BANCO DE EJERCICIOS - ELITE CLASS VIRTUAL

BANCO DE EJERCICIOSDE LA COLECCIÓN COMPENDIOS

TRIGONOMETRÍA

Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 www.editorialsanmarcos.com

Editorial


ÍNDICE

Sistema de medición angular ........................................................................................................... 4

Razones trigonométricas de un ángulo agudo ................................................................................. 11

Razones trigonométricas de ángulos en posición estándar ............................................................. 23

Circunferencia trigonométrica........................................................................................................... 27

Identidades trigonométricas para un mismo arco............................................................................. 35

Arcos compuestos ............................................................................................................................ 39

Reducción al primer cuadrante......................................................................................................... 44

Identidades de arcos múltiples ......................................................................................................... 49

Transformaciones trigonométricas ................................................................................................... 58

Ecuación trigonométrica ................................................................................................................... 65

Funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas .................................................... 73

Resolución de triángulos oblicuángulos ........................................................................................... 82

BANCO DE EJERCICIOS4

Editorial


ÁNGULO TRIGONOMÉTRICOSe genera por la rotación de un rayo (en el mismo plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.Consideramos un ángulo positivo cuando las rota-ción del rayo sea contraria al movimiento de las manecillas de un reloj (antihorario); cuando la rota-ción sea en el mismo sentido de movimiento (hora-rio) el ángulo se considera negativo.

O θ Oβ

Donde: O: vértice de los ángulos generadosq: ángulo trigonométrico positivob: ángulo trigonométrico negativo

• Cuando a un ángulo trigonométrico se le in-vierte su sentido, su valor cambia de signo.

• Para sumar ángulos trigonométricos en ungráfico estos deben tener el mismo sentido.

MEDICIÓN DE UN ÁNGULOAl medir un ángulo, tratamos de asignarle un nú-mero que indique la magnitud de este. Se debe te-ner presente para un ángulo positivo, que cuando sea mayor la rotación, mayor será el ángulo.

ÁNGULO DE UNA VUELTAEs aquel que se genera, cuando el lado final e ini-cial coinciden por primera vez de cierta rotación. Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y decir que ángulo de una vuelta es: 1 v. La forma más lógica para medir el ángulo es el número de vueltas o llamado también número de revoluciones.

1/4 v 1/2 v

3/4 v

1 v

MEDIDA EN GRADOS SEXAGESIMALESEl sistema más utilizado en aplicaciones de inge-niería, topografía y navegación es el sistema sexa-gesimal.En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel ángulo cuya medida es 360° (1°: grado sexagesimal).

Ejemplo:240°

Dibujemos un ángulo de 2/3 de una vuelta y calcu-lemos su medida.La medida en grados sexagesimales de este ángu-lo es

32 (360°) = 240°

Medida de un ángulo en grados sexagesima-les = (Número de revoluciones) (360°)

Tenemos también:

1 v = 360° 1° = 60’ 1’ = 60”

* 1° = 3600”

Donde: 1’: minuto sexagesimal 1”: segundo sexagesimal

MEDIDA EN GRADOS CENTESIMALESDebido a que este sistema no es muy utilizado y carece de aplicaciones prácticas, solo nos limita-remos a mencionar algunas equivalencias. En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel cuya medida es 400g (1g: grado centesimal)También tenemos:

1 v = 400g 1g = 100m 1m = 100s

* 1g = 10 000s

Donde: 1m: minuto centesimal 1s: segundo centesimal

MEDIDA EN RADIANESConsideremos un ángulo q y dibujemos una cir-cunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su centro O; sea además L la longitud del arco de la circunferencia que se genera. Entonces se define:

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

5TRIGONOMETRÍA

Editorial



COLECCIÓN EL POSTULANTE10

La medida de un ángulo en radianes (números de radianes) viene expresado por:

rLq =θr

r

L

O

Ejemplo:

θr = 2 cm

L = 8 cm

O

De la definición:

rL

cmcm

28 4q = = =

El número 4 no tiene unidades, así un ángulo de 4 (radianes) significa un ángulo que subtiende un arco cuya longitud es cuatro veces la longitud del radio (L = 4r)

Ahora si consideramos L = r, en-tonces según la definición tene-mos:

rL

rr 1q = = =

Podemos definir un ángulo de un radián (1 rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio.

Nota:1 vuelta: 360° = 400g = 2p rad

21 vuelta: 180° = 200g = p rad

41 vuelta: 90° = 100g =

2p rad

• 1 rad 2 1° 2 1g

• 27' = 50m

• 1' 2 1m

• 81" = 250s

• 1" 2 1s

• 27' = 5000s

• 1' 2 1s

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS QUE REPRESEN-TAN LA MEDIDA DE UN ÁNGULOConsideremos ahora un ángulo trigonométrico po-sitivo como se muestra en la figura:

Siendo:S: número de grados sexagesimales del ángulo q.C: número de grados centesimales del ángulo q.R: número de radianes del ángulo q.

θO

S°

Cg

R rad

Se cumple: S C R180 200 p= =

;S R180p= ;C R200

p=S C9 10

=

S = 9kC = 10k

S = 180kC = 200kR = pk

LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIASi un arco de longitud L en una circunferencia de radio r, subtiende un ángulo central (medida en ra-dianes)

Entonces: L = qr 0 1 q # 2p

L = qr

q = rL

r = Lq

θr

Lr

Aplicaciones1. Número de vueltas que da una rueda sin

resbalar, al desplazarse de una posición a otra

En la figura se muestra una rueda de radio r, que se desplaza de una posición A a otra B, sin resbalar.

r

rA

B

lC

θr

r

L = r

O


Editorial


11TRIGONOMETRÍA

El número de vueltas que da dicha rueda para tal condición se calcula mediante la siguiente

relación: nv = l

r2c

p Donde: nv: número de vueltas que da la rueda. lc: longitud descrita por el centro de la rueda. r: radio de la rueda.

2. Poleas y engranajes• Engranajes en contacto y poleas unidas por

una faja de transmisión

A

rA rB

B

Figura (I)

FT

P

BA

Figura (II)

En la figura (I) se tiene dos engranajes y en la figura (II) se tiene dos poleas unidas por una faja de transmisión. En cada caso, si A gira un ángulo qA entonces B girará otro ángulo qB. Además las longitudes descritas por los pun-tos P, T y F son iguales, es decir:

lP = lT = lF qA rA = qB rB = lF

lp: denota la longitud de la trayectoria descri-ta por el punto P, análogamente para los otros puntos mencionados.

• Poleas unidas por un eje.

A

B

PQEje

Se tienen dos poleas unidas por un eje, si la polea A gira un ángulo qA entonces la polea B, girará un ángulo qB: qA = qB

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULARA la porción sombreada de la figura, se denomina sector circular.Si q es el ángulo central expresado en radianes, de una circunferencia de radio r, y si S denota el área de un sector circular subtendido por q.

Entonces:

θOr

B

Ar

S r2

2q= S Lr

2= S L

22

q=

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Hallar el equivalente en grados, minutos y se-

gundos sexagesimales de un arco de 75p rad:

Resolución: Pasando al sistema sexagesimal:

75p rad ° °

rad180

7900

p=c m

240 72 34 & 34’

# 60

120 71 17 & 17"

900 74 128 & 128°

# 60

75p rad / 128°34'17''

2. Hallar la conversión de 9

32p rad en grados

sexagesimales.

Resolución: Pasando al sistema sexagesimal:

9

32p rad °rad

180pc m = °

932 180# = 640°

7TRIGONOMETRÍA

Editorial




3. Si el complemento del arco x es 143p

- radianes,

hallar el valor de x en grados centesimales.

Resolución: Sabemos que el complemento de un arco x

es: x2p

-

Por dato: x2 14

3p p- =-

x12 14

3p p= + & x

75p

= rad

Este valor lo pasamos al sistema centesimal:

75p rad

rad200g

pc m =

71000g

= 142, 8571g

Pasando a minutos y segundos se obtiene:x = 142g 85m 71s

4. Un tramo de una vía férrea curvilínea está for-mado por dos arcos sucesivos. El primer arco corresponde a un ángulo central de 20° con un radio de 2500 pies y el segundo corresponde a un ángulo central de 25° con un radio de 3000 pies. Encontrar la longitud total de la vía.

Resolución Observar de la figura que la longitud total de la

vía es igual a la suma de los arcos L1 y L2.

L1 = 18020 pc m(2500)

2500 20°

L1

300025°

L2

L2 = 18025 pc m(3000)

L1 + L2 = 9

6250p

Considerando: p = 3,1416 se obtiene L1 + L2 = 2181,67 pies

5. Se tiene un sector circular de radio r y ángu-lo central de 36°. ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?

Resolución: Sector circular (inicialmente):

S = 18036

21 pc mr2 ...(1) 36°

r

(S: área del sector circular)

Sector circular (después):

36° + α

r r4-

Observar que el radio (por dato) del nuevo sector es igual a 3r/4, pero el área no varía.

S = 36180

r21

43 2

α π+^ ch m ...(2)

Como el área es la misma, entonces iguala-mos (1) y (2):

18036 36

180r r

21

21

432 2π α π

= +c ^ cm h m

Simplificando: 36° = (36° + a)169

Operando tenemos: a = 28°

EJERCICIOS PROPUESTOS 1

1. Calcule el valor de: °

°R

rad

rad

154 8

90207 16g

p

p

=

-

+ +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Dada la siguiente equivalencia: 11g 1 2 a°b' calcule: b - a

a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49

3. Si: 1a a+^ h 1 2 g

2 0a +^ h calcule (a2 + a)° en radianes.

a) 30p b)

15p c)

9p

d) 6p e)

307p

4. Si 323p rad 1 2 a°b'c'', calcule (a + 2b - c)g en

el sistema sexagesimal.

a) 72° b) 81° c) 90° d) 99° e) 108°

5. Los ángulos internos de un triángulo miden:

(3x)°, (10x)g, y x10pc m rad. Calcule la diferencia


Editorial


13TRIGONOMETRÍA

de las medidas del mayor y menor ángulo en radianes.

a) 5p/18 b) p/3 c) 7p/18 d) 4p/8 e) p/2

6. Reducir la expresión:

E = C SS C

C SC S R C17 20

10p-

++

-

++ + -

siendo S y C las medidas sexagesimal y cen-tesimal de un ángulo trigonométrico.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7. Determine la medida radial del ángulo que cumple: 12S + 5C + 40R/p = 32

a) p/10 rad b) p/40 rad c) p/80 rad d) p/100 rad e) p/90 rad

8. La suma del doble del número de grados sexagesimales con el número de grados cen-tesimales de un ángulo es igual a 140. Deter-minar la medida circular de dicho ángulo.

a) 3p rad b)

4p rad c)

5p rad

d) 2p rad e)

6p rad

9. El número de segundos sexagesimales de un ángulo más el número de minutos centesima-les del mismo ángulo es 66 800. Calcule la medida radial de dicho ángulo.

a) p/20 b) p/18 c) p/10 d) p/9 e) p/6

10. Calcule la medida del ángulo para el cual se cumple que: S + 3C - 10SR = 30 (p = 22/7)

a) 12° b) 15° c) 18° d) 21° e) 24°

11. Si a° y bg son suplementarios que están en la relación de 1 a 4, respectivamente, calcule el valor de: a b+

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

12. Calcule: 500 xx y z2- -c m , siendo:

x: número de segundos centesimales de un ángulo.

y: número de segundos sexagesimales del mismo ángulo.

z: número de minutos centesimales del mis-mo ángulo.

a) 169 b) 170 c) 171 d) 172 e) 173

13. Determine la medida radial del ángulo que cumpla con la igualdad:

S C R9 10

205 5 5

p+ + = 12(S4 + C4 + R4)

a) p/3 rad b) p/2 rad c) p/5 rad d) 2p/5 rad e) 3p/5 rad

14. Determine la medida circular del ángulo que cumpla con la igualdad, siendo S, C y R los números convencionales para un ángulo.

R S S S S C9

1 1 1 11

1 12

1 11

1f

p+ = + +

++

++

+ -c c c cm m m m

a) p/2 rad b) p/4 rad c) p/5 rad d) p/8 rad e) p/10 rad

15. Si: ’’° ’

’’

’’’ ’’

xx x

xx x

xx x

m

g mc c cm m m 1 2 a°b'c''

calcular: b

a c 1- -

a) 10 b) 15 c) 20 d) 24 e) 25

16. Siendo S y C los números de grados sexa-gesimales y centesimales para un mismo án-gulo el cual cumple: S2 + 81 # 18S

convertir (4SC)g a radianes.

a) 9p/5 b) 4p/5 c) 2p/3 d) 3p/5 e) 6p/7

17. Siendo S y C los números que representan la medida de un ángulo en grados sexagesima-les y grados centesimales, respectivamente, cumplen la igualdad:

...S S S C C Cf+ + + = - - -

Calcular la medida radial de dicho ángulo.

a) 1,9p rad b) 2,9p rad c) 3,9p rad d) 4,9p rad e) 0,9p rad

18. Calcular la medida del mayor ángulo en radia-nes, si la suma de la cuarta parte del número de grados sexagesimales de un ángulo y los tres quintos del número de grados centesima-

9TRIGONOMETRÍA

Editorial




a) 12p m2

120°RR

b) 14p m2

c) 15p m2

d) 16p m2

e) 17p m2

4. En un sector circular se cumple que:

L R L6 4q

+c m = S + 380

donde: R: radio; q: número de radianes del ángulo central; L: longitud de arco, S: área. Hallar S:

a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20

5. Si S = 5L2, calcular x (S: área).

a) 2L

x S

b) 3L/2 c) L d) L/2 e) L/3

6. Calcular: q2 + q

a) 1

θ rad

b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3

7. Hallar x.

a) 1

2 4

3x + 2

b) 1/2 c) 1/3 d) 2 e) 3

8. Calcular el valor de x.

a) 3

x5

2a a

11 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

9. En un sector circular el radio y el perímetro es-tán en la relación de 1 a 3. Calcular la medida del ángulo central.

a) 21 rad b) 1 rad c)

23 rad

d) 2 rad e) 25 rad

les de otro ángulo es 70, además se sabe que dichos ángulos son suplementarios.

a) p b) 2p/3 c) 2p d) p/2 e) p/4

19. Un ángulo a mide a0b° y también ac0g. Si c 2 b, ¿cuál es el menor valor que puede to-mar a en radianes?

a) 5

12p b) 5

14p c) 5

16p

d) 5p e)

1017p

20. Se tienen dos ángulos positivos y se sabe lo siguiente: la diferencia del número de minutos centesimales de uno de ellos con el número de minutos sexagesimales del otro es 400, además sus números de grados sexagesi-males y centesimales del segundo y primero suman 10. Calcule la diferencia de estos án-gulos en radianes.

a) p/46 b) p/12 c) p/20 d) p/8 e) p/96

1. d 5. e 9. c 13. e 17. a2. a 6. d 10. a 14. e 18. b3. c 7. d 11. d 15. a 19. b4. b 8. b 12. c 16. a 20. eC

laves


1. Hallar x.

a) 1 x + 1

x + 1

x + 4x rad

b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3

2. De la figura, calcular: a ba b

-

+

a) 1 a

57

b

b) 3 c) 6 d) 5 e) 4

3. Calcular el área de la región sombreada: R = 6 m


Editorial


15TRIGONOMETRÍA

10. Determinar la longitud de la cuerda que cubretodo el sistema.

a) R (3 + p)R R

R

b) 2R (3 + p)c) 3R (3 + p)d) 4R (3 + p)e) 5R (3 + p)

11. Calcular q, si: S1 = S2

θ rad S1

S2

a) p/10 b) p/9 c) p/6d) p/5 e) p/4

12. Si A: área, hallar x.

a) 1

A xAA 24

b) 2c) 4d) 5e) 6

13. Si S1 + S2 = 15p m2, calcular q.

a) p/15

3 m3 m

3 m3 m

S2S1θ rad

b) p/12c) p/3d) p/10e) p/5

14. Calcular el área S de la región sombreada.

a) 48

x - 1 S x + 5

5x

b) 44c) 40d) 46e) 43

15. Calcular: S (área)

S 2a

b

a) 3ab b) 5ab c) 2ab

d) ab e) ab2

16. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 40g. Si el radio mide 15 m, calcular la longitud de arco que subtiende.

a) p m b) 2p m c) 3p md) 4p m e) 5p m

17. Si L1 + L2 = 3

14p , a + b = 120°; hallar R.

a) 1R R

βα

R R

L1L2b) 3

c) 5d) 7e) 9

18. Calcular x.

a) 1/3

2 3 x

10b) 1c) 4/3d) 5/3e) 2

1. b 5. a 9. b 13. c 17. d2. c 6. a 10. b 14. a 18. d3. a 7. a 11. d 15. d4. e 8. d 12. e 16. cC

laves

11TRIGONOMETRÍA

Editorial



Se llama triángulo rectángulo al que tiene un án-gulo recto, recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.En la figura, llamamos c a la hipotenusa, para in-dicar que su longitud es de c unidades y, con el mismo fin, llamamos a y b a los catetos, ahora su-pongamos que q es el ángulo agudo.En el triángulo rectángulo mostrado se cumple:

0 1 q 1 90°

θa

bc

a 1 c; b 1 c

Teorema de Pitágoras:

a2 + b2 = c2

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (RT)La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longi-tudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto al ángulo agudo.Si en el triángulo de la figura anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c), cateto opuesto (b) y cate-to adyacente (a) al ángulo q. Podemos definir las razones trigonométricas de q del modo siguiente:

senq = á

hipotenusacateto opuesto al ngulo

cbq

=

cosq = á

hipotenusacateto adyacente al ngulo

caq

=

tanq = á

ácateto adyacente al ngulocateto opuesto al ngulo

ab

qq

=

cotq = áá

cateto opuesto al ngulocateto adyacente al ngulo

ba

qq

=

secq = ácateto adyacente al ngulo

hipotenusaac

q=

cscq = ácateto opuesto al ngulo

hipotenusabc

q=

Ejemplo:Calcule los valores de las seis razones trigono-métricas del menor ángulo agudo q de un trián-gulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 uni-dades.

Resolución:

θ15

8a = 17Teorema de Pitágoras

(8)2 + (15)2 = a2

289 = a2 & a = 17

En el :

senq = 178 cotq =

815

cosq = 1715 secq =

1517

tanq = 158 cscq =

817

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS AGUDOS: 30°, 60°, 45°, 37° Y 53°Las razones trigonométricas (RT) de estos ángu-los se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

30°

2kk

k

60° 21

3330°

60°

5k 5 3k 3

4k 4 37° 37°

53° 53°

45°k

k45°

k 1

122

45°

45°

Ángulo30° 37° 45° 53° 60°

RT

sen 21

53

22

54

23

cos23

54

22

53

21

tan33

43 1

34 3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO


Editorial


17TRIGONOMETRÍA

Ángulo30° 37° 45° 53° 60°

RT

cot 334 1 4

333

sec3

2 345 2 3

5 2

csc 235 2 4

5 33

2

Nota:1.

15°

75°4

6 2-

6 2+

^ h

175° 15°

4

62

-

62+

2 3- ^ h2 3+

2. Los valores de las seis razones trigo-nométricas dependen únicamente de la medida del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.

Luego:

θA

B

B’

C C’

ACB tenemos que: sen q = ABBC

AC’B’ tenemos que: sen q = ’

’ ’ABB C

Luego: ’

’ ’ABBC

ABB C

=

Así encontramos el mismo valor para senq sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcular-lo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCASSiendo q un ángulo agudo, se cumple:

cscq = sen

1q

& senqcscq = 1

secq = cos

1q

& cosqsecq = 1

cotq = tan

1q

& tanqcotq = 1

Ejemplos:

• senq = 72 & cscq =

27

• tanq = 55 & cotq =

55

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos agudos se lla-man complementarios si su suma es un ángulo recto.En la figura que se muestra:q y a: son ángulos comple-mentarios (q + a = 90°).

Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como q y el ángulo opuesto al cateto a como a, en consecuencia:

senq = cb = cosa; cosq = c

a = sena

tanq = ab = cota; cotq =

ba = tana

secq = ac = csca; cscq =

bc = seca

sena = cos(90° - a)tana = cot(90° - a)seca = csc(90° - a)

Debido a estas relaciones, las razones:• Seno y coseno• Tangente y cotangente

RT(a) = CO-RT(b)& a + b = 90°

• Secante y cosecante

se llaman co-razones trigonométricas una de la otra, respectivamente.

a

bc

θ

α

13TRIGONOMETRÍA

Editorial




Ejemplos:sen40° = cos50° sec20° = csc70°tan80° = cot10° cot3° = tan87°cos62° = sen28° csc24° = sec66°

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSLas aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da: I. Las longitudes de dos lados.II. La longitud de un lado y la medida de un án-

gulo agudo.

I. Conociendo las longitudes de dos lados Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo

que sus catetos miden 1 y 2, respectivamente.

Resolución:• Para calcular x, aplicamos el teorema de

Pitágoras:

(1)2 + (2)2 = a2

2

1a

θ

β

& a2 = 5 a = 5

• Para determinar la medida del ángulo q, calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.

Es decir: tanq = 21 & q = 26°30’

Como: q + b = 90° & b = 63°30’

II. Conociendo un lado y la mediada de un án-gulo agudo

A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo.

Incógnitas: x, y

• Cálculo de x:

x

ya

θ

ax = cosq & x = acosq

• Cálculo de y:

ay

= sen q & y = asenq

• En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90° - q

θacosθ

asenθa

B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo.Incógnitas: x, y• Cálculo de x:

x

ay

θ

ax = cotq & x = acotq

• Cálculo de y:

ay

= cscq & y = acscq

• En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90° - q

θacotθ

aacscθ

C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo.

Análogamente a los triángulos rectángulos anteriores tenemos:

θa

atanθasecθ

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAREl área de cualquier región triangular esta dado por el semiproducto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados.Así tenemos:

S

B

A Cb

a

θ

S = 21 absenq


Editorial


19TRIGONOMETRÍA

ÁNGULOS VERTICALESSon aquellos ángulos contenidos en un plano verti-cal formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal, que parten de la vista del observador. • Líneavertical. Vertical de un lugar es la línea

que coincide con la dirección que marca la plomada.

• Línea horizontal. Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.

• Plano Vertical. Es el que contiene a toda línea vertical.

• Líneavisual. Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulo de elevación. Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

αβ θ

Plano vertical

Plano horizontal

Linea horizontal

Linea

de m

ira

L. horizontalP

En la figura se muestra la ubicación de los ángulos de elevación y depresión.• a: es la medida del ángulo de elevación, porque

se encuentra contenido en un plano vertical.• q: es la medida del ángulo de depresión, por-

que está contenido en un plano vertical.• b: no es un ángulo de elevación porque está

contenido en un plano inclinado.

Ángulo de depresión. Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

Linea horizontal

Linea de mira

α

α: ángulo de depresión

Ángulo de observación. Es aquel ángulo for-mado por dos líneas de mira que parten de un mismo punto al observar un objeto de un extremo al otro.

