№888. � суурьтай, суурийн өнцөг нь � байдаг адил хажуут гурвалжинд тойрог багтжээ. Түүнээс гадна гурвалжны хажуу талууд болон түүнд багтсан тойргийг шүргэгч хоёр дахь тойрог байгуулагджээ. Хоёр дахь тойргийн радиусыг ол.

ы

№889. Тойрогт a суурьтай, суурь дах өнцөг нь α байх адил хажуут гурвалжин багтжээ. Гурвалжны хажуу талууд ба эхний тойргийг шүргэсэн хоёр дахь тойргийг байгуулсан байна. Хоёр дахь тойргийн радиусыг ол.

K

Q

O

FM

C

B

A

Oцэг нь r радиустай багтсан тойргийн төв (AB BC, AB a, A B )α≠ = = =R R M ба �нь түүний

AB ба AC талыг шүргэсэн цэг Q нь хоёр дахь

тойргийн төв, x нь түүний радиус.

OMA∆ -тэгш өнцөгт гурвалжнаас

r AM=12 2

tg OAM a tg α= ⋅R

QPO∆ -оос cos POQOP OQ= R

(z x)cosr x α− = +

( )2

3

2

1 2 sin1 cos 12 2 21 cos 2 22 cos

2

a tgrx a tg

α αα α

αα

⋅ ⋅−= = = ⋅

+

Бодолт:Q -хоёр дахь тойргийн төв. P - ABCгурвалжны AC хажуу талыг шүргэсэн цэг, R -багтаасан тойргийн радиус ( ), ,AC BC AB a A B α= = = =R R

Q цэг нь эхний тойргийн CD диаметр дээр байна.

CPQ тэгш өнцөгт гурвалжнаас

cos PQC CQ cosPQ CQ α= =R ( )2 cosr R r α= −

Иймээс 2 cos ,1 cos

Rr αα

=+

02sin ACB sin(180 2 ) sin 2

AB a aRα α

= = =−R

( )cos

sin 2 1 cos 2 sin ( 1 cos )a ar αα α α α

= =+ +

№890. a суурьтай, суурь дахь өнцөг нь α -тай тэнцүү гурвалжинд тойрог багтжээ. Түүнээс гадна гурвалжны суурь, аль нэг хажуу тал, эхний тойргийг тус тус шүргэсэн бас нэг тойргийг зуржээ. Хоёр дахь тойргийн радиусыг ол.

№891.Тойрогт a суурьтай, суурь дахь өнцөг нь α байх адил хажуут гурвалжин багтжээ. Мөн эхний тойрог, гурвалжин суурийн дундаж цэгийг шүргэсэн бас нэг тойргийг байгуулжээ. Хоёр дахь тойргийн радиусыг ол.

O1

O

C

BA

A

Бодолт: Эхний тойргийн радиусыг r , хоёр

дахь тойргийн радиусыг 1r гэе. 2 2ar tg α

= .

Өгсөн хоёр тойргийн радиусууд нэг хэрчим дээр оршино.

1 1 ,OO r r= + 1 ,OH r r= − 1

1

sin2

r rr r

α−=

+

1

1 sin( 1 sin ) 2 2 221 sin 1 sin

2 2

a tgrr

α αα

α α

−− = =

+ +

Бодолт: CK -нь ABC адил хажуут гурвалжны багтаасан тойргийн диаметр. (AC BC, AB a, A B )α= = = =R R AB суурийн дундаж цэг M нь диаметр дээр байна. CM ба MK нь эсрэг байгаа тойргийн диаметрүүд. r ба x нь эдгээр тойргийн

радиус. 1 ,2

r =12

CM = , 4aAM tg tgα α⋅ = .

12

x = , 12

MK = ,

4aAM ctg AKM ctgα⋅ =R

№892.Тойрогт 1,AB = 2CD = байх ABCD трапец багтжээ. F нь диагоналуудын огтлолцлын цэг. ABF ба CDF гурвалжингуудын талбайн нийлбэрийг AFD ба BCF гурвалжингуудын талбайн нийлбэрт харьцуулсан харьцааг ол.

№893.Нэг нэгж талтай хоёр ижил ABC ба CDE зөв гурвалжингууд зөвхөн нэг ерөнхий Cгэсэн цэгтэй ба BCD өнцөг нь 060 -аас бага. K цэг AC -ийн дундаж, L цэг CE -ийн дундаж,

M цэг нь BD -гийн дундаж цэг байв. KLM гурвалжны талбай 35

бол BD -г ол.

