Upload
tienht
View
30
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Bài tập toán cao cấp phần hàm số một biến số thực và tích phân suy rộng
Citation preview
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
9
CHƯƠNG 3
HAM SÔ MÔT BIÊN SÔ THƯC
1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Một số giới hạn cơ bản:
1lim 0 0
pnp
n
lim 0 1n
na a
lim 1n
na a
1lim 1
n
ne
n
lim 1 0n
na a
lim 1n
nn
lim ! 1n
nn
lim 0 1,p
nn
na p
a
lim 0!
n
n
aa
n
Bài 1. Cho dãy nx xác định như sau: 10 1x và 1 2 ; 1,2,...n n nx x x n
Chứng minh rằng nx có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2. Giả sử na , 1,2,...n là một dãy số thực được xác định bởi công thức truy
hồi sau: 11
30, , 2,3,...
4
nn
aa a n
Chứng minh rằng na là dãy hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
Bài 3. Tìm giới hạn các dãy sau (nếu hội tụ):
a) Dạng phân thức
1. 2
2
2 3
3 2 1n
n nx
n n
2.
4
2( 1)(n 2)(n 4)n
nx
n
3.
3 2
2 1
4 3n
nx
n n
4.3 2
3 2
2 4 5
2 5 6n
n n nx
n n n
5.
2
2
3 5 4
2n
n nx
n
6.
3 2
2
2 1 5
2 3 5 1n
n nx
n n
b) Dạng mũ
8. 12 5
1 5
n n
n nx
9.
7
5 2.3
2.5 4.3
n n
n n nx
n
10.
11 8
2 7
n
n nx
c) Dạng căn thức
11. 3 2 3
nx n n n 12. 2
2
3 4
2n
n nx
n n
13.
2 23 1 1n
nx
n n
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
10
Bài 4. Không tính giới hạn, hãy chứng minh các dãy sau hội tụ
a) xn = n
ncos b) xn =
1n
nsinn 23 2
c) xn =
1n
ncosn
d)
6 2 2
4
3sin 5cos ( 1)
1n
n nx
n
HD: Sử dụng nguyên lý kẹp
2. GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ TÍNH LIÊN TỤC
Bài 5. Tính giới hạn của hàm số
a) Khử dạng vô định 0
0
1. 2
23
9lim
3x
x
x x 2.
3 2
3 21
1lim
1x
x x x
x x x 3.
0
4 2limx
x
x
4. xsin
eelim
xx
0x
5.
8x8x2
)2x(sinlim
2
2
2x
6.
3x4x
)3xsin(lim
23x
7. xcos1
xxlim
2
0x
8.
x3sinx
x2sinxlim
0x
9.
0
sin 4lim
ln(1 5 )x
x
x
b) Khử dạng vô định
10. 4
8
3 2lim
3 4x
x
x x 11.
2
2
2 5 3lim
6 3x
x x
x x
12.
2
2
1lim
2 1x
x
x x
c) Khử dạng vô định
13. 2limx
x x x
14. 2lim 2 1 4 4 3x
x x x
15. 2 33lim 1 1x
x x
d) Khử dạng vô định 1
16. 3
2lim
1
x
x
x
x 17.
21
lim3
x
x
x
x 18.
22
2
1lim
2
x
x
x
x
19. 1x
x 9x3
1x3lim
20.
3x
x 2x
1xlim
21.
1
0lim(1 3 ) x
xx
Bài 6. Xét sự liên tục của hàm số trên miền xác định của các hàm số sau:
1.
21
1
xf x
x 2.
5.3 0
0
x khi xf x
x b khi x
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
11
3. 2 0
2 0
xe khi xf x
a x khi x 4.
2 0 1
2 1 2
x khi xf x
x khi x
Bài 7. Xác định a để hàm số sau liên tục trên đoạn 0,2 :
2
2 khi 0,1
2 khi 1,2
x a xf x
ax x
Bài 8. Tìm a để hàm số sau liên tục tại 0 :x 0
sin3
0
x xe ekhi x
f x x
a khi x
Bài 9. Xét sự liên tục của hàm số f x tại 0 :x
sin 10
ln 1 sin
3 0
xekhi x
xf x
khi x
Bài 10. Xét tính liên tục của hàm số f x tại 0 :x
2ln 10.
