Upload
stolic
View
1.798
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
osnovna načela automatike dobro će poslužiti učenicima i studentima
Citation preview
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za automatiku i procesno računarstvo
Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić
A U T O M A T S K O U P R A V L J A N J E
Predavanja
Zagreb, 2005.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
AUTOMATSKO UPRAVLJANJE
Automatsko upravljanje predstavlja temeljnu disciplinu za mnoge inženjerske znanosti (upravljanje=regulacija).
Načela automatskog upravljanja susreću se i koriste se i u mnogim netehničkim oblastima.
"Fenomenološki" pristup automatskom upravljanju – razvoj teorije i tehnike automatskog upravljanja po pojedinim inženjerskim strukama i po pojedinim primjenama.
Pristup automatskom upravljanju kao metodičkoj znanosti, neovisnoj o području primjene – sustavi upravljanja iz različitih područja prikazuju se na jedinstven način.
Copyright: Nedjeljko Perić
2 1. UVODNA RAZMATRANJA O AUTOMATSKOM UPRAVLJANJU Doba automatizacije
Temelji se na automatskom upravljanju i informacijskim tehnologijama.
Automatsko upravljanje je strogo metodički orijentirano stručno područje koje se koristi ili je zastupljeno u:
a) tehničkim sustavima
b) netehničkim dinamičkim sustavima - biološkim - ekonomskim - sociološkim - političkim
Copyright: Nedjeljko Perić
3 Zato dinamički sustav treba promatrati vrlo globalno, što bi se moglo izraziti
na sljedeći način:
♦ Dinamički sustav predstavlja funkcijsku cjelinu za obradbu i prijenos energije, materije, informacije i kapitala, gdje se ulazne veličine sustava promatraju uzrokom, a izlazne veličine sustava njegovom vremenskom posljedicom.
Struktura dinamičkog sustava može biti:
♦ s jednim ulazom i jednim izlazom - SISO sustav (Single Input Single Output)
Dinamičkisustav
Izlazna veličinay(t)
Ulazna veličinau(t)
Sl. 1.1.a)
Copyright: Nedjeljko Perić
4 ♦ s više ulaza i više izlaza - MIMO sustav (Multiple Input Multiple Output)
ym
yj
y1
Gij
ur
ui
u1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dinamičkisustav
Izlazni vektorUlazni vektor
y(t)u(t)
||>
Sl. 1.1.b)
Copyright: Nedjeljko Perić
5 ♦ hijerarhijski strukturirani višerazinski ⋅sustavi
M A N A G E M E N T
K O O R D I N A C I J A
O P T I M I R A N J E O P T I M I R A N J E
U P R A V L J A N J EP R O C E S O M
U P R A V L J A N J EP R O C E S O M
P la n i r a n je , T r ž iš t e , K a p i t a l , P e r s o n a l
S I R O V I N EM S
P R O I Z V O D IM P
S I R O V I N EN S
P R O I Z V O D IN P
4 . s t u p a n j
3 . s t u p a n j
2 . s t u p a n j
1 . s t u p a n j
Sl. 1.1.c)
Copyright: Nedjeljko Perić
6 U osnovi se dinamički sustav promatra kroz tzv. kibernetski pristup:
Kibernetika je znanost pomoću koje se spoznaju zakonitosti procesa upravljanja u prirodi, tehnici i društvu (→ANALIZA) kako bi se temeljem tih spoznaja (analize) projektirali tehnički sustavi (→SINTEZA) odnosno poboljšali prirodni sustavi (Norbert Wiener: Cybernetics or control and communication in the animal and the machine, 1948)
Copyright: Nedjeljko Perić
7 1.1. Blokovski prikaz sustava
U smislu definicije dinamičkog sustava, dinamički sustav može se promatrati kao prijenosni sustav (prijenosni član, ako se promatra element sustava).
Prijenosni sustavi imaju jednoznačni smjer djelovanja određen smjerom strelice:
y(t)u(t)
Copyright: Nedjeljko Perić
8 Za povezivanje signala koriste se sljedeći tipični simboli:
Naziv Simbol
x1
x2
x3
x1=x 2=x 3
Točka grananja
+
-x3=x 1+x 2Točka sumacije
x2
x3x1x
Množenje x3=x 1 x2.
x1
x3
x2
±
Mat. operacija
Copyright: Nedjeljko Perić
9 Postoji više načina za prikaz prijenosnog vladanja sustava (člana) pomoću
blokova:
♦ pomoću diferencijalne jednadžbe
yu &y y uT + =
Sl. 1.2.a)
♦ pomoću prijelazne funkcije (odziv na jediničnu skokovitu funkciju u = 1⋅S(t) )
yu
Sl. 1.2.b)
Copyright: Nedjeljko Perić
10 ♦ pomoću prijenosne funkcije
U YG s
s( ) =
+1
1 T
Sl. 1.2.c)
Ako u sustavu postoje nelinearni članovi oni se prikazuju pomoću statičke nelinearnosti.
Copyright: Nedjeljko Perić
11 Isto tako, sustavi se mogu prikazati pomoću dijagrama toka signala:
GU Y U G Y
G 1
G 2
U E+-
Y
G 1
G 2
U E+-
YZ
U G 1
-G 2
E YY
U G 1
-G 2
E YY
Z
Čvor ČvorG rana
Sl. 1.3.
Copyright: Nedjeljko Perić
12 1.2. Upravljanje bez povratne veze i s povratnom vezom
Upravljanje bez povratne veze (upravljanje u otvorenoj petlji) (engl. feedforward control, njem. Steuerung)
Upravljanje s povratnom vezom (engl. feedback control, njem. Regelung)
Primjer 1.1: (Sl. 1.4.): Upravljanje temperaturom prostorije (bez povratne veze)
z'1 (Prozor otvoren)
M
Osjetilo vanjsketemperature
ϑAz'2 yϑP
Upravljačkiuređaj
QV
ϑA
Copyright: Nedjeljko Perić
13 Mjeri se vanjska temperatura ϑA, mjerni signal se dovodi na upravljački
uređaj, koji djeluje na motor M ventila V i na taj način utječe na protok Q koji ide na radijator. Pri tome je:
20 200
12
3
Q
ϑA
Q A= f ( )ϑ
Kod promatranog upravljanja imamo 2 poremećaja (smetnje) (engl.
disturbance, njem. Störung) na sustav:
c) z1′ - temperaturni poremećaj uvjetovan otvaranjem prozora (u ovakvom upravljanju ne može se kompenzirati) d) z2′ - vanjska temperatura (koja se mjeri)
Copyright: Nedjeljko Perić
14 Primjer 1.2:Upravljanje temperaturom prostorije (s povratnom vezom) (Sl.1.5.)
Osjetilotemperature
prostorije
XRR
U
z'1 (Prozor otvoren)
M
ϑy P
QV
U ovom slučaju mogu se s pomoću regulatora R kompenzirati utjecaji svih
poremećaja.
Copyright: Nedjeljko Perić
15 Blokovski prikaz upravljanja temperaturom prostorije u otvorenoj petlji:
Soba
Upravljačkiuređaj
u
1
3
z1
z2y++
+z2'
z1'
-2
Sl. 1.6.
♦ predstavlja otvoreni tok djelovanja (upravljački lanac)
♦ kompenzira utjecaj samo one smetnje s obzirom na koju se projektira upravljački uređaj
♦ ako je upravljani objekt sam po sebi stabilan, ostaje stabilan i uz djelovanje ovakvog upravljanja
Copyright: Nedjeljko Perić
16 Blokovski prikaz upravljanja temperaturom prostorije u zatvorenoj petlji:
Soba
Regulatoru
1
2
3
z1
z2
y++ +
z1'
exR
z2'
-
Sl. 1.7.
♦ predstavlja zatvoreni tok djelovanja (regulacijski krug, regulacijska petlja)
♦ može kompenzirati utjecaj svih smetnji (negativna povratna veza)
♦ može postati nestabilan (regulirana veličina može oscilirati, teoretski, preko svih granica)
Copyright: Nedjeljko Perić
17 1.3. Principni način funkcioniranja upravljanja
Upravljanje (regulacija) treba obaviti sljedeće zadaće:
zadaća je regulacije da kompenzira utjecaje smetnji koje djeluju na proces. Pri tome regulirana veličina y (regulirane veličine) treba ostati na vrijednosti određenoj namještenom xR (željena = namještena = referentna vrijednost) vrijednošću regulatora (engl. setpoint, njem. Sollwert).
Ovdje se radi o čvrstoj regulaciji (stabilizaciji, regulaciji smetnje) (engl. regulatorproblem, njem. Festwertregelung ili Störgrössenregelung).
zadaća je regulacije da regulirana veličina y čim bolje slijedi promjenljivu referentnu vrijednost xR (referentna vrijednost = vodeća vrijednost (veličina))
Ovdje se radi o slijednoj regulaciji (engl. tracking control ili servo problem, njem. Folgeregelung ili Nachlaufregelung).
Copyright: Nedjeljko Perić
18
U oba se slučaja mora trajno mjeriti regulirana veličina y i uspoređivati s referentnom vrijednosti xR s ciljem da regulacijsko odstupanje izčezne(e→0). y
exR +
-
Primjer 1.3: Regulacija brzine vrtnje parne turbine (problem stabilizacije):
Sl. 1.8.
Copyright: Nedjeljko Perić
19 Na zupčanik je spojeno centrifugalno njihalo koje preko poluge aktivira
ventil kroz koji prolazi para (pod određenim tlakom i temperaturom) (toplinska energija pare).
Centrifugalno njihalo s polugom predstavlja centrifugalni regulator. Da bi se održavala brzina vrtnje turbine konstantnom mora se dovoditi konstantna struja pare na turbinu (ako nema smetnji) (konstantna brzina vrtnje → konstantan napon generatora).
Smetnje koje mogu djelovati na sustav:
♦ promjena stanja pare (tlak, temperatura) – z1'
♦ protutlak – z2'
♦ promjena opterećenja generatora – z3'
Centrifugalni regulator kompenzira utjecaje smetnji. Položaj uporišta P poluge u centrifugalnom regulatoru određuje pojačanje regulatora:
Copyright: Nedjeljko Perić
20
l2l1
l1l2
K Rpo jačan jeregu la to ra
P
Sl. 1.9.
Ako je uporište poluge pomaknuto daleko u lijevo (malo pojačanje regulatora), tada se za relativno veliku promjenu brzine vrtnje relativno malo promjeni položaj ventila. U ovom slučaju nije zajamčeno da će regulator kompenzirati utjecaj poremećaja.
Ako se uporište poluge pomakne prema desno (veliko pojačanje regulatora), onda će mala promjena brzine vrtnje jako djelovati na položaj ventila. U ovom slučaju mogu nastupiti oscilacije brzine vrtnje. Ako se oscilacije raspiruju, može nastupiti nestabilni rad sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
21 Na temelju razmatranja na ovom primjeru dolazi se do suštinske postavke
automatskog upravljanja u pogledu tehničke uporabe sustava:
♦ regulator se mora tako projektirati da osigura stabilnost sustava
Pored toga , moraju se ispuniti i dodatni zahtjevi, npr.:
♦ da vrijeme potrebno za kompenzaciju utjecaja smetnje bude minimalno
♦ da regulacijsko odstupanje prouzročeno smetnjom bude minimalno.
♦ da slijeđenje vodeće vrijednosti bude čim bolje,
♦ M Ovi dodatni zahtjevi formuliraju se obično u obliku kriterija dobrote
(kakvoće) regulacije (engl. performance index, njem. Gütenkriterium).
Ako sustav upravljanja ispunjava ove kriterije onda se takav sustav naziva optimalnim u smislu primijenjenih kriterija.
Copyright: Nedjeljko Perić
22 Prema tome, analiza stabilnosti, i projektiranje optimalnog regulatora
predstavljaju najvažnije zadaće automatskog upravljanja.
Primjer 1.4: Regulacija zakreta (Slijedno upravljanje)
Sl 1.10.
Copyright: Nedjeljko Perić
23 Ovdje istosmjerni motor pogoni potenciometar (slijedni potenciometar) čiji
kutni položaj ϕ2 treba slijediti kutni položaj vodećeg potenciometra ϕ1 , a da pri tome odstupanje ϕ1 - ϕ2 bude čim manje. Oba potenciometra spojena su u mosni spoj s konstantnim naponom napajanja Us.
Dijagonala mosnog spoja ima napon:
d 1 2u = u - uϕ ϕ
Ako je ud = 0, onda je ϕ1 = ϕ2.
Ako se zakrene slijedni potenciometar (ud ≠ 0), preko diferencijalnog pojačala se djeluje na napon armature motora, koji preko prigona djeluje na zakret slijednog potenciometra. Taj proces traje sve dotle dok se ne postigne ud = 0.
Ovdje je: A R du = K u⋅
↑
pojačanje (podesivo)
Copyright: Nedjeljko Perić
24
ϕ1
0 t
KR4KR3
KR2
KR1
KR1 KR2 KR3 KR4< <<
xR $= ϕ1
y $= ϕ2
Sl. 1.11.
Copyright: Nedjeljko Perić
25 1.4. Osnovna struktura sustava upravljanja (regulacijskog kruga)
(engl. control loop, njem. Regelkreis)
Na temelju dva prethodna primjera može se postaviti struktura regulacijskog kruga.
Regulacijski krug sadrži 4 glavna sastavna dijela (Sl. 1.12.):
♦ proces (regulacijska staza) ♦ mjerni član ♦ regulator ♦ izvršni (postavni) član
Copyright: Nedjeljko Perić
26
Regulator
Vladanje sobzirom na
vodećuvrijednost
Vladanje sobzirom na
smetnju
Izvršničlan
(organ)
(uR ) uxR e+
-
proces
zz
+
+
(yS) ymjerničlan
x w rR $ $= =
y – regulirana veličina (stvarna vrijednost) (engl. controlled variable, njem. Regelgrösse, Istwert) xR– referentna veličina (referenca) (engl. reference value, njem. Sollwert, Führungsgrösse) e – regulacijsko odstupanje (engl. actuating signal, njem. Regelabweichnung ) u – upravljačka, izvršna (postavna) veličina (engl. manipulated variable, njem. Stellgrösse) z – smetnja, poremećaj
Copyright: Nedjeljko Perić
27 Suštinska je uloga regulatora da obrađuje regulacijsko odstupanje:
R Re(t) = x (t) - y(t), u = f(e)→
po određenom algoritmu (zakonu upravljanja), djelujući preko izvršnog člana na proces (zatvoreni tok signala).
Copyright: Nedjeljko Perić
28 Blokovski prikaz regulacije brzine vrtnje parne turbine (Sl. 1.13.)
Regulator
Vladanje sobzirom na
vodećuvrijednost
Vladanje sobzirom na
smetnju
Izvršničlan
(organ)
uxR e+
-
proces
z1z1
+
+Mjerničlan
VentilCentrifugalni regulator(poluga)
Tok pare
z3
Vladanje sobzirom na
smetnju
z3
+
Brzina vrtnje
Mjerenje brzinevrtnje
(Centrifugalnonjihalo)
Turbinski slog
smetnje:
- stanje pare
- protutlak
- trošilo
n y$=
Copyright: Nedjeljko Perić
29 Blokovski prikaz regulacije zakreta (Sl. 1.14):
Tvorbareferentnevrijednosti
Regulator Izvršničlan Proces Mjerni
član
Slijednipotenciometar
Istosmjernimotor +prigon
Diferencijalnopojačalo
Vodećipotenciometar
Armaturninapon
ud
-
uA+ϕ1 uϕ1
$= xR
( $ )= e
ϕ2 $= y uϕ2
Često nije moguće regulacijski krug podijeliti u 4 navedena dijela, iz razloga izvedbe pa se koristi pojednostavljeni blokovski prikaz kao na slici 1.15:
Copyright: Nedjeljko Perić
30
Regulacijskiuređaj
Vladanje sobzirom nareferencu
Vladanje sobzirom na
smetnju
uxR e+
-
zz'
+
+
y
PROCES
Regulacijski uređaj = Regulator + Izvršni član.
Proces uključuje mjerni član.
Na prethodnim blokovskim prikazima e(t) se određuje na temelju negativne povratne veze, a koncept upravljanja zasniva se na principu negativne povratne veze (engl. feedback, njem. Rückkopplung).
Copyright: Nedjeljko Perić
31 1.5. Neki tipični primjeri sustava upravljanja Upravljanje naponom istosmjernog generatora (Sl. 1.16.)
Ovdje je istosmjerni generator pogonjen motorom s konstantnom brzinom
vrtnje (nije na slici prikazano)
♦ regulirana veličina y: napon generatora uG
♦ poremećajna veličina z: nastaje uslijed promjene opterećenja generatora (što je predočeno omskim otporima RT, koji nadomještaju trošila).
Copyright: Nedjeljko Perić
32 Blokovskai prikaz uravljanja naponom istosmjernog generatora:
Regulacija razine kapljevine (Sl. 1.17.)
♦ treba održavati razinu ys konstantnom, neovisno o smetnjama (z) u dotoku i odtoku
♦ regulacijska staza je spremnik tekućine (rezervoar)
♦ mjerni član je plovak, čiji položaj djeluje na polužni mehanizam, koji obavlja funkciju regulatora
Copyright: Nedjeljko Perić
33
Copyright: Nedjeljko Perić
34 Regulacija toplinskog izmjenjivača (Sl. 1.18.)
Copyright: Nedjeljko Perić
35 Proces s dva ulaza i dva izlaza (MIMO); 1 ˆy = ϑ, 2 ˆy m= &
♦ sekundarna para zagrijava se primarnom parom
♦ treba održavati konstantnom temperaturu ϑ i tok pare m& u sekundarnom krugu i to neovisno o smetnjama z1 i z2 u primarnoj i sekundarnoj struji pare.
Regulirane veličine, y1 i y2, reguliraju se odvojeno pomoću regulatora R1 i R2.
Općenito, postoji u regulacijskoj stazi sprega između temperature pare ϑ i toka pare m& (spregnuti procesi; engl. coupling, interaction, njem. Kopplung).
Ako se , primjerice , smetnja z2, koja djeluje na sekundarni tok pare m& , kompenzira regulatorom R2, koji djeluje na brzinu vrtnje kompresora , tada će se, uz nepromijenjenu temperaturu primarnog toka pare, mijenjati temperatura sekundarnog toka pare ϑ.
Ovo, dakle, predstavlja smetnju za regulacijski krug 1, koju pokušava otkloniti regulator R1 promjenom količine primarne pare.
Isto tako, promjena temperature pare ϑ djeluje na promjenu toka pare m& .
Copyright: Nedjeljko Perić
36 Blokovski prikaz regulacije toplinskog izmjenjivača:
Regulacijski krug 1
Regulacijski krug 2
Regulator
Proces
XR1
XR2
Copyright: Nedjeljko Perić
37 1.6. Povijesni razvoj automatskog upravljanja I. period:
J. Watt (1788) - regulator brzine vrtnje (centrifugalni regulator) parnih strojeva
Načelo upravljanja (regulacije) u osnovi nije nikakav tehnički izum. Ovo načelo utjelovljeno je u živim bićima i na temelju kojeg se održavaju na životu. Isto tako, ovo je načelo prisutno i u mnogim drugim procesima - npr. ekonomskim, sociološkim ...
II. period: (period od 1890 - 1930)
Strožija teoretska obrada regulacijskih problema:
♦ analiza stabilnosti, kriterij stabilnosti od Routha i Hurwitza, Nyquista
♦ primjena diferencijalnih jednadžbi za opis regulacijskih procesa
♦ regulacija turbina i klipnih strojeva (Stodola i Tolle)
Copyright: Nedjeljko Perić
38 III. period: (period od 1940 - 1960)
Automatsko upravljanje postaje sustavno uređena inženjerska znanost (analiza i sinteza sustava u frekvencijskom području):
♦ utemeljena tzv. "klasična" tehnika automatskog upravljanja (Leonhard, Oppelt, Bode, Wiener, Truxal)
♦ Laplaceova transformacija
♦ statističke metode automatskog upravljanja
♦ diskretni sustavi
♦ nelinearni sustavi
♦ razvoj elektroničkih i pneumatskih regulatora
♦ osnovan IFAC (International Federation of Automatic Control, 1956)
Copyright: Nedjeljko Perić
39 IV. period: (period od 1960 →)
Era "moderne" tehnike automatskog upravljanja (analiza i sinteza sustava u vremenskom području):
♦ primjena elektroničkih računala za upravljanje procesima
♦ "princip maksimuma" (Pontrjagin)
♦ "dinamičko programiranje" (Bellman)
♦ primjena opisa sustava u prostoru stanja, posebno za multivarijabilne sustave
♦ primjena mikroprocesora u upravljanju
Copyright: Nedjeljko Perić
40 V. period: (period od 1990 →)
Period metoda "inteligentnog" upravljanja
♦ upravljanje temeljeno na logici neizrazitih skupova (fuzzy logic), neuronskim mrežama, genetičkim algoritmima
♦ prediktivno upravljanje
♦ ekspertni sustavi
Copyright: Nedjeljko Perić
1
2. NEKA VAŽNIJA SVOJSTVA SUSTAVA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Općenito se za opis vladanja sustava koriste fizikalne i / ili druge zakonitosti ili se o vladanju sustava zaključuje na temelju mjerenja.
Matematički prikaz vladanja sustava je matematički model koji se sastoji od diferencijalnih, algebarskih ili logičkih jednadžbi.
Čemu služe matematički modeli?
općenito predstavljaju polazište pri:
♦ analizi i sintezi sustava upravljanja
♦ simulaciji sustava na računalu (omogućava se "eksperimentiranje" na matematičkom modelu umjesto na stvarnom sustavu) ⇒ posebno važno u fazi projektiranja sustava
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Određivanje matematičkog modela složen je posao!
↓
♦ treba odrediti strukturu i parametre
matematičkog modela ⇒ Identifikacija:
o teoretska o eksperimentalna
teoretska identifikacija (sistemska analiza) temelji se na poznavanju fizikalnih i drugih zakonitosti procesa i postavljanju jednadžbi ravnoteže (mase, energije, impulsa gibanja) (jednadžbe bilance)
eksperimentalna identifikacija zasniva se na mjerenju ulazno/izlaznih veličina procesa te obradbi tih veličina
Specijalni oblici matematičkog modela ovise o stvarnim svojstvima procesa (sustava), kako slijedi (Sl. 2.1.):
Copyright: Nedjeljko Perić
3
Linearni sustavi Nelinearni sustavi
Sustavi s koncentriranim parametrimaSustavi s raspodijeljenim parametrima
Vremenski promjenljivi sustaviVremenski nepromjenljivi sustavi
Kontinuirani sustaviVremenski diskretni sustavi
Deterministički sustaviStohastički sustavi
Kauzalni sustaviNekauzalni sustavi
Stabilni sustaviNestabilni sustavi
Copyright: Nedjeljko Perić
4 2.1. Sustavi u dinamičkim i stacionarnim stanjima (režimima)
dinamičko vladanje = vremensko vladanje
♦ opisuje vremenski tok izlazne veličine sustava (procesa) y(t) uz narinutu ulaznu veličinu sustava (procesa) x(t)
Ova veza između ulazno/izlaznih veličina dade se općenito izraziti pomoću operatora T; dakle, svakom realnom x(t) pridružen je realni y(t):
[ ]( ) ( )y t T x t= (2 - 1)
Copyright: Nedjeljko Perić
5 Primjer: 2.1.
0 t
xs
x(t)
y( )=ys
Sustavx(t) y(t)
t
y(t)
∞
Sl. 2.2.
vladanje sustava u stacionarnom stanju (statičko vladanje) (ustaljeno stanje)
Copyright: Nedjeljko Perić
6 Za različite vrijednosti xS = konst. imamo (indeks "s" upućuje na stacionarno
stanje):
t
x ( t )
0
43
21
t0
y ( t)
54321
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
y s
x s
y s = f (x s )
Sl. 2.3.
Krivulja ys = f(xs) predstavlja statičku karakteristiku (krivulju) (nelinearnost).
Copyright: Nedjeljko Perić
7 2.2. Svojstva sustava 2.2.1. Linearni i nelinearni sustavi
Sustav je linearan ako vrijedi princip superpozicije
1 1
( ) ( )n n
i i i ii i
k y t T k x t= =∑ ∑⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (2 - 2)
za proizvoljnu linearnu kombinaciju ulaznih veličina xi(t), gdje je:
i = 1, 2, ... n; ki - realne konstante
(Ako ne vrijedi princip superpozicije, sustav je nelinearan.)
Linearni kontinuirani sustavi obično se opisuju pomoću linearnih diferencijalnih jednadžbi (diferencijalna jednadžba n-tog reda):
0
( ) ( ) ( ) ( )i j
n n
i ji ji o i
d da t y t b t x tdt dt= =
∑ ∑= (2 - 3)
Copyright: Nedjeljko Perić
8 Za linearne sustave upravljanja zaokružena je teorija, što nije slučaj za
nelinearne sustave.
Za nelinearne sustave šire se primjenjuju približne metode, kao što je linearizacija.
a) Linearizacija statičke karakteristike
ys = f(xs) → može se rastaviti u Taylorov red u proizvoljno odabranoj radnoj točki (x0, y0) (ys → y, xs → x).
0 0
22
0 0 02
1( ) ( ) ( ) ...2!x x x x
df d fy f x x x x xdx dx= =
= + ⋅ − + ⋅ − + (2 - 4)
Ako su odstupanja (x - x0) oko radne točke dovoljno mala onda je (linearizacija u okolišu radne točke (x0, y0)):
0 0( )y y K x x≈ + − , (2 - 5)
Copyright: Nedjeljko Perić
9 gdje je:
0 0( )y f x= → pravac kroz točku (x0, y0) s nagibom K
0
ddx x x
fK=
=
Slično se linearizacija može provesti za funkcije dviju ili više neovisnih varijabli.
Za 1 2( , )y f x x= (ploha u prostoru) (2 - 6)
Taylorov razvoj u radnoj točki (y0, x10, x20) je:
1 10 2 20
2 20 1 10
1 2
10 20 1 10 2 20
1 2
( , ) ( ) ( ) ...x x x xx x x x
K K
f fy f x x x x x xx x
∂ ∂∂ ∂= =
= =
= + ⋅ − + ⋅ − +
123 123
Copyright: Nedjeljko Perić
10 iz čega slijedi:
0 1 1 10 2 2 20( ) ( )y y K x x K x x≈ + ⋅ − + ⋅ − . (2 - 7)
b) Linearizacija nelinearne diferencijalne jednadžbe
Neka je nelinearni dinamički sustav s ulazom x(t) i izlazom y(t) opisan nelinearnom diferencijalnim jednadžbom 1. reda:
[ ]( ) ( ), ( )y t f y t x t=& , (2 - 8)
Za stacionarno (mirno) stanje je:
( ) 0y t =&
Stacionarno stanje se, prema tome, dobije rješenjem jednadžbe:
0 00 ( , )f y x= (2 - 9)
Copyright: Nedjeljko Perić
11 Označimo s ∆y(t) odstupanje varijable y(t) od mirnog položaja y0:
0( ) ( )y t y y t= + ∆ → ( )y t y= ∆& & . (2 - 10)
Analogno vrijedi za x(t):
0( ) ( )x t x x t= + ∆ → ( )x t x= ∆& & . (2 - 11)
Razvoj u Taylorov red u radnoj točki jednadžbe [ ]( ) ( ), ( )y t f y t x t=& daje:
[ ]0 0
0 0
0 0 0 0
( , ) ( , )( ) , ( ) ( ) ...y y x xx x y y
f x y f x yy t f y x y y x xy x
∂ ∂∂ ∂= =
= =
= + ⋅ − + ⋅ − +& (2 - 12)
Iz (2 - 9) do (2 - 12) slijedi: ( ) ( ) ( )y t A y t B x t∆ ≈ ∆ + ∆& gdje je:
0 0
0 0
( , ) ( , ),y y x xx x y y
f x y f x yA By x
∂ ∂∂ ∂= =
= =
= = (perturbacijske varijable). (2 - 13)
Copyright: Nedjeljko Perić
12 Sasvim analogno može se linearizirati nelinearna vektorska diferencijalna
jednadžba:
[ ]( ) ( ), ( )y t f y t x t=& , (2 - 14)
gdje je:
[ ][ ]
1 2
1 2
( ) ( ), ( ),.... ( )
( ) ( ), ( ),.... ( )
T
n
T
r
y t y t y t y t
x t x t x t x t
=
=
Linearizacija daje linearnu vektorsku diferencijalnu jednadžbu:
( ) ( ) ( )y t A y t B x t∆ = ∆ + ∆& , (2 - 15)
pri čemu su A i B Jacobijeve matrice:
Copyright: Nedjeljko Perić
13
0
0
1 1
1
1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
n
n n
y ynx x
f y x f y xy y
Af y x f y x
y y
∂ ∂∂ ∂
∂ ∂∂ ∂ =
=
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
L
M O M
L
0
0
1 1
1
1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
r
n n
x xry y
f y x f y xx x
Bf y x f y x
x x
∂ ∂∂ ∂
∂ ∂∂ ∂ =
=
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
L
M O M
L
Copyright: Nedjeljko Perić
14 2.2.2. Sustavi s koncentriranim (usredotočenim) i raspodijeljenim
(distribuiranim) parametrima Ako se sustav zamisli da je sastavljen od konačno mnogo idealiziranih
pojedinačnih elemenata (npr. omski otpori, kapaciteti, induktiviteti, prigušivači, opruge, mase itd.), onda se takav sustav naziva sustavom s koncentriranim parametrima (opisuje se pomoću običnih diferencijalnih jednadžbi)
Ako pak sustav posjeduje beskonačno mnogo beskonačno malih pojedinačnih elemenata, onda se radi o sustavu s raspodijeljenim parametrima (opisuje se pomoću parcijalnih diferencijalnih jednadžbi)
Primjer 2.1.: Električni vod
Napon na vodu je funkcija mjesta i vremena, pa se stoga opisuje pomoću parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.
Copyright: Nedjeljko Perić
15 Primjer 2.2.: Oscilatorni sustav (Sl. 2.4.)
Opruga(masa zanemarljiva)
Prigušenje
Masa
Pobudnasila
Pobudnasila
Opruga(s masom i unutarnjim
prigušenjem)
Sustav s koncentriranimparametrima
Sustav s raspodijeljenimparametrima
Kada se koriste modeli s koncentriranim, a kada s raspodijeljenim
parametrima ?
Copyright: Nedjeljko Perić
16 2.2.3. Vremenski promjenljivi i vremenski nepromjenljivi sustavi
Ako parametri sustava nisu konstantni nego se mijenjaju s vremenom, onda se radi o vremenski promjenljivim sustavima (vremenski varijantan = vremenski varijabilan = nestacionaran)
Ako to nije slučaj, onda se radi o vremenski nepromjenljivim sustavima (vremenski invarijantan = stacionaran)
Primjeri vremenski promjenljivih sustava:
♦ raketa (promjena mase) ♦ temperaturno ovisni otpornik (pri vremenskoj promjeni temperature).
Vremenska nepromjenjivost (invarijantnost) može se iskazati formalno pomoću operatorskog zapisa:
[ ]0 0( ) ( )y t t T x t t− = − (2 - 16)
(Vremenski pomak ulaznog signala x(t) za t0 ima za posljedicu isti pomak izlaznog signala y(t), bez izobličenja y(t))
Copyright: Nedjeljko Perić
17 Primjer 2.3.: Oscilatorni sustav (Sl. 2.5.)
m t konst( ) .≠ m konst= .
Masa
Prigušenje
Opruga
Copyright: Nedjeljko Perić
18 2.2.4. Sustavi s kontinuiranim ili diskretnim načinom rada
y je unutar određenih granica kontinuirano promjenljiva (y - sistemska varijabla (signal))
← kontinuirani signal
y može poprimiti samo određene vrijednosti amplitude
← kvantizirani signal
y je poznat samo u vremenski diskretnim trenucima
← vremenski diskretan signal
T - konstantan period uzorkovanja (ekvidistantno uzorkovanje)
Kvantizirani i vremenski diskretni signali u digitalnim sustavima.
y
0 t
y
y
t
0
y
tT
(stupanjkvantizacije)
Copyright: Nedjeljko Perić
19 2.2.5. Sustavi s determinističkim ili stohastičkim sustavskim
varijablama (determinirani slučajni signali)
Deterministički signali (a onda i sustavi) jednoznačno su određeni (dadu se analitički opisati, tj. mogu se reproducirati).
t0
y
Copyright: Nedjeljko Perić
20 Stohastički signali (a onda i sustavi) imaju potpuno neregularan karakter
(ne dadu se analitički opisati, tj. ne mogu se reproducirati).
Vrijednost signala u svakom trenutku može se opisati samo pomoću statističkih zakonitosti.
t0
y
Copyright: Nedjeljko Perić
21 2.2.6. Kauzalni i nekauzalni sustavi
Za kauzalni sustav mora nastupiti prvo pobuda, da bi se potom dobio odaziv.
Svi realni sustavi su stoga kauzalni!
2.2.7. Stabilni i nestabilni sustavi
Ako svaka po iznosu ograničena pobuda daje izlazni signal sustava koji je također ograničen, onda je sustav stabilan (BIBO Stable):
Copyright: Nedjeljko Perić
22 stabilan sustav nestabilan sustav
t0
y
t0
y
Copyright: Nedjeljko Perić
23 Dodatak:
Uz navedena svojstva sustava važna su još i svojstva:
♦ upravljivost (engl. controlability, njem. Steuerbarkeit)
♦ osmotrivost (engl. observability, njem. Beobachtbarkeit).
Copyright: Nedjeljko Perić
1
3. OPIS LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA U VREMENSKOM PODRUČJU
3.1. Opis pomoću diferencijalnih jednadžbi
obične linearne diferencijalne jednadžbe (sustavi s koncentriranim parametrima)
parcijalne linearne diferencijalne jednadžbe (sustavi s raspodijeljenim parametrima)
Fizikalni zakoni su polazište pri postavljanju matematičkog modela procesa (dinamičkog modela procesa) ((proces = sustav)).
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Za električke sustave su od posebne važnosti:
♦ Kirchhoffovi zakoni (za sustave ♦ Ohmov zakon koncentriranim ♦ Zakon indukcije parametrima)
. . .
kao i
♦ Maxwellove jednadžbe (za polja kao i sustave s prostorno raspodijeljenim parametrima)
Za mehaničke sustave su od posebne važnosti:
♦ Newtonovi zakoni ♦ zakoni ravnoteža sila i momenata ♦ zakoni održanja impulsa gibanja i energije
Copyright: Nedjeljko Perić
3 Za termodinamičke sustave su od posebne važnosti:
♦ zakoni očuvanja unutarnje energije ili entalpije ♦ zakoni vođenja topline i prijenosa topline (često povezani sa
zakonima termodinamike i dinamike plinova)
Primjer 3.1.: Električki sustav (Sl. 3.1.)
ALi1 i3
uii2 Petlja 2
Petlja 1 R
C
uu
♦ Promatrani fizikalni sustav posjeduje dva neovisna energetska spremnika: L i C.
Copyright: Nedjeljko Perić
4
Za petlju 1: 12 2
0
1( ) ( ) (0)t
u c
diu t L Ri i d udt C
τ τ∫= + + +
Za petlju 2: 2 20
1( ) ( ) ( )t
i Cu t R i i d u oC
τ τ∫= ⋅ + +
Za čvor A:
1 2 3 3 1 20; 0i i i i i i i− − = = ⇒ = = .
Iz ovih triju jednadžbi slijedi:
2
2
2 1 12i i u
i u
d u du duT T u T udt dt dt
+ + = + , (E - 1)
gdje je:
1 2,T RC T LC= =
Za rješenje ove dif. jednadžbe 2. reda mora biti poznato: (0) (0)i iu i u &
Copyright: Nedjeljko Perić
5 Primjer 3.2.: Mehanički sustav (prigušeni mehanički oscilator)
Sl. 3.2.
v2m
d
cxu
v1
P
v1 (= xi), v2 i xu opisuju brzine u označenim točkama.
Prema Newtonovu zakonu je:
i
dvm Fdt
∑= , (Fi - vanjske sile).
Copyright: Nedjeljko Perić
6 U promatranom slučaju je:
21 2( )dVm d V V
dt= − .
Iz ravnoteže sila u točki P slijedi: (sila prigušenja ≡ sila opruge):
[ ]1 2 10
( ) ( ) ( )t
ud V V c x V dτ τ τ∫− = − .
Iz ovih dviju jednadžbi slijedi (Usporedi s dif. jednadžbom za električki sustav (E - 1): imaju iste matematičke strukture):
2
2 1 12 1 1 12
uu
d V dV dxT T v x Tdt dt dt
+ + = + (M - 1)
gdje je:
1 2,m mT Td c
= =
Copyright: Nedjeljko Perić
7 Analogije:
sila i struja F = i
brzina i napon v = u
Koriste se i druge analogije, kao:
sila i napon F = u
brzina i struja v = i)
Copyright: Nedjeljko Perić
8 3.2. Opis sustava pomoću specijalnih izlaznih signala (to su
svojevrsni modeli) 3.2.1. Prijelazna funkcija h(t) (odziv na skokovitu pobudu S(t))
(engl. step response, njem. Übergangsfunktion)
1 0( ) 1/ 2 0
0 0
za tS t za t
za t
>⎧⎪= =⎨⎪ <⎩
, (3 - 1)
♦ skokovita funkcija = odskočna funkcija = jedinični skok (engl. step function, njem. Sprungfunktion, Einheitssprung)
.
( ) ( )u uo
konst
x t x S t= , (3 - 2)
0
( )( ) i
u
x th tx
= . (3 - 3)
Copyright: Nedjeljko Perić
9 3.2.2. Težinska funkcija (impulsni odziv) g(t)
To je odziv sustava na impulsnu funkciju δ(t).
(impulsna funkcija = jedinični impuls = Diracova funkcija) (engl. impuls response function, njem.Gewichtsfunktion)
δ(t) nije funkcija u smislu klasične analize, nego se mora promatrati kao poopćena funkcija ili distribucija.
Jednostavnosti radi, δ(t) se nadomješta pravokutnim impulsom:
1 0
0
za tr
inačeε
εε
⎧ ≤ ≤⎪= ⎨⎪ ⎩
, (3 - 4)
0
( ) lim ( )t r tεεδ
→ = , (3 - 5)
Copyright: Nedjeljko Perić
10
rε(t)1/ε
0 ε t 0 t
1
δ(t)
jakostimpulsa
Sl. 3.3.
(δ(0) → ∞)
Svojstva δ(t) su:
δ(t) = 0 za t ≠ 0 i ( ) 1t dtδ∞
−∞∫ = . (3 - 5)
Copyright: Nedjeljko Perić
11 U smislu teorije distribucija δ(t) i S(t) su povezane na način:
( ) ( )dt S tdt
δ = . (3 - 6)
Isto tako:
( ) ( )dg t h tdt
= . (3 - 7)
Copyright: Nedjeljko Perić
12 3.2.3. Konvolucijski integral (Duhamelov integral)
Promatramo dinamički sustav s:
♦ u(t) - ulaz (pobuda)
♦ y(t) - izlaz (odziv)
Vrijedi
0
( ) ( ) ( )t
y t g t u dτ τ τ∫= − . (3 - 8)
Ako su poznate težinska funkcija g(t) sustava i pobuda u(t), može se odrediti i odziv sustava y(t).
Isto tako:
♦ dekonvolucijom se dobije, za poznati tok signala u(t) i y(t), težinska funkcija g(t).
Copyright: Nedjeljko Perić
13 3.3. Prikaz u prostoru stanja 3.3.1. Prikaz u prostoru stanja za SISO sustave
Na RLC mreži prikazat ćemo opis sustava u prostoru stanja.
C
RLi
uu uC
Sl. 3.4.
Copyright: Nedjeljko Perić
14 Dinamičko vladanje sustava u cijelosti je definirano za t ≥ t0, ako su poznati:
♦ početne vrijednosti uC(t0) i i(t0)
i
♦ ulazni napon uu(t) za t > t0
Veličine uC(t) i i(t) karakteriziraju stanja mreže i označavaju se varijablama stanja mreže:
♦ Za promatranu mrežu vrijedi:
C u
diL Ri u udt
+ + =
CduC idt
=
⇓
Copyright: Nedjeljko Perić
15
1 1
1
C u
C
di R i u udt L L Ldu idt C
= − − +
=
♦ Matrični zapis:
11/
1 00n
CC
di Ri Ldt L L u
uduCdt
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
s početnim uvjetima:
0
0
( )( )C
i tu t
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Prethodna linearna vektorska dif. jednadžba opisuje odnos između ulazne veličine u i varijabli stanja x:
Copyright: Nedjeljko Perić
16 00, ( )x A x b u x t x= + =& (početno stanje). (3 - 9)
Algebarska jednadžba koja opisuje odnos izlazne veličine y s obzirom na varijable stanja x i ulaznu veličinu u glasi:
Ty c x d u= + ⋅ (3 - 10)
Za prije analizirani primjer je (Sl. 3.4.):
[ ]
010
02
( );
( )1
1
; ;1 0 0
0 1 ; 0
C C
u
T
i i txx x
u u tx
R LL LA b u u
C
c d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
Copyright: Nedjeljko Perić
17 3.3.2. Prikaz u prostoru stanja za MIMO sustave
x A x B u= + & s početnim uvjetom x(t0), (3 - 11)
y C x D u= + . (3 - 12)
gdje je:
1
n
xx
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M - (n × 1) vektor - vektor stanja
1
r
uu
u
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M - (r × 1) vektor - ulazni (upravljački) vektor
Copyright: Nedjeljko Perić
18
1
m
yy
y
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M - (m × 1) vektor - izlazni vektor
A (n × n) matrica sistemska matrica
B (n × r) matrica ulazna matrica
(upravljačka matrica)
C (m × n) matrica izlazna matrica
(matrica osmatranja, matrica mjerenja)
D (m × r) matrica ulazno/izlazna matrica
Copyright: Nedjeljko Perić
19 Značajke prikaza u prostoru stanja:
1. SISO i MIMO sustavi mogu se formalno obrađivati na isti način;
2. Ovaj je prikaz jako prikladan za teoretsku analizu (analitička rješenja, optimiranje), kao i za numeričko računanje (s računalom);
3. Vrlo je jednostavno izračunavanje vladanja homogenog sustava uz poznat početni uvjet x(t0 );
4. Ima se dobar uvid u unutarnje vladanje sustava.
U ovakvom prikazu definiraju se opća svojstva sustava, kao:
♦ upravljivost,
♦ osmotrivost.
Copyright: Nedjeljko Perić
20 Prikaz sustava u prostoru stanja (3-dimenzionalnom)
X2
X1
X3
Xtrajektorija
Sl. 3.5.
(trajektorija = putanja = krivulja stanja)
♦ Svaka promjena stanja sustava u prostoru stanja predstavlja se dijelom
trajektorije.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
4. OPIS LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU
4.1 Laplaceova transformacija (L - transformacija)
• najvažnije pomoćno sredstvo za rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima
• L-transformacija je integralna transformacija (jednostrana L-transf.):
0
( ) ( ) stF s f t e dt∞
−∫= (4 - 1)
gdje je:
f(t) - originalna funkcija (original) (gornje područje, vremensko područje) F(s) - slika funkcije (slika) (donje područje, područj kompleksne varijable)
s jσ ω= + - kompleksna varijabla
Copyright: Nedjeljko Perić
2 • Primjena definicijske relacije (4-1) temelji se na pretpostavkama:
a) f(t) = 0 za t < 0, (za kauzalne sustave)
b) integral (4-1) mora konvergirati.
Pridruženje između slike i originala:
( ) ( )F s L f t= ili F(s) f(t)
Integral za obrnutu (inverznu) L – transformaciju
1( ) ( )
2c j
st
c jf t F s e ds
jπ
+ ∞
− ∞∫=
, t > 0 (4 - 2)
(c - konstanta koja je veća od realnog dijela pojedinih singularnih točaka F(s))
1( ) ( )f t L F s−=
Copyright: Nedjeljko Perić
3 Za računanje ( ) 1L F s− postoje korespodentne tablice L-transformacija:
Br. Vremenska funkcija f(t), f(t) = 0 za t < 0
L - transformacija F(s)
1. δ(t) 1
2. S(t) 1s
3. t 2
1s
4. t2 3
2s
5. !
ntn
1
1ns +
6. ate− 1
s a+
Copyright: Nedjeljko Perić
4
7. atte− 2
1( )s a+
8. 2 att e− 3
2( )s a+
9. n att e− 1
!( )n
ns a ++
10. 1 ate−− ( )a
s s a+
11. 2
1 ( 1 )ate ata
− − + 2
1( )s s a+
12. (1 ) atat e−− 2( )s
s a+
13. sin tωo
2s tω
ω+o
o
14. cos tω o 22
ss ω+
o
Copyright: Nedjeljko Perić
5
15. sinate tω− o
( )2 2s aω
ω
+ + o
o
16. cosate tω− o
( )2 2
s as a ω
++ +
o
17. 1 tfa a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )0F as a >
18. ( )ate f t ( )F s a−
19. ( )0
f t a za t a oza t a
− > ≥
< ( )ase F s−
20. ( )t f t− ( )nd F sds
21. ( ) ( )nt f t− ( )n
n
d F sds
22. ( ) ( )1 2f t f t ( ) ( )1 2
12
c j
c jF p F s p dp
jπ
+ ∞
− ∞∫ −
Copyright: Nedjeljko Perić
6 Glavna svojstva L – transformacije
a) Teorem superpozicije
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )L a f t a f t a F s a F s+ = + , (4 - 3)
za proizvoljne konstante a1 i a2.
b) Teorem sličnosti
1( ) sL f at Fa a
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, za proizvoljnu konstantu a > 0. (4 - 4)
c) Teorem pomaka
( ) ( )asL f t a e F s−− = , za proizvoljnu konstantu a > 0.(4 - 5)
Copyright: Nedjeljko Perić
7 d) Teorem o deriviranju
( ) ( ) (0 )df tL sF s fdt
+= − . (4 - 6)
Za derivaciju n - tog reda je:
( 1)
( 1)1
( )( )0
n inn n i
n ii
d f d f tL s F s sdt dt
t
−−
−=+
∑⎧ ⎫ = −⎨ ⎬⎩ ⎭
=.
e) Teorem o integriranju
0
1( ) ( )t
L f d F ss
τ τ∫ = . (4 - 7)
Copyright: Nedjeljko Perić
8 f) Teorem o konvoluciji (kompoziciji) u vremenskom području.
Kompozicija dviju funkcija f1(t) i f2(t):
1 2 1 20
( ) ( ) ( ) ( )t
f t f t f f t dτ τ τ∫∗ = ⋅ − , (4 - 8)
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )L f t f t F s F s∗ = ⋅ . (4 - 9)
(∗ znak za kompoziciju (u matematici))
g) Teorem o konvoluciji (kompoziciji) u frekvencijskom području
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )2
c j
c jL f t f t F p F s p dp
jπ
+ ∞
− ∞∫⋅ = − , (4 - 10)
p - kompleksna varijabla integracije .
Copyright: Nedjeljko Perić
9 h) Teoremi o graničnim vrijednostima
1. Teorem o početnoj vrijednosti
0
(0 ) lim ( ) lim ( )st
f f t sF s+
+
→∞→= = . (4 - 11)
(f(t) je kauzalna funkcija)
Dokaz:
[ ]0
0
( ) ( ) ( ) (0 )
lim ( ) lim ( ) (0 ) .
st
st
s s
L f t f t e dt sF s f
f t e dt sF s f
+
+
∞− +
∞− +
→∞ →∞
∫
∫
= = −
= −
& &
& (lim ( ) 0st
sf t e−
→∞=& )
(Ovdje je integracija neovisna o s , pa, uz pretpostavku konvergencije integrala slijedi:
0 0
0
lim ( ) lim ( ) 0st st
s sf t e dt f t e dt
+ +
∞ ∞− −
→∞ →∞
=
∫ ∫= =& &14243
.
Copyright: Nedjeljko Perić
10 2. Teorem o konačnoj vrijednosti
0
( ) lim ( ) lim ( )t s
f f t sF s→∞ →
∞ = = . (4 - 12)
Dokaz:
[ ]0 00
lim ( ) lim ( ) (0 )st
s sf t e dt sF s f
+
∞− +
→ →∫ = −&
( ste− → rastav u Taylorov red)
2
0 0 0 0
0
( )lim ( ) ( )( ) ( ) ...2!s
stf t dt f t st dt f t dt+ + +
∞ ∞ ∞
→
=
∫ ∫ ∫
⎡ ⎤⎢ ⎥+ − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
& & &
144444424444443
Ako F(s) ima polove u s = 0 ili na imaginarnoj osi, ili u desnoj poluravnini s tada se ne može primijeniti teorem o konačnoj vrijednosti.
Copyright: Nedjeljko Perić
11 Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija
( ) ( )1 , 02
c jst
c jef t F s ds t
jπ
+ ∞
− ∞∫= >
. (4 - 2)
Zbog složenosti određivanja f(t) prema (4-2) koriste se korespodentne tablice L - transformacija.
Ako se u tablicama ne nalaze složenije funkcije F(s), onda se ta funkcija prikaže sljedećim rastavom:
1 2( ) ( ) ( ) ( )nF s s s sF F F= + + ⋅⋅ ⋅ + (4 - 13)
i primjeni L - transformacija:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 11 2
1 2
n
n
L L L LF s s s sF F Ft t t f tf f f
− − − −= + + ⋅⋅⋅ + =
= + + ⋅⋅ ⋅ + = (4 - 14)
F(s) je u sustavima upravljanja često razlomljena racionalna funkcija:
Copyright: Nedjeljko Perić
12
( ) ( )( )
0 1
0 1
mm
n
Z ssd d d sF ss N se e s
+ + ⋅⋅⋅ += =
+ + ⋅⋅⋅ + (4 - 14)
Dva su slučaja
♦ m > n
♦ m < n
Faktorizacijom polinoma N(s) u izrazu (4 - 14) dobije se:
( ) ( )( )( ) ( )1 2 n
Z sF s
s s s s s s=
− − ⋅⋅ ⋅ −. (4 - 15)
Polinom N(s) ima n korijena (nul točaka): s = s1, s2,... sn.
Ove nul točke predstavljaju polove od F(s).
Ovisno o polovima, imamo sljedeće slučajeve:
Copyright: Nedjeljko Perić
13 Slučaj 1: F(s) posjeduje samo jednostruke polove
1
( )n
k
kk
cF ss s=
∑=−
. (4 - 16)
ck - reziduum (realna ili kompleksna konstanta)
1
( ) kn s t
kk
f t c e=
∑= , za t > 0 (4 - 17)
Ovdje se ck može odrediti:
♦ usporedbom koeficijenata ili ♦ teoremom o reziduumu:
( ) ( )( )( ) ( )
kk k
kk
Z s Z sc s ss sN s N s
= = −′ =
, (4 - 18)
1,2,........
( )k
k
k n
dNN ss sds
=
′ = .=
Copyright: Nedjeljko Perić
14 Slučaj 2: F(s) posjeduje i višestruke polove.
Ako imamo višestruke polove od F(s), višestrukosti rk (k = 1,2,......... l), tada se rastavom u parcijalne razlomke dobije:
1 1
( )( )
krk
kk
cF ss s
ννν= =
∑ ∑=−
l
(4 - 19)
1
1 1( )
( 1)!k
kr
s t k
k
c tf t eν
ν
ν ν
−
= =∑ ∑
=
−l
, za t > 0 (4 - 20)
[ ]( )
( )
1 ( )( )( )!
k
k
k
rr
k krkk
dc F s s ss sr ds
ν
ν νν
−
−
⎧ ⎫ = −⎨ ⎬ =− ⎩ ⎭. (4 - 21)
(ckν može biti realan ili kompleksan; 0! = 1 - prema definiciji).
Slučaj 3: F(s) posjeduje i konjugirano kompleksne polove.
Copyright: Nedjeljko Perić
15 Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću L – transformacije
Diferencijalna
jednadžba
Algebarskajednadžba
L-transformacija
Sl. 4.1.
Original
Slika Rješenje
Rješenje
L-1-transformacija
Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe predstavlja vlastito gibanje
sustava, dakle vladanje koje je ovisno samo o početnim uvjetima:
( )
00
in
i ii
d x ta
dt=∑ = . (4 - 22)
Copyright: Nedjeljko Perić
16 Za n početnih uvjeta:
( ) ( ), 0,1,2,... 1
0
i
i
d x ti n
dt t + = −
=
primjenom L - transformacije na (4 - 22) dobije se:
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
1
10 0 1
1
11 1
0
0 ,0
0 .
n n ii ii i
i i
n i ii
i
n ii
i
dX s a s a s x tdt t
da s x tZ sdt tX sN sa s
νν
νν
νν
νν
−−
− += = =
−−
− += =
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
⎡ ⎤⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ =⎣ ⎦
== =
(4 - 23)
(početni uvjeti sadržani su samo u polinomu brojnika)
Copyright: Nedjeljko Perić
17 Vlastito gibanje opisano je polovima sk (k = 1, 2, ............. n) od X(s), koji se
dobiju rješenjem:
0
0n i
ii
a s=∑ = . (4 - 24)
Faktorizacijom (4 - 24) dobije se:
( )( ) ( )1 2 0ns s s s s s− − ⋅⋅⋅ − = . (4 - 25)
Izraz (4 - 23) može se, dakle, razložiti u parcijalne razlomke. Ako se radi, primjerice, o jednostrukim polovima , dobije se:
( )1
, 0kn s t
kk
x t c e t=
∑= >
Copyright: Nedjeljko Perić
18 Položaji polova sk u s - ravnini u cijelosti karakteriziraju vlastito vladanje
sustava opisanog homogenom diferencijalnom jednadžbom.
Za slučaj sk < 0 isčezavajuće oscilatorno vladanje
Za slučaj sk > 0 raspirivajuće oscilatorno vladanje
Za slučaj sk = 0 trajno osciliranje
Stoga se jednadžba (4-24), odnosno (4-25) naziva karakterističnom jednadžbom sustava. Polovi sustava sk od X(s) nazivaju se vlastitim vrijednostima.
