Upload
rumah-belajar
View
1.962
Download
19
Embed Size (px)
Citation preview
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
BAB 9
ANALISIS KEADAAN TUNAK SINUSOIDAL
Setelah mempelajari Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal, Anda diharapkan:
1. Memahami konsep bilangan kompleks dan berbagai representasinya, yakni
representasi Cartesian dan polar.
2. Memahami konsep solusi keadaan tunak sinusoidal (sinusoidal steady-state).
3. Memahami konsep phasor.
4. Memahami konsep impedansi.
5. Mampu mencari solusi keadaan tunak sinusoidal dengan menggunakan phasor
dan mengubahnya ke solusi pada domain waktu.
6. Memahami konsep fungsi rangkaian keadan tunak sinusoidal (network function).
7. Memahami aplikasi teorema superposisi untuk mencari solusi keadaan tunak
sinusoidal.
8. Memahami aplikasi teorema Thevenin untuk mencari solusi keadaan tunak
sinusoidal.
9. Memahami aplikasi teorema Norton untuk mencari solusi keadaan tunak
sinusoidal.
10. Memahami rangkaian resonansi.
11. Memahami konsep energi dan daya (daya rata-rata, daya reaktif, dan daya sesaat)
pada keadaan tunak sinusoidal.
12. Memahami teorema transfer daya maksimum
13. Mengenal rangkaian tiga fasa.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 212
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
1. Untuk rangkaian pada P9.1a. a. Tulis sebuah persamaan diferensial orde dua dalam variabel vo. b. Gunakan phasor untuk memperoleh solusi keadaan tunak sinusoidal
(sinusoidal steady-state) untuk vo(t) dan iL(t).
Ω1
Li
Ci
H1
+
−ovF
21( )°+= 45tcos)t(is
P9.1a
Solusi
a. Dari hukum KCL diperoleh oLscLs v21iiiii
•
+=⇔+= ...(1)
Dari hukum KVL diperoleh oL
LoLR vdt
diivvv =+⇔=+ ...(2)
Manipulasi persamaan (1) dan (2) menghasilkan ...(3)
+=++
••••
ssooo ii2v2vv
b. Dalam bentuk representasi phasor dapat ditulis
[ ] ( )omomo
tjoo VjexpVVdenganeVRe)t(v ∠== ω ,
[ ]tjss eIRei ω= , dan [ ]tj
ss eIjRe ω•
ω=i dengan ( )°∠= 45jexpsI dan ω = 1. Substitusi representasi phasor ini ke persamaan (3) menghasilkan
( ) ( )[ ] [ so2 Ij12V2jj ω+=+ω+ω ] atau ( ) °
°
=+
+= 45j
45j
o e2j1ej12V ...(4)
Representasi phasor Vo pada persamaan (4) dapat diubah ke domain waktu menjadi [ ] [ ] ( )°ω +===
°
45tcos2ee2ReeVRe)t(v jt45jtjoo
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 213
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
Representasi phasor dari persamaan (1) adalah osL Vj21II ω−= sehingga
[ ] ( )tcos2e2Re)t(i2jeeI jt
L45j45j
L ==⇔=−=°°
2. Ulangi pertanyaan 1 untuk rangkaian pada P9.2a.
Ω2 H1
Ω1 F1+
−ov( )°+= 30t2cos)t(vs
Li
P9.2a
Solusi
a. Persamaan diferensial v sooo vv3v3 =++•••
b. dan ( )°−= 46,69t2cos164,0)t(vo ( )°−= 025,6t2cos367,0)t(Li
3. Untuk rangkaian pada P9.3a.
a. Tentukan driving-point impedance Z(jω). b. Hitung nilai impedansi pada saat ω = 0 dan ω = 1 rad/detik. Nyatakan
impedansi ini dalam bentuk amplitudo dan fasa. c. Jelaskan dengan penalaran fisik nilai impedansi untuk ω = 0 dan ω = ∞.
Ω1
Ω4
F21
H2
i
v
−
+
Z
P9.3a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 214
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
Solusi
a. Mula-mula, cari terlebih dahulu impedansi paralel antara resistor 1Ω dan kapasitor dan impedansi paralel resistor 4Ω dan induktor. Z(jω) merupakan impedansi seri dari kedua impedansi tersebut.