θ

θ: ángulo de observación

Línea de mira

Línea de mira

Ejemplo:El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de 60°, a 72 metros de ella, estando el ojo del observador a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es aproximadamente:

Resolución:Observar que: MN = 3

60°P

Q

M

H

N

72

723

& QM = H - 3

PMQ: tan60° = H72

3-

H372

3=

- & H = 73 3


1. En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m y la altura sobre la hipotenusa 2,4 m. ¿Cuál es el área del triángulo?

Resolución:

AHB: sena = ,4

2 4 = 0,6

sena = 53 & a = 37°

α

A

4

2,4H

B Ca

ABC: tana = a4

a4 4

3= & a = 3

ATABC = 2

4 3^ ^h h = 6 m2

2. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los án-gulos agudos es 2,4; ¿cuánto mide el cateto menor?

15TRIGONOMETRÍA

Editorial




Resolución:

Dato: tana = 2,4 = 5

12 ...(1)

b c

a

α

De la figura: tana = ba ...(2)

De (1) y (2): ba

512

=

Entonces sea: a = 12x y b = 5x

c = a b x x12 52 2 2 2+ = +^ ^h h

c = 169x2 & c = 13x

Dato: a + b + c = 33812x + 5x + 13x = 338 & 30x = 338

& x = 30338

Cateto menor: b = 5x = 530338c m & b = 56,33

3. Se tiene un triángulo rectángulo isóscelesABC de catetos 1 m (ángulo recto en B). PorB se traza una perpendicular a AC; por D unaperpendicular a BC; por E una perpendiculara AC; por F una perpendicular a BC y así su-cesivamente. Calcular el límite de la suma:BD + DE + EF + FG + ...

A

DF

CGEB

Resolución:

α

αα

αA

DF

CGEB

ADB: BD = senaBED: DE = BDsena = sen2aDFE: EF = DEsena = sen3aEGF: FG = EFsena = sen4a

S = BD + DE + EF + FG + ....S = sena + sen2a + sen3a + sen4a + ...S = sena [1 + sena + sen2a + sen3a + ...]S = sena(1 + S) & (1 - sena)S = sena

S = sen

sen1 a

a-

Por dato el ABC es isóscelesEntonces: a = 45°

S = 1 45sen

sen45

121

21

-=

-

S = .2 1

12 12 1

- +

+ & S = 2 + 1

4. Considerando p = 3,1416; ¿cuál es el valor dela secante de un arco de: 1,04720 radianes?

Resolución: Nos piden calcular: sec(1,04720).

Como: 1,04720 = ,3

3 14163p

=

& sec(1,04720) = sec3pa k = 2

5. La cotangente de un ángulo vale 1,5; ¿cuántovale la tangente de su complemento?

Resolución:Dato: cota = 1,5Por RT de ángulos complementarios sabemosque:tan(90°- a) = cota tan(90° - a) = 1,5

6. Hallar el valor numérico de la siguiente expre-sión:

3 cos230°tan60° - 6 sen45°cot30° +2sec45°cos45° -

41

Resolución:Reemplazando los valores indicados:

323 3 6

22 3 2 2

21

412

- + -c ^ c ^ cm h m h m

&49

26 2

41

- + - = 1

7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 y los ángulos agudos B y C cumplen con la

relación: senB = 2senC. Hallar las longitudesde los catetos.

ResoluciónDato: senB = 2senC

C

B

A

c

b

5ab

ac2

= & b = 2c

b2 + c2 = 5 2^ h & (2c)2 + c2 = 5 5c2 = 5 & c2 = 1c = 1 / b = 2


Editorial


21TRIGONOMETRÍA

8. Hallar el valor de la siguiente expresión:sen4x + 3tan3x - 2sec2x -

41

para: x = 45°

Resolución:Sea: E = sen4x +3tan3x - 2sec2x -

41

Para x = 45°:E = sen445° + 3tan345° - 2sec245° -

41

E = 21 4

c m + 3(1)3 - 2 2412

-^ h

E = 41 + 3 - 4 -

41 = -1

9. Hallar el valor de:

A = 30 45 3 45

30 60 60

cot sec tan

csc secsen21

361 /

4 2

2 4 3 1 2

+ +

+ +; E

Resolución:Reemplazando los valores conocidos:

A = 3 2 3 1

21

21

32

361 2

/

4 2

2 4 31 2

+ +

+ +

^ ^ ^

c c ^

h h h

m m h> H

A = 9 2 3

41

98

92 /1 2

+ +

+ +; E=

143649

1467

121

/1 2

= =

; E

10. Hallar los ángulos agudos a y b tales que:tan(3a - 35°) = cot(90° - b) / 2b - a = 15°

Resolución:Como: tan(3a - 35°) = cot(90° - b)Entonces: 3a - 35° + 90° - b = 90°Simplificando: 3a - b = 35° ...(1)Dato: 2b - a = 15° ...(2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se ob-tiene: a = 17° / b = 16°


1. Del gráfico, calcular: senq

a) 0,2

θ5

2b) 0,5c) 2/3d) 2/5e) 3/4

2. Siendo q un ángulo agudo, tal que: tanq = 5/12;calcular el valor de: E = cosq - senq

a) 3/19 b) 4/17 c) 7/13d) 9/16 e) 5/13

3. Siendo x un ángulo agudo para el cual:cscx = 2,5; calcular el valor de:

M = 5cos2x - 3senx

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),

simplificar: E = sec tan

csc tansenA C A

senA C A2-

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en B). Calcular cscA, sabiendo que:

secC - senA = 3senC

a) 10 b) 2 10 c) 3 10 d) 5 e) 2 5

6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) es 168 cm, además: cscA = 25/7,calcular la diferencia entre las longitudes delos dos mayores lados.

a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cmd) 4 cm e) 5 cm

7. Siendo x e y ángulos agudos, calcular x,si: cos(2x + y + 15°)sec(3x + y - 12°) = 1

a) 25° b) 27° c) 29°d) 12° e) 15°

8. Calcular el ángulo agudo x que cumple:sen(5x + 13°) - cos(4x + 14°) = 0

a) 3° b) 5° c) 7°d) 9° e) 11°

9. Calcular el valor de:

E = " " "

" " "csc tan cos

cot secx x

sen x x10 5 65 3 70

20 25 3 80 5+ + - +

+ + + -

^ ^^ ^h h

h h

a) 1 b) 0 c) 2d) 1/2 e) 1/3

17TRIGONOMETRÍA

Editorial




10. Siendo a y b ángulos agudos, calcular b, si: sen(7a - 15°) = cos(5a + 21°)

tan(2b - a)cot(3a + 2°) = 1

a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°

11. Calcular la medida del ángulo agudo x para el cual se cumple:cot(2x - 9°) = tan1°tan2°tan3° ... tan89°

a) 10° b) 18° c) 20° d) 27° e) 30°

12. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen: sec(5x + 10°) = csc(2y +20°) tan(20° + y)tan(30° + 3y) = 1 calcular: M = sen(4y + x) + tan(4x + y)

a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3

13. Siendo a y b ángulos agudos tales que: tana = 7 / cscb = 2 2

calcular: E = tan2 tan3 2

α β α β++

+c cm m

a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

14. Si a, b y q son ángulos agudos que cumplen:sen(3a + b) = cos(3q + 2b)

calcular: M = cos csccos sec

2 2 2 33 2

α β θ β θ

α β θ α β

+ + +

+ + +

^ ^^ ^

h hh h

a) 1/2 b) 1 c) 2 /2 d) 3 e) 2

15. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que: tan2B = 2; calcular: E = 2tan2A - csc2B

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

16. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen:

tan(50° - x) = 10 80

40 20tan cot

cot tanx y+ +^ ^h h

calcular: E = 10"

" 20"cos

cosy x

sen x y y50- -

+ + +

^^ ^

hh h

a) 1/2 b) 3 /2 c) 3/4 d) 2 /2 e) 4/5

17. Se tiene un cubo donde se traza una de sus diagonales y una de las diagonales de su base, de tal manera que tenga un punto en común con la diagonal del cubo. Calcular la tangente del ángulo que forman dichas diagonales.

a) 2 b) 2 /2 c) 3 /2 d) 6 /2 e) 6 /6

18. Del gráfico, calcular: P = tanb + tanq

a) 1/2

A D

E

B F C

βθ

b) 2/3 c) -1 d) 1 e) 3/5

1. c 5. d 9. a 13. b 17. b2. c 6. d 10. c 14. a 18. d3. c 7. a 11. d 15. b4. b 8. c 12. b 16. dC

laves



A = ° °

° ° °cot

tan sec cossen45 30

60 45 4 602 2

-

+ +

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

2. Si: tanq - sen45°tan60° = 0; q: agudo calcular E = 10sen2q + 6csc2q

a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 20

3. Calcular el valor de x (agudo) en: 4sen(22° + x) cos(68° - x) = tan(30° + x)tan(60° - x) a) 2° b) 4° c) 8°

d) 10° e) 12°

4. Calcular secq del gráfico:

a) 13 /3 θ

37°

b) 13 /4 c) 13 /5 d) 13 /6 e) 13 /7


Editorial


23TRIGONOMETRÍA

a) 8 3 b) 7 3 c) 6 3 d) 5 e) 1

11. Hallar x.

a) 3senatanq θ

α

3

x

b) 2senacotq c) 3senasenq d) 3cosatanq e) 3cosacotq

12. De la figura, calcular: ba

37°30°

b

a

a) 3 /5 b) 2 3 /5 c) 3 3 /5 d) 4 3 /5 e) 5 3 /5

13. De la figura, calcular x.

a) asen(q − a)tana

α

a

x

θ b) asen(q − a)cota c) asen(q − a)seca d) asen(a − q)tana e) asen(a − q)cota

14. Del gráfico, calcular: x

a) 2(tana + tanb)

2β

αx

b) 2(cota + cotb) c) 2(cota - tanb) d) 2(cota - cotb) e) 2(tana - tanb)

15. De la figura, calcular x.

R

2θ

x

a) 2R(tanq + 1) b) 2R(cotq + 1) c) R(cotq + 1) d) R(cotq - 1) e) R(tanq + 1)

16. Calcular:

E = (2sen30° + sec60°)tan53° + 3 tan60°

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

17. Si: senq - tan37° = 0;

calcular: A = tan7 1q+

5. De la figura, calcular: tanq

30°

θ

a) 3 b) 3 /2 c) 1 d) 2 e) 3 /3

6. De la figura, hallar cscq, si AO = OB.

a) 2

37° AO

Bθ b) 2 2

c) 2 3 d) 2 /2 e) 3 /3

7. De la figura, calcular: tana

a) 1/2

53° P

B C

A D

α b) 2 c) 1/4 d) 4 e) 1


37° 45° α

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 10/3 e) 10


a) 1/2 α

45°

b) 1/3 c) 4/7 d) 3/5 e) 5/7

10. Calcular: A = 10tana + 11tanq

120°8

8

θ

α

19TRIGONOMETRÍA

Editorial




a) 2 b) 3 c) 5 d) 2 3 e) 3 2

18. Simplificar:

A = ° ° °tan tan tanx x2 35 55 60

cos18 csc72 sen30

2

-

+ - +^ ^h h

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

19. Del gráfico, calcular: 6 sen q + 1

a) 2 θ

30°

b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

20. De la figura, calcular tanq.

a) 1/3

θ

45°

3aa

b) 1/4 c) 3/4 d) 2/3 e) 3/2

21. Calcular x del gráfico:

a) 1

37°

2x + 1x + 11 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22. Del gráfico, calcular:

A = 2sen(q -15°) + sec(q+15°)

a) 1

θ

y

x

xy2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1. c 6. a 11. a 16. c 21. d2. d 7. b 12. b 17. a 22. c3. d 8. c 13. e 18. a4. a 9. b 14. c 19. b5. b 10. b 15. c 20. dC

laves


1. Del gráfico, calcular x.

a) 19

x

10

37°30°

a b) 18 c) 17 d) 15 e) 12

2. En un triángulo ABC cuya área es 0,5 m2, determinar a que es igual el producto de las cosecantes de los ángulos del triángulo.

a) abc b) a2b2c2 c) ab2c2

d) a2b2c e) a2bc2

3. Siendo S1 y S2 áreas, calcular: SS

1

2

a) 1 5b

3b

4a

6a

S1

S2

b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Del gráfico, calcular: x12

1-a k

θaa - 1

x

a + 1

a) 3senq + 2cosq b) 2senq + cosq c) 4cosq + 3senq d) 3cosq + 4cosq e) 3cosq + 2cosq

5. Del gráfico, calcular: SS

2

1

a) sen2q

θθ

S1

S2

b) csc2q c) cos2q d) sec2q e) tan2q

6. Desde un punto en el suelo se observa la par-te más alta de un edificio con una elevación angular de 37°, nos acercamos al edificio a una distancia de 10 m y el nuevo ángulo de elevación para el mismo punto es 45°. Calcu-lar la altura del edificio.


Editorial


25TRIGONOMETRÍA

a) 14 m b) 15 m c) 28 m d) 30 m e) 32 m

7. Desde un punto en el suelo, situado entre 2 muros de 3 m y 4 3 m se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 30° y 60°, respectivamente. Calcular la distancia entre dichos puntos.

a) 10 m b) 12 m c) 14 m d) 16 m e) 18 m

8. Desde la base de un árbol se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de ele-vación de 45° y desde la parte superior del ár-bol se observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 37°. Si la altura del edificio es de 120 m. Calcular la altura del árbol.

a) 10 m b) 20 m c) 30m d) 40 m e) 50 m

9. Una persona colocada a 36 m de una torre ob-serva su parte más alta con un ángulo de ele-vación a (tana = 7/12). ¿Qué distancia habría que alejarse para que el ángulo de elevación sea q, donde: tanq = 1/4?

a) 36 m b) 40 m c) 42 m d) 46 m e) 48 m

10. Desde la parte superior de un muro de 2 m de altura, se observa un árbol con un ángulo de depresión de 30° su base y con un ángulo de elevación de 60° su parte superior. Hallar la altura del árbol.

a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m

11. Desde un avión, que se encuentra a una al-tura H, se observa en tierra un objetivo con un ángulo de depresión de 60°; luego de un minuto y habiendo pasado por encima del ob-jetivo, se vuelve a observar el mismo con una depresión angular de 30°. Si la velocidad del avión es de 300 km/h, calcular H, además la trayectoria del avión es una línea horizontal.

a) 1350 m b) 2500 m c) 1250 m d) 3500 m e) 2000 m

12. Un cachimbo de la Universidad Villarreal de 1,5 m de altura observa la parte superior de un poste, con un ángulo de elevación Φ. Si el cachimbo se acerca 45 m, hacia el poste y en

línea recta, el nuevo ángulo de elevación sería q, halle la altura del poste, sabiendo que:

cotΦ - cotq = 2

a) 16 m b) 18 m c) 20 m d) 24 m e) 25 m

13. Desde el último piso de un edificio se ob-serva un avión con un ángulo de elevación de 53°. Si la altura del edificio es de 200 m y la altura de vuelo del avión es de 1 km, calcular la distancia del avión al último piso del edificio.

a) 1600 m b) 1200 m c) 600 m d) 800 m e) 1000 m

14. Desde la base A de un camino inclinado, un ángulo a con respecto a la horizontal, se ob-serva la parte superior S, de un poste de 2 m de altura con un ángulo de elevación 2a. Si el poste se encuentra en el camino y AS = 7 m, calcular tana.

a) 2/9 b) 2/7 c)7/2 d) 6 2 e) 4 2

15. Calcular el área de una región triangular don-de 2 de sus lados miden 12 m y 14 m, además la medida del ángulo que forman dichos lados es 30°.

a) 40 m2 b) 41 m2 c) 42 m2

d) 43 m2 e) 44 m2


a) bac senq

θ

ba

c

x

b) abc senq

c) cab senq

d) abcsenq

e) abc

2senq

17. Del gráfico, calcular: A = senq + 2cosq

a) 1

θ b) 1/2 c) 3/2 d) 3 e) 2

21TRIGONOMETRÍA

Editorial




18. Si a + b = ab; calcular x.

a) 3

30°30°xa b

AB P

C

b) 2 3 c) 3 3 d) 4 3 e) 5 3

19. Del gráfico, calcular el área de la región som-breada.

37°15 5 10

22

a) 13,5 b) 14,5 c) 15,5 d) 16,5 e) 17,5

20. A 16 m de la base de un árbol el ángulo de elevación para la parte más alta es 37°. Cal-cular la altura del árbol.

a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m

1. e 5. d 9. e 13. e 17. e2. b 6. d 10. c 14. b 18. a3. c 7. a 11. c 15. c 19. d4. c 8. c 12. d 16. c 20. cC

laves

23TRIGONOMETRÍA

Editorial



ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALUn ángulo q está en posición normal, posición es-tándar o canónica si su vértice está en el origen de un sistema coordenado rectangular y su lado inicial coincide con el eje x positivo.

Ladofinal θ

y

xLado inicialVértice

Cuando un ángulo q está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes en cuyo caso se dice que q está en tal cuadrante, o bien encontrarse sobre el eje x o el eje y, entonces se dice que es un ángulo cuadrantal.

Ejemplos:I. y

xα

α 2 0

II. y

xφ

φ 1 0

III. y

xβ

β 2 0

IV. y

x

θ

θ 1 0

• Entonces a, φ / b están en posición normal. a ! IIIC, φ ∈ IIC y b es un ángulo cuadrantal.

• q no está en posición normal.

ÁNGULOS COTERMINALESSon aquellos ángulos que pueden o no estar en posición normal y tienen las siguientes caracterís-ticas:I. El mismo lado inicialII. El mismo vérticeIII. El mismo lado final

Sin considerar el sentido de los ángulos, es decir, que ambos ángulos pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos, se tiene:

Vértice Ladoinicial

Ladofinal

α

θ

x

y

Ladoinicial

α ! III Cθ ! III C

Vértice

Ladofinal

θα

En ambas figuras a y q son ángulos coterminales, en el primer gráfico son ángulos trigonométricos y en el segundo ambos están en posición normal.

Propiedades de ángulos coterminales1. La diferencia de dos ángulos coterminales es

un número que se representa por 360°k (k: entero). Es decir, si a y q son ángulos cotermi-nales, se cumple:

a - q = 360°k

donde: k = !1, !2, !3, ...

2. Siendo a y q ángulos coterminales y en posición normal como se muestra en la figura se tiene:

x

y

r

P(x; y)

θ

α

sena = ry

sena = senq senq = r

y

cosa = rx

cosa = cosq cosq = r

x

tana = xy

tana = tanq

tanq = xy

Análogamente para las demás razones trigo-nométricas. Luego, podemos concluir:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR


Editorial



RT(a) = RT(q)

Donde RT: razón trigonométrica

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

θ

rP(x; y)

y

x

senq = ry

radio vectorordenada

=

cosq = rx

radio vectorabscisa

=

tanq = xy

abscisaordenada

=

cotq = yx

ordenadaabscisa

=

secq = xr

abscisaradio vector

=

cscq = yr

ordenadaradio vector

=


1. Hallar el valor numérico de la expresión: E = sen180° + 2cos180° + 3sen270° +

4cos270° - 5sec180° - 6csc270°

Resolución: Recordar:

sen cos tan cot sec csc

180° 0 -1 0 b -1 b

270° -1 0 b 0 b -1

Reemplazando en la expresión dada: E = 0 + 2(-1) + 3(-1) + 4(0) - 5(-1) - 6(-1) E = -2 - 3 + 5 + 6 = 6

2. Indicar los signos de las siguientes expresio-nes en el orden F, G, H.

F = csc 215 cot338

sec285 tan 138 sen210 3

3

2

^^

hh

G = csc195 tan336

sen 260 cot115 cos116 3

2

3

^^

hh

H = tan135 sec298

sen195 cot340 csc1283^ h

Resolución: Recordar los signos de las RT en cada cua-

drante.

senocosecante

(+)

cosenosecante

(+)

tangentecotangente

(+)

todas sonpositivas

(+)

En las expresiones dadas solo reemplazamos los signos.

F : 3

- -

+ + -=

+

-

^ ^^ ^ ^

^^

h hh h h

hh6 @

& F = (-)

G: 2

3

- +

- - -=

+

-

^ ^^ ^ ^

^^

h hh h h

hh

66

@@

& G = (-)

H: 3

- +

- - +=

-

+

^ ^^ ^ ^

^^

h hh h h

hh

6 @ & H = (-)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. De la figura siguiente, calcule tanq.

a) -4/3

θ

(3; 4)y

x

b) 4/3 c) -1 d) 3/4 e) -3/4

2. Del gráfico mostrado; calcule tana.

a) 2/3

α

(-3; 2)y

x

b) 1/3 c) 1/2 d) 3/2 e) 1

25TRIGONOMETRÍA

Editorial



29TRIGONOMETRÍA

3. Del gráfico mostrado, calcule tanq.

a) 1/2

θ

A(2; 6)

37°

y

x

b) 1/3 c) 1 d) 2 e) 3

4. Si q es un ángulo positivo, en posición normal y está comprendido entre la segunda y terce-ra vuelta; determine su valor si se cumplen: tanq = cot(p/4) y senq 1 0.

a) 35p/4 b) 75p/4 c) 55p/4 d) 65p/4 e) 45p/4

5. Del gráfico mostrado, calcule tanq.

a) -2/3

θ

(4; 4)y

m2m

(2; 0) x

b) -3/4 c) -4/3 d) -5/4 e) -3/2

6. Del gráfico mostrado; calcule 3tanq + 31 cotq

a) 1 θy

x

OO

b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Si q es un ángulo en posición normal tal que tanq = -

54 y q pertenece al segundo cuadran-

te; calcule: 2 + 41(senq + cosq)

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

8. Si se tiene que q es un ángulo en posición nor-mal del cuarto cuadrante, para el cual se tiene

que cosq = 1312 ; calcule: 3 + 13(senq + cosq)

a) 8 b) 10 c) 11 d) 9 e) 6

9. Determine el cuadrante al cual pertenece q si se cumple: (senq + cosq)secq 1 1 y además: tanqsenq 2 0

a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) F. D.

10. Determine el cuadrante al cual pertenece q si se tiene que: |senq| + senq = 0 y además: senqcosq 2 q

a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) F. D.

11. Si q es un ángulo positivo y menor que una vuelta y pertenece al tercer cuadrante; deter-mine el signo de:

I. E = (senq + cosq)tanq

II. F = 2 2

cossen q q-c cm m; Esenq

III. A = (sen2q - cosq)tan(q/2)

a) (-); (-); (+) b) (-); (+); (-) c) (-); (-); (-) d) (+); (-); (-) e) (+); (+); (-)

12. Dadas las relaciones:1 + |senq|tanq 1 0 / tanqsenq 2 0

determine el signo de la expresión:E = (senq - cosq)(tanq + cotq)

a) (+) b) (-) c) (+) o (-) d) 0 e) F.D.

