Automatizacija

4. FREKVENTNI ODZIVI BLOKOVA I SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

[24, 31, 66, 71, 77] Ulazni signal u jedan blok SAU može biti standardni harmonijski signal, koji se predstavlja funkcijom tsinω ili tcosω . U ovom momentu interesantno je odrediti odnos amplituda i faza između izlaza i ulaza u stacionarnom stanju odgovarajućih varijabli. Frekventni odziv bloka SAU se tada može predstaviti parom karakteristika: amplitudno frekventnom i fazno frekventnom. Njihov tipični oblik za blok SAU je prikazan dijagramima na slici 4.1.

Slika 4.1. Tipični oblik amplitudno frekventne i fazno frekventne karakteristike

U iznalaženju frekventnog odziva bloka SAU, nije uopšte nužno da se prvo nađe njegov vremenski odziv, pa onda iz njega, eventualno, traženi odnos amplituda i faza signala na izlazu i ulazu. Sve podatke daje već sam oblik prenosne funkcije sistema, a da se uopšte ne

mora uzeti u obzir ulazni signal. Kompleksna funkcija ωω js)s(G)j(G == , kojom se

preslikava imaginarna osa { }s ravni u odgovarajuću krivu u kompleksnoj ravni { })s(G ima

izvanrednu osobinu da je: )j(G)(A ωω = , )j(Garg)( ωωϕ = (4.1)

Znači, obadvije karakteristike na slici 4.1 su sadržane u ovoj kompleksnoj funkciji. U praksi se koriste različite varijante njenog prikazivanja. Često se uzima jednostavno frekvencija f

umjesto kružne frekvencije f2πω = , za nezavisno promjenjivu, ili se bira logaritamska

razmjera na apscisi. Konačno, mogu se posmatrati i logaritamske frekventne karakteristike, kod kojih se uspostavlja funkcionalna veza između )(Alog ω i )(ωϕ s jedne strane i ωlog

s druge strane. Nešto kasnije će biti detaljnije objašnjene osobine preslikane krive )j(G ω ,

tzv. AF -amplitudno fazne karakteristike sistema.

A(ω)

ω

ϕ ω)(

ω

4. Frekventni odzivi blokova sistema automatskog upravljanja

110

Prije svega, potrebno je pokazati da )j(G ω ima zbilja karakter frekventnog odziva sistema,

tj. da )j(G ω daje odnos amplituda, a )j(Garg)( ωωϕ = faznu razliku prostoperiodičnih

signala na izlazu i ulazu bloka SAU. Pri tome je blok SAU opisan prenosnom funkcijom )s(G i nalazi se u režimu stacionarnih oscilacija. Da bi se ovo pokazalo, potrebno je

posmatrati vremenski odziv datog bloka SAU na harmonijski ulazni signal:

tj0tj00 e

2

Ue

2

UtcosU)t(u ωωω −+== (4.2)

Eksponencijalni način pisanja harmonijskih funkcija ovdje znatno olakšava izvođenje matematičkih operacija. Pošto važi zakon superpozicije, mogu se posmatrati parcijalni odzivi sistema na odgovarajuća eksponencijalna dejstva:

tj0 e2

U)t(u ω±= (4.3)

Ukupan odziv sistema )t(x jednak je sumi pojedinačnih odziva. Ako se predpostavi da se

pojedinačni odzivi sistema na kompleksni ulazni signal (4.3) dobijaju u obliku:

tj0 e)j(2

U)t(x ωωΦ ±= (4.4)

gdje )j( ωΦ predstavlja neku još neodređenu kompleksnu funkciju učestanosti ulaznog

signala ω , tada se za amplitudu izlaznog signala dobija:

)j(2

U)t(x 0

maxωΦ= (4.5)

a za njegovu faznu razliku u odnosu na ulazni signal: )j(arg)( ωΦωϕϕ == (4.6)

Sada se vrijednosti (4.3) i (4.4) uvrste u opšti oblik diferencijalne jednačine sistema (2.23). Uzimanjem u obzir:

( ) tjktjk

k

ejedt

d ωω ω=

se dobija:

( ) ( ) ( )[ ] =++++ ±−

− tj0n1n

1n1

n0 e)j(

2

Uajajaja ωωΦωωω L

( ) ( ) ( )[ ] tj0m1m

1m1

m0 e

2

Ubjbjbjb ωωωω ±

−− ++++= L (4.7)

Linearni sistemi automatskog upravljanja

111

odnosno, poslije skraćivanja na obadvije strane člana 0e2

U tj0 ≠± ω relacija (4.7) daje:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n1n

1n1

n0

m1m1m

1m

0

ajajaja

bjbjbjb)j(

++++

++++=

−−

−−

ωωωωωω

ωΦL

L (4.8)

Lahko je vidjeti da je kompleksna funkcija )j( ωΦ identična prenosnoj funkciji

ωω js)s(G)j(G == , koja se formalno dobija iz jednačine (3.89) ako se kompleksna

promjenljiva ωσ js += u njoj zamjeni samo svojim imaginarnim dijelom ωj . Iz

identičnosti funkcija )j(G)j( ωωΦ ≡ , proizilazi da imaginarna komponenta promjenjive

s zbilja ima karakter učestanosti.

4.1. Amplitudno fazne (AF) karakteristike blokova sistema automatskog upravljanja

Ove karakteristike predstavljaju kompleksni lik imaginarne ose { }s u { })s(G ravni i

predstavljaju se kao hodograf vektora kompleksne funkcije )j(G ω . Za konstrukciju ovog

hodografa u funkciji učestanosti ω , kompleksnu funkciju )j(G ω treba posmatrati u

jednom od oblika u kome može biti predstavljena neka kompleksna veličina. Naime, kompleksna funkcija )j(G ω može se predstaviti u algebarskom obliku:

)(jv)(u)(jQ)(P)j(G ωωωωω +=+= (4.9)

pri čemu je )j(GRe)(u)(P ωωω == i )j(GIm)(v)(Q ωωω == , ili pomoću polarnih

koordinata:

)(je)(A)j(G ωϕωω = (4.10)

gdje su )j(G)(A ωω = i )j(Garg)( ωωϕ = .

Na osnovu jednog od ova dva načina predstavljanja traženi hodograf može biti lahko konstruisan. U jednostavnim slučajevima moguće je eliminisanjem učestanosti ω kao parametra u jednačinama:

)(P)(u ωω = , )(Q)(v ωω = (4.11)

doći i do analitičkog izraza AF karakteristika posmatranog bloka. Najčešće će se ove karakteristike dobiti izračunavanjem u nekoliko tačaka za različite vrijednosti parametra ω . U najvećem broju slučajeva zadaća se svodi na to da se data kompleksna funkcija:


112

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n1n

1n1

n0

m1m1m

1m

0

ajajaja

bjbjbjb)j(G

++++

++++=

−−

−−

ωωωωωω

ωL

L (4.12)

koja je razlomljena racionalna funkcija promjenjive ω , racionalizuje i napiše u jednom od oblika (4.9) ili (4.10). Standardna procedura se sastoji u tome da se u brojitelju i imenitelju (4.12) posebno grupišu realni i imaginarni članovi, tj. da se (4.12) napiše u obliku:

)(j)(a

)(j)(b)j(G

ωαωωβωω

++

= (4.13)

Sada se množi i brojitelj i imenitelj (4.13) konjugovanom vrijednošću imenitelja:

)(j)(a)j(Qn ωαωω −=

i dobija:

)()(a

)(b)()()(aj

)()(a

)()()(b)(a)j(G

2222 ωαωωωαωβω

ωαωωβωαωωω

+−

+++

= (4.14)

odakle se dobijaju vrijednosti realne i imaginarne komponente:

)()(a

)()()(b)(a)(P)(u

22 ωαωωβωαωωωω

++

==

)()(a

)(b)()()(a)(Q)(v

22 ωαωωωαωβωωω

+−

== (4.11`)

Slično se dobija da su amplituda i faza:

)()(a

)()(b

)(j)(a

)(j)(b)j(G)(A

22

22

ωαωωβω

ωαωωβω

ωω++

=++

== (4.15)

[ ]=−−== usgn12u

varctg)j(Garg)(

πωωϕ

[ ]usgn12)()()(b)(a

)(b)()()(aarctg −−

+−= π

ωβωαωωωωαωβω

(4.16)

Svi elementarni blokovi osim bloka čistog transportnog kašnjenja imaju minimalnu fazu

)(ωϕ za sve vrijednosti ( )∞∈ ,0ω i nazivaju se minimalno fazni blokovi. Funkcije )(A ω i

)(ωϕ se dobijaju direktno iz prenosne funkcije sistema )s(G , u kojoj se kompleksna

promjenljiva ωσ js += zamijeni njenim imaginarnim dijelom ωjs = . Tako se dobija

funkcija )j(G ω , odnosno:


113

)j(G)(A ωω = (4.17)

)j(Garg)( ωωϕ = (4.18)

Prenosna funkcija, elementarnog bloka ili proizvoljnog SAU, se može razdvojiti na realni i imaginarni dio: )(jQ)(P)j(G ωωω += (4.19)

Ako za neki blok ili SAU vrijede relacije:

∫∞

∞− −−= du

u

)u(Q1)(P

ωπω (4.20)

∫∞

∞− −= du

u

)u(P1)(Q

ωπω (4.21)

ili:

∫∞

∞− −−= du

u

)u(1)(Aln

ωϕ

πω (4.22)

∫∞

∞− −= du

u

)u(A1)(

ωπωϕ (4.23)

tada se kaže da taj blok ili SAU pripada klasi minimalno faznih blokova ili minimalno faznih sistema. Interesantno je da za sve elementarne blokove osim bloka čistog kašnjenja vrijede relacije od (4.20) do (4.23), pa se kaže da pripadaju klasi minimalno faznih blokova ili minimalno faznih sistema. Ako ove relacije ne vrijede, za neki od blokova ili složenih sistema koji su kombinacije takvih elementarnih blokova, tada se kaže da isti pripada neminimalno faznim blokovima ili neminimalno faznim sistemima. To su na primjer:

( ) 11Ts ±− ; ( ) 122 1Ts2sT±

+− ξ ; ( ) 122 1Ts2sT±

−+ ξ ; se τ− itd., kao i sistemi koji sadrže

neki ili više od nabrojanih elementarnih blokova. Prilikom konstruisanja AF karakteristika koriste se ili formule (4.11`) ili formule (4.15) i (4.16), uvrštavajući u njih redom niz vrijednosti za ω u intervalu 0 do +∞ . Tačke koje se dobiju za 0=ω i +∞=ω obično predstavljaju važnu indikaciju za kvalitativni tok čitave AF karakteristike. Ovo će biti pojašnjeno na primjerima koji se odnose na standardne elementarne blokove SAU. Primjer 4.1. Bezinercioni blok. Prema (3.92) smjenom ωjs = se dobija:

K)j(G =ω (4.24)

za sve učestanosti neposredno i jednostavno slijedi da je Ku = , 0v = . AF karakteristika ove prenosne funkcije degeneriše u tačku na realnoj osi { })j(G ω ravni, slika 4.2.


114

Slika 4.2. AF karakteristika bezinercionog bloka

Primjer 4.2. Aperiodski blok prvog reda. Prema (3.93) smjenom ωjs = se dobija:

1jT

K)j(G

i +=

ωω (4.25)

Racionalizacijom ovog izraza se dobija:

[ ]

1T

jT1K)j(G

22i

i

+−

=ω

ωω (4.25`)

odakle je:

1T

Ku

22i +

=ω

; 1T

KTv

22i

i

+−=

ωω

(4.26)

U ovom jednostavnom slučaju eliminacija parametra ω se može izvesti analitičkim putem. Iz posljednje dvije jednačine je:

ωiTu

v −= ; 22i

2

Tu

v ω=

pa je:

0Kuvu

1u

v

Ku 22

2=−+⇒

+

=

u

K

jv

G(j )ω


115

ili:

2

22

2

Kv

2

Ku

=+

− (4.27)

što očigledno predstavlja jednačinu kruga u { })j(G ω ravni. Pozitivnim vrijednostima

0>ω odgovara zapravo samo polukrug u četvrtom kvadrantu, što se lahko da vidjeti iz oblika izraza za v . AF karakteristika aperiodskog bloka prvog reda izgleda kao na slici 4.3.

Slika 4.3. AF karakteristika aperiodskog

bloka prvog reda Primjer 4.3. Blok inegratora. Prema (3.94) smjenom ωjs = se dobija:

ωω

ω vv Kj

j

K)j(G −== (4.28)

odakle je:

0u = ; ω

vKv −= (4.29)

AF karakteristika bloka integratora izgleda kao na slici 4.4. Ako se čisto formalno AF karakeristika crta i za negativne učestanosti, 0<ω , dobije se kriva simetrična u odnosu na realnu osu (prikazano crtkano na slici 4.4). Tako se zaključuje, da je o ovakvim karakteristikama za +∞≤≤−∞ ω moguće govoriti da su zatvorene ili otvorene.

1T

ω 0

π/4

ω=

u−

+ω 0ω −

ω

jv

K

G(j )ω

G(j )ω

i


116

Slika 4.4. AF karakteristika Slika 4.5. AF karakteristika integratora idealnog diferencijatora Primjer 4.4. Blok diferencijatora. - Idealni diferencijator . Prema (3.95) smjenom ωjs = se dobija:

( ) ωωω dd jTjT)j(G == (4.30)

odakle je: 0u = ; ωdTv = (4.31)

AF karakteristika bloka idealnog diferencijatora izgleda kao na slici 4.5. - Realni diferencijator. Prema (3.96) smjenom ωjs = se dobija:

( )( ) 1T

jTTT

1jT

jT)j(G

22i

d2

di

i

d

++

=+

=ω

ωωω

ωω (4.32)

odnosno:

1T

TTu

22i

2di

+=

ωω

; 1T

Tv

22i

d

+=

ωω

(4.33)

odakle je:

ωiTv

u = ;

=v

u

T

1

i

ω

jv

ω

G(j )ωω 0−

+ω 0

ω −ω

u

jv

ω

G(j )ω

ω −

ω

+ω 0ω 0−

u


117

tj. sada je

1v

u

v

u

T

T

v2

i

d

+

= , odnosno:

2

i

d22

i

d

T2

Tv

T2

Tu

=+

− (4.34)

što u { })j(G ω ravni predstavlja krug s centrom u tački i

d0 T2

Tu = , 0v0 = i radijusom

i

d

T2

T, slika 4.6.

AF karakteristika bloka realnog diferenciojatora je, za pozitivne ω , predstavljena samo gornjim polukrugom, što se lahko da zaključiti iz oblika izraza za v .

Slika 4.6. AF karakteristika realnog diferencijatora

Primjer 4.5. Integralno-diferencijalni blok. Prema (3.97) smjenom ωjs = se dobija:

( )( )

( )1T

TTjK

1T

1TTK

1jT

1jTK)j(G

22i

id22

i

2di

i

d

+−

+++

=++

=ω

ωωω

ωω

ω (4.35)

odakle je:

u

jv

1Tω =

π/4 G(j )ω

G(j )ω

+ω 0ω 0− ω −

ω

i

Ti

Td


118

1T

1TTKu

22i

2di

++

=ωω

; ( )

1T

TTKv

22i

id

+−

=ω

ω (4.36)

Iz prve od relacija (4.36) izlazi:

K

u1

T

T

K

uT

i

d22i −=

−ω

odnosno:

i

d

22i

T

TKu

uKT

−

−=ω

i konačno:

i

d

i

d

22i

T

TKu

T

T1K

1T

−

−

=+ω

Iz druge od relacija (4.36) kvadriranjem se dobija:

2

i

d

2

i

d2

2

i

d

i

d

2222

i

2

i

d22i

22

T

TKu

T

T1K

1T

T

T

TKu

uK

K)1T(

1T

TT

Kv

−

−

−

−

−

=+

−

=ω

ω

odakle je:

( )i

d2

i

d2

i

d2

T

TKu

T

T1Ku

T

TKuuKv −

++−=

−−=

ili:

i

d2

i

d22

T

TKu

T

T1Kvu −=

+−+


119

odnosno:

2

i

d2

2

i

d

T

T1

2

Kv

T

T1

2

Ku

−=+

+− (4.37)

Relacija (4.37) predstavlja jednačinu kruga u { })j(G ω ravni s centrom u tački

+=

i

d0 T

T1

2

Ku , 0v = i radijusom jednakim

−

i

d

T

T1

2

K.