№894. O цэгт төвтэй тойргийн гадна орших K цэгээс энэ тойрогт MK ба NK гэсэн шүргэгч татжээ. MN хөвч дээр C цэгийг (MC CN)< авчээ. C цэгийг OC хэрчимд перпендукляр бөгөөд

O

S3

S4S2

S1

F

C

BA

D

41

2 3

SSS S

= , 1 3 2 4S S S S⋅ = ⋅ , 21 3 2S S S⋅ =

2 1 3S S S= , ( ADF BCF)∆ = ∆ , AFB DFC∆ ∆:

3 14S S= , 3

1

4SS

= , 3

1

SCDAB S

= ,

1 32 4 1

1 3 1 3 1

2 4 45 5

S SS S SS S S S S

+= = =

+ +

Бодолт: CM BCD− адил хажуут гурвалжны медиан, бас өндөр нь болно. CD хэрчим M ба L цэгээс нэгж өнцгөөр харагдана. , , ,D L C Mцэгүүд CD диаметртэй тойрог дээр оршино. Иймд 060 .DML DCL= =R R 060BMK =R

MK ML= учир 060 .( MKC MLC)KML = ∆ = ∆R ,

KLM -адил талт гурвалжин болно. Түүний

талбай 35

, тал нь 25

. 2BC x= байг. BMK

гурвалжинд косинусын теоромыг хэрэглэе.

2 4 2 3 ,5 45

xx + = = 2 2 1 0205

xx − + =

2 3 1−= < , 2 3−

= = .

NK хэрчмийг B цэгт огтлох шулуун татав. Тойргийн радиус R , ,MKN MC bα= =R бол CB -ийг ол.

Бодолт: D цэг нь MN -хөвчийн KO хэрчимтэй огтлолцох цэг. D цэг нь MN -ийн дундаж,

2DNO OKN α

= =R R , cos DNO Rcos2

DN ON α= =R , 2 cos

2CN MN MC R bα

= − = −

CON гурвалжинд косинусын теором хэрэглэвэл:

2 2 2 22 cos 2 cos2 2

CO NC NO NC NO R b Rbα α= + − ⋅ ⋅ = + − , ,O C B ба N цэгүүд OB

диаметртэй тойрог дээр оршино

. 2

CBO CNO α= =R R

Иймд 2 2 2 cos2 2

CB COctg CBO ctg R b Rbα α= = + −R .

№895. R радиустай O -төвтэй тойрогт ABCD трапец багтжээ. BC AD< ба O цэг трапецийн дотор оршино. Трапецийн паралель AB ба CD талууд нь R -тай тэнцүү. K цэг OA - радиусын дундаж цэг, L цэг OD радиусын дундаж, M нь BC талын дундаж цэг болно. Трапецийн

N

B

C

O

M

K

талбайг KLM гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцаа 4-тэй тэнцүү ба MC -г ол. Бодолт:

ABCDS S= ; 4KLM

SS∆

=

** ;2 2KLM

AD BC KL MHS h S∆+

= =

; sin2

ADKL h R α= =

№896. L оройтой өнцгийн биссектрис дээр A цэг авчээ. K ба M цэгүүд A цэгээс өнцгийн талууд дээр буулгасан перпендикулярын сууриуд. KM хэрчим дээр ( )P KP PM< цэгийг авч

түүнийг дайруулан KL шулууныг Q цэгт огтолсон. ( K цэг нь Q ба L -ийн хооронд), MLшулууныг S цэгт огтолсон. AP хэрчимд перпендикуляр шулуун татав. KLM α=R , KM a= , QS в= бол KQ -г ол.

Бодолт: 90AKQ APQ °= =R R ; , ,P K Q ба A цэгүүд AQ диаметрт тойрог дээр байна.

2AQS AKM ALK α

= = =R R R

2ASQ α

=R . Иймд QAS - адил хажуут

60°

O

LK

M

D

CB

A

2cos cos

2 2

вQPAQ α α= =

AKMV -адил хажуут гурвалжнаас

12 2cos cos

2 2

aKMAK α α= =

AKQV тэгш өнцөгт гурвалжингаас

2 22 2

2 cos2

в аKQ AQ AK α−

= − =

№897 , ,a вI I ба CI цэгүүд нь ABC гурвалжны ,BC AC ба AB талуудыг шүргэсэн гадаад багтсан тойргийн төвүүд, I -нь энэ гурвалжинд багтсан тойргийн төв. ABC гурвалжныг багтаасан тойрог a в cI I I гурвалжны талуудын дундажийг дайрдаг ; ;a в cII II II хэрчмийн дундажийг дайрна гэж батал.