13. Del gráfico mostrado, calcule: 3senq + 2cosq

a) 1

θ

y

xO

(-12; -5)

b) 2 c) 3 d) -2 e) -3

14. De la figura siguiente, calcule: senq - 4cosq

a) 5

θ

(-15; 8) y

x

b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

15. El punto P(-3; 5) pertenece al lado final de un ángulo q en posición normal; calcule:

34 (senq + cosq)

a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 1/3


Editorial



16. El lado final de un ángulo q en posición normal pasa por el punto (4; -5); calcule:

41(senq - cosq) a)-1 b) -3 c) -5

d) -7 e) -9

17. Del gráfico mostrado, calcule el valor de m, si se tiene que: tanq = 3/2

a) 1

θ

y

x b) -8 c) 4 d) -2 e) -6

18. En la figura mostrada, calcule: tana + tanq

a) -13/12

θ

α

(a; a + 5)

(a - 1; a)

y

x

b) -4/7 c) -5/6 d) -35/12 e) -12/7

19. Del gráfico mostrado, calcule: tanq + tana

a) -3

37° θ

α x

y

b) -2 c) -1 d) -4 e) -5

20. Del gráfico mostrado; calcule tanq.

a) -3

θ

y

x

(-2; 4) b) -2 c) -1 d) -1/2 e) -1/3

1. e 5. a 9. d 13. e 17. b2. d 6. d 10. c 14. b 18. c3. a 7. d 11. c 15. c 19. a4. b 8. b 12. a 16. e 20. bC

laves

27TRIGONOMETRÍA

Editorial



ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIAEn la figura se tiene una circunferencia con centro en C(h; k) y radio r. Si P (x; y) es un punto cual-quiera de la circunferencia, por distancia entre dos puntos se tiene: r = x h y k2 2

- + -^ ^h h , pero esto es equivalente a la ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ...(I)A la ecuación (I) se denomina ecuación de la cir-cunferencia con centro en (h; k) y radio r.

P(x; y)r

C(h; k)

y

0 x

A aquella circunferencia que tenga por ecuación: x2 + y2 = 1, se le denomina circunferencia trigo-nométrica o unitaria. Entonces esta circunferencia tendrá centro en el origen y radio igual a una uni-dad. La gráfica de la circunferencia trigonométrica (CT) se observa en la siguiente figura:

CT

y

x

(0; -1)(1; 0)

0

1

(0; 1)

(-1; 0)

ARCO DIRIGIDOEs la trayectoria recorrida por un punto móvil so-bre una curva en un sentido determinado. Así, por ejemplo, en la figura el arco AB se forma por la trayectoria de un punto sobre la curva C, partiendo de A (posición inicial u origen) llegando al punto B (posición final o extremo). Análogamente el origen del arco CD es C y su extremo es D.

D

C A

BC

ARCOS EN POSICIÓN NORMALSon arcos dirigidos formados en una circunferen-cia con centro en el origen del plano cartesiano,

donde la posición inicial de estos arcos es el punto Q punto de intersección del lado positivo del eje x con la circunferencia) ver figura.En adelante discutiremos aquellos arcos dirigidos en posición normal donde la posición inicial sea un punto tal como Q. Aquellos arcos formados en sen-tido antihorario se consideran positivos, y en senti-do horario se les consideran negativos.En la figura, los puntos S y P son los extremos de los arcos γ y b, respectivamente.

y

x0Q

β

P

S γ

r

γ: es un arco positivo (sentido antihorario)

b: es un arco negativo (sentido horario)

Así tenemos un arco dirigido QP en posición nor-mal (figura 1). Del sector circular sombreado, se tiene que por la longitud del arco es LQP = ar. Para una CT (r = 1), se cumplirá: LQP = a (figura 2).

y

Fig. 2

xQ

P

x2 + y2 = 1

α

r α rad

y

xQ

P αr

r α rad

Fig. 1

Es importante trabajar los arcos en posición normal en la CT teniendo en cuenta el extremo del arco, este extremo nos indicará el cuadrante al que per-tenece dicho arco. Así, por ejemplo, en la figura q ! IC y γ ! IIIC.

y

xθrad

γ rad

A

T

θ

γ

CT P

En la figura (a), se tiene una recta numérica verti-cal donde el origen de la recta coincide con el punto A(1; 0) de la CT. Considerando a la CT como una sección de un carrete y la recta numérica como un hilo (espesor despreciable) entonces, en la figura

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA


Editorial



(b), la parte positiva de la recta se envuelve en sen-tido antihorario y la parte negativa en sentido horario.

CTy

xA

21

-1-2

CTy

xA

21

-1-2

12

-1-2

Fig. (a) Fig. (b)

Este procedimiento tiene por fin ilustrar al lector que a cada punto de la recta numérica le corres-ponde un único punto de la CT.Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el extremo de un arco en la CT, ya sea para la ubica-ción de su cuadrante o para las definiciones que se verán más adelante. Así, por ejemplo el arco 1 en la CT se relaciona a un ángulo en posición normal 1 rad Fig. (a), análogamente el arco p a p rad Fig. (b) y el arco -2 a -2 rad Fig. (c)

y

x1 rad

CT 1

y

x

CT

π π rad

Fig. (a) Fig. (b)

y

x

CT

-2 rad

-2

Fig. (c)

REPRESENTACIONES DE LAS RAZONES TRIGO-NOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIAEn esta parte, al referirnos a un arco, hacemos la suposición de que este es un arco dirigido en la CT en posición normal, es decir, su punto inicial es el origen de arcos A(1; 0). En las representaciones siguientes se han utilizado segmentos dirigidos.

DefiniciónIEl seno de un arco es la ordenada de su extremo.

Ejemplos:y

xAP

Oθ

α

senα

senθCT

Q

y

xA

M

O

sen

sen

CTB’

3π

3π

2π

-

2π

-a k

y

xA

sen

Osen(-1)

CT ED -1

67π

67π

DefiniciónIIEl coseno de un arco es la abscisa de su extremo.

y

xO

CTP

A

Q

cosα

cosβ

α

β

y

xOcos(-π)

CT

AR

A’-π

43π

cos4

3π

y

xO

CT

A

Sπ/3

B’(0; -1)

cos3π

2-

π

cos

20p

- =a k

Teorema 1: 6a ! R, se cumple: -1 # sena # 1 / -1 # cosa # 1

En efecto, si a es cualquier número real, entonces su extremo en la CT podrá ser cualquier punto de la CT. Los intervalos que contienen los valores del sena y cosa, se ilustran en la fig. (a) y fig. (b), res-pectivamente.

CT y

1

–1

x senα

CT y

1-1

x

cosα

Fig. (a) Fig. (b)

29TRIGONOMETRÍA

Editorial



33TRIGONOMETRÍA

Sea la figura siguiente y consideremos que k ! Z, planteamos el siguiente cuadro a manera de resumen.

y

x

CT

A(1; 0)

B’(0; -1)

A’(-1; 0)

B(0; 1)

En el punto

Se ubican los extremos de los arcos de la forma Ejemplos

A 2kp-6p, -4p, -2p, 0, 2p,

4p, 6p, 8p, 10p

B 2kp + 2p 0 (4k + 1)

2p

, , , , ,2 2

52

92

132

17f

p p p p p

, , , ,2

32

72

112

15f

p p p p- - - -

A' 2kp + p 0 (2k + 1)p p, 3p, 5p, 7p, 9p, ... -p, -3p,-5p,-7p,-9p,

B' 2kp + 2

3p 0 (4k + 3)2p

, , , , ,2

32

72

112

152

19f

p p p p p

, , , ,2 2

52

92

13f

p p p p- - - -

Continuando en la figura, tenemos que si el extre-mo de un arco se ubica en el punto:• A o A’, el seno tiene un valor de cero. Ejemplos: sen0 = 0; senp = 0; sen2p = 0 sen(-5p) = 0; sen28p = 0

Se concluye que: sen(kp) = 0 ; 6k ! Z

• B, el seno tiene un valor igual a la unidad. Ejemplos: sen

2pa k = 1; sen

25pc m = 1;

sen23p-c m = 1; sen

241pc m = 1;

sen2

101pc m = 1

Se concluye que: sen k22

p p+a k = 1 ; 6k ! Z

• B’, el seno tiene un valor igual a -1 Ejemplos: sen

23pc m = -1; sen

27pc m = -1

sen2p

-a k = -1; sen2

91pc m = -1

Se concluye que: sen k22

3p p+c m = -1 ; 6k ! Z

• B o B', el coseno tiene un valor de cero Ejemplos: cos

2pa k = 0; cos

23pc m = 0;

cos2

13pc m = 0; cos2

75pc m = 0;

cos2

21p-c m = 0

Se concluye que: cos(2k + 1)2p = 0 ; 6k ! Z

• A, el coseno tiene un valor igual a la unidad. Ejemplos: cos0 = 1; cos2p = 1; cos4p = 1 cos(-6p) = 1; cos 100p = 1 Se concluye que: cos(2kp) = 1 ; 6k ! Z

• A’, el coseno tiene un valor igual a -1 Ejemplos: cosp = -1; cos3p = -1; cos9p = -1 cos(-15p) = -1; cos45p = -1

Se concluye que: cos(2kp + p) = -1 ; 6k ! Z

DefiniciónIIILa tangente de un arco es la ordenada del pun-to de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.

x

y

L

A

tanβ

P

Q

O

CT

tanα

α

β

C

y

x

L

AO

CT

tan(2π/3)

2π3

x

y

L

tan

P

E

OCT tan -

5π4

π4

-5π4

π/4


Editorial



DefiniciónIVLa cotangente de un arco es la abscisa del pun-to de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de complementos y la pro-longación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.

Ejemplos:

x

BLy

cotαα

cotβ

β

O A

CT

π/4

L

π/6

-π/2

x

B(0; 1)y

cotπ/6

O A

CT

L

-3π4

2π3

x

B

ycot2π

3cot

O

R

A

CT

-3π4

cot2

0p- =a k

A la recta L que es la tangente a la CT en B(0; 1) se le suele denominar eje de cotangentes.

Teorema 2• tana ! R; 6a ! R - n2 1

2p

+^ h% /; n ! Z

• cota ! R; 6a ! R - {np}; n ! Z

DefiniciónVLa secante de un arco es la abscisa del pun-to de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje x.

Ejemplos:

F y G: puntos de tangencia

P y Q: puntos de tangenciaS

β

secβsecα

α

x

y

O

P

Q

R

CT

-π4

-π4

2π3

2π3

Dsec

secx

y

OE

F

GCT

DefiniciónVILa cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje y.

Ejemplos:

π2

-π/4

π/2

cscA

TO

B

G

x

y

CT

csc(-π/4)

β

αcscα

cscβ

A

Q

O

C

D

P

x

y

CT

(P y Q: ptos. de tangencia) (B y T: ptos. de tangencia)

-5π6

-5π6

csc(π/6)

π/6

csc

O

E

CTR

Sx

yF

(S y R: puntos de tangencia)

Teorema 3• seca # -1 0 seca $ 1; 6a ! R - n2 1

2p

+^ h% /; n ! Z

• csca # -1 0 csca $ 1; 6a ! R -{np}; n ! Z

SENOVERSO, COSENOVERSO Y EXSECANTE• El senoverso o verso de un arco q denotado

por versq, se define: versq = 1 - cosq ; 6q ! R

• El cosenoverso o coverso de un arco q deno-tado por covq, se define:

covq = 1 - senq ; 6q ! R

• La exsecante o secante externa de un arco q denotado por exsecq, se define:

exsecq = secq -1 ; 6q ! R - n2 12p

+^ h% /; n ! Z

i. 0 # versq # 2ii. 0 # covq # 2iii. exsecq # -2 0 exsecq $ 0

31TRIGONOMETRÍA

Editorial



35TRIGONOMETRÍA

• Gráficamente el verso de un arco es el seg-mento dirigido en el eje x que parte del punto cuya coordenada es el coseno de dicho arco hacia el origen de arcos.

Ejemplos: y

x

CT

versθA

θ

P

De la figura se cumple:versq = PAYa que PA = A - P& versq = A - P

versq = 1 - cosq

• Gráficamente el coverso de un arco es el seg-mento dirigido en el eje y que parte del punto cuya coordenada es el seno de dicho arco ha-cia el origen de complementos.

Ejemplo: y

xcovθ

B

θQCT

De la figura se cumple: covq = QB

Ya que QB = B - Q & covq = B - Q covq = 1 - senq

• Gráficamente la exsecante de un arco es el segmento dirigido en el eje x que parte del ori-gen de arcos hacia el punto cuya coordenada es la secante de dicho arco.

Ejemplo: De la figura, P es punto de tangencia y se

cumple: y

x

CT

AR

Pθ

exsecθ

exsecq = AR

Ya que: AR = R - A & exsecq = R - A exsecq = secq -1


1. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los si-guiente enunciados:

I. Las funciones seno y coseno son negati-vas en el tercer cuadrante y crecientes en el cuarto cuadrante.

II. No existe función trigonométrica alguna de un ángulo del segundo cuadrante que sea positivo y aumenta a medida que el ángulo crece.

III. Solo existe una función que puede tomar el valor de 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante.

Resolución:Analizamos cada proposición:I. Está proposición es verdadera. Las fun-

ciones seno y coseno son negativas en el IIIC. En el IVC ambas funciones son cre-cientes.

II. Esta proposición es falsa. Ya que la fun-ción secante es positiva y creciente en el segundo cuadrante.

III. Esta proposición es falsa. Ya que las fun-ciones tangentes y cotangentes son positi-vas en el tercer cuadrante y cualesquiera de estas pueden tomar el valor de 3,8.

VFF

2. Cuando el ángulo x aumenta de 90° a 180°, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) El seno aumentab) El coseno aumentac) La cosecante aumentad) La secante disminuyee) La cotangente aumenta

Resolución: Si x varía de 90° a 180° estamos en el segun-

do cuadrante, entonces:

a) El seno varía de 1 a 0b) El coseno varía de 0 a -1c) La cosecante varía de 1 a +3d) La secante varía de -3 a -1e) La cotangente varía de 0 a -3

Rpta:. c

3. En la circunferencia trigonométrica se pide indicar el valor de: OC + DB, en función del ángulo a.

αO

D

C

AB

Resolución: Como se trata de la CT, entonces OD = OA = 1

OC = csca y DB = cota


Editorial



7. Si: senx = a5

2 3- ; hallar la suma de todos los

valores enteros que pueden tomar a.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

8. Calcular AB, donde A y B representan los va-lores mínimo y máximo de la expresión:

P = 5 - 3cosx

a) -15 b) -6 c) 8 d) 15 e) 16

9. Si: q ! IIIC y cosq = k7

3 2+ , hallar el intervalo

de k.

a) G-5; 3H b) G0; 2/3H c) G-3; 2/3H d) G-2/3; 0H e) G3; 2/3H

10. Si a y q son arcos diferentes, calcular la dife-rencia entre los valores máximo y mínimo de la expresión:

Q = 2sec3pa k - sen2a + 2cos2q

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

11. Indicar si es verdadero (V) o falso (F): I. sen2 1 sen3 II. cos5 2 cos6 III. sec4tan6 2 0

a) VVV b) FFV c) FVF d) VFF e) FFF

12. Del gráfico, calcular el área de la región som-breada, si: BP = PQ = QB'

a) (1/3)senq B

P

Q

B’

θCT

b) (1/3)cosq c) (-1/3)senq d) (-1/3)cosq e) (-1/6)senq

13. De la figura, calcular d.

a) cos

sen1 q

q+

d

CTθ

b) cossen1 qq

+

c) cos

sen1 q

q-

d) cossen1 qq

+

e) cos

sen1 q

q+

-

OC + DB = csca + cota

αO

D

C

A11B = cos

sen sen1a a

a+

= cossen

1aa+

PRACTICEJERCICIOS PROPUESTOS

1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?

a) sen40° b) sen100° c) sen160° d) sen220° e) sen280°

2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor?

a) cos20° b) cos100° c) cos160° d) cos260° e) cos320°

3. En la CT hallar el área de la región sombreada:

a) sena

x

yα

b) cosa c) 1/2sena d) 1/2cosa e) 1

4. En la circunferencia trigonométrica mostrada: cosq = 2/3 y OM = MB. Calcular el área de la región triangular OMP.

a) 1/6

A

B

θO

A’

P

B’

M b) 1/3 c) 1/4 d) 1/2 e) 2/3

5. Si: p/2 1 x 1 y 1 p, entonces: I. senx 2 seny II. cosx 1 cosy III. senx1 cosy

Son verdaderas: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) I y II

6. Hallar los valores de k, si: cosq = k3

2 1-

a) [-1; 2] b) [-2; 1] c) [-3; 2] d) [-1; 3] e) [-1; 1]

33TRIGONOMETRÍA

Editorial



37TRIGONOMETRÍA


E = cossenx

senx x8

1 1+

- + +

para: x = p/2

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6

15. Si: 6p 1 x 1

65p ; indicar la variación de:

2senx + 3

a) [4; 5] b) ]4, 5[ c) [4, 5[ d) ]4,5] e) ]-4, 5]

16. En la CT hallar el área de la región sombreada:

a) sena α

x

y

b) cosa c) (1/2)sena d) (1/2)cosa e) 1

17. Si: sena = 0,8; hallar MQ.

a) 3

x

y

CT

αM

P

Q b) 4 c) 5 d) 0,8 e) 0,6

18. Si: x2 4

31 1

p p , indicar qué proposiciones

son verdaderas:

I. senx 2 cosx II. sen2x 2 cos2x III. senx -cosx 1 0

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y III e) I y II

19. Simplificar la expresión:

E = cos cossenx

x x1

1 3+

- + +

para: x = 0

a) 1 b) 2 /2 c) 2 d) 2 e) 1/2

20. Hallar los valores de k, si: senq = k2

1-

a) [-1; 1] b) [-1; 2] c) [-1;3] d) [-2; 3] e) [-1; 4]

21. Determine el intervalo de k, si se cumple la siguiente igualdad:

cosx k k3

2 12

23

1-=

+-

-

a) [-14; 6] b) [-13; -5] c) [-12; 4] d) [4; 12] e) [5; 13]

22. Si: cosx = a2

3 1- , calcular la suma de todos

los valores enteros de a.

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

23. Si: q ! IVC y senq = a5

2- , cuántos valores

enteros puede tomar a.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

24. Si: q ! IIC y cosq = k5

3- , hallar el intervalo de k.

a) [-2; 8] b) [-2; 3] c) G-2; -3H d) G-2; 8H e) [2; -3]

1. b 6. a 11. b 16. b 21. a2. c 7. d 12. d 17. e 22. d3. a 8. e 13. c 18. e 23. b4. a 9. c 14. b 19. d 24. b5. a 10. b 15. d 20. cC

laves

35TRIGONOMETRÍA

Editorial



Identidades trigonométricas por cociente

• senxcscx = 1• cosxsecx = 1• tanxcotx = 1

• tanx = cosxsenx

• cotx = cossenx

x

Identidades trigonométricas recíprocas

• sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x• sen6x + cos6x = 1 - 3sen2xcos2x• tanx + cotx = secx cscx• sec2x + csc2x = sec2xcsc2x• (1 ! senx ! cosx)2 = 2(1 ! senx)(1 ! cosx)

• sen2x + cos2x = 1• 1 + tan2x = sec2x• 1 + cot2x = csc2x

Identidades pitagóricas

Identidades trigonométricas auxiliares

Nota:sen2q + cos2q = 1

Despejando:

sen2q = 1 - cos2θ & sen2q = (1 + cosq)(1 - cosq)

Asimismo:

cos2q = 1 - sen2q & cos2q = (1 + senq)(1 - senq)

Identidades auxiliares

• sen4q + cos4q = 1 - 2sen2qcos2q• sen6q + cos6q = 1 - 3sen2qcos2q• tanq + cotq = secqcscθ• sec2q + csc2q = sec2qcsc2q• (1 + senq + cosq) = 2(1 + senq)(1 + cosq)

Demostraciones• sen2q + cos2q = 1 Al cuadrado: (sen2q + cos2q)2 = 12

sen4q + cos4q + 2sen2qcos2q = 1 & sen4q + cos4q = 1 - 2sen2qcos2q

• sen2q + cos2q = 1 Al cubo: (sen2q + cos2q)3 = 13

sen6q + cos6q + 3(sen2qcos2q)(sen2q + cos2q) = 1 1 sen6q + cos6q + 3sen2qcos2q = 1 & sen2q + cos2q = 1 - 3sen2qcos2q

• tanq + cotq = cos

cossensenq

qqq

+

tanq + cotq = cos

cossen

sen2 2

q qq q+

tanq + cotq = cos sen

1q q

& tanq + cotq = secqcscq

• sec2q + csc2q = cos sen

1 12 2q q

+

sec2q + csc2q = cos

cossen

sen2 2

2 2

q qq q+

sec2q + csc2q = cos sen

12 2q q

& sec2q + csc2q = sec2qcsc2q

• (1 + senq + cosq)2 = 12 + (senq)2+ (cosq)2+ 2senq + 2cosq + 2senqcosq = 1 + sen2q + cos2q + 2senq + 2cosq + 2senqcosq = 2 + 2senq + 2cosq + 2senqcosq = 2(1 + senq) + 2cosq(1 + senq) = (1 + senq)(2 + 2cosq) = 2(1 + senq)(1 + cosq) & (1 + senq + cosq)2 = 2(1 + senq)(1 + cosq)

PROBLEMAS PARA DEMOSTRARDemostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta sean equiva-lentes, para lograr dicho objetivo se siguen los si-guientes pasos:

1. Se escoge el miembro más complicado.2. Se lleva a senos y cosenos (por lo general).3. Se utilizan las identidades fundamentales y

las diferentes operaciones algebraicas.

Ejemplos:1. Demostrar: secx(1 - sen2x) - cscx = cotx

Resolución: Se escoge al 1.er miembro: secx(1 - sen2x)cscx Se lleva a senos y cosenos:

cosx1 (cos2x) senx

1

Se efectúa: cosx senx1 = cotx = cotx

2. Demostrar: [secx + tanx - 1][1 + secx - tanx] = 2tanx

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN MISMO ARCO


Editorial


39TRIGONOMETRÍA

Resolución: Se escoge el 1.er miembro: [secx + tanx - 1][secx - tanx + 1] = [secx + (tanx - 1)][secx - (tanx - 1)] (secx)2 - (tanx - 1)2 = (1 + tan2x) - (tan2x - 2tanx - 1) = 1 + tan2x - tan2x + 2tanx -1 = 2tanx = 2tanx

PROBLEMAS PARA SIMPLIFICAR Y REDUCIREjemplos:1. Reducir: K = sen4x - cos4x + 2cos2x

Resolución: Por diferencia de cuadrados: K = (sen2x + cos2x)(sen2x - cos2x) + 2cos2x K = sen2x - cos2x + 2cos2x

K = sen2x + cos2x & K = 1

2. Simplificar: E = coscossenx

xx

senx11

+-

- Resolución:

1 - cos2x

E = cos

cos cossenx x

x x senx senx1

1 1-

+ - -

^^ ^ ^ ^

hh h h h

E = cossenx x

sen x sen x1

2 2

-

-

^ h & E =

cossenx x10-^ h

& E = 0

PROBLEMAS CONDICIONALESDada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones.