Kod konstruisanja AF karakteristike za pozitivne učestanosti, 0>ω , treba razlikovati dva slučaja: id TT < i id TT > . Za id TT < AF karakteristika izgleda kao na slici 4.7a, a za

id TT > AF karakteristika izgleda kao na slici 4.7b.

a)

b)

Slika 4.7. AF karakteristika integralno-diferencijalnog bloka

jv

K

u

G(j )ω

ω

K(1- )TdTi

G(j )ωTd Ti<TdTi

K

ω +ω 0

K

jv T >d Ti

G(j )ωu

ω

K( -1)TdTi

TdTi

K

G(j )ω

+ω 0 ω


120

Primjer 4.6. Inercioni blok drugog reda. Prema (3.98) smjenom ωjs = se dobija:

( ) ( ) ( ) =

+−=

++=

ωωωωω

22

2122

21 jTTT1

K

1jTjTT

K)j(G

( )[ ]( ) 22

222

21

22

21

TTT1

jTTT1K

ωω

ωω

+−

−−= (4.38)

odakle je:

( )

( ) 222

2221

221

TTT1

TT1Ku

ωω

ω

+−

−= ; ( ) 22

222

21

2

TTT1

KTv

ωω

ω

+−−= (4.39)

Eliminacija učestanosti ω analitičkim putem više nije izvodljiva, pa je AF karakteristiku ovog bloka moguće prikazati u kvalitativnom obliku. Iz izraza za u se vidi da je ona za pozitivne učestanosti smještena u trećem i četvrtom kvadrantu. Dalje je:

( ) 222

2221 TTT1

K)j(G)(A

ωωωω

+−==

( ) )usgn(TTK

Tarctg

u

varctg)( −−

−−== 1

21 221

2 πω

ωωϕ (4.40)

Sada se, pravljenjem male tablice u kojoj se za različite vrijednosti ),0( ∞∈ω odrede

)(u ω i )(v ω ili )(A ω i )(ωϕ , crta AF karakteristika koja može biti predstavljena

dijagramom kao na slici 4.8.

Slika 4.8. AF karakteristika inercionog bloka drugog reda

K

jv

G(j )ω

u

ω

G(j )ω

T1 T2

1ω =

ω +ω 0


121

U opštem slučaju prenosne funkcije koja ima oblik )s(Q/K)s(G n= , koja nema polova na

imaginarnoj osi i sa polinomom n -tog reda u imenitelju )s(Qn , ima AF karakteristiku za

∞→ω koja asimptotski ulazi u koordinatni početak pod uglom 2/n)( πωϕ −= . To znači

da AF karakteristika prolazi n kvadranata { })j(G ω ravni, počinjući od četvrtog unatrag.

Kod složenijih prenosnih funkcija procedura konstruisanja AF karakteristike se svodi na izračunavanje slične tablice kao u primjeru inercionog bloka drugog reda. Prenosne funkcije koje nemaju polova na imaginarnoj osi imaju zatvorene krive kao AF karakteristike, ako se uzmu u obzir i negativne učestanosti. Prenosne funkcije koje imaju polove na imaginarnoj osi daju otvorene krive za AF karakteristike, što se lahko može vidjeti iz primjera. Primjer 4.7. Nacrtati AF karakteristiku sistema čija je prenosna funkcija:

( )1Tss

K)s(G

+= (4.41)

Ova funkcija ima jedan pol za 0s = . Njena AF karakteristika (obadvije grane za 0<ω i

0>ω ) izgleda kao na slici 4.9.

Slika 4.9. AF karakteristika bloka koji

je opisan relacijom (4.41) AF karakteristike blokova SAU su naročito korisne u analizi stabilnosti. U tom smislu je važan kvalitativni oblik AF karakteristika (otvorenost, zatvorenost, prolaženje u blizini kritične tačke ( )0j,1− , obuhvatanje kritične tačke i sl.). Analiza stabilnosti blokova SAU je

obrađena u poglavlju 6. Primjeri AF karakteristika PI i PID regulatora su dati u odjeljku 4.2.2.

ω > 0

KT

ω < 0

ω 0−

+ω 0

ω

jv

u

G(j )ω

ω −


122

Primjer 4.8. Blok čistog transportog kašnjenja. Iz (3.100) smjenom ωjs = se dobija:

ωτωτω ωτ sinjcose)j(G j −== − (4.42)

odakle je:

1e)j(G)(A j === − ωτωω

ωτωτωτωϕ −=

−==cos

sinarctg

u

varctg)( (4.43)

Iz (4.43) slijedi da AF karekteristika ovog bloka ima izgled kao na slici 4.10, koja predstavlja jedinični krug sa centrom u koordinatnom početku i periodom πωτ 2= .

Slika 4.10. AF karakteristika bloka čistog kašnjenja

4.2. Slaganje blokova sistema automatskog upravljanja u složenije strukture

Slaganje blokova SAU u složenije strukture, razlaganje struktura na elementarne blokove i uopšte izvođenje različitih strukturnih transformacija s blokovima, po određenim pravilima, predstavlja predmet tzv. algebre blokova i strukturne analize SAU. Ovdje će razmatranja biti ograničena na primjere slaganja jednostavnih blokova u tri standardne strukture: serijsku vezu blokova, paralelnu vezu blokova i vezu u povratnoj sprezi. Ovo su ujedno i tri najvažnija slučaja. Algebra blokova koristi uglavnom četiri tipa elemenata za predstavljanje blok šema i izvođenje strukturnih transformacija. To su sami elementarni blokovi, u kojima se smatra da je tok informacija organizovan od ulaza prema izlazu i da obrnutog kretanja nema. Ukoliko ovo nije slučaj, blok se raspada na standardnu strukturu tipa povratne sprege.

G(j )ω

2kπω= . , k = 0,1,2,.

jv

ϕ ω) ( τA(

1ω)=

ω 0 u


123

Sljedeći elemenat su tzv. sumacione tačke, označene na šemama kružićima, a čiji su izlazi algebarska suma signala na ulazu, slika 4.11.

Slika 4.11. Sumaciona tačka ili sumator

Znak svakog pojedinog člana sume je naznačen uz odgovarajuću strelicu koja pokazuje ulaze u sumacionu tačku. Sumaciona tačka se može smatrati kao jedan bezinercioni blok, koji ima jedinično pojačanje i na koji djeluje više ulaza. U kombinaciji s ostalim blokovima SAU omogućava sintezu proizvoljno složenih struktura. Ostala dva tipa elemenata, koji se koriste u algebri blokova, su linije toka informacija i tačke grananja, označene prosto linijama i tačkama na odgovarajućim dijagramima. Samu analizu je najlakše izvršiti uporednim predstavljanjem pojedinih blokova u formi šeme i pomoću njihovih prenosnih funkcija.

4.2.1. Serijska - kaskadna veza blokova sistema automatskog upravljanja Ova elementarna i standardna struktura predstavljena je blok šemom na slici 4.12.

