Bài tập Hàm số 10

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!

DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH VÀ GIÁ TR Ị CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) 2 1

3

xy

x

+=−

b) 2

3 5

1

xy

x x

+=− +

c) 2

2

3 2

xy

x x

−=− +

Lời giải: a) Điều kiện xác định: 3 0 3x x− ≠ ⇔ ≠ . Vậy { }\ 3 .=D R

b) Ta có: 2

2 1 31 0;

2 4x x x x

− + = − + > ∀

nên hàm số xác định với mọi x. Vậy D = R.

c) Điều kiện xác định: 2 13 2 0

2

≠− + ≠ ⇔ ≠

xx x

x. Vậy tập xác định { }\ 1; 2 .=D R

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) 3 4 .y x= − b) 1

.2

xy

x

−=−

c) ( )

2 2

2 1

xy

x x

−=+ +

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định: 3

3 4 0 4 34

x x x− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ . Vậy tập xác định là3

; .4

= −∞

D

b) Điều kiện xác định: 1 0 1

2 0 2

x x

x x

− ≥ ≥ ⇔ − ≠ ≠

. Vậy tập xác định là [ ) { }1; \ 2 .= +∞D

c) Điều kiện xác định: 2 0 2

1.1 0 1

+ ≠ ≠ − ⇔ → > − + > > −

x xx

x x Vậy tập xác định là ( )1; .= − +∞D

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm tập xác định của hàm số:

a) 2

.1

= −−x

y xx

b) 3 2

.2

− −=+

x xy

x c) ( )( )

1 4.

2 3

+ + −=− −

x xy

x x


a) Điều kiện: 2 11 0

0, 100

xxx x

xx

≠ ±− ≠ ⇔ ⇔ ≤ ≠ − ≤− ≥ . Vậy tập xác định là ( ] { };0 \ 1 .= −∞ −D

b) Điều kiện: 2 0 2

2 22 0 2

x xx

x x

− ≥ < ⇔ ⇔ − < ≤ + > > −

. Vậy tập xác định là ( ]2;2 .= −D

c) Điều kiện:

( )( )

1 0 11 4

4 0 42;3

2;32 3 0

x xx

x xx

xx x

− ≥ ≥≤ ≤ − ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≠ ≠− − ≠

. Vậy tập xác định là [ ] { }1;4 \ 2;3 .=D

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số ( )( )2

2 2 khi 1 1

1 khi 1

x xf x

x x

− − − ≤ <= − ≥

a) Tìm tập xác định của hàm số.

b) Tìm ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 , 0;3 , , 1 , 2 , 2

2f f f f f f

− −

.


a) Khi ( ) ( )1 1 2 2− ≤ < → = − −x f x x xác định.

Khi x ≥ 1 thì ( ) 2 1f x x= − xác định (vì x2 ≥ 1).

Vậy [ )1; .= − +∞D

01. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng



b) Ta chọn công thức theo biến số x: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 6; 0,5 2 0,5 3 3f f− = − − − = = − − =

( ) 22 22 2 4 2; 1 1 1 0.

2 2

= − − = − = − =

f f

( ) ( )22 2 1 3, 2f f= − = − không xác định.

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số ( )3

2 1khi 0

2

2 1khi 0

1

xx

xf x

xx

x

+ ≥ += + <

−

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x). b) Tính ( ) ( ) ( ) ( )0 ; 2 ; 3 ; 1 .f f f f− −


a) Khi ( ) 2 10

2

+≥ → =+

xx f x

x xác định vì x + 2 ≥ 2 > 0.

Khi ( )3 2 1

01

+< → =−x

x f xx

xác định vì x – 1 ≠ 0.

b) Ta chọn công thức theo biến số x, kết quả: ( ) ( ) ( ) ( )31 5 5 1

0 , 2 , 3 , 12 4 4 2

f f f f= = − = − = .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: [ĐVH]. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) 2 1

.3 2

xy

x

+=+

b) 3

.5 2

xy

x

−=−

c) 4

.4

yx

=+

d) 2

.3 2

xy

x x=

− + e)

2

1.

2 5 2

xy

x x

−=− +

f) 2

3.

1

xy

x x=

+ +


a) 3

1.

1

xy

x

−=+

b) 2

2 1.

( 2)( 4 3)

xy

x x x

+=− − +

c) 4 2

1.

2 3y

x x=

+ −

Bài 3: [ĐVH]. Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) 3

1.

1=

+y

x b)

2

3 1.

9

+=−

xy

x c)

23

2 1.

1

−=−

xy

x

d) 5

1 .4

= + +−

y xx

e) 22

16 8 .

4= − + −

−y x x

x

Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số ( )2

3 2; 4 2

4; 2

x xf x

x x

+ − ≤ <= − ≥

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Tính ( )3f − ; ( )5f − ; 3

2f

; ( )6f ; ( )2f .

Bài 5: [ĐVH]. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) ( ) 5 .= −f x x Tính f(0), f(2), f(–2), f(3).

b) 2

1( ) .

2 3 1

−=− +x

f xx x

Tính f(2), f(0), f(3), f(–2).

c) ( ) 2 1 3 2.= − + −f x x x Tính f(2), f(–2), f(0), f(1).

Bài 6: [ĐVH]. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:



a) 2

2; 0

1( ) 1; 0 2

1; 2

< −= + ≤ ≤

− >

xx

f x x x

x x

. Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3).

b) 1; 0

( ) 0; 01; 0

− <= = >

xf x x

x. Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5).


a) 2 3.y x= − b) 2 3 .y x= − c) 4 1.y x x= − + +

d) 1

1 .3

y xx

= − +−

e) 1.

( 2) 1y

x x=

+ − f) 3 2 2 .y x x= + − +


a) 5 2

.( 2) 1

xy

x x

−=− −

b) 1

2 1 .3

y xx

= − +−

c) 2

13 .

4y x

x= + +

−

Bài 9: [ĐVH]. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra?

a) 2

2 1; .

6 2

xy K R

x x a

+= =− + −

b) 2

3 1; .

2 4

xy K R

x ax

+= =− +

c) ( )2 1; 0; .y x a x a K= − + − − = +∞ d) ( )2 3 4 ; 0; .1

x ay x a K

x a

−= − + + = +∞+ −

Đáp số: a) a > 11 b) –2 < a < 2

c) a ≤ 1 d) 4

13

a≤ ≤

Bài 10: [ĐVH]. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra?

a) ( )2; 1;0 .

1

x ay K

x a

+= = −− +

b) ( )12 6; 1;0 .y x a K

x a= + − + + = −

−

c) ( )12 1 ; 1; .y x a K

x a= + + + = +∞

−; K = (1; +∞).

Đáp số: a) a ≤ 0 hoặc a ≥ 1 b) –3 ≤ a ≤ –1 c) –1 ≤ a ≤ 1 Bài 11: [ĐVH]. Tìm tập giá trị của hàm số:

a) 2y x= b) 24 3y x x= − + − c) 6 5y x= + d) 29y x= −

Bài 12: [ĐVH]. Tìm miền xác định và miền giá trị hàm số:

a) 2 3y x= − b) 2 4 1y x x= − + −

c) 4

y xx

= + d) 4

y xx

= −



DẠNG 2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 1: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của các hàm số sau

a) 22 2 2y x x= + − trên ( ) ( ); 1 ; 1; .−∞ − − +∞

b) 22 4 1y x x= − + + trên ( ) ( );1 ; 1; .−∞ +∞

Ví dụ 2: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của các hàm số sau

a) 2

3y

x=

− trên ( ) ( );3 ; 3; .−∞ +∞

b) 1

2y

x

−=−

trên ( ) ( );2 ; 2; .−∞ +∞

DẠNG 3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số:

a) 4 23 1y x x= − + b) 22y x x= − + c) 4 8y x x= + Lời giải:

a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 23 1 3 1f x x x x x f x− = − − + = − + = . Vậy f chẵn.

b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )3 32 2f x x x x x f x− = − − + − = − = − . Vậy f lẻ.

c) Ta có: ( ) 41 1 8.1 9f − = + = và ( ) ( ) ( ) ( )41 1 8. 1 7 1 1− = + − = − → ≠ −f f f và ( ) ( )1 1 .≠ − −f f

Vậy f(x) không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ. Ví dụ 2: [ĐVH]. Xét tính chất chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) 2 2y x x= + − − b) 2 1 2 1y x x= + + − c) y x x= +

Lời giải: a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Ta có: ( ) ( )2 2 2 2f x x x x x f x− = − + − − − = − − + = − . Vậy f (x) là hàm số lẻ.

b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Ta có: ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1f x x x x x f x− = + + − − = − + + = . Vậy f(x) là hàm số chẵn.

c) ( )1 1 1 2f = + = và ( ) ( ) ( )1 1 1 0 1 1− = − + = → − ≠ ±f f f nên f không có tính chẵn, lẻ.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:

a) ( )1 khi 0

0 khi 0

1 khi 0

x

y f x x

x

>= = =− <

b) ( )3

3

6 khi 2

khi 2 2

6 khi 2

− − ≤ −= = − < <

− ≥

x x

y f x x x

x x

Lời giải: a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )1 khi 0 1 khi 0

0 khi 0 0 khi 0 .