Ejemplo:Si: senx + cosx =

21 ; hallar: senxcosx

Resolución:

Del dato al cuadrado: (senx + cosx)2 = 21 2

c m

sen2x + cos2x + 2senxcosx = 41

2senxcosx = 43

- & senxcosx = 83

-

PROBLEMAS PARA ELIMINAR ÁNGULOSLa idea central es eliminar todas las expresiones algebraicas y que al final quede relaciones inde-pendientes de la variable.

Ejemplo:Eliminar x, a partir de: senx = a / cosx = b

Resolución:De senx = a & sen2x = a2

cosx = b & cos2x = b2

Sumamos: sen2x + cos2x = a2 + b2

1 = a2 + b2

EJERCICIOS RESUELTOSditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorial1. Si cosx + senxtanx = 1,2; ¿cuánto vale secx?

Resolución:

cosx + senx cosxsenxa k = 1,2

cosx + cosxsen x2

= 1,2 & coscos

xx sen x2 2

+ = 1,2

cosx1 = 1,2 & secx = 1,2

2. ¿Qué función trigonométrica deberá es-cribirse en vez de M para que la ecuación tana + cota = Mseca se transforme en una identidad?

Resolución: tana + cota = Mseca

cossen

sencos M cos

1aa

aa

a+ = c m

sen cossen cos

cosM2 2

a aa

a+

=

cos cossenM1

a a a= & M = csca

3. Hallar las expresión equivalente de:

cscx senxsecx cosx

--

Resolución:

Sea: F = cscsec cos

x senxx x

--

F = cos cos coscos

senx senx

x x

senxsen x

xx

1

1

1

1

2

2

-

-=

-

-

F = coscos

cossenx

xx

sen x

xsen x

2

2

3

3= & F = tan3x

37TRIGONOMETRÍA

Editorial




4. Simplificar la expresión: E =(tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx + coty)(1 - tanxtany)

Resolución: E = (tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx + coty)(1 - tanxtany)

Z [ \] ] ] ] ] ] ] ] Z [ \] ] ] ] ] ] ] ]

A B Efectuamos la expresión A: A = tanx + tany - coty - cotx

Efectuamos la expresión B: B = cotx + coty - tany - tanx Como: E = A + B & E = 0

5. Hallar el valor numérico de la siguiente expre-sión:

sec cottan cot

x xx x

22 2

3 3

+ -

+

sabiendo que: 4tanx = 3

Resolución: Dato: tanx = 3/4

Como: sec2x = 1 + tan2x, entonces:

E = tan 1x cot x

tan x cot x2 2

3 3

+ -

+

E = tan x cot x 1

tanx cotx tan x tanxcotx cot x2 2

2 2

+ -

+ - +

^^ ^

hh h

E = tanx + cotx = 34

43

1225

+ =

6. Simplificar: cscx secxcosxcotx senxtanx

--

Resolución

Sea: F = csc seccos cot tan

x xx x senx x

--

F =

senx1

cosx1

cosx senxcosx senx cosx

senx

-

-a ak k

F =

coscos

coscos

senx xx senx

senxx

xsen x2 2

-

- & F =

coscos

coscos

senx xx senx

senx xx sen x3 3

-

-

F = coscos

x senxx sen x3 3

--

F = coscos cos cos

x senxx senx x xsenx sen x2 2

-

- + +^ ^h h

F = cos2x + senxcosx + sen2x ` F = 1 + senxcosx


1. Simplificar: A = 16(sen6x + cos6x) - 24(sen4x + cos4x) +

10(sen2x + cos2x)

a) 0 b) 1 c) -1 d) -2 e) 2

2. Si: tanx + tan2x = 1, calcular: S = cotx - tanx

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3. Reducir: U = (1 + sen2x)2 + 2(1 + sen2x)(1 + cos2x) +

(1 + cos2x)2

a) 0 b) 4 c) 3 d) 9 e) 27

4. Simplificar: R = 2csc cos cot

sec tansen11 2

4 4 2

4 4 2

a a a

a a a

- -

- -

^^

hh

a) 1 b) 2 c) 4 d) 9/2 e) 5

5. Reducir: Y = cos cos secsenx

xsenx

x x1 1+

+-

-

a) senx b) cosx c) secx d) cscx e) tanx

6. Simplificar:

J = tanx cotx 2

tan x cot x 2tanx cotx 1

tan x cot x 12 2 2 2

+ -

+ --

+ +

+ +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Si: senx - cosx = 55

calcular: A = 5senxcosx - 1

a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 1/5

8. Calcular a + b, de:

csc

tansen

a b1

11

1 bq q

q+

+-

= +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


Editorial


41TRIGONOMETRÍA


M = coscos

sen x xsen x x

11

4 4

4 4

- +

- -> Htan2x

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

10. Si: sec csc

cosx x

sen x x 1163

2 2

6 6

+

+ -=-

calcular: senxcosx

a) !2 b) !1/2 c) !1/4 d) !4 e) !1/8

11. Eliminar x, si: senx - sen3x = m cosx - cos3x = n

a) m2 + n2 = mn3 b) m2 - n2 = mn3

c) m2 + n2 = mn3 2 d) m2 + n2 = m2n2

e) m2 - n2 = m2n2

12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda:

I. sen70° 2 sen170°II. cos100° 2 cos200°III. sen60° = cos300°IV. sen250° 2 cos250°

a) VVVF b) VFVF c) VVFF d) FVVF e) FVFV

13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda:

I. sen1 2 cos1II. cos6 2 cos5III. sen3 2 sen2

a) VVV b) VFV c) VVF d) FVF e) FFV

14. Si: senx = 3m - 1, determine el intervalo de m.

a) [-1; 1] b) [-2/3; 2/3] c) [0; 2/3] d) [-1; 2/3] e) [-1; 0]

15. Determine el intervalo de k, si: 2cosx = 5k + 1

a) ;51

51

-; E b) ;52

51

-; E c) ;31

53

-; E

d) ;53

51

-; E e) ;053; E

16. Del gráfico mostrado, calcular el área de la re-gión sombreada:

A xA'

B'CT

θ

yB

a) (1/2)senq b) (1/4)senq c) (3/2)senq d) (3/4)senq e) (5/4)senq

17. Reducir: J = (1 - cos2x)(1 + cot2x) + (1 - sen2x)(1 + tan2x)

a) 0 b) -2 c) 2 d) 1 e) -1

18. Hallar n, en: tan2q - sen2q = ntan2q

a) 1 b) sen2q c) cos2q d) senq e) cosq

19. Del gráfico mostrado, calcular el mínimo valor de AC.

a) a

A C

B

a

α

b) 2a c) 3a d) 4a e) 5a

20. Eliminar q, si: senq + cosq = n sen3q + cos3q = m

a) 3n = 2m + n3 b) 3m = 2n + m3 c) m + n = mn d) n3 - 2m = 3mn e) 3mn = n2 + m2

1. e 5. c 9. b 13. c 17. c2. b 6. c 10. b 14. b 18. b3. d 7. b 11. c 15. d 19. c4. a 8. c 12. c 16. d 20. aC

laves

39TRIGONOMETRÍA

Editorial



PARA LA SUMA DE DOS ARCOS

• sen(a + b) = senacosb + cosasenb• cos(a + b) = cosacosb - senasenb

• tan(a+ b) = 1 tan tantan tan

α βα β

-

+

• cot(a+ b) = cot cot 1cot cotβ

α β+a

-

Ejemplos:1. Calcular: sen67° sen67° = sen(30° + 37°) = sen30°cos37° + cos30°sen 37°

= 21

54

23

53

# #+

sen67° = 10

4 3 3+

2. Calcular: cos75° cos75° = cos(30° + 45°) = cos30°cos45° - sen30°sen45°

= 23

22

21

22

# #-

cos75° = 4

6 2-

Nota:

15°

75°46 2-

6 2+

PARA LA DIFERENCIA DE ARCOS

• sen(a - b) = senacosb - cosasenb• cos(a - b) = cosacosb + senasenb

• tan(a − b) = 1 tan tantan tan

α βα β

+

-

• cot(a − b) = cot cot 1cot tanα β

α β-

+

Ejemplos:1. Calcule: cos7° cos7° = cos(60° - 53°) = cos60°cos53° + sen60°sen53°

cos7° = 21

53

23

54

# #+ = 10

3 4 3+

2. Calcular: tan16°

tan16° = tan(53° - 37°)

tan16° = 1 tan53 tan37tan53 tan37+

-

tan16° = 241

34

43

34

43

12

127

#+

-

= & tan16° = 247

16°

74°25

7

24

Nota:

IDENTIDADES ADICIONALES

• sen(a + b)sen(a - b) = sen2a -sen2b• cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sen2b

• tana ! tanb = cos cossen !

α βα β^ h

• tana + tanb + tan(a+ b)tanatanb = tan(a+b)

Nota:Siendo a y b números reales, x variable real, se cumple:

asenx + bcosx = a b2 2+ sen(x + q)

Donde: senq = a b

b2 2+

cosq = a b

a2 2+

ARCOS COMPUESTOS


Editorial


43TRIGONOMETRÍA

Ejemplos:* senx + 3 cosx = 2sen(x + 60°)* senx - cosx = 2 sen(x - 45°)

Siendo f(x) = asenx + bcosx; x ! R se cumple:

a b f x a b2 2 2 2# #- + +^ h

Ejemplos:• -2 # 3 senx + cosx # 2• - 5 # 2senx - cosx # 5 • - 13 # 3senx + 2cosx # 13

• Si A + B + C = p, se cumple:tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanCcotAcotB + cotAcotC + cotBcotC = 1

• Si A + B + C = p/2, se cumple:cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotCtanAtanB + tanBtanC + tanAtanC = 1

En forma general, si A + B + C = kp (k ! Z) o

A + B + C = (2k + 1)2p (k ! Z) las relaciones del

teorema anterior siguen siendo válidas.


1. Si: a - b = p/3; calcular:

P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2

Resolución:P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2

P = cos2a + 2cosacosb + cos2b + sen2a +2senasenb + sen2b

P = 2 + 2(cosacosb + senasenb)P = 2 + 2cos(a - b)Dato: a - b = p/3

P = 2 + 2cos3pa k = 2 + 2

21c m = 3

2. si: a + b + c = p/2, hallar el valor de:tanatanb + tanatanc + tanbtanc

Resolución:Si: a + b + c = p/2a + b =

2p - c & tan(a + b) = tan(

2p - c)

1 tanatanbtana tanb-

+ = cotc = tanc

1

(tana + tanb)tanc = 1 - tanatanbtanatanc + tanbtanc + tanatanb = 1

3. Simplificar:E = cos(180° - x) sen(90° + y) +

sen(180°- x) cos(90° + y)

Resolución: cos(180° - x) = -cosx; sen(180° - x) = senx sen(90° + y) = cosy; cos(90° + y) = -seny

Reemplazando: E = -cosxcosy + senx(-seny) E = -(cosxcoy + senxseny)

E = -cos(x - y)

4. Si a + b = 45° y a - b = 60°, hallar el valornumérico de: sen2a - sen2b

Resolución:Dato: a + b = 45° y a - b = 60°sen2a - sen2b = sen(a + b)sen(a - b)

= sen45°sen60° = 22

23

46

# =

5. Calcular el valor natural muy aproximado delsen23°.

Resolución:sen23° = sen(60° - 37°)sen23° = sen60°cos37° - cos60°sen37°

sen23° = 23

54

21

53

-c c c cm m m m

sen23° = 10

4 3 3-

6. Si: tan(x + y) = 33 / tany = 3encontrar el valor de tanx.

Resolución:tan(x + y) = 33

1 tanxtanytanx tany-

+ = 33, dato: tany = 3

&1 3tanxtanx 3-

+ = 33

& tanx + 3 = 33 - 99tanx& tanx + 99 tanx = 33 - 3& 100tanx = 30 & tanx = 0,3

7. Si: a + b = 225°, calcular el valor de:

R = cot cotcot cot

a ba b

1 1+ +^ ^h hjhsf

41TRIGONOMETRÍA

Editorial




Resolución:

cot(a + b) = cot225° & cota cotbcotacotb 1

+

- = 1

cotacotb-1 = cota + cotb ...(1)

R = 1 cota cotb cotacotb

cotacotb+ + +

De (1): R = 1 cotacotb 1 cotacotb

cotacotb+ - +

R = 21

2cotacotbcotacotb

=

8. Simplificar: P =

1

cottan

tancot

1φ θ

θ

θφ θ

--

+-

^

^

h

h

Resolución: La expresión P es equivalente a la siguiente:

P = 1 tan tantan tan

θ φ θ

θ φ θ

- -

+ -

^^

hh

Esta expresión es el desarrollo de la tangente de una suma de dos ángulos, es decir:

P = tan[q + (φ − q)] = tanφ


1. Del gráfico, calcule tanq.

θ

23

3

a) 9/19 b) 1/10 c) 21 d) 1/21 e) 9/10

2. Si: ABDE es un cuadrado, además: BC = 3; CD = 2; AF = 1, calcule: tanq

a) -3/7

A EF

B C D

θ

A

b) -7/3 c) 3/7 d) 7/3 e) -1/10

3. Calcular el valor de: N = sen10° + tan40°cos10°

a) sen20° b) 2sen20° c) 1 d) tan10° e) 2

4. Calcular: tanx, si: sen4xcos5x + cosx = sen5xcos4x

a) -1 b) 1 c) -2 d) 2 e) 3

5. Si se cumple: 2sen(x + y) = 3sen(x - y) calcular: tanxcoty

a) 1/5 b) 5 c) -5 d) -1/5 e) 1

6. Si: tan(2a - b) = 3 / tan(2b - a) = -2 calcular: tan(a + b)

a) 1 b) -1 c) 1/7 d) -1/7 e) -7

7. Calcule: R = tan36° + tan24° + 3 tan36°tan24°

a) 1 b) 3 c) 3 /2 d) tan12° e) 2 3

8. Calcular: S = (1 + tan35°)(1 + tan10°)

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3

9. Calcule el máximo valor de:E = 3 + 2senx + 5 cosx

a) 0 b) 3 c) 5 d) 6 e) 12

10. Reducir: A = cos cosx y x ysen x y sen x y

- - +

+ + -

^ ^^ ^

h hh h

a) tanx b) coty c) tany d) cotx e) 1

11. Simplificar: A = 60cos

cos

senx x

sen x x

3 2

2 45

+ +

+ -

^^

hh

a) senx b) cosx c) tanx d) 6 senx e) 6 cosx

12. Reducir: E = ° ° ° °

° ° ° °cos cos

cos cossen sen

sen sen33 3 3 33

48 12 12 48-

+

a) 1/2 b) 1 c) 3 /2 d) 2 e) 3

13. Calcular el valor de: S1 tan32 tan13tan32 tan13

=-

+

a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5


Editorial


45TRIGONOMETRÍA

14. Reducir: R = cos(21° + x)cos(16° - x) - sen(21° + x)sen(16° - x)

a) 0 b) 4/5 c) 3/5 d) senx e) sen(37° + x)

15. Reducir: P = tana - cos cossen

α βα β-^ h

a) tana b) tanb c) sena d) senb e) senasenb

16. Si cotq = 1/4, calcule: tan(45° + q)

a) −1 b) -3 c) −5/3 d) 3 e) −4/3

17. Del gráfico, calcule: tanq

a) 1 1

1

32

θθ b) 13/15 c) 7/17 d) 17/7 e) -1

18. Reducir: M = 3 cos20° + sen20°

a) sen80° b) cos80° c) 2sen80° d) 2cos80° e) 2sen40°

19. Calcule el menor valor de x (agudo) en:

25

23

23

25cos cossen x x sen x x

- =c c c cm m m m

cos35 cos15 sen35 sen15-

a) 20° b) 30° c) 40° d) 25° e) 70°

20. Calcular el valor de m, si:

mtan50° = tan70° - tan20°

a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) -1

1. a 5. b 9. d 13. b 17. c2. b 6. c 10. b 14. b 18. c3. e 7. b 11. c 15. b 19. c4. b 8. b 12. e 16. c 20. dC

laves


Editorial


Una función trigonométrica de un número real cual-quiera puede expresarse como función de un nú-mero real del primer cuadrante. Esto puede mos-trarse a partir de ciertas fórmulas de reducción que se deducen a partir de las identidades de arcos compuestos dando valores particulares.Recordemos que: cos(a + b) = cosacosb - senasenb

Si sustituimos a por p/2 obtenemos: cos

2π β+a k = cos

2pa kcosb - sen

2pa ksenb

y como: cos2pa k = 0 y sen

2pa k = 1

cos2π β+a k = -senb

Ahora si en dicha relación reemplazamos b por

2p - q, tenemos:

cos sen2 2 2π π θ π θ+ - =- -a ak k

cos(p − q) = -cosq

REGLAS PRÁCTICAS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTEPara razones trigonométricas cuyos ángulos sean de la forma: 90° ! a, 270° ! a, 180° ! a, 360° ! a

RT 90270

!

!

aa

c m = !CORT(a)

RT °°

180360

!

!

aa

c m = !RT(a)

Para determinar el signo (+) o (-) del segundo miembro se asume que a sea agudo (así el va-lor que tenga no lo sea), con el fin de determinar el cuadrante del ángulo del primer miembro y así establecer el signo que le corresponde a la razón trigonométrica de dicho ángulo.

y 90°

270°

0° x360°

180°

180° + α270° - α

270° + α360° - α

90° + α180° - α

90° - α360° + α

Nota:Signos de las razones trigonométricas

90°

0°360°

270°

180°

Todas (+)

cos (+)sectan (+)cot

sen (+)csc

Ejemplos:• sen(270° - a) = -cosa ! IIIC

• sec(180° + a) = -seca ! IIIC

• cot(270° + a) = -tana ! IVC

Z

[

\

]]]

]]

tan(180° + 60°) = +tan60° ! IIIC• tan240° =

tan(270° - 30°) = +cot30° ! IIIC

Z

[

\

]]]

]]

cos(270° + 40°) = +sen40°

• cos310° = ! IVC cos(360° - 50°) = +cos50° ! IVC

Para razones trigonométricas cuyo ángulo es de la forma: 360°n + a; n ! Z

Se tiene: RT(360°n + a) = RT(a); n ! Z

Ejemplos:• cos1172° = cos(360° # 3 + 92°) = cos92° = cos(90° + 2°) = -sen2°

• tan755° = tan(360° # 2 + 35°) = tan35°

• csc(-1390°) = csc(-1440° + 50°) = csc[360 # (-4) + 50°] = csc50°

• sec39 605° = sec(360° # 110 + 5°) = sec5°

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

45TRIGONOMETRÍA

Editorial



47TRIGONOMETRÍA

Para razones trigonométricas de ángulos negativosRecordemos que: cos(b − a) = cosbcosa + senbsenaSi b = 0, tenemos: cos(-a) = cos0cosa + sen0senaComo cos0 = 1 y sen0 = 0

Entonces: cos(-a) = cosa

Asimismo: sen(-a) = -sena

Por identidades fundamentales tenemos:

tan(-a) = cos cossen sen

a

aaa

-

-=-

^^

hh

Se concluye: tan(-a) = -tana

Análogamente se obtienen:

cot(-a) = -cotasec(-a) = secacsc(-a) = -csca

Ejemplos:• sen(-130°) = -sen130° = -sen(180° - 50°) ! IIC = -(+sen50°) = -sen50°

• tan(-762°) = -tan762° = -tan(360° # 2 + 42°) = -tan42°

• sec(q - 270°) = sec[-(270° - q)] = sec(270° - q] = -cscq

• cos53p-c m = cos

53pc m

= cos2 10p p

+a k = -sen10pa k

Propiedades:1. Si: a + b = 180° Se cumple:

sena = senbcosa = -cosbtana = -tanb

Demostración: De la condición tenemos: a = 180° - b & cosa = cos(180° - b) = -cosb

! IIC cosa = -cosb Análogo para las restantes.