( ) ( )ω+ω+
=ω⇔ω+
ω+
ω+=
++
ω+=ω
ω j2j42jZ
j2j4
j221
j11jZ
j21
41
21
...(1)
b. Dari persamaan (1) tampak Z(j0°) = 1∠0° dan ( ) °∠=+
+= 87,362
j2j421jZ
c. Pada saat ω = 0, kapasitor menjadi open-circuit dan induktor menjadi short-circuit sehingga Z(j0) = 1 Ω. Pada saat ω = ∞, kapasitor menjadi short-circuit dan induktor menjadi open-circuit sehingga Z(j∞) = 4 Ω. Anda juga akan memperoleh hasil yang sama dari persamaan (1).
4. Bila sebuah sumber arus t2costcos1)t(is ++= diberikan ke one-port pada P9.4a, tentukan tegangan port pada keadaan tunak.
−
+
i
v
Z
Ω= 1R1 H1L1 =
Ω=1R 2
F1C1 =
P9.4a Solusi
Solusi ini akan lebih mudah diperoleh bila kita bekerja menggunakan representasi phasor. Cari terlebih dahulu Zeq untuk one-port tersebut dan kemudian nilai tegangan keadaan tunak dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan
(Perhatikan bahwa I = Iseq I)j(ZV ω= s)
ω++ω+=ω⇔++==
j111)j(Z)R//X(XR
IVZ eq21C1L1eq atau
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 215
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
1
2j)j(Z 2
23
eq +ω+ω+ω
=ω ...(1)
Perhatikan bahwa sumber arus i terdiri dari tiga komponen. Cari terlebih dahulu tanggapan tegangan terhadap masing-masing komponen arus.
201.2I.ZV2)0j(Z0,1i 1s11s =°∠==⇔=⇔=ω=
°=°∠
+
=⇔+
=⇔=ω= 43,18j22s e
21001.
2j3V
2j3)1j(Z1,tcosi
°=°∠
+
=⇔+
=⇔=ω= 13,53j33s e201.
5j86V
5j86)2j(Z2,t2cosi
Berdasarkan teorema superposisi, tegangan one-port kedaaan tunak V merupakan penjumlahan dari V1, V2, dan V3.
[ ] V)13,53t2cos(2)43,18tcos(2102VRe)t(veVeVVV t2j
3jt
21 °++°++==⇔++=
5. Untuk rangkaian pada P9.5a, hitung tegangan keadaan tunak v sebagai
fungsi waktu.
tsin H21
Ω1 Ω2
t3cos+
−
F1v
P9.5a
Solusi
Gunakan prinsip superposisi untuk mencari nilai v. Perhatikan bahwa kedua sumber memiliki frekuensi yang berbeda. • Mula-mula, set i (lihat P9.5b). Perhatikan bahwa pada rangkaian P9.5b,
nilai ω = 3 rad/detik. 0s=
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 216
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
s/rad3dengan,j1//j
211Z1 =ω
ω
ω+= sehingga diperoleh
j671
j31
21
Z1+
−=
°−∠=⇔°∠+
= 35,72188,0V01.2Z
ZV 11
11
[ ] ( )°−== 35,72t3cos188,0eVRe)t(v t3j
11 ...(1)
H21
Ω1 Ω2
°∠01
+
−
F1
1Z
1v °−∠ 901 H21
Ω1 Ω2
+
−
F12v
21
P9.5b P9.5c
• Kemudian, set (lihat P9.5c). Perhatikan bahwa pada rangkaian P9.5c nilai ω = 1 rad/detik. (mengapa fasa sumber arus adalah -90°?)
0vs =
Hukum KCL di titik 1: °−∠=ω
+− 901jE2
)EE( 121 ...(2)
Hukum KCL di titik 2: 0Ej2
E)EE( 22
12 =ω++− ...(3)
Penyelesaikan persamaan (2) dan (3) menghasilkan °−∠= 34,51312,02E .