1 khi 0 1 khi 0

− > < − = − = ⇔ − = = → = − − − < − >

x x

f x x f x x f x f x

x x

Vậy f là hàm số lẻ. b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D.

01. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ – P2 (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng



Ta có: ( )( )

( )( ) ( ) ( )

3 3

33

6 khi 2 6 khi 2

khi 2 2 khi 2 2

6 khi 26 khi 2

x x x x

f x x x f x x x f x f x

x xx x

− − − − ≤ − − ≥ − = − − < − < ⇔ − = − < < → − =

− − ≤ −− − − ≥

.

Vậy f là hàm số chẵn.

DẠNG 4. CÁC HÀM SỐ KHÁC

Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4

.yx

=

...

Ví dụ 2: [ĐVH]. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 1y x= + . ...

Ví dụ 3: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 31.

2y x= −

...

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số 1 1

.1 1

x xy

x x

+ + −=

+ − −

a) Tìm miền xác định của hàm số. b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải:

a) Điều kiện: 1 ( 1) 2 0

1 1 01 1 2 0

x x xx x x

x x

+ ≠ − − ≠ + ≠ − ⇔ ⇔ ⇔ ≠ + ≠ − ≠

.

Vậy { }\ 0D R= .

b)...

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số 2x mx m

yx m

− +=−

. Hãy xác định m sao cho:

a) Đồ thị của hàm số không cắt trục tung. b) Đồ thị của hàm số không cắt trục hoành. c) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

Lời giải:

a) Đồ thị của hàm số 2x mx m

yx m

− +=−

không cắt trục tung khi x = 0 không thuộc tập xác định của hàm số

2x mx my

x m

− +=−

, do đó 0m = .

b) Đồ thị của hàm số 2x mx m

yx m

− +=−

không cắt trục hoành khi:

2

2

0

0

x mx m

x m

x mx m

− + =⇔ − − + =

2

2

4 0

4 0 0 40 4.

02

m m

m m mmm mx

∆ = − <∆ = − =⇔ < < ⇔ ⇔ ≤ < ==

c) Đồ thị hàm số 2x mx m

yx m

− +=−

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt:

2

2

0

( ) 0

x mx m

x m

f x x mx m

− + =⇔ − = − + =

là vô nghiệm

là vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = m

có 2 nghiệm phân biệt

có 2 nghiệm phân biệt và khác m



2 04 0

4( ) 0

mm m

mf m m

<∆ = − >⇔ ⇔ >= ≠ .

Ví dụ 6: [ĐVH]. Gọi ( )D k là đường thẳng có phương trình 1y kx k= − + a) Chứng tỏ rằng khi k thay đổi, đường thẳng dk quay quanh một điểm cố định.

b) Tìm k để dk cắt 4

( ) :C yx

= .

Lời giải: a) Có thể viết phương trình của dk dưới dạng: ( 1) 1y k x= − + .

Khi x = 1 thì y = 1, ∀k. Vậy dk luôn đi qua điểm (1;1)I cố định. b) Phương trình hoành độ giao điểm:

241 (1 ) 4 0, 0.kx k kx k x x

x+ − = ⇔ + − − = ≠

Với 0 4 :k x= ⇒ = đường thẳng 1y = cắt ( )C tại điểm có hoành độ 4x = .

Với k ≠ 0 thì dk cắt ( )C khi phương trình trên có nghiệm, tức là khi: 2 2(1 ) 16 14 1 0k k k k∆ = − + = + + ≥ 2( 7) 48 7 48k k⇔ + ≥ ⇔ + ≤ − hoặc 7 48k + ≥ .

7 2 21k⇔ ≤ − − hoặc 7 2 21k ≥ − + .

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số 4 3 3y x mx mx= + − + (với m là tham số) Hãy tìm tất cả những điểm M nằm trên dường thẳng y = x + 1 sao cho đồ thị của hàm số nói trên không đi qua chúng dù cho m lấy bất kỳ giá trị nào.

Lời giải: Xét điểm 0 0( ; 1)M x x + thuộc đường thẳng y = x + 1

Ta có 0 0( ; 1)M x x + không thuộc đồ thị của hàm số đã cho với mọi m 4 3

0 0 01 3,x x mx m⇔ + ≠ + + ∀ . 3 40 0 0 0( ) ( 2) 0x x n x x⇔ − + − + = là vô nghiệm đối với m 30 0 0

400 0

0 0

12 9

x x x

xx x

− = =⇔ ⇔ = ±− + ≠

Vậy ba điểm cần tìm trên đường thẳng 1y x= + là: ( ) ( ) ( )1 2 30;1 , 1; 0 , 1; 2 .A A A−

Ví dụ 8: [ĐVH]. Chứng minh đồ thị của hàm số:

a) 2 4 3y x x= − + có trục đối xứng là đường thẳng 2x = .

b) 1

1y xx

= + − có tâm đối xứng là điểm ( )0;1I .

Lời giải: Ngoài cách chuyển trục bằng phép tịnh tiến để đưa về hàm số chẵn, hàm số lẻ, ta có thể dùng định nghĩa về trục đối xứng, tâm đối xứng để giải như sau:

a) Tập xác định D = R, ta có: ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 0,f x f x x x x D+ − − = − − − = ∀ ∈

Vậy theo định nghĩa, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng. b) Tập xác định { }. \ 0 .D R=

Ta có: ( ) ( )1 1 1 11 1 1,

2 2f x f x x x x D

x x

+ − = + − + − + + = ∀ ∈

Vậy theo định nghĩa, đồ thị hàm số nhận I(0; 1) làm tâm đối xứng.

Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho hàm số ( )2

.1

xf x

x=

+ Hãy xác định hàm số ( )( ) ( )( )( ),f f x f f f x .

Lời giải:



( )( ) ( )( )

2 2

2 2 2 2

22

1 1

1 1 211 1

1

x x

f x xx xf f xf x x xx

xx

+ += = = =+ + +− + +

( )( )( ) ( )( )( )( )

2 2

2 2 2 2

22

1 2 1 2

1 31 11 1 21 2

x xf f x xx xf f f x

x xf f x xx

x

+ += = = =+ + ++ + +

.

Ví dụ 10: [ĐVH]. Hãy xác định hàm số ( ),y f x x R= ∈ biết rằng:

a) ( )3 2 1f x x+ = − b) ( ) 21 3 3f x x x− = − + .

Lời giải: a) Đặt 3 3,u x x u= + ⇔ = − ta được: ( ) ( )2 3 1 2 7, .f u u u u R= − − = − ∈

Vậy hàm số cần tìm là: ( ) 2 7, .f x x x R= − ∈

b) Đặt 1 1x u x u− = ⇔ = +

Ta có: ( ) 21 3 3, .f x x x x R− = − + ∀ ∈

( ) ( ) ( )21 3 1 3,f u u u u R⇔ = + − + + ∀ ∈

( ) 2 1, .f u u u u R⇔ = − + ∀ ∈

Vậy hàm số cần tìm là ( ) 2 1, .f x x x x R= − + ∀ ∈

Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho , , 0a b R a∈ ≥ . Chứng minh rằng tồn tại hàm số ( ),y f x x R= ∈ sao cho

( )( ) ,f f x ax b x R= + ∀ ∈ .

Lời giải:

Chọn ( ) . ,1

bf x a x x R

a= + ∈

+

Ta có: ( )( ) ( ). .1 1 1

b b bf f x a f x a a x

a a a

= + = + + + + +

ax , :1 1

b a bax b x R

a a

= + + = + ∀ ∈ + +

đpcm.

