BAB III MODEL EXPONENTIAL GENERALIZED …a-research.upi.edu/operator/upload/s_mat_055889_chapter3.pdf · Hal ini dikarenakan bentuk persamaan dalam logaritma. Secara umum, proses

30

Julianto, 2012 Penerapan Model Egarch-M Dalam Peramalan Nilai Harga Saham Dan Pengukuran Value At Risk (VaR)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

BAB III

MODEL EXPONENTIAL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE

CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC IN MEAN (EGARCH-M)

3.1 Proses EGARCH

Exponential GARCH (EGARCH) diajukan Nelson pada tahun 1991 untuk

menutupi kelemahan model ARCH/GARCH dalam menangkap fenomona

ketidaksimetrisan good news dan bad news dalam volatilitas. Model

ARCH/GARCH mengasumsikan pengaruh good news dan bad news sama

terhadap volatilitasnya sehingga tidak dapat menangkap fenomena

ketidaksimetrisan.

Pada data return, nilai volatilitas akan tinggi ketika nilai error lebih kecil

dari nol dibandingkan ketika error lebih besar dari nol. Keadaan yang disebut

Leverage Effect ini ditangkap oleh model Exponential GARCH.

Untuk memperhitungkan efek asimetris antara good news dan bad news,

Nelson mempertimbangkan inovasi terboboti (weighted innovation):

𝑔 휀𝑡 = 𝜃휀𝑡 + 𝛾 휀𝑡 − 𝐸 휀𝑡 (3.1)

dengan 𝜃 dan 𝛾 adalah konstanta riil, 휀𝑡 dan 휀𝑡 − 𝐸 휀𝑡 adalah barisan

berdistribusi identik independen dengan rata-rata nol dan kontinu. Dengan

demikian, 𝐸 𝑔 휀𝑡 = 0 . Ketidaksimetrisan dari 𝑔 휀𝑡 dapat dilihat dengan

menuliskan persamaan 3.1 menjadi:

𝑔 휀𝑡 = 𝜃 + 𝛾 휀𝑡 − 𝛾𝐸 휀𝑡 , 휀𝑡 ≥ 0 𝜃 − 𝛾 휀𝑡 − 𝛾𝐸 휀𝑡 , 휀𝑡 < 0

31



Di samping dapat menangkap efek asimetris dari good news dan bad news,

model Exponential GARCH memiliki kelebihan lain dibandingkan model

ARCH/GARCH, yaitu parameter-parameter pada Exponential GARCH tidak

perlu dibatasi untuk menjamin variansi selalu positif. Hal ini dikarenakan bentuk

persamaan dalam logaritma. Secara umum, proses EGARCH dengan orde p dan q

atau EGARCH(p,q) didefinisikan sebagai proses 𝑎𝑡 yang memenuhi:

𝑦𝑡 = 𝑥𝑡′𝜇 + 𝑎𝑡

𝑎𝑡 = 𝜎𝑡휀𝑡

ln 𝜎𝑡2 = 𝜔 + 𝛽1 ln 𝜎𝑡−1

2 + ⋯ + 𝛽𝑞 ln 𝜎𝑡−𝑞2 + 𝛼1

𝑎𝑡−1

𝜎𝑡−1+ ⋯ + 𝛼𝑝

𝑎𝑡−𝑝

𝜎𝑡−𝑝+ 𝛾1

𝑎𝑡−1

𝜎𝑡−1

− 𝐸 𝑎𝑡−1

𝜎𝑡−1 + ⋯ + 𝛾𝑝

𝑎𝑡−𝑝

𝜎𝑡−𝑝 − 𝐸

𝑎𝑡−𝑝

𝜎𝑡−𝑝

ln 𝜎𝑡2 = 𝜔 + 𝛽𝑖 ln 𝜎𝑡−𝑖

2𝑞𝑖=1 + 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝𝑗 =1 + 𝛾𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 − 𝐸

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 𝑝

𝑗=1 (3.2)

𝑒ln 𝜎𝑡2

= 𝑒 𝜔+ 𝛽𝑖 ln 𝜎𝑡−𝑖


𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗


𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 −𝐸

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝𝑗=1

𝜎𝑡2 = 𝑒𝜔𝑒 ln 𝜎

𝑡−𝑖

2𝛽𝑖𝑞𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗


𝑎𝑡−𝑗


𝑎𝑡−𝑗


𝑗=1

𝜎𝑡2 = 𝑒𝜔 𝜎𝑡−𝑖

2𝛽𝑖 𝑒𝑥𝑝𝑝𝑗 =1

𝑞𝑖=1 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗+ 𝛾𝑗

𝑎𝑡−𝑗


𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 (3.3)

dengan 휀𝑡 ~ 𝑖𝑖𝑑 𝑁(0,1).