Ejemplos:• sen140° = sen40°• cos170° = -cos10°• tan135° = -tan45°

• cos32

3cosp p

=-c am k

• sec54

5secp p

=-c am k

2. Si: a + b = 360° Se cumple:

sena = -senbcosa = cosbtana = -tanb

Ejemplos:• sen320° = -sen40°• cos345° = cos15°

• cos4

74

cosp p=c am k

• tan6

116

tanp p=-c am k

• cot35

3cotp p

=-c am k

• csc(x + 290°) = -csc(70° -x)


1. Hallar la expresión: F = 2x

1 cos3x

sen tan2x 2

+

+ -a k

cuando x = 210°

Resolución: Para: x = 210°

F = 1 630

105costansen 420 2

+

+ -

• sen105° = sen75° = 4

6 2+

• tan420° = tan(360° + 60°) = tan60° = 3• cos630° = cos(7 # 90°) = 0

& F = 4

6 2 3 2++ - =

46 4 3 3 2+ -

2. Encontrar el valor de la siguiente expresión:

F = ° ° °

° ° °cos tan

tan cossen

sen120 315 300

150 225 210- -

-

^ ^^

h hh


Editorial



Resolución:• sen150° = sen30° = 1/2• tan225° = tan(180° + 45°) = tan45° = 1• cos(-210°) = cos210° = cos(180° + 30°) = -cos30° = - 3 /2

• sen(-120°) = -sen120° = -sen60° = 3- /2

• cos(-315°) = cos315° = cos(360° - 45°) = cos45° = 2 /2

• tan300° = tan(360° - 60°) = -tan60° = - 3

Reemplazamos:

F =

23

22 3

21 1

23

61

- -

-

=-

c c ^

c ^ c

m m h

m h m F = -

66

3. Calcular el valor de la siguiente expresión:

F = sen130 cos50 cos180

sen670 cos310 sec250 sen200# #

# # #

Resolución: sen670° = sen(720° - 50°) = -sen50° cos310° = cos(360° -50°) = cos50° sec250° = sec(270° - 20°) = -csc20° sen200° = sen(180° + 20°) = -sen20° sen130° = sen50° cos180° = -1 Reemplazando:

F = 50 50

50 50 20 20cos

cos cscsen

sen sen1-

- - -

^ ^ ^^ ^ ^ ^

h h hh h h h

Simplificando: F = 1

4. Si sen16° = 7/25, calcular: tan2954°

Resolución: tan2954° = tan(360° # 8 + 74°) = tan74° = cot16° & tan2954° = cot16° = 24/7

5. Si: tanx + coty = 2; x + y = p, hallar: cotx

Resolución: Como: x + y = p & y = p - x & coty = -cotx

Reemplazando: tanx - cotx = 2 &

cot x1 - cotx = 2

1 - cot2x = 2cotx & cot2x + 2cotx - 1 = 0

cotx 2

2 2 2!=

- & cotx = -1 ! 2


1. Reducir: A = 360cot

tan cos

x sen x

x x

23

23

p

p p

- -

+ -

c ^

^ c

m h

h m

a) 1 b) 0 c) -1 d) 1/2 e) -1/2

2. Calcular: E = 3csc150° + tan225° - sec300°

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Simplificar: A = sen170°csc190° + 6sen150° - 2cos180°

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Si: x + y = 180°, calcular:

A = cot

tan

senysenx

y

x2

2

2+

c

a

m

k

a) 2 b) 3 c) -1 d) -2 e) 0

5. Calcular: A = cos120

5tan1485 4cos2100+

a) -14 b) 14 c) -12 d) 12 e) -10

6. Reducir la expresión:

E = cos

sen x

sen x x

4

2 6 32

3

p

p p

-

+ + -

^

^ c

h

h m

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

7. Simplificar: A = cos

tantan

sen x

x

xx2

32

pp

-

+

--

+

^

c

^^

h

m

hh

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 0

8. Reducir: A = cos

cos

cot

tanx

x

x

x20

2341ppp

-

++

-

-

^^

c

^h

h

m

h

47TRIGONOMETRÍA

Editorial



49TRIGONOMETRÍA

a) -1 b) -2 c) 0 d) 1 e) 2

9. Calcular: A = 4cos(-120°) - 3cot(-315°) + 4sec(-300°)

a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2

10. Dado un triángulo ABC, calcular:

A = tan

tansenC

sen A BA

B C2+-

+^ ^h h

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2

11. Si: x + y = 2p, calcular:

A = senx + tan x2a k + seny + tan

y2

c m

a) senx b) 2senx c) -tan x2a k

d) -2tan x2a k e) 0

12. Calcular:

A = 2tan4

41pc m+ sen x2p

+a ksec(p - x) + 3sen2pa k

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Simplificar:

A = sen 80 x

2sen 100 xtan 120 x

3tan 240 x-

+-

+

-

^^

^^

hh

hh

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Calcular: A = 2tan43 43

461

62cos147 6senp p p

- +a ak k

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Si a + b son suplementarios, reducir:

A = cot

tan

sen

sen

22

22

α β β α

α β αβ

+ +

+ +

^ a

^ c

h k

h m

a) 1 b) -1 c) -tana d) -tanb e) -cosa

16. Indicar si es verdadero (V) o falso (F)

I. sec(90° + x) = cscxII. cot(270° - x) = tanxIII. csc (270° + x) = secx

a) FFF b) FFV c) VVF d) FVF e) FVV

17. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):I. tan(180° + x) = -tanxII. cos(360° - x) = -cosxIII. sen(360° -x) = -senx

a) FFF b) VFV c) FFV d) FVV e) VVF

18. Simplificar:

A = °°

°°

cos cottan

xsen x

xx

270180

18090

-

++

-

+

^^

^^

hh

hh

a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 0

19. Simplificar: A = °

° °cot

secx

sen x x270

180 90+

- -

^^ ^

hh h

a) tanx b) -cotx c) cotx d) -tanx e) -cot2x

20. Calcular: A = 2sen330° - 4sec240° - 2tan135°

a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9

21. Dado un triángulo ABC, simplificar:

E = cosC

2cos A B+^ h - 3sec(A + B + C)

a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 5

22. Reducir:

A = cos cos cos cos11 11

3118

1110p p p p

+ + +a c c ck m m m

a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 0

23. Reducir: A = cos1° + cos2° + cos3° + ... + cos178° + cos179° + cos180°

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) -1/2 e) -1


Editorial



24. Reducir:

H = 450630

b b sena a sen

1 11 1

cos1260cos540

- + +

+ - -

^ ^^ ^

h hh h

a) 1 b) -1 c) a d) b e) a/b

1. a 6. b 11. e 16. d 21. b2. e 7. e 12. d 17. c 22. e3. d 8. c 13. e 18. e 23. e4. b 9. c 14. c 19. b 24. b5. a 10. c 15. a 20. eC

laves

49TRIGONOMETRÍA

Editorial



Las identidades de arcos compuestos han sido de-mostradas para todo número real. A partir de estas identidades podemos deducir otras, en especial, podemos obtener las identidades que expresan sen, cos y tan de 2a, a/2 o 3a en términos de sen, cos y tan de a.Puesto que estas son válidas para todo a y b, ha-ciendo a = b obtenemos:

IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE

• sen2a = 2senacosa• cos2a = cos2a - sen2a cos2a = 1 - 2sen2a cos2a = 2cos2a - 1

• tan2a = tan

tan1

22aa

-


• 2sen2a = 1 - cos2a• 2cos2a = 1 + cos2a

• sen2a = tan

tan1

22aa

+

• cos2a = tantan

11

2

2

aa

+

-

• cota + tana = 2csc2a• cota - tana = 2cot2a

• sen4a +cos4a = 43

41

+ cos4a

• sen6 + cos6a = 85

83

+ cos4a

Ejemplos:

• sen42° = 2sen21°cos21°• cos48° = cos224°- sen224°

• tan14° = 1 7

2 7tan

tan2

-

• cos24q - sen24q = cos8q

• 2sen2qc mcos

2qc m = senq

• 2sen2

4xa k = 1 - cos x

2a k

• 1 4

2 4tan

tan2

+ = sen8°

• cos12° = 1 61 6

tantan

2

2

+

-

• cot20° + tan20° = 2csc40°

• sen4

8pa k + cos4 cos

8 43

41

2 43p p

= + =a ak k

Nota:

2θ

1 + tan2θ2tanθ

1 - tan2θ

También podemos establecer lo siguiente:Como: cos2q = 1-2sen2q

Hacemos: 2q = a, tenemos:

& cosa = 1 - 2sen2

2aa k

& 2sen22aa k = 1 - cosa

& sen2

cos2

1!

a a=

-a k

IDENTIDADES DEL ARCO MITAD

• sen2aa k = cos

21

!a-

• cos2aa k = cos

21

!a+

• tan2aa k =

coscos

11

!aa

+

-

El signo del segundo miembro se elige según el cuadrante del arco a/2 y de la razón trigonométrica que lo afecta.

Ejemplos:

• sen2

3152

1 315cos=

-c m = 2

122

-

IDENTIDADES DE ARCOS MÚLTIPLES


Editorial



sen2

3152

2 2=

-c m

• tan4° = tan 82c m

tan4° 1 81 8

coscos

15 2

7

15 2

7

=+

-=

+

-

tan4° = 5 2 - 7


• sen2aa k + cos

2aa k = sen1! a+

• sen2aa k - cos

2aa k = sen1! a-

• tan2aa k = csca - cota

• cot2aa k = csca + cota

Ejemplos:• tan4° = csc8° - cot8° = 5 2 -7• cot15° = csc30° + cot30° = 2 + 3• tan(3p/8) = csc(3p/4) - cot(3p/4) = 2 + 1

IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE

• sen3a = 3sena - 4sen3a

• cos3a = 4cos3a - 3cosa

• tan3a = tan

tan tan1 3

32

3

aa a

-

-

Ejemplos:• sen48° = 3sen16° - 4sen316°

• cos24° = 4cos38° - 3cos8°

tan111° = 1 3 37

3 37 37tan

tan tan2

3

-

-

• sena = 3sen3aa k - 4sen3

3aa k

• cos2a = 4cos3

32ac m - 3cos

32ac m

• tan12x = 3tan

tan tanx

x x1 3 4

4 42

3

-

-

Triángulos rectángulos de 18° y 36°

36°

54°410 2 5-

15 +

18°

72°4

10 2 5+

15 -


• 4sen3a = 3sena - sen3a• 4cos3a = 3cosa + cos3a• sen3a = sena(2cos2a + 1)• cos3a = cosa(2cos2a - 1)

• tantan3

2cos2 12cos2 1

aa

aa

=-

+

• sen3a = 4senasen(60° - a)sen(60° + a)• cos3a = 4cosacos(60° - a)cos(60° + a)• tan3a = tanatan(60° - a)tan(60° + a)


1. Determine el valor de:A = sen10°sen50°sen70°

Resolución: Aplicando las identidades auxiliares:

A = 4 10 60 10 60 10sen sen sen

4- +^ ^h h

30 /A sen4 4

1 281

= = =

2. Determinar el valor de: M = 16cos5°cos55°cos65°

Resolución: M = 4 # 4cos5°cos(60° - 5°) cos(60° + 5°)

M = 4cos15° = 44

6 2 6 2+= +c m

3. Si: tan25° = a, hallar el valor de la expresión:

T = 1 tan155 tan115tan155 tan115

tan245 tan335tan205 tan115

#+

-

+

-

51TRIGONOMETRÍA

Editorial



53TRIGONOMETRÍA

Resolución:

• 1 tan155 tan115tan155 tan115+

- = tan(155° - 115°) = tan40°• tan205° = tan(180° + 25°) =tan25°• tan115° = -tan65°• tan245° = tan(180° + 65°) = tan65°• tan335° = tan(360° - 25°) = -tan25°

• tan245 tan335tan205 tan115

tan65 tan25tan25 tan65 K

+

-=

-

+=

Propiedad:

tana tanbtana tanb

sen a bsen a b

-

+=

-

+

^^

hh

& K = 65 2565 25

4090

sensen

sensen

-

+=

^^

hh

= 40sen

1

Reemplazando en T:

T = tan40°° °

°°cossen

sensen40

14040

401

#=c m

T = ° °cos sen40

150

1 csc50= =

T = csc50° = aa

21

2tan251 tan 25 22

+=

+

4. Si: csc x = 3 y x ! IC; cuánto vale 8csc2x.

Resolución: Dato: cscx = 3, x ! IC

x

3 1

2 2

8csc2x = cossen x senx x2

82

8=

8csc2x = 2

31

32 2

8

94 2

8=

c cm m

8csc2x = 2

18 = 2

1822 9 2# =

5. Si: cotx = -0,5; hallar el valor de 20cot2x

Resolución: Como: 2cot2x = cotx - tanx Entonces: 20cot2x = 10(cotx - tanx)

20cot2x = 10 1521 2- - - =^ h; E

6. Hallar el valor de la expresión

S = sen10

1cos10

3-

Resolución:

S = 10 10

10 10cos

cossen

sen3-

S = °

° °cos

sen

sen

220

221 10

23 10-c m

S = 20

60 10 60 10cos cossen

sen sen4 -^ h

S = °

° °°

4 70°°°cos cos

sen sen sensen

204 60 10

20 204 20+

= =^ h

S = 4

7. Dada la expresión: tanφ = (2 + 3 )tan3φ

c m calcular: tanφ

Resolución:

Dato: tanφ = (2 + 3 )tan3φ

c m ...(1)

Por propiedad: tantan

coscos

xx

xx3

2 12 2 1

=-

+

Sea: φ = 3x, entonces en (1):

tantan

xx3 2 3= + & 2

coscos

xx

2 2 12 2 1 3

-

+= +

Aplicando propiedades de proporciones:

cos

cos cosx osx

x x2 2 1 2 1

2 2 1 2 2 12 3 12 3 1

+ - +

+ + -=

+ -

+ +

1 33 3

24cos2x

=+

+ & 2cos2x = 1 3

3 1 3

+

+^ h

cos2x = 23 & 2x = 30° & x = 15°

Volviendo a la variable original:

3φ

= 15° & φ = 45° tanφ = tan45° = 1


Editorial



8. Si: x = 3p ; hallar el valor de tan x

4a k

Resolución: Como: tan

2aa k = csca - cota

& tan4xa k = csc

2xa k - cot

2xa k

Para x = 3p , nos queda:

tan12pa k = csc

6pa k - cot

6pa k = 2 - 3

9. La base de un rectángulo mide el doble de su altura, hallar la tangente del ángulo agudo que forman sus diagonales

Resolución: De la figura: tan

2 21a

=a k

α α/2x x

x2

2x

& tana =

2

2tan

tan

1

2

2 a

a

- a

a

k

k

tana = 1

21

221

2- c

c

m

m & tana =

141

1

431

-

=

tana = 4/3

10. Los radios de dos circunferencias son 1 y 2, la distancia de sus centros es 7. Calcular el coseno del ángulo formado por las tangentes exteriores a estas circunferencias.

Resolución: Sea a el ángulo formado por las tangentes,

PO es bisectriz de dicho ángulo. De la figura:

α/2α/2

α

1 O7

2

P

cosa = 1 - 2sen2

2aa k & cosa = 1 - 2

71 2

c m

cosa = 1 - 492

4947

=

11. Determinar el valor de la expresión:A = sen3acsca - cos3aseca

Resolución:

A = coscos

sensen3 3

aa

aa

-

A = sen cossen3 cos cos3 sen

a aa a a a-

A = sen cossen 3

sen cossen2

a aa a

a aa-

=^ h

A = sen cos2sen cos 2

a aa a

=

12. Hallar el valor de: Q = 4cos10°cos50°cos70°

Resolución: Q = 4cos10°cos50°cos70° Q = 4cos10°cos(60° - 10°)cos(60° + 10°)

Q = cos(3 # 10°) = cos30° = 23

13. Reducir: N = cos cos

cosx

sen xx

x1 2

21+ +

c cm m

Resolución: Como: 1 + cos2a = 2cos2a

N =

2cos

coscoscos

xsenx x

xx

22

22 2ca

mk> H

N =

2 2

2 2cos cos

cos

xsenx

x

sen x x

2 2

2

2 2=

a a

a a

k k

k k

N = tan x2a k

14. Reducir: S = tana + 2tan2a + 4tan4a + 8cot8a

Resolución: Como: cotx - tanx = 2cot2x & cotx = tanx + 2cot2x S = tana + 2tan2a + 4(tan4a + 2cot8a) cot4a S = tana + 2tan2a + 4cot4a S = tana + 2(tan2a + 2cot4a) cot2a S = tana + 2cot2a S = cota

53TRIGONOMETRÍA

Editorial



55TRIGONOMETRÍA

15. Hallar el valor de: M = coscos

sensen3 3

aa

aa

-

Resolución:

M = coscos cos

sensen sen3 4 4 33 3

aa a

aa a-

--

M = 3 - 4sen2a - 4cos2a + 3 M = 6 - 4(sen2a + cos2a) = 6 - 4 = 2


1. Calcular tan2a, si: tana = 2 1-

a) 2 1+ b) 2 2 c) 2 2-

d) 1 e) 2

2. Si cosa = 419 , 360° 1 a 1 450°; calcular: cos

2aa k

a) 414

- b) 415

- c) 411

-

d) 415 e)

414

3. Simplificar: 1 42cos2

-

a) sen21° b) cos21° c) sen89° d) cos84° e) sen16°

4. Calcular: csc74° - cot74°

a) 1/2 b) 3/4 c) 4/3 d) 1/3 e) 24/25

5. Calcular: (2sen15°cos15°)2 + (2sen22°30'cos22°30')2

a) 1/4 b) 3/4 c) 5/4 d) 7/4 e) 9/4

6. Simplificar: coscos

1 41 4

qq

-

+

a) tan22q b cot22q c) sec22q d) sec22q e) csc22q

7. Si sena = 31

- , a ! IIIC; calcular: sen2a

a) 9

4 2 b) 9

4 2- c) -

32

d) 32 e)

91

8. Si cosa = 51 , 270° 1 a 1 360°; calcular: cos

2aa k

a) 515 b)

515

- c) 315

d) 615 e)

315

-

9. Si sena = 1312 , 90° 1 a 1 180°; calcular: sen

2aa k

a) 13

3 13- b)

134 13

- c) 13

3 13

d) 13

4 13 e) 13

2 13-

10. Simplificar: tan200

csc40 cot40-

a) 0,1 b) 1 c) -1 d) 2 e) -0,1

11. Calcular: sen22°30’

a) 2

2 2- b) 2

2 2+ c) 2

2 2-

d) 2

2 2+ e) 42

12. Simplificar: 3 2 3

6 6

sec tan

csc cot22 2

-

-^ h

a) tan3° b) tan6° c) cot3° d) cot6° e) tan12°

13. Simplificar: °

160° 200°cossen

sen400

a) -2 b) 2 c) 1/2 d) -1/2 e) 3 /2

14. Simplificar: (1 - 2sen2a)2 - 4sen2acos2a

a) cos4a b) -cos4a c) cos2a d) -cos2a e) 0

15. Simplificar: 1 cos101 cos10

qq

+

-

a) tan25q b) cot25q c) tan5q d) cot5q e) sec5q

16. Si sena = 33 , a ! IIC; calcular: 2 sen2a

a) -4/3 b) −1/3 c) 1/3 d) 4/3 e) 2 /3


Editorial



17. Simplificar: cot

cot1

22a

a-

a) cot2a b) -cot2a c) tan2a d) -tan2a e) 1

18. Hallar la expresión equivalente de: 2sen3qcos3q

a) sen12q b) sen6q c) sen9q d) sen18q e) sen3q

19. Calcular: cos215° - sen215°

a) 3 /2 b) 1/2 c) 2 /2 d) 3 /4 e) 1/4

20. Hallar tan40°

a) 1 10

2 10tan

tan2

- b)

1 202 20

tantan

2-

c) 1 40

2 40tan

tan2

- d)

1 802 80

tantan

2-

e) 1 20

2 20tan

tan2

+

21. Sabiendo que: p = 2cos2a - cos2a / q = 2sen2a + cos2a

calcular: p2 + q2

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

22. Simplificar: ( 2 cosa + 1)( 2 cosa - 1)

a) cos2a b) -cos2a c) -sen2a d) sen2a e) 0

23. Simplificar: cot

cot tan2a

a a-

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2

24. Simplificar: cos4q - sen4q

a) cos4q b) -1 c) 1 d) cos2q e) cos6q

25. Simplificar: tantan

11

2

2

qq

+

-

a) cos2q b) sen2q c) sec2q d) csc2q e) cot2q

26. Calcular: M, si: cota + tana = Mcsc2a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

27. Si: senq + cosq = m, calcular: sen2q

a) 2m + 1 b) 2m − 1 c) 2m2 − 1 d) m2 − 1 e) m2 + 1

28. Simplificar: (csc36° - cot36°)(1 - tan9°cot81°)

a) tan9° b) 2tan9° c) tan18° d) 2tan18° e) tan36°

29. Simplificar: (csc2x + cot2x)tanx

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

30. Calcular: tan7°30’

a) 6 4 3 2- - +

b) 6 4 3 2- + -

c) 6 4 3 2+ - +

d) 6 4 3 2+ + -

e) 6 4 3 2- - -

1. d 7. a 13. d 19. a 25. a2. b 8. b 14. a 20. b 26. b3. a 9. c 15. a 21. b 27. d4. b 10. b 16. a 22. a 28. b5. b 11. c 17. c 23. d 29. a6. b 12. b 18. b 24. d 30. a

Claves


1. Si: cosa = 2/3; 0° 1 a 1 90°, hallar: sen2aa k

a) 30 /6 b) 6 /6 c) 6 /12 d) 6 e) 6 /5

2. Si: cosq = ;31

23p 1 q 1 2p, calcular: sen

2qc m

a) 3 /2 b) - 3 /2 c) 3 /3 d) - 3 /3 e) - 3 /6

3. Si: 25cos2x - 4 = 0; 180° 1 x 1 270° calcular: tan

2xa k

55TRIGONOMETRÍA

Editorial



57TRIGONOMETRÍA

a) 1 b) -23/27 c) 23/27 d) 1/9 e) -1/9

13. Si: senx - cosx = 1/3, calcule: sen6x

a) 13/27 b) 23/27 c) 17/27 d) 22/27 e) 19/27

14. Si: 2tan x3p

- =a k , hallar: cot3x

a) 1/2 b) 3/2 c) 7/2 d) 11/2 e) 15/2

15. Si: sec2xa k = 3sen

2xa k , hallar: cos2x

a) 1/27 b) 1/9 c) 2/27 d) 22/27 e) 1/3

16. Si: cosx = -1/5; 180° 1 x 1 270°

hallar: sen2xa k

a) ,0 2 b) ,0 4 c) ,0 6 d) ,0 8 e) 1

17. Dado: 16cos2q = 9; 2

3p 1 q 1 2p

hallar: tan2qc m

a) 1 b) 7 c) - 7 d) - 7 /7 e) - 7 /14

18. Reducir: R = 10 2010 20

cot cottan cot

-

+

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 1/2

19. Simplificar: E = tan2xa k + (1 - cosx)cotx

a) 1 b) senx c) tanx d) cosx e) -1

20. Reducir: N = 45

1 40sec

cos+c msec20°

a) 1 b) -1 c) sen10° d) cos10° e) -sen10°

21. Si se cumple: 1 501 50

sensen

+

- = cotx; (x: agudo)

halle: sec(x -10°)

a) - 7 b) - 3 c) - 7 /3 d) - 3 /7 e) - 10

4. Calcular: R = 70

40 40cot

csc cot-

a) 3 b) 1 c) -1 d) - 3 e) - 3 /3

5. Reducir: E =

2

2tan cot

cot cot

x x

x x2

+

-

a

a

k

k

a) 2sen2xa k b) 2cos

2xa k c) 2tan

2xa k

d) 2sen22xa k e) 2cos2

2xa k

6. Si la siguiente igualdad es una identidad:

csc cot

csc cotx xx x2 2

+

- + 2cotx = mcot nxa k

hallar: m + n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Si: csc80° + tan10° = a, calcular: cot50°

a) a b) 2a c) a-1 d) 2a-1 e) a

8. Reducir:

M = °tan3

csc6 cot6csc40 cot40

sen40--

+

a) 1 b) sen40° c) sen50° d) cos80° e) sen80°

9. De la siguiente igualdad: cot14°- nsec34° = tan14°- 2tan28° hallar: n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Reducir: M = 4sen350° - 3sen50°

a) 1/2 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) 3 /2

11. Reducir: N = coscos cos

xx x3 +

a) cos2x b) 2cos2x c) cosx d) 2cosx e) 1

12. Si: sen3x

31

=c m ; calcular: senx


Editorial



a) 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5/4

22. Calcular el valor de: E =

8 8

12 12cot tan

cot tan

p p

p p

-

+

a a

a a

k k

k k

a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 6

23. Simplificar: R = csc2q + cost4q + csc4q

a) cotq b) cscq c) cot2q d) csc2q e) 1

24. Si: seca = 4; hallar: cos3a

a) 1/11 b) -1/16 c) -11/16 d) -11/32 e) -1/32

1. b 6. c 11. b 16. c 21. a2. c 7. c 12. c 17. d 22. a3. c 8. c 13. d 18. a 23. a4. b 9. d 14. d 19. b 24. c5. d 10. b 15. d 20. aC

laves

FísicaWalter PérezPapel periódico800 pp.17 × 24 cm

AritméticaHéctor GamarraPapel periódico 502 pp.17 × 24 cm

ÁlgebraMikhaild FloresPapel periódico448 pp.17 × 24 cm

QuímicaWalter CartolínPapel periódico464 pp.17 × 24 cm

TrigonometríaRubén AlvaPapel periódico464 pp.17 × 24 cm

GeometríaFernando AlvaPapel periódico 576 pp.17 × 24 cm

Una colección totalmente renovada que te ayudará a comprender, paso a paso, el desarrollo de los problemas planteados y alcanzar tu ingreso a la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI).

