30

BAB III Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecil Berbasis

Peubah Respon Binomial 3.1. Pendahuluan

Peubah respon yij merupakan peubah respon biner yang diukur pada area

ke-i dimana yij bernilai 1 atau 0. Sebagai contoh yij adalah peubah yang

mengukur kemampuan baca tulis, maka yij =1 jika individu tertentu di area ke–i

bisa baca dan tulis dan yij =0 jika tidak bisa baca tulis. Jika peubah yij

diasumsikan memiliki sebaran Bernoulli dengan parameter pi, maka fungsi

massa peluang dari yij

)1()|( iyiiij pppyf ji −=

adalah:

(3.1)

atau ditulis )(| ~ i

ind

iij pBernoullipy , untuk j=1,2,.....ni

∑= j iji yy

; i=1,2,.....,m. Selanjutnya

didefinisikan , adalah jumlah kejadian yang menjadi perhatian di area

ke-i , maka yi

iii yni

yi

i

iii pp

yn

pyf −−

= )1()|(

memiliki sebaran Binomial dengan fungsi peluang:

(3.2)

atau ditulis: ),(~| ii

ind

ii pnBinomialpy . Dalam contoh kasus penelitian ini, yi

Parameter area kecil yang ingin diduga adalah proporsi area kecil,

adalah jumlah individu di area ke-i yang bisa membaca dan menulis.

ij ijii NyYp /∑== , dimana ∑= j iji yy merupakan statistik minimum cukup

dari pi

ip̂

. Jika penarikan contoh dilakukan dengan metode acak sederhana, maka

penduga proporsi di area ke-i yaitu , diturunkan melalui metode pendugaan

peluang maksimum (ML), yaitu iiij

iji nynyp //ˆ ==∑ . Penduga ML ini

merupakan pendugaan langsung melalui pendekatan klasik.

Melalui pendekatan Bayes, pendugaan parameter ip dapat dilakukan

secara langsung yaitu dengan tidak memanfaatkan informasi tambahan dari

31

peubah penyerta dan pendugaan tidak langsung yaitu menggunakan model

dengan memanfaatkan informasi dari peubah penyerta.

Pendugaan langsung melalui pendekatan Bayes adalah menganggap

parameter pi

Untuk pendugaan berbasis model, digunakan transformasi fungsi logit

terhadap p

merupakan peubah yang memiliki distribusi tertentu. Dalam

pendugaan Bayes terdapat dua jenis informasi yaitu informasi prior diperoleh dari

sebaran prior dan informasi dari hasil survai. Untuk peubah binomial, sebaran

prior yang digunakan adalah sebaran beta atau logit normal.

ij atau logit (pij

Clarke et al. (2006) mengembangkan metode SAE berdasarkan data biner

untuk menduga angka pengangguran di area kecil. Pendugaan angka

pengangguran didasarkan pada data pengangguran dari Labour Force Survey

(LFS) dan data administratif. Peubah penyerta yang digunakan adalah usia yang

dibagi ke dalam 3 kelompok (16-24 tahun, 25-49 tahun dan lebih dari 50 tahun),

dan jenis kelamin. Pendugaan parameter model diperoleh dengan menggunakan

pendugaan Kemungkinan Quasi Berpenalti (KQB) atau Penalized Quasi

Likelihood (PQL) untuk pendugaan β dan µ dan menggunakan Kemungkinan

Maksimum Berkendala (KMB) atau Restricted Maximum Likelihood (REML)

untuk menduga σ. Untuk membuktikan konsistensi penduga parameter β

dilakukan dengan cara meregresikan nilai β berdasarkan dua data yaitu dari

pemerintah lokal dan dari parlemen, membandingkan CV (Coefficient of

Variation) keduanya, dan membandingkan standard error masing-masing dengan

standard error dari pendugaan langsung. Diperoleh hasil bahwa metode yang

digunakan memiliki konsistensi terhadap penduga dan memberikan nilai SE lebih

baik dibandingkan dengan pendugaan langsung

). Beberapa peneliti yang telah mengembangkan

model pendugaan area kecil untuk data biner melalui pendekatan Bayes adalah

Malec et al. (1997) mengembangkan Model SAE untuk data biner yang

diaplikasikan pada data survei di bidang kesehatan berbasis kombinasi area dan

unit. Pendugaan parameter yang dilakukan oleh Malec et al. (1997) adalah

metode Bayes berhirarki yang dibandingkan dengan metode standar dan metode

Bayes Empirik.

Chandra et al. (2009) mengembangkan pendugaan area kecil untuk

proporsi dalam survai bisnis. Metode pendugaan parameter yang mereka

kembangkan adalah Empirical Best Predictor (EBP) dibawah model linier

campuran terampat dan Model-Based Direct Estimator (MBDE). Selanjutnya

32

Boostra et al. (2011) mengembangkan pendugaan area kecil untuk status

tenaga kerja di Australia. Model yang digunakan adalah model berbasis unit,

yang merupakan model linier campuran dengan pengaruh area (dalam hal ini

area adalah kota). Metode pendugaan parameter model menggunakan

Kemungkinan Maksimum (KM). Untuk memilih kovariat dalam model dilakukan

diagnostik secara grafis. Diperoleh bahwa model SAE menghasilkan KTG lebih

kecil dari metode pendugaan yang lain.