2
2 0
x xkhi xf x
x
khi x
Bài 11. Xác định a để f x liên tục tại 1:x 1
1
11
1
2 1 1
x
khi xf x e
a khi x
Bài 12. Xét tính liên tục của hàm số 2
1 cos xf x
x nếu 0, 0 , .x f A A R
Bài 13. Xét tính liên tục của hàm số:1
sinf x xx
nếu 0, 0 0.x f
Bài 14. Xác định a, b để hàm số liên tục trên toàn R:
22 3 1 2
2 4
8 4
x x khi x
f x ax b khi x
x khi x
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
12
3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Tính đạo hàm của các hàm số sau
1) y = x + x + 3 x 2) y = x
1 +
x
1 +
3 x
1 3) y =
3
2
x
ax +
xx
b -
x
x3
4) ecosxsinx 5) ln(sin2x) 6) tan
arcsin
x
x 7) arcsin
x1
x1
8) log3(x2 - sinx) 9) sin[cos2(tan3x)] 10) arctanax1
ax
11) arctan
2x1
x
12) arccos(cos2x) 13) tanx.cos2x 14) ln(1 + arctanx
1) 15) arcsin xsin
16) x + (x-1)arcsin1x
x
17)
3 x
x -
x
x 3
+ sin2x 18) 1
arctan x -
xarcsin
1
19) arctan x
x + ln(x + 2x1 ) 20) 22 xa - a.ln
x
xaa 22
21) log(arccosx) + lnsin4x 22) x 22 xa + a2arcsina
x 23) y = x
1
x
24) y = sinxx 25) y = (sinx)arcsinx 26) y = (cosx)sinx 27) y = (1 + x )lnx
28) y = xsinx + arcsin(lnx) 29) y = x2xe + sinxarctanx 30) y = (arctanx)arcsinx
Tìm vi phân của hàm số
a) y = a
1arctg
a
x b) y = arcsin
a
x c) y =
a2
1ln
ax
ax
d) y = ln|x + ax 2 |
Ứng dụng tính gần đúng
a) log11 b) 7
02,02
02,02
c) 3 02,1 d) 10 1000 e) sin290
f) arctan1.05 g) e0,02 h) arcsin0,51 i) 204,0 )02,1(e3
j) 203,0 )97,0(e8
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
13
Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
a) y = x1
x 2
, tính y(8) b) y =
x1
x1
, tính y(100) c) y =
x
e x
, tìm y(10)
c) y = x2e2x, tính y(10) d) y = x2sinx, tính y(50)
Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) sau
a) 1x
x2
b) 3 x1
x
c)
)x1(x
x
e) xn-1 x
1
e f) xex
g) ln(ax + b) h) sin2x i) 2x3x
12
j) 2x3x
12
k) xcosax
l) excosx m) x2eax n) sin4x + cos4x o) eaxsin(bx + c)
Bài 15. Xét tính khả vi của hàm số f(x) tại 0x
1 cos khi 0
( )1
khi 02
xx
xf x
x
Bài 16. Xét tính liên tục và tính khả vi của hàm số f(x) tại x = 0
1 1khi 0
( )
0 khi 0
xx
f x x
x
Bài 17. Xét tính liên tục và tính khả vi của hàm số f(x) tại x = 0
1 khi 0
( ) 1
0 khi 0
x
xx
f x e
x
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
14
Khai triển Taylor (khai triển tại lân cận x0)
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n + 1 trên [x0,x0+h] thì
f(x0 + h) = f(x0) + !1
)x('f 0 h + !2
)x(''f 0 h2 + … + !n
)x(f 0
)n(
hn + Rn(h),
trong đó
Rn(h) = )!1n(
)hx(f 0
)1n(
hn+1 số dư dạng Lagrăng
Rn(h) = o(hn) số dư dạng Peano
Khai triển Mac-Laurin (khai triển tại lân cận 0)
Khi x0 = 0
f(x) = f(0) + '(0)
1!
fh +
''(0)
2!
fh2 + … +
( ) (0)
!