Karena pada model volatilitas EGARCH good news dan bad news memberikan

pengaruh yang berbeda terhadap volatilitas maka persamaan (3.3) dapat ditulis

kembali dalam bentuk:

𝜎𝑡2 =

𝑒𝜔 𝜎𝑡−𝑖

2𝛽𝑗 𝑒𝑥𝑝𝑝𝑗 =1

𝑞𝑖=1

𝛼𝑗 +𝛾𝑗

𝜎𝑡−𝑗𝑎𝑡−𝑗 − 𝛾𝑗 𝐸

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 , 𝑎𝑡−𝑗 ≥ 0

𝑒𝜔 𝜎𝑡−𝑖

2𝛽𝑗 𝑒𝑥𝑝𝑝𝑗 =1

𝑞𝑖=1

𝛼𝑗 −𝛾𝑗

𝜎𝑡−𝑗𝑎𝑡−𝑗 − 𝛾𝑗 𝐸

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 , 𝑎𝑡−𝑗 < 0

(3.4)

32



Karena 𝐸 𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 = 0 maka persamaan 3.2 dapat dituliskan menjadi:



𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗


𝑎𝑡−𝑗


𝑗=1 (3.5)

Persamaan (3.5) memiliki dua unsur yaitu magnitude effect 𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 yang

menunjukkan besarnya pengaruh volatilitas pada periode t-j terhadap varian saat

ini dan sign effect 𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 yang menunjukkan perbedaan pengaruh good news dan bad

news pada periode t-j terhadap varian saat ini.

Untuk model EGARCH yang paling sederhana atau EGARCH(1,1)

didefinisikan sebagai proses 𝑎𝑡 yang memenuhi:

𝑦𝑡 = 𝑥𝑡′𝜇 + 𝑎𝑡



2 + 𝛼1𝑎𝑡−1

𝜎𝑡−1+ 𝛾1

𝑎𝑡−1

𝜎𝑡−1 (3.6)

3.2 Proses EGARCH-M

EGARCH in mean (EGARCH-M) juga dikembangkan oleh Nelson pada

tahun 1991. Sama halnya seperti kelebihan model GARCH-M terhadap GARCH,

kelebihan model EGARCH-M terhadap EGARCH juga terletak pada risiko yang

berpengaruh terhadap tingkat pengembaliannya. Secara umum, proses

EGARCH(p,q)-M didefinisikan sebagai proses 𝑎𝑡 yang memenuhi:

𝑦𝑡 = 𝑥𝑡′𝜇 + 𝜆𝜎𝑡 + 𝑎𝑡




𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗


𝑎𝑡−𝑗


𝑗=1

33



dimana parameter 𝜆 dinamakan parameter premium risk.

Untuk model EGARCH-M yang paling sederhana atau EGARCH(1,1)-M

didefinisikan sebagai proses 𝑎𝑡 yang memenuhi:




2 + 𝛼1𝑎𝑡−1

𝜎𝑡−𝑗+ 𝛾1

𝑎𝑡−1

𝜎𝑡−𝑗

3.3 Uji Efek Asimetris

Untuk menggunakan model EGARCH-M diperlukan asumsi bahwa data

residual yang diuji harus memiliki efek asimetris. Engle dan Ng (1993)

mengusulkan suatu uji efek asimetris yang disebut sign and size bias tests untuk

menentukan apakah model asimetris dibutuhkan atau model GARCH-M sudah

cukup memadai. Untuk memeriksa pengaruh efek asimetris, data runtun waktu

terlebih dahulu harus dimodelkan ke dalam model GARCH-M dan diambil

residual datanya. Kemudian lakukan uji efek asimetris berdasarkan persamaan

regresi berikut:

𝑎 𝑡2 = 𝜑0 + 𝜑1𝑆𝑡−1

− + 𝜑2𝑆𝑡−1− 𝑎 𝑡−1 + 𝜑3𝑆𝑡−1

+ 𝑎 𝑡−1 + 𝑢𝑡 (3.7)

𝑆𝑡−1+ = 1 − 𝑆𝑡−1

−

dengan:

𝑆𝑡−1− : Variabel dummy yang bernilai satu jika 𝑎 𝑡−1 < 0 dan nol untuk yang

lainnya.

𝜑1: Parameter sign bias (efek positif atau negatif).

𝜑2: Parameter size bias (besar efek negatif).

34



𝜑3: Parameter size bias (besar efek positif).

dengan hipotesis yang diuji adalah:

𝐻0 : 𝜑1 = 𝜑2 = 𝜑3 = 0 (residual bersifat simetris).

