Embed Size (px)
Citation preview
Az inga mozgásának matematikai modellezése
Csizmadia László
Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem
Természet és MatematikaSzeged, SZTE
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 1 / 12
Az alapelv
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 2 / 12
Az inga
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 3 / 12
Az ingára ható erő
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 4 / 12
Erő komponensei
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 5 / 12
Newton
Másodrendű differenciálegyenlet
; fizika ; Newton II. axiómája∑F = m · a
a =dvdt
=d2sdt2 ⇒
∑F = ms ′′
s = l · ϕ⇒ a = l ϕ̈
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12
Newton
Másodrendű differenciálegyenlet ; fizika
; Newton II. axiómája∑F = m · a
a =dvdt
=d2sdt2 ⇒
∑F = ms ′′
s = l · ϕ⇒ a = l ϕ̈
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12
Newton
Másodrendű differenciálegyenlet ; fizika ; Newton II. axiómája∑F = m · a
a =dvdt
=d2sdt2 ⇒
∑F = ms ′′
s = l · ϕ⇒ a = l ϕ̈
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12
Newton
Másodrendű differenciálegyenlet ; fizika ; Newton II. axiómája∑F = m · a
a =dvdt
=d2sdt2 ⇒
∑F = ms ′′
s = l · ϕ⇒ a = l ϕ̈
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12
Newton
Másodrendű differenciálegyenlet ; fizika ; Newton II. axiómája∑F = m · a
a =dvdt
=d2sdt2 ⇒
∑F = ms ′′
s = l · ϕ⇒ a = l ϕ̈
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12
Matematikai inga
Mozgásegyenlet:ml ϕ̈ = −mg sinϕ
g - gravitációs állandó, l - az inga hossza.
Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározásaAmennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága asebességgel arányos, akkor a mozgásegyenlet:
ml ϕ̈ = −mg sinϕ− kl ϕ̇
k - súrlódási tényező
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 7 / 12
Matematikai inga
Mozgásegyenlet:ml ϕ̈ = −mg sinϕ
g - gravitációs állandó, l - az inga hossza.Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározása
Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága asebességgel arányos, akkor a mozgásegyenlet:
ml ϕ̈ = −mg sinϕ− kl ϕ̇
k - súrlódási tényező
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 7 / 12
Matematikai inga
Mozgásegyenlet:ml ϕ̈ = −mg sinϕ
g - gravitációs állandó, l - az inga hossza.Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározásaAmennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága asebességgel arányos, akkor
a mozgásegyenlet:
ml ϕ̈ = −mg sinϕ− kl ϕ̇
k - súrlódási tényező
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 7 / 12
Matematikai inga
Mozgásegyenlet:ml ϕ̈ = −mg sinϕ
g - gravitációs állandó, l - az inga hossza.Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározásaAmennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága asebességgel arányos, akkor a mozgásegyenlet:
ml ϕ̈ = −mg sinϕ− kl ϕ̇
k - súrlódási tényező
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 7 / 12
További lehetőségek - „a helyzet fokozódik"
Egyensúlyozó állán egy rúddal:
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 8 / 12
További lehetőségek - „a helyzet fokozódik"
Egyensúlyozó állán egy rúddal:
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 8 / 12
További lehetőségek - „a helyzet fokozódik"
Egyensúlyozó állán egy rúddal:
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 8 / 12
Modell: csak síkban mozoghat a rúd,
a fölfüggesztési pontra egyperiodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat:
F ml ϕ̈ = −m(g + ω2a cosωt) sinϕ− kl ϕ̇
V ml ϕ̈ = −mg sinϕ− kl ϕ̇+ m(ω2a cosωt) cosϕ
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 9 / 12
Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egyperiodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat:
F ml ϕ̈ = −m(g + ω2a cosωt) sinϕ− kl ϕ̇
V ml ϕ̈ = −mg sinϕ− kl ϕ̇+ m(ω2a cosωt) cosϕ
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 9 / 12
Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egyperiodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat:
F ml ϕ̈ = −m(g + ω2a cosωt) sinϕ− kl ϕ̇
V ml ϕ̈ = −mg sinϕ− kl ϕ̇+ m(ω2a cosωt) cosϕ
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 9 / 12
Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egyperiodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat:
F ml ϕ̈ = −m(g + ω2a cosωt) sinϕ− kl ϕ̇
V ml ϕ̈ = −mg sinϕ− kl ϕ̇+ m(ω2a cosωt) cosϕ
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 9 / 12
Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egyperiodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat:
F ml ϕ̈ = −m(g + ω2a cosωt) sinϕ− kl ϕ̇
V ml ϕ̈ = −mg sinϕ− kl ϕ̇+ m(ω2a cosωt) cosϕ
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 9 / 12
Segway
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 10 / 12
Segway
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 10 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GONDNem tudjuk megadni ϕ(t)-t.Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ̈ = −mgϕ, amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GONDNem tudjuk megadni ϕ(t)-t.Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ̈ = −mgϕ, amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GOND
Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t.Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ̈ = −mgϕ, amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GONDNem tudjuk megadni ϕ(t)-t.
Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ̈ = −mgϕ, amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GONDNem tudjuk megadni ϕ(t)-t.Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ̈ = −mgϕ, amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GONDNem tudjuk megadni ϕ(t)-t.Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ̈ = −mgϕ, amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GONDNem tudjuk megadni ϕ(t)-t.Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ,
a linearizált egyenlet ml ϕ̈ = −mgϕ, amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GONDNem tudjuk megadni ϕ(t)-t.Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ, a linearizált egyenlet
ml ϕ̈ = −mgϕ, amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GONDNem tudjuk megadni ϕ(t)-t.Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ̈ = −mgϕ,
amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Jósoljunk!Sem közegellenállás, sem „megütés":
ml ϕ̈ = −mg sinϕ
GONDNem tudjuk megadni ϕ(t)-t.Hogyan tovább?
Kicsi szögekre: sinϕ ≈ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ̈ = −mgϕ, amit megtudunk oldani.
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12
Segít a számítógép!
Különböző programcsomagok használatával „kísérletezhetünk", segíthetjüka sejtés kialakítását.
http://illustrations.marin.ntnu.no//structures/dynamics/pendulum/index.html„A gép forog az alkotó pihen."
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 12 / 12
Segít a számítógép!
Különböző programcsomagok használatával „kísérletezhetünk", segíthetjüka sejtés kialakítását.
http://illustrations.marin.ntnu.no//structures/dynamics/pendulum/index.html
„A gép forog az alkotó pihen."
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 12 / 12
Segít a számítógép!
Különböző programcsomagok használatával „kísérletezhetünk", segíthetjüka sejtés kialakítását.
http://illustrations.marin.ntnu.no//structures/dynamics/pendulum/index.html„A gép forog az alkotó pihen."
L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 12 / 12
