Những Bài Toán Chọn Lọc Và Phương Pháp Giải Các Loại Bài Tập Về Hàm Số - Hồ Sĩ Vinh

8/20/2019 Những Bài Toán Chọn Lọc Và Phương Pháp Giải Các Loại Bài Tập Về Hàm Số - Hồ Sĩ Vinh

1/185

HỒ Sĩ VINH(K hoa T o á n trư ờ ng Đ H S ư p h ạ m H à N ộ i l ĩ )

NHỮNG BÀI TOÁN CHỌN L.ỌC& PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Các loại bài tập vé

HÂM s oDành cho HS ỉớp 1 1 ,12 chướng trình cơ bản ~ phán ban và nâng cao.

Nâng cao kĩ năng giải toán, chuẩn bị cho các kì 'thì quốc gia ;

(TN THPT-Tuyen sinh ĐHCĐ, thèo hưồng ra dề th ìm ỏi.

11 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


2/185

C ùng tác giả:

mm. •

— , - * 1Ngfow BA*TOÁNCTỌỵ LOC —*

*-,,€ỈÌlllP“**

Ld ựng giác





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


3/185

NHÀ XUẤT BẲN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI16 Hang Chuõì - Hai Bà Trưng - Hà Nội

ĐT (04) 9715013; (04) 7685236. Fax: (04) 9714899ỉ' ' ***'

C h ị u tr á c h n h i ệ m x u ấ t b ả n:

Giám đốc PHỪNG QUỐC BẢOTổng biên tập PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập nội dung NGUYỀN THẾ SAC

Sửa bài

LÊ VÂN

Chế bản

CÔNG TI AN PHA VNTrình bày bìa

SƠN KỲ

Đối tác liên kết xuất bản CÔNG TI AN PHA VN

-'hí .......... .... ' .^CHUEN.KET

NHỮNG BÀỈ TOÁN CHỌN LỌC VA PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC LOẠI BÀITẬP VỀ HÀM SỐMã số: ] h- 357ĐH2011In 2.000 cuốn, khổ 16 X 24 cm tại Công ti In Song NạuyênSố xuất bản: 1143 - 2011/CXB/09 - 139ĐHQGHN, ngày 18/10/2011ộuyếi líịnh xuất bản số: 352LK-TN/QĐ - NXBĐHỌGHNIn xonp và nộp lưu chiểu quỹ IV năm 2011





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


4/185

LỜI GIỚI THIỆU

Cuôn sách "Phương pháp chọn lọc giải các loại bài tập về hàm số"

nhằm hệ thống hoá toàn bộ kiến thức về hàm số’được học trong chương trình

phổ thông hiện hành. Cuốn sách được chia hàm hai phần:

Phần I: Kiến thức cơ bản về hàm sô"

Phần này tác giả nêu lên 10 vấn đề cơ bản của hàm sô' .vối nội dung: hệ

thông lại những vấn đề lí thuyết cơ bản và các bài tập minh hoạ và phương pháp

giải từng loại.

Phần II: Gồm 10 bài toán về hàm sô' Trong từng bài toán tác giả nêu

phương pháp giải của từng loại và minh hoạ bằng các bài tập điển hình.

Phần phụ lục: Nêu ỉên các bài thi đại hộc phần hàm sô' từ năm 2002 đến

nãm 2011.

Cuôn sách được biên soạn nhằm giúp cho các em học sinh ôn tập để chuẩn bị

thi vào các trường đại học và cao đẳng, nắm vững các loại bài tập về hàm số’.

Đồng thòi tạo điều kiện để giải những bài toán khác trong để thi tuyển sinh vào

đại học liên quari đến phần hàm sô". Hy vọng cuốn, sách sẽ rất bổ ích cho độc giả.

Khi biên soạn cuốn sách, tác giả đã rất chú ỹ, chọn lọc các loại bài tập và

phương pháp giải khoa học, trình bày chính xác chặt chẽ để có lời giải chuẩn chotừng loại bì toán. Tất nhiên cũng khôns tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất

mong độc giả đóng góp ý kiến xây dựng.

« Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ:- T r u n g t â m S á c h g iá o d ụ c A n p h a

225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, TP.HCM - Côn g t i TN HH AN PHA VN

50 Nguyễn Văn Săng, Quận Tân Phú, TP. HCM ĐT: 08.62676463, 38547464 ." Email: [email protected] Xin chân th ành cảm ơnỉ

Tác giả





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


5/185





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


6/185

PHẦN THỨ NHẤTKIẾN THỨC Cơ BẢN VỂ HÀM s ố

L TÂP XÁC ĐỊNH CỦA HẰM SỐ ___________ ________ ________________

1. H àm số y = f(x)D được gọi là tập xác định của hàm số khi D là tập hợp tất cả cac giá trịcủa đối số’để hàm sô' có nghĩa (có thể hiểu: tập D là tập hợp tất c ả các giátrị cùa đối sô" để từ đó tìm được giá trị của hàm số).

2. Khi t ìm tập xác đinh của hàm số thường gặp các hàm sô dạng:

a) y = 2ựfõõ được xác định, khi f(x) > 0 (k € N, k > 1)f(x)

b) y = đươc xác đình khi f(x) có nghĩa và g(x) 0g(x)

c) y = —“ = 'được xác định khi f(x) > 0

*tỊĩựjd) y = loga[f(x)] vối a > 0 và a í 1 được xác định, khi f(x) > 0

e) y = tan[u(x)] được xác định khi u(x) * — + kic (k Ể Z)2

f) y “ cot[v(x)] được xác định khi v(x) * krt (k € Z)g) Các hàm số đa thức, hàm số”y = sinx, y = cosx

______ y = ax, được xác định trền tập R_________________________________

3. Tìm tập xác định các hàm số sau:

Bài 1: a) y = 1 g(x2 - 3x + 2) + %/9-x2 b) y = tanx + V-x2 + 3x -2 Bài g iải

íx2 -3 x + 2 > 0 (1)a) Hàm sô được xác định khi <

[9 -x 2 >0 (2)

+ Giải BPT (1):X= 1

Cho X2" 3x + 2 = 0 o•x “ 2 ì ịirn m m m

Xét dấu: X2 - 3x - 2

Tập nghiệm BPT (1) là: Ti = (-co; 1) u (2; +co)+ Giải BPT (2) «> -X2 > -9 o X2< 9 « -3 < X< 3Tập nghiệm của BPT (2) là T2= [-3;. 3]Tập nghiệm của hệ (1), (2) là: T = [-3; 1) u (2; 3]

- m m — m u m 3////Mfr - 3 1 2 3 X

Đáp số: Tập xác định của hàm sô" là tập T: T = [-3; 1) VJ (2; 3].

- NBTCL HS - -5-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


7/185

fcosx^O (1)Hàm sô được xác định khi ị

[—X + 3 x -2 > 0 (2)

( 1 ) « x * . | + kjt ( k e Z) ----- ------- ỵ ịịịịịịịtụ

(2) o 1 < X< 2 1 2 X

Tập nghiệm của hệ (1), (2) là: D = [1; 2] \ Ị—I

m m — X y im im im m m iib ►n * n 3̂71 5tt x

' 2 2 ~2 ~2Đáp :ỉố: Tập xác định của hàm số là: D = [1;—■) ^ (•—;2].

2 2

i 2: y = V 4 -2 X+ In( „x ~ 2 ).

Hàm sô"được xác định khi

Bàí gíảí

4-2 * > 0 (1)

x - 2 > 0 ( 2 )X —X+1

Giải 3PT (1): (1) 2X< 22 X< 2

Giải BPT (2): Do X 2 - X + 1 = ( x - - ) 2 + - > 0 Vx e R 2 4

Nên 1.2) 0x> 2 2Tập nghiệm của hệ (1), (2) là: Tập 0 ŴWWWWWWVWv] HHỈỈHiị Tập xác định của hàm sô" là tập 0 . X

Bài 3: V = log! ‐

ị \ x + 4

Hàm SỐ’được xác định khi log1

B ài g ìảì

^ >0 = log j lx + 4 i ị

X+ 4X2 - 8

0 (2)

Giãi BPT (1) < 0 - 1 < 0 o — - 12 < 0x + 4 x + 4

M = (x - 4)(x -r 4)(x + 3) < 0(X-4KX + 3) A _ --------------- < 0

X+ 4 IX* -4

- 6 - - NETCL HS -





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


8/185

f X= ±4Cho M z 0 o xét dấu M theo phương pháp phân khoảng:

[x = -3

Tập nghiệm của BPT (1) là: = (-oo; -4) u [-3; 4]* Giải BPT (2) .......... ỏ * .........

C>N= (x-2 V 2)(x + 2 ^ )( x + 4) > 0 -----------' rr - -4 + - + X

• Cho N = 0 X= ±2v2 ; X = -4• Xét dấu N theo phương pháp phân khoảng:

• Tập nghiệm của BPT (2) là: + _ +* c Ĩ Ẵ w i m t m — -m m m m m* s là tập nghiệm của hệ (1), (2): - I ■_ f - I—

s = s , n s j s = (2v2;4) ' + - 2Í 2 + 242Vậy tập xác định của hàmsỐÍà:S = [3;4]. ; / / / / ; » \ \ \ \ \ \ \ \ \ ' » » M » t ----

Bài 4: y = ^jx -2.1-1 +sinx — ' f t - * 1 -4 - 2 - ã 2 s/2 s 4 x B ài g iải

ÍỈX -2Ị-1 > 0 fix—21 > 1

Hàm sô được xác định khi < 1 V3 - x > 0 x ^ 3

X - 2 > 1

x -2 < -1

[x < 3

x ì3 r - ì \ \\ \ \\ \ \M // // / //> X 0 o X> —, khi a = -1 thì BPT (1) không được nghiệm đúng vổi

mọi giá trị của XTrường hợp 2: a 5*-1 thì f(x) là tam thức bậc 2, để f(x) > 0 Vx € R thì a

phải thỏa mãn hệ:

J a > - 1 J a > - 1° | (a - 1)2 - (3a - 3)(a +1) ° t(a - l )( -2a - 4) < 0

, . + -1 +J a > - 1

0 ị ( a - l ) (a + 2 ) ì 0 ° w _ 9 1

Đáp so: a > 1.