3.2. Metode Pendugaan Langsung Melalui Pendekatan Bayes.

Melalui pendekatan Bayes Rao (2003) menyatakan bahwa, metode

pendugaan langsung untuk parameter ip dapat dilakukan melalui dua alternatif

cara yaitu: 1) dengan mengasumsikan bahwa parameter pi

[ ])1/(log)(log iii pppit −=

merupakan peubah

yang memiliki sebaran beta dengan parameter α dan β dan 2) dengan

menggunakan fungsi logit atau probit )(1ip−Φ yang

diasumsikan memiliki sebaran normal. Untuk alternatif 1, sebaran beta untuk

parameter parameter ip merupakan sebaran prior, sedangkan untuk alternatif 2,

sebaran priornya adalah menggunakan sebaran normal.

3.2.1. Pendugaan Bayes Menggunakan Sebaran Prior Beta

Untuk alternatif 1, dimana pendugaan Bayes diturunkan dengan

menggunakan sebaran prior Beta, maka parameter pi

0,0);,(~ >> βαβαBetapiid

i

dianggap sebagai sebuah

peubah acak yang memiliki sebaran peluang Beta atau ditulis

. Beta (α,β) menyatakan sebaran Beta dengan

parameter α dan β dengan bentuk fungsi peluang:

.0,0;)1()()()(),|( 11 >>−

ΓΓ+Γ

= −− βαβαβαβα βα

iii pppf (3.3)

Pendugaan Bayes untuk parameter pi diperoleh dengan mencari nilai ekspektasi

dari sebaran posterior untuk pi yaitu dengan mencari sebaran marjinal dari

sebaran bersama dari (yi, pi

), yaitu:

.)1()()()()1(),( 11 −−− −

ΓΓ+Γ

−

= βα

βαβα

iiyn

iyi

i

iii ppxpp

yn

pyf iii (3.4)

33

Dari persamaan (3.4) maka diperoleh sebaran posterior pi

yang

merupakan sebaran bersayarat dari pi jika yi

.)(

),/,(),,/(i

iiii yf

pyfypf βαβα =

diketahui yaitu:

(3.5)

Sebaran posterior pi α+iy merupakan sebebaran Beta dengan parameter ( )

dan ( β+− ii yn ), atau ditulis:

).,(~,,| βαβα +−+ iii

ind

ii ynybetayp (3.6)

Penduga Bayes dari pi

βααβαβα++

+==

i

iii

Bi n

yypEp ),,|(),(ˆ

dan varians posteriornya diberikan oleh:

(3.7)

dan

.))(1(

))((),,|( 2βαβαβαβα+++++

+−+=

ii

iiiii nn

ynyypV (3.8)

Penduga Bayes Empirik untuk pi

α̂

diperoleh dengan menggantikan α dan

β dengan penduganya yaitu dan β̂ yang dapat diperoleh dengan dua cara

yaitu dengan menggunakan metode momen atau dengan memaksimumkan

fungsi kemungkinan dari sebaran posterior atau disebut sebagai metode KM

(Kemungkinan Maksimum), akan diperoleh nilai KMα̂ dan KMβ̂ .

Dengan menggunakan metode penduga momen, maka dugaan untuk α

dan β diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut:

βα

αˆˆ

ˆˆ+

=p dan [ ]∑ −−−−

−−−=

++ i TiT

pT

mnnnppmppsn

)1(/)ˆ1(ˆ)1)(ˆ1(ˆ

1ˆˆ1

2

2

βα (3.9)

dimana 22 )ˆˆ)(/( ppnns ii Tip −=∑ , .∑= i iT nn

Sedangkan menggunakan metode peluang maksimum, MLα̂ dan MLβ̂

diperoleh dengan memaksimumkan fungsi likelihood l(α,β) dari sebaran beta-

binomial BinomialBetayind

i −~,| βα :

)()()(

)()()(),(

1 βαβα

βαβαβα

ΓΓ+Γ

++Γ−+Γ+Γ

= ∏

=x

nyny

yn

li

iii

i

in

i

i

(3.10)

dimana fungsi sebarannya berbentuk:

34

.)()()(

)()()(),|(

βαβα

βαβαβα

ΓΓ+Γ

++Γ−+Γ+Γ

= x

nyny

yn

yfi

iii

i

ii

(3.11)

Rao (2003) menyatakan bahwa Fungsi (3.11) di atas dapat disederhanakan

menjadi:

∑

∑ ∑ ∑ ++−++++=

=

−

=

−−

=

−

=

m

i

y

h

yn

h

n

h

i ii ihhhcl

1

1

0

1

0

1

0)log()log()log(),( βαβαβα (3.12)

dimana ∑ +−

=

1

0)log(

iy

hhα akan sama dengan nol; jika yi ∑ +

−−

=

1

0)log(

ii yn

hhβ=0 dan sama

dengan nol jika yi=ni )/()( βααµ +==ijyE. dan )/(1 βατ += ,

)1/(1),( ++== βαρ ikij yyCorr untuk .kj ≠ Dengan menggunakan µ dan τmaka bentuk fungsi likelihoodnya menjadi:

.)1log()1log()log(),(1

0

1

0

1

01

+−+−+++= ∑ ∑ ∑∑

−

=

−−

=

−

==

i ii iy

h

yn

h

n

h

m

ihhhconstl ττµτµτµ

Selanjutnya penduga ML dapat diperoleh dengan metode Newton-Raphson

atau metode iteratif yang lain karena bentuk tertutup (closed –form) untuk MLα̂

dan MLβ̂ tidak ada.

Dengan menggantikan α dan β dengan α̂ dan β̂ ke dalam persamaan

(3.7) dan (3.8) diperoleh penduga Bayes Empirik dari pi

pppp iiiBi

EBi ˆ)ˆ1(ˆˆ)ˆ,ˆ(ˆˆ γγβα −+==

yaitu:

(3.13)

dimana ( )βαγ ˆˆ/ˆ ++= iii nn .

Penduga Bayes Empirik dari parameter piEBip̂ ( ) adalah rata-rata terbobot

dari penduga langsung p̂ . Jika ni

ip̂

membesar maka bobot yang diberikan

kepada akan lebih besar. Persamaan penduga tersebut di atas serupa

dengan penduga Fay-Heriot untuk model berbasis area. Penduga EBip̂

mendekati tidak bias untuk piEBip̂ jika m besar karena E( -pi) akan mendekati

nol.

35

Pendugaan KTG dapat dicari melalui metode Jackknife, yang

menghasilkan penduga )ˆ( EBipKTG yang mendekati tak bias. Penduga Jackknife

dari )ˆ( EBipKTG yaitu )ˆ( EB

ipktg diperoleh dengan cara menghitung :

[ ]∑ −−

−==

−−

m

liiilliiii ygyg

mmygM

11111 ),ˆ,ˆ(,ˆ,ˆ(1),ˆ,ˆ(ˆ βαβαβα

(3.14)

( )21

,2 ˆ1ˆ ∑ −−

==

−

m

l

EBi

EBlii pp

mmM (3.15)

dimana

)ˆ,ˆ,(ˆ σµiiEBi ykp =

)ˆ,ˆ,(ˆ , lliiEB

li ykp −−− = σµ

21)ˆˆ)(1ˆˆ(

)ˆ)(ˆ(),,|(),ˆ,ˆ(

βαβα

βαβασµ

+++++

+−+==

ii

iiiiiii

nnyny

ypVyg

dan ),ˆ,ˆ(1 illi yg −− σµ diperoleh dengan menggantikan µ dan σ̂ dengan

l−µ̂ dan l−σ̂ (diperoleh dengan menghilangkan area ke-l)

Penduga ML diperoleh dari { }miny ii ,.....,1),,( ≠

iiEBi MMpktg 21

ˆˆ)ˆ( += (3.16)

3.2.2. Pendekatan Bayes Menggunakan Sebaran Prior Logit-Normal.

Transformasi fungsi logit pi [ ])1/(log)(log iii pppit −= yaitu diasumsikan

memiliki sebaran normal ),( 2σµN , ditulis:

[ ] ).,(~)1/(log)(log 2σµNpppitiid

iii −= (3.17) Dengan mendefinisikan σµ /])([log −= ii pitz , maka zi

akan memiliki sebaran normal standar N (0,1) atau ditulis

)1,0(~/])([log Npitz ii σµ−= maka pi

.1

)(i

i

z

z

ii eezup σµ

σµ

σµ +

+

+=+=

dapat dinyatakan sebagai fungsi µ dan σ sebagai berikut:

(3.18)

Penduga Bayes untuk pi ),,|(),(ˆ σµσµ iiBi ypEp = adalah yang diperoleh

dari nilai ekspektasi pi dari sebaran posterior pi jika yi, µ dan σ diketahui.

36

lmplementasi dari penduga Bayes Empirik lebih kompleks untuk model logit

normal karena tidak ada bentuk analitik untuk penduga Bayes dan varians

posterior dari pi . Untuk model logit-normal, Rao (2003) mengatakan bahwa

penduga Bayes dari pi

)1,0(~ Nzi

dapat dinyatakan sebagai rasio dari integral berdimensi

satu atas sebagai berikut:

{ }[ ]

{ }[ ]),(exp),(exp)(),,/(),(ˆ

2

21

zyhEzyhzhEypEp

i

iii

Bi σµ

σµσµσµσµ+

++==

(3.19)

dimana

).1log()())(,(2z

iii enyzzyh σµσµσµ ++−+=+

Ragam posteriornya adalah ),,|( σµii ypV , yang dapat dianggap merupakan

fungsi dari ( iy,,σµ ) atau ditulis sebagai ),,(),,|( 1 iiii ygypV σµσµ = :

[ ] .,(ˆ),,|(),,|(22 σµσµσµ B

iiiii pypEypV −= (3.20)

Pendugaan terhadap µ dan σ diperoleh dengan memaksimumkan fungsi

Log likelihood, l(µ,σ), untuk model logit-normal yaitu:

{ }[ ][ ].),(explog),(1

2∑=

++=m

ii zyhEconstl σµσµ

(3.21)

Selanjutnya dengan menggunakan pendugaan ML diperoleh penduga EB

dari pi )ˆ,ˆ(ˆˆ σµBi

EBi pp = , dengan menggantikan µ̂ dan σ̂ .

