAsiduosQM

gressaoQMcalculado 2412



AFRFB e AFT

.com.br 48

o menor que 1. Toda vez que multiplicamos um nmero por outro que seja menor que 1, o nmero original diminui. Logo, a resposta

e produtos dermatolgicos deseja estudar a relao ), em uma escala de 0 a 100, a sua idade (X1), em

selecionados 46 pacientes. e a relao entre a satisfao do paciente e a sua idade.

, determine os valores de A e B

2412



AFRFB e AFT


siduosSQgressaoSQSQTotal ReRe = B= 24125363

=B 2951

Obs: para esta questo, aberta, no consta o gabarito oficial no site da banca. Se vocs acharem algum erro na minha resoluo, s falar.

3. OUTROS EXERCCIOS

Na sequencia, trago exerccios de assuntos que so pouco cobrados. Creio que a probabilidade de serem exigidos em prova pequena. Por este motivo, veremos, de passagem, como resolv-los, sem adentrar muito na teoria.

Questo 25 CAPES 2008 [CESGRANRIO]

O teste de hiptese de que a correlao linear entre Y e X1 nula apresentou um valor descritivo (p-value) de 0,480.

Conclui-se, ento, que

I - a hiptese que = 0 para qualquer nvel de significncia menor do que 0,480 no deve ser rejeitada;

II - o coeficiente de determinao menor do que 4,0%;

III - com 48,0% de confiana afirma-se que a relao entre Y e X1 existe, mas no linear;

IV- a varivel Y no deve ser expressa como uma funo linear da varivel X1.



AFRFB e AFT


So corretas APENAS as afirmaes

(A) I e II

(B) III e IV

(C) I, II e III

(D) I, III e IV

(E) II, III e IV

Resoluo.

Considere que estamos estudando se existe relao linear entre duas variveis X e Y. Queremos saber se o coeficiente de correlao entre elas prximo de zero, ou se tem mdulo prximo de 1. Queremos estimar a reta de regresso ( ++= XY ). Uma dada amostra, contendo n pares ordenados para as variveis X e Y, vai fornecer certos valores para o coeficiente de correlao e para as estimativas a e b para os parmetros e . Se pensarmos em todas as amostras possveis, ento os valores de r , a e b so variveis aleatrias. Sendo variveis aleatrias, eles possuem uma certa mdia e um certo desvio padro. Possuem uma certa funo densidade de probabilidade.

Ora, se r, a e b so variveis aleatrias, podemos fazer tudo o que estudamos anteriormente: realizar teste de hipteses, determinar intervalos de confiana, determinar o tamanho que deve ter a amostra para conseguir um certo erro mximo etc.

Nesta questo, especificamente, pretende-se realizar um teste de hipteses para o coeficiente de correlao (que est sendo chamado de ). Geralmente, quando nos referimos ao coeficiente de correlao da populao, usamos . Quando nos referimos ao coeficiente de correlao da amostra, usamos r.

A hiptese nula :

0:0 =H

Ou seja, a hiptese nula indica que no h relao linear entre as duas variveis.

No veremos, com detalhes, como fazer este teste. No veremos como calcular a estatstica teste, nem como determinar o valor crtico, nem qual a distribuio do coeficiente de correlao amostral (r). Isto porque esse tipo de questo no muito comum. Para esta questo em especial, nem era preciso saber nada disso.

Por qu?

Porque a questo deu o p-valor. Para decidir se devemos rejeitar a hiptese nula ou no, basta comparar o p-valor com o nvel de significncia.

Se o p-valor maior que o nvel de significncia, aceitamos a hiptese nula.

Se o p-valor menor que o nvel de significncia, rejeitamos a hiptese nula.

O primeiro item afirma que, se o nvel de significncia for menor que o p-valor, ento no rejeitamos a hiptese nula, o que est correto.



AFRFB e AFT


Segundo item.

O coeficiente de determinao igual ao quadrado do coeficiente de correlao.

2059,0 = 0,003

De fato, este nmero menor que 4%.

Terceiro item.

Nada podemos afirmar sobre existir ou no relaes no-lineares. Na minha opinio, o item est errado. No gabarito oficial definitivo, ele foi dado como certo.

Quarto item.