Бодолт: , ,A B C цэгүүд , ,a вI I CI гурвалжны өндрүүдийн сууриуд. Иймд ABC гурвалжны

багтаасан тойрог , ,a вI I CI гурвалжны олон цэгийн тойрог юм. Энэ тойрог , ,a вI I вI гурвалжны

талуудын дундаж цэгүүдийг дайрна. , , , ,Ia в cI A I B нь ; ;a в aI I I гурвалжны өндрүүд, I цэг нь

энэ гурвалжны орто төв. Иймд ABC гурвалжны багтаасан тойрог нь ; ;a в cII II II хэрчмийн дундаж цэгүүдийг дайрна.

B

CA

I

IB

IAIB

B

№898. 030 -ийн хурц өнцөгтэй ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд тэгш өнцгийн орой C -ээс CD өндөр буулгажээ. ACD ба BCD гурвалжинд багтсан тойргийн төвүүдийн хоорондох зайг ол. ABC гурвалжны бага катет нь 1-тэй тэнцүү.

Бодолт: 030A =R гэе. 1O ба 2O нь ADC ба BDC гурвалжинд багтсан тойргийн төвүүд 1r ба

2r түүний радиусууд M ба N нь AB шулууныг шүргэсэн

1

3 3 3 3 32 22 2 4

CD AD ACr+ −+ − −

= = =

2

1 3 1 3 12 22 2 4

BD CD BCr+ −+ − −

= = =

1 2O DO тэгш өнцөгт гурвалжингаас

( ) ( )2 2

2 22 2

1 2 1 2 1 23 3 3 12 2 * 2 * 2

4 4O O DO DO r r

− −= + = + = +

( )2 3 116 8 3 4 2 3 3 12 2

−= − = − = ⋅ − =

№899. ABC тэгш өнцөгт гурвалжны C тэгш өнцөгтийн оройгоос CD өндөр буулгажээ. Гурвалжны катетууд 3 ба 4. ACD ба BCD гурвалжинд багтсан тойргийн төвүүдийн хоорондох зайг ол.

одолт: 1, 2 ?r r =

25;AB BC AB BD= = ⋅ 2 93 5 ;5

BD BD= ⋅ =9 1655 5

AD = − =

O2O1

MN D

C

B A

1

12 9 213 3 6 35 5 52 2 10 5

r+ − −

= = = = 2

12 16 84 45 9 52 2 5

r+ −

= = =

CD AB BC AC⋅ = ⋅3 4 12 ;

5 5CD ⋅

= =

1 23 2 4 2;

5 5O D O D= =

2 2

2 2 21 2 1 2

3 2 4 2 18 32 56 25 5 25 25

O O O D O D +

= + = + = = =

1 2 2O O =

№900. C орой дахь өнцөг нь тэгш байх ABC тэгш өнцөгт гурвалжин өгчээ. CAB өнцөг нь α .ABC өнцгийн биссектрис AC катетын K цэгт огтолно. BC талаар диаметр хийсэн тойрог AB гепотенузыг M цэгт огтолно. AMK өнцгийг ол.

Бодолт:OMB өнцөг өгсөн тойрогт багтах ба түүний диаметр дээр байна. Иймээс CMB тэгш өнцөгт. K цэгээс KF ба KP перпендикулярын AB баCM шулуун дээр харгалзуулан татья.

1 1cos cos

KF KCtg AMKFM KP CKP α

= = = =RR

( KF KC= ба FM KP= )

O2O1

MN D

C

B A

№901. ABCD трапец өгөв. 10AD = , 2BC = , 5AB CD= = . BAD өнцгийн биссектрис BC -талыг K цэгт огтолно. ABK гурвалжны ABK өнцгийн биссектриссийг ол.

Бодолт: BAD α=R гэе. BKA BAK=R R гэдгээс ABKV -адил хажуут. 5BK AB= = . Түүний

BK биссектрис өндөр болно. sin 5 sin2

BK AB BAF α= =R .

B цэгийн AD тал дээрх проекц P байг. Тэгвэл

42

AD BCAP −= =

4cos cos5

APBADAB

α = = =R .

Иймээс 1 cos 1sin2 2 10α α−

= = ,

5 105 sin2 210

BF α= = =

№902. ABC гурвалжны 4AB = , 2AC = , 3BC = байв. BAC өнцгийн биссектрис BC талыг K цэгт огтолно. B цэгийг дайран гарсан AC -тэй параллель шулуун AK биссектрисийн үргэлжлэлийг M цэгт огтолно. KM -ийг ол.