Pendugaan KTG

Perhitungan )ˆ( EBiJ pmse menggunakan penduga ML cukup rumit,

sebaliknya menggunakan metode momen seperti yang dilakukan oleh Jiang

(1998) lebih mudah dilakukan, yaitu dengan menyamakan:

)]([ˆ 1 zhEnpny TTi i σµ +==∑

[ ])()1()( 21

2 zhEnnyyi

iiii

i σµ +

−=− ∑∑ .

Perhitungan )]([)( 1 zhEpE i σµ += dan )]([)( 21

2 zhEpE i σµ += dilakukan dengan

menggunakan integrasi Monte Carlo.

Penduga Jackknife dari )ˆ( EBipMSE yaitu )ˆ( EB

ipmse diperoleh dengan

menggantikan )ˆ,ˆ,(ˆ σµiiEBi ykp = dan )ˆ,ˆ,(ˆ , llii

EBli ykp −−− = σµ dalam persamaan

(3.14) dan (3.15).

37

3.3. Metode Pendugaan Tak Langsung Melalui Pendekatan Bayes.

Sesuai dengan prosedur yang dilakukan oleh Malec et al. (1997),

diasumsikan bahwa tiap individu dalam populasi dapat dimasukkan ke dalam

kelompok yang saling terpisah (mutually exclucive and exhoustive) berdasarkan

pada status sosial-ekonomi atau status demografi tertentu. Misalkan Yij

merupakan peubah acak biner untuk individu ke-j dalam area i dimana i=1,2.....I;

j=1,......,Ni maka Yij merupakan peubah acak bebas Bernoulli dengan (Yij =1|

pij)=pij

,)(log iTijij xpit υβ +=

. Model yang menghubungkan parameter dengan kovariatnya adalah

model regresi logistik dengan efek acak area sebagai berikut:

).,0(~ 2υσυ N

iid

i (3.22) Model di atas disebut sebagai model linier logistik campuran yang

merupakan anggota dari model linier campuran terampat. Peubah tak bebasnya

adalah logit (pij) dan peubah bebas adalah X. Selanjutnya xij

Untuk kasus pendugaan proporsi penduduk yang bisa baca tulis, maka

dugaan proporsi penduduk yang bisa baca tulis p

adalah vektor

kovariat tetap dan diasumsikan tidak tergantung pada i.

i adalah jumlahan dari jumlah

penduduk dalam percontohan yang bisa baca tulis dibagi dengan jumlah

percontohan di area ke-i dan penduga pi

*)1( iiiii yfyfp −+=

dari individu yang tidak bisa baca tulis

yang tidak terambil sebagi contoh. Secara matematis ditulis sebagai berikut:

(3.23)

dimana:

{ }misjxy iijij ,....,1;),,( =∈

si adalah percontohan berukuran ni is′ dari area ke-i dan adalah unit-

unit yang tidak diambil contohnya.

fi = ni/Ni

iy

,

adalah rata-rata contoh (proporsi)

)/('

*ii

slili nNyy

i

−∑=∈

adalah rata-rata dari unit-unit yang tidak diambil

contohnya dalam area i. Penduga Bayes dari *

iy diberikan oleh:

( )υσβ ,,|ˆ )()( iciB

ci ypEp = )/( iisl il nNpi

−∑= ′∈

38

dimana:

yi

adalah dari contoh dalam area ke i.

),,,|( υσβiililil ypyEp = untuk isl ′∈ .

Penduga Bayes dari *iy adalah ( )υσβ ,,|ˆ )()( ici

Bci ypEp = , sehingga penduga

Bayes dari pi

.ˆ)1(),(ˆˆ )(B

ciiiiBi

Bi pfyfpp −+== υσβ

dapat dinyatakan sebagai:

(3.24)

Sehingga:

∑

∑

∑

=

∑=

∈

∈

i

i

sjiij

Tiji

l sjiij

Tijiil

liil

Bci

zyyxhE

zyyxhpE

ypEp

βσ

βσ

σβ υ

,,,exp

,,,exp(

,,|ˆ )(

(3.25)

dimana

( )[ ]..exp1log)(,, ∑∑∑∈∈∈

++−+

=

iii sj

Tiji

sjij

Tij

sjij

Tiji zxyzyxzyxh σβσββσ

(3.26)

Rao (2003) mengatakan bahwa pendugaan parameter model β dan υσ

dapat dilakukan melalui berbagai cara, diantaranya algoritma EM, MCMC seperti

yang disarankan oleh Mc Coullagh dan Searle (2001) dan KQB. Selain itu untuk

mendapatkan dugaan β dan υσ juga dapat digunakan metode momen.

