Upload
nam-hoa
View
31
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
một số bài toán lớp 9 được chọn để ôn tập tuyển sinh 10
Citation preview
BAI TAP PHAN RUT GON
Chuyn I: Cn thc bc hai Bi 1 :
1) n gin biu thc : P = .
2) Cho biu thc : Q =
a) Rt gn biu thc Q.
b) Tm x > - Q.
c) Tm s nguyn x Q c gi tr nguyn.
Hng dn :
1. P = 62. a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : Q = .
b) > - Q x > 1.
c) x = th Q ZBi 2 : Cho biu thc P =
a) Rt gn biu thc sau P.
b) Tnh gi tr ca biu thc P khi x = .
Hng dn :
a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : P = .
b) Vi x = th P = - 3 2.Bi 3 : Cho biu thc : A =
a) Rt gn biu thc sau A.
b) Tnh gi tr ca biu thc A khi x =
c) Tm x A < 0.
d) Tm x = A.
Hng dn :
a) KX : x 0, x 1. Biu thc rt gn : A = .
b) Vi x = th A = - 1.
c) Vi 0 x < 1 th A < 0.
d) Vi x > 1 th = A.Bi 4 : Cho biu thc : A =
a) Rt gn biu thc sau A.
b) Xc nh a biu thc A > .
Hng dn :
a) KX : a > 0 v a9. Biu thc rt gn : A = .b) Vi 0 < a < 1 th biu thc A > .
Bi 5 : Cho biu thc: A = .1) Tm iu kin i vi x biu thc c ngha.
2) Rt gn A.
3) Vi x Z? A Z?
Hng dn :
a) KX : x 0 ; x 1.
b) Biu thc rt gn : A = vi x 0 ; x 1.c) x = - 2003 ; 2003 th A Z.Bi 6 : Cho biu thc: A = .a) Rt gn A.b) Tm x A < 0.
c) Tm x nguyn A c gi tr nguyn.
Hng dn :
a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : A = .b) Vi 0 < x < 1 th A < 0.c) x = th A Z.Bi 7 : Cho biu thc: A =
a) Rt gn biu thc A.
b) Chng minh rng: 0 < A < 2.
Hng dn :
a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : A =
b) Ta xt hai trng hp :
+) A > 0 > 0 lun ng vi x > 0 ; x 1 (1)
+) A < 2 < 2 2() > 2 > 0 ng v theo gt th x > 0. (2)T (1) v (2) suy ra 0 < A < 2(pcm).Bi 8 : Cho biu thc: P = (a 0; a 4)a) Rt gn P.
b) Tnh gi tr ca P vi a = 9.
Hng dn :
a) KX : a 0, a 4. Biu thc rt gn : P =
b) Ta thy a = 9 KX . Suy ra P = 4Bi 9 : Cho biu thc: N = 1) Rt gn biu thc N.
2) Tm gi tr ca a N = -2004.
Hng dn :
a) KX : a 0, a 1. Biu thc rt gn : N = 1 a .
b) Ta thy a = - 2004 KX . Suy ra N = 2005.Bi 10 : Cho biu thc
a. Rt gn P.
b. Tnh gi tr ca P khi
c. Vi gi tr no ca x th P t gi tr nh nht v tnh gi tr nh nht .
Hng dn :
a ) KX : x 0, x 1. Biu thc rt gn :
b) Ta thy KX . Suy ra
c) Pmin=4 khi x=4.
Bi 11 : Cho biu thc
a. Rt gn P. b. Tm x c. Tm gi tr nh nht ca P.
Hng dn :
a. ) KX : x 0, x 9. Biu thc rt gn :
b. Vi th
c. Pmin= -1 khi x = 0
Bi 12: Cho A= vi x>0 ,x1
a. Rt gn A
b. Tnh A vi a =
( KQ : A= 4a )
Bi 13: Cho A= vi x0 , x9, x4 .
a. Rt gn A.
b. x= ? Th A < 1.
c. Tm
(KQ : A= )
Bi 14: Cho A = vi x0 , x1.
a. Rt gn A.
b. Tm GTLN ca A.
c. Tm x A =
d. CMR : A . (KQ: A = )
Bi 15: Cho A = vi x0 , x1.
a . Rt gn A.
b. Tm GTLN ca A . ( KQ : A =
)
Bi 16: Cho A = vi x0 , x1.
