Notion de Notion de probabilitéprobabilité

en en classe de Troisièmeclasse de Troisième

«  «  Les probabilités, c'est Les probabilités, c'est d'abord un mode de d'abord un mode de

penséepensée » » (Claudine Schwartz).(Claudine Schwartz).

L'introduction du programme de 3ème rappelle que :

«  c’est pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective

rationnelle que sont introduits les premiers éléments relatifs à

la notion de probabilité. ».

« La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes).

Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaisons mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités) ».

  Programme 2008 (Rentrée 2009)

Les mêmes situations familières fournissent toujours le cadre de l’introduction, mais on précise que « la notion de probabilité est abordée à partir d’expérimentations qui permettent d’observer les fréquences des issues » (que l’on dispose ou non d’un modèle intuitif).

Programme de TroisièmeProgramme de Troisième

Le minimum incontournable : expérience aléatoire, résultat ou issue, événement élémentaire, événement, probabilité, arbre.

événements incompatibles, événement contraire, événement certain, événement impossible.

-----------------------------------------------------A partir des exemples traités, quelques éléments de langage et propriétés seront institutionnalisés…

D’autres peuvent être mentionnés à l’occasion d’exercices concrets (situation d’équiprobabilité).

Attention : L’interprétation des événements de manière ensembliste est un objectif de la classe Seconde (Projet).

Par exemple : A B ou

Quel vocabulaire Quel vocabulaire introduire?introduire?

A

Quelques extraits relevés dans

des manuels de troisième

Déf : Les résultats ou issues possibles d’une expérience aléatoire sont appelés éventualités. Un événement est un ensemble d’éventualités.Une éventualité est un événement élémentaire.

Déf : Une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans savoir avant l’expérience le résultat qu’on obtiendra est appelée expérience aléatoire.

Déf : Une expérience est dite aléatoire lorsque chaque issue ne dépend pas des issues des expériences précédentes.

Prisme

Diabolo

Phare

Transmath

Le doc d’acc parle de résultats ou issues

ConfusTrop vague.

Vague. Peut prêter à confusion.

Bien

Expérience aléatoire Expérience aléatoire 

Déf : Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une « fréquence théorique » appelée probabilité.

Déf : Quand une expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois, la fréquence relative de réalisation d’un événement élémentaire se rapproche d’une valeur particulière : la probabilité de cet événement élémentaire.

Déf : La probabilité d’un événement A représente les chances que l’événement se réalise lors d’une expérience aléatoire. Cette probabilité se note p(A) : c’est un nombre compris entre 0 et 1.

Phare

Prisme

Transmath

Diabolo

Plutôt bien (mais : de façon indépendante, dans les mêmes conditions)Bien

Bien

Définition de journaliste

Probabilité d’un événement  Probabilité d’un événement  

Déf : La probabilité d’un événement E est un nombre compris entre 0 et 1.Si cet événement a 80% de chances de se produire, il a une probabilité de 0,8.

Déf : La probabilité d’un événement A est la proportion probable, parmi tous les cas possibles, des cas où A sera réalisé si on répète un grand nombre de fois l’expérience.…

Info : Les probabilités permettent de prévoir la fréquence probable de phénomènes lors d’expériences dont on ne connaît pas le résultat.

Bréal

Dimathème

Dimathème

!

!

?

Probabilité d’un événement (suite) Probabilité d’un événement (suite) 

Probabilité d’un événement : Probabilité d’un événement : Quelle définition donner?Quelle définition donner?

« La probabilité d’un événement est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. »

0 p 1P( Non A ) = 1 – P(A)La probabilité de l’événement certain est 1, celle

de l’événement impossible est 0.Si A et B incompatibles :

P(A ou B ) = P(A) + P(B)Arbre pondéré : Somme des branches, produit

(admis)

Quelles propriétés sont Quelles propriétés sont institutionnalisées?institutionnalisées?

La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des éventualités qui les composent.

Prisme C’est une définition. Remplacer éventualités par issues ou évt élémentaire

Commentaire : On peut additionner les probabilités de deux événements incompatibles

? Préciser l’intérêt

Propriété : Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités : p(A ou B) = p(A) + p(B).

