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GRAU DE MATEMATIQUES
Treball final de grau
Conexion entre las matematicas y la musica: Propuesta didactica en un aulade Bachillerato
Autor: Andrea Tomas Truco
Director: Dr. Jordi Font Gonzalez
Realitzat a: Departament de Matematiques i Informatica
Barcelona, 24 de enero de 2021
Abstract
Nowadays, there are many studies that relate mathematics to music. The use of mathe-matics to compose music or the use of musical elements to better understand mathematicsare some of the examples of connections between both subjects. More specifically, it existsand I’m going to show the relationship between the continued fractions and the music;continuous fractions can be used to understand why the normally used musical scalecontains 12 musical notes.
This work was born from the intention of being able to explain mathematics in adifferent, innovative, and not as it’s generally explained in a high school classroom.
The results obtained after the activity show the little knowledge that exists betweenboth subjects and the students’ desire to carry out more playful and interconnected acti-vities between different areas of knowledge.
Resumen
En la actualidad, hay muchos estudios que relacionan las matematicas con la musica.El uso de las matematicas para componer musica o el uso de elementos musicales paracomprender mejor las matematicas son algunos de los ejemplos de conexiones entre am-bas materias. Mas concretamente, existe y voy a mostrar la relacion entre las fraccionescontinuas y la musica; las fracciones continuas se pueden usar para comprender por quela escala musical utilizada habitualmente contiene 12 notas musicales.
Este trabajo nace de la intencion de poder explicar las matematicas de manera dife-rente, innovadora, y no como se explican generalmente en un aula de bachillerato.
Los resultados obtenidos tras la actividad evidencian el poco conocimiento existenteentre ambas materias y la voluntad de los alumnos de realizar actividades mas ludicas einterconectadas entre diferentes areas de conocimiento.
2010 Mathematics Subject Classification. 11A55, 11K50, 11Y65, 30B70, 40A15, 97D40, 97C70, 97F60
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Agradecimientos
A Jordi Font, mi tutor, por apoyar este trabajo, por sus recomendaciones entorno alproyecto, por los consejos recibidos para el desarrollo de la actividad en el aula y, sobretodo, por creer en mi, en que podıa llevar adelante este trabajo aun con el tiempo encontra.
A la Asociacion PerCorda, por las innumerables videollamadas para poner en comun losconceptos matematicos y musicales, lo cual no resulto tan facil; por el apoyo incondicionalen todo momento y sobretodo a Pedro Tomas por su gran dedicacion y pilar fundamentalen la puesta en escena de la actividad.
Al Instituto de Educacion Secundaria IES La Llitera, por dejarme llevar a cabo estetrabajo en el centro donde estudie y del cual guardo muy buen recuerdo. A Esther Solana,gran profesora de matematicas la cual me puso todo tipo de facilidades para poder realizarla actividad en su aula. A los alumnos del instituto, por el extraordinario publico quefueron y su tremendo interes en lo que les explique.
A mi familia y pareja por el apoyo absoluto en todo momento a lo largo de estaexperiencia.
A mi gran amiga y profesora Marıa Mairal, por los consejos que me ha dado desde laeleccion de esta rama de trabajo hasta la exposicion del trabajo delante de los alumnos.
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Indice
1. Introduccion 1
2. Objetivos 2
2.1. Relacion matematicas y musica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Matematicas detras de la musica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Movimiento STEAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Marco historico 10
3.1. Biografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1. Matematicos que incorporan musica . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.2. Musicos que incorporan matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Conceptos preliminares 14
4.1. Conceptos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2. Conceptos musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Relacion entre fracciones continuas y musica 28
5.1. Primeros matematicos en utilizar las fracciones continuas . . . . . . . . . 28
5.2. Razon por la cual la octava contiene 12 notas musicales . . . . . . . . . . 29
6. Actividad didactica 30
6.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2. Estructura y desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3. Resultados obtenidos y posibles mejoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7. Conclusiones 35
8. Anexos 38
8.1. Competencias 2o de bachillerato en Aragon . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.2. Ficha del profesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.3. Ficha del alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
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1. Introduccion
Actualmente existen muchos estudios sobre la relacion entre las matematicas y la musi-ca y la inevitable conexion que existe entre ambas materias. De aquı nacio el movimientoSTEAM que pretende combinar ciencia, tecnologıa, ingerieria, matematicas y arte y edu-car fusionando estas areas de conocimiento. Este trabajo combina las matematicas con lamusica como materia incluıda en las artes.
La relacion entre las matematicas y la musica se remonta a los pitagoricos, los cualesconsideraban la musica como parte de las matematicas. Ademas cabe mencionar a muchosde los musicos que utilizaron, conscientes o no, las matematicas como herramienta en suspartituras musicales, como por ejemplo Bach, en cuyas obras destaca el uso de la geometrıapara su composicion.
La utilizacion de las fracciones continuas se remonta al siglo V d.C. con Aryabhata, elcual las utilizo para resolver ecuaciones diofanticas y dar aproximaciones de ciertos nume-ros irracionales. Matematicos como Bombelli, Cataldi o Brouncker, entre otros, tambienusaron las fracciones continuas para realizar aproximaciones de numeros irracionales.
En este trabajo se pretende dar a conocer el concepto matematico de las fraccionescontinuas y, sobre todo, relacionarlas con otra de las artes que considero importantes enmi vida y que siempre me ha atraıdo: la musica. Encontramos como punto de conexionla creacion de las escalas musicales y el por que la escala musical utilizada actualmenteconsta exactamente de 12 notas musicales. Posteriormente se lleva la propuesta a un aulade bachillerato y se desea que, a partir de los pasos necesarios para hallar la escala musicalpitagorica, creen ellos mismos una escala musical diferente utilizando como herramientalas fracciones continuas.
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2. Objetivos
Los objetivos que motivan el presente trabajo son los siguientes:
Dar a conocer a alumnos de bachillerato el concepto de fracciones continuas, adap-tado a la dificultad exigida para este nivel de estudios.
Presentar un ejercicio de tipo STEAM (Science, Technology, Engineering, Arts andMathematics).
Proponer una actividad didactica motivadora para los alumnos que relaciona lasmatematicas con la musica.
Mostrar la utilizacion de las fracciones continuas en la elaboracion de las escalasmusicales.
Cambiar la opinion de los estudiantes en la vision de las matematicas como asigna-tura, muchas veces, arida.
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2.1. Relacion matematicas y musica
Anderson (2014), Rothstein (1995), Steinitz (1996), Vaughn (2000) y Xenakis (1992)son algunos de los referentes entre los innumerables autores que han escrito sobre estatematica en el ambito internacional. Algunos de los musicos con evidentes intereses ma-tematicos son, por ejemplo, Bach, Bartok, Mozart, Schillinger, Schonberg, Stockhausen oXenakis. Y matematicos que incorporan la musica en sus vidas son, por ejemplo, Pitagoraso Einstein.
Una de las tareas que se llevan a cabo desde hace unos anos, es la interdisciplinaridad;en concreto, entre el arte y las matematicas.
Divulgamat (http://www.divulgamat.net/) es una pagina web creada por la Real So-ciedad Matematica Espanola (RSME) con el objetivo de divulgar y hacer mas atractivaslas matematicas al publico en general. Ademas mejora la percepcion de las matematicascomo asignatura arida y ofrece recursos para ensenarlas desde un punto de vista maspractico, con aplicaciones reales, de manera que a los estudiantes les resulten atractivas.
Entre las secciones de esta pagina web, cabe destacar la de ”Cultura y matematicas”,compuesta por diversas categorıas, entre las cuales se encuentra la de ”Musica y matemati-cas”, cuyo responsable es Francisco Gomez Martın (Universidad Politecnica de Madrid).En esta categorıa podemos encontrar, entre otras cosas, entradas sobre la geometrıa de lamusica, musica fractal, composicion algorıtmica, musica y probabilidad o ensenanza demusica por vıa de las matematicas.
Es particularmente notable todo lo que concierne a las repercusiones de la educacionmusical para el aprendizaje matematico. En general, diversos estudios senalan que lainstruccion musical repercute de forma positiva sobre las habilidades relacionadas con lamatematica o en los resultados obtenidos por el alumnado en pruebas matematicas. Ası,investigaciones como las de Boyd (2013) o Cheek y Smith (1999) subrayan que recibirclases de musica durante un tiempo prolongado incide de forma aun mas positiva sobreel rendimiento del alumnado en esta materia. Acerca de las posibilidades educativas quesurgen como consecuencia de la combinacion de ambas materias, Suiza y Estados Unidosde Norteamerica son quizas dos de los paıses en los que se han difundido un mayor numerode practicas y materiales docentes.
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2.2. Matematicas detras de la musica
Profundicemos ahora en las matematicas que hay detras de algunos conceptos basicosde lenguaje musical.
Un elemento que se debe destacar en la metrica musical es el compas, el cual se componede varias unidades de tiempo o figuras musicales organizadas en grupos, separados poruna lınea divisoria. En otras palabras, el compas es una fraccion en la cual el numeradorindica el numero de tiempo que tiene el compas y el denominador indica el tipo de figuraque ocupa cada tiempo.
Las transformaciones geometricas que en matematicas conservan la forma de una fi-gura, en musica se corresponden con transformaciones que conservan los intervalos (mo-vimientos) o que conservan la proporcion entre ellos (homotecias).
Podemos diferenciar cuatro tipos de transformaciones o movimientos en el plano:
Traslaciones: la figura se desplaza en una direccion conservando la forma y eltamano.
Podemos encontrar dos tipos de traslaciones: en el eje horizontal y en el eje vertical.
� La traslacion en el eje horizontal implica una traslacion en el tiempo, la cualpuede ser de dos tipos:
Repeticion: Consiste en repetir una melodia o fragmento varias veces, uno acontinuacion del otro. Un ejemplo de esta practica aparece en la obra ”Ach!du lieber Augustin”.
Figura 1: Extracto de ”Ach! du lieber Augustin”. Fuente: www.divulgamat.net
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Canon: Consiste en la imitacion entre dos o mas voces separadas por un inter-valo de tiempo.
Figura 2: Ejemplo de canon. Fuente: www.melomanos.com
� La traslacion vertical se corresponde musicalmente con un ”transporte”. Conella obtenemos la misma melodıa original pero con una entonacion mas agudao mas grave. La melodıa alterada se denomina melodıa transportada.
Rotaciones: hacemos girar la figura segun el angulo de giro indicado, respectoa un punto determinado y manteniendo la forma y el tamano de la figura.En la composicion musical, solo las rotaciones de 180o tienen sentido, ya quela musica no se puede girar 90o en el pentagrama, por ejemplo. Un ejemplode rotacion es la obra ”El dueto del espejo” de Mozart, cuya partitura estadisenada para que dos violinistas puedan interpretarla a la vez, pero cada unola lee en sentido contrario.