a . Rt gn A.
b. CMR :
( KQ : A =
)
Bi 17: Cho A =
a. Rt gn A.
b. Tm
( KQ : A =
)
Bi 18: Cho A = vi a 0 , a9 , a4.
a. Rt gn A.
b. Tm a A < 1
c. Tm ( KQ : A =
)
Bi 19: Cho A= vi x > 0 , x4.
a. Rt gn A.
b. So snh A vi ( KQ : A = )
Bi20: Cho A = vi x0 , y0,
a. Rt gn A.
b. CMR : A 0 ( KQ : A = ) Bi 21 : Cho A = Vi x > 0 , x1. a. Rt gn A.
b. Tm x A = 6 ( KQ : A = )
Bi 22 : Cho A = vi x > 0 , x4.
a. Rt gn A
b. Tnh A vi x = (KQ: A = )
Bi 23 : Cho A= vi x > 0 , x1.
a. Rt gn A
b. Tnh A vi x = (KQ: A = )
Bi 24 : Cho A= vi x0 , x1.
a. Rt gn A.
b. Tm (KQ: A = )
Bi 25: Cho A= vi x0 , x1.
a. Rt gn A.
b. Tm
c. Tm x A t GTNN . (KQ: A = )
Bi 26 : Cho A = vi x0 , x9. a. Rt gn A.
b. Tm x A < -
( KQ : A =
)
Bi 27 : Cho A = vi x0 , x1.
a. Rt gn A
b. Tnh A vi x = (KQ: A = )
c . CMR : A
Bi 28 : Cho A = vi x > 0 , x1.
a. Rt gn A (KQ: A = )
b.So snh A vi 1
Bi 29 : Cho A = Vi
a. Rt gn A.
b. Tm x A =
c. Tm x A < 1.
( KQ : A =
)
Bi30 : Cho A = vi x0 , x1.
a. Rt gn A.
b. CMR nu 0 < x < 1 th A > 0
c. Tnh A khi x =3+2
d. Tm GTLN ca A (KQ: A = )
Bi 31 : Cho A = vi x0 , x1. a. Rt gn A.
b. CMR nu x0 , x1 th A > 0 , (KQ: A = )
Bi 32 : Cho A = vi x > 0 , x1, x4.
a. Rt gn
b. Tm x A =
Bi 33 : Cho A = vi x0 , x1.
a. Rt gn A.
b. Tnh A khi x= 0,36
c. Tm
Bi 34 : Cho A= vi x 0 , x9 , x4.
a. Rt gn A.
b. Tm
c. Tm x A < 0 (KQ: A = )
Chuyn II: hm s bc nhtBi 1 :
1) Vit phng trnh ng thng i qua hai im (1 ; 2) v (-1 ; -4).
2) Tm to giao im ca ng thng trn vi trc tung v trc honh.
Hng dn :
1) Gi pt ng thng cn tm c dng : y = ax + b.
Do ng thng i qua hai im (1 ; 2) v (-1 ; -4) ta c h pt :
Vy pt ng thng cn tm l y = 3x 12) th ct trc tung ti im c tung bng -1 ; th ct trc honh ti im c honh bng .
Bi 2 : Cho hm s y = (m 2)x + m + 3.
1) Tm iu kin ca m hm s lun nghch bin.
2) Tm m th ca hm s ct trc honh ti im c honh bng 3.
3) Tm m th ca hm s trn v cc th ca cc hm s y = -x + 2; y = 2x 1 ng quy.
Hng dn :
1) Hm s y = (m 2)x + m + 3 m 2 < 0 m < 2.2) Do th ca hm s ct trc honh ti im c honh bng 3. Suy ra: x= 3; y = 0
Thay x= 3; y = 0 vo hm s y = (m 2)x + m + 3, ta c m = .
3) Giao im ca hai th y = -x + 2; y = 2x 1 l nghim ca h pt:
(x;y) = (1;1). 3 th y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2v y = 2x 1 ng quy cn:
(x;y) = (1;1) l nghim ca pt : y = (m 2)x + m + 3.
Vi (x;y) = (1;1) m =
B i 3 : Cho hm s y = (m 1)x + m + 3.
1) Tm gi tr ca m th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.
2) Tm gi tr ca m th ca hm s i qua im (1; -4).