Copyright: Nedjeljko Perić
19 4.2. Prijenosna funkcija
Linearni, kontinuirani, vremenski invarijantni sustav s koncentriranim parametrima opisuje se sljedećom diferencijalnom jednadžbom:
( ) ( )
0 0.
i jn m
i ji ji j
d y t d x ta b
dt dt= =∑ ∑= (4 - 26)
• Ako su svi početni uvjeti jednaki nuli, dobije se L - transformacijom:
( ) ( )0 0
n mi ji j
i jY s a s X s b s
= =∑ ∑= ,
( )( ) ( ) ( )
( )1
0 1
mo m
nn
Y s Z sb b s b s G sX s a a s a s N s
+ + ⋅⋅ ⋅ += = =
+ + ⋅⋅ ⋅ + (4 - 27)
G(s) je prijenosna funkcija sustava. Pretpostavlja se da nema mrtvog vremena.
Copyright: Nedjeljko Perić
20
( ) ( ) ( )Y s G s X s= ⋅ . (4 - 28)
• Uvjet realizacije za prijenosnu funkciju G(s):
( ) ( ) Stupanj StupanjZ s N s≤ . (4 - 29)
• Prijenosna funkcija sustava je L - transformacija impulsnog odziva sustava:
( ) ( ) G s L g t= . (4 - 30)
Dokaz:
( ) ( ) ( )0
t
y t g t x dτ τ τ∫= − (3 - 8)
Izlaz sustava dobije se konvolucijom ulaza x(t) s težinskom funkcijom g(t). Primjenom L - transformacije i teorema o konvoluciji (4 - 9) slijedi:
( ) ( ) ( )
( )G s
Y s L g t X s=14243
Copyright: Nedjeljko Perić
21 Polovi i nule prijenosne funkcije
Za čitav niz istraživanja sustava prikladno je razlomljenu racionalnu prijenosnu funkciju G(s) faktorizirati (npr. u analizi stabilnosti sustava):
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 20
1 2
N N Nm
p p pn
Z s s S s S s SG s k
N s s S s S s S− − ⋅ ⋅ ⋅ −
= =− − ⋅ ⋅ ⋅ −
(4 - 31)
gdje je: ♦ SNi - nule od G(s) ♦ Spj - polovi od G(s)
SNi i Spj mogu biti:
♦ realni ♦ konjugirano kompleksni.
0 σ
jω
...polovi
....nule
Sl. 4.2.
Copyright: Nedjeljko Perić
22 Operacije s prijenosnim funkcijama (blokovska algebra)
a) Serijski spoj (Sl. 4.3.)
G1(s) G2(s)X1 X2 Y
( ) ( ) ( )2 2Y s G s X s= ⋅ ( ) ( ) ( )2 1 1X s G s X s= ⋅
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1Y s G s G s X s= ⋅ ⋅
( ) ( )( ) ( ) ( )1 2
1
Y sG s G s G s
X s= = ⋅ . (4 - 32)
♦ Analogno je za serijski spoj n elemenata ( ) ( )1
n
ii
G s G s=
∏= .
Copyright: Nedjeljko Perić
23 b) Paralelni spoj (Sl. 4.4.)
G1(s)
G2(s)
X Y
Y1
Y2
+
+
( ) ( ) ( )1 1Y s G s X s= ⋅ ( ) ( ) ( )2 2Y s G s X s= ⋅
( ) ( ) ( )1 2Y s Y s Y s= + ( ) ( ) ( ) ( )1 2Y s G s G s X s⎡ ⎤= +⎣ ⎦
( ) ( )( ) ( ) ( )1 2
Y sG s G s G s
X s= = + . (4 - 33)
♦ Analogno je za paralelni spoj n elemenata 1
( ) ( )n
ii
G s G s=∑= .
Copyright: Nedjeljko Perić
24 c) Kružni spoj (Povratni spoj) (Sl. 4.5.)
G1(s)
G2(s)Z
X-
+
(+)
Y
• povratna veza ♦ pozitivna ♦ negativna
( ) ( )( )
( ) ( )1Y s X s Z s G s+
⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 2( ) ( ) ( )Z s G s Y s= ⋅
2 1( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s X s G s Y s G s
+⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ( ) ( )
( ) ( ) ( )1
1 21G s
Y s X sG s G s
= ⋅±
( ) ( )( )
( )( ) ( )1
1 21Y s G s
G sX s G s G s
= =±
. (4 - 34)
Copyright: Nedjeljko Perić
25 • jedinična povratna veza (Sl. 4.6.)
G1(s)X(s) +
-Y(s)
( )( )
( )( )
1
11Y s G sX s G s
=+
(4 - 35)
• svođenje na jediničnu povratnu vezu (Sl. 4.7.)
G1(s)
G2(s)
X(s) +-
Y(s) X(s)G1(s)G2(s)+
-Y(s)1
G2(s)
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 2 1 2
1 2 2 2 1 2
11 1
Y s G s G s Y s G s G sX s G s G s G s X s G s G s G s
= ⋅ ⇒ = ⋅+ +
Copyright: Nedjeljko Perić
26 Primjer 4.1.: Operacijsko pojačalo s povratnom vezom (Sl. 4.8.)
G2(s)
-
+
R
iu
Uu Ui
ip
Ru
veliko pojačanje K
( Y )( X ) A
(K→ ∞ )
0u pi i+ =
točka A - virtualna nula (sumacijska točka)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 , ,p u
u u p u i
i
I s U sG s I s I s I s R K U s
U s R= = + ⋅ ⋅ = −
slijedi:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2
2
1 111
i
u
U sKG sKG s G s I sG s
K
= = = =+ +
. (4 - 36)
Copyright: Nedjeljko Perić
27
( ) ( )( )( )2
1 i
u
U sG s R
G s U s= = ⋅
♦ Vanjska mreža oko operacijskog pojačala definira dinamička svojstva sklopa (regulatora).
Specijalni slučaj primjera 4.1. (Sl. 4.8.)
-
+
RUu Ui
C
( )( ) ( ) ( )2
1i
u
U sG s G s Cs
U s RCs= = ⇒ =
Copyright: Nedjeljko Perić
28 Primjer 4.2.: Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom
Vrtnja svitka protjecanog istosmjernom strujom u magnetskom polju:
-+
S
Nos
I
I
Kliznikoluti
N
S
Φu F
Fd/2 Smjer
rotacije
Sl.4.8.a) Načelo rada istosmjernog stroja
Pri tome je zakretni moment:
2 2d dM F F F d= ⋅ + ⋅ = ⋅ .
(4 - 37)
Sila zakretanja proporcionalna je uzbudnom toku Φu i struji I koja protječe kroz svitak (gdje je Km konstanta određena konstrukcijom stroja):
Copyright: Nedjeljko Perić
29 1 ,u u m uF I M k I K I∼ Φ ⋅ ⇒ = Φ ⋅ = Φ ⋅ (4 - 38)
Istodobno se u svitku inducira protuelektromotorna sila (napon):
E Blv= , (4 - 39)
∗ uBA
Φ= - magnetska indukcija, [ T ].
∗ l - duljina svitka, [ m ].
∗ 2dv = ⋅ Ω - obodna brzina, [ m/s ],
∗ (Ω - brzina vrtnje u rad/s).
Copyright: Nedjeljko Perić
30
Sl. 4.8b) Našelna izvedba motora.
Iu
Uu
Ru Φ
u
Ω
Mt
RaLa
E
Ua
Ia
Sl.4.8.c) Nadomjesna shema motora.
Iz (4 - 39) slijedi (Ke - konstanta određena konstrukcijom stroja): e uE K= Φ Ω , (4 - 40)
Copyright: Nedjeljko Perić
31 Na glavnim polovima P statora S nalaze se uzbudni namoti napajani
uzbudnim naponom Uu kroz koje teče struja uzbude Iu; struja uzbude stvara uzbudni tok (glavni magnetski tok) Φu.
K - kompenzacijski namot smješten na polnim papučicama, W - komutacijski polovi.
U utorima armature A leže namoti koji se preko četkica Č i kolektora napajaju naponom armature Ua, te teče struja Ia. Rezultirajući tok armature Φa poprečan je uzbudnom toku (vektor toka Φa zakrenut je za 90°el u odnosu na tok Φu). Tok Φa znatno je manji od Φu zbog velikog zračnog raspora.
• Armaturni krug
,
.
aa a a a
e u
dIU E R I Ldt
E K
= + +
= Φ Ω
(4 - 41)
Copyright: Nedjeljko Perić
32 ♦ Za Uu = konst. → Φu = konst., te slijedi:
,E K= Ω , (4 - 42)
gdje je: [ ], .e uK K Vs= Φ
♦ Razvijeni moment motora - električki moment (M = Mm):
m m u aM K I= Φ ⋅ ⇒ Za Φu = konst. slijedi: m aM K I= ⋅ (4 - 43)
• Jednadžba gibanja:
m t
dM M JdtΩ
= + (4 - 44)
J - moment inercije rotirajućih masa, [kgm2],
Copyright: Nedjeljko Perić
33 Mt - moment tereta (poremećaj na proces), [Nm].
♦ Općenito je: ( )1tM f= Ω . (4 - 45)
Ponekad je ( )1 ,tM f ϕ= Ω , gdje je ϕ - zakret osovine motora.
• Uzbudni krug
,uu u u u
dU R I NdtΦ
= ⋅ + (4 - 46)
Nu - broj zavoja uzbudnog namota.
Za linearni odnos između Φu i Iu :
uu u u u
dIU R I Ldt
= + .
Ovisnost uzbudne struje o uzbudnom toku nelinearna je:
( )2u uI f= Φ . (4 - 47)
Copyright: Nedjeljko Perić
34 Primjenom L - transformacije na gornje linearne diferencijalne jednadžbe
dobije se:
( )1
aa a
a
KI U ET s
= −+
, (4 - 41a)
gdje je:
1a
a
KR
= -koeficijent "pojačanja" motora,[A/V],
aa
a
LTR
= -armaturna (električka) vremenska
konstanta,[s].
1 ( ) ,m tM MJs
Ω = − (4 - 48)
1 ( ) .u u u u
u
U R IN s
Φ = − (4 - 49)
Iz (4 - 41a), (4 - 48) i (4 - 49) dobije se strukturni blokovski prikaz istosmjernog motora s nezavisnom uzbudom.
Copyright: Nedjeljko Perić
35
Ka1+Tas
Km1Js
Ke
f1(Ω)
1Nus
f2(Φu)Ru
Ua
Uu +
-IuRu
Iu
+-
E
Ia ΦuIa Mm
+-Mt
Ω ΦuΩ
Φu
Sl. 4.9.a)
• Brzina vrtnje motora može se upravljati promjenom napona armature i promjenom napona uzbude.
Copyright: Nedjeljko Perić
36 • U "kombiniranoj" regulaciji (Sl 4.10.):
Mm,P,UaΦu,Ia
Mm
Φu
P
Ua
Ia
Ωn Ω0
♦ promjenom napona armature upravlja se do nazivne brzine vrtnje Ωn (pri tome je Φu = Φun);
♦ promjenom napona uzbude upravlja se iznad Ωn slabljenje polja); pri tome je napon armature konstantan.
Ovo postaje evidentnim prema sljedećem razmatranju:
Copyright: Nedjeljko Perić
37
stac.stanje
aa a a a a a a
a e u a a
a a a
e u
a
e u
dIU E R I L U E R Idt
U K R IU R I
KU
K
= + + ⇒ = +
= Φ Ω +−
Ω =Φ
Ω ∼Φ
(4-50)
Blokovska shema upravljanja brzinom vrtnje upravlja promjenom napona armature (Uu = konst., → Φu = konst.) (Sl. 4.9 b)):
KKa1+Tas
1Js
K
Ua +-
E
Ia Mm+
-Mt
Ω
Inherentna povratna veza motora
- poremećajna veličina
Copyright: Nedjeljko Perić
38 Iz Sl. 4.9.b) dobije se:
2
( ) 1 1 ,( ) 1a m a m
sU s K T s T T sΩ
= + +
(uz Mt(s) = 0) (4 - 51)
2 2
1( ) 1 ,( ) 1
a
t a m a m
T ssM s K K T s T T s
+Ω = −
+ + (uz Ua(s) = 0) (4 - 52)
gdje je:
2 2a
m
a
JR JTK K K
= = - elektromehanička vremenska konstanta , [s].
Blokovski prikaz (Sl. 4.11.):
1+Tms+TaTms2KaK2
K 1+Tms+TaTms21
1 1+Ta s
1Ua(s)
Mt(s)
Ω(s)+ -
Copyright: Nedjeljko Perić
39 Ako se promatra struja armature kao regulirana veličina onda je:
( ) 2 2
1 1( ) ( )1 1
a ma a t
m a m m a m
K T sI s U s M sT s T T s K T s T T s
= ++ + + +
. (4 - 53)
• Prepoznaje se opći oblik prijenosne funkcije 2. reda:
( ) 221 2
2
ˆ 21 1
s s
n n
K KG ss sa s a s ζ
ω ω
= = + + + +
(4 - 54)
gdje je:
ωn - prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija, [s-1], 1
n
a mT Tω =
ζ - relativni koeficijent prigušenja, 12
m
a
TT
ζ =
Copyright: Nedjeljko Perić
40 Dobivanje G(s) iz prikaza u prostoru stanja
Promotrimo:
( ) ( ) ( ) ( ), 0 0x t Ax t b u t x= + =&
( ) ( ) ( )Ty t c x t du t= + .
L - transformacija prethodne diferencijalne jednadžbe daje:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1
;
.
sX s AX s bU s
sI A X s bU s
X s sI A bU s−
= +
− =
= −
(4 - 55)
Copyright: Nedjeljko Perić
41 • Nadalje je (uz I - jedinična matrica):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1T TY s c X s d U s c sI A b d U s−⎡ ⎤= + ⋅ = − +⎣ ⎦
( )( ) ( )
Y sG s
U s=
( ) ( ) 1 0 1
0 1
ˆm
T mn
n
b b s b sG s c sI A b da a s a s
− + + ⋅ ⋅ ⋅ += − + =
+ + ⋅⋅ ⋅ + . (4 - 56)
Copyright: Nedjeljko Perić
42 Primjer 4.3.: Sustav opisan matematičkim modelom u tzv. standardnom
Frobeniusovom obliku
1 1
2 2
1 1
0 1 2 1
0 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1n n
nn n
x xx x
ddt
x xa a a ax x
− −
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
L
M M M M O M M
L
L
00
01
u
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
+ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
M , (4 - 57)
[ ]
1
2
0 1 1 0 0 0m m
n
xx
y b b b b
x
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
L LM
. (4 - 58)
• Traži se : G(s) i diferencijalna jednadžba n - tog reda
Copyright: Nedjeljko Perić
43
bm-1
am-1
bm b1
a0am
b0
a1an-1 an-2
1s
1s
1s
1s
U+- -
++ +
Y
xn xn-1 xm+1 xm x2 x1m 1n n-1
Sl. 4.12.
∗ n blokova s integrirajućim vladanjem (I-članovi) i i ∗ m + n + 1 blokova s proporcionalnim vladanjem.
Copyright: Nedjeljko Perić
44
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1
23 1
11
11
mm
nn
X s sX s
X s s X s
X s s X s
X s s X s
−
−
=
=
=
=
M
M
Za ulaznu veličinu n - tog integratora: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 0 1n n n n nsX s a X s a X s a X s U s− − −= − − − +L .
slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
45
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
1 21 1 1 2 1 0 1
1
1 21 2 0
0 1 1 2 1
0 1 1
0 1
1
1
.
n n nn n
n n nn n
m m
mm
mm
s X s a s X s a s X s a x s U s
X sU s s a s a s a
Y s b X s b X s b X s
Y s b b s b s X s
Y sb b s b s
X s
− −
− −
− −
− −
+
= − − − − +
↓
=+ + + +
= + + +
↓
= + +
↓
= + + +
L
L
L
L
L
Copyright: Nedjeljko Perić
46 • Ukupna prijenosna funkcija G(s) glasi:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
1 0 1 1
mmn n
n
Y s Y s X s b b s b sG sU s X s U s a a s a s s−
−
+ + += = ⋅ =
+ + + +L
L
Primjenom inverzne L - transformacije dobije se diferencijalna jednadžba:
( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 0 1 0 .n n m m
n m my a y a y b u b u b u− −
− −+ + + = + + + L L
Copyright: Nedjeljko Perić
47 Prijenosna funkcija sustava s raspodijeljenim parametrima
• za linearne kontinuirane sustave s koncentriranim parametrima ⇒ prijenosna funkcija obliku razlomljene racionalne funkcije
• za linearne sustave s raspodijeljenim parametrima ⇒ prijenosna funkcija u obliku transcedentne prijenosne funkcije
Primjer 4.4: Prijenos topline kroz cijev (Sl. 4.13.)
0 L
Z
ϑ(0,τ) ϑ(L,t) ϑ (0, t) - vremenski tok temperature na ulazu cijevi ϑ (L, t) - vremenski tok temperature na izlazu cijevi
Za prijenos topline kroz cijevi vrijedi parcijalna diferencijalna jednadžba:
,Fwt z
∂ ϑ ∂ ϑ∂ ∂
= −
wF - brzina gibanja fluida, (ϑ (z, 0) = 0). (4 - 59)
Copyright: Nedjeljko Perić
48 Na prethodnu diferencijalnu jednadžbu primjenjuje se L - transformacija, pri čemu vrijedi (Ovdje je s parametar.):
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0, , , ,
, ,0 ,
, ,
, , .
st
F
L z t z s z t e dt
L s z s zt
dL z sz dz
ds z s w z sdz
ϑ ϑ
∂ ϑ ϑ∂∂ ϑ∂
∞−
∫ = Θ =
⎧ ⎫ = Θ − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ = Θ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭
⇓
Θ = − Θ
(4 - 60)
Iz parcijalne diferencijalne jednadžbe u vremenskom području nastaje obična diferencijalna jednadžba za prostornu varijablu z.
Opće rješenje prethodne dif. jednadžbe: ( ), F
z swz s C e
− ⋅
Θ = ⋅ . (4 - 61)
Copyright: Nedjeljko Perić
49 Prijenosna funkcija dobije se kao:
( ) ( )( )
( )( )0
,,
0,
F
F
L sw
sw
L s Y sC eG ss X sC e
−
−
Θ ⋅= = =
Θ ⋅
iz čega slijedi:
( )( )( )
tF
L sT sw Y sG s e e
X s−
−= = = . - transcedentna prijenosna funkcija (4 - 62)
gdje je: t
F
LTw
= - mrtvo vrijeme (transportno kašnjenje).
Tt $= Td ( $= Tmv) (dead time, time delay , engl.; Totzeit , njem.)
U vremenskom području je: ( ) ( )ty t x t T= − . (4 - 63)
Mrtva vremena koja se susreću u procesnoj industriji relativno su velikih iznosa (problemi pri upravljanju takvim procesima).
Copyright: Nedjeljko Perić
50 Primjer 4.5.: Prijenos materijala (Sl. 4.14.)
M
qu
v
Lqi
Ω=konst.
vLTt =
( ) ( ) ,i u tq t q t T= − (4 - 64)
( ) .( )
tT si
u
Q s eQ s
−= (4 - 65)
U primjerima 4.4 i 4.5 radi se o procesima s čistim transportnim kašnjenjima.
Copyright: Nedjeljko Perić
51 Prijenosna funkcija procesa s transportnim kašnjenjem i dinamičkim vladanjem • Nadomjesni model procesa
w
0 tz ta
Kp
t
tangentay(t)=h(t)
Sl. 4.15. (Tipični oblik za npr. toplinske
procese.)
tz - vrijeme zadržavanja ta - vrijeme porasta
ˆp sK K= i W - točka infleksije.
∗ Nadomjesno mrtvo vrijeme i nadomjesna vremenskoj konstanta:
z t
a
t Tt T
≈≈
( )1
tT sp
p
K eG s
Ts
−⋅=
+ (4 - 66)
Copyright: Nedjeljko Perić
52 • Ako je Tt < T znatno, onda se može primijeniti aproksimacija:
1
1tT s
t
eT s
− ≈+ (4 - 67)
ili Padéova aproksimacija:
1
2lim1
2
t
n
t
T s
nt
T sne T sn
−
→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
. (4 - 68)
Za n = 1 dobiva se Padéova aproksimacija 1. reda.
Copyright: Nedjeljko Perić
53 Prijenosna matrica
Za MIMO sustave (procese) imamo:
u1, u2, ..... ur = u ulaza y1, y2,...... ym = y izlaza
( ) ( ) ( )Y s G s U s= ⋅ (4 - 69)
gdje je: G(s)-prijenosna matrica (engl. transfer matrix, njem. Uebertragungsmatrix)
Copyright: Nedjeljko Perić
54 Primjer 4.6.: MIMO sustav s dva ulaza i dva izlaza
G11
G21
G12
G22
U1
U2
+
+
++
Y1
Y2
Sl. 4.16.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
Y s G s U G s U s
Y s G s U s G s U s
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
1 11 12 1
2 21 22 2
Y s G s G s U s
Y s G s G s U s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Copyright: Nedjeljko Perić
1
4.3. Prikaz sustava pomoću frekvencijske karakteristike G(s), s = σ + jω Ako se uzme σ = 0 ⇒ s = jω, tada G(s) → G( jω) - frekvencijska karakteristika
( )( )( )
y jG jx j
ωωω
=
- frekvencijska prijenosna funkcija
(sinusna prijenosna funkcija). G(s) je apstraktni nemjerljivi oblik matematičkog prikaza linearnih sustava.
Ovo je parametarski oblik matematičkog modela procesa (sustava). G(jω) dade se neposredno fizikalno interpretirati i može se mjeriti. Ovo je
neparametarski oblik matematičkog modela procesa (sustava).
Copyright: Nedjeljko Perić
2 • Frekvencijska karakteristika dade se prikazati kao kompleksna veličina: ( ) ( ) ( ) ,G j R jIω ω ω = + (4-70)
R(ω) - realni dio; I(ω) - imaginarni dio ili ( )( ) ( ) ,jG j A e ϕ ωω ω = (4 - 71)
A(ω) - amplitudna karakteristika (ampliltudno - frekvencijska karakteristika) ϕ(ω) - fazna karakteristika (fazno - frekvencijska karakteristika). • Neka je sustav pobuđen s: ( ) sin ,mx t X tω= (4 - 72)
tada je odziv linearnog kontinuiranog sustava: ( ) sin( ),my t Y tω ϕ= + (4 - 73)
(ϕ = ω tϕ - fazni pomak izlaznog signala prema ulaznom signalu).
Copyright: Nedjeljko Perić
3
Sl. 4.17.
• Ako se eksperiment obavi za različitefrekvencije
ων (ν = 0, 1, 2, ........) uz Xm = konst.
onda se dobiti ovisnost amplitude i faze izlaznog signala o frekvenciji:
, ( ) , ( ) .m mY Yν ν ν νω ϕ ϕ ω= =
0
x(t)
t
x(t)=Xmsinωt
0 t
y(t)
y(t)=Ymsin(ωt+ϕ)
ϕ
x
ytϕ= ϕω
Copyright: Nedjeljko Perić
4 • Iz toga slijedi:
2 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ,m
m
YA G j R IXωω ω ω ω
= = = + (4 - 74)
( )( ) arg ( ) .( )
IG j arc tgR
ωϕ ω ωω
= =
(4 - 75)
• G(jω) sadrži iste informacije o procesu kao i G(s) i h(t). • Na temelju teorema o početnoj i konačnoj vrijednosti, definiranih L -
transformacijom, slijedi uz 1( ) ( )H s G ss
= :
0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ,t s s j
h t sH s G s G jω
ω→ →∞ →∞ →∞
= = = (4 - 76)
0 0 0lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) .t s s j
h t sH s G s G jω
ω→∞ → → →
= = = (4 - 77)
Copyright: Nedjeljko Perić
5 Krivulja mjesta frekvencijske karakteristike (frekvencijski hodograf) )(( ) ( ) jG j A e νϕ ω
ν νω ω = - prikaz ove ovisnosti u kompleksnoj G - ravnini
A(ων)
ϕ(ων)ω=0
ω=∞
ων
j Im[G]
Re[G]
G - ravnina
Sl. 4.18.
• Ovakav se prikaz naziva i Nyquistovim prikazom (polarnim dijagramom), gdje je ω parametar.
Copyright: Nedjeljko Perić
6 • Iz krivulje mjesta frekvencijske karakteristike (dobivene eksperimentalno)
može se grubo procijeniti tijek prijelazne funkcije h(t):
ω
abj Im[G]
Re[G]ω=0
ω=∞ 0
a
h(t)
b
t
Sl. 4.19.
Copyright: Nedjeljko Perić
7 Bodeov dijagram
( )( ) ( ) jG j A e ϕ ωω ω = - Ucrtavaju se neovisno A(ω) i ϕ(ω) (Sl. 4.20.).
0
5 -
10 -
15 -
|
1|
2|
3|
4
A(ω)
ω[s-1]
20 -
40 -
|
0,1|
1|
10
A(ω)dB
| | | |
-90o -
-180o -
-270o -
0 ϕ(ω)ω[s-1]
| | |
-90o -
-180o -
-270o -
0 ϕ(ω)ω[s-1]
ω[s-1]
linearni prikaz logoritamski prikaz
Copyright: Nedjeljko Perić
8
• Svrsishodno je da se A(ω) i ω nanose logaritamski, a ϕ(ω) linearno ⇒ Onda se takav prikaz naziva Bodeovim dijagramom.
• Uobičajeno se A(ω) daje u decibelima (dB):
[ ]( ) 20log ( )dBA A dBω ω = . (4 - 78) (U komunikacijama se pojačanje snage definira u decibelima:
10log idB
u
PAP
= , budući da je snaga proporcionalna kvadratu napona, onda
je naponsko pojačanje: 20log idB
u
UAU
= ).
• Logaritamski prikaz daje posebne prednosti pri razmatranju sustava u kojima se pojavljuju prijenosni elementi spojeni u seriju. Npr.:
1
1
( )........( )( ) ,( )........( )
N Nm
p pn
s s s sG ss s s s− −
= − − (4 - 79)
Copyright: Nedjeljko Perić
9
• Uz s = jω može se prikazati kao serijski spoj elemenata:
( ) ( ) , 1,2,..... 1,2,.....
i NG j j s i mm
µω ωµ
= − =
= (4 - 80)
i
1( ) , 1, 2,....
=1,2,........n
i
p
G j i m m m nj s ν
ωω
ν
= = + + + −
(4 - 81)
• Iz (4 - 79), (4 - 80) i (4 - 81) slijedi:
1( ) ( )...... ( ) ,m nG j G j G jω ω ω+ =
(4 - 82)
gdje je:
Copyright: Nedjeljko Perić
10
[ ]1 2
( )
( ) ( ) .... ( )
1 2
( ) ( ) , 1,.......
( ) ( ) ( ).... ( ) ,
i
m n
ji i
j
m n
G j A e i m n
G j A A A e
ϕ ω
ϕ ω ϕ ω ϕ ω
ω ω
ω ω ω ω +
+ +
+
= = +
⇓
=
odnosno:
( ( ( ( ( (1 2 1 2( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )...... ( ) .m n m nA G j G j G j A A Aω ω ω ω ω ω ω+ + = = (4-82) Logaritamsko amplitudna karakteristika:
[ ]1 2
1 dB 2 dB m+n dB
( ) 20log ( ) ( ).... ( ) ( ) +A ( ) +......+A ( )
dB m nA A A AA
ω ω ω ωω ω ω
+ = =
= (4 - 83)
fazna karakteristika:
1 2( ) ( ) ( ) ...... ( ) .m nϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω+ = + + + (4 - 84)
Copyright: Nedjeljko Perić
11
• Druge prednosti logaritamskog prikaza frekvencijske karakteristike: ♦ Jednostavnost prikaza inverzije frekvencijske karakteristike:
11 ( )
( )G j
G jω
ω−=
[ ]120log ( ) 20log ( ) 20log ( ) ,G j G j Aω ω ω−⎡ ⎤ = − = − ⎣ ⎦ (4 - 85)
i
[ ]1arg ( ) arg ( ) ,G j G jω ω− = − ⎡ ⎤⎣ ⎦ (4 - 86)
(zrcalne slike s obzirom na os o dB, odnosno ϕ = 0). ♦ jednostavna mogućnost približnog crtanja A(ω) i ϕ(ω) (pomoću
pravaca), u svrhu analize i sinteze sustava upravljanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
12 Najvažniji prijenosni članovi (elementi) • Prikaz:
♦ G(s) ♦ G(jω) ♦ krivulja mjesta frekvencijske karakteristike ♦ Bodeov dijagram
Prijenosni član s proporcionalnim djelovanjem (P-član) ( ) ( ) ,y t K x t= ⋅ (4 - 87)
K - koeficijent pojačanja (faktor pojačanja) P-člana (skraćeno pojačanje); proizvoljna pozitivna ili negativna konstanta
Copyright: Nedjeljko Perić
13
Re [ G]K
Im [ G ]
G - ravnina
0
( )( )( )
( )
Y sG s KX s
G j Kω
= =
=
Bodeov dijagram ( ) 20log .dB dBA K K konstω = = =
Copyright: Nedjeljko Perić
14 Primjer 4.3.:
-
+
R1
R2
X=U1Y=U2
X Y
a b
y K x
Kab
= ⋅
= =
,
$ KR
y K x
K KRRR
= ⋅
= = −$ 2
1
Sl. 4.21.
Copyright: Nedjeljko Perić
15 Prijenosni član s integralnim djelovanjem (I - član) (TI - integralna vremenska konstanta.
0
1( ) ( ) (0) ,t
I
y t x d yT
τ τ∫= + (4 – 88)
/ 2
1( )
1 1( )
1( ) , ( ) / 2
1( ) 20log 20log
I
j
I I
I
dB I
I
G sT s
G j ej T T
AT
A TT
πωω ω
ω ϕ ω πω
ω ωω
−
=
= =
= = −
= + = −
Bodeov dijagram:
-20dB/dek
0
10 -
20 -
-
-10 -
-20 -
A(ω)dB
ω[s-1]
ϕ(ω)
0o
-90o -
ω[s-1]
1
TI
Copyright: Nedjeljko Perić
16
Nyquistov prikaz, Re [G] = 0:
1( ) .I
G j jT
ωω
= −
Re[G]ω→∞
ω=0
G(jω)
j Im[G] G-ravnina
Copyright: Nedjeljko Perić
17 Primjer 4.4.:
-
+
R
C
X=U1 Y=U2
Q
h
T RCI =h s
Q s T sI
( )
( )=
1
Y s
X sG s
T sI
( )
( )( )= = −
1
Sl. 4.22.
Copyright: Nedjeljko Perić
18 Prijenosni član s derivacijskim djelovanjem (D - član)
( ) ,D
dxy t Tdt
= (4 - 89)
TD - derivacijska vremenska konstanta. • Ovdje se radi o idealnom D - članu.
/ 2
( )( )( ) 20log( ) / 2 .
D
jD D
dB D
G s T sG j j T T eA T
πω ω ωω ω
ϕ ω π
=
= = + ⋅ =
=
Copyright: Nedjeljko Perić
19
Bodeov dijagram:
+20dB/dek
0
10 -
20 -
-
-10 -
-20 -
A(ω)dB
ω[s-1]
ϕ(ω)
0o
90o -
ω[s-1]
1
TD
Nyquistov prikaz:
Re[G]
ω→∞
ω=0
G(jω)
j Im[G]G-ravnina
• D - član ima frekvencijske karakteristike koje su inverzne I - članu.
Copyright: Nedjeljko Perić
20 Primjer 4.5.:
-
+
C
R
X=U1Y=U2
T RC
G s T s
D
D
=
= −( )
Sl. 4.23.
Prijenosni član s usporenjem 1. reda (PT1 - član) • Opći oblik diferencijalne jednadžbe PT1 - člana glasi:
( ) ( ) ( ) .y t Ty t K x t+ = ⋅ & (4 - 90)
Copyright: Nedjeljko Perić
21
• Za y(0) = 0, slijedi:
( ) .1
KG ssT
= +
• Za s = jω:
1( ) .
1G j K
j Tω
ω =
+
• Uvođenjem lomne frekvencije 1T
ω =l (engl. break point; njem. Eckfrequenz)
dobije se:
2
11( ) .
1 1
jG j K K
j
ωωω ω ω
ω ω
− = =
⎛ ⎞+ + ⎜ ⎟⎝ ⎠
l
ll
Copyright: Nedjeljko Perić
22 • Iz toga slijedi:
2
1( ) ( ) ,
1
Im( ( ) )( ) .Re( ( ) )
A G j K
G jarctg arctgG j
ω ωωω
ω ωϕ ωω ω
= = ⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
= = −
l
l
• Logaritamska amplitudna karakteristika ima oblik:
2
( ) 20log 20log 1 .dBA K ωωω
⎛ ⎞ = − + ⎜ ⎟
⎝ ⎠l
Copyright: Nedjeljko Perić
23 • Aproksimacija pravcima
1:
( ) 20log( ) 0 .
dB dBA K K
ωω
ωϕ ω
<<
≈ = ≈
l
(početna asimptota),
1:
( ) 20log 20log
( ) .2
dBA K
ωω
ωωω
πϕ ω
>>
≈ −
≈ −
l
l
(krajnja asimptota),
• U Bodeovom se dijagramu može A(ω)dB aproksimirati pomoću dva pravca
(asimpote) s presjecištem na frekvenciji ωl prema izrazu:
Copyright: Nedjeljko Perić
24
20log 20log 20log ,
.
K K ωω
ω ω
= −
⇓ =
l
l
• Egzaktne vrijednosti na lomnoj frekvenciji:
( ) ,
2
( ) .4
KA ω
πϕ ω
=
= −
l
l
• Odstupanje amplitudne karakteristike uvjetovano aproksimacijom:
10 -
20 -
30 -
ω[s-1]
KdB
3dB
-20 dB/dek
asimptote
ωl=|1
A(ω)dB
ϕ(ω)0
-45o -
-90o -
ω[s-1]
ωl =1T
( ) (20log ) 20log 20log 2 3 .A dB K K dBω ⎡ ⎤∆ = − − ≈ ⎣ ⎦l
Copyright: Nedjeljko Perić
25
[ ]
[ ]
2
2
( )1
1Re1 ( )
Im1 ( )
s jKG jj T
G KTTG KT
ω
ωω
ωωω
=
=+
=+
= −
+
j Im[G]
Re[G]ω=0
Kω ∞
G(jω)
ω=ωl
G-ravnina
• Konstanta 1T
ω=
l
u prijenosnoj funkciji ili frekvencijskoj karakteristici obično
se označava vremenskom konstantom PT1 - člana.
Copyright: Nedjeljko Perić
26 • T se lako odredi pomoću prijelazne funkcije PT1 - člana:
T0
0,63h( )
h( )
h(t)
∞
∞
tangenta
t Sl. 4.24.
Primjer 4.6.: R
Y=U2C
i1 i2=0
X=U1
Copyright: Nedjeljko Perić
27 Prijenosni član s proporcionalno-derivacijskim djelovanjem (PD - članom)
( ) (1 )DG s K T s= + (4 - 91)
( ) (1 )DG j K j Tω ω = + Nyquistov prikaz:
K
ω=0
ωj Im[G]
0 Re[G]
G-ravnina
Bodeov dijagram PD - člana:
0
10 -
20 -
30 -
KdB
+20dB/dek
ω[s-1]
A(ω)dB
ω[s-1]
45o -
90o -ϕ(ω)
0
ωl=1
TD
ωl=1TD
Copyright: Nedjeljko Perić
28 Primjer 4.7.:
ˆˆ
R
D
K KT T
==
-
+R1
R2
X=U1Y=U2
CG s K sT( ) ( )= − +1
Sl. 4.25.
Copyright: Nedjeljko Perić
29 Prijenosni član s prethođenjem (DT1 - član) Primjer 4.8.:
R Y=U2
Ci1 i2=0
X=U1
Sl. 4.26. • Diferencijalna jednadžba za RC - mrežu na slici 4.26. glasi:
1 2 2 2 12
( ) .d u u u du duC u RC RCdt R dt dt−
= ⇒ + =
• Primjenom L - transformacije, slijedi:
2
1
( )( )( ) 1
U s RCsG sU s RCs
= =+
(T=RC)
Copyright: Nedjeljko Perić
30
• Općenito je: ( )( ) .( ) 1
Y s TsG s KX s Ts
= = +
(4 - 92)
• Za crtanje Bodeovog dijagrama polazi se od frekvencijske karakteristike:
( ) .1
j TG j Kj T
ωωω
= +
• Uz 1T
ω =l dobije se:
2
2
1( )1 1
1( ) ( ) ,
1
jG j Kj K
j
A G j K
ωωω ωω
ωω ω ωω ω
ωω ωω ω
ω
+ = =
⎛ ⎞+ + ⎜ ⎟⎝ ⎠
⇓
= = ⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
l
l l
ll
l
l
Copyright: Nedjeljko Perić
31 • odnosno u logaritamskom mjerilu:
2
( ) 20log 20log 20log 1 ,dBA Kω ωωω ω
⎛ ⎞ = + − + ⎜ ⎟
⎝ ⎠l l
(4 - 93)
i
( ) .2
arctgπ ωϕ ωω
⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠l
(4 - 94)
Za ω << ωl vrijedi: ( ) 20log 20logdBA Kωωω
≈ +l
.
Copyright: Nedjeljko Perić
32
• Bodeov dijagram:
ωl=1T
|
10 -
20 -
30 -
KdB
ω[s-1]
DT1-član asimptote3dB
A(ω)dB
0
D-član+20dB/dek
PT1-član-20dB/dek
ω[s-1]
45o -
90o -ϕ(ω)
ωl=1T
|0
• Nyquistov prikaz: j Im[G]
Re[G]ω=0 Kω ∞
G(jω)
G-ravninaω
ω=ωl=1T
• Prijelazna funkcija:
|
T
K
h(t)
0,37 K
0 t
Copyright: Nedjeljko Perić
33 Prijenosni član s usporenjem 2. reda (PT2 - član i PT2S - član) • Ovaj se član karakterizira postojanjem dvaju međusobno neovisnih
spremnika energije. Primjer 4.9.:
R
y=u2C
i1 i2=0
x=u1
L
Sl. 4.27.
• L i C su spremnici energije;
11 2 1
21
22 2
2 12
,
,
.
dii R L u udt
dui Cdt
d u duLC RC u udt dt
+ + =
=
+ + =
• Pripadajuća prijenosna funkcija ima oblik:
22
1
( ) 1( )( ) 1
U sG sU s RCs LCs
= =+ +
Copyright: Nedjeljko Perić
34
• Opći oblik prijenosne funkcije 2. reda glasi:
2
2
1( )21
n n
G sssζ
ω ω
=+ +
( 0ˆnω ω= ), (4-95)
gdje je: ζ - relativni koeficijent prigušenja, ωn - prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija, [s-1]. • Za LRC krug je:
2
1
n
LCω
= → 1
n LCω =
(Za R=0 dobije se neprigušena vlastita frekvencija).
2
n
RCζω
= , 1 12 2
R CRCLLC
ζ = = .
Copyright: Nedjeljko Perić
35
• Za s jω= slijedi:
2
2 22 2
2
1 2
( )1 2 1 2
n n
n nn n
jKG j K
j
ω ωζω ω
ωω ω ω ωζ ζω ω ω ω
⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
• Iz ove frekvencijske karakteristike dobije se amplitudna i fazna
karakteristika:
22 2
( )
1 2n n
KA ωω ωζω ω
=⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
,(4-96) 2
2( ) arctg
1
n
n
ωζωϕ ωωω
= −⎛ ⎞
− ⎜ ⎟⎝ ⎠
, (4-97)
Copyright: Nedjeljko Perić
36
• Za logaritamsku amplitudnu karakteristiku dobije se:
22 2
( ) 20log 20log 1 2dB
n n
A K ω ωω ζω ω
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦. (4-98)
• Ova relacija može se grafički prikazati pomoću asimptota:
a) Za 1 ( ) 20logdB
n
A Kω ωω
<< ⇒ ≈ (početna asimptota) ( ) 0ϕ ω ≈ .
b) Za 2
1 ( ) 20log 20log 20log 40logdB
n n n
A K Kω ω ωωω ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞>> ⇒ ≈ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )ϕ ω π≈ − , (krajnja asimptota, nagib: - 40dB). • Presjecište obaju asimptota slijedi iz:
20log 20log 40logn
K K ωω
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠, tj. pri nω ω= (Slika 4.27a:).
Copyright: Nedjeljko Perić
37
Sl. 4.27.a) Bodeov dijagram člana s usporenjem 2. reda (K = 1).
Copyright: Nedjeljko Perić
38
• Za određene vrijednosti ζ postoje maksimalne vrijednosti u A(ω)dB. Ove maksimalne vrijednosti nastaju pri tzv. rezonantnoj frekvenciji ωr:
max( ) ( )rA Aω ω= .
• Maksimum će se pojaviti kad nazivnik izraza (4-96) poprimi minimalnu vrijednost
22 2
( ) 1 2 minn n
a ω ωω ζω ω
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + →⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦,
2
2( ) 0 1 2r
nr
dad
ω ω ζω ω
ω
⎛ ⎞⎛ = = − + +⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠
,
⇓
21 2r nω ω ζ= − (za 2
2ζ < ). (4-99)
• Iz toga slijedi maksimalna vrijednost amplitude (za K=1):
Copyright: Nedjeljko Perić
39
max 2
1( ) ( )2 1rA Aω ωζ ζ
= =−
. (4-100)
(Za ζ = 0 slijedi ωn = ωr i A(ωr) ⇒ ∞). • Dinamičko vladanje sustava određeno je polovima njegove prijenosne
funkcije (4-95), odnosno nulama karakteristične jednadžbe:
2
2
2( ) 0 1n n
sN s sζω ω
= = + + ,
↓
2 21,2 1 1n n n n ps j jζω ω ζ ζω ω ζ σ ω= − ± − = − ± − = − ± . (4-101)
• U ovisnosti o položaju polova u kompleksnoj s-ravnini može se zaključiti o
oscilatornom vladanju sustava 2. reda (vidi sliku 4.28).
Copyright: Nedjeljko Perić
40
Sl. 4.28. Položaj polova u s-ravnini i prijelazna funkcija člana:
22
1( ) 2 11n n
G ss sζ
ω ω
=+ +
Copyright: Nedjeljko Perić
41 a) 0 1ζ< < (PT2S - vladanje)
21,2 1n ns jζω ω ζ= − ± −
♦ U ovom je slučaju:
( )2 2
2( ) 1 cos 1 sin( 1 )
1nt
n nh t K e t tζω ζω ζ ω ζζ
−⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= − − + −⎢ ⎥⎨ ⎬
−⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭. (4-102)
♦ Jednadžba (4-102) može se zapisati i na slijedeći način:
2
2( ) 1 sin 1 arccos
1
nt
n
eh t K tζω
ω ζ ζζ
−⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − − +⎨ ⎬⎣ ⎦−⎪ ⎪⎩ ⎭.
♦ Za 0 ( ) 1 cos nh t K tζ ω= → = − . ( 1,2 ns jω= ± ) (4-102a)
♦ Za 1 ( ) 1 (1 ) ntnh t K t e ωζ ω −= → = − + . (4-102b)
Copyright: Nedjeljko Perić
42
• Prigušivanje oscilatornog tijeka opisuje se pomoću veličine 1
A
n
Tζω
= , te se
stoga TA naziva vremenskom konstantom prigušivanja. Iz položaja polova s1 i s2 od G(s) dade se TA neposredno odrediti.
• Vrijeme prvog maksimuma prijelazne funkcije dobije se iz:
2
( ) 01n
dh t ktdt
πω ζ
= → =−
. (4-103)
• Za k = 1 → t = tm → 21m
n
t πω ζ
=−
, (4-104)
21( ) (1 )mh t K e
ζπ
ζ−
−= + . (4-105)
• Ovdje se definira postotno nadvišenje σm:
[ ] 21( )% 100 100mm
h t K eK
ζπ
ζσ−
−−= ⋅ = ⋅ (4-106)
Copyright: Nedjeljko Perić
43
( )m fσ ζ= ,
1( )mfζ σ−= (4-107)
h(t)
K
0 tm t
σm
b) 1ζ > (aperiodski član: PT2 - vladanje)
♦ U ovom slučaju prijenosna funkcija (4-95) ima dva negativna realna pola
21,2 1n ns ζω ω ζ= − ± −
♦ Ako se definiraju vremenske konstante: 1
1
1Ts
= − i 2
2
1Ts
= −
slijedi (serijski spoj dvaju PT1 članova):
Copyright: Nedjeljko Perić
44
1 2
( )(1 )(1 )
KG sT s T s
=+ +
. (4-108)
♦ Ovdje je:
2 2
2 2( 1) ( 1)
2 2
1 1( ) 1
2 1 2 1n nt th t K e eω ζ ζ ω ζ ζζ ζ ζ ζ
ζ ζ− + − − − −
⎡ ⎤+ − − −= − +⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦. (4-109)
c) 0ζ < (nestabilan slučaj)
♦ Ostali često susretani prijenosni članovi dani su u tablici (s rednim brojevima 1 do 16).
Copyright: Nedjeljko Perić
45
Copyright: Nedjeljko Perić
46
Prijelazna f.h(t)
Jednadžbaprijelazne f.
Rednibroj Prijenosna f.Član Krivulja
mjestaBodeovdijagram
A(ω)dB i ϕ(ω)
Polovi (x) inule (o) us-ravnini
Primjer(električki)
Primjer(mehanički)
za ω1 i ω2vidi 12
22
x -y
x y
x
y
x -y
x -y
x -y x
y
R
Copyright: Nedjeljko Perić
47
Sve-pro-pust 1.
reda
Prijelazna f.h(t)
Jednadžbaprijelazne f.
Rednibroj Prijenosna f.Član Krivulja
mjestaBodeovdijagram
A(ω)dB i ϕ(ω)
Polovi (x) inule (o) us-ravnini
Primjer(električki)
Primjer(mehanički)
t
x yy
x
x
y
x
y
y
- y
x
y
x
x y
Spoj "vedričastog" lanca
Faznopretho-đenje
Faznozaosta-
janje
x
Copyright: Nedjeljko Perić
48 Širina pojasa prijenosnog člana • Prijenosni članovi s proporcionalnim djelovanjem (PT1, PT2, PT2s, PTn)
posjeduju tzv. niskopropusna svojstva, tj propuštaju niske frekvencije, dok visoke frekvencije signala prenose prigušeno.
• Uvodi se pojam širina pojasa ωb. Pri frekvenciji ωb logaritamska amplitudnofrekvencijska karakteristika smanji se za 3dB naspram vodoravne početne asimptote (sl. 4.29).
A(ω)dB
0
3dB
ωr ωn ωb ω
Sl. 4.29.
Copyright: Nedjeljko Perić
49 Primjer 4.10. Crtanje Bodeovog dijagrama (vidi sliku 4.30)
1 1
( 0.1)( 2)( ) , 890( 5)( 20)s sG s K K
s s s+ +
= =+ +
• G(s) se svodi na oblik:
1 12 2
( 1)( 1) 0.1 20.1 2( ) , 1.785 20 500( 1)( 1)
5 20
s sK KG s K Ks ss
+ + ⋅ ⋅= = = =
⋅+ +
2
1 2 3 4 5
1 1( ) ( 1) ( 1)0.1 2 1 1
5 20
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
K s sG s s ss
G s G s G s G s G s
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅+ +
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Copyright: Nedjeljko Perić
50
• Pri tome imamo članove:
1( 1)li
sω
±+
za i = 1, 2, 3 i 4, gdje je liω lomna frekvencija ωl1 = 0.1, ωl2 = 2, ωl3 = 5, ωl4 = 20.
egzaktni prikaz
[s-1]
[s-1]
egzaktni prikaz
1 2 3 4
ω = 1
Sl. 4.30. Bodeov prikaz prijenosne funkcije
Copyright: Nedjeljko Perić
51 Sustavi s minimalnim i neminimalnim faznim vladanjem • Ako stabilni sustav bez mrtvog vremena, koji se opisuje prijenosnom
funkcijom
( )( )( )
Z sG sN s
=
ne posjeduje nule u desnoj poluravnini s-ravnine, onda se takav sustav naziva minimalnofaznim sustavom. Za ove sustave postoji jednoznačna veza između ϕ(ω) i A(ω).
• Ako pak prijenosna funkcija posjeduje nule u desnoj poluravnini s-
ravnine, onda se radi u neminimalnofaznom sustavu. • Bodeov zakon:
Neminimalno fazni sustav ima faznu karakteristiku koja je uvijek veća od odgovarajuće karakteristike minimalno faznog sustava
Copyright: Nedjeljko Perić
52
• Usporedimo ove dvije vrste sustava (0 < T < T1):
1
1( )1a
sTG ssT
+=
+ i
1
1( )1b
sTG ssT
−=
+
0 σ- 1T - 1
T1
jω s-ravnina
σ- 1T1
s-ravnina
0
jω
1T
Sl. 4.31.
2
21
1 ( )( ) ( )1 ( )a b
TA AT
ωω ωω
+= =
+,
12
1
( )( ) arctg1a
T TTT
ωϕ ωω
−= −
+, 1
21
( )( ) arctg1b
T TTT
ωϕ ωω
+= −
−.
Copyright: Nedjeljko Perić
53
-180o -
-90o -
0
ϕ(ω)
ω(s-1)0,1
|1|
10|
minimalnofaznisustavϕa(ω)
ϕb(ω)
Sl. 4.32.
Svepropusni član
A(ω) = 1 za sve frekvencije
Copyright: Nedjeljko Perić
54
• Prijenosna funkcija svepropusnog člana (1. reda) je:
1( )1A
sTG ssT
−=
+, (4-110)
( ) 1AA ω = ,
2
2( ) arctg 2arctg T1 ( )A
TT
ωϕ ω ωω
= − = −−
.
Pol i nula simetrični s obzirom na jω os u s-ravnini (zrcalna slika).
Copyright: Nedjeljko Perić
55
• Prijenosna funkcija svepropusnog člana n-tog reda je:
1 2
1 2
( )( ) ( )( )( )( ) ( )
nA
n
s s s s s sG ss s s s s s
− − −= ±
− − −% % %L
L, (4-111)
Re Rei is s= − % .
• Svepropusni član 4. reda (Sl. 4.33.):
jω
0 σs4
s2
s3
s1∼s1
s2
s4
s3
∼
∼
∼
s-ravnina
Copyright: Nedjeljko Perić
56
• Tipičan sustav s neminimalno faznim vladanjem je sustav s mrtvim vremenom:
1Re[G]
1
j Im[G]
0ω=0
ω
G(jω)
G-ravnina
ϕ(ω)
ωTt
0,1|
1|
10|0o
-100o -
-200o -
-300o -
-400o -
G s e sTt( ) ,= −
G j e j Tt( ) ,ω ω= −
A G j( ) ( ) ,ω ω= = 1
ϕ ω ω( ) ,= − Tt
Sl. 4.34.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
5. KARAKTERISTIKE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA
5.1 Dinamičke karakteristike regulacijskog kruga
• Osnovna struktura sustava upravljanja dana je na slici 5.1.
Regulator
Vladanje sobzirom na
vodećuvrijednost
Vladanje sobzirom na
smetnju
Izvršni član(organ)
(uR ) uxR e+
-
proces
zz
+
+
(yS) yMjerni član
Sl. 5.1.
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Obično na proces djeluje više smetnji zi' (i = 1,2, ...) i to na različitim
mjestima što se može predstaviti pojednostavljenom shemom regulacijskog kruga prema slici 5.2.
z'3
z'2
z'1
Xr(s)+ -
E(s) GR(s) U(s)Gs(s)
Gsz1(s)
Gsz2(s)
Gsz3(s)
Y(s)+
++
+
Sl. 5.2.
Gszi(s) predstavlja prijenosno vladanje onog dijela procesa između mjesta
djelovanja smetnje zi' i izlaza procesa y.
Copyright: Nedjeljko Perić
3 Za linearne procese vrijedi:
1
( ) ( ) ( ) ,i
n
i szi
Z s Z s G s=
′= ∑ (5-1)
pa se regulacijski krug prema slici 5.2. može prikazati kao na slici 5.3.
GR(s) Gs(s)u(s)E(s)XR(s)
+-
++ Y(s)Z(s)
Sl. 5.3.
• Regulacijski krug ima 2 ulazne veličine: ♦ vodeću veličinu XR ♦ smetnju Z.
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .R R sY s Z s X s Y s G s G s= + − ⋅ .
Copyright: Nedjeljko Perić
4 Slijedi:
( ) ( )1( ) ( ) ( ) .
1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )R s
RR s R s
G s G sY s Z s X sG s G s G s G s
= ⋅ + + +
(5 - 2)
a) Ako je XR(s) = 0 → Prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga po poremećaju (smetnji).
( ) 1( ) .( ) 1 ( ) ( )z
R s
Y sG sZ s G s G s
= = +
(5 - 3)
b) Ako je Z(s) = 0 → Prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga
po vodećoj veličini. ( ) ( )( )( ) .
( ) 1 ( ) ( )R s
xR R s
G s G sY sG sX s G s G s
= = +
(5 - 4)
Copyright: Nedjeljko Perić
5
• Obje prijenosne funkcije imaju zajednički član:
1( ) ,
1 ( )R s
G s=
+ o
dinamički regulacijski faktor (5-5)
• Pretpostavimo da je:
♦ XR(s) = 0 ♦ Z(s) = 0
te da je regulacijski krug presječen na proizvoljnom mjestu (Sl. 5. 4.).
-GR(s) Gs(s)
Xu(s) Xi(s)
Sl. 5.4.