Figura 3: Partitura ”El dueto del espejo”. Fuente: www.divulgamat.net
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Reflexiones: un objeto geometrico se mueve a traves de una recta a traves dela cual se refleja dicho objeto. Esta recta se llama recta de reflexion o eje de lareflexion.
Podemos clasificar dos tipos de reflexiones:
◦ Reflexion sobre un eje vertical: Consiste en repetir mismas notas que la me-lodıa original, pero en sentido contrario. La melodıa alterada se denominamelodıa retrograda.
Figura 4: Ejemplo de reflexion vertical. Fuente: www.divulgamat.net
◦ Reflexion sobre un eje horizontal: Se realiza a partir de una lınea del pen-tagrama. La melodia resultante es la misma que la original pero reflejada.
Figura 5: Ejemplo de reflexion horizontal en la Fuga 6, en Re Menor, del Clave bientemperado (1722) de Johann Sebastian Bach. Fuente: www.divulgamat.net
Homotecia: hace corresponder a una figura otra de igual forma, pero de diferen-te tamano, mayor o menor. La homotecia en musica la podemos entender comoreproducir una serie de notas, pero con una duracion diferente.
Figura 6: Homotecia en la melodıa. Fuente: www.divulgamat.net
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2.3. Movimiento STEAM
Las nuevas demandas de la sociedad comtemporanea han hecho surgir el aprendiza-je por competencias. Este nuevo enfoque propicia la interdisciplinaridad, puesto que lacompetencia en cualquier ambito no depende, habitualmente, de tener unicamente cono-cimientos en una materia.
En esta linea ha surgido la corriente denominada STEM (Science, Technology, Engi-neering, Mathematics), que propicia una ensenanza de la ciencia que considera fusionadasestas areas de conocimiento. Las iniciativas o proyectos educativos que tienen esta denomi-nacion pretenden aprovechar las similitudes y puntos en comun de estas cuatro materiaspara desarrollar un enfoque interdisciplinar, centrado en la resolucion de situaciones yproblemas de la vida cotidiana con ayuda de la tecnologıa.
Mas recientemente se ha incluido en el enfoque STEM la A de arte. Cuando se com-binan las habilidades artısticas y creativas con la educacion STEM se refuerzan aspectoscomo la innovacion y el diseno, el desarrollo de la curiosidad y la imaginacion o la busquedade soluciones diversas a un unico problema.
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Resumo a continuacion algunas de las competencias y dimensiones STEAM:
Figura 7: Tabla de competencias y dimensiones STEAM. Fuente: [22]
El marco de referencia europeo establece ocho competencias clave, consideradas igual-mente importantes, pues ”cada una de ellas puede contribuir al exito en la sociedad delconocimiento”, como senala la Recomendacion del Parlamento Europeo y del Consejo(2006, p.3); muchas de ellas relacionadas entre sı. Estas competencias son las siguientes:
1. Comunicacion en la lengua materna.
2. Comunicacion en lenguas extranjeras.
3. Competencia matematica y competencias basicas en ciencia y tecnologıa.
4. Competencia digital.
5. Aprender a aprender.
6. Competencias sociales y cıvicas.
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7. Sentido de la iniciativa y espıritu de empresa.
8. Conciencia y expresion culturales.
Esta ultima competencia, se define como la ”apreciacion de la importancia de la ex-presion creativa de ideas, experiencias y emociones a traves de distintos medios, incluidala musica, las artes escenicas, la literatura y las artes plasticas”, como recoge la Reco-mendacion del Parlamento Europeo y del Consejo (2006, p.3).
Destacamos a la Universidad de Cantabria (UC) puesto que aplica esta corriente yorganiza, desde hace algunos anos, diversas actividades cuyo principal objetivo es el fo-mento de la cultura y de la divulgacion cientıficas. Otra actividad llevada a cabo parafomentar la competencia interdisciplinar, es el proyecto STEMforYouth. En dicho pro-yecto participa la Universidad de Cantabria a traves del departamento de Matematicas,Estadıstica y Computacion (MATESCO), siendo uno de los diez miembros de seis paısesdiferentes (Espana, Italia, Grecia, Eslovenia, Republica Checa y Polonia) que se unen conel objetivo de hacer la ciencia mas atractiva para los adolescentes.
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3. Marco historico
La palabra ((musica)) tiene su origen en el vocablo griego musike, literalmente ((el artede las musas)), las cuales eran las inspiradoras de la musica, la danza, la astronomıa y lapoesıa. La gran mayorıa de las ciencias y de los saberes tienen su origen en la AntiguaGrecia. En esta epoca, Pitagoras y los pitagoricos ”buscaban comprender la armonıadel universo y consideraban los numeros y sus relaciones la expresion ultima de estaarmonıa”(Arbones, J. y Milrud, P., 2011, p.11).
Los pitagoricos fueron los primeros en desarrollar una division de los saberes, a los quellamaban artes. Estas artes se dividıan en dos grandes grupos: Trivium (de tri, ((tres)),y vium, ((vıa)) o ((camino))), los saberes humanos, formado por la gramatica, la dialecticay la retorica; y Quatrivium (de quadri, ((cuatro))) los saberes exactos, integrado por lageometrıa, la aritmetica, la musica y la astronomıa. Estos son los siete caminos que podıanhacer que el hombre se mantuviera en equilibrio con un universo en armonıa, las ((sieteartes liberales)). Esta clasificacion fue el plan de estudios desde la Antigua Grecia hastael Renacimiento. Por lo que la musica estaba considerada una parte de las matematicas.
3.1. Biografıa
3.1.1. Matematicos que incorporan musica
Pitagoras (c. 582 a.C. - c. 496 a.C)
Pitagoras fue un filosofo y matematico griego, nacido en la isla de Samos. Inspiradopor el filosofo y matematico Tales de Mileto. Fundo la escuela pitagorica, primera escuelainternado del mundo, que llego a convertirse en una asociacion parcialmente religiosa,cientıfica y filosofica.
Establecıa un paralelismo entre los intervalos acusticos considerados como base de lamusica y las distancias que nos separan de los planetas.
1 tono → distancia Tierra-Luna
1
2tono → distancia Luna-Mercurio
1 tono y medio → distancia Venus-Sol
Una cuarta → distancia Luna-Sol
Una quinta → distancia Tierra-Sol
Pitagoras advirtio que las cuerdas vibrantes producen tonos armonicos cuando lasproporciones de las longitudes de las cuerdas son numeros enteros, y que estas proporcionespodıan ser extendidas a otros instrumentos.
En el siglo IV a.C., estudia las reaciones numericas entre las longitudes de las cuerdasen profundidad, lo que dio lugar al sistema de afinacion pitagorico.
Este sistema se puede expresar en forma axiomatica como:
La musica se basa en 7 notas.
La longitud de las cuerdas siempre puede ser multiplicada o dividida por 3.
La longitud de las cuerdas siempre puede ser multiplicada o dividida por 2.
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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Fue uno de los matematicos mas destacados de la historia.
Estaba convencido de que la ”musica posee una irrefutable estructura matemati-ca”(Bertos, 2009, p.3). Ademas describe la musica como ”un ejercicio inconsciente enla aritmetica” (Lluis-Puebla, 2002, p.130).
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Se trata de uno de los matematicos mas prolıficos de la historia, el cual tambien mostrointeres por la musica. Liern (2012, p.93) senala que ”en 1726 Euler finalizo su doctorado”,con una tesis que versaba ”sobre la propagacion del sonido” y en 1731 escribio una obra quetrataba sobre musica: Tentamen novae theoriae musicae (en espanol: una nueva teorıa dela musica). Tambien indica Liern (2012, p.93) que el objetivo de Euler era ”encontrar unaregla general con la que expresar el orden oculto de los distintos grados de consonancia,de la armonıa y de la musica en general”.
En 1739, ”Euler desarrollo una teorıa de consonancia basada en la ley pitagorica”(Lluis - Puebla, 2002, p.134). Tambien afirmo que entre mas pequenos sean los numerosque expresan la relacion de vibracion de dos notas, estas seran mas consonantes. De estaforma, Euler establecio un criterio de armonicidad de cualquier intervalo o acorde queconcuerda con los hechos observados.
Alexander John Ellis (1814 - 1890)
Matematico britanico.
Destaco por ser el inventor, en 1885, del ((cent)): unidad de medida logarıtmica usadapara medir intervalos de frecuencia muy pequenos. El cent resulta de dividir un semitonoen 100 microintervalos multiplicativos iguales.
Pedro Puig Adam (1900 - 1960)
Ingeniero industrial, doctor en matematicas y academico numerario de la Real Acade-mia de Ciencias Exactas, Fısicas y Naturales.
Su preocupacion por los problemas de la ensenanza lo llevo a ser un destacado miembrode la C.I.E.M. (Comision Internacional para la Ensenanza de las Matematicas).
Estudio matematicas en la Universidad de Barcelona con un doctorado sobre ”Reso-lucion de algunos problemas elementales en Mecanica Relativista Restringida”.
En 1933 publico, en colaboracion con Rey Pastor, el primer tomo de la Metodolo-gia y Didactica de la Matematica elemental, especialmente dirigido a los aspirantes alprofesorado de 1a y 2a ensenanzas.
En 1955 dirigio la seccion para mejora de la ensenanza en el Bachillerato en el C.O.D.de Ensenanza Media.
Desde 1950 pertenecio a la Real Academia de Ciencias Exactas, Fısicas y Naturales.
En sus ratos libres componıa musica y era pintor.
Frase celebre: ”Tal vez sea la musica la matematica del sentimiento y la matematicala musica de la razon”.
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Pilar Bayer i Isant (1946 - )
Es catedratica de algebra de la Universidad de Barcelona desde el ano 1982.
Obtuvo el tıtulo de Profesora de Piano por el Conservatori Superior Muncipal deBarcelona (1967). Se licencio y doctoro en Matematicas por la Universidad de Barcelona(1968, 1975).
Ha ejercido como profesora de matematicas en la Universidad de Barcelona, Universi-dad Autonoma de Barcelona, Universidad de Santander y Wissenschaftliche Assistentinder Regensburg Universitat (Alemania).
En 1986, ya catedratica del Departamento de Algebra y Geometrıa de la Facultad deMatematicas de la UB, fundo el Seminario de Teorıa de Numeros de Barcelona (STNB),una escuela considerada referente en el mundo de la investigacion en matematicas y en laque participan la Universidad de Barcelona, la Universidad Autonoma de Barcelona y laUniversidad Politecnica de Cataluna.
William Timothy Gowers (1963 - )
Matematico britanico destacado y profesor de la Universidad de Cambridge que en 1988obtuvo la medalla Fields y ademas se dedica a la investigacion en musica y matematica,como se recoge en el articulo de un diario britanico The Independent (2011).