-NBTCLHS- -7-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


9/185

BÀI TẬP T ự LUYỆN VỂ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM s ố

Bài 1. y = ỊxỊ + Igjx - lị + y j l - x z (Đáp số: D = [-1; 1).

Bài 2. y = yj( 2-V5)x2 + (15-7>/o)x + 25-loVõ . (Đáp số: D = [-5;- 2].

Bài 3. y = ln íx2 -4 x + 3Ì + - Ĩ---- - ■ - ■(Đáp số: D = (-oo; 1) u (4; +oo).

Vx2 -6x + 8Bài 4. y = 7x4 -6 x 2 +8 + 2* + sin(—+ —).

2 2(Đáp số’: D “ (-co; -2] u [-■v/2;V2] u [2; +oo).

Bài 5. y = yj( m -2 )x 2 -2-Jzx + m.Tìm những giá trị thực của m để hàm sô" được xác định vối mọi giá trịthực của X(Đáp sô': m > 3).

ĨL GĨỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. LÍ THUYẾT1. Giới hạn của hà m sô" tạ i 1 điểm

Đ ịn h nghĩa 1: Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm Xq, f là một hấm sô"xác địĩih trên tập (a; b) \ {x0}. Ta nói rằn g hàm số f. Có giới hạn là số’thựcL khi Xdần đến Xộ (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy sô' (x„) trong tập hợp (a; b) \ {Xo} (tức là xn e (a; b) \ {Xq}. xa * Xo vổi mọi n) mà Iimxn = Xo ta đều có limffrn) = L. Khi đó ta ký hiệu: lim f(x) = L hoặc f(x) -> L khi X-» Xo

x-vxữ

Định nghĩa 2

* Giả sử hàm f xác định trên khoảng (a; +co). Ta nói rằng hàm số’f có giốihạn là số’thực L khi X dần đến +O0 nếu với mọi dãy sô' (xj trong khoảng(a; +so) (tức là xn> a vối mọi n) mà ìimxn= +C ta đều có limffoj) = LKí hiệu: lim f(x) = L, hoặc f(x) -> L khi X-> +CO

JC-̂ +00

* Các gioi hạn lỉm f(x) = +oo; lim f(x) = -00X —> + c o X - > -o c

lim f(x) = L, lim f(x) - +co; lim f(x)- -co được định nghĩa tương tựX -+ -C O X — 00 X - ^ - 00

2. Một số dịnh lí và giới hạ n hữ u hạnĐỊnh lí 1: Giả sử lim f(x) = L, limg(x) = M, (L, M e R). Ta có:

a) lim [f(x) + g(x)J = L + M b) lim [f(x> - g(x)] = L - M .x-+x0 X-Mí


10/185

c) Nếu f(x) >0 V xe J \ {x0}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa Xo thìL > 0 và lim ựf(x) = \ỉb

x->*0

Chú ý: Hàm sốy = f(x) có giối hạn L khi X —> x0.khi và chỉ khi hàm sô'cógiới hạn bên phải điểm x0 và có giới hạn bến trái điểm Xo và 2 giíii hạn đó

lim f(x) = L bằng nhau: lim f(x) = L o <

I lim f(x) = Lx->xõ

3. Một sô" qu y tắc t ìm giới h ạn vô cực

a) lim |f(x)Ị = +00 thì lim —— = 0x-w:0f(x)

b) Q uy tắc 1: Nếu lim f(x) = ±00, lim g(x) = L * 0x-*x0 X-^X0

Thì lim [f(x). g(x)] được tính trong bảng sau:x-»x0

lim f(x)X—>x0

Dấu của L lim [f(x). g(x)}x-+x0

+00' + -H o"í-00 _ —co

—00 + —


11/185

(Khi X—» x0, hoặc X —» Xq , hoặc X—> x0 hoặc X +, hoặc X -> -05) tương

0 00ứng có các dang vô đinh sau: —; —; 0. co; ŨO-OC.

0 00

5. Một sô* giới h ạn d ạn g —

a) l i m ^ ^ = 1 b) lim^— ^ = 1x-o X x l X

c) lim ■—( .-+-XẠ = 1 ( l i m ( 1 + - Ỵ = e (« 2,7183)).X—>0 X X-++CO X

B. BÀI TẬPSau đây, sẽ trình bày một số dạng bài tập tìm giới hạn thường gặp trong

các đề thi đặc biệt dạng vô định —, và một số dạng giối hạn để phục vụ

cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô'.

Loại I: Giới hạ n d ạn g vô đinhr i 0T>'-1 i _ VI- x3- 8 - , sin2 x -3 s in x + 2Bài 1: lim các gioi hạn: a) lim—5---- ; b) lim ----------- —— -------- .

X-»2X*_4 X—*— sin x-1

B à i g iả if (x)

Ch ú ý: Giối hạn dạng lim — mà lim f(x) = lim g(x) —0x->x0g(x) x->x0 x-»x0

Vói f(x) và g(x) là đa thức thì phân tích f(x) và g(x) ra thừa sô' rồi khù

dạng —để dùng định lí về giới hạn hữu hạn để tìm giối hạn.

X 1- x3 - 8 _ ( x -2 ) (x 2 + 2x + 4) __ (x2 + 2x + 4) -a) lim------ = lim------- — ------ ■----- - l im------ — ---- - = 3*->2 X - 4 *-*2 (x - 2)(x + 2) X+ 2

sin2x- 3 sin x + 2 _ (sin x-Ị )(sĩn x- 2) _ .. f b) lim --------- ——------ = lim---------------------------------------------------- --- - I im

x ,* s in x -1 s in x -1 X̂ J12 2 2

Bài 2: Tìm các giới hạn:

. .. Vx3 + 1 -1 .. / xT + 9 - 3 , ^x + 7 - 2. a) lim ----- — -------; b) lim .. =---- ; c) lim ------ — -----

*-*•> X +x x-*°Vx2+ 4 -2 *->‘1 X -1

B à i g iả i

a) lim—x + *—- = lim------- x— --------= lim-------------------------- f ---------x‐ x- + x x-í x(x + l)(vX3 +1 +1) x̂ 0 (x + l)(Vx3+l+l) 2

,, Vx2 + 9 -3 .. x2(yjx2 + 4 + 2) \jỹr~+4+ 2 _ 4 2b) lira—= ^ = -----= lim — -------- = lim F = = ----- = ,

VX2 + 4 - 2 (%/x2 + 9 + 3)x2 Vx2 + 9 + 3 6 3

- 10 - - NBT CLHS-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


12/185

c) lim——— — —= limx-*l X —1 X->1

- liraX—>1 (x-1)

X -t- l - Ỗ

|"^(x + 7)2 +2^x + T + 4 (x - Ị )

(x -l )(x 2 +X + 1) _ x2+x+ l 3 1

+ 2 ^ 7 7 + 4 " ^ 3 / ^ 7 7 7 + 2 ^ 7 + 4 - 1 2 ” 4

Bài 3: Tim lim-X — >-1 f ^ x ~ ^ l x 2+ 7

X —1

Giới han — dang0 g(x)

Bài g iả i

mà f(x) và g(x) chứa cả căn bậc 2 và căn bậc 3:

phương pháp tách ra 2 dang giói han — môt dang chửa căn bâc 2,g(x) ■ 0

một dạng chữa căn bậc 3, khử dạng —để tìm giởì hạn

, 7 5 - X - \ Ị x 2 + 7 rlim---------T— ------ limX->1 X — 1 x->1

•J 5 - X- 2 yjx2 +7 -2X 2 - 1 X2 - 1

______ -(x - 1 ) ________ (x -l)(x + l) __________ (x - l)(x +1 )(V5-X + 2) (x _ 1 )(X+ 1 )[3/(x2 +7)2 + 2^/x2 +7 + 4]

lim------ — ------- lim . - 1 .„ -------= - - - - - - -x->7 (x + 1)(V5-X + 2) [3/(x2 +7)2 + 2Ẳ/x2 + 7 + 4] 8 24 6

1-cosxBài 4: Tìm lira

X->0 JỊBdỉ g iả i

Nhân xét: Giới hạn c ó dạng —khi X 0 dạng lượng giác đưa về ìim S1̂ — 0 X-+0 X

o ■ 2 X, 2 sinl-c os x 2 _ T „lim ----------------- ——- - lim ■- limx-»0 x->0 X

2 .

. •> X sin

4.V. 4

. V2, Ị lim'

= l i m

2*-»ôT X 2

B à i5 :r 1m lim (c0sax: c0spĩc.).«“ o X

_ , ,, cosctx-cos&xTa có: lim ------- —=--------= lim

B à i g iải. a + p . a - 3-2 sin ——1- X.sin — —1- X

x->0 x->0

-NBTCLHS- -11-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


13/185

= limx-vO

. a + p p - a~ ~ s in - X s m - ------ Xa + p p_-a 2 2

a + p

- , : - P - a s

• a + p :sin——ỉ-x

p - a

sm

= lím- 2 ■-lira— —< „x->-0 cx + B x-í -0 P —a ——-X — —X

_ p3- a 2 1 1 _ p2 - a 2

B à i 6 : T ì m l i m 2 x ~ s i n x - s i n 4 x x- *0 X 4

Sà i g iả isin22x-sinx.sin4x 0 , , ,

Jun------------- ------------ (giới hạn có dạng — kh i X H>- 0)x-»0' X 0

_ sin 2x(2 sin x.cosx - 2 sin X COS2x) _ 2sin2x.sinx(cosx -cos2x)

x-*0 x->0 X4

2 sin 2x sin x(~2 sin— sin(-—))= lim------------------ - T . 2 - V '

x-vO

—limx-*0

4-2.^.ị

Xi 3 . X


14/185

M - limx->0

98 183 ‘2

lim — x->0 83

sin2 X sin2 ^ X sin2 ^ X sin2 x- 1 -1 - + J i g - + - - 2 , + _ 2_ sin27x sin27x sin 27x sin27x

•2 15 _ . j 9 ' 25 . 2 Xsin X sin. X sin X sinlim ----- 7 T -— + lim ---- — + lim ---- — + lim ----sin 7x x̂ ° sin 7x sin 7x sin 7x

Tìm I = lim s--~- — (giối hạn có dạng ~ khi X—>0)sin bx 0

a 2 sin2ax r iirasinax

= l i m— = lim7F --~ - ax*-»0 sin2 bx x tr ( sin bx

b ■ Ĩ V 1 ’ , x l XH>0 bx

a „ T a - V ậ y r = i -

Áp đụng I ta đượcM ~ I f."