3) Tm im c nh m th ca hm s lun i qua vi mi m.
Hng dn :
1) hai th ca hm s song song vi nhau cn: m 1 = - 2 m = -1.
Vy vi m = -1 th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.2) Thay (x;y) = (1; -4) vo pt: y = (m 1)x + m + 3. Ta c: m = -3.
Vy vi m = -3 th th ca hm s i qua im (1; -4).
3) Gi im c nh m th lun i qua l M(x0;y0). Ta c
y0 = (m 1)x0 + m + 3 (x0 1)m - x0 - y0 + 3 = 0
Vy vi mi m th th lun i qua im c nh (1;2).Bi 4 : Cho hai im A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Vit phng trnh ng thng AB.
2) Tm cc gi tr ca m ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng thi i qua im C(0 ; 2).
Hng dn :
1) Gi pt ng thng AB c dng : y = ax + b.
Do ng thng i qua hai im (1 ; 1) v (2 ;-1) ta c h pt :
EMBED Equation.3 Vy pt ng thng cn tm l y = - 2x + 3.
2) ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng thi i qua im C(0 ; 2) ta cn :
EMBED Equation.3 m = 2.
Vy m = 2 th ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng thi i qua im C(0 ; 2)Bi 5 : Cho hm s y = (2m 1)x + m 3.
1) Tm m th ca hm s i qua im (2; 5)
2) Chng minh rng th ca hm s lun i qua mt im c nh vi mi m. Tm im c nh y.
3) Tm m th ca hm s ct trc honh ti im c honh x = .
Hng dn :
1) m = 2.
2) Gi im c nh m th lun i qua l M(x0;y0). Ta c
y0 = (2m 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0
Vy vi mi m th th lun i qua im c nh ().Bai 6 : Tm gi tr ca k cc ng thng sau:
y = ; y = v y = kx + k + 1 ct nhau ti mt im.
Bi 7 : Gi s ng thng (d) c phng trnh y = ax + b. Xc nh a, b (d) i qua hai im A(1; 3) v B(-3; -1).Bi 8 : Cho hm s: y = x + m (D).
Tm cc gi tr ca m ng thng (D):1) i qua im A(1; 2003).
2) Song song vi ng thng x y + 3 = 0.
Chuyn III:
Phng trnh bt phng trnh bc nht mt n
H phng trnh bc nht 2 n .
A. kin thc cn nh :1. Phng trnh bc nht : ax + b = 0.
Phng php gii :
+ Nu a 0 phng trnh c nghim duy nht : x = .
+ Nu a = 0 v b 0 phng trnh v nghim.
+ Nu a = 0 v b = 0 phng trnh c v s nghim.
2. H phng trnh bc nht hai n :
Phng php gii :
S dng mt trong cc cch sau :
+) Phng php th : T mt trong hai phng trnh rt ra mt n theo n kia , th vo phng trnh th 2 ta c phng trnh bc nht 1 n.
+) Phng php cng i s :
- Quy ng h s mt n no (lm cho mt n no ca h c h s bng nhau hoc i nhau).
- Tr hoc cng v vi v kh n .- Gii ra mt n, suy ra n th hai.
B. V d minh ha :V d 1 : Gii cc phng trnh sau y :
a) S : KX : x 1 ; x - 2. S = .
b) = 2
Gii : KX : 0. (*)
Khi : = 2 2x = - 3 x =
Vi x = thay vo (* ) ta c ()3 + + 1 0
Vy x = l nghim.
V d 2 : Gii v bin lun phng trnh theo m : (m 2)x + m2 4 = 0 (1)
+ Nu m 2 th (1) x = - (m + 2).
+ Nu m = 2 th (1) v nghim.
V d 3 : Tm m Z phng trnh sau y c nghim nguyn .
(2m 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.
Gii :
Ta c : vi m Z th 2m 3 0 , vy phng trnh c nghim : x = - (m + 2) - .
pt c nghim nguyn th 4 2m 3 .
Gii ra ta c m = 2, m = 1.V d 3 : Tm nghim nguyn dng ca phng trnh : 7x + 4y = 23.
Gii :
a) Ta c : 7x + 4y = 23 y = = 6 2x +
V y Z x 1 4.