Laura Farre Rozada (1990 - )
Pianista, matematica e investigadora catalana nacida en Vilanova i la Geltru.
Laura considera que ”Las matematicas son el esqueleto de la musica. Cualquier parame-tro musical tiene su razonamiento y formulacion matematica detras” [11].
Como investigadora, Laura esta especializada en musica y matematicas, memoria mu-sical y repertorio pianıstico de los siglos XX y XXI. Ha sido profesora invitada en BostonUniversity, Colorado College, University of Colorado en Colorado Springs, Fundacion Chi-lena Teatro del Lago y Conservatori Municipal de Musica de Barcelona. Ademas ha sidocolaboradora de la Radio Nacional de Espana, difundiendo las conexiones entre musica ymatematicas.
Completo su Maestrıa en Musica en el Royal College of Music de Londres. Anterior-mente, se graduo con Distincion de sus estudios de Licenciatura y Maestrıa en piano conJean-Francois Dichamp en la Escuela Superior de Musica de Cataluna (ESMUC) , y de suLicenciatura en Matematicas en la Universidad Politecnica de Cataluna (UPC). Obtuvovarios premios de distincion en todos sus estudios.
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3.1.2. Musicos que incorporan matematicas
Johann Sebastian Bach (1685 - 1750)
Uno de los grandes compositores de todos los tiempos y que pertenecio a una de lasfamilias mas extraordinarias de compositores y destacados interpretes de la historia dela musica. Gozo de una gran reputacion como organista y clavecinista. Liern [15] hablade ”la grandeza estructural” de las obras de Bach y considera que ”la estructura de susobras es pura geometrıa”.
Wolfgang Amadeus Mozart (1756 - 1791)
Ilustre musico y compositor, de los mas importante que ha habido en la historia de lamusica.
En 1777, escribio ”Juego de Dados Musical” con el que es posible escribir valses conla ayuda de dos dados unicamente, no siendo necesario ni ser musico ni tener nociones decomposicion [16].
Fryderyk Franciszek Chopin (1810 - 1849)
Importante compositor y virtuoso pianista.
Tal y como indica Pol i Llompart [19], se puede observar ”un paralelismo entre lasfunciones matematicas y la musica de Chopin” en algunas de sus obras.
Bela Viktor Janos Bartok (1881 - 1945)
Importante compositor y musico del siglo XX.
Desarrollo alrededor de 1915 ”un metodo para integrar todos los elementos de la musica(escalas, estructuras de acordes con los motivos melodicos apropiados, proporciones delongitud, tanto de la obra en general como los de la exposicion, desarrollo, reexposicion,frases de conexion entre movimientos, etc.) basados en la razon aurea” [16].
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4. Conceptos preliminares
4.1. Conceptos matematicos
A continuacion se van a presentar definiciones, proposiciones y teoremas algunos delos cuales, por falta de espacio, solo apareceran enunciados y no demostrados.
Definicion 4.1. Una fraccion continua finita es una expresion del tipo
a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3 +. . . +
1
aN
de N+1 variables donde a0, a1, . . . , an, . . . , aN son numeros enteros positivos. Se sueleexpresar como [a0; a1, a2, a3, . . . , aN ].
Llamamos a0, a1, . . . , an, . . . , aN los cocientes parciales, o simplemente cocientes, de lafraccion continua.
Definicion 4.2. Llamamos [a0, a1, . . . , an], (0 ≤ n ≤ N) el n-esimo convergente de[a0, a1, . . . , an, . . . , aN ].
Teorema 4.3. Si pn y qn estan definidos como
p0 = a0, p1 = a1a0 + 1, pn = anpn−1 + pn−2 (2 ≤ n ≤ N)
q0 = 1, q1 = a1, qn = anqn−1 + qn−2 (2 ≤ n ≤ N)
entonces
[a0, a1, . . . , an] =pn
qn
Demostracion:
Si n = 0,p0
q0= [a0] = a0 =
a0
1
Si n = 1,p1
q1= [a0, a1] = a0 +
1
a1=a0a1 + 1
a1
Si n = 2,p2
q2= [a0, a1, a2] = a0 +
1
a1 +1
a2
=a2a1a0 + a2 + a0
a2a1 + 1
Suponemos que es cierto para n. Entonces
[a0, . . . , an, an+1] =
[a0, . . . , an−1, an +
1
an+1
]
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El (n+1)-esimo convergente de la fraccion continua de la izquierda es igual al n-esimoconvergente de la fraccion continua de la derecha. Entonces
pn+1
qn+1=
(an +
1
an+1
)pn−1 + pn−2(
an +1
an+1
)qn−1 + qn−2
=an+1anpn−1 + pn−1 + an+1pn−2
an+1anqn + qn−1 + an+1qn−2
Usando la hipotesis de induccion tenemos
pn+1
qn+1=an+1(pn − pn−2) + pn−1 + an+1pn−2
an+1(qn − qn−2) + qn−1 + an+1qn−2=an+1pn + pn−1
an+1qn + qn−1
Como querıamos ver. �
Proposicion 4.4. Las funciones pn y qn satisfacen
pnqn−1 − pn−1qn = (−1)n−1
opn
qn−pn−1
qn−1=
(−1)n−1
qn−1qn
Demostracion:
Aplicando el Teorema 4.3 obtenemos
pnqn−1 − pn−1qn = (anpn−1 + pn−2)qn−1pn−1(anqn−1 + qn−2) = −(pn−1qn−2 − pn−2qn−1)
Por hipotesis de induccion es cierto para n, por lo que tambien lo es para n−1 obteniendo
(pn−1qn−2 − pn−2qn−1) = (−1)n−2
Por lo que entonces tendremos
pnqn−1 − pn−1qn = (−1)n−1
�
Teorema 4.5. Tambien satisfacen
pnqn−2 − pn−2qn = (−1)nan
opn
qn−pn−2
qn−2=
(−1)nan
qn−2qn
Demostracion:
Usando el Teorema 4.3 se tiene
pnqn−2 − pn−2qn = (anpn−1 + pn−2)qn−2 − pn−2(anqn−1 + qn−2)
= an(pn−1qn−2 − pn−2qn−1)= an(−1)n−2 = (−1)nan
�
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Teorema 4.6. Los convergentes pares x2n crecen estrictamente con n, mientras que losconvergentes impares x2n+1 decrecen estrictamente.
Teorema 4.7. Cada convergente impar es mayor que cualquier convergente par.
Teorema 4.8. El valor de la fraccion continua es mayor que el de cualquiera de susconvergentes pares y menor que el de cualquiera de sus convergentes impares.
Definicion 4.9. Si
[a0, a1, . . . , an, . . . , aN ] =pN
qN= x
decimos que el numero x (que es necesariamente racional) es representado con una frac-cion continua.
Teorema 4.10. qn ≥ qn−1 para n ≥ 1, con desigualdad cuando n > 1.
Teorema 4.11. qn ≥ n, con desigualdad cuando n > 3.
Demostracion:
En primer lugar, q0 = 1, q1 = a1 ≥ 1.
Si n ≥ 2, entoncesqn = anqn−1 + qn−2 ≥ qn−1 + 1
por tanto qn > qn−1 y qn ≥ n.
Si n > 3, entoncesqn ≥ qn−1 + qn−2 > qn−1 + 1 ≥ n
y entonces qn > n. �
Teorema 4.12. Los convergentes de una fraccion continua simple estan en sus terminosmas bajos.
Demostracion:
Por la Proposicion 4.4, se cumple que si d|pn y d|qn entonces d|(−1)n−1 y por consi-guiente d|1. �
Teorema 4.13. Si x es representable por una fraccion continua simple con un numeroimpar (par) de convergentes, tambien es representable por uno con un numero par (impar).
Definicion 4.14. Llamamos
a′n = [an, an+1, . . . , aN ], (0 ≤ n ≤ N)
el n-esimo convergente completo de la fraccion continua [a0, a1, . . . , an, . . . , aN ].
Ası
x = a′0, x =a′1a0 + 1
a′1
y
x =a′npn−1 + pn−2
a′nqn−1 + qn−2(2 ≤ n ≤ N)
16
Teorema 4.15. an = [a′n] parte entera de a′n, excepto aN−1 = [aN−1]−1 cuando aN = 1.
Teorema 4.16. Si dos fracciones continuas [a0, a1, . . . , aN ], [b0, b1, . . . , bM ] tienen el mis-mo valor x, y aN > 1, bM > 1, entonces M = N y las fracciones son identicas.
Cuando decimos que dos fracciones continuas son identicas queremos decir que estanformadas por la misma secuencia de convergentes parciales.
Demostracion:
Por el Teorema 4.15, a0 = [x] = b0. Supongamos que los primeros n cocientes parcialesde las fracciones continuas son identicos, y que a′n y b′n son el n-esimos convergentescompletos. Entonces
x = [a0, a1, . . . , an−1, a′n] = [a0, a1, . . . , an−1, b
′n].
Si n = 1, entonces
a0 +1
a′1= a0 +
1
b′1y
a′1 = b′1
y por consiguiente, por el Teorema 4.15, a1 = b1.
Si n > 1, entonces por la expresion
x =a′npn−1 + pn−2
a′nqn−1 + qn−2(2 ≤ n ≤ N)
de la Definicion 4.14,a′npn−1 + pn−2
a′nqn−1 + qn−2=b′npn−1 + pn−2
b′nqn−1 + qn−2y
(a′n − b′n)(pn−1qn−2 − pn−2qn−1) = 0
Pero pn−1qn−2 − pn−2qn−1 = (−1)n, por la Proposicion 4.4, y entonces a′n = b′n.
Se concluye del Teorema 4.15 que an = bn.
Suponemos ahora que N ≤M . Entonces nuestro argumento muestra que
an = bn
para n ≤ N .
Si M > N , entonces
pN
qN= [a0, a1, . . . , aN ] = [a0, a1, . . . , aN , bN+1, . . . , bM ] =
b′N+1pN + pN−1
b′N+1qN + qN−1
por la expresion anterior; opNqN−1 − pN−1qN = 0
lo cual es falso. Por consiguiente, M = N y las fracciones son identicas. �
17
Definicion 4.17. El sistema de ecuaciones
x = a0 + ξ0 (0 ≤ ξ0 < 1)
1
ξ0= a′1 = a1 + ξ1 (0 ≤ ξ1 < 1)
1
ξ1= a′2 = a2 + ξ2 (0 ≤ ξ2 < 1)
se conoce como el algoritmo de fraccion continua. El algoritmo continua siempre y cuandoξn 6= 0. Si finalmente alcanzamos un valor de n, digamos N, para lo cual ξN = 0, elalgoritmo termina y
x = [a0, a1, a2, . . . , aN ]
En este caso x esta representado como una fraccion continua simple, y es racional.