83225 81 25 1

+ +■■—— +

Đáp số: M = 1.TJ' *o vr - ỉ l - il + sin3xiBax 8: N —lim

4.49 4.49 4.49 4.49225 + 81 + 25 + 1

83.4= 1

“4.0 .JĨZ cosx B à i g iả i

0Giới hạn có dạng —khi X-> 0

0

N = lim 1 ~ 1~ sin-3?- vì 1 + sin3x> 0 Vx*-+0 ̂ _ ,•cosx

■sin 3xị- lim 1 = lim

|3sin X- 4 sin3xỉ

/ . 2 X x^ °2sin2

sin

ịsin x| 3 - 4 sin2 X- l im ------- *-------- 7---- - = lim •

x'-»0

■ x| •sin21

. Xsin XỊ|_ . . 2 1cos 3 -4 sm X

2 2|' 1

V2 siĩl

—lim r/iflcos “ (3 - 4sin2xì x->0 I 2 ^ '

Đáp số: N —3-J 2 .

= 3V2

Bài 9: Tìm A - Jim cos4 * -s in 4x - l .x^° n/x2+1 - 1

B ài g iả i

Nhận xét: Giới hạn có dạng —khi X-» 0. Dùng phướng pháp tách thành

- NBTCLHS - -13-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


15/185

2 \ỉố hạng có giói hạn —. Dạng lượng giác và dạng chứa căn bậc chẵn

A = limx-vO

f COS4X- sin4X-1 X2 'Ị _ (l cos2x) x"(Vx" 4-1+1)

I 7 ' yỊx2 + 1 -I J X2 ' X2

2 s i n x . ^ x 2 + ị _ Ị jm ( _ 2 ) (I ix x i S ĩ n x ý l i m ( V x 2 T l - f 1) X x->0 x-» 0 X X-+0

:= lina[x->0

-=-2 X l 2 X 2 = -4 Đap số: A = -4.

{ I - V 2 x + T + s in XBài 10: Tìm I = lim*-+0 -ỉ 3x + 4 - 2 - X

B à i g i ả i

0 N hận xét: Giới hạn có dạng -- khi X -» 0. Tách làm 2 sô" hạng có giỏi

hạn Ệ . Khi X “>00

I - Um1 - 72x +1 sin X

Q g - . -------- + —====-------- — 0 V3x + 4 - (x + 2) V3x + 4 - (x + 2)

(-2x)(-s/3x + 4 + X + 2) sin x(-\/3x + 4 + X + 2)

(1 + V2x + l) (- x )(x +1)= lim

«-»ũ x(x +1)

_ .. 2(V3x + 4 + x + 2) -. sin x .. 'v/3x + 4 + X + 2 _ o , • _ -- lim——=====---------------------------------------------- - - l im — -.lim--------

xVõ (1 + V2x +1 )(x +1) *-*0 X x-ío x + 1 2

Đáp sôT: 1 = 0.

Bài 11. Tìm L - limx-*-0

V2X + 1 -Ự ? 7 T

sinxB à ỉ 4JÌỎÍ

N bận xét: Giới hạn có dạng —khi X 0. táchr giới hạn thành 2 sô' hạng

có (lạng — khi X 00

ĩ = >• n/2x + 1 -1 1 -ự x 2 +1-L0 ________________

lim(V‘2x + ĩ +1) ìim -1]̂ Iim(l + \jx2 + 1 + lim ế(x2 + ỉ) 2)X r-»Q ií-»0 X x-* 0

- 1 4 - - NB TCLHS -





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


16/185

2 0 _ = -------- — = 1. Đáp so: L = 1.

1.2 1.3 _ 3X- 2 X

Bài 12: Tìm K = lim ------ —-.x->0 X

B à i g iả i

Giới hạn có dạng —khi X 0• 5 0

Ta có: K = limx-»0

= lim-

3X-1 2X-1X

xln3

= limx->0

xìn3 1 xln2 _ -Ị8 .In 3 - -In2

xln3 xìn2

-1 Pxln2-1lim (ln 3 )-i im ----------lim (In 2)V. VA ' ' %vrtV 1o V-V̂x->ô xln3 x̂ yQ / x-»0 xln2 x-»o’

q X

= l.ln3 - l.ln2 = In— (áp dung Um——— = 1) Đ áp số: K = ln2 M X

, - 2 x

Bài 13: Tìm B - lim- - t l ĩ + x~

X-*0 ln(l + X )

Ta có: B = limx-*0

= lìmK-VŨ

B= ìim(-2).limK—»0

Bà ỉ g iả i

1

-2 x í _ 1 2

____ L ị -2 \ ___________ ___________ -2x2 x2( /̂(l + x2)2 +^/l+x2 +1)

'ì í 1 ì km l■Ị- lim ■- — V- ---------------------- ^ ------- r ) ^ { ậ l + x - Ý + Ì Í Ĩ Ĩ Ĩ + lJ iim In(1 + X }

x-»0 X2

i ĩ & i S Ì - i ) .X Ỵ

ln(l + x )

ln (l + X )

e-2xZ -1

- 2 x

1 1 ex -1 /= - 2 x l - (áp dựng: lim— -— = 1, lim

3 1 M X X->0

7Đáp so: B = —

3

Lo ại 2: M ột sô" giới hạ n vô đ ịnh k há c_ 00

a) D ạng —

* lim a*xn T —-rạp _ bnxa + bn_1x11"1+... + b1 bn

T>"1A rr-. T_ T 3x4 +4x2 -3x-ì-6Bài 14: Tìm I = lim

= — (bặc tử bằng bậc của mâu)

-2x + 4x

- NETCLtìS - -15-

c oI ( N





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


17/185

Ta có: I = lim x-*+co 4

-2-r —X

B à i g iả i

3+“4-—4" + _ t lim 3+4lìm \ -3 lim \ +6 lim \X X X _ x- *4*0 x- x» x^ x- w -» x x-v+«5

lim (-2 )+ lim \ ỉim 4X — H-0 0 x - v + o o X X - * +< *>

* lim = 0 khi bậc f(x) < bậc g(x). X-H«cg(x)’g(x)

Bài 15: Tìm M = lim ĩ Ể l l l l X-Í-M X + X

2 1 1 B ài g iả i

Bài 16 :1 = limX-V-W5 X- 1

Y+ + Vs 0M = l i m i - A - ẽ = L o ,1 • ^

2x2 + X+1

1 + -TX

(bậc f(x) > bậc g(x)).

Bài £ iả ỉ

o 1 A2 + —+ — ^T acó :I = lim —■—■—-x- - +co; Vì lim (2+ —+” ) = 2 > 0

X-»+*> 1 1 X-Í-TOO X XX X2

Và lim(—--4-) =0; ——Y > 0 Vx€ (1; +co).X“>+« X X X X

b) ĐạngO.oo

3 àil7 :T ìm A = lim ị (x+ 2).Vx +x

ỉ

Ta có: A = lim -x-y-m

B ài g iả i

X3 +x X-^+co ị

Bài 18: M = lira (Jx2 -Tx + x ).

i + 4 r X

B ài |fíảií ------- x 2 + x - x 2

Tacó:M = l im (Vx2 +x+ x) = ' lim-p— =----- “ limx" ^ \ / x 2 + x - x

Ị 2 x -l ^ 2B àỉ 19: Cho hàm sô' f(x) = < X ■Xét giối hạn cửa hàm số”tại X= 1

5x + 3 nếu X


18/185

B à i g iả i

Ta có lim f(x) = lim ——- = 1; lim f(x) - lim()5x + 3 = 8X-*1* x~>r X X-*1" X->1"

Vì lim = 1 * lim f(x) = 8 nên không tổn tại giói hạn của hàm sô khi X-> 1. X-+1* x-»l-

[x3- lBài 20: Cho hàm sô" f(x) = \ X -1 neu x > ■Xác định a để tồn tại lim f(x).

, ' ■ X-1(ax + 2 nêu X < 1

B ài g iả i

Ta có: * lìm = l i m ( ^ ì ) = lim + * + 1) = l i r a ( x 2 + x + D = 3X->1+ X — 1 x -* l+ X — 1 X->1*

* lim f(x) = lim (ax + 2) = a + 2 .X-S.1" X->1'

Để tổn tại lim f(x) thì lim f(x) = lim f(x) o a + 2 = 3 « a = lX-5-1 ■ X~>1~

Đáp sô: a = 1.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM s ố

* Tìm các giối hạn sau:

Bài 1:1= lim— ---- (Đáp số: I = -2).1-cosx

T>' ■ o T _ 1■ X 3 - J 3 x - 2 T - 3 \Bài 2: J = lim ------ — ------ . (Đáp sô: J - —).X-+1 X — 1 2

A _ 1- 1-cosx.cos2x.cos3x A_mBài 3: A = lim-----------^ ----------- . (Đáp so: A = 7).x-»0 X

TO- 2^1 + x - \ / 8 - x r>_ 13Bài 4: B = lim -------- ------------. (Đáp sô: B = -T-).x->0 X 1 2

l-cosx-Vcos2x 3.Bài 5: M = lim -------- ----------- . (Đáp sô: M -

X2 2OX+1+4X+1

Bài 6: c = lim 7 — . (Đáp sô: c = 4).3X+4X

Bài 7: N = lim I y[x + ỹỊx + ̂ - yfx ị . (Đáp số’: N = —).x-»+ool J z

f l nếu X< 3

ax 4- b nếu 3 < X< 5

3 nếu X > 5

Tìm a, b để tồn tại lim f(x) và lim f(x) (Đáp số: a = 1, b - -2).x-*-3 x-^5

-NBTCLHS- -17-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


19/185

IĨL HÀM SỔ LIỀN TỤC

A. LÍ THUYẾT1. Hà m số' liên tục tạ i 1 điểma) Định nghĩa: Cho hàm sốy = f(x), xác dinh trên khoảng (a; b) và Xfl e (a; b).

