Automatizacija

3. PRENOSNE FUNKCIJE BLOKOVA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

[14,15, 24, 31, 32, 39, 66, 69, 72, 77] Procedura rješavanja diferencijalnih jednačina koje opisuju dinamičko ponašanje pojedinih blokova SAU predstavlja prilično zamoran posao. Činjenica da se obično traže rješenja ovih jednačina za nulte početne uslove, omogućava primjenu nekog od simboličkih metoda rješavanja, kao što su operatorski račun ili Laplaceova transformacija. Obadvije metode vode do formalno identičnih rezultata, koji daju vezu između ulaza i izlaza bloka SAU preko odgovarajuće prenosne funkcije. Neka je data diferencijalna jednačina (2.23) u njenom opštem obliku, čiji red po odzivu n i po dejstvu m, kao i konstante ia i jb , i=1,2,...,n; j=1,2,...,m, zavise od dinamike sistema:

=++++ −−

−xa

dt

dxa

dt

xda

dt

xda n1n1n

1n

1n

n

0 L

uadt

dua

dt

udb

dt

udb m1m1m

1m

1m

m

0 ++++= −−

−L , nm ≤ (3.1)

Ako se u diferencijalnoj jednačini (3.1) uvede simbolička oznaka p za operaciju deriviranja

po vremenu dt/dp ≡ , onda je prema istom formalizmu 222 dt/dp ≡ ,..., kkk dt/dp ≡ ,

itd., pa se tada dobija:

( ) =++++ −− )t(xapapapa n1n

1n1

n0 L

( ) )t(ubpbpbpb m1m1m

1m

0 ++++= −−

L (3.2)

Simbol p predstavlja pojam operatora i označava da se operacija deriviranja po vremenu ima primjeniti na sve veličine u jednom članu nekog izraza raspoređene desno od datog

simbola. Tako na primjer, simbol 2p treba shvatiti primjenjen na neku vremesnku funkciju

kao:

( )2

22

dt

xd)t(x

dt

d

dt

d)t(pxp)t(xp =

== (3.3)

i formalno se piše 222 dt/dp ≡ .

3. Prenosne funkcije blokova sistema automatskog upravljanja

84

Operatori predstavljaju posebnu matematičku kategoriju i ne smiju se shvatiti kao obični brojevi ili funkcije, iako se s njima ponekad formalno računa po istim pravilima kao i sa brojevima i funkcijama. Tako npr., važi zakon asocijacije za operatore: ( ) 22112211 pxapxaxaxap +=+ (3.4)

odakle se vidi da konstanta može izaći i lijevo od znaka operatora. Takođe je: ( ) )t(qx)t(px)t(xqp +=+ (3.5)

gdje su p i q neki diferencijalni operatori. Treba paziti da ne važi zakon komutacije za operator i funkciju međusobno. Tako je: )t(pxp)t(x ≠ (3.6)

Primjenom ovih jednostavnih pravila je dobijena relacija (3.2). Shvati li se operatorski polinom u zagradi na lijevoj strani jednačine (3.2) sasvim formalno, pa se ista “podijeli” ovim polinomom, tada se dobija:

)t(uapapapa

bpbpbpb)t(x

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0

++++++++

=−

−−

−

L

L (3.7)

Tako se dobija razlomljena racionalna “funkcija”:

n1n

1n1

n0

m1m1m

1m

0

apapapa

bpbpbpb)p(G

++++++++

=−

−−

−

L

L (3.8)

koju sada treba shvatiti kao simbolični operator koji u sebi uključuje sve klasične operacije za dobijanje integralne veze (2.35) i koji “primjenjen” na funkciju ulaza )t(u “daje”

funkciju izlaza )t(x :

)t(u)p(G)t(x = (3.9)

)p(G predstavlja prenosnu funkciju posmatranog bloka u operatorskoj formi. S ovom

funkcijom se mogu obavljati određene operacije po pravilima operatorskog računa. Ona međutim dopušta i konkretnije vidove manipulisanja s relacijama između ulaza i izlaza blokova SAU, ukoliko se definiše preko Laplaceove transformacije.

Linearni sistemi automatskog upravljanja

85

3.1. Laplaceova transformacija

3.1.1. Fourierova transformacija Kod sistema automatskog upravljanja ulazni siganli su najčešće neke neperiodične funkcije. Da bi se i u ovom slučaju mogle iskoristiti prednosti koje daju metode analize i sinteze sistema u frekventnom domenu, to je potrebno naći odgovarajući postupak za tretiranje ovakvih signala. To je moguće postići ako se neperiodične funkcije smatraju periodičnim funkcijama beskonačne periode. Tako se dolazi do Fourierove transformacije:

{ } dte)t(f)t(fF)j(F tj∫

+∞

∞−

−== ωω (3.10)

Inverzna Fourierova transformacija je definirana izrazom:

( ) { } ωωπ

ω ω de)j(F2

1)j(FFtf tj1

∫+∞

∞−

− == (3.11)

Ova dva izraza imaju smisla ako integral na desnoj strani izraza (3.10) konvergira, odnosno ako funkcija )t(f ispunjava Dirihleove uslove (u konačnom intervalu )b,a( funkcija

)t(f ima konačan broj maksimuma i minimuma, te je neprekidna ili ima konačan broj

prekida prvog reda) i ako integral:

∞<<= ∫+∞

∞−

Mdt)t(fI (3.12)

ima konačnu vrijednost. Ova predpostavka je dovoljan ali ne i potreban uslov za egzistenciju Fourierove transformacije. Za funkcije koje ispunjavanju ovaj uslov se kaže da pripadaju klasi funkcija tipa početnih uslova. Fourierovom transformacijom neperiodične funkcije tipa početnih uslova matematički se predstavljaju beskonačnim “zbirom” prostoperiodičnih funkcija. Razlika učestanosti svaka dva susjedna člana zbira je beskonačno mala. U osnovi, ovo je metoda analize i sinteze stabilnog linearnog sistema na čiji je ulaz doveden signal opisan funkcijom koja pripada klasi funkcija tipa početnih uslova. U najvećem broju slučajeva analiziraju se kauzalne funkcije za koje važi:

0)t(f ≡ za 0t < (3.13)

pa se Fourierova transformacija definiše integralom:


86

dte)t(flimdte)t(f)j(F tj

0

tj ω

εεωω −

+∞

→

−+∞

∞−∫∫

+

== (3.14)

Na osnovu izraza za )j(F ω mogu se odrediti vrijednosti funkcije ( )tf u svim tačkama

gdje je ona kontinualna i aritmetičke sredine vrijednosti lijevih i desnih strana funkcije u tačkama diskontinuiteta.

3.1.2. Laplaceova transformacija Primjena Furijeve transformacije je u velikoj mjeri ograničena jer većina funkcija ne

zadovoljava uslov apsolutne konvergencije. Zato se uvodi faktor konvergencije te σ− , gdje je σ realan, pozitivan i dovoljno veliki broj, tako da integral konvergira, tj. da je:

( ) ∞<<−+∞

∞−∫ Mdtetf tσ (3.15)

Sada se ima:

( ) ωπ

ωωσσ dedteetf2

1e)t(f tj

0

tjtt∫ ∫∞

∞−

∞−−−

= (3.16)

odnosno:

( ) ( ) ωπ

ωσωσ dedtetf2

1)t(f t)j(

0

tj +∞

∞−

∞+−

∫ ∫

= (3.17)

Uvodeći smjenu ωσ js += i usvajajući da je const== γσ duž cijele konture integracije,

dobija se da je ωjdds= i ( ) dsedtetfj2

1)t(f st

0

st∫ ∫∞

∞−

∞−

=

π. Tako se dobija da je

Laplaceova transformacija:

{ } ( ) dtetf)t(fL)s(F st

0

−∞

∫== , aσσ > (3.18)

a inverzna Laplaceova transformacija da je:

{ } ( ) dsesFj2

1)s(FL)t(f st

j

j

1∫

+

−

− ==ωγ

ωγπ, 0t > (3.19)


87

Vidi se da je Laplaceova transformacija funkcije ( )tf , koja ne mora pripadati klasi funkcija

tipa početnih uslova, ustvari Fourierova transformacija funkcije ( ) tetf σ− , koja se

pogodnim izborom faktora konvergencije te σ− dovodi do zadovoljavanja uslova konvergencije. To znači da je Laplaceovom transformacijom neperiodične funkcije dobijen zbir (integral) beskonačnog broja prigušenih kvaziperiodičnih oscilacija (istog faktora prigušenja σ ), čije su amplitude beskonačno male i beskonačno male razlike u učestanostima svaka dva susjedna člana zbira. U izrazima (3.18) i (3.19) su korišćene uobičajene oznake: L operator Laplaceove

transformacije; 1L− operator inverzne Laplaceove transformacije; s kompleksna učestanost ili kompleksna promjenjiva Laplaceove transformacije; )s(F kompleksni lik funkcije ( )tf

i ( )tf original funkcije )s(F .

Laplaceova transformacija zavisi od oblika funkcije ( )tf i od vrijednosti { } σ=sRe ,

odnosno od veličine faktora konvergencije te σ− . Prema tome, za datu funkciju ( )tf

kompleksni lik )s(F će biti definiran za tačno određenu oblast u ravni kompleksne

promjenjive Laplaceove transformacije. Minimalna vrijednost za σ , obilježena za aσ , pri

kojoj integral za )s(F ima konačnu vrijednost, naziva se apscisom apsolutne

konvergencije. Ova veličina određuje najnižu vrijednost apscise u ravni kompleksne promjenjive s , desno od koje je integral konvergentan, odnosno odgovarajuću poluravan za čiju je svaku tačku kompleksni lik )s(F original ( )tf definisan.

3.1.3. Laplaceove transformacije elementarnih funkcija 1. Laplaceova transformacija jedinične odskočne funkcije. Ova funkcija je definisana izrazom:

≥<

=0t,1

0t,0)t(u (3.20)

a predstavljena je grafikom na slici 3.1. Po definiciji je:

{ } ( )s

1

s

edtetu)t(uL

0

stst

0

=−

==∞−

−∞

∫ (3.21)

Funkcija ( )tu ima prekid prve vrste u tački 0t = . Granična vrijednost funkcije kada

+→ 0t , tj. kada se t približava nuli preko pozitivnih vrijednosti je 1, dok je granična

vrijednost funkcije kada −→ 0t ravna nuli.


88

Slika 3.1. Grafički prikaz jedinične odskočne funkcije

2. Laplaceova transformacija jedinične impulsne funkcije. Ova funkcija je definisana izrazom:

( )

=∞≠

=−0

00 tt,

tt,0ttδ (3.22)

pri čemu je:

( ) 1dttt 0 =−∫∞

∞−δ (3.23)

Grafički prikaz idealne impulsne funkcije je dat na slici 3.2a. Stvarna impulsna funkcija se može shvatiti kao pravougaoni impuls čija je površina jednaka jedinici, što veće amplitude i što kraćeg vremenskog trajanja, slika 3.2b, tj. kada je ispunjen uslov da 0a → .

a) b)

Slika 3.2. Grafički prikaz idealne impulsne funkcije u trenutku t=0 (a) i stvarne u obliku pravougaonog impulsa (b)

δ(t)

t

u(t)

t

0

1

t

0 a

u(t)

1a


89

Po definiciji je:

{ } ( )[ ]sa

e1limdte

a

1limdte)at(utu

a

1lim)t(L

sa

0a

a

0

st

0a

st

00a

−

→

−

→

−∞

→

−==−−= ∫∫δ (3.24)

Kada 0a → ovaj izraz nije definisan, pa se mora primjeniti L´Hospitalovo pravilo. Tako se dobija da je:

{ } 1elims

selim)t(L sa

0a

sa

0a=== −

→

−

→δ (3.25)

3. Laplaceova ransformacija nagibne funkcije. Ova funkcija je definisana izrazom:

( ) ( )ttutf = , 0t ≥ (3.26)

gdje je )t(u jedinična odskočna funkcija. Grafik nagibne funkcije je dat na slici 3.3.