Dari P9.5c tampak °−∠== 34,51312,0EV 22 sehingga
[ ] )34,51tcos(312,0eVRe)t(v jt
22 °−== Berdasarkan teorema superposisi, maka
[ ] )t(v)t(vVRe)t(veVeVV 21jt
2t3j
1 +==⇔+=
Jadi )34,51tcos(132,0)35,72t3cos(188,0)t(v)t(v)t(v 21 °−+°−=+=
6. Rangkaian yang ditunjukkan pada P9.6a berada pada keadaan tunak sinusoidal, es(t) = 9cos10t dan is(t) = 2cos[10t – (π/3)]. Untuk rangkaian yang berada di sebelah kiri terminal 1 dan 1’, cari
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 217
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
a. Rangkaian pengganti Thevenin. b. Rangkaian pengganti Norton. c. Hitung nilai v untuk R = 1 Ω dan R = 10 Ω (Nyatakan jawaban Anda
sebagai sebuah fungsi nilai nyata dari waktu).
1
'1
Ω1
)t(es)t(is F1,0
H2,0
R
+
−
)t(v
P9.6a
Solusi
a. Gunakan representasi phasor untuk menyelesaikan soal ini.
Ω1
°∠09 °−∠ 602 j−
j2
+
−
OCV
Ω1
+
−
I
V
j2
j−
P9.6b P9.6c • Mula-mula, cari terlebih dahulu tegangan open-circuit VOC (lihat P9.6b)
Dengan menggunakan teorema superposisi diperoleh
( ) °−∠=⇔−π
−∠−
+°∠−−
= 83,5418,7Vj).3
2.j1
1(09.j1jV OCOC
[ ] )83,54t10cos(18,7eVRe)t(v t10jOCoc °−==
• Cari impedansi pengganti Thevenin (lihat P9.6c, perhatikan bahwa es(t) = 0
dan is(t) = 0).
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 218
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
°∠=+==⇔+−== 56,7158,1j23
21Zj2)j//1(
IVZ THTH
Jadi rangkaian pengganti Thevenin adalah V (lihat P9.6d)
°° −∠+∠= 83,5418,7I56,7158,1
+
−
eqZ
°∠ 56,7158,1
OCV °−∠ 83,5418,7
I
V
+
−
V
I
SCI eqY
°−∠ 39,12654,4°−∠ 56,7163,0
OCV
eqZ
R
+
−
V
P9.6d P9.6e P9.6f b. Dari rangkaian pengganti Thevenin diperoleh
sceqeq
OC
eqOCeq IVG
ZV
ZVIVZ.IV +=
−+=⇔+=
Jadi rangkaian pengganti Norton adalah °° −∠−−∠= 39,12654,4V56,71633,0I
(lihat P9.6e)
c. Dengan menggunakan rangkaian pengganti Thevenin, rangkaian P9.6a digambar kembali seperti pada P9.6f.
OCeq
VZR
RV+
=
[ ] ( )°−==⇔°−∠=Ω= 83,99t10cos38,3VeRe)t(v83,9988,3V,1R t10j
[ ] ( )°−==⇔°−∠=Ω= 96,62t10cos77,6VeRe)t(v96,6277,6V,10R t10j
7. Rangkaian linier tak-berubah waktu (linear time-invariant) pada P9.7a
berada pada keadaan tunak. Untuk menentukan arus keadaan tunak induktor i, gunakan teorema Thevenin untuk a. Tentukan tegangan open-circuit voc pada terminal 1 dan 1’ ketika
induktor di-open-circuit. b. Tentukan Zeq, impedansi pengganti/ ekivalen yang dilihat oleh induktor. c. Tentukan arus kedaan tunak i.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 219
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
i
H1A1)t(is =
1v2
Ω1
+
−
1v
F1
tcosvs =
1
'1 P9.7a
Solusi
a. Gunakan teorema superposisi untuk mencari tegangan open-circuit VOC.