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại Xo nếu lim f(x) = f(Xũ).

b) Hà:n số’ y = f(x) không liên tục tạ i Xọ được gọi ỉà gián đoạn tạ i XọHàỉiì sô' y = f(x) gián đoạn tại Xo khi:- H oặc là tại x0 hàm scí không xác định

Ví (ỉu: y = ---- -- ■ hàm sô" không xác đinh tai X = ±1, cho nên hàm số giánX - 1

đoạn tạ i X = 1 v à X = - 1- Hoặc tại Xo hàm số xác đỉnh nhưng không tồn tại lim f(x)

X-»-Xo- Hoặc là tại*x0 hàm sô"có giối hạn nhưng lim f(x) * f(Xo).

x - « 0

2. a) Hàm sô' y = f(x) liên tục trong khoảng (a; b) kh i f(x) liên tục tại mọiđiểin e khoảng (a; b)b) Hàra số y ~ f(x) liên tục trong đoạn [a; b] khi f(x) liên tục tại mọi điểthuộc (a; b) và lim f(x) = f(b) và lim f(x) = f(a)

x->b- x-ya*

3. - C:ic hàm sô" đa thức, hàm sô" y = sinx, y = cosx, y = ax, liên tục trên R

- C:íc hàm số y = tanx liên tục trong tập D = EX !—+ kĩ iị (k e 2)

y = cotx liên tục trong tập R \ {kir} (k e Z)y = ỉogax liên tục trong (0; +»)- G ả sử y = f(x), y = g(x) đều liên tục tại Xq . Khi đó các hàm sô' f(x) + g(x),

fix)f(x) - g(x), f(x).g(x) liên tuc ta i Xo, —— liên tuc tai x0 nếu g(x0) * 0

■g(x)

B. BÀI TẬP

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm sô' f(x) -

B ả i g iảiTập xác định của hàm sô' là R

- 18 - - NBTCLHS -





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


20/185

v “ _ 9 v —3 _ * Khi x^3, f(x) = ----- ------- liên tực trong tập R \ {3}

x - 3* Khi X= 3, f(3) = 5

lim f(x) = lim (x + 1)fo ~ 3) = lim(x +1) = 4 * f(3) x - > 3 v X — i>3 x - 3 * - * 3

Nên f(x) gián đoạn tạ i X —3Kết luậ n: f(x) liên tục trong (-00; 3) u (3; +°c) và gián đoạn tạ i X= 3.

f(l) = -2

+ lim f(x) = iirn(-2x) = -2X — K - > 1 *

+ lim f(x) = lim x ~— = lim = li m (n /T x -1 ) = -2X-»1' X-»1~ 72 —X“ 1 x-» r I —X X-*1-

Vì lim f(x) = ỉim f(x) - -2 nên lim f(x) = -2 = f(l)x-vl* X-*I“

Vậy f(x) liên tục tại X= 1. Do đó f(x) liên tục trên R.

Bài 3: Chửng minh rằng; Hàm sốf(x) = -v/2x-l liên tục trong [—;+oo) = D

I A —X^

Bài 2: Xét tính Liên tục của hàm sô": g(x) =

Bài g iả iTập xác định của hàm sô' là R:* Khi X< 1 thì ■\/2-x tồn tại, V2-X - 1 # 0

Nên f(x) liên tục trong (-oo; 1) và f(x) liên tục trong (1; +00)* Xét tính liên tục của hàm số tại X - 1

B àỉ g iả i

Hàm SỐ f(x) = V2x-1 đươc xác đinh khi 2 x - l > 0 < = > x > — 2

Tập xác định của ỉiàm sô" là tặp D = [—;+°o)2

Xétx € (—;+oo) vốiVx^ s (—;+»)•

Ta có lim f (x) = lim J 2 x -1 = ̂ 2x0 -1 = f(xo)X-MÍ(J x-+x0

r 1f (- ) = 0

2lim f(x) = 0

Vậy f(x) liên tục tại X = — . Do đó f(x) Uên tục trong tập D.

-NBTCLHS- -19-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


21/185

Bài 4: Chứng minh hàm số: f(x) =

liên tục tại X = 0.

Ta có f(0) = ị

Vĩ với X * 0

vói X = 0

B ả i g iả i

v _ r / X _ V x + X - > /l + X ị"V x + 1 - 1 Ụ l + X - 1lim f(x) = lim---- - — = lim ------ — ----------- ------ -X x-» o| X Xx->0 5í-v0

X ________________ X _________

(V X + 1 + 1 ) x(^/(l + x )2 + + X + 1)

r 1 1 _ 1 1 1lim p=—=---------------------- lim ■- - - —— = - - - - - = — Ị + 1 + 1 1 +x)2 + \̂ 1 + X+1 2 3 6

= limX-+0

Vậy f(x) liên tục tại X = 0.

Bài 5: Tìm a, b để hàm sô'liên tục trên R vổi: f(x) = .

= " - r ? =f(0)

1 nếu X < 3ax + b nếú 3 < X < 5

3 nếu X > 5

Bài g iả iTập xác định của hàm số là R Theo định lí thì f(x) liên tục tại mọi điểm R \ {3; 5} Va, b. Ta chả cần tìma, b để f(x) liên tục tại X = 3 và tại X= 5

* f(3) = 3a + b, f(ả) = 5a + b* Hàm sô' f(x) liên tục tại X= 3 khi

lim f(x) = lim f(x) = f(3) 3a + b = 1 (1)x-*3 X—>3*

* Hàm số f(x) liên tục tại X = 5 khilim f(x) = lim f(x) = f(5) o 5a + b = 3 (2)x->5+

Để hàm sô' liên tục tạ i X = 3 và tại X= 5 thì a, b phải thỏa mãn hệ (1), (2)Giải hệ (1), (2) ta được: a = 1, b = -2

ía = lVậy khi j thì f(x) liên tục tại X= 3 và X = 5 nên f(x) liên tục trên R.

BÀI TẬP Tự LUYỆN VỂ HÀM s ố LIÊN Tự c

_ f X3 * s *: ...Bài 1: Xét tính liên tục của hàm sô”f(x) = I 4x +8 VữlX *

[3 vối X= -2(Đáp số: liên tục trên R).

- 20 - - NBTCLHS-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


22/185

Bài 2: Tìm các giá tr ị của m để hàm sô' f(x) = -

liên tục tại X= 2. (Đáp số: ra = 3).

X2 - X - 2nêu X * 2

x - 2m nếu X = 2

Bài 3: Tìm các giá trị của tham sô" m để f(x) = .

liên tục trong (0; +oo). (Đáp sô': m = ±—).

y /x-1 Vnẽu X* 1

x' -1m2 nếu X= 1

1 - X 0neu X * 2

Bài 4: Xét tính liên tục của hàm số: g(x) = i (x -2 )

13 nếu X = 2

trên tập xác định của nó.X2 + 5x + 4 ,.

vơinếu X= -1

Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số: f(x) = J X3 + 1 VƠ1 x * *

trên tập xác định của nó.

IV. HÀM SỐ CHẴN - HÀM SỐ LỂ

A. Lí THUYẾT1. Đ inh ngh ĩa:a) Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là tập D. f(x) là hàra sô' chẵn khi

và chỉ kh i Vx € D thi -X e D và f(-x) = f(x) f(x) - f(-x) = 0 Vx € DĐồ thị hàm sô" chẵn đổi xứng nhau qua Oy

■, rr • > r/ , ,, r Vx e D thì - X€ D b) Hàm sô y = f(x) ỉà ỉé í Av, ■_

J !f(x)= -f(-x) f(x) + f(-x) = 0 Vx e D

Đồ thị hàm sô" lẻ đôi xứng nhau qua gốc tọa độ o2. Chú ý: Có những hàm sô không chẵn, cũng không lẻ trong tập D

B. BÀI TẬPXét tính chẵn, lẻ của các hàm sô' sau:

Bài 1: a) f(x) = 2x4 - X2 + 5; b) f(x) = ỉn (Vx2 + ĩ + x)

B à i g iả ia) Hàm sô" f(x) = 2x4 - X2 + 5 có tập xác định ỉà R

Vx e R thì -X e R cho nền f(-x) = 2(-x)4 - (-x)2 + 5 = 2x4 - X2 + 5 =•' f(x) Vậy f(x) là hàm sô" chẵn.

b) Hàm số’f(x) = ln (Vx2 +1 + x ) .