Transmath

Bréal

Bien

Bien (doc d’acc)

p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A et B) ? Cas général HP

Propriétés Propriétés – Extraits de manuels– Extraits de manuels

p(A U B) = ...

Evénement contraire : p( ) = 1 – p(A)

?

Prisme

HP : pas de langage ensemblisteRemplacer p( ) par p(nonA)

Transmath

Bien

Propriétés Propriétés – Extraits de manuels – Extraits de manuels (suite)(suite)

A A

Premier temps : Exemples d’expériences à une épreuve où les probabilités des issues sont accessibles intuitivement :

Recommandations : ◦ Donner des exemples simples, proches des

préoccupations naturelles des élèves avec un univers dont la description est assez simple.

◦ Choisir des situations équiprobables ou non : lancers de dés ou de pièces, tirage d’une boule dans une urne à la composition donnée, roue de loterie …

◦ Des problèmes conduisant à un débat pourront être proposés tout au long de cette phase d’apprentissage pour contrecarrer certaines idées fausses.

Quelles activités ? (1)Quelles activités ? (1)

Recommandations (suite)

◦ Indiquer nettement ce que sont les résultats (ou issues) de l’expérience considérée;

◦ Des problèmes conduisant à un débat pourront être proposés tout au long de cette phase d’apprentissage pour contrecarrer certaines idées fausses :

Veiller à ce que des expressions comme « 1 chance sur2 » ne sous entendent pas chez les élèves une proportionnalité implicite.

Par exemple, si un même résultat a été obtenu 5 fois de suite, quelle est la probabilité de l’obtenir si on recommence une sixième fois l’expérience ?

Passer d’expressions du type « on a une chance sur deux d’obtenir pile » à « on dira qu’on obtient pile avec la probabilité ½ ».

Sur un exemple simple, faire constater puis admettre dans le cas général que, quand on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d’obtention d’un résultat se rapproche de la probabilité d’obtenir ce résultat.

Premier temps : Premier temps : Exemples d’expériences à Exemples d’expériences à une épreuve où les probabilités des issues une épreuve où les probabilités des issues

sont accessibles intuitivementsont accessibles intuitivement

Modalités de mise en œuvre Modalités de mise en œuvre

Premier temps : Premier temps : Exemples d’expériences à Exemples d’expériences à une épreuve où les probabilités des issues une épreuve où les probabilités des issues sont accessibles intuitivementsont accessibles intuitivement

Quelle trace écrite?Quelle trace écrite?A l’issue de chaque activité :

le professeur peut représenter de façon synthétique la situation étudiée à l’aide d’un arbre des résultats

puis, une fois la notion de probabilité introduite, à l’aide d’un arbre pondéré faisant apparaître à la fois les résultats possibles et leurs probabilités.

A ce stade, l’arbre n’est qu’une représentation synthétique commode. Habituer les élèves à ce mode de représentation devrait faciliter le recours à l’arbre pour les expériences à deux épreuves.

Deuxième temps : Exemples d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles intuitivement◦ Le lancer d’une punaise : la punaise peut

tomber suivant la position « 1 » ou la position « 0 » (voir activité).

◦ Autres exemples : Le jeu du franc carreau : on lance un disque

sur un quadrillage régulier (carrelage, damier…) ; le diamètre du disque est inférieur au côté des carrés constituant le quadrillage ; on gagne si le disque tombe à l’intérieur d’un carré, on perd sinon.

Le lancer d’un osselet, …

Quelles activités ? (2)Quelles activités ? (2)

Des fréquences aux probabilités : L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’universCette fraction est la probabilité théorique d’obtenir chacun des résultats possibles en un lancer.

Diabolo p 160 HP

pléonasme

On admet que, dans ce genre d’épreuves, la probabilité d’obtenir une couleur donnée (…) est égale à la fréquence de cette couleur (…) dans l’urne.Comme une probabilité peut être assimilée à une …(fréquence) , une probabilité est un nombre toujours compris entre … et …

Diabolo p 162

incorrect (affirmation abusive)

Deuxième temps : Deuxième temps : Exemples Exemples d’expériences où les probabilités des d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles issues ne sont pas accessibles intuitivement. intuitivement. Exemples dans les manuels : Exemples dans les manuels :

Deuxième temps : Deuxième temps : Exemples Exemples d’expériences où les probabilités des d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles issues ne sont pas accessibles intuitivement intuitivement Le problème de la punaise Le problème de la punaise (Dimathème)(Dimathème)

1°) Approche par les fréquences …Le jeu a été simulé sur ordinateur et on a représenté les fréquences obtenues…

2°) Calcul théorique de la probabilité : (par des considérations géométriques) …On admettra que, de manière théorique , la probabilité d’avoir un lancer « réussi » est égale au quotient de l’aire du carré Cj par l’aire du carré Cv.