Ví dụ 12: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết 1 1 8

3 53 2 2 1

− − − = + − −

x xf f

x x x

Đ/s: 28 4

( )5

+= xf x

x

Ví dụ 13: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết 22 12

1

+ = + −

xf x x

x

Đ/s: 2

2

3 3( )

( 2)

−=−

xf x

x

Ví dụ 14: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết 3 1 1

2 1

− + = + −

x xf

x x

Đ/s: 4

( )3 2

+=−

xf x

x


Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh hàm số không có tính chẵn, lẻ:

a) 3y x= + b) 23 4 2y x x= − + c) 1

2

xy

x

+=−

d) 2

3 5

2

xy

x

+=−

Bài 2: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:



a) ( ) 2

2007

4

xf x

x=

− b) ( )

4 2

2

2 1

9 1

x xf x

x

+ +=−

c) 1 1y x x= + − − d) 4 4y x x= − + +

Bài 3: [ĐVH]. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) ( ) 0f x = b) ( ) ( ) ( )2 23 32 1 2 1f x x x= + + −

c) ( ) 4 3 72f x x x= − + d) ( )3

3

1; 1

0, 1 1

1, 1

x x

f x x

x x

+ ≤ −

= − < < − ≥

Bài 4: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:

a) 2 3; .y x R= + b) 5; .y x R= − +

c) ( ) ( )2 4 ; ;2 , 2;y x x= − −∞ +∞ d) ( ) ( )22 4 1; ;1 , 1;y x x= + + −∞ +∞

Bài 5: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:

a) ( ) ( )4; ; 1 , 1;

1y

x= −∞ − − +∞

+ b) ( ) ( )3

; ;2 , 2;2

yx

= −∞ +∞−

c) 6 9y x= − + d) 6 9y x= − +

e) 2

5 3y

x=

− f)

3 2

1

xy

x

−=+

Bài 6: [ĐVH]. Xác định ( ) ( ) ( ) ( )( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )g f x f g x g g x f f x khi:

a) ( ) ( ) 22 4, 13f x x g x x= − = + b) ( ) ( )2 1, 6 4

3 1

xf x g x x

x

+= = −+

Bài 7*: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) biết

a) ( ) 23 6f x x x+ = + − b) ( ) ( ). 1f x x f x x− − = +

c) ( ) 22 1

xf x xf

x + = −

d) ( ) 1 11

1 + = + − −

f x f xx x

Bài 8*: [ĐVH]. Xác định hàm số f(x) và g(x) biết:

a) ( ) ( )1 . 1 2

1 11

1 1

f x x g x x

x xf g x

x x

+ + + = + + + = − − −

b) ( ) ( )2 1 1 1

12 3

1 2 2

f x g x x

xf g

x x

− + − = − + = + +



DẠNG 1. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT – ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng: a) Đi qua ( )1; 20M − − và ( )3; 8N

b) Đi qua ( )2; 5N − và có hệ số góc bằng −1,5.

Lời giải: a) Phương trình đường thẳng có dạng :d y ax b= +

Đi qua M, N nên 20 7

8 3 13

a b a

a b b

− = − + = ⇔ = + = −

. Vậy : 7 13.d y x= −

b) Có hệ số a = −1,5 nên 1,5y x b= − +

Đi qua ( )2; 5I − nên ( )5 1,5 2 2b b= − − + ⇒ = . Vậy : 1,5 2.d y x= − +

Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc O và a) song song với đường thẳng 7 3y x= −

b) vuông góc với đường thẳng 1

13

y x= + .

Lời giải: Đường thẳng đi qua gốc O có dạng y ax=

a) Đường thẳng 7 3y x= − có hệ số góc ' '7 7a a a= ⇒ = = Vậy : 7d y x= song song với đường thẳng 7 3y x= − .

b) Đường thẳng 1

13

y x= + có hệ số góc 1

3′ =a mà . 1′ = −a a nên

13.= − =

′a

a Vậy : 3d y x= vuông góc với đường

thẳng 1

13

y x= + .

Ví dụ 3: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng đi qua:

a) ( )8; 3P và ( )8; 5Q − b) ( )4; 3M − và song song với 2

' : 13

d y x= − + .

Lời giải: a) Ta có : 8P Qx x= = nên đường thẳng PQ vuông góc với trục hoành. Vậy : 8PQ x = .

b) Đường thẳng song song với đường thẳng 2

13

y x= − + có dạng 2

, 1,3

y x b b= − + ≠ d qua ( )4; 3M − nên:

8 13

3 3− = − + ⇒ = −b b (chọn). Vậy

2 1:

3 3d y x= − − .

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có 3 đỉnh ( )6; 3A − − , ( )2; 5B − , ( )4; 8C . Lập phương trình các cạnh, phương

trình đường cao AH và trung tuyến AM. Lời giải:

Đường thẳng :AB y ax b= + qua A, B nên:3 6 2

.5 2 9

a b a

a b b

− = − + = = = − + =

Vậy : 2 9AB y x= + .

Đường thẳng :BC y ax b= + đi qua B, C nên:

15 2 2.

28 4

3

aa b

a bb

== − + = = + =

Vậy 1

: 62

BC y x= + .

Đường thẳng :CA y ax b= + qua C, A nên:

118 4 10

3 6 18

5

aa b

a bb

= −= + ⇒ − = − + =

. Vậy 11 18

:10 5

CA y x= − + .

02. HÀM SỐ BẬC NHẤT – P1 Thầy Đặng Việt Hùng



Đường cao AH vuông góc với BC nên có dạng: 6

13y x b= +

AH qua A nên: 36 3

313 13

b b− −− = + ⇒ = . Vậy

6 3:

13 13AH y x= − .

Trung điểm của BC là 13

1;2

M

phương trình đường thẳng AM có dạng y ax b= + , đi qua A, M: nên ta có hệ phương

trình

193 6

1413

722

14

a b a

a bb

− = − + = ⇔ = + =

. Vậy 19 72

:14 14

AM y x= − .

DẠNG 2. ĐỒ THỊ HÀM BẬC NHẤT

Ví dụ 1: [ĐVH]. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y = x + 3 b) y = −2x + 1 c) 2 1

5

+= xy

Ví dụ 2: [ĐVH]. Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a)2 ; 0

; 0

≥= − <

x xy

x x b)

2; 1

; 1 1

2; 1

+ < −= − − ≤ ≤ − >

x x

y x x

x x

Ví dụ 3: [ĐVH]. Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) 1 1= + − −y x x b) 1 2 .= + − + −y x x x


Bài 1: [ĐVH]. Tìm các cặp đường thẳng song song:

a) 2 1y x= + b) 3y x= − c) 4 2y x= +

d) 4y x= − − e) 2 2y x= − + f) 2 3y x= − −

Bài 2: [ĐVH]. Xác định đường thẳng:

a) đi qua hai điểm A(−1; −20) và B(3; 8).

b) đi qua điểm I(1; 3) cắt Ox, Oy tại M, N mà OM = ON.

Bài 3: [ĐVH]. Xác định đường thẳng:

a) đi qua A(1;3) và song song với đường thẳng 4 5y x= −

b) đi qua M(−3; −2) và vuông góc với đường thẳng ( ) : 3 5 4.d x y− + =

Bài 4: [ĐVH].

a) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng 5 6y x= + và 10y x= −

b) Biện luận tương giao 2 đồ thị: 4; 3 .y mx y x m= + = −

Bài 5: [ĐVH]. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số 2 ( 1)y x m x= − + +

a) Đi qua gốc tọa độ O

b) Đi qua điểm M(-2;3)

c) Song song với đường thẳng 2y x=

d) Vuông góc với đường thẳng y x= −

Bài 6: [ĐVH]. Xác định tham số a và b để đồ thị của hàm số y ax b= + :

a) Đi qua hai điểm ( 1; 20)A − − và (3;8)B



b) Đi qua hai điểm ( 1;3)A − và (1;2)B

c) Đi qua hai điểm 2

; 23

A −

và (0;1)B

d) Đi qua hai điểm (4;2)A và (1;1)B


a) Đi qua điểm (1; 1)A − và song song với đường thẳng 2 7y x= +

b) Đi qua điểm (3;4)A và song song với đường thẳng 5 0x y− + =

c) Đi qua điểm (4; 3)M − và song song với đường thẳng d: 2

13

y x= − +

d) Đi qua điểm (3; 5)M − và điểm N là giao điểm của hai đường thẳng 1 : 2d y x= và đường thẳng

2 : 3d y x= − − .