Xác định trên R do Vx2 +1 + X> 0 (1) Vx € R

Vì (1) Vx2 +1 > -x: VT > 1 Vx € R+ Nếu X> 0 thì BPT nghiệm đúng Vx > 0

-NBTCLHS- -21-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


23/185

+ Nếu X< 0 thì (1) c=> x2-+ 1 > X2 1 > 0 đúng Vx < 0 Vặ> (1) nghiệm đúng Vx € RTập xác định của hàm sô" là R

+ v.í. e R thì -X e R nên f(-x) = lnỊ^(-x)2 +1 +(-x)j = 1 ĩ i (a/ x 2 +1 - x )

Ta (ó f(-x) + f(x) = ln[Vx2 +1 + x] + ln[Vl + X2 - xj

- ỉn[(Vx2 +1 + x)(Vx2 +1 - x)3 = ỉn (x2 +1 - X2) = ln l = 0 Vx e R

Cho nên f(x) = -f(~x) Vx e R. Do đó f(x) ỉà hàm số lẻ.Bài 2: £) f(x) = X3- 3x + 1; b) g(x) = sinx + cosx

B à i g iả ia) f(x) = X3 - 3x + 1 tập xác định của hàm sô" ỉà R

Vx c R thì ~x e R nên f(-x) = (~x)3 - 3(-x) + ĩ ~ -X3 + 3x + 1* f(>) + f(-x) = 2 * 0 Vx e R nên f(x) không lẻ* f(x) - f(-x) = 2x3 - 6x không bằng O V x e R (Chi cần X- ] thì f(l) - f(- l) = - 4 ^ 0 nên f(x) không chẵn)Kết luận : Hàm số f(x) không chẵn, không lẻ.

b) g(x) = sinx + cosx: có tập xác định là R g(--x) = sin(-x) + cos(-x) = -sinx + cosx

* g(x) * g(-x) ự x e R nên g(x) không chẵn* g(x) + g(-x) = 2cosx í 0 Vx e RVậy g(x) không lẻ trên R Kết luận : g(x) là hầm số’không chẵn, không lẻ.

B à i 3 : f , ' x ) = l L - 2 h J ĩ í l l .Ịx- iỊ + ịx + iỊ

Bả i g iả iDo ỊX- lỊ > 0, Ịx + lj > 0 Vx e R và X - 1 và X+ 1 không đồng thồi bằng 0

nên Ịx —lỊ + Ịx + lỊ ^ 0 Vx e R. Vậy tập xác định của hàm số’là R

Ta có f(-x) = i -* -V | -* + l| = f c i h k l j l|-x - ij +Ị-x + lị ịx + iỊ + Ịx-i ị

f(x) + f(-x) = Ị*-1| ì« + l H » i i H * - r = 0 Vx € R ịx + Ìị + ịx - li

f(s) = -f (-x) Vx G R cho nên f(x) ìẻ.Bài 3: Cho phương trình X2 + Ịxị - a = 0 (1)

Tìm a để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

B à i g iả i* Điều k iện cầ n: Giả sử Xo ỉà nghiệm-của phương trình (1) ta có đẳngthức Xq + ịx01+ a = 0 (2) là đúng cho nên -x0 cũng là nghiệm của phương

trìnỉi (1) vì thay X= -Xo vào (1) ta cũng được:(-Xo)2 + Ị-Xo) + a = X2 + Ịx| + a = 0 (3)

(3) Cling đúng. Bởi vậy để (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là Xo = -Xo Xọ = 0.

- 22 - -NBTCLHS -





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


24/185

Thay X—0 vào (1) được a = 0* Đỉều k iệ n đủ: Thay a = 0 vào (1) ta được phương trình

X2 + ịxỉ = 0 ỊxỊ2 + Ịx| = 0 ịx| (Ịxị + 1) = 0 = ° ^11 11 M 1 1 1 1 Ịjxị + 1 = 0 (4)

Phương trình (4) vô nghiệmPhương trình (5) có nghiệm duy nhất X = 0Vậy a = 0 phướng trìrih có nghiệm duy nhất là X = 0.

BÀI TẬP T ự LUYỆN

Xét tính chẵn lẻ các hàm số sau:

1) f(x) = |x + lỊ - |x - lỊ.2) f(x) = Vx2 - 6x + 9 + Ịx +3|.

3) £( x ) = x - J Ỉ . 4)f(x)=

5) f(x) = X3- 3x2 + 3x + 1.

V. BƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG

A. ư THUYẾT1. Đư ờng tiệm c ận ngang:

Đưdng thẳng y = y0 // Ox được gọi là tiệm cận ngang của đưòng congy = f(x) khi lim f(x) = y0 hoặc lim f(x) = y0

X—>+00 ' X-*-õof ( x ) %

C ách n h ân biết: hàm sô' y = —— không suy biến đo thi có đưòng tiêmg(x)

cận ngang khi bậc f(x) < bậc g(x)

2. Đường t iệm cận đứngĐường thẳng X = Xo // Oy được gọi là tiệm cận đứng của đường congị lim f(x) = +00 í lim f(x) = +0C

y = f(x) khi hoặc ị*-**l i m f ( x ) = -0 0 . l í m f ( x ) = -C ữ -

[s£-»Xp

Cách n h ân biết : Hàm sô" y = —— không suy biến, đồ thi của hàm sô cóg(x)

tiệm cận đứng khi phương trình g(x) = 0 có nghiệm, nếu phương trình g(x) = 0 có các nghiệm X = xl7 x2, x3 thi đồ thị có các đựàng tiệm cận đứng

là các đường thẳng X“ xls-X = x2, X = x31! Oy3. Đự ờng tiệm cận xiênĐường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận của đường cong y = f(x) khi

lim [f(x) - (ax + b)] = 0 K->±KI

Hoặc dường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đường cong y = f(x) vổi

a= b= l im [f(x)-ax]

- NBTCLH S- -23-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


25/185

Hoặc a = lim ; b = lim [f(x) - a x lXr -̂co X x->- co

f(x) "Cách nhận biết: Hàm sô" y = -- không suy biến đồ th ị có tiệm cận

■ - g ( x ) ' ■ ■

xiên khi bậc f(x) - bậc g(x) = 1

B. BÀI TẬPTìm các đường tiệm cận của các đường cong

Bài 1: y = — (C)X — 1

B à i g iả ỉ Hàm sô' đã cho có bậc của f(x) = bậc g(x) = 1 nên đồ thị có tiệm cậnngang, g(x) = 0 có nghiệm X= 1 nên có tiệm cận đứng.

* Ta có lim ——— = 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của (C)X - 1

* 2x +1 _ ■ 2x + l

lim ——— = +CO, lim ——— - -00*-*r X—1 X->1‘ X—1Nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng X = 1 song song trục tung,

o ' - o _ 2 x 2 + x + 1 , n \Bài 2 : y ~ ----- — (C)X — Ả

B à i g iả i N bận xét: Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên* rp , 2 x 2 + x + 1 i;2 x 2 + x + 1 _ * Ta có: lim ------—-— = +C0, lim ------—— = -00

2* X - 2 x->2‘ X - 2

ĐỔ thị có tiệm cận đứng là đưồng thẳng X = 2 song song với trục tung

* y = 2x + 5 + — * . Vì lim 2x + 5+— 1 ~(2x + 5) = lim —" = 05C-*±W. X — 2 x - z X — Z

ĐỒ thị có tiệm cận xiên là đưòng thẳng y = 2x + 5.

« _ Vx^+2Bài 3: y - — ------.X

B à i g iả i

* .. \/x2 +2 _ %/x2 +2 ■l im ---- ----= +00, lim -----------= -GOx-»0~ X

ĐỒ thị có tiệm cận đứng là đưồng thẳng X= 0

* lim m i =ầm !£ỊẾ = lim 171 =1 ‐ X-VMQ X X-V-KC

lún Ể E H = l ĩ Ê E = Uln í Q ] = _!X->—co X X—*—co X X-»-M^ V ^ J

Đường cong có tiệm cận ngang bên phải là đưồng thẳng y = 1Và tiệm cận ngang bên trá i là đưòng thẳng y = -1.

- 24 - - NBTCL HS -





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


26/185

Bài 4: y = yjx2 + X + 1 . B à i g iả i

Do X2 + X + 1 = (x + —)2 +— > 0 Vx e R. Tâp xác đinh R 2 4

Giả sử đường cong có tiệm cận xiên là đường thẳng y = ax + b tìm a và b

. _ A 2+X + l _ 1;„ XV _ l:_ I, 1 1 _ ,*a= l im ------ — -----= lim —5------ — —- = lim 1 + —+—T- = ỉ x -»+00 X x-»+OT X x-* -ko y X X

, --------------- . ^ , 1 -Ị- _

Và b = lim Ịy/x2 + x~+l -x )= lim , ...X+ ̂ =----= ìimx-»+oo \ Ị x->±+«

x + l _ 1 V 1

Vx2 + x + l+ x x"*~° /1 + ! 2_ 1 2X X2

Vậy đường cong có tiệm cận xiên bên phải là đưòng thẳng y = X + —

_ ía = - !Tương tự khi X-> -00 thì J 1

\ h =~2

Đường cong có tiệm cận xiên bên trái là đường thẳng y = - X - — .

Bàỉ 5: Tùy theo các giá trị của thạm sốm tìm các dường tiệm cận của đườngmx + mx +1 _ mr

cong: y =X —1

Bà i g iả i

Ta có y = mx + 2m + ^ + 1 tâp xác đỉnh là R \ {1}X — 1

* T rư ờng hợ p 1: Nếu m = 0 hàm sô" có dạng y =X — 1

lim —-—= 0 đồ th i có tiêm cân ngang y = 0x-*±oo X—1

lim —-— = +00 ; lim —— =W I X - 1

Đưòng cong có tiệm cận đứng là đường thẳng X = 1.

* Trường hợp 2: 2m + l = 0 o r a = - - hàm số có dạng:

y = - —X - 1 đồ thị không có đường tiệm cận nào

(Trường hợp ĩ và trường hợp 2 được gọi là đường cong suy biến).

* T rư ờng hợp 3: m * 0;

_ „ .. mx2 + mx + 1 _ Ta có lim ------- —— ----- = r X-1 x->r

- NBTCLHS - -25-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


27/185

Đường cong có tiệm cận đứng là đường thẳng X = 1

lim [rax 4- 2m + - m + ̂ - (mx + 2m)] =0X *:L«: X - 1

Đường cong có tiệm cận xiên là đường thẳng y = mx + 2mĐáp .ỉổ:

* m = - — đường cong không có đường tiện cận nào

* m 0 đường cong có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0, tiệm cận

đứng là đường thẳng X= 1* m * 0; đường cong có tiệm cận xiên là đường thẳng y = mx + 2m và

tiệm cận đứng là đưòng thẳng X= 1.