Slika 3.3. Grafički prikaz nagibne funkcije

{ } ==+−=

−==

==−=

== ∫∫∫∫ ∫ ∞

−∞ −∞−∞

−

−− dtes

1dt

s

e

s

te

s

ev,dtdu

dtedv,tu

vduuvudv

dtettL0

st

0

st

0

st

0 st

stst

( )22

st

0

st2 s

1

0s

estde

s

1 =∞

−=−−=−∞

−∫ (3.27)

Sličnim postupkom se dobija:

{ }1n

n

s

!ntL

+= (3.28)

f(t)

tα

α = π4


90

4. Laplaceova transformacija eksponencijalne funkcije. Ova funkcija je definisana izrazom:

( ) +− ∈= R,etf t αα (3.29)

pa je:

{ }αα

αααα

+=

∞+−

=== ∫ ∫∞ ∞ +−

+−−−−

s

1

0)s(

edtedteeeL

0 0

t)s(t)s(sttt (3.30)

5. Laplaceova transformacija sinusne funkcije. Za sinusnu funkciju se ima da je:

{ } ( ) =−== ∫∫∞

−−∞

− dteeej2

1dtetsintsinL

0

sttjtj

0

st ωωωω

220

t)sj(t)sj(

ssj

e

sj

e

j2

1

ωω

ωω

ωω

+=

−−−

−=

∞+−− (3.31)

Sličnim postupkom se dobija za kosinusnu funkciju:

{ }22s

stcosL

ωω

+= (3.32)

3.1.4. Osobine Laplaceove transformacije 1. Osobina linearnosti. Dobija se neposrednom primjenom definicije Laplaceove transformacije. Ukazuje na homogenost i aditivnost Laplaceovog operatora L , pa se matematički izražava relacijom:

{ } )s(aF)t(afL = , { } )s(F)s(F)t(f)t(fL 2121 +=+ (3.33)

gdje je: Ra∈ konstanta, a ( )sF1 i ( )sF2 kompleksni likovi funkcija ( )tf1 i ( )tf 2 ,

respektivno. 2. Osobina pomaka. Neka je data funkcija ( )τ−tf , koja je vremenski pomjerena za

vrijeme τ u odnosu na funkciju ( )tf . Tada je { } )()( sFetfL sττ −=− .


91

Dokaz: Po definiciji je { } ( ) dtetf)t(fL st

0

−∞

∫ −=− ττ , pri čemu je ( ) 0tf =−τ za τ<t .

Uvođenjem smjene ξτ =−t , ξddt = , se dobija:

{ } ( ) ===− ∫∫∞

−

−−+−∞

−ξξξξτ

τ

ξτξτ

τde)(fedef)t(fL sss)(

( ) ( ) )s(Fedefdefe ssss τ

τ

ξξτ ξξξξ −

−

∞−−− =

+= ∫ ∫

0

0

(3.34)

jer je ( ) 0tf ≡−τ za τ<t , pa je prvi integral ravan nuli, a drugi član je upravo kompleksni

lik )s(F funkcije ( )tf . Faktor se τ− se naziva faktorom čistog vremenskog kašnjenja ili

prosto čisto kašnjenje ili transportno kašnjenje. Kao primjer se mogu navesti Laplaceove transformacije jedinične odskočne i jedinične impulsne funkcije sa vremenskim kašnjenjem τ :

{ }s

1e)t(uL sττ −=− ; { } se)t(L ττδ −=− (3.35)

3. Osobina prigušenja. Ova osobina kaže da je { } )as(F)t(feL at +=− , gdje je +∈ Ra da

bi bilo prigušenje. Dokaz. Po definiciji je:

{ } dte)t(fdte)t(fe)t(feL t)sa(

0

st

0

atat +−∞

−∞

−−∫∫ == (3.36)

Uvođenjem smjene sa +=λ , dsd =λ , izraz (3.36) postaje:

{ } ( ) ( ) )sa(FFdtetf)t(feL t

0

at +=== −∞

−∫ λλ (3.37)

4. Osobina konvolucije. Ova osobina kaže da je:

{ } )()()()()( 2

0

1211 tfdtffsFsFL

t

=−= ∫− τττ (3.38)

Dokaz. Neka je:


92

{ } ( ) ( ) τττ dtffdte)s(F)t(fL 20

t

01

st −== ∫ ∫∞

− (3.39)

Ako je ( ) 0tf 2 ≡−τ za τ<t , onda je za τ>t :

( ) ( ) ττττττ dtffd)t(f)(f 20

12

t

01 −=− ∫∫

∞ (3.40)

Sada je:

( ) ( ) ( ) dtetfdfsF st

02

01

−∞∞

−= ∫∫ τττ (3.41)

Uveđenjem smjene dtd,t =−= λτλ , se dobija da je:

( ) λλττ τλ

τdefd)(f)s(F )(s

20

1+−

∞

−

∞

∫∫= (3.42)

Kako je 0)t(f 2 ≡−τ za τ<t , to je 0)(f 2 ≡λ za 0<λ . Zato je:

( ) )s(F)s(Fde)(fde)(fsF 21s

02

s

01 == −

∞−

∞

∫∫ λλττ λτ (3.43)

Slijedi da je:

{ } ( ) ττττττ d)t(ffd)t(f)(f)s(F)s(FLtt

−=−= ∫∫−

1

0

22

0

1211 (3.44)

5. Osobina izvoda originala. Ova osobina kaže da je:

( )∫∞

−=

0

stdtedt

)t(df

dt

tdfL (3.45)

Neka je: steu −= , ( )

dtdt

tdfdv = , dtsedu st−−= , )t(fv = , pa se dobija da je:

( ))s(sF)0(fdte)t(fs

0e)t(f

dt

tdfL

0

stst +−=+∞

=

+

∞−−

∫ (3.46)


93

Sve ovo važi pod uslovom da )s(F postoji, da je )t(f kontinualna funkcija za 0t > i da

je 0)t(felim st

t=−

∞→.

Primjenom parcijalne integracije može se dobiti kompleksni lik n-tog izvoda originala:

∑=

+−−−=

n

1k

)1k(knnn

n

)0(fs)s(Fsdt

)t(fdL (3.47)

uz uslov da )s(F postoji, da su funkcija )t(f i njenih )1n( − prvih izvoda kontinualni za

0t > i da je 0)t(felim )kn(st

t=−−

∞→, n,...,2,1k = .

6. Osobina integrala originala. Kompleksni lik integrala funkcije se može neposredno dobiti parcijalnom integracijom definicionog integrala Laplaceove transformacije:

{ } [ ] dtedt)t(fdt)t(fL st

0

−∞

∫ ∫∫ = (3.48)

Ako se uzme da je ∫= dt)t(fu i dtedv st−= , tada su dt)t(fdu = i stes

1v −−= , pa je:

{ } [ ] )(1

)(1

)(1

0)(

1)(

00

sFs

dttfs

dtetfs

dttfes

dttfLt

stst +=+∞

−= ∫ ∫∫∫+=

−∞

− (3.49)

Ako se uvede oznaka da je:

dt)t(f...)t(f

putan

)n(876

−

−∫ ∫ ∫= (3.50)

Slično se dobija:

{ } ∑=

+−+

−− +=

n

0i1in

)i(

n)n(

s

)0(f

s

)s(F)t(fL (3.51)

7. Osobina izvoda kompleksnog lika. Ova osobina kaže da je:

∫ ∫∞ ∞

−− −==0 0

stst dte)t(ftdte)t(fds

d

ds

)s(dF (3.52)

Odavde slijedi da je:


94

{ })t(ftLds

)s(dF −= (3.53)

Uopšteno vrijedi da je:

{ } )s(Fds

d)1()t(ftL

n

nnn −= (3.54)

8. Osobina izračunavanja početne vrijednosti. Ova osobina kaže da vrijedi:

)s(sFlim)t(flims0t ∞→→

= (3.55)

Dokaz. Ako se pođe od relacije:

)0(f)s(sFdte)t(f st

0+

−∞

−=′∫ (3.56)

a pošto je:

∫∞

−

∞→=′

0

st

s0dte)t(flim (3.57)

to je:

[ ] 0)0(f)s(sFlims

=− +∞→

(3.58)

Odakle se direktno dobija da je:

[ ] )t(flim)0(f)s(sFlim0ts →

+∞→

== (3.59)

9. Osobina izračunavanja konačne vrijednosti. Ova osobina kaže da vrijedi:

)s(sFlim)t(flim0st →∞→

= (3.60)

Dokaz. Prema osobini izvoda originala se ima da je:

)0(f)s(sFdte)t(f0

st∫∞

+− −=′ (3.61)

Pošto je:


95

)0(f)t(flimdt)t(fdte)t(flimt00

st

0s+

∞→

∞∞−

→−=′=′ ∫∫ (3.62)

što se drugačije može napisati kao:

[ ])0(f)t(flimdt)t(flimt

0 tt+

∞→∞→−=′∫ (3.63)

Ako se u relaciju (3.61) uvrsti da 0s → i izjednači s rezultatom dobijenim u (3.63), tada se ima da je:

[ ] [ ])0(f)s(sFlim)0(f)t(flim0st

+→

+∞→

−=− (3.64)

odakle je očigledno: )s(sFlim)t(flim

0st →∞→= (3.65)

3.2. Inverzna Laplaceova transformacija

Kompleksni likovi dati su u formi realnih racionalnih funkcija kompleksne promjenjive s :

mn,asa...sas

bsb...sbsb

)s(Q

)s(P)s(F

n1n1n

1n

m1m1m

1m

0

n

m ≥++++

++++==

−−

−−

(3.66)

Najčešći slučaj kompleksnih likova kontinualnih stacionarnih linearnih sistema sa skoncentrisanim parametrima je da je ispunjen uslov mn ≥ . Nule polinoma )s(Qn

nazivaju se polovi, a nule polinoma )s(Pm nazivaju se nule realne racionalne funkcije

)s(F . Pošto su ovo polinomi sa realnim koeficijentima, nule i polovi se mogu javljati kao

realni ili konjugovano kompleksni parovi, a mogu biti prosti ili višestruki. Od posebnog su interesa polovi funkcije )s(F , tj. nule polinoma )s(Qn , odnosno korijeni jednačine:

0asa...sas)s(Q n1n1n

1n

n =++++= −− (3.67)

1. Svi polovi su realni i jednostruki. Neka su svi korijeni is , n,...,2,1i = jednačine

0)s(Qn = realni i jednostruki. Tada se jedančina (3.66) može napisati u faktoriziranom

obliku:


96

)ss)...(ss)(ss(

)s(P)s(F

n21

m

−−−= (3.68)

i razviti u parcijalne razlomke:

n

n

2

2

1

1

n

m

ss

K...

ss

K

ss

K

)s(Q

)s(P)s(F

−++

−+

−== (3.69)

gdje su .konstK i = , n,...,2,1i = , koje se izračunavaju kao ostatci funkcije )s(F u

polovima n21 s,...,s,s . Množeći lijevu i desnu stranu izraza (3.69) sa ( )iss− , a potom

uvrštavanjem iss = dobijaju se relacije za računanje iK .