nf
nhn + Rn(h),
Một số công thức khai triển Mac-Laurin thường dùng
+ (1 + x)α = 1 + !1
x +
!2
)1( x2 + … +
!n
)1n)...(1( xn + Rn(x)
+ Trường hợp m nguyên dương
(1 + x)m = 1 + !1
mx +
!2
)1m(m x2 + … +
!k
)1km)...(1m(m xk + … + xm
(1 - x)m = 1 - !1
mx +
!2
)1m(m x2 - … + (-1)k
!k
)1km)...(1m(m xk + … + (-1)mxm
+ x1
1
= 1 - x + x2 + … + (-1)nxn + Rn(x)
+ x1
1
= 1+ x + x2 + … + xn + Rn(x)
+ ln(x + 1) = x - 2
x 2
+ … + (-1)n-1
n
x n
+ Rn(x)
+ arctanx = x - 3
x 3
+ 5
x 5
+ … + (-1)n
1n2
x 1n2
+ Rn(x)
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
15
+ x1
1
= 1 -
2
x +
8
x3 2
- … + (-1)n
)n2...(6.4.2
)1n2...(5.3.1 xn + Rn(x)
+ arcsinx = x + 3.2
x 3
+ 5.8
x.3 5
+ … + )n2...(6.4.2
)1n2...(5.3.1
1n2
x 1n2
+ Rn(x)
+ ex = 1 + !1
x +
!2
x 2
+ … + !n
x n
+ Rn(x)
+ sinx = x - !3
x 3
+ … + (-1)n-1
)!1n2(
x 1n2
+ Rn(x)
+ cosx = 1 - !2
x 2
+ … + (-1)n
)!n2(
x n2
+ Rn(x)
Quy tắc L’Hospital để khử dạng vô định
Áp dụng cho dạng 0
0 và
:
)x(g
)x(flim
0xx =
)x('g
)x('flim
0xx. Áp dụng tính các giới hạn sau
a)
2
x
1
x
x
111
x
1cose
lim
b)
)x1ln(
x2
tg
lim1x
c)
x2
xsinxlim
0x
d)
tgxx
xsinxlim
0x
e)
x
11ln
arctgxlim
x f)
tgxx
eelim
xx
0x
g)
xtgx
eelim
xtgx
0x
h)
)x1ln(
x2
tg
lim1x
i)
ax
eelim
ax
ax
j) xx
xx
0x dc
balim
k)
xtgx
eelim
xtgx
0x
l)
1x
1xlim
3
0x
m)
x2
xsin1lim
2x
n) 1xxln
xxlim
x
1x
Bài 18. Cho hàm số 3( ) . xf x x e , viết 6 số hạng đầu tiên trong khai triển Maclaurin
của f(x). Tính (3) (5)(0); (0)f f .
Bài 19. Cho hàm số 2( ) sin 3f x x . Sử dụng 5 số hạng đầu tiên của khai triển
Maclaurin của hàm số f(x) để tính giá trị gần đúng (0,01)f .
Bài 20. Cho hàm số 2
khi 0( )
khi 0
xe xf x
x ax b x
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
16
Xác định các giá trị của a và b để hàm số f(x) khả vi với x R .
Bài 21. Cho hàm số 3
0
0
khi ( )
khi
x x xf x
ax b x x
Với giá trị nào của a và b thì hàm số f(x) liên tục và khả vi tại 0x x
Bài 22. Tính gần đúng 52 0,15
2 0,15I
Bài 23. Tính gần đúng 2
2
(2,037) 3
(2,037) 5I
4. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Nguyên hàm các hàm thông dụng
a) dx0 = C b) dx1 = x + C c) dxx =
1
x 1
, α ≠ -1
d) x
dx = ln|x| + C e)
2x1
dx = arctgx + C f)
2x1
dx = arcsinx + C
g) dxa x = aln
a x
+ C h) dxex = ex + C i) xdxsin = -cosx + C
j) xdxcos = sinx + C k) xsin
dx2
= -cotgx + C l) xcos
dx2
= tgx + C
m) 22 xa
dx =
a
1arctg, a ≠ 0 n)
22 xa
dx =
a2
1ln
xa
xa
+ C, a ≠ 0
o) 22 xa
dx = arcsin
a
x + C, a ≠ 0 p)
2
2ln 1
1
dxx x C
x
MỘT SỐ DẠNG NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM
1.Tích phân hàm hữu tỷ
Phân tích thành tổng các phân thức hữu tỉ đơn giản
a) ax
Adx = Aln|x-a| + C b)
k)ax(
Adx =
1k)ax)(1k(
A
+ C (k ≠ 1)
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
17
c)
qpxx
dx)NMx(2
d)
m2 )qpxx(
dx)NMx( (q - p2/4 > 0) đổi biến x + p/2 = t
2. Tích phân hàm vô tỷ
a)
dx
dcx
bax,...,
dcx
bax,xR
s/rn/m
, cd ≠ 0. Đặt dcx
bax
= tk, với k là bội chung nhỏ nhất
của các chỉ số căn, đưa về dạng hữu tỉ với t.