BÀI TẬP T ự LUYỆN TẬP

Tìm các đường tiệm cận của các đường cong sau:3x + J _ 2x2 - x + 1 __ x + 2

l - 2 x 1 —X 9 - x

- 2x + l _ 2011 _ 2|xj + l4) V = 7 - ■ 5) y = — 6) y =

\ X +1 x 2 - 3 x + 2 |x | -1

X 2 - 2x + m X 37) y = ----- ^ ---- - 8) y = ~ 2 ~ •

X - 1 X - 1

VI. ĐĩỂM c ố đ ị n h Củ a đ ồ t h ị h à m s ố Y = F(X; M) ĐlỂM Đồ THỊ CỦAHẰM SỐ Y = F(X; M) KHÒNG ĐI QUA__________________________________ Bài toán 1: Tìm điêm cố đ ịnh m à đô thị hàm số y = f(x; m) luô n luô n

đi quaPhưong pháp giảỉ: Gọi A(xq; y0) là điểm cố’ định mà đồ thị luôn luôn điqua dù ra nhận bất kỳ giá trị nào. Khi đó phương trình y0 = f(Xoĩ m)nghiệm đúng vối mọi giá trị của m. Thông thường chuyển về phương

í A = 0trình Am = B nghiệm đúng Vm khi và chỉ khi: < (I)

[B = 0

Hoặc ohương trình Am2+ Bm + c = 0 nghiệm đúng Vm. khi và chỉ khiA = 0


28/185

BÀI TẬPBài 1: Cho hàm số y = X3 + mx2 - m - 5 (Cm) - .

Tìm những điểm cô" định mà đồ thị (Cm) luôn luôn đi qua; dù m nhận bấtkỳ giá trị nào

B ài g iả iGọi điểm A(Xo; y0) là điểm cố định mà đồ thị (Cm) luôn luôn đi qua, dù mnhân bấfc kỳ giá tr ị nào.Khi đó phương trình: y0 = x ị + mXQ - m - 5 nghiệm đúng Vm

m(Xo -1 ) = y0 - Xq + 5 (1) nghiệm đúng Vm

Phương trình (1) nghiệm đúng Vra khi và chỉ khi:

Ị x0 -1 = 0 rx0 =l ;y0 =- 4

ịy 0 = x ẳ - 5 ô U = - l í y 0 = -6

Kết luận : Vm đồ thị (Cm) luôn đí qua 2 điểm cô' định A(l; -4) và B(-l; -6).Bài 2: Cho hàm số"y - X3- 3(m + IJx2 + 2(m2 + 4m + I)x - 4m(m + 1) (Cra)

Tìm những điểm cô" định mà đồ thị (Cm) luôn luôn đì qua, dù m nhận bấtkì giá trị nào.

B ài g iảiGọi điểm A(x0; yo) là điếm cô" định mà đồ thị (Cm) ỈUÔĨ1 luôn đi qua, dù m nhận bất kì giá trị nào. Khi đó, phương trình:

y0 = xổ - 3xổm - 3xg + 2x0m2 + 8x0m + 2x0 - 4m2 - 4m

Nghiệm đúng Vm hay phương trình:2(xo - 2)m2- (3xp -8 x 0 +4)m + Xq - 3 x ị -í- 2xq - y0 = 0

[x0 - 2 = 0

Nghiệm đúng Vm, khi và chỉ khi: 13xj; _ gX(! + 4 - 0

[x ị -3xổ+2x0-y0=ọ .

Kết luận: Vra, đồ thị (Cm) luôn đi qua một điểm A(2; 0) cô' định.

s-n 1 > V. _ x2 + mx - 2r a- 4 .Bài 3: Cho hàm sô: y = -------- — ---------- (Cm)x -m

Tìm những điểm cô' định mà đồ thị (Cm) luôn đi qua B ã i g iả i

Gọi điểm M(x0; y0) là điểm cố định mà đồ thỊ (Cm) luôn đi qụa, khi đó, _ xĩ 4- mx„ - 2m - 4 ^ , '

phương trình: y0 “ — ------- ------------ (1) nghiệm đúng Vx * Xo (a)x0-m '

Với điều kiện (a) phướng trình (1) y0X - y0m = xị + mx0 - 2m - 4m(x0 + y0 - 2) = y0x0 - xồ + 4 (2

Phương trình (2) nghiệm đúng Vm khi và chỉ khi: j x ữ+ y0 - 2 = 0 | ỵ 0 = 2 - x 0

| y0x0- x ^+ 4 = 0 [x 0(2-Xq)~Xq +4 = 0

íx0 =2

V o =

- NBTCL HS - - 27-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


29/185

[ y 0 = 2 - x 0 4 •o

-2xg + 2x0 + 4 = 0x0 = -1^0 = 3x0 = 2,y0 =0

Kiểm tra điều kiện (a). Với Xo = -1 thì m ^ -1 . Với Xo = 2 thì m ± 2Kết luận:* Vm * -1; 2 tin đồ thị (Cm) luôn đi qua 2 điểm cô' định MxC-l; 3) và

M2(2; 0)* Vm 9*-1 đồ thị (Cm) đi qua một điểm cô" định M2(2; 0)* Vm 2 đồ thị đi qua điểm 3) cố định* Vra đồ thị không đi aua điểm cố định nào.

*>'• .i ™ 1 _ J- ' _ ax2 +3ax + 2a + lBài 4: Chứng minh răng đương cong-, y ------------ — --------x + 2

Luôn có một đường tiệm cận cố định, còn tiệm cận thứ 2 luôn đi qua mộtđiểm cô' định

B à i g iả i

Ta có: y = ax + a + —-—, tâp xác đinh của hàm số là R \ {-2}

x + 2* Tìm các đường tiệm cận của đường cong:

Trường hơp 1: a = 0, hàm số’có dang: y = —-— x + 2

Đồ thị có tiệm cận ngang y = 0, tiệm cận đứng là đường thẳng X = -2.Trườn g hợ p 2: a 0: Đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng X= ~2 vàtiệm cận xiên y = ax + a (A) (dộc giả tự tìm đường tiệm cận)* Khi a * 0 tìm điểm cố định mà A luôn đi qua khi phương trình:

f x0 +1 = 0 íx0 = -1a(x0+ 1) = y0 nghiệm đúng Va khi


30/185

BÀI TẬPBài 1: Cho hàm sô' y = X3+ mx2 - 9x - 9m (Cm)

Trong mặt phang tọa độ, tìm những điểm mà đồ thị không bao giò íi qua B à i g iả i

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi M(xo; y0) là những điểm mà (Cm) khôngbao giờ đi qua khi đó phương trình: y0 = Xq + mxQ - 9x0 - 9m vô nghiệm

m(Xộ -9 ) = y0 - Xq 4- 9x0 (1). Phương trình (1) vô nghiệm

í xị - 9 - 0 ĩx 0 = 3 và y0 * 0Khi và chỉ khi ị 0 « . 0 °

Ịy0 Xq - 9x0 ị_x0 = “3 và y0 5*0

Kết luận: Trong mặt phẳng những điểm nằm trên đường thẳng X= 3 II Oytrừ (3; 0) và những điểm nằm trên đường thẳng X = -3 trừ điểm (-3; 0) là những điểm mà đồ thị không bao giờ đì qua, dù m nhận bất kỳ giá trị nào.

Bài 2: Cho hàm sộ'y = —— (Cm)X - 1

Trên mặt phang tọa độ, hãy tìm tất cả các điểm, mà đồ thị (Cm) không bao giò đi qua dù m nhận bất kỳ giá trị nào.

Bà ỉ g iả iGọi M(x0; y0) là điểm mầ (Cm) không bao giờ đi qua, khi đó phưc ng trình

yQ= ^X° —mx°— (X) vô nghiêm (đổi vối m)x 0 - l

f X = 1Trư ờn g hơ p 1: Nếu xn- l —0x0= l thì khi ^ phướng trình (1)

lvyovô nghiệm. Vậy mọi điểm nằm trên đường thẳng X = 1 song song với Oy

ỉà những điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua.Trường hợp 2: x0 9*1 phương trình (1) y0X0 - y0 = 2 x 0 + 111*0 "■2 x 0

O' mX() = y0X0 - y0 - 2 Xq + 2x0(2)Phương trình (2) .vô nghiệm khi và chỉ khi;

íx0 = 0 (thỏa mãn x0 5Ể1) |x 0 = 0

[yox0 - yo - 2x0 + 2x0 * 0 \ yữ * 0Vậy mọi điểm nằm trên đường thẳng X= 0 trừ gốc tọa độ cũng ià nhũng điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua

Kết luâ n: Trong mặt phang tọa độnhững điểm nằm trên đưòng thẳngX= 1 song song vối Oy và những điểm nằmtrê n trục tung trừ gốc tọa độlà những điểm mà đồ thị (Cm) không bao giò đi qua.

