BAHAN AJAR DAN LKS TATI MASRIYATI MATEMATIKA · PDF fileBAHAN AJAR DAN LKS LIMIT FUNGSI ALJABAR WAKTU 8 x ... BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 3 Bahan Ajar ... Pada

BAHAN AJAR DAN LKS

LIMIT FUNGSI ALJABAR

WAKTU 8 x 45 MENIT (4 KALI PERTEMUAN)

Nama : ……………………………………………………………………………….

NIS : ……………………………………………………………………………….

Kelas : ……………………………………………………………………………….

Kelompok : ……………………………………………………………………………….

TATI MASRIYATI

KELAS X SEMESTER II SEKOLAH MENENGAH ATAS

MATEMATIKA

BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 1

PENGANTAR

Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan ridho Nya kami telah menyelesaikan Bahan ajar dan LKS Matematika SMA kelas x semester genap dengan materi Limit Fungsi Aljabar.

Bahan ajar ini sekaligus merupakan Lembar Kerja Siswa. Untuk mempelajarinya, Anda harus mampu memahami setiap masalah yang disajikan dan menjawab setiap pertanyaan. Pembelajaran matematika melalui bahan ajar ini akan membentuk kemampuan dalam menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif. Pada bahan ajar dan LKS ini dipelajari tentang :

1. Konsep Limit Fungsi Aljabar 2. Sifat-Sifat Limit Fungsi 3. Menentukan Limit Fungsi pada Suatu Titik

a. Subtitusi b. Faktorisasi c. Perkalian Sekawan

Setiap bagian tersebut disajikan materi dan berbagai masalah. Perhatikan petunjuk penggunaan bahan ajar ini agar anda dapat mengisi Lembar Kerja Siswa (LKS)

PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN AJAR 1. Pahamilah materi yang disajikan. 2. Bacalah setiap masalah yang diberikan. 3. Pahami dan jawablah setiap masalah tersebut secara mandiri. 4. Diskusikan dengan bahasa yang santun jawaban setiap masalah tersebut bersama

anggota kelompokmu. 5. Mintalah bantuan guru jika Anda mendapat masalah ketika menyelesaikan masalah

yang diberikan. 6. Tulislah jawaban kelompokmu yang paling tepat pada LKS yang diberikan dengan

menggunakan pensil untuk diajukan pada diskusi kelas. 7. Berdasarkan proses pemecahan masalah yang Anda lakukan, perhatikanlah rangkuman

yang mungkin ditemukan. 8. Yakinlah bahwa dengan berusaha Anda pasti bisa. Percayalah

terhadap kemampuan Anda dan terhadap orang-orang di sekitar Anda.

SELAMAT BEKERJA !!!


KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SMA KELAS X KURIKULUM 2013

Kompetensi Inti Kompetensi Dasar

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama

yang dianutnya

2. Menghayati dan mengamalkan perilaku

jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli

(gotong royong, kerjasama, toleran,

damai), santun, responsif dan pro-aktif dan

menunjukkan sikap sebagai bagian dari

solusi atas berbagai permasalahan dalam

berinteraksi secara efektif dengan

lingkungan sosial dan alam serta dalam

menempatkan diri sebagai cerminan bangsa

dalam pergaulan dunia.

3. Memahami, menerapkan, menganalisis

pengetahuan faktual, konseptual,

prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya

tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni,

budaya, dan humaniora dengan wawasan

kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan

peradaban terkait penyebab fenomena dan

kejadian, serta menerapkan pengetahuan

prosedural pada bidang kajian yang spesifik

sesuai dengan bakat dan minatnya untuk

memecahkan masalah.

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam

ranah konkret dan ranah abstrak terkait

dengan pengembangan dari yang

dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan

mampu menggunakan metoda sesuai kaidah

keilmuan

3.18 Mendeskripsikan konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya

3.19 Merumuskan aturan dan sifat limit fungsi aljabar melalui pengamatan contoh-contoh.

4.16 Memilih strategi yang efektif dan

menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang limit fungsi aljabar.