Slika 4.12. Serijska veza blokova

Preonosne funkcije pojedinih blokova su:

)s(X

)s(X)s(G

1k

kk

−= , n,...,2,1k = (4.44)

Prenosna funkcija čitave strukture je:

x (t)

x (t)2

x (t)3

1

x (t)+1 x (t)2 x (t)3−+

−

+

X (s)n-1 X (s)=X(s)nG (s)n

U(s)=X (s)0 X (s)1 X (s)2G (s)2G (s)1


124

===−

−

− )s(X

)s(X

)s(X

)s(X

)s(X

)s(X

)s(X

)s(X

)s(X

)s(X)s(G

0

1

1

2

2n

1n

1n

n

0

n L

)s(G)s(G)s(G)s(G 121nn L−= (4.45)

Prenosna funkcija čitave strukture jednaka je proizvodu prenosnih funkcija pojedinih blokova u strukturi, što se može napisati i drugačije, jer za množenje pojedinih prenosnih funkcija važi zakon komutacije: )s(G)s(G)s(G)s(G)s(G n1n21 −= L (4.45`)

Konačno, važi i bilo koja druga permutacija pojedinačnih prenosnih funkcija. Sistem predstavljen na slici 4.12 može biti zamijenjen jednim jedinim blokom sa prenosnom funkcijom )s(G , koja se naziva prenosnom funkcijom otvorenog sistema. Posebno, za

ωjs = ima se prenosna funkcija ovog sistema u frekventnom domenu:

)j(G)j(G)j(G)j(G)j(G n1n21 ωωωωω −= L (4.45``)

Kako )j(Gk ω predstavljaju vektore u ravni, to se )j(G ω može dobiti po pravilima

množenja vektora, pri čemu se redom formiraju prizvodi od po dva faktora. Konstrukcija vektora produkta dva vektora se svodi na jednu rotaciju i promjenu intenziteta proporcionalno proizvodu modula pojedinih faktora, slika 4.13.

Slika 4.13. AF karakteristika serijski vezanih blokova

Sada, koristeći se činjenicom da je prenosna funkcija dva bloka koji su vezani serijski (kaskadno) jednaka proizvodu pojedinačnih prenosnih funkcija, lahko je naći kako djeluje blok čistog transportnog kašnjenja u strukturi SAU. Ovaj fenomen će biti objašnjen na primjeru serijske veze proizvoljnog bloka i bloka čistog transportnog kašnjenja.

ϕ 1

jv

ϕ 2 ϕ

ϕ= ϕ 1 ϕ 2+

G (j )ω 1G (j

)ω 2

G(j

)ω

u

G(j )ω


125

Primjer 4.9. Nacrtati AF karakteristiku serijski vezanog bloka )s(G0 i bloka čistog

transportnog kašnjenja. Neka je dati sistem predstavljen blok šemom na slici 4.14.

Slika 4.14. Serijska veza proizvoljnog bloka i bloka čistog kašnjenja

Neka je )s(G0 proizvoljna razlomljena racionalna funkcija tipa )s(Q/)s(P)s(G nm0 = , a

se τ− prenosna funkcija bloka čistog transportnog kašnjenja (3.100). AF karakteristika čitavog sistema, koji je prikazan na slici 4.14, je data kao:

ωτωω j0 e)j(G)j(G −= (4.46)

odakle je: )j(G)j(G 0 ωω = (4.47)

a ωτωϕωϕ −= )()( 0 (4.48)

Prilikom konstrukcija AF karakteristika datog sistema polazi se od AF karakteristike bloka sa prenosnom funkcijom )s(G0 , tako da se za datu fiksiranu frekfenciju 1ωω = izvrši

rotacija vektora )j(G 10 ω u negativnom smjeru za veličinu τωϕ 1= , slika 4.15,

ostavljajući modul ovog vektora neizmjenjenim. Kad ∞→ω broj rotacija očigledno teži u beskonačnost, pa AF karakteristike sistema u kojima se nalaze blokovi čistog kašnjenja, u okolini koordinatnog početka dobijaju karakter spirale, slika 4.16.

4.2.2. Paralelna veza blokova sistema automatskog upravljanja Ova elementarna i standardna struktura je predstavljena blok šemom na slici 4.17. Sa slike se vidi da su izlazi pojedinih blokova: )s(U)s(G)s(X 11 = , )s(U)s(G)s(X 22 = ,

, ..., )s(U)s(G)s(X nn = (4.49)

Izlaz sa sumacione tačke je: [ ] )s(U)s(G)s(G)s(G)s(X n21 +++= L (4.50)

G (s)0U(s) X(s)

e-sτ


126

Slika 4.15. Konstrukcija AF karakteristike Slika 4.16. Izgled AF karakteristike serijski vezanog bloka čistog kašnjenja i serijski vezanog bloka čistog

proizvoljnog bloka kašnjenja i proizvoljnog bloka odakle izlazi da je prenosna funkcija posmatrane strukture jednaka sumi prenosnih funkcija pojedinih blokova u strukturi. Zato kompletna struktura može biti zamijenjena jednim blokom čija je prenosna funkcija: )s(G)s(G)s(G)s(G n21 +++= L (4.51)

Ako se izvrši smjena ωjs = , tada se dobija prenosna funkcija u frekventnom domenu:

)j(G)j(G)j(G)j(G n21 ωωωω +++= L (4.51`)

Slika 4.17. Paralelna veza blokova

Naravno, važi i bilo koji drugi redosljed članova sabiraka u (4.51) i (4.51`). Kako )j(Gk ω

predstavljaju vektore u ravni, moguće je sabirajući dva po dva vektora, prema “pravilu paralelograma” konstruisati vektor )j(G ω , pa prema tome i rezultantnu AF karakteristiku

sistema, kao što se vidi na slici 4.18.

G (

j)

ω

jν

u

ϕ ω ( )0

ω1

10

ω +ω 0+

ϕ ω ( )1

G(j )ω{{ }

G(j )ω 1

G(j )ω

jν

u

G (j )ω0

G(j )ω{{ }

+ω 0

X (s)1

X (s)2

X (s)nG (s)n

G (s)2

G (s)1

U(s)+

+

++

X(s)


127

Slika 4.18. AF karakteristika paralelno vezanih blokova

Primjer 4.10. Nacrtati AF karakteristike PI i PID regulatora. Na osnovu relacija (3.99) ili (3.99`) slijedi da se date prenosne funkcije mogu napisati u obliku sume elementarnih prenosnih funkcija. Kombinujući AF karakteristike jednog bezinercionog bloka i jednog bloka integratora i sklapajući po “paralelogramu” rezultantni vektor )j(G ω za fiksirane ω , se dobija dijagram kao na slici 4.19a. Sličnim razmatranjem

se za PID regulator može dobiti AF karakteristika kao na slici 4.19b.

a) b)

Slika 4.19. AF karakteristika paralelno vezanih blokova PI (a) i PID regulatora (b)

−ω 0−

ω

jvG(j )ω

uω −G(j )ω

+ω 0

Ti

Kjω1

1ω ω=

1

K

jv

u

G(j )ωω

+ω 0

G(j)ω

Ti

Kjω1

K T jωdTi

1jω1

+KT jωd

K

1

1

1

jv

G (j )ω 1

G(j )ω

u

G(j )ω

G (j

)ω

2


128

4.2.3. Veza blokova sistema automatskog upravljanja sa povratnom spregom Ova elementarna i standardna struktura od ogromne je važnosti za razvoj teorije SAU, a data je blok šemom na slici 4.20. U strukturi se pojavljuju dva elementarna bloka sa prenosnim funkcijama )s(G i )s(H , od kojih je prvi u direktnoj grani a drugi u grani povratne

sprege, respektivno. Sumaciona tačka daje algebarsku sumu, tj. razliku signala na svom izlazu. U ovakvoj funkciji ona se obično zove komparator. Prema strukturi sa slike 4.20 se ima:

)s(E)s(G)s(X = ; )s(Y)s(U)s(E −= ; )s(X)s(H)s(Y = (4.52)

odakle se eliminacijom )s(E i )s(Y dobija:

[ ] [ ])s(X)s(H)s(U)s(G)s(Y)s(U)s(G)s(X −=−=

[ ] )s(U)s(G)s(H)s(G1)s(X =+

)s(H)s(G1

)s(G

)s(U

)s(X)s(W

+== (4.53)

)s(W se naziva prenosnom funkcijom zatvorenog sistema, pri čemu se misli na sistem sa

zatvorenom povratnom spregom. Specijalno, za 1)s(H = , dobija se sistem s tzv.

jediničnom negativnom povratnom spregom, slika 4.21, za koji je prenosna funkcija:

)s(G1

)s(G)s(W

+= (4.54)

Slika 4.20. Veza blokova u povratnoj sprezi

Ovo znači da složena struktura kod koje su blokovi vezani u povratnoj sprezi može biti zamjenjena jednim jedinim blokom s prenosnom funkcijom oblika (4.53) ili (4.54). U frekventnom domenu (4.53) i (4.54) poprimaju oblik:

G(s)

H(s)

E(s)

Y(s)

U(s) X(s)

_


129

)j(H)j(G1

)j(G)j(W

ωωωω

+= (4.53`)

odnosno:

)j(G1

)j(G)j(W

ωωω

+= (4.54`)

Slika 4.21. Veza sistema sa jediničnom negativnom povratnom spregom

Geometrijska (vektorska) interpretacija relacije (4.54`) je jednostavna u { })j(G ω ravni.

Neka je poznat vektor )j(G ω za neko fiksirano ω , tada je lahko konstruisati i vektor

)j(G1 ω+ , slika 4.22. )j(W ω se dobija kao količnik dva vektora, tj. njegov modul jednak

je količniku modula pojedinih vektora, a argument (fazni ugao) jednak je razlici argumenata pojedinačnih vektora koji ulaze u količnik.

Slika 4.22. Geometrijska interpretacija relacije (4.54`)

U(s) X(s)G(s)

+_

jv

1+G(j )ω

G(j

)ω

-1 uϕ 1+G

1+G(j )ω

G(j )ω

W(j )ω

ϕ W ϕG


130

4.3. Logaritamske ampitudno frekventne i fazno frekventne karakteristike

U slučajevima kad se posmatrani blok SAU sastoji od više kaskadno vezanih elementarnih blokova, a njegova prenosna funkcija se može predstaviti kao proizvod elementarnih faktora prvog i drugog reda, logaritamske amplitudno frekventne i fazno frekventne karakteristike omogućavaju jednostavnu geometrijsku konstrukciju karakteristika složenog bloka, na osnovu jednom unaprijed određenih logaritamskih karakteristika elementarnih faktora. Neka je poznata prenosna funkcija )s(G i neka predstavlja serijsku vezu elementarnih blokova

)s(Gi , n,...,2,1i = . Na osnovu relacije (4.45) se može pisati:

∏=

==n

1iin21 )s(G)s(G)s(G)s(G)s(G L (4.55)

odnosno, na osnovu (4.45``) da je:

∏=

==n

1iin21 )j(G)j(G)j(G)j(G)j(G ωωωωω L (4.55`)

Predstave li se funkcija )j(G ω i njeni elementarni faktori )j(Gi ω u svojim polarnim

koordinatama kao:

)(je)j(G)j(G ωϕωω =

)(jii

ie)j(G)j(G ωϕωω =

Na osnovu (4.55`) se ima:

== ∑∏==

n

1ii

n

1ii

)(j )(jexp)j(Ge)j(G)j(G ωϕωωω ωϕ (4.56)

i dalje:

=+= elog)(j)j(Glog)j(Glog ωϕωω elog)(j)j(Glogn

1iii

n

1i

+ ∑∑

==ωϕω

odakle je:

)j(Glog)j(Glog i

n

1iωω ∑

== , ∑

==

n

1ii )()( ωϕωϕ (4.57)


131

Dijagrami konstruisani na osnovu navedenih funkcija predstavljaju logaritamske amplitudno frekventne (LAK) i logaritamske fazno frekventne (LFK) karakteristike posmatranog bloka, respektivno. Pri konstrukciji grafika logaritamskih amplitudno i fazno frekventnih karakteristika

usvojena je konvencija da se na apscisu nanosi logaritam kružne učestanosti ω [ ]1s− u

linearnoj razmjeri, što daje ravnomjernu skalu po ωlog . Međutim, obično se skala ne

obilježava u vrijednostima ωlog , nego u odgovarajućim vrijednostima ω , što daje

neravnomjernu, logaritamsku skalu, slika 4.23.

Slika 4.23. Koordinatne ose za logaritamske karakteristike

Segment logaritamske skale koji odgovara povećanju učestanosti od deset puta zove se jedna dekada, a segment koji odgovara povećanju od dva puta zove se jedna oktava. Nije teško primjetiti da dužina segmenta koji predstavlja dekadu ili oktavu ostaje ista, bez obzira na kružnu učestanost ω koja odgovara početku segmenta. Pri konstrukciji logaritamske amplitudno frekventne karakteristike na ordinatu se nanose, u linearnoj razmjeri, vrijednosti )(Alog20)j(Glog20 ωω = , ili, što je isto, vrijednosti

modula )j(G ω izražene u decibelima, a pri konstrukciji logaritamske fazno frekventne

karakteristike vrijednosti faznog ugla u ugaonim stepenima. Očigledno je da logaritamske frekventne karakteristike imaju smisla samo za pozitivne učestanosti. Kako logaritamska skala na apscisi nema tačku koja bi odgovarala učestanosti

0=ω , ordinatna osa na logaritamskim amplitudno i fazno frekventnim karakteristikama može biti proizvoljno smještena. U daljnjim primjerima grafici zavisnosti funkcije [ ]dBA

od ωlog će se zvati logaritamskim amplitudno frekventnim karakteristikama (LAK), a

grafici zavisnosti )(ωϕ od ωlog logaritamskim fazno frekventnim karakteristikama. Iz

A dB ϕ

30 60

20 40

10 20

-1 0 1 2 logω

ω0,1 1 10 100

-10 -20


132

izraza (4.56) i (4.57) se vidi da logaritamska amplitudno frekventna karakteristika (LAK) funkcije )j(G ω predstavlja sumu logaritamskih ampitudno frekventnih karakteristika

elementarnih faktora koji ulaze u ovu funkciju. Prema tome, pri izračunavanju amplitudne karakteristike jedne prenosne funkcije, množenje se zamjenjuje sabiranjem, što predstavlja važnu prednost prilikom korištenja grafičkih metoda.

4.3.1. Logaritamske frekventne karakteristike elementarnih blokova

4.3.1.1. Blokovi tipa idealnog diferencijatora i integratora AF karakteristike ovih blokova su: ωω jK)j(Gi = (4.58)

ω

ωj

K)j(Gi = (4.59)

Iz 2j

eKKjπ

ωω = se direktno dobijaju LAK i LFK blokova tipa (4.58):

ωlog20Klog20A += (4.58`)

2

)(πωϕ = (4.58``)

Kako je nezavisno promjenjiva u logaritamskim karakteristikama ωlog , to se zaključuje da

je LAK prenosne funkcije tipa (4.58) pravac sa ordinatom u tački 1=ω od KdB i nagibom od dek/dB20+ . Ovaj pravac siječe apsisnu osu u tački K/1=ω . LFK prenosne funkcije tipa (4.58), kako se to vidi iz izraza (4.58``), predstavlja pravac paralelan apscisnoj osi na

rastojanju od 090 , slika 4.24. Slično se i logaritamske frekventne karakteristike elementarnog bloka tipa (4.59),

ωω j/K)j(Gi = , određuju iz izraza 2j

e)/K()j/(Kπ

ωω−

= , odakle se za LAK i LFK

direktno dobija: ωlog20Klog20A −= (4.59`)

2

)(πωϕ −= (4.59``)

Lahko se zaključuje da je LAK prenosne funkcije tipa (4.59) pravac sa ordinatom u tački

1=ω od KdB i nagibom od dek/dB20− . Ovaj pravac siječe apscisnu osu u tački K=ω .