_ (m ~ 2 )x-(m 2 -2m + 4) .Bài 3: Cho hàm sô y = -------------- — ------------- (Cm)

x -mLàm các câu hỏi sau1. Tìm tập hợp nhũng điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ, mà đồ thị

(Cm) không bao giờ đi qua

- NBTCL HS - -29-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


31/185

2. Trcn m ặt phẳng tọa độ tìm những điểm mà có đúng một đường congcủa họ (Cm) đi qua

3. Trong mặt phang tọa độ,, tìm những điểm mà có đúng 2 đường congcủa họ (Cm) đi qua

4. Tìĩn những điểm cô định mà đồ thị (Cm) luôn luôn đi qua B à i g iả i

1. Trong mặt phang tọa độ Oxy gọi điểm A(xo; y0) là những điểm mà dồ thị(Cm) không bao giờ đi qua. Khi đó phương trình.:

yo rax0 2x0 ■m + 2m - 4Xn - m

(1) vô nghiệm (đối vói m)

Với điều kiện m * Xo (a). Phương trình (1) tương đương vối phương trình:f(m) = m* - (y0 + x0 + 2)m + y0Xo + 2xo + 4 = 0 (2)Do f(X(,) = 4 * 0 Vxo. y0. Tức là phương trình (2) không có nghiệm m - XoDo (2) la bậc 2, nên phương trình (2) vô nghiệm «■ A < 0

A < 3 o g ( y 0) = y20 + 2 (2 -x 0)y0 + xị -4 x 0 -1 2 < 0 (3)

y0 = x0” 6

_y0 =x0 +2

Coi (3) là BPT bậc 2 của y0, g(yo) = 0

Xo + 2 > Xg - 6 Vx0

Cho nên BPT (3) nghiệm đúng vốix0- 6 < v0< x0 + 2

Gọi đường thẳng dt: y = X+ 2d2: >’ = X- 6; dj // d2 Ị Ị \s '

Vậy tập hợp những điểm A(x0; y0)mà đồ thị (Cm) không bao giờ điqua là những điểm nằm trong

mặt phang tọa độ được giối hạn bởi 2 đường thẳng dj,- d2. Phầnmặt phing không bị gạch chéotrên hình vẽ là những điểm mà(Cm) khóng bao giò đi qua.Gọi M(x,,; y0) ]à điểm mà có đúng một đường cong của họ (Cm) đi qua (lâykết quả của câu (1). Khi đó phương trình (1) có đúng 1 nghiệm m 5Ếx0,dẫn đến phương trình (2) có đúng 1 nghiệm rn^Xo khì và chỉ khi A = 0

v0 = x0 +2Cí> . Vậy tập hợp điêm M có đúng một đưòng cong của ho

_yo = xo - g

(Cm) đi qua là những điểm nằm trên 2 đưòng thẳng di và d2 có phươngtrình y - X + 2 (dj) và V= X - 6 (d2).

3. Gọi điểm N(xu; y0) là những điểm có đúng 2 đưòng cong của họ (Cm) điqua. Trình bày để đẫn đến phưong trình (2) có đúng 2 nghiệm khác nhaum ^ x0khi A> 0.

Tức là B.?T Yq + 2 ( 2 -x 0)y0 + -4 x 0 -12 > 0 0 _yo> xo - 6

2.

- 30 - -NBTCLHS-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


32/185

Vậy tập hợp những điểm N là những điểm trong mặt phẳng tọa độ nằm phía trên đưòng thẳn g dxvà những điểm nằm dưới đường thẳng d2: phầnmặt phẳng bị gạch chéo trên hình vẽ.

4. Gọi B(xoỉ y0) là điểm cố đỉnh mà đồ thị (Cm) luôn luôn đi qua, khi đó

, - _ mx„-2x0-m 2 +2m- 4 W _w_ phương trình: y0 = ---- ------ — “------------- (1) nghiệm đúng Vm*x 0

x0-m

Khi m * Xo (1) m2 - (y0 + Xp + 2) + y0x0 + 2xo + 4 = 0 (2) nghiệm đúng

1 = 0 'Vm khi và chỉ khi ị y0 + x0 + 2 = 0 hệ phương tr ìn h vô nghiệm

_y0x0 + 2x0 +4 = 0

Nên đồ thị (Cm) không đi qua một điểm cố định nào.

BÀI TẬP T ự LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị y = X4+ mx2- m - 5 luôn luôn đi qua(Đáp số: (1; -4), (-1; -4)).

Bài 2: Tỉm điểm cố đinh mà đồ thi hàm số: y = *- — —- luôn■ X + 2

luôn đi qua. (Đáp số’: (2; 0)).Bài 3: Tìm điểm cố’định raà đồ thị hàm số: y = X3 - 3mx + 2ra luôn luôn đi

qua. (Đáp sô~

Bài 4: Cho hàm số’ y = —— t ì m những điểm mà đồ thị hàm sô"x -m

không bao giờ đi qua(Đáp số: Điểm M e đưòng thẳng y = 2x - 1 trừ điểm (-1; -3) và (2; 3)).

Bài 5: Cho hàm số': y " X3 - 3mx T 2m

Tìm tập hợp những điểm mà không có đường cong nào đi qua' - 2 9 g

(Đáp số: Đường thẳng X= —trừ điểm (— )).3 3 2T

Ịv h đ ạ o h à m i

A. LÍ THUYẾT1. Định, ng hĩa đạo hàm bậc nh ấtĐịnh, ng hĩa đạo h àm bậc n hấ t

Đạo hàm bậc nhất của hàm số y - f(x) tại diểm Xo'(tại x0 hàm sô'liên tục)là giổi hạn (nếu có) của tv số giữa sô" gia hàm số vằ số gia đối số khi số dađối số’ tiến dần đến 0

Kí hiệu: ý(xo) = f(Xo) = lim ^ = lim f(x^ - Ax— f(x°-Ax-*0 Ax AxChú ý: Điểu kiện cần để hàm số có đạo hàm tại Xo là hàm số liên tục tại Xotức là: nếu hàm sô" liên tục tại Xo thì chưa chắc hàm số đó đã cồ đạo hàm tạix0nhúng hàm sô" gián đoạn tạ i Xo thì tại Xo hàm số không có đạo hàm.(Nói đạo hàm tức ỉà đạo hàm bậc nhất)

-NBTCLHS- - -





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


33/185

2- Quy tắc chu ng dể tìm đạo hàm củ a hàm số y = f(x) tạ i XoMuôn tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số y = f(x) tại x0 ta tiến hành theo3 bước sau:Bước 1:- Xét tính liên tục của hàm số tại Xo- Cho x0 một số gia Ax, thay X bởi Xo + Ax vào hàm số để tim f(x0 + Ax)

- Tìm số gia hàm số' Ay = f(x0 + Ax) - f(x0)Bước 2: Lập tỉ số giữa số gia của hàm sô' và sô" gia của đôì số —

AxAy ,

Bước 3: Tìm ỉim — dùng địnJb nghĩa đạo hàm đế Kết luận .&x->0 Ax

Bài 1: Dùng định nghĩa đạo hàm để tìm đạo hàm các hàm số:

a) f(x) = ịxj tại X= 0. b) f(x) “ ~ — tại X = 0.|xj +1

[ x 2 + X k h i X < 1

c) f(x) - \ 2 tính f(l ).I — k h i X > 1

B ài g iảia) f(x) = |x| được xác định trên tập R

ìim f(x) - liraỊxỊ = 0 = f(0); f(x) liên tục tại X= 0X-+Q x-vO

Cho X = 0 một số gia Ax ta có f(0 + Ax) = ịAxj

Ay = f(0 + Ax) - f(0) = |a x |

» A y = M Ax Ax

* Ay ỈAxl í l k h i A x-^ 0 +* lim — = lim £—!•= ị

Ax->0Ax 4X-.0 Ax [-Ik h i Ax 0“

' AyVậy không tổn tại lim — Ax-yOAx

Nên hàm số f(x) = ịxị liên tục tại X = 0 nhưng không có đạo hàm tại X = 0

(Người ta gọi hàm số cố đạo hàm bên phải điểm 0 bằng 1, bên trái điểm 0 bằng -1).

b) f(x) = "i—r~— CÓtâp xác đinh R |x| + l

lim f(x) = lim — = 0 = f(0). Hàm sô' liên tuc tai X = 0 *-io i-io x| + l

* Cho X= 0 một sô' gia Ax ta có f(0 + Ax) - — - 7 — ĩ l + |Ax|

- 32 -- NBTCLHS -





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


34/185

Ay = — J— r - 0 = — p—I1 + ỊAxỉ l-r|Ax|

Ax _ _ Ax

* Ay= 1Ax i + |Ax |.

* lim-— = lim — ị —Ĩ = 1. Vậy f (0) = 1.Ax->0 A x Ax-»o 1 + A x

c) Tập xác định của hàm số: R f(l) = 2, hàm sô'liên tục tại X= 1. Cho X= 1 một sô' gia Ax

* Nếu Ax > 0 thì f(l + Ax) = ———

1 + Ax. _ 2 n _ 2 - 2 - 2Ax 2Ax

• Ay = — ------- 2 = ---------------= ------- — 1 + Ax 1 + Ax 1 + Ax

. Ay = 2Ax 1 + Ax

• lim — = lim (-—) - - 2 sAx->Cf Ax ax->(T 1 + Ax

* Nếu Ax < 0• f(l + Ax) = (1 + Ax)2 + 1 + Ax = 1 + (Ax)2 + 2Ax + 1 + Ax = 2 + 3Ax > (Ax)2• Ay = f(l + Ax) - f( l) - 3Ax + (Ax)2

. 4 = 3 + AxAx

• lim = lim (3 + Ax) = 3Ax-»0“ Ax Ax-*cr

Ta có f(0) = a, lim -— " = iim— --------- x, = lim

Ay=> Không tồn tại lim — nên hàm sô không có đạo hàm tại X= 1 Ax-*0 Ax

[ a với X= 0Tìm a để hàm số có đạo hàm tại X= 0, tìm f (0)

B ả i g iả i* Tìm a để hàm số liên tục tại X= 0

xt*o X x-ìồx(Ị + Vi -x ) x-ío I + y j i - x 2Để hàm số liên tục tạ i X= 0 thì lim f(x) = f(0) a = —

.. ----- ------- vơi X* 0* Khi a = —j f(x) = < x

2 1 „4- vối X= 02

- NSTCLHS- -33-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


35/185

f(0)= ị

Cho X = 0 môt sô" gia Ax ta có f(0 + Ax) = ---- —— Ax

] -yj 1 - Ax 1 _ 2-2 -\/ l-A x -Ax _ 2 - Ax - 2\/l - Ax• Ay = ----------------- — — ---------- -----------------------------------------

Ax 2 2Ax 2Ax

Ay _ 2 - Ax - 2 Vl - Ax _ .. 1 1• —— —----------------- —T ------- — hm -------------- —JS = = —= — Ax 2(Ax) 2(2 - âx 4- 2VI - Ax) 8

Vậy fi 0) = — khi a = —.

