Autor: J.LL.A / F.A.R Ingeniería de Ejecución en Sistemas Computacionales SISTEMAS DIGITALES 1 ALGEBRA DE BOOLE

SISTEMAS DIGITALES 1Autor: J.LL.A / F.A.R

Ingeniería de Ejecución en Sistemas ComputacionalesIngeniería de Ejecución en Sistemas Computacionales

ALGEBRA DE BOOLE



Introducción

• El álgebra booleana define constantes y funciones para describir sistemas binarios. Luego describe cierto número de teoremas que se pueden usar para manipular expresiones lógicas.

• CONSTANTES BOOLEANASCONSTANTES BOOLEANAS: consisten en "0" y "1". El primero representa el estado falso y el segundo el estado verdadero.



• VARIABLES BOOLEANASVARIABLES BOOLEANAS: Son magnitudes que pueden tomar diferentes valores en diferentes momentos. Pueden representar señales de entrada, de salida o intermedias y reciben nombres que de ordinario consisten en caracteres alfabéticos como "A", "B", "X" o "Y". Las variables sólo pueden tomar los valores "0" ó "1".


Ingeniería de Ejecución en Sistemas ComputacionalesIngeniería de Ejecución en Sistemas Computacionales• FUNCIONES BOOLEANASFUNCIONES BOOLEANAS: Cada una de las

funciones lógicas elementales está representada dentro del álgebra booleana mediante un símbolo único, como se muestra en la siguiente tabla:

Función Símbolo Ejemplo

AND Punto

OR Más (+)

NOT Barra

C A B AB

C A B

C A



Postulados Básicos

Los postulados básicos utilizados en el álgebra booleana son los siguientes:

Postulado 1: 1xsi0x

0xsi1x

0 0 0

1 1 1

Postulado 2:



1 1 1

0 0 0

Postulado 3:

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

Postulado 4:

0 1

1 0

Postulado 5:



A B

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

BA A B



Teoremas Booleanos

• El álgebra booleana define varios teoremas que se pueden usar para cambiar la forma de una expresión.

• Estos teoremas son los siguientes:



0 0

0 0 0 0

1 0 1 0

x

Si x

Si x

Teorema 1: Dual: 1 1

0 1 0 1

1 1 1 1

x

Si x

Si x

Teorema 2:1

0 1 0 0

1 1 1 1

x x

Si x

Si x

Dual:

0 0

0 0 0 0

1 0 1 1

x

Si x

Si x



0 0 0 0

1 1 1 1

x x x

Si x

Si x

Teorema 3: Dual: 0 0 0 0

1 1 1 1

x x x

Si x

Si x

Teorema 4: Dual:

0

0 0 1 0

1 1 0 0

x x

Si x

Si x

0 0 1 1

1 1 0 1

x x x

Si x

Si x

x y y xTeorema 5: Dual: x y y x



Dual: x y z x y z x y z

Teorema 6: x y z y x z x y z x y z y x z x y z

Teorema 7: ...... .... x y z x y z

Dual: ... ...... x y z x y z

Teorema 8: ( , ,..... , , ) , ,....., , , f x y z x y z



Teoremas Simplificatorios

( ) xy xz x y zTeorema 9: Dual: x y x z x yz

xy x y xTeorema 10: Dual: x y x y x

x x y x yTeorema 11: Dual: x x y xy

x xy xTeorema 12: Dual:



xy xz yz xy xzTeorema 13:

Dual: x y x z y z x y x z

Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión

EDBCDCEBCAf



Desarrollo

))()()(( EDDCBECCBAf

))(( EEDECEDCDACBf

0EE )()()( EDDAECDADCDAEDCECCDCCDEBECBDCBf

ECDCDEBf

))()(( DEBECDCf

))(( DEBDECf

DDEEDEBDEDCCECBf

BCDCDEECf BCDEECf



Formas Especiales de Expresiones

Booleanas



Formas Canónicas

• SUMA EXPANDIDA DE PRODUCTOS: En este caso para aplicar la expansión se aplica el teorema 10

xy x y x

Cada uno de los términos en forma canónica expresado en suma (OR de AND) se llama Mintérmino y se puede expresar en forma simplificada. Si en este caso a la variable natural se le asigna el valor lógico uno y la variable complementada el valor lógico cero.



DAACf

DACACDAC CDACDADA

f ACD ACD ACD ACD ACDmíntér min o

Ejemplo:

CDADCADACACDf

111 110 010 0007 6 2 0

f

)7,6,2,0(minf

)7,6,2,0(),,( DCAf



Formas Canónicas

• PRODUCTO EXPANDIDO DE SUMAS: Esta forma de expresar una función booleana se basa en el dual del teorema 10

Cada uno de los términos en forma canónica expresado en producto (AND de OR) se llama Máxtermino y se puede expresar en forma simplificada. Si en este caso a la variable natural se le asigna el valor lógico cero y la variable complementada el valor lógico uno.

x y x y x



Ejemplo: ),,())(( CBAfCABAf

))(( CBACBABA

))(( CBACBACA

f (A B C) (A B C)(A B C)

max tér min o

))()(( CBACBACBAf

(000) (001) (011)

0 1 3

f

)3,1,0máx(),,( CBAf



Formas Mínimas

1. Mínima Suma Productos

2. Mínima Productos de Sumas

• En este caso interesa que la función booleana sea lo más pequeña posible, es decir que si está expresada en la forma OR de AND el número de sumandos y el tamaño de cada sumando debe ser mínimo.