Gii ra ta c x = 1 v y = 4
bi tp phn h ptBi 1 : Gii h phng trnh:
a) b) c) d)
e) f)
Bi 2 : Cho h phng trnh:
1) Gii h phng trnh theo tham s m.
2) Gi nghim ca h phng trnh l (x, y). Tm cc gi tr ca m x + y = -1.
3) Tm ng thc lin h gia x v y khng ph thuc vo m.
Bi 3 : Cho h phng trnh:
1) Gii h phng trnh khi thay m = -1.
2) Gi nghim ca h phng trnh l (x, y). Tm m x2 + y2 t gi tr nh nht.
Bi 4 : Cho h phng trnh:
c nghim duy nht l (x; y).
1) Tm ng thc lin h gia x v y khng ph thuc vo a.
2) Tm cc gi tr ca a tho mn 6x2 17y = 5.
3) Tm cc gi tr nguyn ca a biu thc nhn gi tr nguyn.
B i5 : Cho h phng trnh:
1) Gii h (1) khi a = 2.
2) Vi gi tr no ca a th h c nghim duy nht.
Bi 6 : Xc nh cc h s m v n, bit rng h phng trnh
c nghim l .
Bi 7 : Cho h phng trnh (a l tham s).
1) Gii h khi a = 1.
2) Chng minh rng vi mi a h lun c nghim duy nht (x ; y) tho mn x + y 2.Bi 8 (trang 22): Cho h phng trnh : (m l tham s).a) Gii h khi m = -1.
b) Gii v bin lun pt theo m.
Bi 9 : (trang 24): Cho h phng trnh : (m l tham s).a) Gii h khi m = -1.
b) Tm gia tr nguyen cua m e he co hai nghiem nguyen.
c) Xac nh moi he co nghiem x > 0, y > 0.Bi 10 (trang 23): Mot oto va mot xe ap chuyen ong i t 2 au mot oan ng sau 3 gi th gap nhau. Neu i cung chieu va xuat phat tai mot iem th sau 1 gi hai xe cach nhau 28 km. Tnh van toc cua moi xe.
HD : Van toc xe ap : 12 km/h . Van toc oto : 40 km/h.
Bi 11 : (trang 24): Mot oto i t A d nh en B luc 12 gi tra. Neu xe chay vi van toc 35 km/h th se en B luc 2 gi chieu. Neu xe chay vi van toc 50 km/h th se en B luc 11 gi tra. Tnh o quang ng AB va thi diem xuat phat tai A.ap so : AB = 350 km, xuat phat tai A luc 4gi sang.
Bi 12 : (trang 24): Hai voi nc cung chay vao mot cai be nc can, sau gi th ay be. Neu luc au ch m voi th nhat, sau 9 gi m voi th hai th sau gi na mi nay be . Neu mot mnh voi th hai chay bao lau se nay be.
ap so : 8 gi.
Bi 13 : (trang 24): Biet rang m gam kg nc giam t0C th toa nhiet lng Q = mt (kcal). Hoi phai dung bao nhieu lt 1000C va bao nhieu lt 200C e c hon hp 10 lt 400C.Hng dan :Ta co he pt :
Vay can 2,5 lt nc soi va 75 lt nc 200C.
Bi 14 : Khi them 200g axt vao dung dch axt th dung dch mi co nong o 50%. Lai them 300g nc vao dung dch mi c dung dch axt co nong o 40%. Tnh nong o axt trong dung dch ban au.
