AULA 16 - Opera sores VETO Riots .

TEO REMA DE WIGNER - ECKART

1 Operadores vetoriais

Sabemos que um vitor.

na finca claisica,

e- por definition uma grande ya que se transforms

por rotaries como as coordinators de um ponto no

espa.co ,i. e.

,Vi = I Rij Vj .

Em M . Q . definimos come momento angularI to do opera do que rats faz

[ Ji,

Jj ] = it Eijk JK

Note mas que

f x, Ly ] = [ x

,2- Px - xpz ] = [ x

, px ] 2- - [ x, pz ] x = it z

De forma geral , podemos even wer

[ Xi, Jj] = it C- i j k X K

Asim, podemos definer come operator veto -

rial quouquer operator J que satsfa.ca[ Vi, Jj) = itEijk V K

Se V±

= Vx ± i Vy e J± .

- Jx ± i

Jy .entire

[ Jx.

Vt ) =

ItVz

;I Jy .

Vt ) = ± i hi Vz;

I Jz,

V± ] = ± hi V±,

[ Jt.

Vt ) = [ J -,

V. ) -

- O; I J±,V;] = I 2k Vt

Vamos agora considered as elements de matriz de

T numa base Ilk , jim 's t . Uma vez que[ Vz

,Jz ] = O ⇒ Sk

, j ,ml Vz Ibd

, j'

im 'S = O p/m Em !

Jai para the,

uma veg que E Vt,

Jt ]=o,

⇒ Ck , jim I V± Ik'

, j'

,ni ) f pl C m - m

'I = It.

Vejamos ,

[ Jz,

Vt ] = th V± ⇒ JzV±

= V±Jz It V±

ou seja ,

Jzfvtlk, j ,my - V±(Jzlk , jim > It VI Ik, j.ms )

= ( m ±e) t ( Elk, j , m ) )

i. e.,

Vt Ik , j , m > e- auto veto de Jz .

Assia , para um operator rational T,

temos as requisites regas de selection :

Vz =D Dm = m'

- m = O

Vt -→ Am = we'

- m = t I

V - ⇒ Am = m'

- m = - I

• Rroporciomalidade entre as elements de matrizde J et wenn sobespa.co Elk , j )

.

Sk , j ,mtal Jt Vtlkij , m ) = Ck

, j , mtzlvtJtlkij.msI =

m.

1k ', j

', m

' Xk '

, I'

,m 't

come Dm = ti pl Jt e Vt e j '-- j ,

Ck, j ,

mtzl JtIk, j ,

ma Xksj , mttlvtlkij.ms

= Lk ,

j.mn/Vtlk,j,mtiXkijimtilJtlk.jimS

⇒ Ck, j ,

Mtzl

Vt.tk, j ,

ma )=

Ck , j , ma I

VtIk , jim >

The , j , m 21 JtIk, j ,Mtl ) Sk

, jim tilJtlkij , m >

rapine does mesmos opera does entre estados diferentes

Como m = - j ,. . .

, tj ,

( k, j ,

-

jtilvtlkijit> =

s k ,j ,- jtl 1Jt Ik ,j ,

- j >

( k, j ,

-jtzlvtlkijitit'S = . . .

< k, j ,

- It21Jt Ik ,j ,- j ti )

( k, j , y IVtlk,jig- I >

< kij ,I15+1k.j.jp

= Are . j )

x depend de ke j e socio de m . . .

< kijsmlvtlk , jim 'S = At Craig ) skijimdtlk, jim 'S

Por arguments anoilogos ,

< kijimlv - Ik, jim 'S = x

- Craig )skijimdlk , jim 'S

Os elements de mating de Vz csoio obtidos

sabendoque EI , Vt ] - - 2K Vz

,i. e.

,

- 2£ hkijcmlvzlk.j.ms= hkijcmlJ-Vtlk.j.ms-hkijcmlvtJ-lk.j.ms

= -h Vjcjti ) - memes'

Lk, j ,mill

Vtlk, jim >

- ti Vjcjti ) - mcm . is'

Lk, jimlvtlk , jim - e >

- 2K Lk , jim I Vzlk, j ,

m >

= Lk , jim I J - Vt Ik, j ,

m > - Lk , jim I Vt I 1k, j ,

m' >

= t Vjcjti ) - memes'

Lk, j , ml Vt Ik

, jim >

- t Vjcjti ) - m C m . d'

Lk, j , ml Vt Ik

, j ,m - D

Lk , jim I Vzlk, j ,

m > = - ez ACK , j )

✓ jcjti ) - memes'

Lk, j ,mill

Jt Ik, j ,

m >×

!Vjcjti ) - mom . is'

Ck. j , mlJt Ik

. jim - is)=

- LI atheistj - memes ) - j tmcm - e) f

= mt at Ck, j )

Por arguments,oa-o anoiloqa ,obtemos

Lk , jim I Vzlk, j ,

m > = mt a.