• Si la función está expresada en la forma AND de OR entonces el tamaño y el número de factores debe ser mínimo.



Métodos de Simplificación de

Expresiones Booleanas



Formas Canónicas

• MÉTODO ALGEBRAICO:Corresponde a los casos analizados anteriormente.

• MAPAS DE KARNAUGH: Los mapas o diagramas de Karnaugh representan una técnica gráfica para simplificar las ecuaciones de Boole. Es uno de los métodos más usuales para ecuaciones de hasta 4 ó 5 variables y se basa en el teorema 10:

xy x y x



Introducción Mapa de Karnaugh

• Los Mapas de Karnaugh, como se dijo anteriormente, se utilizan para simplificar funciones booleanas. El número de casilleros que tendrá el mapa dependerá de la cantidad de variables que tenga la función.



Ejemplo: BAf

Nº de variables: 2

Nº Casilleros: 2n=22=4

2n

Variables Binarias

Nº Variables



• Dentro de cada casillero del mapa se debe poner un uno (1) o un cero(0) lógico dependiendo si la función está expresada como OR de AND o AND de OR.

• Para el caso de los mintérminos corresponde un “1” en el casillero, por el contrario, para cada maxtérmino corresponde un “0” al casillero

0

1

0 1AB



Mapa para 3 Variables

0

1

0 0 1 101 10A

CB

AB

C 10

0 0

0 1

1 1

1 0

Código Gray

Código Gray



Mapa para 4 Variables

00 01 11 10

00

01

1

10

1

DC

BA



Representación de Variables en Mapa de Karnaugh

00 01 11 10

00

01

1

10

1

0

BA

DC

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12

13

14

15

9



• Hay que hacer notar que antes de realizar la representación de las variables de una función en el Mapa de Karnaugh se debe definir las variables más significativas (MSB) y la menos significativa (LSB)



Ejemplo: Representar en mapa de Karnaugh

12,9,7,6,5,3,0minfLSDA

MSBDDCBAf

),,,(

00 01 11 10

00

01

1

10

1

DC

BA

1

1 1

1

1

1

10

0

0

0

0

0 0

0

0



• Existen algunos casos en que el valor lógico que se debe asignar a los casilleros del mapa no está definido y nosotros podemos asignar el valor lógico “1” ó “0” según la conveniencia para la simplificación. Estás condiciones reciben el nombre de “Superfluas” o “No Importa” y se designan con los simbolos o x



Ejemplo: Representar en Mapa la siguiente función

B 10AC

1

1

1

X

X

010

11

01

00

0

0

6,43,2,0min fLSDA

MSBCCBAf

),,(



Definición e Interpretación Mapas de Karnaugh

• Un diagrama de Karnaugh representa una ecuación de Boole de una forma bastante similar a una tabla de verdad.

• Ejemplo 1:

A B C Z

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0



C

0

0

0

0

1

0

0 1

BA

0 1

00

01

0

11

1

CBABCAZ 1



• Del ejemplo anterior se deduce que para una función booleana de 3 variables se necesita un mapa de 8 casilleros. En cada casillero se representa un "1" lógico para cada mintérmino y un "0" lógico para cada máxtermino.

• Debe notarse que la asignación de las variables en los casilleros tanto en el sentido vertical como horizontal corresponden al código Gray.



Método de Simplificación

• Para simplificar una expresión booleana mediante el Mapa de Karnaugh se deben agrupar los casilleros que contienen 1 adyacente y en un número tal que sea potencia de 2 como agrupación de mintérminos, de lo que resulta un factor simplificado.

• Es posible representar esquemáticamente la cantidad de variables eliminadas producto de la agrupación:



• 20 variables eliminadas = 0








• Criterios de AgrupaciónCriterios de Agrupación:

1. La agrupación debe ser lo más grande posible

2. Se debe tener el mínimo de agrupaciones

3. Se agrupan los adyacentes en un número que sea potencia de 2

• Criterios de AdyacenciaCriterios de Adyacencia:

1. Casilleros con un lado común

2. Reflexión de acuerdo al Código Gray



Simplificar el mapa:

0

1

0 0 1 101 10

1

11 1

11 1

0

CA

B



Solución 1:

0

1

0 0 1 101 10A

1

110 1

11 1

CB

0f

ABCf 0

f = A + + CBCB CB1

+



Solución 2:

0

1

0 0 1 101 10A

1

110 1

11 1

CB

0f

ABCf 0

f = A + +1

B C



• El ejemplo anterior demuestra que al no hacer agrupaciones lo más grande posible se obtiene una función correcta pero que no es la forma mínima

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