Dengan menggunakan KM ataupun metode momen maka akan diperoleh

β̂ dan υσ̂ sehingga dapat diperoleh BE untuk pi

)ˆ,ˆ(ˆ υσβBi

EBi pp =

(proporsi di area ke i) yaitu

. Jika fiBip̂ (sampling fraction) dapat diabaikan, maka dapat

diekspresikan sebagai:

.,,/1ˆ1

≈ ∑

=

iN

liil

i

Bi ypE

NP υσβ (3.27)

Ragam posterior Pi

,,,|,,/)1((

)ˆ()1(),,/(

2

2)(

*2

+

−=

−−=

∑∑′∈′∈

−

ii sliil

sliilili

Bciiiii

ypVyppEN

pyEfyPV

υυ

υ

σβσβ

σβ

tereduksi menjadi:

(3.28)

39

.,,,exp

,,,exp(,,|

2

2

=

∑

∑ ∑

∑

∈

∈

i

i

sjiij

Tiji

l sjiij

Tijiil

liil

zyyxhE

zyyxhpEypE

βσ

βσσβ υ (3.29)

Tidak ada bentuk analitik (closed form) untuk mendapatkan nilai ekspektasi

di atas sehingga perhitungan nilai ekspektasi dilakukan dengan metode numerik.

Pendugaaan )ˆ( EBipKTG dilakukan dengan metode Jackknife yaitu

dengan menggantikan )ˆ,ˆ,(ˆ σµiiEBi ykp = dan )ˆ,ˆ,(ˆ , llii

EBli ykp −−− = σµ dalam

persamaan (3.24) sampai dengan persamaan (3.29) sehingga diperoleh nilai

iM1ˆ dan iM 2

ˆ , sekaligus diperoleh nilai KTG yaitu iM1ˆ + iM 2

ˆ .

3.4. Aplikasi : Pendugaan Angka Melek Huruf di Tingkat Kecamatan, Kabupaten Sumenep Berbasis Data Susenas

Model SAE yang telah dibahas pada sub bab (3.2) dan (3.3) di atas

diaplikasikan pada pendugaan angka melek huruf di tingkat kecamatan disalah

satu Kabupaten di Jawa Timur yaitu Kabupaten Sumenep dan Kabupaten

Pasuruan Provinsi Jawa Timur. Data dasar yang digunakan adalah data Survei

Ekonomi Nasional (Susenas) yang dilakukan oleh BPS tahun 2010. Untuk

Kabupaten Sumenep, dari populasi sebesar 339.403 tangga diambil contoh

sebanyak 2307 rumah tangga dan rata-rata jumlah contoh di tiap kecamatan 86

rumah tangga.

Berdasarkan data Susenas Kabupaten Sumenep rata-rata proporsi yang

bisa baca dan tulis di tiap kecamatan sekitar 77.6%. Gambar 3.1 menunjukkan

bahwa terdapat dua kecamatan yang memiliki proporsi terendah yaitu kecamatan

Batuputih (39.5%) dan kecamatan Talango (58%), Angka melek huruf di

Kabupaten Pasuruan relatif lebih baik dibandingkan dengan Kabupaten

Sumenep, rata-rata proporsi yang bisa baca dan tulis di tiap kecamatan sekitar

90,07%. Di Kabupaten pasuruan terdapat tiga kecamatan yang memiliki proporsi

terendah yaitu kecamatan Puspo (75,5%), Lekok (75,5) dan kecamatan Nguling

(71%).

40

(a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan

Gambar 3.1. Proporsi Penduduk 10 tahun ke atas yang bisa baca tulis berdasarkan data

Susenas tahun 2010 di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Arj

asa

Sape

ken

Blut

oRa

'As

Kang

ayan

Man

ding

Gay

amG

ilige

nten

gKa

liang

etKo

ta S

umen

epPr

agaa

nN

ongg

unon

gD

asuk

Saro

nggi

Mas

alem

buBa

tuan

Gan

ding

Lent

eng

Ruba

ruA

mbu

nten

Gul

uk G

uluk

Paso

ngso

ngan

Dun

gkek

Bata

ng B

atan

gG

apur

aTa

lang

oBa

tupu

tih

Kecamatan

proporsi

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Purw

osar

i

Keja

yan

Bang

il

Gem

pol

Rejo

so

Won

orej

o

Pand

aan

Beji

Tosa

ri

Suko

rejo

Tutu

r

Prig

en

Gon

dang

Wet

an

Lum

bang

Purw

odad

i

Gra

ti

Krat

on

Win

onga

n

Pasr

epan

Rem

bang

Pusp

o

Leko

k

Ngu

ling

Pohj

entr

ek

Kecamatan

proporsi

40

3.4.1. Pendugaan Langsung

Penduga langsung untuk proporsi penduduk berusia 10 tahun ke atas dan

nilai KTG nya adalah sebagai berikut:

1) Menggunakan metode klasik dengan rumus .//ˆ iiij

iji nynyp == ∑

2) Menggunakan pendekatan Bayes dengan sebaran prior beta.