Copyright: Nedjeljko Perić
6 Na temelju slike 5.4. dobije se prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog
kruga:
( )( ) ( ) ( ) ( ) .( )
iR s
u
X sG s G s G s G sX s
− = = − = − o o (5 - 6)
Iz prijenosnih funkcija Gx(s), odnosno Gz(s) dobije se karakteristična
jednadžba: 1 ( ) 0G s+ =o (5 - 7) koja ima oblik: 2
1 2 ...... 0 .nna a s a s a s+ + + + = o (5 - 8)
Copyright: Nedjeljko Perić
7
5.2. Statičke karakteristike regulacijskog kruga
Često prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog kruga ima općeniti
standardni oblik:
11 .....( ) ,1 .....
t
mT sm
k n ka n k
s sKG s e m ns s s
β βα α
−−
−
+ + += ⋅ ≤
+ + +o
o . (5 - 9)
• Ko predstavlja pojačanje otvorenog regulacijskog kruga. • Konstanta k = 0, 1,2,...... karakterizira tip prijenosne funkcije Go(s). • Tako se ima, primjerice, za:
Copyright: Nedjeljko Perić
8
♦ k = 0 proporcionalno vladanje (P - vladanje) statičko vladanje (astatizam nultog reda)
♦ k = 1 integralno vladanje (I - vladanje)
astatičko vladanje (astatizam 1. reda)
♦ k = 2 dvostruko integralno vladanje (I2 - vladanje) astatičko vladanje (astatizam 2. reda) Vladanje zatvorenog regulacijskog kruga u stacionarnom stanju (t → ∞)
za razne tipove Go(s) (za razne k), uz različite oblike signala xR(t) i z(t) dano je u narednim razmatranjima.
Copyright: Nedjeljko Perić
9
XR(s)+ -
E(s)Go(s)
Y(s)+
Z(s)
+
Sl. 5.5.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
RE s X s Y sY s E s G s Z s
= −= +o
, (5 - 10)
slijedi:
[ ]
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
1 ( )
R
R R
E s X s E s G s Z s
E s X s Z s R s X s Z sG s
= − +
= − = − +
o
o
(5 - 11)
Copyright: Nedjeljko Perić
10
Ako postoji granična vrijednost regulacijskog odstupanja e(t) za t → ∞, tada se može odrediti vrijednost regulacijskog odstupanja u stacionarnom stanju primjenom teorema o konačnoj vrijednosti:
0lim ( ) lim ( ) .t s
e t sE s→∞ →
= (5 - 12)
Često se regulacijsko odstupanje e(t) poistovjećuje s regulacijskom
pogreškom ε(t) što je korektno jedino ako je sustav sveden na jediničnu povratnu vezu. U općem slučaju regulacijska pogreška određuje se na način prikazan slikom 5.6.
Copyright: Nedjeljko Perić
11
x(t) GF(s) GR(s) Gs(s)
Gm(s)
u(t)e(t)xR(t)+-y
ys(t)
+
-
ε(t)
Sl. 5.6.
U slučaju da su sve smetnje svedene na izlaz procesa, iz (5-11) proizlazi
da se i vodeća veličina i poremećajna veličina mogu tretirati na isti način. (U narednom razmatranju oznaka za obje veličine je Xu(s)).
Copyright: Nedjeljko Perić
12 Korišteni pobudni signali:
a) skokovita pobuda (step function): ( ) uou
XX ss
=
xu(t)
Xu0
0
xu(t)=Xu0S(t)
t b) pobuda u obliku funkcije linearnog porasta ("rampa", ramp function) 1
2( ) uu
XX ss
=
xu(t)
0
xu(t)=Xu1S(t) t
t Xu1 - brzina porasta
Copyright: Nedjeljko Perić
13
c) parabolična pobuda (parabola function): 23( ) u
uXX ss
=
xu(t)
0 t
xu(t)=Xu2S(t) t22
Xu2 - mjera za ubrzanje paraboličnog porasta signala Za regulacijsko odstupanje vrijedi:
1( ) ( ) .
1 ( ) uE s X sG s
= + o
(5 - 13)
Xu(s) = XR(s) ili Xu(s) = -Z(s) ↓ (Smetnja s ''–'' predznakom i svedena na izlaz procesa)
Copyright: Nedjeljko Perić
14
• Za prethodno navedene tipične ispitne signale Xu(s) (a), b) i c) izračunat ćemo regulacijsko odstupanje za različite tipove prijenosnih funkcija Go(s).
• Prijenosna funkcija Go(s) s P - vladanjem
1
1
1 .....( ) ,1 .....
t
mT sm
nn
s sG s K es s
β βα α
−+ + += ⋅
+ +o o (5 - 14)
R sK K K↓
= ⋅o
pojačanje procesa pojačanje regulatora Iz (5 - 13) i (5 - 14) slijedi:
0 0
1lim ( ) lim ( ) lim ( ) .1 ( ) ut s s
e t s E s s X sG s→∞ → →
= ⋅ = ⋅ ⋅ + o
Copyright: Nedjeljko Perić
15
1. Za skokovitu pobudu: ( ) uou
XX ss
= slijedi:
0
1lim ( ) lim ,1
uo
t s
Xe e t sK s∞ →∞ →
= = ⋅ ⋅ + o
1 .1 uoe X
K∞ = + o
2. Za funkciju linearnog porasta kao i za paraboličnu pobudnu funkciju
dobije se:
23
120
1lim ( ) lim .1
u
u
t s
Xs
Xe e t sG s∞ →∞ →
↑
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= = ⋅ → ∞ + o
(5 - 16)
Regulacijsko odstupanje nema konačnu vrijednost.
Copyright: Nedjeljko Perić
16 Prijenosna funkcija Go(s) s I – vladanjem
11
1 1
1 .....( ) .1 .....
t
mT sm
nn
s sKG s es s s
β βα α
−−
−
+ + += ⋅
+ + +o
o
(5 - 17)
1. Za ( ) :uou
XX ss
=
0
1lim ( ) lim ( ) 0 .1 ( ) ut s
e e t s X sG s∞ →∞ →
= = ⋅ ⋅ = + o
(5 - 18)
Ne postoji trajno regulacijsko odstupanje.
2. Za 12( ) :u
uXX ss
=
1
1lim ( ) .ute e t X
K∞ →∞= =
o
(5 - 19)
Postoji trajno regulacijsko odstupanje.
Copyright: Nedjeljko Perić
17
3. Za
23( ) :u
uXX ss
=
lim ( ) .t
e e t∞ →∞= → ∞ (5 - 20)
Regulacijsko odstupanje nema konačnu vrijednost.
• Prijenosna funkcija Go(s) s I2 – vladanjem
12 2
1 2
1 .....( ) .1 .....
t
mT sm
nn
s sKG s es s s
β βα α
−−
−
+ + += ⋅
+ + +o
o (5 - 21)
1. Za ( ) :uou
XX ss
=
lim ( ) 0 .t
e e t∞ →∞= = (5 - 22)
Ne postoji trajno regulacijsko odstupanje.
Copyright: Nedjeljko Perić
18
2. Za 12( ) :u
uXX ss
=
lim ( ) 0 .t
e e t∞ →∞= = (5 - 23)
Ne postoji trajno regulacijsko odstupanje.
3. Za 23( ) :u
uXX ss
=
2
1lim ( ) .ute e t X
K∞ →∞= =
o
(5 - 24)
Postoji trajno regulacijsko odstupanje. • U izrazu (5 - 15) konstanta:
0lim ( ) ps
K G s K→
= =o o (5 - 25)
naziva se konstantom položajne pogreške.
Potječe iz upravljanja mehaničkim gibanjima.
Copyright: Nedjeljko Perić
19
• Općenito se može uvesti izraz za konstantu pogreške (≠ 0):
0lim ( ) .k
k sK s G s
→= o (5 - 26)
♦ Za k = 0 slijedi Ko = Kp.
♦ Za k = 1 slijedi K1 = Kv i naziva se konstantom brzinske
pogreške.
♦ Za k = 2 slijedi K2 = Ka i naziva se konstantom pogreške ubrzanja.
• Pregledni prikaz trajnih regulacijskih odstupanja za pojedine tipove
sustava dan je u tablici 5.1.
Copyright: Nedjeljko Perić
20
Vrste pobudeTip
sustava
P
I1
I2
Kp
K01
1+Kp
skokovita
0
0
linearni porast paraboličnaKv Ka
0
0
K01Ka
0
K01Kv
0
t
yxu
xu
y
t
xu
y
t
xuxu
xu
xu
y
y
y
,
,
t
t
t
xu,
xu
xu
xu,
,
,y
y
yxu
xu
xuy
y
t
t
t
∞
∞ ∞
∞ ∞
∞
e∞e∞e∞
y
y
xu
y
y
y
yy
Copyright: Nedjeljko Perić
21
• U slučajevima gdje trajno regulacijsko odstupanje e∞ ima konačan iznos (izrazi (5 - 15), (5 - 19) i (5 - 24)), može se konstatirati da se za veće kružno pojačanje Ko dobije manje regulacijsko odstupanje.
• Veliko pojačanje Ko može dovesti do nestabilnosti regulacijskog kruga. • Izborom tipa regulatora značajno se utječe kako na stacionarno tako i na
dinamičko vladanje regulacijskog kruga.
Copyright: Nedjeljko Perić
22
5.3. PID regulator i iz njega izvedeni tipovi regulatora Regulator tvori regulacijsko odstupanje e(t) = xR(t) - y(t), koje dalje
obrađuje kako bi se dobila upravljačka veličina u(t). Upravljačka veličina u(t) osigurava, preko izvršnog člana, kontrolirani tok
energije (materije) upravljanom procesu i na taj način "držanje" regulirane veličine na određenom iznosu i uz djelovanje poremećajnih veličina.
Upravljani proces ne može trenutačno reagirati na promjenu upravljačke veličine u(t), zbog vremenskog zatezanja, odnosno energetski (materijalni) spremnici procesa ne mogu se trenutačno puniti/prazniti.
Brzina promjena stanja energetskih (materijalnih) spremnika procesa određena je vremenskim konstantama.
Prema tome, struktura i parametri regulatora moraju proizaći iz strukture i parametara matematičkog modela procesa.
Proces sam po sebi može biti nestabilan. U tom slučaju regulator mora osigurati kompenzaciju nestabilnog rada procesa. Zato se prijenosni član GR(s) - regulator naziva i kompenzacijskim članom ili korekcijskim članom, jer korigira dinamiku procesa.
Copyright: Nedjeljko Perić
23
• U osnovi se pretvorba regulacijskog odstupanja e(t) u upravljački signal u(t) obavlja na način prikazan slikom 5.7.
Vremenskičlan
Izvršničlan
U+
+
U1
U2
e
Proporcionalničlan
Sl. 5.7.
♦ u1: određeno trenutačnim iznosom e
♦ u2: određeno prošlim iznosima e i tendencijom promjene e
U praksi su danas široko u uporabi regulatori koji se zasnivaju na P, I i D
djelovanju.
Copyright: Nedjeljko Perić
24
• Najčešće korišteni standardni regulator je PID tipa.
KIs
Kp
KDs
+
++
U 1TIs
KR
TDs
+
++
UE E
Sl. 5.8.
• Prijenosna funkcija idealnog PID regulatora
( ) 1( ) 1( )
IR P D R D
I
U s KG s K K s K T sE s s T s
⎛ ⎞= = + + ≡ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠. (5 - 27)
Ovdje je:
Copyright: Nedjeljko Perić
25 KR = KP - koeficijent pojačanja,
PI
I
KTK
= - integralna vremenska konstanta; engl. integral (reset)
time; njem.Integralzeit, Nachstellzeit
DD
P
KTK
= - derivacijska vremenska konstanta; engl. derivative
time; njem. Differentialzeit, Vorhaltzeit KR, TI i TD - obično se mogu podešavati (ugađati) u određenom području
vrijednosti. podesivi (ugodivi) parametri regulatora Izborom podesivih parametara regulatora, može se regulator
prilagoditi vladanju procesa tako da se postigne najpovoljnije regulacijsko vladanje sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
26 Iz (5 - 27) dobije se:
0
( )( ) ( ) ( ) .t
RR R D
I
K de tU t K e t e d K TT dt
τ τ∫= + + (5 - 28)
• Ako je e(t) = S(t), onda se dobije prijelazna funkcija h(t) PID regulatora.
h(t)
KR
-TI
KR(1+TD)
0 t
P-udio
I-udioD-udio
Sl. 5.9.
Ovdje visina strelice KRTD D - udjela
predstavlja samo mjeru za otežavanje δ-impulsa.
Copyright: Nedjeljko Perić
27 Idealno D - vladanje ne može se tehnički realizirati. Stoga se umjesto
idealnog D - člana koristi DT1 - član:
( ) ,1D D
T sG s KT s
ν
ν
= +
(5 - 29)
pa se dobije za realni PID (PIDT1 – regulator; Tν - mala vremenska konstanta (parazitna vremenska konstanta)):
( ) ,1
IR P D
T sKG s K Ks T s
ν
ν
= + +
+ (5 - 30a)
odnosno
1( ) 1 ,
1R R D
I
sG s K TT s T sν
⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
(5 - 30b)
gdje su podesivi parametri:
, , .DRR P I D
I R
K TKK K T TK K
ν= = =
Copyright: Nedjeljko Perić
28 h(t) za realni PID ima oblik kao na slici 5.10:
h(t)
KR
-TI
KR(1+ )
0 t
P-udio
I-udioD-udio
Tν
TDTν
Sl. 5.10.
Kao posebni slučajevi PID regulatora dobiju se: a) TD = 0 → PI regulator
1( ) 1 .R R
I
G s KT s
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠ (5 - 31)
Copyright: Nedjeljko Perić
29
b) TI → ∞ → PD regulator
( ) (1 ) ,R R DG s K T s= + (5 - 32) odnosno PDT1 regulator
( ) 1 .
1R R D
sG s K TT sν
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟+⎝ ⎠ (5 - 33)
c) TD = 0 i TI → ∞ → P regulator
( ) .R RG s K= (5 - 34) d) I - regulator
( ) .I RR
I
K KG ss T s
= = (5 - 35)
Copyright: Nedjeljko Perić
30 Prijelazne funkcije za P, PI, I, PD i PDT1 imaju oblike kako slijedi:
0
KR
h(t)
t
0
KR
h(t)
t
KR(1+TD)
t0
KR
h(t)KR(1+ )TD
Tν
Tν
t0
KR
h(t)
TI
t0
KR
h(t)
-TI
P - regulator PI - regulator
I - regulator PD - regulator
PDT1-regulator . Sl. 5.11
Copyright: Nedjeljko Perić
31 Prednosti i nedostaci različitih tipova regulatora • Pretpostavimo da se proces može opisati prijenosnom funkcijom:
4( ) .
(1 )s
s
KG sTs
= +
GR(s) Gs(s)u
+
z'yxR=0+
-
Sl. 5.12.
♦ XR = 0 ⇒ regulacija smetnje (Smetnja z' djeluje na ulazu procesa).
♦ Neka je z'(t) = ZoS(t). (Z(s) = Z'(s)Gs(s): svedeno na izlaz procesa)
Parametri regulatora podešavaju se prema određenim pravilima (kriterijima). Ako nema regulatora, onda se dobije nakon skokovite promjene smetnje
z'(t) = ZoS(t), u stacionarnom stanju: , . .s oY bez r K Z∞ = (5 - 35)
Copyright: Nedjeljko Perić
32 Za različite regulatore dobije se različito vladanje sustava (vidi tablicu uz
sliku 5.13. ⇒ sljedeća stranica. t 3% odgovara vremenu u kojem y(t)-y∞ postane manje od 3% stacionarne
vrijednosti Y∞, bez r. Svi odzivi y normirani su s KsZo = Y∞, bez r. Maksimum odziva y označen je s ymax (koji je također normiran). S obzirom da je XR = 0, onda je e(t) = -y(t). Provedeno razmatranje treba poslužiti kao prvi uvid u statičko i dinamičko
vladanje regulacijskog kruga.
Copyright: Nedjeljko Perić
33
bez r.
bez regulatora
Regu-lator
Xr
Sl. 5.13. Vladanje normirane regulirane veličine y/(z0Ks) pri skokovitoj smetnji
z'(t) = z0S(t) na ulazu u proces [Gs(s) = Ks/(1+Ts)4;Ks = 1], uz primjenu različitih tipova regulatora.
Copyright: Nedjeljko Perić
34 Izvedba regulatora • S obzirom na izvedbu regulatori se dijele na:
♦ mehaničke ♦ hidrauličke ♦ pneumatske ♦ električke (analogni i digitalni)
• Većina regulatora realizira se primjenom načela povratne veze, slika 5.14.
Gr(s)
KxR +
-y
E +-
Regulator
u
Sl. 5.14.
• Pojačalo s velikim pojačanjem K i članom u povratnoj vezi Gr(s).
Copyright: Nedjeljko Perić
35
• Kako je već ranije obrazloženo (relacija(4 - 36)), dobije se:
( ) 1( ) .( ) ( )
RR
r
U sG sE s G s
= ≈ (5 - 36)
K >> Gr(s)
Prema tome, dinamičko vladanje regulatora određeno je samo članom u njegovoj povratnoj vezi.
Time se mogu, izborom prikladnog člana u povratnoj vezi, realizirati razni
tipovi regulatora:
a) Za ( )1
rr
r
KG sT s
=+
(5 - 37)
dobije se:
Copyright: Nedjeljko Perić
36
1( ) (1 ),r
R R D
r r
TG s s K T sK K
= + = + (5 - 38)
(PD - regulator1 ,R
r
KK
= .D rT T= )
b) Za ( )1
rr r
r
sTG s KT s
=+
(5 - 39)
dobije se:
1 1 1( ) (1 ),R R
r r r I
G s KK K T s T s
= + = + (5 - 40)
(PI - regulator1 ,R
r
KK
= .I rT T= )
Copyright: Nedjeljko Perić
37
c) Za ( ) ( )1 2 1 2 2
2 21 2 1 2 1 21 1 1
r r r r rr r
r r r r r r
K T s K K T sG s KT s T s T T s T T s
= ⋅ =+ + + + +
(5 - 41)
(Kombinacija slučajeva a) i b)). dobije se:
( ) 1 2 1
1 2 2 1 2 2 1 2
1 1
11 ,
r r rR
r r r r r r r r
R D
I
T T TG s sK K T K K T s K K
K T sT s
+= + +
⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5 - 42)
(PID – regulatori:
1 2
1 2 2
1 2
1 2
1 2
,
,
.
r rR
r r r
I r r
r rD
r r
T TKK K T
T T TT TT
T T
+=
= +
=+
).
Copyright: Nedjeljko Perić
38 Elektronički regulatori Suvremeni analogni elektronički regulatori realiziraju se pomoću
operacijskih pojačala (OP). • U daljnjim razmatranjima pretpostavlja se idealno OP. • Simbol za OP:
U-
Ru
U+
U I+
I- -
+Ui
iliUu Ui
+U
-U
Sl. 5.15.
- ... invertiralući ulaz + ...neinvertirajući ulaz
Copyright: Nedjeljko Perić
39
• Osnovna svojstva idealnog OP su:
♦ ulazni otpor Ru je beskonačno velik, ♦ ulazne struje u pojačalo su nula (I+ = I- = 0), ♦ koeficijent naponskog pojačanja A0 je beskonačno velik (uobičajeno je
A0 ≈ 106÷ 108) ( )0 0iU A U A U U+ −= ∆ = − , ♦ izlazni otpor Ri = 0 (uobičajeno je Ri ≈ 100 Ω).
Kompenzacijskim sklopovima (npr. za kompenzaciju ulazne struje
mirovanja, napona namještanja, kompenzaciju frekvencijskih karakteristika) realno OP poprima, približno, svojstva idealnog OP.
Copyright: Nedjeljko Perić
40
Kompenzacija ulazne struje mirovanja:
+
-
R=R1||Rp
Uu
Ui
R1
Rp
I-
I+
02B
I II uz U U+ −+ −
+⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
Kompenzacija napona namještanja:
+
-
P
+
-R2
R=R1||Rp
UuUi
R1
Rp
R2 >> R
• U praksi se uobičajeno koriste tzv. invertirajući spojevi s OP (Sl.5.16.):
Copyright: Nedjeljko Perić
41
-
+
u
U-
U+
Zp(s)
Ip(s)S
Zu(s)
Iu(s)
Uu Ui
Sl. 5.16.
( )( )
( )( )
( ) ( )
0,
0.
u i
u p
u p
U s U sZ s Z s
I s I s
+ =
+ =
Slijedi:
( ) ( )
( )( )( )
.i pR
u u
U s Z sG s
U s Z s= = − (5 - 43)
• Točka S se zove virtualnom nulom (sumacijska točka). Prema tome, prijenosna funkcija pojačala kojem je pridružena vanjska
mreža definirana je odnosom impedancije u povratnoj vezi pojačala i impedancije u ulaznom krugu pojačala. Dakle, OP se može shvatiti kao izvor energije za njemu pridruženu vanjsku (pasivnu) mrežu.
Izborom vanjske mreže definirane su statičke i dinamičke karakteristike regulatora. Načelne sheme izvedbe nekoliko tipova regulatora dane su u tablici 5.2:
Copyright: Nedjeljko Perić
42
Napomena: U shemama PD i PID korišten idealni D – član, a preporuča se koristiti realni D – član (manje osjetljiv na šum).
Tip P I PI PD PID Spoj
-
+
R1
R2
EUR
-
+
R1
C2
E UR
-
+
R1
R2
EUR
C2
URE
-
+R1
R2C1
E
-
+
R1
R2
UR
C1 C2
E
Prijenosna funkcija
2
1
( )( )( )
RR
U sG sE s
RR
= =
= −
1 2
1RG
sR C−
=
2
1 2 2
1( ) 1RRG sR sR C
⎛ ⎞−= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )21 1
1
( ) 1RRG s sRCR
−= +
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
( )
1 1(1
)
RR C R CG s
R C
s R C R CR R C C s
R C R C
+= − ⋅
⋅ + ++
++
Podesivi parametri
Pojačanje:
2 1/RK R R=
Integralna vrem.
konstanta:
1 2IT R C=
Pojačanje:
2 1/RK R R=
Integralna vrem. konstanta:
1 2IT R C=
Pojačanje:
2 1/RK R R=
Derivacijska vrem. konstanta:
1 1IT R C=
Pojačanje:
1 1 2 2
1 2R
R C R CKR C
+=
Derivacijska vrem. konstanta:
1 2 1 2
1 1 2 2D
R R C CTR C R C
=+
Integralna vrem. konstanta:
1 2 1 2
1 1 2 2I
R R C CTR C R C
=+
Copyright: Nedjeljko Perić
43 Pneumatski regulator U mnogim tehnološkim procesima, posebno u kemijskoj industriji, koristi se
za regulacijske uređaje stlačeni zrak kao pomoćna energija i nositelj signala.
Za prijenos pneumatskih signala, npr. od regulatora do izvršnog člana,
koriste se vodovi od bakrenih cijevi i plastike (promjer 4mm). Maksimalna duljina takvih vodova iznosi cca 300 m.
Dobre strane pneumatskih regulatora su:
♦ jednostavni su za rukovanje, ♦ nisu eksplozijski opasni (ne koriste električke signale) ♦ pneumatski izvršni članovi (npr. ventili) jednostavne ♦ su izvedbe i mogu proizvesti velike postavne sile.
Pneumatski regulatori uobičajeno rade sa signalima između 0,2 i 1,0 bara nadtlaka, a koriste tlak napajanja oko p0 = 1,4 bara.
Copyright: Nedjeljko Perić
44 Načelna izvedba pneumatskog P regulatora za regulaciju tlaka ys u
cijevi (Sl. 5.17.): Izvršni član Regulacijska staza
Prigušenje
Mlaznica
xr
Mjernimijeh
Namještanje referentnevrijednosti
malo velikoMijeh
povratneveze
Regulator
Mjerni član
Odbojnaploča
Copyright: Nedjeljko Perić
45 ys treba održavati konstantnim neovisno o poremećajima koji djeluju na
proces. Tlak ys mjeri se pomoću mjernog člana i kao pneumatski signal y(t) dovodi se regulatoru P - tipa.
Regulator tvori regulacijsko odstupanje e(t), koje dalje obrađuje da bi se dobio upravljački signal u(t), odnosno pR, koji djeluje izvršno preko membranskog ventila (izvršnog člana). Ventil djeluje na volumni tok, a time i na tlak u cijevi.
P - regulator se opskrbljuje preko ventila (prigušenja) konstantnim tlakom p0 ≈ 1,4 bara.
Najvažniji dio regulatora predstavlja sustav mlaznica - odbojna ploča; odbojna ploča je izvedena kao krak vage. Prema udaljenosti između mlaznice i odbojne ploče, može izlazna veličina regulatora u(t) podešavati izvršni tlak pR u području 0 ≤ pR ≤ p0.
Ako je odbojna ploča udaljena od mlaznice onda je pR ≈ 0, budući da stlačeni zrak nesmetano izlazi iz mlaznice, te se ukupni pad tlaka javlja na prigušivaču. (Analogija tlak $= napon)
Copyright: Nedjeljko Perić
46 Ako se pak odbojna ploča nalazi neposredno uz mlaznicu, ne istječe zrak
kroz mlaznicu, tako da je pad tlaka na prigušenju zanemariv, pR ≈ p0.
Razmak između mlaznice i odbojne ploče određuje se ravnotežom sila prouzročenih oprugom u članu za namještanje vodeće vrijednosti i mjernim mjehom. Usporedbom sila tvori se, dakle, regulacijsko odstupanje e(t) = xR(t) - y(t). Mala promjena u signalu y(t) prouzročit će promjenu u pR. Time se ovaj sustav može smatrati kao pojačalo s visokim pojačanjem.
• Koja je uloga povratnog mijeha?
Reducirati visoko pojačanje sustava: mlaznica - odbojna ploča.
xR +
-yE +
- K
Kr
U
Sl. 5.18.
princip povratne veze
Copyright: Nedjeljko Perić
47 Mjernom mijehu je na drugom kraju mjerne vage suprostavljen povratni
mijeh koji je spojen na izlaznu veličinu regulatora u(t) s izvršnim tlakom pR i time se suprotstavlja sili mjernog mijeha (povratna veza).
(Povratni mijeh ima zanemarivo mali volumen.)
Prema položaju uporišne točke S povratni mijeh jače ili slabije utječe na ravnotežu momenata vage.
Drugim riječima to znači da se promjenom položaja uporišne točke S mijenja i pojačanje Kr u povratnoj vezi, odnosno pojačanje KR regulatora.
Ako se pomiče uporišna točka prema lijevo povećava se Kr, odnosno smanjuje se KR. Obrnuto je za slučaj posmaka uporišne točke prema desno.
Na sličan način se izvode pneumatski PI i PID regulatori.
Copyright: Nedjeljko Perić
48 Ograničavanje izlazne veličine regulatora • Svrha:
♦ zaštita energetskih komponenata u sustavu upravljanja; ♦ poboljšanje kvalitete upravljanja ograničavanjem internih veličina u
regulatoru; U slučajevima kada se koristi regulator s integralnim djelovanjem i kada
se izvršni element nalazi na granici radnog područja (u zasićenju) obično dolazi do tzv. "efekta zaleta" (integralni windup; engl. inegral windup, reset windup; njem. Anfahreffekt).
Integralni Windup ilustriran je slikom 5.19:
Copyright: Nedjeljko Perić
49
t
1TIs
e
tp tp tpt1 t2
u up
tt
e uxR +- y
Integrator Ventil
-M
M
upM
Sl. 5.19.
Nakon vremena t1 ventil je maksimalno otvoren i izlaz integratora praktički ne djeluje na ventil (proces).
U trenutku tp, kada dolazi do promjene predznaka signala e, ventil se ne može odazvati na ovu promjenu (jer integrator ima vrijednost up).
U trenutku t2 izlaz integratora poprima vrijednost M i sustav ponovo funkcionira kao sustav s povratnom vezom. U vremenu od t1 do t2, kada se ventil nalazi u zasićenju, gube se informacije o upravljanim varijablama sustava što može izazvati oscilatorno vladanje sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
50 Integralni windup može se spriječiti ograničenjem izlazne veličine integratora
(Sl. 5.20.) (engl. antiwindup, anti-reset-windup).
1TIs
e
tpt
e uxR +- y
Integrators ograničenjem
Ventil
-M
M
tp
umax
tt1
u
tp
umax=M
tt1
u
Sl. 5.20.
Kada e promjeni predznak integrator i ventil se trenutačno odazivaju (nema integralnog windup efekta).
Principna izvedba ograničavača (limitera) izlazne veličine regulatora na
primjeru često korištenog PI regulatora (Sl. 5.21.):
Copyright: Nedjeljko Perić
51
PROCESLIM y+
+
0
1
xR +-
e
KR
KRTI
1s
F+ -
Apsolutnavrijednost
F=razina
zasićenja
Ovakva izvedba prikladna je u digitalnim sustavima upravljanja. Izvedba ograničavača u analognoj tehnici također je prikazana na primjeru
PI regulatora (Sl. 5.22.):
Copyright: Nedjeljko Perić
52
Sumacijskatočka
Ref.vrijednost
Povratnaveza
uR xR
uy y
∼
∼
R1
R2
-
+
D1
D2 R
R
R
R
ui
ua2
ua1
Lim2 +URp
Lim1 Rp
-U
Sl. 5.22.
Npr.: R1 = R2 = 100 kΩ; R = 10 kΩ; Rp = 10 kΩ; ± U = 10 V Kada napon ui poprimi pozitivnu
vrijednost takvog iznosa da napon ua1 postane pozitivan i veći od napona praga diode, provede dioda D1, te se u povratnu vezu pojačala uključi otpornik R malog iznosa otpora . Na taj se način znatno smanji pojačanje regulatora, pa napon ui praktički ostaje na istoj razini bez obzira što ∆ U = UR - Uy eventualno i dalje raste.
Analogno vrijedi i za ograničenje negativne vrijednosti izlaznog napona ui.
Copyright: Nedjeljko Perić
1 6. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA
UPRAVLJANJA
6.1. Definicija stabilnosti i uvjeti stabilnosti Stabilnost sustava upravljanja osnovni je preduvjet njegove praktične
primjene.
Regulacijski krug (sustav upravljanja) može zbog povratne veze biti nestabilan, tj. mogu nastupiti oscilacije regulirane veličine čije bi amplitude poprimile beskonačne vrijednosti (teoretski).
Sustav je stabilan ako se za ograničenu pobudu (ulazni signal) ima
ograničeni odziv (engl. BIBO stable). Prema tome, valjana bi bila sljedeća definicija stabilnosti:
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Linearni vremenski nepromjenljivi sustav upravljanja asimptotski je stabilan ako za njegovu težinsku funkciju vrijedi:
lim ( ) 0 .t
g t→∞
= (6 - 1)
Sustav je nestabilan ako g(t) poprimi beskonačan iznos za rastući t. Sustav se nalazi na granici stabilnosti kada g(t) poprimi konstantan iznos za rastući t.
Prethodna definicija stabilnosti pokazuje da je kod linearnih sustava stabilnost sistemsko svojstvo, budući da težinska funkcija u cijelosti opisuje sistemsko vladanje.
Ako je ispunjeno lim ( ) 0,t
g t→∞
= onda ne postoje takvi početni uvjeti niti takve ograničene ulazne veličine koje mogu izazvati neograničeni rast izlazne veličine. Stoga bi se ova definicija mogla iskoristiti za ispitivanje stabilnosti linearnih sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
3 Međutim, često nije na raspolaganju g(t); na raspolaganju je češće G(s)
(prijenosna funkcija sustava).
0( ) ( ) stG s g t e dt
∞−
∫=
Ako G(s) ima oblik racionalne prijenosne funkcije:
1
( ) ( )( )( ) .... n
o n
Z s Z sG sN s a a s a s
= =+ + + (6 - 2)
i ako su:
k k ks jσ ω= + - polovi prijenosne funkcije, odnosno nule polinoma N(s):
1 20
( ) ( )( )....( ) ,n i
n n ii
N s a s s s s s s a s=∑= − − − =
(6 - 3) onda se dobije pripadajuća težinska funkcija g(t) iz konačnog broja
pribrojnika sljedećeg oblika:
Copyright: Nedjeljko Perić
4
( ) , 0,1,2,.... , 1,2,....ks tk kg t c t e kµ µ= = = (6 - 4)
ck - općenito kompleksna konstanta, µ - višestrukost pola sk. Iznos gk(t) dobije se kao:
( ) .k ks t tk k kg t c t e c t eσµ µ= = ⋅ (6 - 4a)
Ako je σk < 0, onda gk(t) → 0 za t → ∞. Prema tome, sustav je stabilan ako njegovi polovi imaju negativne
realne dijelove. Ako je realni dio od sk pozitivan ili ako se radi o višestrukom polu, koji je
jednak nuli, tada g(t) raste preko svih granica.
Copyright: Nedjeljko Perić
5 Prema tome, dovoljno je za ispitivanje stabilnosti sustava ispitati polove
prijenosne funkcije G(s) sustava, odnosno korijene sk njegove karakteristične jednadžbe:
2
1 2 .... 0 .no na a s a s a s+ + + + = (6 - 5)
Na temelju rečenog mogu se formulirati nužni i dovoljni uvjeti stabilnosti
linearnih sustava: a) Asimptotska stabilnost
Re 0 za ( 1,2,.... )k ks s k n < ∀ = Svi polovi su u lijevoj poluravnini s-ravnine.
Copyright: Nedjeljko Perić
6 b) Nestabilnost
Barem jedan pol se nalazi u desnoj poluravnini s - ravnine ili ako se najmanje jedan višestruki pol (višestrukost µ ≥ 1) nalazi na imaginarnoj osi s - ravnine.
c) Granična stabilnost Ne postoje polovi prijenosne funkcije sustava u desnoj poluravnini s -
ravnine, niti višestruki polovi na imaginarnoj osi. Postoji međutim na imaginarnoj osi barem jedan jednostruki pol.
Evidentno je da za istraživanje stabilnosti nije nužno znati vrijednosti korjena
karakteristične jednadžbe. Važno je znati da li se te vrijednosti nalaze u lijevoj ili desnoj poluravnini s - ravnine. Za to se koriste kriteriji stabilnosti.
Ovi kriteriji mogu biti: ♦ algebarski (numerički) ♦ grafički.
Copyright: Nedjeljko Perić
7 jω
0 σ
stabilan
s-ravnina
jω
0 σ
nestabilan
s-ravnina
jω
0 σ
graničnostabilan
s-ravnina
jω
0 σ
nestabilan
s-ravnina
1/s2
Sl. 6.1.
Copyright: Nedjeljko Perić
8 6.2. Algebarski kriteriji stabilnosti
Algebarski kriteriji stabilnosti polaze od karakteristične jednadžbe analiziranog sustava. Pri tome se postavljaju uvjeti na koeficijente ai karakteristične jednadžbe (6 - 5).
Nužan, ali ne i dovoljan uvjet za asimptotsku stabilnost sustava, jest da su
svi koeficijenti ai (i = 0,1,......, n) karakteristične jednadžbe različiti od nule i da su istog predznaka.
Dokaz: Faktorizirajmo karakterističnu jednadžbu (6 - 5): (s - s1)(s - s2)......(s - sn) = 0. (6 - 6) Neka prvih 2q korjena (od ukupno n korijena) tvori q konjugirano-
kompleksnih korjenskih parova: s2k - 1, 2k = σ2k ± jω2k , za k = 1, 2, ......q
Copyright: Nedjeljko Perić
9 onda se dobije:
2 2 2 21 2 1
( )( ) ( ) 0 .q n
k k k k kk k q
s j s j sσ ω σ ω σ= = +
− − − + − = ∏ ∏ (6 - 7)
Za asimptotsku stabilnost vrijedi: σk < 0 , odnosno σk = - σk za sve realne dijelove σk .
Iz jednadžbe (6 - 7) slijedi:
( ) ( )2 22 2
1 2 10 .
q n
k k kk k q
s sσ ω σ= = +
∏ ∏⎡ ⎤+ + + = ⎣ ⎦ (6 - 8)
Nakon množenja u jednadžbi (6 - 8) dobiju se za koeficijente ai ispred članova si (i = 0, 1,......n) samo pozitivne i od nule različite vrijednosti.
Copyright: Nedjeljko Perić
10 Za određivanje dodatnih uvjeta stabilnosti promotrimo sustav koji se
nalazi na granici stabilnosti. Neka taj sustav ima par polova na imaginarnoj osi:
, 1 , ( 0) .i i i is jω ω+ = ± ≠ (6 - 8)
Ovom paru polova odgovara komponenta težinske funkcije:
( ) cos( ) .i i i ig t c tω ϕ= +
(Oscilacije konstantne amplitude)
• Ako je si = jωi korjen karakteristične jednadžbe:
2
1 2 .... 0 ,no na a s a s a s+ + + + =
onda se dobije: 2
1 2( ) ( ) ..... ( ) 0no i i n ia a j a j a jω ω ω+ + + =
iz čega slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
11
2 4 3 5
2 4 1 3 5( .... ....) ( .... ....) 0 .o i i i i ia a a j a a aω ω ω ω ω− + − + + − + − + = (6 - 9)
⇓ 2 4
2 4 .... .... 0,o i ia a aω ω− + − + = (6 - 10) 2 4
1 3 5 .... .... 0.i ia a aω ω− + − + = (6 - 11) Eliminacijom ωi iz (6 - 10) i (6 - 11) dobiju se dovoljni uvjeti za granično
stabilno vladanje sustava. (ωi =ωkr - frekvencija trajnog osciliranja) Primijenimo jednadžbe (6 - 10) i (6 - 11) na sustav trećeg reda:
22 2 2 1
21 3 2 3
3 1 2
00
0 .
o i oi kr
i
o
a a a aa a a a
a a a a
ωω ω
ω− =
⇒ = = =− =
⇓− =
Dakle, da bi sustav 3. reda bio asimptotski stabilan potrebno je ispuniti:
Copyright: Nedjeljko Perić
12 a) uvjet predznaka,
b) nejednadžbu 3 1 2 0 .oa a a a− <
Za sustav 4. reda dobilo bi se:
2 24 1 3 1 2 3
2 2 1i
3
0 .
Ovdje je = = .
o
kr
a a a a a a a
aa
ω ω
+ − <
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Prethodna razmatranja mogu se interpretirati kroz prikladne kriterije
stabilnosti. Hurwitzov kriterij stabilnosti
Copyright: Nedjeljko Perić
13 • Polinom 1 1 2( ) .... ( )( )....( )n
o n n nP s a a s a s a s s s s s s= + + + = − − − (6 - 12)
naziva se Hurwitzovim polinomom ako svi korjeni si (i = 1, 2,......n) imaju negativni realni dio.
Linerni sustav je asimptotski stabilan ako je njegov karakteristični polinom
Hurwitzov polinom.
Hurwitzov kriterij stabilnosti može se izraziti pomoću nekoliko uvjeta koji se postavljaju na koeficijente Hurwitzova polinoma:
a) svi koeficijenti ai polinoma P(s) su različiti od nule; b) svi koeficijenti ai imaju pozitivan predznak; c) sljedećih n determinanti su pozitivne:
1 1 0,D a= >
Copyright: Nedjeljko Perić
14
1 02
3 2
0,a a
Da a
= >
1 0
3 3 2 1
5 4 3
00,
a aD a a a
a a a= >
1 0
3 21
1
0
0,
0 0
n
n
a aa a
D
a
−
−
= >
L
L M
M M L M
L (6 - 13)
1 0.n n nD a D −= > Sljedeći poredak koeficijenata može poslužiti za postavljanje Hurwitzovih
determinanti:
Copyright: Nedjeljko Perić
15
D1
D2
D3
D4
a1 a0 0 0 0
a3 a2 a1 a0 0
a5 a4 a3 a2 a1 . . .
a7 a6 a5 a4 a3 . . ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. U glavnoj dijagonali su koeficijenti a1,a2,...an (rastući koeficijenti od desna na
lijevo). Hurwitzov kriterij prikladan je kako za ispitivanje stabilnosti, uz poznate
koeficijente ai, tako i za određivanje područja vrijednosti podesivih parametara sustava uz koje je sustav asimptotski stabilan.
Primjer 6.1.:
Copyright: Nedjeljko Perić
16
XR +-
K0s
11+T1s
11+T2s
Y
Sl. 6.2.
T1 i T2 - poznate vremenske konstante.
Treba odrediti područje vrijednosti Ko da bi zatvoreni regulacijski krug bio asimptotski stabilan.
( ) ( )( )0
0
1 21 1KG s
s T s T s=
+ +
( ) ( )( )
( )( ) ( )
0 02 3
0 0 1 2 1 21x
R
Y s G s KG sX s G s K s T T s TT s
= = =+ + + + +
Karakteristična jednadžba zatvorenog kruga je: ( ) 2 3
0 1 2 1 2 0K s T T s TT s+ + + + = . Uvjeti Hurwitzovog kriterija:
Copyright: Nedjeljko Perić
17 a) Koeficijenti
0 0
1
,1,
a Ka
==
2 1 2
3 1 2
,,
a T Ta TT
= +=
moraju biti pozitivni.
b) ( )1 2 3 0 0,a a a a− > odnosno:
1 2 1 2 0
1 20
1 2
0
.
T T TT K
T TKT T
+ − >
↓+
<⋅
Prema tome, regulacijski krug je asimptotski stabilan za:
1 20
1 2
0 .T TKT T
+< <
⋅ Hurwitzov kriterij stabilnosti ekvivalentan je Routhovom kriteriju
stabilnosti.
Copyright: Nedjeljko Perić
18 6.3. Grafički (grafoanalitički) kriteriji stabilnosti Nyquistov kriterij stabilnosti (fizikalno objašnjenje)
GF xs1
+-
s2
G0(s) Y
Sl. 6.3.
x(t) = Xm sin ωt - pobuda sustava generirana u generatoru funkcija (GF)
promjenljive frekvencije ω. Pretpostavimo da je sklopka S2 otvorena (tj. povratna veza je prekinuta) i S1
zatvorena. Ako elementi sustava ne bi unosili vremenska kašnjenja (fazno zaostajanje),
onda bi izlazni signal y(t) bio u fazi s ulaznim signalom x(t).
Copyright: Nedjeljko Perić
19 U realnom sustavu izlazni signal y(t) fazno zaostaje za ulaznim signalom
x(t) s porastom frekvencije ω. Kod neke frekvencije (ω = ω1) izlazni signal može fazno zaostajati za 180°, što znači da su x(t) i y(t) u protufazi. Pretpostavimo da je pri toj frekvenciji amplituda izlaznog signala Ym jednaka amplitudi ulaznog signala Xm.
Ako istovremeno isključimo ulazni signal x(t) i uključimo signal povratne
veze y(t), signal povratne veze nadomjestit će ulazni signal. Sustav podržava oscilacije (samooscilacije); sustav se nalazi na rubu stabilnosti.
Ako je pak uz iste uvjete Ko > 1, sustav je apsolutno nestabilan, amplitude
oscilacija bi se povećavale teoretski do beskonačnosti. Za Ko < 1 sustav je stabilan. Stabilnost sustava određena je isključivo parametrima sustava; stabilnost ne
ovisi o pobudi sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
20 Grafička interpretacija fizikalnog objašnjenja Promatramo otvoreni regulacijski krug: S1 - zatvoreno, S2 – otvoreno:
GF xs1
+-
s2
G0(s) Y
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0
0
s jY sG s
X s
Y jG j
X j
ω
ωω
ω
=
= ⇒
=
Iz frekvencijske karakteristike otvorenog regulacijskog kruga G0(jω)
zaključuje se o stabilnosti zatvorenog regulacijskog kruga.
Pretpostavimo sustav 3. reda:
Copyright: Nedjeljko Perić
21
Im[G0]
Re[G0]-1
ω1
1
2
3
ω
ω=0
G0-ravnina
ω= ∞
Sl. 6.4.
1 - sustav stabilan 2 - sustav na granici stabilnosti
( )( )
1180
Y j y xX j
ωω ϕ
== ⇒
= − o
3 - sustav je apsolutno nestabilan
( )( )
1180
Y j y xX j
ωω ϕ
>> ⇒
= − o
(Nyquistov dijagram siječe negativnu realnu os s lijeve strane točke: -1, j0). Točka (-1, j0) označava se "kritičnom točkom".
Copyright: Nedjeljko Perić
22 Pokazatelji stabilnosti sustava upravljanja korištenjem Nyquistovog kriterija stabilnosti
γϕ0(ω c)<
0Re[G0]
j
-1
Im[G0]
ω π
1/Ar
ω c
ω
G0(jω )
G0-ravnina
Sl.6.5
Amplitudna rezerva (amplitudno osiguranje)
Copyright: Nedjeljko Perić
23 (amplitudna pričuva, engl. gain margin, njem. Amplitudenrand)
( )( )
( )
0
0
0
1 , arg ,
1 .
r
r
A G jG j
A G j
π
π
π
ω πω
ω
= = −
⎡ ⎤⋅ =⎣ ⎦
(6 - 14)
Fazna rezerva (fazno osiguranje) (fazna pričuva, engl. phase margin, njem. Phasenrand)
( ) ( )0arg c c cG jγ π ω π ϕ ω= + = + , (6 - 15) ωc - presječna frekvencija (engl. crossover frequency, njem.
Durchtrittsfrequenz) otvorenog regulacijskog kruga G0 (jω). Pri tome je: ( ) 1.o cG jω = (6 - 16)
Copyright: Nedjeljko Perić
24 • Presječna frekvencija predstavlja mjeru "dinamičnosti" regulacijskog
kruga. • Sustav je stabilan ako je: ωc < ωπ . • Sustav je prigušeniji i sporiji za veće iznose Ar i γ. • Amplitudno osiguranje nema smisla za sustave 1. i 2. reda. Zato je fazno
osiguranje bolja mjera za ocjenu stabilnosti sustava. • Za praktičnu primjenu je orjentacijski: 30 60 ,γ≤ ≤o o (za slijednu regulaciju) 20 50 ,γ≤ ≤o o (za stabilizaciju) 12 20 ,rdB A dB≤ ≤ (za slijednu regulaciju) 3,5 9,5 .rdB A dB≤ ≤ (za stabilizaciju) Dobre strane Nyquistovog kriterija stabilnosti:
Copyright: Nedjeljko Perić
25 • nije potrebno poznavati diferencijalnu jednadžbu sustava; polarna krivulja se
može odrediti pokusom ili iz poznatih prijenosnih funkcija pojedinih elemenata,
• pored apsolutne stabilnosti dolazi se do uvida i u relativnu stabilnost preko amplitudne i fazne rezerve,
• može se odrediti utjecaj pojedinačno svakog elementa sustava što je važno sa stajališta i analize i sinteze,
• mogu se analizirati i sustavi s raspodijeljenim parametrima (npr. sustavi s mrtvim vremenima).
Nedostaci Nyquistovog kriterija stabilnosti: • iziskuje puno vremena da se dođe do informacije o stabilnosti sustava. Bodeov kriterij stabilnosti
Copyright: Nedjeljko Perić
26 Vrlo je praktičan i često se koristi. Razmatranja provedena uz Nyquistov dijagram lako se mogu prenijeti u
Bodeov dijagram. Ako otvoreni regulacijski krug ima pojačanje manje od 1 (0 dB) na frekvenciji
kod koje je fazno kašnjenje 180°, onda je regulacijski krug stabilan.
GodB = L0 [dB]
Copyright: Nedjeljko Perić
27
Ar
-270o
-180o
-90o
0
ϕ0(ω)
|G0|dB
0
-20dB/dek
-40dB/dek
-60dB/dek
ω[s−1]ωπ
ωc
ϕ0(ωc)γ
ω[s−1]
Sl.6.6
sustav je stabilan
Copyright: Nedjeljko Perić
28
-270o
-180o
-90o
0
ϕ0(ω)
|G0|dB
0
-20dB/dek
-40dB/dek
-60dB/dek
ω[s−1]
ωπ
ωc
γ
ω[s−1]Ar
Sl. 6.7.
sustav je nestabilan (ωc > ωπ)
ϕ0(ω) siječe liniju - 180° uz G0 > 0 dB
Copyright: Nedjeljko Perić
29 Gruba procjena stabilnosti sustava: • sustav je vjerojatno nestabilan ako G0dB siječe frekvencijsku os pod
nagibom - 40 dB/dek. Bodeov dijagram veoma je prikladan za analizu i sintezu sustava upravljanja: • vrlo je zoran utjecaj parametara sustava na stabilnost sustava; • relativno je jednostavno povezati frekvencijske karakteristike otvorenog
sustava s vremenskim ponašanjem zatvorenog sustava upravljanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
30 Nyquistov i Bodeov kriterij stabilnosti za složenije G0(s)
• Pretpostavimo da Nyquistov dijagram otvorenog regulacijskog kruga ima oblik kao na slici 6.8.
ω
G0(jω )
- +-1 Re[Go]
Im[Go]
a)
s+=1s-=1
G0-ravnina
ωG0(jω )
- +-1 Re[Go]
jIm[Go]
G0-ravnina
b)
s+=1s-=2
- ω → ∞
Sl. 6.8.
Copyright: Nedjeljko Perić
31 • Prema slici 6.8. određuju se presječne točke između G0(jω) i realne osi u
području (-∞, -1). Pri tome se definira pozitivna presječna točka (S+) pri prijelazu krivulje G0(jω) iz gornje poluravnine u donju poluravninu u smjeru rastućih frekvencija. Pri prijelazu iz donje u gornju poluravninu u smjeru rastućih frekvencija dobije se negativna presječna točka (S-).
• Neka otvoreni regulacijski krug s prijenosnom funkcijom G0(s) ima P polova u desnoj poluravnini s - ravnine te eventualno jedan jednostruki (µ = 1) ili dvostruki (µ = 2) pol u s = 0. Ako Nyquistov dijagram G0(jω) ima S+ i S- presječnih točaka s realnom osi lijevo od kritične točke (-1, j0), zatvoreni regulacijski krug je asimptotski stabilan ako vrijedi (P je paran; (P + 1) je neparan):
0,1 ,2
1 2.2
P zaD S S
P za
µ
µ+ −
⎧ = ⎪⎪= − = ⎨ +⎪ =⎪⎩
(6 - 17)
• Ako je otvoreni regulacijski krug stabilan (P = 0, µ = 0) uvjet za asimptotsku stabilnost zatvorenog regulacijskog kruga je S+ = S-.
Copyright: Nedjeljko Perić
32 • I u ovom se slučaju razmatranja vezana za Nyquistov kriterij stabilnosti
mogu lako prenijeti u Bodeov dijagram. |Go|dB
ω[s-1]
ω[s-1]
-180o
0
ϕ0(ω)
0
- +
Sl. 6.9.
Copyright: Nedjeljko Perić
33 • Neka otvoreni regulacijski krug s prijenosnom funkcijom G0(s) ima P
polova u desnoj poluravnini s - ravnine te eventualno jedan jednostruki (µ = 1) ili dvostruki (µ = 2) pol u s = 0. Neka je S+ broj pozitivnih i S- broj negativnih prijelaza fazne karakteristike ϕ0(ω) preko linije ± (2k + 1)180° u frekvencijskom području u kojemu je G0dB > 0. U tom slučaju je zatvoreni regulacijski krug asimptotski stabilan ako vrijedi:
0,1 ,2
1 2.2
P zaD S S
P za
µ
µ+ −
⎧ = ⎪⎪= − = ⎨ +⎪ =⎪⎩
(6 - 17)
• U specijalnom slučaju je za P = 0 i µ = 0 D = S+ - S- = 0.
• U tablici 6.1. prikazano je nekoliko primjera frekvencijskih karakteristika (Bodeovih dijagrama) za ilustraciju stabilnih i nestabilnih sustava:
Copyright: Nedjeljko Perić
34
•
Tablica 6.1.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
7. POSTUPAK KRIVULJE MJESTA KORJENA
7.1. Osnovna zamisao postupka
Pri analizi sustava upravljanja često se postavlja pitanje kako poznata svojstva otvorenog regulacijskog kruga (parametri i struktura) određuju vladanje zatvorenog regulacijskog kruga.
Na ovo se pitanje može odgovoriti pomoću postupaka krivulje mjesta korjena (KMK, engl. root - locus method, njem. Wurzelortskurven-Verfahren).
Ovaj postupak omogućava donošenje zaključaka o vladanju zatvorenog regulacijskog kruga na temelju položaja polova i nula prijenosne funkcije G0(s) otvorenog regulacijskog kruga u kompleksnoj s - ravnini.
Ako se mijenja, primjerice, jedan parametar otvorenog regulacijskog kruga (npr. pojačanje regulatora), onda se mijenjaju položaji korijena karakteristične jednadžbe zatvorenog regulacijskog kruga u s- ravnini.
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Na taj način korijeni opisuju putanju u s-ravnini koja se naziva krivuljom
mjesta korjena zatvorenog regulacijskog kruga. Na temelju izgleda krivulje mjesta korijena zaključuje se o stabilnosti
zatvorenog regulacijskog kruga. Isto tako, prosuđuje se i o "relativnoj" stabilnosti na temelju udaljenosti
polova od imaginarne osi. KMK koristi se i u analizi i u sintezi sustava. Polazište za određivanje KMK je prijenosna funkcija otvorenog kruga:
1
0 0 0
1
( )( ) ( ) ,
( )
m
N
n
p
s sG s k k G s
s s
µµ
νν
=
=
− = =
−
∏
∏ (7 - 1)
gdje je: k0 > 0 , sNµ ≠ spν .
Copyright: Nedjeljko Perić
3 Prijenosna funkcija (7 - 1) može se prikazati i na način:
11
0 0
1 10 0
1( )1( ) .
( ) 1p p
mm
NN
n k k n k
p
ps s
ss s
G s ks ss
sν ν
µµ µµ
νν ν ν
= =− −
= =≠ ≠
⎛ ⎞+− ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠=
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
∏∏
∏ ∏
(7 - 2)
Ovdje je:
1
0 0
10
( ).
( )
p
m
N
n k
p
s
sK k
s
ν
µµ
νν
=−
=
≠
−=
−
∏
∏ (7 - 3)
Iz (7 - 1) dobije se karakteristična jednadžba zatvorenog regulacijskog kruga:
01 ( ) 0,k G s+ =
(7 - 4)
Copyright: Nedjeljko Perić
4 odnosno
0
1( ) .G sk
= −
Skup svih kompleksnih brojeva si = si (k0) koji zadovoljavaju prethodnu jednadžbu za 0 ≤ k0 ≤ ∞ predstavlja traženu KMK.
Jednadžba (7 - 4) može se prikazati pomoću amplitude i faze: amplitudni uvjet
0
1( ) ,G sk
= (7 - 5)
fazni uvjet
[ ]( ) arg ( ) 180 (2 1), 0,1,2...s G s k za kϕ = = ± + =o
(7 - 6) Evidentno je da je fazni uvjet neovisan o k0. Sve točke kompleksne s - ravnine, koje ispunjavaju fazni uvjet,
predstavljaju geometrijsko mjesto svih mogućih polova zatvorenog regulacijskog kruga, koji mogu nastati mijenjanjem faktora k0.
