Autres Lois de Probabilite

Autres LOIS de PROBABILITESAutres LOIS de PROBABILITES

Professeur Pascale FRIANT-MICHEL> Faculté de Pharmacie

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I - INTRODUCTION I - INTRODUCTION > II - LOI du x2 (1)

Les autres LOIS de Les autres LOIS de PROBABILITESPROBABILITES

Permet, en particulier, de comparer des distributions

1. Définition

Soient X1, X2, . . . X, lois normales centrées réduites N (0, 1) indépendantes

II – LOI du II – LOI du 22 (lettre grecque : khi, on dit : loi du khi deux)(lettre grecque : khi, on dit : loi du khi deux)

- Grand nombre de lois de probabilités

- Etude de trois lois très utilisées dans les tests statistiquesde formulation connue mais complexe=> seules leurs principales caractéristiques seront données

II - LOI du II - LOI du 22 (2) (2)

2. Propriétés

a) 2 0, + ∞

c) représentation graphique de la loi de 2

b) distribution de 2 continue

. famille de courbes de 2 suivant le nombre de degrés de liberté

La loi de 2 à degrés de liberté est la loi de la variable aléatoire somme :

2 = + + . . . +

Remarque : 2 à 1 degré de liberté est le carré d’une variable normale centrée réduite

. courbe en cloche unimodale asymétrique avec étalement vers la droite (pour les faibles valeurs de )

X12

X22

X 2

1. Définition (2)


d) En pratique : tables de la distribution de 2

tables établies par PEARSON

0 2

= 15

P (2)

10 20 30

= 1

0,05

0,15

0,10

= 4

. La loi de 2 tend vers la loi normale centrée réduite

quand ∞

Les deux lois deviennent quasiment identiques quand > 30

2. Propriétés (2)


3. Table du 2 (la plus utilisée)

. table à double entrée (du fait de la dépendance en )

La valeur de est lue en ligne, celle de en colonne,

la valeur recherchée 2 se situant à l’intersection

. donne, en fonction du nombre de degrés de liberté, les valeurs limites 2

du 2 correspondant au coefficient de risque

0 2

P (2)

2


0,99 . . . . . . 0,05 0,010

1 3,841

. .

8 . . . . . . . . . ?

.

.

.

30

Exemple : pour = 8 et = 0,05

Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque :

= 5 % soit pour = 8 25% = 15,51

= 1 % " 21% = 20,09

3. Table du 2 (2)

II - LOI du II - LOI du 22 (6) (6) > III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (1)

Permet, en particulier, de comparer les moyennes d’échantillons

1. Définition

La loi de STUDENT notée ts à degrés de liberté est le quotient d’une loi normale centrée réduite N (0, 1) par la racine carrée d’une loi du khi2 à degrés de liberté divisée par ; les deux lois étant indépendantes

t s =

III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER

Remarques :- pour toute la 1ère ligne, les valeurs sont celles ducarré de la

variable normale centrée réduite t

- la table s’arrête pour = 30, au-delà on prend l’approximation de la loi normale et on utilise la table de t

N (0, 1)

2

3. Table du 2 (3)

III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (2)III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (2)

2. Propriétés

a) t s - ∞, + ∞ [

b) représentation graphique de la loi de STUDENT

. courbe en cloche symétrique, plus aplatie que lacourbe de Gauss (courbe hyper-normale)

. d’autant plus aplatie que est plus petit

0 t

courbe normale

courbe hyper-normale

P (t)


. La loi de STUDENT tend vers la loi normale centrée réduite

quand ∞

Les deux lois deviennent quasiment identiques quand > 30

. famille de distributions de t s suivant le nombre de degrés de liberté

0 t s

= 40

= 3

= 10

P (t s)

2. Propriétés (2)


3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (la plus utilisée)

c) En pratique : tables de la variable t s

. similaire à celle de l’écart-réduit (loi normale)

. table à double entrée (du fait de la dépendance en )

0- t s t s

/ 2 / 2

La valeur de est lue en ligne, celle de en colonne,

la valeur recherchée t s se situant à l’intersection

2. Propriétés (3)


0,90 . . . . . . 0,05 0,001

1 .

. .

10 . . . . . . . . . ?

.

.

.

120∞ 0,126 1,960 3,291

Exemple : pour = 10 et = 0,05

Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque :

= 5 % soit t s = 2,228 (t = 1,96 pour loi normale) = 1 % t s = 3,169 (t = 2,58 " )

3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (2)

Permet, en particulier, de comparer les variances d’échantillons

1. Définition

Soient 2 1et 2 2 deux lois indépendantes du 2 à 1 et 2 degrés de liberté respectivement

La loi de SNEDECOR à 1 et 2 degrés de liberté notée F1,2

(en hommage à Fisher) est définie comme le quotient :

F1,2 =

2. Propriétés

a) F 0, + ∞

b) attention : F1,2 ≠ F2,1

1

2

1

22

2

IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (1)IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (1)


c) représentation graphique de la loi de SNEDECOR

. courbes en cloche unimodale asymétrique avec étalement vers la droite

Remarque : quand on échange les degrés de liberté, on démontre que l’on transforme le calcul de la probabilité par le calcul de son complémentaire

. dépendance avec les deux degrés de liberté 1 et 2

=> famille de courbes de SNEDECOR

0 F

P (F)(1, 2) = (2, 5)

(1, 2) = (10, 10)

(1, 2) = (5, 2)

2. Propriétés (2)


d) En pratique : tables de la distribution de F

3. Table de SNEDECOR

. table à triple entrée (du fait de la double dépendance en degrés de liberté) => une table par valeur de

. similaire à celle de 2

0 F

P (F)

F

. pour chaque , table à double entrée (1 et 2)La valeur de 1 est lue en ligne, celle de 2 en colonne,la valeur recherchée F se situant à l’intersection

2. Propriétés (3)


1

1 . . . . . . 20 ∞2

1 .

. .

10 . . . . . . . . . ?

.

.

.

100∞ 3,84 1,57 1,00

Exemple : pour = 0,05, 1 = 20 et 2 = 10

Reportons-nous à la table = 5%

Soit F20,10 = 2,77

3. Table de SNEDECOR (2)


Quand les valeurs ne sont pas dans les tables, on procède par interpolation

3. Table de SNEDECOR (3)

L1 SANTE

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