𝐻1 : Paling tidak ada satu tanda ”=” tidak berlaku (residual bersifat

asimetris).

dengan kriteria pengujian dengan menggunakan software Eviews adalah Tolak 𝐻0

jika 𝑃𝑟𝑜𝑏 < 𝛼.

Uji efek asimetris yang lainnya diusulkan oleh Enders (2004) dengan

melihat korelasi antara kuadrat standar residual 𝑎𝑡2 dengan lag standar residual

𝑎𝑡−𝑘 menggunakan estimasi dari regresi berikut:

𝑎𝑡2 = 𝛼0 + 𝛼1𝑎𝑡−1 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑎𝑡−𝑘 (3.8)

Hipotesis yang diuji adalah:

𝐻0 : 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑘 = 0 (residual bersifat simetris).

𝐻1 : Paling tidak ada satu tanda ”=” tidak berlaku (residual bersifat

asimetris).

dengan kriteria pengujian adalah Tolak 𝐻0 jika korelasi ≠ 0 atau dengan

menggunakan software Eviews, tolak 𝐻0 jika Prob(F-Stat) < 𝛼.

3.4 Pembentukan Model

Sebelum data runtun waktu dimodelkan (dalam hal ini harga saham)

dengan model EGARCH-M, terlebih dahulu harus dilakukan beberapa langkah

pembentukan model. Langkah-langkah dalam pembentukan model dapat

digambarkan dengan bagan sebagai berikut:

35



Gambar 3.1 Bagan Tahap Pembentukan Model EGARCH-M

3.5 Identifikasi Model

Untuk menentukan identifikasi model dari data runtun waktu

homoskedatis, dapat dilakukan dengan menggunakan fak dan fakp, tetapi dalam

model volatilitas EGARCH-M belum terdapat kriteria untuk mengidentifikasi

Uji Efek

Heteroskedatisitas

Uji Efek

Asimetris

Harga Saham

TIDAK

YA TIDAK

YA

Peramalan

Perhitungan return harga saham

Pembentukan Model EGARCH-M

1. Identifikasi Model

2. Estimasi Parameter

3. Verifikasi Model

Pembentukan model GARCH-M

1. Identifikasi Model

2. Estimasi Parameter

3. Verifikasi Model

Uji Stasioneritas

Pembentukan Model ARMA

36



model tersebut. Oleh karena itu, pada skripsi ini digunakan beberapa model

EGARCH-M sederhana yaitu, model EGARCH(1,1)-M, EGARCH(1,2)-M,

EGARCH(2,1)-M, dan EGARCH(2,2)-M.

3.6 Estimasi Parameter

Tahap selanjutnya setelah mengidentifikasi model yaitu mengestimasi

parameter. Parameter-parameter yang akan diestimasi adalah 𝜇, 𝜆, 𝜔, 𝛽, 𝛼, dan 𝛾.

Parameter tersebut akan diestimasi dengan menggunakan metode Maximum

Likelihood Estimation (MLE) dan dilanjutkan dengan metode iteratif seperti

algoritma Newton-Rhapson, Method of Scoring, atau Iterasi Berndt, Hall, Hall &

Hausman (BHHH).

Diketahui proses EGARCH(p,q)-M:





𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗


𝑎𝑡−𝑗


𝑗=1

Misalkan fkp dari observasi data 𝑧𝑡 dinotasikan dengan 𝑓 𝑧𝑡 dan 𝜓 = 𝜇, 𝜆, 𝛿 ′

adalah suatu vektor dari semua parameter yang tidak diketahui dengan 𝛿 ′ =

𝜔, 𝛽1, … , 𝛽𝑖 , 𝛼1, … , 𝛼𝑗 , 𝛾1, … , 𝛾𝑗 serta 𝑣𝑡′ = 1, ln 𝜎𝑡−1

2 , … , ln 𝜎𝑡−𝑖2 ,

𝑎𝑡−1

𝜎𝑡−𝑗, … ,

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗,

𝑎𝑡−1

𝜎𝑡−𝑗 , … ,

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 . Model EGARCH(p,q)-M dapat dituliskan kembali menjadi:

𝑎𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑥𝑡′𝜇 − 𝜆𝜎𝑡



𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗


𝑎𝑡−𝑗


𝑗=1

37



ln 𝜎𝑡2 = 𝑣𝑡

′ 𝛿

Dengan mengasumsikan 𝑎𝑡 berditribusi normal, maka fungsi likelihoodnya

adalah:

𝐿 𝜓, 𝜎2 𝑦, 𝑥𝑡′ = 2𝜋𝜎𝑡

2 −𝑁2 𝑒𝑥𝑝 −

1

2

𝑦𝑡 − 𝑥𝑡′𝜇 − 𝜆𝜎𝑡

2

𝜎𝑡2

𝑁

𝑡=1

Kemudian fungsi log likelihoodnya adalah:

ln 𝐿 𝜓 = 𝐿 = −1

2 ln 2𝜋 + ln 𝜎𝑡

2 − 𝑦𝑡 − 𝑥𝑡

′𝜇 − 𝜆𝜎𝑡

𝜎𝑡

2

𝑁

𝑡=1

dengan ln 𝐿 𝜓 = 𝐿 dimaksudkan untuk penyederhanaan penulisan. Kemudian

dengan menggunakan 𝑎𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑥𝑡′𝜇 − 𝜆𝜎𝑡 , maka persamaannya menjadi:

𝐿 = −1

2 ln 2𝜋 + ln 𝜎𝑡

2 − 𝑎𝑡

𝜎𝑡

2

𝑁

𝑡=1

Kemudian, turunkan fungsi log likelihood terhadap 𝜓 sehingga diperoleh:

𝜕𝐿

𝜕𝜓= −

1

2

𝜕

𝜕𝜓 ln 2𝜋 + ln 𝜎𝑡

2 − 𝑎𝑡

𝜎𝑡

2

𝑁

𝑡=1

= −1

2

1

𝜎𝑡2

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝜓+

2𝑎𝑡𝜕𝑎𝑡

𝜕𝜓𝜎𝑡

2 − 𝑎𝑡2 𝜕𝜎𝑡

2

𝜕𝜓

𝜎𝑡4

= −1

2𝜎𝑡2

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝜓−

𝑎𝑡

𝜎𝑡2

𝜕𝑎𝑡

𝜕𝜓+

𝑎𝑡2

2𝜎𝑡4

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝜓

= −𝑎𝑡

𝜎𝑡2

𝜕𝑎𝑡

𝜕𝜓−

1

2

1

𝜎𝑡4 (𝜎𝑡

2 − 𝑎𝑡2)

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝜓

38



Penyelesaian tahap akhir yang diinginkan adalah memperoleh 𝜕𝜎𝑡

2

𝜕𝜓. Untuk

memperoleh 𝜕𝜎𝑡

2

𝜕𝜓, ada beberapa tahapan yang harus dilakukan, yaitu:

1) Tahap pertama, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝜇

Pandang persamaan rata-rata pada EGARCH-M yaitu:


𝑦𝑡 − 𝑥𝑡′𝜇 − 𝜆𝜎𝑡 = 𝑎𝑡

𝜕

𝜕𝜇 𝑦𝑡 − 𝑥𝑡

′𝜇 − 𝜆𝜎𝑡 =𝜕𝑎𝑡

𝜕𝜇

−𝑥𝑡′ − 𝜆

𝜕𝜎𝑡

𝜕𝜇=

𝜕𝑎𝑡

𝜕𝜇 (3.9)

Substitusikan 𝑎𝑡 = 𝜎𝑡휀𝑡 ke dalam persamaan rata-rata sehingga diperoleh:

𝑦𝑡 = 𝑥𝑡′𝜇 + 𝜆𝜎𝑡 + 𝜎𝑡휀𝑡

𝑦𝑡 − 𝑥𝑡′𝜇 = 𝜆 + 휀𝑡 𝜎𝑡

𝑦𝑡 − 𝑥𝑡′𝜇

𝜆 + 휀𝑡= 𝜎𝑡

𝜕

𝜕𝜇 𝑦𝑡 − 𝑥𝑡

′𝜇

𝜆 + 휀𝑡 =

𝜕𝜎𝑡

𝜕𝜇

−𝑥𝑡′

𝜆+휀𝑡=

𝜕𝜎𝑡

𝜕𝜇 (3.10)

Persamaan (3.9) dan (3.10) akan digunakan dalam penurunan model

EGARCH-M terhadap 𝜇, yaitu:

𝜕 ln 𝜎𝑡2

𝜕𝜇=

𝜕

𝜕𝜇 𝜔 + 𝛽𝑖 ln 𝜎𝑡−𝑖

2

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

+ 𝛾𝑗 𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

39



1

𝜎𝑡2

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝜇=

𝜕𝜔

𝜕𝜇+

𝜕

𝜕𝜇 𝛽𝑖 ln 𝜎𝑡−𝑖

2

𝑞

𝑖=1

+𝜕

𝜕𝜇 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

+𝜕

𝜕𝜇 𝛾𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

1

𝜎𝑡2

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝜇= 0 + 𝛽𝑖

1

𝜎𝑡−𝑖2

𝜕𝜎𝑡−𝑖2

𝜕𝜇

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝜕𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝜇𝜎𝑡−𝑗 − 𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝜎𝑡−𝑗