Nivel: Intermedio-Avanzado

S/30

S/38

S/35

S/27

S/48

S/35

C LECCIÓNUni iencia

Sapiens


Editorial


• cos2aa k - cos

25ac m = -2sen

22 2

5a a+f psen

22 2

5a a-f p

= -2sen2

3ac msen(-a)

= 2sen2

3ac msena

Propiedades:

Si: A + B + C = 180°, se cumple:• senA + senB + senC = 4cos

2Ac mcos

2Bc mcos

2Cc m

• cosA + cosB + cosC = 4sen2Ac msen

2Bc msen C

2c m + 1

• sen2A + sen2B + sen2C = 4senAsenBsenC• cos2A + cos2B + cos2C = -4cosAcosBcosC -1

DE PRODUCTO DE DOS TÉRMINOS, SENO Y/O CO-SENO A SUMA O DIFERENCIA

• 2senAcosB = sen(A + B) + sen(A - B)• 2cosAsenB = sen(A + B) - sen(A - B)• 2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A - B)• 2senAsenB = cos(A - B) - cos(A + B)

Ejemplos:• 2sen4qcosq = sen(4q + q) + sen(4q - q) = sen5q + sen3q

• 2cos cos4 4

α π α π- +a ak k

= cos4 4

α π α π- + +a k + cos

4 4α π α π

- - -a k

= cos2a + cos2p

-a k

= cos2a + cos2pa k = cos2a

• 2sen5pa ksen

3pa k = cos

5 3p p

-a k - cos5 3p p

+a k

= cos 215p-c m - cos

158pc m

= cos152pc m - cos

158pc m

• Exprese cos3qsenq como una suma o una di-ferencia.

PARA LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS O COSENOS A PRODUCTO

• senA + senB = 2sen A B2+c mcos A B

2-c m

• senA - senB = 2cos A B2+c m sen A B

2-c m

• cosA + cosB = 2cos A B2+c mcos A B

2-c m

cosA - cosB = -2sen A B2+c msen A B

2-c m

Demostración:Para comprobar la primera identidad, recordemos que: sen(a + b) = senacosb + cosasenb sen(a - b) = senacosb - cosasenb

Sumando miembro a miembro tenemos: sen(a + b) + sen(a - b) = 2senacosb ...(1)

Haciendo: a + b = A; a - b = B

Obtenemos: a = A B2+ ; b = A B

2-

Reemplazando en (1):

Se tiene: senA + senB = 2sen A B2+c mcos

2A B-c m

Las demás identidades pueden verificarse en for-ma análoga.

Ejemplos:

• sen40° + sen8° = 2sen 40 82+c mcos ° °

240 8-c m

= 2sen24°cos16°

• sen100°- sen50°

= 2cos 100 502+c msen 100 50

2-c m

= 2cos75°sen25°

• cos5pa k + cos

6pa k = 2cos

25 6p p

+f pcos 5 62

p p-f p

= 2cos60

11pc mcos60pa k

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

59TRIGONOMETRÍA

Editorial




Resolución: Utilizando la primera identidad se tiene:

cos3qsen2q = cos sen2

2 3 2q q

= 21 (2sen2qcos3q)

= 21 [(sen(2q + 3q) + sen(2q - 3q)]

= 21 [sen5q + sen(-q)]

cos3qsen2q = 21 (sen5q - senq)


1. Hallar el equivalente de: 2cos6xsenx

Resolución: 2cos6xsenx = sen(6x + x) - sen(6x -x) = sen7x - sen5x

2. Si el ángulo A mide p/13 rad, hallar el valor de:

A = cos2A cos4A

cosAcos10A+

Resolución:

A = cos cos

cos cosA A A A

A A

22

4 22

4 210

+ -c cm m

A = 2cos3AcosAcosAcos10A

2cos3Acos10A

=

Dato: A = p/13

A =

133

1310

133133

cos

cos

cos

cos

2 2 21

p

p

p

p

=

-

=-

c

c

c

c

m

m

m

m

3. Hallar la expresión equivalente de:

Q = sen x sen xsenx sen x

2 43

+

+

Resolución:

Q = cos

cos

sen x x x x

sen x x x x

22

4 22

4 2

22

32

3

+ -

+ -

c c

c c

m m

m m

Q = coscos

sen x xsen x x

sen xsen x

2 32 2

32

=

4. Hallar el equivalente de:A = senx + sen3x + sen5x + sen7x

Resolución: A = (sen7x + senx) + (sen5x + sen3x) A = 2sen4xcos3x + 2sen4xcosx A = 2sen4x[cos3x + cosx]

2cos2xcosx A = 4sen4xcos2xcosx

5. Hallar el equivalente de: 2sen x2a kcos2x

Resolución: Como: 2senacosb = sen(a + b) + sen(a - b)

2sen x2a kcos2x = sen x x

22+a k + sen x x

22-a k

= sen x25c m + sen x

23

-c m = sen x25c m - sen x

23c m

6. Hallar la suma de los senos de tres arcos en

progresión aritmética de razón 32p

Resolución:

Sean: a - 32p , a, a +

32p los tres arcos en

progresión aritmética, entonces:

P = sen32α π

-c m + sena + sen32α π

+c m

P = sen32α π

-c m + sen32α π

+c m + sena

2senacos34pc m

P = 2senacos34pc m + sena

P = 2sena21

-c m + sena

P = -sena + sena = 0

7. Hallar el equivalente de: S = cos cosx ysenx seny

+

+

Resolución :

S = cos cos

cos

x y x y

senx y x y

22 2

22 2+ -

+ -

c c

c c

m m

m m

S = tanx y

2+c m


Editorial


61TRIGONOMETRÍA

8. Hallar el equivalente de:

P = sen4x + cosxsenx

cosx tanxsenxsenx

sen 2x2

++

Resolución:


cosx cosxsenx senx

senxsen 2x2

++

a k


cos x sen xsenxcosx

sen 2x

2 2

2

++

1

P = sen4x + cossenx x

sen x2

22 = sen4x +

sen xsen x

222

P = sen4x + sen2x = 2sen x x2

4 2+c mcos x x2

4 2-c m

P = 2sen3xcosx

9. Transformar en producto la siguiente expresión:cos4x + cos8x + 2 - 4sen2x

Resolución: M = cos8x + cos4x + 2(1 - 2sen2x) cos2x

M = 2cos x x2

8 4+c mcos 8 4x x2-c m + 2cos2x

M = 2cos6xcos2x + 2cos2x M = 2cos2x(cos6x + 1)

2cos23x

M = 4cos2xcos23x

10. Hallar el verdadero valor de la expresión si-guiente, para a = 45°:

A = cosa cos45

cos2a-

Resolución: Observar que al reemplazar a = 45°, la expre-

sión A queda: 0/0 (indeterminado) Levantamos la indeterminación:

A = cosa

21

cos2a2 cosa 12 cos2a

-

=-

Diferencia de cuadrados en el numerador:

A = 2 cosa 1

2 2 cosa 1 2 cosa 1

-

+ -

^^ ^

hh h

A = cosa2 2 1+^ h Reemplazamos a = 45° A = 45 1cos2 2 +^ h

A = 12 221

+c m; E & A = 2 2

11. Verificándose las siguientes igualdades:

sen32° + sen12° = 0,738 cos32° + cos12° = 1,826

calcular el valor de la tangente de 22° expre-sando el resultado en fracción ordinaria.

Resolución:• sen32° + sen12° = 0,738 2sen22°cos10° = 0,738 ...(1)

• cos32° + cos13° = 1,826 2cos22°cos10° = 1,826 ...(2)

Dividiendo (1) ' (2):

,,

1 8260 738

1826738

2cos22 cos102sen22 cos10

= =

Simplificando: tan22° = 913369

12. En que tipo de triángulo se cumple:

sen2A + sen2B + sen2C = 2

Resolución: En todo triángulo ABC se cumple:

• cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosAcosBcosC

• sen2A + sen2B + sen2C = 2 + 2cosAcosBcosC

De la última relación: 2 = 2 + 2cosAcosBcosC & cosAcosBcosC = 0

De esta igualdad se deduce que alguno de los tres factores es cero. Esto ocurre si al menos uno de los ángulos mide 90°.

se cumple en un triángulo rectángulo.

13. Simplificar:

E = cos cos cosk ksen sen k sen k

2 12 1

q q q

q q q

+ + -

+ + -

^ ^^ ^

h hh h

Resolución:

E = cos cos cosk ksen k sen sen k

2 12 1

q q q

q q q

- + +

- + +

^ ^^ ^

h hh h

61TRIGONOMETRÍA

Editorial




E = cos cos cos

cosk k k

sen k k sen k2 12 1

q q q

q q q

- +

- +

^ ^ ^^ ^ ^

h h hh h h

E = 2 1

cos coscos

k ksen k k

2 1 11

q q

q q

- +

- +

^ ^^ ^

h hh h66

@@

E =tan(kq)

14. Si: sena + senb = a cosa + cosb = b

calcular: cos(a + b)

Resolución: Sea: a + b = x sena + senb = a

2sen2

α β+c mcos a2

α β-=c m

2sen cosx a2 2

α β-=a ck m ...(1)

cosa + cosb = b

2cos cos b2 2

α β α β+ -=c cm m

2cos cosx b2 2

α β-=a ck m ...(2)

Dividiendo (1) ' (2) se obtiene:

cos x

sen x

ba

2

2=

a

a

k

k & tan x

ba

2=a k

Nos piden calcular:

cos(a + b) = cosx =

2

2tan

tan

x

x

1

1

2

2

+

-

a

a

k

k

cos(a + b) =

baba

b ab a

1

1

2

2

2

2

2 2

2 2

+

-

=+

-

PRACTICANDO


1. Calcular: A = cos80 cos40sen80 sen40

+

+

a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 /3 e) 1/2

2. Si: sena + senb = a cosa + cosb = b

hallar: tan2

α β+c m

a) ba b) a

b c) a ba b

-

+

^^

hh

d) a ba b

+

-^ h e)

a bab2

2 2+^ h

3. Calcular: (sen38° + cos68°)sec8°

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) - 1/2

4. Calcular: S = cos20° + cos100° + cos140°

a) 0 b) 1 c) -1 d) 1/2 e) -1/2

5. Reducir: P = cos cos cossen sen sen

5 35 3q q qq q q

+ +

+ +

a) tan3q b) tan5q c) tan2q d) tan4q e) tan8q

6. Transformar a producto: E = sena + sen3a + sen5a + sen7a

a) 4sen4asen2asena b) 4cos4acos2acosa c) 4sen4acos2acosa d) 4sen4asen2acosa e) 4cos4acos2asena

7. Calcular: A = cos220° + cos240° + cos280°

a) 1 b) 2/3 c) 2 d) 5/2 e) 3/2

8. Simplificar: A = cos x ysen x sen y1 2 2

-

- -

^ h

a) cos(x + y) b) cos(x - y) c) 0,5 cos(x + y) d) cos2(x + y)

e) cos2(x - y)

9. Simplificar: 2(cos5x + cos3x)(sen3x-senx)

a) sen6x b) sen7x c) sen8x d) sen9x e) sen10x

10. Simplificar: (tan2q + tanq)(cos3q + cosq)

a) 2sen3q b) 2cos3q c) sen3q d) cos3q e) 1

11. Si: x + y = 30°, calcular:


Editorial


63TRIGONOMETRÍA

E = sen x sen y

sen x y sen x y2 2

3 3+

+ + +^ ^h h

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 3 e) -1

12. Simplificar: A = cos cos

sen a sen ba b a b

2 23 3

+

- - -^ ^h h

a) 2sen(a + b) b) 2cos(a + b) c) sen(a - b) d) 2sen( a- b) e) 2cos(a - b)

13. En un triángulo ABC, transformar a producto:E = sen2A + sen2B - sen2C

a) 4senAsenBcosC b) 4cosAcosBsenC c) 4senAsenBsenC d) 4cosAcosBcosC e) 2senAsenBcosC

14. En un triángulo ABC, transformar a producto:K = senA + senB + senC

a) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2) b) 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2) c) 2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) d) 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) e) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2)

15. Calcular: E = csc20° - cot40°

a) 1 b) 0 c) -1 d) - 3 e) 3

16. Reducir: A = cos10

sen40 sen20-

a) 1 b) 1/2 c) -1 d) -1/2 e) 2

17. Simplificar: A = cos cossen x sen x

x x7 37 3

-

+

a) tanx b) cotx c) tan2x d) cot2x e) tan4x

18. Reducir: Acos5

sen50 cos50=

+

a) 3 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 2 /2

19. Calcular: A = cos20° + cos100° + cos220°

a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 0

20. Reducir: A = cos cos cosx x xsen x sen x sen x

2 4 62 4 6

+ +

+ +

a) tanx b) tan2x c) tan3x d) tan4x e) tan5x

21. Reducir: A = cos cossen x

senx x x sen x2 5

4 2 6+

a) senx b) cosx c) sen2x d) cos2x e) sen3x

22. Simplificar: A = senx sen xsen x sen x

97 3

+

+

si: 6x = p

a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) -3/2

1. c 6. c 11. c 16. a 21. b2. a 7. e 12. d 17. d 22. b3. a 8. a 13. b 18. b4. a 9. c 14. d 19. e5. a 10. a 15. e 20. dC

laves


1. Reducir: Q = sen4x - 2senxcos3x

a) senx b) cosx c) sen2x d) cos 2x e) sen3x

2. Reducir: M = sen3acosa - 21 sen4a

a) senacosa b) sen2aa kcos

2aa k

c) 2senacosa d) sena e) sen

2aa k

3. Reducir: R = 4sen2xcos2xcos3x - senx

a) senx b) sen3x c) sen5x d) sen7x e) sen9x

4. Exprese como monomio:

P = cos2qcosq-sen4qsenq

a) senqsen2q b) cos3qsen2q c) sen3qcos2q d) cos3qcos2q e) senqcosq

5. Reducir: sen2xcosx - sen4xcosx + sen2xcos3x

63TRIGONOMETRÍA

Editorial




a) senx b) sen3x c) sen5x d) 0 e) cosx

6. Simplificar: cos4xcos2x cos7xcosxsen9xcosx sen6xcos4x

-

-

a) sen5x b) tan5x c) cos5x d) cost5x e) sec5x

7. Calcule el valor de: H = 2cos80° + 4cos20°sen10°

a) 1/2 b) 2 c) 1/4 d) 1 e) 3/2

8. Reducir: (2sen5xcosx - sen6x)2 - cos24x

a) cos8x b) cos6x c) - cos6x d) -cos8x e) cos4x

9. Halle x (ángulo agudo), si: 2sen3xcos5x = cos7x - 2senxcosx

a) 3° b) 6° c) 9° d) 12° e) 15°

10. Halle el valor de: N = 21 sec80° - 2sen70°

a) 0 b) - 1 c) 1 d) -2 e) 2

11. Reducir: M = cos(a + b)cos(a - b) + sen(b + c)sen(b - c)

+ cos(a + c)cos(a - c)

a) 0 b) 1 c)1/2 d) cosa e) cosb 12. Calcular el valor de a, si:

cos3atana + 2sena = sen[(a - 1)a]

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Reducir: E = 50

40 20sec

sen sen2 +^ h - sen30°

a) 0 b) 1/2 c) cos40° d) cos50° e) 2

14. Reducir:

° ° 40°cos cossen4 1 40 1 102 2- - -^ ^h h

a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/5 e) 1

15. Calcular: E = 2sen50°cos20° - cos20°

a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5 d) 0,6 e) 0,8

16. Reducir: R = cos3xcos2x - sen4xsen3x - cos6xcosx

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

17. Simplificar: M = cos

cos cossen sen4 2 5q

q q q q+

a) sen3q b) 2sen3q c) sen6q d) 2sen6q e) 1

18. Hallar el valor de:

N = 123

50 38 95 7sen

sen sen sen sen+

a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4 d) 2 e) 2 /2

19. Factorizar: R = cos8x - cos7xcosx - cos10xcos2x

a) 2sen3xsen9x b) -sen3xsen9x c) sen3xsen9x d) -cos3xcos9x e) cos3xcos9x

20. Simplificar: K = 100 10

51 34 21 4cos cos

cos cos sen sen+

-

a) 2 /2 b) 3 /6 c) 6 /4 d) 6 /3 e) 2 /4

21. Calcular: L = 2[2sen39°cos9° - 2cos43°30'cos1°30']

a) 2 + 1 b) 1 - 2 c) 2 + 2 d) 2 - 2 e) 2 - 1

22. Calcular x, si: 2cos20°cos40° = x + cos20°

a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 1

23. Reducir: R = senxcosx

sen3xsenxcos x cosxcos3xsen x2

2 2-

^ h a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 5

24. Si: x 2 2, reducir: B = 2senφcos[(x - 1)φ] + sen[(x -2)φ]

a) senφ b) cosφ c) senφ d) cos2φ e) senφ


Editorial


65TRIGONOMETRÍA

25. Expresar como monomioN = 2(cos4°cos3°- sen7°sen8°)

a) cos4°sen11° b) cos11°cos4° c) 2cos11° d) sen11°sen4° e) 2cos11°cos4°

1. c 6. d 11. a 16. c 21. b2. a 7. d 12. d 17. c 22. b3. d 8. d 13. c 18. e 23. d4. d 9. b 14. b 19. d 24. e5. d 10. c 15. c 20. c 25. eC

laves

65TRIGONOMETRÍA

Editorial



Una ecuación se llama trigonométrica si ella con-tiene la incógnita x solo bajo los operadores trigo-nométricos.

Ejemplos:• senx = cosx • tanx - cot2x = 0

• sen4x

21

=a k • tan2x = 3x - 1

Nota:La ecuación del último ejemplo no se llama trigonométrica, porque en esta la incógni-ta x se encuentra no solo bajo el operador tangente, sino también con otro operador no trigonométrico.

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTALUna ecuación trigonométrica se llama elemental, básica o simple si tiene la siguiente estructura:

FT(kx) = a

Ejemplos:

• senx = 21 • cos2x =

22 • tan

3xc m = - 3

VALOR PRINCIPAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONO-MÉTRICA ELEMENTALSe llama valor principal (VP) al menor ángulo po-sitivo o mayor ángulo negativo que satisface una ecuación trigonométrica elemental. Es decir:

Si: FT (kx) = a & VP = ángulo ángulo

Valorprincipalparasenkx= aLa ecuación tendrá soluciones solamente cuando:

-1 # a # 1• Si a es positivo entonces su VP es un ángulo

agudo.• Si a es negativo entonces su VP es el negati-

vo del ángulo agudo.• Si a es 1, entonces su VP es 90°.• Si a es -1, entonces su VP es -90°.• Si a es 0, entonces su VP es 0°.

Ejemplos:Calcular el VP de las siguientes ecuaciones:1. senx =

21 & senx =

21 & VP = 30°

30°

2. senx = -21 & senx = -

21 & VP = -30°

-30°

3. sen4x = 22 & sen4x =

22 & VP = 45°

45°

4. sen4x = -22

& sen4x = -22 & VP = -45°

-45°

5. sen2x = 1 & sen2x = 1 & VP = 90°

90°

6. sen2x = -1 & sen2x = -1 & VP = -90°

-90°

7. sen3xc m = 0 & sen

3xc m = 0 & VP = 0°

0°

8. sen3x = 2 & la ecuación no tiene soluciones

Observación: el valor principal no es la incógnita x (VP ! x).

Valorprincipalparacoskx= aLa ecuación tendrá soluciones solamente cuando:

-1 # a # 1

• Si a es positivo, entonces su VP es un ángulo agudo

• Si a es negativo, entonces su VP es el suple-mento del ángulo agudo.

• Si a es 1, entonces su VP es 0°.• Si a es -1, entonces su VP es 180°.• Si a es 0, entonces su VP es 90°.

Ejemplos:Calcular el VP de las siguientes ecuaciones:

1. cosx = 21 & cosx =

21 & VP = 60°

60°2. cosx = -

21 & cosx = -

21 & VP = 120°

120°

3. cos4x = 22 & cos4x =

22 & VP = 45°

45°

4. cos4x = -22 & cos4x = -

22 & VP = 135°

135°5. cos2x = 1 & cos2x = 1 & VP = 0°

0°

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA


Editorial


67TRIGONOMETRÍA

6. sen2x = -1 & cos2x = -1 & VP = 180°

180°

7. cos3xc m = 0 & cos

3xc m = 0 & VP = 90°

90°

Observación: el valor principal no es la incógnita x (VP ! x).

Valorprincipalparatankx= aLa ecuación tendrá soluciones para cualquier valor de a• Si a es positivo, entones su VP es un ángulo

agudo.• Si a es negativo, entonces su VP es el negati-

vo del ángulo agudo.• Si a es cero, entonces su VP es 0°.

Ejemplos:Calcular el VP de las siguiente ecuaciones:1. tanx = 3 & tanx = 3 & VP = 60° 60°

2. tanx = - 3 & tanx = - 3 & VP = -60° -60°3. tan3x = 1 & tan3x = 1 & VP = 45° 45°4. tan3x = -1 & tan3x = -1 & VP = -45°

-45°5. tanx = 0 & tanx = 0 & VP = 0° 0°

6. tan4xa k = 0 & tan

4xa k = 0 & VP = 0°

0°

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRI-CAS ELEMENTALESResolver una ecuación trigonométrica elemental significa hallar todos los valores de la incógnita x que satisfacen dicha ecuación. Es decir, que re-ducen la ecuación a una igualdad después de la sustitución de la incógnita.Así, por ejemplo, la ecuación: sen2x =

21

30°

& 2x = 30° & x = 15°

tiene por solución 15°, pero no es la única solución, porque también satisfacen los siguientes valores: 75°, 195°, 255°, 375°; 435°...

El motivo de estos resultados es que las funciones trigonométricas son periódicas, a continuación ci-taremos para las ecuaciones que involucran seno; coseno y tangente a fin de hallar todas sus infinitas soluciones.