Tegangan open circuit akibat is adalah V3V 1OC =
Tegangan open-circuit akibat vs adalah °∠= 452
32OCV
Jadi [ ] ( )°++=+ 45tcos2
233eVV jt2OC1OCoc = Rev
b. Impedansi pengganti ( )
=ω−
=ω=
ω+=ω
1untuk j123
0untuk 3
j13)j(eqZ
c. Pasang induktor 1 H ke rangkaian pengganti Thevenin. Dengan teorema
superposisi diperoleh • Untuk 3Z,0 eq ==ω
[ ] 1IRe)t(iA103
3XZ
VI 11
Leq
1OC1 ==⇔=
+=
+=
Perhatikan, kita hanya mengambil komponen VOC untuk ω = 0 ( VOC1)
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 220
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
• Untuk )j1(23Z,1 eq −==ω
[ ] ( )°+==⇔°∠=+−
°∠=
+= 43,63tcos342,1eIRe)t(i43,63342,1
j)ji(23
45223
j1)j1(ZV
I jt22
eq
2OC2
Berdasarkan teorema superposisi, ( )°++=+= 43,63tcos342,11)t(i)t(i)t(i 21
8. Gunakan teorema Thevenin untuk mencari arus keadaan tunak i sebagai
fungsi nyata dari waktu untuk rangkaian pada P9.8a.
t20cos10 '11
H1L =
Ω= 20R
F2001C1 =
F2001C2 =
iΩ5
a
b
P9.8a Solusi • Tegangan phasor open-circuit VOC pada terminal 1-1’ (lepaskan resistor 5 Ω)
j551010.j2020
20010.XR
REL
1 −=°∠+
=∠+
= °
5010.j10j10
j10010.XX
XE
1C2C
2C'1 =°∠
−−−
=∠+
= °
sehingga °−∠=−=−= 905j5EEV '11OC • Impedansi pengganti Thevenin ( ) ( )2C1CLeq X//XR//XZ += . Perhatikan
bahwa karena tegangan di-short-circuit maka tegangan di titik a dan b adalah sama.
Impedansi pengganti Thevenin ( ) ( ) °∠=−−+= 57,2618,11j10//j1020//j20Zeq
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 221
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
eqZ
OCV Ω5
+
−
V
I
°−∠ 905
°∠ 57,2618,11
'1
1
• Arus phasor °−∠=+
= 43,108316,05Z
VI
eq
OC
atau dalam representasi domain waktu
[ ] ( )°−== 43,108t20cos316,0IeRe)t(i t20j
P9.8b
9. Perhatikan rangkaian terkopel yang ditunjukkan pada P9.9a. Tentukan a. Driving point impedance, V1/ I1. b. Impedansi transfer (transfer impedance) V2/I1. c. Rasio tegangan transfer (transfer voltage ratio) V2/V1.
H1xv2 Ω1
+
−
2v
1i
1v
+
−
Ω1+
−
xv F1H2 H1
xv2 Ω1
+
−
2v
4i3i1 21i
1v
+
−
Ω1+
−
xv F1H2
H1M = H1M =
P9.9a P9.9b
Solusi
a. Rangkaian pada P9.9a digambar kembali seperti pada P9.9b. Dari P9.9b tampak
KCL di titik 1: 3111311
1 IVjVIIj/1
V1V
+ω+=⇔+ω
+=I
KCL di titik 2: 2412
4x VIV21
VIV +=⇔+=2
Karakteristik induktor terkopel dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut
ω−
ω
ωω−
=
⇔
ωω
ωω=
2
1
4
3
4
3
2
1
V
Vj2j
jj
I
I
I
I
jj
jj2
V
V
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 222
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
Manipulasi persamaan-persamaan di atas menghasilkan ( )ω−ω+−ωω−ω
= 32
2
1
1
j13j2
IV
b. Impedansi transfer ( )ω−ω+−ωω−ω
= 32
2
1
2
j13j2
IV
c. Rasio tegangan transfer j2j2
VV
1
2
−ω−ω
=
10. Untuk rangkaian resonansi pada P9.10a,
a. Hitung frekuensi resonansi ωo dan nilai Q. b. Hitung driving-point impedance Z(jω). c. Plot |Z(jω)| dan ∠ Z(jω) terhadap ω/ωo.