Hng dan :Goi x khoi axit ban au, y la khoi lng dung dch ban au.Theo bai ra ta co he pt : Vay nong o phan tram cua dung dch axt ban au la 40%.Chuyn iV: Phng trnh bc hai
nh l viet v ng dng
A.Kin thc cn ghi nh
1. bin lun s c nghim ca phng trnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong a,b ,c ph thuc tham s m,ta xt 2 trng hp
a)Nu a= 0 khi ta tm c mt vi gi tr no ca m ,thay gi tr vo (1).Phng trnh (1) tr thnh phng trnh bc nht nn c th : - C mt nghim duy nht
- hoc v nghim
- hoc v s nghim
b)Nu a 0
Lp bit s = b2 4ac hoc / = b/2 ac
* < 0 (/ < 0 ) th phng trnh (1) v nghim
* = 0 (/ = 0 ) : phng trnh (1) c nghim kp x1,2 = -
(hoc x1,2 = -)
* > 0 (/ > 0 ) : phng trnh (1) c 2 nghim phn bit:
x1 = ; x2 =
(hoc x1 = ; x2 = )
2. nh l Vit. Nu x1 , x2 l nghim ca phng trnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) th
S = x1 + x2 = -
p = x1x2 =
o li: Nu c hai s x1,x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p th hai s l nghim (nu c ) ca phng trnh bc 2: x2 S x + p = 0
3. Du ca nghim s ca phng trnh bc hai.Cho phng trnh bc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gi x1 ,x2 l cc nghim ca phng trnh .Ta c cc kt qu sau:
x1 v x2 tri du( x1 < 0 < x2 ) p < 0
Hai nghim cng dng( x1 > 0 v x2 > 0 )
EMBED Equation.3 Hai nghim cng m (x1 < 0 v x2 < 0)
Mt nghim bng 0 v 1 nghim dng( x2 > x1 = 0)
EMBED Equation.3 Mt nghim bng 0 v 1 nghim m (x1 < x2 = 0)
EMBED Equation.3 4. Vi bi ton ng dng nh l Vit
a)Tnh nhm nghim.Xt phng trnh bc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Nu a + b + c = 0 th phng trnh c hai nghim x1 = 1 , x2 =
Nu a b + c = 0 th phng trnh c hai nghim x1 = -1 , x2 = -
Nu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn v th phng trnh c nghim
x1 = m , x2 = n hoc x1 = n , x2 = m
b) Lp phng trnh bc hai khi bit hai nghim x1 ,x2 ca n
Cch lm : - Lp tng S = x1 + x2
- Lp tch p = x1x2 - Phng trnh cn tm l : x2 S x + p = 0
c)Tm iu kin ca tham s phng trnh bc 2 c nghm x1 , x2 tho mn iu kin cho trc.(Cc iu kin cho trc thng gp v cch bin i):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 2x1x2 = S2 2p
*) (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = S2 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S3 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 2x12x22*) =
*) =
*) (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2*)
(Ch : cc gi tr ca tham s rt ra t iu kin cho trc phi tho mn iu kin )
d)Tm iu kin ca tham s phng trnh bc hai c mt nghim x = x1 cho trc .Tm nghim th 2
Cch gii:
Tm iu kin phng trnh c nghim x= x1 cho trc c hai cch lm
+) Cch 1:- Lp iu kin phng trnh bc 2 cho c 2 nghim:
(hoc ) (*)
- Thay x = x1 vo phng trnh cho ,tm c gi tr ca
tham s
i chiu gi tr va tm c ca tham s vi iu kin(*)
kt lun
+) Cch 2: - Khng cn lp iu kin (hoc ) m ta thay lun
x = x1 vo phng trnh cho, tm c gi tr ca tham s
- Sau thay gi tr tm c ca tham s vo phng trnh v
gii phng trnh
Ch : Nu sau khi thay gi tr ca tham s vo phng trnh cho m phng trnh bc hai ny c < 0 th kt lun khng c gi tr no ca tham s phng trnh c nghim x1 cho trc.
tm nghim th 2 ta c 3 cch lm
+) Cch 1: Thay gi tr ca tham s tm c vo phng trnh ri gii phng trnh (nh cch 2 trnh by trn)
+) Cch 2 :Thay gi tr ca tham s tm c vo cng thc tng 2 nghim s tm c nghim th 2
+) Cch 3: thay gi tr ca tham s tm c vo cng thc tch hai nghim ,t tm c nghim th 2
B . Bi tp p dng Bi 1: Gii v bin lun phng trnh : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Gii.