Bài 8: [ĐVH]. Vẽ các đường thẳng:

a) 2 7y x= − b) 3 5y x= − + c) 3

2

xy

−= d) 5

3

xy

−=

Bài 9: [ĐVH]. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên hàm số sau:

a) ( ) 2 , 0

, 0

≥= = − <

x xy f x

x x b) ( ) 1, 0

2 , 0

+ ≥= = − <

x xy f x

x x



DẠNG 3: TỔNG HỢP VỀ HÀM BẬC NHẤT

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:

a) 3 2y x= − và 5

4x = b) 3 2y x= − + và ( )4 3y x= −

Lời giải:

a) Thế 5

4x = vào

15 73 2 2

4 4y x= − = − = . Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại

5 7;

4 4I

.

b) Phương trình hoành độ giao điểm: ( )3 2 4 3 14 7 2x x x x− + = − ⇔ = ⇔ =

Thế vào 4y = . Vậy giao điểm ( )2; 4I − .

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hai đường thẳng 2 1y x m= + − và 3 1y x m= − − . a) Hãy xác định tọa độ giao điểm A của hai đồ thị nói trên. b) Chứng minh rằng khai m thay đổi thì giao điểm A luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn giải: a) Tọa độ ( );x y của giao điểm A thỏa mãn hệ phương trình:

2 1 2 1 3 1 2.

3 1 2 1 5 1

y x m x m x m x m

y x m y x m y m

= + − + − = − − = ⇔ ⇔ = − − = + − = −

b) Ta có: 2 25 1 5

12

A

A

AA A

xmx m

y my x

== ⇔ = − = −

Vậy giao điểm A luôn luôn nằm trên đường thẳng 5

12

y x= − cố định.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm m để 3 đường thẳng: a) 2 ; 3 ; 5y x y x y mx= = − − = + đồng quy.

b) ( )5 1 ; 3y x y mx= − + = + ; 3y x m= + phân biệt và đồng quy.

Hướng dẫn giải: a) Hai đường thẳng 2y x= và 3y x= − − cắt nhau tại điểm C có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:

2 2 2 1

3 2 3 3 3 2

y x y x y x x

y x x x x y

= = = = − ⇔ ⇔ ⇔ = − − = − − = = −

.

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy, thì tọa độ của điểm ( )1; 2C − − thỏa mãn phương trình 5y mx= + .

( )5 2 . 1 5 7.C Cy mx m m= + ⇔ − = − + ⇔ =

b) Hai đường thẳng ( )5 1y x= − + và 3y x m= + cắt nhau tại 5 5 15

;8 8

m mN

+ − −

Đường thẳng 3y mx= + cũng đi qua N khi và chỉ khi 25 15 53 10 39 0

8 8

m mm m m

− − + = + ⇔ + − =

Giải được 13m = − và 3m = - Với 13m = − , ba đường thẳng ( )5 1 ; 13 3y x y x= − + = − + và 3 13y x= − đồng quy tại điểm ( )1 1; 10N − .

- Với 3m = , hai đường thẳng 3y mx= + và 3y x m= + trùng nhau và trùng với đường thẳng 3 3y x= + . Do đó trường hợp này bị loại. Vậy 13m = − . Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số ( )2 1 3 1y m x m= − + + , m là tham số.

a) Tùy theo m, xét sự biến thiên của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.

Hướng dẫn giải: a) Đường thẳng có hệ số góc 2 1,a m D R= − =

02. HÀM SỐ BẬC NHẤT – P2 Thầy Đặng Việt Hùng



Nếu 1

2m > thì 0a > : hàm số đồng biến trên R.

Nếu 1

2m < thì 0a < : hàm số nghịch biến trên R.

Nếu 1

2m = : ta được hàm số hằng

5.

2y =

b) ( ) ( )2 1 3 1 2 3 1y m x m y m x x= − + + ⇔ = + − +

( )2 3 1 0m x x y⇔ + − − + =

Với 3

2x = − thì

5

2y = . Như vậy tọa độ của điểm

3 5;

2 2A −

nghiệm đúng hàm số với mọi m. Vậy tọa độ của hàm số

luôn đi qua 3 5

;2 2

A −

cố định.

Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm các cặp đường thẳng song song:

a) 1

12

y x= + b) 1

32

y x= − + c) 2

22

y x= +

d) 2 2y x= − e) 1

12

y x= − g) 2

12

y x

= − −


Hai đường thẳng y ax b= + , ' 'y a x b= + song song khi '

'

= ≠

a a

b b

Do đó có ba cặp đường thẳng song song là: 1

12

y x= + và 1

12

y x= −

22 2 2

2y x x= + = + và 2 2y x= −

13

2y x= − + và

2 11 1.

2 2y x x

−= − − = +

Ví dụ 6: [ĐVH]. Trên mặt phẳng tọa độ cho 2 đường thẳng 1 : 1 0d x y− + = và 2 : 3 3 0d x y− − = cắt nhau tại A. Hãy

viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 1) sao cho ∆ cắt d1, d2 lần lượt tại B, C và ∆ABC là tam giác vuông. Hướng dẫn giải:

Ta có: 1 : 1 0 1d x y y x− + = ⇔ = + nên có hệ số góc là 1 1k =

Và 2

1: 3 3 0 1

3d x y y x− − = ⇔ = − nên có hệ số góc 2

1

3k = .

Vì 1 2

1. 1

3k k = ≠ − nên 2 đường thẳng này không vuông góc. Do đó tam giác ABC vuông khi

1 1. 1 1d k k k∆ ⊥ ⇔ = − ⇔ = − nên phương trình đường thẳng ∆ là : ( )1 1 1 2y x y x− = − − ⇔ = − + .

Xét 1 2

1. 1 . 1 3

3d k k k k∆ ⊥ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − nên phương trình đường thẳng ∆ là ( )1 3 1 3 4y x y x− = − − ⇔ = − + .



a) Cắt đường thẳng 1 : 2 5d y x= + tại điểm có hoành độ bằng -2 và cắt đường thẳng 2 : 3 4d y x= − + tại điểm

có tung độ bằng -2

b) Song song với đường thẳng 1

2y x= và đi qua giao điểm của hai đường thẳng

11

2y x= − + và 3 5y x= +

c) Qua điểm (1; 3)H − và cắt trục hoành tại điểm K có hoành độ là 4 Bài 2: [ĐVH]. Xác định tham số a và b để đồ thị của hàm số y ax b= + :

a) Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 2 và song song với đường thẳng 3 4 36x y− =



b) Đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng y x=

c) Đi qua điểm (1;1)A và vuông góc với đường thẳng 1y x= − +

Bài 3: [ĐVH]. Cho A(1; 4).

a) Tìm hình chiếu của A lên Ox, Oy, lên : 27 2 0d x − + =

b) Tìm điểm đối xứng của A qua d.

Bài 4: [ĐVH]. Tìm điểm đối xứng qua ( ) : 3 4 6 0d x x+ − =

a) gốc O(0; 0) b) điểm I(1; 2).

Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy: 8 6

4 3 5 0

2 2 3 0

y x

x y

x y

= − + − = − − =

Bài 6: [ĐVH]. Tìm a để ba đường thẳng sau đây đồng quy?

a) 2 ; 3; 5.y x y x y ax= = − − = +

b) 2 8; 5 ; 4 5.y ax y x a y x= − = − = −

Bài 7: [ĐVH]. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?

a) (2 3) 1= + − +y m x m b) (2 5) 3= + + +y m x m

c) 3= − −y mx x d) ( 2)= +y m x

Bài 8: [ĐVH]. Cho ba điểm A(1; 2), B(2; −1), C(−1; 0)

a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, AC.

b) Tính cạnh AB, BC, CA. Tam giác ABC có đặc điểm gì?

c) Lập phương trình đường cao AH.

Bài 9: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4), C(−1; 3).

a) Lập phương trình 3 đường cao và tìm trực tâm.

b) Lập phương trình 3 trung tuyến và tìm trọng tâm.

c) Lập phương trình 3 trung trực và tìm tâm đường tròn ngoại tiếp.

Bài 10: [ĐVH]. Cho họ đường thẳng ( ) ( ): 1 2 3 1d m x my m+ + = − . Tìm m để:

a) (d) tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính bằng 1.

b) (d) cách gốc O một đoạn lớn nhất.