133

LFK prenosne funkcije tipa (4.59) je pravac paralelan apscisnoj osi na rastojanju 090− , slika 4.25.

Slika 4.24. Log karakteristike Slika 4.25. Log karakteristike idealnog diferencijatora idealnog integratora

4.3.1.2. Blokovi tipa PD regulatora i aperiodskog bloka prvog reda AF karakteristike ovih blokova se mogu opisati jednom od sljedećih relacija: 1Tj)j(Gi += ωω (4.60)

1Tj

1)j(Gi +

=ω

ω (4.61)

1Tj)j(Gi −= ωω (4.62)

1Tj

1)j(Gi −

=ω

ω (4.63)

Iz ( ) ( )ωωω jarctgTexpT11Tj 2+=+ se za LAK i LFK bloka tipa (4.60) ima:

( )2T1log20A ω+= (4.60`)

ωϕ arctgT= (4.60``)

Na sličan način je:

+90

0 logω

ω

ϕ 0

20dB1dek

logω

ωω=1 ω=100

KdB

A dB20dB/dek

logω

ω-90

0

ϕ 0

ω=1 ω=kω=10

logω

ω

1dek

KdB

A dB

-20dB/dek


134

( )( )ω

ωωjarctgTexp

T1

1

1Tj

12

−+

=+

,

( ) ( )ωωω jarctgTexpT11Tj 2 −+=− i

( )

( )ωωω

jarctgTexpT1

1

1Tj

12+

=−

odakle se za LAK i LFK blokova tipa (4.61), (4.62) i (4.63) ima, respektivno:

( )2T1log20A ω+−= (4.61`)

ωϕ arctgT−= (4.61``)

( )2T1log20A ω+= (4.62`)

ωϕ arctgT−= (4.62``)

( )2T1log20A ω+−= (4.63`)

ωϕ arctgT= (4.63``)

Pri konstruisanju grafika LAK korisno je poslužiti se asimptotama funkcija ( )2T1 ω+ i

( )2T1/1 ω+ . Za 1T <<ω , veličina ( ) 1T1 2 ≈+ ω i 0A ≈ , tako da za niske učestanosti

ω , apscisna osa predstavlja asimptotu LAK, koja se zove niskofrekventna asimptota. Za

1T >>ω , ( ) ωω TT1 2 ≈+ , pa je za relacije (4.60) i (4.62) ωlog20Tlog20A +≈ , a za

relacije (4.61) i (4.63) je ωlog20Tlog20A −−≈ , tj. za više učestanosti asimptotu LAK

navedenih elementarnih blokova čini pravac sa nagibom dek/dB20± , respektivno, koja se zove visokofrekventna asimptota. Kod svih blokova ovog tipa visokofrekventa asimptota siječe apscisu u tački T/1c =ω , odnosno, na tzv. prelomnoj učestanosti. Niskofrekventna i

visokofrekventna asimptota obrazuju asimptotske logaritamske amplitudno frekventne karakteristike, koje predstavljaju pogodnu aproksimaciju tačnih LAK. Odgovarajuće LFK, kako se vidi iz (4.60``), (4.61``), (4.62``) i (4.63``) predstavljene su funkcijom ωarctgT± , konstruisanom u polulogaritamskom dijagramu (učestanost se nanosi

na apscisu u logaritamskoj razmjeri). Asimptote za faznu karakteristiku su apscisna osa za

niske učestanosti i njoj paralelna prava na rastojanju od 090± za visoke učestanosti. Sada je potrebno ocijeniti odstupanje tačnih od asimptotskih logaritamskih amplitudnih i faznih karakteristika za nekoliko vrijednosti ω . Na prelomnoj učestanosti T/1c =ω je:

cjc e21j1Tj ϕω =±=±

cj

c

e2

1

1j

1

1Tj

1 ϕ

ω=

±=

±


135

Prema tome, ordinata tačne LAK na prelomnoj frekvenciji iznosi dB32log20 ±=± , a

ordinata fazne karakteristike na istoj frekvenciji je 045± . Na identičan način se, za tačke koje se nalaze lijevo i desno od prelomne učestanosti na rastojanju od jedne oktave, ima:

( )06,26j2

1arctgj

c e25,1e25,11j2

11

2Tj ±

±==+=+

ω

( ) ( )04,63j2arctgjc e5e51j21)2(Tj ±± ==+=+ω

Pošto je ordinata asimptotske LAK za c2ωω = jednaka dB6 , a dB125,1log20 = i

dB75log20 = , lahko se zaključuje da na rastojanju od jedne oktave lijevo i desno od

prelomne učestanosti razlika između tačne i asimptotske LAK iznosi samo dB1 . Ako se analogni proračuni provedu za učestanosti na rastojanju od jedne dekade lijevo i desno od prelomne učestalosti, pokazuje se da se asiptotska i tačna LAK u ovim tačkama praktično

podudaraju, dok ordinate fazne karakteristike iznose 07,5± i 03,84± , respektivno. Odavde se vidi da je logaritamska fazno frekventna karakteristika simetrična u odnosu na tačku njenog presjeka sa vertikalnom linijom povučenom na prelomnoj učestanosti cω . Na sličan

način, moguće je konstruisati i veći broj tačaka tačnih LAK i LFK navedenih elementarnih blokova. Oduzimanjem asiptotske LAK od tačne, dobija se dijagram popravke δ , koji se dodaje asimptotskoj LAK ako se želi dobiti tačna karakteristika, slika 4.26. Dijagram popravke je takođe simetričan u odnosu na prelomnu učestanost, a njegova maksimalna ordinata iznosi dB3 .

Slika 4.26. Log karakteristike za blok koji je opisan relacijom (4.60)

0

c

+90

logω

ω

63,445

26,6

0,5ω c2ωc ω

ϕ

logω

ω0

1dB

1dB3dB

3dB

δA dB

20dB

/dek


136

Iz relacija (4.60) do (4.63), kao i iz konstruisanih dijagrama, izlazi da oblik krivih ϕ i δ ne

zavisi od vrijednosti vremenske konstante T . Promjena T samo utiče na translaciju dijagrama ϕ i δ duž ose apscisa. Na slici 4.26 predstavljene su asimptotske i tačne LAK i

LFK elementarnog bloka 1Tj)j(Gi += ωω , koji je opisan relacijom (4.60).

Logaritamske frekventne karakteristike bloka )1Tj/(1 +ω daju sliku simetričnu onoj za

blok 1Tj +ω u odnosu na apscisnu osu. Ovo se neposredno dobija iz (4.61`) i (4.61``). Na

slici 4.27 su prikazane LAK i LFK elementarnog bloka )1Tj/(1)j(Gi += ωω . Da njegova

fazna karakteristika varira od 00 do 090− može se zaključiti i iz oblika odgovarajuće AF karakteristike. Sada je zgodno razmotriti logaritamske frekventne karakteristike elementarnog bloka (4.62). Poredeći izraze (4.62`) i (4.62``) s izrazima (4.60`) i (4.60``) i uzimajući u obzir oblik hodografa AF karakteristike funkcije 1Tj −ω , se vidi da se LAK blokova (4.60) i (4.62)

podudaraju, a da se ordinate LFK bloka (4.62) pri porastu ω od 0 do +∞ mijenjaju od 0180 do 090 . Odgovarajuća kriva se može dobiti iz fazne karakteristike (4.60`) kao slika u

ogledalu u odnosu na apscisu translatorno pomjerene naviše za rastojanje koje odgovara

uglu od 0180 .

Slika 4.27. Logaritamska karakteristika bloka opisanog relacijom (4.61)

Može se dokazati da su logaritamske frekventne karakteristike funkcije (4.62) i (4.63) međusobno simerične u odnosu na apscisnu osu.