Pendugaan α dan β menggunakan metode momen, yaitu dengan

menghitung α̂ dan β̂ menggunakan persamaan (3.9), dimana:

2)ˆˆ)(/(2 pipi Tninps −∑= , ∑= i inTn

p̂ adalah proporsi penduduk yang bisa baca tulis dihitung dari contoh

ni

n

: ukuran contoh di kecamatan ke-i

T

Sedangkan penduga p

: jumlah contoh Susenas di Kabupaten Sumenep.

i

( )..ˆˆ/ˆ βαγ ++= iii nn

dihitung dengan menggunakan rumus (3.13)

dimana

Untuk pendugaan )ˆ( EBipKTG dilakukan dengan menggunakan

metode Jackknife, diperoleh dengan menggantikan )ˆ,ˆ,(ˆ σµiiEBi ykp =

dan )ˆ,ˆ,(ˆ , lliiEB

li ykp −−− = σµ dalam persamaan (3.14) Dan ),ˆ,ˆ(1 ii yg σµ dan

),ˆ,ˆ(1 illi yg −− σµ dalam persamaan (3.15) dimana:

21)ˆˆ)(1ˆˆ(

)ˆ)(ˆ(),,|(),ˆ,ˆ(

βαβα

βαβασµ

+++++

+−+==

ii

iiiiiii

nnyny

ypVyg

l−µ̂ dan l−σ̂ adalah dugaan dariµ dan σ yang dihitung dari data tanpa

kecamatan ke l.

Penduga )ˆ( EBipKTG adalah ii

EBij MMpktg 21

ˆˆ)ˆ( += diperoleh dari

persamaan (3.16).

3) Menggunakan fungsi logit(pi), maka penduga parameter pi

berikut:

menggunakan rumus pada persamaan (3.19). Selanjutnya integral

pembilang dan penyebut pada persamaan (3.19) dihitung dengan

langkah sebagai

1. Menghiitung penduga µ̂ dan σ̂ dari distribusi normal

[ ] ),(~)1/(log)(log 2σµNpppitiid

iii −=

41

µ̂ = rata-rata dari logit (pij

σ̂

)

= standard deviasi dari logit (pij

2. Membangkitkan z dari distribusi N(0,1) dengan mengambil n=500,

kemudian untuk tiap nilai z dari langkah ke dua, hitung:

)

Aa { }[ ]),(exp)( 21 zyhzhE i σµσµ ++ =

= { } 221 2/1exp

21),(exp)( aaia zxzyhzh −++π

σµσµ , a=1,...500

dimanai

i

z

z

i eezh σµ

σµ

σµ +

+

+=+

1)(1 dan

)1log()())(,(2z

iii enyzzyh σµσµσµ ++−+=+

Atau:

22/1

21)1log()exp(

1aa

a

azz

iiaz

z

a exenyzxe

eA −+

+

+

+−++

=π

σµ σµσµ

σµ

Sehingga:

{ }[ ] xzyhzhE i 500

1),(exp)( 21 =++ σµσµ ∑a A

3. Menghitung

a

+−+= + )1log()(exp az

iiaa enyzB σµσµ x22/1

21

aze−

π

{ }[ ] aa

i BzyhE ∑=+500

2 5001),(exp σµ

Penduga Bayes dihitung dengan mencari rasio dari hasil pada

langkah ke -2 dan ke-3 diatas

Nilai KTG dihitung dengan menggunakan metode Jacknife menggunakan

rumus (3.16) namun dengan menghitung varians (pi

[ ]221 ,(ˆ),,|(),,|(),ˆ,ˆ( σµσµσµσµ B

iiiiiii pypEypVyg −==

) melalui rumus:

dimana: )]([)( 1 zhEpE i σµ += dan )]([)( 21

2 zhEpE i σµ +=

)]([ˆ 1 zhEnpny TTi i σµ +==∑

[ ])()1()( 2

12 zhEnnyy

iiii

ii σµ +

∑ −=−∑

Dengan mengaplikasikan metode momen seperti yang telah dijelaskan

oleh persamaan (3.9), pendugaan parameter α dan β menggunakan sebaran

prior Beta adalah:

42

Kabupaten Sumenep: α̂ = 6.007941dan β̂ =1.735254.

Kabupaten Pasuruan: α̂ = 16,1824 dan β̂ =1,6204..

Selanjutnya dengan menggunakan sebaran prior logit-normal pendugaan

proporsi di area kecil (kecamatan) dilakukan dengan cara numerik menggunakan

persamaan (3.19) yaitu dengan membangkitkan nilai z dari sebaran N(0,1)

n=500. Hasil pendugaan parameter (pi

) dengan mengaplikasikan metode

pendugaan langsung ditunjukkan oleh Lampiran 8 dan Lampiran 9, secara

grafis ditunjukkan oleh Gambar 3.2. Dapat dilihat bahwa untuk pendugaan

langsung, metode KM memberikan hasil yang hampir sama dengan metode

Bayes yang menggunakan sebaran prior logit normal, demikian juga dengan

pendekatan menggunakan sebaran prior beta.