Bài 11: [ĐVH]. Nêu cách suy đồ thị:

a) 2 3y x= + thành đồ thị: 2 3y x= +

b) 2y x= − thành đồ thị: 2y x= − +

c) 5 3y x= + thành đồ thị: 5 3y x= − +

Bài 12: [ĐVH]. Vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên:

a) 3 6y x= − b) 2 3y x x= − − −

Bài 13: [ĐVH]. Vẽ 2 đồ thị và tìm quan hệ giữa 2 đồ thị:

a) 2y x= − và 3y x= − b) 4y x= − và 4y x= −


Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

VIDEO BÀI GI ẢNG và LỜI GIẢI CHI TI ẾT BÀI T ẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC 2 – PARABOL

Ví dụ 1: [ĐVH]. Xác định parabol ( ) 2:P y ax c= + biết:

a) 3y = tại 2x = , và có giá trị nhỏ nhất là −1.

b) Đỉnh là ( )0; 3I và một trong hai giao điểm của ( )P với trục hoành là ( )2; 0A − .

Lời giải:

a) Ta có : ( ) 42 3, 0, 1 4 3, 0, 1

4

acf a a c a

a a

∆= > − = − ⇔ + = > = − .

1, 1 0.c a⇔ = − = > Vậy ( ) 2: 1P y x= − .

b) Theo giả thiết : ( )0 40, 3, 2 0 3, 4 0

2 4

acf a c

a a a

∆= − = − = ⇔ = + =

33; .

4c a⇔ = = − Vậy ( ) 23

: 34

P y x= − +

Ví dụ 2: [ĐVH]. Xác định parabol ( ) ( )2:P y a x m= − biết :

a) Đỉnh ( )3; 0I − và cắt trục tung tại ( )0; 5M − .

b) Đường thẳng 4y = cắt ( )P tại ( )1; 4A − và ( )3; 4B .

Lời giải:

a) ( ) ( )2 2 2: 2P y a x m ax amx am= − = − +

Theo giả thiết : ( )3; 0, 0 52 4

bf

a a

∆− = − − = = −

2 2 2 224 4

3, 0, 54

a m a mm am

a

−⇔ = − = = −

53, .

9m a⇔ = = − Vậy ( ) ( )25

: 39

P y x= − + .

b) Theo giả thiết: ( ) ( ) ( ) ( )2 21 4, 3 4 1 4, 3 4f f a m a m− = = ⇔ − − = − =

Do đó ( ) ( )2 2 2 21 3 1 2 9 6m m m m m m− − = − ⇒ + + = − +

1m⇒ = nên 1a = . Vậy ( ) ( )2: 1 .P y x= −

Cách khác : ( )P có trục đối xứng :d x m= nên theo giả thiết 12

A Bx xm

+= = .

Ví dụ 3: [ĐVH]. Xác định parabol 2 2y ax bx= + + biết rằng parabol :

a) đi qua hai điểm ( )1; 5M và ( )2; 8N − .

b) đi qua điểm ( )3; 4B − và có trục đối xứng 3

2x = − .

c) đi qua điểm ( )1; 6B − , đỉnh có tung độ 1

4− .

Lời giải: a) Theo giả thiết ta có:

( )( )1 5 2 5 3 2

4 2 2 8 4 2 6 12 8

f a b a b a

a b a b bf

= + + = + = = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − = =− =

Vậy ( ) 2: 2 2.P y x x= + +

03. HÀM SỐ BẬC HAI – P1 Thầy Đặng Việt Hùng



b) Theo giả thiết: ( )3 4 1

9 3 633 3 012 2

fa b a

b a bba

= − + = − = − ⇔ ⇔ − =− = − = −

Vậy ( ) 21: 2.

3P y x x= − − +

c) Theo giả thiết: ( )

2 2

1 6 4 41

8 9 04 4

f a b a b

b a a b aa

− = − = − = ⇔ ⇔ ∆ − = − =− = −

Ta có 4a b= + nên : 2 9 36 0 3b b b− − = ⇔ = − hoặc 12b = 1a⇒ = hoặc 16a = .

Ví dụ 4: [ĐVH]. Xác định hàm số bậc hai 22y x bx c= + + biết rằng đồ thị :

a) Có trục đối xứng là đường thẳng 1x = và cắt trục tung tại điểm ( )0; 4 .

b) Có đỉnh là ( )1; 2 .I − −

c) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm ( )1; 2 .I −

Lời giải:

a) Theo giả thiết :

( )

1 42 .

40 4

bb

ac

f

− = = − ⇔ = =

Vậy ( ) 2: 2 4 4.P y x x= − +

b) Theo giả thiết:

( )

1 4 42

2 2 01 2

bb b

ab c c

f

− = = − = ⇔ ⇔ − + = − = − = −

. Vậy ( ) 2: 2 4P y x x= +

c) Theo giả thiết:

( )

2 8 82

2 2 41 2

bb b

ab c c

f

− = = − = − ⇔ ⇔ + + = − = = −

. Vậy ( ) 2: 2 8 4P y x x= − + .

Ví dụ 5: [ĐVH]. Xác định parabol 2y ax bx c= + + :

a) đi qua ( )0; 1 ,A − ( )1; 1 ,B − ( )1;1C −

b) đi qua ( )8; 0A và có dỉnh ( )6; 12I −

Lời giải:

a) Theo giả thiết:

( )( )( )

0 1 1 1

1 1 1 1

1 11 1

f c a

f a b c b

a b c cf

= − = − = = − ⇔ + + = − ⇔ = − − + = = −− =

. Vậy ( ) 2: 1P y x x= − − .

b) Theo giả thiết:

( )( )8 0 64 8 0 3

6 12 36 6 12 36

12 0 966

2

f a b c a

f a b c b

a b cb

a

= + + = = = − ⇔ + + = − ⇔ = − + = = − =

. Vậy ( ) 2: 3 36 96P y x x= − + .

Ví dụ 6: [ĐVH]. Xác định parabol ( ) 2: :P y ax bx c= + +

a) Đạt giá trị nhỏ nhất 3/4 khi x = 1/2 và nhận giá trị y = 1 tại x = 1 b) Đạt giá trị lớn nhất bằng 1/4 khi x = 3/2 và tổng lập phương các nghiệm của y = 0 bằng 9.

Lời giải:

a) Theo giả thiết:

( )

00

11 00

2 2131 3

14 2 42 41

1 1

aa

baa b

aba b

cf ca b c

f

>>

− = = >+ = ⇔ ⇔ = − + + = = =

+ + = =

. Vậy ( ) 2: 1.P y x x= − +

b) 20 0y ax bx c= ⇔ + + =



Khi 0∆ ≥ thì ( ) ( )3 2

33 31 2 1 2 1 2 1 2 3

33

b c b abc bx x x x x x x x

a a a a

− + = + − + = − − =

Theo giả thiết:

3 33

3

003

1 03 02 233 1 9 3 1

2 4 24 2 4

3 939

aab

aa bab

f a b cc

abc b aabc b

a

< <− = = − <+ = ⇔ ⇔ = = + + = = −

+ = − =

. Vậy ( ) 2: 3 2.P y x x= − + −

Ví dụ 7: [ĐVH]. Xác định parabol ( ) 2:P y ax bx c= + + biết rằng :

a)( )P đi qua ( )2; 3M − , ( )2; 3N và tiếp tuyến ở đỉnh của ( )P là đường thẳng y = 1.

b) Nhận trục tung làm trục đối xứng và cắt đường thẳng 2

xy = tại các điểm có hoành độ là −1 và 3/2

Lời giải: a) Đường thẳng 1y = là tiếp tuyến tại đỉnh nên 1 1y = .

Theo giả thiết :

( )( )

2 22

2 3 4 2 3 4 2 3 0 0

2 3 4 2 3 0 1

4 3 14 4 4 441 24

f a b c a b c b b

f a b c b ac a c

a cac b a ac b ab ac aa

− = − + = − + = = = = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + =− = − = − =− =

.

b) Vì đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng cho nên hàm số ( ) 2y f x ax bx c= = + + là hàm số chẵn, do đó

( ) ( ) 2 2, , 2 0, 0f x f x x ax bx c ax bx c x bx x b− = ∀ ⇒ + + = − + ∀ ⇒ = ∀ ⇒ = . Do đó 2y ax c= + .

Vì parabol cắt đường thẳng 2

xy = tại các điểm có hoành độ −1 và

3

2 nên ( )P đi qua hai điểm

11;

2M − −

,

3 3;

2 4N

.

Ta có hệ phương trình : ( ) 1 11 1

2 233 3 9 322 4 4 4

f aa c

a cf c

− = − =+ = − ⇔ ⇔ = − = + =

. Vậy ( )P là 2 3.

