Math 29.07.2008 � 2008 Ph. D. Dong

Hue University, Hue City 1

Table of Integrals1) x dx

nxn nÚ =

++1

11

2) 1x

dx xÚ = ln

3) udv uv vduÚ Ú= -

4) u x v x dx u x v x v x u x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )¢ = - ¢Ú Ú5)

1 1ax b

dxa

ax b+

= +Ú ln( )

6) 1 1

2( )x adx

x a+= -

+Ú

7) ( ) ( )x a dx x ax

nn n+ = + +

+ÊË

�¯Ú a

1+ n 1, n π -1

8) x x a dxx a nx x a

n nn

n( )

( ) ( )( )( )

+ = + + -+ +Ú+1

2 1

9) dx

xx

1 21

+=Ú -tan

10) dx

a x ax a2 2

11

+=Ú -tan ( / )

11) xdx

a xa x2 2

2 212+

= +Ú ln( )

12) x dx

a xx a x a

2

2 21

+= -Ú -tan ( / )

13) x dx

a xx a a x

3

2 22 2 2 21

212+

= - +Ú ln( )

14) ( ) tanax bx c dxac b

ax b

ac b

2 12

12

2

4

2

4+ + =

-

+

-

ÏÌÔ

ÓÔ

¸ýÔ

þÔ- -Ú

15) 1 1

( )( )ln( ) ln( )

x a x bdx

b aa x b x

+ +=

-+ - +[ ]Ú , a bπ

16) x

x a x bdx

a ba a x b b x

( )( )ln( ) ln( )

+ +=

-+ - +[ ]Ú 1

, a bπ

� 2008 Ph. D. Dong

Hue University, Hue City 2

17) x

x adx

a

a xa x

( )ln( )

+=

++ +Ú 2 , a bπ

18) x

ax bx cdx

ax bx c

a

b

a ac b

ax b

ac b2

2

21

22 4

2

4+ += + + -

-

+

-

ÏÌÔ

ÓÔ

¸ýÔ

þÔÚ -ln( )

tan

19) x adx x a- = -Ú 23

3 2( ) /

20) 1

2x a

dx x a±

= ±Ú

21) 1

2a x

dx a x-

= -Ú

22) x x adx a x a x a- = - + -Ú 23

25

3 2 5 2( ) ( )/ /

23) ax bdxb

a

xb ax+ = +Ê

Ë�¯ +Ú 2

323

24) ( ) /ax b dx b axb

a

bx ax+ = + + +Ê

ËÁ��̄Ú 3 2

2 225

45

25

25) x

x adx x a x a

±= ±( ) ±Ú 2

32

26) x

a xdx x a x a

x a x

x a-= - - - -

-È

ÎÍ

ù

ûúÚ -tan 1

27) x

x adx x x a a x x a

+= + - + +[ ]Ú ln

28) x ax bdxb

a

bx

a

xb ax+ = - + +

Ê

ËÁ��̄ +Ú 4

15

215

25

2

2

2

29) x ax bdxb x

a

xb ax

b a x b ax

a+ = +

Ê

ËÁ��̄ + -

+ +( )Ú 4 2

2 2

4

3 2 2

3 2

/

/

ln

30)

x ax bdxb x

a

bx

a

xb ax

b a x b ax

a

3 22

2

3 2 5 2

3

5 2

8 12 3

2 2

8

// /

/

ln

+ = - + +Ê

ËÁ��̄ +

-+ +( )

Ú

31) x a dx x x a a x x a2 2 2 2 2 2 212

12

± = ± ± + ±ÊË

�¯Ú ln

32) a x dx x a x ax a x

x a2 2 2 2 2 1

2 2

2 212

12

- = - - --

È

ÎÍÍ

ù

ûúúÚ -tan

Math 29.07.2008

Math 29.07.2008 � 2008 Ph. D. Dong

Hue University, Hue City 3

33) x x a x a2 2 2 2 3 213

± = ±Ú ( ) /

34) 1

2 22 2

x adx x x a

±= + ±È

ÎÍùûúÚ ln

35) 1

2 21

2 2

2 2a x

dxx a x

x a-= - -

-

È

ÎÍÍ

ù

ûúú

-Ú tan

36) x

x adx x a

2 22 2

±= -Ú

37) x

a xdx a x

2 22 2

-= - -Ú

38) x

x adx x x a x x a

2

2 22 2 2 21

212±

= ± + ±ÈÎÍ

ùûúÚ m ln

39) x

a xdx x a x a

x a x

x a

2

2 22 2 1

2 2

2 212

12-

= - - - --

È

ÎÍÍ

ù

ûúúÚ -tan

40)

ax bx cb

a

xax bx c

ac b

a

ax b

aax bc c

2 2

2

3 22

4 2

4

8

22

+ + = +ÊË

�¯ + +

+ - + + + +ÊËÁ

��̄

Ú

/ ln

41)