Ta c = (m + 1)2 2m + 10 = m2 9
+ Nu > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoc m > 3 .Phng trnh cho c 2 nghim phn bit:
x1 = m + 1 - x2 = m + 1 +
+ Nu = 0 m = 3
Vi m =3 th phng trnh c nghim l x1.2 = 4
Vi m = -3 th phng trnh c nghim l x1.2 = -2
+ Nu < 0 -3 < m < 3 th phng trnh v nghim
Kt kun:
Vi m = 3 th phng trnh c nghim x = 4
Vi m = - 3 th phng trnh c nghim x = -2
Vi m < - 3 hoc m > 3 th phng trnh c 2 nghim phn bit
x1 = m + 1 - x2 = m + 1 +
Vi -3< m < 3 th phng trnh v nghim
Bi 2: Gii v bin lun phng trnh: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0
Hng dn
Nu m 3 = 0 m = 3 th phng trnh cho c dng
- 6x 3 = 0 x = -
* Nu m 3 0 m 3 .Phng trnh cho l phng trnh bc hai c bit s = m2 (m 3)(m 6) = 9m 18
- Nu = 0 9m 18 = 0 m = 2 .phng trnh c nghim kp
x1 = x2 = - = - 2
- Nu > 0 m >2 .Phng trnh c hai nghim phn bit
x1,2 =
- Nu < 0 m < 2 .Phng trnh v nghim
Kt lun:Vi m = 3 phng trnh c nghim x = -
Vi m = 2 phng trnh c nghim x1 = x2 = -2
Vi m > 2 v m 3 phng trnh c nghim x1,2 =
Vi m < 2 phng trnh v nghim
Bi 3: Gii cc phng trnh sau bng cch nhm nhanh nht
a) 2x2 + 2007x 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ()x - = 0
d) x2 (3 - 2)x - 6 = 0
Gii
a) 2x2 + 2007x 2009 = 0 c a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vy phng trnh c hai nghim phn bit: x1 = 1 , x2 =
b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vy phng trnh c hai nghim phn bit: x1 = -1 ,
x2 = - = - 12
c) x2 + ()x - = 0 c: ac = - < 0 .
Do phng trnh c hai nghim phn bit x1 , x2 .p dng h thc Viet ta c :
x1 + x2 = -() = - +
x1x2 = - = (- )
Vy phng trnh c 2 nghim l x1 = - , x2=
(hoc x1 = , x2 = - )
d ) x2 (3 - 2)x - 6 = 0 c : ac = - 6 < 0
Do phng trnh c hai nghim phn bit x1 , x2 .p dng h thc Vit ,ta c
Vy phng trnh c 2 nghim x1 = 3 , x2 = - 2
Bi 4 : Gii cc phng trnh sau bng cnh nhm nhanh nht (m l tham s)
a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0Hng dn :
a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0 c a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0
Suy ra : x1 = 2
Hoc x2 =
b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 m = 3 (*) tr thnh 4x 4 = 0 x = - 1
* m 3 0 m 3 (*)
Bi 5: Gi x1 , x2 l cc nghm ca phng trnh : x2 3x 7 = 0
a) Tnh:
A = x12 + x22 B =
C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
b) lp phng trnh bc 2 c cc nghim l v
Gii ;
Phng trnh bc hai x2 3x 7 = 0 c tch ac = - 7 < 0 , suy ra phng trnh c hai nghim phn bit x1 , x2 .
Theo h thc Vit ,ta c : S = x1 + x2 = 3 v p = x1x2 = -7
a)Ta c
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 9 2(-7) = 23
+ (x1 x2)2 = S2 4p => B = =
+ C = =
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta c :
S = (theo cu a)
p =
Vy v l nghim ca hng trnh :
X2 SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
Bi 6 : Cho phng trnh :
x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k l tham s)
1. Chng minh phng trnh (1 ) lun c hai nghim phn bit vi mi gi tr ca k
2. Tm nhng gi tr ca k phng trnh (1) c 2 nghim phn bit tri du
3. Gi x1 , x2 l nghm ca phng trnh (1) .Tm k : x13 + x23 > 0
Gii.