2y x= −


Bài 1: [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:

a) ( ) 2: 2P y ax bx= + + đi qua điểm ( )1;0A và có trục đối xứng 3

2x = .

b) ( ) 2: 4P y ax x c= − + có trục đối xứng là đường thẳng 2x = và cắt trục hoành tại điểm ( )3;0M .


a) ( ) 2: 3P y ax bx= + + đi qua điểm ( )1;9A − và có trục đối xứng 2= −x .

b) ( ) 2: 2P y x bx c= + + có trụ đối xứng là đường thẳng 1x = và cắt trục tung tại điểm ( )0;4M .


a) ( ) 2: 4P y ax x c= − + đi qua hai điểm ( )1; 2A − và ( )2;3B .

b) ( ) 2: 4P y ax x c= − + có đỉnh là ( )2; 1I − − .




a) ( ) 2: 4P y ax x c= − + có hoành độ đỉnh là 3− và đi qua điểm ( )2;1A − .

b) ( ) 2:P y ax bx c= + + đi qua điểm ( )0;5A và có đỉnh ( )3; 4I − .


a) 2( ) :P y ax bx c= + + đi qua điểm ( )2; 3A − và có đỉnh ( )1; 4I − .

b) 2( ) :P y ax bx c= + + đi qua điểm ( )1;1A và có đỉnh ( )1;5I − .


a) 2( ) :P y ax bx c= + + đi qua các điểm ( ) ( ) ( )1;1 , 1;3 , 0;0A B O− .

b) 2( ) :P y ax bx c= + + đi qua các điểm ( ) ( ) ( )0; 1 , 1; 1 , 1;1A B C− − − .


a) 2( ) :P y ax bx c= + + đi qua các điểm ( ) ( ) ( )1;1 , 0;2 , 1; 1A B C− − .

b) ( ) 2:P y x bx c= + + đi qua điểm ( )1;0A và đỉnh I có tung độ bằng 1− .

c) 2( ) :P y ax bx c= + + có đỉnh là ( )3; 1I − và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là 1.




DẠNG 2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 2

Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) 2 6y x x= − b) 2 4 5y x x= − + + …

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho ( ) 2: 2 4 6P y x x= − − +

a) Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng vẽ ( )P

b) Tìm x sao cho 0y ≥ . ...

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho ( ) 21: 4

2P y x x= + − .

a) Vẽ đồ thị.

b) Biện luận số nghiệm phương trình: 210

2x x m+ − = .

...

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho ( ) 2: 2 3 1P y x x= − +

a) Vẽ đồ thị ( )P .

b) Xác định m để phương trình 22 3 1x x m− + = không có nghiệm; có hai nghiệm; có 3 nghiệm; có 4 nghiệm.

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) 2

khi 0

2 khi 0

x xy f x

x x x

− ≤= = − + >

a) Vẽ đồ thị hàm số. b) Xác định m để phương trình ( )f x m= có 3 nghiệm phân biệt.

... Ví dụ 6: [ĐVH]. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số :

a) 2 2y x x= + b) 20,5 1 1y x x= − − +

...

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho ( ) 2: 4 3P y x x= − +

a) Vẽ đồ thị ( ).P Suy ra đồ thị ( ) 2 4 3y g x x x= = − +

b) Tìm m để phương trình 2 4 3x x m− + = có 8 nghiệm phân biệt.

…

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho parabol ( ) 2: , 0P y ax bx c a= + + ≠ . Xét dấu hệ số a và biệt thức ∆ khi:

a) ( )P hoàn toàn nằm phía trên trục hoành

b) ( )P hoàn toàn nằm phía dưới trục hoành

c) ( )P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành.

DẠNG 3. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số :

a) 1y x= − và 2 2 1y x x= − − b) 2 5y x= − và 2 4 1y x x= − − Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 2 22 1 1 3 0 0x x x x x x− − = − ⇔ − = ⇔ = hoặc 3x =

Khi 0x = thì 1y = − ; 3x = thì 2y =

Vậy có 2 giao điểm ( )0; 1A − và ( )3; 2A .




b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 2 24 1 2 5 6 4 0x x x x x− − = − ⇔ − + =

' 9 4 5∆ = − = nên 1 3 5x = − , 2 3 5x = +

Khi 1 3 5x = − thì 1 1 2 5y = − , khi 2 3 5x = + thì 2 1 2 5y = + .

Vậy có 2 giao điểm ( ) ( )3 5;1 2 5 , 3 5;1 2 5M N− − + + .

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường parabol:

a) 2 4y x= − và 24y x= − b) 2

14

xy x= + + và 2 2 1y x x= − +

Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 24 4 2 8 4 2x x x x x− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± Khi 2x = − thì 0y = ; 2x = thì 0y = . Vậy có 2 giao điểm ( )2; 0A − và ( )2; 0B .

b) Phương trình hoành độ giaod điểm: 2

2 21 2 1 3 4 0 04

xx x x x x x+ + = − + ⇔ − = ⇔ = hoặc 4x =

Khi 0x = thì 1y = ; 4x = thì 9y = . Vậy có 2 giao điểm ( )0;1I và ( )4; 9J .

Ví dụ 3: [ĐVH]. Chứng minh đường thẳng:

a) 3y x= − + cắt ( ) 2: 4 1P y x x= − − +

b) 2 5y x= − tiếp xúc với ( ) 2: 4 4P y x x= − +

Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 23 4 1 3 2 0x x x x x− + = − − + ⇔ + + = Vì 9 8 0∆ = − > nên đường thẳng cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt.

b) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 24 4 2 5 6 9 0x x x x x− + = − ⇔ − + = Vì 9 9 0∆ = − = nên đường thẳng tiếp xúc với ( )P .

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số 2 2 1.y x x m= − + − Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số: a) Không cắt trục Ox b) Tiếp xúc với trục Ox c) Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ở về bên phải gốc O.

Lời giải: Cho ( )20 2 1 0; ' 1 1 2y x x m m m= ⇔ − + − = ∆ = − − = −

a) Đồ thị không cắt trục Ox khi ' 0 2 0 2m m∆ < ⇔ − < ⇔ > . b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox khi ' 0 2 0 2m m∆ = ⇔ − = ⇔ = . c) Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ở về bên phải gốc O khi phương trình có nghiệm dương phân biệt

' 0 2 02

0 1 0 1 21

0 1 0

mm

P m mm

S

∆ > − > < > ⇔ − > ⇔ ⇔ < < > > >

.

Ví dụ 5: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của đường thẳng ( ) : 2d y x m= + với ( ) 2: 6.P y x x= + − Khi cắt 2 điểm A,

B, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB. Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 26. 2 6 0x x x m x x m+ − = + ⇔ − − − =

( )1 4 6 4 25.m m∆ = + + = + Do đó:

Nếu 25

4m < − thì 0 :∆ < phương trình vô nghiệm nên( )d và( )P không có điểm chung.

Nếu 25

4m = − thì 0 :∆ = phương trình có nghiệm kép nên( )d tiếp xúc với ( )P .

Nếu 25

4m > − thì 0 :∆ > phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên( )d và( )P có hai điểm chung phân biệt.

Giả sử ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt thì A, B có tọa độ: ( )1 1; 2A x x m+ và ( )2 2; 2B x x m+ .

Do đó trung điểm của đoạn thẳng AB là 1 21 2;

2

x xI x x m

+ + +



Theo định lí Vi-ét, ta có 1 2 1x x+ = nên điểm 1

: 21

xI

y m

= = +

Vì điều kiện 25

4m > − nên

19

5y > − . Vậy quỹ tích của trung điểm I là phần đường thẳng:

1,

2x = giới hạn

19.

5y > −

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho parabol ( ) 2: 4 3P y x x= − +

Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( )4;1A biết rằng:

a) d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt b) d tiếp xúc với ( )P .

Lời giải: Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua A, phương trình của d là:

( )1 4 4 1y k x y kx k− = − ⇔ = − +

Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 24 3 4 1 4 4 2 0x x kx k x k x k− + = − + ⇔ − + + + =

( ) ( )2 24 4 4 2 8 4k k k k∆ = + − + = − + .

a) d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt khi 0∆ >

( )22 8 4 0 4 8 4 2 2 4 2 2k k k k k⇔ − + > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ < − hoặc 4 2 2k > − .

Phương trình : 4 1d y kx k= − + .

b) d tiếp xúc với ( )P khi 20 8 4 0 4 2 2k k k∆ = ⇔ − + = ⇔ = ±

Vậy ( ) ( ): 4 2 2 15 8 2; 4 2 2 15 8 2d y x y x= + − − = − − + .