CK, j )

Logo ,ACK

, j ) = ACK, j ) = x -

Ck. j )

,e

consequentmentee,

Lk , jim I Vzlk '

, j'

,ni > = a Ck

. j ) LK , jim I Jzlk'

, j'

,ni >

Em resume,

< k, j , on ITI k '

, j'

,m

' > = a Ck, j ) 5k , j , on IFI bi , j

', m

' >

todos as elements de matriz de J scio

proporcionaisaos de I

.

Este results do expresses o teorema de

Wigner - Eckart para o case de opera -

does vetoriais .

• Teorema da projector

teja o operator J.

T. Soa restricts

eco sobespa.co Ecr, j ) e- Prkij ) F.J per

, j )

J . J = ( aggogo)Ras's =3 lkisimxkijiml

Quero profiteer sobre o espace come j -- o

ej - k

Po-

(geog§ )" " =

( E9

!)

° I

P.ITPo=

( !!! )f agogE) ( !!:o)t:÷÷x÷÷H :::o)

e sobre je Kz

" I ie. -

. too::X

:1%:X:,:X

:÷ )O

i :::L

[ I, Pra j ) ] = o

verificarusandoofa.to de que

[ Je,

Prk, j ) ] lkij.ms = [ JI

, Prk, j ) ) Ik . jim > = O

.

Assi me,

Pra , j ) IJ Pen. j ) = 5. Reais) I Peu

.;D= I

. a C k , j ) Prk, j ) I Prk

, j )

= a Ck, j ) Pra

, j ) J2 Pru, j )

= x Ck, j ) j ( j t e) EZ Pek

, j ) Prk, j )

m¥-Pra , j ) I.J Pen

. j ) = a CK ) jcjt Dt2 Pera, j )

Pasa om estado arbitration normalizedperteneente

'

a Era, j ) 14k

, ;) , i. e., 14%5=12143

,J. J Taj = turns IF.

T I 4K, j ) = a Craig ) j Cj + Dt2

Akin dis so, tenor

⇒ Per, j ) J Pra

. j ) = x C K , j ) Pca . j ) I Peris )

⇒ Per, j ) J Pra

. j ) =L C K , j ) Pea . j ) I Precis )

Pere, j ) I Pek , j )pea

, DJ Peris ) =

je j + Dti

⇒ J =L F. J > mi Ijcj titi

• Exempla : Fator de Laude

Senja um hamiltonians

A = Hot HI

en de Ho I Eo,

l, s ,

J,

M > = Eo I Eo,

l, s ,

J,

M >

e He = w f Lz t 2 Sz )

on de w = - I B,

come B- = BE ; e o

2M

fator 2 em Zsz e- o fator give magnetictelethon

.

I = Its

I = Cisse 5JC Jt 1) ti

e 5 = L 5. I > Eocss IJfJt e) K2

Vejamos ,

E.I = I . CE + 5) = I + I . 5

J'

= ( It5) 2

= Et S2

+2T.si

. E.5 = I (

I- L

2-

S2)

E. I = L2 + I ( J2 - L2 -5 )

Da messana forma ,

5. I = s'

+

ICE- i - s

- )Assia

,

< E. 5¥. ass

=L Ceti ) hi 't

LjC jet ) - late ) - s Csa ))

( 5. 5) easy = s C stilt't HI µC jet ) - lflti ) - s Csa ))

Potato,

substifuindo

I = Chiesa 5JC Jt Dt2

5 = L 5 . I > Eocss IJfJt e) £2

na hamiltonian de interafao

HI = W ( Lzt 2 Sz ) = go W Jz

conde

go =LT . E) t 2 C 5. IS

j Cj tether

< I. E) +2<5.53

=

eetfhthzfjcjte) - late ) - s Csa ))

+

zsfstilhhhfjcjc.NL#)-sCstiTf=h2f3zjCjtD-zlClti

) + lzscsti ) }

go =LT . E ) t 2 C 5. IS

j C j th ti

= 3- + s C Stl ) - l ( Lti )2. 2 j C j to )

As sine,

HII Eo,

l, s

,J

,M > = gsw Mt I Eo

,l

, s,

J,

M >

Seja o estado 143 = I Eo,

I,

Yz,

312, MS

,

Ho 145= Eo 145

come M = - Zz ,- ez ,

t I , Zz ; portantoIt > term degenerecinciaquoirh.ca .

Rhein, one considerate HI tal degener -

cinema e- remo vida,

M = 3/2

÷÷ .

me " z

-M = - 1/2

-M = - 3/2

B to