1i
1v
+
−
pF870 Ωk2 mH14.0
( )ωjZ
1i
1v
+
−
pF870 Ωk2 mH14.0
( )ωjZ
1
Ci RiLi
P9.10a P9.10b Solusi
a. Rangkaian pada P9.10a digambar kembali seperti pada P9.10b. Dari KCL di titik 1 diperoleh
dtdiLvmanadiii
Rv
dtdvCiiii L
LLLL
LRC ==++⇔=++
Manipulasi persamaan di atas menghasilkan LC ...(1) iiiGLi LLL =++•••
Persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk standar
)t(uxx2x s2o =ω+α+
•••
...(2) di mana ωo adalah frekuensi resonansi. Dengan membandingkan persamaan (1) dan (2) diperoleh
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 223
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
ikdet/rad10.87,210.870.10.14,0
1LC1 6
123o ===ω−−
Anda juga dapat mencari frekuensi resonansi denagn menggunakan admitansi
rangkaian. ( )
ω−ω+=
ω+ω+=ω
L1CjG
Lj1CjGjY ...(3)
Resonansi terjadi pada frekuensi ωo, yakni ketika suku imajiner admitansi menjadi nol. Dari persamaan (3) diperoleh
ikdet/rad10.87,210.870.10.14,0
1LC1 6
123o ===ω−−
Dari definisi RCC/G2
Q ooo ω=
ω=
αω
=
Jadi Q 598,4)10.870)(10.2.(10.87,2RC 1236
o ≈≈=ω= −
b. Dari persamaan (3) diperoleh GLj
1Cj)j( +ω
+ω=ωY . Karena Z(jω) = 1/ Y(jω)
maka diperoleh Lj)LC1(R
RLj
Lj1
R1Cj
1j1)j(Z 2 ω+ω−
ω=
ω++ω
=ω
=ω
( ))10.14,0(j10.44,210.2
jjZ 32103 ω+ω−ω
=ω −− ...(4)
c. Persamaan (4) dapat ditulis kembali dalam bentuk
ω
ω−
ωω
+=ω
o
o
jQ1
R)j(Z dengan 5Q,ikdet/rad10.87,2,10.2R 6o
3 ==ωΩ=
Plot Z(jω) dan ∠Z(jω) masing-masing tampak pada P9.10c dan P9.10d.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 224
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal )(),j(Z °ω∠)10(),j(Z 3ω
0 1 2 3 40
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
1 . 6
1 . 8
2
0 1 2 3 4- 1 0 0
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
oωω
oωω
P9.10c P9.10d 11. Untuk kurva resonansi dari rangkaian paralel RLC yang ditunjukkan pada
P9.11a, a. Tentukan nilai R, L, dan C b. Perilaku resonansi yang sama tetap ingin dipertahankan, namun pusat
frekuensi sekarang berada pada 20 kHz. Nilai maksimum |Z(jω)| adalah 0,1 MΩ. Tentukan nilai R, L, dan C yang baru.
)(|)j(Z| Ωω
10
10
9,9 1,10
07,7
ikdet/rad,ω
P9.11a
Solusi
a. R = 10 Ω, C = 0,5 F, dan L = 20 mH b. Perhatikan bahwa nilai Q adalah sama. R = 0,1 MΩ, C = 3,98 nF, dan
L = 15,91 mH.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 225
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
12. Untuk rangkaian pada P9.12a, a. Hitung tanggapan keadaan tunak sinusoidal i untuk es = sin ωt untuk nilai
ω = 2 dan ω = 2,02, dan ω = 2,04 rad/detik. Nyatakan hasil tersebut sebagai fungsi waktu.
b. Hitung energi yang tersimpan dalam kapasitor dan induktor sebagai fungsi waktu untuk ω = 2, ω = 2,02, dan ω = 2,04 rad/detik.
c. Hitung daya rata-rata yang terdisipasi pada resistor untuk ω = 2 dan ω = 2,02, dan ω = 2,02 rad/detik.
)t(es
iH1 Ω04,0 F25,0
)t(es
iH1 Ω04,0 F25,0
( )ωjZ
+ −)t(vC+
−
v
P9.12a P9.12b Solusi
a. Rangkaian P9.12a digambar kembali seperti pada P9.12b.
Dari P9.12b tampak ( )
ω−ω+=ω
4j04,0jZ dan ( ) ( ) ( )ω−
=ω
−∠=
ω=
°
jZj
jZ90.1
jZE
I s
Perhatikan bahwa sesuai dengan konvensi representasi phasor yang menggunakan
bagian nyata (real) suatu bilangan kompleks, maka sumber es = sin ωt harus
diubah ke bentuk kosinus , yakni es = cos (ωt – 90).