(a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan

Gambar 3.2.

Hasil Pendugaan angka melek huruf dengan menggunakan metode klasik dan Metode Bayes

Pada pendugaan proporsi dengan menggunakan sebaran prior logit

normal, sebaliknya untuk sebaran prior Beta, bobot untuk komponen contoh

pada iy yaitu ( )βαγ ˆˆ/ˆ ++= iii nn relatif besar yaitu sekitar 0.905 untuk

Kabupaten Sumenep dan 0,827 untuk kabupaten Pasuruan. Oleh karena itu

pendugaan Bayes secara langsung lebih dipengaruhi oleh komponen contoh

karena bobot untuk komponen populasi relatif kecil sehingga tidak memberikan

pengaruh yang berarti pada penduga Bayes.

Hasil dugaan KTG menggunakan metode Jackknife untuk pendugaan

langsung yang ditunjukkan oleh Gambar 3.3 memperlihatkan bahwa kedua

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20 25 30

Pendekatan Kalsik MLPendekatan Bayes Logit (pEB Logit)Pendekatan Bayes Beta (pEB Beta)

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0 5 10 15 20 25

Pendekatan Kalsik ML

Pendekatan Bayes Logit (pEB Logit)

Pendekatan Bayes Beta (pEB Beta)

43

metode pendugaan langsung kurang memberikan akurasi yang bagus karena

menghasilkan nilai MSE relatif tinggi dan kurang stabil.

(a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan

Gambar 3.3 Plot dari nilai dugaan KTG menggunakan sebaran prior Beta dan Logit-Normal

melalui metode pendugaan langsung

3.4.2. Pendugaan Tak Langsung

Melalui pendugaan tak langsung, angka melek huruf diduga melalui model

dengan peubah penyerta usia dan jenis kelamin. Peubah usia dibagai kedalam 5

katagori yaitu antara 10 -30 tahun, 30-40 tahun, 40-50 tahun, 50-60 tahun dan di

atas 60 tahun dan jenis kelamin dibedakan atas 2 katagori yaitu laki-laki dan

perempuan. Oleh karena itu setiap individu di area ke i dapat diklasifikasikan

kedalam k kelompok, k =1,2....10 yang merupakan kombinasi antara usia dan

jenis kelamin. Sedangkan peubah respon untuk model SAE adalah proporsi

penduduk berusia 10 tahun ke atas yang bisa baca tulis di kelompok ke k di area

ke i. Karena penarikan contoh dalam Susenas dilakukan dengan cara memilih

contoh blok sensus secara acak pada tahap pertama dan selanjutnya memilih

contoh keluarga dalam blok sensus yang terpilih pada tahap kedua, maka area

kecil yang dimaksud pada penelitian ini adalah blok sensus.

Gambar 3.4 yang menjelaskan hubungan antara kemampuan baca tulis

dengan usia dinyatakan dalam grafik, menunjukkan bahwa makin tinggi proporsi

usia, maka pendudukan yang bisa baca dan tulis semakin kecil. Terlihat bahwa

proporsi penduduk laki-laki yang bisa baca dan tulis cenderung lebih banyak

dibandingkan dengan penduduk perempuan. Berdasarkan uji korelasi dengan

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,01

0 5 10 15 20 25 30

KTG logit KTG beta

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

0,004

0,0045

0 5 10 15 20 25

KTG Logit KTG Beta

44

mengambil α=5% terbukti bahwa kemampuan baca tulis dipengaruhi oleh usia

dan jenis kelamin. Dengan demikian pendugaan tak langsung (berbasis model)

dapat dilakukan dengan memanfaatkan peubah jenis kelamin usia sebagai

peubah penyerta ke dalam model SAE.

(a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan

Gambar 3.4.

Hubungan kemampuan baca tulis dengan usia berdasarkan jenis kelamin di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan

Melalui pendugaan tak langsung yaitu dengan melalui model SAE,

pendugaan parameter model menggunakan metode KQB yang kemudian

digunakan untuk menduga *iy berdasarkan sebaran prior logit normal

menggunakan pendekatan Bayes Empirik (persamaan 3.25). Perhitungan nilai

harapan pembilang dan penyebut dari persamaan tersebut menggunakan

metode Montecarlo.

Hasil pendugaan parameter dan KTG menggunakan metode pendugaan

tak langsung untuk Kabupaten Sumenep dan kabupaten Pasuruan dapat dilihat

pada Lampiran 8 dan Lampiran 9. Dalam bentuk grafik dapat dilihat pada

Gambar 3.5 untuk Kabupaten Sumenep dan dan Gambar 3.6 untuk Kabupaten

Pasuruan.