b) dx)xa,x(R 22 Đặt x = asint, hoặc x = acost
dx)xa,x(R 22 Đặt x = atgt, hoặc x = acotgt
dxax,x(R 22 Đặt x = a/sint, hoặc x = acost
c) dx)cbxax,x(R 2 Đặt t = x + b/2a, đưa về dạng b
d) Tích phân dạng c có thể sử dụng phép thế Euler
a > 0, cbxax 2 = a x+t
c > 0, cbxax 2 = tx c
x0 là nghiệm tam thức bậc hai ax2 + bx + c, cbxax 2 = t(x - x0)
e)
cbxax)x(
dx)BAx(
2n Đặt x - α = 1/t
f) dx)bxa(x qpr , với r, p , q là các số hữu tỉ
q nguyên, s là mẫu số chung của r, p, thế x = ts
(r + 1)/p nguyên, s là mẫu số của q, thế a + bxp = ts
(r + 1)/p + q nguyên, s là mẫu số của q, thế a/xp + b = ts
3. Tích phân hàm lượng giác
a) Dạng dx)xcos,inxs(R , R là biểu thức hữu tỷ. Đặt t = tg2
x
b) Đặc biệt
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
18
Nếu R lẻ đối với sin thì đặt cosx = t
Nếu R lẻ đối với cos thì đặt sinx = t
Nếu R là chẵn đối với sin, cos thì đặt tgx = t
c) xdxosxcsin nm
Nếu m, n có ít nhất một số lẻ thì đặt như trường hợp b
Nếu m, n đều chẵn và có một số âm thì đặt tgx = t
Nếu m, n đều chẵn và dương thì hạ bậc
sin2x = (1 - cos2x)/2 cos2x = (1 + cos2x)/2 sinxcosx = sin2x/2
d) Dạng tích bxdxcososaxc ; bxdxcosaxsin ; bxdxsinaxsin
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
Biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản
1) 1 12 5
10
x x
xdx
2)
3
1
xdx
x
3) 2tan xdx 4) 21 cos
1 cos2
xdx
x
5) 4 1
dx
x 6) 2
2 2
1 2
(1 )
xdx
x x
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 24 8 ; 4 6y x x y x
Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 3 36 16 ; 24 16x y y x y y
Câu 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi xoay hình phẳng
2: 2 ;2 2 3 0D y x x y quanh trục Ox.
Câu 4: Tính độ dài của đường cong 2 1y x từ điểm ( 1;0)A đến (1;0)B
Câu 5: Tính độ dài của đường cong sin , 1 cos ; 0 2x a t t y a t t
Câu 6: Tính độ dài của đường cong 3 3cos , sin ; 0 2x a t y a t t
Câu 7: Tính diện tích của mặt tròn xoay thu được khi quay cung 3y x 2 2
3 3x
quanh trục Ox.
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
19
Câu 8: Tính diện tích của mặt tròn xoay thu được khi quay cung siny x , (0 x
) quanh trục Ox.
Câu 9: Tính diện tích của mặt tròn xoay thu được khi quay đường cong
2 23 4 12x y quanh trục Oy.
5. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI I
Câu 10: Xét sự hội tụ và tính 2
0
. xI x e dx
Câu 11: Xét sự hội tụ và tính
22
0 1
dxI
x
Câu 12: Xét sự hội tụ và tính 2
1 1
dxI
x x
Câu 13: Xét sự hội tụ và tính 0
sinxI e xdx
Câu 14: Xét sự hội tụ và tính 2 4 9
dxI
x x
Câu 15: Xét sự hội tụ và tính
32
2 1
xdxI
x
Câu 16: Xét sự hội tụ và tính 2
1 1
dxI
x x x
Câu 17: Xét sự hội tụ và tính 2
1
arctan xI dx
x
Câu 18: Xét sự hội tụ của tích phân 4
1
3 4
1
xdx
x
Câu 19: Xét sự hội tụ của tích phân 3
71
1
1
xdx
x
Câu 20: Xét sự hội tụ của tích phân 23
1
xx e dx
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
20
Câu 21: Xét sự hội tụ của tích phân 2
5 32
1
3
xdx
x x
Câu 22: Xét sự hội tụ của tích phân 2
1
ln(1 )xdx
x
6. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2
Câu 23: Xét sự hội tụ và tính 3
21 4 4
dxI
x x
Câu 24: Xét sự hội tụ và tính 1
2
0
lnI x xdx
Câu 25: Xét sự hội tụ và tính 1
0 (1 )
dxI
x x
Câu 26: Xét sự hội tụ và tính 3 2
23 9
x dxI
x
Câu 27: Xét sự hội tụ của tích phân 1
20
sin 2
1
xdx
x
Câu 28: Xét sự hội tụ của tích phân 1
sin
01x
xdx
e
Câu 29: Xét sự hội tụ của tích phân 3
1
0 1x
dx
e
Câu 30: Xét sự hội tụ của tích phân 23
1
0
ln 1
sin
xdx
x x
Câu 31: Xét sự hội tụ của tích phân 31
sin
0
ln 1
1x
xdx
e
Câu 32: Xét sự hội tụ của tích phân
1 2
5230 1
xdx
x
Câu 33: Xét sự hội tụ của tích phân 4
50
ln(sin 2 )xdx
x
Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến
21
Câu 34: Xét sự hội tụ của tích phân 1
0cosx
dx
e x
Câu 35: Xét sự hội tụ của tích phân 1
2
0
sin xdx
x