2. a) Đạo hàm bậc nhất của hàm sô" y —f(x) trong (a; b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi đỉểm trong khoảng (a; b) thìhàm số có đạo hàm trong (a; b)b) Nếu hàm số’có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a; b) và có đạo hàm

bên trái điểm b và bên phải điểm a thì hàm số có đạo hàm trong đoạn [a; bj3. Công thức t ính đạo hàm bậc nh ất

c' = 0; x' = 1, (xra)' = mx” ’1; (axm)' = amx"1' 1(u + V+ w)’= u’ + v' + w'(u . V. w)' = u'v.w + v’.u.w + w'.u.v(u1")1 m.nm~J.u'; (aumy = am.u“ ‘ 1.u'f uỴ _ u ' . v - v\u

( v j = V2

( ệ } ~ sfy = J‘(u)

ị thì y'(x) = f (u) . ẹ ’(x)ịu - ip(x)

2 yfã(sinx)1“ cosx, (sinu)’ = u'.cosu(cosx)’ = -sinx, (cosu)’ = -u'.sinu

(tanxV = — , (tanu)' = u ___ 9 v COS X COS u

(cotx) = ------------—— , (cotu)’ ---7Usin2 X’ sinu

(exy = ex, (e'y = n'.ew(a*)’ = ax.Ina, [auW3' = u'(x). au . lna


36/185

4. Đạo hà m cấp 21 củ a hà m số f(x)Đạo hàm cấp n của hàm sô" y = f(x) khi hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp n- 1 và đạo hàm cấp n bằng đạo hàm bậc nh ất của đạo hàm cấp n - 1 củahàm số đó: ^

Bài 3: Cho f(x) - —{m .-2)x 3 - Vix2 + mx + 2011 làm các câu hỏi saủ:

1. Tìm m để f (x) > 0 Vx e R

f (x) > 0 Vx ễ E o f(x) = (m - 2)x2 - 2 Vs X+ m > 0 (1). Vx e R

+ m = 2 thì (1) có dạng: - 2 j 3 x + 2 > 0 - o x < — không nghiệm đứngv3

Vx, m = 2 không thỏa mãn ” + -+ m * 2 , f (x) là tam thức bậc 2, để f (x) > 0 ----------37////////////[--------- ►

f o n [m > 2 - 1 2 3a = m - 2 > 0Vx e R khi < 3 m > 3

A' - -m + 2m + 3 < 0^ Ị_m< -1

2. Tìm m dể f (x) < 0 Vx € K ?(x) < 0 Vx khi f (x) = (m - 2)x2 - 2-̂ 3 X+ m < 0 (2) được nghiệm đúng Vx e R + m = 2 không thỏa mãn+ m ^ 2, f(x) là tam thức bậc 2

* (a = m -2 < 0Đe f (x) < 0 Vx [a ' = -m + 2m + 3 < 0

3. f (x) trở thà n h bình phươ ng của một nhì thức(a = m - 2 > 0

Khi f (x) là tara thức bậc 2 có < „ _ m = 3.I A!= -m + 2m + 3 = 0

4. f (x) có 2 ng hiệ m X j , s 2 trá i dấ u

Khi f (x) = (m - 2)x2 - 2 V3 X+ m là tam thức bậc 2 cố — < 0 điều kiệrL:a

fa = m -2 ± 01C m m(m - 2 ) < 0 o 0 < m < 2

Ị.a m-2Tương tự: Tìm m để f (x) có 2 nghiệm?, có nghiệm?, có 2 nghiệm đều dương?, có 2 nghiệm khác nhau và cả 2 nghiệm âm? Có 2 nghiệm cùng dấu.

Bài 4: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm sô":a) y = sinax b) y = sin6x + cosex Bàỉ g iả i

a) V = sinax: y' = a.cosax = asin(ax + —)

y" = a2.cos(ax-i-—) = a2sin (ax+2.—)2 2

-NBTCLHS- - -





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


37/185

y"' = a3cos (ax + 2.—) = a3sin (ax + 3.—)

y(4)(x) = a4 cos(ax + 3—) = a4 sin(ax + 4—)2 2

Chú ý:- Nếu f(x) là sin(u(x)) thì các đạo hàm tính theo sinAx- Nếu f(x) = c o s(u (k )) thà các đạo hàm tính, theo cos(Bx)

Tí Tí Theo công thức: cosX = sin (—H-X); - sinX = cos(—+ X)

2 2

* Dự đoán: ytn>(x) = an.sin(ax + n~) (*)2

(n € N*)

* Dùng duy nạp để chứng minh (*) là đạo hàm cấp n của hàm sô" đã choChứng minh:* Chứng minh (*) đúng với n = 1: Trong (*) thay Ỉ1 = 1 ta được

y’ = a.sin(ax + —) = acosax đúng là đạo hàm cấp n. Tính theo công thứ

tính đạo hàm.

* Giả sử (*) đúng vói n = k j * - k - n[k 6 N

Tức là: y(k)(x) = ak.sin(ax + k —) (1) đúng

Ta phải chứng minh (*) đúng vối Ĩ1 = k + 1

Tức là phải chứng minh: y(k+1)(x) = ak+1.sin[ax + (k 4-1)—]Chứ ng minh: Từ (1) lấy đạo hàm 2 vế ta được (2)

y(k+1)(x) = ak.a.cos(ax+— ) = ak+1.sìn[ax + (k + l)~J

Vậy (2) đúng. Do đó (*) đúng là đạo hàm cấp n cùa hàm số đã cho.- 5 3

b) y = s in ^ + cos6x. Chứng minh: y = —+ —cos4x

y’(x) = —(-4).s in4x = —.4.cos(4x + —)8 8 2

y"(x) = —42[-sin(4x + —)3 = —.42.cos(4x + 2—)8 2 8 2

yf3)(x) = —.4s[-sin(4x + 2~)] = —.4s.cos(4x + 3.—)8 2 8 2

Dự đoán:. y(n)(x) = —-4n.cos(4x + n.—) (*)8 2

Chứng minh (*) là đạo hàm cấp n của hàm số đã cho bằng phương phápquy nạp toán học.

- 36 - - NK ĨCL HS





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


38/185

* Chửng miĩibi cho (*) dúng vối n. = 1

Trong (*) thay n = 1 ta được y' = —.4.cos(4x + — ) = - —,4si n4x

Đúng là đạo hàm bậc nhâ't của hàm số’.[l < k< n

Giả sử (*) đúng với n = k

k e NTức là: y(k)(x) = —,4k.cos(4x + k —) là đúng

8 2

Ta được: y(k+lì(x )= —,4k.4[-sin(4x + k —)] = —,4k+1.cos[4x + (k + l)8 2 8

Rõ ràng (*) đúng vơi n = k + 1Do đó (*) đúng là đạo hàm bậc n của hàm số: y = sin6x + cos6x.

Bài 5: Cho hàm sô" f(x) =5x -3

. Tìm đạo hàm bậc n của hàm sò”.X -3x + 2

Bài g iả iTập xác định hàm sô'là D = R \ {1; 2}Hàm số liên tục trên tập D. Ta có:

Ị ị = 5 x -3 = 5x- 3 = __A_ B (A + B )x -2 A -Bx 2 - 3 x + 2 ( x - 1 ) ( x - 2 ) x - 1 x - 2 ( x - 1 ) ( x - 2 )

ÍA + B = 5 ÍA = -2Vx * 1; 2 đổng nhất hệ sô" ò 2 vế ta được: 4 _ <

|-2A - B = -3 [B = 7

. 7 2 _ Vậy f(x) =x-2 X-1

7

Vx * 1; 2

Ta đươc: f(x) = ------7 - — + — = ~ 7----~ - 2 . ----1 — ( x - 2 ) f x - l ) 2 [ ( x - 2 ) ( x - 1 ) 2

f'(x) = 7. 1'2 . -2.- L2(x - 2) (x —1)

L2-3(x -2 )4 (x-1 )

f(4)(x) = 7 .1'2'3-Aẩ - 2 . 1'2'3 ^ (x - 2) (x —1)

7 1.2.3 2 1.2.3

(x - 2) (X-1V

Dự đoán: 7.-( x - 2 ) n+1

- 2 -(x-1 r

(*)

Chứng minh (*) đúng là đạo hàm cấp n của hàm sô" đã cho* -Trong (*) thay n = 1 ta được

7 2(X-2)2 + ( x- l )2

7 ‐2 1 J x ~ 2 f ( x - l ) \

Đúng là đạo hàm cấp 1 của hàm số đã cho

-NBTCLHS-

t o

]

a





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


39/185

* Giả sử (*) đúng với n = k vởil < k < n

k e N

Tức là yík)(x) = (~ l) \k ! 7.-1

( x - 2 )k+l - 2 -

1

, k + ilà đạo hâm cấp k

Lấy đạo hàm 2 vế ta được:

y* 5(x) = ( - l) .k!

(x-1)

7(-l).(k + l ) _ 2 (-l) (k + l)'

(x - 2)

7.

k+2( x - 1 )

k+2

( x - 2 )lí+2

- ,-1

(x-1)

Đây l ì đạo hàm cấp k + 1 tức là (*) đúng với n - k + 1Do đó (*) đúng là đạo hàm cấp n của hàm sô" đã cho

f 1(. x)Chủ ý: Dang y = bâc của f(x) > bâc g(x) thì lấy f(x) chia cho g(x)

g(x)tách phần nguyên rồi đưa về dạng bài 5.

BÀI TẬP T ự LUYỆN TÍNH ĐẠO HÀMBài 1: Dùng định nghĩa đạo hàm để tính đạo hàm

a) f(x) = tại X= 0; b) f(x) = I sin2x vối X * 0 tính (̂O);

[ 0 v ố i X = 0

c) f(x) = 2011x tính f (x); d) f(x) = log20x tính f (x).

X2 - 3x + 2Bà

Documents

Những Bài Toán Chọn Lọc Và Phương Pháp Giải Các Loại Bài Tập Về Hàm Số - Hồ Sĩ Vinh