x ax bx cx bx

a

ac b

aax bx c

b ac b

a

ax b

aax bc c

23 2

22

2

5 22

3 128 3

24

4

16

22

+ + = + + -Ê

ËÁ��̄ + +

- - + + + +ÊËÁ

��̄

Ú

( )ln/

42) 1 1 2

22

2

ax bx cdx

a

ax b

aax bx c

+ += + + + +È

ÎÍùûúÚ ln

43) x

ax bx cdx

aax bx c

b

a

ax b

aax bx c

22

3 221

2

22

+ += + + - + + + +È

ÎÍùûúÚ / ln

44) ln lnxdx x x xÚ = -

45) ln( ) ln( )ax b dxax b

aax b x+ = + + -Ú

46) ln( ) ln( ) tana x b dx x a x bb

a

ax

bx2 2 2 2 2 2 12

2± = ± + ÊË

�¯ -Ú -

47) ln( ) ln( ) tana b x dx x a b xa

b

bx

ax2 2 2 2 2 2 12

2- = - + ÊË

�¯ -Ú -

� 2008 Ph. D. Dong

Hue University, Hue City 4

48) ln( ) tan lnax bx c dxa

ac bax b

ac bx

b

ax ax bx c2 2 1

221

42

42

2+ + = - +

-

È

ÎÍÍ

ù

ûúú- + +Ê

Ë�¯ + +( )Ú -

49) x ax b dxb

ax x x

b

aax bln( ) ln( )+ = - + -

Ê

ËÁ��̄ +Ú 2

14

12

2 22

2

50) x a b x dx x xa

ba bxln( ) ln( )2 2 2 2 2

2

22 21

212

- = - + -Ê

ËÁ��̄ -Ú

51) e dxa

eax axÚ = 1

52) xe dxa

xei

ai axax axÚ = + ( )1

2 3 2p/ erf where erf x e dttx

( ) = -Ú2 2

0p

53) xe dx x ex xÚ = -( )1

54) xe dxx

a aeax axÚ = -Ê

ËÁ��̄

12

55) x e dx e x xx x2 2 2 2Ú = - +( )

56) x e dx ex

a

x

a aax x2

2

2 32 2Ú = - +

Ê

ËÁ��̄

57) x e dx e x x xx x3 3 23 6 6Ú = - + -( )

58) x e dxa

n axn ax nÚ = -( ) + -11

1G[ , ] where G( , )a x t e dta tx

= - -�Ú 1

59) e dx ia

ix aax2

2Ú = - ( )perf

60) sin cosxdx xÚ = -

61) sin sin2

214

2xdxx

xÚ = -

62) sin cos cos3 34

112

3xdx x xÚ = - +

63) cos sinxdx xÚ =

64) cos sin2

214

2xdxx

xÚ = +

65) cos sin sin3 34

112

3xdx x xÚ = +

66) sin cos cosx xdx xÚ = - 12

2

Math 29.07.2008

Math 29.07.2008 � 2008 Ph. D. Dong

Hue University, Hue City 5

67) sin cos sin sin2 14

112

3x xdx x xÚ = -

68) sin cos cos cosx xdx x x2 14

112

3Ú = - -

69) sin cos sin2 2

81

324x xdx

xxÚ = -

70) tan ln cosxdx xÚ = -

71) tan tan2 xdx x xÚ = - +

72) tan ln[cos ] sec3 212

xdx x xÚ = +

73) sec lncos( / ) sin( / )cos( / ) sin( / )

xdxx x

x xÚ = +-

2 22 2

74) sec tan2 xdx xÚ =

75) sec sec tan lncos( / ) sin( / )cos( / ) sin( / )

3 12

2 22 2

xdx x xx x

x xÚ = + +-

76) sec tan secx xdx xÚ =

77) sec tan sec2 212

x xdx xÚ =

78) sec tan secn nx xdxn

xÚ = 1, n π 0

79) csc ln tan( / )xdx xÚ = 2

80) csc cot2 xdx x= -Ú81) csc cot csc ln cos( / )sin( / )3 1

212

2 2xdx x x x x= - - ( )Ú82) csc cot cscn nx xdx

nxÚ = - 1

, n π 0

83) sec csc ln tanx xdx xÚ =

84) x xdx x x xcos cos sinÚ = +

85) x xdx x x x x2 22 2cos cos ( )sinÚ = + -

86) x xdx i n ix n ixn n ncos ( , ) ( , )Ú = - ( ) + - + -( ) +{ }+12

1 1 11 G G

87) x xdx i n ix n ixn n nsin ( ) ( , ) ( ) ( , )Ú = - + - - - + -{ }12

1 1 1G G

� 2008 Ph. D. Dong

Hue University, Hue City 6

88) e xdx e x xx xsin sin cosÚ = -[ ]12

89) e ax dxb a

e b ax a axbx bxsin( ) sin cosÚ =+

-[ ]12 2

90) xe xdx e x x x x xx xsin cos cos sinÚ = - +[ ]12

91) e xdx e x xx xcos sin cosÚ = +[ ]12

92) e ax dxb a

e a ax b axbx bxcos( ) sin cosÚ =+

+[ ]12 2

93) xe xdx e x x x x xx xcos cos sin sinÚ = - +[ ]12

94) cosh sinhxdx xÚ =

95) e bxdxe

a ba bx b bxax

axcosh cosh sinhÚ =

--[ ]2 2

96) sinh coshxdx xÚ =

97) e bxdxe

a bb bx a bxax

axsinh cosh sinhÚ =

-- +[ ]2 2

98) e xdx e ex x xtanh tan ( )Ú = - -2 1

99) tanh ln coshaxdxa

axÚ = 1

100) cos cosh sin cosh cos sinhax bxdxa b

a ax bx b ax bxÚ =+

+[ ]12 2

101) cos sinh cos cosh sin sinhax bxdxa b

b ax bx a ax bxÚ =+

+[ ]12 2

102) sin cosh cos cosh sin sinhax bxdxa b

a ax bx b ax bxÚ =+

- +[ ]12 2

103) sin sinh cosh sin cos sinhax bxdxa b

b bx ax a ax bxÚ =+

-[ ]12 2

104) sinh cosh sinh( )ax axdxa

ax axÚ = - +[ ]14

2 2

105) sinh cosh cosh sinh cosh sinhax bxdxb a

b bx ax a ax bxÚ =-

-[ ]12 2

Math 29.07.2008