[ ] ( )°−==⇔−
==ω 90t2cos25IeRe)t(i04,0jI;2 t2j
[ ] ( )°−==⇔+−
==ω 135t02,2cos67,17IeRe)t(ij04,004,0
jI;02,2 t02,2j
[ ] ( )°−==⇔+−
==ω 43,153t04,2cos18,11IeRe)t(ij08,004,0
jI;04,2 t04,2j
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 226
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
b. Dalam representasi phasor, ω
−=
ω
=I4j
Cj1IVc
Energi yang tersimpan pada kapasitor )t(Cv21)t( 2
cC =ε
Energi yang tersimpan pada induktor )t(Li21)t( 2
LL =ε
Energi yang tersimpan pada kapasitor dan induktor untuk berbagai frekuensi dirangkum pada T9.12a.
ω (rad/s) ε (t) L εC(t) Pav (W)
2 ( )t4cos125,156 − ( )t4cos125,156 + 12,5
2,02 ( )t04,4sin106,78 − ( )t4sin156,76 + 6,24
2,04 ( )[ ]86,306t08,4cos125,31 −+
( )[ ]13,233t08,4cos103,30 ++ 2,5
T9.12a
c. Daya rata-rata yang terdisipasi pada resistor dapat dihitung dengan persamaan
RI21P 2
mav = . Nilai Pav untuk berbagai ω tanpak pada tabel T9.12a.
13. Sebuah transmitter telepon dengan resistansi keluaran Ro = 600 Ω dipasang ke sebuah transmission line yang dimodelkan dengan rangkaian ladder yang tak berhingga seperti pada P9.13a. Tentukan nilai R untuk transfer daya maksimum.
sv
oR R R
R
R
R eqR
eqR
R
P9.13a P9.13b
Solusi Mula-mula cari impedansi pengganti Zeq rangkaian ladder tak berhingga tersebut.
Menurut teorema transfer daya maksimum, bila oeq ZZ = maka transfer daya
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 227
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
maksimum dari vs ke Zeq akan terjadi. Untuk impedansi yang hanya mengandung
komponen nyata saja, maka kondisi tersebut dapat ditulis menjadi Req = Ro (dalam
rangkaian ini, resistansi sumber Zo hanya berisi komponen nyata, yakni Ro).
Resistansi pengganti resistansi ladder yang tak berhingga tersebut dapat dicari dengan metode (lihat P9.13b)
0RRRRRR
RRRR 2
eq2eq
eq
eqeq =−−⇔
++= ...(1)
Apakah Anda melihat kemiripan metode pencarian resistansi pengganti pada
persamaan (1) dengan metode penjumlahan ........77777 +++++=x
yang dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan x7x += ). Bila hanya nilai resistansi positif yang diizinkan, maka akar persamaan kuadrat
dari persamaan (1) adalah ( ) R62,1512RR eq =+= .
Agar terjadi transfer daya maksimum, maka
Ω=Ω
=⇔Ω=⇔Ω== 82,37062,1
600R600R62,1600RR oeq
14. Sebuah beban Z di-supply oleh dua sumber energi seperti pada P9.14a.
Tentukan nilai Z yang akan menyerap daya rata-rata maksimum, dan tentukan daya rata-rata yang diserap oleh nilai Z tersebut.
Ω10
( )t10cos200 4
mH1
Z F10µ
π
+2
t10cos10 4
P9.14a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 228
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
Solusi
Cari terlebih dahulu rangkaian pengganti Thevenin yang dilihat oleh Z, yakni V = ZeqI + VOC. Transfer daya maksimum akan terjadi untuk eqZZ = Zeq = 10 – 10j dan ( )°−= 45t10cos2100)t(v 4
OC Jadi j1010Zeq +=Z =
Daya rata-rata yang diserap Z adalah W250Pav =
15. Untuk rangkaian yang ditunjukkan paad P9.15a, resistansi RL sama dengan
RG/2. a. Tentukan daya yang ditransfer ke RL bila terkoneksi langsung ke
generator. b. Untuk meningkatkan transfer daya, rangkaian kopling pada P9.15a
digunakan sebagai sebuah divais impedance matching. Tentukan hubungan L1, L2, dan L3 yang harus dipenuhi agar terjadi transfer daya maksimum.
c. Misalkan Anda mengganti two-port pada (b) dengan sebuah transformator ideal, tentukan perbandingan jumlah lilitan pada transformator untuk memaksimumkan transfer daya rata-rata maksimum.