𝜕𝜇

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗=1

+

𝛾𝑗

𝜕 𝑎𝑡−𝑗 𝜕𝜇

𝜎𝑡−𝑗 − 𝑎𝑡−𝑗 𝜕 𝜎𝑡−𝑗

𝜕𝜇

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝜇= 𝜎𝑡

2

𝛽𝑖

1

𝜎𝑡−𝑖2

−𝑥𝑡−𝑖′

𝜆 + 휀𝑡−𝑖

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

−𝑥𝑡−𝑗′ 휀𝑡−𝑗

𝜆 + 휀𝑡−𝑗𝜎𝑡−𝑗 + 𝑎𝑡−𝑗

𝑥𝑡−𝑗′

𝜆 + 휀𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗=1

+

𝛾𝑗

𝑥𝑡−𝑗′ 휀𝑡−𝑗

𝜆 + 휀𝑡−𝑗 𝜎𝑡−𝑗 − 𝑎𝑡−𝑗

𝑥𝑡−𝑗′

𝜆 + 휀𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗 =1

= 0

2) Tahap kedua, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝜆

𝜕 ln 𝜎𝑡2

𝜕𝜆=

𝜕

𝜕𝜆 𝜔 + 𝛽𝑖 ln 𝜎𝑡−𝑖

2

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1


𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝜆= 𝜎𝑡

2

𝛽𝑖

1

𝜎𝑡−𝑖2

𝑥𝑡−𝑖′ 𝜇 − 𝑦𝑡−𝑖

𝜆 + 휀𝑡−𝑖 2

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

− 𝜎𝑡−𝑗 2

− 𝑎𝑡−𝑗

𝑥𝑡−𝑗′ 𝜇 − 𝑦𝑡−𝑗

𝜆 + 휀𝑡−𝑗 2

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗 =1

+

𝛾𝑗

𝜕 𝑎𝑡−𝑗 𝜕𝜆


𝜕𝜆𝜎𝑡−𝑗

2

𝑝

𝑗 =1

= 0

40



3) Tahap ketiga, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝜔

𝜕 ln 𝜎𝑡2

𝜕𝜔=

𝜕

𝜕𝜔 𝜔 + 𝛽𝑖 ln 𝜎𝑡−𝑖

2

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1


𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝜔= 𝜎𝑡

2 1 + 𝛽𝑖

1

𝜎𝑡−𝑖2


𝜕𝜔

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝜕𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝜔𝜎𝑡−𝑗 − 𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝜎𝑡−𝑗

𝜕𝜔𝜎𝑡−𝑗

2

𝑝

𝑗 =1

+

𝛾𝑗

𝜕 𝑎𝑡−𝑗 𝜕𝜔


𝜕𝜔𝜎𝑡−𝑗

2

𝑝

𝑗 =1

= 0

4) Tahap keempat, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝛽𝑖

𝜕 ln 𝜎𝑡2

𝜕𝛽𝑖=

𝜕

𝜕𝛽𝑖 𝜔 + 𝛽𝑖 ln 𝜎𝑡−𝑖

2

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1


𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝛽𝑖= 𝜎𝑡

2 ln 𝜎𝑡−𝑖2 + 𝛽𝑖

1

𝜎𝑡−𝑖2


𝜕𝛽𝑖

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝜕𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝛽𝑖𝜎𝑡−𝑗 − 𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝜎𝑡−𝑗

𝜕𝛽𝑖

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗=1

+

𝛾𝑗

𝜕 𝑎𝑡−𝑗 𝜕𝛽𝑖


𝜕𝛽𝑖

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗 =1

= 0

5) Tahap kelima, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝛼𝑗

𝜕 ln 𝜎𝑡2

𝜕𝛼𝑗=

𝜕

𝜕𝛼𝑗 𝜔 + 𝛽𝑖 ln 𝜎𝑡−𝑖

2

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1


𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗=1

41



𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝛼𝑗= 𝜎𝑡

2

𝛽𝑖

1

𝜎𝑡−𝑖2


𝜕𝛼𝑗

𝑞

𝑖=1

+ 𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗+ 𝛼𝑗

𝜕𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝛼𝑗𝜎𝑡−𝑗 − 𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝜎𝑡−𝑗

𝜕𝛼𝑗

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗 =1

+

𝛾𝑗

𝜕 𝑎𝑡−𝑗 𝜕𝛼𝑗


𝜕𝛼𝑗

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗 =1

= 0

6) Tahap pertama, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝛾𝑗

𝜕 ln 𝜎𝑡2

𝜕𝛾𝑗=

𝜕

𝜕𝛾𝑗 𝜔 + 𝛽𝑖 ln 𝜎𝑡−𝑖

2

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1


𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎𝑡2

𝜕𝛾𝑗= 𝜎𝑡

2

1 + 𝛽𝑖

1

𝜎𝑡−𝑖2


𝜕𝛾𝑗

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼𝑗

𝜕𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝛾𝑗𝜎𝑡−𝑗 − 𝑎𝑡−𝑗

𝜕𝜎𝑡−𝑗

𝜕𝛾𝑗

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗=1

+

𝑎𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 + 𝛾𝑗

𝜕 𝑎𝑡−𝑗 𝜕𝛾𝑗


𝜕𝛾𝑗

𝜎𝑡−𝑗2

𝑝

𝑗 =1

= 0

Untuk menemukan pendekatan estimasi parameter maka digunakan

metode iteratif. Algoritma optimisasi untuk iterasi dimulai dari suatu nilai awal,