Copyright: Nedjeljko Perić
5 Primjer 7.1.( Servomotor):
0 00
1 2
( ) .( 1) ( )( )p p
K kG ss s s s s s
= = + − −
Ovdje je: sp1 = 0; sp2 = -1; k0 = K0 Potrebno je odrediti polove Gx zatvorenog regulacijskog kruga u funkciji
pojačanja K0:
02
0
( ) .xKG s
s s K=
+ +
Korjeni s1 i s2 određuju se iz karakteristične jednadžbe: 2
0 0 .s s K+ + = Slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
6
• K0 = k0 mijenja se od 0 do ∞.
1,2 0
0 1 1
2 2
1 1 1 42 2
0 0
1p
p
s K
za K s s
s s
= − ± −
= → = =
= = −
Nadalje je:
a) Za 014
K ≤ → s1 i s2 su realni i smješteni su na realnoj osi u području -
1 ≤ σ ≤ 0.
b) Za 014
K ≥ → s1 i s2 tvore konjugirano kompleksni par s realnim
dijelom -1/2 i s imaginarnim dijelom 01 4 1 .2
K± −
KMK za analizirani primjer prikazana je na slici 7.1:
Copyright: Nedjeljko Perić
7
-2 -1sp2
-0.5K0=1/4
K0=0
K0=00 σ
K0=1.25jω1
sp1
ϕ2 ϕ1
s+1 s
s-ravnina
Sl. 7.1.
• Pri 1 2
2p ps s+
je točka grananja.
• Sada ćemo provjeriti tok KMK pomoću faznog uvjeta:
Copyright: Nedjeljko Perić
8
[ ]!
1 2
1( ) arg ( ) arg( 1)
arg arg( 1) 180 (2 1) = + =180
s G ss s
s s k
ϕ
ϕ ϕ
⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥+⎣ ⎦
= − − + =± +o
o
(Fazni uvjet na KMK je ispunjen.)
• Iz amplitudnog uvjeta slijedi:
0
0
1 1( )( 1)
( 1) .
G ss s K
K s s
= =+
= +
• Npr. za s = -0,5 (točka grananja) je: 0 0,5( 0,5 1) 0,25.K = − − + =
Copyright: Nedjeljko Perić
9 Tablica 7.1. prikazuje nekoliko primjera KMK za sustave 1. i 2. reda pri mijenjanju k0:
Copyright: Nedjeljko Perić
10
7.2. Opća pravila za crtanje krivulje mjesta korjena Pretpostavimo da je prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog kruga G0(s)
razlomljena racionalna funkcija:
1 2 )0 0 0 0
1 2
( )( )....( ( )( ) , 0 .( )( )....( ) ( )
N N Nm
p p pn
s s s s s s Z sG s k k ks s s s s s N s− − −
= = > − − −
(7 - 7)
Prijenosna funkcija (7 - 7) dade se prikazati pomoću iznosa i faze:
1 2
1 2
1 20 0
1 2
....( ) ,
....
N N Nm
p p pn
j j jN N Nm
j j jp p pn
s s e s s e s s eG s k
s s e s s e s s e
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
− − −=
− − −
1 11
0 0
1
( ) .
m n
N p
m
N j
n
p
s sG s k e
s s
µ νµ ν
µ ϕ ϕµ
νν
= =
⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = ⎝ ⎠
=
− ∑ ∑= ⋅
−
∏
∏ (7 - 8)
Copyright: Nedjeljko Perić
11 Iz amplitudnog uvjeta (7 - 5) slijedi:
1
0
1
1 ,
m
N
n
p
s s
ks s
µµ
νν
=
=
−=
−
∏
∏ (7 - 9)
a iz faznog uvjeta slijedi:
1 1
( ) 180 (2 1) , 0,1,2...m n
N ps k kµ νµ ν
ϕ ϕ ϕ = =
= − = ± + =∑ ∑ o (7 - 10)
ϕNµ i ϕpν predstavljaju kutove pridružene kompleksnim brojevima (s - sNµ)
odnosno (s - spν). Ako se odredi zbroj kutova ϕ za svaku točku s - ravnine tada one točke koje
zadovoljavaju uvjet (7 - 10) određuju KMK.
Copyright: Nedjeljko Perić
12
s ϕN1
ϕp2ϕp1
ϕN2
s-s p2
s-sN2
s-sp1
s-sN1 sN1
sp1sp2
sN2
0 σ
jω
s-ravnina
Sl.7.2.
Copyright: Nedjeljko Perić
13 Za crtanje KMK primjenjuju se sljedeća pravila:
1. KMK simetrična je u odnosu na realnu os, budući da su svi korijeni realni ili konjugirano - kompleksni.
2. Iz 1+ G0(s) = 0 dobije se karakteristična jednadžba zatvorenog regulacijskog kruga:
01 1
( ) ( ) 0.m n
N pk s s s sµ νµ ν
= =
− + − =∏ ∏ (7 - 11)
♦ Prema (7 - 11) slijedi da se za k0 = 0 dobiju položaji korijena koji odgovaraju polovima spν, a za k→ ∞ dobiju se položaji korijena koji odgovaraju nulama sNµ otvorenog regulacijskog kruga.
♦ KMK sastoji se, dakle, iz n grana, koje počinju u polovima otvorenog regulacijskog kruga.
♦ Za k0→ ∞ , m ovih grana (od ukupno n) završavaju u nulama otvorenog regulacijskog kruga, a (n - m) grana teži u beskonačno.
♦ s = ∞ se u tom slučaju može promatrati kao (n - m) - struka nula G0(s).
Copyright: Nedjeljko Perić
14 3. Asimptote (n - m) grana KMK koje teže u beskonačnost su pravci ((n
- m) pravaca). Svi se ovi pravci sijeku na realnoj osi u točki težišta korijena s koordinatama (σa, j0):
1 1
1 Re Re .n m
a p Ns sn m ν µ
ν µ
σ = =
⎧ ⎫= −⎨ ⎬− ⎩ ⎭
∑ ∑ (7 - 12)
Dokaz izraza (7 - 12):
♦ Prijenosna funkcija (7 - 7) može se prikazati kao:
10 1 1
0 0 10 1 1
0 11 1
....( )....
1 .( ) ...
m mm m
n nn n
n m n mn m
b b s b s b sG s ka a s a s a s
ks a b s
−−
−−
− − −− −
+ + + +=
+ + + +
=+ − +
(7 - 13)
♦ Ako se (7 - 13) uvrsti u 1+G0(s) slijedi karakteristična jednadžba:
Copyright: Nedjeljko Perić
15
11 1 0( ) .... 0.n m n m
n ms a b s k− − −− −+ − + + =
♦ Za velike vrijednosti s (s→ ∞), a time i za asimptote KMK, vrijedi
1 1 0.n m
n ma bsn m
−− −−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟−⎝ ⎠
(7 - 14)
♦ Pokazuje se da vrijedi:
1 11 1
.n m
n p m Na s i b sν µν µ
− − = =
= − = − ∑ ∑ (7 - 15)
♦ Ako se (7 - 15) uvrsti u (7 - 14) tada se dobije rješenje s = σa koje odgovara (7 - 12).
♦ Kut nagiba asimptote KMK dobije se iz granične vrijednosti prijenosne funkcije G0(s) otvorenog regulacijskog kruga (izraz (7 - 13)):
0 01lim ( ) lim .n ms s
G s ks −→∞ →∞
= (7 - 16)
Copyright: Nedjeljko Perić
16
♦ Iz (7 - 16) i faznog uvjeta (7 - 6) slijedi: ( ) ( )arg 180 (2 1),s n m s kϕ = − − = ± +o
odakle se dobije kut nagiba asimptote:
180 (2 1)arg .k
ksn m
α ± += =
−
o
(7 - 17)
♦ Za (n-m)=1,2,3, i 4 prikazane su asimptote na slici 7.3. jω
σ
jω
σ
jω
σ
jω
σσa σa
(n-m)=1 (n-m)=2 (n-m)=3 (n-m)=4
σa σa
Sl. 7.3.
Copyright: Nedjeljko Perić
17 4. Proizvoljna točka na realnoj osi je točka KMK ako je ukupni broj polova
i nula spν i sNµ otvorenog regulacijskog kruga, koje leže desno od te točke, neparan.
♦ Ovo neposredno slijedi iz faznog uvjeta (7 - 10). ♦ Polovi i nule koje leže lijevo od promatrane točke na realnoj osi ne
utječu na fazni uvjet jer je fazni kut zrake od takvog pola ili nule prema promatranoj točki jednak nuli.
♦ Konjugirano - kompleksni par polova ili nula daje za promatranu točku na realnoj osi dvije vrijednosti kutova suprotnih predznaka.
♦ Samo polovi i nule, koje leže na realnoj osi desno od promatrane točke rezultiraju faznim kutom ±180°.
5. Ako grana KMK leži na realnoj osi upravo između dvaju polova
otvorenog regulacijskog kruga tada postoji najmanje jedna točka grananja KMK između obaju polova.
Copyright: Nedjeljko Perić
18
♦ Ako grana KMK leži na realnoj osi između dviju nula otvorenog regulacijskog kruga tada postoji najmanje jedna točka sjedinjenja KMK između obiju nula.
♦ Ako grana KMK leži na realnoj osi između pola i nule otvorenog regulacijskog kruga tada ne postoji niti točka grananja niti točka sjedinjenja.
♦ Položaj točke grananja σv KMK na realnoj osi dobije se kao rješenja s=σv jednadžbe:
1 1
1 1 .n m
p Ns s s sν µν µ = =
= − −∑ ∑ (7 - 18)
♦ Za višestruki pol vrijedi istovremeno:
( )01 0G s+ = i (7 - 19a)
[ ]0 0 01 ( ) ( ) ( ) 0.d dG s G s G sds ds
′+ = = = (7 - 19b)
Ovdje je:
Copyright: Nedjeljko Perić
19
( )( )
( )1
0 0
1
.
m
N
n
p
s sG s k
s s
µµ
νν
=
=
−=
−
∏
∏ (7–19c)
♦ Točka grananja predstavlja višestruki korjen karakteristične jednadžbe zatvorenog regulacijskog kruga.
♦ Logaritmiranjem (7 - 1) slijedi:
( ) ( ) ( )0 0
1 1
ln ln ln ln .m n
N pG s k s s s sµ νµ ν = =
= + − − − ∑ ∑ (7 - 20)
♦ Deriviranjem obiju strana izraza (7 - 20) slijedi:
( ) ( )( ) ( )
( )
'1lndf s f sd f s
ds f s ds f s= = =>
( )( )
'0
1 10
1 1 .m n
N p
G sG s s s s sµ νµ ν = =
= −− −∑ ∑ (7 - 21)
♦ Kako je prema (7 - 19a) G0(s)= -1, odnosno iz (7 - 19b) G'0(s)= 0, iz (7 - 21) proizlazi (7 - 18).
Copyright: Nedjeljko Perić
20
6. Izlazni kut KMK iz nekog pola spρ otvorenog regulacijskog kruga i ulazni kut KMK u neku nulu sNρ otvorenog regulacijskog kruga određuju se iz faznog uvjeta (7 - 10).
♦ Izlazni kut iz pola spρ je:
( ),1 1
1 180 2 1 .n m
p I p Np
krρ ν µ
ν µρν ρ
ϕ ϕ ϕ = = ≠
⎧ ⎫⎪ ⎪= − + ± + ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑ o (7 - 22)
♦ Ulazni kut u nulu sNρ je:
( ),1 1
1 180 2 1 .m n
N U N pN
krρ µ ν
µ νρµ ρ
ϕ ϕ ϕ = = ≠
⎧ ⎫⎪ ⎪= − + ± + ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑ o (7 - 23)
Copyright: Nedjeljko Perić
21 U (7 - 22) i (7 - 23) je: k=0,1,2,.... rpρ, rNρ - višestrukosti polova, odnosno nula.
♦ Slika 7.4. zorno prikazuje određivanje izlaznog kuta u polu sp2. Pri
tome su vrijednosti ϕp1 = 144°, ϕp3 = 90° i ϕN1 = 112°.
♦ Prema (7 - 12) slijedi:
2 , (144 90 ) 112 180 58 .p Iϕ = − + + + =o o o o o
Copyright: Nedjeljko Perić
22
Sl. 7.4.
Copyright: Nedjeljko Perić
23 7. Određivanje faktora k0 proizlazi neposredno iz (7 - 9):
10
1
,
n
p
m
N
s sk
s s
νν
µµ
=
=
−=
−
∏
∏ (7 - 24)
za proizvoljni s. (Ako je m=0 (nema nula) dijeli se s 1.)
8. Za zadanu vrijednost faktora k0 zatvoreni regulacijski krug je asimptotski stabilan ako se sve točke KMK (polovi zatvorenog kruga), koje su određene faktorom k0, nalaze u lijevoj poluravnini s- ravnine.
♦ Kritična vrijednost k0 = k0 kr (granica stabilnosti) dobije se za mjesta na kojima grane KMK sijeku imaginarnu os s - ravnine.
♦ Tipični primjeri rasporeda polova i nula otvorenog regulacijskog kruga G0(s) i pripadajuće KMK zatvorenog regulacijskog kruga dane su u tablici 7.2:
Copyright: Nedjeljko Perić
24
Copyright: Nedjeljko Perić
25
Copyright: Nedjeljko Perić
26 Primjer 7.1.:
( ) ( )( )( )
00 2
1
1 3
2 4
12 12 40
11
40 6 2
2 6 2
N
p p
p p
k sG s
s s s s
ms
ns s j
s s j
+=
+ + +
== −
== = − +
= − = − −
Prema 2. pravilu ovi polovi predstavljaju točke KMK za k0 = 0, a nule
predstavljaju točke KMK za k0 = ∞. => (Sl. 7.5.):
Copyright: Nedjeljko Perić
27
Copyright: Nedjeljko Perić
28 Za ovaj primjer je :
♦ (n - m) = 3, tj. 3 grane KMK koje idu prema beskonačnosti. ♦ Asimptote ovih triju grana sijeku realnu os (3. pravilo, izraz (7 -
12)) u točki (σa, j0):
( ) 1 1
1 Re Re
1 130 2 6 6 1 4.33.3 3
n m
a p N
a
s sn m ν µ
ν µ
σ
σ
= =
⎧ ⎫= − ⎨ ⎬− ⎩ ⎭
= − − − − − = − = −
∑ ∑
♦ Kut nagiba αk triju asimptota prema (7 - 17) iznosi:
0 1 2
180 (2 1) 180 (2 1) .3
60 , 180 , 60 .
kk k
n mα
α α α
± + ± += =
−↓
= = = −
o o
o o o
Copyright: Nedjeljko Perić
29 Prema 4. pravilu ispitujemo koje točke realne osi pripadaju KMK.
♦ Točke σ za koje je -1 <σ < 0 i σ < -2 očevidno pripadaju KMK, jer desno od toga postoji neparan broj polova i nula.
Prema 5. pravilu može nastati točka grananja ili točka sjedinjenja između 0 i
-1 i lijevo od -2. Prema (7 - 18) slijedi:
1 1
1 1
1 1 1 1 12 6 2 6 2 1
n m
p Ns s s s
s s s j s j s
ν µν µ = =
=− −
↓
+ + + =+ + − + + +
∑ ∑
Copyright: Nedjeljko Perić
30 odnosno: 4 3 23 32 106 128 80 0 .s s s s+ + + + = Rješenja glase:
1 2
3 4
3,68 ; 5,47 ;0,76 0,865 ; 0,76 0,865 .
s ss j s j
ν ν
ν ν
= − = − = − + = − −
sv1 = σv1 = -3,68.....................točka grananja sv2 = σv2 = -5,47.....................točka sjedinjenja. Realna rješenja su smislena! Prema 6. pravilu, izlazni kut ϕp3,I KMK iz pola sp3 = -6 + 2j (Sl. 7.5) određuje
se prema (7 - 22), vidi sliku 7.6:
Copyright: Nedjeljko Perić
31
ϕp1
ϕN1ϕp2
ϕp4
σ
- 2
jω
sp3ϕp1=161.6o
ϕp2=153.4o
ϕp4=90o
ϕN1=158.2o
Sl.7.6
( )3,
3,
90 153,4 161,6 158,2 180 2 1 ,
246,8 180 66,8 .p I
p I
kϕ
ϕ
= − − − + ± +
= − + = −
o o o o o
o o o
Copyright: Nedjeljko Perić
32 Kritična vrijednost k0 = k0kr određuje se pomoću (7-24). Iz grafički očitanih
vrijednosti slijedi:
07,2 7,4 7,9 11,1 644,4 .
7,25krk ⋅ ⋅ ⋅= =
Copyright: Nedjeljko Perić
1
8. KLASIČNI POSTUPCI SINTEZE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA UPRAVLJANJA
8.1 Definiranje problema Projektiranje ili sinteza sustava upravljanja jedna je od najvažnijih
zadaća koja se postavlja pred projektanta sustava upravljanja. Pod ovom zadaćom se podrazumijeva kompletno projektiranje
(dimenzioniranje) svih elemenata sustava, uključivo i elemente zaštite, signalizacije i dijagnostike.
Uobičajeni zahtjevi koji se postavljaju na sustave upravljanja, predočene
standardnom strukturom regulacijskog kruga (Sl. 8.1.), jesu
♦ ograničit ćemo se samo na projektiranje regulatora:
Copyright: Nedjeljko Perić
2
GR(s) Gs(s)U(s)E(s)XR(s)
+-
++ Y(s)
Z(s)
Sl. 8.1.
1. regulacijski krug mora biti stabilan;
2. poremećajne veličine z(t) trebaju čim manje utjecati na reguliranu veličinu y(t);
3. regulirana veličina y(t) treba slijediti čim točnije i čim brže vremenski promjenljivu vodeću vrijednost xR(t);
4. regulacijski krug treba biti čim manje osjetljiv na promjene parametara.
Copyright: Nedjeljko Perić
3 U idealnom slučaju ispunjenje zahtjeva 2. i 3. rezultira:
0
0
( )( )( ) 1,( ) 1 ( )x
R
G sY sG sX s G s
= = =+
(8 - 1)
0
( ) 1( ) 0 .( ) 1 ( )z
Y sG sZ s G s
= = = +
(8 - 2)
♦ Stroga realizacija (8-1) i (8-2) nije moguća zbog fizikalnih i tehničkih
razloga.
Copyright: Nedjeljko Perić
4 Primjer 8.1
Pretpostavimo da je objekt upravljanja (proces) istosmjerni motor s nezavisnom i konstantnom uzbudom čija je prijenosna funkcija :
2
( ) 1 1 .( ) 1a m a m
sU s K T s T T sΩ
= ⋅ + +
(4 - 51)
Uz pretpostavku upravljanja brzinom vrtnje bez podređenog upravljanja
strujom armature (direktno upravljanje) te uz pretpostavku da se može zanemariti armaturna vremenska konstanta Ta, prijenosna funkcija (4 - 51) poprima oblik:
1) .( ) 1a m
KsU s T sΩ(
= +
(8 - 3)
1
1KK
=
Copyright: Nedjeljko Perić
5 Nadalje, uz pretpostavku zanemarenja svih nedominantnih vremenskih
konstanti sustava (u pojačalu snage s pojačanjem Kp i u mjernom članu brzine vrtnje s pojačanjem Kb) proizlazi da bi se u cijelosti mogla kompenzirati dinamika objekta upravljanja ako se primijeni regulator brzine vrtnje PD - djelovanja (uz TR = Tm):
( ) (1 ) .R R mG s K T s= + (8 - 4) U tom slučaju otvoreni regulacijski krug s prijenosnom funkcijom:
10 1( ) ( ) ( ) (1 )
1p b
R s p b R m R p b
m
K K KG s G s G s K K K T s K K K K
T s= ⋅ ⋅ = + =
+ (8 - 5)
poprima čisto P - djelovanje.
Ako se ulazna veličina regulatora promijeni skokovito, proizlazi da bi i brzina
vrtnje motora poprimila trenutačno svoju stacionarnu vrijednost.
Copyright: Nedjeljko Perić
6 Da bi se ovo vladanje moglo interpretirati fizikalno, razmotrimo prijelaznu
funkciju regulatora: ( ) ( ) ( ) .R R R mh t K S t K T tδ= + (8 - 6) Proizlazi da bi izvršna veličina objekta upravljanja (napon armature
motora) trebala trenutačno poprimiti beskonačni iznos (δ - impuls) koji bi uvjetovao beskonačno kratki zalet motora.
Osim toga, da bi trajno regulacijsko odstupanje bilo jednako nuli te da bi se u cijelosti kompenzirao utjecaj smetnji, moralo bi pojačanje regulatora biti beskonačno.
Prema tome, regulator s prijenosnom funkcijom (8 - 4) ne može se primijeniti na procese opisane prijenosnim funkcijama koje imaju strukturu kao (8 - 3).
Osim toga: ♦ Regulator s prijenosnom funkcijom (8 - 4) ne može se realizirati. Dobra
aproksimacija idealnog PD - regulatora prema (8 - 4) postiže se PDT1 - regulatorom (realni PD - regulator):
Copyright: Nedjeljko Perić
7
( ) 1 ,1
DR R
T sG s KT sν
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟+⎝ ⎠
(5 - 33)
gdje je: Tν << TD. ♦ Iznosi izvršnih veličina ne smiju poprimiti proizvoljno velike vrijednosti. U
navedenom primjeru motor može imati maksimalno dozvoljeni napon armature, koji se ne smije prekoračiti. Osim toga, pri pokretanju motora ne smije se prekoračiti ni dozvoljena struja armature. Prema tome, pri projektiranju regulatora brzine vrtnje (u konkretnom slučaju) moraju se uzeti u obzir granične vrijednosti napona i struje armature motora.
♦ Postojanje derivacijskog člana u regulacijskom krugu pojačava visokofrekvencijske signale. Takvi se signali uobičajeno pojavljuju u svakom realnom regulacijskom krugu kao stohastičke smetnje (signali šuma) koji se superponiraju determinističkim regulacijskim signalima
♦ Veliko pojačanje regulatora KR moglo bi prouzročiti nestabilnost zatvorenog regulacijskog kruga. Ovaj slučaj ne može teoretski nastupiti u navedenom primjeru. Međutim, treba imati u vidu da je prijenosna funkcija (8 - 3) dobivena uz zanemarenja.
Copyright: Nedjeljko Perić
8 Na temelju analiziranog primjera vidljivo je da su zahtjevi na stacionarno
vladanje (trajno regulacijsko odstupanje) i dinamičko vladanje međusobno djelomično kontradiktorni; to je utoliko izraženije ukoliko se više teži idealnom regulacijskom krugu definiranom relacijama (8-1) i (8–2).
U praksi se stoga pri projektiranju sustava upravljanja polazi od maksimalno
mogućeg približenja idealnom slučaju. Prema tome, projektiranje sustava upravljanja predstavlja kompromis
između postavljenih zahtjeva i tehničkih ograničenja. Pri tome su od velike pomoći prethodna iskustva, inženjersko
razumijevanje fizikalnih zbivanja u elementima sustava upravljanja te projektantska kreativnost.
Stoga je i razumljivo da je razvijeno mnoštvo postupaka sinteze sustava
upravljanja, kako u vremenskoj, tako i u frekvencijskoj domeni (klasični postupci sinteze).
Copyright: Nedjeljko Perić
9
8.2. Sinteza u vremenskom području Pri analizi kakvoće upravljanja (regulacije) promatra se vremenski odziv
upravljane (regulirane) veličine y(t) odnosno regulacijsko odstupanje e(t) uz djelovanje odabranog ispitnog signala (pobude).
Uobičajeno se kao ispitni signal koristi odskočna funkcija S(t). Odziv
sustava na referentnu vrijednost tipa odskočne funkcije (prijelazna funkcija s obzirom na referentnu vrijednost) y(t) = hx(t) prikazana je na slici 8.2.
Za opis prijelazne funkcije hx(t) koriste se sljedeći pojmovi (neposredni
pokazatelji kakvoće): ♦ maksimalno nadvišenje σm (vidi izraz (4-106)) (engl. peak, overshoot;
njem. maximale Überschwingweite; maxˆ ˆm pe Mσ = = ) kojim je određen iznos maksimalnog regulacijskog odstupanja nakon prvog dostizanja željenog stacionarnog stanja, odnosno dostizanja referentne vrijednosti (100 %) u sustavima s jediničnom povratnom vezom;
Copyright: Nedjeljko Perić
10
0%
50%
100%
y(t)=hx(t)
tz ta
t50 tu tm tε
σm
2ε
t
tangenta utočki infleksije
W
tr
90%
10%
Sl. 8.2.
Copyright: Nedjeljko Perić
11
♦ vrijeme prvog maksimuma tm pri kojem se pojavljuje maksimalno nadvišenje ( ˆm pt t= , engl. time to maximum overshoot; njem. tm-Zeit):
21m
n
t πω ξ
=−
♦ vrijeme porasta tr (engl. rise time; njem. Anstiegszeit) koje se definira kao vrijeme za koje prijelazna funkcija hx(t) poraste od vrijednosti 0,1
hx(∞) na vrijednost 0,9 hx(∞); Za 0,5ζ ≈ je 1,8
r
n
tω
≈ .
Vrijeme porasta može se definirati i pomoću tangente povučene u točki infleksije W prijelazne funkcije hx(t): ♦ vrijeme porasta ta koje se dobije iz točaka sjecišta tangente, povučene
u točki infleksije W prijelazne funkcije hx(t), s linijama 0% i 100%. Često se koristi tangenta povučena u točki određenoj vremenom t50 kod koje hx(t) poprima 50% željenog stacionarnog stanja, odnosno 50 % referentne vrijednosti u sustavima s jediničnom povratnom vezom.(U tom slučaju se vrijeme porasta označava s ta,50).
Copyright: Nedjeljko Perić
12
♦ vrijeme zadržavanja tz dobije se iz sjecišta prethodno definirane tangente u točki infleksije s vremenskom osi.
♦ ulazno vrijeme tu kojim je određen trenutak prvog dostizanja željenog
stacionarnog stanja, odnosno dostizanja referentne vrijednosti (100%) u sustavima s jediničnom povratnom vezom. Vrijedi približna relacija: tu≈ tz+ta.
♦ vrijeme ustaljivanja tε kojim je određeno trajanje prijelaznog procesa
nakon kojega regulacijsko odstupanje e(t) postane manje od zadanog iznosa ε (npr. ε = 3%, što odgovara vremenu ustaljenja t3%):
(Ustaljivanje = smirivanje: ˆ ˆs st t Tε = = ; engl. settling time, njem. Ausregelzeit):
4,6
n
tε ζ ω
Copyright: Nedjeljko Perić
13 Na sličan način može se karakterizirati i vladanje sustava s obzirom na
poremećajnu veličinu. I ovdje se na isti način definiraju pojmovi "maksimalno nadvišenje" i "vrijeme ustaljenja", Sl. 8.3.:
0
100%
y(t)=hz(t)
tεσm 2ε
t
s regulatorom
bez regulatora
Copyright: Nedjeljko Perić
14
Veličine σm i tε neposredno ukazuju na prigušenje sustava, dok je veličinama tu, ta, tr i tm određena brzina, odnosno dinamika sustava upravljanja.
Budući da sve ove veličine predstavljaju odstupanja prijelazne funkcije od
prethodno definiranog idealnog slučaja i time dinamičku pogrešku prijelaznog procesa, cilj je sinteze sustava da te veličine imaju čim manji iznos.
U praksi se često ograničavamo na tri veličine i to: tu, tε i σm . Pri minimizaciji ovih veličina općenito je nužno uvažavati maksimalno
dopuštene vrijednosti fizikalnih varijabli u sustavu upravljanja (primjerice u izvršnim članovima).
Copyright: Nedjeljko Perić
15 Integralni kriteriji Iz slike 8.2. je vidljivo da površina između prijelazne funkcije hx(t) i pravca
iznosa 100% predstavlja mjeru za odstupanje regulacijskog kruga od idealnog vladanja s obzirom na vodeću vrijednost.
Jednako tako, površina između prijelazne funkcije hz(t) (Sl. 8.3.) i
vremenske osi predstavlja mjeru za odstupanje regulacijskog kruga od slučaja idealnog potiskivanja smetnji.
U oba se slučaja radi o ukupnoj površini ispod regulacijskog odstupanja e(t)
= xR(t) - y(t) kojim se može opisati odstupanje od idealnog regulacijskog kruga.
Prema tome, integral:
[ ]0
( )k kI f e t dt∞
∫= (8 - 7)
predstavlja mjeru za kakvoću upravljanja, gdje funkcija fk [e(t)] može imati različite oblike, npr. e(t), e(t)t, e2(t) itd.
Copyright: Nedjeljko Perić
16 U takvoj integralnoj mjeri kakvoće mogu se uzeti u obzir i vremenske
derivacije regulacijskog odstupanja kao i amplitude izvršnih veličina. Najvažnija svojstva mjera kakvoće Ik dana su u tablici 8.1 (Sljedeća
stranica). Upravljanje je u smislu odabranog integralnog kriterija utoliko bolje ukoliko
je Ik manji. Prema tome, potrebno je provesti minimizaciju Ik, pri čemu se to može
izvesti prikladnim izborom slobodnih (podesivih) parametara sustava r1, r2......(parametara regulatora).
Time integralni kriterij poprima oblik:
[ ] 1 20
!( ) ( , ....) min.k k kI f e t dt I r r
∞
=∫= = (8 - 8)
Copyright: Nedjeljko Perić
17
MJERE KAKVOĆE SVOJSTVA
( )10
I e t dt∞
∫=
Linearna površina regulacijskog odstupanja: Prikladna je za analizu jako prigušenih ili monotonih sustava upravljanja; jednostavna matematička obrada.
20
( )I e t dt∞
∫=
Linearna površina apsolutne vrijednosti regulacijskog odstupanja: Prikladna je za oscilatorne sustave upravljanja; mukotrpna matematička obrada
ISE* - kriterij
( )23
0I e t dt
∞
∫=
Kvadratična površina regulacijskog odstupanja: Daje veće vrijeme ustaljivanja tε nego I2. U mnogim slučajevima moguć analitički proračun
ITAE* - kriterij
40
( )I e t t dt∞
∫=
Vremenski otežana linearna površina apsolutne vrijednosti regulacijskog odstupanja: Djelovanje kao I2, ali dodatno uzima u obzir trajanje regulacijskog odstupanja
Copyright: Nedjeljko Perić
18
( )25
0I e t t dt
∞
∫=
Vremenski otežana kvadratična površina regulacijskog odstupanja: Djelovanje kao I3, ali dodatno uzima u obzir trajanje regulacijskog odstupanja
( ) ( )2 26
0I e t e t dtα
∞
∫ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦&
Poopćena kvadratična površina regulacijskog odstupanja: Djelovanje povoljnije od I3; izbor težinskog koeficijenta α općenito je subjektivan
( ) ( )2 27
0I e t u t dtβ
∞
∫ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦
Kvadratična površina regulacijskog odstupanja i energetsko forsiranje: Veća vrijednost σm ima za posljedicu tε bitno kraće; izbor težinskog koeficijenta β općenito je subjektivan
Tablica 8.1. * ISE - Integral of Squared Error ITAE - Integral of Time Multiplied by Absolute Value of Error Napomena: Ako u regulacijskom krugu postoji trajno regulacijsko
odstupanje e∞, tada se u navedenim relacijama koristi e(t)-e∞ umjesto e(t), kako bi integrali konvergirali.
Copyright: Nedjeljko Perić
19 Izračunavanje kvadratične površine regulacijskog odstupanja (ISE kriterij) ISE kriterij, kao kriterij kakvoće, pokazao se veoma prikladnim u mnogim
primjenama.
Pri izračunavanju kvadratične površine regulacijskog odstupanja 2
0( )e t dt
∞
∫
polazi se od kompozicijskog teorema o konvoluciji u frekvencijskom području (p kompleksna varijabla integracije):
1 2 1 2 1 20
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2
c jst
c jL f t f t f t f t e dt F p F s p dp
jπ
+ ∞∞−
− ∞∫ ∫= ⋅ ⋅ = ⋅ − (4 - 10)
Ako se odabere da je s = c = 0 i f1(t) = f2(t) = f(t) dobije se sljedeći izraz
(Parsevalova jednadžba):
2
0
1( ) ( ) ( ) .2
j
jf t dt F p F p dp
jπ
+ ∞∞
− ∞∫ ∫= ⋅ − (8 - 9)
Copyright: Nedjeljko Perić
20
Pri tome se pretpostavlja 2
0 0( ) ( )f t dt i f t dt
∞ ∞
∫ ∫ konvergiraju.
Za f(t) = e(t) dobije se kvadratična površina regulacijskog odstupanja:
23
0
1( ) ( ) ( ) .2
j
jI e t dt E s E s ds
jπ
+ ∞∞
− ∞∫ ∫= = − (8 - 10)
Neka je E(s) razlomljena racionalna funkcija:
1
0 1 1
0 1
......( )(( ) ......
nn
nn
c c s c sC sE sD s d d s d s
−
−+ + += =
+ + + (8 - 11)
čiji polovi leže u lijevoj poluravnini s - ravnine. Određivanje integrala (8 - 10) obavlja se pomoću izračunavanja reziduuma.
Tablica 8.2. sadrži vrijednosti integrala do četvrtog reda (n = 4) prijenosne funkcije (8 - 11) (I3,n za n = 1,2,3,4).
Copyright: Nedjeljko Perić
21
2
3,1
0 12ocI
d d=
2 21 0 0 2
3,2
0 1 22c d c dI
d d d+
=
2 2 22 0 1 1 0 2 0 3 0 2 3
3,3
0 3 0 3 1 2
( 2 )2 ( )
c d d c c c d d c d dId d d d d d
+ − +=
− +
2 2 2 2 2 23 0 0 1 2 2 1 3 0 1 4 1 0 2 0 3 4 0 1 4 2 3 4
3,4 2 20 4 0 3 1 4 1 2 3
( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )2 ( )
c d d d d c c c d d d c c c d d d c d d d d dId d d d d d d d d
− + + − + − + − +=
− − +
Tablica 8.2.
Copyright: Nedjeljko Perić
22
Određivanje optimalnih parametara regulatora prema ISE kriteriju Pretpostavimo da je potrebno odrediti optimalne parametre regulatora
regulacijskog kruga prikazanog na slici 8.1. u smislu kriterija kakvoće minimalne kvadratične površine regulacijskog odstupanja (skraćeno: kvadratični kriterij kakvoće). Uz zadanu vodeću odnosno poremećajnu veličinu kvadratična površina regulacijskog odstupanja:
[ ]2
3 3 1 20
( ) ( , ,...)I e t e dt I r r∞
∞∫= − = (8 - 12)
postaje funkcijom parametara regulatora r1, r2,...., koje treba tako odrediti (optimirati) da I3 poprimi minimalnu vrijednost, tj.:
3 1 2
!( , ...) min.I r r = (8 - 13)
Optimalne vrijednosti parametara r1opt, r2opt, ....dobiju se na sljedeći način:
3 3
2 3 1 31 2
0, 0,...., ... , ,...opt opt opt opt
I Ir r r rr r
∂ ∂∂ ∂
= =
(8 - 14)
Copyright: Nedjeljko Perić
23 Primjer 8.1.: Proces opisan prijenosnom funkcijom:
3
1( ) ,(1 )sG s
s=
+
regulira se regulatorom PI - djelovanja:
1( ) 1R R
I
G s KT s
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Potrebno je odrediti KRopt i TIopt da kvadratična površina I3 pri skokovitoj
promjeni smetnje na ulazu objekta upravljanja (regulacijsku stazu) ima minimalnu vrijednost.
Copyright: Nedjeljko Perić
24 1. korak: Određivanje ruba stabilnosti
Potrebno je najprije odrediti područje podesivih vrijednosti parametara (KR, TI) uz koje je zatvoreni regulacijski krug stabilan.
Iz Gs(s) i GR(s) dobije se karakteristična jednadžba:
0
4 3 2
1 ( ) 1 ( ) ( ) 0,3 3 (1 ) 0 .
R s
I I I I R R
G s G s G sT s T s T s T K s K
+ = + =
+ + + + + =
Na temelju algebarskih kriterija stabilnosti (npr. Hurwitzovog kriterija) proizlaze granične krivulje područja stabilnosti određene izrazima:
0,9 .
(1 )(8 )
R
RIstab
R R
KKT
K K
=
= + −
• Dijagram stabilnosti, prema prethodnim izrazima prikazan je na slici 8.4:
Copyright: Nedjeljko Perić
25
TI
KR0 1 2 3 4 5 6 7 8
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
stabilno
nestabilno
TI stab=f(KR)
Sl. 8.4. Dijagram stabilnosti
Copyright: Nedjeljko Perić
26 2.korak: Određivanje kvadratične površine regulacijskog odstupanja Laplaceova transformacija regulacijskog odstupanja E(s), uz pretpostavku
XR(s) = 0, glasi:
0
( )( ) ( ) ( ).1 ( )
sG sE s Y s Z sG s
= − = − ⋅+
GR Gs+
z
-E + y
Nakon uvrštenja prijenosnih funkcija Gs(s) i GR(s) (pretpostavlja se smetnja
oblika odskočne funkcije na ulazu u regulacijsku stazu) dobije se:
2 3 4( ) .
(1 ) 3 3I
R R I I I I
TE sK K T s T s T s T s
−=
+ + + + +
Iz tablice 8.2 i prethodnog izraza dobije se nakon elementarnog računanja:
3
(8 ) .92 (1 )(8 )
I R
RR R R
I
T KIKK K KT
−=
⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
( Za KR = 0:3
9 ,(1 )(8 )
RI
R R
KT IK K
= → ∞+ −
)(8 - 15)
Copyright: Nedjeljko Perić
27 3. korak: Određivanje optimalne točke (KRopt , TIopt) Budući da tražena optimalna točka leži unutar područja stabilnosti, nužno
vrijedi u tom području:
3 0R
IK
∂∂
=
i 3 0.
I
IT
∂∂
=
Iz svakog od ovih dvaju uvjeta proizlazi optimalna krivulja TI(KR) u (KR, TI)-
ravnini, čije sjecište, ako postoji i ako se nalazi unutar područja stabilnosti, predstavlja optimalnu točku.
Iz jednadžbe 3 / 0RI K∂ ∂ = dobije se optimalna krivulja.
1 2
9 (16 ) ,(8 ) (1 2 )
R RIopt
R R
K KTK K
−=
− +
Copyright: Nedjeljko Perić
28 a iz jednadžbe 3 / 0II T∂ ∂ = optimalna krivulja:
2
18 .(1 )(8 )
RIopt
R R
KTK K
=+ −
Obje optimalne krivulje prolaze kroz ishodište i imaju pol za KR=8 (kao i
dijagram stabilnosti). Izjednačenjem TIopt1 = TIopt2 dobije se tražena optimalna točka s
koordinatama:
KRopt = 5 i TIopt = 5. Na slici 8.5. prikazane su obje optimalne krivulje i optimalna točka te
dijagram stabilnosti:
Copyright: Nedjeljko Perić
29
TI
KR0 1 2 3 4 5 6 7 8
7
6
5
4
3
2
1
nestabilno
stabilno
TI opt2(KR)
TI opt1(KR)
Sl. 8.5.
Vidljivo je da se
optimalna točka nalazi u području parametara regulatora kojima se postiže stabilno vladanje sustava upravljanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
30 4. korak: Crtanje dijagrama kakvoće upravljanja
Promjena parametara sustava upravljanja (npr. parametara procesa) ima za posljedicu promjenu optimalne radne točke.
Stoga je često korisno znati izgled I3= f(KR,TI) u okolišu odabrane optimalne točke kako bi se mogao procijeniti utjecaj promjene parametara na vladanje sustava upravljanja.
U tu svrhu potrebno je odrediti TIh(KR)-krivulje na kojima I3 ima konstantne vrijednosti (izohipse).
Jednadžba za određivanje izohipsa dobije se iz izraza (8 - 15) i glasi:
2 2 3
1,2 3 3
18( 1) ( 1) .8Ih R R R
R
IT K I K I KK
⎡ ⎤= + ± + − ⎢ ⎥−⎣ ⎦
(Ovdje je I3 parametar).
Uz zadanu vrijednost I3 i za različite vrijednosti KR dobije se, zbog dvoznačnosti korijena u prethodnom izrazu TIh1,2, dvije, jedna ili nijedna vrijednost za TI.
Copyright: Nedjeljko Perić
31 Izohipse, prema prethodnom izrazu, predstavljaju zatvorene linije u
području parametara regulatora kojima se postiže stabilno vladanje sustava upravljanja.
Ako se ucrta nekoliko izohipsa u sliku 8.5 dobije se dijagram kakvoće upravljanja (Sl. 8.6.): T I
K R0 1 2 3 4 5 6 7 8
7
6
5
4
3
2
1
TI opt2T I opt1
8
9
10I3=const
(izohipse) Izohipse posjeduju u presjecištu s
TIopt1(KR) vodoravnu tangentu (zbog 3 / 0RI K∂ ∂ = ), a u presjecištu s
TIopt2(KR) uspravnu tangentu (zbog 3 / 0II T∂ ∂ = ).
Područje na dijagramu kakvoće
upravljanja u kojemu su izohipse "gušće koncentrirane" u praksi treba izbjegavati jer je sustav upravljanja u tom području osjetljiviji na promjene parametara.
Copyright: Nedjeljko Perić
32 Provedena razmatranja vezana za integralne kriterije, ilustrirana na
navedenom primjeru, treba upotpuniti konstatacijom da optimalne vrijednosti parametara regulatora ovise o vrsti i o mjestu djelovanja smetnje u sustavu.
Primjerice, dobivene vrijednosti parametara regulatora za analizirani
primjer neće biti optimalne za vladanje s obzirom na vodeću vrijednost ili smetnju koja djeluje na izlazu sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
33
Empirijski postupci Empirijska pravila podešavanja prema Ziegleru i Nicholsu
Mnogi industrijski procesi mogu se opisati prijelaznom funkcijom s čistim aperiodskim vladanjem; Sl. 8.7:
Slika 8.7. prikazuje aproksimaciju PT - člana pomoću PT1Tt - člana.
(hs(t) je prijelazna funkcija procesa)
hS(t)KS
0,63 KS
0
tz t
t
PT1Tt-aproksimacijaW
Copyright: Nedjeljko Perić
34 Često se ovakvi procesi mogu opisati pojednostavljenim matematičkim
modelom:
( ) ,1
tT sss
s
KG s eT s
−= ⋅+
(8 - 16)
Član s usporenjem prvog reda s mrtvim vremenom Tt zadovoljavajuće dobro
aproksimira složeniji matematički model procesa. Pri tome se prijelazna funkcija hs(t) karakterizira pomoću triju veličina koje
su određene tangentom u točki infleksije W: Ks (koeficijent pojačanja procesa), ta (vrijeme porasta) i tz (vrijeme zadržavanja).
Uz grubu aproksimaciju vrijedi: Tt = tz i Ts = ta.
Copyright: Nedjeljko Perić
35 U praksi se koriste brojna pravila za podešavanje parametara standardnih
regulatora do kojih se došlo empirijski ili simulacijom na odgovarajućim matematičkim modelima.
Veoma često korištena empirijska pravila za podešavanje regulatora
definirali su Ziegler i Nichols (1942.). Ova su pravila izvedena empirijski na temelju podešavanja regulatora, pri čemu prijelazna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga pokazuje smanjenje amplitude po periodi oscilacije za oko 25%.
Pri korištenju pravila podešavanja prema Ziegleru i Nicholsu na
raspolaganju su dvije mogućnosti:
Copyright: Nedjeljko Perić
36 a) Metoda ruba stabilnosti ( Varijanta I):
Ovdje se provode slijedeći koraci:
1. Standardnom regulatoru koji se nalazi u regulacijskom krugu odabere se samo P - djelovanje (isključena I i D djelovanja) (autotuning);
2. Pojačanje KR P - regulatora tako se dugo povećava dok se u
zatvorenom regulacijskom krugu ne proizvedu trajne oscilacije. Pojačanje uz koje se dobiju trajne oscilacije označava se kritičnim pojačanjem regulatora Krkr;
3. Mjeri se iznos periode Tkr (kritični iznos periode);
4. Na temelju KRkr i Tkr određuju se vrijednosti parametara regulatora (KR, TI i
TD) pomoću relacija danih u tablici 8.3.
Copyright: Nedjeljko Perić
37 b) Metoda prijelazne funkcije (Varijnta II):
1. Često je nemoguće (štetno) dovoditi regulacijske krugove u postrojenjima i procesima u granično stabilno stanje.
2. Međutim, određivanje (mjerenje) prijelazne funkcije hs(t) procesa ne
predstavlja poteškoću.
3. Stoga je druga varijanta Ziegler - Nicholsovih pravila za podešavanje regulatora u tim slučajevima pogodnija, a temelji se na nagibu tangente u točki infleksije Ks/ta i na vremenu zadržavanja tz prijelazne funkcije (Sl.8.7.).
4. Iz vrijednosti tz i Ks/ta te izraza danih u tablici 8.3 (sljedeća stranica)
jednostavno se odrede vrijednosti parametara regulatora.
Copyright: Nedjeljko Perić
38
Tip Vrijednosti parametara regulatora regulatora KR TI TD P 0,5 R krK - -
Varijanta I PI 0,45 R krK 0,85 Tkr - PID 0,6 R krK 0,5 Tkr 0,12 Tkr P 1/ /s a zK t t⋅ - -
Varijanta II PI 0,9 / /s a zK t t⋅ 3,33 tz - PID 1,2 / /s a zK t t⋅ 2 tz 0,5 tz
Pravila za podešavanje parametara regulatora prema Ziegleru i Nicholsu
približna su pravila. Njima se može približno postići zahtjevana mjera kakvoće sustava upravljanja. Stoga se često za postizanje kvalitetnijeg upravljanja u praksi koristi simulacija na računalu pri sintezi sustava upravljanja, gdje vrijednosti parametara regulatora dobivene prema Ziegler - Nicholsovim pravilima mogu poslužiti kao dobri početni parametri za optimiranje sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
8.3. Sinteza u frekvencijskom području Karakteristične veličine zatvorenog regulacijskog kruga u frekvencijskom
području i njihova veza s mjerama kakvoće u vremenskom području.
Za opis vladanja sustava u frekvencijskom području koriste se sljedeće karakteristične veličine prikazane na slici 8.8 (posredni pokazatelji kakvoće):
ωr - rezonantna frekvencija (engl. resonant frequency, njem. Rezonantfrequenz)
Mr - rezonatno izdizanje (amplitudno nadvišenje); ( )ˆr rM A ω= , (engl. resonant peak magnitude, njem. Amplitudenüberhöhung)
ωb - širina pojasa; ˆb BWω ω= ; (engl. Bandwidth, njem. Bandbreite)
ϕb = ϕ (ωb) - fazni kut
|Gx|dB
0Mr
ωr ω [s-1]
ω [s-1]
ωb
0
ϕ
ϕb
-3dB
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Pretpostavimo da se zatvoreni regulacijski krug može približno opisati PT2S
- članom:
2
22( )
2n
x
n n
G ss s
ωζω ω
=+ +
, (8 - 17)
gdje
ωn - prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija i ζ - relativni koeficijent prigušenja
u cijelosti karakteriziraju regulacijsko vladanje sustava. Prijenosna funkcija (8-17) zadovoljavajuće dobro nadomješta prijenosne
funkcije viših redova kod kojih postoje (Sl. 8.9 – sljedeća stranica):
♦ jedan dominatni par polova, ♦ ostali polovi relativno daleko od jω-osi (nedominatni polovi).
Copyright: Nedjeljko Perić
3
nedominatnipolovi
dominatni parpolova
ζωn
ϕp
σ
jω
a
ω ςn 1 2−
0
α
ωn
s - ravnina
Sl. 8.9.
Dominantni par
polova leži u s - ravnini bliže jω osi, opisuje najsporije vlastito gibanje i najjače utječe na dinamičko vladanje sustava.
21n p
n
ω ς ωςω σ
− =
=
Copyright: Nedjeljko Perić
4 Za prijenosnu funkciju (8 - 17) dobije se prijelazna funkcija:
2
2( ) 1 cos 1 ,
1
nt
x n p
eh t tςω
ς ω ϕς
−
⎡ ⎤= − ⋅ − ⋅ −⎣ ⎦− (8 - 18)
gdje je: ϕp = arcsin ζ ⇒ ζ = sin ϕp, ζ = cos α Isto tako je težinska funkcija:
( )2
2( ) ( ) sin 1
1ntn
x x ng t h t e tζωω ζ ωζ
−= = ⋅ ⋅ − ⋅−
& . (8 - 19)
Iz (8 - 18) i (8 - 19) može se odrediti ovisnost nadvišenja σm, vremena
porasta tr (ili ta) i vremena ustaljivanja tε o veličinama iz frekvencijskog područja kao što su ωn i ζ.
Copyright: Nedjeljko Perić
5
Određivanje maksimalnog nadvišenja σm: Iz ( ) ( ) 0x xg t h t= =& slijedi:
21 .nt kς ω π− ⋅ =
Za k=1 slijedi vrijeme prvog maksimuma:
21m
n
t πω ζ
=−
. (8 - 20)
Iz (8 - 18) i (8 - 20) dobije se :
[ ] [ ] 211% ( ) 1 100 100 ( )m x mh t e f
ζπ
ζσ ζ−
−= − ⋅ = ⋅ = . (8 - 21)
Copyright: Nedjeljko Perić
6
Ovisnost maksimalnog nadvišenja σm o relativnom koeficijentu prigušenja ζ prikazana je na slici 8.10-1.:
ζ
σm[%]=f1(ζ)100
80
60
40
20
0.1 0.2 0.3 0.50.4 0.6 0.7 0.90.8 1.00
Copyright: Nedjeljko Perić
7 Određivanje vremena porasta ta,50: Za određivanje ta,50 potrebno je odrediti tangentu prijelazne funkcije hx(t) u
točki t50 (hx(t50)), vidi sliku 8.2 (hx(∝) = 1, hx(t50) = 0.5). Iz (8 - 18) slijedi:
50
250 502
( ) 0.5 1 cos 11
nt
x n p
eh t tςω
ς ω ϕς
−
⎡ ⎤= = − ⋅ − −⎣ ⎦− . (8 - 22)
Rješenje jednadžbe (8-22) moguće je jedino numerički i može se izraziti
pomoću ovisnosti:
*
50 2 ( )nt fω ζ= . (8 - 23) Iz (8 - 19) dobije se izraz za vrijeme porasta:
Copyright: Nedjeljko Perić
8
( )50
2
,50 ,50 250 50
11( ) sin 1n
a a tx n n
t th t e tζω
ζ
ω ζ ω−
−= ⇒ =
− ⋅& . (8 - 24)
Iz (8 - 23) i (8 - 24) slijedi:
( )*
2
2
,50 2*( ) 22
1( )
sin 1 ( )n a ft f
e fζ ζ
ζω ζ
ζ ζ−
−= =
− ⋅. (8 - 25)
Ovisnost normiranog vremena porasta ωn ta,50 o relativnom koeficijentu
prigušenja prikazana je na slici 8.10-2:
Copyright: Nedjeljko Perić
9
ζ
ωnta,50=f2(ζ)
0.1 0.2 0.3 0.50.4 0.6 0.7 0.90.8 1.00
1
3
2
Sl. 8.10-2.
Copyright: Nedjeljko Perić
10
Određivanje vremena ustaljivanja tε: Izraz za približno određivanje tε dobije se iz anvelope prijelazne funkcije
hx(t) prema (8 - 18) (za t ≥ tε vrijednost hx(t) je hx(tε) ≈1±ε):
21
nte εζω
εζ
−
≈−
. (8 - 26)
Iz (8 - 26) slijedi:
2
1 1 1ln .1ntεω
ζ ε ς
⎛ ⎞ ≈ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
(8 - 27)
Ako se odabere ε = 3% ( $= 0.03) dobije se:
23% 3
1 3.5 0.5ln(1 ) ( )nt fω ζ ζζ
≈ − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ . (8 - 28)
Copyright: Nedjeljko Perić
11
Često se uzima i ε = 3% pa se iz (8 - 28) dobije: 3%
4,6 .n
tςω
≈
Ovisnost normiranog vremena ustaljenja ωnt3% o relativnom koeficijentu prigušenja ζ prikazana je na slici 8.11:
ζ
ωnt3%=f3(ζ)
0.1 0.2 0.3 0.50.4 0.6 0.7 0.90.8 1.00
5
15
10
Copyright: Nedjeljko Perić
12 Na temelju grafičkih prikaza funkcija f1, f2 i f3 može se utvrditi:
♦ maksimalno nadvišenje σm ovisi samo o relativnom koeficijentu prigušenja ζ;
♦ povećanjem relativnog koeficijenta prigušenja ζ povećava se vrijeme porasta ta,50, a smanjuje se vrijeme ustaljenja tε;
♦ za zadani ζ, prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija ωn određuje brzinu djelovanja regulacijskog kruga (veći iznos ωn ima za posljedicu kraće vrijeme porasta i kraće vrijeme ustaljivanja).
♦ Veći iznos ωn ima za posljedicu kraće vrijeme porasta i kraće vrijeme
ustaljivanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
13 Primjer 8.2.: Prijelazna funkcija hx(t) zatvorenog regulacijskog kruga s dominantnim
parom polova treba imati:
σm ≤ 10%, ta,50 ≤ 1s, t3% ≤ 4s.
Potrebno je odrediti ωn i ζ kako bi se ispunili postavljeni zahtjevi.
Copyright: Nedjeljko Perić
14 Rješenje:
Iz f1(ζ) prema slici 8.9., odnosno prema izrazu (8 - 21) slijedi:
21100m e
ζπ
ζσ−
−= ⋅ → ζ=0,58.
Za vrijednost ζ=0,58 , iz slike 8.10 dobije se:
,50 2 (0,58) 2,05,n at fω = =
odnosno za ta,50 =1s:
12,05 2,05 .
1n ss
ω −= =
Na sličan način se dobije iz slike 8.11:
3% 3 (0,58) 6,4,nt fω = =
Copyright: Nedjeljko Perić
15 odnosno za t3% = 4s:
16,4 1,6 .