Gv
GR
LR
GR
Gv LR
1L 2L
3L
LI
P9.15a P9.15b
Solusi a. Bila RL terkoneksi langsung ke generator, rangkaian tampak pada P9.15b.
LG
GL RR
VI+
= ...(1). Substitusi persamaan (1) dan syarat ke
persamaan daya rata-rata
2/RR GL =
L2Lav RI
21
=P menghasilkan
G
2G
2LG
2G
Lav R9V
)RR(V
.R.21P =
+=
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 229
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
b. Impedansi pengganti/ ekivalen yang dilihat oleh RL adalah (lihat P9.15c )
1L 2L
3L
GR
eqZ
Gv
GR
LR
eqZ
+
−
i
v
21 n:n
P9.15c P9.15d
( )[ ] ( )[ ]31G23L1LG2Leq Lj//LjRLjX//XRXZ ωω++ω=++=
1G3
2eq
LjR1
Lj1
1LjZ
ω++
ω
+ω=
Dari teorema transfer daya maksimum, bila beban RL adalah nyata, maka transfer daya maksimum terjadi bila RL = eqZ , jadi
[ ] 21
231
22G
232
2G
2231312
4
eqL )LL(R)LL(RLL)LL(L
ZR
+ω++ω+++ω
==
c. Bila two-port diganti dengan sebuah transformator ideal, rangkaian tampak
pada P9.15d.
Impedansi ekivalen yang dilihat oleh RL (lihat P9.15d) adalah
2
1
2Geq n
nRZiv
== (lihat kembali solusi pada pertanyaan 12 Bab 5)
Agar terjadi transfer daya maksimum, maka harus dipenuhi syarat
22
nn
2R
RnnRZR
1
2GL
2
1
2GeqL =⇔==
⇔=
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 230
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
16. Sebuah beban yang terdiri dari tiga buah impedansi identik Z = 10∠-45° Ω yang tersambung secara ∆ disambungkan ke sebuah sumber tiga fasa 220 V (P9.16a). Tentukan arus line Ia, Ib, dan Ic, dan arus yang melalui setiap impedansi Z.
Z
bI
aI
cI
ab
c
abI
bcI
caI
P9.16a
Solusi
Dengan mengambil Va-b sebagai referensi, yakni °=∠ − 0V ba , maka
°∠= 0220Vab dan A452245100220
ZVI ab
ab °∠=°−∠
°∠==
°−∠= 120220Vbc dan A75224510120220
ZVbc
bc °−∠=°−∠
°I −∠==
°−∠= 240220Vca dan A195224510240220
ZVI ca
ca °−∠=°−∠
°−∠==
KCL di titik a: A15322195224522III caaba °∠=°−°−°∠=−=
KCL di titik b: A10532245227522II abbcb °−∠=°∠−°−∠=−=I
KCL di titik c: A225322752219522III bccac °−∠=°−∠−°−∠=−=
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 231
http://rumah-belajar.org
Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
17. Tiga buah impedansi identik Z = 10∠45° Ω tersambung secara Y pada sebuah sumber tiga fasa 220 V ditunjukkan pada P9.17a. Tentukan tegangan fasa Van, Vbn, Vcn, dan arus line Ia, Ib, dan Ic. Tentukan pula daya total yang diberikan ke ketiga impedansi tersebut.
Z
c
ab
n
bI
aI
cI P9.17a Solusi
V303
220Van °−∠= dan I A757,12a °−∠= .
V1503
220Vbn −∠= dan A1957,12Ib °−∠= .
V2703
220Vcn °−∠= dan A3157,12Ic °−∠= .
Daya total adalah 3420 W.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 232
http://rumah-belajar.org