Bahan Ajar dan LKS 1

Satuan Pendidikan : SMA / MA

Mata Pelajaran : Matematika – Wajib

Kelas / Semester : X / II

Pokok Bahasan : Konsep Limit Fungsi Aljabar

Alokasi Waktu : 2 x 45 menit (1 x pertemuan)

Pada materi-1 bahan ajar ini Anda akan mempelajari bagaimana menemukan

konsep limit fungsi aljabar berdasarkan masalah yang diberikan. Pada bagian ini, Anda juga

berlatih untuk menerapkan konsep limit fungsi aljabar tersebut dalam menyelesaikan

masalah.

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar kata-kata hampir atau

mendekati. Misalnya, Ronaldo hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120

km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit.

Untuk dapat memahami konsep limit dengan baik, perlu kiranya kita renungkan suatu

paradox yang dikemukan oleh Zeno (495 – 435 SM), sebagai berikut.

Perhatikan Masalah Berikut ! Masalah 1

Achilles dan Kura-Kura

Berdasar mitologi Yunani, terdapat cerita tentang pahlawan

Perang Troya yang terkenal yaitu Achilles. Jago lari ini

berlomba lari dengan seekor kura‐kura yang telah

menempati posisi setengah dari jarak yang mesti ditempuh

oleh Achilles.

Katakan saja jarak yang akan ditempuh keduanya 2 km.

Pada posisi start, Achilles berada 0 km dari titik start,

sehingga kura‐kura berada pada posisi 1 km di depannya.

Kecepatan Achilles dua kali kecepatan kura‐kura. Begitu

Achilles sampai 1 km, kura‐kura telah sampai pada posisi 1,5 km. Pada saat Achilles

mencapai 1,5 km, kura‐kura telah sampai pada posisi


1,75 km. Begitu Achilles sampai di posisi 1,75 km, kura‐kura telah sampai pada posisi 1,875

km.

1. Kalau kegiatan ini diteruskan secara terus‐menerus, apakah Achilles tidak akan pernah

dapat menyusul kurakura ? berikan komentar!

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

2. Uraikanlah cerita tersebut dalam bentuk matematis.

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

Jarak yang ditempuh achiles adalah

1 + 1,5 + …. + …. + …. + …. + ….

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

Jadi, jarak yang ditempuh Achiles mendekati ………………………………………………….

Masalah 2 Menghitung pendekatan dari jumlah luas persegi

Pandanglah suatu luasan berbentuk persegi yang sisinya 1 satuan.

Suatu persegi panjang sisinya 1 satuan, sehingga luasnya 1 satuan luas. Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah 1

2 satuan.


Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah 1

2+ …

… satuan.

Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah 1

2+ …

…+ …

… satuan

Begitu seterusnya. Jika kegiatan ini kita lakukan terus‐menerus maka jumlah luas bagian persegi yang diarsir tebal akan mendekati … satuan luas.

Jadi, hasil penjumlahan dari adalah 12

+ ……

+ ……

+ ……

+ ……

+⋯ mendekati …. Pengertian limit secara intuitif berangkat dari pengertian mendekati di atas. Masalah 3

Memperkirakan jauhnya lintasan suatu mobil

Seorang Satpam berdiri mengawasi mobil yang

masuk pada sebuah jalan tol. Ia berdiri sambil

memandang mobil yang melintas masuk jalan

tersebut. Kemudian dia memandang terus mobil

sampai melintas di kejauhan jalan tol. Dia melihat

objek seakan akan semakin mengecil seiring dengan

bertambah jauhnya mobil melintas. Akhirnya dia sama

sekali tidak dapat melihat objek tersebut. Gambar 1 Coba kamu lihat Gambar 1. Kita melihat bahwa bukan hanya ukuran mobil di kejauhan yang

seakan-akan semakin kecil, tetapi lebar jalan raya tersebut juga seakan-akan semakin

sempit.

1. Kemudian coba kamu analisis kembali gambar tersebut, secara visual, apakah

perbandingan ukuran lebar jalan dengan ukuran mobil tersebut tetap? Berikan

komentarmu!


………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

2. Jika kita analisis lebih lanjut, untuk pendekatan berapa meterkah jauhnya mobil melintas

agar penjaga pintu masuk jalan tol sudah tidak dapat melihatnya lagi?

…………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………..

Masalah 4

Menghitung pendekatan dari nilai suatu fungsi

Di bawah ini disajikan salah satu alternatif penyajian limit dengan bantuan grafik fungsi.