A deciso sobre expressar uma varivel como funo linear da outra est relacionada com o nvel de confiana que se pretende adotar. Qualquer deciso baseada em dados amostrais sempre estar sujeita a erro.

Gabarito: C (na minha opinio, seria letra A. Se algum achar algum erro na minha soluo, por favor me avise).

Questo 26 BACEN 2002 [ESAF].

Observaes ( ii YX , ) de duas variveis econmicas satisfazem o modelo linear

iii XY ++= onde os iX so constantes, e so os parmetros desconhecidos e os i so erros normais no diretamente observveis, no correlacionados com mdia nula e

mesma varincia 2 . Deseja-se testar a hiptese H0: 0 contra a hiptese alternativa HA: 0



AFRFB e AFT


Graus de liberdade

X F(X)

15 1,341 0,900

15 1,753 0,950

15 2,131 0,975

16 1,337 0,900

16 1,746 0,950

16 2,120 0,975

17 1,333 0,900

17 1,740 0,950

17 2,110 0,975

18 1,330 0,900

18 1,734 0,950

18 2,101 0,975

a) 0.533

b) 0.440

c) 0.630

d) 0.438

e) 0.300

Resoluo.

O teste mais comum sobre o valor de consiste na hiptese de que =0. Caso rejeitemos esta hiptese nula, conclumos que h regresso de X sobre Y. Este procedimento serve para verificarmos a qualidade do modelo de regresso.

J vimos um modo de fazer isso. Foi por meio da anlise de varincia da regresso, utilizando a relao entre o quadrado mdio da regresso e o quadrado mdio dos resduos.

Pois bem, existe outra forma de faz-lo.

Para o teste de , tambm podemos utilizar a distribuio T, com 2n graus de liberdade. A questo no pediu para fazermos o teste completo. Precisamos apenas calcular o p-valor.

J vimos, na aula de teste de hipteses, que o p-valor a probabilidade de obtermos valores to extremos quanto a estatstica teste. A estatstica teste que estudamos naquela aula, quando no se conhece a varincia do parmetro, foi:

Xs

Xtestet

=_

No numerador temos a estimativa )(X e o parmetro )( . No denominador o desvio padro da estimativa.

Aqui a mesma coisa. S muda que b a estimativa. E o parmetro estimado .



AFRFB e AFT


A estatstica teste fica:

bs

btestet

=_

O valor de que se pretende testar 0. O valor de b obtido foi -2,120 (fornecido no enunciado).

A varincia de b 1 (fornecido no enunciado). Portanto:

120,21

0120,2_ =

=testet

Consultando a tabela para o valor 2,120 (e 16 graus de liberdade), obtemos 97,5%.

Portanto, 97,5% dos valores de t so menores ou iguais a 2,120.

Ou seja, 2,5% so maiores que 2,120.

Devido simetria da densidade de t, 2,5% so menores que -2,120.

Portanto, a probabilidade de obtermos valores to extremos quanto a estatstica teste (ou seja, valores menores ou iguais -2,120) de 2,5%.

Gabarito: C.

Desta questo guarde que, para testar a hiptese sobre o valor de , utilize a distribuio T com 2n graus de liberdade.

Questo 27 INEP 2008 [CESGRANRIO]

Em um modelo de regresso linear simples, um intervalo de confiana de 95,0% obtido para o coeficiente angular foi (0,24 ; 1,68). Com esse resultado s se pode concluir que

(A) o intercepto igual a zero.

(B) o coeficiente angular negativo.

(C) a relao entre as variveis no linear.

(D) a varivel dependente assume valores negativos.

(E) no existe relao linear entre as duas variveis.

Resoluo.

Utilizando-se a distribuio T com 2n graus de liberdade tambm possvel determinar intervalos de confiana para . A questo j forneceu o intervalo de confiana pronto. J sabemos que, com confiana de 95%, est entre 0,24 e 1,68. Observem que um intervalo que contempla valores prximos de zero (tanto negativos quanto positivos). Valores positivos para indicam relao direta. Valores negativos para indicam relao inversa. Ora, se a amostra no capaz nem de nos dar uma maior segurana quanto ao sinal de (se positivo ou negativo),


Matemtica e Mat

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aula 17 - regressão linear