4n ss
ω −= =
Zahtjev na vrijeme porasta ta,50 = 1s predstavlja stroži zahtjev od zahtjeva na vrijeme ustaljivanja tε = 4s, te se odabire :
ωn = 2,05 s-1.
Dakle, zatvoreni regulacijski krug čiji su dominantni polovi određeni s ζ = 0,58 i ωn = 2,05 s-1 ima prijelaznu funkciju hx(t) s postavljenim zahtjevima.
Prema izrazima (4 - 99) i (4 - 100) dobije se za ζ = 0,58 i ωn = 2,05 s-1:
( )
2 1
2
1 2 1,17 ,1 1,06 0,49 .ˆ
2 1
r n
r r
s
M M dB
ω ω ς
ως ς
−= ⋅ − =
= = = =−
Copyright: Nedjeljko Perić
16 Prikaz zahtjeva u kompleksnoj ravnini:
Zahtjev s obzirom na maksimalno nadvišenje σm.
Zahtjev s obzirom na vrijeme porasta tr (ta; ta,50).
jω
σ0
s-ravninaNedo-
puštenopodručjepolova
Copyright: Nedjeljko Perić
17
Zahtjev s obzirom na vrijeme ustaljivanja tε.
Dopuštenopodručjepolova 0
jω
σ
s-ravnina
Cjeloviti zahtjevi s obzirom na raspored polova.
Copyright: Nedjeljko Perić
18 Primjer 8.3.: Zatvoreni regulacijski
krug prema slici 8.12 ima prijenosne funkcije regulatora GR(s) i procesa Gs(s):
1( ) I
R R
I
T sG s KT s+
= ⋅ ,
( ) ( )1 2
( )1 1
SS
KG sT s T s
=+ ⋅ +
.
Gs(s)GR(s)XR(s) Y(s
-+
u
Ako se odabere TI = T1, potrebno je u tom slučaju odrediti ωn i ζ
zatvorenog regulacijskog kruga.
Copyright: Nedjeljko Perić
19 Rješenje: Prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog kruga je:
0
2
( ) ( ) ( ) ,(1 )
R sR s
I
K KG s G s G sT s T s
= ⋅ =+
odakle slijedi:
0 22
20 2
2 2
( )( ) .11 ( )
R s
R s Ix
R sR s I I
I
K KG s K K T TG s K KG s K K T s T T s s s
T T T
= = =+ + + + +
(Opći oblik prijenosne funkcije drugog reda je: 2
2 2.( )
2n
n n
G ss s
ωςω ω
=+ +
;
ωn i ζ ovise o parametrima procesa i o parametrima regulatora)
Copyright: Nedjeljko Perić
20 Iz prijenosne funkcije zatvorenog regulacijskog kruga dobije se:
2
2 2
2 2
,
1 1 12 .2
R s R sn n
I I
In
R s
K K K KT T T T
TT K K T
ω ω
ςω ς
= → =
= → =
Iz prethodna dva izraza slijedi: 22
1 14
IR
s
TKK Tζ
= ⋅ ⋅ ,
tj. pojačanje regulatora ovisi o relativnom koeficijentu prigušenja.
Ako su parametri procesa:
Ks = 10, T1 = 1s, T2 = 0,1s
i ako se odabere ζ = 0,58 onda slijedi: KR = 0,74, TI = 1s
Copyright: Nedjeljko Perić
21
Načelna izvedba PI regulatora s operacijskim pojačalom za razmatrani primjer prikazana je na slici 8.13:
povratnaveza
Referentnaveličina 100k
C
100k
75k
u
Za određivanje širine pojasa ωb polazi se od definicijske relacije za širinu
pojasa :
1( ) (0) .2x b xG j Gω = ⋅ (8 - 29)
(Gx(jω) je prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga drugog reda prema (8 - 17))
Copyright: Nedjeljko Perić
22
Za ω = ωb i Gx(0) = 1, iz (8 - 17) slijedi:
2 2 24
2 2 2
52 2
(1 2 ) (1 2 ) 1 ( )
2 (1 2 ) (1 2 ) 1( )
2 (1 2 ) 1
b
n
b
f
arctg f
ω ζ ζ ζω
ζ ζ ζϕ ζ
ζ ζ
= − + − + =
− + − += =
− − +
Iz izraza za vrijeme porasta (8 - 25) i (8 - 30) dobije se: 2 4 ,50 6( ) ( ) ( )b af f t fζ ζ ω ζ⋅ = = . (8 - 32) Grafički prikaz funkcija f4(ζ), f5(ζ) i f6(ζ) dan je na slici 8.14:
(8 - 30) (8 - 31)
Copyright: Nedjeljko Perić
23
ζ0.1 0.2 0.3 0.50.4 0.6 0.7 0.90.8 1.00
1
0.5
1.5
1
3
2
ωb/ωn
ωb/ωn=f4(ζ)
ωbta,50=f6(ζ)
ϕb=f5(ζ)
ωbta,50
ϕbrad
Sl. 8.14.
Aproksimacijom funkcija f4, f5 i f6 dobije se:
Copyright: Nedjeljko Perić
24
1. 1,8 1,1 za 0,3< <0,8 ,b
n
ω ς ςω
≈ − ⋅ (8 - 33)
2. 2,3 za 0 1,bϕ π ς ς≈ − ⋅ ≤ ≤ (8 - 34) ,503. 2,3 za 0,3 0,8.b atω ς≈ < < (8 - 35) Za primjer 8.2, gdje je ωn = 2,05s-1 i ζ = 0,58 dobije se prema (8 - 33):
1(1,8 1,1 ) 2,32 ,b n sω ω ς −≈ ⋅ − ⋅ =
a prema (8 - 35):
1
,50
2,3 2,3 .b
a
st
ω −≈ =
Copyright: Nedjeljko Perić
25 Karakteristične veličine otvorenog regulacijskog kruga u frekvencijskom području i njihova veza s mjerama kakvoće zatvorenog regulacijskog kruga u vremenskom području Pretpostavlja se u daljnjim
razmatranjima da otvoreni regulacijski krug G0(s) ima statičko vladanje čiji je kvalitativni Bodeov dijagram prikazan na slici 8.15.
Karakteristične veličine G0(jω) su
prema (6 - 14) i (6 - 15):
♦ ωc - presječna frekvencija, ♦ γ = 180° + ϕ0(ωc) - fazno
osiguranje, ♦ Ar • ⎢G0(ωπ) ⎢= 1- amplitudno
osiguranje.
|G0|dB
0
0
ϕ0[°]
ω [s-1]
ω [s-1]
Ar
ωc ωπ
-90
-180γ
Copyright: Nedjeljko Perić
26 Daljnja je pretpostavka da se dinamičko vladanje zatvorenog
regulacijskog kruga može približno opisati pomoću dominantnog konjugirano - kompleksnog para polova, tj. pomoću izraza (8 - 17)
(2
22( )
2n
x
n n
G ss s
ωζω ω
=+ +
). U tom slučaju iz (8 - 17) slijedi:
2
0
( )( ) ( )1 ( ) ( 2 )
x nx
x n
G sG s G sG s s s
ωζω
→ = =− +
. (8 - 36)
Izraz (8 - 36) može se prikazati i na sljedeći način:
00
1( )1
KG ss Ts
= ⋅+
, gdje je: 0
1 .,2 2
n
n
K Tως ςω
= = (8 - 37)
Bodeov dijagram za frekvencijsku karakteristiku prema (8 - 37) prikazan je
na slici 8.16:
Copyright: Nedjeljko Perić
27
|G0|dB
0 ω [s-1]
-180
0
ϕ0[°]
ω [s-1]
-90
1/T-20 dB/dek
-40 dB/dek
ωc
Sl. 8.16.
Bodeovi dijagrami prikazani na
slikama 8.15 i 8.16 međusobno se razlikuju.
Sustav prema slici 8.15 nema I-
djelovanja i višeg je reda od 2 (ϕ < -180°).
Međutim, u okolišu presječne
frekvencije ωc Bodeovi dijagrami na obje slike imaju sličan oblik.
Copyright: Nedjeljko Perić
28 Ako za neki sustav vrijedi:
0
0
( ) 1 zai
( ) 0 za >>
c
c
G j
G j
ω ω ω
ω ω ω
⎫>> <<⎪ ⇒⎬⎪≈ ⎭
tada je približno u okolišu ωc:
00
1 .( )1
KG ss Ts
≈ ⋅+
(8 - 38)
U tom je slučaju moguće opisati zatvoreni sustav prijenosnom funkcijom Gx(s) drugog reda (1 dominantni par konjugirano - kompleksnih polova).
Da bi se specifikacije kakvoće izvedene za sustave drugog reda mogle primijeniti i na sustave višeg reda treba ⎜G0(jω)⎜imati nagib -20 dB/dek u okolišu ωc.
Za analiziranu prijenosnu funkciju to je ispunjeno ako je 1
c Tω < (Sl. 8.16.).
Copyright: Nedjeljko Perić
29
Iz izraza (8 - 36), uz uvjet ⎜G0(jωc)⎜= 1 slijedi (2
0 ( )( 2 )
n
n
G jj j
ωωω ω ςω
=+
):
4 274 1 2 ( )c
n
fω ζ ζ ζω
= + − = . (8 - 39)
Iz (8 - 39) uz 1 1i
2 c
n
TT
ωςω
= < dobije se:
4 24 1 2 2 0,42.ς ς ς ς+ − < ⇒ > (8 - 40)
Za ζ > 0,42 osigurano je da ⎜ G0(jω) ⎜dB u okolišu ωc ima nagib -20 dB/dek.
Za praksu se preporuča 0,5< ζ < 0,7 što osigurava prihvatljivo vrijeme porasta i prihvatljivo maksimalno nadvišenje (a time i γ i Ar).
Copyright: Nedjeljko Perić
30 Od posebne je važnosti za dinamičko vladanje sustava upravljanja
presječna frekvencija ωc.
Ukoliko je veća presječna frekvencija ωc utoliko je veća širina pojasa ωb za Gx(jω) što ima za posljedicu brži sustav.
To proizlazi iz sljedećih razmatranja. Za Gx(jω) vrijedi sljedeća aproksimacija (Sl. 8.17 – sljedeća stranica):
00
0 0 0
1 ( ) 1,( )( )1 ( ) ( ) ( ) 1x
za G jG jG jG j G j za G j
ωωωω ω ω
⎧⎪= ≈ ⎨+ ⎪⎩ (8 - 41)
Određivanje po odsječcima ⎜Gx(jω) ⎜dB pomoću ⎜G0(jω) ⎜dB .
Copyright: Nedjeljko Perić
31
|G0|dB
0 ω [s-1]
-20 dB/dek
-40 dB/dek
|Gx|dB
|G0|dB
|Gx|dB
donje frekv.područje
srednje frekv.područje
gornje frekv.područje
ωc
♦ Donje frekvencijsko područje koje određuje vladanje sustava u stacionarnim stanjima. U ovom području ⎜G0(jω)⎪ treba imati veliki iznos (a time i veliko kružno pojačanje K0).
♦ Srednje frekvencijsko područje koje određuje vladanje sustava u dinamičkim stanjima (prijelazni proces).
♦ Gornje frekvencijsko područje u kojem ⎜G0(jω)⎪ treba imati čim manji iznos radi potiskivanja eventualno postojećih visokofrekvencijskih smetnji.
Za Bodeov prikaz prema slici 8.17 nagib ⎜G0(jω) ⎜dB u okolišu ωc iznosi -20
dB/dek, pa za to područje vrijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
32
00
0
1 .( ) ( )1 1
cx
c
GG j G jj G j
ωω ωωωω
≈ ⇒ = ≈+ +
(8 - 42)
Prema tome, Gx(jω) se u okolišu ωc može nadomjestiti PT1 članom.
Budući da se amplitudno - frekvencijska karakteristika PT1 člana smanji na frekvenciji ω = ωl (= ωc) za 3 dB, slijedi po definiciji za ωb (Sl. 4.29) da je ωc ≈ ωb.
Osim odnosa ωc/ωn = f7(ζ) mogu se odrediti i drugi važni odnosi između karakterističnih veličina za vremensko vladanje zatvorenog regulacijskog kruga i karakterističnih veličina frekvencijske karakteristike otvorenog regulacijskog kruga G0(jω).
Tako se iz f2(ζ) = ωnta,50 i f7(ζ) = ωc/ωn dobije:
,50 2 7 8( ) ( ) ( )c at f f fω ζ ζ ζ= ⋅ = . (8 - 43)
Grafički prikaz funkcije f8(ζ) dan je na slici 8.18:
Copyright: Nedjeljko Perić
33
ζ
ωcta,50=f8(ζ)
0.1 0.2 0.3 0.50.4 0.6 0.7 0.90.8 1.00
1.3
1.1
1.2
1.4
1.5
1.6
Može se pokazati da se
krivulja na slici 8.18. zadovoljavajuće dobro aproksimira sljedećim izrazom:
[ ]
,50
%1,5 za 0 1,
250m
c atσ
ω ς≈ − < < (8 - 44)
ili
,50 1,5 za 20( . 0,5).c a mt tjω σ ς≈ ≤ > (8 - 45)
Copyright: Nedjeljko Perić
34
Također se iz ( 00
1( )1
KG ss Ts
= ⋅+
- (4-37)):
00
1( )1
KG jj j T
ωω ω
≈ ⋅+
može odrediti funkcijska ovisnost faznog osiguranja γ o ζ (1
2 n
Tςω
= -(4-37)):
0180 ( ) 902
cc
n
arctg ωγ ϕ ωζω
= ° + = ° − ,
gdje je ϕ0 (ω) = -90°-arctg ωT.
Nakon trigonometrijskih transformacija u prethodnom izrazu dobije se:
Copyright: Nedjeljko Perić
35
9
7
12 2 ( ).( )
n
c
arctg arctg ff
ωγ ς ς ςω ς
⎡ ⎤= = =⎢ ⎥
⎣ ⎦ (8 - 46)
Grafički prikaz funkcije f9(ζ) dan je na slici 8.19:
ζ
γ[°]=f9 (ζ)
0.1 0.2 0.3 0.50.4 0.6 0.7 0.90.8 1.00
30
10
20
40
50
60
70
80
Copyright: Nedjeljko Perić
36
Iz (8 - 21) ( [ ] [ ] 211% ( ) 1 100 100 ( )m x mh t e f
ζπ
ζσ ζ−
−= − ⋅ = ⋅ = ) i (8 - 46) može se dobiti približni izraz:
[ ] [ ]7 0 % za 0 .3 < < 0 .8mγ σ ζ° ≈ − (8 - 47)
Isto tako iz izraza (8 - 20) (2
,1m
n
t πω ς
=−
) i (8 - 39) ( 4 24 1 2 .c
n
ω ς ςω
= + − )
slijedi:
3 za 0,3< <0,8.c
mtω ς≈ (8 - 48)
Copyright: Nedjeljko Perić
1
Sinteza regulatora pomoću frekvencijskih karakteristika Funkcijske ovisnosti fi(ζ) (i=1,2,…,9) egzaktne su za sustave drugog reda.
One se mogu primijeniti i na sustave višeg reda ako sustav posjeduje jedan dominantni par polova.
Polazište pri sintezi regulatora pomoću Bodeovog dijagrama jest
frekvencijska karakteristika otvorenog regulacijskog kruga Go(jω). Za ispunjenje zahtjeva koji se postavljaju na zatvoreni regulacijski krug
potrebno je postići onakve karakteristične veličine Go(jω) kojima će se postići postavljeni zahtjevi (npr.: ωc, γ).
Zadaća je sinteze da se pomoću prijenosne funkcije regulatora GR(s)
podesi Go(jω) tako da ona poprimi zahtijevane karakteristične veličine. Pri tome se mogu koristiti standardni tipovi regulatora (PID i iz njega izvedeni), kao i nestandardni tipovi regulatora (često se nazivaju kompenzacijskim ili korekcijskim članovima).
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Korekcijski član s faznim prethođenjem Ovaj korekcijski član doprinosi podizanju fazne karakteristike u
određenom frekvencijskom području (engl. lead compensation).
Prijenosna funkcija korekcijskog člana s faznim prethođenjem glasi:
11 1/( ) za 0 1.
1 11/
R
sTs TG s sTs
T
αα
α
++= = < <
+ + (8 - 49)
Načelna realizacija GR(s) prema
(8-49) pomoću operacijskog pojačala prikazana je na slici 8.20:
R
R
u1u2
C2
C1
Copyright: Nedjeljko Perić
3
Nyquistov dijagram (Sl. 8.21) za GR(jω) prema (8 - 49) dobije se iz:
[ ]2 2
( ) ( )( )
2 2 2
1( ) ( )1
arctg T arctg TjR
TG j A e eT
ω αωϕ ω ωω ωα ω
−+= = ⋅
+. (8 - 50)
jIm [GR]
ϕm
ωm
ω
ω=0
GR(jω)
Re [GR]1
ω→∞
1/α Sl. 8.21.
Copyright: Nedjeljko Perić
4
Maksimalno prethođenje (ωm - frekvencija maksimalnog prethođenja):
( )( ) 0darctg T arctg T
dϕ ωϕ ω ω αω
ω= − ⇒ = ,
2 20
1 ( ) 1 ( )T T
T Tα
ω αω− =
+ +,
ln ln ln
ln
1 1lbm lb lb p p
p
m m aTm
ωω ω ω ω ω ωω
= ⋅ = ⋅ = = = + , (8 - 51)
gdje je:
1
1 1b T RC
ω = =l - lomna frekvencija člana u brojniku GR(s),
2
1 1n T RC
ωα
= =l -lomna frekvencija člana u nazivniku GR(s),
1n
p
b
m ωω α
= =l
l
- koeficijent faznog prethođenja.
Copyright: Nedjeljko Perić
5
Iz Bodeovog dijagrama
(Sl.8.22.) vidi se da član s faznim prethođenjem ima na višim frekvencijama nepovoljno uzdizanje amplitudne karakteristike za koeficijent 1/α:
ωlb ωln
+ 20 dB/dek
ω [s-1]
|1/α|dB
|GR|dB
ω [s-1]ωm0
ϕm
ϕ
Copyright: Nedjeljko Perić
6 Prijelazna funkcija korekcijskog člana s faznim prethođenjem dobije se iz (8-
49) kako slijedi:
1 1 (1 ) 1( ) 1 ( 1)
1 1 1 1R
Ts Ts Ts TsG sTs Ts Ts Ts
α α αα α α α α
+ + −= = + = + − ⋅
+ + + +. (8 - 52)
Iz (8 - 52) vidljivo je da se ovaj član može promatrati kao paralelni spoj P -člana (KR = 1) i DT1 –člana (PDT1 - regulator).
Pripadajuća prijelazna
funkcija (Sl. 8.23.) korekcijskom članu (8 - 52) glasi:
1( ) 1 ( 1)
tT
Rh t e α
α−
= + − ⋅ . (8-53)
0 tαT
1
mp=1/α
hR(t)
Copyright: Nedjeljko Perić
7 Korekcijski član s faznim kašnjenjem
Ovaj korekcijski član koristi se za smanjenje amplitudne karakteristike u određenom frekvencijskom području (engl. lag compensation). Pri tome dolazi do smanjenja fazne karakteristike, što je nepovoljno.
Prijenosna funkcija korekcijskog člana s faznim kašnjenjem glasi:
11 1/( ) za 1.
1 11/
R
sTs TG s sTs
T
αα
α
++= = >
+ + (8 - 54)
Iz frekvencijske karakteristike:
ln
1( )
1
lbR
jG j
j
ωωωωω
+=
+ (8 - 55)
dobije se Nyquistov dijagram - Sl. 8.24:
Copyright: Nedjeljko Perić
8
jIm [GR]
ϕm
ωm
ω
ω=0
GR(jω)
Re [GR]11/α
ω →∞
Sl. 8.24.
Uz ovaj član može se definirati koeficijent faznog kašnjenja:
1.bk
n
m ω αω
= = >l
l
(8 - 56)
Copyright: Nedjeljko Perić
9 Bodeov dijagram korekcijskog člana s faznim kašnjenjem (slika 8.25.):
ωlbωln
- 20 dB/dek
ω [s-1]
(1/α)dB
|GR|dB
ω [s-1]ωm0
ϕm
ϕ
Copyright: Nedjeljko Perić
10 Prijelazna funkcija korekcijskog člana s faznim kašnjenjem dobije se iz (8-
54) kako slijedi:
1(1 )1( )1RG s
Tsα
α α
−= +
+. (8 - 57)
Prema (8-57) ovaj se član sastoji od paralelnog spoja P – člana (1
RKα
= ) i
PT1 – člana (PPT1 – član). Izraz za odgovarajuću prijelaznu funkciju glasi (Sl. 8. 26 – sljedeća stranica):
1 1( ) (1 ) (1 )
tT
Rh t e α
α α−
= + − ⋅ − . (8 - 58)
Copyright: Nedjeljko Perić
11
0 tαT
1
1/α
hR(t)
Sl. 8.26. Prijelazna funkcija.
Copyright: Nedjeljko Perić
12 Primjer 8.4.: Sinteza regulatora pomoću Bodeovog dijagrama Za proces opisan prijenosnom funkcijom:
1( )
(1 )(1 )3
sG s ss s=
+ +
potrebno je projektirati regulator GR(s) uz zahtjev da prijelazna funkcija zatvorenog sustava hx(t) ima: ta,50 = 0,7 s, σm = 25%. Također se zahtijeva da trajno regulacijsko odstupanje pri XR(t)=t ne prijeđe
vrijednost e∝ = 0.05.
Copyright: Nedjeljko Perić
13 Rješenje: 1. korak Presječna frekvencija i fazno osiguranje prema izrazima (8 - 44) i (8 - 47)
iznose:
1
,50
[%]1 1 251,5 1,5 2250 0,7 250m
c
a
st
σω −⎡ ⎤ ⎛ ⎞≈ − = − ≈ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦,
[ ] 70 [%] 70 25 45mγ σ° ≈ − = − = ° Iz zahtjeva e∝ = 0.05 slijedi pojačanje otvorenog regulacijskog kruga K0:
0
0
1lim ( ) lim ( )1 ( ) Rt s
e t s X sG s→∞ →
= ⋅ ⋅+
Copyright: Nedjeljko Perić
14
2
1( )RX ss
→
20
1 1lim 11 ( )(1 )(1 )
3
s
R
e ssG s ss s
∞ →= ⋅ ⋅ =
+ ⋅+ +
sK = 10
0
1 1 1 20(0) R
R s R
K KG K K K
= = = ⎯⎯⎯→ = =⋅
.
Copyright: Nedjeljko Perić
15 2. korak a) Odaberimo regulator P-djelovanja: 1 ( ) , 20R R RG s K K= = Iz Bodeovog dijagrama za:
01
20( ) ( )(1 )(1 )
3
R sG j K G j ss sω ω= ⋅ =
+ +
je vidljivo (Sl. 8.27 – sljedeće stranice) da je potrebno:
♦ ϕ01 podići za 53° pri ω=ωc (da se dobije γ = 45°),
♦ amplitudu ⎢G01(jω⎟ spustiti za 11dB pri ω=ωc.
Copyright: Nedjeljko Perić
16
Sl. 8.27. a)
Copyright: Nedjeljko Perić
17
Sl. 8.27. b)
Copyright: Nedjeljko Perić
18 b) Za ispunjenje 1. zahtjeva pod a) dodaje se P-regulatoru član s
prethođenjem faze čija fazna karakteristika ima maksimum ϕm = 53° + ∆, pri ω=ωc= 2 s-1.
(Dodatkom ∆ u faznoj karakteristici treba se kompenzirati doprinos člana za kašnjenje faze (za ispunjenje 2. zahtjeva pod a) ). ∆ = 6° → ϕm= 53° + 6° = 59° (vidi 2. korak pod c)).) Na temelju prethodnog razmatranja slijedi:
2
1( )
1
lbR R
ln
jG s K
j
ωωωω
+= ⋅
+,
12m c sω ω −= = .
Copyright: Nedjeljko Perić
19
Iz maksimuma fazno-frekvencijske karakteristike slijedi (ωm2 = ωlb•ωln):
2591
m m
m m lb lnm
mlb ln
lb ln
arctg arctg arctg
ω ωω ω ω ωϕ
ωω ωω ω
−= ° = − =
+,
4
ln lbm arctg ω ωϕ −
= .
Slijedi:
59 1,6644
ln lb tgω ω−= ° = ,
1
1
6,657 0,6 ,4 7,2 .
ln lb lb
ln lb ln
ss
ω ω ωω ω ω
−
−
− = = ⎫⇒⎬⋅ = = ⎭
Copyright: Nedjeljko Perić
20 Prijenosna funkcija regulatora s izračunatim vrijednostima parametara glasi:
2
10,6( ) 20
17,2
R
s
G s s
+= ⋅
+,
a prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog kruga u tom je slučaju:
02 2
10,6( ) ( ) ( ) 20
( 1)( 1)( 1)3 7,2
R s
s
G s G s G s s ss s
+= ⋅ = ⋅
+ + +
Dodavanjem člana s prethođenjem faze promijenila se i amlitudna karakteristika ⎢G01⎪dB. Zbog toga je potrebno pri ω=ωc= 2 s-1
spustiti ⎢G02⎪dB za 22dB (umjesto ⎢G01⎪dB za 11dB).
Copyright: Nedjeljko Perić
21
c) GR2(s) proširujemo članom faznim kašnjenjem kako bi se dobilo željenu amplitudnu karakteristiku pri ω=ωc.
Pri tome fazna karakteristika ovog člana ne bi smjela bitnije utjecati na faznu karakteristiku ϕ02 u okolišu ω=ωc.
Stoga ωlb1 i ωln1 člana s faznim kašnjenjem trebaju biti dovoljno daleko lijevo od ωc= 2 s-1.
Parametri člana s faznim kašnjenjem određuju se na sljedeći način.
Prema slici 8.25 dobije se:
120log 22 12,6dB αα
= − → = .
Iz (8 - 56) ( 1.bk
n
m ω αω
= = >l
l
) slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
22
1
1
12,6lbk
ln
m ω αω
= = = .
Uz pretpostavku da fazna karakteristika ovog člana s faznim kašnjenjem pri ωc= 2 s-1 iznosi ϕ(ωc) = -6° slijedi:
1 1
( ) 6 c cc c c
lb ln
arctg T arctg T arctg arctgω ωϕ ω ω αωω ω
= − ° = − = − ,
11 0,2lb sω −= , 1
1 0,016ln sω −= .
Konačni izrazi za GR(s) i G0(s) glase:
1 1
0,6 0,2( ) 201 1
7,2 0,016
R
s s
G s s s
+ += ⋅ ⋅
+ +,
Copyright: Nedjeljko Perić
23
0
(1 )(1 )0,2 0,6( ) 20
(1 )(1 )(1 )(1 )0,016 7,2 3
s s
G s s s ss s
+ += ⋅
+ + + +.
3. korak Budući da je sinteza provedena pomoću frekvencijskih karakteristika
korištenjem približnih relacija, uputno je provesti simulaciju na računalu kako bi se provjerilo da li su ispunjene zahtjevane specifikacije u pogledu kakvoće upravljanja.
Rezultat simulacije prikazan je na slici 8.28 -> sljedeća stranica. Također je preporučljivo simulacijom na računalu provjeriti i valni oblik
upravljačke veličine u(t) kako bi se moglo procijeniti može li izvršni član slijediti iznose i promjene upravljačke veličine.
Copyright: Nedjeljko Perić
24
Sl. 8.28.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
8.4. Sinteza pomoću krivulje mjesta korijena Za prijenosnu funkciju:
2
2 2( )
2n
x
n n
G ss s
ωζω ω
=+ +
(8 - 17)
dinamički pokazatelji kakvoće ta,50, σm i tε ovise o ωn i ζ, odnosno ωn i ζ određuju položaj polova prijenosne funkcije (8 - 17).
Da bi zatvoreni regulacijski krug imao dominantni par polova na
željenom mjestu u s - ravnini (određen s ωn i ζ ) potrebno je odrediti odgovarajuću prijenosnu funkciju otvorenog sustava. Takav postupak sinteze naziva se postupkom zadavanja polova (engl. pole placement, njem. Polvorgabe).
KMK je grafički postupak kojim se može, kao što je poznato, odrediti položaj
polova zatvorenog sustava u s - ravnini.
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Postupak se provodi u nekoliko koraka:
♦ u s-ravnini ucrta se željeni dominantni par polova, ♦ u s-ravninu ucrta se KMK fiksnog dijela regulacijskog kruga,
♦ dodavanjem polova i nula u otvorenom regulacijskom krugu oblikuje
se KMK tako da njene 2 grane prolaze kroz željeni dominantni konjugirano-kompleksni par polova.
Dodavanjem polova i nula dolazi do izobličenja KMK, što je ilustrirano slikom
8.29:
Copyright: Nedjeljko Perić
3 a)
σ
jω
0
s - ravnina
sp3 sp1 sp2
σ
jω
0
s - ravnina
sp1 sp2
dodavanjepola
Dodavanjem pola, KMK "izobličava" se prema desno.
0
0
1 2
( )( )( )p p
KG ss s s s
=− − ,
00
1 2 3
( )( )( )( )p p p
KG ss s s s s s
=− − −
Copyright: Nedjeljko Perić
4 b)
σ
jω
0
s - ravnina
sN1 sp1 sp2
σ
jω
0
s - ravnina
sp1 sp2
dodavanjenule
Dodavanjem nule, KMK "izobličuje" se prema lijevo.
0
0
1 2
( )( )( )p p
KG ss s s s
=− − ,
0 10
1 2
( )( )( )( )
N
p p
K s sG ss s s s
−=
− −
Sl.8.29.
Copyright: Nedjeljko Perić
5 Primjer 8.5.:
Za proces opisan prijenosnom funkcijom:
1( )( 3)( 5)sG s
s s s=
+ + potrebno je projektirati regulator uz zahtjev da hx(t) ima:
16%mσ ≤ , ,50 0,6at s=
______________________________________________________________
Iz izraza (8-21) (21
1[%] 100 ( )m e fζπ
ζσ ζ−
−= = ) dobije se : 0,5ζ ≥ .
Također, iz izraza (8 - 25) ( 60α ≤ o , 2
,50
( )n
a
ft
ςω = ) slijedi: 11,85 3,10,6n s
sω −≥ =
.
Vrijednostima ζ ≥ 0,5 i ωn ≥ 3,1s-1 određen je položaj dominantnog konjugirano-kompleksnog para polova zatvorenog sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
6
a) Neka je GR(s) = KR. KMK pripadajućeg zatvorenog sustava prikazana je na slici 8.30:
1. Ucrtamo položaje polova: sp1 = 0, sp2 = -3, sp3 = -5. 2. Ucrtamo granice položaja
polova – polupravce H1 i H2 koji imaju nagibe prema negativnom dijelu realne osi:
2
O1
60arctgς
ας−
= ± = ± ,
i koji polaze iz točke (-1,55+ j2,68) odnosno (-1,55-j2,68).
Copyright: Nedjeljko Perić
7
Prema (7-12) (1 1
1 Re Re .n m
a p Ns sn m ν µ
ν µ
σ = =
⎧ ⎫= −⎨ ⎬
− ⎩ ⎭∑ ∑ ) tri asimptote (za s→∞)
sijeku realnu os u točki težišta korijena,:
σa = -2,67.
Prema (7-17) (180 (2 1)arg .k
ksn m
α ± += =
−
o
) kutovi nagiba asimptota iznose:
1 2
5, .3 3
iπα α π α π= = =
Iz (7-18) (1 1
1 1 .n m
p Ns s s sν µν µ = =
= − −∑ ∑ ) točke grananja σv KMK su: 1
2
4,12 ,1,2 .
v
v
σσ
= −= −
Iz slike 8.30 vidljivo je da KMK ne siječe polupravce H1 i H2 te se ne može postići željena kakvoća upravljanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
8 b) Ako se polovi sp2 = -3 i sp3 = -5 pomaknu u lijevo, može se postići da
KMK siječe polupravce H1 i H2.
Jedna od mogućnosti je da se kompenzacijom postojećih polova G0(s) pomoću regulatora GR(s) dobije novi raspored polova G0(s).
Ako se primijeni regulator koji ima svojstva korekcijskog člana s faznim prethođenjem, npr.:
1 / 3 3 ,( ) 3,331 /10 10R R R
s sG s K Ks s
+ += =
+ +
onda se nulom regulatora sN = -3 kompenzira pol procesa sp = -3, te se dobije:
0
1 .( ) 3,33( 5)( 10)RG s K
s s s=
+ +
KMK pripadajućeg zatvorenog regulacijskog kruga prikazana je na slici 8.31:
Copyright: Nedjeljko Perić
9
(ωn≥ 3,1 s-1, ζ ≥ 0,5) KMK siječe polupravce H1 i H2 u točki sk.
Copyright: Nedjeljko Perić
10
Primjenom (7-24) ( 10
1
3,33
n
p
mR
N
s sk K
s s
νν
µµ
=
=
∏
∏
−= ⋅ =
−), pojačanje regulatora KR
dobije se grafički sa Sl. 8.31, iz udaljenosti pola sk od triju polova otvorenog sustava:
0 3,33 0 5 10 3,3 4,4 8,8,R k k kk K s s s= ⋅ = − + + = ⋅ ⋅
38,4.RK = Potpuna kompenzacija ("kraćenje") pola pomoću nule regulatora ne može
se egzaktno obaviti jer su često parametri procesa određeni s ograničenom točnošću. Osim toga, parametri procesa se mijenjaju tokom rada. Zbog toga odstupa KMK u okolišu kompenziranog pola u odnosu na prikazanu sliku, ali se ne mijenja presječna točka s polupravcima (ostaju dominantni polovi nepromijenjeni).
KMK je posebno prikladna za slučajeve u kojima se regulatorom stabilizira nestabilni proces. To je ilustrirano primjerom 8.6.
Copyright: Nedjeljko Perić
11 Primjer 8.6.: Nestabilni proces opisan je prijenosnom funkcijom:
1( )
( 1) 15 ( )( )sG ss s s
=+ + −
.
(sP = 1 je nestabilni pol) Na prvi pogled izgleda da bi se stabilizacija procesa mogla izvesti, npr.
regulatorom:
1( )1R R
sG s Ks
−=
+,
čija bi nula sN = 1 kompenzirala pol procesa sP = 1. Kako izvesti ovakav regulator s operacijskim pojačalom ?
Copyright: Nedjeljko Perić
12 Zbog netočnosti i promjene parametara procesa ne preporuča se
primijeniti takav regulator. Druga je mogućnost da se, dodavanjem povratne veze, nestabilni
polovi pomaknu iz desne u lijevu poluravninu s - ravnine.
a) Odabiremo P – regulator: ( )R RG s K=
Pripadajuća KMK prikazana je na slici 8.32 -> sljedeća stranica
Praktički obje desne grane nalaze se u desnoj poluravnini s - ravnine za proizvoljni KR.
P - regulatorom ne može se postići stabilizacija promatranog nestabilnog procesa.
Copyright: Nedjeljko Perić
13
Sl. 8.32.
Copyright: Nedjeljko Perić
14 b) Odabiremo:
2( 1) 1( ) (2 )R R R
sG s K K ss s+
= = + +
0
( 1)( 1) 1( ) ( ) ( )( 1)( 5)( 1)R s R
s sG s G s G s Ks s s s
+ += ⋅ =
+ + −.
0
1( )( 1)( 5)R
sG s Ks s s
+=
− +.
Pripadajuća KMK prikazana je na slici 8.33:
Copyright: Nedjeljko Perić
15
σa = -1.5
v 0.5σ =&
K0kr → iz algebarskih kriterija
stabilnosti Iznad određenog pojačanja K0kr
polovi zatvorenog sustava leže u lijevoj poluravnini s - ravnine.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
9. ANALITIČKI POSTUPCI SINTEZE Metode sinteze ne temelju frekvencijskih karakteristika i KMK spadaju u
posredne (indirektne) postupke sinteze. U tom je slučaju polazište pri sintezi otvoreni regulacijski krug opisan
frekvencijskom karakteristikom ili prijenosnom funkcijom. Dodavanjem različitih kompenzacijskih (korekcijskih) članova karakteristika otvorenog regulacijskog kruga tako se dugo modificira dok se ne postigne željeno vladanje zatvorenog regulacijskog kruga specificirano pokazateljima kakvoće u vremenskom ili frekvencijskom području.
Posredni postupci sinteze obavljaju se u pravilu u više koraka; pri tome je
posebno važno iskustvo i vještina projektanta. Analitički postupci sinteze spadaju u neposredne (direktne) postupke
sinteze.
Copyright: Nedjeljko Perić
2 U tom je slučaju polazište pri sintezi zatvoreni regulacijski krug. Kod
neposrednih postupaka sinteze zadaje se željena prijenosna funkcija zatvorenog sustava s obzirom na vodeću vrijednost:
( ) ( )!x mG s G s= , (9-1)
gdje je:
( )mG s - željena (modelska) prijenosna funkcija zatvorenog sustava (referentni model).
( )mG s proizlazi iz specifikacije kakvoće koja se obično zasniva na
odgovarajućoj prijelaznoj funkciji ( )xh t .
Copyright: Nedjeljko Perić
3
Za niz prikladnih prijelaznih funkcija ( )xh t načinjene su tablice pripadajućih prijenosnih funkcija ( )mG s , s točno definiranim rasporedom polova i nula.
Ovakav neposredni postupak sinteze nije primjenljiv na procese s mrtvim vremenom.
Uz poznato vladanje procesa i uz odabrani ( )mG s može se tada neposredno
projektirati odgovarajući regulator.
Copyright: Nedjeljko Perić
4
9.1. Standardni oblici Neka je željena prijenosna funkcija zatvorenog sustava s obzirom na
referentnu vrijednost dana relacijom:
( ) ( )( )
0
0
,v
1 vm u
1 u
s s sG s u vs s s
α α α αβ β β β
+ + += = >
+ + +L
L. (9-2)
Rasporedom polova i nula u (9-2), što se postiže odgovarajućim izborom
parametara αi i βi, dobije se željena prijelazna funkcija hx(t). Čest je slučaj da je polinom u brojniku (9-2) nultog reda (nema nula) te da je
( ) !0 1mG = .
Tada je α0 = β0 pa slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
5
( ) ( )( )
0
0
m u1 u
sG s
s s sα ββ β β β
= =+ + +L
. (9-3)
Za razne željene prijelazne funkcije hx(t) postoje tzv. standardni
(prototipni) oblici prijenosne funkcije ( )mG s (prema (9-3)) za koje su određeni parametri βi (dani u tabelarnom obliku, a određuju raspored polova).
U nastavku je prikazano nekoliko često korištenih standardnih oblika:
a) Binomni oblik
( )( )
un
um
n
G ss
ωω
=+
, (9-4)
Copyright: Nedjeljko Perić
6 Ovaj oblik odgovara serijskoj vezi u PT1 - članova s istom vremenskom
konstantom 1
n
Tω
= .
Standardni polinomi β(s) za različite redove, kao i njima pridružene ( )x nh tω prikazani su na slici. hx(t) nema regulacijskog nadvišenja. Porastom reda u hx(ωnt) poprima sporiji odziv.
Copyright: Nedjeljko Perić
7 b) Butterworthov oblik
Polovi prijenosne funkcije (9-3) ravnomjerno su
razmješteni u lijevoj poluravnini s-ravnine na kružnici s radiusom ωn.
Uočava se zakonitost među koeficijentima. Regulacijsko nadvišenje raste s redom polinoma. Sustav postaje sporiji s povećanjem reda.
Npr. za 3. red standardnog polinoma u Butterworthovom obliku dobije se -> slika desno
jωn
σ
s-ravnina
X
X
X
30o
jω
ωn
-jωn
Copyright: Nedjeljko Perić
8 c) Standardni oblici zasnovani na integralnim kriterijima
Standardni polinomi prijenosne funkcije (9-3) mogu proizaći i iz integralnih
kriterija. Primjerice, za I4 integralni kriterij (na slici)
( )0
e t t dt∞
∫ ⋅ ⋅ , (9-5)
Copyright: Nedjeljko Perić
9 Standardni oblik, koji se zasniva na integralnom kriteriju, kojim se minimizira
vrijeme ustaljivanja tε također se često koristi. Primjerice, standardni polinom i hx(ωnt) za minimalno vrijeme smirivanja uz
vrijednost t5% dan je na slici:
Copyright: Nedjeljko Perić
10
d) Weberov oblik Željena prijenosna funkcija zatvorenog sustava prema Weberu glasi:
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 25 15
k kn
km
n n n n n
G ss j s j s
κ ωω κω ω κω ω
+⋅ + ⋅=
+ + ⋅ + − ⋅ +. (9-6)
Radi se o prijenosnoj
funkciji koja ima jedan k-struki realni pol (k = u - 2) i jedan kompleksni par polova.
Odabir κ, k i ωn se radi s obzirom na konkretnu primjenu. Prijelazne funkcije hx(ωnt) za različite vrijednosti k i κ dane su na slici:
Copyright: Nedjeljko Perić
11
Copyright: Nedjeljko Perić
12
9.2. Postupak prema Truxal-Guilleminu Razmatra se regulacijski
krug prikazan slikom 9.1:
G s B sA sR( ) ( )
( )= G s D s
C ss( ) ( )( )
=xR
-
+ u y
Proces ( )sG s opisan je racionalnom prijenosnom funkcijom (9-7):
( ) ( )( )
0m
1 ms n
0 1 n
D s d d s d sG sC s c c s c s
+ + += =
+ + +L
L
Pretpostavke: * polinomi brojnika D(s) i nazivnika
C(s) nemaju zajedničke korijene; * proces je stabilan i posjeduje
svojstva minimalne faze; * m < n.
Prijenosna funkcija regulatora kojega treba projektirati (9-8):
( ) ( )( )
0 .w
1 wR z
0 1 z
B s b b s b sG sA s a a s a s
+ + += =
+ + +L
L
Pri tome mora biti ispunjen uvjet
realizacije (w ≤ z). Gm(s) može, uz uvjet realizacije
regulatora, imati proizvoljan oblik.
Copyright: Nedjeljko Perić
13 Regulator treba tako projektirati da prijenosna funkcija zatvorenog sustava
odgovara modelskoj prijenosnoj funkciji Gm(s):
( ) ( ) ( )( )
0
0
!,
v1 v
x m u1 u
s s sG s G s u vs s s
α α α αβ β β β
+ + += = >= + + +
L
L. (9-9)
Iz prijenosne funkcije s obzirom na referentnu vrijednost
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
!1
R sx m
R s
G s G sG s G s
G s G s= =+
(9-10)
slijedi prijenosna funkcija regulatora:
( ) ( )( )
1( ) 1
mR
s m
G sG s
G s G s=
−. (9-11)
Copyright: Nedjeljko Perić
14
Nakon uvrštenja polinoma α(s) i β(s) za Gm(s) dobije se:
[ ]( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )R
B s C s sG sA s D s s s
αβ α
= =−
. (9-12)
U izrazu (9-12) mora biti ispunjeno (uvjet realizacije regulatora): Stupanj ( )B s w n v= = + ≤ Stupanj ( )A s z u m= = + , odakle slijedi:
u v n m− ≥ − .
Prema tome, “polni višak” (pole excess (engl.), Polüberschuβ (njem.)) (u-v)
željene prijenosne funkcije Gm(s) mora biti veći (ili jednak) “polnom višku” (n-m) prijenosne funkcije procesa Gs(s).
Copyright: Nedjeljko Perić
15 U prijenosnoj funkciji regulatora GR(s) pojavljuje se Gs(s)-1 ; regulatorom bi
se, dakle, moglo potpuno kompenzirati dinamičko vladanje procesa. Stoga se regulator koji ima strukturu kao (9-11) naziva kompenzacijskim regulatorom.
Regulacijski krug koji ima regulator prema (9-11) može se prikazati kao na
slici 9.2:
Sl. 9.2. Potrebno je imati u vidu uvjet realizacije.
1Gs(s) Gs(s)Gm(s)
REGULATOR
xR +
+y+
-
Model
Copyright: Nedjeljko Perić
16 Primjer 9.1: Neka je proces opisan prijenosnom funkcijom
( ) ( )( )( )2
51 1,4s
D sG s
s s s C s= =
+ +,
“Polni višak“ procesa iznosi: n - m = 3 - 0 = 3. Prema (9-12) slijedi “polni višak” za ( )mG s : 3u v− ≥ .
Copyright: Nedjeljko Perić
17
Izbor parametara prijenosne funkcije Gm(s), koji određuju položaje njenih polova i nula, nije potpuno proizvoljan. Praktična ograničenja koja se postavljaju na ( )mG s , a time i na regulator, odnose se na:
a) maksimalno dopušteno područje promjene izvršne veličine u(t); b) netočnosti parametara Gs(s), ili njihovo mijenjanje s vremenom; c) šum u mjernom signalu koji se prenosi preko regulatora na proces.
Uvažavajući navedena ograničenja, za ( )mG s se može odabrati bilo koji
standardni oblik.
Copyright: Nedjeljko Perić
18
Ako se odabere standardni Butterworthov oblik 3. reda (u - v = 3)
( ) ( )( )
3
3 2 2 32 2n
n n n
sG s
s s s sα ωβ ω ω ω
= =+ + +m
dobije se regulator:
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )[ ]
23
2 2
1,4 15 2 2
nR
n n
s sB s C s sG s
A s s sD s s sα ω
ω ωβ α+ +
= = = ⋅+ +−⎡ ⎤⎣ ⎦
Linearni regulator drugog reda (aktivni filter drugog reda). Digitalna realizacija, primjerice emulacijom prijenosne funkcije GR(s).
Copyright: Nedjeljko Perić
19 Moguća realizacija regulatora, pomoću operacijskih pojačala, prema
prethodnoj prijenosnoj funkciji prikazana je na slici 9.3:
R1
R2
R4
R5
R3C1
C2
-
+
Copyright: Nedjeljko Perić
20 Primjer 9.2: Za statički proces opisan prijenosnom funkcijom:
( )( ) ( )
( )( )2 2 3
1 11 7 11 51 1 5s
D sG s
s s s C ss s= = =
+ + ++ +
treba projektirati regulator prema standardnom obliku ( )G sm proisteklom iz kriterija:
( )0
e t t dt∞
∫ ⋅ ⋅
tako da se dobije ,50 2at s= . Za ( )sG s “polni višak” je n - m = 3 → za ( )mG s je “polni višak” 3u v− ≥ .
Copyright: Nedjeljko Perić
21
Za ( )0e t t dt
∞
∫ i za u = 3 i v = 0 dobije se standardni polinom (tablica 9.1):
( ) 3 2 2 31,75 2,15n n ns s s sβ ω ω ω= + + + .
Iz normiranih prijelaznih funkcija ( )x nh tω dobije se:
,50 2n atω ≈ ,
1
,50
2 2 12n
a
st
ω −≈ = = .
Slijedi:
( ) ( )3 21,75 2,15 1, 1s s s s sβ α= + + + = . Prema (9-12) () dobije se:
Copyright: Nedjeljko Perić
22
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]
2 3
2 3
1 7 11 51 1 2,15 1,75 1R
B s C s s s s sG sA s s s sD s s s
αβ α
+ + += = =
⋅ + + + −− / /⎡ ⎤⎣ ⎦,
( ) ( )( ) ( )
2 3
2
1 7 11 52,15 1,75R
B s s s sG sA s s s s
+ + += =
+ +.
Prema tome, ovaj regulator posjeduje I- djelovanje. Vladanje sustava upravljanja s tako projektiranim regulatorom prikazano je
na slici 9.4:
Copyright: Nedjeljko Perić
23
hx ,hu ,hs
hx
hs
hu
t [s]
hx - prijelazna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga s obzirom na referentnu vrijednost; hu - prijelazna funkcija pripadajuće upravljačke veličine; hs - prijelazna funkcija nereguliranog procesa.
Copyright: Nedjeljko Perić
24 Primjer 9.3.:
Za proces kao u primjeru 9.1 (astatičan proces): ( ) ( )2
51 1,4sG s
s s s=
+ +
neka je odabrana ( )mG s kao u primjeru 9.2.: 3 2
1( )1,75 2,15 1mG s
s s s=
+ + +.
Pomoću (9-12) ([ ]
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )R
B s C s sG sA s D s s s
αβ α
= =−
) dobije se:
( )2
2
1 1,410,75 8,75 5R
s sG ss s
+ +=
+ +. (Regulator bez I djelovanja)
Iz primjera 9.2. i 9.3 proizlazi da se može postići jednako vladanje zatvorenog sustava za sasvim različite procese.
Copyright: Nedjeljko Perić
25 Pretpostavlja se da su izvršne veličine u(t) u dopuštenom području
vrijednosti. Na temelju dosadašnjih razmatranja proizlazi da je struktura regulatora
određena strukturom procesa i modelskom prijenosnom funkcijom ( )mG s .
Parametri tako strukturiranog regulatora proizlaze iz parametara
procesa, parametara modelske prijenosne funkcije ( )mG s i postavljenih zahtjeva na sustav upravljanja.
Dosadašnja razmatranja odnosila su se na procese koji su stabilni i imaju
svojstva minimalne faze. Za procese koji ne ispunjavaju navedene pretpostavke opisani postupak
sinteze uvjetno je primjenljiv.
Copyright: Nedjeljko Perić
26
U tom slučaju regulatorom se ne smiju kompenzirati polovi i nule ( )sG s koje se nalaze u desnoj poluravnini s-ravnine jer bi i kod malih promjena položaja nula i polova (uslijed malih promjena parametara procesa) nastupili problemi stabilnosti. Stoga se ne može u ovim slučajevima proizvoljno odabrati
( )mG s .
Za procese s neminimalnim faznim vladanjem mora se ( )mG s tako odrediti da su nule od ( )mG s jednake nulama ( )sG s koje su smještene u desnoj poluravnini s-ravnine => izbor Gm(s) značajno je ograničen.
Za nestabilne procese mora prijenosna funkcija ( ( )1 mG s− ) posjedovati nule
koje su jednake polovima ( )sG s koji su smješteni u desnoj poluravnini s-ravnine.
Primjena analitičkih postupaka sinteze za procese s neminimalnim faznim
vladanjem i za nestabilne procese ilustrirana je na primjerima 9.4. i 9.5.
Copyright: Nedjeljko Perić
27 Primjer 9.4.: Proces s neminimalno faznim vladanjem Za proces s neminimalno faznim vladanjem (svepropusni član prvog reda):
( ) 11s
TsG sTs
−=
+
treba projektirati regulator tako da zatvoreni regulacijski krug ima željenu prijenosnu funkciju:
a) ( )1
11mG s
T s=
+.
Prema (9-12) ( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )R
C s sG s
D s s sα
β α=
⎡ ⎤−⎣ ⎦)dobije se: ( )
1
1 11R
TsG sTs T s
+=
−.
Ovaj bi regulator direktno kompenzirao nulu procesa (s = 1/T); ovo je, kako
je navedeno, nepoželjno ⇒ Odabrana Gm(s) nije prihvatljiva.
Copyright: Nedjeljko Perić
28 Stoga se odabire Gm(s) na sljedeći način (Gm(s) ima svojstva neminimuma
faze):
b) ( )( )2
1
11
mTsG s
T s−
=+
.
Prema (9-11) ( ) ( )( )
1( ) 1
mR
s m
G sG s
G s G s=
−dobije se:
( )( ) 2
1 1
12R
TsG ss T T T s
+=
⎡ ⎤+ +⎣ ⎦.
Vladanje sustava upravljanja, s procesom koji ima neminimalno fazna
svojstva, prikazano je na slici 9.5:
Copyright: Nedjeljko Perić
29
Sl. 9.5. hx - prijelazna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga s obzirom na referentnu vrijednost; hu - prijelazna funkcija pripadajuće upravljačke veličine; hs - prijelazna funkcija nereguliranog procesa.
Copyright: Nedjeljko Perić
30 Primjer 9.5.: Nestabilni proces
Za nestabilni proces ( ) 11sG s
Ts=
−
potrebno je projektirati regulator tako da:
(1 ( ))mG s− ima nulu u 1sT
= + (to je vrijednost nestabilnog pola procesa):
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
11 1m
s s s Ts P sG s
s s sα β αβ β β
− −− = − = = .
Iz uvjeta realizacije (9-12) mora biti: u - v ≥ 1 (jer je n - m = 1)
Dakle, polinom P(s) treba tako odabrati da vrijedi:
stupanj ( ) ( )1 Ts P s⎡ ⎤− ⋅ =⎣ ⎦ stupanj ( )sβ . (9-13)
Copyright: Nedjeljko Perić
31
Za konkretni slučaj odaberimo da je Stupanj β(s) = 2 i Stupanj α(s) = 1, pa iz (9-13) slijedi:
Stupanj P(s) = 1 Kako odrediti parametre ( )mG s u promatranom primjeru? Prijenosna funkcija (1 - Gm(s)) može se prikazati na sljedeći način:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
1 1m m
C s P s C s P s sG s G s
s s sα
β β β− = ⇒ = − =
odnosno:
( ) ( ) ( ) ( )s C s P s sβ α− = . (9-14) U konkretnom slučaju je ( ) (1 )C s Ts= − .
Copyright: Nedjeljko Perić
32 Iz (9-14) dobije se uvrštenjem odgovarajućih polinoma: [ ]2
0 1 2 0 1 0 1 0 1( )( )s s c c s p p s sβ β β α α+ + − + + = + . Sređenjem ovog izraza dobije se: 2
0 0 0 1 0 1 1 0 2 1 1 0 1( ) ( ) ( )c p c p c p s c p s sβ β β α α− + − − + − = + . Iz toga slijedi: 0 0(0) 1
0 0 0 0 0 0mGc p pα ββ α = → =− ⋅ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = , 0 1
1 0 1 1 0 1 1 1 1cc p c p pβ α β α=− ⋅ − ⋅ = ⎯⎯⎯→ − = ,
1
2 1 1 2 10 0c Tc p T pβ β=−− ⋅ = ⎯⎯⎯→ + ⋅ = .
Copyright: Nedjeljko Perić
33
Odaberemo: 2 1β = → 11pT
= − .