Pandanglah fungsi 푓(푥) =

dengan domain 퐷 = { 푥|푥 ∈ 푅, 푥 ≠ 2}.

Pada x = 2, nilai fungsi 푓(2) = (tidak tentu)

Jika Anda mencari nilai‐nilai f(x) untuk x

mendekati 2, tentukanlah nilai fungsi f(x)

di sekitar x = 2 dengan mengisi tabel berikut.

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati …., tetapi untuk x = 2 nilai f(x) …. Dari sini dapat dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan …, dan ditulis dengan notasi

Pengertian limit yang seperti inilah yang disebut pengertian limit secara intuitif, yang secara umum dapat kita nyatakan sebagai berikut.

Definisi limit secara intuitif, bahwa lim → 푓(푥)= L artinya bahwa bilamana x

……………………………………………. c, maka nilai f(x) …………………..………….. L.


Latihan 1

1. Perhatikan fungsi berikut :

a. Jika y = f(x) maka nilai-nilai pendekatan f(x) untuk nilai-nilai x mendekati 1 secara

numerik adalah

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

b. Apakah fungsi f(x) mempunyai limit ? berikan komentar

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

c. Gambarkan grafik fungsi f(x) tersebut

Mari kita amati kembali konsep limit fungsi tersebut dengan mengambil strategi

numerik, berikut ini adalah langkah-langkahnya.

1. Tentukanlah titik-titik x yang mendekati c dari kiri dan kanan!

2. Hitung nilai f(x) untuk setiap nilai x yang diberikan?

3. Kemudian amatilah nilai-nilai f(x) dari kiri dan kanan.

4. Ada atau tidakkah suatu nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati c

tersebut?


2. Perhatikan dan amati beberapa gambar berikut! Gambar manakah yang menunjukkan

bentuk fungsi yang mempunyai limit pada saat x mendekati c? Jelaskanlah

jawabanmu?

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………






Pokok Bahasan : Sifat-Sifat Limit Fungsi Aljabar


Pada materi-1 bahan ajar ini Anda akan mempelajari bagaimana menerapkan sifat-

sifat limit fungsi aljabar berdasarkan masalah yang diberikan. Pada bagian ini, Anda juga

berlatih untuk menentukan solusi limit fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat limit fungsi

tersebut.

Masalah 1 a. Jika f(x) = 2 maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan

dengan mengisi kolom-kolom pada tabel berikut. Diberikan beberapa nilai-nilai x yang

mendekati 1.

Tabel Nilai pendekatan f(x) = 2, pada saat x mendekati 1

Apa yang kamu peroleh dari Tabel di atas?

Kita dapat mengamati pergerakan nilai-nilai x dan f(x) pada tabel tersebut, jika x

mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati … dari kiri dan kanan.

Hal ini dapat kita tuliskan secara matematika, dengan,

lim → 2 = ⋯ = lim → 2 ………………………………..(1)

b. Jika f(x) = x maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan

dengan mengisi kolom-kolom pada tabel berikut.

Tabel Nilai pendekatan f(x) = x, pada saat x mendekati 1

Kita dapat mengamati pergerakan nilai-nilai x dan f(x) pada tabel tersebut.

Perhatikanlah, jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati … dari

kiri dan kanan. Hal ini dapat ditulis secara matematika, dengan,


lim → 푥 = ⋯ = lim → 푥 ………………………………..(2)

Berdasarkan (1) dan (2) secara induktif diperoleh sifat berikut.

Contoh

Jika f(x) = x2 maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada

tabel berikut.

Tabel Nilai pendekatan f(x) = x2 pada saat x mendekati 1

Misalkan f suatu fungsi dengan f : R → R dan L, c bilangan real.

lim → 푓(푥) = 퐿 jika dan hanya jika 푓(푥) mendekati L untuk semua x mendekati c.

Misalkan f dan g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan

k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif.


Nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 adalah 1.

lim → 푥 = 1, maka

lim→푥 = lim

→푥 × 푥

= lim → 푥 × lim → 푥

= 1 × 1

= 1

Latihan

1. Jika f(x) = 2x2

+ 2x maka dengan menggunakan sifat-sifat limit dan strategi numerik nilai,

tunjukkanlah nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

2. Jika f(x) = maka dengan menggunakan sifat-sifat limit dan strategi numerik,

tunjukkanlah nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………






Pokok Bahasan : Menentukan Nilai Limit Fungsi

Aljabar


Pada materi-3 bahan ajar ini Anda berlatih untuk menentukan nilai Limit Fungsi

Aljabar dengan subtitusi.