Primjer 3.1. Neka je:

1s

K

3s

K

)1s)(3s(

7s3

3s2s

7s3)s(F 21

2 ++

−=

+−+=

−−+=

44

16

)1s)(3s(

7s3)3s(K

3s1 ==

+−+−=

=

14

4

)1s)(3s(

7s3)1s(K

1s2 −=

−=

+−++=

−=

1s

1

3s

4)s(F

+−

−=

tt31 ee41s

1

3s

4L)t(f −− −=

+−

−= ; 0t ≥

2. Hevisajdov postupak. Neka su ponovo svi korjeni is , n,...,2,1i = jednačine 0)s(Qn =

realni i jednostruki. Tada je:

∑∏ =

=

−=

−==

n

1i i

in

1ii

m

n

m

ss

K

)ss(

)s(P

)s(Q

)s(P)s(F (3.70)

pa izrazi za računanje konstanti imaju oblik:

−=

→ )s(Q

)s(P)ss(limK

n

mi

ssi

i

, n,...,2,1i = . (3.71)

Kada iss → ovaj izraz postaje neodređen (,,0/0”) jer i )s(Qn sadrži faktor ( )iss− . Zato je

neophodno primjeniti L´Hospitalovo pravilo, pa će se dobiti:


97

[ ]=

−+=

−=

→→

ds

)s(dQds

)s(dP)ss()s(P

lim

ds

)s(dQ

)s(P)ss(ds

d

limKn

mim

ssn

mi

ssi

ii

)s(Q

)s(P

in

im

′= , n,...,2,1i = (3.72)

Sada se ima da je:

∑= −′

=n

1i iin

im

ss

1

)s(Q

)s(P)s(F (3.73)

U ovome izrazu svi članovi na desnoj strani predstavljaju kompleksne likove eksponencijalnih funkcija. Ako se sada primijeni osobina aditivnosti Laplaceove transformacije tada se dobije:

{ } ot,e)s(Q

)s(P)t(f)s(FL ts

n

1i in

im1 i ≥′

== ∑=

− (3.74)

Primjer 3.2. Neka je:

)s(Q

)s(P

)3s)(2s)(1s(

4s2)s(F

n

m2

=−−+

−=

6ss4s)3s)(2s)(1s()s(Q 23n ++−=−−+=

1s8s3)s(Q 2n +−=′

6

1

12

2

)s(Q

)s(P1s

n

m −=−=′ −=

3

4

)s(Q

)s(P2s

n

m −=′ =

2

7

4

14

)s(Q

)s(P3s

n

m ==′ =

3s2

7

2s3

4

1s6

1

)s(F−

+−

−+

+

−=

{ } ot,e2

7e

3

4e

6

1)s(FL)t(f t3t2t1 ≥+−−== −−

3. Konjugovano-kompleksni polovi. Neka su 1s i *12 ss = konjugovano kompleksni par

polova, a ostali polovi n43 s,...,s,s neka su realni i jednostruki. Tada je:


98

=−−−−

=)ss)...(ss)(ss)(ss(

)s(P)s(F

n3*11

m

n

n

3

3*1

*1

1

1

ss

K...

ss

K

ss

K

ss

K

−++

−+

−+

−= (3.75)

Neka je ωα js1 +−= i ωα js*1 −−= . Lahko se može pokazati da će i ostaci konjugovano

kompleksnog para polova takođe biti konjugovano kompleksni par, tj. jbaK1 += i

jbaK 2 −= . Sada )s(F postaje:

∑=

=−

+++

−+

−++

=n

3i i

i

ss

K

js

jba

js

jba)s(F

ωαωα

∑= −

+++−+

=n

3i i

i22 ss

K

)s(

b2)s(a2

ωαωα

(3.76)

Koeficijenti n43 K,...,K,K se određuju po ranije izvedenom postupku. Ista relacija se može

koristiti i za računanje koeficijenta 1K koji je u općem slučaju kompleksan broj:

ωα jsn

m1

)s(Q

)s(PjbaK +−=′

=+= (3.77)

Sada se dobija:

{ } +

++−+

+++

== −−−22

122

11

)s(

b2L

)s(

)s(a2L)s(FL)t(f

ωαω

ωαα

+−=

−′+ −−

=

− ∑ tsinbe2tcosae2ss

1

)s(Q

)s(PL tt

n

3i iin

im1 ωω αα

∑=

≥′

+n

3i

ts

in

im 0t,e)s(Q

)s(Pi (3.78)

ili na osnovu poznatog trigonometrijskog identiteta konačno se dobija:

∑=

− ≥′

+++=n

3i

ts

in

)imt22 0t,e)s(Q

s(P)tcos(eba2)t(f iϕωα (3.79)

gdje je ).a/b(arctg=ϕ

4. Višestruki polovi. Neka )s(F ima trostruki pol u tački 1ss = , a svi ostali polovi neka su

jednostruki i realni. Tada se )s(F može razviti u parcijalne razlomke:


99

=−−−−

=)ss()ss)(ss()ss(

)s(P)s(F

n543

1

m

L

+−

+−

+−

=1

132

1

123

1

11

ss

K

)ss(

K

)ss(

K∑= −′

n

4i iin

im

ss

1

)s(Q

)s(P (3.80)

Ako se i lijeva i desna strana relacije (3.80) pomnoži sa ( )31ss− , a potom uvrsti 1ss = to

se dobija:

1ssn

m3111 )s(Q

)s(P)ss(K

=

−= (3.81)

Za određivanje 12K potrebno je diferencirati relaciju (3.80) pomnoženu sa ( )31ss− , tj.:

( ) ( ) +−+−+=− 132

112111n

m31 KssKssK

)s(Q

)s(P)ss(

( )i

n

4i n

m31 ss

1

)s(Q

)s(Pss

−′−+ ∑

= (3.82)

pa u dobijeni izraz uvrstiti 1ss = . Tako se dobija:

1ssn

m3112

)s(Q

)s(P)ss(

ds

dK

=

−= (3.83)

Poslije dvostrukog diferenciranja po s i zamjenom 1ss = dobija se:

1ssn

m312

2

13 )s(Q

)s(P)ss(

ds

d

2

1K

=

−= (3.84)

Tako se dobija da je:

{ } +++== − ts13

ts12

ts2111 111 eKteKet2

K)s(FL)t(f

tsn

4i in

im ie)s(Q

)s(P∑= ′

+ , ot ≥ (3.85)

Uopćeno, za pol rss = višestrukosti reda p se ima:


100

rssn

mpr1m

1m

rm )s(Q

)s(P)ss(

ds

d

)!1m(

1K

=−

−

−

−= , p,...,2,1m = (3.86)

3.3. Primjena Laplaceove transformacije za dobijanje prenosne funkcije sistema

Primjena jednostavnih pravila Laplaceove transformacije omogućava da se ista primjeni na jednačinu (3.1) i dobije:

( ) =++++ −− )s(Xasasasa n1n

1n1

n0 L

( ) )s(Ubsbsbsb m1m1m

1m

0 ++++= −−

L (3.87)

odnosno:

)s(Uasasasa

bsbsbsb)s(X

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0

++++++++

=−

−−

−

L

L (3.88)

Za razliku od (3.7), ovdje je dijeljenje obavljeno kompleksnim polinomom, a ne jednim operatorskim izrazom. Kompleksna razlomljena racionalna funkcija:

n1n

1n1

n0

m1m1m

1m

0

asasasa

bsbsbsb)s(G

++++++++=

−−

−−

L

L (3.89)

ima identičnu formu kao i simbolički operator )p(G , pri čemu je operator deriviranja p

zamijenjen kompleksnom promjenljivom s. Razlomljena racionalna funkcija, koja je data relacijom (3.89), se naziva prenosnom funkcijom posmatranog bloka. U ovome se ne pravi nikakva terminološka razlika, uprkos različite prirode kompleksne prenosne funkcije )s(G i prenosne funkcije operatora )p(G .

Ovo ponekad unosi nesporazum, ali srećom nema posljedica u primjenama jer su formalna pravila računanja s prenosnim funkcijama u oba formalizma ista. Na osnovu (3.88) i (3.89) se dobija da je: )s(U)s(G)s(X = (3.90)

)s(X se dobija jednostavnim množenjem kompleksne funkcije )s(U , koja predstavlja

Laplaceovu transformaciju ulaznog signala, prenosnom funkcijom )s(G . Vremenski odziv

)t(x se tada može odrediti inverznom Laplaceovom transformacijom. Dosljednom

primjenom direktne i inverzne Laplaceove transformacije mogu se dobiti, u konkretnim


101

primjerima blokova SAU, potpuno isti rezultati koji su dobijeni klasičnim putem. No nalaženje vremenskih odziva uopšte više nije nužno. O dinamičkim osobinama pojedinih blokova SAU sada se može suditi na osnovu oblika samih prenosnih funkcija. Ovo će naročito postati jasno kada se pokaže da između prenosnih funkcija sistema i njihovog frekventnog odziva postoji najdirektnija moguća veza. Prenosna funkcija (3.89) nosi u sebi sve informacije o dinamičkim osobinama bloka SAU kome pripada. U (3.89) je ona napisana u opštem obliku za sistem n tog reda. Ipak, za blok čistog kašnjenja ona ima drukčiji oblik i ne predstavlja razlomljenu racionalnu funkciju. Koristeći navedene osobine Laplaceove transformacije se može zaključiti da prenosna funkcija bloka čistog kašnjenja ima oblik:

τse)s(U/)s(X)s(G −== (3.91)

gdje je τ vrijeme čistog transportnog kašnjenja. Kao primjer veze između različitih metoda za opisivanje dinamičkih osobina blokova SAU, mogu se navesti prenosne funkcije elementarnih blokova SAU. Iste se dobijaju primjenom Laplaceove transformacije na odgovarajuće diferencijalne jednačine kojima je opisana njihova dimamika. a) Bezinercioni blok:

K)s(U

)s(X)s(G == (3.92)

b) Aperiodski blok prvog reda:

1Ts

K

)s(U

)s(X)s(G

+== (3.93)

c) Blok integratora:

s

K

)s(U

)s(X)s(G v== (3.94)

d) Blok diferencijatora :

- idealnog: sT)s(U

)s(X)s(G d== (3.95)

- realnog: 1sT

sTK

)s(U

)s(X)s(G

i

d

+== (3.96)


102

e) Integralno diferencijalni blok:

1sT

1sTK

)s(U

)s(X)s(G

i

d

++

== (3.97)

f) Inercioni blok drugog reda:

1sTsTT

K

)s(U

)s(X)s(G

22

21 ++== (3.98)

ili:

1Ts2sT

K

)s(U

)s(X)s(G

22 ++==

ξ (3.98`)

g) PID regulator:

++== sT

sT

11K

)s(U

)s(X)s(G d

ip (3.99)