-90

logω

ω63,4

45

26,60 c ω

ϕ

logω

ω0

1dB

A dB

1dB

δ

3dB

-20dB/dek


137

Pošto su analitički izrazi za elementarne blokove (4.60), (4.61), (4.62) i (4.63) po svojoj strukturi identični, oblik dijagrama popravki asimptotskih LAK je uvijek isti i ne zavisi od vremenskih konstanti. Isto vrijedi i za logaritamske fazno frekventne karakteristike datih elementarnih blokova. Na taj način je moguće konstruisati logaritamske amplitudno frekventne i fazno frekventne karakteristike svih navedenih elementarnih blokova bez ikakvog proračuna, isključivo pomoću oblika dijagrama popravke δ i oblika logaritamske fazno frekventne karakteristike ϕ elementarnog bloka 1Tj +ω .

Prilikom rješavanja konkretnih primjera neophodno je ustanoviti razmjeru po koordinatnim osama, prema kojoj će se konstruisati logaritamske frekventne karakteristike. Ako se konstrukcija logaritamskih frekventnih karakteristika izvodi na običnom milimetarskom papiru, zgodno je birati sljedeće razmjere: po apscisi 1 dekada ≈ 50 mm, a po ordinati 1 dB

≈ 2 mm i 01 ≈ 1 mm.

4.3.1.3. Blokovi tipa diferencijatora drugog reda i inercionog bloka drugog reda AF karakteristike ovih blokova su opisane jednom od sljedećih relacija:

( ) 1Tj2jT)j(G 22i ++= ωξωω (4.64)

( ) 1Tj2jT

1)j(G

22i++

=ωξω

ω (4.65)

( ) 1Tj2jT)j(G 22i +−= ωξωω (4.66)

( ) 1Tj2jT

1)j(G

22i+−

=ωξω

ω (4.67)

Ako se relacija (4.64) predstavi u obliku:

( ) ( ) ϕωξωωξω j22222222 eT4T11Tj2jT +−=++

tada nije teško naći logaritamske frekventne karakteristike ovog bloka:

( ) 222222 T4T1log20A ωξω +−= (4.64`)

22T1

T2arctg

ωωξϕ

−= (4.64``)


138

Za 1T <<ω , veličina ( ) 1T4T1 222222 ≈+− ωξω , tako da je dB0A ≈ , dok je za

1T >>ω veličina ( ) 22222222 TT4T1 ωωξω ≈+− , tako da je ωlog40Tlog40A +≈ .

Odavde se zaključuje da je niskofrekventna asimptota za dB0A = i predstavlja pravu koja se poklapa sa osom apscisa, dok je visokofrekventna asimptota prava sa nagibom od

dek/dB40+ . Ove asimptote se sijeku u tački koja odgovara prelomnoj učestanosti T/1c =ω , slika 4.28.

Oblik tačne LAK (4.64`) bitno zavisi od koeficijenata prigušenja ξ . Na slici 4.29 su za

razne vrijednosti ξ predstavljene popravke δ , koje kad se dodaju asimptotskim daju tačne

LAK. Logaritamska fazno frekventna karakteristika (4.64``) takođe zavisi od ξ . Ova

zavisnost je ilustrovana na slici 4.30, gdje su date fazne karakteristike za različite ξ . Svaka

od parametarskih krivih δ ima za cωω = diskonuitet u svom izvodu. Nagib tangente u

ovoj tački na krivu popravke ne zavisi od ξ i iznosi dek/dB20± , respektivno.

Logaritamske frekventne karakteristike prenosne funkcije (4.65) predstavljaju sliku u ogledalu logaritamskih karakteristika funkcije (4.64). U skladu s tim ordinate popravki δ treba dodavati ordinatama asimptotske LAK, funkcije (4.65) ne u onom obliku u kome su one prikazane na dijagramu slike 4.30, već poslije njihovog prethodnog simetričnog preslikavanja u odnosu na apscisnu osu.

Slika 4.28. Logaritamska karakteristika bloka opisanog relacijom (4.64)

-20 dB/dek logω

ωc ω

20 dB

/dek

ξ= .konst

40 dB

/dekδ

0

A dB

logω

ω

90

c ω

180

0

ϕ


139

Slika 4.29. Dijagram popravki za različite vrijednosti faktora

prigušenja sistema opisanog relacijom (4.64)

Slika 4.30. Zavisnost fazno frekventnih karakteristika od faktora

prigušenja za sistem koji je opisan relacijom (4.64) Logaritamske frekventne karakteristike funkcije (4.66) su određene izrazima:

0 dB/dek

40 dB

/dek

logω

ω

c ωδ

20 dB/dek -20 dB/dek

6 dBξ=1

0,5

0,3

0,2

0,1

0,7

90

180

logω

ω

ξ=0,1

ξ=1

0,3

ϕ

ωc


140

( ) 222222 T4T1log20A ωξω +−= (4.66`)

22T1

T2arctg

ωωξϕ

−−= (4.66``)

Upoređujući (4.66`) i (4.66``) s (4.64`) i (4.64``) respektivno i uzimajući u obzir oblik odgovarajućeg hodografa AF karakteristike, dolazi se do zaključka da se LAK za funkcije (4.64) i (4.66) podudaraju, a njihove fazne karakteristike, jedna u odnosu na drugu predstavljaju simetričnu sliku u odnosu na apscisnu osu. Logaritamske fazne karakteristike funkcije (4.67) predstavljaju simetričnu sliku logaritamskih karakteristika recipročne funkcije (4.66). Analitički izrazi za logaritamske amplitudno frekventne i fazno frekventne karakteristike funkcija (4.64) i (4.66) su po svojoj strukturi identični, jer je nezavisno od numeričkih vrijednosti vremenskih konstanti moguće konstruisati karakteristike bilo koje od ovih funkcija, pomoću istog dijagrama popravke δ za asimptotsku LAK i dijagrama faznih karakteristika ϕ funkcije (4.64).

Za postizanje dobre tačnosti, zadovoljavajuće u praktičnim proračunima, dovoljno je načiniti dijagrame popravke δ i ϕ za neke vrijednosti relativnog koeficijenta prigušenja

0,1;...;15,0;10,0;05,0=ξ .

4.3.1.4. Blokovi tipa diferencijatora drugog reda, inercionog bloka drugog reda bez prigušenja i bezinercionog bloka

AF karakteristike ovih blokova su opisane jednom od relacija:

( ) 1jT)j(G 22i += ωω (4.68)

( ) 1jT

1)j(G

22i+

=ω

ω (4.69)

1)j(Gi −=ω (4.70)

Kako je funkcija (4.68) specijalni slučaj funkcije (4.64) za 0=ξ , to se njihove asimptotske

LAK podudaraju. Za cωω = izraz (4.68) postaje jednak nuli, pa logaritam njegovog modula

teži ka −∞ , tako da grafik popravke δ ima, za ovaj slučaj kod prelomne učestanosti cω ,

diskontinuitet, slika 4.31. U intervalu promjene učestanosti c0 ωω ≤≤ izraz (4.68) predstavlja realnu pozitivnu, a u

intervalu ∞≤≤ ωωc realnu negativnu veličinu. Kako je fazni ugao bilo koje pozitivne


141

veličine jednak 00 , a fazni ugao negativnih veličina 0180± , zaključuje se da se fazno frekventna karakteristika ϕ funkcije (4.68) može predstaviti kao na slici 4.31.