misalkan 𝜓0 . Kemudian 𝜓0 digunakan untuk mencari 𝜓1 . Proses iteratif

dilakukan sampai diperoleh 𝜓𝑛 = 𝜓𝑛+1 . Ada tiga metode iteratif yang dapat

digunakan, yaitu:

42



3.6.1 Metode Newton-Raphson

Pada iterasi ini fungsi objektif 𝐿 diaproksimasi dengan deret Taylor orde

kedua di sekitar nilai awal 𝜓0, yaitu:

𝐿 = 𝐿 𝜓0+ 𝜕𝐿

𝜕𝜓 ′ 𝜓0

(𝜓 − 𝜓0) +1

2(𝜓 − 𝜓0)′ 𝜕2𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓 ′ 𝜓0

(𝜓 − 𝜓0) (3.11)

Untuk memperoleh kondisi optimum, persamaan (3.11) diturunkan

terhadap parameter 𝜓 dengan operasi sebagai berikut:

𝜕𝐿

𝜕𝜓=

𝜕𝐿

𝜕𝜓 ′ 𝜓0

+ 𝜕2𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓 ′ 𝜓0

𝜓 − 𝜓0 = 0 (3.12)

Berdasarkan persamaan (3.11) dan (3.12) secara implisit dapat ditaksir 𝜓1, yaitu:

𝜕𝐿

𝜕𝜓=

𝜕𝐿

𝜕𝜓′ 𝜓0

+ 𝜕2𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓′ 𝜓0

𝜓1 − 𝜓0 = 0

𝜓1 = 𝜓0 − 𝜕2𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓′ 𝜓0

−1

𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓0

Sehingga bentuk umumnya menjadi:

𝜓𝑛+1 = 𝜓𝑛 − 𝜕2𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓 ′ 𝜓𝑛

−1

𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓𝑛

(3.13)

atau

𝜓𝑛+1 = 𝜓𝑛 − 𝑃𝑛 𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓𝑛

(3.14)

dengan:

𝑃𝑛 = 𝜕2𝐿


−1

Iterasi ini dikatakan konveregen jika 𝜓𝑛+1 = 𝜓𝑛

43



3.6.2 Method of Scoring

Pada iterasi Newton-Raphson, algoritma iterasi 𝑃𝑛 dinyatakan dengan

𝜕2𝐿


sedangkan pada Method of Scoring, algoritma iterasi 𝑃𝑛 menggunakan

nilai ekspektasinya sehingga algoritmanya dinyatakan sebagai berikut:

𝜓𝑛+1 = 𝜓𝑛 + 𝐸 𝜕2𝐿


−1

𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓𝑛

(3.15)

atau

𝜓𝑛+1 = 𝜓𝑛 + 𝑃𝑛 𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓𝑛

(3.16)

dengan:

𝑃𝑛 = − 𝐸 𝜕2𝐿


−1

3.6.3 Iterasi Berndt, Hall, Hall & Hausman (BHHH)

Metode ini mengeksploitasi algoritma iterasi method of scoring. Bagian

yang dieksploitasi adalah 𝑃𝑛 dari method of scoring menjadi bentuk:

𝑃𝑛 = − 𝐸 𝜕2(𝐿1 + 𝐿2 + ⋯ + 𝐿𝑁)

𝜕𝜓𝜕𝜓′ 𝜓𝑛

−1

= − 𝐸 𝜕2 𝐿𝑡

𝑁𝑡=1


−1

= − 𝐸 𝜕2𝐿𝑡

𝜕𝜓𝜕𝜓′

𝑁

𝑡=1

𝜓𝑛

−1

44



= − 𝐸 𝜕2𝐿𝑡


𝑁

𝑡=1

−1

= − 𝑁𝐸 𝜕2𝐿𝑡


−1

= −𝑁1

𝑁

𝜕2𝐿𝑡

𝜕𝜓𝜕𝜓′

𝑁

𝑡=1

𝜓𝑛

−1

Akhirnya diperoleh:

𝑃𝑛 = − 𝜕2𝐿𝑡

𝜕𝜓𝜕𝜓′

𝑁

𝑡=1

𝜓𝑛

−1

= − 𝜕𝐿𝑡

𝜕𝜓

𝜕𝐿𝑡

𝜕𝜓′

𝑁

𝑡=1

𝜓𝑛

−1

Bentuk umum dari iterasi BHHH dinyatakan dengan menggunakan

algoritma iterasi sebagai berikut:

𝜓𝑛+1 = 𝜓𝑛 + − 𝜕𝐿𝑡

𝜕𝜓

𝜕𝐿𝑡

𝜕𝜓 ′𝑁𝑡=1

𝜓𝑛

−1

𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓𝑛

(3.17)

Dari ketiga metode iteratif yang ada, metode yang digunakan untuk

menemukan estimasi parameter dalam skripsi ini adalah metode Iterasi Berndt,

Hall, Hall & Hausman (BHHH). Untuk selanjutnya perhitungan estimasi

parameter akan dilakukan dengan bantuan software EViews.

45



3.7 Verifikasi Model

Verifikasi model dilakukan untuk menentukan model mana yang

merupakan model terbaik, yang selanjutnya akan digunakan untuk melakukan

peramalan. Ada dua pengujian yang akan digunakan pada tahap verifikasi.

3.7.1 Pengujian Berdasarkan Keberartian Koefisien

Langkah pengujian keberartian koefisien pada model volatilitas tidak

berbeda dengan pengujian pada model runtun waktu yang bersifat homoskedastis,

yaitu dengan merumuskan hipotesis:

𝐻0 : Koefisien tidak berpengaruh secara signifikan terhadap model.

𝐻1 : Koefisien berpengaruh secara signifikan terhadap model.

Dengan software Eviews 6.0 digunakan kriteria pengujian yaitu tolak 𝐻0

jika nilai probabilitas < 𝛼.

3.7.2 Kriteria Informasi (Information Criteria)

Untuk mendapatkan model yang terbaik, dipilih model dengan nilai

Information Criteria yang terkecil. Information Criteria telah digunakan secara

luas dalam analisis data runtun waktu untuk menentukan panjang lag yang paling

cocok untuk diaplikasikan dalam suatu model. Ada dua jenis Information Criteria

yaitu Aikake Information Criterion (AIC) dan Schwarz Criterion (SC). Nilai AIC

dan SC didefinisikan sebagai berikut:

𝐴𝐼𝐶 = −2 𝑙

𝑁 +

2𝑘

𝑁 (3.18)

𝑆𝐶 = −2 𝑙

𝑁 +

𝑘 ln 𝑁

𝑁 (3.19)

dengan:

46



𝑙 = −1

2 𝑁 𝑙𝑛2𝜋 + 𝑙𝑛𝜎𝑡

2 − 𝑎𝑡

𝜎𝑡

2𝑁𝑡=1

𝑁𝑡=1 .

𝑘 ∶ banyaknya parameter.

𝑁 ∶ banyaknya observasi.

3.8 Peramalan

Peramalan merupakan tujuan utama yang akan dicapai, ini merupakan

langkah terakhir dari proses tersebut. Selanjutnya, model yang paling

sesuai/terbaik yang telah diperoleh pada tahap pembentukan model akan

digunakan dalam peramalan untuk beberapa periode ke depan. Hal ini berarti,

berdasarkan model yang paling sesuai inilah akan ditentukan distribusi bersyarat

observasi yang akan datang berdasarkan pola data masa lalu.

3.9 Value at Risk (VaR)

Salah satu aspek penting dalam analisis risiko adalah perhitungan Value at

Risk. Value at Risk (VaR) merupakan suatu metode yang cukup baik dan banyak

digunakan untuk mengukur risiko. Ada beberapa definisi formal umum VaR.

Menurut Philip Best (1998:10) Value at Risk (VaR) didefinisikan sebagai

berikut:

“the maximum amount of money that may be lost on a portfolio over a

given period of time, with a given level of confidence”

sedangkan menurut J.P. Morgan (1996:6) Value at Risk (VaR) didefinisikan

sebagai:

47



“a measure of the maximum potential change in value of a portfolio of

financial instruments with a given probability over a pre-set horizon.”

Berdasarkan definisi di atas, Value at Risk (VaR) dapat diartikan sebagai

estimasi kerugian maksimum yang mungkin dialami dalam rentang waktu/periode

tertentu dengan tingkat kepercayaan tertentu (a given level of confidence).

Pada dasarnya konsep dalam VaR sudah ada sejak lama, yang baru adalah

aplikasi sistematis dari VaR untuk berbagai bentuk risiko finansial. Secara

sederhana VaR ingin menjawab pertanyaan “seberapa besar (dalam persen atau

sejumlah uang tertentu) investor dapat merugi selama waktu investasi T dengan

tingkat kepercayaan sebesar 1 − 𝛼 .” Ada dua metode yang digunakan untuk

mengukur nilai Value at Risk (VaR). Pertama, metode parametrik yang mencakup

metode varian-kovarian dan GARCH. Kedua, metode non-parametrik yang

mencakup simulasi historical dan pendekatan Monte Carlo.