Los numeros a′n son los cocientes completos de la fraccion continua.
Teorema 4.18. Todo numero racional se puede representar con una fraccion continuasimple finita.
Demostracion:
Definimos el numero racional como α =p
qy usamos la notacion [x] para indicar la
parte entera del numero x.
r0 = α, r1 =1
r0 − [r0], . . . , rn =
1
rn−1 − [rn−1]
De aqui obtenemos
rn = [rn] +1
rn+1, n ≥ 0
�
Teorema 4.19. Un numero racional se puede expresar con una fraccion continua simplefinita de dos formas, una con un par y otra con un impar numero de convergentes. En laprimera forma, el ultimo cociente parcial es 1, en la otra es mayor que 1.
Teorema 4.20. Si 1 ≤ n ≤ N − 1, entonces
x−pn
qn=
(−1)n
qnq′n+1
Teorema 4.21. Si N > 1, n > 0, entonces las diferencias
x−pn
qn, qnx− pn
disminuyen constantemente en valor absoluto a medida que n aumenta. Ademas
qnx− pn =(−1)nδn
qn+1
donde0 < δn < 1 (1 ≤ n ≤ N − 2) , δN−1 = 1
18
y ∣∣∣∣∣x− pn
qn
∣∣∣∣∣ ≤ 1
qnqn+1<
1
q2n
para n ≤ N − 1, con inecuacion en ambos lugares excepto cuando n = N − 1.
Definicion 4.22. Suponemos que a0, a1, a2, . . . es una secuencia de enteros satisfaciendoa1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, . . . , de modo que
xn = [a0, a1, . . . , an]
es, para cada n, una fraccion continua simple representando un numero racional xn.
Teorema 4.23. Si a0, a1, a2, . . . es una secuencia de enteros satisfaciendo a1 > 0, a2 >0, a3 > 0, . . . , entonces xn = [a0, a1, . . . , an] tiende al lımite cuando n→∞.
Teorema 4.24. Toda fraccion continua simple es convergente. Escribimos
xn =pn
qn= [a0, a1, . . . , an]
y llamamos a estas fracciones los convergentes de [a0, a1, a2, . . . ].
Si N ≥ n, el convergente xn es tambien un convergente de [a0, a1, . . . , aN ].
Teorema 4.25. Una fraccion continua simple infinita es menor que cualquiera de susconvergentes impares y mayor que cualquiera de sus convergentes pares.
Definicion 4.26. Llamamos a′n = [an, an+1, . . . ] el n-esimo cociente completo de la frac-cion continua x = [a0, a1, . . . ]. Claramente
a′n = lımN→∞
[an, an+1, . . . , aN ] = an + lımN→∞
1
[an+1, . . . , aN ]= an +
1
a′n+1
y, en particular,
x = a′0 = a0 +1
a′1
Ademas,
a′n > an , a′n+1 > an+1 > 0 , 0 <1
a′n+1
< 1 , an = [a′n]
Teorema 4.27. Si [a0, a1, a2, . . . ] = x, entonces
a0 = [x] , an = [a′n] (n ≥ 0)
Teorema 4.28. Dos fracciones continuas simples infinitas que tienen el mismo valor sonidenticas.
Teorema 4.29. Todo numero irracional puede ser expresado de manera unica como unafraccion continua simple infinita.
Teorema 4.30. Los resultados de los Teoremas 4.20 y 4.21 se mantienen tambien(excepto para las referencias de N) para las fracciones continuas infinitas. En particular∣∣∣∣∣x− pn
qn
∣∣∣∣∣ < 1
qnqn+1<
1
q2n
19
Teorema 4.31. Si
x =Pξ +R
Qξ + S
donde ξ > 1 y P, Q, R, S son enteros tal que
Q > S > 0 , PS −QR = ±1
entoncesR
SyP
Qson dos convergentes consecutivos de la fraccion continua simple cuyo
valor es x. SiR
Ses el (n-1)-esimo convergente, y
P
Qes el n-esimo, entonces ξ es el (n+1)-
esimo cociente completo.
Podemos desarrollarP
Qen una fraccion continua simple
P
Q= [a0, a1, . . . , an] =
pn
qn
Definicion 4.32. Si ξ y η son dos numeros tal que
ξ =aη + b
cη + d
donde a, b, c, d son enteros tales que ad− bc = ±1, entonces ξ se dice que es equivalentea η. En particular, ξ es equivalente a sı mismo.
Si ξ es equivalente a η, entonces
η =− dξ + b
cξ − a, (−d)(−a)− bc = ad− bc = ±1
y entonces η es equivalente a ξ. Por tanto, la relacion de equivalencia es simetrica.
Teorema 4.33. Si ξ y η son equivalentes, y η y ζ son equivalentes, entonces ξ y ζ sontambien equivalentes. Por tanto, la relacion de equivalencia es transitiva.
Teorema 4.34. Cualesquiera dos numeros racionales son equivalentes.
Teorema 4.35. Los numeros irracionales ξ y η son equivalentes si, y solo si,
ξ = [a0, a1, . . . , am, c0, c1, c2, . . . ] , η = [b0, b1, . . . , bn, c0, c1, c2, . . . ]
la secuencia de cocientes en ξ despues del m-esimo es la misma que la secuencia en ηdespues del n-esimo.
Definicion 4.36. Una fraccion continua periodica es una fraccion continua infinita enla cual
al = al+k
para un positivo fijado k y todo l ≥ L. El conjunto de cocientes parciales
aL, aL+1, . . . , aL+k−1
se llaman el periodo, y la fraccion continua se puede escribir
[a0, a1, . . . , aL−1, aL, aL+1, . . . , aL+k−1]
20
Teorema 4.37. Una fraccion continua periodica es un numero irracional cuadratico, esdecir, una raız irracional de una ecuacion cuadratica con coeficientes enteros.
Demostracion:
Si a′L es el L-esimo cociente completo de la fraccion continua periodica x, tenemos
a′L = [aL, aL+1, . . . , aL+k−1, aL, aL+1, . . . ] = [aL, aL+1, . . . , aL+k−1, a′L]
y
a′L =p′a′L + p′′
q′a′L + q′′
Por tantoq′a′2L + (q′′ − p′)a′L − p′′ = 0
donde las fraccionesp′′
q′′yp′
q′son los dos ultimos convergentes de [aL, aL+1, . . . , aL+k−1].
Pero
x =pL−1a
′L + pL−2
qL−1a′L + qL−2, a′L =
pL−2 − qL−2xqL−1x− pL−1
Si lo sustituimos por a′L en la expresion anterior obtenemos una ecuacion
ax2 + bx+ c = 0
con coeficientes integrales. Dado que x es irracional, se cumple que b2 − 4ac 6= 0. �
Teorema 4.38. La fraccion continua que representa un numero irracional cuadratico esperiodica.
Del Teorema 4.30, ∣∣∣∣∣pnqn − x∣∣∣∣∣ < 1
q2n
ası quepn
qnproporciona una buena aproximacion de x.
Teorema 4.39. Si n > 1, 0 < q ≤ qn yp
q6=pn
qnentonces
∣∣∣∣∣pnqn − x∣∣∣∣∣ <
∣∣∣∣∣pq − x∣∣∣∣∣
Teorema 4.40. Si n > 1, 0 < q ≤ qn,p
q6=pn
qnentonces
|pn − qnx| < |p− qx|
Teorema 4.41. De dos convergentes consecutivos de x, al menos uno satisface la des-igualdad ∣∣∣∣∣pq − x
∣∣∣∣∣ < 1
2q2
21
Teorema 4.42. Si ∣∣∣∣∣pq − x∣∣∣∣∣ < 1
2q2
entoncesp
qes un convergente.
22
4.2. Conceptos musicales
Definicion 4.43. Se denomina frecuencia al numero de veces que se repite un procesoperiodico por unidad de tiempo. Segun el Sistema Internacional, la frecuencia se mide enhercios (Hz). Un hercio es la frecuencia de un suceso o fenomeno repetido por segundo.
Cada nota musical tiene una altura, que permite identificarla como mas grave o masaguda. La altura de una nota esta determinada por la frecuencia de oscilacion de su ondasonora.
Figura 8: Fuente: www.esero.es
A mayores frecuencias, sonidos mas agudos.
23
Definicion 4.44. Se conoce como longitud de onda la distancia que recorre una perturba-cion periodica que se propaga por un medio en un ciclo. Se suele representar con la letragriega λ.
Figura 9: Fuente: www.esero.es
Definicion 4.45. Una escala musical es una serie de notas musicales ordenadas en fun-cion de su frecuencia, que esta delimitada por las notas correspondientes a las frecuenciasf y 2f .
Puede ser ascendente, si las notas estan ordenadas de menor a mayor frecuencia, odescendente, si estan ordenadas de mayor a menor frecuencia.
Figura 10: Fuente: www.gmusicmagazine.wordpress.com
24
Definicion 4.46. Se define como armonico a cualquier multiplo de una frecuencia deter-minada por un numero entero igual o mayor que 2. La distribucion de los armonicos queproduce un determinado instrumento musical configura su timbre, es decir, la cualidad desu sonido.
Figura 11: Fuente: es.wikipedia.org
Definicion 4.47. Un intervalo es la diferencia entre las frecuencias de dos notas.
Se expresa con un numero ordinal en funcion del numero de notas que se situan entrelos dos extremos (2a entre dos notas consecutivas, 3a, 4a, etc).
Figura 12: Fuente: www.escuelaonlinedemusica.com
Definicion 4.48. Una quinta justa es el intervalo entre una frecuencia f y3
2f . A partir
de este intervalo se genera la conocida escala pitagorica.
Definicion 4.49. Una octava justa es el intervalo entre una frecuencia f y 2f . Esteintervalo define el rango de frecuencias en que pueden situarse las notas intermedias dela escala musical.
25
Afinacion pitagorica
Dada una frecuencia f , que consideramos como nota patron, estara afinada cualquiernota que se obtenga subiendo o bajando f cualquier numero de quintas justas, es decir,
las que sean de la forma f
(3
2
)n
, siendo n un numero entero.
La escala pitagorica esta formada por los sonidos
(3
2
)n
transportados a la octava
[1, 2). Para realizar este transporte, se divide
(3
2
)n
por una potencia de 2 de manera
que:
1 ≤
(3
2
)n
< 2 n,m ∈ Z
Para cada valor n, el valor de m esta determinado unıvocamente.
Aislamos m de la inecuacion multiplicando primero por 2m:
2m ≤
(3
2
)n
< 2m+1
Tomamos logaritmos
m ≤ log2
((3
2
)n)< m+ 1
Como m es un numero entero, se trata de la parte entera, es decir,
k = Ent
[log2
((3
2
)n)]= Ent
[n log2
(3
2
)]
Ası la afinacion pitagorica se expresa como:
an = 2n log2
3
2
−Ent
n log2
3
2
, n ∈ Z
26
Definicion 4.50. El cırculo de quintas se elabora a partir de los sucesivos intervalos dequinta a partir de una nota determinada. Si seguimos el sistema tradicional de notacion,al cabo de varias iteraciones alcanzaremos una nota que sera equivalente a la nota inicial.