Ví dụ 7: [ĐVH]. Lập phương trình tiếp tuyến với ( ) 2: 1P y x x= + −

a) Tại điểm ( )2;1A − b) đi qua ( )1; 5B − −

Lời giải: a) Đường thẳng d đi qua ( )2;1A − có hệ số góc k:

( )1 2 2 1y k x y kx k− = + ⇔ = + +

Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 21 2 1 1 2 2 0x x kx k x k x k+ − = + + ⇔ + − − − =

Điều kiện tiếp xúc: ( ) ( )2 20 1 4 2 2 0 6 9 0 3.k k k k k∆ = ⇔ − + + = ⇔ + + = ⇔ = − Vậy tiếp tuyến : 3 5d y x= − − .

b) Đường thẳng d đi qua ( )1; 5B − có hệ số góc 'k :

Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 21 5 1 4 0x x kx k x k x k+ − = + − ⇔ + − + − =

Điều kiện tiếp xúc: ( ) ( )2 20 1 4 4 0 2 15 0 3k k k k k∆ = ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ = hoặc 5k = − .

Khi 3k = , phương trình tiếp tuyến 1 : 3 2d y x= −

Khi 5k = − , phương trình tiếp tuyến 2 : 5 10d y x= − − .

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho parabol ( ) 2: 3 2P y x x= − + . Lập phương trình tiếp tuyến của ( )P biết rằng:

a) Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng 450

b) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 2 1y x= +

c) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 1

23

y x= − +

Lời giải: a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox một góc bằng 450 nên hệ số góc của đường thẳng d là 0tan 45 1d = = , do đó : .d y x b= +

Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 23 2 4 2 0x x x b x x b− + = + ⇔ − + − =

Điều kiện tiếp xúc: ( )' 4 2 0 2b b∆ = − − = ⇔ = −

Vậy phương trình đường thẳng d là 2y x= − . b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng 2 1y x= + nên hệ số góc của d bằng 2, do đó : 2 , 1.d y x b b= + ≠

Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 23 2 2 5 2 0x x x b x x b− + = + ⇔ − + − =

Điều kiện tiếp xúc: ( ) 17' 25 4 2 0

4b b∆ = − − = ⇔ = − .



Vậy phương trình tiếp tuyến d là 17

2 .4

y x= −

c) Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng 1

23

y x= − + nên có hệ số góc của d bằng 3, do đó : 3d y x b= +

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 23 2 3 6 2 0x x x b x x b− + = + ⇔ − + − = Điều kiện tiếp xúc: ( )' 9 2 0 7b b∆ = − − = ⇔ = − .

Vậy phương trình tiếp tuyến d là 3 7.y x= −

Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm m để đường thẳng : 1d y x= − cắt parabol ( ) 2: 1P y x mx= + + tại hai điểm P, Q mà đoạn

3PQ = . Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: ( )2 21 1 1 2 0x mx x x m x+ + = − ⇔ + − + =

Điều kiện cắt tại 2 điểm 2, : 0 2 7 0P Q m m∆ > ⇔ − − >

Ta có ( ) ( )2 22 1 2 13 9PQ x x y y= ⇔ − + − =

( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 11 1 9 2 9x x x x x x⇔ − + − − + = ⇔ − =

( )2 2 21 2 1 2

92 2 9 4

2x x x x S P⇔ − − = ⇔ − =

Theo định lí Vi-ét: 1 2 1 21 , 2b c

S x x m P x xa a

= + = − = − = = =

nên: ( ) ( )2 29 251 8 1

2 2m m− − = ⇔ − =

5 5 21 1

22m m⇔ − = ± ⇔ = ± (chọn).


Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số 2 22 1y x mx m= − + − luôn cắt trục hoành tại hai

điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị hàm số luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

Bài 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

a) 2 2x x x m+ + = . b) 2 3 2 .x x m− + − =

c) ( ) ( )2 1 0x x m+ − − = . d) 2 2 3 0x x m− − − = .

Bài 3: [ĐVH]. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

a) 23 4 0x x m− − − = b) 2 33 2 5 0x x x m+ − − − + =

c) ( )( )1 1 2 0x x m+ − − = d) 22 3 1 0x x m− + − =

Bài 4: [ĐVH]. Tìm tham số m để phương trình sau có k nghiệm phân biệt

a) ( )( )2 21 0m x x m x x− − − − + = , (Với k = 4)

b) ( )( )2 22 4 2 0,x x m x x m− − + + − = (Với k = 4)

Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) ( )2: 2 3 1 2 , .mP y m x m x m C= − + + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )P khi 1m = , gọi là ( )mC .

b) Chứng minh rằng họ đồ thị ( )mC luôn đi qua điểm cố định.

c) Định tham số m để đồ thị hàm số ( )mC nhận đường thẳng 2 1y x= + làm tiếp tuyến.

d) Dựa và đồ thị ( )1C , biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ( )2 2 3 2 1 0.x x m− + − + =

Bài 6: [ĐVH]. Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số.



a) ( ) 21 2 3 1y m x mx m= − + − + .

b) ( ) ( )22 1 3 4.y m x m x m= − − − + −

c) 2 2 1y mx mx= − + .

Bài 7: [ĐVH]. Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số.

a) ( )2 2 22 1 1y m x m x m= + − + − .

b) ( ) 31 2y m x m= − − + .

c) 3 2y mx mx= − + .

Bài 8: [ĐVH]. Định tham số m để các cặp đồ thị sau không cắt nhau; cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

a) ( ) 21 : 2 4P y x x= − + và ( ) 2

2 : 2P y x x m= − + + .

b) ( ) 21 :P y mx mx m= − + và ( ) 2

2 : (2 ) 3P y x m x= + − + .

Bài 9: [ĐVH]. Định tham số m để các cặp đồ thị sau tiếp xúc với nhau (có duy nhất một điểm chung).

a) ( ) 21

1: 1

2P y x x= − + + và ( ) 2

2 :P y x x m= − + .

b) ( ) 2 21 :P y x mx m= + − và ( ) 2

2 : 5 6P y x mx= − − .

Bài 10: [ĐVH]. Cho Paranbol ( ) 2: 2P y x x= − + .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( )P .

b) Tìm tham số m để phương trình 2 2 0x x m− − = có nghiệm duy nhất.




DẠNG 4. TỔNG HỢP VỀ HÀM BẬC HAI

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (bé nhất) nếu có của các hàm số:

a) 27 3 10y x x= − + b) 22 1y x x= − − + Lời giải:

a) 27 3 10y x x= − + có 7 0a = > nên y đạt giá trị bé nhất tại đỉnh 1

3

2 14

bx

a= − = là ( )1 1

3 271

14 8y f x f

= = =

và

không tồn tại giá trị lớn nhất.

b) 22 1y x x= − − + có 2 0a = − < nên y đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh 1

1

2 4

bx

a= − = − là ( )1 1

1 9

4 8y f x f

= = − =

và

không tồn tại giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (nếu có) của các hàm số:

a) 2 3y x x= − với 0 2x≤ ≤ b) 2 4 3y x x= − − + với 0 4x≤ ≤ ...

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( )2 24 4 2 2y f x x ax a a= = − + − +

trên đoạn [0; 2] là bằng 3. ... Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: a) ( )( )( )1 2 3y x x x x= + − −

b) ( )22 1 4 2 1 3y x x= − − − +

...

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hai hàm số 1 1 1y x x= + + − và 22

1 31

4 4y x x= + +

a) Chứng minh đồ thị của 1y có trục đối xứng.

b) Tìm những giá trị của x để 1 2y y> . Lời giải:

a) ( )1 1 1y f x x x= = + + − có :D R x D x D= ∈ ⇒ − ∈

( ) ( )1 1 1 1f x x x x x f x= − + + − − = − + + = . Vậy f là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng Oy.

b) Ta có ( )1

2 khi 1

2 khi 1 1

2 khi 1

x x

y f x x

x x

− < −= = − ≤ ≤ >

Ta xét 3 trường hợp:

- Với 21 2

1 31: 2 1

4 4x y y x x x< − ≥ ⇔ − ≥ + + 2 11 105 11 105

11 4 02 2

x x x− − − +⇔ + + ≤ ⇔ ≤ ≤

Chọn nghiệm: 11 105

1.2

x− − ≤ < −

- Với 21 2

1 31 1: 2 1

4 4x y y x x− ≤ < ≥ ⇔ ≥ + + 2 3 4 0 4 1.x x x⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Chọn nghiệm 1 1x− ≤ ≤ .