Koeficijenti: α0 i α1 te β0, β1 i β2 načelno se određuju prema željenoj dinamici
sustava koja je određena s:
( ) 0 1 12 2
0 1 2 1
11m
s sG ss s s s
α α αβ β β β
+ += =
+ + + +. (α0 = β0 = 1, β2 = 1)
1 1 1pβ α− = ⇒ 1 11T
β α+ = .
Odabiremo:
1 12 1 ,T T
α β= → =
Copyright: Nedjeljko Perić
34 pa se dobije:
( ) 0 12
20 1 2
21
11m
ss TG ss s s s
T
α αβ β β
++= =
+ + + +,
(Gm(s) ne spada u prije razmatrane standardne oblike.)
odnosno:
( )2
(1 )( )1 11
m
sTsTG s
s sT
− −− =
+ +.
Prema (9-11) slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
35
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
2
21
111 11 1
11
mR
s m
sTs sG s TG s sT
sG s G s sTT
s sT
+
+ += = −
− ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
+ +
,
odnosno:
( )21 12 11 2R
s TTG sss
T
+ ⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎝ ⎠−
.
Vladanje sustava upravljanja, s nestabilnim procesom, prikazano je na slici
9.6 (za T = 1s):
Copyright: Nedjeljko Perić
36
hx - prijelazna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga s obzirom na referentnu vrijednost; hu - prijelazna funkcija pripadajuće upravljačke veličine; hs - prijelazna funkcija nereguliranog procesa.
Copyright: Nedjeljko Perić
37
9.3. Jedan algebarski postupak sinteze Ovaj postupak zasniva se na zahtjevu da se uz poznatu prijenosnu funkciju
procesa Gs(s) (9-7) projektira takav regulator GR(s) (9-8) da se dobije željeno vladanje zatvorenog regulacijskog kruga Gm(s) (9-9).
Polovi zatvorenog regulacijskog kruga predstavljaju nule karakteristične jednadžbe:
R S1 + G (s)G (s) = 0 . Iz polinomskih oblika prijenosnih funkcija GR(s) i Gs(s) slijedi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0s A s C s B s D sβ = + = (9-15) Iz (9-15) dobije se, uzimajući u obzir (9-9):
0 11
( ) ... ( ) 0uu
u u ii
s s s s sβ β β β β=
∏= + + + = − = . (9-16)
Copyright: Nedjeljko Perić
38 Polinom (9-16) ima stupanj u = z + n ; njegovi parametri ovise o
parametrima procesa i regulatora i predstavljaju linearnu kombinaciju traženih parametara regulatora kao što je prikazano s (9-7) i (9-8).
Izraz za prvi koeficijent glasi: 0 0 0 0 0a c b dβ = + , (9-17) a za posljednji (zbog m < n): 1u z na cβ = = . (9-18) Općenito je: 0 1 1 0 1 1... ...i i i w i w i i z i zb d b d b d a c a c a cβ − − − −= + + + + + + + . (9-19) Jednadžba (9-19) predstavlja jednadžbu sinteze. Njen zapis u matričnom
obliku glasi:
Copyright: Nedjeljko Perić
39
00
0 1 11
1 0 2 1 22
2 3 1 2
2 1 0 1 2 2 1 11
1 2 1 1 2 2 0
1 2 1 3 1
1
1
0 00 0 0 0
0 0
100 1
0 00 1
n n n
n n n nn
n n n n
n n
n n
n
bdd c bdd d c c bd
c c c bd d d c c c c bdd d d c c c a
d d c c a
c ad
− − −
− − − −−
− − − −
− −
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
O O
M O O O M M O O MM
M O O LM
L L L
L L L
L L L
O O M O O M M
O O M O
0
1
2
2
1
1
1 2
3 2 3 2
2 2 2 1
000
00
n
n
n
n
n n
n n n
cc
ca c
βββ
ββββ
ββ
−
−
+
− − −
− − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
M M
M M (9-20)
Traženi parametri regulatora ai i bi prikazani su pomoću vektora parametara. U jednadžbi (9-20) pretpostavlja se da je red regulatora z = n -1. Nadalje se pretpostavlja da je proces s integralnim vladanjem (c0=0), te da
je cn=1 (normirani oblik).
Copyright: Nedjeljko Perić
40 Uz jednadžbu (9-20) dolazi još i: 1n ua β− = . (9-21) Za proces sa statičkim vladanjem jednadžba sinteze, zapisana u matričnom
obliku, glasi:
0 10
0 1 0 21
1 0 2 1 0 32
2 3 1 0 1
2 1 0 1 2 2 11
1 2 1 1 2 2 1
1 2 1 3 2
1
1
00 0 0
0
100 1
0 00 1
n n n
n n n nn
n n n n
n n
n
n
c bdd c c bdd d c c c bd
c c c c bd d d c c c c bdd d d c c c a
d d c c a
cd
− − −
− − −−
− − − −
− −
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
O
M O O O M M O O MM
M O O LM
L L L
L L L
L L L
O O M O O M M
O O M O
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
00
1 1
2 2
2 2 2
1 2 1
000
0
00
00
R
R
R
n n R n
n R
n
n
n n n
n n
d c cd c cd c c
d c cccbcc
a ca
βββ
ββββ
ββ
− − −
+
+
− −
− −
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
M MM
M MM
2
1nc−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(9-22)
Copyright: Nedjeljko Perić
41 Pri izvodu jednadžbe (9-22) pretpostavilo se da je red regulatora z n= . Uz
jednadžbu (9-22) dolazi još i: n ua β= . (9-23) Parametri regulatora a0 i b0 ne dobiju se rješenjem jednadžbe (9-22). Iz
izraza (9-17) slijedi:
00
0 0R
bd c c
β=
+, (9-24)
gdje odaberemo (KR - pojačanje regulatora):
0
0
1R
R
acK b
= = . (9-25)
Matrice na lijevim stranama jednadžbi (9-20) i (9-22) regularne su pa se te
jednadžbe mogu jednoznačno riješiti.
Copyright: Nedjeljko Perić
42
9.4. Nule zatvorenog regulacijskog kruga Prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga s obzirom na referentnu
vrijednost dobivena iz slike 9.1. te prijenosnih funkcija (9-7) i (9-8) glasi:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )x
B s D sG sA s C s B s D s
=+
. (9-26)
Nule regulatora i nule procesa određuju nule i polove zatvorenog sustava. Nule zatvorenog sustava mogu značajno utjecati na njegovo dinamičko
vladanje. Zbog toga je poželjno kompenzirati njihov utjecaj, ako je to moguće. To se načelno postiže ugradnjom korekcijskog člana (prefiltera) u granu
referentne vrijednosti (Sl. 9.7.) čija je prijenosna funkcija:
Copyright: Nedjeljko Perić
43
( )( )k
k
k
cG sB s
= .
(9-27)
B sA s
( )( )
D sC s
( )( )
xR
-
+ u ycB s
k
k ( )
REGULATOR
Kompenzacijskim članom Gk(s) prema (9-27) kompenziraju se samo one nule regulatora i procesa koje se nalaze u lijevoj poluravnini s-ravnine.
Polinome B(s) i D(s) može se prikazati na sljedeći način: ( ) ( ) ( )B s B s B s− += , (9-28) ( ) ( ) ( )D s D s D s− += (9-29) gdje je:
Copyright: Nedjeljko Perić
44
♦ 0
w ii
iB b s
+++
=∑= - dio polinoma B(s) čiji su korjeni smješteni u lijevoj poluravnini
s-ravnine;
♦ 0
m ii
iD d s
+++
=∑= - dio polinoma D(s) čiji su korjeni smješteni u lijevoj
poluravnini s-ravnine;
♦ 0
w ii
iB b s
−−−
=∑= - dio polinoma B(s) čiji su korjeni smješteni u desnoj
poluravnini s-ravnine (uključivo i imaginarnu os);
♦ 0
m ii
iD d s
−−−
=∑= - dio polinoma D(s) čiji su korjeni smješteni u desnoj
poluravnini s-ravnine (uključivo i imaginarnu os).
Copyright: Nedjeljko Perić
45
Uz: w w w
m m m
+ −
+ −
= +
= +
Ako B(s) i C(s) te A(s) i D(s) nemaju jednakih korijena tada se nazivnik korekcijskog člana (9-27) određuje na sljedeći način:
( ) ( ) ( )kB s B s D s+ += . (9-30)
Regulatorom se ne kompenziraju niti nule niti polovi procesa.
Iz (9-26) do (9-30) proizlazi:
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .( ) ( ) ( ) ( )
kx
k
k
c B s D sG sB s A s C s B s D s
c B s D sA s C s B s D s
− −
= =+
=+
(9-31)
Copyright: Nedjeljko Perić
46 Ako proces i regulator imaju minimalno fazna svojstva te ako njihove
prijenosne funkcije nemaju nula na imaginarnoj osi tada (9-31) poprima oblik:
( )( ) ( ) ( ) ( )
kx
cG sA s C s B s D s
=+
. 9-32)
Radi se o kompenzaciji svih nula zatvorenog sustava.
Ako prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga treba imati unaprijed zadane nule (važno u slijednoj regulaciji), tada se one dobiju odgovarajućim polinomom u brojniku korekcijskog člana (9-27).
Koeficijent ck u brojniku korekcijskog člana određuje se iz uvjeta (0) 1xG = i (9-31):
0 0
0 0 0 0
(0) 1x k
b dG ca c b d
− −
= =+
. (9-33)
Pojačanje Kx zatvorenog regulacijskog kruga jednako 1.
Copyright: Nedjeljko Perić
47 Primjer 9.6: Proces opisan prijenosnom funkcijom
2
1 5 1 5( ) 0,25(1 0,25 ) 4s
s sG ss s s s
+ += =
+ +
treba regulirati regulatorom koji se zasniva na opisanom algebarskom postupku sinteze.
Proces posjeduje integralno vladanje procesa
d0 = 1, d1 = 5, c0 = 0, c1 = 4, c2 =1.
Koeficijenti regulatora ai i bi određuju se pomoću jednadžbe (9-20).
Budući da je red procesa n = 2, onda je red regulatora 1 1z n= − = pa je red zatvorenog sustava 3u z n= + = .
Odaberimo za modelsku funkciju zatvorenog sustava standardni binomni oblik:
Copyright: Nedjeljko Perić
48
3 2 3( ) (1 ) 1 3 3s s s s sβ = + = + + + .
Koeficijenti su:
α0 = 1, β0 = 1, β1 = β2 = 3, β3 = 1.
Prema (9-20) slijedi:
0
1
0
1 0 0 1 05 1 4 3 00 5 1 3 4
bba
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
Rješenjem ove jednadžbe dobije se:
0
919
a = − , 1 1a = , 0 1b = , 1
219
b = − .
odnosno:
Copyright: Nedjeljko Perić
49
2119( ) 9
19
R
sG s
s
−=
− +
Radi se o nestabilnim regulatoru s neminimalnofaznim vladanjem.
Prijenosna funkcija zatvorenog sustava ima oblik:
1 3
2(1 )(1 5 )19( )(1 )x
s sG s
s
− +=
+
Brojnik prijenosne funkcije zatvorenog sustava sadrži nule procesa i regulatora (nula regulatora u desnoj poluravnini s-ravnine)
Utjecaj nule (15
s = − ) kompenzira se korekcijskim članom prema (9-27), (9-
31) i (9-33):
Copyright: Nedjeljko Perić
50
1( )
1 5kG ss
=+
, ck = 1
te prijenosna funkcija zatvorenog sustava u tom slučaju glasi (prijenosna funkcija s neminimumom faze):
3
2119( )
(1 )x
sG s
s
−=
+.
Na slici 9.8 prikazano je vladanje sustava upravljanja razmatranog u
primjeru 9.6:
Copyright: Nedjeljko Perić
51
y(t) = hx1(t)
y(t) = hx(t)
t [s]
hu(t)
hu1(t)
♦ hx - prijelazna funkcija zatvorenog sustava s korekcijskim članom; ♦ hx1 - prijelazna funkcija zatvorenog sustava bez korekcijskog člana; ♦ hu - prijelazna funkcija upravljačke veličine (uz hx); ♦ hu1 - prijelazna funkcija upravljačke veličine (uz hx1); ♦ hM - prijelazna funkcija za Gm(s) prema standardnom binomnom obliku.
Copyright: Nedjeljko Perić
52 Evidentno je da hx(t) praktički ne odstupa od hM(t), odnosno da je utjecaj
nule (192
s = ) regulatora zanemariv.
Također je vidljiv značajan utjecaj prefiltera na vladanje zatvorenog sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
10. SINTEZA REGULATORA S OBZIROM NA VODEĆE I POREMEĆAJNO VLADANJE
Dosadašnja razmatranja odnosila su se na sintezu regulatora uz zadanu
prijenosnu funkciju procesa ( )sG s i zahtjevanu prijenosnu funkciju
zatvorenog sustava s obzirom na referentnu vrijednost ( ) ( )!
x mG s G s= .
Međutim, smetnja može značajno utjecati na vladanje sustava. Da bi se smanjio taj utjecaj proširuje se do sada razmatrana struktura
regulacijskog kruga; uvodi se prefilter u granu referentne vrijednosti (sl. 10.1):
Copyright: Nedjeljko Perić
2
Regulator GR(s)Prefilter Gv(s)
xR +
-
++
z
z '
yM sN s
( )( )
B sA s
( )( )
K sL s
( )( )
D sC s
( )( )
PROCES
Sl. 10.1. Smetnja 'z može djelovati na raznim mjestima u regulacijskom krugu (npr.
na ulazu procesa, na izlazu procesa) što ima za posljedicu i različiti utjecaj na reguliranu veličinu.
Copyright: Nedjeljko Perić
3 Pri sintezi regulatora i prefiltra koriste se sljedeće prijenosne funkcije:
( ) ( )
( )0
x1 x
v y0 1 y
M s m m s m sG sN s n n s n s
+ + += =
+ + +L
L, y x≥ , (10-1)
( ) ( )
( )0
w1 w
R z0 1 z
B s b b s b sG sA s a a s a s
+ + += =
+ + +L
L, z w≥ , (10-2)
( ) ( )
( )0
m1 m
s n0 1 n
D s d d s d sG sC s c c s c s
+ + += =
+ + +L
L, n m> , (10-3)
Sintezom se zahtijeva željena prijenosna funkcija zatvorenog sustava, s
obzirom na vodeću vrijednost ( ( ) ( )( )m
R
Y sG s
X s= ):
Copyright: Nedjeljko Perić
4
( ) ( ) ( )
( )0
v1 v
x m u0 1 u
s s sG s G ss s s
α α α αβ β β β
+ + += = =
+ + +L
L, u v> , β0=1 (10-4)
i željena prijenosna funkcija zatvorenog sustava s obzirom na
poremećajnu veličinu ( ( ) ( )( )'mz
Y sG s
Z s=
):
( ) ( )
( )0( )
q1 q
z mz p0 1 p
s s sG s G s
s s sγ γ γ γσ σ σ σ
+ + += = =
+ + +L
L, p q≥ , σ0=1 (10-5)
Također se zahtijeva da ne smije biti trajnog regulacijskog odstupanja pri
skokovitoj promjeni vodeće i poremećajne veličine:
Copyright: Nedjeljko Perić
5
( )
0lim
( )0 1( )m
s
sGs
αβ→
= = , (10-6)
( )
0lim
( )0 0( )mz
s
sGs
γσ→
= = (10-7)
Nadalje se zahtijeva da polinomi u brojniku i nazivniku Gm(s) i Gmz(s) budu čim nižeg reda (i da su po mogućnosti odabrani prema standardnim oblicima).
Copyright: Nedjeljko Perić
6
10.1. Sinteza regulatora Prijenosna funkcija zatvorenog sustava s obzirom na vodeću vrijednost (Sl.
10.1) glasi:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
!1
R sx v m
R R s
Y s G s G sG s G s G s
X s G s G= = =+
, (10-8)
dok je prijenosna funkcija zatvorenog sustava s obzirom na poremećaj:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )!1
1z sz mz
R s
Y sG s G s G s
Z s G s G s= = =′ +
. (10-9)
Iz (10-9) slijedi:
( ) ( ) ( )
( ) ( )sz mz
R
s mz
G s G sG s
G s G s−
= . (10-10)
Copyright: Nedjeljko Perić
7 Ako smetnja djeluje na ulazu u proces ( ( ) ( )sz sG s G s= ) onda (10-10)
poprima oblik:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
SZ mzR
S mz
D s sG s G s C s s D s s C s s
G sD s sG s G s D s sC s s
γσ σ γ
γ γσ
−− −
= = =⋅
(m) (p) (n) (q)
(10-11)
Ako pak smetnja djeluje na izlazu iz procesa ( ( ) 1szG s = ) iz (10-10) slijedi:
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )
11 1
R
s S
ss s s
G ssG s G s ss
γσ σ γ
γ γσ
−−
= = . (10-12)
Copyright: Nedjeljko Perić
8 Sinteza regulatora za smetnju na ulazu u proces Prema (10-11) uvjet za realizaciju regulatora je: z w≥ . Uz pretpostavku da se oduzimanjem polinoma u brojniku ne poništavaju
izrazi s istim potencijama, slijedi:
ilim p m q q p
n q m q m n
+ ≤ + ≥⎫⎪ ⇒⎬⎪+ ≤ + ≥⎭
,=>Ovo je u koliziji s (10-3) (n>m) i (10-5) (p≥q)
Da bi se izbjegla ova kolizija potrebno je da u polinomu brojnika ( )RG s
(prema (10-11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )R
D s s C s sG s
D s sσ γ
γ−
= ):
( ) ( ) ( ) ( )D s s C s sσ γ⋅ − ⋅
isčeznu odgovarajući članovi viših potencija “s”.
Copyright: Nedjeljko Perić
9 Ovo je moguće samo ako se odabere:
m p q n+ = + , odnosno, n m p q− = − . (10-13)
Poslije množenja u polinomu ( ) ( ) ( ) ( )D s s C s sσ γ− , odgovarajući članovi viših potencija “s” izjednače se s nulom. Iz toga slijede jednadžbe sinteze regulatora (različito od slučaja do slučaja).
Iz (10-13) proizlazi:
polni višak prijenosne funkcije staze Gs(s) (n-m) i polni višak Gmz(s) (p-q) moraju biti jednaki.
Nadalje je vidljivo iz (10-11) da se zbog uvjeta realizacije moraju poništiti (kompenzirati) u polinomu brojnika ( )RG s (polinom:
( ) ( ) ( ) ( )D s s C s sσ γ− ):
( ) ( )m p m q p q n m+ − + = − = −
članova viših potencija.
Copyright: Nedjeljko Perić
10 Iz toga slijedi stupanj polinoma brojnika i nazivnika prijenosne funkcije
regulatora:
( ) ( )w z m p p q m q= = + − − = + .
Budući da se mora kompenzirati (n-m) članova višeg reda u polinomu
brojnika ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )R
D s s C s sG s
D s sσ γ
γ−
= , a da pri tome stupanj polinoma
( )sγ bude minimalan, odabire se za:
Stupanj ( )s q n mγ = = − (10-14)
Nadalje slijedi iz (10-13):
( ) ( ) ( ) ( )2p n m q n m n m n m= − + = − + − = − . (10-15)
Iz toga se dobije stupanj brojnika i nazivnika regulatora:
w z m q m n m n= = + = + − = . (10-16)
Copyright: Nedjeljko Perić
11 Primjer 10.1.: Prijenosna funkcija procesa glasi:
( ) ( )
( )0
22
1s
0 1
D s d d sG sC s c c s c s
+= =
+ +.
Za prijenosnu funkciju ( ) ( )( )mz
sG s
sγσ
= dobije se:
Stupanj ( ) 1s q n mγ = = − = ,
(prema (10-14); q=n-m) i Stupanj ( ) 2( ) 2s p n mσ = = − = .
(prema (10-15); p=2(n-m)). Slijedi:
( ) ( )
( )0 1
221mz
1
s sG ss s s
γ γ γσ σ σ
+= =
+ +.
Copyright: Nedjeljko Perić
12
Uvrštenjem ovog izraza za Gmz(s) u (10-11) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )R
D s s C s sG s
D s sσ γ
γ−
= )
dobije se nakon sređenja:
( ) ( ) ( ) ( )2 3
0 0 1 1 1 0 0 2 1 1 1 1 1 2 1 2
20 1 1 1
R
d d d c s d d c s d c sG s
d s d sσ γ σ σ γ σ γ
γ γ+ + − + + − + +
=+
Iz razloga realizacije regulatora potrebno je član u brojniku uz 3s izjednačiti s nulom:
1 2
1 2 1 2 1
2
0 dd ccσσ γ γ− = → = . =>
1 2
22
1 2
( )1mz
d scG ss s
σ
σ σ=
+ +
Vladanje zatvorenog sustava s obzirom na smetnju ne može se proizvoljno odabrati. Polovi prijenosne funkcije (vlastita dinamika sustava) po volji se odabire. Koeficijent polinoma u brojniku ovisi o koeficijentu polinoma u nazivniku.
Copyright: Nedjeljko Perić
13
Uvođenjem konstanti:
0 0
1 0 1 1 1 0
2 0 2 1 1 1 1
1 0 1
2 1 1
,,
,,,
b db d d cb d d ca da d
σ γσ σ γγγ
== + −= + −==
prijenosna funkcija regulatora poprima oblik:
20 1 2
21 2
( )R
b b s b sG sa s a s+ +
=+
.
Parametri regulatora u razmatranom primjeru ovise o parametrima procesa (di, ci) i o parametrima modelske prijenosne funkcije Gmz(s) (γi, σi).
Copyright: Nedjeljko Perić
14 Sinteza regulatora za smetnju na izlazu iz procesa
Polazeći od prijenosne funkcije regulatora prema (10-12):
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )1 ( )
( ) ( ) ( )Rs
C s s ss s B sG sG s s D s s A s
σ γσ γγ γ
⎡ ⎤−− ⎣ ⎦= = =
(p) (q)(n) (w)
(m) (z)
mogu se postaviti slični odnosi kao i u slučaju djelovanja smetnje na ulazu u proces.
Stupanj polinoma brojnika GR(s) određen je s: n p+ ili n q+ .
Stupanj polinoma nazivnika određen je s : m q+
Uvjet realizacije regulatora GR(s) je:
m q n p+ ≥ + ili m q n q+ ≥ + .
što je ispunjeno za: p q=
Copyright: Nedjeljko Perić
15
I ovdje se mora kompenzirati ( ) ( )n p m q n m+ − + = − članova s najvećim potencijama u polinomu brojnika ( )RG s .
Na taj se način dobije:
( ) ( )w z q n n m m q= = + − − = +
Budući da se mora kompenzirati ( )n m− članova s najvećim potencijama u brojniku GR(s), a zahtjeva se da stupanj polinoma ( )sγ bude minimalan, odabire se:
q n m= − . (10-18)
Uz p q= slijedi stupanj polinoma u ( )RG s :
( )w z m q m n m n= = + = + − = . (10-19)
Copyright: Nedjeljko Perić
16
Primjer 10.2.:
Prijenosna funkcija procesa glasi:
( ) ( )( )
0 12
0 1 1
S
D sd d sG sc c s c s C s
+= =
+ +
Budući da je prema (10-18) 1p q n m= = − = slijedi:
( ) ( )( )
1
11mz
s sG ss s
γ γσ σ
= =+
Prema (10-12) dobije se nakon sređenja:
( )( ) ( ) ( )2 3
0 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1
20 1 1 1
R
c c c s c c s c sG s
d s d sσ γ σ γ σ γ
γ γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + ⋅ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
+.
Iz 1 1( ) 0σ γ− = slijedi prijenosna funkcija regulatora: 2
0 1 22
0 1 1 1
( )R
c c s c sG s
d s d sσ σ+ +
=+
Copyright: Nedjeljko Perić
17
10.2. Sinteza prefiltra
Polazište pri sintezi prefiltra Gv(s) su:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )!1
R sx v m
R R s
Y s G s G sG s G s G s
X s G s G s= = =+
, (10-8)
i
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )!
1sz
z mzR s
Y s G sG s G s
Z s G s G s= = =′ +
, (10-9)
Iz (10-8) i (10-9) slijedi:
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
sz mv
R s mz
G s G sG s
G s G s G s= (10-20)
U slučaju da smetnja djeluje na ulazu u proces (Gsz(s) = Gs(s)), (10-20) poprima oblik:
Copyright: Nedjeljko Perić
18
( )
( )( ) ( )
mv
R mz
G sG s
G s G s= . (10-21)
Ako pak smetnja djeluje na izlazu iz procesa (Gsz(s) = 1), (10-20) poprima oblik:
( )( )
( ) ( ) ( )m
vR s mz
G sG sG s G s G s
= . (10-22)
Copyright: Nedjeljko Perić
19 Sinteza prefiltra za smetnju na ulazu u proces
Iz (10-21), uzimajući u obzir (10-2) i (10-11) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )R
D s s C s sG s
D s sσ γ
γ−
= )
slijedi (gdje je ( ) ( ) ( )A s D s sγ= ):
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )v
s sA s s D s s M sG ss B s s s B s N s
α σ α σβ γ β
= = =/
(v) (m) (p) (x)
(y)(w)(u)(q)
(z)
(10-23)
Uvjeti realizacije ( )vG s :
♦ za ( ) ( )( )mz
sG s
sγσ
= , q n m= − (prema (10-14))
2( )p n m= − (prema (10-15))
Copyright: Nedjeljko Perić
20
♦ za ( ) ( )( )R
B sG s
A s= , w z m q n= = + = (prema (10-16))
2( )u n v m n m+ ≥ + + − (prema (10-23)) ⇓
u n m v≥ − + (10-24)
♦ za ( ) ( )( )s
D sG s
C s= ,
♦ za ( ) ( )( )v
M sG s
N s= ,
2( )2
x m v p m v n mx n m vy n u
= + + = + + −= − += +
♦ za ( ) ( )( )m
sG s
sαβ
= ,
Copyright: Nedjeljko Perić
21 Primjer 10.3.:
Prijenosna funkcija procesa te željena prijenosna funkcija zatvorenog sustava s obzirom na poremećajnu veličinu glase:
( ) ( )( )
02
2
1s
0 1
D s d d sG s
C s c c s c s+
= =+ +
, ( ) ( )( ) 2
211
mz1
s sG ss s s
γ γσ σ σ
= =+ +
.
Slijedi prijenosna funkcija regulatora:
( ) ( )( )
222
2
0 1R
1
B s b b s b sG s
A s a s a s+ +
= =+
Prema (10-23) određuje se prijenosna funkcija prefiltra:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )v
s D sG s s
s B sα
σβ
=
Copyright: Nedjeljko Perić
22 Ako se odabere:
a) ( ) ( )( ) 1
11m
sG s
s sαβ β
= =+
slijedi: Stupanj ( ) Stupanj ( )M s N s = ,
odnosno
( )2 3
0 1 2 32 3
0 1 2 3
v
m m s m s m sG sn n s n s n s
+ + +=
+ + +,
gdje je:
0 0 1 0 1 1 2 0 2 1 1 3 1 2
0 0 1 0 1 1 2 0 1 2 3 2 1
; ; ; ;; ; ;
m d m d d m d d m dn b n b n b b n b
σ σ σ σβ β β β
= = + = + == = + = + =
Copyright: Nedjeljko Perić
23
b) Za ( ) ( )( ) 2
1 2
11m
sG s
s s sαβ β β
= =+ +
slijedi iz: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )vG s = ss D s
B s sα
σβ
( ) ( )( )( ) ( )
( )
0 1 21 22 2
1 2 0 1 2
2 3 40 1 2 3 4
2 3 40 1 2 3 4
11
1v
v
d d sG s s s
s s b b s b s
m m s m s m s m sG s
n n s n s n s n s
σ σβ β
+= + +
+ + + +
+ + + +=
+ + + +
( )( )
,
,x m p
y w u
m f d
n f b
σ
β
=
=
Copyright: Nedjeljko Perić
24 Sinteza prefiltra za smetnju na izlazu iz procesa
Prema prijenosnoj funkciji (10-22) ( ( )( )
( ) ( ) ( )m
vR s mz
G sG s
G s G s G s= ):
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )mv
R s mz
M sG sG s
G s G s G s N s= = (10-22)
uzimajući u obzir (10-2) ( ( ) ( )( )R
B sG s
A s= )do (10-5) (
( )( )
( )mz
sG s
sγσ
= ) slijedi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )v
A s C s s sG s
B s D s s sσ αγ β
= .
Iz (10-2) i (10-11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )R
D s s C s sG s
D s sσ γ
γ−
= slijedi: ( ) ( ) ( )A s D s sγ=
Copyright: Nedjeljko Perić
25
pa (10-22) ( ( )( )
( ) ( ) ( )m
vR s mz
G sG s
G s G s G s= ) u tom slučaju poprima oblik:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )v
C s s s M sG sB s s N s
σ αβ
= =
(n) (p) (v)
(w) (u)
(x)
(y)
(10-25)
Uvjet realizacije Gv(s) prema (10-25) glasi:
w u n p v+ ≥ + + , (10-26)
pa prema (10-18) i (10-19) slijedi:
( )n u n n m v+ ≥ + − + ,
odnosno
u n m v≥ − + . (10-27)
gdje su: p = n - m (prema (10-18)); w = n (prema (10-19)).
Copyright: Nedjeljko Perić
26
Prema (10-25) (( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )v
C s s s M sG sB s s N s
σ αβ
= = ) dobije se, uzimajući u obzir
(10-3), (10-4), (10-5) te (10-18) i (10-19):
Stupanj ( ) 2M s x n m v = = − + , (10-28)
Stupanj ( )N s y n u = = + . (10-29)
Primjer 10.4:
Za prijenosnu funkciju procesa:
( ) 02
2
( )( )
1s
0 1
d d sD sG sC s c c s c s
+= =
+ +
U primjeru 10.2. dobilo se:
( ) ( )( ) 1
1mz
1
ssG ss s
γγσ σ
= =+
i ( )2
22
2
( )( )
0 1R
1
b b s b sB sG sA s a s a s
+ += =
+.
Copyright: Nedjeljko Perić
27
Ako se odabere: ( )1
( ) 1( ) 1m
sG ss s
αβ β
= =+
onda iz (10-25) (( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )v
C s s s M sG sB s s N s
σ αβ
= = ) slijedi:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )v
C s s sG s
s B sσ α
β=
( ) ( ) ( )( ) ( )
20 1 2 1
21 0 1 2
1 11v
c c s c s sG s
s b b s b sσ
β+ + ⋅ + ⋅
=+ ⋅ + +
,
odnosno, u općem obliku:
( )2 3
0 1 2 32 3
0 1 2 3
v
m m s m s m sG sn n s n s n s
+ + +=
+ + +.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
11. POBOLJŠANJE REGULACIJSKOG VLADANJA POMOĆU SLOŽENIJIH STRUKTURA UPRAVLJANJA
Dosadašnja razmatranja odnosila su se na sustave upravljanja s jednom povratnom vezom (jednopetljaste regulacijske krugove). Procesi koji se opisuju matematičkim modelima višeg reda i procesi s mrtvim vremenima, a posebno procesi na koje djeluju izražene smetnje zahtijevaju složene strukture regulatora.
Pretpostavlja se da se na sustav upravljanja postavljaju visoki dinamički zahtjevi (σm, ta, tε ...).
Visoki red polinoma u brojniku i nazivniku GR(s).
Visoki red regulatora GR(s) sučeljava se s poteškoćama u realizaciji te s osjetljivošću na smetnje (šum u mjernim signalima).
Budući da su ovi regulatori na modelima zasnovani regulatori, oni su u pravilu osjetljivi na promjene parametara procesa.
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Moguća poboljšanja regulacijskog vladanja najčešće se zasnivaju na:
a) unaprijednoj kompenzaciji utjecaja smetnje (unaprijednoj regulaciji smetnje, feedforward control (engl.), Störgrößenaufschaltung (njem.)), gdje se utjecaj smetnje kompenzira prije nego što smetnja počne djelovati na reguliranu veličinu (vidi sliku 11.1.);
b) skraćenju putova signala između mjesta djelovanja poremećaja z i mjesta djelovanja upravljačke veličine u (u smjeru toka signala), što se postiže primjenom višepetljaste kaskadne regulacije.
xR
+ - GR(s) Gs1(s) Gs2(s) Gsn(s)
z1 z2 zn zn+1
u+ + + +
+ + + +
Gs(s)
y
z
Sl. 11.1.
Copyright: Nedjeljko Perić
3
11.1. Unaprijedna kompenzacija smetnje
Unaprijedna kompenzacija smetnje predstavlja proširenje osnovne strukture sustava upravljanja zasnovane na povratnoj vezi. Smetnja se može kompenzirati na jedan od dva načina i to: preko regulatora i preko izvršnog člana.
Kompenzacija smetnje preko regulatora
Signal smetnje z´ se u ovoj realizaciji dovodi preko upravljačkog člana Gu(s)
na ulaz regulatora (Sl. 11.2.):
Copyright: Nedjeljko Perić
4
xR + + +-
-
Gu(s)
GR(s)
Gsz(s)
Gs(s)
Upravljački član
Regulator Proces
Osnovni regulacijski krug
y
z'
u
Sl. 11.2. Pri tome je potrebno smetnju z´ ili mjeriti ili estimirati (određivati na temelju
lakše mjerljivih veličina procesa)
Često je mjerenje smetnji povezano s praktičnim poteškoćama.
Copyright: Nedjeljko Perić
5 Projektiranje upravljačkog uređaja zasniva se na blokovskom prikazu na slici
11.2.:
[ ]' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R u R s szY s X s Y s Z s G s G s G s Z s G s= − − ⋅ + . (11-1)
Iz (11-1) slijedi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )
sz u R s R sR
R s R s
G s G s G s G s G s G sY s Z s X sG s G s G s G s
−= ⋅ + ⋅
+ +. (11-2)
Za:
( )( )( )R
B sG sA s
= ; ( )( )( )s
D sG sC s
= ;
( )( )( )
uu
u
B sG sA s
= ; ( )( )( )
zsz
z
D sG sC s
=
Stupanj polinoma A(s) = z Stupanj polinoma B(s) = w Stupanj polinoma C(s) = n Stupanj polinoma D(s) = m Stupanj polinoma Cz(s) = nz Stupanj polinoma Dz(s) = mz
Copyright: Nedjeljko Perić
6
dobije se '( )
u z u zR
u z
A ACD B BDC BDY Z XA C AC BD AC BD
−= ⋅ + ⋅
+ +. (11-3)
Iz (11-3) proizlazi da je karakteristična jednadžba s obzirom na smetnju:
( ) 0u zA C AC BD+ = , (11-4a)
a karakteristična jednadžba s obzirom na vodeću veličinu:
0AC BD+ = . (11-4b)
Postoje različita vlastita gibanja.
Budući da se u idealnom slučaju, prema (8-2) (0
( ) 1( ) 0( ) 1 ( )z
Y sG sZ s G s
= = = +
),
smetnja u cijelosti kompenzira, slijedi iz (11-2) i (11-3):
sz zsz u R s u
R s z
G ACDG G G G GG G BDC
= → = = . (11-5)
Copyright: Nedjeljko Perić
7
Prema (11-2) vrijedi: ( ) 0'( ) 1
sz u R s
R s
Y s G G G GZ s G G
−= =
+.
Uz pretpostavku da je w = z dobije se uvjet za realizaciju upravljačkog uređaja kada se postiže potpuna kompenzacija smetnje:
z zm n m n+ ≥ + ,
odnosno:
( ) ( )z zn m n m− ≤ − . (11-6)
Prema tome polni višak procesa Gs(s) treba biti manji ili jednak od polnog viška procesa Gsz(s).
Za slučaj kada je sz sG G= slijedi 1
u
R
GG
= . (Smetnja djeluje na ulazu u
proces Gs(s)).
Copyright: Nedjeljko Perić
8 Primjer 11.1:
a) Za regulator I-tipa:
1( )R
I
G sT s
=
dobije se u idealnom slučaju (idealni derivator):
( )u IG s T s=
♦ Približna (realna) izvedba upravljačkog uređaja (Sl. 11.3) zasniva se na prijenosnoj funkciji:
( )1
Iu
v
T sG sT s
=+
-
+
Cv
R
uz' uu
C
Sl. 11.3.
TI = RC; Tv = RCv
Copyright: Nedjeljko Perić
9 b) Za regulator PI-tipa:
1( ) I
R R
I
T sG s KT s+
=
dobije se:
1( )
1I
u
R I
T sG sK T s
=+
Copyright: Nedjeljko Perić
10
Kompenzacija smetnje neposredno preko izvršnog člana
Kompenzacija smetnje preko izvršnog člana prikazana je na slici 11.4:
xR + + +-
-
Gu(s)
GR(s)
Gsz(s)
Gs(s)
Upravljački član
Regulator Proces
Osnovni regulacijski krug
y
z'
u+
Iz slike 11.4 slijedi: [ ]' '( )R R u s szY X Y G Z G G Z G= − − ⋅ + ,
Copyright: Nedjeljko Perić
11 odnosno
'1 1
sz u s R sR
R s R s
G G G G GY Z XG G G G
−= +
+ +, (11-7a)
[ ] '
( )u z u z
R
u z
A A CD B DC BDY Z XA C AC BD AC BD
−= +
+ +. (11-7b)
Prema (11-3) i (11-7b) evidentno je da su karakteristične jednadžbe u oba načina kompenzacije jednake.
Idealna kompenzacija smetnje preko izvršnog člana slijedi iz (11-7):
sz zsz u s u
s z
G CDG G G GG DC
= → = = . (11-8)
Iz (11-8) dobije se uvjet za realizaciju upravljačkog uređaja koji je identičan uvjetu (11-6) (( ) ( )z zn m n m− ≤ − ).
Za slučaj sz sG G= (smetnja djeluje na ulazu procesa) slijedi 1uG = .
Copyright: Nedjeljko Perić
12 U slučaju da je Gs(s) s neminimalno faznim vladanjem ili ako je Gsz(s)
nestabilno dobio bi se prema (11-5) ili (11-8) nestabilni upravljački član (ne može se realizirati) pa kompenzacija smetnje na prikazani način nije moguća.
U tim slučajevima može se koristiti statička kompenzacija (umjesto razmatrane dinamičke kompenzacije) pomoću proporcionalnog člana:
szu
s
KGK
= , (11-9)
gdje je: ( 0)sz szK G s= = , ( 0).s sK G s= =
Napomena: Predupravljanje ne utječe na stabilnost sustava u slučaju linearnih procesa. Stoga se predupravljanje može dodati nakon što se podesi zatvoreni regulacijski krug.
Copyright: Nedjeljko Perić
13 Primjer 11.2.: Regulacija temperature pregrijača pare (načelna izvedba) Kompenzacija smetnje preko regulatora:
RashladnavodaIzvršni
ventil
Hladnjak subrizgavanjem
Pregrijačpare
M
GR
Gu
tok
pare q=z
ϑ $= y xR
Kompenzacija smetnje preko izvršnog člana:
RashladnavodaIzvršni
ventil
Hladnjak subrizgavanjem
Pregrijačpare
M
GR
Gu
tok
pare q=z
ϑ $= y xR
+-
♦ Regulirana veličina je temperatura pare ˆ yϑ = na izlazu iz pregrijača pare.
Izvršnu veličinu predstavlja tok rashladne vode u hladnjak s ubrizgavanjem. Promjena toka pare predstavlja smetnju q z= za regulacijski krug
Copyright: Nedjeljko Perić
14 temperature pare (iznos smetnje ovisi o potrošnji). U ovom slučaju je ispunjeno m z=&
11.2. Kaskadna regulacija (kaskadni sustavi upravljanja)
Često je moguće proces promatrati kroz više parcijalnih potprocesa.
Pretpostavimo da se proces može prikazati pomoću dva potprocesa (Sl.11.6.):
Copyright: Nedjeljko Perić
15
xR +
++
++-
GR(s)
Gy1(s)
Gs1(s)
Gsz(s)
Gs2(s)
z'
y1u y
Gs(s)
Pomoćniupravljački
član
Pomoćnaupravljačka
veličina
Osnovnoj jednopetljastoj regulacijskoj strukturi dodaje se pomoćni upravljački član Gy1(s) koji na temelju mjerenja pomoćne varijable y1 tvori pomoćnu upravljačku veličinu. Ovom se veličinom korigira signal povratne veze sustava.
Upravljački član Gy1(s) treba imati sljedeća svojstva:
Copyright: Nedjeljko Perić
16 a) ne smije utjecati na stacionarno stanje, odnosno Gy1(s) ima derivacijski
karakter (“elastična povratna veza”);
b) ima korekcijski karakter i doprinosi boljem dinamičkom vladanju sustava, uz relativno jednostavnu izvedbu regulatora GR(s);
c) ima svojstvo predikcije.
Regulacijska struktura prikazana na slici 11.6. naziva se i regulacijskom strukturom s pomoćnom upravljačkom veličinom. Obično se takva struktura ne realizira u suvremenim rješenjima.
Koristeći se pravilima blokovske algebre blokovsku shemu na slici 11.6. moguće je prikazati i na način kao na slici 11.7.:
Copyright: Nedjeljko Perić
17
xR + ++-
GR(s)
Gy1(s).GR(s)
Gs1(s)
Gsz(s)
Gs2(s)
z'
y1u y+
-Pomoćna upravljačka
veličine
Sustav na slici 11.7. promatran izvana nije se promijenio u odnosu na
sustav sa slike 11.6. (( )( )R
Y sX s
je nepromijenjen).
Pri tome su samo neke unutarnje varijable izgubile svoj identitet. Shema sa slike 11.7. može se dalje transformirati te se dobije sustav
prikazan na slici 11.8:
Copyright: Nedjeljko Perić
18
xR ++
+-
GR2(s)
Gs1(s)
Gsz(s)
Gs2(s)
z'
y1u y11G sy ( ) Gy1(s)GR(s)
+
-
GR1(s)
I
II
Sustav upravljanja, slika 11.8., ima dva regulacijska kruga (petlje):
a) I - pomoćni regulacijski krug (unutarnji regulacijski krug, podređeni regulacijski krug);
b) II - glavni regulacijski krug (vanjski regulacijski krug, nadređeni regulacijski krug).
Regulacijska struktura prema slici 11.8. naziva se kaskadnom strukturom upravljanja (kaskadnom regulacijom).
Copyright: Nedjeljko Perić
19 U takvoj strukturi evidentna je hijerarhija:
♦ Glavni regulator GR2 ne djeluje neposredno na izvršni član nego tvori referentnu (vodeću) vrijednost za podređeni (pomoćni) regulator GR1.
♦ Smetnja u podređenom regulacijskom krugu praktički se kompenzira u tom krugu.
Ako se mjeri više pomoćnih veličina i regulira u više pomoćnih regulacijskih krugova, onda se dobije višestruka kaskada.
Ovakva regulacijska struktura pokazuje određene sličnosti sa strukturom zasnovanom na varijablama stanja.
Za optimalni regulator stanja postoje povratne veze za sve varijable stanja.
Iz slike 11.8 slijedi: 2 1 1 2
2
'( )R R R s sz s
s
YY X Y G G G Z G GG
⎧ ⎫⎡ ⎤= − − +⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦⎩ ⎭,
Copyright: Nedjeljko Perić
20 odnosno
2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
'1 (1 ) 1 (1 )
sz s R R s sR
R s R s R s R s
G G G G G GY Z XG G G G G G G G
= ++ + + +
. (11-10)
Iz (11-10) evidentno je da stabilnost sustava (vidi karakterističnu jednadžbu) ovisi i o podređenom regulacijskom krugu.
Stoga je prvi korak u sintezi kaskadnog sustava upravljanja sinteza podređenog kruga.
Iz slike 11.8. slijedi prijenosna funkcija zatvorenog podređenog kruga s obzirom na vodeću vrijednost (z´= 0):
1 1
1 11R s
p
R s
G GGG G
=+
. (11-11)
Gp(s) predstavlja dio procesa glavnog regulacijskog kruga (Sl. 11.9.):
Copyright: Nedjeljko Perić
21
xR + ++-
GR2(s) Gp(s) Gs2(s)
z'
u y
G (s)1 G (s)G (s)
sz
R1 s1+
Sl. 11.9
Nakon obavljene sinteze podređenog regulacijskog kruga problem sinteze vanjskog kruga svodi se na standardni problem sinteze jednopetljastog regulacijskog kruga (ako se radi o dvopetljastoj kaskadnoj strukturi).
Copyright: Nedjeljko Perić
22
11.3. Neki praktični postupci za sintezu regulatora u sustavima kaskadne regulacije
Tehnički optimum (engl. magnitude optimum; njem. Betragsoptimum)
Pretpostavka za primjenu tehničkog optimuma => proces bez astatizma.
1
0 ω
M = |Gx (jω)|
Zasniva se na zahtjevima: a) amplitudno-frekvencijska
karakteristika zatvorenog regulacijskog kruga |Gx(jω)| treba imati konstantnu vrijednost u čim širem frekvencijskom području (ωb čim veće);
b) |Gx(jω)| praktički ne smije imati rezonantno uzdizanje (M = 1 za sustave svedene na jediničnu povratnu vezu).
Temeljem ovih zahtjeva postiže se brzi, približno aperiodski odziv sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
23 Za daljnja razmatranja pretpostavimo strukturu procesa prikazanu na slici
11.11 koja se sastoji od jednog aperiodskog člana s dominantnom vremenskom konstantom i njemu u seriju povezanih više aperiodskih članova s nedominantnim vremenskim konstantama.
s1 1TKs
+ s11
2T+ s11
kT+
u
s11
3T+
yKsT1
1T2
1 1T3 Tk
Gs(s)
T1 - dominantna vremenska konstanta;
T2 ...Tk - nedominantne vremenske konstante.
Copyright: Nedjeljko Perić
24
Ako je: T2+T3+…+TK<<T1,npr. T1 > (5÷10)TΣ
onda se može primijeniti sljedeća aproksimacija:
2 3 2 3
1 1 1 1 11 1 1 1 ( ) 1k kT s T s T s T T T s T sΣ
⋅ ≈ =+ + + + + + + +
LL
. (11-13)
U tom slučaju se dobije regulacijski krug prikazan na slici 11.12:
s1 1TKs
+ s11
Σ+ T
GR(s)-
+ u yxR
Gs(s)
Ks 1T1 TΣ
Za strukturu procesa na slici 11.12. preporuča se koristiti PI - regulator:
Copyright: Nedjeljko Perić
25
1( ) I
R R
I
T sG s KT s+
= .
Integralnom vremenskom konstantom kompenzira se dominantna vremenska konstanta procesa, tj. odabiremo:
1IT T= , (11-14)
pa slijedi ( 0 R sK K K= - kružno pojačanje):
00
1
1 1( )1 1 (1 )
I sR
I I
T s K KG s KT s T s T s T s T sΣ Σ
+= =
+ + +. (11-15)
Prijenosna funkcija zatvorenog kruga s obzirom na vodeću vrijednost glasi:
0
0 02
00 0
( ) (1 )( )1 ( ) 1
(1 )
Ix
I I
I
KG s KT s T sG s KG s K T s T T s
T s T s
Σ
Σ
Σ
+= = =
+ + +++
. (11-16)
Copyright: Nedjeljko Perić
26 Ako se prijenosna funkcija svede na opći oblik prijenosne funkcije drugog
reda ( 2
2
1( )21
n n
G sssζ
ω ω
=+ +
), dobije se:
2
0 0
1( )1
xI I
G sT s T T sK K
Σ
=+ +
, (11-17)
iz čega slijedi: 0
2 I
n
TK
ζω
= , 02
0
1 In
n I
T T KK T T
ωω
Σ
Σ
= → = , (11-18)
0
0 0
1 12 2
I In
I
T K TK T T K
ζ ωΣ
= = ⋅ pa je: 0
1 12
ITK T
ζΣ
= , (11-19)
Copyright: Nedjeljko Perić
27
odnosno: 0 2
14
ITKTζ Σ
= ⋅ , 12
1 14R
s
TKK Tζ Σ
= ⋅ ⋅ . (11-20)
Izbor 2
2ζ = predstavlja tehnički najprihvatljiviji izbor za većinu primjena.
Preporučuje se: 12 1 12 2R
s
TKK T
ζΣ
= → = ⋅ ⋅ . (11-21)
Iz (11-17) za 22
ζ = dobije se prijenosna funkcija zatvorenog sustava u
kojem su parametri PI - regulatora određeni prema tehničkom optimumu:
2 2
1( )1 2 2xG s
T s T sΣ Σ
=+ +
. (11-22)
Analitički izraz za prijelaznu funkciju zatvorenog sustava s obzirom na referentnu vrijednost glasi:
Copyright: Nedjeljko Perić
28
2( / ) 1 (cos sin )2 2
tT
x
t th t T eT T
Σ−
Σ
Σ Σ
= − + . (11-23)
0
1
4,7 8,4
σm= 4,3%± 2%hx(t/TΣ)
t/TΣ
Sl. 11.13.
Copyright: Nedjeljko Perić
29 Kao što je vidljivo iz (11-23) i slike 11.13. odziv sustava ovisi isključivo o
sumi nedominantnih (nekompenziranih) vremenskih konstanti. Iz prijelazne funkcije (Sl.11.13) može se očitati: ♦ tu ≈ 4,7 TΣ - ulazno vrijeme (vrijeme porasta (0÷100%) ), ♦ t2% ≈ 8,4 TΣ - vrijeme ustaljivanja (ε = ±2%).
Opažanje:
Ako se odabere za polinome drugoga reda standardnih oblika prema Butterwothu, te standardnih oblika zasnovanih na integralnom kriterijima
( )e t tdt∫ i uz t5% vrijeme ustaljivanja (2
2 21.4n
n ns sωω ω+ +
):
2 1
2n T Tζω
Σ Σ
= =
onda oni poprimaju oblik kao (11-22) (2 2
1( )1 2 2xG s
T s T sΣ Σ
=+ +
).
Copyright: Nedjeljko Perić
30 Primjer 11.3.: Proces s dvije dominantne vremenske konstante
Proces u regulacijskom krugu na slici 11.14 upravlja se PID – regulatorom:
s1 1TKs
+ s11
2T+
+ y
s11
Σ+ T
u
-
Gs(s)
xR Ks T11 1T2 TΣ
PID
Sl. 11.14
Pri tome su T1 i T2 dominantne vremenske konstante, a TΣ je suma nedominantnih vremenskih konstanti regulacijskog kruga.
Potrebno je odrediti prijenosnu funkciju zatvorenog sustava Gx(s) uz kompenzaciju dominantnih vremenskih konstanti procesa integralnom i derivacijskom vremenskom konstantom regulatora.
Copyright: Nedjeljko Perić
31 Načelna shema realnog PID-
regulatora s oper. pojačalom:
C4
R4R3 C3
R5
R1
Njegova prijenosna funkcija glasi:
1 1( )
1I D
R R
I V
T s T sG s KT s T s+ +
=+
gdje je: KR= 3
1
RR
, TI = R3C3 ,
TD = R4C4 , TV = R5C4 . =>
V DT T<< postiže se izborom 5 4R R<< .
Izborom, primjerice:TI = T1 ,TD = T2 , te KR prema (11-21),
( 11 12R
s
TKK TΣ
= ⋅ ⋅ )
dobije se:
2 2
1( )1 2 2xG s
T s T sΣ Σ
=+ +
. (11-22)
Ovdje je u TΣ uračunata i mala
parazitna vremenska konstanta TV.
Copyright: Nedjeljko Perić
32 Simetrični optimum
Pretpostavka za primjenu simetričnog optimuma (Kessler (1958.)) jest da je proces s astatizmom 1. reda, Sl. 11.16.:
s1 Σ+ TKs
s1
iT
GR(s)-
+ u
Gs(s)
y
z
xR Ks TΣ TΙ
TΣ - suma vremen-skih konstanti procesa.
Uz odabrani regulator PI – djelovanja 1( ) I
R R
I
T sG s KT s+
= dobije se
prijenosna funkcija otvorenog kruga:
0 0 2
1 1 1 1( )1 1
I s IR
I i I i
član s faznim predhođenjem
T s K T sG s K KT s T s T s T T s T sΣ Σ
+ += =
+ +123
. (11-24)
Copyright: Nedjeljko Perić
33 Da bi sustav, čija je prijenosna funkcija (11-24), bio stabilan mora vrijediti:
IT TΣ> . (11-25)
Izraz za fazno-frekvencijsku karakteristiku za (11-24) glasi:
0 ( ) 180 arctg arctgIT Tϕ ω ω ω Σ= − ° + − . (11-26)
Maksimalna vrijednost fazno-frekvencijske karakteristike dobije se kako slijedi:
02 2
( ) 101 ( ) 1 ( )
Im
I I
d T Td T T T T
ϕ ω ωω ω ω
Σ
Σ Σ
= − = → =+ +
, (11-27)
dnosno:
0 ( ) 180 arctg arctgIm
I
T TT T
ϕ ω Σ
Σ
= − ° + − . (11-28)
Copyright: Nedjeljko Perić
34
Ako se odabere: c mω ω= (11-29)
dobije simetrična amplitudno-frekvencijska i simetrična fazno-frekvencijska karakteristika kao na slici 11.17:
-40dB/dek
-20dB/dek
-40dB/dek
G0(jω)dB
0
0ΣT1
ΣT1
ωc
ωc
ω
ω
(geometrijska sredina)
γ
ϕo(ω)
-90o
-180o
veće pojačanje KRmanje pojačanje KR
ωcITT= 1
Σ
1TI
1TI
Iz fazno-frekvencijske karakteristike je vidljivo da se dobije maksimalno fazno osiguranje pri ω = ωc.
Da bi se postigla simetričnost frekvencijskih karakteristika, tj. maks. fazno osiguranje, potrebno je da parametri regulatora KR i TI imaju točno određene vrijednosti.