1. Phng trnh (1) l phng trnh bc hai c:
= (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 - k + )
= 5(k2 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 vi mi gi tr ca k. Vy phng trnh (1) lun c hai nghim phn bit
2. Phng trnh (1) c hai nghim phn bit tri du p < 0
- k2 + k 2 < 0 - ( k2 2.k + + ) < 0
-(k - )2 - < 0 lun ng vi mi k.Vy phng trnh (1) c hai nghim phn bit tri du vi mi k
3. Ta c x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
V phng trnh c nghim vi mi k .Theo h thc vit ta c
x1 + x2 = k 1 v x1x2 = - k2 + k 2
x13 + x23 = (k 1)3 3(- k2 + k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)2 - 3(- k2 + k 2)]
= (k 1) (4k2 5k + 7)
= (k 1)[(2k - )2 + ]
Do x13 + x23 > 0 (k 1)[(2k - )2 + ] > 0
k 1 > 0 ( v (2k - )2 + > 0 vi mi k) k > 1
Vy k > 1 l gi tr cn tm
Bi 7: Cho phng trnh : x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m l tham s)
1. Gii phng trnh (1) vi m = -5
2. Chng minh rng phng trnh (1) lun c hai nghim x1 , x2 phn bit vi mi m3. Tm m t gi tr nh nht (x1 , x2 l hao nghim ca phng trnh (1) ni trong phn 2.)Gii
1. Vi m = - 5 phng trnh (1) tr thnh x2 + 8x 9 = 0 v c 2 nghim l x1 = 1 , x2 = - 9
2. C = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + 1 m + 4 = m2 + m + 5
= m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 vi mi m
Vy phng trnh (1) lun c 2 nghim phn bit x1 , x23. V phng trnh c nghim vi mi m ,theo h thc Vit ta c:
x1 + x2 = 2( m + 1) v x1x2 = m 4
Ta c (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 4 (m 4)
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]
=> = 2 = khi m + = 0 m = -
Vy t gi tr nh nht bng khi m = -
Bi 8 : Cho phng trnh (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m l tham s)
1) Gii phng trnh khi m = -
2) Chng minh rng phng trnh cho c nghim vi mi m3) Tm tt c cc gi tr ca m sao cho phng trnh c hai nghim phn bit v nghim ny gp ba ln nghim kia.Gii:
1) Thay m = - vo phng trnh cho v thu gn ta c
5x2 - 20 x + 15 = 0
phng trnh c hai nghim x1 = 1 , x2= 3
2) + Nu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi phng trnh cho tr thnh;
5x 5 = 0 x = 1 + Nu : m + 2 0 => m - 2 .Khi phng trnh cho l phng trnh bc hai c bit s :
= (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m2 4(m2- m 6) = 25 > 0
Do phng trnh c hai nghim phn bit
x1 = = x2 =
Tm li phng trnh cho lun c nghim vi mi m
3)Theo cu 2 ta c m - 2 th phng trnh cho c hai nghim phn bit. nghim ny gp 3 ln nghim kia ta st 2 trng hp
Trng hp 1 : 3x1 = x2 3 = gii ra ta c m = - ( gii cu 1)
Trng hp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m 9 m = (tho mn iu kin m - 2)
Kim tra li: Thay m = vo phng trnh cho ta c phng trnh :
15x2 20x + 5 = 0 phng trnh ny c hai nghim
x1 = 1 , x2 = = (tho mn u bi)
Bi 9: Cho phng trnh : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) vi m l tham s .
1. Bin lun theo m s c nghim ca phng trnh (1)
2. Tm m (1) c 2 nghim tri du.
3. Tm m (1) c mt nghim bng 3. Tm nghim th hai.
Gii
1.+ Nu m = 0 thay vo (1) ta c : 4x 3 = 0 x =
+ Nu m 0 .Lp bit s = (m 2)2 m(m-3)
= m2- 4m + 4 m2 + 3m
= - m + 4
< 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) v nghim
= 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) c nghim kp
x1 = x2 = -
> 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) c 2 nghim phn bit
x1 = ; x2 =
Vy : m > 4 : phng trnh (1) v nghim
m = 4 : phng trnh (1) C nghim kp x =
0 m < 4 : phng trnh (1) c hai nghim phn bit:
x1 = ; x2 =
m = 0 : Phng trnh (1) c nghim n x =
2. (1) c nghim tri du < 0 < 0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Trng hp khng tho mn
Trng hp 0 < m < 3
3. *)Cch 1: Lp iu kin phng trnh (1) c hai nghim
0 0 m 4 (*) ( cu a c)
- Thay x = 3 vo phng trnh (1) ta c :
9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = -
- i chiu vi iu kin (*), gi tr m = - tho mn
*) Cch 2: Khng cn lp iu kin 0 m thay x = 3 vo (1) tm c m = -.Sau thay m = - vo phng trnh (1) :
-x2 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x 21 = 0
c = 289 189 = 100 > 0 =>
Vy vi m = - th phng trnh (1) c mt nghim x= 3
*) tm nghim th 2 ,ta c 3 cch lm
Cch 1: Thay m = - vo phng trnh cho ri gii phng trnh tm c x2 = (Nh phn trn lm)
Cch 2: Thay m = - vo cng thc tnh tng 2 nghim:
x1 + x2 =
x2 = - x1 = - 3 =
Cch 3: Thay m = - vo cng trc tnh tch hai nghim
x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 =
Bi 10: Cho phng trnh : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) vi k l tham s
1.Tm k phng trnh (1) c nghim kp
2. Tim k phng trnh (1) c 2 nghim x1 , x2 tho mn iu kin :
x12 + x22 = 10
Gii.