Masalah 1 Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar

dari arah yang berbeda. Jika jejak kedua burung

tersebut terbang identik dengan lintasan parabola

f(x) = -푥 + 4푥. Jarak kedua ekor burung semakin

dekat ke sangkar adalah 2 meter (x=c). Berapakah

tinggi burung saat tiba dalam sangkar tersebut (L).

…………………..………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………...…………………

. ………………………….………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………...…………………

………………………………………………………………………………………...…………………

a. Menentukan nilai limit fungsi aljabar dengan subtitusi


Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit).

Contoh :

Latihan 1 1. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a.

…………………………………………………………………………………………………

b.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

c.

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

d.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

e. …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………







Aljabar



Aljabar dengan faktorisasi.

Masalah 1 Sebuah pesawat berpenumpang akan

mendarat di landasan pacu dalam jarak

sekitar 500 meter semakin dekat ke

landasan. Berapakah besarnya kecepatan

pesawat pada saat telah mendarat jika

fungsi kecepatan saat pesawat akan

mendarat adalah f(x) = .

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

b. Menentukan nilai limit fungsi aljabar dengan faktorisasi



a.


…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

b.

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

c.

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

d.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

e.

…………………………………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………







Aljabar



Aljabar dengan perkalian sekawan.

Masalah 1 Dalam suatu pertandingan bola antara

tim A melawan tim B. Ketika jarak bola

ke gawang diperkirakan sekitar 2 meter

dari bibir gawang tim A, bola pun

ditendang ke gawang tim A oleh salah

satu anggota tim B dan terjadilah

ketegangan antara kedua belah pihak

yang bertanding, ternyata bola tersebut nyaris masuk ke gawang tim A. Jika fungsi

kecepatan tendangan bola tersebut adalah f(x) = √ . Berapakah kecepatan bola ketika

mendekati gawang tim A

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

……………………………………………………………………………...……………………………

c. Menentukan nilai limit fungsi aljabar dengan mengalikan sekawan




a. = ….

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

b.

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

c.

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

d.

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

e.

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...………………….

…………………………………………………………………………………………………


T O K O H

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857), seseorang yang

sangat besar jasanya dalam pengembangan kalkulus.

Definisi limit yang kita kenal sekarang ini adalah salah satu

hasil pemikiran Cauchy.

Augustin Louis Cauchy lahir di Paris dan mengenyam

pendidikan di Ecole Polytechnique. Karena kesehatannya

yang buruk, maka dinasihati untuk memusatkan pikirannya

pada matematika saja. Salah satu penemuannya adalah

kalkulus. Secara historis, kalkulus telah ditemukan pada

abad ketujuh belas. Namun demikian, sampai pada masa

Cauchy dirasa bahwa landasan kalkulus dirasa belum mantap. Berkat upaya yang dilakukan

oleh Cauchy dan para sahabatnya seperti Gauss, Abel, dan Bolzano maka dapat ditentukan

ketelitian baku. Kepada Cauchy, kita patut berterima kasih atas andilnya meletakkan

landasan yang kokoh untuk pengembangan kalkulus yakni definisi konsep limit secara

formal yang fundamental.


DAFTAR PUSTAKA

Zaelani, Ahmad dkk, 2006, 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika untuk

SMA/MA, Bandung : Yrama Widya.

Dirwanto, 2009, Cermat- Modul dan LKS Matematika SMK Kelompok Tekhnik dan Industri

Kelas XII Semester Gasal, Jakarta.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan RI, 2013, Buku Guru Matematika Kelas X,

Jakarta : Politeknik Negeri Media Kreatif.

Setiawan, 2008, Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I),Yogyakarta : Pusat Pengembangan

dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.


Documents

BAHAN AJAR DAN LKS TATI MASRIYATI MATEMATIKA · PDF fileBAHAN AJAR DAN LKS LIMIT FUNGSI ALJABAR WAKTU 8 x ... BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 3 Bahan Ajar ... Pada