Copyright: Nedjeljko Perić
35 Neka je integralna vremenska konstanta regulatora:
2
IT a TΣ= . (11-30)
(a je konstanta koju treba odrediti (a > 1 prema (11-25), TI > TΣ))
Iz (11-26), (11-27) i (11-29), uz (11-30) slijedi izraz za fazno osiguranje:
0 ( ) 180 arctg arctgIc
I
T TT T
γ ϕ ω Σ
Σ
= + ° = −
odnosno:
1 1 1arctg arctg arctg ( )a aa a a
γ = − = − . (11-31)
Iz (11-31) dobije se:
1 1 sintg
cos cosa γγ
γ γ+
= + = . (11-32)
Copyright: Nedjeljko Perić
36 Iz (11-30) i (11-32) slijedi izraz za integralnu vremensku konstantu:
21 sin
cosIT Tγγ Σ
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Za određivanje pojačanja regulatora KR polazi se od izraza:
0 ( ) 1cG jω =
pa se iz (11-24) dobije:
2
00 2 2
1 ( )( ) 1
1 ( )c I
c
I i c c
TKG jT T T
ωω
ω ω Σ
+= =
+. (11-33)
Iz (11-33), uz (11-29) i (11-30) slijedi ( 1 1c
IaTT T
ωΣΣ
= = ):
1 1 i
R
s
TKa K TΣ
= . (11-34)
Copyright: Nedjeljko Perić
37 Lako se može dokazati da vrijedi svojstvo simetričnosti:
0
0
1( )( )
c
c
G jG j
ωω ω
ω
= , (11-35) 0 0( ) ( )c
c
ω ωϕ ϕω ω
= . (11-36)
Uvrštenjem (11-30) i (11-34) u (11-24) dobije se prijenosna funkcija zatvorenog sustava s obzirom na referentnu vrijednost.
2
02 3 2 2 3 3 3
0
( ) 1( )1 ( ) 1x
G s a T sG sG s a T s a T s a T s
Σ
Σ Σ Σ
+= =
+ + + +. (11-37)
Za a = 2 slijedi fazno osiguranje: γ = 37°.
Iz (11-37), uz a = 2, dobije se prijelazna funkcija (Sl. 11.18):
2 4 3( ) 1 2 cos4
t tT T
x
th e e tT T
Σ Σ− −
Σ Σ
= + − . (11-38)
Copyright: Nedjeljko Perić
38
0 3,1 6
± 2%1
t /TΣ16,5
σm =43,4%hx(t/TΣ)
tu ≈ 3,1TΣ - ulazno vrijeme; tm ≈ 6TΣ - vrijeme prvog maksimuma 23 3( 6 )
1
a
mc
t TaTω
=
ΣΣ
≈ = = , t2% ≈ 16,5TΣ - vrijeme ustaljivanja (ε = ± 2%);
3,1rt TΣ≈ - vrijeme porasta (0÷100%).
Copyright: Nedjeljko Perić
39 Prijenosna funkcija zatvorenog sustava s obzirom na smetnju z glasi:
2
2 3 2 2 3 3 3
( ) (1 )( )( ) 1zz
i
Y s aT a T s T sG sZ s T a T s a T s a T s
Σ Σ
Σ Σ Σ
Σ
+= =
+ + +. (11-39)
Za z = - S(t) i a = 2 iz (11-39) dobije se prijelazna funkcija (Sl. 11.19.):
03 8,3
-0,5
-1
-1,5
-2
maxΣTTy i
hz(t/TΣ)
t/TΣa) ymax ≈ 1,75 TΣ/Ti -
maksimalni “propad” regulirane veličine,
b) tmz ≈ 3 TΣ - vrijeme maksimalnog “propada”,
c) t1z ≈ 8,3 TΣ - ulazno vrijeme.
Copyright: Nedjeljko Perić
40 Na temelju prijelaznih funkcija hx i hz može se konstatirati:
a) odziv sustava na vodeću veličinu je brz, ali s velikim regulacijskim nadvišenjem σm;
b) postiže se veoma brza kompenzacija utjecaja smetnje.
Kompenzacija regulacijskog nadvišenja efikasno se može postići ugradnjom prefiltera u granu referentne vrijednosti (Sl. 11.20.):
s1 Σ+TKs
s1iT
Gv(s) = sTa Σ+ 211
-+ u
3332332
2
11
sTasTasTasTa
ΣΣΣ
Σ+++
+
y
z
++
ss1
R
RR T
TK +
xR a2TS1 Ks TΣ Ti
Prijenosna funkcija filtra je:
Copyright: Nedjeljko Perić
41
2
1( )1VG s
a T sΣ
=+
. (11-40)
Pri tome se kompenziraju nule prijenosne funkcije (11-37), dok se polovi ne mijenjaju.
Nakon kompenzacije nula prijenosne funkcije zatvorenog sustava, s regulatorom podešenim prema simetričnom optimimumu dobije se:
2 3 2 2 3 3 3
( ) 1( )( ) 1x
R
Y sG sX s a T s a T s a T sΣ Σ Σ
= =+ + +
. (11-41)
Polovi prijenosne funkcije (11-41), tj. vlastite vrijednosti sustava su:
1
1paTΣ
= − , 2
2,3
1 1 112 2
a ap jaTΣ
⎡ ⎤− −⎛ ⎞= − ± −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
(11-42)
.
Copyright: Nedjeljko Perić
42 Za a = 3 je (trostruki pol):
1 2 3
13
p p pTΣ
= = = − . (11-43)
Za 1 < a < 3 dobije se:
1
1paTΣ
= − , 2
2,3
1 1 1 112 2
ja ap j eaT aT
α±
Σ Σ
⎡ ⎤− −⎛ ⎞= − ± − = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
, (11-44)
1arccos arccos
2aα ζ−
= = .
Za a = 2 dobije se razmještaj polova u kompleksnoj ravnini kao na slici 11.21.:
Copyright: Nedjeljko Perić
43
60o
0
− jT3
4 Σ
jT3
4 Σ
−1
4TΣ
−1
2TΣ
-ωn
σ
jω s - ravnina
Polovi su razmješteni u lijevoj poluravnini s-ravnine kao za standardni oblik prema Butterworthu (3.red), (vidi tablicu 9.1.).
Na slici je: 1
2n Tω
Σ
=
Za prijenosnu funkciju (11-41) uz a = 2 dobije se prijelazna funkcija hx (Sl. 11.22) čiji je analitički oblik:
/ 2 / 42 3( / ) 1 sin43
t T t Txh t T e e t
TΣ Σ− −
Σ
Σ
= − − . (11-45)
Copyright: Nedjeljko Perić
44
0 7,6 10
±2%1
t /TΣ13,3
hx(t/TΣ) σm≅81%,
a) tu ≈ 7,6TΣ - ulazno vrijeme,
b) tm ≈ 10TΣ - vrijeme prvog maksimuma,
c) t2% ≈ 13,3TΣ - vrijeme ustaljivanja (ε = ± 2%).
Copyright: Nedjeljko Perić
45 Budući da se prefilter GV(s) ne nalazi u zatvorenoj petlji, ostaju sačuvana
dobra svojstva sustava u pogledu brze kompenzacije poremećaja.
Ako je u procesu sa statičkim svojstvima dominantna vremenska konstanta izrazito velikog iznosa, tada se može primjeniti aproksimacija (Sl. 11.23.):
0
hs(t)
odzivaperiodskog člana
prvog reda
odzivintegralnog
člana
t
1 1
1 11 T s T s
≈+
. (11-46)
U takvim se slučajevima
može također primijeniti simetrični optimum u modificiranom obliku:
Copyright: Nedjeljko Perić
46
1 4IT k TΣ= ⋅ , k1 < 1
12
1 12R
s
TK kK TΣ
= ⋅ , k2 > 1 (11-47)
Ovisnost 1 2 1, ( / )k k f T TΣ= grafički je prikazana na slici 11.24:
k2
k1
k1k2
T1/TΣ0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,2
1,4
1
10 20 30 40 50
Pri tome je ispunjen uvjet:
2
1
1kk
= . (11-48)
Copyright: Nedjeljko Perić
47 Kaskadna regulacija - primjer elektromotornog pogona s istosmjernim nezavisno uzbuđenim motorom
Razmatrani EMP često je sastavni dio slijednog sustava (servosustava).
Pri razradi ovoga primjera pretpostavlja se:
a) poznavanje fizikalne slike istosmjernog stroja;
b) poznavanje matematičkog modela istosmjernog stroja;
c) poznavanje načina rada tiristorskog usmjerivača te njegove dinamičke i statičke karakteristike.
U konkretnom primjeru tiristorski usmjerivač služi za napajanje armaturnog kruga istosmjernog motora. Mogu se koristiti i drugi elektronički energetski pretvarači.
Copyright: Nedjeljko Perić
48 U narednim razmatranjima slijedom se obrađuje:
a) principna shema reguliranog EMP-a;
b) strukturna shema reguliranog EMP-a;
c) izvedbena shema reguliranog EMP-a (pojednostavljeni prikaz);
d) sinteza regulatora struje armature i brzine vrtnje.
Radi se o kaskadnoj strukturi upravljanja.
U razmatranom primjeru ne obrađuje se:
a) utjecaj dinamike radnog mehanizma na vladanje EMP-a;
b) utjecaj tiristorskog usmjerivača na napojnu mrežu;
c) specijalni oblici vodeće veličine i postupci za poboljšanje slijeđenja što je od posebnog interesa za slijedne sustave.
Principna shema kaskadne regulacije istosmjernog elektromotornog pogona prikazana je na slici 11.25:
Copyright: Nedjeljko Perić
49
MTiristorskiusmjerivač
TG
Radnimehanizam
Generatorimpulsa
Regulatorstruje
armature
Regulatorbrzinevrtnje
Davačvodećeveličine
Prilagodbamjernog signala
struje i filter
Prilagodbamjernog signala
brzine vrtnje i filter
Vodećavrijednost
brzine vrtnje
Vodećavrijednost
strujearmature
Upravljačkinapon
Naponsinkronizacije
Mrežnitransformator
Mjerni strujnitransformator
Energetski dioUpravljački dio
Unutarnju (podređenu) petlju predstavlja petlja struje armature, a vanjsku
(nadređenu) petlju predstavlja petlja brzine vrtnje.
Copyright: Nedjeljko Perić
50 Strukturna shema sustava regulacije istosmjernog motora s nezavisnom i
konstantnom uzbudom prikazana je na slici 11.26:
11+ Tfi s
1+TI2 sTI2 s
KR21+TI1 s
TI1 sKR1
Kt1+ Tmi s
Ka1+ Ta s
K
K
Ki1+ Tfi s
Kb1+ Tfb s
1Ka K
2 Tm s
Električkidio stroja
Mehaničkidio stroja
E
MtMmIaUa
Uup
Ui
Uir
UΩ
UΩr Ω
Motor se može promatrati kao objekt u kojem se obavlja elektromehanička pretvorba energije.
Copyright: Nedjeljko Perić
51 U tom se slučaju u “električkom dijelu stroja” odvija elektromagnetski
potproces; izlaz iz toga potprocesa je razvijeni moment motora Mm.
U “mehaničkom dijelu stroja” odvija se pod djelovanjem razvijenog momenta motora mehanički potproces koji rezultira zakretanjem, odnosno vrtnjom osovine motora.
Prema shemi na slici 11.26. podređenom petljom po struji armature regulira se elektromagnetski potproces motora; razvijeni moment u razmatranom slučaju proporcionalan je struji armature.
Vanjskom petljom po brzini vrtnje regulira se mehanički potproces.
Pojednostavljena izvedba sustava regulacije prikazana je na slici 11.27:
Copyright: Nedjeljko Perić
52
+U(10V)
-U(10V)
UΩr
UΩ
Uir
Ui
Uup
Usyn
α Uu
UaIa
M
TG
Ω
Mm Mt
Radnimehanizam
Sl. 11.27. Oba regulatora, i regulator brzine vrtnje i regulator struje armature, su PI -
djelovanja.
U nastavku je dan u praksi afirmirani postupak sinteze regulatora struje armature i brzine vrtnje EMP-a.
Copyright: Nedjeljko Perić
53 Sinteza regulatora struje armature Iz strukturne sheme sustava upravljanja (Sl. 11.26.) dobije se zatvoreni
regulacijski krug struje armature prikazan na slici 11.28:
s1 fi
i
TK
+
UaGR(s)-
+
E
-
+
s1 a
a
TK+s1 mi
tsTt T
KeK mi
+≈⋅ −
UupUir IaKt Ka Ta
Ki
Ui
Tfi
Copyright: Nedjeljko Perić
54 U regulacijskom krugu (Sl. 11.28) inducirana protuelektromotorna sila E
manifestira se kao smetnja sustava. Pri promjenljivoj brzini vrtnje ova je smetnja, također, promjenljiva.
Primjerice, pri zaletu (kočenju) motora konstantnim momentom (strujom) linearno raste (opada) brzina vrtnje (protuelektromotorna) sila.
Za dovoljno veliki odnos Tm/Ta može se pri sintezi regulatora struje armature zanemariti E (E = 0, tj. motor zakočen).
Prema (4-53) slijedi:
2
( )1( ) 1 11
ma a m m a a
a m a m m aa
m
TI s K T s T s K KU s T s T T s T s T sT s
T s
→∞
⇒= =+ + ++ +
. (11-49)
(2a
m
JRTK
= ; Tm → ∝ znači J → ∝)
Copyright: Nedjeljko Perić
55 Prema slici 11.28. proces kojim se upravlja ima prijenosnu funkciju:
1( )1 1 1
t i as
mi fi a
K K KG sT s T s T s
=+ + +
, Tmi, Tfi << Ta (11-50)
gdje je:
♦ Tmi - nadomjesno mrtvo vrijeme tiristorskog usmjerivača, [s];
( 1 12miT
mf= ; m - pulsni broj usmjerivača ;
f - frekvencija napojne mreže [Hz].)
♦ Tfi - vremenska konstanta povratne veze struje armature, [s];
♦ Kt - pojačanje tiristorskog usmjerivača i generatora impulsa;
♦ Ki - pojačanje povratne veze struje armature, [V/A].
Copyright: Nedjeljko Perić
56 S obzirom da je u (11-50) vremenska konstanta Ta jedina dominantna
vremenska konstanta, može se dobiti strukturnim pojednostavljenjem:
11( )
(1 )(1 )s
s
a
KG sT s T sΣ
=+ +
, (11-51)
gdje je: 1s t i aK K K K= , mi fiT T TΣ = + .
Struktura procesa (11-51) prikladna je za primjenu tehničkog optimuma.
Mogu se primijeniti i drugi postupci sinteze (npr. Bodeov dijagram, Ziegler-Nicholsov postupak).
Za regulator struje armature
11 1
1
1( ) IR R
I
T sG s KT s+
=
odabere se prema (11-14) i (11-21)
Copyright: Nedjeljko Perić
57
1I aT T= , (11-52)
1
1
1 12
aR
s
TKK TΣ
= . (11-53)
Prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga struje armature, uz parametre PI - regulatora prema (11-52) i (11-53) glasi:
2 2
1( ) 1( ) 1 2 2
fia
ir i
T sI sU s K T s T s
ΣΣ
+=
+ +. (11-54)
Član (1 )fiT s+ u (11-54) kompenzira se prefiltrom u grani referentne
vrijednosti struje armature 1( )
1V
fi
G sT s
=+
pa se dobije:
2 2
( ) 1 1( ) 1 2 2
a
ir i
I sU s K T s T s
ΣΣ
=+ +
. (11-55)
Copyright: Nedjeljko Perić
58 S obzirom da je regulacijski krug struje armature podređen regulacijskom
krugu brzine vrtnje vrlo je praktično, sa stajališta sinteze regulatora brzine vrtnje, strukturno pojednostaviti prijenosnu funkciju (11-55), tj. nadomjestiti je prijenosnom funkcijom:
( ) 1 1( ) 1
a
ir i s
I sU s K T s
≈+
, (11-56)
gdje je: Ts - nadomjesna vremenska konstanta, [s] => Ts treba odrediti
Prikladan način određivanja Ts zasniva se na jednakosti integrala regulacijskih pogrešaka nereduciranog i reduciranog (nadomjesnog) modela:
( )/ / 2
0 01 1 1 1 (cos sin )
2 2st T t T t te dt e dt
T TΣ
∞ ∞− −
Σ Σ
∫ ∫⎧ ⎫⎡ ⎤
⎡ ⎤− − = − − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ ⎭
. (11-57)
Iz (11-57) slijedi nakon provedenog integriranja: 2sT TΣ= . (11-58)
Copyright: Nedjeljko Perić
59 Također, Ts se može odrediti i kao:
1
s
ci
Tω
≈ , (11-59)
gdje je:
♦ ωci - presječna frekvencija otvorenog regulacijskog kruga struje armatura G0i(jω) (Goi(s) = Gs1(s) GR1(s)).
Iz 0 ( ) 1i ciG jω = dobije se:
2
1 1 11 142ci T
ωζΣ
= + − . (11-60)
Za 22
ζ = slijedi: 0,46 2,2ci sT TT
ω Σ
Σ
= → = . (11-61)
Copyright: Nedjeljko Perić
60 Sinteza regulatora brzine vrtnje
Sinteza regulatora brzine vrtnje obavlja se uz pretpostavku strukturnog pojednostavljenja zatvorenog regulacijskog kruga struje armature, prema
(11-56) (( ) 1 1( ) 1
a
ir i s
I sU s K T s
≈+
).
U tom slučaju strukturna shema sa slike 11.26. poprima oblik (Sl.11.29.):
s1 fb
b
TK
+
-
+-
+
sTKK1
m2
a
Ks21
11
Σ+⋅
TKi
ΩUωrGR(s)
Uir
≈
Ia Mm
Mt
Moment tereta Mt predstavlja smetnju regulacijskog kruga.
Copyright: Nedjeljko Perić
61
Digresija: Analogije:
-
+ ∆M
MtMm
♦ ∆M → pogoni rotirajuće mase
-
+ ∆U
Ua
E
♦ ∆U → tjera struju kroz induktivni armaturni krug
Copyright: Nedjeljko Perić
62 Proces kojim upravlja regulator brzine vrtnje ima prijenosnu funkciju:
2 2
1 1 1( )1 2 1
bs
i fb a m
KG s KK T s T s K K T sΣ
=+ +
, (11-62)
gdje je:
♦ Kb - pojačanje povratne veze brzine vrtnje, [Vs];
♦ Tfb - vremenska konstanta filtera povratne vezi brzine vrtnje, [s];
♦ Tm - elektromehanička varemenska konstanta, [s].
(2TΣ i Tfb su male (nedominantne) vremenske konstante). Iz (11-62) slijedi:
22 *
11
ss
m
KGT s T sΣ
= ⋅+
, (11-63)
gdje je: * 2 fbT T TΣ Σ= + , 2b
s
i a
KKK K K
= .
Copyright: Nedjeljko Perić
63 Struktura procesa (11-63) prikladna je za primjenu simetričnog
optimuma.
Za regulator brzine vrtnje
22 2
2
1( ) IR R
I
T sG s KT s+
=
odabere se prema (11-30) i (11-34) (uz a = 2)
*2 4RT TΣ= , (11-64)
2 *2
1 12
mR
s
TKK TΣ
= ⋅ . (11-65)
Copyright: Nedjeljko Perić
64 Prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga brzine vrtnje, uz
parametre PI - regulatora prema (11-64) i (11-65) glasi:
*
* *2 2 *3 3
1( ) 1 4( ) 1 4 8 8
fb
r b
T ss T sU s K T s T s T s
Σ
Ω Σ Σ Σ
+Ω += ⋅
+ + +. (11-66)
Član *(1 )(1 4 )fbT s T sΣ+ + u (11-66) kompenzira se prefiltrom u grani referentne vrijednosti brzine vrtnje:
*
1( )(1 )(1 4 )V
fb
G sT s T sΣ
=+ +
,
pa se dobije:
* *2 2 *3 3
( ) 1 1( ) 1 4 8 8r b
sU s K T s T s T sΩ Σ Σ Σ
Ω= ⋅
+ + +. (11-67)
Copyright: Nedjeljko Perić
65 Grubim strukturnim pojednostavljenjem prijenosne funkcije (11-67) dobije
se:
*
( ) 1 1( ) 1r b S
sU s K T sΩ
Ω≈
+, (11-68)
gdje je: *ST - nadomjesna vremenska konstanta, [s].
*
ST se određuje na analogan način kao u (11-57), tj.:
( )* * */ / 2 / 4
*0 0
2 31 1 1 1 sin43
t T t T t Te dt e e t dtT
Σ Σ Σ∞ ∞
− − −
Σ
∫ ∫⎡ ⎤⎛ ⎞
⎡ ⎤− − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (11-69)
Iz (11-69) slijedi nakon provedenog integriranja:
* * * *2 3 3,7ST T T TΣ Σ Σ= + ≈ . (11-70)
Copyright: Nedjeljko Perić
66 Osnovna svojstva kaskadne regulacije
Prednosti:
a) Utjecaji smetnji koje djeluju na unutarnje regulacijske krugove kompenziraju se u samim tim krugovima i praktički su bez djelovanja na nadređene krugove; podređeni krugovi su brži od nadređenih krugova.
b) Svaka regulirana veličina sustava (to je svaka veličina kojoj je pridružen vlastiti regulator) ograničava se na jednostavan način ugradnjom ograničivača vodeće (referentne) vrijednosti regulirane veličine; ovo je zaštitno svojstvo.
c) Puštanje u pogon i podešavanje parametara sustava obavlja se jednostavno, korak po korak, počev od unutarnjih petlji prema vanjskim.
d) Djelovanje nelinearnih i nestacionarnih članova sustava znatno je ograničeno korištenjem kaskadne regulacije (Unutarnja petlja s jediničnom povratnom vezom uz regulator koji ima integralnu komponentu ima pojačanje jedan, bez obzira da li su neki elementi kruga nelinearni).
Copyright: Nedjeljko Perić
67 Nedostaci:
a) Za svaku reguliranu veličinu potreban je regulator s pripadnim mjernim članom (cijena).
b) Brzina slijeđenja (točnost slijeđenja) opada s brojem kaskada što je posebno važno, primjerice, za slijedne sustave.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
12. ANALIZA I SINTEZA LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA U PROSTORU STANJA
Analiza i sinteza sustava u prostoru stanja spadaju u “suvremene” (“moderne”) metode automatskog upravljanja.
S matematičkog stajališta prikaz dinamičkog sustava u prostoru stanja odgovara pretvorbi diferencijalne jednadžbe n-tog reda u ekvivalentan sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda.
Značajnija je primjena metoda analize i sinteze u prostoru stanja od 1957. godine.
Razlog tome je:
a) pojava moćnih digitalnih računala (mogućnost rješavanja regulacijskih problema povezanih s procesima s više ulaza i više izlaza, kao i s nelinearnim i vremenski promjenjivim procesima);
b) suštinsko značenje pojma stanje dinamičkog sustava:
Copyright: Nedjeljko Perić
2
Fizikalno gledano, stanje dinamičkog sustava određeno je energetskim sadržajem energetskih spremnika
koji postoje u sustavu.
Iz poznavanja stanja sustava u proizvoljnom trenutku t=t0 može se odrediti vladanje sustava za bilo koje drugo vrijeme;
Pri tome moraju biti poznate pobudne veličine sustava.
Stanje sustava s n energetskih spremnika opisuje se s n varijabli stanja;
n varijabli stanja prikazuje se pomoću vektora stanja u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru, tj. u prostoru stanja.
Svako stanje dinamičkog sustava predstavljeno je u prostoru stanja jednom točkom.
Svaka promjena stanja dinamičkog sustava predstavlja se u prostoru stanja dijelom trajektorije.
Copyright: Nedjeljko Perić
3
Primjer 12.1.: Prigušeni mehanički oscilator (Sl. 12.1.) – opis u prostoru stanja
D cf
u(t)
my(t)
D - mehaničko prigušenjecf - konstanta elastičnosti oprugeu(t) - silay(t) - put (izlazna veličina)m - masa
• Prema načelu ravnoteže sila slijedi:
( ) ( ) ( ) ( )fmy t Dy t c y t u t+ + =&& & (12-1a)
odnosno :
1( ) ( ) ( ) ( )fy t u t Dy t c y tm⎡ ⎤= − −⎣ ⎦&& & (12-1b)
• Iz (12-1b) slijedi blokovski prikaz mehaničkog oscilatora (Sl. 12.2):
Copyright: Nedjeljko Perić
4
u +
--
1m
y&& 2xy =& 1xy =
D
cf
(SISO sustav, kompletan unutarnji opis sustava).
Pri tome pomak 1( ) ( )x t y t= predstavlja mjeru potencijalne energije opruge, a brzina 2 ( ) ( )x t y t= & predstavlja mjeru kinetičke energije mase.
Stoga je prirodan odabir varijabli stanja kako slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
5
1 2( )x t x=& ,
2 1 21( ) ( ) ( ) ( )fc Dx t x t x t u t
m m m= − − +& . (12-2)
Matrični zapis sustava jednadžbi (12-2) ima oblik:
1 1
2 2
0 1( ) ( ) 0( )
( ) ( ) 1f
x t x tu t
c m D mx t x t m⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
&
&, (12-3)
odnosno:
( ) ( ) ( )x t A x t b u t= ⋅ + ⋅&
( ) ( ) ( )Ty t c x t d u t= ⋅ + ⋅
(U primjeru 12.1 je : cT = [1 0], d = 0 )
Copyright: Nedjeljko Perić
6 Za linearni, vremenski nepromjenljivi MIMO sustav s ulaznim vektorom u(t) i
izlaznim vektorom y(t) dobije se vektorska diferencijalna jednadžba stanja:
( ) ( ) ( )x t A x t B u t= ⋅ + ⋅& , (3-11)
dok je izlazna jednadžba (jednadžba osmatranja, jednadžba mjerenja) :
( ) ( ) ( )y t C x t D u t= ⋅ + ⋅ , (3-12)
gdje je [ ][ ]
1
1
( ) ( ) . . . . . . ( )
( ) ( ) . . . . . . ( )
Tr
Tm
u t u t u t
y t y t y t
=
=.
Jednadžba stanja (3-11) opisuje dinamiku sustava. Ako je ulazni (upravljački) vektor u(t)=0 onda se dobije homogena diferencijalna jednadžba (Sustav je autonoman):
( ) ( )x t A x t= ⋅& , x(t0)=x0 (12-4)
Copyright: Nedjeljko Perić
7 Homogena diferencijalna jednadžba opisuje vlastito vladanje sustava
(vlastito “istitravanje” sustava).
Prema tome, matrica A sadrži cjelovitu informaciju o vlastitom vladanju sustava (ona je primjerice ključna za stabilnost sustava).
Matrica B opisuje samo način djelovanja vanjske pobude (ulaznih veličina).
Izlazna jednadžba prikazuje odnos između izlaznih veličina i varijabli stanja (preko matrice C ).
Ona sadrži i komponentu koja neposredno prosljeđuje ulazne veličine na izlaz (preko matrice D - sustavi sa “skokom” na izlazu.).
Blokovski prikaz MIMO sustava prikazan je na slici 12.3:
Copyright: Nedjeljko Perić
8
B C
A
D
u xx&x0
y
+
+++ ∫ dt... ++
Sl. 12.3. Blokovski prikaz MIMO sustava
Ako je barem jedan element matrica A , B , C i D funkcija vremena, onda je dinamički sustav vremenski promjenljiv.
Vremenski promjenljiv sustav u općem obliku opisuje se na sljedeći način:
Copyright: Nedjeljko Perić
9
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u t= ⋅ + ⋅& , (12-5)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t C t x t D t u t= ⋅ + ⋅ (12-6)
Najopćenitiji oblik opisa dinamičkog sustava u prostoru stanja, koji uključuje i nelinearne dinamičke sustave glasi:
[ ]1( ) ( ), ( ),x t f x t u t t=& , (12-7)
[ ]2( ) ( ), ( ),y t f x t u t t= , (12-8)
gdje su :
f1 , f2 - proizvoljne linearne ili nelinearne vektorske funkcije dimenzije n, odnosno m.
Copyright: Nedjeljko Perić
10
12.1. Rješenje diferencijalne jednadžbe stanja
Rješenje u vremenskom području (direktno rješenje)
Pretpostavimo sustav prvog reda opisan skalarnom diferencijalnom jednadžbom:
( ) ( ) ( )x t a x t b u t= ⋅ + ⋅& , x(0) = x0 . (12-9)
Primjenom L-transformacije slijedi:
0( ) ( ) ( )sX s x aX s bU s− = + ,
odnosno
01 1( ) ( )X s x bU s
s a s a= +
− −. (12-10)
Inverznom L-transformacijom dobije se:
Copyright: Nedjeljko Perić
11
( )0 0
( ) ( )tat a tx t e x e bu dτ τ τ−= + ∫ . (12-11)
Pretpostavimo da i matrična diferencijalna jednadžba ima istu strukturu rješenja kao i skalarna diferencijalna jednadžba (12-11):
( )0 0
( ) ( )tAt A tx t e x e Bu dτ τ τ−= + ∫ . (12-12)
(zamjena skalara vektorima, odnosno matricama)
Dokaz: Iz (12-5) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u t= ⋅ + ⋅& ) slijedi :
( ) ( ) ( ) Atx t Ax t Bu t e−− = ⋅&
[ ]( ) ( ) ( )At Ate x t Ax t e Bu t− −⋅ − =&
odakle se uz [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )At At At Atd e x t A e x t e x t e x t Ax tdt
− − − −⎡ ⎤⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ −⎣ ⎦ & &
Copyright: Nedjeljko Perić
12
dobije: 0
( ) ( ) tAt Atd e x t e Bu t
dt− −⎡ ⎤⋅ = ⋅⎣ ⎦ ∫ .
Nakon integriranja slijedi:
0
( ) (0) ( ) tAt A Ate x t x e Bu d eτ τ τ− −− = ⋅∫
( )
0( ) (0) ( )
tAt A tx t e x e Bu dτ τ τ−= + ∫ .
Time je dokazana valjanost (12-12).
U (12-12) je ( ) Att eΦ = , (12-13)
prijelazna ili fundamentalna matrica (engl. transition matrix; fundamental matrix; njem. Übergangsmatrix; Fundamentalmatrix).
Copyright: Nedjeljko Perić
13 Iz (12-12) i (12-13) slijedi:
0
vlastito gibanje din. sustava prisilni odziv (slobodni odziv, (partikularno rješenje)homogeno rješenje)
( ) ( ) (0) ( ) ( )t
x t t x t Bu dτ τ τ= Φ + Φ −∫14243 144424443. (12-14)
Stanja sustava mogu se odrediti u bilo kojem trenutku t ako je poznato početno stanje x(0) i ulazni vektor u(t).
Za slučaj t0≠ 0 , rješenje jednadžbe stanja je:
0
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
tx t t t x t t Bu dτ τ τ= Φ − + Φ −∫ . (12-15)
Pri numeričkom rješavanju jednadžbi (12-14) i (12-15) često se koristi sljedeći izraz:
2 3
2 3
02! 3! !At t t te I At A A A
νν
ν ν
∞
=
= + + + + =∑K , (12-16)
gdje je I - jedinična matrica.
Copyright: Nedjeljko Perić
14 Svojstva fundamentalne matrice
a) 0(0) Ae I⋅Φ = = (12-17)
b) 1 1 ( )( ) ( ) ( )At A tt e e t− − −Φ = = = Φ − (12-18) (Φ(t) se može uvijek invertirati)
c) ( ) ( )k Aktt e ktΦ = = Φ (12-19)
d) Φ(t1)˙Φ(t2) = Φ(t2)˙Φ(t1) = 1 2( )A t te + = Φ(t1+t2) (12-20)
e) Φ(t2-t1)˙ Φ(t1-t0) = Φ(t2-t0) (12-21)
Copyright: Nedjeljko Perić
15 Rješenje u frekvencijskom području (primjena L-transformacije)
Iz jednadžbi (3-11) i (3-12) primjenom L-transformacije slijedi:
( ) (0) ( ) ( )sX s x AX s BU s− = + , (12-22)
( ) ( ) ( )Y s C X s DU s= + . (12-23)
Iz (12-22) dobije se (rješenje jednadžbe stanja u frekvencijskom području):
1 1
vlastito gibanje prisilni odziv
( ) ( ) (0) ( ) ( )X s sI A x sI A BU s− −= − + −1442443 1442443 . (12-24)
Iz (12-24) slijedi: 11( ) ( )t L sI A −−Φ = − , (12-25)
odnosno (rezolventa): 1( ) ( ) ( )L t s sI A −Φ = Φ = − . (12-26)
(matrica (sI - A) ne smije biti singularna)
Copyright: Nedjeljko Perić
16
Iz (12-26) slijedi: 1( ) ( )s adj sI A
sI AΦ = −
−, (12-27)
gdje je | sI - A | = 0 karakteristična jednadžba sustava.
Prijenosna matrica sustava G(s) (prema izrazu (4-69)) može se dobiti uvrštenjem (12-22) u (12-23) uz x(0) = 0:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
Y s C X s DU sY s C s BU s DU s
X s s BU s= + ⎫
⇒ = Φ +⎬= Φ ⎭
Nakon preuređenja slijedi:
1( ) ( ) ( )( )
Y s G s C sI A B DU s
−= = − + , (12-28)
odnosno:
( ) ( )G s C s B D= Φ + . (12-29)
Copyright: Nedjeljko Perić
17
12.2. Sinteza linearnih kontinuiranih sustava u prostoru stanja
Ako je proces opisan u prostoru stanja pomoću jednadžbi:
x Ax Bu= +& , (12-30)
y C x Du= + (12-31)
onda se za njegovo upravljanje mogu koristiti dvije mogućnosti:
a) povratna veza preko vektora stanja x
b) povratna veza preko izlaznog vektora y
Te mogućnosti su prikazane slikama 12.4 i 12.5.:
Copyright: Nedjeljko Perić
18
V B C
A
F
D
xR u xx&x0
y
+
+++
+-
Regulator
Proces
++
Sl. 12.4.
Copyright: Nedjeljko Perić
19
V' B C
A
F'
D
xR u xx&x0
y
+
+++
+-
Regulator
Proces
+ +
Sl. 12.5.
Matrice F(rxn) i F’(rxm) na slikama 12.4. i 12.5. nazivaju se matricama povratnih veza (matrica regulatora). Ove matrice sadrže konstantne parametre pojačanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
20
• Obje blokovske strukture imaju u granama referentnih vrijednosti prefiltar opisan matricama konstanti:
V (r x n) ili V’ (r x m)
Ovi prefiltri projektiraju se tako da izlazni vektor y ima istu vrijednost u stacionarnom stanju kao i vektor referentnih vrijednosti xR (m x 1).
Copyright: Nedjeljko Perić
21
Sustav upravljanja s povratnom vezom preko vektora stanja
Iz slike 12.4 slijedi vektor izvršnih veličina :
u = V xR - F x . (12-32)
Uvrštenjem (12-32) u (12-30) i (12-31) dobije se opis sustava u prostoru stanja s povratnom vezom preko vektora stanja:
( ) Rx A BF x BV x= − +& , (12-33)
( ) Ry C DF x DV x= − + . (12-34)
Ove dvije jednadžbe imaju sličnu strukturu kao (12-30) i (12-31).
Prelaskom s otvorenog na zatvoreni sustav dobije se:
A → (A - B F ) , B→ B V, C → (C - D F ) , D→ D V , (12-35)
Copyright: Nedjeljko Perić
22 Iz korespondencija (12-35) slijedi :
stabilnost zatvorenog sustava određuje se pomoću vlastitih vrijednosti sistemske matrice zatvorenog sustava (A - B F ) korištenjem odgovarajuće karakteristične jednadžbe:
P(s) = | sI - (A - B F ) | = 0. (12-36)
upravljivost zatvorenog sustava određuje se pomoću matrica,(A - B F ) i B V korištenjem matrice upravljivosti:
2 11 ( ) ( ) ( )nS BV A BF BV A BF BV A BF BV−⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦% K . (12-37)
osmotrivost zatvorenog sustava određuje se pomoću matrica (A - B F ) i (C - D F ) korištenjem matrice osmotrivosti:
1
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nT T T T TS C DF A BF C DF A BF C DF−⎡ ⎤⎡ ⎤= − − − − −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
% K (12-38)
Copyright: Nedjeljko Perić
23 Sustav upravljanja s povratnom vezom preko izlaznog vektora
Iz slike 12.5 slijedi vektor izvršnih veličina:
u = V’xR - F’ y. (12-39)
Iz (12-30) i (12-31), zajedno s (12-39), slijedi:
' '( )Rx Ax B V x F y= + ⋅ −& , (12-40)
' '( )Ry C x D V x F y= + ⋅ − (12-41)
Jednadžba (12-41) napisana u drugom obliku glasi:
y = (I + D F’ )-1 (C x + D V’ xR ) . (12-42)
Uvrštenjem (12-42) u (12-40) dobije se:
1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) .R R
R
x Ax BV x BF I DF C x DV x
A BF I DF C x B I F I DF D V x
−
− −
′ ′ ′ ′= + − + + =
′ ′ ′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
& (12-43)
Copyright: Nedjeljko Perić
24
Uz identitet: I - F’ (I + D F’ )-1 D = (I + F’ D )-1
jednadžba stanja (12-43) poprima oblik:
1 1( ) ( ) Rx A BF I DF C x B I F D V x− −′ ′ ′ ′⎡ ⎤= − + + +⎣ ⎦& . (12-44)
Iz jednadžbi zatvorenog sustava (12-42) i (12-44) te jednadžbi otvorenog sustava (12-30) i (12-31) mogu se postaviti sljedeće korespondencije:
A → A - B F’ (I + D F’)-1 C ,
B → B (I + F’D)-1 V’ ,
C → (I + D F’)-1 C ,
D→ (I + D F’)-1 D V’ .
(12-45)
Pomoću korespondencija (12-45) mogu se i za ovaj slučaj odrediti stabilnost, upravljivost i osmotrivost.
Copyright: Nedjeljko Perić
25 Određivanje prefiltra
Razmotrit će se izračunavanje matrice prefiltra V za strukturu prema slici 12.4. (povratna veza preko vektora stanja).
Pri tome se pretpostavlja sljedeće:
a) regulator (matrica povratnih veza) je poznat
b) broj izvršnih veličina jednak je broju vodećih veličina (r = m)
c) matrica D = 0 .
Pri određivanju prefiltera V polazi se od jednadžbi (12-33) ( ( ) Rx A BF x BV x= − +& ) i (12-34) ( ) Ry C DF x DV x= − + koje, uz D = 0 , poprimaju oblik:
( ) Rx A BF x BV x= − +& , (12-46)
y C x= . (12-47)
Copyright: Nedjeljko Perić
26
U stacionarnom stanju ( 0x =& ) treba biti: !
Ry x= .
Prema tome, iz (12-46) i (12-47) slijedi:
0 = (A - B F ) x + B V xR (12-48)
y = xR = C x. (12-49)
Iz (12-48) dobije se: x = (B F - A )-1 B V xR (12-48a)
što nakon uvrštenja u (12-49) daje:
y = xR = C (B F - A )-1 B V xR. (12-50)
Za ispunjenje zahtjeva !
Ry x= mora vrijediti:
C (B F - A )-1 B V = I (12-51)
Iz (12-51) dobije se matrica prefiltra:
V = [C (B F – A )-1 B ]-1 (12-52)
Copyright: Nedjeljko Perić
27
12.2.1. Osnovna zamisao sinteze regulatora
Struktura upravljanja prema slici 12.5 s povratnom vezom preko izlaznog vektora y odgovara klasičnom upravljanju linearnog multivarijabilnog sustava.
Problem sprege među varijablama procesa: Teži se, pomoću upravljanja, raspregnuti sprege i komponente yi(t) učiniti međusobno neovisnim tj. osigurati da varijabla ui(t) utječe samo na yi(t).
Za razliku od klasične regulacije izlaznog vektora, postupak sinteze linearnog sustava u prostoru stanja temelji se na povratnoj vezi po varijablama stanja (Sl. 12.4).
Varijable stanja opisuju u cijelosti dinamičko vladanje procesa.
Ovakva se struktura naziva upravljanjem (regulacijom) po varijablama stanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
28
Prema slici 12.4 matrica F (r × n ) (matrica konstantnih parametara) obavlja zadaću regulatora, koji je u odnosu na varijable stanja P-regulator.
Standardni postupci u prostoru stanja pretpostavljaju da ne postoje signali vodeće vrijednosti i poremećaja za t >0.
U tom je slučaju uloga regulatora F da mijenja vlastitu dinamiku zatvorenog sustava upravljanja.
Homogena diferencijalna jednadžba, koja opisuje vlastito vladanje zatvorenog sustava upravljanja, dobije se iz (12-33) ( ( ) Rx A BF x BV x= − +& ):
0( ) , (0)x A BF x Ax x x= − = =%& . (12-52a)
Sada se zadaća upravljanja po varijablama stanja može formulirati kako slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
29 a) Neka se sustav nalazi u početnom stanju x0 u t = 0, koje je različito od
željenog stanja x (t) = xR(t) = 0 .
b) Sustav se treba prevesti iz početnog stanja x0 u željeno stanje xR ≡ 0 .
c) Pri tome se postavljaju određeni zahtjevi na prijelazni proces.
d) Da bi se postiglo željeno dinamičko vladanje potrebno je da vektor stanja x(t) djeluje na proces preko proporcionalnog regulatora prijenosne matrice F u obliku vektora upravljanja
u(t) = - F x(t) .
Za rješenje navedene zadaće upravljanja afirmirala su se, načelno, tri postupka sinteze regulatora.
Copyright: Nedjeljko Perić
30
12.2.2 Postupci za sintezu regulatora - pregled
Postupak zadavanja polova
Dinamičko vladanje zatvorenog sustava upravljanja isključivo je određeno položajem njegovih polova, odnosno položajem vlastitih vrijednosti njegove sistemske matrice A% (prema (12-52);
0( ) , (0)x A BF x Ax x x= − = =%& ).
Elementima fij matrice regulatora F mogu se polovi otvorenog sustava pomicati na željena mjesta u s-ravnini. Ako se želi pomicati sve polove, tada otvoreni sustav mora biti upravljiv.
Sinteza regulatora postupkom zadavanja polova obavlja se tako da se za zadane željene polove si zatvorenog sustava upravljanja izračunaju pojačanja regulatora fij.
Copyright: Nedjeljko Perić
31
Modalno upravljanje Osnovna je zamisao modalnog upravljanja da se postojeće varijable
stanja xi(t) otvorenog sustava prikladno transformiraju tako da se dobiju nove varijable stanja xi
*(t) koje su raspregnute i koje se mogu odvojeno regulirati (Sl. 12.6.) (x*
r sadrži r elemenata od x*.):
Obrnutatransformacija F Transformacija
x(t)
xr*(t)u*(t)
u(t)
Budući da vektor upravljanja u posjeduje samo r komponenata, ne može se
utjecati neovisno na više od r modalnih varijabli stanja. Svaka od r odabranih modalnih varijabli stanja xi
*(t) djeluje točno na jednu modalnu upravljačku veličinu ui
*(t), pa je matrica regulatora F dijagonalna matrica (ako su vlastite vrijednosti otvorenog sustava jednostruke).
U slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti općenito nije moguće takvo cjelovito rasprezanje jednadžbi stanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
32 Optimalni regulator stanja prema kvadratičnom kriteriju kakvoće
Integralni kriterij za sustave s jednim ulazom i jednim izlazom:
!2 2
0( ) ( )I e t u t dt Minβ
∞⎡ ⎤= + =⎣ ⎦∫ . (12-53)
(I=I7 - vidi tablicu 8.1)
primijenjen na sustave s više ulaza i više izlaza ima oblik:
!
0( ) ( ) ( ) ( )T TI x t Qx t u t Bu t dt Min
∞⎡ ⎤= + =⎣ ⎦∫ . (12-54)
(Optimal Linear Quadratic Regulator (LQR))
Tada se problem projektiranja optimalnog regulatora stanja može formulirati na sljedeći način:
Copyright: Nedjeljko Perić
33 a) Za otvoreni sustav opisan s (12-30) (x Ax Bu= +& ) i (12-31)
( y C x Du= + ) potrebno je odrediti matricu regulatora F tako da optimalni vektor upravljanja:
uopt = -F x(t) , (12-55)
prevede sustav iz početnog stanja x0 u mirno stanje, a da pri tome integral (12-54) ima minimalnu vrijednost.
b) Matrice Q i B su pozitivno definitne simetrične težinske matrice (često imaju dijagonalni oblik).
Copyright: Nedjeljko Perić
34
12.2.3. Zadavanje polova za SISO sustave u upravljačkom kanoničkom obliku
Za sustav prikazan pomoću upravljačkog kanoničkog oblika (engl. control canonical form; njem. Regelungs normalform) može se na relativno lagan način odrediti matricu regulatora.
Opis procesa pomoću upravljačkog kanoničkog oblika (Frobeniusov oblik) glasi:
( ) ( ) ( )c cx t A x t b u t= ⋅ + ⋅& , (12 - 56)
( ) ( )Tcy t c x t= ⋅ , (d=0) (12 - 57)
gdje je:
Copyright: Nedjeljko Perić
35
[ ]0 1 2 3 1
1 2 3
0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0
, ,0
0 0 0 0 0 11
.
c c
n
Tc n
A b
a a a a a
c c c c c−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
=
L
L
L
M M M M O M
M
L
L L
Za regulator stanja dobije se, analogno (12 -32) (u = V xR - F x):
TR c
u vx f x= − . (12 - 58)
Jednadžba stanja za zatvoreni sustav, u skladu s (12-33) ( ( ) Rx A BF x BV x= − +& ), glasi:
( )Tc Rc cc
x A b f x b vx= − +& . (12-59)
Copyright: Nedjeljko Perić
36 Karakteristična jednadžba zatvorenog sustava dobije se prema (12 - 36):
( )( ) 0Tc c c
P s sI A b f= − − = . (12 - 60)
Budući da je regulator određen vektorom povratne veze:
[ ]1 2T
ncf f f f= L , (12 - 61)
sistemska matrica zatvorenog sustava glasi:
( ) ( ) ( )0 1 1 2 1
0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Tc c c
n n
A b f
a f a f a f−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
L
L
L
M M M M O M
L
LLL
. (12 - 62)
Matrica (12 - 62) također ima upravljački kanonički oblik.
Copyright: Nedjeljko Perić
37 Iz (12 - 60) i (12 - 62) slijedi karakteristična jednadžba zatvorenog sustava:
11 0 1( ) ( ) ( ) ( ) 0T n n
c c n ncP s sI A b f s a f s a f−
−= − − = + + + + + =L . (12 - 63)
Ako su zadani polovi si zatvorenog sustava onda je poznat pripadajući karakteristični polinom (karakteristična jednadžba):
11 0( ) 0n n
nP s s p s p−−= + + + =K . (12 - 64)
Izjednačenjem koeficijenata uz iste potencije ˝s˝ u jednadžbama (12 - 63) i (12 - 64) dobije se:
fν = pν-1 - aν-1 , za ν = 1, 2, . . . n. (12 - 65)
Prema tome, izraz za vektor povratne veze glasi:
[ ]0 0 1 1 1 1( )( ) ( )Tn nc
f p a p a p a− −= − − −K . (12 - 66)
Copyright: Nedjeljko Perić
38 Primjer 12.2:
Za proces opisan prijenosnom funkcijom
5( )
( 1)( 2)sG ss s s
=+ +
potrebno je projektirati regulator stanja tako da polovi zatvorenog sustava imaju vrijednosti:
s1 = -3 i s2,3 = -1± j .
Jednadžba stanja procesa prikazana pomoću upravljačkog kanoničkog oblika glasi:
0 1 0 00 0 1 00 2 3 1
x x u⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
& .
Traži se: [ ]1 2 3T
cf f f f= .
Copyright: Nedjeljko Perić
39
Prema (12-63) ( 11 0 1( ) ( ) ( ) ( ) 0T n n
c n nc cP s sI A b f s a f s a f−
−= − − = + + + + + =L )dobije se:
P(s) = s3 + (3 + f3)s2 + (2 + f2) + f1 .
Isto tako, prema (12-64) ( 11 0( ) 0n n
nP s s p s p−−= + + + =K ), uz zadane
polove zatvorenog sustava , slijedi:
P(s) = (s+3)(s+1+j)(s+1-j)=0 ,
s3 + 5s2 + 8s + 6 = 0 .
Izjednačenjem koeficijenata prema (12 - 65) dobije se:
f1 = p0 - a0 = 6
f2 = p1 - a1 = 8 - 2 = 6
f3 = p2 - a2 = 5 - 3 = 2.
odnosno: fcT = [6 6 2] .
Copyright: Nedjeljko Perić
40 Ako proces nije opisan pomoću upravljačkog kanoničkog oblika, tada se
svaki proizvoljni prikaz u prostoru stanja:
T
x A x bu
y c x
= +
=
&
može svesti na kanonički upravljački oblik pomoću transformacije:
1cx T x−= . (12 -67)
U tom se slučaju dobije:
1 1cc c c cx T AT x T bu A x b u− −= + = +& , (12 - 68)
T Tc c cy c T x c x= = . (12 - 69)
Copyright: Nedjeljko Perić
41
12.2.4. Zadavanje polova za SISO sustave u proizvoljnom prikazu u prostoru stanja
Iz (12 - 68) i (12 - 69) slijedi:
1 1 1c cT AT A T A A T− − −= ⇒ = , (12 - 70)
1cT b b− = , (12 - 71)
T Tcc T c= . (12 - 72)
Iz (12 - 70) dobije se:
Copyright: Nedjeljko Perić
42
1 1
2 2
3 3
0 1 2 3 1
0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0
0 0 0 0 1
T T
T T
T T
T Tnn n
t t
t t
t tA
a a a a at t−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
L
L
M M M M O MM M
LM M
L
. (12 - 73)
(tiT su redni vektori matrice T-1) Iz (12 - 73) slijedi:
1 2
1
0 11
T T
T Tn nT T T
nn n
t A t
t A t
t A a t a t−
−
=
=
= − − − −
M
L
(12 - 74)
U (12 - 74) može se svaki tiT izraziti pomoću t1T, kako slijedi.
Copyright: Nedjeljko Perić
43 Iz (12 -71) i (12 - 74) dobije se:
1
2 1
21 1
11
0
0
0
1
T
T T
T T nnT T nn
t b
t b t Ab
t b t A b
t b t A b
−−
−
=
= =
= =
= =
M (12 - 75)
Jednadžbe (12 - 75) u sažetom obliku glase:
[ ]11 0 0 1T n T
ct b Ab A b b−⎡ ⎤ = =⎣ ⎦L L , (12 - 76)
gdje je:
11
nS b Ab A b−⎡ ⎤= ⎣ ⎦L (12 - 77)
matrica upravljivosti.
Copyright: Nedjeljko Perić
44 Iz (12 - 76) dobije se :
[ ] 11 1 10 0 1T Tt S s−= =L . (12 - 78)
Prema tome, t1T jednako je posljednjem retku invertirane matrice upravljivosti.
Iz (12 - 75) i (12 - 78) slijedi izraz za matricu transformacije:
1
1 1
11
T
T
T n
s
s AT
s A
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M. (12 - 79)
Na temelju relacije (12 - 79) može se na jednostavan način projektirati regulator stanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
45 Za proces opisan pomoću upravljačkog kanoničkog oblika (12 - 68) dobije se
uz (12 - 58):
TR cc
u vx f x= − . (12 - 80)
Iz (12 - 67) i (12 - 80) slijedi:
1T TR Rc
u vx f T x vx f x−= − = − , (12 - 81)
gdje je:
1T T
cf f T −= . (12 - 82)
Ako se u (12 - 82) uvrsti (12 - 66) i (12 - 79) dobije se:
[ ]1
10 0 1 1 0 0 1 1 1 11 1 1
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T
T T T T nn n n n
T n
sf p a p a p a s p a s A p a s A
s A
−− − − −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
= − − = − + − + + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
L M L
Copyright: Nedjeljko Perić
46 Iz ovoga izraza slijedi nakon preuređenja:
1
1 1 10 1 1
11 1 10 1 1
( )
( ) .
T T T T nn
T T T nn
f p s p s A p s A
a s a s A a s A
−−
−−
= + + + −
− + + +
L
L (12 - 83)
Pomoću izraza dobivenog (prema (12 - 75)) 1
1T T iit t A −= ,
uzimajući u obzir (12 - 78), posljednja relacija u (12 - 74) poprima oblik:
1
1 1
11 1 10 1 1( ) .
T T n T nn
T T T nn
t A t A s A
a s a s A a s A
−
−−
= = =
=− + + +L (12 - 84)
Izraz (12 - 84) jednak je drugoj zagradi u (12 - 83) pa se dobije iz (12 - 83) (s1
T → prema (12 - 78), [ ] 11 1 10 0 1T Tt S s−= =L ):
10 1 11 ( )T T n n
nf s p I p A p A A−−= + + + +L , (12 - 85)
Copyright: Nedjeljko Perić
47 odnosno:
1 ( )T Tf s P A= . (12 - 86)
Ackermannova formula (1972.)
Na osnovi izloženog slijedi da se vektor povratne veze (parametri regulatora) dobije tako da se tvori zadnji redak inverzne matrice upravljanja S1
-1 kojega treba pomnožiti s P(A).
Copyright: Nedjeljko Perić
48
Primjer 12.3:
Proces kojim se upravlja jednak je procesu iz primjera 12.2. Neka su varijable stanja izabrane prema slici 12.7:
u x1 x2 x3=y
11+s 2
1+s
5s
1 1
2 1 2
3 2
25
x x ux x xx x
= − += −=
&
&
&
Prema jednadžbi stanja:
x A x b u= ⋅ + ⋅&
Copyright: Nedjeljko Perić
49 slijedi:
1 1
2 2
3 3
1 0 0 11 2 0 00 5 0 0
bA
x xx x ux x
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
&
&
&1442443
.
Za određivanje s1T potrebno je odrediti A⋅b i A2⋅b = A⋅A⋅b :
2
1 0 0 1 1 1 0 0 1 11 2 0 0 1 , 1 2 0 1 30 5 0 0 0 0 5 0 0 5
Ab A b− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
Iz (12 - 75) slijedi, uz t1T = s1T = [s1,1 s1,2 s1,3]:
1
12
1
0,01
T
T
T
s b
s A b
s A b
===
Copyright: Nedjeljko Perić
50 iz čega se dobije:
1,1 1,2 1,3 1,1
1,1 1,2 1,3 1,2
1,1 1,2 1,3 1,3
10 0 0 ,0
11 0 0 ,0
113 1 .5
5
s s s s
s s s s
s s s s
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⇒ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⇒ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ − = ⇒ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Prema tome, dobije se:
110 05
Ts ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Copyright: Nedjeljko Perić
51 Vektor povratne veze određen prema (12 – 85)
( 10 1 11 ( )T T n n
nf s p I p A p A A−−= + + + +L ) glasi:
2 31 1 1 10 1 2
T T T T Tf p s I p s A p s A s A= + + +
U prethodnom izrazu je:
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
1
21
31
1 0 010 0 1 2 0 0 1 05
0 5 0
0 1 0 1 2 0
1 2 0 3 4 0 .