Бодолт: ABCV -д косинусын теором хэрэглэвэл 2 2 2 4 9 16 1cos2 2 2 3 4

AC BC ABCAC BC

+ − + −= = = −

⋅ ⋅ ⋅R

Гурвалжны биссектрисын чанар ёсоор: 4 22

BK ABKC AC

= = =

Иймээс 2BK =

ABC CAM MAB= =R R R учир

ABCV -адил хажуут

4BM AB= = KBM KCA C= =R R R

AMB CAM KCA C= = =R R R R

2 2 2 12 cos 4 16 2 2 4 244

KM BK BM BK BM KBM = + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ − =

R

2 6KM =

№903. BAD -өнцэг нь тэгш байх ABCD трапец өгчээ. AB тал дээр диаметртэй тойрог BD диогналийг M цэгт огтолжээ. 3, 4,AB AD= = 1BC = бол CAM -өнцгийг ол.

Бодолт: AMB багтсан өнцөг AB диаметр дээр байх ба 090AMB =R . AM BD AB AD⋅ = ⋅ бол 3 4 12

5 5AB ADAM

BD⋅ ⋅

= = = ;

K цэг трапецийн диогналуудын огтлолцлын цэг. 4,AK ADKC BC

= =

ймээс 4 4 105 5

AK AC= = AMK∆ − нь тэгш өнцөгт гурвалжин

1235cos KAM

4 10 105

= =R ,

1sin CAM sin KAM10

= =R R1arcsin10

CAM =R .

№904. ABC гурвалжны A оройгоос AM -медиан, B оройгоос BP медиан татав. APB өнцөг BMA өнцөгтэй тэнцүү. ACB өнцгийн косинус 0,8 ба 1BR = бол ABC гурвалжны талбайг ол.

Бодолт: APB BMA=R R учир , , ,A B M P цэгүүд нэг тойрог дээр байна. CB ба CA огтлогч, иймээс CM CB CP CA⋅ = ⋅ 2 22 2CM CP CM CP= ⇒ = иймээс CA CB= учир ABC адил хажуутай. , 2MC x AC x= = .Косинусын теоромоор:

2 2 2 2 cos ACBAM CM AC CM AC= + − ⋅ ⋅ R

2 2 41 4 2 25

x x x x= + − ⋅ ⋅ , 2 59

x = .

2 21 1 3 6 2sin C ( 2 x)2 2 5 5 3ABCS AC BC x∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ = =R .

№905. ABC гурвалжны A орой дахь өнцгийн биссектрис BC талыг M цэгт, B орой дахь өнцгийн биссектрис AC талыг P цэгт огтолно. ,AM BP биссектрисүүд O цэгт огтлолцоно.

BOM∆ нь AOP∆ төсөөтэй бөгөөд ( 1 3 ) OP,BO = + ⋅ 1BC = бол ABC гурвалжны талбайг ол.

Бодолт: .BOM AOP MBP MAP∆ ∆ ⇒ =: R R

2 2ABC MBP MAP BAC= ⋅ = ⋅ =R R R R гэдгээс ABC адил хажуут гурвалжин.

MP AB= биссектрисийн чанараар:.

AB BMAC MC

= 3 ,BMMC

= 3ABAC

=

O

KM

P C

B

A

3 3 3AB AC BC= = = .

ABC гурвалжны өндөр CK .

2 2 3 11 ,4 2

CK AC AK= − = − =3

4ABCS∆ =

№906. ABC гурвалжны BC тал дээр P цэг, AC тал дээр M цэг авав. AP ба BM хэрчмүүд O цэгт огтлолцоно. , ,BOP AOM BOA∆ ∆ ∆ гурвалжингууд төсөөтэй. 1,BM ABC= өнцгийн косинус 0,6. ABC гурвалжны талбайг ол.

Бодолт: , ,BOP AOM BOA гурвалжингууд төсөөтэй,

BOP BOA=R R (хамар бөгөөд 090BOP BOA= ≤R R )

PBO ABO=R R . Иймээс BM нь ABC өнцгийн биссектрис. 090 ,MAO ABO BAC= ⇒ =R R R

ABC тэгш өнцөгт гурвалжин болно.

ABC α=R гэвэл

311 cos 25; cos 1 ;2 2 2 2 5

AMB AB BMα α α ++= = = ⋅ = =R

ABC гурвалжингаас 83 5

AC AB tgα= ⋅ =1 82 15ABCS AB AC∆ = ⋅ =

90°

O

P

M C

B

A

№907. ABC гурвалжны BC тал дээр P цэг, AC тал дээр M цэг авсан ба ,4

APB BMA π= =R R

AP ба BM хэрчмүүд O цэгт огтлолцоно. BOP∆ ба AOM∆ тэнцүү талбайтай бөгөөд 21,

2BC BO= = бол ABC гурвалжны талбайг ол.