Resolucióndesenkx= aSe aplica la siguiente formula:

senkx = a & kx = n(180°) + (-1)n # VP ; n ! Z

Denominándose conjunto solución o solución ge-neral al resultado:

x = °

kn VP180 1 n

#+ -^ ^h h ; n ! Z

Ejemplos:1. Resolver la ecuación y hallar las 4 primeras

soluciones positivas: sen2x = 21

Resolución: Calculamos el valor principal: VP = 30° Aplicamos la fórmula: 2x = n(180°) + (-1)n # VP 2x = n(180°) + (-1)n # 30°

Despejamos x: x = 180 30n

21 n

#+ -^ ^h h

Obtenemos el conjunto solución: x = n(90°) + (−1)n # 15°

Para calcular las 4 primeras soluciones posi-tivas damos valores enteros positivas a n. En el conjunto solución:

Para n = 0: x = 0(90°) + (-1)0 # 15° & x = 15° Para n = 1: x = 1(90°) + (-1)1 # 15° & x = 75° Para n = 2: x = 2(90°) + (-1)2 # 15° & x = 195° Para n = 3: x = 3(90°) + (-1)3 # 15° & x = 255°

2. Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas en radianes:

sen3x = -22

Resolución:

Calculamos el valor principal: VP = -45° = -4p

Aplicamos la fórmula: 3x = n(180°) + (-1)n # VP

Pasamos a radianes: 3x = n(p) + (-1)n4p

-a k

67TRIGONOMETRÍA

Editorial




Despejamos x: 4xn

3

1 np p

=

- -^ ah k

Obtenemos el conjunto solución:x = n

31

12n#

p p- -^ h

Para calcular las 3 primeras soluciones positi-vas, damos valores enteros positivos a n en el conjunto solución:

Para n = 0: x = 03pa k - (-1)0

12pa k & x = -

12p

(no se toma)

Para n = 1: x = 13pa k - (-1)1

12pa k & x =

125p

Para n = 2: x = 23pa k - (-1)2

12pa k & x =

127p

Para n = 3: x = 33pa k - (-1)3

12pa k & x =

1213p

Resolucióndecoskx= aSe aplica la siguiente fórmula:

coskx = a & kx = n(360°) ! VP ; n ! Z


x = °k

n VP360 !^ h ; n ! Z


soluciones positivas: cos2x = 21

Resolución: Calculamos el valor principal: VP = 60° Aplicamos la fórmula: 2x = n(360°) ! VP


2!^ h

Obtenemos el conjunto solución: x = n(180°) ! 30°

Para calcular las 5 primeras soluciones, da-mos valores enteros a n en el conjunto solu-ción:

Para n = 0: x = 0(180°) ! 30° & x = ! 30° x = 30°

Para n = 1: x = 1(180°) ! 30° & x = 180° + 30° 0 x = 180° - 30° x = 210° 0 x = 150°

Para n = 2: x = 2(180°) ! 30° & x = 360° - 30° 0 x = 360° + 30° x = 330° 0 x = 390°

2. Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas en radianes:

cos3x = -22

Resolución: Calculamos el valor principal: VP = 135° =

43p

Aplicamos la fórmula: 3x = n(360°) ! VP

Despejamos x: x = 2

43n

3

!p p^ h

Obtenemos el conjunto solución:

x = n32

4!

p pc m

Para calcular las 3 primeras soluciones positi-vas, damos valores enteros a n en el conjunto solución:

Para n = 0: x = 032

4!

p pc m & x = !4p

x = 4p

para n = 1: x = 132

4!

p pc m

& x = 32

4p p

- 0 x = 32

4p p

+

x = 125p 0 x =

1211p

Resolucióndetankx= aSe aplica la siguiente fórmula:

tankx = a & kx = n(180°) + VP ; n ! Z


x = °k

n VP180 +^ h ; n ! Z


soluciones positivas: tan2x = 3

Resolución: Calculamos el valor principal: VP = 60° Aplicamos la fórmula: 2x = n(180°) + VP


Editorial


69TRIGONOMETRÍA


2+^ h

Obtenemos el conjunto solución: x = n(90°) + 30° Para calcular las 3 primeras soluciones positi-

vas, damos valores enteros positivos a n en el conjunto solución:

Para n = 0: x = 0(90°) + 30° & x = 30° Para n = 1: x = 1(90°) + 30° & x = 120° Para n = 2: x = 2(90°) + 30° & x = 210°

2. Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas en radianes: tan3x = -1

Resolución:

Calculamos el valor principal: VP = -45° = -4p

Aplicamos la fórmula: 3x = n(180°) + VP Pasamos a radianes: 3x = n(p) +

4p

-a k

Despejamos x: x = 4n

3

p p-

Obtenemos el conjunto solución:

x = n3 12p p

-a k

Para calcular las 3 primeras soluciones positi-vas, damos valores enteros positivos a n en el conjunto solución:

Para n = 0: x = 03 12p p

-a k & x = -12p

(no se toma) Para n = 1: x = 1

3 12p p

-a k & x = 4p

Para n = 2: x = 23 12p p

-a k & x = 127p

Para n = 3: x = 33 12p p

-a k & x = 12

11p

Resolucióndecotkx=a,seckx=a,csckx= aPara resolver ecuaciones trigonométricas elemen-tales que involucran cot, sec y csc se inviertan y se obtienen tan, cos y sen, respectivamente.

Ejemplos:1. Resolver la ecuación: cot2x = 3

Resolución:

cot2x = 3 & cot x2

131

=

tan2x = 33 & VP = 30°

2x = n(180°) + VP & 2x = n(180°) + 30°

180 30

xn

2=

+^ h & x = n(90°) + 15°

2. Resolver la ecuación: sec3x = 2

Resolución:

sec3x = 2 & sec x3

121

=

cos3x = 21 & VP = 60°

3x = n(360°) ! VP & 3x = n(360°) ! 60°

x = ° °n3

360 60!^ h & x = n(120°) ! 20°

3. Resolver la ecuación: csc2xa k = 2

Resolución:

csc2xa k = 2 &

2csc x

121

=

a k

sen2x

22

=a k & VP = 45°

x2

= n(180°) + (-1)n # VP

x2

= n(180°) + (-1)n # 45°

x = 2[n(180°) + (-1)n # 45°]

x = n(360°) + (-1)n # 90°

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRI-CAS NO ELEMENTALESPara resolver ecuaciones trigonométricas no ele-mentales se reducen aplicando las identidades trigonométricas, identidades de transformación a ecuaciones elementales para luego seguir el pro-cedimiento ya conocido.

Ejemplos:1. Resolver la ecuación y hallar la segunda solu-

ción positiva de: senx = cosx

Resolución:

senx = cosx & cosxsenx = 1

& tanx = 1 & VP = 45° x = n(180°) + VP & x = n(180°) + 45°

Para n = 0: x = 0(180°) + 45° & x = 45° Para n = 1: x = 1(180°) + 45° & x = 225°

69TRIGONOMETRÍA

Editorial




2. Resolver la ecuación y hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas de:

sen2x = cosx

Resolución: sen2x = cosx & sen2x - cosx = 0 & 2senxcosx - cosx = 0 & cosx(2senx - 1) = 0 Igualando a cero cada factor, obtenemos 2

ecuaciones elementales, por lo tanto, dos conjuntos soluciones:

cosx = 0 & VP = 90° 0 senx = 21 & VP = 30°

x = n(360°) ! VP 0 x = n(180°) + (-1)n # VP x = n(360°) ! 90° 0 x = n(180°) + (-1)n # 30°

El conjunto solución de la ecuación será la unión:

x = n(360°) ! 90° 0 x = n(180°) + (-1)n # 30°

Para n = 0 en el primer conjunto tenemos x = !90° & x = 90°

Para n = 0 en el segundo conjunto tenemos: x = 30°

La suma de las dos primeras soluciones posi-tivas son: 30° + 90° = 120°


1. Cuál es el menor valor de senx que satisface la ecuación: cosx -

71 senx = 1

Resolución: De la ecuación: 7cosx = 7 + senx 49cos2x = (7 + senx)2

49(1 - sen2x) = 49 + 14senx +sen2x 50sen2x + 14senx = 0 2senx(25senx + 7) = 0 & 25senx + 7= 0

senx = 257

- & senx = -0,28

2. Resolver la ecuación indicando el menor valor

positivos para x: cos2x

21 2

8 2=

+

Resolución:

16

2 24

2 22

cos2x=

+=

+

cos2x = 2

2 2+

2x = 2np ! arccos2

2 2+f p & 2x = 2np ! 8p

x = np ! 16p

El menor valor positivo de x se obtiene para:

n = 0 & x = 16p

3. Si: cos6x = -1/2, hallar un valor de cos3x.

Resolución:cos6x = -1/2

& 6x = n(360°) ! arccos21

-c m& 6x = n(360°) ! 120°& x = n(60°) ! 20°& 3x = n(180°) ! 60°& cos3x = cos[n(180°) ! 60°]& Si n = 0 & cos3x = cos(!60°) =

21

4. Hallar el valor del ángulo positivo x más pe-queño, diferente de cero, que satisface la ecuación: cos24x = 1

Resolución:Como piden el valor positivo más pequeño (! 0) entonces:cos24x = cos2180° = 1& 4x = 180° & x = 45°

5. Hallar que ángulo agudo a satisface la ecua-

ción: cos

cossensen1

1 4a

aaa

++

+=

Resolución:

cos

cossensen1

1 4a

aaa

++

+=

cos

cossen

sen1

14

2 2

a a

a a

+

+ +=

^^

hh

cos

cos cossen

sen1

1 2 42 2

a aa a a

+

+ + +=

^ h

cos

cossen 1

2 14

a a

a

+

+=

^^

hh

& sena = 21

El ángulo agudo que satisface esta ecuación es: a =

6p

6. Hallar un valor de a para que se cumpla:

sen22a + cos2a + 1 + sen24a = 0


Editorial


71TRIGONOMETRÍA

Resolución:sen22a + 1 + cos2a + sen

24a = 0

(2senacosa)2 + 2cos2a + cossen2

2 2 2a a = 0

4sen2acos2a + 2cos2a + sen2acos2a = 04sen2acos2a + 2cos2a + 2senacosacos2a = 02cosa[2sen2acosa + cosa + senacos2a] = 0cosa = 0 & a = p/2


1. Resolver tan3x - 1 = 0, e indicar la segunda solución positiva.

a) p/12 b) p/4 c) 5p/12 d) 7p/12 e) 3p/4

2. Resolver 2sen2x + 1 = 0, e indicar la primera solución positiva

a) 15° b) 75° c) 105° d) 120° e) 240°

3. Resolver: sen5x + sen3x = sen4x, e indicar el número de soluciones para [0; p]

a) 13 b) 11 c) 9 d) 7 e) 6

4. Resolver: cos

versxsenx x1 2

+ -^ h = 1

a) 30° b) 150° c) 210° d) 330° e) Hay 2 respuestas

5. Resolver:

sen2x tan2x1

sec2x tan2x1 4

++

-=

a) 60° b) 120° c) 300° d) 330° e) 360°

6. Resolver: 2senx - cscx = 1, e indicar el nú-mero de soluciones para x ! [0; 2 p]

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Resolver: sen2x + 3 cos2x = 2

a) 205° b) 195° c) 175° d) 165° e) 155°

8. Resolver: (tan3x + tanx + tan4xtan3xtanx)tan2x + 3 = 0

a) p/4 b) p/12 c) p/10 d) p/9 e) p/6

9. Resolver: sen9x + sen5x + 2sen2x = 1

a) , , ,4 2 42 42

5p p p p b) , , ,4 4

342 42

11p p p p

c) , , ,2 4

342

1142

13p p p p d) , , ,4 4

342 42

5p p p p

e) , , ,2 4 42

542

p p p p

10. Resolver: 2cos2x - sen3x = 2

a) 0 b) 180° c) 210° d) 330° e) Todas

11. Resolver: cosxcosy = 3/4 senxseny = 1/4

a) 30°, 30° b) 0°, 60° c) 45°, 15° d) 75°, 15° e) 30°, 60°

12. Si: 2cosxcosy = 1 tanx + tany = 2

indicar la diferencia de soluciones (x e y, agu-dos).

a) 0 b) 2p c) p/6 d) p/3 e) p/4

13. Resolver: sen6x + cos6x = 1/4, e indicar la cuarta solución positiva.

a) p/4 b) p/2 c) 5p/4 d) 2p/5 e) 7p/4

14. Resolver: 2sen2

2xa k + 3cosx = 2, e indicar la

quinta solución positiva.

a) 780° b) 720° c) 690° d) 650° e) 610°

15. Resolver: 3 senx + cosx = 1 y hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas.

a) 240° b) 360° c) 420° d) 480° e) 500°

16. Resolver: tan(45° - x) = 2 - 3tanx

a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 115°

71TRIGONOMETRÍA

Editorial




17. Resolver: tan2xsen2x + cos2x = 2, e indicar la menor solución positiva.

a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°

18. Resolver: 2cos2x + 1 = 0

a) 30° b) 90° c) 150° d) 210° e) 240°

19. Resolver: (1 - senx + cosx)2 = 2covx a) p/2 b) 3p/2 c) 5p/2 d) 7p/2 e) Todas

20. Resolver: 2cos2x = 3senx, e indicar las 3 pri-meras soluciones positivas.

a) 30°, 150°, 210° b) 30°, 210°, 390° c) 150°, 330°, 390° d) 30°, 240°, 330° e) 30°, 150°, 390°

21. Resolver: 2versx = senxtanx y hallar la suma de las 3 primeras soluciones.

a) 6p b) 5p c) 4p d) 3p e) 2p

22. Resolver: senx + cosx + 2 = 0

a) 115° b) 135° c) 225° d) 240° e) 315°

23. Resolver: 2(senx + cosx) = secx, e indicar el número soluciones para [0; p].

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

24. Resolver: cos cossen x

xsen x

x1 3

31 3

3 2+

+-

= , e indi-

car el número de soluciones para [0; 2p]

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

25. Resolver: 2senx sen3x + cos22x = 1, e indicar la suma de las 5 primeras soluciones positivas

a) 3p b) 5p c) 7p d) 9p e) 11p

1. c 6. c 11. a 16. b 21. a2. c 7. b 12. a 17. b 22. c3. e 8. e 13. e 18. e 23. b4. e 9. a 14. a 19. e 24. d5. d 10. e 15. d 20. e 25. bC

laves

73TRIGONOMETRÍA

Editorial



FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFunción acotada. Se dice que una función f es acotada, si 7M ! R, tal que |f(x)| # M; 6 x ! Domf.

Ejemplo:La función f(x) = cosx es acotada, ya que |cosx| # 1, 6 x ! R, tal que M puede tomar cual-quier valor mayor o igual que 1. Además del rango de la función se observa.

Conjunto de cotas inferiores

Conjunto de cotas suferiores

cosx

Z [ \] ] ] ] ] Z [ \] ] ] ] ]

Función par. Una función f es par si:

f(-x) = f(x); 6 x , -x ! Domf

Ejemplos:

x

y

1-1-1

• y = f(x) = x2 - 1 & f(-x) = (-x)2 - 1 f(-x) = x2 - 1 & f(-x) = f(x)• y = cosx• y = secx

Observación: el gráfico de una función par es si-métrico al eje y.

Función impar. Una función f es impar si:

f(-x) = -f(x); 6 x, -x ! Domf

Ejemplos:

x

y

• y = f(x) = x5

& f(-x) = (-x)5

f(-x) = -x5

& f(-x) = -f(x)

• y = senx • y = tanx• y = cotx • y = cscx

Observación: el gráfico de una función impar es simétrico al origen de coordenadas.

Función creciente. Una función f es creciente en un intervalo I de su dominio, si para todo par de números x1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:

x1 1 x2 & f(x1) 1 f(x2)

Ejemplo: La función y = x2 - 1, es creciente 6x ! G0; -3H

Función decreciente. Una función f es decrecien-te en un intervalo I de su dominio, si para todo par de números x1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:

x1 1 x2 & f(x1) 2 f(x2)

Ejemplo: La función y = x2 - 1, es decreciente: 6x ! G0; -3H

Función periódica. Una función f es periódica, si existe un número real T ! 0, tal que para cualquier x de su dominio se cumple:

F(x + T) = f(x); 6 x; x + T ! Domf

Observación: el número T se denomina período principal, si es positivo y mínimo entre todos los periodos positivos.

Ejemplo: Sea: f(x) = senx & f(x + T) = sen(x + T)

sen(x + T) = senx & sen(x + T) - senx = 0 2sen

2Tc mcos x T

2+c m

sen2Tc m = 0 & T

2 = kp / k ! Z & T = 2pk; k ! Z+

Si k ! Z+; T = 2p, 4p, 6p,...

el periodo principal de la función: y = senx es 2p

Estudio de las funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas son el conjunto no va-ció de pares ordenados (x; y), tal que la primera componente es un valor angular expresado en radianes (número real) y la segunda componente es un valor obtenido mediante una dependencia funcional.

Función senof = {(x; y) ! R2 / y = senx; x ! R}

x

y

1

0 ππ/2 3π/2 2π-1

y = senx (senoide)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS


Editorial



Domf = R Ranf = [-1; 1], es decir: -1 # senx # 1 Período de f: 2p

Función cosenof = {(x; y) ! R2 / y = cosx; x ! R}

y = cosx (cosenoide)

x

y

1

0 ππ/2 3π/2 2π-1

Domf = R Ranf = [-1; 1], es decir: -1 # cosx # 1 Período de f: 2p

Función tangentef = {(x; y) ! R2 / y = tanx; x ! R - [(2n + 1)p/2]; n ! Z}

x

y y = tanx (tangentoide)

π2

π 3π2

0π2-

Domf = R - {(2n + 1)p/2; n ! Z} Ranf = R Período de f: p

Función cotangentef = {(x; y) ! R2 / y = cotx; x ! R - (np); n ! Z}

x

y y = cotx (cotangentoide)

π2

π 2π3π2

0

Domf = R - {np / n ! Z} Ranf = R Período de f: p

Función secantef = {(x; y) ! R2 / y = secx; x ! R - {(2n + 1)p/2}; n ! Z}

-1

1

y y = secx (secantoide)

x0 π 2π2

3π2π

Domf = R - {(2n + 1)p/2; n ! Z} Ranf = R - G-1; 1H Período de f: 2p

Función cosecantef = {(x; y) ! R2 / y = cscx; x ! R - (np); n ! Z}

-1

1

y y = cscx (cosecantoide)

x3π/2π/20 π 2π

Domf = R - {np / n ! Z} Ranf = R - G-1; 1H Período de f: 2p

Desplazamiento vertical. Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la fun-ción y = f(x) + c es necesario desplazar la gráfica de f a lo largo del eje de ordenadas:• Hacia arriba en c unidades si: c 2 0• Hacia abajo en |c| unidades si: c 1 0

Ejemplo:

x

y

3

1

2

y = 2 + cosx

y = cosx

0 ππ/2 3π/2 2π

-1

75TRIGONOMETRÍA

Editorial



75TRIGONOMETRÍA

Desplazamientohorizontal.Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la fun-ción y = f(x - c) es necesario desplazar a la gráfica de f a lo largo del eje de abscisas.

• A la derecha si c 2 0• A la izquierda si c 1 0

Ejemplo:

x

y

1

0 π2

π 9π/42π

-1

y = senx y = sen x

3π2

-π4

π4

Opuesto en una función. Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = -f(x) es necesario reflejar en forma simétrica a la gráfica de f con respecto al eje de abscisas.

Ejemplo:

x

y

1y = cosxy = -cosx

ππ/2 2π

-1

Valorabsolutodeuna función.Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y= |f(x)| es necesario dejar sin cambios los tramos de la gráfica de f que están por encima del eje x y reflejar en forma simétrica a los tramos de la gráfica de f que están por debajo del eje x.

Ejemplo:

x

y

1y = |senx|

y = senx

ππ/2 2π3π/2-1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Función inyectiva o univalente. Una función es inyectiva o univalente cuando todo elemento del

rango tiene un único elemento en el dominio al cual está asociado; es decir, si:

f(x1) = f(x2) & x1 = x2

Equivalentemente una función es univalente si: x1 ! x2 & f(x1) ! f(x2)

Ejemplo:Sea: f(x) = x2; x 2 0

Aplicando la definición: f(x1) = f(x2)x1

2 = x22 & x1

2 - x22 = 0

& (x1+ x2) (x1- x2) = 0

debido a: (x1+ x2) 2 0 & (x1- x2) = 0 & x1= x2

f es univalente

Interpretación geométrica. Gráficamente, una función univalente o inyectiva está caracterizada por la propiedad en la que cada recta horizontal interseca al gráfico de la función, a lo más en un punto.

Ejemplos:

y = x2

x

y

x

y

y = log|x|

Es univalente No es univalente

x

y y = 1 - cosx

No es univalente

Función suryectiva. Una función f: A → B es suryectiva si el rango de f coincide con el conjunto de llegada B, es decir:

6 y ! Ranf, 7 x ! Domf / y = f(x)

Ejemplo:

La función f: ;03p → ;0

23 ; tal que f(x) = senx;

es suryectiva, pues 6 x ! Domf

0 1 x 1 3p & 0 1 senx 1

23


Editorial



& f(x) = senx ! ;023 & Ranf = ;0

23

Las funciones trigonométricas estudiadas (seno, coseno, ...) dadas mediante una regla de corres-pondencia y que no se especifica el conjunto de llegada, está sobreentendido que el rango coin-cide con el conjunto de llegada, es decir, ya son suryectivas (o sobreyectivas), entonces para que las funciones trigonométricas tengan función in-versa, bastaría que sean funciones inyectivas o univalentes.

Función inversa. Si una función f es biyectiva (univalente y sobreyectiva), entonces existe su función inversa y se denota por f* o f-1.Para determinar la inversa de una función se inter-cambia x por y e y por x. Así:

Domf* = Ranf Ranf* = Domf

Ejemplo:Hallar la función inversa de y = 2x -1 cuyo dominio es [0; 3].

Resolución: f(x) = y = 2x - 1; x ! [0, 3]

Despejando x se tiene: x = y

21+

Intercambiando variables: y = x2

1+

Graficando:

x

5f: y = 2x - 1

f * : y =

y = x

x + 12

5

3

3

y

-1-1

Se observa: Domf = [0; 3] y Ranf = [-1;5]También: Domf* = [-1; 5] y Ranf* = [0; 3]

Observación: Las gráficas de f y f* son simétricas con respecto a la recta (y = x).

Estudio de las funciones trigonométricas inver-sas. Las funciones trigonométricas por ser perió-dicas, no son univalentes, pero restringiendo su

dominio (como se muestra en el cuadro adjunto) se logra que sean univalentes, tal que podemos obtener sus respectivas funciones inversas.

Principales restricciones

Función Dominio Rango

y = senx ;2 2p p

-9 C [-1; 1]

y = cosx [0; p] [-1; 1]

y = tanx ;2 2p p

- R

y = cotx G0; pH R

y = secx [0; p] - 2p% / R - G-1; 1H

y = cscx ;2 2p p

-9 C - {0} R - G-1; 1H

Notación:

FT(q) = N & q = arcFT(N) 0 q = FT-1 (N)

Se lee: q es un arco cuya función trigonométrica es N

Ejemplos:• Si: senq =

41 /

2 2# #

π θ π- & q = arcsen

41c m

0 q = sen-141c m

• Si: cosφ = 32 / 0 # φ # p & φ = arccos

32c m

0 φ = cos-132c m

- Si: tanb = 10 / 2p

- 1 b 1 2p & b = arctan(10)

0 b = tan-1(10)

Función arco senof = {(x; y) ! R2 / y = arcsenx; -1 # x # 1}

Sea la función: y = senx; x ! ;2 2p p

-9 C

Despejando x: x = arcsenyIntercambiado variables: y = arcsenxAdemás: Domf = Ranf* ! [-1; 1]

Ranf = Domf* ! ;2 2p p

-9 C

La función es creciente e impar.