Figura 13: Fuente: es.wikipedia.org
27
5. Relacion entre fracciones continuas y musica
5.1. Primeros matematicos en utilizar las fracciones continuas
La utilizacion de las fracciones continuas se remonta al siglo V d.C., con Aryabhata(476 d.C. - 550 d.C.), el cual utilizo las fracciones continuas tanto para resolver ecuacionesdiofanticas, como para dar aproximaciones a ciertos numeros irracionales.
Por otra parte, Brahmagupta (598 d.C. - 668 d.C.) profundizo en el estudio de lasecuaciones diofanticas de la forma x2−ny2 = 1 con n ∈ Z, conocidas hoy como ecuacionesde Pell2. Particularmente investigo las soluciones de la ecuacion x2− 61y2 = 1 y encontrola menor solucion: (1766319049, 226153980), para ello utilizo calculos semejantes a los delas fracciones continuas.
En Italia, Rafael Bombelli (1526 - 1572) utilizo un precursor de las fracciones continuaspara calcular aproximaciones de
√13.
Antonio Cataldi (1548 - 1626) se dio cuenta de que el metodo de Bombelli era validopara todas las raıces cuadradas y lo utilizo para calcular
√18, ademas publico que las
aproximaciones obtenidas son alternadamente mayores y menores a la raız buscada.
Posteriormente, en Inglaterra, William Brouncker (1620 - 1684) utilizo estas fraccio-
nes para construir una sucesion que convergıa a4
π, ademas, aproximo el valor de π con
10 decimales significativos. En esa misma epoca, el astronomo y matematico holandesChristiaan Huygens (1629 - 1695) descubrio que las fracciones continuas son una excelen-te herramienta para determinar el numero de dientes que deben tener las ruedas de losengranajes de un reloj y las utilizo para la construccion de un automata planetario.
Por otro lado, el suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) demostro que si un numero tieneuna fraccion continua periodica, entonces es solucion de una ecuacion de segundo gradocon coeficientes enteros. El recıproco de este resultado se debe a Joseph-Louis de Lagrange(1736 - 1813).
El astronomo y matematico aleman Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) utilizo lasfracciones continuas para demostrar la irracionalidad de π.
2Las ecucaciones de Pell ya serıan materia suficiente para un TFG, pero unicamente las he nombradoporque no es el tema principal de mi trabajo.
28
5.2. Razon por la cual la octava contiene 12 notas musicales
Tal y como se ha visto anteriormente, la afinacion pitagorica se puede expresar me-diante la sucesion:
an = 2n log2
3
2
−Ent
n log2
3
2
, n ∈ Z
Calculamos la fraccion continua asociada al numero log2
(3
2
)a partir de un valor
aproximado, por ejemplo 0,5849625. La expresion de la misma para una cierta precisiones:
log2
(3
2
)= [0; 1, 1, 2, 2, 3, . . . ]
Truncamos la expresion para calcular los convergentes de la fraccion continua, obte-
niendo que los convergentes de log2
(3
2
)son:
1,1
2,3
5,
7
12,24
41,31
53, . . .
De manera que:
1 <1
2<
7
12<
31
53< . . . < log2
(3
2
)< . . . <
24
41<
3
5< 1
El denominador de cada convergente nos indica el numero de notas por octava parauna cierta precision y el numerador la posicion de la nota musical que aproxima unaquinta justa. Como 5 notas resultan insuficientes, se recurre a 12 notas por octava; razonmatematica por la cual la mayorıa de la musica actual utiliza 12 notas. La nota en septimaposicion corresponde al SOL, considerando que la nota DO ocupa la posicion cero, queforma una quinta justa con la nota DO (DO, RE, MI, FA, SOL).
Escogiendo las 12 notas, la aproximacion de log2
(3
2
)es
7
12y, sustituyendo este valor
en la sucesion de la afinacion pitagorica obtenemos:2n·
7
12−E
n· 7
12
11
n=0
=
2
n
12
11
n=0
expresion del sistema de afinacion usado actualmente por la gran mayoria de la musicaoccidental, el temperamento igual o la escala temperada de 12 notas.
29
6. Actividad didactica
A continuacion se presenta una actividad didactica dirigida, por el grado de dificultadde la misma, a alumnos de 2o de Bachillerato cientıfico.
La propuesta se desarrolla en el Instituto de Educacion Secundaria IES La Lliterasituado en Tamarite de Litera, provincia de Huesca (Aragon); instituto en el cual realicemis estudios de ESO y Bachillerato.
El IES La Llitera es un centro publico el cual oferta las siguientes ensenanzas:
Educacion Secundaria Obligatoria (ESO)
Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales y de Ciencias y Tecnologıa.
Formacion Profesional basica de Fabricacion y montaje.
Ciclos formativos de Grado Medio de Gestion administrativa y de Mecanizado.
Ciclo formativo de Grado Superior de Administracion y finanzas.
Para el desarrollo de la actividad cuento con la colaboracion de Pedro Tomas Este-ve, miembro de la Asociacion PerCorda. PerCorda es un grupo formado por tres jovenesmusicos de Peralta de la Sal con un objetivo comun, acercar la musica a todos los co-lectivos, prestando especial atencion a aquellos que no solemos encontrar en las salas deconciertos habituales, y contagiar su amor por la musica a todo el que quiera conocerles.
La actividad se desarrollo en una sesion de 1h y 45min, con un descanso de 10min enmitad de la actividad.
Los materiales utilizados para la puesta en escena de la propuesta, ademas de loshabituales folios blancos y bolıgrafos necesarios para la actividad practica de los alumnos,son los siguientes:
Pizarra. Dedicada para resolver las posibles dudas que puedan surgir en los alumnosmientras realizo la actividad, ası como tambien mostrar de manera mas grafica losconceptos.
Proyector. Destinado para mostrar la presentacion de la parte teorica de la propues-ta.
Guitarra. Utilizada para senalar los conceptos musicales necesarios para el desarrollode la actividad.
Teclado electrico. Usado para escuchar la escala musical creada por los alumnos yver la comparacion con la escala pitagorica que tienen como ejemplo.
30
6.1. Objetivos
Con esta actividad los objetivos que pretendo son los siguientes:
Reconocer una de las muchas conexiones que existen entre las matematicas y lamusica, mas concretamente entre las fracciones continuas y la musica.
Comprender las matematicas como una ciencia no aislada y presente en otros ambi-tos como, en este caso, la musica.
Calcular la fraccion continua de un numero tanto racional como irracional.
Crear una escala musical usando las fracciones continuas como herramienta.
31
6.2. Estructura y desarrollo
La actividad propuesta esta dividida en dos partes:
Una primera parte teorica en la cual se explican a los alumnos los conceptos, tanto ma-tematicos como musicales, necesarios para el desarrollo posterior de la actividad practica.Para ello se presenta el contenido en el aula mediante un proyector y, posteriormente, seles entrega a los alumnos folios con parte de la teorıa explicada y la practica que tienenque resolver. Se preferıa la opcion digital pero el centro no disponıa de medios suficientespara ello, por lo que se opto por realizar la actividad por escrito.
Una segunda parte mas practica en la cual tendran que seguir el ejemplo descrito enla parte teorica para realizar la propuesta.
Los alumnos realizan la actividad en grupos de 3 y la corregimos con ayuda del pro-yector y de la pizarra de manera conjunta. Ademas al finalizar la dinamica, contestarana una encuesta de valoracion personal de la experiencia; y, de manera voluntaria, podrandejar un comentario si lo desean.
En un primer momento, se presenta a los alumnos los conceptos musicales y matemati-cos necesarios para seguir sin dificultad la propuesta; ademas de la afinacion pitagorica yse explica cual es el generador de la misma. Mas adelante se explica que son las fraccionescontinuas y como calcular la fraccion continua de un numero racional, la cual sera finita.Despues se ensena como calcular los convergentes de una fraccion continua y se sigue conel ejemplo anterior. A partir de una aproximacion del generador de la afinacion pitagorica,se calcula la fraccion continua asociada y algunos de sus convergentes. Se observa que el
convergente7
12indica que la escala pitagorica esta dividida en 12 notas y la nota que
aproxima la quinta justa es la numero 7 (contando con que el Do es la numero 0). Supo-niendo que la frecuencia de la nota Do es 1 se crea la escala musical pitagorica a partirdel tercer armonico, es decir, multiplicando la frecuencia por 3 y dividiendo entre 2 lasveces que sean necesarias hasta que se encuentre en el intervalo [1, 2). Se consigue ası eldenominado cırculo de quintas.
A continuacion se pretende que los alumnos sigan los mismos pasos y, a partir delquinto armonico, creen la escala musical resultante. Para ello, se parte del logaritmo
en base 2 del generador5
4y se calcula la fraccion continua asociada. Posteriormente se
calculan algunos de sus convergentes y se concluye que el convergente9
28indica que, para
una cierta precision, el numero ideal de notas por octava es de 28 y la nota numero 9aproxima una tercera mayor.
A partir de aquı, como los calculos para crear la escala a partir del quinto armonicoson muy largos (28 pasos con sus respectivas reducciones a la octava), se les da a losestudiantes los resultados de las frecuencias obtenidas suponiendo que la frecuencia delDo central es 261,63Hz. Ademas, calculo y muestro a los alumnos, las fracciones obtenidas,las frecuencias correspondientes, la comparacion con las frecuencias obtenidas en la escalapitagorica y el nombre de la nota a la que corresponden.
32
Incorporamos las frecuencias obtenidas en el programa musical Pianoteq y, con laayuda del teclado electrico, los alumnos comprueban como suena la escala que acaban decrear y las diferencias auditivas que hay con la escala pitagorica y la escala temperada.
Finalmente, se les proporciona un codigo QR y un enlace para que accedan a unaencuesta para valorar la actividad.
33
6.3. Resultados obtenidos y posibles mejoras
La actividad propuesta les parecio, como poco, interesante a todos los alumnos. Duran-te el desarrollo de la actividad, todos ellos se mostraron interesados en lo que les explicabay la mayorıa de ellos quisieron participar en la actividad y preguntar aquellas dudas queles iban surgiendo, tanto en el ambito de la musica como en el de las matematicas.
Durante la primera parte de la practica, la cual resultaba ser mas teorica, ningunode los alumnos perdio la concentracion ni se distrajo, sino que permanecıan atentos a lapizarra.
En el descanso, pudimos comentar algunas dudas que les habıan surgido ademas deinteractuar con ellos de manera mas informal.