Бодолт: BOP ба AOM гурвалжнуудын хоёр өнцөг нь харгалзан тэнцүү учир төсөөтэй.

K өнцгийн коэффициент, 2BOP AOMS k S∆ ∆= ⋅

1K = учир BOP AOM∆ = ∆ .

, , ,MAO PBO AO OB OAB CBA= = =R R R R CAB CBA=R R Иймээс ABC∆ адил хажуут. MP ABP .

PO MO x= = гэвэл 22

2

MC MP MO x xAC AB OB

= = = =

2 2MC AC x x= ⋅ =

Косинусын теоромоор:

2 2 2 02 cos135BC MC MB MC MB= + − ⋅ ⋅ .

2

2 2 21 2 x 2 22 2

x x x

= + + + + ⋅

0.3S =

90°

O

P

M C

B

A

№908. Хурц өнцөгт ABC гурвалжны AC тал дээр D цэгийг 1AD = , 2,DC BD= -нь ABCгурвалжны өндөр байхаар авчээ. A ба D цэгийг дайрсан 2 радиустай тойрог BDC гурвалжинг багтаасан тойргийг D цэгт шүргэнэ. ABC гурвалжны талбайг ол.

Бодолт: BDC гурвалжинг багтаасан тойргийн диаметр BC нь A цэгээс хурц өнцгөөр харагдана. Иймээс A цэг тойргийн гадна байна. Өгсөн тойргууд гадаад байдлаар шүргэлцэнэ. P цэг нь A ба D цэгийг дайрсан тойргийн төв, M цэг нь BD -ийн үргэлжлэл энэ тойрогтой огтлолцсон цэг, BDC гурвалжны багтаасан тойргийн төв-O . Иймд

DAM ADR ODC BCD= = =R R R R учир ADM ба CDB гурвалжнууд төсөөтэй. 12

ADDC

= .

2 22 2 2 16 1 2 15BD DM AM AD= = − = − = .

1 3 2 15 3 152 2ABCS AC BD∆

⋅= ⋅ = = .

№909. C -орой дахь өнцөг нь тэгш байх ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд 4CA = . BC катет дээр

D цэгийг 1CD = байхаар авав. 52

-радиустай тойрог C ба D цэгийг дайран ABC гурвалжныг

багтаасан тойрогтой C цэгт шүргэлцэнэ. ABC∆ -ны талбайг ол.

Бодолт: D цэг нь ABC гурвалжин багтаасан тойргийн дотор байна. Өгсөн тойргууд дотоод шүргэлцэнэ. Хэрэв M цэг нь эхний тойргийн AC катеттай огтлолцсон цэг C -ээс ялгаатай цэг бол MD нь энэ тойргийн диаметр болно.

2 2 5 1 2MC MD CD= − = − =

Q ба O нь өгсөн тойргуудын MD ба AD диаметрүүдийн дундаж цэгүүд. Тэгвэл 1O Q ба C цэг нэг шулуун дээр орших бөгөөд MQC∆ ба AOC∆ нь адил хажуут.

,CMD ACO BAC= =R R R Иймээс MCD∆ ба ACB∆ төсөөтэй, 12

MCCA

= , 2 2,BC CD= =

1 42ABCS BC AC∆ = ⋅ = .

№910. ABC гурвалжны 0120 , 1, 7 .A AC BC= = =R CA талын үргэлжлэл дээр BM нь ABCгурвалжны өндөр байхаар M цэгийг авав. A ба M цэгийг дайрсан, MB ба C цэгүүдийг дайрсан тойрогтой M цэгт шүргэлцэх тойргийн радиусыг ол.

Бодолт: MBC гурвалжныг багтаасан тойргийн диаметр BC нь A цэгээс мохоо өнцгөөр харагдана. A цэг энэ тойргийн дотор байна. Q ба O нь их ба бага тойргийн төвүүд, K цэг нь бага тойргийн BM хэрчимтэй огтлолцсон M цэгээс ялгаатай цэг.

MAK AMQ CMO OCM BOM= = = =R R R R R

MAK∆ ба MCB∆ -төсөөтэй.

AB x= гээд ABC гурвалжинд косинусын теором хэрэглэвэл:

2 2 2 02 cos120BC AB AC AB AC= + − ⋅ ⋅ . 27 1 x x= + + , 2x = , 060MAB =R

1 12 2

xAM AB= = = , 7 12 2

AMAK BC OAMC

= ⋅ = ⋅ = ; 74

AK = ;

K