77TRIGONOMETRÍA

Editorial



77TRIGONOMETRÍA

Graficando f y f*

y = x

x

1

10

yy = arcsenx

y = senx

π/2

π2

-1

-1

-π/2

-π/2

Función arco cosenof = {(x; y) ! R2 / y = arccosx; -1 # x # 1}

Dominio: [-1; 1]; Rango: [0; p]

Es una función decreciente.

x10

y

π/2

π

-1

y = arccosx

Función arco tangentef = {(x; y) ! R2 / y = arctanx; x ! R}

Dominio: R; Rango: ;2 2p p

-

-π/2

x0

yπ/2

y = arctanx

La función es creciente e impar.

Función arco cotangentef = {(x; y) ! R2 / y = arccotx; x ! R}

Dominio: R; Rango: G0; pH

x0

y

π/2

π

y = arccotx

La función es decreciente.

Función arco secantef = {(x; y) ! R2 / y = arcsecx; x ! R - G-1; 1H}

Dominio: G-3; -1] , [1; +3H

Rango: ; ;02 2

,p p p9 C

-1 x0 1

y

π/2

π

y = arcsecx

La función es creciente.

Función arco cosecantef = {(x; y) ! R2 / y = arccscx; x ! R - G-1; 1H

Dominio: G-3; -1] , [1; +3H

Rango: ; ;2

0 02

,p p

-9 C

-π/2

-1x0 1

y

π/2y = arccscx

La función es decreciente e impar.

PROPIEDADES PRINCIPALES

Propiedad I

FT(FTI (N)) = N + N ! Dom(FTI)

sen(arcsen(N)) = N + N ! [-1; 1]cos(arccos(N)) = N + N ! [-1; 1]tan(arctan(N)) = N + N ! Rcot(arccot(N)) = N + N ! Rsec(arcsec(N)) = N + N ! G-3; -1] , [1; +3Hcsc(arccsc(N)) = N + N ! G-3; -1] , [1; +3H

Ejemplos:• tan(arctan100) = 100• sec(arcsec2) = 2• cos(arccos3) = 3; absurdo ya que 3 " [-1; 1]


Editorial



Propiedad II

FTI (FT(q)) = q + q ! Ran(FTI)

arcsen(senq) = q + q ! ;2 2p p

-9 C

arccos(cosq) = q + q ! [0; p]

arctan(tanq) = q + q ! ;2 2p p

-

arccot(cotq) = q + q ! G0; pH

arcsec(secq) = q + q ! [0; p] - 2p% /

arccsc(cscq) = q + q ! ;2 2p p

-9 C - {0}

Ejemplos:• arccos cos

6 6p p

=a k9 C

• arccot cot32

32p p

=c m; E

• arctan(tan2) = 2; absurdo ya que: ;22 2

gp p

-

Propiedad III

arcsen(-x) = -arcsenx; x ! [-1; 1]arccos(-x) = p - arccosx; x ! [-1; 1]arctan(-x) = -arctanx; x ! Rarccot(-x) = p - arccotx; x ! Rarcsec(-x) = p - arcsecx; x ! G-3; -1] , [1; + 3Harccsc(-x) = -arccscx; x ! G-3; -1] , [1; + 3H

Ejemplos:• arcsen

21

-c m = - arcsen21c m =

6p

• arccos22

-c m = p - arccos22

4 43p p p

= - =c m

• arctan(- 3 ) = - arctan 3 = -p/3

• arcsec(-2) = p - arcsec2 = p - 3 3

2p p=

• arccot(- 2) = p - arccot2

PropiedadIV

arcsenx + arccosx = 2p ; 6 x ! [-1; 1]

arctanx + arcotx = 2p ; 6 x ! R

arcsecx + arccscx = 2p ; 6 x ! - G−1; 1H

Ejemplos:• arcsen

43c m + arccos

43c m =

2p

• arctan3 + arccot3 = p/2• arcsec150= + arccsc150 = p/2• arcsen2 + arccos2 = p/2; es absurdo ya que

2 " [-1; 1]

PropiedadV

arctanx + arctany = arctanxy

x y1 -

+c m + kp

Si: xy 1 1 & k = 0Si: xy 2 1, x 2 0 & k = 1Si: xy 2 1 , x 1 0 & k = -1

Ejemplos:

• arctan31c m + arctan

21c m = arctan

131

21

31

21

#-

+J

L

KKKK

N

P

OOOO

arctan31c m + arctan

21c m = arctan1 =

4p

• arctan2 + arctan4 = arctan1 2 4

2 4#-

+c m + p

arctan2 + arctan4 = arctan76

-c m + p

arctan2 + arctan4 = p - arctan(6/7)

• arctan(-1)+arctan(- 3 ) = arctan1 1 3

1 3

- - -

- + -

^ ^^ ^

h hh h

> H - p

arctan(-1) + arctan(- 3 ) = arctan3 13 1

-

+f p - p

arctan(-1) + arctan(- 3 ) = arctan(2 + 3 ) - p

arctan(-1) + arctan(- 3 ) = 125

127p p p

- =-


1. Calcular el valor de x.

x = arctan2 12 1

-

+f p - arctan21c m

Resolución: Como: arctanm - arctann = arctan

mnm n

1 +

-c m

x = arctan2 12 1

-

+f p - arctan21c m

79TRIGONOMETRÍA

Editorial



79TRIGONOMETRÍA

x = arctan1

2 12 1

21

2 12 1

21

+-

+

-

+-

J

L

KKKKK f c

N

P

OOOOOp m

x = arctan33

4p

=; E

2. Dada la ecuación:arctan(x + 1) - arctan(x - 1) = arctan2

indicar la suma de las soluciones.

Resolución: arctan(x + 1) - arctan (x - 1) = arctan2

arctan1 1 1

1 1x x

x x+ + -

+ - -

^ ^^h h

h> H = arctan2

x22

= 2 & x2 = 1 & x = !1

la suma de las soluciones es cero.

3. Hallar x, si: arccos38c m = arcsenx

Resolución:

Por dato: arccos38c m = arcsenx

Entonces: a = arcsenx α

3 1

8 sena = x & x = 31

También: a = arccos38c m & cosa =

38

4. Calcular: sec(arctanb)

Resolución: Sea: F = sec(arctanb) Sea: a = arctanb & tana = b ...(1) F = seca ...(2) De (1):

α1

bb 12

+

En (2): F = b 12+

5. Si: arctan3a + arctan2

3ac m = arctan3

hallar a:

Resolución:

Como: arctanm + arctann = arctanmn

m n1 -

+c m

arctan3a + arctan2

3a = arctan3

arctan1 3

23

32

3

a a

a a

-

+J

L

KKKK ^ c

N

P

OOOOh m = arctan3

2 9

9 32a

a-

= & 3a = 2 - 9a2

9a2 + 3a - 2 = 0 3a +2 3a -1

Luego. 3a + 2 = 0 & a = -2/3 3a - 1 = 0 & a = 1/3

6. Hallar el valor o valores que verifican:cos(arcsenx) + sen(arccosx) = 3/2

Resolución: Como: arcsenx + arccosx =

2p ; 6x ! [-1; 1]

cos(arcsenx) + sen(arccosx) = 3/2 cos(p/2 - arccosx) + sen(arccosx) = 3/2 sen(arccosx) + sen(arccosx) = 3/2 2sen(arccosx) = 3/2 & sen(arccosx) = 3/4 a sea: a = arccosx & cosa = x & sena = 3/4 sabemos: sen2a + cos2a = 1

43 2

c m + x2 = 1 & x2 = 1 - 169

x2 = 167 & x = !

47

7. Encontrar el valor de k; si: R + L = A R = sen[arccot(tan2x)] L = sec(kx)sen[arccot(-tan3x)] A =tan(kx)cos[arccot(tan2x)]

Resolución: R = sen[arccot(tan2x)] R = sen arccot cot

22xp

-a k9 C% /

R = sen(2p - 2x) = cos2x ....(1)

L = seckxsen[arccot(-tan3x)]

L = seckxsen arccot cot2

3xp+a k9 C% /

L = seckxsen(2p + 3x)


Editorial



L = +seckxcos3x ...(2)A = tankxcos arccot cot

22xp

-a k9 C% /

A = tankxcos x2

2p-a k = tankxsen2x ...(3)

De (1) , (2) y (3): R + L = Acos2x + seckxcos3x =tankxsen2x

cos2x - coscos

coskxx

kxsenkx3

= sen2x

cos2xcoskx - cos3x = senkxsen2xcos2xcoskx - sen2xsenkx = cos3x

cos(2x + kx) = cos3x

2x + kx = 3x & k = 1

8. Hallar x, si: 2arccot2 + arccos53c m = arccscx

Resolución:arccscx = 2arccot2 + arccos

53c m ....(1)

Sabemos que:arccot2 = 26°30' / arccos

53c m = 53°

Reemplazamos en (1):arccscx = 2(26°30’) + 53°arccscx = 106° & x = csc106°

x = csc(180° - 106°) & x = csc74° & x = 2425


1. Calcular: a = arcsen21c m + 2arctan2 - arcsec2

a) p/2 b) p/3 c) 0d) -p/3 e) -p/4

2. Indicar verdadero (V) o falso (F):

I. arcsen2

2 24p-

=f p

II. arctan(-1) = -4p

III. arccos21

-c m = -3p

a) VVV b) FFF c) VVFd) VFV e) FVV

3. Calcular:a = arccos{tan(arcsec 2 - arccot2)}

a) p/6 b) p/3 c) p/2d) p e) p/8

4. Calcular: P = sen arctan sen4pa k9 C% /

a) -1/3 b) 8 /3 c) 2 /3 d) 3 /3 e) 1/3

5. Calcular: P = sec2(arctan 5 ) + cot2(arccsc5)

a) 15 b) 20 c) 30d) 24 e) 16


I. sen arcsen31

31

=c m; E

II. tan arctan 11 11=^ h

III. sec arcsec51

51

=c m; E

a) VVV b) FFF c) VFVd) VVF e) FFV

7. Reducir: P = cos45

23 arcsecp

- c m; E

a) 0,6 b) -0,6 c) 0,8d) -0,8 e) 0,5

8. Calcular:q = arcsec(tan60°) + arccsc(2sen60°)

a) p/4 b) -p/2 c) p/2d) 0 e) p/6

9. Hallar x; si: arcsen(3x - 1) = arctan43c m

a) 11/15 b) 7/15 c) 8/15d) 2/15 e) 1/15

10. Calcular: P = tan51arccos

4p

-c m; E

a) 3 b) 1/3 c) -3d) -1/3 e) 2

11. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. arcsen(-x) = -arcsenxII. arccos(-x) = -arccosxIII. arccot(-x) = -arccotx

a) VVV b) FFF c) VVFd) VFF e) VFV

jhsf

81TRIGONOMETRÍA

Editorial



81TRIGONOMETRÍA

12. Calcular: q = arccos73c m + arccos

73

-c m

a) 0 b) p c) 2pd) p/2 e) -p

13. Calcular:q = arcsen(-1) + arccos(-1) + arctan(-1)

a) p/2 b) 2p c) -p/2d) p e) p/4

14. Si: arcsenx + arcseny + arcsenz = 4p ;

x, y, z ! [-1; 1], calcular: arccosx + arccosy + arccosz

a) 2p b) p c) 7p/4d) 3p/4 e) 5p/4


I. arcsen6

5sen6

5p p=c m; E

II. arccos cos34

34p p

=c m; E

III. arctan tan2 2p p

=a k9 C

a) VVV b) VVF c) FFF d) FVV e) FFV

16. Calcular: q = arctan(1/2) + arctan(1/3)

a) p/4 b) -p/4 c) 3p/4 d) p/2 e) p

1. b 5. c 9. c 13. e2. c 6. d 10. b 14. e3. b 7. b 11. d 15. c4. d 8. c 12. b 16. aC

laves


Editorial


TEOREMA DE LOS SENOS (LEY DE SENOS)En todo triángulo, la longitud de los lados son pro-porcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

b

ca

B

CA

senAa

senBb

senCc

= =

Además el valor de dicha proporción es 2R, don-de R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. Entonces:

a = 2RsenA b = 2RsenB c = 2RsenC

TEOREMA DE LOS COSENOS (LEY DE COSENOS)El cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de dichas longitudes multiplicado por el coseno del ángulo que formen dichos lados.

c2 = a2 + b2 - 2abcosCa2 = b2 + c2 - 2bccosA

b2 = a2 + c2 - 2accosB

De las expresiones anteriores podemos despejar:

cosA = bc

b c a2

2 2 2+ -

Análogamente para los otros ángulos.

cosC = ab

a b c2

2 2 2+ - cosB =

aca c b

2

2 2 2+ -

Ejemplos:1. Resolver el triángulo ABC, si: A = 60°; B = 45°;

a = 4

Resolución:De la ley de senos se tiene:

senAa

senBb

= & b = senAasenB

b = °

4 45°sensen

60 & b =

34 6

Como: A + B = 105° & C = 75°

Asimismo: c = senA

asenC

& c = 60

4 75sensen & c =

32 6 6 2+

2. Resolver el triángulo ABC, si: a = 2; b = 2 3 ; C = 30°

Resolución: De la ley de cosenos se tiene: c2 = a2 + b2 - 2abcosC c2 = 22 + 2 3 2^ h - 2(2) 2 3^ hcos30° c = 2

Luego el triángulo es isósceles. A = 30° y B = 120°

TEOREMA DE TANGENTES (LEY DE TANGENTES)Dado un triángulo ABC, se cumple:

tan

tan

a ba b

A B

A B

2

2+

-=

+

-

c

c

m

m

De igual forma para los otros lados:

tan

tan

a ca c

A C

A C

2

2+-

=+

-

c

c

m

m

tan

tan

b cb c

B C

B C

2

2+

-=

+

-

c

c

m

m

TEOREMA DE LAS PROYECCIONES (LEY DE PRO-YECCIONES)Dado un triángulo ABC, se cumple:

b = acosC + ccosAa = bcosC + ccosB

c = acosB + bcosA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGU-LOS DE UN TRIÁNGULOEn todo triángulo ABC, con respecto al ángulo A se cumple:

sen2A

bcp b p c

=- -

c^ ^

mh h

cos2A

bcp p a

=-

c^

mh

tan2A

p p ap b p c

=-

- -c ^

^ ^m h

h h

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

83TRIGONOMETRÍA

Editorial



83TRIGONOMETRÍA

Donde: p = a b c2

+ + , (semiperímetro)

ELEMENTOS AUXILIARES DE UN TRIÁNGULO

1. BisectrizA. Bisectriz interior

a

b Va

BC

A

c

2cosV

b cbc A2

a =+

c m; E

Va: bisectriz interior relativa al lado a.

B. Bisectriz exterior

a

b Va

B MC

A

cV

b cbc sen A2

2’

a =-

c m> H

V ’a : bisectriz exterior relativa al lado a.

2. Mediana

M

c

a/2a/2

b ma

BC

A4ma

2 = b2 + c2 + 2bccosA

ma: mediana relativa al lado a.

3. Inradio

r = (p - a) tan2Ac m

B

O

A C

r

4. Exradio

ra = ptan2Ac mB

A C

ra

ra: exradio relativo al lado a .

Expresiones de perímetro; inradio y exradiosen términos del circunradio y los tres ángulos del triángulo

p = 4Rcos2Ac mcos

2Bc mcos

2Cc m

r = 4Rsen2Ac msen

2Bc msen

2Cc m

ra = 4Rsen2Ac mcos

2Bc mcos

2Cc m

rb = 4Rcos2Ac msen

2Bc mcos

2Cc m

rc = 4Rcos2Ac mcos

2Bc msen

2Cc m

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR (S)Dado el triángulo ABC:

a

b

Sc

A

B

C

S bc senA

2=

Análogamente: S = ac2

senB ; S = ab2

senC

Nota:

S = prS = R

abc4

S = p p a p b p c- - -^ ^ ^h h h

S = ra(p - a) = rb(p - b) = rc(p - c)

S = rr r ra b cS = 2R2senAsenBsenC

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARESEn término de sus diagonales y el ángulo compren-dido entra estas.

θS

BC

A D

Se cumple:

Sd d

sen21 2 q=


Editorial



Donde:d1 y d2: diagonales del cuadrilátero ABCD q: medida del ángulo formado por las diagonales.S: área del cuadrilátero ABCD


1. En un triángulo ABC se conocen: B = 15°; A - B = 90° y el radio de la circunferencia circunscrita es igual a 3/5 m; calcular el lado opuesto al ángulo A.

Resolución:A - B = 90°, como B = 15° & A = 105°

De la ley de senos sabemos:

senAa = 2R; dato: R =

53

a = 253c msen105° =

6 256

4#+^ h

a = 10

3 6 2+^ h m

2. Hallar el valor de: a(b2 + c2)cosA + b(c2 + a2) cosB + c(a2 + b2) cosC en un triángulo cualquiera.

Resolución: Sea: F = a(b2+c2)cosA + b(c2+a2)cosB + c(a2+b2)cosC F = (ab2cosA + ba2cosB) + (ac2cosA + ca2cosC) + (bc2cosB + cb2cosC) F = ab(bcosA + acosB) + ac(ccosA + acosC) + bc(ccosB + bcosC) ...(1)

Por la ley de proyecciones:& F = abc + acb + bca F = 3abc

3. Los datos del triángulo ABC tienen longitudes BC = 5; AC = 3 y AB = 6. Hallar el coseno del ángulo del vértice A

Resolución:

α

5

6

3

A B

C cosa =

2 3 63 6 52 2 2

+ -

^ ^h h

cosa 2 3 6

2095

= =^ ^h h

4. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor a; hallar la relación del lado mayor al lado menor.

Resolución:

αn + 1

n - 1

180° - 3α

2αn

A B

C

senn

senn

21 1a a

+=

-

nn

sensen

11 2

aa

-

+=

cosnn

sensen

11 2

aa a

-

+= = 2cosa

5. Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo comprendido mide 60°, hallar los otros dos ángulos.

Resolución:

°senx

asen x

a602

=+^ h

60°2a

a

x 60

senxsen x

aa2+

=^ h

60 2cos cossenx

sen xsenx

senx60+ =

23 cotx +

21 = 2 & cot x

23

23

=

cotx = 33 & cotx = 3 & x = 30°

Luego los otros dos ángulos miden 30° y 90°.

6. Los lados de un triángulo tienen longitudes x, ax, 2ax. Hallar el valor de a necesario para que el ángulo opuesto al lado de longitud x sea de 60°.

Resolución:Aplicamos ley de cosenos:x2 = (ax)2 + (2ax)2 - 2(ax)(2ax)cos60°

x2 = a2x2 + 4a2x2 - 4a2x221c m

ax

2ax

x

60°

1 = 3a2 & a2 = 31

& a = 33

7. Hallar el perímetro de un polígono regular de n lados, inscrito en una circunferencia de radio r.

Resolución: Si el radio de la circunferencia es r, entonces

su lado (L) es igual a:

85TRIGONOMETRÍA

Editorial



85TRIGONOMETRÍA

L = 2rsen2aa k

Donde: a = 360n n

2p=

α

L

rr

El perímetro (p) es igual a:

p = 2nrsen2aa k & p = 2nrsen n

pa k

8. En un triángulo rectángulo ABC (A = 90°), expresar sec2B + tan2B en términos de los catetos b y c del triángulo.

Resolución:

AB

C

a b

c

A = cos B

sen B2

1 2+

A = cos

cosB sen BsenB B1 2

2 2-

+

A =

ac

ab

ab

ac

c ba bc

1 22

2

2

2

2 2 2

2

-

+

=-

+c am k

A = c b c b

b c bcc b c b

c b22 2 2

- +

+ +=

- +

+

^ ^ ^ ^^

h h h hh

A = c bc b

-

+



E = acscA - bcscB

a) 0 b) 1 c) 1/2 d) -1 e) -1/2


a) 2asenq

xa

θ2θ

b) 2acosq c) asenq d) acosq e) 4asenq


a) 17

x

5

2

60°

b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

4. Dado un triángulo ABC, se cumple:

a2 = b2 + c2 - 32 bc; calcular: cot

2Ac m

a) 2 b) 2 2 c) -2 2 d) 4 2 e) 5 2

5. Dado un triángulo ABC, si a - b = 5; c = 2;

calcular: E = sen B C sen A C

sen A B+ - +

+

^ ^^h h

h

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5

6. Calcular: cosq

a) 55 /8 θ

5

62 b) 2/9

c) 5/8 d) 3/8 e) 55 /3

7. Dado un triángulo ABC, donde se cumple:

cos cos cosAa

Bb

Cc

= =

¿qué tipo de triángulo es? a) Equilátero b) Rectángulo c) Obtusángulo d) Escaleno e) Rectángulo Isósceles


N = senB senCsenA senB

b cc a

+

++

+

-

a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 2 e) 4

9. En la figura, calcular: sena

a) 5 /5

α

45°

b) 2 5 /5 c) 5 /10 d) 3 5 /10 e) 5 /15


Editorial



10. En un triángulo un lado mide 20 m y los ángu-los adyacentes miden 37° y 16°. Calcular el perímetro.

a) 21 m b) 22 m c) 40 m d) 142 m e) 46 m 11. Dado un triángulo ABC, donde a = 7; b = 8; c = 9. Calcular la mediana relativa al lado AC.

a) 4 b) 7 c) 8 d) 2 e) 6


E = (a + b)2sen22Cc m + (a - b)2cos2

2Cc m

a) b2 b) c2 c) a2

d) ab e) ac

13. Se tiene un cuadrilátero inscriptible cuyos lados miden 1, 2, 3, y 4. Calcular el coseno formado por los lados menores.

a) -1/7 b) -2/7 c) -3/7 d) -4/7 e) 5/7

14. Dado un triángulo ABC, donde p: semiperíme-tro. Hallar: cos

2Bc m

a) ab

p p b-^ h b) ac

p p b-^ h

c) bc

p p b-^ h d)

abcp p b-^ h

e) b

p p b-^ h


F = (tanA +tanB)(bsenC - csenB)

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 0

16. Dado un triángulo ABC cuyo perímetro es 24, además el radio de la circunferencia circuns-crita al triángulo es 5. Calcular:

E = senA+ senB + senC

a) 1,2 b) 2,4 c) 1,3 d) 2,6 e) 1,4

17. De la figura, calcular: cosq

a) 1/5

3

5θ

19 b) 1/4 c) 1/7 d) 1/3 e) 1/2

18. Dado un triángulo ABC, donde:a2 + b2 + c2 = 10

calcular: E = bccosA + accosB + abcosC

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

19. Dado un triángulo ABC, reducir:

P = a b

senA senBc

senC+

+-

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 0

20. En un triángulo ABC, se cumple:(a + b + c) (a + b - c) = ab

hallar: cosC

a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4 d) -4/5 e) -1/3

1. a 5. d 9. b 13. e 17. e2. b 6. c 10. d 14. b 18. a3. c 7. a 11. b 15. e 19. e4. a 8. a 12. b 16. b 20. cC

laves

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