- Với 21 2

1 31: 2 1

4 4x y y x x x≥ ≥ ⇔ ≥ + + 2 5 4 0 1 4x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ (thỏa mãn).

Vậy giá trị x cần tìm 11 105

4.2

x− − ≤ <

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho ( ) 2f x ax bx c= + + thỏa mãn ( ) { }1, 1; 0;1f x x≤ ∀ ∈ −




Chứng minh: ( ) [ ]5, 1;1

4f x x≤ ∀ ∈ − .

Lời giải:

Ta có:

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

11 1 0

211

0 1 1 02

1 0

a f f ff a b c

f c b f f f

f a b c c f

= + − − − = − + = ⇒ = − − − = + + =

Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 11 . 1 . 0 . 1

2 2f x ax bx c f x x f x x f x= + + = + + − − + −

Vì ( ) ( ) ( )1 1, 0 1, 1 1f f f− ≤ ≤ ≥ nên có:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 11 . 1 . 0 .1

2 2f x f x x f x x f x≤ + + − − + − 2 2 21 1

12 2

x x x x x≤ + + − + −

222

2

1 1 0 5 1 51

4 2 41 0 1

x x khi xx x x

x x khi x

+ − − ≤ < = = + − = − − ≤ − − ≤ ≤


Bài 1: [ĐVH]. Cho ( ) 21: 4.

2= + −P y x x

a) Vẽ đồ thị. Lập bảng biến thiên.

b) Dựa vào đồ thị, tìm x để y < 0.

c) Biện luận số nghiệm phương trình: 213

2= + − =y x x m

Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số: 2 2= + −y x x

a) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên hàm số.

b) Tìm m để pt: 2 2 2 1+ − = −x x m có 2 nghiệm.

Bài 3: [ĐVH]. Vẽ đồ thị hàm số:

a) 2

2 1; 1

3; 1

+ ≤= + >

x xy

x x b)

2 4 5; 2

2 ; 0

+ − ≤= − >

x x xy

x x

Bài 4: [ĐVH]. Xác định parabol:

a) đi qua điểm A(1; −5) và có đỉnh I(3; −9).

b) đạt GTLN bằng 8 tại x = −1 và đi qua A(0; 6).

c) đi qua 3 điểm ( ) ( ) 3 10;1 , 1;0 , ; .

4 8 −

A B C

Bài 5: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với parabol 212 1

3= + −y x x tại điểm có hoành độ là

−2.

Bài 6: [ĐVH]. Cho Parabol ( ) 2: 3 2P y x x= − + và đường thẳng : 2d y mx= + .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )P .



b) Tìm tham số m để hai đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau (có duy nhất một điểm chung), cắt nhau tại hai

điểm phân biệt.

c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2 3 3 2 0x x m− + − = .

Bài 7: [ĐVH]. Cho Parabol ( ) 2 1P y x= − .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ( ).P

b) Xác định điểm M trên ( )P để đoạn OM là ngắn nhất.

c) Chứng minh rằng khi OM ngắn nhất thì đường thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến tại M của( ).P

Bài 8: [ĐVH]. Cho đường thẳng : 2 1 2d y x m= + − và Parabol ( )P đi qua điểm ( )1;0A và đỉnh ( )3; 4S − .

a) Lập phương trình và vẽ Parabol ( )P .

b) Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định.

c) Chứng minh rằng d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt.

Bài 9: [ĐVH]. Cho ( ) 2: 3 5.mP y x mx= − +

a) Tìm tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4.

b) Tìm quỹ tích đỉnh của ( )mP .

c) Tìm m để ( )mP có duy nhất một điểm chung với Ox.

d) Khi 1m = , viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1.

e) Định tham số m để đường thẳng : 2d y x= − − cắt ( )mP tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc

với OB. Tính diện tích tam giác OAB.

Bài 10: [ĐVH]. Cho ( ) ( )2: 1 6.mP y x m x m= − + + −

a) Tìm m để Parabol đi qua điểm ( )1;2 .A −

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )P của hàm số khi 3m = .

c) Chứng minh rằng( )mP luôn đi qua một điểm cố định, tìm điểm đó.

d) Chứng minh: x R∀ ∈ thì khoảng cách từ đỉnh của ( )mP đến Ox không nhỏ hơn 6.



VIDEO BÀI GI ẢNG và LỜI GIẢI CHI TI ẾT BÀI T ẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH]. a) Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( )2;3I , cắt trục Ox và trục Oy tại các điểm có tọa độ

dương và d tạo với hai trục này một tam giác vuông cân. b) Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( )2;2I , cắt trục Ox và Oy tại điểm có hoành độ dương

vàd tạo với hai trục này một tam giác có diện tích bằng 9 đơn vị diện tích. Bài 2: [ĐVH]. Gọi ,A B là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số ( ) 2 3y f x mx m= = + − có hoành độ lần lượt là

1− và 2 . a) Xác định tọa độ củaA vàB b) Định m để cả hai điểm A vàB cùng nằm phía trên trục hoành

c) Suy ra điều kiện củam để ( ) 0f x > [ ]1;2x∀ ∈ − .

Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số ( )2y ax bx c P= + + . Hãy xác định các hệ số , ,a b c trong các trường hơp sau:

a) Đồ thị ( )P đi qua ba điểm : ( ) ( ) ( )1;8 , 1;0 , 4;3 .A B C−

b) ( )P có đỉnh ( )2; 2S − − và qua điểm ( )4;6 .M −

c) ( )P đi qua điểm ( )4; 6A − , cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ 1 và 3.

Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số ( )2y ax c P= + . Tìm a và c trong mỗi trường hợp sau:

a) Đỉnh của( )P là ( )0;3S và một trong hai giao điểm của ( )P với Ox là ( )2;0 .A −

b) ( )P đi qua hai điểm ( ) ( )1;1 , 2; 2 .A B −

Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số ( )2y ax bx c P= + + . Tính , ,a b c trong mỗi trường hợp sau:

a) ( )P có đỉnh là ( )1;0S và cắt đường thẳng 4y = tại hai điểm có hoành độ 1− và 3.

b) ( )P đi qua điểm ( )2;3A − , cắt trục Ox tại điểm có hoành độ 1 và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 3.

Bài 6: [ĐVH]. a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị là parabol( )P , biết rằng đường thẳng ( )1 : 2,25d y = − có một điểm chung

duy nhất với ( )P và đường thẳng ( )2 : 4d y = cắt ( )P tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 2và 3− .

b) Vẽ ( )P và hai đường thẳng ( ) ( )1 2,d d trên cùng một hệ trục tọa độ.

Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số ( )2 2 3 2 0 .y mx mx m m= − − − ≠ Xác định giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị ( )P của hàm số đi qua điểm ( )2;3 .A −

b) ( )P cắt trục Ox tại hai điểm, trong đó một điểm có hoành độ là 2.

c) ( )P có đỉnh thuộc đường thẳng 3 1.y x= −

Bài 8: [ĐVH]. Cho parabol ( ) 2: 2P y x x= − và đường thẳng ( ) : 4.d y mx= −

a) Xác định giá trị của m sao cho ( )d cắt ( )P tại hai điểm A, B phân biệt, khi đó tìm tọa độ trung điểm của

AB.

b) Định điểm m sao cho ( )d và ( )P có một điểm chung duy nhất. Tìm tọa độ điểm chung này.

04. TỔNG ÔN TẬP HÀM SỐ Thầy Đặng Việt Hùng



Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) ( )2 1 2 3 my mx m x m P+ − +−= .

a) Tìm giá trị của m sao cho đồ thị ( )mP đi qua điểm ( )2;1A .

b) Tìm tọa độ các điểm sao cho ( )mP luôn luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào.

Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số ( )2 3.y x x= − +

a) Vẽ đồ thị ( )G của hàm số nói trên.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Tìm tọa độ giao điểm của ( )G và trục Ox . Suy ra tập hợp các giá trị của x sao cho 0.y ≥

Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) ( )( )

2

2

3 0.

2 0

x x xy f x

x x x

− ≥= = + <

a) Vẽ đồ thị ( )G của hàm số.

b) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .f

c) Xác định giá trị của x sao cho 0.y ≥

Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số ( )2 2 3 .y x x P= + −

a) Vẽ đồ thị ( ).P

b) Tìm tập hợp các giá trị của x sao cho 0.y ≤

c) Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng ( )3;0 .−

d) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ ]2;1 .−

Documents

Bài tập Hàm số 10