Dalam istilah teori peluang, VaR dengan tingkat kepercayaan 1 − 𝛼

dinyatakan sebagai bentuk quantile ke-𝛼 dari distribusi return. VaR dapat

ditentukan melalui fungsi kepadatan peluang dari nilai return di masa depan 𝑓(𝑅)

dengan R adalah tingkat pengembalian (return). Pada tingkat kepercayaan

1 − 𝛼 , akan ditentukan nilai kemungkinan terburuk 𝑅∗ , sehingga peluang

munculnya nilai return melebihi 𝑅∗ adalah 1 − 𝛼 .

1 − 𝛼 = 𝑓 𝑅 𝑑𝑅

∞

𝑅∗

Sedangkan peluang munculnya suatu nilai return kurang dari sama dengan 𝑅∗,

𝑝 = 𝑃 𝑅 ≤ 𝑅∗ adalah 𝛼.

48



𝛼 = 𝑓 𝑅 𝑑𝑅

𝑅∗

−∞

= 𝑃 𝑅 ≤ 𝑅∗ = 𝑝

Dengan kata lain, luas daerah −∞ sampai dengan 𝑅∗ harus sama dengan 𝑝

dan 𝑅∗ merupakan quantile dari distribusi return yang merupakan nilai kritis (cut

off value) dengan peluang yang sudah ditentukan.

Perhitungan VaR dapat disederhanakan jika distribusi dapat diasumsikan

mengikuti keluarga parametrik, seperti distribusi normal. Dengan mengasumsikan

distribusi return berdistribusi normal maka distribusi umum 𝑓(𝑤) dapat

diterjemahkan ke dalam distribusi normal standar Φ(ε), dengan 𝜖~𝑁 0, 𝜎2 . Jika

𝑊0 didefinisikan sebagai investasi awal, maka nilai aset pada akhir periode waktu

adalah 𝑊 = 𝑊0 1 + 𝑅 dan jika 𝑊∗ adalah nilai aset paling rendah pada tingkat

kepercayaan 1 − 𝛼 , maka hubungan 𝑊∗ dengan 𝑅∗ dapat dituliskan sebagai

𝑊∗ = 𝑊0(1 + 𝑅∗). Umumnya, 𝑅∗ adalah negatif dan dapat ditulis sebagai − 𝑅∗ .

Lebih lanjut, 𝑅∗ dapat dikaitkan dengan standar normal deviasi 𝑧𝛼 > 0 dengan

−𝑧𝛼 =− 𝑅∗ −𝜇

𝜎 sehingga:

𝛼 = 𝑓 𝑤 𝑑𝑤𝑊∗

∞= 𝑓 𝑅 𝑑𝑅

− 𝑅∗

−∞= Φ 𝜖 𝑑𝜖

−𝑧𝛼

−∞ (3.20)

Nilai 𝑧𝛼 diperoleh dari tabel fungsi distribusi standar normal kumulatif.

Sehingga dari persamaan (3.18) diperoleh:

𝑅∗ = 𝜇 − 𝑧𝛼𝜎 (3.21)

Berdasarkan uraian di atas maka VaR pada tingkat kepercayaan 1 − 𝛼 dapat

diformulasikan sebagai berikut:

•𝑉𝑎𝑅 1−𝛼 = −𝑊0𝑅∗ (3.22)

49



Selanjutnya, dalam skripsi ini pengukuran Value at Risk (VaR) akan dilakukan

dengan pendekatan model EGARCH-M, yaitu dengan menggunakan nilai

volatilitasnya (𝜎).

Prosedur dalam Perhitungan Value at Risk dengan menggunakan

pendekatan model EGARCH-M adalah sebagai berikut:

1) Asumsikan besarnya investasi awal (𝑊0).

2) Taksir nilai return 𝑦 𝑡 dan nilai variansi 𝜎 𝑡2 dengan pendekatan model

EGARCH-M.

3) Hitung nilai volatilitas 𝜎 𝑡 dari nilai variansi yang telah diperoleh.

4) Tentukan besarnya quantile, menggunakan persamaan (3.21).

5) Hitung nilai VaR dengan menggunakan persamaan (3.22).

Documents

BAB III MODEL EXPONENTIAL GENERALIZED …a-research.upi.edu/operator/upload/s_mat_055889_chapter3.pdf · Hal ini dikarenakan bentuk persamaan dalam logaritma. Secara umum, proses