Diabolo p 161

DiaboloP 161

Parachutage brutal de la simulation

Bien

Deuxième temps : Deuxième temps : Exemples Exemples d’expériences où les probabilités des d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles issues ne sont pas accessibles intuitivement intuitivement

Le jeu du franc carreau

◦Décrire l’expérience considérée, définir ses issues (i.e. résultats possibles),

◦Faire percevoir qu’on n’a pas une perception intuitive des probabilités de chaque résultat.

◦Amener les élèves à réinvestir la démarche fréquentiste mise en œuvre sur un cas plus simple auparavant.

Deuxième temps : Deuxième temps : Exemples d’expériences Exemples d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas où les probabilités des issues ne sont pas

accessibles intuitivement accessibles intuitivement

Quels objectifs ?Quels objectifs ?

◦Faire expérimenter en classe ou à la maison.

◦Prolonger l’expérimentation par une simulation tableur exposée par le professeur

◦Visualiser à nouveau graphiquement l’évolution de la fréquence d’obtention d’une des issues en fonction du nombre de répétitions de l’expérience.

◦En déduire une valeur approchée de la probabilité cherchée.

Deuxième temps : Deuxième temps : Exemples d’expériences Exemples d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas où les probabilités des issues ne sont pas

accessibles intuitivement accessibles intuitivement

Modalités de mise en œuvre Modalités de mise en œuvre

Troisième temps : Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre du socle)

« Cette connaissance n’est pas un objectif du programme et on ne proposera que des exemples

très simples dans lesquels un raisonnement permet facilement de trouver les résultats en leur donnant

du sens. »  

Quelles activités ? (3)Quelles activités ? (3)

Expériences à deux épreuves :

Modalités de mise en œuvre :

Les expériences étudiées doivent rester élémentaires.

On se bornera à des expériences conduisant à un petit nombre de résultats (un maximum de 6 cas)

On n’abordera pas les cas de tirages successifs dans une urne, avec ou sans remise.

(Document d’accompagnement p. 10)

Transmath Bien

Transmath BienPropriété ADMISE.Ce n’est pas un objectif !

Troisième temps : Troisième temps : Expériences à deux Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le épreuves (maîtrise non exigible dans le

cadre du socle) cadre du socle)

Exemples dans les manuels :

Utiliser un arbre de probabilité Prisme p 168

Bien L’arbre est vertical pour des raisons « stratégiques »

Expérience à deux épreuves : Lancer deux fois un dé ordinaire à 6 faces est une expérience à deux épreuves

Diabolo p168

HP épreuves répétées(qu’est-ce qu’un dé « ordinaire » ?

Tirages sans remise HP

Troisième temps : Troisième temps : Expériences à deux Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le épreuves (maîtrise non exigible dans le

cadre du socle) cadre du socle)

Exemples dans les manuels (suite)

◦Un exemple sera utilisé pour dégager la conjecture du résultat essentiel suivant qui sera ensuite admis : « la probabilité d’un résultat d’une

expérience à deux épreuves est égale au produit des probabilités figurant sur la branche de l’arbre

conduisant à ce résultat. »

Troisième temps : Troisième temps : Expériences à deux Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre

du socle) du socle)

Quels objectifs ?Quels objectifs ?

◦On étendra à ce type d’expériences le principe de la représentation par un arbre, pondéré ou non.

◦L’arbre non pondéré permet de déterminer méthodiquement les résultats possibles de ce type d’expérience : On peut les noter au bout des branches de l’arbre.

◦On pourra institutionnaliser la propriété admise sur les produits des probabilités (doc d’acc page 11)

Troisième temps : Troisième temps : Expériences à deux Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre

du socle) du socle)

Quelle trace écrite? Quelle trace écrite?