La segunda parte de la practica les resulto mas entretenida. Todos los grupos pusieronmucho interes y motivacion a la hora de desarrollar la actividad que les habıa propuesto.Tanto yo como mi companero Pedro, resolvimos las dudas que les iban surgiendo mientrashacıan el ejercicio. Los resultados obtenidos por todos los grupos fueron los correctos yllegaron a crear con exito la escala musical.
Una vez escucharon con el piano electrico la escala creada, comprobaron las diferenciasauditivas que habıa con la escala pitagorica y mi companero Pedro toco una pieza de cortaduracion con ambas escalas.
Al finalizar la actividad, los alumnos y las alumnas participantes cumplimentaron unbreve cuestionario con el fin de valorar la misma. En el se plantearon preguntas referentesa las explicaciones dadas en clase tanto de la parte matematica como de la parte musical,el nivel de dificultad que habıan percibido en relacion al desempeno total de la actividad,el grado de interes que habıa despertado en ellos y ellas la sesion y si previamente eranconocedores de la relacion existente entre las matematicas y la musica. En lıneas generales,la valoracion de las explicaciones fue muy positiva, percibieron una dificultad media, laactividad les resulto altamente interesante y la mayorıa de los estudiantes no conocıan larelacion entre las matematicas y la musica.
Por ultimo, se establecio un tiempo de debate con el fin de que los estudiantes pudieranmanifestar su opinion de una forma mas amplia o comentar los aspectos que considerasenoportunos. Todos ellos coincidieron en el componente motivacional de la actividad por sucaracter innovador, ası como en lo atractivo que resulta vincular las matematicas con lamusica.
He podido comprobar la predisposicion tanto de la profesora como de los alumnos delcentro para desarrollar una propuesta que relaciona una de las asignaturas que se impartecon otra que, en un primer momento, parece no tener relacion. La acogida por parte delos alumnos no pudo ser mejor, y el ambiente que se creo fue el idoneo.
Una de las cosas que hubieran mejorado la actividad, hubiera sido la interaccion delos alumnos con los instrumentos musicales, que por las circunstancias sanitarias no fueposible. Por lo demas, con el tiempo del que disponıa y el espacio que me ofrecieron, nocambiarıa nada de la actividad, se desarrollo tal y como lo habıa previsto.
34
7. Conclusiones
Se puede considerar que se han cumplido los objetivos marcados al inicio del trabajo.
Se ha mostrado el concepto de fracciones continuas a los alumnos de bachillerato, loscuales lo han entendido y sabido aplicar en la elaboracion de una escala musical a partirde un generador de la misma.
Se ha presentado una actividad de tipo STEAM ya que se ha relacionado las ma-tematicas con las artes, en este caso la musica, a traves de la propuesta didactica en elaula.
La actividad propuesta ha resultado innovadora para los alumnos, los cuales han rea-lizado la parte practica de manera motivada.
Se ha visto que las fracciones continuas ya eran una herramienta de trabajo en el sigloV d.C. a la hora de resolver ecuaciones o dar aproximaciones de numeros irracionales yque actualmente tambien se utilizan con este fin; ademas de su aplicacion en la musicacon la creacion de las escalas musicales.
Los alumnos han visto, al menos durante la sesion, que las matematicas no son tanaburridas como se presentan, que se pueden explicar de manera mas amena si las relacio-namos con otras materias y desarrollamos una actividad ludica para su explicacion.
La puesta en practica de la actividad ha contado con diversas limitaciones debido a lasituacion sanitaria actual, son las siguientes:
El reducido numero de alumnos. Los alumnos del centro en el que he desarrolladola actividad se dividen en dos grupos y van a clase en dıas alternos, por lo que hetenido que trabajar con la mitad de la clase en lugar de poder disponer de todos losestudiantes.
La interaccion con los alumnos ha tenido que ser la mınima, manteniendo distanciasde seguridad y sin poder dejarles interactuar con los instrumentos musicales.
La imposibilidad de realizar mas de una sesion, debido a las restricciones de mobi-lidad implantadas.
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Referencias
[1] Arbones, Javier; Milrud, Pablo: Musica y matematicas, National Geographic, RBALibros, S.A., Barcelona, 2018.
[2] Aznar Garcıa, Enrique Rafael: Pitagoras, Mateatico y filosofo griego (isla de Samos,actual Grecia, h. 582-Metaponto, actual Italia, h. 500 a.C.) Universidad de Granada,Departamento de Algebra.
[3] Casals Ibanez, Albert; Carrillo Aguilera, Carmen; Gonzalez-Martın, C.: La musicatambien cuenta: Combinando matematicas y musica en el aula, Number 34, 2014.
[4] Diciembre Sanahuja, Samuel: Trabajo final de Master: Relacion entre Musica y Ma-tematicas, Castellon de la Plana, Curso 2018-2019.
[5] Divulgamat http://www.divulgamat.net/
[6] EcuRed: Pedro Puig Adam, 2016.
[7] Farre Rozada, Laura: Biography, https://www.laurafarrerozada.com/bio
[8] Farre Rozada, Laura: Trabajo de final de Grado: Escales musicals i fraccionscontınues, Universitat Politecnica de Catalunya, Barcelona, curso 2014-2015.
[9] Geogebra: ¿Que es GeoGebra?
[10] Gonzalez, Maite: Iniciacion al GEOGEBRA: Caracterısticas de GeoGebra.
[11] Grau, Xavier: Entrevista con Laura Farre Rozada, Revista on-line de musica y artesonoro, 1 julio 2020.
[12] H. Hardy, G.; Wright, Edward M.: An introduction to the theory of numbers, OxfordUniversity Press, Oxford, 1980.
[13] Kline, Morris: El pensamiento matematico de la antiguedad a nuestros dıas, Parte I,Libros Maravillosos, Alianza Editorial, 1992.
[14] Liern Carrion, Vicente: Las fracciones de la musica, Suma 59, Universitat de Valencia,Valencia, Noviembre 2008.
[15] Liern Carrion, Vicente: Las matematicas de Johann Sebastian Bach, Suma 61 , 2009.
[16] Lluis-Puebla, Emilio: La matematica en la musica, Pro Mathematica Vol. XVI, Nos.31-32, Departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias, Universidad NacionalAutonoma de Mexico, Mexico, 2002.
[17] Melomanos http://www.melomanos.com/
[18] Murillo Tsijli, Manuel: Sobre las fracciones continuas: aplicaciones y curiosidades,Revista digital Matematica, Educacion e Internet, Instituto Tecnologico de CostaRica, Costa Rica, 2015.
[19] Pol i Llompart, Josep Lluis: Matematicas alla romantica, Matematicalia, Volumen 7,marzo 2011.
36
[20] Real Academia de la Historia: Pedro Puig Adam, 2018,http://dbe.rah.es/biografias/10358/pedro-puig-adam.
[21] Real Academia Europea de Doctores: Excma. Sra. Dra. Pilar Bayer Isant.
[22] Sanchez Ludena, Enrique: La educacion STEAM y la cultura ((maker)), Revista CO-MILLAS, Anaya Educacion, 2019.
[23] Vlashi, Florian; Cruz Araujo, Marıa Remedios: Guıa didactica: Musica o Matemati-cas, Consorcio para la promocion de la Musica.
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8. Anexos
8.1. Competencias 2o de bachillerato en Aragon
Los competencias de 2o de Bachillerato se dividen en varios bloques. Bloque de ”Pro-cesos, metodos y actitudes en matematicas”, el de ”Numeros y algebra”, el de ”Analisis”,el de ”Geometrıa” y el de ”Estadıstica y probabilidad”.
Los contenidos del bloque de ”Procesos, metodos y actitudes en matematicas” son lossiguientes:
Planificacion del proceso de resolucion de problemas.
Estrategias y procedimientos puestos en practica: relacion con otros problemas co-nocidos, modificacion de variables, suponer el problema resuelto.
Soluciones y/o resultados obtenidos: coherencia de las soluciones con la situacion,revision sistematica del proceso, otras formas de resolucion, problemas parecidos,generalizaciones y particularizaciones interesantes.
Iniciacion a la demostracion en matematicas: metodos, razonamientos, lenguajes,etc.
Metodos de demostracion: reduccion al absurdo, metodo de induccion, contraejem-plos, razonamientos encadenados, etc.
Razonamiento deductivo e inductivo.
Lenguaje grafico, algebraico, otras formas de representacion de argumentos. Elabo-racion y presentacion oral y/o escrita de informes cientıficos sobre el proceso seguidoen la resolucion de un problema o en la demostracion de un resultado matematico.
Realizacion de investigaciones matematicas a partir de contextos de la realidad ocontextos del mundo de las matematicas.
Elaboracion y presentacion de un informe cientıfico sobre el proceso, resultados yconclusiones del proceso de investigacion desarrollado.
Practica de los proceso de matematizacion y modelizacion en contextos de la realidady en contextos matematicos.
Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontarlas dificultades propias del trabajo cientıfico.
Utilizacion de medios tecnologicos en el proceso de aprendizaje para:
1. la recogida ordenada y la organizacion de datos.
2. la elaboracion y creacion de representaciones graficas de datos numericos, fun-cionales o estadısticos.
3. facilitar la comprension de propiedades geometricas o funcionales y la realiza-cion de calculos de tipo numerico, algebraico o estadıstico.
4. el diseno de simulaciones y la elaboracion de predicciones sobre situacionesmatematicas diversas.
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5. la elaboracion de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo ylos resultados y conclusiones obtenidos.
6. comunicar y compartir, en entornos apropiados, la informacion y las ideasmatematicas.
Los contenidos del bloque de ”numeros y algebra” son los siguientes:
Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estruc-turados en tablas y grafos. Clasificacion de matrices. Operaciones.
Aplicacion de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resolucionde problemas extraıdos de contextos reales.
Determinantes. Propiedades elementales.
Rango de una matriz.
Matriz inversa.
Representacion matricial de un sistema: discusion y resolucion de sistemas de ecua-ciones lineales. Metodo de Gauss. Regla de Cramer. Aplicacion a la resolucion deproblemas.
Los contenidos del bloque de ”Analisis” son los siguientes:
Lımite de una funcion en un punto y en el infinito. Continuidad de una funcion.Tipos de discontinuidad. Teorema de Bolzano.
Funcion derivada. Teoremas de Rolle y del valor medio. La regla de L’Hopital.Aplicacion al calculo de lımites.
Aplicaciones de la derivada: problemas de optimizacion.
Primitiva de una funcion. La integral indefinida. Tecnicas elementales para el calculode primitivas.
La integral definida. Teoremas del valor medio y fundamental del calculo integral.Aplicacion al calculo de areas de regiones planas.
Los contenidos del bloque de ”Geometrıa” son los siguientes:
Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Signifi-cado geometrico.
Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio.
Posiciones relativas (incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y pla-nos).
Propiedades metricas (calculo de angulos, distancias, areas y volumenes).
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Los contenidos del bloque de ”Estadıstica y probabilidad” son los siguientes:
Sucesos. Asignacion de probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace y apartir de su frecuencia relativa. Axiomatica de Kolmogorov.
Aplicacion de la combinatoria al calculo de probabilidades.
Experimentos simples y compuestos. Probabilidad condicionada. Dependencia e in-dependencia de sucesos.
Teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Probabilidades iniciales y finales yverosimilitud de un suceso.
Variables aleatorias discretas. Distribucion de probabilidad. Media, varianza y des-viacion tıpica.
Distribucion binomial. Caracterizacion e identificacion del modelo. Calculo de pro-babilidades.
Distribucion normal. Tipificacion de la distribucion normal. Asignacion de probabi-lidades en una distribucion normal.
Calculo de probabilidades mediante la aproximacion de la distribucion binomial porla normal.
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8.2. Ficha del profesor
Actividad didactica: Matematicas y musica en el aula
Conceptos musicales
Frecuencia y longitud de onda
Se denomina frecuencia al numero de veces que se repite un proceso periodico porunidad de tiempo. Segun el Sistema Internacional, la frecuencia se mide en hercios(Hz). Un hercio es la frecuencia de un suceso o fenomeno repetido por segundo.
Cada nota musical tiene una altura, que permite identificarla como mas grave o masaguda. La altura de una nota esta determinada por la frecuencia de oscilacion de suonda sonora.
Se conoce como longitud de onda la distancia que recorre una perturbacion periodicaque se propaga por un medio en un ciclo. Se suele representar con la letra griega λ.
41
Escala musical
Serie de notas musicales ordenadas en funcion de su frecuencia, que esta delimitadapor las notas correspondientes a las frecuencias f y 2f. Puede ser ascendente silas notas estan ordenadas de menor a mayor frecuencia, o descendente si estanordenadas de mayor a menor frecuencia.
Armonico
Cualquier multiplo de una frecuencia determinada por un numero entero igual omayor que 2. La distribucion de los armonicos que produce un determinado instru-mento musical configura su timbre, es decir, la cualidad de su sonido.
42
Intervalo
Es la diferencia entre las frecuencias de dos notas. Se expresa con un numero ordinalen funcion del numero de notas que se situan entre los dos extremos, incluyendo losextremos (2a entre dos notas consecutivas, 3a, 4a, etc.).
Quinta justa
Es el intervalo entre una frecuencia f y3
2f . A partir de este intervalo se genera la
escala pitagorica.
Octava justa
Es el intervalo entre una frecuencia f y 2f. Este intervalo define el rango de frecuenciasen que pueden situarse las notas intermedias de la escala musical.
Afinacion pitagorica
Dada una frecuencia f, que consideramos como nota patron, estara afinada cualquiernota que se obtenga subiendo o bajando f cualquier numero de quintas justas, es decir lasque sean de la forma f3n, siendo n un numero entero.
La escala pitagorica esta formada por los sonidos 3n transportados a la octava [1, 2).
Para realizar este transporte, se divide 3n por una potencia de 2 de manera que:
1 ≤ 3n1
2m< 2n,m ∈ Z
Para cada valor n, el valor de m esta determinado unıvocamente.
Aislamos m de la inecuacion. Multiplicamos por 2m:
2m ≤ 3n < 2m+1
Tomamos logaritmos:m ≤ log2(3
n) < m+ 1
43
Cırculo de quintas
Se elabora a partir de los sucesivos intervalos de quinta a partir de una nota deter-minada. Si seguimos el sistema tradicional de notacion, al cabo de varias iteracionesalcanzaremos una nota que sera equivalente a la nota inicial.
44
Conceptos matematicos
Logaritmo
Funcion parte entera
La funcion parte entera de x es la que asigna a cada numero real x el entero masproximo, pero que sea menor o igual que x.
Se representa por Ent(x) o bien [x].
Ent(x) = [x] : R→ ZEjemplo:
Fraccion continua
Una fraccion continua simple es una expresion del tipo:
a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3 +1
a4 +.. .
donde a0, a1, a2, a3, a4, . . . son numeros enteros positivos, que suelen escribirse como[a0; a1, a2, a3, a4, . . . ].
Todo numero real puede escribirse de manera unica como una fraccion continua, lacual es finita cuando el numero es racional.
¿Como calcular la fraccion continua de un numero real?
Sea el numero x0 = x = 3, 85. La parte entera del numero sera a0:
a0 = [x0] = 3
Restamos a nuestro numero el valor de a0:
x0 − a0 = 3, 85− 3 = 0, 85
Calculamos el inverso del resultado obtenido y lo definimos como x1:
x1 =1
x0 − a0=
1
0, 85≈ 1, 176471
45
Por tanto,
x = a0 +1
x1= 3 +
1
1, 176471
Seguimos el procesoa1 = [x1] = 1
x1 − a1 = 0, 176471
x2 =1
x1 − a1=
1
0, 176471≈ 5, 666667
x = a0 +1
a1 +1
x2
= 3 +1
1 +1
5, 666667
a2 = [x2] = 5
x2 − a2 = 0, 666667
x3 =1
x2 − a2=
1
0, 666667= 1, 5
x = a0 +1
a1 +1
a2 +1
x3
= 3 +1
1 +1
5 +1
1, 5
a3 = [x3] = 1
x3 − a3 = 0, 5
x4 =1
x3 − a3=
1
0, 5= 2
x = a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3 +1
x4
= 3 +1
1 +1
5 +1
1 +1
2
a4 = [x4] = 2
x4 − a4 = 0
Fin del proceso.
La fraccion continua simple de 3,85 es
3, 85 = 3 +1
1 +1
5 +1
1 +1
2
= [3; 1, 5, 1, 2]
46
Convergente de una fraccion continua
Llamamos convergentes a todas las aproximaciones racionales de un numero obte-nidas al truncar la expansion de una fraccion continua.
Teorema 8.1. Sean pn, qn dos numeros definidos segun las expresiones recursivas:{p0 = a0q0 = 1
{p1 = a1a0 + 1q1 = a1
{pn = anpn−1 + pn−2qn = anqn−1 + qn−2
, n ≥ 2
entonces tenemos quepn
qnes el (n+1)-esimo convergente de la fraccion continua.
Ejemplo:
Siguiendo con el ejemplo anterior tenemos:{p0 = a0 = 3q0 = 1
⇒ 1oconvergente : 3
{p1 = a1a0 + 1 = 1 · 3 + 1 = 4q1 = a1 = 1
⇒ 2oconvergente : 4
{p2 = a2p1 + p0 = 5 · 4 + 3 = 23q2 = a2q1 + q0 = 5 · 1 + 1 = 6
⇒ 3oconvergente :23
6{p3 = a3p2 + p1 = 1 · 23 + 4 = 27q3 = a3q2 + q1 = 1 · 6 + 1 = 7
⇒ 4oconvergente :27
7{p4 = a4p3 + p2 = 2 · 27 + 23 = 77q4 = a4q3 + q2 = 2 · 7 + 6 = 20
⇒ 5oconvergente :77
20
Por tanto los convergentes de 3,85 son
3, 4,23
6,27
7,77
20
Calculamos la fraccion continua asociada a log2
(3
2
). Lo hacemos usando un valor
aproximado, por ejemplo:
log2
(3
2
)≈ 0, 5849625 = x
x0 = x = 0, 5849625a0 = [x0] = 0
x1 =1
x0 − a0=
1
0, 5849625≈ 1, 709511293
⇒ x = 0 +1
1, 709511293
a1 = [x1] = 1
x2 =1
x1 − a1=
1
0, 709511293≈ 1, 409420836
⇒ x = 0 +1
1 +1
1, 409420836
47
a2 = [x2] = 1
x3 =1
x2 − a2=
1
0, 409420836≈ 2, 442474618
⇒ x = 0 +1
1 +1
1 +1
2, 442474618a3 = [x3] = 2
x4 =1
x3 − a3=
1
0, 442474618≈ 2, 260016641
⇒ x = 0 +1
1 +1
1 +1
2 +1
2, 260016641a4 = [x4] = 2
x5 =1
x4 − a4=
1
0, 260016641≈ 3, 84590769
⇒ x = 0 +1
1 +1
1 +1
2 +1
2 +1
3, 84590769a5 = [x5] = 3
x6 =1
x5 − a5=
1
0, 84590769≈ 1, 182162087
⇒ x = 0+1
1 +1
1 +1
2 +1
2 +1
3 +1
1, 182162087
Por tanto
log2
(3
2
)= [0; 1, 1, 2, 2, 3, . . . ]
Truncamos la expresion para calcular los convergentes:{p0 = a0 = 0q0 = 1{
p1 = a1a0 + 1 = 1 · 0 + 1 = 1q1 = a1 = 1
⇒ 2oconvergente : 1
{p2 = a2p1 + p0 = 1 · 1 + 0 = 1q2 = a2q1 + q0 = 1 · 1 + 1 = 2
⇒ 3oconvergente :1
2{p3 = a3p2 + p1 = 2 · 1 + 1 = 3q3 = a3q2 + q1 = 2 · 2 + 1 = 5
⇒ 4oconvergente :3
5{p4 = a4p3 + p2 = 2 · 3 + 1 = 7q4 = a4q3 + q2 = 2 · 5 + 2 = 12
⇒ 5oconvergente :7
12
48
Por tanto los convergentes de log2
(3
2
)son:
1,1
2,3
5,
7
12, . . .
El denominador de los convergentes indica cual es el numero de notas por octava parauna cierta precision.
Como 5 notas resultan insuficientes, se recurre a 12 notas por octava. Razon por lacual casi toda la musica actual utiliza 12 notas.
Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si
El 7 del numerador es el la nota de la escala que aproxima una quinta justa: Sol.
Definimos la frecuencia del Do como f = 1 y buscamos la escala pitagorica a partir deltercer armonico, es decir, multiplicando la frecuencia por 3 y dividiendo entre 2 las vecesque sean necesarias hasta que se encuentre en el intervalo [1, 2). Sabemos que el numerode notas totales en la escala son 12, por tanto repetimos el proceso 12 veces.