Prenosna funkcija PI regulatora je:

sT

1sTK

sT

11K

)s(U

)s(X)s(G

i

ip

ip

+=

+== (3.99`)

i ima oblik recipročan obliku prenosne funkcije realnog diferencijatora. h) Blok čistog transpotrnog kašnjenja. Ovaj blok ima prenosnu funkciju:

τse)s(U

)s(X)s(G −== (3.100)

Njeno korištenje se pokazuje kao vrlo zgodno i jednostavno u različitim primjenama, ali je sama realizacija u domenu linearnih kontinualnih sistema dosta otežana, jer ista predstavlja transcedentnu funkciju. Zato se prenosna funkcija bloka čistog transportnog kašnjenja, relacija (3.100), aproksimira Padeovom funkcijom:

)s(F

)s(W)s(G

nm

nmnm τ

ττ−−=− (3.101)

pri čemu su generišuće funkcije )s(Fnm τ− i )s(Wnm τ− date obrascima:

( )im

0inm s

)!mn(!i

)!imn(

)!im(

!m)s(F ττ −

+−+

−=− ∑

= (3.102)


103

( ) jm

0j

jnm s

)!mn(!j

)!jmn(

)!jn(

!n)1()s(W ττ −

+−+

−−=− ∑

= (3.103)

Ovi izrazi predstavljaju Padeove polinome iz nazivnika i brojnika Padeove funkcije, koja je u ovome slučaju razlomljena racionalna funkcija i zgodna je za realizaciju u slučaju da je

nm = . Sada Padeova funkcija n-tog reda ima oblik:

n

nn2

2n1n0n

nnn

22n1n0n

nnsasasaa

sbsbsbb)s(G

++++++++=−

L

Lτ (3.104)

pri čemu su koeficijenti nia i nib funkcije transportnog kašnjenja τ :

)(fani τ= , n,...,2,1,0i = (3.105)

gdje je n red Padeove funkcije. Takođe vrijedi relacija:

nii

ni a)1(b −= , n,...,2,1,0i = (3.106)

Uvrštavanjem i,...,2,1n = , itd. dobijaju se Padeove funkcije prvog, drugog, trećeg,…, i -tog, itd. reda:

s2

s2)s(G11 τ

ττ+−=− , 1n =

22

22

22ss612

ss612)s(G

τττττ

+++−=− , 2n =

3322

3322

33ss12s60120

ss12s60120)s(G

τττττττ

+++−+−=− , 3n = , itd.

Interesantno je da Padeove funkcije )s(Gnn τ− , proizvoljnog reda i,...,2,1n = , imaju:

a) amplitudno frekventnu karakteristiku ravnu jedinici, tj.: 1)j(Gnn =− ωτ , i,...,2,1n = , (3.107)

kao i sam blok čistog transportnog kašnjenja:

1e j =− ωτ (3.108)

b) dok fazno frekventna karakteristika Padeove funkcije vrlo brzo konvergira fazno frekventnoj karakteristici bloka čistog transportnog kašnjenja sa porastom reda n, a kada se pusti da ∞→n postiže se potpuna aproksimacija i fazno frekventne karakteristike, tj.:


104

ωτωτϕ −=∞→

)(lim nnn

(3.109)

U praktičnim realizacijama je dovoljno uzeti Padeovu funkciju drugog reda, tj. 2n = . Iz samog načina formiranja prenosnih funkcija )s(G jasno je da se pomoću inverzne

Laplaceove transformacije proizvoda )s(U)s(G može dobiti vremenski odziv sistema.

Procedura iznalaženja inverzne Laplaceove transformacije u opštem slučaju može biti gotovo isto toliko teška kao rješavanje originalne diferencijalne jednačine klasičnim putem. Često puta, nije interesantan tačan tok cijelog vremenskog odziva nego samo njegovo asimptotsko ponašanje kad ∞→t . U ovom slučaju nije potrebno nalaziti rješenje u vremenskom domenu a zatim graničnu vrijednost, pošto postoji direktna veza između graničnih vrijednosti u oba domena (vremenskom i domenu kompleksne promjenjive s ). Ova veza je poznata kao osobina izračunavanja krajnje vrijednosti u Laplaceovoj transformaciji i data je relacijom: )s(sXlim)t(xlim

0st →∞→= (3.110)

Ova relacija je veoma korisna. posebno kada je )t(u jedinična step funcija, dakle

s/1)s(U = i )s(U)s(G)s(X = pa se ima:

)s(Glim)t(xlim

0st →∞→= (3.111)

Primjer 3.3. Neka je data prenosna funkcija integralno-diferencijalnog bloka (3.97). Tada je:

K1sT

1sTKlim)t(xlim

i

d

0st=

++=

→∞→ (3.112)

u šta se lahko uvjeriti poredeći ovaj rezultat s onim što je proizašlo iz jednačine (3.108) i sa dijagrama na slici 2.31.

3.4. Interpretacija prenosne funkcije sistema u { }s ravni U prenosnoj funkciji (3.89) promjenljiva s, koja vodi porijeklo od parametara u integralu (3.18), predstavlja u opštem slučaju kompleksni broj ωσ js += , a sama prenosna funkcija

)s(G kompleksnu funkciju. Realnom i imaginarnom dijelu kompleksne promjenljive s za

sada se ne pripisuje nikakva određena fizička priroda, iako će se nešto kasnije pokazati da komponenta uz imaginarnu jedinicu j ima zbilja karakter frekvencije.


105

Iz teorije kompleksnih funkcija se zna, da je prenosnom funkcijom )s(G definisano

preslikavanje tačaka kompleksne ravni { }s u odgovarajuće tačke kompleksne ravni { })s(G .

Pri tome se može pisati: )s(GImj)s(GRe)s(G += (3.113)

gdje su sa )s(GRe i )s(GIm označeni realni i imaginarni dijelovi kompleksne funkcije

)s(G respektivno. Svakoj tački u kompleksnoj ravni { }s odgovara jedna tačka (ili skup

tačaka) u kompleksnoj ravni { })s(G , i obrnuto, slika 3.4.