Slika 4.31. Logaritamske karakteristike bloka opisanog relacijom (4.68)

Logaritamske frekventne karakteristike recipročne funkcije (4.69) su simetrične u odnosu na

apscisnu osu funkcije (4.68). Ako se pol prenosne funkcije ( )1sT/1 22 + , T/js1 = , koji

leži na imaginarnoj osi pripiše lijevoj poluravni, tada na osnovu pravila konstruisanja AF karakteristika prenosnih funkcija, pri porastu kružne učestanosti ω jedna beskonačna grana prelazi u drugu preko polukruga beskonačnog radijusa, pri čemu se taj prelaz odvija u smjeru kazaljke na satu. Logaritamska amplitudno frekventna karakteristika elementarnog faktora (4.70), koji predstavlja bezinercioni blok, poklapa se sa apscisnom osom, dok je fazno frekventna

karakteristika pravac paralelan apscisi koji se nalazi na rastojanju od 0180+ . Iz izloženog, kao zaključak, se vidi da u slučajevima kada logaritamska amplitudno frekventna karakteristika )(A ω ima visoko frekventnu asimptotu sa nagibom od

dek/dB20± , tada je visoko frekventna asimptota fazno frekventne karakteristike 090)( ±=ωϕ , a u slučajevima da je visoko frekventna asimptota )(A ω sa nagibom

dek/dB40± , tada je visoko frekventna asimptota 0180)( ±=ωϕ .

log ω

ω

0

180

δ

0

logω

ω

c ω

c ω

ϕ

A dB

40 dB

/dek


142

4.3.1.5. Blok čistog transportnog kašnjenja AF karakteristika ovog bloka je opisana relacijom:

ωτω ji e)j(G −= (4.71)

Iz (4.71) očigledno vrijedi da su amplitudna i fazna karakteristika ovog bloka:

1e)(A j == − ωτω (4.71`)

ωτωϕ −=)( (4.71``)

Pa su logaritamske ampltudno frekventne i fazno frekventne karakteristike bloka čistog transportnog kašnjenja određene relacijom:

[ ] 0dBA = ; [ ] ωτϕ −=0 (4.72)

i prikazane su na slici 4.32. Ukoliko jednokonturni sistem sadrži blok čistog transportnog kašnjenja s vremenom kašnjenja τ , konstrukcija logaritamskih frekventnih karakteristika izvodi se na isti način kao i za sistem bez kašnjenja. Razlika je jedino u tome što se za svaku proizvoljnu učestanost ω faznoj karakteristici sistema dodaje faza bloka čistog kašnjenja ωτϕ −= .

Oblik amplitudnih logaritamskih karakteristika očigledno ne zavisi od τ .

Slika 4.32. Logaritamske karakteristike bloka čistog transportnog kašnjenja

Upotreba logaritamskih frekventnih karakteristika bitno olakšava izvođenje proračuna kod zadataka sinteze SAU. Posebno je moguće izvoditi brze zaključke u pogledu stabilnosti zatvorenih sistema (zatvorenih kontura povratne sprege) na osnovu zadate ili predpostavljene prenosne funkcije otvorenih sistema.

A dB

ω

ϕ

ω

−τ

1


143

U ovom momentu je važno postići vještinu u paralelnom posmatranju i prelaženju iz jednog oblika opisivanja blokova SAU na drugi, kako bi izloženi metodi mogli biti primijenjeni u razmatranju problema koji su predmet nastavka razmatranja.

4.4. Urađeni primjeri Primjer 1. Nacrtati amplitudno-fazni karakteristiku sistema čija je prenosna funkcija

1

122 +

=sT

)s(G (p-1)

Polovi datog sistema su T

js /1

21 ±= , i pripadaju imaginarnoj osi kompleksne ravni {s}, te

se, pri preslikavanju imaginarne ose moraju "zaobići" (slika p-1). Za obilazak su korištene polukružnice poluprečnika ε, gdje ε → 0.

Slika p-1. Kontura koja se preslikava

Uvrštavajući s = jω (preslikavanje imaginarne ose {s} ravni, osim tačaka s1/2) u (p-1) dobijemo:


144

( ) ( )ωωω

ω jvuT

)j(G +=−

=221

1 (p-2)

Lako se vidi da je v(ω) = 0, te da je skup vrijednosti funkcije ( )ωω u)j(G = jednak:

( ){ } ( ) [ )∞+∞−= ,,u 10 UωR (p-3)

Ovo znači da će glavni dio karakteristike pripadati realnoj osi { })j(G ω ravni, i to dijelu koji

je definisan sa (p-3).

Analizirajmo sada gdje će se preslikati polukružnica, opisana oko pola T

js1

1 = .

Kompleksni brojevi s, koji leže na datoj polukružnici zadovoljavaju jednačinu:

−∈+=22

1 ππϕε ϕ ,,eT

js j (p-4)

Primjenjujući preslikavanje (p-1) na kompleksne brojeve oblika (p-4), imamo:

++−+=

++

=

+ϕϕϕ

ϕ

εεεε

jjj

j

eT

jeT

TeT

jT

eT

jG21

1

1

11

11

222

22

2

Uzimajući da je ε infinitezimalno malo, i zanemarujući infinitezimalu drugog reda, možemo pisati:

ϕπε

εεε

ϕπ

ϕϕ

−−=Φ

+∞→=

⋅==≈

+ Φ

−−

2

2

1

2

1

2

11 2

TR

eReTTej

eT

jG jj

jj

(p-5)

Korisne informacije možemo dobiti ukoliko preslikamo tačke A, B i C (slika p-1). One će se svakako preslikati u beskonačno daleke tačke, čije argumente možemo naći koristeći zadnju jednačinu u (p-5). Konačno, amplitudno fazna karakteristika je prikazana na slici p-2. Prikazan je samo dio koji je posljedica pozitivnih vrijednosti parametra ω. Preostali dio se, svakako, dobije kao osna simetrija postojećeg dijela, u donosu na realnu osu.


145

Slika p-2. Amplitudno fazna karakteristika bloka drugog reda bez prigušenja


146

Primjer 2. Nacrtati amplitudno-faznu karakteristiku i Bode-ove dijagrame za sistem čija je prenosna funkcija

( )12

2

++=ss

s)s(G (p-6)

Polovi datog sistema su s1 = 0, i s2 = -1. Pol s1 pripada imaginarnoj osi kompleksne ravni { s}, te se, pri preslikavanju imaginarne ose mora zaobići (slika p-3).

Slika p-3. Kontura koja se preslikava

Dalje, uvrštavajući s = jω u (p-6) dobijemo:

( ) ( )

( ) ( ))(

v,)(

u

jvu)(

j)()j(j

j)j(G

2

2

2

2

2

2

12

2

12

1

12

2

12

1

12

2

ωωωω

ωω

ωωωω

ωωωω

ωω

++−=

+−=

+=+

+−+

−=+

+= (p-7)

Ispitivanjem ponašanja funkcija u(ω) i v(ω) na granicama prirodnog domena imamo:

( ) ( )( ) ( ) 00

2

100

==

−∞=−=

+∞→+∞→

→→ ++

ωω

ωω

ωω

ωω

vlim,ulim

vlim,ulim (p-8)


147

Očito je da karakteristika "završava" u koordinatnom ishodištu, što je i bilo za očekivati zbog toga što je m < n. Ugao pod kojim karakteristika ulazi u idhodište koordinatnog sistema { })j(G ω računamo kao:

22

ππϕ −=−= nmul (p-9)

Preslikajmo sada polukružnicu pomoću koje smo zaobišli pol s1 = 0. Kompleksni brojevi s, koji leže na datoj polukružnici zadovoljavaju jednačinu:

−∈=22

ππϕε ϕ ,,es j (p-10)

Primjenjujući preslikavanje (p-6) na kompleksne brojeve oblika (p-10), imamo:

( ) ( )

ϕε

εεεεεε ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

−=Φ

+∞→=

⋅==≈+

+= Φ−

1

1

2

2

12

2

R

eReeee

eeG jj

jjj

jj

(p-11)

Konačno, na slici p-4 je prikazana (MATLAB prikaz) amplitudno-fazna karakteristika za sistem dat sa (p-6). Isprekidana linija odgovara negativnim vrijednostima parametra ω.

Slika p-4. Amplitudno-fazna karakteristika


148

Tačke A, B i C se respektivno preslikavaju u beskonačno daleke tačke:

( )

∞−−∞

∞− j,'Ci,'B,j,'A2

10

2

1.

Uz pomoć programskog paketa MATLAB lahko možemo dobiti Bode-ove dijagrame za dati sistem (slika p-5).

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

-110

-105

-100

-95

-90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Slika p-5. Bode-ovi dijagrami

Documents

Automatizacija