1 = DO
·3−→ 3/2−→
3
2= 1, 5 = SOL
·3−→9
2
/2−→9
4
/2−→9
8= 1, 125 = RE
·3−→27
8
/2−→27
16= 1, 6875 = LA
·3−→81
16
/2−→81
32
/2−→81
64= 1, 2656 = MI
·3−→243
64
/2−→243
128= 1, 8984 = SI
·3−→729
128
/2−→729
256
/2−→729
512= 1, 4238 = FA#/SOLb
·3−→2187
512
/2−→2187
1024
/2−→2187
2048= 1, 0679 = DO#/REb
·3−→6561
2048
/2−→6561
4096= 1, 6018 = SOL#/LAb
·3−→19683
4096
/2−→19683
8192
/2−→19683
16384= 1, 2014 = RE#/MIb
·3−→59049
16384
/2−→59049
32768= 1, 8020 = LA#/SIb
·3−→177147
32768
/2−→177147
65536
/2−→177147
131072= 1, 3515 = FA
·3−→531441
131072
/2−→531441
262144
/2−→ 1, 0136 ≈ DO
49
Observamos que el cırculo de quintas no se cierra porque las doce quintas del cırculo(con su correspondiente reduccion de las octavas necesarias) no equivalen al unısono ni ala octava. La quinta que se usa para completar el cırculo se conoce como quinta del lobo.El por que de ese nombre es que produce tantos batimentos que evoca al aullido de esteanimal.
Actividad para los alumnos:
Crear una escala a partir del 5o armonico siguiendo los mismos pasos que hemos hechopara crearla a partir del 3o armonico.
Si multiplicamos la frecuencia f por 5, nos encontramos fuera del intervalo [1, 2) porlo que hacemos la reduccion a la octava diviendo este numero entre 4.
Calculamos la fraccion continua de log2
(5
4
)para saber el numero de notas que deberıa
haber en la escala generada a partir del 5o armonico para una cierta precision.
log2
(5
4
)≈ 0, 3219280949 = x
x0 = x = 0, 3219280949a0 = [x0] = 0
x1 =1
x0 − a0=
1
0, 3219280949≈ 3, 106283719
⇒ x = 0 +1
3, 106283719
a1 = [x1] = 3
x2 =1
x1 − a1=
1
0, 106283719≈ 9, 40877878
⇒ x = 0 +1
3 +1
9, 40877878a2 = [x2] = 9
x3 =1
x2 − a2=
1
0, 40877878≈ 2, 446310936
⇒ x = 0 +1
3 +1
9 +1
2, 446310936a3 = [x3] = 2
x4 =1
x3 − a3=
1
0, 446310936≈ 2, 240590403
⇒ x = 0 +1
3 +1
9 +1
2 +1
2, 240590403a4 = [x4] = 2
x5 =1
x4 − a4=
1
0, 240590403≈ 4, 156441768
⇒ x = 0+1
3 +1
9 +1
2 +1
2 +1
4, 156441768
50
a5 = [x5] = 4
x6 =1
x5 − a5=
1
0, 156441768≈ 6, 392154811
⇒ x = 0+1
3 +1
9 +1
2 +1
2 +1
4 +1
6, 392154811
Por tanto,
log2
(5
4
)= [0; 3, 9, 2, 2, 4, . . . ]
Truncamos la expresion para calcular los convergentes:
{p0 = a0 = 0q0 = 1{
p1 = a1a0 + 1 = 3 · 0 + 1 = 1q1 = a1 = 3
⇒ 2oconvergente :1
3{p2 = a2p1 + p0 = 9 · 1 + 0 = 9q2 = a2q1 + q0 = 9 · 3 + 1 = 28
⇒ 3oconvergente :9
28{p3 = a3p2 + p1 = 2 · 9 + 1 = 19q3 = a3q2 + q1 = 2 · 28 + 3 = 59
⇒ 4oconvergente :19
59{p4 = a4p3 + p2 = 2 · 19 + 9 = 47q4 = a4q3 + q2 = 2 · 59 + 28 = 146
⇒ 5oconvergente :47
146
Por tanto, los convergentes de log2
(5
4
)son:
1
3,
9
28,19
59,
47
146, . . .
El denominador de los convergentes indica cual es el numero de notas por octava parauna cierta precision. Como 3 notas resultan insuficientes, se recurre a 28 notas por octava.
El 9 del numerador es la nota de la escala que aproxima una tercera mayor.
Si creamos la escala a partir del 5o armonico serıa multiplicando por 5 la frecuencia ydividiendo entre 2 para que quede en el intervalo [1, 2). Sabemos que el numero de notastotales en la escala son 28, por tanto repetirıamos el proceso 28 veces.
51
Si cogemos como nota de referencia el DO central, el cual tiene frecuencia 261,63Hz,las frecuencias sucesivas ordenadas de menor a mayor son:
52
¿Como suenan estas frecuencias en un piano?
53
Comparacion de frecuencias: Escala pitagorica y escala creada
Figura 14: Frecuencias escala Pitagorica Figura 15: Frecuencias escala creada
Formulario de evaluacion de la actividad
https://forms.gle/3CgPsP62VruaNhsj6
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8.3. Ficha del alumno
Actividad didactica: Matematicas y musica en el aula
Conceptos matematicos
Fraccion continua
Una fraccion continua simple es una expresion del tipo:
a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3 +1
a4 +.. .
donde a0, a1, a2, a3, a4, . . . son numeros enteros positivos, que suelen escribirse como[a0; a1, a2, a3, a4, . . . ].
Todo numero real puede escribirse de manera unica como una fraccion continua, lacual es finita cuando el numero es racional.
¿Como calcular la fraccion continua de un numero real?
Sea el numero x0 = x = 3, 85. La parte entera del numero sera a0:
a0 = [x0] = 3
Restamos a nuestro numero el valor de a0:
x0 − a0 = 3, 85− 3 = 0, 85
Calculamos el inverso del resultado obtenido y lo definimos como x1:
x1 =1
x0 − a0=
1
0, 85≈ 1, 176471
Por tanto,
x = a0 +1
x1= 3 +
1
1, 176471
Seguimos el procesoa1 = [x1] = 1
x1 − a1 = 0, 176471
x2 =1
x1 − a1=
1
0, 176471≈ 5, 666667
x = a0 +1
a1 +1
x2
= 3 +1
1 +1
5, 666667
a2 = [x2] = 5
x2 − a2 = 0, 666667
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x3 =1
x2 − a2=
1
0, 666667= 1, 5
x = a0 +1
a1 +1
a2 +1
x3
= 3 +1
1 +1
5 +1
1, 5
a3 = [x3] = 1
x3 − a3 = 0, 5
x4 =1
x3 − a3=
1
0, 5= 2
x = a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3 +1
x4
= 3 +1
1 +1
5 +1
1 +1
2
a4 = [x4] = 2
x4 − a4 = 0
Fin del proceso.
La fraccion continua simple de 3,85 es
3, 85 = 3 +1
1 +1
5 +1
1 +1
2
= [3; 1, 5, 1, 2]
Convergente de una fraccion continua
Llamamos convergentes a todas las aproximaciones racionales de un numero obte-nidas al truncar la expansion de una fraccion continua.
Teorema 8.2. Sean pn, qn dos numeros definidos segun las expresiones recursivas:{p0 = a0q0 = 1
{p1 = a1a0 + 1q1 = a1
{pn = anpn−1 + pn−2qn = anqn−1 + qn−2
, n ≥ 2
entonces tenemos quepn
qnes el (n+1)-esimo convergente de la fraccion continua.
Ejemplo:
Siguiendo con el ejemplo anterior tenemos:{p0 = a0 = 3q0 = 1
⇒ 1oconvergente : 3
{p1 = a1a0 + 1 = 1 · 3 + 1 = 4q1 = a1 = 1
⇒ 2oconvergente : 4
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{p2 = a2p1 + p0 = 5 · 4 + 3 = 23q2 = a2q1 + q0 = 5 · 1 + 1 = 6
⇒ 3oconvergente :23
6{p3 = a3p2 + p1 = 1 · 23 + 4 = 27q3 = a3q2 + q1 = 1 · 6 + 1 = 7
⇒ 4oconvergente :27
7{p4 = a4p3 + p2 = 2 · 27 + 23 = 77q4 = a4q3 + q2 = 2 · 7 + 6 = 20
⇒ 5oconvergente :77
20
Por tanto los convergentes de 3,85 son
3, 4,23
6,27
7,77
20
Calculamos la fraccion continua asociada a log2
(3
2
). Lo hacemos usando un valor
aproximado, por ejemplo:
log2
(3
2
)≈ 0, 5849625 = x
x0 = x = 0, 5849625a0 = [x0] = 0
x1 =1
x0 − a0=
1
0, 5849625≈ 1, 709511293
⇒ x = 0 +1
1, 709511293
a1 = [x1] = 1
x2 =1
x1 − a1=
1
0, 709511293≈ 1, 409420836
⇒ x = 0 +1
1 +1
1, 409420836a2 = [x2] = 1
x3 =1
x2 − a2=
1
0, 409420836≈ 2, 442474618
⇒ x = 0 +1
1 +1
1 +1
2, 442474618a3 = [x3] = 2
x4 =1
x3 − a3=
1
0, 442474618≈ 2, 260016641
⇒ x = 0 +1
1 +1
1 +1
2 +1
2, 260016641a4 = [x4] = 2
x5 =1
x4 − a4=
1
0, 260016641≈ 3, 84590769
⇒ x = 0 +1
1 +1
1 +1
2 +1
2 +1
3, 84590769
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a5 = [x5] = 3
x6 =1
x5 − a5=
1
0, 84590769≈ 1, 182162087
⇒ x = 0+1
1 +1
1 +1
2 +1
2 +1
3 +1
1, 182162087
Por tanto
log2
(3
2
)= [0; 1, 1, 2, 2, 3, . . . ]
Truncamos la expresion para calcular los convergentes:{p0 = a0 = 0q0 = 1{
p1 = a1a0 + 1 = 1 · 0 + 1 = 1q1 = a1 = 1
⇒ 2oconvergente : 1
{p2 = a2p1 + p0 = 1 · 1 + 0 = 1q2 = a2q1 + q0 = 1 · 1 + 1 = 2
⇒ 3oconvergente :1
2{p3 = a3p2 + p1 = 2 · 1 + 1 = 3q3 = a3q2 + q1 = 2 · 2 + 1 = 5
⇒ 4oconvergente :3
5{p4 = a4p3 + p2 = 2 · 3 + 1 = 7q4 = a4q3 + q2 = 2 · 5 + 2 = 12
⇒ 5oconvergente :7
12
Por tanto los convergentes de log2
(3
2
)son:
1,1
2,3
5,
7
12, . . .
Actividad para los alumnos:
Crear una escala a partir del 5o armonico siguiendo los mismos pasos que hemos hechopara crearla a partir del 3o armonico.
Calculamos la fraccion continua de log2
(5
4
)para saber el numero de notas que deberıa
haber en la escala generada a partir del 5o armonico para una cierta precision.
A continuacion truncamos la expresion para calcular los convergentes.
Finalmente, el denominador de los convergentes indica cual es el numero de notas poroctava para una cierta precision.
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Formulario de evaluacion de la actividad
https://forms.gle/3CgPsP62VruaNhsj6
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