1.Phng trnh (1) c nghim kp = 0 k2 (2 5k) = 0
k2 + 5k 2 = 0 ( c = 25 + 8 = 33 > 0 )
k1 = ; k2 =
Vy c 2 gi tr k1 = hoc k2 = th phng trnh (1) C nghim kp.
2.C 2 cch gii.
Cch 1: Lp iu kin phng trnh (1) c nghim:
0 k2 + 5k 2 0 (*)
Ta c x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2
Theo bi ra ta c (x1 + x2)2 2x1x2 = 10
Vi iu kin(*) , p dng h trc vi t: x1 + x2 = - - 2k v x1x2 = 2 5k
Vy (-2k)2 2(2 5k) = 10 2k2 + 5k 7 = 0
(C a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -
i chiu vi iu kin (*) ta thay ln lt k1 , k2 vo = k2 + 5k 2
+ k1 = 1 => = 1 + 5 2 = 4 > 0 ; tho mn
+ k2 = - => = khng tho mn
Vy k = 1 l gi tr cn tm
Cch 2 : Khng cn lp iu kin 0 .Cch gii l:
T iu kin x12 + x22 = 10 ta tm c k1 = 1 ; k2 = - (cch tm nh trn)
Thay ln lt k1 , k2 vo phng trnh (1)
+ Vi k1 = 1 : (1) => x2 + 2x 3 = 0 c x1 = 1 , x2 = 3
+ Vi k2 = - (1) => x2- 7x + = 0 (c = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phng trnh v nghim
Vy k = 1 l gi tr cn tm
Bi tp v pt bc haiBi 1 : Cho phng trnh : x2 6x + 1 = 0, gi x1 v x2 l hai nghim ca phng trnh. Khng gii phng trnh, hy tnh:
1) x12 + x22 ;2) ; 3) .
Bi 2 : Cho phng trnh: 2x2 5x + 1 = 0.
Tnh (vi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh).
Bi 3 : Cho phng trnh bc hai:
x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
1) Tm cc gi tr ca m phng trnh lun c hai nghim phn bit.
2) Tm gi tr ca m tho mn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 l hai nghim ca phng trnh).Bi 4 : Cho phng trnh:
x2 2mx + 2m 5 = 0.
1) Chng minh rng phng trnh lun c hai nghim phn bit vi mi m.
2) Tm iu kin ca m phng trnh c hai nghim tri du.
3) Gi hai nghim ca phng trnh l x1 v x2, tm cc gi tr ca m :
x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8.
Bi 5 : Cho phng trnh:
x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Gii phng trnh vi m = 0.
2) Gi hai nghim ca phng trnh l x1 v x2. Tm cc gi tr ca m tho mn 5x1 + x2 = 4.
Bai 6 : Cho phng trnh: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
1) Gii phng trnh (1).
2) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh (1). Tnh B = x13 + x23.
Bi 7 : Cho phng trnh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m l tham s).
a) Xc nh m phng trnh c mt nghim l bng 2. Tm nghim cn li.
b) Xc nh m phng trnh c hai nghim x1, x2 tho mn x13 + x23 0.
Bi 8 : Cho phng trnh:
(m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Gii phng trnh khi m = 1.
2) Tm m phng trnh (*) c 2 nghim phn bit.Bi 9. Cho phng trnh (2m-1)x2-2mx+1=0
Xc nh m phng trnh trn c nghim thuc khong (-1,0)
Bi 10: Phng trnh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xt 2m-1=0=> m=1/2 pt tr thnh x+1=0=> x=1
Xt 2m-1(0=> m( 1/2 khi ta c
= m2-2m+1= (m-1)2(0 mi m=> pt c nghim vi mi m
ta thy nghim x=1 khng thuc (-1,0)
vi m( 1/2 pt cn c nghim x==
pt c nghim trong khong (-1,0)=> -1m