Melalui pendekatan Bayes, berdasarkan pendugaan tak langsung, rata-

rata angka melek huruf kecamatan di Kabupaten Sumenep sebesar 0,827

dengan dugaan KTG sebesar 0,027. Kecamatan Batuputih yang memiliki angka

melek huruf terendah berdasarkan pendugaan langsung sebesar 0,510.

Sedangkan untuk Kabupaten Pasuruan, rata-rata angka melek huruf kecamatan

berdasarkan pendugaan langsung sebesar 0,927 dengan nilai KTG sebesar

0,995 0,965

0,853

0,721

0,573

0,9860,907

0,624

0,441

0,200

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

10-30 tahun

31-40 tahun

41-50 tahun

51-60 tahun

> 60 tahun

Laki-laki Perempuan

0,99 0,97 0,96

0,840,76

1,000,95

0,810,77

0,37

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

10-30 tahun

31-40 tahun

41-50 tahun

51-60 tahun

> 60 tahun

Laki-laki Perempuan

45

0,036. Kecamatan Nguling memiliki angka melek huruf terendah yaitu

berdasarkan pendugaan langsung sebesar 0,725 .

Gambar 3.5. Plot hasil dugaan angka melek huruf dan KTG di Kabupaten Sumenep

Gambar 3.6. Plot hasil dugaan paramater pi

Pasuruan (angka melek huruf) dan KTG di Kabupaten

3.5. Pembahasan

Pendugaan angka melek huruf (proporsi penduduk berusia 10 tahun ke

atas yang bisa baca tulis) seperti dijelaskan oleh Gambar 3.2 menunjukkan

bahwa metode pendugaan langsung melalui pendekatan Bayes Empirik

memberikan hasil yang hampir sama dengan metode pendugaan langsung

secara melalui pendekatan klasik. Hal ini disebabkan karena nilai dugaan α dan

β relative kecil dibandingkan dengan nilai n i iy sehingga bobot untuk yaitu

0,500

0,550

0,600

0,650

0,700

0,750

0,800

0,850

0,900

0,950

1,00010 30 50 70 80 10

0

120

140

160

180

200

220

240

250

Kecamatan

proporsi

Dugaan Angka Melek Huruf

0,00E+00

2,00E-02

4,00E-02

6,00E-02

8,00E-02

1,00E-01

1,20E-01

1,40E-01

10 30 50 70 80 100120140160180200220240250

Kecamatan

Dugaan KTG

KTG

0,700

0,750

0,800

0,850

0,900

0,950

1,000

10 30 50 70 90 110

130

150

170

190

210

230

Kecamatan

proporsi

Dugaan Angka Melek Huruf

0,00E+00

2,00E-02

4,00E-02

6,00E-02

8,00E-02

1,00E-01

1,20E-01

1,40E-01

1,60E-01

1,80E-01

10 30 50 70 90 110

130

150

170

190

210

230

Kecamatan

Dugaan KTG

KTG

46

( )βαγ ˆˆ/ˆ ++= iii nn sangat besar (sekitar 0.905). Demikian juga untuk pendugaan

Bayes Empirik dengan sebaran prior logit normal, bobot untuk komponen

populasi terlalu kecil sehingga sebaran prior tidak terlalu berpengaruh kepada

penduga Bayes.

Nilai pendugaan KTG pendugaan langsung cenderung rendah, baik untuk

pendugaan berbasis sebaran prior Beta maupun sebaran logit normal. Nilai KTG

untuk pendugaan angka melek huruf di kecamatan Batuputih jauh lebih tinggi

dibandingkan kecamatan yang lain karena nilai dugaan angka melek huruf di

Kecamatan Batuputih sangat rendah dibandingkan dengan kecamatan lainnya.

Tabel 3.2 menunjukkan rata-rata pendugaan angka melek huruf dan KTG

kecamatan di Kabupeten Sumenep dan kabupaten Pasuruan menggunakan

pendekatan Bayes.

Tabel 3.2. Rata-rata pendugaan angka melek huruf dan KTG kecamatan di Kabupeten Sumenep dan kabupaten Pasuruan menggunakan pendekatan Bayes

Metode

Kabupaten Sumenep Kabupaten Pasuruan

Rata-rata Kecamatan

Rata-rata KTG

Rata-rata Kecamatan

Rata-rata KTG

Pendugaan langsung

- Prior Beta 0,7789 0,0019 0,9034 0,0009

- Prior Logit-normal 0,7794 0,0026 0,9046 0,0012

Pendugaan Tak langsung (Model –logit normal) 0,827 0,027 0,927 0,036

Tabel 3.2 di atas menunjukkan bahwa pendugaan Bayes berbasis model

menunjukkan perbedaan yang cukup signifikan dengan metode tak langsung

baik melalui pendekatan klasik maupun Bayes.

Keberadaan peubah penyerta yaitu usia dan jenis kelamin sangat

berpengaruh pada penduga pi, karena bobot untuk komponen model lebih

dominan dibandingkan dengan bobot untuk komponen penduga langsung

disebabkan oleh kecilnya sampling fraction (f i=ni/Ni).