T
T
T
s A
s A A
s A A
−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
= = −
= − = −
Neka je dinamika zatvorenog sustava (položaj polova) određena karakterističnim polinomom (p0 = 4, p1 = 6, p2 = 4):
Copyright: Nedjeljko Perić
52
2 3( ) 4 6 4P s s s s= + + + .
U tom slučaju dobije se vektor povratne veze:
[ ] [ ] [ ] [ ]4 0 0 1/ 5 6 0 1 0 4 1 2 0 3 4 0Tf = + + − + −
[ ]1 2 4 / 5Tf = .
Copyright: Nedjeljko Perić
53
12.3. Rekonstrukcija stanja pomoću estimatora
(engl. estimator, observer; njem. Beobachter)
Pri projektiranju regulatora stanja potrebno je imati na raspolaganju sve varijable stanja.
Međutim, često u tehničkim postrojenjima sve varijable stanja nisu nužno fizikalne mjerljive veličine ili su te veličine teško mjerljive.
Primjenom estimatora stanja (observera stanja) može se vektor stanja x(t) opisati odgovarajućom rekonstrukcijom stanja pomoću vektora x(t), a na temelju poznavanja procesa (poznate matrice A, B, C i D) i mjerljivih ulazno/izlaznih vektora procesa u(t) i y(t) (Sl.12.8.):
(Luenberger, D.: An introduction to observers, IEEE Trans. on Automatic Control AC-16, S. 596 - 602,1971.)
Copyright: Nedjeljko Perić
54
B C
A
y++
Proces++
FE
x& x
)0(x
BE=B CE=C
AE=A
+ +
++x& x
ˆ(0)x
y
x
Estimator
u
+
-
+
y∆
Sl. 12.8.
Copyright: Nedjeljko Perić
55 Prema slici 12.8 paralelno procesu spojen je estimator koji se pobuđuje istim
ulaznim vektorom u(t) kao i proces.
Razlika obaju izlaznih vektora vodi se na ulaz estimatora preko matrice pojačanja FE, tako da se dobije:
ˆ( ) ( )y t y t≈ . (12 - 87)
Budući da su matrice estimatora identične matricama procesa (AE = A, BE = B, CE = C), slijedi (jednostavnosti radi, pretpostavlja se D = 0):
ˆ( ) ( )x t x t≈ . (12 - 88)
Prema slici 12.8. dobije se jednadžba stanja estimatora:
ˆ ˆ ˆ( )Ex A x B u F y y= + + −& . (12 - 89)
Kako je y C x= i ˆ ˆy C x= jednadžba (12 - 89) poprima oblik:
Copyright: Nedjeljko Perić
56
ˆ ˆ ˆ( )Ex A x B u F C x x= + + −& . (12 - 90)
Iz (12 - 90) proizlazi da u slučaju ˆ(0) (0)x x= jednadžba stanja estimatora prelazi u jednadžbu stanja procesa.
Povratna veza preko matrice FE djeluje jedino u slučaju ˆ(0) (0)x x≠ .
Prema slici 12.8, korištenjem (12 - 89), dobije se:
ˆ ˆ ˆ( ) ( )Ex x A x x F C x x− = − − −&& , (12 - 91)
gdje je:
ˆ ˆe x x= − (12 - 92)
pogreška rekonstrukcije (pogreška procjene).
Iz (12 - 91) i (12 - 92) slijedi jednadžba stanja:
Copyright: Nedjeljko Perić
57
ˆ ˆ( )Ee A F C e= −& . (12 - 93)
Ako sve vlastite vrijednosti matrice (A - FE⋅C) imaju negativne realne dijelove tada vrijedi:
ˆlim ( ) 0t
e t→∞
= , (12 - 94)
a time su ispunjene i jednadžbe (12 - 87) i (12 - 88).
U matrici (A - FE⋅C) jedino se elementi matrice pojačanja FE mogu mijenjati.
Ako je proces kojim se upravlja osmotriv, tada se može odrediti takva matrica FE kojom se postavljaju željeni polovi estimatora odnosno željena vlastita dinamika estimatora.
Na taj se način utječe i na konvergenciju jednadžbe (12 - 94).
Matrica FE može se odrediti prema Ackermannovoj formuli.
Copyright: Nedjeljko Perić
58
Svrsishodno je odabrati vlastite vrijednosti matrice (A - FE⋅C) tako da one leže u s - ravnini lijevo od vlastitih vrijednosti matrice procesa A. Na taj način estimator postaje brži od procesa.
Iz jednadžbe (12 - 93) slijedi karakteristična jednadžba estimatora:
( ) 0E EP s sI A F C= − + = . (12 - 95)
Primjer 12.4:
Zadan je sustav s jednim ulazom i jednim izlazom:
[ ]0 1 0, , 2 0 , 0
2 1 1TA B b C c d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
Vlastite vrijednosti estimatora trebaju biti: 1 2 8.s s= =−
Traži se matrica pojačanja: 1
2
EE E
E
fF f
f⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Copyright: Nedjeljko Perić
59 Iz (12 - 95) slijedi karakteristična jednadžba traženog estimatora:
1
2
21 1 2
2 1( )
2 2 1
(2 1) (2 2 2) 0
EE E
E
E E E
s fP s sI A F C
f s
s f s f f
+ −= − + = =
+ +
= + + + + + =
S druge strane, karakteristična jednadžba estimatora uz zadane vlastite vrijednosti glasi:
21 2( ) ( )( ) 16 64EP s s s s s s s= − − = + +
Izjednačenjem odgovarajućih koeficijenata dviju karakterističnih jednadžbi dobije se:
1 1
1 2 2
2 1 16 7.5;
2 2 2 64 23.5 .
E E
E E E
f f
f f f
+ = ⇒ =
+ + = ⇒ =
Copyright: Nedjeljko Perić
60
Na slici 12.9. (desno) prikazane su egzaktne i estimirane varijable stanja za početne uvjete:
0.4 0
ˆ(0) , (0)0 0
x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Copyright: Nedjeljko Perić
61
12.3.1. Zatvoreni sustav upravljanja s estimatorom stanja Zatvoreni sustav upravljanja s estimatorom stanja prikazan je na slici 12.10:
B C
A
y++
Proces++
FE
x& x
)0(x
BE=B CE=C
AE=A
+ +
++ x
ˆ(0)x
y
y∆
x
Estimator
u
+
-
+
F
VRx
+ -
x&
Copyright: Nedjeljko Perić
62
Ulaz u matricu regulatora F je procijenjeni vektor stanja x (umjesto x, kao na slici 12.4.). Ukupni sustav je reda 2n.
Za proces i za estimator mogu se prema slici 12.10. postaviti jednadžbe stanja:
ˆ Rx A x B F x B V x= − +& , (12 - 96)
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) .E Rx A x F C x x B F x BV x= + − − +& (12 - 97)
Iz (12 - 96) i (12 - 97) slijedi:
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )E Ee x x A x x F C x x A F C e= − = − − − = −&& &
što odgovara jednadžbi (12 - 93) ( ˆ ˆ( )Ee A F C e= −& ).
Jednadžba (12 - 96), uz ˆ ˆx x e= − , poprima oblik:
ˆ( ) Rx A B F x B F e B V x= − + +& (12 - 98)
Copyright: Nedjeljko Perić
63 Jednadžbe (12 - 93) i (12 - 98) mogu se prikazati jedinstvenom jednadžbom
reda 2n :
( )
ˆ0 ( ) 0ˆ RE
x A BF BF x BVx
A F C ee⎡ ⎤ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
&
& . (12 - 99)
Za ispitivanje stabilnosti sustava koristi se karakteristična jednadžba:
( )( )
0 ( )
( )0 ( )
uE
E
A BF BFP s sI
A F C
sI A BF BFsI A F C
−⎡ ⎤= − =⎢ ⎥−⎣ ⎦
− − −=
− −
(12-100)
Iz (12 - 100) slijedi:
( ) ( ) ( ) 0Eu EP s sI A BF sI A F C P s P s= − + ⋅ − + = ⋅ = (12-101)
Copyright: Nedjeljko Perić
64 gdje je:
♦ P(s) karakteristični polinom zatvorenog sustava bez estimatora (prema (12 - 36), P(s) = | sI - (A - B F ) | = 0) i
♦ PE(s) karakteristični polinom estimatora (prema (12 - 95), ( ) 0E EP s sI A F C= − + = ).
Jednadžbom (12 - 101) ilustrirano je načelo razlučivanja (separacije) (engl. separation principle; njem. Separationsprinzip) koje se može iskazati na sljedeći način:
Copyright: Nedjeljko Perić
65
♦ Ako je otvoreni sustav, opisan matricama A, B i C, potpuno upravljiv i osmotriv, tada se n vlastitih vrijednosti karakteristične jednadžbe estimatora i n vlastitih vrijednosti karakteristične jednadžbe zatvorenog sustava (bez estimatora) mogu odvojeno zadavati.
♦ Prema tome, iz načela razlučivanja slijedi da je ukupni sustav stabilan ako su ponaosob stabilni estimator i zatvoreni sustav (bez estimatora).
♦ Iz toga proizlazi da se regulacijska matrica F može odrediti pomoću željenih položaja polova, kao da su sve varijable stanja mjerljive.
♦ Potom se projektira estimator na temelju željenih položaja polova estimatora.
♦ Pri tome se, općenito, polovi estimatora postavljaju više lijevo u s - ravnini u odnosu na polove zatvorenog sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
1
13. IDENTIFIKACIJA PROCESA POMOĆU DETERMINISTIČKIH SIGNALA
Izbor prikladnog ispitnog signala u(t)
↓ U(s) ↓ U(jω) = A(ω) ejϕ(ω) - spektralni prikaz signala
gdje je: ♦ A(ω) - amplitudna gustoća spektra ♦ ϕ(ω) - fazna gustoća spektra
Odabrani ispitni signal pomoću kojeg identificiramo proces treba imati takav frekvencijski spektar da se proces pobudi u čitavom njegovom frekvencijskom području.
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Važniji deterministički ispitni signali (Sl. 13.1):
♦ skokovita funkcija
♦ pravokutni impuls
♦ trokutasti impuls
♦ funkcija linearnog porasta
♦ dvostruki impuls
♦ sinusni signal
Copyright: Nedjeljko Perić
3
Ispitni signal Amplitudna gustoća spektra
Frekvencijska karakteristika
u(t)
t
K*
0
Skokovita pobuda
*
( ) 1AKω
ω=
*
)(K
A ω
ω10
010
110
20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u(t)
K*
Tp0 t
Pravokutni impuls
*
( ) 2 sin( / 2)P
A TKω ω
ω=
*
)ω(KT
Ap
pTω10
010
110
20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Copyright: Nedjeljko Perić
4
Ispitni signal Amplitudna gustoća spektra Frekvencijska karakteristika
u(t)
K*
Tp0 t
Trokutasti impuls
2* 2
( ) 8 sin ( / 4)PP
A TK Tω ω
ω=
100
101
102
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
pTω
*
)ω(KT
Ap
u(t)
t
K*
Tp0 Funkcija linearnog
porasta
* 2
( ) 1
P
AK Tω
ω=
100
101
102
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
pTω
*
)ω(KT
Ap
Copyright: Nedjeljko Perić
5
Ispitni signal Amplitudna gustoća spektra Frekvencijska karakteristika
t
K *
Tp
2Tp
-K *
0
u(t)
Dvostruki impuls
*
( ) 2 (1 cos( ))P
A TKω ω
ω= −
100
101
102
0
0.5
1
1.5
2
pTω
*
)ω(KT
Ap
Identifikacija se može obavljati u:
♦ vremenskom području (npr. pomoću prijelazne funkcije h(t))
♦ frekvencijskom području (univerzalnija metoda, G(jω))
h(t) i G(jω) predstavljaju matematički model u neparametarskom obliku iz kojih se mogu dobiti numeričkim postupcima matematički modeli u parametarskom obliku, npr. razlomljene racionalne funkcije G(s)).
Copyright: Nedjeljko Perić
6
13.1. Identifikacija u vremenskom području
Identifikacija u vremenskom području često se zasniva na određivanju prijelazne funkcije h(t).
U mnogim procesima nije dopušteno primijeniti skokoviti test signal za određivanje h(t):
♦ remeti se normalni radni režim procesa
♦ izvršni (postavni) elementi ne dozvoljavaju skokovitu promjenu pobudnog ispitnog signala
• Stoga se prijelazna funkcija određuje posredno.
Copyright: Nedjeljko Perić
7
1. Pravokutni impuls kao ispitni signal
u 1(t)t
u(t)
u 2(t)
t
t
= u1(t) + u2(t)
K *
K *
-K *
0
0
0
+
= T P
T P
T P 2T P t
y(t) h (t)
y(t)
h (t)
1 2 3 4
1 2 3 4
0
)()(1)( * PTthtyK
th −+=
Sl. 13.2.
(Lako se odredi grafički ili numerički)
Copyright: Nedjeljko Perić
8 2. Funkcija linearnog porasta kao ispitni signal
K*
TP
t
u(t)
)()()( * PP Tth
dttdy
KTth −+=
dttdyTTthKthK PP)()()( ** =−−
PROCESTP
K*
∫ dt...dtdyy
Sl.13.3.
(Lako se odredi numerički ili grafički)
Copyright: Nedjeljko Perić
9
3. Proizvoljni deterministički ispitni signal
0
( ) ( ) ( )t
y t u t g dτ τ τ∫= − . (13 - 1)
(Duhamelov konvolucijski integral)
Za poznati u(t) i y(t), g(t) se može odrediti pomoću numeričke dekompozicije konvolucijskog integrala kako slijedi.
Integral (13-1) može se aproksimirati sumom (∆τ-mala širina koraka):
0
( ) ( ) ( )k
y t u t gν
ν τ ν τ τ=∑≈ − ∆ ∆ ∆ , (13 - 2)
Ako se pri numeričkom izračunavanju i za vrijeme t odabere širina koraka ∆τ:, tj. t = 0, ∆τ, 2∆τ, . . . , k∆τ ,
dobije se sustav od (k+1) jednadžbi s (k+1) nepoznatih veličina (g(0), g(∆τ), g(2∆τ), . . ., g(k∆τ)):
Copyright: Nedjeljko Perić
10
(0) (0) (0) ,( ) ( ) (0) (0) ( ) ,
( ) ( ) (0) (0) ( ) .
y u gy u g u g
y k u k g u g k
ττ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ
= ∆∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆
∆ = ∆ ∆ + + ∆ ∆M
K
(13 - 3)
Normiranjem vremena t s ∆τ (Sl. 13.4) izraz (13 - 2) poprima oblik:
0
( ) ( ) ( )k
y k u k gν
ν ν=∑= − . (13 - 4)
u(0) u(1) u(2) u(3) . . . . . . u(k)
0 1 2 3 k
u
τ∆t
y
y(0) . . . . . .y(1) y(2) y(3) y(k)
0 1 2 3 kτ∆
t
G(s)u y
Sl.13.4.
Copyright: Nedjeljko Perić
11 U tom se slučaju (13 - 3) može prikazati u slijedećem matričnom obliku:
( ) ( ) ( )
(0) (0) 0 0 (0)(1) (1) (0) 0 (1)
( ) ( ) ( 1) (0) ( )y k u k g k
y u gy u u g
y k u k u k u g k
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
L
M M M O M M
L123 1444442444443 123
, (13 - 5)
⇓
1( ) ( ) ( )g k u k y k−= . (13 - 6)
(Aproksimacija težinske funkcije u vektorskom obliku)
Iz težinske funkcije dobije se prijelazna funkcija:
00
( ) ( ) ( ) ( )t k
h t g d h k gν
τ τ ν=∑∫= → = . (13 - 7)
Copyright: Nedjeljko Perić
12
13.1.1. Postupci identifikacije na temelju prijelazne funkcije ili težinske funkcije
Tipični procesi
♦ PTn
♦ ITn
♦ PT2S
Za ove tipične procese razvijene su metode pomoću kojih se određuju razlomljene racionalne prijenosne funkcije s ili bez mrtvog vremena, a na temelju prijelazne funkcije ili težinske funkcije
⇓
grafoanalitičke metode
Copyright: Nedjeljko Perić
13
1. Metoda prema Küpfmülleru (Sl.13.5.)
w
h
h0
K
0.63K
h h0
ttz ta
h0 - eksperimentalno dobivena prijelazna funkcija
w - točka infleksije
h - aproksimativna prijelazna funkcija:
( )1
tsTK eG sTs
−⋅=
+ (13 - 8)
Tt ≈ tz (vrijeme zadržavanja)
T ≈ ta (vrijeme porasta)
K - statičko pojačanje (očita se iz oscilograma)
Copyright: Nedjeljko Perić
14 2. Metoda prema Strejcu (poboljšanje Küpfmüllerove metode) , Sl. 13.6:
h 2
h 1
t1 t2
K
h h 0 T
T t t
A
B
h 0
h
w
Na snimljenoj prijelaznoj funkciji h0(t) odrede se dvije točke: A(h1;t1) i B(h2;t2) između kojih se nalazi točka infleksije w.
Kroz točke A i B ucrta se prijelazna funkcija h(t) i izračunaju se Tt i T kako slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
15
0 ,
( )(1 ) , .
t
t
t TT
t
za t Th t
K e za t T−
−
<⎧⎪= ⎨− ≥⎪⎩
(13 - 9)
Iz
1
2
1
2
(1 )
(1 )
t
t
t TT
t TT
h K e
h K e
−−
−−
= −
= − (13 - 10)
slijedi:
2 1
1
2
; ln 1 ; 1 ili 2.ln
t
t t hT T T tKK h
K h
νν ν− ⎛ ⎞= = ⋅ − + =⎜ ⎟⎛ ⎞− ⎝ ⎠
⎜ ⎟−⎝ ⎠
(13 - 11)
Matematički model procesa prikazan prijenosnom funkcijom prvog reda s mrtvim vremenom često ne zadovoljava (prije svega zbog velikog odstupanja u području ˝zaleta˝)
Copyright: Nedjeljko Perić
16 3. Aproksimacija matematičkog modela procesa pomoću PT2 člana
tz twta
h0
wh(tw)
K
h0
t
Na temelju prijelazne funkcije h0(t) (Sl. 13.7.) dobivene mjerenjem određuje se prijenosna funkcija:
1 2
( )(1 )(1 )
KG sT s T s
=+ +
.
(13-12)
Iz vremena ta i tz određuju se vremenske konstante T1 i T2 prijenosne funkcije (13 - 12) kako slijedi.
Prijelazna funkcija za G(s) prema (13 - 12) glasi (T1 ≠ T2):
Copyright: Nedjeljko Perić
17
1 2/ /1 2
1 2 2 1
( ) 1 t T t TT Th t K e eT T T T
− −⎛ ⎞= − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
. (13 - 13)
Iz (13-13) dobiju se prva i druga derivacija prijelazne funkcije :
( )1 2/ /
1 2
( ) t T t TKh t e eT T
− −= −−
& , (13 - 14)
1 2/ /
1 2 1 2
1 1( ) t T t TKh t e eT T T T
− −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟− ⎝ ⎠
&& . (13 - 15)
U točki infleksije prijelazne funkcije druga derivacija je jednaka nuli:
1 2 2
2 1 1
( ) 0 lnw
T T Th t tT T T
⎛ ⎞= ⇒ = ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
&& . (13 - 16)
Iz grafa prijelazne funkcije vidi se da vrijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
18
2
2 1
21
1
( )
TT T
w a
a
K Th t t Tt T
−⎡ ⎤= ⇒ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦& . (13 - 17)
Nadalje, iz sličnosti trokuta proizlazi:
1 2 21 2
2 1 1
( ) lnw z wz a
a
t t h t TT Tt t T Tt K T T T
⎛ ⎞−= ⇒ = − + +⎜ ⎟− ⎝ ⎠
. (13 - 18)
Uz µ = T2/T1 izrazi (13 - 17) i (13 - 18) poprimaju oblik:
1
1
1
( ) ,
1 .( ) 1 ln( ) 1
1
a
a
z
tTtt
µµ
µµ
µ
µµ µ µµ
−
−−
=
=⎡ ⎤
+ + −⎢ ⎥−⎣ ⎦
(13 - 19)
(Da bi se mogao primijeniti model prema (13 - 12) mora biti ta / tz ≥ 9,64.)
Copyright: Nedjeljko Perić
19 Primjer 13.1:
1
2
3
4
1Tt
tt a
z
a
1
2
TT
=µ
z
a
tt
1Tta
2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Sl. 13.8.
ta = 30 s ; tz = 2,3 - očitano iz oscilograma prijelazne funkcije
(1) ta / tz = 13
(2) ÷ (3) ta / T1 = 6,55
→ T1 = 4,57 s
(3) ÷ (4) T2 / T1 = 4,2
→ T2 = 19,2 s
Copyright: Nedjeljko Perić
20 4. Aproksimacija matematičkog modela procesa pomoću PTn člana
Pretpostavlja se:
( )1 2 3 ( )1 nn
KT T T T T G sTs
= = = = = ⇒ =+
L . (13 - 20)
Pripadajuća prijelazna funkcija glasi:
( )1 /
0
/( ) 1
!n t Tt T
h t K eν
ν ν−
−
=∑
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= − ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
. (13 - 21)
Iz (13 - 21) dobiju se prva i druga derivacija prijelazne funkcije:
( )( )
1
//( ) 11 !
n
t Tt Th t eK n T
−
−= ⋅−
&, (13 - 22)
Copyright: Nedjeljko Perić
21
( )( ) ( ) ( )
( )
12 / /
2
1 /( ) 1 1/1 ! 1 !
nn t T t Tn t Th t t T e e
K n T n T
−
− − −−
= ⋅ − ⋅− −
&&. (13 - 23)
Iz uvjeta:
( ) 0 ( 1)wh t t n T= ⇒ = −&& , (13 - 24)
1
1
( 1) !( )( 1)
naw n
a
K t nh t et T n
−
−
−= ⇒ =
−& . (13 - 25)
Nadalje, iz sličnosti trokutova proizlazi:
11
1 0
( 1)! ( 1)( ) / ( ) / ( 1)( 1) !
nnzw z a w n
t n nt t t h t K n eT n
ν
ν ν−
−
− =∑
− −⎡ ⎤− = ⇒ = − − −⎢ ⎥− ⎣ ⎦ (13 - 26)
Ova aproksimacija daje zadovoljavajuće rezultate ako su vremenske konstante stvarnog procesa približno jednake (odnos najveće i najmanje dominantne vremenske konstante nije veći od 2).
Copyright: Nedjeljko Perić
22 Određivanje vrijednosti T i n u prijenosnoj funkciji (13 - 20) iz postotnih iznosa prijelazne funkcije
Za određivanje vrijednosti T odaberu se postotni iznosi m stacionarnih vrijednosti h(∞)/K ( ≅ 100 %) i njima pridružena vremena tm :
Npr.
m = 10 % tm = t10
30 % tm = t30
50 % tm = t50
70 % tm = t70
90 % tm = t90
( )1 /
0
/100100 !
mn m t Tt Tm e
ν
ν ν−
−
=∑⎡ ⎤−
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(13 - 27)
Iz odabranog m, tm numeričkim postupkom dobiju se T i n.
Copyright: Nedjeljko Perić
23 5. Momentna metoda
Iz izmjerene težinske funkcije g(t) treba odrediti matematički model prikazan prijenosnom funkcijom:
0 1
0 1
( )m
mn
b b s b sG sa a s s+ + +
=+ + +
L
L. (13 - 28)
Odnos g(t) i G(s) dan je Laplaceovom transformacijom:
G(s) = L g(t) = 0
( ) stg t e dt∞
−∫ (13 - 29)
Razvojem u Taylorov red člana e-st u okolici točke st=0 (13-29) poprima oblik:
2 3
0
( ) ( )( ) 1 ( )2 ! 3 !sT sTG s sT g t dt
∞
∫⎡ ⎤
= − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
L . (13 - 30)
Copyright: Nedjeljko Perić
24
• Iz toga slijedi: 2
2
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )
2!sG s g t dt s tg t dt t g t dt
∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫= − + −L , (13 - 31)
gdje je: 0
( )iiM t g t dt
∞
∫= (13 - 32)
(i - ti moment zadane težinske funkcije)
U tom se slučaju izraz (13 - 31) može napisati kao:
2 3
0 1 2 3( )2! 3!s sG s M sM M M= − + − +L (13 - 33)
Iz (13 - 28) i (13 - 33) slijedi:
( )2 3
0 1 2 3 0 1 0 12 ! 3 !n m
m
s sM sM M M a a s s b b s b s⎛ ⎞
− + − + + + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
L L (13 - 34)
Izjednačenjem koeficijenata uz iste potencije dobije se (m+n+1) algebarskih jednadžbi odakle se mogu odrediti koeficijenti prijenosne funkcije: a0, a1, . . . ,an-1, b0, b1, . . . ,bm.
Copyright: Nedjeljko Perić
25
Primjer 13.2:
• Za m = 1; n = 2 slijedi:
( )00 0
11 0 0 1
220 1 1 0
33 20 1 1
02!
03! 2!
bM ab sM a M a s
M a M a M s
M Ma a M s
==− +
⎛ ⎞ =− +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
• Ovaj sustav jednadžbi prikazan u matričnom obliku glasi:
Copyright: Nedjeljko Perić
26
0
01 0
12
10 0
1 13 2
0 1 000 10
0 02!
0 03! 2! p m
M
MaM MaM M b Mb MM M
−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ =−⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦123
14444244443
,
odakle slijedi:
1p M m−= ⋅
Opisana momentna metoda primjenjiva je na linearne sustave s aperiodskim odzivom.
Copyright: Nedjeljko Perić
27
13.2. Identifikacija u frekvencijskom području
13.2.1. Identifikacija na temelju frekvencijske karakteristike
Frekvencijske karakteristike obično se dobivaju eksperimentalno.
Zatim se primjeni asimptotska aproksimacija frekvencijske karakteristike.
Ovaj je postupak ograničen na procese koji imaju svojstva minimalne faze za koje vrijedi Bodéov zakon
2 20
2 ln ( ) ln ( )( ) .A A dν νν
ν
ω ω ωφ ω ωπ ω ω
∞
∫−
=−
(13 - 36)
(Kod sustava koji imaju minimalnofazno vladanje postoji jednoznačna veza između amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike.)
Copyright: Nedjeljko Perić
28 Primjer 13.3: (Sl. 13.9.)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + s
33.011
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+ s7.0
11
1
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+ s1.2
11
1
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+ s2.11
11
1
0.1 0.33 0.7 1 2.1 10
11.2
[ ]dBA )(ω
[ ]dBω
10
20
30
40
0
+20 dB/dek
-20 dB/dek
-40 dB/dek
0 dB/dek
23.5
1 1 1 1( ) 15 1 1 1 10.33 0.7 2.1 11.2
G s s s s s⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
. (13 - 35)
Copyright: Nedjeljko Perić
29
13.2 Numeričke transformacije između vremenskog i frekvencijskog područja
Pri identifikaciji procesa često se prelazi iz frekvencijskog u vremensko područje i obrnuto. Podloge za to daju naredna razmatranja.
Sustav pobuđen skokovitom funkcijom iznosa K* ima odziv h*(t).
*
*
( )( ) h th tK
= . (13 - 37)
Laplaceova transformacija za h(t) glasi:
0
( ) ( ) stH s h t e dt∞
−∫= . (13 - 38)
Iz (13 - 38) dobije se prijenosna funkcija:
*
*0
( ) ( ) ( ) stsG s s H s h t e dtK
∞−
∫= = . (13 - 39)
Copyright: Nedjeljko Perić
30
Za s = jω dobije se iz (13 - 39):
*
*0
( ) ( ) ( ) ( )j tjG j h t e dt R jIK
ωωω ω ω∞
−∫= = + . (13 - 40)
⇓
( ) ( )* *
* *0 0
( ) sin ; ( ) cos .R h t tdt I h t tdtK Kω ωω ω ω ω
∞ ∞
∫ ∫= = (13 - 41)
(Iz prijelazne funkcije dobiju se frekvencijske karakteristike)
Iz frekvencijske karakteristike dobiju se prijelazne funkcije:
( )
( )
0
0
2 ( )(0) cos ,
02 ( ) sin .
Ih t R td
za tRh t td
ω ω ωπ ω
ω ω ωπ ω
∞
∞
∫
∫
= +
>
=
(13 - 42)
Copyright: Nedjeljko Perić
31
13.3.1. Izračunavanje frekvencijske karakteristike iz prijelazne funkcije
• Za egzaktno određivanje frekvencijskih karakteristika prema (13 - 41) morala bi biti na raspolaganju prijelazna funkcija h*(t) u analitičkom obliku.
• To pak nije slučaj u eksperimentalnoj identifikaciji, pa se primjenjuje približni postupak za izračunavanje frekvencijskih karakteristika kako slijedi.
• Prijelazna funkcija h*(t) nadomjesti se po odsječcima pravcima tako da se dobije aproksimativna prijelazna funkcija ( )h t% (Sl 13.10.):
t∆ t∆ t∆ t∆
h 0 h 1 h 2 h 3 h 4 h N -1 h N h N +1
t0= 0t1 t2 t3 t4 tN -1 tN tN +1
)(~ th )(* th
)(~ th )(* th
t
Copyright: Nedjeljko Perić
32
• Za t → ∞, h*(t) se približava asimptotski pravcu s proizvoljno konačnim nagibom.
• Pri tome tN = N∆t predstavlja vrijeme nakon kojega se h*(t) neznatno razlikuje od ( )h t% .
• Odsječak aproksimativne prijelazne funkcije prikazan je na slici 13.11 a) (sljedeća stranica) gdje su nagibi pravaca 1 i 2 dani izrazima:
* 1h hbt
ν νν
−−=
∆, (nagib pravca 1 ) (13 - 43)
* 11
h hbt
ν νν
++
−=
∆. (nagib pravca 2 ) (13 - 44)
Copyright: Nedjeljko Perić
33
t∆ t∆1ν−t νt 1ν+t
νp
)(~ th )(* th
t1ν−h 1ν+hνh
0
2
1
)(~ th
)(* th
t
)(ν tr t∆)(ν tr
νp
νt
a)
b)
Sl. 13.11.
Copyright: Nedjeljko Perić
34
• Pravac 2 može se prikazati kao superpozicija pravca 1 i pravca rν:
0
( )v
v
v v v
za t tr
t t za t tβ≤⎧
= ⎨ − ≥⎩ (13 - 45)
gdje je: * *1b bν ν νβ += − .
• Uvrštenjem (13 - 43) i (13 - 44) u (13 - 45) dobije se:
1 1
1 0
21,2,...,
0 .
h h h p za Nt t
h h p zat t
ν ν ν ν
ν
ν
ν
β
ν
− +− +⎧= =⎪ ∆ ∆⎪
= ⎨⎪ −
= =⎪∆ ∆⎩
(13 - 46)
• Pravac rν može se interpretirati kao odziv sustava na skokoviti ulazni signal visine K* (Sl. 13.12.):
Copyright: Nedjeljko Perić
35
t1 t2 t3t0 tN tN+1
h0
)(ν tr )(0 tr )(1 tr
)(2 tr
)(3 tr
)(trNt
*( )v
v v
ptr S t tK t
= −∆
Dakle, rν predstavlja funkciju linearnog porasta s vremenskom konstantom K*∆t/pν i kašnjenjem tν = ν∆t.
Odgovarajuća prijenosna funkcija je: *
1 1( ) s tpG s eK t s
ννν
− ∆=∆
% . (13 - 47)
Aproksimacija ukupnog tijeka h*(t) glasi: *0
0( ) ( )
Nh t h r tν
ν =∑≈ + . (13 - 48)
Ukupna prijenosna funkcija koja odgovara izrazu (13 - 48) glasi:
Copyright: Nedjeljko Perić
36
0* 0
( ) ( )NhG s G s
K νν =∑≈ + % , (13 - 49)
odnosno prema izrazu (13 - 47):
0* 0
1 1( )N s tpG s h e
K s tνν
ν
− ∆
=∑
⎛ ⎞≈ +⎜ ⎟∆⎝ ⎠. (13 - 50)
Iz (13 - 50) dobije se frekvencijska karakteristika (s = jω):
[ ]0* 0
1 1( ) sin( ) cos( )N
G j h p t j tK t ν
νω ων ων
ω =∑
⎛ ⎞≈ − ∆ + ∆⎜ ⎟∆⎝ ⎠, (13 - 51)
odakle slijedi:
( ) ( ) ( ) ( )0* *0 0
1 1 1 1sin ; cos .N N
R h p t I p tK t K tν ν
ν νω ων ω ων
ω ω= =
⎛ ⎞≈ − ∆ ≈ − ∆⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠∑ ∑ (13 - 52)
• Izrazi (13 - 51) i (13 - 52) predstavljaju aproksimaciju izraza (13 - 41).
Copyright: Nedjeljko Perić
37
13.3. Proširenje postupka za određivanje frekvencijske karakteristike uz proizvoljni ispitni signal
Ako pobudni signal u(t) procesa G(s) kojega treba identificirati nije skokovita funkcija, tada se postupak opisan u točki 13.3.1. modificira.
Uvodi se ˝fiktivni˝ element Gu u seriji s procesom G (Sl. 13.13.):
)ω( jGu )ω( jG
)ω( jGy
)ω(' jU )ω( jU )ω( jY
'' fiktivni '' elementu'(t) = S(t)
Copyright: Nedjeljko Perić
38 Pretpostavi se da je pobuda ˝fiktivnog˝ elementa skokovita.
Signali u(t) i y(t) trebaju pri tome samo ispuniti uvjet da za t > 0 imaju konačan nagib i da za t →∞ asimptotski prelaze u pravac s proizvoljnim nagibom.
• Prema slici 13.13. proizlazi:
( )( )( )
( ) ( )y
u
G jY jG jU j G j
ωωωω ω
= = . (13 - 53)
(Gy(jω) i Gu(jω) su frekvencijske karakteristike dvaju prijenosnih članova pobuđenih skokovitom funkcijom)
Ako se umjesto Gy(jω) i Gu(jω) u (13 - 53) uvrste odgovarajući izrazi prema
(13 - 50) ( 0* 0
1 1( )N s tpG s h e
K s tνν
ν
− ∆
=∑
⎛ ⎞≈ +⎜ ⎟∆⎝ ⎠) uz s = jω, slijedi:
Copyright: Nedjeljko Perić
39
( / 2)0
0
( ' / 2 )0
0
1
( ) 1'
N j t
M j t
y p etG j
u q et
ων πν
ν
ωµ πµ
µ
ωω
ω
− ∆ −
=
− ∆ −
=
∑
∑
−∆=
−∆
. (13 - 54)
gdje su:
pν = yν-1 - 2yν + yν+1 za ν = 1, . . . N
p0 = y1 - y0 za ν = 0
qµ = uµ-1 - 2uµ + uµ+1 za µ = 1, . . . M
q0 = u1 - u0 za µ = 0 .
Frekvencijske karakteristike često korištenih ispitnih signala određene prema (13 - 54) prikazane su u tablici 13.1.:
Copyright: Nedjeljko Perić
40
Ispitni signal u(t) Frekvencijska karakteristika G(jω) = R(jω) + I(jω) uz pν = yν-1 - 2yν + yν+1
skokovita funkcijau(t)
K*
t0
( ) ( )
( ) ( )
0*0
*0
1 1 sin
1 1 cos
N
N
R y p tK t
y h
I p tK t
νν
ν ν
νν
ω ωνω
ω ωνω
=
=
⎛ ⎞= − ∆⎜ ⎟∆⎝ ⎠≡
= − ∆∆
∑
∑
u(t)
K*
tTp
pravokutni impuls
0
( )
( )
00
*
00
*
1sin cos ( )2 2
2 sin2
1cos sin ( )2 2
2 sin2
Np p
p
Np p
p
T Ty p t
tR TK
T Ty p t
tI TK
νν
νν
ωω ν
ωω ω
ωω ν
ωω ω
=
=
− ∆ −∆=
− + ∆ −∆=
∑
∑
Copyright: Nedjeljko Perić
41
u(t)
K*
tTp
trokutasti impuls
0
( )
( )
00
*2
00
*2
1sin cos ( )2 2
8 sin2
1cos sin ( )2 2
8 sin2
Np p
p
p
Np p
p
p
T Ty p t
tR TKT
T Ty p t
tI TKT
νν
νν
ωω ν
ωωω
ωω
ω νωω
ωω
=
=
∑
∑
− ∆ −∆=
− + ∆ −∆=
u(t)
K*
tTp
trapezni impuls
aTp0
( )
( )
00
*
00
*
1sin cos ( )2 2
(1 )1 4 sin sin2 2
1cos sin ( )2 2
(1 )1 4 sin sin2 2
Np p
p p
p
Np p
p p
p
T Ty p t
tR a T a TKa T
T Ty p t
tI a T a TKa T
νν
νν
ωω ν
ωω ω ωω
ωω ν
ωω ω ωω
=
=
∑
∑
− ∆ −∆=
−
− + ∆ −∆=
−
Copyright: Nedjeljko Perić
42
u(t)
K*
tTp
rampa
0
( )
( )
00
*
00
*
12 cos sin ( )2 2sin
2
12 sin cos ( )2 2sin
2
p
Np p
p
p
Np p
p
TT T
R y p tT tK
TT T
I y p tT tK
νν
νν
ωω
ω ω νω ω
ωω
ω ω νω ω
=
=
∑
∑
⎡ ⎤= − ∆ −⎢ ⎥∆⎣ ⎦
⎡ ⎤= − ∆ −⎢ ⎥∆⎣ ⎦
u(t)
K*
tTp
eksponencijalna pobuda1. reda
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0* 0 0
0* 0 0
1 1 sin cos
1 1 cos sin
N N
p
N N
p p
R y p t T p tK t
I y T p t T p tK t
ν νν ν
ν νν ν
ω ων ω ωνω
ω ω ων ω ωνω
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑
⎛ ⎞⎡ ⎤= − ∆ − ∆⎜ ⎟⎣ ⎦∆⎝ ⎠
⎛ ⎞⎡ ⎤= − ∆ + ∆⎜ ⎟⎣ ⎦∆⎝ ⎠
Copyright: Nedjeljko Perić
43
u(t)
K*
tTp
kosinusni impuls
0
( )
( )
2
00
*
2
00
*
12 1sin cos ( )
2 2sin2
12 1cos sin ( )
2 2sin2
p
Np p
p
p
Np p
p
TT T
R y p tT tK
TT T
I y p tT tK
νν
νν
ωωπω ω νω ω
ωωπω ω νω ω
=
=
∑
∑
⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎝ ⎠= − ∆ −⎢ ⎥∆⎣ ⎦
⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎝ ⎠= − + ∆ −⎢ ⎥∆⎣ ⎦
u(t)
K*
tTp
funkcija linearnogporasta
0
( ) ( )
( ) ( )
* 0
0* 0
1 cos
1 sin
Np
Np
TR p t
K t
TI y p t
K t
νν
νν
ωω ων
ω
ωω ων
ω
=
=
∑
∑
= ∆∆
⎛ ⎞= − ∆⎜ ⎟∆⎝ ⎠
Copyright: Nedjeljko Perić
1
14. UVOD U TEORIJU OSJETLJIVOSTI
Parametri sustava upravljanja mijenjaju se tijekom vremena. Te promjene mogu biti prouzročene, primjerice:
♦ utjecajem okoline na elemente sustava upravljanja,
♦ promjenom karakteristika elemenata sustava upravljanja (npr. starenje),
♦ promjenom režima rada sustava.
Posljedice promjene parametara sustava upravljanja očituju se u:
♦ promjeni parametara prijenosne funkcije sustava,
♦ promjeni ostalih karakteristika sustava (mjere kakvoće u vremenskom području i frekvencijskom području).
Analiza osjetljivosti (engl. sensitivity analysis) razmatra utjecaj promjene nekog parametra sustava na vladanje sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
2 Primjeri za analizu osjetljivosti:
♦ osjetljivost prijenosne funkcije o određenoj vremenskoj konstanti,
♦ osjetljivost korjena karakteristične jednadžbe o fizikalnom parametru procesa,
♦ osjetljivost maksimalnog nadvišenja o pojačanju procesa.
Kvantitativna mjera utjecaja promjene nekog parametra na vladanje sustava dobije se pomoću funkcije osjetljivosti (engl. sensitivity function):
(ln )(ln )
MSd Mdδ
δ= , (14-1)
(Bodeova funkcija osjetljivosti)
što predstavlja mjeru osjetljivosti prijenosne funkcije M s obzirom na promjenu parametra sustava δ koji se mijenja.
Copyright: Nedjeljko Perić
3 Osim Bodeove funkcije osjetljivosti primjenjuju se i druge funkcije
osjetljivosti:
♦ funkcija osjetljivosti u frekvencijskom području,
♦ funkcija osjetljivosti u vremenskom području,
♦ funkcija osjetljivosti mjere kakvoće.
• U daljnjem se tekstu koristi isključivo Bodeova funkcija osjetljivosti.
• Prema (14-1) ((ln )(ln )
MSd Md
δδ
= ) je: (ln )
(ln )MS
d M dd d
δ
δδ δ
= .
• Kako je: (ln ) 1d M dMd M dδ δ
= i (ln ) 1dd
δδ δ
=
funkcija osjetljivosti za nazivne vrijednosti M = M0 i δ = δ0 glasi:
Copyright: Nedjeljko Perić
4
0 0
0 0
,,
relativna promjena značajke .relativna promjena parametra sustava
M
M MM M
dM MM dS δ δ δ
δ δ
δδ δ= =
= =
⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (14-2)
Za mala odstupanja parametra δ od δ0 malo odstupa M od M0 pa se funkcija osjetljivosti može pisati na sljedeći način:
0 0
0 0
,0 0
M
M MSM MM
Mδ δ δ
δδ δ δ= =
∆∆⎛ ⎞≈ =⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠. (14-3)
Ako se funkcija osjetljivosti izračunava za više promjenjivih parametara sustava, derivacija u jednadžbi (14-1) prelazi u parcijalnu derivaciju, te funkcija osjetljivosti za i-ti parametar glasi:
(ln )(ln )i
M
i
SM
δ∂∂ δ
= . (14-4)
Osjetljivost sustava o promjenama parametara u pojedinim elementima ilustrirana je pomoću slike 14.1:
Copyright: Nedjeljko Perić
5
G(s)
Gpv(s)
Y(s)XR(s) E(s)
Sl.14.1.
Veličina čija se osjetljivost promatra je Y(s), a ista razmatranja vrijede i za ukupnu prijenosnu funkciju sustava Gx(s)=Y(s)/XR(s).
U promatranim slučajevima ulazna veličina XR(s) je nepromjenjiva.
Razmotrit će se naredna četiri slučaja.
Copyright: Nedjeljko Perić
6
1. slučaj: Otvoreni sustav: G(s) promjenjivo; Gpv(s)=0;
Y(s) = X(s) G(s), (14-5)
dY(s) = X(s) dG(s), (14-6)
Prema (14-3) (0 0
0 0
,0 0
M
M MSM MM
Mδ δ δ
δδ δ δ= =
∆∆⎛ ⎞≈ =⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠) iz (14-5) i (14-6) slijedi:
( )( )
( ) / ( ) 1( ) / ( )
YG
ssS
dY s Y sdG s G s
= = . (14-7)
Iz (14-7) slijedi da promjene u prijenosnoj funkciji G(s) uzrokuju proporcionalne promjene izlaza Y(s).
Copyright: Nedjeljko Perić
7 2. slučaj: Zatvoreni sustav s jediničnom povratnom vezom
(G(s) promjenjivo; Gpv(s)=1;)
( )( ) ( )1 ( ) R
G sY s X sG s
=+
(14-8) [ ]2
( )( ) ( )1 ( ) R
dG sdY s X sG s
=+
, (14-9)
Prema (14-3) iz (14-8) i (14-9) slijedi:
( )( )
( ) / ( ) 1( ) / ( ) 1 ( )
Y sG sS
dY s Y sdG s G s G s
= =+
. (14-10)
U slučaju zatvorenog sustava promjene u prijenosnoj funkciji G(s) prenose
se na izlaz Y(s) pomnožene s faktorom 1|1 ( ) |G s+
.
Dakle, osjetljivost zatvorenog sustava smanjuje se u odnosu na otvoreni sustav u skladu s navedenim faktorom. To predstavlja značajan razlog uvođenja povratne veze.
Copyright: Nedjeljko Perić
8 3. slučaj: Zatvoreni sustav: G(s) promjenjivo; Gpv(s) nepromjenjivo;
( )( ) ( )1 ( ) ( ) R
pv
G sY s X sG s G s
=+
, (14-11) 2
( )( ) ( )1 ( ) ( )
R
pv
dG sdY s X sG s G s
=⎡ ⎤+⎣ ⎦
,(14-12)
Prema (14-3) iz (14-11) i (14-12) slijedi:
( )( )
( ) / ( ) 1( ) / ( ) 1 ( ) ( )
Y sG s
pv
SdY s Y sdG s G s G s G s
= =+
. (14-13)
U ovom je slučaju osjetljivost izlazne veličine Y(s) umanjena za faktor
1|1 ( ) ( ) |pvG s G s+
.
U usporedbi s 2. slučajem element u povratnoj vezi Gpv(s) unosi dodatno pojačanje, koje može smanjiti ukupnu osjetljivost sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
9 4. slučaj: Zatvoreni sustav s nejediničnom promjenljivom povratnom
vezom (G(s) nepromjenjivo; Gpv(s) promjenjivo)
( )( ) ( )1 ( ) ( ) R
pv
G sY s X sG s G s
=+
, (14-11) 2
2
( ) ( )( ) ( )
1 ( ) ( )pv
R
pv
G s dG sdY s X s
G s G s−
=⎡ ⎤+⎣ ⎦
,(14-14)
Prema (14-3) iz (14-11) i (14-14) slijedi:
( )( )
( ) / ( ) 1( ) / ( )pv
Y sG s
pv pv
SdY s Y s
dG s G s= ≈ − (14-15)
(za područje gdje vrijedi |G(s)Gpv(s)|>>1).
Prema (14-15) proizlazi da promjene u prijenosnoj funkciji povratne veze Gpv(s) uzrokuju proporcionalne promjene izlaza Y(s), ali sa suprotnim predznakom.
Element u povratnoj vezi bitno utječe na kakvoću sustava upravljanja.
Copyright: Nedjeljko Perić
10
• Iz prethodnih razmatranja slijedi:
♦ uvođenje povratne veze smanjuje osjetljivost sustava na promjene parametara u pojedinim elementima,
♦ utjecaj promjene parametara pojedinog elementa na osjetljivost sustava ovisi o položaju elementa u sustavu upravljanja,
♦ elementi u izravnoj grani zatvorenog sustava trebaju osigurati maksimalno moguće pojačanje,
♦ elemente u povratnoj vezi treba izraditi od preciznih komponenata koje osiguravaju nepromjenljivost njihovih parametara.
Copyright: Nedjeljko Perić
11
Primjer 14.1: Funkcije osjetljivosti nekih tipičnih dinamičkih članova.
Dinamički član Promjenjivi parametar δ Funkcija osjetljivosti S
pojačanje K ( ) 1G sKS =
vremenska konstanta T ( ) 0
01G sTS
T sT s
−=
+
PT1 član
( )1
KG sTs
=+
1
( ) KG ss p
=−
realni pol p1 1
( ) 10
10
G spS
ps p
=−
pojačanje K ( ) 1G sKS = član s mrtvim
vremenom
( ) tT sG s Ke−= mrtvo vrijeme Tt ( )
0G sT tS T s= −
(nazivne vrijednosti parametara su označene indeksom 0)
Copyright: Nedjeljko Perić
12 Osjetljivost prijenosne funkcije zatvorenog sustava može biti dio
specifikacija koje sustav upravljanja treba zadovoljiti. Opisuje se nejednadžbom (promatra se sustav s jediničnom povratnom vezom):
( )( )
| ( ) / ( ) | 1| || ( ) / ( ) | |1 ( ) |
xG s x xG sS
dG s G s kdG s G s G s
= = ≤+
. (14-16)
gdje je k - granična (dopuštena) osjetljivost
Ako se nejednadžba (14-16) promatra u frekvencijskom području, uvrštenjem s=jω , dobije se:
| 1+G(jω) | ≥ 1/k. (14-17)
Iz (14-17) slijedi da je, zbog zahtjeva za manjom osjetljivošću sustava, povoljno da |G(jω)| bude čim većeg iznosa.
S druge strane, veliki iznos |G(jω)| (veliko pojačanje) utječe na uvjete u pogledu stabilnosti (smanjuje se amplitudno i fazno osiguranje), pa se pri sintezi sustava upravljanja koristi kompromis (engl. sensitivity / stability trade-off).
Copyright: Nedjeljko Perić
13 To je ilustrirano na slici 14.2 odgovarajućim Nyquistovim dijagramom
zasnovanim na nejednadžbi (14-17) (|1+G(jω) | ≥ 1/k).:
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
Imag
Axi
s
|G(jω )|
1/k
G-ravninaj Im[G]
Re[G]
|G(jω)| mora biti izvan kružnice sa središtem u (-1,0) i polumjera 1/k da bi se zadovoljili zahtjevi postavljeni na osjetljivost sustava upravljanja.
Pomoću osjetljivosti korijena (engl. root sensitivity) karakteristične jednadžbe moguće je provjeriti pomiču li se korijeni iz željenog područja u kompleksnoj s-ravnini zbog promjene parametara sustava, te postaje li time sustav upravljanja nestabilan ili neupotrebljiv.
Copyright: Nedjeljko Perić
14 Osjetljivost korijena si karakteristične jednadžbe o parametru prijenosne
funkcije δ računa se prema (14-2) 0 0
0 0
,,
M
M MM M
dMM dS δ δ δ
δ δ
δδ= =
= =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
i poprima
oblik:
is ik
i
Ss
Sδ ∂
∂δ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠. (14-18)
Za izračunavanje funkcije osjetljivosti korijena karakteristične jednadžbe potrebno je karakterističnu jednadžbu riješiti analitički.
Općenito, to je moguće samo za sustave nižeg reda.
Funkcije osjetljivosti za sustave višeg reda određuju se numeričkim postupcima (i mogu se prikazati grafički).
Copyright: Nedjeljko Perić
15
Primjer 14.2: Osjetljivost korijena karakteristične jednadžbe sustava o
pojačanju K za ( )(1 )
KG ss s
=+
.
Karakteristična jednadžba sustava je (pretpostavlja se jedinična povratna veza):
s(s+1)+K=0.
Krivulja mjesta korijena sustava prikazana je na slici 14.3:
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Imag
Axi
s
s-ravnina
K=0 K=0
σ
jω
σv=-0,5
Copyright: Nedjeljko Perić
16 Rješavanjem karakteristične jednadžbe (s(s+1)+K=0) dobije se:
1,2 1,2
1 1 1 4 2 1 1 42 2
s K s K= − ± − ⇒ + = ± − . (*)
Odakle je:
1
1 4is
K K∂
=∂ −
m . (**)
Iz (*) i (**) slijedi
1
2 1is
K s∂∂
−=
+. (***)
Iz karakteristične jednadžbe je K = -s(s+1), pa funkcija osjetljivosti (14-18)
( is ik
i
Ss
Sδ ∂
∂δ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠) poprima oblik (δ=K; si → s):
Copyright: Nedjeljko Perić
17
1 ( 1) 1 1
2 1 2 1 2 1is
KSK s s ss s s s s
− − + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (14-19)
Uvrštenjem s=σ+jω u (14-19) te razdvajanjem jednadžbe na dva područja vrijednosti dobiju se dvije jednadžbe za osjetljivost korijena:
♦ za korijene na realnoj osi, gdje vrijedi ω=0:
0
1| |2 1
isKS ω
σσ=
+=
+,
♦ za korijene s konstantnim realnim dijelom, gdje vrijedi σ =-0.5:
2
20.5
0.254
isKS σ
ωω=−
+= .
Iz jednadžbi osjetljivosti vidi se svojstvo krivulje mjesta korijena da u točki grananja σv (-0,5) osjetljivost korijena teži neizmjernoj vrijednosti.
Copyright: Nedjeljko Perić
18 Drugi način prikaza osjetljivosti korijena karakteristične jednadžbe je grafički
(Sl. 14.4):
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Imag
Axi
s
s-ravnina
σ
jω
Korijeni karakteristične jednadžbe, odnosno KMK, računaju se za više vrijednosti pojačanja K. Pri tome se K povećava za konstantan iznos ∆K.
Bitno je uočiti da veće udaljenosti među susjednim korijenima predstavljaju veću osjetljivost korijena.
Krivulja mjesta korijena pri promjeni parametra K od 0 do 20 za korak ∆K=0,1.
Copyright: Nedjeljko Perić
19 Primjene teorije osjetljivosti:
♦ projektiranje regulatora,
♦ robusno upravljanje (robust control (engl.) - regulator osigurava kakvoću upravljanja za cijelo područje promjene parametara procesa),
♦ adaptivno upravljanje (adaptive control (engl.) - regulator se prilagođava promjenama u procesu).
Pri projektiranju regulatora moguće je analizom osjetljivosti provjeriti da li se zbog promjena parametara sustava značajnije narušavaju zadane mjere kakvoće sustava upravljanja.
U robusnom upravljanju (engl. robust control) regulator se projektira tako da se uzimaju u obzir moguće promjene parametara sustava.
Pri tome se nastoje osigurati zadane mjere kakvoće sustava upravljanja za sve moguće promjene parametara sustava.
Copyright: Nedjeljko Perić
20 Sustav upravljanja koji je “neosjetljiv” na promjene parametara i koji
zadržava traženu kakvoću upravljanja pri mogućim promjenama parametara sustava naziva se robusnim sustavom (engl. robust system).
U adaptivnim sustavima upravljanja (engl. adaptive control) projektirani se regulator tijekom rada prilagođava promjenama procesa.
Prilagođavanje je moguće provoditi izračunavanjem funkcija osjetljivosti tijekom rada sustava upravljanja.