Slika 3.4. Preslikavanje prenosnom funkcijom G(s)

Tako se, na primjer, tačka 000 jss ωσ +== kompleksne ravni { }s , kompleksnom

funkcijom )s(G preslikava u tačku ( ) == 00 sGG ( ) ( )00 sGImjsGRe + kompleksne ravni

{ })s(G . Za neku drugu prenosnu funkciju ista tačka { }s ravni bi se preslikala u neku drugu

tačku { })s(G ravni. Pojedini skupovi tačaka iz { }s ravni, različite krive i sl., proizvoljno ili

na osnovu nekog kriterija izabrani sa funkcijom )s(G preslikavaju se u odgovarajuće

skupove tačaka u { })s(G ravni.

Neke od tačaka { }s ravni predstavljaju poseban interes u vezi s njihovim osobinama koje se

manifestuju pri preslikavanju. To su nule i polovi prenosne funkcije )s(G . Nule su

određene onim vrijednostima promjenjive s za koje se )s(G anulira, tj. nule prenosne

funkcije predstavljaju korjene polinoma iz brojitelja izraza (3.89):

0bsbsbsb)s(P m1m1m

1m

0m =++++= −−

L (3.114)

Polovi prenosne funkcije su korjeni polinoma iz imenitelja izraza (3.89):

0asasasa)s(Q n1n1n

1n

0n =++++= −−

L (3.115)

jI G(s)m

G(s)

jI G(s )m 0 G(s )0

e 0R G(s )

eR G(s)

{ }jω

s s 0jω0

s{ }

σ

=

σ0


106

i ako se prenosnom funkcijom )s(G preslikavaju kao beskonačno udaljene tačke u ravni

{ })s(G . Vidi se, da (3.115) nije ništa drugo nego karakteristična jednačina sistema. Na ovaj

način posmatran sistem ima m nula i n polova. Njihov raspored u kompleksnoj ravni { }s

ima direktnu vezu s dinamičkim osobinama posmatranog bloka, tako da se već na osnovu njihovog položaja može suditi o stabilnosti sistema, kvalitetu prelaznog procesa i sl. Tako, na primjer, iz teorije stabilnosti linearnih sistema kao neophodan uslov da sistem bude stabilan proizilazi uslov da njegova prenosna funkcija )s(G ne sadrži polove u desnoj

poluravni kompleksne ravni { }s . Drugim riječima kazano, ovaj uslov se svodi na zahtjev da

karakteristična jednačina sistema (3.115) nema korijena sa pozitivnim realnim dijelom, pa prema tome ni članova u rješenju diferencijalne jednačine koji bi beskonačno rasli kad se vrijeme proteže u beskonačnost. Ovaj uslov je već korišten na primjeru nalaženja odziva inercionog bloka drugog reda. Raspored nula i polova prenosne funkcije )s(G očigledno zavisi od koeficijenta u

polinomima )s(Pm i )s(Qn . Za jedan fiksirani skup koeficijenata uobičajeno je da se

položaj nula i polova u { }s ravni označi tako da se nule označe “kružićima”, a polovi

“krstićima”, slika 3.5. Lahko se primijeti da su nule i polovi ili realne ili konjugovano kompleksne tačke u { }s

ravni. Ako se koeficijenti u polinomima )s(Pm i )s(Qn mijenjaju, pojedine nule i polovi

opisuju trajektorije u svojoj kompleksnoj ravni, što je strelicama naznačeno na slici 3.5. Na taj način je moguće analizirati kombinacije koeficijenata u prenosnoj funkciji, koja može dovesti da pojedini polovi pređu granicu između lijeve i desne poluravni kompleksne ravni { }s i na taj način da sistem pređe u nestabilan režim rada. Granicu između stabilne i

nestabilne oblasti za lokaciju polova prenosne funkcije, prema tome, čini imaginarna osa ωjs = . Tako sama { }s ravan sa rasporedom nula i polova prenosne funkcije )s(G u njoj,

predstavlja sredstvo za analizu dinamičkih osobina blokova SAU.

Slika 3.5. Predstavljanje nula i polova u kompleksnij ravni

jω

σ

s


107

Na ovakvoj analizi je razvijen niz metoda u teoriji automatskog upravljanja, kao na primjer metoda korjenskog hodografa (Evans), metoda D razlaganja i druge. Za njihovu primjenu često je zgodno da polinomi )s(Pm i )s(Qn , u izrazu za prenosnu funkciju sistema, budu

napisani u faktoriziranom obliku:

( )( ) ( )( )( ) ( )n

m

n

m

pspsps

nsnsns

a

b

sQ

sPsG

−−−−−−

==L

L

21

21

0

0

)(

)()( (3.116)

Iz (3.116) se tada neposredno vidi lokacija pojedinih nula i polova. Druge metode analize dinamičkog ponašanja blokova SAU polaze od lokacije preslikanih tačaka u ravni { })s(G .

Iz pomenutih razloga u vezi sa stabilnošću blokova SAU, jedan od interesantnih skupova za preslikavanje iz { }s ravni u { })s(G ravan je sama imaginarna osa, ωjs = . U opštem

slučaju, ova osa se preslikava na otvorenu ili zatvorenu krivu u { })s(G ravni. Oblik i

lokacija ove krive su indikacija izvjesnih dinamičkih osobina bloka SAU sa posmatranom prenosnom funkcijom, a naročito stabilnosti i rezerve stabilnosti. Sam metod spada u tzv. frekventne metode, koji su razvijeni iz frekventnog odziva sistema, o čemu će se detaljnije govoriti u poglavlju 4.


108

Documents

Automatizacija